高考数学复习专题14计数原理与概率统计古典概型考点剖析
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧在高考数学中，概率与统计是一个重要的板块，它不仅考查学生的数学知识和技能，还培养学生的数据分析和推理能力。
对于很多同学来说，这部分内容既有一定的挑战性，又充满了得分的机会。
下面我们就来详细解析高考数学中概率与统计的常见题型以及相应的答题技巧。
一、概率题型1、古典概型古典概型是概率中最基础的题型之一。
它的特点是试验结果有限且等可能。
例如，从装有若干个红球和白球的袋子中摸球，计算摸到某种颜色球的概率。
答题技巧：首先，确定总的基本事件数和所求事件包含的基本事件数。
然后，利用古典概型的概率公式 P（A）＝所求事件包含的基本事件数÷总的基本事件数进行计算。
2、几何概型几何概型与古典概型不同，它的试验结果是无限的。
常见的有长度型、面积型、体积型几何概型。
比如，在一个区间内随机取一个数，求满足某个条件的概率。
答题技巧：对于几何概型，关键是要正确确定几何度量。
例如，长度型就计算长度，面积型就计算面积，体积型就计算体积。
然后，按照几何概型的概率公式 P（A）＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）进行求解。
3、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
题目中通常会给出一些条件，让我们计算在这些条件下的概率。
答题技巧：利用条件概率公式 P（A|B）＝ P（AB）÷P（B），先求出 P（AB）和 P（B），再计算条件概率。
4、相互独立事件与互斥事件相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响；互斥事件则是指两个事件不能同时发生。
答题技巧：对于相互独立事件，它们同时发生的概率用乘法计算，即 P（AB）＝ P（A）×P（B）；对于互斥事件，它们至少有一个发生的概率用加法计算，即 P（A∪B）＝ P（A）＋ P（B）。
二、统计题型1、抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。
高考数学复习专题14计数原理与概率统计古典概型备考策略
古典概型备考策略主标题：古典概型备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。
关键词：古典概型，古典概型公式，备考策略难度：2重要程度：4考点一 简单古典概型的概率【例1】 现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率．解 从6道题中任取2道有n ＝C 26＝15(种)取法．(1)记“所取的2道题都是甲类题”为事件A ，则A 发生共有m ＝C 24＝6种结果． ∴所求事件概率P (A )＝m n ＝615＝25. (2)记“所取的2道题不是同一类题”事件为B ，事件B 包含的基本事件有C 14C 12＝8(种)，则事件B 的概率为P (B )＝815. 【备考策略】 有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.考点二 复杂的古典概型的概率【例2】 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数中至少有一个奇数的概率；(2)以第一次向上点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15的外部或圆上的概率．解 由题意，先后掷2次，向上的点数(x ，y )共有n ＝6×6＝36种等可能结果，为古典概型．(1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B ，则事件B 与“两数均为偶数”为对立事件，记为B .∵事件B 包含的基本事件数m ＝C 13C 13＝9.∴P (B )＝936＝14，则P (B )＝1－P (B )＝34，因此，两数中至少有一个奇数的概率为34. (2)点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15的内部记为事件C ，则C 表示“点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15上或圆的外部”．又事件C 包含基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共有8个．∴P (C )＝836＝29，从而P (C )＝1－P (C )＝1－29＝79.∴点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15上或圆外部的概率为79.【备考策略】 (1)一是本题易把(2,4)和(4,2)，(1,2)和(2,1)看成同一个基本事件，造成计算错误．二是当所求事件情况较复杂时，一般要分类计算，即用互斥事件的概率加法公式或考虑用对立事件求解．(2)当所求事件含有“至少”“至多”或分类情况较多时，通常考虑用对立事件的概率公式P (A )＝1－P (A )求解．考点三 古典概型与统计的综合问题【例3】 某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．审题路线 (1)阅读茎叶图得出样本数据，利用平均数公式计算出样本均值．(2)根据样本算出优秀工人的比例，再估计12人中优秀工人的个数．(3)用组合数公式求出所有可能的组合的个数和符合条件的组合的个数，利用古典概型概率公式计算．解 (1)由茎叶图可知：样本数据为17,19,20,21,25,30.则x ＝16(17＋19＋20＋21＋25＋30)＝22，故样本均值为22.(2)日加工零件个数大于样本均值的工人有2名，故优秀工人的频率为26＝13.该车间12名工人中优秀工人大约有12×13＝4(名)，故该车间约有4名优秀工人．(3)记“恰有1名优秀工人”为事件A ，其包含的基本事件总数为C 14C 18＝32，所有基本事件的总数为C 212＝66.由古典概型概率公式，得P (A )＝3266＝1633. 所以恰有1名优秀工人的概率为1633. 【备考策略】 (1)本题求解的关键在于从茎叶图准确提炼数据信息，进行统计与概率的正确计算．(2)一是题目考查茎叶图、样本均值、古典概型等基础知识，考查样本估计总体的思想方法，以及数据处理能力．二是求解时要设出所求事件，进行必要的说明，规范表达，这 都是得分的重点．。
高考数学压轴专题最新备战高考《计数原理与概率统计》知识点
【高中数学】《计数原理与概率统计》知识点一、选择题1．已知()929012913x a a x a x a x -=++++L ，则019a a a +++…等于（ ） A ．92 B ．94 C ．93 D ．1【答案】B 【解析】 【分析】求出二项式()913x -展开式的通项为()193rrr T C x +=⋅-，可知当r 为奇数时，0r a <，当r 为偶数时，0r a >，然后代入1x =-即可得出019a a a ++⋯+的值.【详解】二项式()913x -展开式的通项()193rr r T C x +=⋅-，当r 为奇数时，0r a <，当r 为偶数时，0r a >，因此，()990191314a a a ⎡⎤++⋯+=-⨯-=⎣⎦.故选：B. 【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数绝对值之和，要结合二项式定理判断各项系数的符号，考查推理能力与计算能力，属于中等题.2．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A ．2B ．3C ．10D ．15【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果. 【详解】设阴影部分的面积是s ，由题意得，选C.【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．3．甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()221122,,,N N μδμδ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量服从正态分布的参数2 1.99δ= 【答案】D 【解析】由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg ，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg ，故A ，B ，C ，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2 1.99，故D 不正确．故选D ．4．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p u v ＝(m ，n)，q v ＝(3,6)．则向量p u v 与q v共线的概率为( ) A ．13B ．14C ．16D ．112【答案】D 【解析】 【分析】由将一枚骰子抛掷两次共有36种结果，再列举出向量p u r 与q r共线的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解。
