2015年高考数学(福建)文
历年高考真题(数学文化).doc
历年高考真题（数学文化）1. （2009 湖北· 理）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数，如他们研究过图 1 中的 1， 3， 6， 10，，由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的 1， 4，9，16这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）2. （ 2011 湖北·文）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为A．1升B ．67升C ．47升D ．37升66 44 333. （ 2011 湖北·理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共4 升，则第 5 节的容积为升.4.（ 2012? 湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径 d 的一个近似公式 d 3 16 = .. 判断，V .人们还用过一些类似的近似公式．根据π9下列近似公式中最精确的一个是（）A. d 3 16d 3 2V C. d 3300d 321 V B. V D. V 9 157 115. （ 2013? 湖北）在平面直角坐标系中，若点P（x， y）的坐标 x，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为 S，其内部的格点数记为 N，边界上的格点数记为 L．例如图中△ ABC是格点三角形，对应的S=1， N=0， L=4．（Ⅰ）图中格点四边形 DEFG对应的 S，N， L 分别是 ________；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c 其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N=71， L=18，则 S=________（用数值作答）．6.（ 2014? 湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 V1 L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式236V L2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）75A. 22B. 25C. 157D. 3557 8 50 1137.(2015湖北)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷28 粒，则这批米内夹谷约为PA． 134 石B． 169 石C． 338石D． 1365 石F E8. （ 2015 湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一D CA B第19题图条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马 P ABCD 中，侧棱 PD底面 ABCD ，且 PD CD ，过棱 PC 的中点 E ，作 EFPB 交 PB 于点 F ，连接 DE, DF, BD, BE.（Ⅰ）证明： PB平面 DEF ．试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为π，3求 DC的值． BC9. （ 2004 上海春季卷）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第 14 与第 15 个数的比为2 : 3.10. （ 2013 上海）在 xOy 平面上，将两个半圆弧 ( x － 1) 2＋ y 2＝ 1( x ≥ 1) 和( x － 3) 2＋ y 2＝1( x ≥ 3) 、两条直线 y ＝ 1 和 y ＝－ 1 围成的封闭图形记为，如图中阴影部分．记 D 绕 y 轴旋转一D周而成的几何体为 Ω. 过 (0 ， y )(| y | ≤ 1) 作 Ω的水平截面，所得截面面积为 4 1 y 2 ＋ 8π. 试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为 ______．11. （ 2009 福建） . 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为 1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为 3 的倍数，则报该数的同学需拍手一次已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100 个数时，甲同学拍手的总次数为________.12. （ 2003 全国卷·理）如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）13. （ 2015 全国Ⅰ卷）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何“其意思为：在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少已知 1 斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）A．14 斛B． 22 斛C．36 斛D．66 斛14.（2015 全国Ⅱ卷）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a,b 分别为14，18，则输出的 a =（）A． 0B．2C． 4D．1415.（2016 全国Ⅱ卷）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图. 执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的 a 为 2， 2， 5，则输出的s=（A）7（B）12（C）17（D）34。
2015年福建省普通高考各学科试卷分析
2015年福建省普通高考各学科试卷分析——2015年普通高考福建省自行命题组福建省教育考试院发布《2015年福建省普通高考各学科试卷分析》，全文如下：一、语文语文卷的考查目标符合国家《考试大纲》，试题类型、题型比例和试卷结构等均符合本省《考试说明》的要求，选材合理多样，试题有适当的难度和必要的区分度，有利于高等学校选拔人才，有利于基础教育深化新课程改革。
1.以立德树人为重点，发挥考试内容的教育引导作用试卷在突出语文素养考查的基础上，积极落实今年高考命题的“一点四面”要求，发挥考试内容的教育引导作用。
名句默写、各类文本阅读、语言文字运用等能力考查的选材和设题，较全面地体现了健康的情感、积极的态度和正确的价值观，如志士仁人的爱国情怀和进取精神，阅读之于建设“书香社会”的意义，红色文化的精神滋养，模范人物的激励作用，生态保护的正确认知，以及科学研究的人文情怀等。
写作题则以一组格言式句子为材料，含意丰富且层层递进：①路是走出来的，是探索的成果；②要探索，就不能害怕失误；失误中可能隐含着创新的契机；③勇于探索，敢于创新，终将闯出新途。
试题材料的“走”“错”“敢”三个关键词积极响应了“探索与创新”的时代最强音，给人启迪，耐人寻味。
2.全面考查语文素养，发挥高考的选拔功能试题的考点覆盖面广，试卷的整体区分度较好。
各类文本阅读，要求在整体把握的基础上由表及里、由浅入深地解读文本的内容与形式。
“评说题”规避了简单的正反评说，有利于思维品质的考查。
写作试题的一组格言式句子意蕴深刻，开掘角度多，且语言浅白朴素，考生易于入手；但要综合把握三则材料的寓意，写出有思想深度的文章也非易事。
3.教学导向积极，有利于基础教育课程改革试卷选用文本类型多样，布局合理。
文言文阅读首次采用书信体裁，古代诗歌阅读选用宋诗，现代文阅读的文本是评论、散文和科普文章。
语言文字运用部分，考查内容涉及《标点符号用法》新标准，对中学语文教学有提醒作用。
2015年高考福建理科数学试题及答案(word解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2015年福建，理1，5分】若集合{}234i,i ,i ,i A =（i 是虚数单位），{}1,1B =-，则A B 等于（ ）（A ）{}1- （B ）{}1 （C ）{}1,1- （D ）φ 【答案】C【解析】由已知得{}i,1,i,1A =--，故{}1,1AB =-，故选C ．（2）【2015年福建，理2，5分】下列函数为奇函数的是（ ）（A）y = （B ）sin y x = （C ）cos y x = （D ）x x y e e -=- 【答案】D【解析】函数y =是非奇非偶函数；sin y x =和cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．（3）【2015年福建，理3，5分】若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ） （A ）11（B ）9 （C ）5 （D ）3【答案】B 【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即2326PF a -==，解得29PF =，故选B ．（4）【2015年福建，理4，5分】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，万元家庭年支出为（ ）（A ）11.4万元 （B ）11.8万元 （C ）12.0万元 （D ）12.2万元 【答案】B【解析】由已知得8.28.610.011.311.9105x ++++==（万元）， 6.27.58.08.59.885y ++++==（万元），故80.76100.4a =-⨯=，所以回归直线方程为0.760.4y x =+，当社区一户收入为15万元家庭年支出为0.76150.411.8y =⨯+=（万元），故选B ．（5）【2015年福建，理5，5分】若变量,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值等于（ ）（A ）52- （B ）2- （C ）32- （D ）2【答案】A 【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为2y x z =-，当z 最小时，直线2y x z =-的纵截距最大，故将 直线2y x =经过可行域，尽可能向上移到过点11,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，z 取到最小值，最小值为()152122z =⨯--=-，故选A ．（6）【2015年福建，理6，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-1【解析】程序在执行过程中,S i 的值依次为：0,1S i ==；0,2S i ==；1,3S i =-=；1,4S i =-=；0,5S i ==；0,6S i ==，程序结束，输出0S =，故选C ．（7）【2015年福建，理7，5分】若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂，若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α”的必要不充分条件，故选B ．（8）【2015年福建，理8，5分】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三 个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 【答案】D【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1,4a b ==；当4a 是等差中项时，82a a =-，解得4,1a b ==，综上所述，5a b p +==，所以9p q +=，故选D ．（9）【2015年福建，理9，5分】已知1,,AB AC AB AC t t⊥==，若点p 是ABC ∆所在平面内一点，且4AB ACAP AB AC=+，则PB PC ⋅的最大值等于（ ） （A ）13 （B ）15 （C ）19 （D ）21【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1,0B t ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,C t ，AP =即()1,4P ，所以11,4PB t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,4PC t =--，因此111416174PB PC t t t t ⎛⎫⋅=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为144t t +≥=，所以当14t t =，即12t =时取等号，PB PC ⋅的最大值等于13，故选A ． （10）【2015年福建，理10，5分】若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ）（A ）11f k k ⎛⎫< ⎪⎝⎭ （B ）111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ （C ）1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ （D ）111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【答案】C【解析】由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则()()0g x f x k ''=->，故函数()g x 在R 上单调递增，且101k >-，故()101g g k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭，所以1111k f k k ⎛⎫->- ⎪--⎝⎭，1111f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭，所以结论中一定错误的是C ，选项D 不确定；构造函数()()h x f x x =-，则()()10h x f x ''=->，所以函数()h x 在R 上单调递增，且10k >，所以()10h h k ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即111f k k ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，111f k k⎛⎫>- ⎪⎝⎭，选项A ，B 无法判断，故选C ． 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2015年福建，理11，5分】()52x +的展开式中，2x 的系数等于 （用数字填写答案）． 【答案】80【解析】()52x +的展开式中2x 项为2325280C x =，所以2x 的系数等于80．（12）【2015年福建，理12，5分】若锐角ABC ∆的面积为，且5AB =，8AC =，则BC 等于 ．【解析】由已知得ABC ∆的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ⋅==所以sin A =0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=．由余弦定理得2222cos 49BC AB AC AB AC A =+-⋅=，7BC =．（13）【2015年福建，理13，5分】如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等 ．【答案】512【解析】由已知得阴影部分面积为221754433x dx -=-=⎰．所以此点取自阴影部分的概率等于553412=．（14）【2015年福建，理14，5分】若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(]1,2【解析】当2x ≤，故64x -+≥，要使得函数()f x 的值域为[)4,+∞，只需()()13log 2a f x x x =+>的值域包含于[)4,+∞，故1a >，所以()13log 2a f x >+，所以3log 24a +≥，解得12a <≤，所以实数a 取值范围是(]1,2． （15）【2015年福建，理15，5分】一个二元码是由0和1组成的数字串()*12n x x x n N ∈，其中()1,2,,k x k n = 称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0），已知某种二元码127x x x 的码元满足如下校验方程组：456723671357000x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩，其中运算⊕定义为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕=，其中运算⊕定义为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕=．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于 __． 【答案】5【解析】由题意得相同数字经过运算后为0，不同数字运算后为1．由45670x x x x ⊕⊕⊕=可判断后4个数字出错；由23670x x x x ⊕⊕⊕=可判断后2个数字没错，即出错的是第4个或第5个；由13570x x x x ⊕⊕⊕=可判断出错的是第5个，综上，第5位发生码元错误．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）【2015年福建，理16，13分】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用 的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝 试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望．解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则543()654P A =⨯⨯12=．（2）依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3，又1511542(1),(2),(3)16656653P X P X P X ====⨯===⨯⨯=所以X所以()1236632E X =⨯+⨯+⨯=．（17）【2015年福建，理17，13分】如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BEG ，BE EC ⊥，2AB BE EC ===，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点．（1）求证：//GF 平面ADE ；（2）求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值．（1）如图，取AE 的中点H ，连接HG ，HD ，又G 是BE 中点，所以//GH AB ，且12G H A B =，又F 是CD 中点，所以12DF CD =，由四边形ABCD 是矩形得，//AB CD ，AB CD =所以//GH DF ．且GH DF =，从而四边形HGFD 是平行四边形，所以//GF DH ， 又DH ⊂平面ADE ，GF ⊄平面ADE ，所以//GF 平面ADE ．（2）如图，在平面BEG 内，过点B 作//BQ EC ，因为BE CE ⊥，所以BQ BE ⊥，因为AB ⊥平面BEC ，所以AB BE ⊥，AB BQ ⊥，以B 为原点，分别以,,BE BQ BA 的方向为x 轴， y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,2,0,0,0,2,0,0,2,2,1A B E F ， 因为AB ⊥平面BEC ，所以()0,0,2BA =为平面BEC 的法向量，设(,,)n x y z =为平面AEF 的法向量，又()2,0,2AE =-，()2,2,1AF =-，由00n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得220220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩，取2z =得()2,1,2n =-．从而42cos ,323||||n BA n BA n BA ⋅===⨯⋅，所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23．解法二：（1）如图，取AB 中点M ，连接,MG MF ，又G 是BE 的中点，可知//GM AE ，又AE ⊂平面,ADE GM ⊄平面ADE ，所以//GM 平面ADE ．在矩形ABCD 中，由M ，F 分别 是AB ，CD 的中点得//MF AD ，又AD ⊂平面,ADE MF ⊄平面ADE ，所以//MF 平 面ADE ，又因为,GM MF M GM =⊂平面,GMF MF ⊂平面GMF ，所以平面//GMF 平面ADF ，因为GF ⊂平面GMF ，所以//GF 平面ADE ． （2）同解法一．（18）【2015年福建，理18，13分】已知椭圆E ：22221(a 0)x y b a b+=>>过点，且离心率为e ．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线():1l x my m R =-∈交椭圆E 于A ，B两点，判断点9,04G⎛⎫- ⎪⎝⎭与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．解：解法一：（1）由已知得222b ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩E 的方程为22142x y +=．（2）设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点为00(,)H x y ．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)230m y my +--=，所以1222+=2m y y m +，1223=2y y m +，从而0222y m =+．所以222222200000095525||()()(1)44216GH x y my y m y my =++=++=+++．故222012||525||(1)4216AB GH my m y y -=+++222253(1)25-2(2)216m m m m +=+++2217216(2)m m +=+0>所以||||2AB GH >，故9(4G -,0)在以AB 为直径的圆外．解法二：（1）同解法一．（2）设点11()A x y ，22(,)B x y ，则119(,)4GA x y =+，229(,)4GB x y =+．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)230m y my +--=，所以12222m y y m +=+，12232y y m =+．从而121299()()44GA GB x x y y ⋅=+++121255()()44my my y y =+++21212525(1)()416m y y m y y =++++所以cos ,0GA GB >，又,GA GB 不共线，所以AGB ∠为锐角．故点9(4G -,0)在以AB 为直径的圆外．（19）【2015年福建，理19，13分】已知函数()f x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2π个单位长度． （1）求函数()f x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；（2）已知关于x 的方程()()f x g x m +=在[]0,2π内有两个不同的解α，β；（i ）求实数m 的取值范围；（ii ）证明：22cos()15m αβ-=-．解：解法一：（1）将()cos g x x =的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到2cos y x =的图像，再将2cos y x =的图像向右平移2π个单位长度后得到2cos(-)2y x π=的图像，故()2sin f x x =，从而函数()2sin f x x =图像的对称轴方程为()2x k k Z ππ=+∈．（2）（i ）()()2sin cos f x g x x x +=+)x x =+)x ϕ=+（其中sin ϕϕ==）依题意，sin()x ϕ+=在区间[0,2]π内有两个不同的解,αβ当且仅当|1<，故m 的取值范围是(．（ii ）因为,αβ)x m ϕ+=在[0,2]π内的两个不同的解，所以sin()αϕ+=sin()βϕ+=，当1m ≤2()2παβϕ+=-，即2()αβπβϕ-=-+；当1m <<时，32()2παβϕ+=-，即32()αβπβϕ-=-+，所以cos )cos2()αββϕ-=-+(22sin ()1βϕ=+-21=-2215m =-．解法二：（1）同解法一． （2）（i ）同解法一．（ii ）因为α，β)x m ϕ+=在区间[0,2)π内的两个不同的解，所以sin()αϕ+=，s i n (βϕ+=，当1m ≤2()2παβϕ+=-，即2()αβπβϕ+=-+；当1m <时，32()2παβϕ+=-，即32()αβπβϕ+=-+，所以cos )cos()αββϕ+=-+(于是cos()cos[()()]αβαϕβϕ-=+-+cos()cos()sin()sin()αϕβϕαϕβϕ=+++++2cos ()sin()sin()βϕαϕβϕ=++++22[1]=--+2215m =-．（20）【2015年福建，理20，14分】已知函数()()ln 1f x x =+，()g x kx k R =∈．（1）证明：当0x >时，()f x x <；（2）证明：当1k <时，存在00x >，使得对任意的()0,x t ∈恒有()()f x g x >；（3）确定k 的所以可能取值，使得存在0t >，对任意的()0,x t ∈，恒有2|()()|f x g x x -<． 解：解法一：（1）令()()ln(1),[0,)F x f x x x x x =-=+-∈+∞，则有1()111xF x x x -'=-=++，当(0,)x ∈+∞时，()0F x '<， 所以()F x 在[0,)+∞上单调递减，故当0x >时，()(0)0F x F <=，即当0x >时，()f x x <．（2）令()()()ln(1),[0,)G x f x g x x kx x =-=+-∈+∞，则有1(1)()11kx k G x k x x -+-'=-=++， 当0k ≤时，()0G x '>，故()G x 在[0,)+∞单调递增，()(0)0G x G >=，故对任意正实数0x 均满足题意当01k <<时，令()0G x '=，得1110k x k k -==->，取011x k=-，对任意0(0,)x x ∈，有()0G x '>，从而()G x 在[0,)+∞单调递增，所以()(0)0G x G >=，即()()f x g x >．综上，当1k <时，总存在00x >，使得对任意0(0,)x x ∈，恒有()()f x g x >． （3）当1k >时，由（1）知，对于(0,),()()x g x x f x ∀∈+∞>>，故()()g x f x >．|()()|()()ln(1)f x g x g x f x kx x -=-=-+令2()ln(1),[0,)M x kx x x x =-+-∈+∞，则有212(2)1()21x k x k M x k x -+-+-'=--=+故当)x ∈时，()0M x '>，()M x 在上单调递增，故()(0)0M x M >=，即2|()()|f x g x x ->．所以满 足题意的t 不存在，当1k <时，由（2）知，存在00x >，使得当0(0,)x x ∈时，()()f x g x -，此时|()()|()()ln(1)f x g x f x g x x kx -=-=+-，令2()ln(1),[0,)N x x kx x x =+--∈+∞，则有212(2)1()211x k x kN x k x x x --++-'=--=++，当(0,x ∈时，()0N x '>，()N x 在上单调递增，故()(0)0N x N >=，即2()()f x g x x ->．记0x 1x ，则当1(0,)x x ∈时，恒有2|()()|f x g x x ->，故满足题意的t 不存在．