高考数学热点问题专题练习——古典概型知识归纳及例题讲解
古典概型一、基础知识：1、基本事件：一次试验中可能出现的每一个不可再分的结果称为一个基本事件。
例如：在扔骰子的试验中，向上的点数1点，2点，……，6点分别构成一个基本事件2、基本事件空间：一次试验，将所有基本事件组成一个集合，称这个集合为该试验的基本事件空间，用Ω表示。
3、基本事件特点：设一次试验中的基本事件为12,,,n A A A（1）基本事件两两互斥（2）此项试验所产生的事件必由基本事件构成，例如在扔骰子的试验中，设i A 为“出现i 点”，事件A 为“点数大于3”，则事件456A A A A =（3）所有基本事件的并事件为必然事件 由加法公式可得：()()()()()1212n n P P A A A P A P A P A Ω==+++因为()1P Ω=，所以()()()121n P A P A P A +++=4、等可能事件：如果一项试验由n 个基本事件组成，而且每个基本事件出现的可能性都是相等的，那么每一个基本事件互为等可能事件。
5、等可能事件的概率：如果一项试验由n 个基本事件组成，且基本事件为等可证明：设基本事件为12,,,n A A A ，可知()()()12n P A P A P A ===()()()121n P A P A P A +++= 6、古典概型的适用条件：（1）试验的所有可能出现的基本事件只有有限多个 （2）每个基本事件出现的可能性相等当满足这两个条件时，事件A 发生的概率就可以用事件A 所包含的基本事件个7、运用古典概型解题的步骤：① 确定基本事件，一般要选择试验中不可再分的结果作为基本事件，一般来说，试验中的具体结果可作为基本事件，例如扔骰子，就以每个具体点数作为基本事件；在排队时就以每种排队情况作为基本事件等，以保证基本事件为等可能事件 ② ()(),n A n Ω可通过计数原理（排列，组合）进行计算③ 要保证A 中所含的基本事件，均在Ω之中，即A 事件应在Ω所包含的基本事件中选择符合条件的 二、典型例题：例1：从16-这6个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另外两个数的和的概率为________思路：事件Ω为“6个自然数中取三个”，所以()3620n C Ω==，事件A 为“一个数是另外两个数的和”，不妨设a b c =+，则可根据a 的取值进行分类讨论，列举出可能的情况：{}{}{}{}{}{}3,2,1,4,3,1,5,4,1,5,3,2,6,5,1,6,4,2，所以()6n A =。
古典概型知识点总结
古典概型知识点总结关键信息项：1、古典概型的定义2、古典概型的特点3、古典概型的概率计算公式4、基本事件的概念5、基本事件的特点6、古典概型的常见例题7、古典概型与其他概率类型的区别11 古典概型的定义古典概型是一种概率模型，它具有以下两个特点：试验中所有可能出现的基本结果是有限的。
每个基本结果出现的可能性相等。
111 有限性意味着试验的结果是可以一一列举出来的，不是无穷无尽的。
112 等可能性表明每个基本结果发生的概率相同，不存在某些结果更容易发生的情况。
12 古典概型的特点确定性：试验的条件和结果都是明确的。
互斥性：不同的基本事件之间是相互排斥的，不会同时发生。
121 可重复性相同的条件下，重复进行试验，结果具有稳定性。
122 规范性符合概率的基本定义和性质，能够通过计算得出准确的概率值。
13 古典概型的概率计算公式假设试验的基本事件总数为 n，事件 A 包含的基本事件数为 m，则事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
131 计算步骤确定基本事件的总数 n 。
确定事件 A 包含的基本事件数 m 。
代入公式计算 P(A) 。
132 注意事项计算要准确，避免遗漏或重复计算基本事件。
确保对基本事件的界定清晰无误。
14 基本事件的概念基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以由基本事件组合而成。
141 基本事件的性质独立性：每个基本事件的发生与否互不影响。
完整性：所有基本事件的集合构成了试验的全部可能结果。
15 基本事件的特点最小性：不能再分解为更小的随机事件。
明确性：能够清晰地定义和区分。
151 基本事件的表示通常用简单的符号或数字来表示。
152 基本事件的数量确定根据试验的具体情况，通过分析得出。
16 古典概型的常见例题掷骰子问题：计算掷出特定点数的概率。
抽奖问题：在有限数量的抽奖券中计算中奖的概率。
摸球问题：从装有不同颜色球的容器中摸出特定颜色球的概率。
161 例题分析详细阐述如何确定基本事件和所求事件包含的基本事件数。
高考数学冲刺古典概型考点全面解析
高考数学冲刺古典概型考点全面解析高考对于每一位学子来说，都是人生中的一次重要挑战。
而数学作为其中的关键学科，更是备受关注。
在数学的众多考点中，古典概型是一个不容忽视的重要部分。
在高考冲刺阶段，对古典概型进行全面且深入的复习，对于提高数学成绩具有重要意义。
一、古典概型的基本概念古典概型是一种概率模型，具有两个重要特征：有限性和等可能性。
有限性指的是试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；等可能性则表示每个基本事件出现的可能性相等。
例如，掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数就是一个古典概型问题。
因为骰子的点数只有 1、2、3、4、5、6 这六种可能，且每种点数出现的可能性相同。
二、古典概型的概率计算公式在古典概型中，事件 A 的概率可以通过以下公式计算：P(A) ＝事件 A 包含的基本事件个数／试验中所有可能的基本事件个数例如，从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出一个球，求取出红球的概率。
这里试验中所有可能的基本事件个数为 5（3 个红球和2 个白球），取出红球的基本事件个数为 3，所以取出红球的概率为3/5。
三、古典概型的常见题型1、摸球问题这是古典概型中常见的一类问题。
例如，一个袋子里装有 5 个红球和 3 个白球，从中随机摸出 2 个球，求摸出一红一白的概率。
解决这类问题时，首先要确定总的基本事件个数，即从 8 个球中选2 个的组合数。
然后计算摸出一红一白的基本事件个数，可以分两步考虑，先选一个红球，再选一个白球，两者相乘即为摸出一红一白的基本事件个数。
2、掷骰子问题掷骰子问题常常会与其他条件相结合。
比如，同时掷两枚质地均匀的骰子，求点数之和大于 8 的概率。
对于这种问题，需要列出所有可能的基本事件，然后找出点数之和大于 8 的基本事件个数，最后计算概率。
3、抽样问题抽样问题可以分为有放回抽样和无放回抽样。
例如，从 10 件产品中抽取 3 件，有放回抽样和无放回抽样时，抽到特定产品的概率是不同的。
高考数学复习专题14计数原理与概率统计几何概型考点剖析
几何概型
主标题：几何概型
副标题：为学生详细的分析几何概型的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：几何概型，几何概型公式
难度：2
重要程度：4
考点剖析：
1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．
2．了解几何概型的意义.
命题方向：
以选择题或填空题形式考查几何概型，可与二元一次不等式组所表示的平面区域、定积分、向量等知识交汇考查基本概念，基本运算、难度中等.
规律总结：
1．对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．
2．转化思想的应用
对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．
知识梳理
几何概型
(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
(2)特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．
(3)公式：
P(A)＝
构成事件A的区域长度面积或体积
试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
.。
高考数学复习专题14计数原理与概率统计几何概型易错点
1 几何概型易错点
主标题：几何概型易错点 副标题：从考点分析几何概型易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。
关键词：几何概型，几何概型公式，易错点
难度：2 重要程度：4
内容：
【易错点】
1．对几何概型的理解
(1)(教材习题改编)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(√)
(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(√)
(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(×)
2．几何概型的计算
(4)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19
.(×) (5)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1＜0”发生的概率为13
.(√) [剖析]
1．一个区别 “几何概型”与“古典概型”的区别：基本事件的个数前者是无限的，后者是有限的．
2．一点提醒 几何概型的试验中，事件A 的概率P (A )只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关，如(3).。
高考数学压轴专题人教版备战高考《计数原理与概率统计》知识点总复习含答案解析
【高中数学】数学《计数原理与概率统计》期末复习知识要点一、选择题1．设1021001210)x a a x a x a x =++++L ，那么()(220210139)a a a a a a +++-+++L L 的值为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．101)【答案】C 【解析】 【分析】令1x =和1x =-得到012310a a a a a ++++L ，012310a a a a a -+-++L ，再整体代入可得； 【详解】解：因为)102101210xa a x a x a x =++++L ，令1x =得)10123101a a a a a =++++L ，令1x =-得)10123101a a a a a =-+-++L ，所以()(220210139)a a a a a a +++-+++L L()()012310012310a a a a a a a a a a =++++-+-++L L))101011=⋅))1011⋅⎡⎤⎣⎦=1011== 故选：C 【点睛】本题考查利用待定系数法求二项式系数和的问题，属于中档题．2．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ．85B ．65C ．45D ．25【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，3~(5,)3X B m +，由3533EX m =⨯=+，知3~(5,)5X B ，由此能求出()D X ．【详解】由题意知，3~(5,)3X B m +， 3533EX m ∴=⨯=+，解得2m =， 3~(5,)5X B ∴，336()5(1)555D X ∴=⨯⨯-=．故选：B ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．3．已知点P ,Q 为圆C :x 2+y 2=25上的任意两点,且|PQ|<6,若PQ 中点组成的区域为M ,在圆C 内任取一点,则该点落在区域M 上的概率为( ) A ．35 B ．925 C ．1625D ．25【答案】B 【解析】PQ 中点组成的区域M 如图阴影部分所示,那么在C 内部任取一点落在M 内的概率为25π-16π925π25=,故选B.4．三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，若每人都选择其中两个科目，则有且仅有两人选择的科目完全相同的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】D 【解析】 【分析】先求出三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目的基本事件总数，再求出有且仅有两人选择的科目完全相同所包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可得到答案. 【详解】三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目共有233()27C =种不同结果，有且仅有两人选择的科目完全相同共有22133218C C C ⋅⋅=种，故由古典概型的概率计算公式可得所求概率为182273=.故选：D 【点睛】不同考查古典概型的概率计算问题，涉及到组合的基本应用，考查学生的逻辑推理与数学运算能力，是一道中档题.5．在区间[]0,1内随机取两个数m ､n ，则关于x 的方程20x nx m -+=有实数根的概率为（ ） A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】A 【解析】 【分析】根据方程有实根可得到约束条件，根据不等式组表示的平面区域和几何概型概率公式可求得结果. 【详解】若方程20x nx m -+=有实数根，则40n m ∆=-≥.如图，400101n m m n -≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域与正方形0101m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩的面积之比即为所求的概率，即111124118S P S ⨯⨯===⨯阴影正方形.故选：A . 【点睛】本题考查几何概型中面积型概率问题的求解，涉及到线性规划表示的平面区域面积的求解，关键是能够根据方程有实根确定约束条件.6．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为三角形ABC 的BC ，AB 和AC ．若10BC =，8AB =，6AC =，ABC V 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅱ的概率为（ ）A ．92524ππ+B ．162524π+C ．252425ππ+D ．484825π+【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可得到结论.【详解】由题意，如图：Ⅰ所对应的面积为1186242S =⨯⨯=， Ⅱ所对应的面积29252482422S πππ=++-=， 整个图形所对应的面积9252482422S πππ=++=+， 所以，此点取自Ⅱ的概率为484825P π=+.故选：D. 【点睛】本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题.7．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ） 表1 成绩性别 不及格 及格 总计 男 6 14 20 女102232表2表3表4A．成绩B．视力C．智商D．阅读量【答案】D【解析】【分析】根据公式()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++分别计算得观察值，比较大小即可得结果.【详解】根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++分别计算得：A.2252(6221014):0.00916363220A K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯;2252(4201216): 1.76916363220B K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯;2252(824812): 1.316363220C K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯;2252(143062):23.4816363220D K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯选项D 的值最大，所以与性别有关联的可能性最大,故选D. 