当1k =时，由（1）知，当0x >时，|()()|()()ln(1)f x g x g x f x x x -=-=-+，令2()ln(1),[0,)H x x x x x =-+-∈+∞，则有212()1211x xH x x x x --'=--=++，当0x >时，()0H x '<， 所以()H x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0H x H <=，故当0x >时，恒有2|()()|f x g x x -<， 此时，任意正实数t 均满足题意，综上，1k =． 解法二： （1）解法一． （2）解法二．（3）当1k >时，由（1）知，对于(0,),()()x g x x f x ∀∈+∞>>，故|()()|()()ln(1)(1)f x g x g x f x kx x kx x k x -=-=-+>-=-，令2(1)k x x ->，解得01x k <<-． 从而得到，当1k >时，对于(0,1)x k ∈-，恒有2|()()|f x g x x ->，故满足题意的t 不存在．当1k <时，取112k k +=，从而11k k <<，由（2）知，存在00x >，使得01(0,),()()x x f x k x kx g x ∈>>=，此时11|()()|()()()2k f x g x f x g x k k x x --=->-=，令212k x x ->，解得102kx -<<，2()()f x g x x ->， 记0x 与12k-的较小者为1x ，当1(0,)x x ∈时，恒有2|()()|f x g x x ->，故满足题意的t 不存在．当1k =时，由（1）知，0,|()()|()()ln(1)x f x g x f x g x x x >-=-=-+，令2()ln(1),[0,)M x x x x x =-+-∈+∞，则有212()12x xM x x --'=--=，当0x >时，()0M x '<，所以()M x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0M x M <=．故当0x >时，恒有2|()()|f x g x x -<，此时，任意正实数t 均满足题意，综上，1k =．本题设有三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答．满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．（21）【2015年福建，理21（1），7分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵2111,4301⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A Β． （1）求A 的逆矩阵1-A ；（2）求矩阵C ，使得=AC B ．解：（1）因为||23142=⨯-⨯=A ，所以131312222422122--⎛⎫⎛⎫ ⎪-⎪==⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭A ． （2）由=ACB 得11()AC A B --A =，故1313112==222012123-⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭---⎝⎭⎝⎭C A B ． （21）【2015年福建，理21（2），7分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos 23sin x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线lsin()()4m m R πθ-=∈．（1）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．解：（1）消去参数t ，得到圆C 的普通方程为22(1)(2)9x y -++=sin()4m πθ-=，得sin cos 0m ρθρθ--=，所以直线l 的直角坐标方程为0x y m -+=．（2）依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2|12|2m --+=，解得3m =-± （21）【2015年福建，理21（3），7分】（选修4-5：不等式选讲）已知0a >，0b >，0c >，函数()f x x a x b c =++-+的最小值为4．（1）求a b c ++的值；（2）求2221149a b c ++的最小值．解：（1）因为()|||||()()|||f x x a x b c x a x b c a b c =++++≥+-++=++，当且仅当a x b -≤≤时，等号成立．又0,0a b >>，所以||a b a b +=+，所以()f x 的最小值为a b c ++，又已知()f x 的最小值为4， 所以4a b c ++=．（2）由（1）知4a b c ++=，由柯西不等式得2222211()(491)(231)()164923a ba b c c a b c ++++≥⨯+⨯+⨯=++=，即222118()497a b c ++≥，当且仅当1132231b ac ==，即8182,,777a b c ===时等号成立， 故2221149a b c ++的最小值为87．。
易错点17 双曲线答案-备战2023年高考数学易错题
易错点17 双曲线易错点1：焦点位置不确定导致漏解 要注意根据焦点的位置选择双曲线方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：易错点2：双曲线的几何性质，渐近线、离心率、焦半经、通径； 易错点3：直线与双曲线的位置关系（1）忽视直线斜率与渐近线平行的情况；（2）在用椭圆与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.题组一：定义与标准方程1．（2015福建理）若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ）A ．11B ．9C ．5D ．3 【答案】B【解析】由双曲线定义得，即，解得，故选B ． 2．（2019年新课标1卷）已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( ) A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解答】∵22||2||AF F B =，∴23AB BF =， 又1||||AB BF =，∴|BF 1|＝3|BF 2|， 又|BF 1|+|BF 2|＝2a ，∴|BF 2|＝2a ， ∴|AF 2|＝a ，|BF 1|＝32a ， 在Rt △AF 2O 中，cos ∠AF 2O ＝1a， 1226PF PF a -==236PF -=29PF =在△BF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠BF 2F 1＝223422222a a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯， 根据cos∠AF 2O +cos∠BF 2F 1＝0，可得214202a a a-+=，解得a 2＝3，∠a =b 2＝a 2﹣c 2＝3﹣1＝2．所以椭圆C 的方程为22132x y +=故选：B ．3．（2017新课标Ⅲ理）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 【答案】B【解析】由题意可得：b a =3c =，又222a b c +=，解得24a =，25b =， 则C 的方程为2145x y 2-=，故选B ． 4.（2016年新课标1卷）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ） A.(-1,3) B.(-1,3) C.(0,3) D.(0,3) 【答案】A【解析】由题意知c=2,()()2224=3,1m n m n m ++-=解得,因为方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线， 所以()()()()2230,130m n m n n n +->+->可得 解得-1<n<3,故选A.题组二：焦点三角形5．（2020·新课标∠文）设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为（ ） A ．72B ．3C ．52D ．2【答案】B【解析】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -， 则1,2a c ==，∵121||1||2OP F F ==，∴点P 在以12F F 为直径的圆上， 即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PF PF F F +=， 即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，∴2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，∴12F F P S =△121||||32PF PF =，故选B ． 6．【2020年高考全国Ⅲ卷理数11】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点12,F F ，离心率为5．P 是C 上的一点，且P F P F 21⊥．若21F PF ∆的面积为4，则=a （ ）A ．1B ．2C ．4D ．8 【答案】A 【解析】解法一：5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选A ．解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为2tan 221θb S F PF =．∴︒45tan 2b =4，则2=b ， 又∵5==ace ，∴1=a ． 解法三：设n PF m PF ==21,，则421==mn S F PF ，a n m 2=-，5,4222===+ace c n m ，求的1=a ．7.（2015全国1卷）已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF <，则0y 的取值范围是（ ）A.⎛⎝⎭B.⎛ ⎝⎭C.⎛ ⎝⎭D.⎛ ⎝⎭【答案】A【解析】法1：根据题意12,F F的坐标分别为()),，所以()()1002003,,3,,MF x y MF xy =---=--所以()()2221200000003,,3310MF MF x y x y x y y ⋅=-⋅-=-+=-<所以033y -<<.故选A. 秒杀法2：012==90F MF θ∠当 当由等面积得：33y ⇒y 212tan00212===F F b S θ 因为120MF MF <，所以12F MF ∠为钝角，根据变化规律，可得3333-0<<y 故选A.8．(2016全国II 理)已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为（ ）AB ．32C D ．2 【答案】A【解析】设1(,0)F c -，将x c =-代入双曲线方程，得22221c y a b -=，化简得2by a=±，因为211sin 3MF F ∠=，所以222212112||tan ||222b MF b c a a MF F F F c ac ac -∠=====12222c a e a c e -=-=，所以210e --=，所以e =A ． 题组三：渐进线9．（2019全国3卷）双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为22:142x y C -=F P C O坐标原点，若，则的面积为ABC．D．【答案】A【解析】双曲线的右焦点为，渐近线方程为：，不妨设点在第一象限，可得，，所以的面积为：,故选A．10．(2018全国2卷)双曲线22221(0,0)-=>>x ya ba bA．=y B．=yC．2=±y x D．=y x【答案】A【解析】解法一由题意知，==cea，所以=c，所以==b，所以=ba=±=by xa，故选A ．解法二由===cea，得=ba，所以该双曲线的渐近线方程为=±=by xa．故选A．11．（2017天津理）已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点为F，．若经过F和(0,4)P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A．22144x y-=B．22188x y-=C．22148x y-=D．22184x y-=【答案】B【解析】设(,0)F c-，双曲线的渐近线方程为by xa=±，由44PFkc c-==-，由题意有4bc a=，又ca=222c a b=+，得b=，a=，故选B．12．（2015新课标1文）已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲||||PO PF=PFO∆()22:142x yC-=F2y x=±P tan2POF∠=P PFO△124=)3,4(xy21±=线的标准方程为 ．【答案】2214x y -=【解析】∵双曲线的渐近线方程为，故可设双曲线的方程为22(0)4x y λλ-=>，又双曲线过点，∴2244λ-=，∴1λ=，故双曲线的方程为2214x y -=． 题组四：离心率13．(2021年高考全国甲卷理科)已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为 ( )A．2B．2CD【答案】A 【解析】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即2e =．故选：A14．(2021全国乙卷理科)设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是( )A．2⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C．0,2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32bb c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合x y 21±=)3,4(题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即202e <≤； 当32b b c->-，即22b c <时，42222max b PB a b c =++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220cb-≤，显然该不等式不成立．故选：C ．15．（2019全国1卷）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B =，则C 的离心率为 ． 【答案】2【解析】如图，1F A AB =，120F B F B =，∴OA ⊥F1B ， 则F 1B ：()a y x c b =+①，渐近线OB 为by x a=② 联立①②，解得B 22222,a c abc b a b a ⎛⎫⎪--⎝⎭， 则222212222a c abc F B c b a b a ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 222222222a c abc F B c b a b a ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 又2221212F B F B F F +=，所以2222222222222224a c abc a c abc c c c b a b a b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 整理得：22222223,3,4b a a a a c 所以c 即=-==，故C 的离心率为2ce a== 16．（2019全国2卷）设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为( ). A ．B ．C ．2D ．【答案】AF 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>O OF 222x y a +=P Q ||||PQ OF =C【解析】法1：由题意，把代入，得，再由，得，即，所以，解得.故选A ．法2：如图所示，由可知为以 为直径圆的另一条直径， 所以，代入得， 所以，解得.故选A ．法3：由可知为以为直径圆的另一条直径，则，.故选A ． 题组五：距离17．【2020年高考北京卷12】已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为________；C 的焦点到其渐近线的距离是__________．【答案】(3,0)，3【解析】∵双曲线22163x y -=，∴26a =，23b =，222639c a b =+=+=，∴3c =，∴右焦点坐标为(3,0)，∵双曲线中焦点到渐近线距离为b ，∴3b =．18．【2018·全国Ⅲ文】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为 A ．2B ．2C ．322D ．22【答案】D 【解析】21()2c b e a a==+=，1b a ∴=，∴双曲线C 的渐近线方程为0x y ±=，∴2c x =222x y a +=2224c PQ a =-PQ OF =2224ca c -=222a c =222c a=2c e a ==PQ OF =PQ OF ,22cc P ⎛⎫±⎪⎝⎭222x y a +=222a c =222c a=2c e a ==PQ OF =PQ OF 12222OP a OF c==⋅=2c e a ==点(4,0)到渐近线的距离d ==，故选D ． 19.（2018全国1卷）已知双曲线C ：x 23 - y 2=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N.若ΔOMN 为直角三角形，则|MN|=____. 【答案】3【解析】因为双曲线2213-=x y的渐近线方程为=±y x ，所以60∠=MON ．不妨设过点F 的直线与直线3=y x 交于点M ，由∆OMN 为直角三角形，不妨设90∠=OMN ，则60∠=MFO ，又直线MN 过点(2,0)F ，所以直线MN的方程为2)=-y x ，由2)⎧=-⎪⎨=⎪⎩y x y x，得322⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y，所以3(2M ，所以||==OM|||3==MN OM ． 20．【2020年高考浙江卷8】已知点()()()0,0,2,0,2,0O A B -．设点P 满足–2PA PB =，且P为函数y =OP =（ ）A．2 B．5CD【答案】D【解析】由条件可知点P 在以,A B 为焦点的双曲线的右支上，并且2,1c a ==，∴23b =，方程为()22103y x x -=> 且点P 为函数y =上的点，联立方程()22103y x x y ⎧-=>⎪⎨⎪=⎩，解得：2134x =，2274y =，OP ∴==，故选D ．1.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =C 的实轴长为（ ）B. 4 D.8 【答案】C【解析】设等轴双曲线C:2220x y a a ，x y 162=的准线:4l x因为C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB = 所以4,23,4,23AB ,将A 点代入双曲线方程得2224234,2,24a a a 所以，故选C.2.双曲线的渐进线方程为x y 21±=，且焦距为10，则双曲线方程为（ ） A.152022=-y x B.120522=-y x 或152022=-y x C.120522=-y x D.1|520|22=-y x 【答案】D【解析】当焦点在x 轴时，渐进线方程为x y 21±=， 所以2221,210,2b c a b c a 又，解得25,5a b，所以双曲线的方程为221205x y .焦点在y 轴时，渐进线方程为x y 21±=， 所以2221,210,2a c abc b 又，解得5,25a b，所以双曲线的方程为221205x y .故选D.3.已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为( )A.22136x y -=B.22145x y -=C.22163x y -= D.22154x y -= 【答案】B【解析】由双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点可设双曲线的方程为2222221(9)x y a b a b -=+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，即 2222112222221,1x y x y a b a b -=-= 则22121222121212015115312y y x x b b x x a y y a -+-+=⋅=⋅==-+-+，则22225,5,44b b a a ===，故E 的方程式为22145x y -=．应选B ． 4. 已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为25，则C 的渐近线方程为( )A.x y 41±=B.x y 31±=C.x y 21±= D.x y ±= 【答案】C【解析】由题意22511,22c b b e a a a 得==+==，所以C 的渐近线方程为,21x a b y ±=±=故选C. 5. 已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A.3B.3C.3mD.3m 【答案】A【解析】由C:223(0)x my m m -=>得2221,33,33,33x y c m c m m -==+=+ ()33,0,Fm 设+33y x m一条渐近线为=即0x m y -=， 则点F 到C 得一条渐近线得距离333,1m d m+==+故选A.6.P 是双曲线右支上的一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则的内切圆的圆心的横坐标为 . 【答案】x=a【解析】如图所示：()()12,0,,0F c F c -，设内切圆与x 轴的切点是点H ，PF 1,PF 2与内切圆的切点分别为M 、N ，由双曲线定义有|PF 1|-|PF 2|=2a ，由圆的切线长定理知， |PM|=|PN|,所以|MF 1|-|NF 2|=2a ,即|HF 1|-|HF 2|=2a,设内切圆的圆心横坐标为x ，)0,0(12222>>=-b a by a x 21F PF ∆则点H 的横坐标为x ，所以（x+c)-(c -x)=2a ,得x=a.7.已知F 1、F 2为双曲线C ：122=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则P 到x 轴的距离为________.【解析】法1：设12,,PF m PF n m n 不妨设==>，可知1,1,a b c ===,根据双曲线定义222,24m n a m n mn 即-=+-=①， 在ΔPF 1F 2中，根据余弦定理22201212122cos60,F F PF PF PF PF =+-228m n mn 即+-=②联立①②得4mn =，设P 到x 轴得距离为h ，则011sin 60,22h mn h ⨯==所有秒杀法2：由等面积得：4⇒3πsin 2132θtan 21212====PF PF PF PF b S设P 到x 轴得距离为h ，01211sin 60,22h PF PF h 所有⨯==8.已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为_____.【解析】根据题意，设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，不妨设点M 在第一象限，所以|AB|=|BM|=2a,∠MBA=1200,作MH ⊥x 轴于点H ，则∠MBH=600，故|BH|=a,(),2,MH M a =将点M 代入()222210,0x y a b a b-=>>得a=b,所以e =9.若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为___.【答案】2【解析】双曲线C 的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心(2,0)到渐近线的距离为2bd c==，圆心(2,0)到弦的距离也为d ==所以2b c =222c a b =+，所以得2c a =，所以离心率2ce a== 10．设F 1，F 2是双曲线C: x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若|PF 1|=6|OP|，则C 的离心率为_____.【解析】法1：不妨设一条渐近线的方程为by x a=， 则2F 到by x a =的距离d b ==， 在2Rt F PO ∆中，2||F O c =，所以||PO a =，所以1||PF =，又1||F O c =，所以在1F PO ∆与2Rt F PO ∆中，根据余弦定理得22212)cos cos 2a c aPOF POF ac c+-∠==-∠=-，即2223)0a c +-=，得223a c =．所以ce a==． 法2：选C 设P(t,- b a t),∵PF 2与y=- ba x 垂直，∴-bt a(t-c)=a b ，解得t=a 2c 即P(a 2c ,- abc ) ∴|OP|=(a 2c )2+(-ab c)2=a ，|PF 1|=(a 2c +c)2+(-ab c)2，依题有(a 2c +c)2+(- ab c )2=6a 2，化简得c 2=3a 2，即c e a ==。
2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题24 空间向量与空间角的计算(学生版)