【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题.8．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．5108B ．113C ．17D ．710【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】3311166617()216A P AB C C C +==Q ，11155561116691()1216C C C P B C C C =-=()()()72161|2169113P AB P A B P B ∴==⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.9．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A．2 B．3 C．10 D．15【答案】C【解析】【分析】根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果.【详解】设阴影部分的面积是s，由题意得，选C.【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．10．把15个相同的小球放到三个编号为123，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（）A．18B．28C．38D．42【答案】B【解析】【分析】根据题意，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3. 个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，由挡板法分析可得答案．【详解】根据题意，15个相同的小球放到三个编号为123，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，将剩下的9个球排成一排，有8个空位，在8个空位中任选2个，插入挡板，有2 88728 2C⨯==种不同的放法，即有28个不同的符合题意的放法；故选B．【点睛】本题考查排列、组合的应用，关键是将原问题转化为将3个球放入3个盒子的问题，属于基础题．11．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A ．12种 B ．18种C ．24种D ．36种【答案】D 【解析】4项工作分成3组,可得：24C=6， 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成， 可得：36363A ⨯=种． 故选D.12．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 约等于9，据此模型预报广告费用为6 万元时，销售额为（ ） A ．54万元 B ．55万元C ．56万元D ．57万元【答案】D 【解析】试题分析：由表格可算出1(1245)34x =+++=,1(10263549)304y =+++=,根据点(),x y 在回归直线ˆˆˆy bx a =+上,ˆ9b=,代入算出ˆ3a =,所以ˆ93y x =+,当6x =时,ˆ57y =,故选D.考点：回归直线恒过样本点的中心(),x y .13．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0,1)内增大时，“()E ξ减小”是“()D ξ增加”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】首先求()E ξ和()D ξ，然后换元()t E ξ=，()221331321222228D t t t ξ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，利用函数的单调性，判断充分必要条件.【详解】由题意可知：()()221210p p p p -+-+= ， 且()2011p <-<，()0211p p <-<，201p <<解得：01p <<，()()()2211121341E p p p p p ξ=-⨯-+⨯-+⨯=-，()()()()()()22222141114121341D p p p p p p p ξ=----+--⨯-+--⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦288p p =-+，设()411,3E p t ξ=-=∈-，221113884422t t D t t ξ++⎛⎫=-⨯+⨯=-++ ⎪⎝⎭ ()21122t =--+， 当()1,1t ∈-时，D ξ增大，当()1,2t ∈时，D ξ减小， 所以当E ξ减小时，不能推出D ξ增加； 设()2880,2D p p t ξ=-+=∈，21822p t ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，21228t p -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当102p <<时，12p =，此时1412E ξ⎛=- ⎝，当D t ξ=增加时，E ξ也增加，当112p ≤<时，12p =+1412E ξ⎛=+- ⎝，当D t ξ=增加时，E ξ减小，所以当D ξ增加，不能推出E ξ减小.综上可知：“E ξ减小”是“D ξ增加”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【点睛】本题考查充分必要条件，离散型随机变量的期望和方程，重点考查换元，二次函数的单调性，属于中档题型.14．有编号为1,2,3的三个盒子和编号分别为1,2,3的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为（ ） A ．827B ．56C ．23D ．13【答案】D 【解析】 【分析】列举出所有的基本事件，并确定出事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】以()1,2,3表示编号为1、2、3的盒子分别放编号为1、2、3的小球，则所有的基本事件有：()1,2,3、()1,3,2、()2,1,3、()2,3,1、()3,1,2、()3,2,1，共6种，其中，事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件有：()2,3,1、()3,1,2，共2个，因此，小球的编号与盒子编号全不相同的概率为2163=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是列举出所有的基本事件，遵循不重不漏的原则，考查计算能力，属于中等题.15．已知P 是△ABC 所在平面内﹣点，20PB PC PA ++=u u u r u u u r u u u r r，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（ ）A．23B．12C．13D．14【答案】B【解析】【分析】推导出点P到BC的距离等于A到BC的距离的12．从而S△PBC=12S△ABC．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率．【详解】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则PB PC+u u u r u u u r=PDu u u r，∵20PB PC PA++=u u u r u u u r u u u r r，∴2PB PC PA+=-u u u r u u u r u u u r，∴2PD PA=-u u u r u u u r，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的12．∴S△PBC=12S△ABC．∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：P=PBCABCSSVV=12．故选B．【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．16．在二项式26()2axx+的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线2y x=和圆22x y a+=及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（）A．146π+B．146π-C．4πD．16【答案】B【解析】【分析】用二项式定理得到中间项系数，解得a，然后利用定积分求阴影部分的面积．【详解】（x2+a2x）6展开式中，由通项公式可得122r162rr rraT C x x--+⎛⎫= ⎪⎝⎭,令12﹣3r＝0，可得r＝4,即常数项为4462aC⎛⎫⎪⎝⎭，可得4462aC⎛⎫⎪⎝⎭＝15，解得a＝2．曲线y＝x2和圆x2+y2＝2的在第一象限的交点为（1，1）所以阴影部分的面积为()12231111-x-x|442346dx x xπππ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭⎰．故选：B【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．17．古代人常常会研究“最大限度”问题，下图是一个正三角形内最大限度地可以放入三个同样大小的圆，若将一个质点随机投入如图所示的正三角形ABC中（阴影部分是三个半径相同的圆，三个圆彼此互相外切，且三个圆与正三角形ABC的三边分别相切），则质点落在阴影部分内部的概率是（）A．2334-B．(233)4π-C．2332-D．(233)2π-【答案】D【解析】【分析】设圆的半径为r，表示出三角形的边长，分别求出圆的面积和三角形面积，根据几何概型求解概率.【详解】设“质点落在阴影部分内部”为事件M.如右图所示：设圆的半径为r ，正三角形ABC 的边长为a .因为130PBO ∠=︒，所以3tan 30r BP =︒=，解得3BP r =.同理，3CQ r =. 又因为122PQ O O r ==，所以332(232)BP CQ PQ r r r r BC a ++=++=+==，所以由几何概型得，点落在阴影部分内部的概率是2222(233)()2133(232)4P M a a r π-===⨯+. 故选：D.【点睛】此题考查求几何概型，关键在于准确求出圆的面积和三角形的面积，找出其中的等量关系即可得解.18．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前15项和为（ ）A ．110B ．114C ．124D ．125【答案】B【解析】【分析】 利用二项式系数对应的杨辉上三角形的第1n +行，令1x =，得到二项展开式的二项式系数的和，再结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第1n +行，令1x =，可得二项展开式的二项式系数的和2n ，其中第1行为02，第2行为12，第3行为22，L L 以此类推，即每一行的数字之和构成首项为1，公比为2的对边数列，则杨辉三角形中前n 行的数字之和为122112n n n S -==--， 若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3,4,L可以看成构成一个首项为1，公差为2的等差数列，则(1)2n n n T +=，令(1)152n n +=，解得5n =， 所以前15项的和表示前7行的数列之和，减去所有的1，即()72113114--=， 即前15项的数字之和为114，故选B.【点睛】本题主要考查了借助杨辉三角形的系数与二项式系数的关系考查等差、等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中认真审题，结合二项式系数，利用等差等比数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19．某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中，则他第1次、第2次两次均未命中的概率是（ ）A ．12B ．310C ．14D ．15【答案】D【解析】【分析】先求出基本事件总数，再求出第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数，计算即可求出第1次、第2次两次均未命中的概率．【详解】由题可得基本事件总数336320n C C == ，第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数2132434m C C C ==所以他第1次、第2次两次均未命中的概率是41205m P n === 故选D.【点睛】 本题考查计数原理及排列组合的应用，解题的关键是正确求出基本事件个数．20．若随机变量X 的分布列为（ ）且()1E X =，则随机变量X 的方差()D X 等于（ ）A ．13B ．0C ．1D ．23【答案】D【解析】分析：先根据已知求出a,b 的值，再利用方差公式求随机变量X 的方差()D X . 详解：由题得1113,,130213a b a b a b ⎧++=⎪⎪∴==⎨⎪⨯++=⎪⎩ 所以2221112()(01)(11)(21).3333D X =-⋅+-⋅+-⋅= 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，那么D ξ＝211()x E p ξ-⋅＋222()x E p ξ-⋅＋…＋2()n n x E p ξ-⋅,称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E ξ是随机变量ξ的期望．。
古典概型知识点总结
例 2 盒中有 6 只灯泡，其中 2 只次品， 4 只正品，有放回地从中任取 2 次，每次只取 1 只，试求下列事件的概率： (1)取到的 2 只都是次品； (2)取到的 2 只中正品、次品各 1 只；(3)取到的 2 只中至少有 1 只正品．
2
同取法．
;金沙澳门官网下载app https:// 金沙澳门官网下载app; ;金沙澳门官网下载app https:// 金沙澳门官网下载app; ;金沙澳门官网下载app https:// 金沙澳门官网下载app; ;金沙澳门官网下载app https:// 金沙澳门官网下载app; ;金沙澳门官网下载app https:// 金沙澳门官网下载app; ;金沙澳门官网下载app https:// 金沙澳门官网下载app; ;金沙澳门官网下载app https:// 金沙澳门官网下载app; ;金沙澳门官网下载app https:// 金沙澳门官网下载app; ;金沙澳门官网下载app https:// 金沙澳门官网下载app; ;金沙澳门官网下载app https:// 金沙澳门官网下载app; ;金沙澳门官网下载app https:// 金沙澳门官网下载app; ;vnsr威尼斯城官网 https:// vnsr威尼斯城官网; ;vnsr威尼斯城官网 https:// vnsr威尼斯城官网; ;vnsr威尼斯城官网 https:// vnsr威尼斯城官网; ;vnsr威尼斯城官网 https:// vnsr威尼斯城官网; ;vnsr威尼斯城官网 https:// vnsr威尼斯城官网; ;vnsr威尼斯城官网 https:// vnsr威尼斯城官网; ;vnsr威尼斯城官网 https:// vnsr威尼斯城官网; ;澳门威斯尼 https:// 澳门威斯尼; ;威尼斯网站网址 https:// 威尼斯网站网址; ;威尼斯人 https:// 威尼斯人; ;vnsr威尼斯人官网 https:// vnsr威尼斯人官网; ;澳门威斯尼app https:// 澳门威斯尼app; ;澳门威斯尼 https:// 澳门威斯尼;
古典概型的概率计算例题和知识点总结
古典概型的概率计算例题和知识点总结在概率论中，古典概型是一种非常基础且重要的概率模型。
它具有简单直观、易于理解和计算的特点。
接下来，我们将通过一些具体的例题来深入理解古典概型的概率计算方法，并对相关知识点进行总结。
一、古典概型的定义与特点古典概型是指试验中所有可能的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等。
例如，掷一枚均匀的硬币，结果只有正面和反面两种，且出现正面和反面的可能性相等；掷一个均匀的骰子，结果有 1、2、3、4、5、6六种，每种结果出现的概率都是 1/6。
二、古典概型的概率计算公式如果一个试验有n 个等可能的结果，事件A 包含其中的m 个结果，那么事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
三、例题解析例 1：从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出 2 个球，求取出的 2 个球都是红球的概率。
解：从 5 个球中取出 2 个球的组合数为 C(5, 2) ＝ 10 种。
取出 2 个红球的组合数为 C(3, 2) ＝ 3 种。
所以取出 2 个球都是红球的概率为 3 ／ 10 。
例 2：一个盒子里有 5 个完全相同的球，分别标有数字 1、2、3、4、5，从中随机摸出一个球，求摸到奇数球的概率。
解：总共有 5 个球，摸到每个球的可能性相等。
奇数球有 1、3、5 三个。
所以摸到奇数球的概率为 3 ／ 5 。
例 3：同时掷两个均匀的骰子，求点数之和为 7 的概率。
解：同时掷两个骰子，总的结果数为 6 × 6 ＝ 36 种。
点数之和为7 的情况有（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1），共 6 种。
所以点数之和为 7 的概率为 6 ／ 36 ＝ 1 ／ 6 。
四、古典概型概率计算的注意事项1、要确保试验结果的等可能性。
如果试验结果不是等可能的，就不能使用古典概型的概率计算公式。