专题24空间向量与空间角的计算年份题号考点考查内容2011理18二面角的计算线面、线线垂直的判定与性质、利用向量法求二面角的方法，逻辑推理能力、空间想象能力及运算求解能力2012理19二面角的计算线面平行、线线垂直、线面垂直的判定定理及二面角的计算，逻辑推理能力、空间想象能力及运算求解能力2013卷2理18二面角的计算线面平行的判定定理及二面角的计算，逻辑推理能力、空间想象能力及运算求解能力卷1理18空间线面角的计算空间线面、线线垂直的判定与性质及线面角的计算，空间想象能力、逻辑推论证能力2014卷2理18二面角的计算线面平行的判定、二面角的计算、锥体的体积计算等基础知识，逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力卷2理11空间异面直线所成角的计算异面直线所成的角，空间想象能力和运算求解能力卷1理19二面角的计算空间线线垂直、线面垂直的判定与性质、二面角的计算等基础知识，逻辑推理能力、空间想象能力和运算求解能力2015卷1理18空间异面直线所成角的计算主线线、线面、面面垂直判定与性质及利用空间向量计算异面直线所成角，逻辑推理能力与运算求解能力．2016卷3理19空间线面角的计算线面平行的判定与性质、利用空间向量计算线面角，逻辑推理能力和运算求解能力卷2理19解答题中的折叠问题与探索性问题二面角的计算折叠问题中线面垂直的判定与性质、利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力和运算求解能力卷1理18二面角的计算主线线、线面、面面垂直判定与性质及利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力与运算求解能力卷1理11文11空间异面直线所成角的计算面面平行的性质及线线所成角，逻辑推理能力与运算求解能力2017卷3理16空间异面直线所成角的计算空间点、线、面位置关系及线线所成角，逻辑推理能力与运算求解能力卷3理19二面角的计算主要以三棱锥为载体面面垂直的判定与性质、简单几何体体积的计算、利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力与运算求解能力卷2理18二面角的计算空间线面角的计算主要以三棱锥为载体线面平行的判定与性质、利用空间向量计算线面角与二面角，逻辑推理能力与运算求解能力卷2理10空间异面直线所成角的计算空间两条异面直线所成的角及空间想象能力与运算求解能力卷1理18二面角的计算空间垂直的判定与性质、利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力与运算求解能力2018卷3文19解答题中的折叠问题与探索性问题空间面面垂直的判定与性质、是否存在点是线面平行的问题，逻辑推理能力与空间想象能力卷2文9空间异面直线所成角的计算空间两条异面直线所成的角及空间想象能力与运算求解能力卷1文10空间线面角的计算长方体中线面角的计算与长方体体积计算，运算求解能力卷3理19二面角的计算空间垂直的判定与性质、利用空间向量计算二面角与空间几何体体积的最大值，逻辑推理能力与运算求解能力卷2理20空间线面角的计算二面角的计算主要以三棱锥为载体线面垂直的判定与性质、利用空间向量计算线面角与二面角，逻辑推理能力与运算求解能力卷2理9空间异面直线所成角的计算空间两条异面直线所成的角及空间想象能力与运算求解能力卷1理18解答题中的折叠问题与探索性问题空间线面角的计算折叠问题中空间垂直的判定与性质、利用空间向量计算线面角及逻辑推理能力与运算求解能力2019卷3理19解答题中的折叠问题与探索性问题二面角的计算折叠问题中的共面问题的判定、空间垂直的判定与性质、利用空间向量计算二面角及逻辑推理能力与运算求解能力卷2理17二面角的计算空间线线、线面垂直的判定与性质及利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力、运算求解能力卷1理18二面角的计算空间线面平行的判定及利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力、运算求解能力2020卷1理16空间角的计算空间角的计算，利用余弦定理解三角形理18二面角的计算空间线线、线面垂直的判定与性质及利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力、运算求解能力卷2理20空间位置关系判定、空间角的计算间线面平行与垂直的证明，线面角的计算卷3理19二面角、点与平面位置关系点在平面的证明，利用空间向量法求二面角探求规律考点82空间异面直线所成角的计算1．(2018•新课标Ⅱ，理9)在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为()A ．15B ．56C．55D．222．(2018•新课标Ⅱ，文9)在正方体1111ABCD AB C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为()A B C ．D3.(2017•新课标Ⅱ，理10)已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为()A B C ．D 4．(2016•新课标Ⅰ，理11文11)平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，α⋂平面ABCD m =，α⋂平面11ABB A n =，则m 、n 所成角的正弦值为()A ．32B ．22C ．33D ．135．(2014新课标Ⅱ，理11)直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为()A ．110B ．25C 3010D 226．(2020全国Ⅰ理16)如图，在三棱锥P ABC-的平面展开图中，1,3,,,30AC AB AD AB AC AB AD CAE ===⊥⊥∠=︒，则cos FCB ∠=_____________．7．(2017•新课标Ⅲ，理16)a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角；②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒；④直线AB 与a 所成角的最小值为60︒；其中正确的是．(填写所有正确结论的编号)8．(2015浙江)如图，三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是．9．(2015四川)如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ上，,E F 分别为,AB BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则θcos 的最大值为_________．10．(2015•新课标Ⅰ，理18)如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，2BE DF =，AE EC ⊥．(Ⅰ)证明：平面AEC ⊥平面AFC(Ⅱ)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．考点83空间线面角的计算1．(2020山东4)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为()A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒2．(2018•新课标Ⅰ，文10)在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为()A ．8B ．62C ．82D ．833．(2014浙江)如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)．若15AB m =，25AC m =，30BCM ∠=︒则tan θ的最大值A 305B 3010C 439D 5394．(2014四川)如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A ．3,1]3B ．63C ．622,33D ．22[,1]35．(2020全国Ⅱ理20)如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．(1)证明：1AA //MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；(2)设O 为△111C B A 的中心，若F C EB AO 11平面∥，且AB AO =，求直线E B 1与平面AMN A 1所成角的正弦值．6．(2018•新课标Ⅱ，理20)如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．7．(2016•新课标Ⅲ，理19)如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．(1)证明：//MN 平面PAB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．8．(2013新课标Ⅰ，理18)如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=A A 1，∠BA A 1=60°．(Ⅰ)证明AB ⊥A 1C ；(Ⅱ)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB=CB=2，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．9．(2018浙江)如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．(1)证明：1AB ⊥平面111A B C ；(2)求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．10．(2017浙江)如图，已知四棱锥P ABCD -，PAD ∆是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC AD ∥，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点．(Ⅰ)证明：CE ∥平面PAB ；(Ⅱ)求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．11．(2014天津)如图四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，BA BD ==2AD =，PA PD ==，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．(Ⅰ)证明：EF ∥平面PAB ；(Ⅱ)若二面角P AD B --为60°，(ⅰ)证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；(ⅱ)求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．12．(2013浙江)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，2AB BC ==，AD CD ==，PA =，120ABC ∠= ，G 为线段PC 上的点．(Ⅰ)证明：BD ⊥面APC ；(Ⅱ)若G 是PC 的中点，求DG 与APC 所成的角的正切值；(Ⅲ)若G 满足PC ⊥面BGD ，求PGGC的值．13．(2019浙江19)如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点．(1)证明：EF BC ⊥；(2)求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值．14．(2018天津)如图，AD BC ∥且2AD BC =，AD CD ⊥，EG AD ∥且EG AD =，CD FG ∥且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===．(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ；(2)求二面角E BC F --的正弦值；(3)若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60 ，求线段DP 的长．15．(2018江苏)如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，点P ，Q 分别为11A B ，BC 的中点．(1)求异面直线BP 与1AC 所成角的余弦值；(2)求直线1CC 与平面1AQC 所成角的正弦值．16．(2017天津)如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒．点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =．(Ⅰ)求证：MN ∥平面BDE ；(Ⅱ)求二面角C EM N --的正弦值；(Ⅲ)已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长．17．(2017北京)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD //平面MAC ，PA PD ==，4AB =．(Ⅰ)求证：M 为PB 的中点；(Ⅱ)求二面角B PD A --的大小；(Ⅲ)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．18．(2014福建)在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BD CD BD ⊥⊥，将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图．(Ⅰ)求证：AB ⊥CD ；(Ⅱ)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．19．(2013天津)如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB DC ∥，AB AD ⊥，1AD CD ==，12AA AB ==，E 为棱1AA 的中点．(Ⅰ)证明11B C CE ⊥；(Ⅱ)求二面角11B CE C --的正弦值；(Ⅲ)设点M 在线段1C E 上；且直线AM 与平面11ADD A 所成角的正弦值为26，求线段AM 的长．考点84二面角的计算1．(2018浙江)已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点(不含端点)，设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则A ．123θθθ≤≤B ．321θθθ≤≤C ．132θθθ≤≤D ．231θθθ≤≤2．(2017浙江)如图，已知正四面体D ABC -(所有棱长均相等的三棱锥)，P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP PB =，2BQ CR QC RA==，分别记二面角D PR Q --，D PQ R --，D QR P --的平面角为α，β，γ，则A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α3．如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成△A CD '，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则()A ．A DB α∠' B ．A DB α∠'C ．A CB α∠'D ．A CB α∠' 4．(2020全国Ⅰ理18)如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC ∆是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，66PO =．(1)证明：PA ⊥平面PBC ；(2)求二面角B PC E --的余弦值．5．(2020全国Ⅲ理19)如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且112,2DE ED BF FB ==．(1)证明：点1C 在平面AEF 内；(2)证明：若12,1,3AB AD AA ===时，求二面角1A EF A--的正弦值．6．(2020江苏24)在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD 5，BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．(1)求直线AB 与DE 所成角的余弦值；(2)若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．7．(2020浙江19)如图，三棱台DEF —ABC 中，面ADFC ⊥面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC ．(I)证明：EF ⊥DB ；(II)求DF 与面DBC 所成角的正弦值．8．(2020天津17)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．(Ⅰ)求证：11C M B D ⊥；(Ⅱ)求二面角1B B E D --的正弦值；(Ⅲ)求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．9．(2020山东20)如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．(1)证明：l ⊥平面PDC ；(2)已知1PD AD ==，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．10．(2019•新课标Ⅰ，理18)如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=︒，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点．(1)证明：//MN 平面1C DE ；(2)求二面角1A MA N --的正弦值．11．(2019•新课标Ⅱ，理17)如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1BE EC ⊥．(1)证明：BE ⊥平面11EB C ；(2)若1AE A E =，求二面角1B EC C --的正弦值．12．(2018•新课标Ⅲ，理19)如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧 CD所在平面垂直，M 是 CD上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．13．(2017•新课标Ⅰ，理18)如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠=︒．(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，求二面角A PB C --的余弦值．14．(2017•新课标Ⅱ，理19)如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒，E 是PD 的中点．(1)证明：直线//CE 平面PAB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45︒，求二面角M AB D --的余弦值．15．(2017•新课标Ⅲ，理19)如图，四面体ABCD 中，ABC ∆是正三角形，ACD ∆是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB BD =．(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D AE C --的余弦值．16．(2016•新课标Ⅰ，理18)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，2AF FD =，90AFD ∠=︒，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60︒．(Ⅰ)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；(Ⅱ)求二面角E BC A --的余弦值．17．(2014新课标Ⅰ，理19)如图三棱锥111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥．(Ⅰ)证明：1AC AB =；(Ⅱ)若1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，AB=BC ，求二面角111A A B C --的余弦值．18．(2014新课标Ⅱ，理18)如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(Ⅰ)证明：PB ∥平面AEC ；(Ⅱ)设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD 的体积．19．(2013新课标Ⅱ，理18)如图直棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为AB ，1BB 的中点，1AA =AC=CB=22AB ．(Ⅰ)证明：1BC ∥平面1A CD ；(Ⅱ)求二面角D-1A C E -的正弦值．20．(2012•新课标，理19)如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥(1)证明：1DC BC ⊥；(2)求二面角11A BD C --的大小．21．(2011•新课标，理18)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，DAB ∠=060，AB =2AD ，PD ⊥底面ABCD ．(Ⅰ)证明：PA BD ⊥；(Ⅱ)若PD =AD ，求二面角A PB C --的余弦值．22．(2011广东)如图在椎体P ABCD -中，ABCD 是边长为1的棱形，且DAB ∠=60︒，2PA PD ==2PB =，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．(Ⅰ)证明：AD ⊥平面DEF ；(Ⅱ)求二面角P AD B --的余弦值．23．(2019天津理17)如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====．(Ⅰ)求证：BF ∥平面ADE ；(Ⅱ)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；(Ⅲ)若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长．24．(2018北京)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，11A C ，1BB 的中点，5AB BC ==，12AC AA ==．(1)求证：AC ⊥平面BEF ；(2)求二面角1B CD C --的余弦值；(3)证明：直线FG 与平面BCD 相交．25．(2016年山东)在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线．(I)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；(II)已知EF =FB =12AC =23，AB BC =．求二面角F BC A --的余弦值．26．(2016年天津)如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，2AB BE ==．(Ⅰ)求证：EG ∥平面ADF ；(Ⅱ)求二面角O EF C --的正弦值；(Ⅲ)设H 为线段AF 上的点，且AH =23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值．27．(2015福建)如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ^平面BEG ，BE ^EC ，2AB BE EC ===，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点．(Ⅰ)求证：GF ∥平面ADE ；(Ⅱ)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值．28．(2015山东)如图，在三棱台DEF ABC -中，2AB DE =，,G H 分别为,AC BC 的中点．(Ⅰ)求证：BC //平面FGH ；(Ⅱ)若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF =DE ，∠BAC =45 ，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小．29．(2014山东)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60,DAB ∠= 22AB CD ==，M 是线段AB 的中点．(Ⅰ)求证：111//C M A ADD 平面；(Ⅱ)若1CD 垂直于平面ABCD 且1=3CD ，求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值．30．(2014辽宁)如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 分别为AC 、DC 的中点．(Ⅰ)求证：EF BC ⊥；(Ⅱ)求二面角E BF C --的正弦值．31．(2014浙江)如图，在四棱锥BCDE A -中，平面⊥ABC 平面BCDE ，90CDE BED ∠=∠= ，2AB CD ==，1DE BE ==，2AC =．(Ⅰ)证明：⊥DE 平面ACD ；(Ⅱ)求二面角E AD B --的大小．32．(2014广东)如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，030DPC ∠=，AF PC ⊥于点F ，//FE CD ，交PD 于点E ．(Ⅰ)证明：CF ADF⊥平面(Ⅱ)求二面角D AF E --的余弦值．33．(2014湖南)如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等，AC BD O = ，11111A C B D O = ，四边形1111ACC A BDD B 和四边形均为矩形．(1)证明：1;O O ABCD ⊥底面(2)若1160,CBA C OB D ∠=--求二面角的余弦值．34．(2013陕西)如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1AO ⊥平面ABCD ，12AB AA ==．(Ⅰ)证明：1AC ⊥平面11BB D D ；(Ⅱ)求平面1OCB 与平面11BB D D 的夹角θ的大小．35．(2012浙江)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为23的菱形，120BAD ∠=︒，且PA ⊥平面ABCD ，26PA =，M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(Ⅰ)证明：//MN 平面ABCD ；(Ⅱ)过点A 作AQ PC ⊥，垂足为点Q ，求二面角A MN Q --的平面角的余弦值．36．(2017山东)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是 DF的中点．(Ⅰ)设P 是 CE上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小；(Ⅱ)当3AB =，2AD =，求二面角E AG C --的大小．考点85解答题中折叠问题与探索性问题1．(2019•新课标Ⅲ，理19)图1是由矩形ADEB 、Rt ABC ∆和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1AB =，2BE BF ==，60FBC ∠=︒．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．(1)证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；(2)求图2中的二面角B CG A --的大小．2．(2018•新课标Ⅰ，理18)如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把DFC ∆折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥．(1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；(2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．3．(2018•新课标Ⅲ，文19)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧 CD所在平面垂直，M 是 CD 上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得//MC 平面PBD ？说明理由．4．(2016•新课标Ⅱ，理19)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，54AE CF ==，EF 交于BD 于点H ，将DEF ∆沿EF 折到△D EF '的位置，10OD '=．(Ⅰ)证明：D H '⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求二面角B D A C -'-的正弦值．5．(2019北京理16)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，AD CD ⊥，AD BC P ，23PA AD CD BC ====，．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =．(Ⅰ)求证：CD PAD ⊥平面；(Ⅱ)求二面角F AE P --的余弦值；(Ⅲ)设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．6．(2016年北京)如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==．(1)求证：PD ⊥平面PAB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(3)在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AM AP 的值；若不存在，说明理由．7．(2015陕西)如图1，在直角梯形ΑΒCD 中，//ΑD ΒC ，2ΒΑD π∠=，1ΑΒΒC ==，2ΑD =，Ε是ΑD的中点，O 是AC 与BE 的交点．将ΑΒΕ∆沿BE 折起到1A BE ∆的位置，如图2．(Ⅰ)证明：CD ⊥平面1AOC ；(Ⅱ)若平面1A BE ⊥平面BCDE ，求平面1A BC 与平面1ACD 夹角的余弦值．8．(2013广东)如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，6BC =，,D E 分别是,AC AB上的点，CD BE =，O 为BC 的中点．将ADE ∆沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，其中A O '=．(Ⅰ)证明：A O '⊥平面BCDE ；(Ⅱ)求二面角A CD B '--的平面角的余弦值．9．(2013湖北)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点．(Ⅰ)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；(Ⅱ)设(I)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP = ．记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=．10．(2012福建)如图，在长方体1111ABCD A B C D -中11AA AD ==，E 为CD 中点．(Ⅰ)求证：11B E AD ⊥；(Ⅱ)在棱1AA 上是否存在一点P ，使得DP ∥平面1B AE ？若存在，求AP 的行；若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．(Ⅲ)若二面角11A B E A --的大小为30°，求AB 的长．。
2015年福建高考数学含答案(word版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数 学（理工类） 第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、若集合{}234,,,A i i i i = （i 是虚数单位），{}1,1B =- ，则AB 等于A.{}1-B.{}1C.{}1,1-D.φ 2、下列函数为奇函数的是 A.y x =B.sin y x =C.cos y x =D.x x y e e -=-3、若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于A.11B.9C.5D.34、为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x （万元） 8.28.610.011.311.9支出y （万元）6.27.58.08.59.8根据上表可得回归本线方程ˆˆˆybx a =+ ，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元5、若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =- 的最小值等于A.52-B.2-C.32- D.2 6、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为 A.2 B.1 C.0 D.1-7、若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α ，则“l m ⊥ ”是“//l α ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8、若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于 A.6 B.7 C.8 D.99、已知1,,AB AC AB AC t t⊥== ，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4A B A C AP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于 A.13 B.15 C.19 D.2110、若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是 A.11f k k ⎛⎫< ⎪⎝⎭ B.111f k k ⎛⎫>⎪-⎝⎭ C.1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D. 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11、()52x + 的展开式中，2x 的系数等于 .（用数字作答）12、若锐角ABC ∆ 的面积为103 ，且5,8AB AC == ，则BC 等于 .13、如图，点A 的坐标为()1,0 ，点C 的坐标为()2,4 ，函数()2f x x = ，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 .14、若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a > 且1a ≠ ）的值域是[)4,+∞ ，则实数a 的取值范围是 .15、一个二元码是由0和1组成的数字串()*12n x x x n N ∈ ，其中()1,2,,k x k n =称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码127x x x 的码元满足如下校验方程组：4567236713570,0,0,x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩其中运算⊕ 定义为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕= .现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于 .16.某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望.17.如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ^平面BEG ，BE ^EC ，AB=BE=EC=2，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点.(1)求证：GF 平面ADE (2)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值.18. 已知椭圆E ：22221(a 0)x y b a b +=>>过点(0,2），且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程； (2)设直线1x my m R =- ，()交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G 9(4-,0) 与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.19.已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2p个单位长度.(1)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b 1)求实数m 的取值范围；2)证明：22cos ) 1.5m a b -=-(20.已知函数f()ln(1)x x =+，(),(k ),g x kx R = (1)证明：当0x x x ><时，f()；(2)证明：当1k <时，存在00x >,使得对0(0),x x Î任意，恒有f()()x g x >；(3)确定k 的所以可能取值，使得存在0t >，对任意的(0),x Î，t 恒有2|f()()|x g x x -<.21.本题设有三个选考题，请考生任选2题作答. 选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵2111,.4301A B 骣骣琪琪==琪琪-桫桫(1)求A 的逆矩阵1A -； (2)求矩阵C ，使得AC=B.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos (t )23sin x ty tì=+ïí=-+ïî为参数.在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为2sin()m,(m R).4pr q -= (1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值.选修4-5：不等式选讲已知函数()||||f x x a x b c =++++的最小值为4.(1)求a b c ++的值; (2)求2221149a b c ++的最小值为.数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分。
三年高考(2015-2017)高考数学试题解析13数列小题理
专题13数列小题1。
【2017课标1,理4】记nS 为等差数列{}na 的前项和．若4524a a +=，648S =,则{}na 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8 【答案】C 【解析】试题分析：设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S ad a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =,故选C.秒杀解析：因为166346()3()482a a S a a +==+=，即3416aa +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C 。
【考点】等差数列的基本量求解【名师点睛】求解等差数列基本量问题时,要多多使用等差数列的性质，如{}na 为等差数列，若m np q +=+，则mnpqa a a a +=+。
2。
【2017课标3，理9】等差数列{}na 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}na 前6项的和为A ．24-B ．3-C ．3D ．8 【答案】A 【解析】故选A 。
【考点】等差数列求和公式；等差数列基本量的计算【名师点睛】（1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1,a n ,d ，n ,S n ，知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.(2）数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.3。
【2017课标II,理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一,请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B【解析】试题分析:设塔的顶层共有灯x盏,则各层的灯数构成一个首项为x，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：()712381 12x⨯-=-，解得3x=，即塔的顶层共有灯3盏，故选B。
2010-2019十年高考数学(文)真题专题5平面向量第13讲平面向量的概念与运算分类汇编
专题五平面向量第十三讲平面向量的概念与运算一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EBA ．3144AB AC B ．1344AB AC C ．3144ABACD ．1344ABAC2．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1a ，1a b，则(2)a ab A ．4B ．3C ．2D ．03．(2018天津)在如图的平面图形中，已知1OM ，2ON ，120MON ，2BM MA ，2CN NA ，则·BC OM 的值为A ．15B ．9C ．6D ．04．（2017新课标Ⅱ）设非零向量a ，b 满足||||ab ab 则A ．a b B ．||||a b C ．∥a bD ．||||a b 5．（2017北京）设m , n 为非零向量，则“存在负数，使得m n ”是“0m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2016年天津）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F，使得EF DE 2，则AF BC的值为A ．85B ．81C ．41D ．811NMOCBA7．（2016全国III 卷）已知向量,则A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°8．(2015重庆)已知非零向量,a b 满足||=4||b a ，且(+)2aa b ，则a 与b 的夹角为A ．3B ．2C ．23D ．569．（2015陕西）对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是A ．||||||≤a b a bB ．||||||||≤ab a b C ．22()||ab a b D ．22()()a b ab ab10．（2015新课标2）向量(1,1)a，(1,2)b ，则(2)a b aA ．B ．C ．D ．11．（2014新课标1）设FE D ,,分别为ABC 的三边AB CA BC ,,的中点，则FCEB A ．ADB ．AD21C ．BC21D ．BC12．（2014新课标2）设向量a ,b 满足|+|=10a b ，||=6ab ，则a bA ．1B ．2C ．3D ．513．(2014山东) 已知向量(1,3),(3,)m ab . 若向量,a b 的夹角为6，则实数mA ．23B ．3C ．0D ．314．（2014安徽）设,a b 为非零向量，2ba ，两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344x y x y x y x y 所有可能取值中的最小值为24a ，则a 与b 的夹角为A ．23B ．3C ．6D ．015．（2014福建）在下列向量组中，可以把向量3,2a表示出来的是A ．12(0,0),(1,2)e e B ．12(1,2),(5,2)e e 13(,)22BAuu v31(,),22BCuu u v ABC112C ．12(3,5),(6,10)e e D ．12(2,3),(2,3)e e 16．（2014浙江）设为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，||t b a 是最小值为1 A ．若确定，则||a 唯一确定B ．若确定，则||b 唯一确定C ．若||a 确定，则唯一确定D ．若||b 确定，则唯一确定17．(2014重庆)已知向量(,3)k a ,(1,4)b ,(2,1)c ,且(23)ab c ,则实数kA ．92B ．0C ．3D ．15218．（2013福建）在四边形中，,则该四边形的面积为A ．B ．C ．5D ．1019．（2013浙江）设ABC ，0P 是边上一定点，满足014PB AB ，且对于边上任一点，恒有00PB PC P B PC ≥．则A ．B ．C ．D ．20．（2013辽宁）已知点(1,3)A ，(4,1)B ，则与向量AB 同方向的单位向量为A ．B ．C ．D ．21．（2013湖北）已知点、、、，则向量在方向上的投影为A ．B ．C ．D ．22．（2013湖南）已知,a b 是单位向量，0a b =．若向量c 满足1c a b，则c 的最大值为A ．B ．C ．D ．23．（2013重庆）在平面上，，,.若，则的取值范围是ABCD )2,4(),2,1(BDAC552AB AB P 090ABC 090BAC ACAB BCAC 3455，-4355，-3455，4355，(1,1)A (1,2)B (2,1)C (3,4)D AB CD 32231523223152212212212AB AB 121OB OB 12AP AB AB 12OPOAA 、B 、C 、D 、24．（2013广东）设a 是已知的平面向量且0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数和，使ab c ；③给定单位向量b 和正数，总存在单位向量c 和实数，使ab c ；④给定正数和，总存在单位向量b 和单位向量c ，使abc ；上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．425．（2012陕西）设向量a =（1,）与b =（1,2）垂直，则等于A ．B ．C ．0D ．－126．（2012浙江）设a ，b 是两个非零向量A ．若||||||a b a b ，则abB ．若a b ，则||||||ab a b C ．若||||||a b a b ，则存在实数，使得b aD ．若存在实数，使得b a ，则||||||a b a b 27．（2011广东）已知向量a =（1,2），b =（1,0），c =（3,4）．若为实数，()∥a b c ，则=A ．14B ．12C ．1D ．228．（2011辽宁）已知向量(2,1)a ，(1,)k b，(2)0a a b ，则kA ．12B ．6C ．6D ．1229．（2010辽宁）平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA=a ，OB b ，则△OAB 的面积等于A ．222|||()|a b a b B ．222|||()|a b a b 50,257,225,227,22cos cos cos22212C ．2221|||()2|a b a b D ．2221|||()2|a b a b 30．（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(,)m n a ，(,)p q b ，令mq np ab ，下面说法错误的是A ．若a 与b 共线，则0a b B ．a b b aC ．对任意的R ，有()()a ba b D ．2222()()||||a b a b a b 二、填空题31．(2018全国卷Ⅲ)已知向量(1,2)a，(2,2)b ，(1,)c．若2c a b ，则_．32．(2018北京)设向量(1,0)a，(1,)m b ，若()m aa b ，则m =_______．33．（2017新课标Ⅰ）已知向量(1,2)a ，(,1)m b ．若向量a b 与a 垂直，则m =__．34．（2017新课标Ⅲ）已知向量(2,3)a，(3,)m b，且ab ，则m =．35．（2017天津）在△ABC 中，60A ，AB=3，AC=2．若2B DD C ，AEACAB（R ），且4AD AE，则的值为．36．（2017山东）已知向量(2,6)a ，(1,)b ，若a ∥b ，则．37．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA与OC 的夹角为，且tan 7，OB 与OC 的夹角为45。
高考数学专题4_2 三角恒等变换试题 文(含解析)
专题4.2 三角恒等变换试题 文【三年高考】1. 【2016高考天津文数】已知函数)0(21sin 212sin)(2>-+=ωωωx xx f ，R x ∈.若)(x f 在区间)2,(ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ）（A ）]81,0( （B ）)1,85[]41,0( （C ）]85,0( （D ）]85,41[]81,0(【答案】D2.[2016高考新课标Ⅲ文数]若tan 13θ= ，则cos 2θ=（ ） （A ）45-（B ）15- （C ）15 （D ）45【答案】D【解析】2222222211()cos sin 1tan 43cos 21cos sin 1tan 51()3θθθθθθθ---====+++． 3. 【2016高考浙江文数】已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______，b =______．1．【解析】22cos sin21cos2sin2)14x x x x x π+=++++，所以 1.A b =4. 【2016高考新课标1文数】已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ–π4)=. 【答案】43-5. 【2016高考山东文数】设2()π)sin (sin cos )f x x x x x =--- . （I ）求()f x 得单调递增区间；（II ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图象，求π()6g 的值. 【解析】（I ）由()()()2sin sin cos f x x x x x π=---()212sin cos x x x =--)1cos 2sin 21x x =-+-sin 21x x =2sin 21,3x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭由()222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得()5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以，()f x 的单调递增区间是()5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（或()5(,)1212k k k Z ππππ-+∈）（∏）由（I ）知()f x 2s i n 23x π⎛⎫=-⎪⎝⎭把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y =2sin 13x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，再把得到的图象向左平移3π个单位，得到y 2sin 1x =的图象，即()2sin 1.g x x =所以 2sin 166g ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭6. 【2015高考福建，文6】若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512- 【答案】D7.【2015高考重庆，文6】若11tan ,tan()32a ab =+=,则tan =b （ ） (A) 17 (B) 16 (C) 57 (D) 56【答案】A【解析】11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯，故选A.8.【2015高考上海，文17】已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）. A.233 B. 235 C. 211 D. 213【答案】D【解析】设直线OA 的倾斜角为α，)0,0)(,(>>n m n m B ，则直线OB 的倾斜角为απ+3，因为)1,34(A ，所以341tan =α，m n =+)3tan(απ，3313341313413=⋅-+=mn，即2216927n m =， 因为491)34(2222=+=+n m ，所以491692722=+n n ，所以213=n 或213-=n （舍去），所以点B 的纵坐标为213. 9.【2015高考广东，文16】已知tan 2α=． （1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．10. 【2014高考全国2卷文第14题】 函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________． 【答案】1【解析】由已知得，()sin cos cos sin 2cos sin f x x x x ϕϕϕ=+-sin cos cos sin x x ϕϕ=-sin()x ϕ=-1≤，故函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为1．11. 【2014高考陕西卷文第13题】 设20πθ<<，向量)cos ,1(),cos ,2(sin θθθ-==b a ，若0=⋅，则=θtan ______. 【答案】1212. 【2014高考江西文第16题】已知函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数，且04=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，其中()πθ，，0∈∈R a . （1）求θ，a 的值； （2）若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=⎪⎭⎫⎝⎛ππαα，，2524f ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin πα的值.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题,三角函数的化简、求值及最值问题，是每年高考必考的知识点之一，题型一般是选择和填空的形式，大题往往结合三角函数图像与性质，解三角形，主要考查同角三角函数的基本关系式，三角函数的诱导公式，和、差、倍、半、和积互化公式在求三角函数值时的应用，考查利用三角公式进行恒等变形的技能，以及基本运算的能力，特别突出算理方法的考查．【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出，三角恒等变换是研究三角函数的图象与性质，解三角形的基础，在高考中单独命题的情况很少，大多数省份对于三角恒等变换的考查，是结合三角函数的图象与性质，解三角形进行命题，由此可见，高考加大了对三角恒等变换的考查力度，高考命题考查的重点是诱导公式公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式．预测在2017年的高考试卷中，三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求值，与三角函图象与性质结合，或与解三角形结合，解决简单的综合问题，在填空题和选择题中出现，主要考查"三基"(基础知识、基本技能、基本思想和方法)以及综合能力，难度多为容易题和中档题.故在2017年复习备考过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质.以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识.这部分常常以选择题和填空题的形式出现，有时也以大题的形式出现，因此能否掌握好本重点内容，在一定的程度上制约着在高考中成功与否.在2017年复习备考过程中既要注重以下几点：1．两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点：（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；（2）善于拆角、拼角，如()ββαα-+=，()()()αβαβαβαβαα++=+-++=22，等； （3）注意倍角的相对性 （4）要时时注意角的范围（5）化简要求：熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等. 2．证明三角等式的思路和方法.（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式.（2）证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等. 3．解答三角高考题的策略.（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”. （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系. （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化. 4．加强三角函数应用意识的训练由于考生对三角函数的概念认识肤浅，不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间建立联系，造成思维障碍，思路受阻.实际上，三角函数是以角为自变量的函数，也是以实数为自变量的函数，它产生于生产实践，是客观实际的抽象，同时又广泛地应用于客观实际，故应培养实践第一的观点.总之，三角部分的考查保持了内容稳定，难度稳定，题量稳定，题型稳定，考查的重点是三角函数的概念、性质和图象，三角函数的求值问题以及三角变换的方法. 5．变为主线、抓好训练变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换，三角函数名的变换，三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化变意识是关键，但题目不可太难，较特殊技巧的题目不做，立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律. 