2、计算基本事件总数和事件包含的基本事件数时，要注意不重不漏。
3、对于复杂的问题，可以通过分类讨论或分步计算来解决。
古典概型知识点总结
古典概型知识点总结在概率论中，古典概型是一个基础且重要的概念。
它为我们理解和解决许多概率问题提供了简单而直观的方法。
接下来，让我们一起深入探讨古典概型的相关知识点。
一、古典概型的定义古典概型是指试验中所有可能出现的基本事件是有限的，并且每个基本事件出现的可能性相等的概率模型。
例如，掷一枚均匀的硬币，出现正面和反面就是两个基本事件，且它们出现的可能性相等，这就是一个古典概型的例子。
二、古典概型的概率计算公式如果一个古典概型中，一共有 n 个基本事件，事件 A 包含的基本事件数为 m，那么事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
这个公式是古典概型计算概率的核心，通过确定基本事件总数和事件 A 包含的基本事件数，就可以计算出事件 A 的概率。
三、古典概型的特点1、有限性：试验中所有可能出现的基本事件是有限的。
2、等可能性：每个基本事件出现的可能性相等。
这两个特点是判断一个概率模型是否为古典概型的关键。
四、计算古典概型概率的步骤1、确定试验的基本事件总数 n 。
2、确定所求事件 A 包含的基本事件数 m 。
3、代入公式 P(A) ＝ m ／ n 计算概率。
例如，一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
基本事件总数 n ＝ 8 （5 个红球＋ 3 个白球），事件“取出红球”包含的基本事件数 m ＝ 5 ，所以取出红球的概率 P ＝5 ／ 8 。
五、古典概型的常见题型1、摸球问题比如，一个袋子里有若干个不同颜色的球，从中摸出特定颜色球的概率。
2、掷骰子问题计算掷出特定点数或特定点数组合的概率。
3、抽奖问题在抽奖活动中，计算中奖的概率。
4、排列组合问题与古典概型的结合通过排列组合的方法确定基本事件总数和事件包含的基本事件数。
六、古典概型的应用1、决策分析在面临不确定性的决策时，可以通过计算不同结果的概率来辅助决策。
2、风险评估评估某些事件发生的可能性和风险程度。
古典概型知识点总结
古典概型知识点总结古典概型是概率论中最基础、最简单的一种模型。
它是指在所有可能的结果中，每个结果的概率相等的模型。
本文将总结古典概型的相关知识点，并探讨其应用场景和注意事项。
一、基础定义1. 古典概型的定义古典概型是指在所有可能的结果中，每个结果的概率相等的模型。
例如，掷一次骰子，每个点数出现的概率都是1/6。
2. 样本空间样本空间是指古典概型中所有可能结果的集合。
例如，掷一枚硬币的样本空间为{正面，反面}。
3. 事件事件是样本空间的子集，表示发生某种结果的可能性。
例如，掷一枚硬币出现正面的事件为{正面}。
4. 概率概率是指某个事件发生的可能性大小，通常用小数表示，取值范围在0到1之间。
在古典概型中，概率可以用公式“事件发生的次数÷样本空间中总的可能结果数”来计算。
二、应用场景古典概型主要应用于以下场景：1. 骰子、硬币等随机游戏例如，掷骰子、抛硬币等游戏中，每个结果的概率都相等，符合古典概型的条件。
2. 假设检验在做假设检验时，常常需要确定某种情况下出现某种结果的概率。
如果符合古典概型条件，可以直接根据概率公式计算概率。
3. 统计学在统计学中，古典概型被广泛应用于概率分布的研究与推导。
三、注意事项在使用古典概型时，需要注意以下事项：1. 每个结果的概率相等古典概型中的最重要条件是每个结果的概率相等。
如果存在某些结果概率不等的情况，就不能使用古典概型进行概率计算了。
2. 互斥事件在计算概率时，需要注意事件之间是否互斥。
如果两个事件不互斥，那么它们的概率应该加在一起。
3. 独立事件在计算概率时，需要注意事件之间是否独立。
如果两个事件是独立的，那么它们的概率应该相乘。
四、结论古典概型是概率论中最基础、最简单的一种模型，应用范围广泛。
在使用古典概型进行概率计算时，需要注意每个结果的概率相等、事件之间是否互斥、事件之间是否独立等问题，才能准确计算概率，避免出现错误的结果。
高中数学古典概型知识点总结
高中数学古典概型知识点总结高中数学中的古典概型是指基于样本空间，利用等可能性原理计算事件发生概率的方法。
以下是一些关键的知识点总结：1. 样本空间：在进行古典概型的计算时，首先要确定问题的样本空间。
样本空间是指所有可能的结果组成的集合。
2. 事件：在样本空间中，可以定义各种事件，也就是对应某个或某些结果的子集。
常见的事件有简单事件（只包含一个结果）和复合事件（包含多个结果）。
3. 等可能性原理：古典概型的核心思想是等可能性原理，即各个结果发生的概率是相等的。
根据等可能性原理，可以得出事件发生的概率。
4. 计算概率：根据等可能性原理，可以使用计数方法来计算事件发生的概率。
例如，若样本空间中有n个等可能结果，而事件A 包含m个结果，则事件A发生的概率为P(A) = m/n。
5. 排列与组合：在古典概型的计算中，经常需要使用排列与组合的概念。
排列是指从n个元素中选取r个元素并按照一定顺序排列，而组合是指从n个元素中选取r个元素，不考虑顺序。
排列与组合的计算公式如下：- 排列：P(n,r) = n! / (n-r)!- 组合：C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)6. 互斥事件与对立事件：互斥事件指两个或多个事件不可能同时发生，而对立事件指两个事件中只有一个会发生。
在古典概型中，可以利用互斥事件和对立事件的概念来计算复杂事件的概率。
7. 概率的性质：概率具有一些重要的性质，包括非负性（概率不会小于0）、正则性（全样本空间的概率为1）、可加性（若事件A 与事件B互斥，则它们的概率之和等于各自的概率和）等。
以上是高中数学中古典概型的一些关键知识点总结。
通过掌握这些知识点，可以更好地理解和应用古典概型方法进行概率计算。
高考数学复习点拨：古典概型及其概率求解
古典概型及其概率求解的基本方法山东 孙天军一．古典概型的创建如果一个试验同时满足以下两个条件：（1）有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的，则称这样的试验为古典概型．判断一个试验是否为古典概型，需要确定这个试验是否具有古典概型的两个特征——“有限性”和“等可能性”．对于“有限性”的判断较易，对于“等可能性"的判断较难,要注意分辨．例1．在两个箱子里，各有一个黑球和一个白球,所有的球除颜色外完全相同．从两个箱子里都摸出一个球，（1）若将试验的结果——“两个白球”、“两个黑球”、“一个白球一个黑球”视为基本事件，能构成古典概型吗？（2）求摸出的球是一个白球与一个黑球的概率． 解：（1）摸出的两个球的所有可能结果可表示为:“黑、黑”，“白、白”,“黑、白”，“白、黑"．这4个结果是有限的，也是等可能的，这种试验是古典概型．但将“摸出一个白球与一个黑球”视为基本事件时，是将“黑、白”与 “白、黑"两个结果合为一个结果，使得3个结果出现的可能性不全均等，故这时的试验不是古典概型． （2)由（1)的分析可知,当试验的结果视为“黑、黑”，“白、白”，“黑、白”,“白、黑”4个结果时,试验为古典概型,“摸出的球是一个白球与一个黑球”所包含的基本事件数为2，故所求概率为42=21 ．二．古典概型概率的计算如果试验的基本事件数有n 个，事件A 包含的基本事件数为m,则事件A 发生的概率 P(A ） =nm ．在保证能创建古典概型的情况下，首先要解决的问题如何求n 与m ，再利用公式计算概率．例2．有两个箱子，里面各装有编号为1、2、3、4、5、6的6个小球，所有的球除编号外完全相同，现从两个箱子里各摸一个球，称为一次试验．若摸出的两个球的编号之和为5，则中奖．求一次试验中奖的概率．解：记“一次试验中奖"为事件Ａ，根据基本事件总数ｎ及事件Ａ包含的基本事件数ｍ的不同求法，可得到下列解法：解法１．列表法:由表格可知：基本事件总数ｎ＝３６Ａ包含的基本事件数ｍ＝４，则所求 概率为P(A ） = 394＝91． 解法２．画树状图：５ ６由树状图可知：基本事件总数ｎ＝３６,Ａ包含的基本事件为１—４，２—３,３-２，４-１,共有４个，则所求概率为P(A ） =394＝91． 解法３．列举数对：将所有基本事件用数对表示为：（１，１）(１，２)(１，３）（１，４）(１，５）（１，６） （２，１)（２，２)(２，３)（２，４）（２,５）（２，６） （３，１）（３，２）（３，３）（３，４)（３，５）（３，６) (４，１）（４，２）(４,３)（４，４)（４,５）（４，６） (５，１）（５,２）（５，３）（５，４)（５,５)(５，６) （６，１）（６，２）（６，３）（６，４）（６，５）（６，６)用此方法也可得到前面的答案．解法４．交点法：在直角坐标系中,用直线ｘ＝１,２,３，４，５，６与直线ｙ＝１，２,３，４,５，６的交点数表示基本事件总数,其中在直线ｘ＋ｙ＝５上的点有４个，故基本事件总数ｎ＝３６，Ａ包含的基本事件数ｍ＝４,则所求概率为P （A) = 394＝91． Ｙ在古典概型的概率的计算中，还要适当结合互斥事件的概率的加。
高考数学知识点之古典概型定义及计算
高考数学知识点之古典概型定义及计算
古典概率通常又叫事前概率，是指当随机事件中各种可能发生的结果及其出现的次数都可以由演绎或外推法得知，下面小编给大家介绍高考数学知识点之古典概型定义及计算，赶紧来看看吧!