针对高考中题目看，还要强化变角训练，经常注意收集角间关系的观察分析方法.另外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要加强，这也是高考的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目.[易错提示] 三角函数求值中要特别注意角的范围，如根据21cos 2sin 2αα-=求sin α的值时，sin α=α的范围使得sin 0α≥时，取正号，反之取负号．注意在运用同角三角函数关系时也有类似问题．【2017年高考考点定位】高考对本部分内容的考查主要以小题的形式出现，即利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系及和、差、倍、半、和积互化公式进行求值、变形，求参数的值,求值域，而大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系及和、差、倍、半、和积互化公式的应用等，在这类问题的求解中，常常使用的方法技巧是“平方法”，“齐次化切”等． 【考点1】利用诱导公式恒等变换 【备考知识梳理】诱导公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二： sin(180)α+= sin α-； cos(180)α+=- cos α诱导公式三： sin()sin αα-=-； cos()cos αα-=诱导公式四：sin(180)sin αα-= ； cos(180)cos αα-=-诱导公式五：sin(360)sin αα-=- ； cos(360)cos αα-= 公式六：sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 公式七：sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭公式八：3sin cos 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 公式九：3sin cos 2παα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，3cos sin 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭诱导公式口诀：纵变横不变，符号看象限用诱导公式化简，一般先把角化成,2k k z πα+∈的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是纵轴（即y 轴）上的角，就是 “纵”，是横轴（即x 轴）上的角，就是“横”；符号看象限是，把α看作是锐角，判断角2k πα+在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”，就加在前面）. 用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间0(0,360)的角，再变到区间0(0,180)的角，再变到区间00(0,90)的角计算. 【规律方法技巧】 1. 利用诱导公式求值：i.给角求值的原则和步骤：(1)原则：负化正、大化小、化到锐角为终了.(2)步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为02π:之间角的三角函数，然后求值，其步骤为：ii.给值求值的原则:寻求所求角与已知角之间的联系，通过相加或相减建立联系，若出现2π的倍数，则通过诱导公式建立两者之间的联系,然后求解. 常见的互余与互补关系 (1)常见的互余关系有：3πα+与6πα-；3πα-与6πα+；4πα+与4πα-等.(2)常见的互补关系有：3πα+ 与23πα-;4πα+与34πα-等.遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换的思想方法解决问题. 2. 利用诱导公式化简、证明i.利用诱导公式化简三角函数的原则和要求(1)原则：遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少.(2)要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.ii.证明三角恒等式的主要思路(1)由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简.(2)左右归一法：使两端化异为同，把左右式都化为第三个式子. (3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形，再证明.提醒：由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如()()cos 5cos cos παπαα-=-=-. 【考点针对训练】1. 【2016届淮南市高三第二次模拟】已知sin()2sin()2ππαα-=-+，则tan α的值为（ ）A ．12 B ． 2 C ．12- D ．-2 【答案】D2. 【2016届河南省洛阳市一中高三下学期第二次模拟】已知sin()sin 032ππααα++=-<<，则2cos()3πα+等于（ ） A.45- B.35- C. 45 D. 35【答案】C【考点2】利用同角三角函数关系式恒等变换 【备考知识梳理】同角三角函数的基本关系式： （1）sin tan cos ααα=，（2）22sin cos 1αα+=． 【规律方法技巧】1.正、余弦三兄妹“sin cos x x ±、sin cos x x ⋅”的应用sin cos x x ±与sin cos x x ⋅通过平方关系联系到一起，即2(sin cos )12sin cos x x x x ±=±，2(sin cos )1sin cos ,2x x x x +-=21(sin cos )sin cos .2x x x x --=因此在解题中若发现题设条件有三者之一，就可以利用上述关系求出或转化为另外两个.sin cos αα、的求值技巧：当已知sin 4πα⎛⎫± ⎪⎝⎭，cos 4πα⎛⎫± ⎪⎝⎭时，利用和、差角的三角函数公式展开后都含有sin cos x x +或sin cos αα-，这两个公式中的其中一个平方后即可求出2sin cos αα，根据同角三角函数的平方关系，即可求出另外一个，这两个联立即可求出sin cos αα、的值．或者把sin cos αα+、sin cos αα-与22sin cos αα+=1联立，通过解方程组的方法也可以求出sin cos αα、的值． 2.如何利用“切弦互化”技巧（1）弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式，这样减少了变量，统一为“切”得表达式，进行求值. 常见的结构有:①sin ,cos αα的二次齐次式（如22sin sin cos cos a b c αααα++）的问题常采用“1”代换法求解；②sin ,cos αα的齐次分式（如sin cos sin cos a b c d αααα++）的问题常采用分式的基本性质进行变形．（2）切化弦：利用公式tan α=sin cos αα，把式子中的切化成弦.一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧.温馨提示：（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解.（2）利用平方关系求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“±”号. 【考点针对训练】1. 【2016届湖南省常德一中高三第十一次月考】已知,sin 2cos R ααα∈+=，则tan 2α=（ ） A ．43B ．34C ．34-D ．43- 【答案】 C2. 【2016年安徽淮南高三二模】已知()1sin cos ,0,2αααπ+=∈，则1tan 1tan αα-=+（ ） A． B．【答案】A【解析】21(sin cos )4αα+=，3sin cos 8αα=-，所以cos 0,sin 0αα<>，27(cos sin )12sin cos 4αααα-=-=，cos sin 2αα-=-，所以1tan cos sin 211tan cos sin 2αααααα--===++A ． 【考点3】利用和、差、倍、半、和积互化公式恒等变换 【备考知识梳理】 1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan ααα=-.3．降幂公式ααα2sin 21cos sin =；21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=.4.辅助角公式()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，sin cos ϕϕ==其中5.有关公式的逆用、变形等()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±=±mααα2sin 21cos sin =；21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-= ()()cos cos sin sin cos αββαββα+++=,()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+=+--,()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+++=+,sin cos 4πααα⎛⎫±=± ⎪⎝⎭,21sin 212sin cos (sin cos )x x x x x ±=±=±,，αααsin 22sin cos =【规律方法技巧】1.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路与基本的技巧基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心.第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点. 基本的技巧有:（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等.(2)三角函数名互化：切割化弦，弦的齐次结构化成切. (3)公式变形使用：如()()cos cos sin sin cos αββαββα+++=,()()tan 1tan tan tan tan αβαβαβ+-=+()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+=+--,()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+++=+,sin cos 4πααα⎛⎫±=± ⎪⎝⎭,21sin 212sin cos (sin cos )x x x x x ±=±=±等(4)三角函数次数的降升：降幂公式与升幂公式:ααα2sin 21cos sin =；21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=. (5)式子结构的转化.(6)常值变换主要指“1”的变换：221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=⋅tan sin 42ππ===等.（7）辅助角公式：()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a b 、的符号确定，θ的值由tan baθ=确定.在求最值、化简时起着重要作用,这里只要掌握辅助角θ为特殊角的情况即可.如sin cos ),sin 2sin(cos 2sin()436x x x x x x x x x πππ±=±±=±±=±等.2.题型与方法:题型一,利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-，()()()=--+=+--+=βαββαβαβαβαβ2222，，()ββα+-2，()()()ααβββαβαβαβα=-+=+-=--+，，等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角，给值求角的本质还是给值求值，即欲求某角，也要先求该角的某一三角函数值．由于三角函数的多值性，故要对角的范围进行讨论，确定并求出限定范围内的角．要仔细观察分析所求角与已知条件的关系，灵活使用角的变换，如α＝(α＋β)－β，α＝α＋β2＋α－β2等题型二，三角函数式的化简与证明 三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等.（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数 三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明. 题型三. 辅助角公式函数()sin cos fa b ααα=+(,a b 为常数)，可以化为()()f ααϕ=+或()()f ααϕ=-，其中ϕ可由,a b 的值唯一确定．【考点针对训练】1. 【2016年江西师大附中高三上学期期末】已知11sin(),sin()23αβαβ+=-=,那么5tan log tan αβ的值是． 【答案】12. 【2016届高三江西师大附中、鹰潭一中联考】已知θθθθcos sin 1cos sin 1-+++＝21，则tan θ＝( ) A ．34B ．43C ．43-D ．34- 【答案】D【应试技巧点拨】1.利用诱导公式化简三角函数的原则和要求(1)原则：遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少.(2)要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.2. 利用诱导公式证明三角恒等式的主要思路 (1)由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简.(2)左右归一法：使两端化异为同，把左右式都化为第三个式子. (3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形，再证明.提醒：由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如()()cos 5cos cos παπαα-=-=-. 3.正、余弦三兄妹“sin cos x x ±、sin cos x x ⋅”的应用sin cos x x ±与sin cos x x ⋅通过平方关系联系到一起，即2(sin cos )12sin cos x x x x ±=±，2(sin cos )1sin cos ,2x x x x +-=21(sin cos )sin cos .2x x x x --=因此在解题中若发现题设条件有三者之一，就可以利用上述关系求出或转化为另外两个. 4.如何利用“切弦互化”技巧（1）弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式，这样减少了变量，统一为“切”得表达式，进行求值. 常见的结构有:①sin ,cos αα的二次齐次式（如22sin sin cos cos a b c αααα++）的问题常采用“1”代换法求解；②sin ,cos αα的齐次分式（如sin cos sin cos a b c d αααα++）的问题常采用分式的基本性质进行变形．（2）切化弦：利用公式tan α=sin cos αα，把式子中的切化成弦.一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧.5.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心.第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有: （1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等.(2)三角函数名互化：切割化弦，弦的齐次结构化成切. (3)公式变形使用：如()()()()()()()()cos cos sin sin cos tan 1tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan .αββαββααβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++=+-=++=+--+++=+，，，(4)三角函数次数的降升：降幂公式与升幂公式. (5)式子结构的转化.(6)常值变换主要指“1”的变换：221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=⋅tan sin 42ππ===等.（7）辅助角公式：()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a b 、的符号确定，θ的值由tan baθ=确定.在求最值、化简时起着重要作用,这里只要掌握辅助角θ为特殊角的情况即可.如sin cos ),sin 2sin(cos 2sin()436x x x x x x x x x πππ±=±±=±±=±等.二年模拟1.【2016年湖南师大附中高三二模】设f (x )＝1＋cos 2x ＋sin 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＋a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3，则常数a＝（ ）A ．1B ．a ＝1或a ＝－5C ．a ＝－2或a ＝4D ．a ＝±7 【答案】B【解析】)4sin(sin 2cos 2)4sin(cos 2cos sin 2cos 2)(2ππ+++=+++=x a x x x a xx x x x f)4sin()2()4sin()4sin(2πππ++=+++=x a x a x ，则：32=+a ，∴1=a 或5-=a .故正确选项为B ．2.【2016届湖南省郴州市高三第四次教学质量检测】已知()20,,sin cos 324x x x πππ⎛⎫⎛⎫∈-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则tan x 等于 （ ） A ．12 B ．2- C．2D【答案】D3. 【2016届重庆一中高三5月模拟】计算sin 47cos17cos47cos107+ 的结果等于（ ）A. -12 D. 12 【答案】D【解析】sin 47cos17cos 47cos107︒︒︒︒+()sin 47cos17cos 47sin17sin 4717sin 30︒︒︒︒︒︒︒=-=-=12=，故选D. 4.【2016届海南省华侨中学高三考前模拟】2cos10sin 20sin 70-的值是（ ）A ．12 B ．2C 【答案】C【解析】2cos10sin 202cos(3020)sin 20sin 70sin 70---=== C.5.【2016届安徽省淮北一中高三最后一卷】若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，则sin 2α的值等于（ ） A ．45-B ．45C ．35-D ．35【答案】A6.【2016届海南省海南中学高考模拟十】若()tan lg 10,tan lg a a αβ==，且4παβ-=，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．110C ．1或 110D ．1或10 【答案】C【解析】()2tan tan lg10lg tan 11lg lg 01tan tan 1lg10lg a aa a a aαβαβαβ---=⇒==⇒+=-+，所以lg 0a =或lg 1a =-，即1a =或110,选C. 7.【2016届河南省郑州市高三第二次模拟】已知C B A ,,为ABC ∆的三个内角，向量26=，且)2cos ,2sin 2(CB C B -+=，若A 最大时，动点P的最大值是（ ） A ．332 B ．322 C ．42 D ．423 【答案】A.【解析】2m === ，∴222313cos2cos [0,1]cos 222424B C A A -=-∈⇒≤≤，又∵(0,)22A π∈，∴12cos 2262333A A A ππππ≤≤⇒≤≤⇒≤≤，故A 的最大值为23π，取到最大值时6B C π==，又∵||PB ，||BC ，||PC 成等差数列，∴2||||||BC PB PC =+，故P 点的轨迹是以B ，C为焦点的椭圆，8. 【2016届江苏省清江中学高三考前一周双练冲刺四】tan10tan 20tan150tan10tan 20++=.【答案】-【解析】因为()tan10tan 20tan 301tan10tan 20+=-，将其代入可得原式=tan 30-=-9.【2016届四川省成都七中高三下学第三次周练】已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--.（Ⅰ）若x 是某三角形的一个内角，且()2f x =-，求角x 的大小； （Ⅱ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值及取得最小值时x 的集合.【解析】（Ⅰ）2222()(cos sin )(cos sin )sin 2f x x x x x x =-+-cos 2sin 224x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭ ，由)42x π-=-，即1s i n (2)42x π-=，所以2246x k πππ-=+，k Z ∈，或52246x k πππ-=+，k Z ∈，解得524x k ππ=+，k Z ∈，或1324x k ππ=+，k Z ∈，因为0x π<<，所以524x π=，或1324x π=（Ⅱ）由（1）知())4f x x π=-，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()1f x ≤≤，所以当且仅当242x ππ-=，即38x π=时，()f x 取得最小值()f x 的最小值为x 的取值集合为38π⎧⎫⎨⎬⎩⎭.10. 【2016届山东省师大附中高三最后一模】已知函数()2sin cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调增区间； （Ⅱ）若()0002x x x f x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭为的一个零点，求0cos 2x 的值.11. 【2015届江苏省扬州市高三第四次调研测试】已知α为第三象限角，且tan 2α=，则sin 2α=． 【答案】45【解析】2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15ααααααα===++． 12.【浙江省杭州外国语学校2015届高三期中】已知=+=-=+)tan(,31)6tan(,21)6tan(βαπβπα则 【答案】1【解析】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+66tan tan πβπαβα⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6tan 6tan 16tan 6tan πβπαπβπα1312113121=⨯-+=，故答案为1.13．【2015届江西省高安中学高三命题中心模拟押题一】若将函数x x x f cos 41sin 43)(-=的图象向右平移(0)m m π<<个单位长度，得到的图象关于原点对称，则m =（ ） A ．65πB ．6πC ．32πD ．3π【答案】A ．14.【广东省佛山市第一中学2015届高三上学期期中】已知530,0,sin ,cos(),22135ππαββαβα<<-<<=--==则sin . 【答案】3365． 【解析】利用同角三角函数平方关系，求出cos sin βαβ-、（），再利用角的变换，即可得出结论． 512sin 0cos 13213πβββ=--∴= ，＜＜，，34000cos sin 2255ππαβαβπαβαβ-∴--=∴-= ＜＜，＜＜，＜＜，（），（）， []4123533sin sin sin cos cos sin ()51351365ααββαββαββ∴=-+=-+-=⨯+⨯-=（）（）（）．15.【2015届江苏省盐城市高三第三次模拟】已知(2sin ,sin cos )m x x x =- ，,sin cos )n x x x =+ ，记函数()f x m n =⋅ ．（1）求函数()f x 取最大值时x 的取值集合；（2）设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2f C =，c =ABC ∆面积的最大值．拓展试题以及解析1. 设α为锐角，若31)6sin(=-πα，则αcos 的值为． 【答案】6162-． 【解析】因20πα<<且31)6sin(=-πα，故366ππαπ<-<-，所以322)31(1)6cos(2=-=-πα，而]6)6cos[(cos ππαα+-=，故61622131233226sin )6sin(6cos )6cos(cos -=⨯-⨯=---=ππαππαα． 【入选理由】本题考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式等基础知识,意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题解决问题的能力以及运算求解能力．本题难度不大，故选此题.2.已知1sin tan(),(,)72ααβαπ=+=∈π，那么tan β的值为_______. 【答案】3【解析】由sin (,)2ααπ=∈π得cos tan 2αα==-，因此127tan tan() 3.21()7βαβα+=+-==+- 【入选理由】本题考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式等基础知识,意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题解决问题的能力以及运算求解能力．本题考查拆角技巧，难度不大，故选此题.3.已知函数21()sin cos sin 2f x a x x x =-+的一条对称轴方程为6x π=，则函数()f x 的最大值为___________．【答案】1【入选理由】本题考查三角恒等变换、三角函数的对称性与三角函数的最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．本题考查内容重点突出，综合性较强,难度不大，故选此题.4.已知函数()sin 2()f x x ＝＋ϕ（0ϕ<<π），若角ϕ的终边经过点，则()4f π的值为（ ）A ．2 D ．【答案】A【解析】根据三角函数的定义得tan 3ϕ=，故6ϕπ=，则()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()sin 2cos 4466f ππππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭，故选A ． 【入选理由】本题考查诱导公式、三角函数的定义等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力．本题三角函数定义与诱导公式巧妙结合，难度不大，故选此题.5.已知函数21()cos cos 2f x x x x =+，将函数()y f x =的图象向下平移14个单位，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数()yg x =的图象，则使1()2g x >成立的x 的取值集合为． 【答案】π{|ππ,}3x k x k k <<+∈Z ．【入选理由】本题考查三角恒等变形，函数图象变换，三角函数图象与性质等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力，基本运算能力．本题考查内容重点突出，综合性较强,难度不大，故选此题.6.已知sin 2cos αα+=，那么tan 2α的值为_______. 【答案】34-【解析】由sin 2cos αα+=平方得225sin +4sin cos +4cos ,2αααα= 因此1cos21cos25+2sin 2+4,222ααα-+⨯=即3cos22sin 2+02αα=,即3tan 2.4α=- 【入选理由】本小题主要考查同角三角函数基本关系式，二倍角的正、余弦公式等基础知识，意在考查分析问题的能力、基本运算能力．本题立意简单,难度不大, 故选此题.7.已知ABC ∆中，边,,a b c 的对角分别为,,A B C ，且a =c =23A π=. （Ⅰ）求,B C 及ABC ∆的面积；（Ⅱ）已知函数()sin sin 2cos cos 2f x B x C x ππ=+，把函数()y f x =的图象向右平移14个单位，然后 把所得函数图象上点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，即得函数()y g x =的图象，求函数 ()y g x =在[0,2]上的单调递增区间.【入选理由】本题考查三角恒等变换、三角函数的单调性、解三角形等基础知识，意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题解决问题的能力以及运算求解能力．本题出题形式有新意,难度不大, 故选此题.。