基本事件的定义：
一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。
等可能基本事件：
若在一次试验中，每个基本事件发生的可能*都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件。
古典概型：
如果一个随机试验满足：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
(2)每个基本事件的发生都是等可能的;
那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型.
古典概型的概率：
如果一次试验的等可能事件有n个,考试技巧，那么，每个等可能基本事件发生的概率都是;如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为。
古典概型解题步骤：
(1)阅读题目，搜集信息;
(2)判断是否是等可能事件，并用字母表示事件;
(3)求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m;
(4)用公式求出概率并下结论。
求古典概型的概率的关键：
求古典概型的概率的关键是如何确定基本事件总数及事件A包含的基本事件的个数。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》知识点总复习附解析
高中数学《计数原理与概率统计》知识点归纳一、选择题1．从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和为奇数，则不同取法种数有（ ） A ．60 B ．66 C ．72 D ．126【答案】A 【解析】 【分析】要使四个数的和为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个，再根据排列组合及计数原理知识，即可求解. 【详解】从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和要为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个：所以共有1331545460C C C C +=种取法.故选：A 【点睛】本题考查了排列组合及简单的计数问题，属于简单题.2．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p u v ＝(m ，n)，q v ＝(3,6)．则向量p u v 与q v共线的概率为( ) A ．13B ．14C ．16D ．112【答案】D 【解析】 【分析】由将一枚骰子抛掷两次共有36种结果，再列举出向量p u r 与q r共线的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解。
【详解】由题意，将一枚骰子抛掷两次，共有6636⨯=种结果，又由向量(,),(3,6)p m n q ==u r r共线，即630m n -=，即2n m =，满足这种条件的基本事件有：(1,2),(2,4),(3,6)，共有3种结果，所以向量p u r 与q r 共线的概率为313612P ==，故选D 。
【点睛】本题主要考查了向量共线的条件，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中根据向量的共线条件，得出基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
3．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，则这两卦的六根线中恰好有4根阴线的概率为（）A．314B．27C．928D．1928【答案】A【解析】【分析】列出所有28种情况，满足条件的有6种情况，计算得到概率.【详解】根据题意一共有：乾坤、乾巽、乾震、乾坎、乾离、乾艮、乾兑；坤巽、坤震、坤坎、坤离、坤艮、坤兑；巽震、巽坎、巽离、巽艮、巽兑；震坎、震离、震艮、震兑；坎离、坎艮、坎兑；离艮、离兑；艮兑，28种情况.满足条件的有：坤巽，坤离，坤兑，震坎，震艮，坎艮，共6种.故632814 p==.故选：A.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.4．已知点P,Q为圆C:x2+y2=25上的任意两点,且|PQ|<6,若PQ中点组成的区域为M,在圆C 内任取一点,则该点落在区域M上的概率为()A．35B．925C．1625D．25【答案】B【解析】PQ中点组成的区域M如图阴影部分所示,那么在C内部任取一点落在M内的概率为25π-16π925π25=,故选B.5．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为 A ．100 B ．110 C ．120 D ．180【答案】B 【解析】试题分析：10人中任选3人的组队方案有310120C =，没有女生的方案有3510C =， 所以符合要求的组队方案数为110种 考点：排列、组合的实际应用6．如图所示，线段BD 是正方形ABCD 的一条对角线，现以BD 为一条边，作正方形BEFD ，记正方形ABCD 与BEFD 的公共部分为Ω（如图中阴影部分所示），则往五边形ABEFD 中投掷一点，该点落在Ω内的概率为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．13【答案】B 【解析】 【分析】五边形ABEFD 的面积52S =，阴影Ω的面积为12，得到概率. 【详解】不妨设1AB =，故五边形ABEFD 的面积15222S =+=，阴影Ω的面积为12，故所求概率为1121522P ==+，故选：B．【点睛】本题考查了几何概型，意在考查学生的计算能力和应用能力.7．下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．其中正确命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．【详解】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．8．河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．“河图”将一到十分成五行属性分别为金，木，水，火，土的五组，在五行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金；五行相生的规律为：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木．现从这十个数中随机抽取3个数，则这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率为（）A ．110B ．15C ．25D ．12【答案】C 【解析】 【分析】从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，包含的基本事件个数1122152222()20n C C C C C =+=，这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：1122122222()8,m C C C C C =+=，由此能求出这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率． 【详解】由题意得数字4，9属性为金，3，8属性为木，1，6属性为水， 2，7属性为火，5，10属性为土，从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，包含的基本事件个数1122152222()20n C C C C C =+=，这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：1122122222()8,m C C C C C =+=，∴这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率82205m p n ===． 故选：C ． 【点睛】此题考查古典概型，关键在于根据计数原理准确求解基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.9．若1路、2路公交车均途经泉港一中校门口，其中1路公交车每10分钟一趟，2路公交车每20分钟一趟，某生去坐这2趟公交车回家，则等车不超过5分钟的概率是（ ） A ．18B ．35C ．58D ．78【答案】C 【解析】 【分析】设1路车到达时间为x 和2路到达时间为y ．（x ，y ）可以看做平面中的点，利用几何概型即可得到结果.设1路车到达时间为x 和2路到达时间为y ．