2015年高考数学(理)真题分项解析：专题09+圆锥曲线
专题九 圆锥曲线1.【2015高考福建，理3】若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ）A ．11B ．9C ．5D ．3 【答案】B【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．【考点定位】双曲线的标准方程和定义．【名师点睛】本题考查了双曲线的定义和标准方程，利用双曲线的定义列方程求解，属于基础题，注意运算的准确性．2.【2015高考四川，理5】过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ ）(B) (C)6 （D ）【答案】D 【解析】双曲线的右焦点为(2,0)F ，过F 与x 轴垂直的直线为2x =，渐近线方程为2203y x -=，将2x =代入2203y x -=得：212,||y y AB ==±∴=.选D.【考点定位】双曲线.【名师点睛】双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为22220x y a b-=，将直线2x =代入这个渐近线方程，便可得交点A 、B 的纵坐标，从而快速得出||AB 的值.3.【2015高考广东，理7】已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为（ ）A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x【答案】B ．【解析】因为所求双曲线的右焦点为()25,0F 且离心率为54c e a ==，所以5c =，4a =，2229b c a =-=所以所求双曲线方程为221169x y -=，故选B ． 【考点定位】双曲线的标准方程及其简单几何性质．【名师点睛】本题主要考查学生利用双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程和运算求解能力，由离心率和其右焦点易得a ，c 值，再结合双曲线222b c a =-可求，此题学生易忽略右焦点信息而做错，属于容易题．4.【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ∙<，则0y 的取值范围是( )（A ）（） （B ）（）（C ）（） （D ）（） 【答案】A【考点定位】双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.【名师点睛】本题考查利用向量数量积的坐标形式将12MF MF ∙表示为关于点M 坐标的函数，利用点M 在双曲线上，消去x 0，根据题意化为关于0y 的不等式，即可解出0y 的范围，是基础题，将12MF MF ∙表示为0y 的函数是解本题的关键.5.【2015高考湖北，理8】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >【答案】D【解析】依题意，2221)(1ab a b a e +=+=，2222)(1)()(m a m b m a m b m a e +++=++++=， 因为)()()(m a a a b m m a a am ab bm ab m a m b a b +-=+--+=++-，由于0>m ，0>a ，0>b ， 所以当b a >时，10<<a b ，10<++<m a m b ，m a m b a b ++<，22)()(ma mb a b ++<，所以12e e <；当b a <时，1>a b ，1>++m a m b ，而m a m b a b ++>，所以22)()(ma mb a b ++>，所以12e e >.所以当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >. 【考点定位】双曲线的性质，离心率.【名师点睛】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．分类讨论的时应做到：分类不重不漏；标准要统一，层次要分明；能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 6.【2015高考四川，理10】设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）（A ）()13，（B ）()14， （C ）()23， （D ）()24， 【答案】D 【解析】显然当直线l 的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线l 的斜率存在时，设斜率为k .设11221200(,),(,),,(,)A x y B x y x x M x y ≠，则21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，相减得121212()()4()y y y y x x +-=-.由于12x x ≠，所以12121222y y y y x x +-⋅=-，即02ky =.圆心为(5,0)C ，由CM AB ⊥得000001,55y k ky x x -⋅=-=--，所以0025,3x x =-=，即点M 必在直线3x =上.将3x =代入24y x =得2012,y y =∴-<<.因为点M 在圆()()22250x y r r -+=>上，所以22222000(5),412416x y r r y -+==+<+=.又2044y +>（由于斜率不存在，故00y ≠，所以不取等号），所以204416,24y r <+<∴<<.选D.xy–12123456789–1–2–3–4–5–6123456ABCFO M【考点定位】直线与圆锥曲线，不等式.【名师点睛】首先应结合图形进行分析.结合图形易知，只要圆的半径小于5，那么必有两条直线（即与x轴垂直的两条切线）满足题设，因此只需直线的斜率存在时，再有两条直线满足题设即可.接下来要解决的问题是当直线的斜率存在时，圆的半径的范围是什么.涉及直线与圆锥曲线的交点及弦的中点的问题，常常采用“点差法”.在本题中利用点差法可得，中点必在直线3x =上，由此可确定中点的纵坐标0y 的范围，利用这个范围即可得到r 的取值范围.7.【2015高考重庆，理10】设双曲线22221x y a b-=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a + （ ） A 、(1,0)(0,1)-B 、(,1)(1,)-∞-+∞C 、((0,2)D 、(,(2,)-∞+∞【答案】A【考点定位】双曲线的性质.【名师点晴】求双曲线的渐近线的斜率取舍范围的基本思想是建立关于,,a b c 的不等式，根据已知条件和双曲线中,,a b c 的关系，要据题中提供的条件列出所求双曲线中关于,a b 的不等关系，解不等式可得所求范围．解题中要注意椭圆与双曲线中,,a b c 关系的不同．8.【2015高考天津，理6】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为( )（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -=【答案】D【解析】双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的渐近线方程为b y x a =±，由点(在渐近线上，所以b a =，双曲线的一个焦点在抛物线2y =准线方程x =c =2,a b ==22143x y -=，故选D.【考点定位】双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质.【名师点睛】本题主要考查双曲线的定义、标准方程及几何性质，同时也学生的考查运算能.把双曲线的几何性质与抛物线的几何性质相结合，找出双曲线中,,a b c 的关系，求出双曲线方程，体现圆锥曲线的统一性.是中档.9.【2015高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -=【答案】C【解析】由题意，选项,A B 的焦点在x 轴，故排除,A B ，C 项的渐近线方程为2204y x -=，即2y x =±，故选C.【考点定位】1.双曲线的渐近线.【名师点睛】双曲线确定焦点位置的技巧：2x 前的系数是正，则焦点就在x 轴，反之，在y轴；在双曲线22221x y a b -=的渐近线方程中,b aa b 容易混淆，只要根据双曲线22221x y a b -=的渐近线方程是22220x y a b-=，便可防止上述错误.10.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++【答案】A.【考点定位】抛物线的标准方程及其性质【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题，解题时，需结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质，结合抛物线的性质：抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习.11.【2015高考新课标2，理11】已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A B ．2 C D【答案】D【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，AB BM =，0120ABM ∠=，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，，故点M 的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以e =，故选D ．【考点定位】双曲线的标准方程和简单几何性质．【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质、解直角三角形知识，正确表示点M 的坐标，利用“点在双曲线上”列方程是解题关键，属于中档题．12.【2015高考北京，理10】已知双曲线()22210x y a a -=>0y +=，则a =．【解析】双曲线()22210x y a a -=>的渐近线方程为1y x a=±，0y y +=⇒=，0a >,则1a a-==【考点定位】本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，利用已给渐近线方程求参数.【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，重点考查双曲线的渐近线方程，本题属于基础题，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，求渐近线方程的简单方法就是把标准方程中的“1”改“0”，利用已知渐近线方程，求出参数a 的值.【2015高考上海，理5】抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 【答案】2【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即1, 2.2pp == 【考点定位】抛物线定义【名师点睛】标准方程中的参数p 的几何意义是指焦点到准线的距离；p ＞0恰恰说明定义中的焦点F 不在准线l 上这一隐含条件；参数p 的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p 的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．【2015高考湖南，理13】设F 是双曲线C ：22221x y a b-=的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为 . 【答案】5.【考点定位】双曲线的标准方程及其性质.【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质，属于容易题，根据对称性将条件中的信息进行等价的转化是解题的关键，在求解双曲线的方程时，主要利用222b a c +=，焦点坐标，渐近线方程等性质，也会与三角形的中位线，相似三角形，勾股定理等平面几何知识联系起来.13.【2015高考浙江，理9】双曲线2212x y -=的焦距是 ，渐近线方程是 ． 【答案】32，x y 22±=. 【解析】由题意得：2=a ，1=b ，31222=+=+=b a c ，∴焦距为322=c ，渐近线方程为x x a b y 22±=±=. 【考点定位】双曲线的标准方程及其性质【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其焦距，渐近线等相关概念，属于容易题，根据条件中的双曲线的标准方程可以求得a ，b ，c ，进而即可得到焦距与渐近线方程，在复习时，要弄清各个圆锥曲线方程中各参数的含义以及之间的关系，避免无谓失分.14.【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆221164x y +=错误！未找到引用源。
2015年福建省高考数学试卷(理科)_最新修正版
2015年福建省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类）1．（5分）若集合A={i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B等于（）A．{﹣1}B．{1}C．{1，﹣1}D．∅2．（5分）下列函数为奇函数的是（）A．y=B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=e x﹣e﹣x3．（5分）若双曲线E ：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E 上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11 B．9 C．5 D．34．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元5．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值等于（）A．2 B．﹣2 C．D．6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）最新修正版A．2 B．1 C．0 D．﹣17．（5分）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．99．（5分）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．2110．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）（x+2）5的展开式中，x2的系数等于．（用数字作答）12．（4分）若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于．13．（4分）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．14．（4分）若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是．15．（4分）一个二元码是由0和1组成的数字串，其中x k （k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于．三、解答题16．（13分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．（1）求证：GF∥平面ADE；（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．18．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．19．（13分）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：先将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再将所得到的图象向右平移个单位长度．（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，2π）内有两个不同的解α，β（i）求实数m的取值范围；（ii）证明：cos（α﹣β）=﹣1．20．（7分）已知函数f（x）=ln（1+x），g（x）=kx，（k∈R）（1）证明：当x＞0时，f（x）＜x；（2）证明：当k＜1时，存在x0＞0，使得对任意x∈（0，x0），恒有f（x）＞g （x）；（3）确定k的所有可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈（0，t），恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2．四、选修4-2：矩阵与变换21．（7分）已知矩阵A=，B=（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）求矩阵C，使得AC=B．五、选修4-4：坐标系与参数方程22．（7分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴），直线l的方程为ρsin（θ﹣）=m，（m∈R）（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．六、选修4-5：不等式选讲23．（7分）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．2015年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类）1．（5分）若集合A={i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B等于（）A．{﹣1}B．{1}C．{1，﹣1}D．∅【分析】利用虚数单位i的运算性质化简A，然后利用交集运算得答案．【解答】解：∵A={i，i2，i3，i4}={i，﹣1，﹣i，1}，B={1，﹣1}，∴A∩B={i，﹣1，﹣i，1}∩{1，﹣1}={1，﹣1}．故选：C．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．2．（5分）下列函数为奇函数的是（）A．y=B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=e x﹣e﹣x【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：A．函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，故A为非奇非偶函数．B．f（﹣x）=|sin（﹣x）|=|sinx|=f（x），则f（x）为偶函数．C．y=cosx为偶函数．D．f（﹣x）=e﹣x﹣e x=﹣（e x﹣e﹣x）=﹣f（x），则f（x）为奇函数，故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本题的关键．3．（5分）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11 B．9 C．5 D．3【分析】确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．【解答】解：由题意，双曲线E：=1中a=3．∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=6，∴|PF2|=9．故选：B．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题．4．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元【分析】由题意可得和，可得回归方程，把x=15代入方程求得y值即可．【解答】解：由题意可得=（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，=（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8，代入回归方程可得=8﹣0.76×10=0.4，∴回归方程为=0.76x+0.4，把x=15代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8，故选：B．【点评】本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属基础题．5．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值等于（）A．2 B．﹣2 C．D．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（﹣1，）．∴z=2x﹣y的最小值为2×（﹣1）﹣=．故选：D．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=6时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为0．【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0S=cos，i=2不满足条件i＞5，S=cos+cosπ，i=3不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos，i=4不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos+cos2π，i=5不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos+cos2π+cos=0﹣1+0+1+0=0，i=6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为0，故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．7．（5分）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可．【解答】解：l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”可能“l∥α”也可能l⊂α，反之，“l∥α”一定有“l⊥m”，所以l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．故选：B．【点评】本题考查空间直线与平面垂直与平行关系的应用，充要条件的判断，基本知识的考查．8．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．9．（5分）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21【分析】建系，由向量式的几何意义易得P的坐标，可化=﹣4（﹣4）﹣（t﹣1）=17﹣（4•+t），由基本不等式可得．【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵，∴P（1，4），∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），∴=﹣4（﹣4）﹣（t﹣1）=17﹣（4t+），由基本不等式可得+4t≥2=4，∴17﹣（4t+）≤17﹣4=13，当且仅当4t=即t=时取等号，∴的最大值为13，故选：A．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及基本不等式求最值，属中档题．10．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）A．B．C．D．【分析】根据导数的概念得出＞k＞1，用x=代入可判断出f（）＞，即可判断答案．【解答】解；∵f′（0）=f′（x）＞k＞1，∴＞k＞1，即＞k＞1，当x=时，f（）+1＞×k=，即f（）﹣1=故f（）＞，所以f（）＜，一定出错，另解：设g（x）=f（x）﹣kx+1，g（0）=0，且g′（x）=f′（x）﹣k＞0，g（x）在R上递增，k＞1，对选项一一判断，可得C错．故选：C．【点评】本题考查了导数的概念，不等式的化简运算，属于中档题，理解了变量的代换问题．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）（x+2）5的展开式中，x2的系数等于80．（用数字作答）【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2项的系数．【解答】解：（x+2）5的展开式的通项公式为T r=•x5﹣r•2r，+1令5﹣r=2，求得r=3，可得展开式中x2项的系数为=80，故答案为：80．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．12．（4分）若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于7．【分析】利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．【解答】解：因为锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，所以，所以sinA=，所以A=60°，所以cosA=，所以BC==7．故答案为：7．【点评】本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，比较基础．13．（4分）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答．【解答】解：由已知，矩形的面积为4×（2﹣1）=4，阴影部分的面积为=（4x﹣）|=，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于；故答案为：．【点评】本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用；关键是求出阴影部分的面积，利用几何概型公式解答．14．（4分）若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是（1，2] ．【分析】当x≤2时，检验满足f（x）≥4．当x＞2时，分类讨论a的范围，依据函数的单调性，求得a的范围，综合可得结论．【解答】解：由于函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），故当x≤2时，满足f（x）=6﹣x≥4．①若a＞1，f（x）=3+log a x在它的定义域上单调递增，当x＞2时，由f（x）=3+log a x≥4，∴log a x≥1，∴log a2≥1，∴1＜a≤2．②若0＜a＜1，f（x）=3+log a x在它的定义域上单调递减，f（x）=3+log a x＜3+log a2＜3，不满足f（x）的值域是[4，+∞）．综上可得，1＜a≤2，故答案为：（1，2]．【点评】本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于中档题．15．（4分）一个二元码是由0和1组成的数字串，其中x k （k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于5．【分析】根据二元码x1x2…x7的码元满足的方程组，及“⊕”的运算规则，将k的值从1至7逐个验证即可．【解答】解：依题意，二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，①若k=1，则x1=0，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=1，故k≠1；②若k=2，则x1=1，x2=0，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠2；③若k=3，则x1=1，x2=1，x3=1，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠3；④若k=4，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=0，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x1⊕x3⊕x5⊕x7=1，故k≠4；⑤若k=5，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=0，x2⊕x3⊕x6⊕x7=0，x1⊕x3⊕x5⊕x7=0，故k=5符合题意；⑥若k=6，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=1，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠6；⑦若k=7，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=0，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠7；综上，k等于5．故答案为：5．【点评】本题属新定义题，关键是弄懂新定义的含义或规则，事实上，本题中的运算符号“⊕”可看作是两个数差的绝对值运算，知道了这一点，验证就不是难事了．三、解答题16．（13分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）根据概率的公式即可求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）随机变量X的取值为：1，2，3，分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．【解答】解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P（A）=．（2）有可能的取值是1，2，3又则P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）==，所以X的分布列为：EX=1×+2×+3×=．【点评】本小题主要考查分步计数原理、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．17．（13分）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．（1）求证：GF∥平面ADE；（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．【分析】解法一：（1）取AE的中点H，连接HG，HD，通过证明四边形HGFD是平行四边形来证明GF∥DH，由线面平行的判定定理可得；（2）以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得平面BEC和平面AEF的法向量，由向量夹角的余弦值可得．解法二：（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF，通过证明平面GMF∥平面ADE来证明GF∥平面ADE；（2）同解法一．【解答】解法一：（1）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，∵G是BE的中点，∴GH∥AB，且GH=AB，又∵F是CD中点，四边形ABCD是矩形，∴DF∥AB，且DF=AB，即GH∥DF，且GH=DF，∴四边形HGFD是平行四边形，∴GF∥DH，又∵DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，∴GF∥平面ADE．（2）如图，在平面BEG内，过点B作BQ∥CE，∵BE⊥EC，∴BQ⊥BE，又∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥BE，AB⊥BQ，以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（0，0，2），B（0，0，0），E（2，0，0），F（2，2，1）∵AB⊥平面BEC，∴为平面BEC的法向量，设=（x，y，z）为平面AEF的法向量．又=（2，0，﹣2），=（2，2，﹣1）由垂直关系可得，取z=2可得．∴cos＜，＞==∴平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为．解法二：（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF，又G是BE的中点，可知GM∥AE，且GM=AE又AE⊂平面ADE，GM⊄平面ADE，∴GM∥平面ADE．在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点可得MF∥AD．又AD⊂平面ADE，MF⊄平面ADE，∴MF∥平面ADE．又∵GM∩MF=M，GM⊂平面GMF，MF⊂平面GMF∴平面GMF∥平面ADE，∵GF⊂平面GMF，∴GF∥平面ADE（2）同解法一．【点评】本题考查空间线面位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，建系求二面角是解决问题的关键，属难题．18．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．【分析】解法一：（1）由已知得，解得即可得出椭圆E的方程．（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，利用根与系数的关系中点坐标公式可得：y0=．|GH|2=．=，作差|GH|2﹣即可判断出．解法二：（1）同解法一．（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），则=，=．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，计算=即可得出∠AGB，进而判断出位置关系．【解答】解法一：（1）由已知得，解得，∴椭圆E的方程为．（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=，∴y0=．G，∴|GH|2==+=++．===，故|GH|2﹣=+=﹣+=＞0．∴，故G在以AB为直径的圆外．解法二：（1）同解法一．（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），则=，=．由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=，从而==+y1y2=+=﹣+=＞0．∴＞0，又，不共线，∴∠AGB为锐角．故点G在以AB为直径的圆外．【点评】本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系、点与圆的位置关系、向量数量积运算性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．19．（13分）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：先将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再将所得到的图象向右平移个单位长度．（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，2π）内有两个不同的解α，β（i）求实数m的取值范围；（ii）证明：cos（α﹣β）=﹣1．【分析】（1）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得：f（x）=2sinx，从而可求对称轴方程．（2）（i）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）+g（x）=sin（x+φ）（其中sinφ=，cosφ=），从而可求||＜1，即可得解．（ii ）由题意可得sin （α+φ）=，sin （β+φ）=．当1≤m ＜时，可求α﹣β=π﹣2（β+φ），当﹣＜m ＜0时，可求α﹣β=3π﹣2（β+φ），由cos （α﹣β）=2sin 2（β+φ）﹣1，从而得证．【解答】解：（1）将g （x ）=cosx 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y=2cosx 的图象，再将y=2cosx 的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos （x ﹣）的图象，故f （x ）=2sinx ，从而函数f （x ）=2sinx 图象的对称轴方程为x=k （k ∈Z ）．（2）（i ）f （x ）+g （x ）=2sinx +cosx=（）=sin （x +φ）（其中sinφ=，cosφ=） 依题意，sin （x +φ）=在区间[0，2π）内有两个不同的解α，β，当且仅当||＜1，故m 的取值范围是（﹣，）． （ii ）因为α，β是方程sin （x +φ）=m 在区间[0，2π）内的两个不同的解， 所以sin （α+φ）=，sin （β+φ）=． 当1≤m ＜时，α+β=2（﹣φ），即α﹣β=π﹣2（β+φ）； 当﹣＜m ＜1时，α+β=2（﹣φ），即α﹣β=3π﹣2（β+φ）；所以cos （α﹣β）=﹣cos2（β+φ）=2sin 2（β+φ）﹣1=2（）2﹣1=． 【点评】本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、数形结合思想．20．（7分）已知函数f （x ）=ln （1+x ），g （x ）=kx ，（k ∈R ）（1）证明：当x ＞0时，f （x ）＜x ；（2）证明：当k ＜1时，存在x 0＞0，使得对任意x ∈（0，x 0），恒有f （x ）＞g （x ）；（3）确定k的所有可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈（0，t），恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2．【分析】（1）令F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x≥0，求导得到F′（x）≤0，说明F（x）在[0，+∞）上单调递减，则x＞0时，f（x）＜x；（2）令G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞），可得k≤0时，G′（x）＞0，说明G（x）在（0，+∞）上单调递增，存在x0＞0，使得对任意x ∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；当0＜k＜1时，由G′（x）=0，求得．取，对任意x∈（0，x0），恒有G′（x）＞0，G（x）在上单调递增，G（x）＞G（0）=0，即f（x）＞g（x）；（3）分k＞1、k＜1和k=1把不等式|f（x）﹣g（x）|＜x2的左边去绝对值，当k＞1时，利用导数求得|f（x）﹣g（x）|＞x2，满足题意的t不存在．当k＜1时，由（2）知存在x0＞0，使得对任意的任意x∈（0，x0），f（x）＞g （x）．令N（x）=ln（1+x）﹣kx﹣x2，x∈[0，+∞），求导数分析满足题意的t不存在．当k=1，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f （x）=x﹣ln（1+x），令H（x）=x﹣ln（1+x）﹣x2，x∈[0，+∞），则有x＞0，H′（x）＜0，H（x）在[0，+∞）上单调递减，故H（x）＜H（0）=0，说明当x＞0时，恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2，此时，满足t＞0的实数t存在．【解答】（1）证明：令F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x≥0，则有F′（x）=﹣1=﹣，∵x≥0，∴F′（x）≤0，∴F（x）在[0，+∞）上单调递减，∴当x∈（0，+∞）时，有F（x）＜F（0）=0，∴x＞0时，f（x）＜x；（2）证明：令G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞），则有G′（x）=﹣k=，当k≤0时，G′（x）＞0，∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，∴G（x）＞G（0）=0，故对任意正实数x0均满足题意．当0＜k＜1时，令G′（x）=0，得．取，对任意x∈（0，x0），恒有G′（x）＞0，∴G（x）在（0，x0）上单调递增，G（x）＞G（0）=0，即f（x）＞g（x）．综上，当k＜1时，总存在x0＞0，使得对任意的x∈（0，x0），恒有f（x）＞g （x）；（3）解：当k＞1时，由（1）知，对于任意x∈（0，+∞），g（x）＞x＞f（x），故g（x）＞f（x），|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=kx﹣ln（1+x），令M（x）=kx﹣ln（1+x）﹣x2，x∈（0，+∞），则有，故当时，M′（x）＞0，M（x）在[0，）上单调递增，故M（x）＞M（0）=0，即|f（x）﹣g（x）|＞x2，∴满足题意的t不存在．当k＜1时，由（2）知存在x0＞0，使得对任意的x∈（0，x0），f（x）＞g（x）．此时|f（x）﹣g（x）|=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，令N（x）=ln（1+x）﹣kx﹣x2，x∈[0，+∞），则有，故当时，N′（x）＞0，N（x）在[0，）上单调递增，故N（x）＞N（0）=0，即f（x）﹣g（x）＞x2，记x0与中较小的为x1，则当x∈（0，x1）时，恒有|f（x）﹣g（x）|＞x2，故满足题意的t不存在．当k=1，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=x ﹣ln（1+x），令H（x）=x﹣ln（1+x）﹣x2，x∈[0，+∞），则有，当x＞0，H′（x）＜0，∴H（x）在[0，+∞）上单调递减，故H（x）＜H（0）=0，故当x＞0时，恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2，满足t＞0的实数t存在．综上，k=1．【点评】本小题主要考查导数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想、数形结合思想，是压轴题．四、选修4-2：矩阵与变换21．（7分）已知矩阵A=，B=（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）求矩阵C，使得AC=B．【分析】（1）求出矩阵的行列式，即可求A的逆矩阵A﹣1；（2）由AC=B得（A﹣1A）C=A﹣1B，即可求矩阵C，使得AC=B．【解答】解：（1）因为|A|=2×3﹣1×4=2，所以；（2）由AC=B得（A﹣1A）C=A﹣1B，故．【点评】本小题主要考查矩阵、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．五、选修4-4：坐标系与参数方程22．（7分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴），直线l的方程为ρsin（θ﹣）=m，（m∈R）（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．【分析】（1）直接利用极坐标与直角坐标的互化以及参数方程与普通方程的互化求解即可．（2）直接利用点到直线的距离个数求解即可．【解答】解：（1）消去参数t，得到圆的普通方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，由ρsin（θ﹣）=m，得ρsinθ﹣ρcosθ﹣m=0，所以直线l的直角坐标方程为：x﹣y+m=0．（2）依题意，圆心C（1，﹣2）到直线l：x﹣y+m=0的距离等于2，即，解得m=﹣3±2．【点评】本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．六、选修4-5：不等式选讲23．（7分）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a2+b2+c2的最小值为．【点评】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题．。
(福建专用)高考数学一轮复习 课时规范练54 变量间的相关关系、统计案例 理 新人教A版-新人教A版
课时规X练54 变量间的相关关系、统计案例一、基础巩固组1.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(x i,y i)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71,则下列结论不正确的是()A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心()C.若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kgD.若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg2.根据如下样本数据:x 3 4 5 6 7 8y4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0得到的回归方程为x+,则()A.>0,>0B.>0,<0C.<0,>0D.<0,<03.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是()A.若K2的观测值为6.635,则在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺病有关系,因此在100个吸烟的人中必有99个患有肺病B.由独立性检验知,在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,则他有99%的可能患肺病C.若在统计量中求出在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为吸烟与患肺病有关系,是指有5%的可能性使得推断出现错误D.以上三种说法都不正确〚导学号21500769〛4.两个随机变量x,y的取值如下表:x0 1 3 4y2.2 4.3 4.8 6.7若x,y具有线性相关关系,且x+2.6,则下列结论错误的是()A.x与y是正相关B.当x=6时,y的估计值为8.3C.x每增加一个单位,y大约增加0.95个单位D.样本点(3,4.8)的残差为0.565.2017年春节期间,“厉行节约,反对浪费”之风悄然吹开,某市通过随机询问100名性别不同的居做不到“光盘”能做到“光盘”男45 10女30 15则下面的结论正确的是()A.在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B.在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C.在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D.在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”6.(2017某某潍坊二模,理12)某公司未来对一种新产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单价x/元 4 5 6 7 8 9销量y/件90 84 83 80 75 68由表中数据,求得线性回归方程为=-4x+,当产品销量为76件时,产品定价大致为元.7.从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入x i(单位:千元)与月储蓄y i(单位:千元)的数据资料,算得x i=80,y i=20,x i y i=184,=720.(1)求家庭的月储蓄对月收入x的线性回归方程x+;(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关;(3)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.〚导学号21500770〛二、综合提升组8.通过随机询问110名性别不同的学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:男女总计爱好40 20 60不爱好20 30 50总计60 50 110附表:P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001k03.841 6.635 10.828参照附表,得到的正确结论是()A.在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”B.在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”9.已知x与y之间的几组数据如下表:x 1 2 3 4 5 6y0 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得线性回归直线方程x+,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y=b'x+a',则以下结论正确的是()A.>b',>a'B.>b',<a'C.<b',>a'D.<b',<a'10.某数学老师身高176 cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm.11.(2017某某某某第三中学模拟)为推行“新课堂”教学法,某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式,在甲、乙两个平行班进行教学实验,为了解教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出的茎叶图如下图,记成绩不低于70分者为“成绩优良”.(1)分别计算甲、乙两班20个样本中,化学成绩前十的平均分,并据此判断哪种教学方式的教学效果更佳;(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”?甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计附:K2=(n=a+b+c+d).独立性检验临界值表:P(K2≥k 0) 0.10.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635〚导学号21500771〛12.年份2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017年份代号t 1 2 3 4 5 6 7人均纯收入y2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9(1)求y关于t的线性回归方程;(2)利用(1)中的回归方程,分析2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:.三、创新应用组13.某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如表所示:年收入x/万元 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10年饮食支出y/万元0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3(1)根据表中数据,确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系;(2)如果某家庭年收入为9万元,预测其年饮食支出.14.(2017某某某某一模)某单位N名员工参加“我爱阅读”活动,他们的年龄在25岁至50岁之间,按年龄分组:第1组[25,30),第2组[30,35),第3组[35,40),第4组[40,45),第5组[45,50],得到的频率分布直方图如图所示.区间[25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50]人数28 a b(1)求正整数a,b,N的值;(2)现要从年龄低于40岁的员工中用分层抽样的方法抽取42人,则年龄在第1,2,3组的员工分别抽多少?(3)为了了解该单位员工的阅读习惯,对第1,2,3组中抽出的42人是否喜欢阅读国学类书籍进行了调查,喜欢阅读国学类不喜欢阅读国学类合计男16 4 20女8 14 22合计24 18 42根据表中数据,能否在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为该单位员工“是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系”?附:K2=P(K2≥k0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k03.841 5.024 6.635 7.879 10.828〚导学号21500772〛课时规X练54变量间的相关关系、统计案例1.D由于线性回归方程中x的系数为0.85,因此y与x具有正的线性相关关系,故A正确;又线性回归方程必过样本点中心(),因此B正确;由线性回归方程中系数的意义知,x每增加1 cm,其体重约增加0.85 kg,故C正确;当某女生的身高为170 cm时,其体重估计值是58.79 kg,而不是具体值,因此D不正确.2.B由题表中数据画出散点图,如图,由散点图可知<0,>0,故选B.3.C独立性检验只表明两个分类变量的相关程度,而不是事件是否发生的概率估计.4.D由表格中的数据可知选项A正确;(0+1+3+4)=2,(2.2+4.3+4.8+6.7)=4.5,∴4.5=2+2.6,解得=0.95,=0.95x+2.6.当x=6时,=0.95×6+2.6=8.3,故选项B正确;由=0.95+2.6可知选项C正确;当x=3时,=0.95×3+2.6=5.45,残差是5.45-4.8=0.65,故选项D错误.5.A由2×2列联表得到a=45,b=10,c=30,d=15,则a+b=55,c+d=45,a+c=75,b+d=25,ad=675,bc=300,n=100,计算得K2的观测值k=3.030.因为3.030>2.706,所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”,故选A.6.7.5=6.5,=80,=80-(-4)×6.5,解得=106,∴回归方程为=-4x+106.当y=76时,76=-4x+106,∴x=7.5,故答案为7.5.7.解 (1)由题意知n=10,x i==8,y i==2,又=720-10×82=80,x i y i-10=184-10×8×2=24,由此得=0.3,=2-0.3×8=-0.4,故所求线性回归方程为=0.3x-0.4.(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(=0.3>0),因此x与y之间是正相关.(3)将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为=0.3×7-0.4=1.7(千元).8.A依题意,由K2=,得K2=7.8>6.635.所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”,故选A.9.C由题意可知,b'=2,a'=-2,=-,故<b',>a',故选C.10.185由题意,得父亲身高x cm与儿子身高y cm对应关系如下表:x173 170 176y170 176 182则=173,=176,(x i-)(y i-)=(173-173)×(170-176)+(170-173)×(176-176)+(176-173)×(182-176)=18, (x i-)2=(173-173)2+(170-173)2+(176-173)2=18.=1=176-173=3.∴线性回归直线方程x+=x+3.∴可估计孙子身高为182+3=185(cm).11.解 (1)甲班化学成绩前十的平均分(72+74+74+79+79+80+81+85+89+96)=80.9;乙班化学成绩前十的平均分(78+80+81+85+86+93+96+97+99+99)=89.4.,∴大致可以判断新课堂教学的教学效果更佳.(2)甲班乙班总计成绩优良10 16 26成绩不优良10 4 14总计20 20 40根据2×2列联表中的数据,得K2的观测值为k=3.956>3.841,∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.12.解 (1)由所给数据计算得(1+2+3+4+5+6+7)=4,(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,(t i-)2=9+4+1+0+1+4+9=28,(t i-)(y i-)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,=0.5,=4.3-0.5×4=2.3,所求回归方程为=0.5t+2.3.(2)由(1)知,=0.5>0,故2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年约增加0.5千元.将2019年的年份代号t=9代入(1)中的回归方程,得=0.5×9+2.3=6.8,故预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.13.解 (1)由题意,得年收入x为解释变量,年饮食支出y为预报变量,作散点图如图.从图中可以看出,样本点呈条状分布,年收入和年饮食支出有比较好的线性相关关系,因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系.因为=6,=1.83,=406,x i y i=117.7,所以0.172,x≈1.83-0.172×6=0.798.从而得到线性回归方程为=0.172x+0.798.(2)=0.172×9+0.798=2.346(万元).所以某家庭年收入为9万元时,可以预测其年饮食支出为2.346万元.14.解 (1)总人数N==280,a=280×0.02×5=28.第3组的频率是1-5×(0.02+0.02+0.06+0.02)=0.4,所以b=280×0.4=112.(2)因为年龄低于40岁的员工在第1,2,3组,共有28+28+112=168(人),利用分层抽样在168人中抽取42人,每组抽取的人数分别为:第1组抽取的人数为28=7(人),第2组抽取的人数为28=7(人),第3组抽取的人数为112=28(人),所以第1,2,3组分别抽7人、7人、28人.(3)假设H0:“是否喜欢阅读国学类书籍和性别无关系”,根据表中数据,求得K2的观测值k=8.145>7.879.从而能在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为该单位的员工“是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系”.。