（x ，y ）可以看做平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{（x ，y ）|0≤x ≤10且0≤y ≤20}，这是一个长方形区域，面积为S ＝10×20＝200A 表示某生等车时间不超过5分钟，所构成的区域为a ＝{（x ，y ）|0≤x ≤5或0≤y ≤5}， 即图中的阴影部分，面积为S ′＝125， 代入几何概型概率公式，可得 P （A ）'12552008S S === 故选C【点睛】解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．10．在区间[2,2]-上任意取一个数x ，使不等式20x x -<成立的概率为（ ） A ．16B ．12C ．13D ．14【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式，再根据几何概型概率公式计算结果. 【详解】由20x x -<得01x <<，所以所求概率为1012(2)4-=--，选D.(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．11．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种【答案】D【解析】4项工作分成3组,可得：24C=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：36363A⨯=种．故选D.12．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）A．413B．21313C．926D．31326【答案】A 【解析】【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可． 【详解】在ABD ∆中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒，由余弦定理，得222cos12013AB ADBD AD BD =+-⋅︒=，所以13DF AB =. 所以所求概率为24=1313DEF ABC S S ∆∆= ⎪⎝⎭. 故选A. 【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．13．在二项式26()2a x x+的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a +=及x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）A ．146π+B ．146π- C ．4π D ．16【答案】B 【解析】 【分析】用二项式定理得到中间项系数，解得a ，然后利用定积分求阴影部分的面积． 【详解】（x 2+a 2x ）6展开式中，由通项公式可得122r 162rr r r a T C x x --+⎛⎫= ⎪⎝⎭, 令12﹣3r ＝0，可得r ＝4,即常数项为4462a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得4462a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝15，解得a ＝2．曲线y ＝x 2和圆x 2+y 2＝2的在第一象限的交点为（1，1） 所以阴影部分的面积为()1223100111-x-x |442346dx x x πππ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭⎰． 故选：B【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c ∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数共有( ) A ．125个 B ．60个 C ．100个 D ．48个【答案】C 【解析】由题意得，0a ≠，a 的选择一共有14C =4，b 的选择一共有155C =，c 的选择共155C =种，根据分步计数原理，不同的二次函数共有N=455⨯⨯=100种。
古典概型知识点总结
古典概型知识点总结古典概型是概率论中最基本、最简单的概率模型之一。
在我们的日常生活和学习中，经常会遇到与古典概型相关的问题。
下面，让我们来系统地总结一下古典概型的相关知识点。
一、古典概型的定义如果一个随机试验具有以下两个特征：1、试验的样本空间Ω中样本点的总数是有限的。
2、每个样本点出现的可能性相等。
那么称这样的随机试验为古典概型。
例如，掷一枚均匀的硬币，观察正反面出现的情况；掷一颗均匀的骰子，观察出现的点数等，都是古典概型的例子。
二、古典概型的概率计算公式在古典概型中，事件 A 的概率定义为：P(A) ＝ A 包含的基本事件个数 m ／基本事件的总数 n例如，掷一颗均匀的骰子，出现点数为偶数的概率。
基本事件的总数n ＝6，事件“出现点数为偶数”包含的基本事件有3 个（2、4、6），所以其概率 P ＝ 3/6 ＝ 1/2 。
三、古典概型的计算步骤1、确定试验的基本事件总数 n 。
2、确定事件 A 所包含的基本事件个数 m 。
3、代入公式计算 P(A) ＝ m ／ n 。
例如，从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出 2 个球，求取出的 2 个球都是红球的概率。
首先，基本事件总数 n ＝ C(5, 2) ＝ 10 （组合数，表示从 5 个球中选 2 个的组合数）。
事件“取出的 2 个球都是红球”包含的基本事件个数 m ＝ C(3, 2) ＝3 。
所以，取出的 2 个球都是红球的概率 P ＝ 3/10 。
四、古典概型的性质1、0 ≤ P(A) ≤ 1 ：任何事件的概率都在 0 到 1 之间。
2、P(Ω) ＝ 1 ：必然事件的概率为 1 。
3、 P(∅）＝ 0 ：不可能事件的概率为 0 。
五、古典概型的应用1、抽奖问题例如，在一次抽奖活动中，共有 1000 张奖券，其中只有 10 张是中奖券。
某人随机抽取一张，求他中奖的概率。
基本事件总数 n ＝ 1000 ，事件“中奖”包含的基本事件个数 m ＝ 10 ，所以中奖的概率 P ＝ 10/1000 ＝ 1/100 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考数学复习专题14计数原理与概率统计古典概型考点剖析
古典概型
主标题：古典概型
副标题：为学生详细的分析古典概型的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：古典概型，古典概型公式
难度：2
重要程度：4
考点剖析：
1．理解古典概型及其概率计算公式．
2．会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.
命题方向：
1．古典概型与统计的综合应用，是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．
2．高考对古典概型与统计的综合应用的考查主要有以下几个命题角度：
(1)由频率来估计概率；
(2)由频率估计部分事件发生的概率；
(3)求方差(或均值)等．
规律总结：
4种方法——基本事件个数的确定方法
(1)列举法：(见本节考点一[方法规律])；
(2)列表法：(见本节考点一[方法规律])；
(3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求；
(4)计数原理法：如果基本事件的个数较多，列举有一定困难时，可借助于两个计数原理及排列组合知识直接计算出m，n，再运用公式求概率．
2个技巧——求解古典概型问题概率的技巧
(1)较为简单问题可直接使用古典概型的概率公式计算；
(2)较为复杂的概率问题的处理方法：一是转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式进行求解；二是采用间接法，先求事件A的对立事件A的概率，再由P(A)＝1－P(A)求事件A的概率．1个构建——构建不同的概率模型解决问题
(1)原则：建立概率模型的一般原则是“结果越少越好”，这就要求选择恰当的观察角
度，把问题转化为易解决的古典概型问题；
(2)作用：一方面，对于同一个实际问题，我们有时可以通过建立不同“模型”来解决，即“一题多解”，在这“多解”的方法中，再寻求较为“简捷”的解法；另一方面，我们又可以用同一种“模型”去解决很多“不同”的问题，即“多题一解”.
知识梳理
1．古典概型的两个特征
(1)试验的所有可能结果只有有限个．每次试验只出现其中的一个结果；(2)每一个试验结果出现的可能性都相同．2．古典概型的概率公式
对于古典概型，通常试验中的某一事件A 是由几个基本事件组成，如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n ，随机事件A 包含的基本事件数为m ，那么事件A 的概率规定为
P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数＝m n
. 3．建立古典概率模型时对基本事件的要求
(1)每次试验有且只有一个基本事件出现；
(2)基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的．。