高考数学十年真题专题解析—椭圆
椭圆年份题号考点考查内容2011理14椭圆方程椭圆的定义、标准方程及其几何性质文4椭圆的几何性质椭圆离心率的计算2012文理4椭圆的几何性质椭圆离心率的计算2013卷1理10椭圆方程直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的求法文理20椭圆定义、标准方程及其几何性质椭圆的定义、标准方程及其几何性质，直线与椭圆位置关系卷2理20直线与椭圆位置关系椭圆的方程求法，直线与椭圆位置关系，椭圆最值问题的解法文5椭圆定义、几何性质椭圆的定义，椭圆离心率的求法2014卷1理20椭圆方程及几何性质椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆位置关系卷2理20椭圆方程及几何性质椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆位置关系2015卷1理14圆与椭圆椭圆的标准方程及其几何性质，过三点圆的方程的求法卷2理20直线与椭圆直线和椭圆的位置关系，椭圆的存在型问题的解法文20直线与椭圆椭圆方程求法，直线和椭圆的位置关系，椭圆的定值问题的解法2016卷1理20圆、直线与椭圆椭圆定义、标准方程及其几何性质，直线与圆、椭圆的位置关系卷2理20直线与椭圆椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系文21直线与椭圆椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系2017卷1理20直线与椭圆椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，椭圆的定点问题文12直线与椭圆椭圆的标准方程及其几何性质卷3文11理10直线与圆，椭圆的几何性质直线与圆的位置关系，椭圆的几何性质2018卷1理19直线与椭圆椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系文4椭圆椭圆的几何性质2019卷1理10文12椭圆椭圆的定义、标准方程及其几何性质，椭圆标准方程的求法卷2理8文9椭圆与抛物线抛物线与椭圆的几何性质理21椭圆椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的最值问题的解法文20椭圆椭圆的定义、标准方程及其几何性质卷3文理15椭圆椭圆的定义、标准方程及其几何性质2020卷1理20文21椭圆椭圆的标准方程及其几何性质，椭圆定点问题卷2理19椭圆、抛物线椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义考点89椭圆的定义及标准方程1．(2019全国Ⅰ文12)已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n FAB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．222243,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．2．(2018高考上海13)设P 是椭圆 ²5x + ²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A ．22B ．23C ．25D ．42【答案】C【解析】由椭圆的定义可知椭圆上任意点P 到两个焦点的距离之和为25a =，故选C ．【考点分析】椭圆的定义，考查考生的识记及基本运算能力．3．(2013广东文)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 【答案】D 【解析】∵1,2,3c a b ===D ．4．(2015新课标1理)一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 的正半轴上，则该圆的标准方程为_________．【答案】22325()24-+=x y 【解析】由题意圆过(4,0),(0,2),(0,2)-三个点，设圆心为(,0)a ，其中0a >，由4-=a ，解得32a =，所以圆的方程为22325()24-+=x y ．5．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1(–1、0)，F 2(1，0)．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2：222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D ．连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求点E 的坐标．【答案】(1)22143x y +=；(2)3(1,)2E --．【解析】(1)设椭圆C 的焦距为2c ．因为F 1(−1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c=1．又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 232==，因此2a=DF 1+DF 2=4，从而a=2．由b 2=a 2−c 2，得b 2=3．因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=．(2)解法一：由(1)知，椭圆C ：22143x y +=，a=2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1．将x=1代入圆F 2的方程(x−1)2+y 2=16，解得y=±4．因为点A 在x 轴上方，所以A(1，4)．又F 1(−1，0)，所以直线AF 1：y=2x+2．由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-．将115x =-代入22y x =+，得125y =-，因此1112(,55B --．又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-．由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =．又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-．将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-．因此3(1,2E --．解法二：由(1)知，椭圆C ：22143x y +=．如图，连结E F 1．因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ，从而∠BF 1E=∠B ．因为F 2A=F 2B ，所以∠A=∠B ，所以∠A=∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A ．因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴．因为F 1(−1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±．又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-．因此3(1,2E --．【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力．考点90椭圆的几何性质6．【2019年高考全国Ⅰ理】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224,,312,a n ab a c∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y+=，故选B．法二：由已知可设2F B n=，则212,3AF n BF AB n===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n=+=∴=-=．在12AF F△和12BF F△中，由余弦定理得2221222144222cos4422cos9n n AF F nn n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F∠∠互补，2121cos cos0AF F BF F∴∠+∠=，两式消去2121cos cosAF F BF F∠∠,，得223611n n+=，解得32n=．22224,,312,a n ab a c∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y+=，故选B．7．【2019年高考北京理】已知椭圆22221x ya b+=(a＞b＞0)的离心率为12，则A．a2=2b2B．3a2=4b2C．a=2b D．3a=4b【答案】B【解析】椭圆的离心率2221,2ce c a ba===-，化简得2234a b=，故选B．8．【2018·全国Ⅰ文】已知椭圆C：22214x ya+=的一个焦点为(20)，，则C的离心率为A．13B．12C ．22D ．223【答案】C【解析】由题可得2c =，因为24b =，所以2228a b c =+=，即a =，所以椭圆C 的离心率22e ==，故选C ．9．【2018·全国Ⅱ文】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．12-B ．2-C ．312-D 1-【答案】D【解析】在12F PF △中，122190,60F PF PF F ∠=∠=︒，设2PF m =，则12122,c F F m PF ===，又由椭圆定义可知1221)a PF PF m =+=+，则212c c e a a ====，故选D ．10．(2018上海理)设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意25=a ，=a ．由椭圆的定义可知，P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2=aC ．11．【2017·全国Ⅰ文】设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB=120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞ D ．[4,)+∞【答案】A【解析】当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠= ，则tan 60ab≥= ，≥，得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠= ，则tan 60ab ≥= ≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞ ，故选A ．12．【2017·浙江卷】椭圆22194x y +=的离心率是()A ．133B ．53C ．23D ．59【答案】B【解析】椭圆22194x y +=的离心率94533e ==，故选B ．13．(2015新课标1文)已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：28y x =的焦点重合，A B 、是C 的准线与E 的两个交点，则AB =A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】B 【解析】∵抛物线C ：28y x =的焦点坐标为(2,0)，准线l 的方程为2x =-①，设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，所以椭圆E 的半焦距2c =，又椭圆的离心率为12，所以4,a b ==，椭圆E 的方程为2211612x y +=②，联立①②，解得(2,3),(2,3)A B ---或(2,3),(2,3)A B ---，所以||6AB =，故选B ．14．(2015广东文)已知椭圆222125x y m+=(0m >)的左焦点为()14,0F -，则m =A ．2B ．3C ．4D ．9【答案】B 【解析】由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ．15．(2014福建文理)设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是A ．25B ．246+C ．27+D ．26【答案】D 【解析】由题意可设10,sin )Q αα，圆的圆心坐标为(0,6)C ，圆心到Q 的距离为2222||(10cos )(sin 6)509(sin )50523CQ ααα=+-=-+=，当且仅当2sin 3α=-时取等号，所以max max ||||52262PQ CQ r +==≤，所以Q P ,两点间的最大距离是62．16．(2012新课标文理)设1F 、2F 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点，P 为直线23a x =上一点，12PF F ∆是底角为o30的等腰三角形，则E 的离心率为A ．21B ．32C ．43D ．54【答案】C 【解析】∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔==，故选C ．17．【2019·全国Ⅲ文】设12F F ，为椭圆C ：22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________．【答案】(15【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又122201482415,4152MF F S y =⨯-=∴=△，解得015y =，2201513620x ∴+=，解得03x =(03x =-舍去)，M \的坐标为(15．18．【2019·浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点．由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=(舍)，又点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得315,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以15212PFk ==．方法2：(焦半径公式应用)由题意可知|2OF |=|OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-，从而可求得3,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以212PF k ==19．(2012江西文理)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是,A B ，左、右焦点分别是12,F F ．若1121||,||,||AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为_________．【答案】55【解析】由椭圆的性质可知：1AF a c =-，122F F c =，1F B a c =+．又已知1AF ，12F F ，1F B 成等比数列，故2()()(2)a c a c c -+=，即2224a c c -=，则225a c =．故55c e a ==．即椭圆的离心率为55．20．(2011浙江文理)设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B = ；则点A 的坐标是．【答案】(0,1)±【解析】设点A 的坐标为(,)m n ，B 点的坐标为(,)c d．12(F F，可得1()F A m n =+，2()F B c d =，∵125F A F B = ，∴62,55m n c d +==，又点,A B 在椭圆上，∴2213m n +=，2262(5()135m n ++=，解得0,1m n ==±，∴点A 的坐标是(0,1)±．21．【2019年高考全国Ⅱ文】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O为坐标原点．(1)若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．【答案】(1)1-；(2)4b =，a的取值范围为)+∞．【解析】(1)连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2PF c =，1PF =，于是1221)a PF PF c =+=，故C的离心率是1ce a==-．(2)由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．当且仅当1||2162y c ⋅=，1y y x c x c ⋅=-+-，22221x y a b+=，即||16c y =，①222x y c +=，②22221x y a b+=，③由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =．由②③得()22222a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故a ≥．当4b =，a ≥P ，所以4b =，a的取值范围为)+∞．22．(2015安徽理)设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为510．(Ⅰ)求E 的离心率e ；(Ⅱ)设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．【解析】(1)由题设条件知，点M 的坐标为21(,)33a b，又10OM k =，从而210b a =，进而得,2a c b ==，故255c e a ==．(2)由题设条件和(I)的计算结果可得，直线AB1y b +=，点N 的坐标为51(,)22b b -，设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为17(,)2x ，则线段NS 的中点T 的坐标为1517(,4244x b b +-+．又点T 在直线AB 上，且1NS ABk k ⋅=-，从而有151742441712252x b b b b ⎧+-+⎪+=⎨+⎪=⎪⎪⎪⎩，解得3b =，所以b =故椭圆E 的方程为221459x y +=．23．(2013安徽文理)如图，21,F F 分别是椭圆C ：22a x +22by =1(0>>b a )的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1F ∠A 2F =60°．(Ⅰ)求椭圆C 的离心率；(Ⅱ)已知△A B F 1的面积为403，求a ，b 的值．【解析】(Ⅰ)1216022c F AF a c e a ο∠=⇔=⇔==(Ⅱ)设2BF m =；则12BF a m =-，在12BF F ∆中，22212122122cos120BF BF F F BF F F ο=+-⨯⨯2223(2)5a m m a am m a ⇔-=++⇔=，1AF B ∆面积211133sin 60()10,5,2252S F F AB a a a a c b ο=⨯⨯⨯⇔⨯⨯+⨯=⇔===考点91直线与椭圆的位置关系24．【2018高考全国2理12】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 的直线上，12PF F △等腰三角形，12120F F P ∠= ，则C 的离心率为()A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】D【解析】试题分析：先根据条件得22PF c =，再利用正弦定理得,a c 关系，即得离心率．试题解析：因为12PF F △为等腰三角形，12212120,2F F P PF F F c ∠=︒==，由AP 斜率为36得，222tan ,sin ,cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∴∠=，由正弦定理得22222sin 221,,4,sin 54sin 3PF PAF c a c e AF APF a c PAF ∠=∴==∴=∴=∠+-∠ ⎪⎝⎭，故选D ．25．(2017新课标Ⅲ文理)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为()A ．63B ．33C ．23D ．13【答案】A 【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a ==，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a =，63c e a ==，故选A ．26．【2016·新课标1文数】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()(A)13(B)12(C)23(D)34【答案】B【解析】如图，在椭圆中，11,,242OF c OB b OD b b ===⨯=，在Rt OFB △中，||||||||OF OB BF OD ⨯=⨯，且222a b c =+，代入解得224a c =，所以椭圆的离心率为12e =，故选B ．27．(2016年全国III 文理)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A【解析】由题意设直线l 的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与0x =得||||()FM k a c =-，||||OE k a =，设OE 的中点为H ，由OBH FBM △∽△，得1||||2||||OE OB FM BF =，即||2||()k a a k a c a c=-+，整理得13c a =，所以椭圆离心率为13e =，故选A ．28．(2016江苏理)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是．【答案】3【解析】由题意得(),0F c ，直线2by =与椭圆方程联立可得2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2b C ⎫⎪⎪⎝⎭，由90BFC ∠=︒可得0BF CF ⋅=，,22b BF c ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，,22b CF c ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，则22231044c a b -+=，由222b a c =-可得223142c a =，则3ce a ===．29．(2015福建文)已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是A．(0,2B ．3(0,]4C．,1)2D ．3[,1)4【答案】A 【解析】设椭圆的左焦点为1F ，半焦距为c ，连结1AF ，1BF ，则四边形1AF BF 为平行四边形，所以11||||||||4AF BF AF BF +=+=，根据椭圆定义，有11||||||||4AF AF BF BF a +++=，所以84a =，解得2a =．因为点M 到直线l ：340x y +=的距离不小于45，即44,155b b ≥≥，所以21b ≥，所以2221,41a c c --≥≥，解得0c <所以02c a <≤，所以椭圆的离心率的取值范围为(0,2．30．(2013新课标1文理)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F(3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ．B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1【答案】D 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b +=①2222221x y a b +=②①－②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，∴AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a，又AB k =0131+-=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b -，解得2b =9，2a =18，∴椭圆方程为221189x y +=，故选D ．31．【2020年高考上海卷10】已知椭圆22:143x y C +=，直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于,P Q 两点(点P 在第二象限)，若Q 关于x 轴对称的点为'Q ，且满足'PQ FQ ⊥，则直线l 的方程为．【答案】1y x =-+【解析】由条件可知FQQ ' 是等腰直角三角形，所以直线l 的倾斜角是135 ，所以直线l 的斜率是tan1351=- ，且过点()1,0F ，得到直线l 的方程为()1y x =--，即1y x =-+．故答案为：1y x =-+．32．(2018浙江理)已知点(0,1)P ，椭圆224x y m +=(1m >)上两点A ，B 满足2AP PB = ，则当m =___时，点B 横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =得122x x -=，1212(1)y y -=-，所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=，所以224x +22324(m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤，当且仅当5m =时取最大值．33．(2018浙江文)已知点(0,1)P ，椭圆224x y m +=(1m >)上两点A ，B 满足2AP PB = ，则当m =___时，点B 横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB = ，得1212212(1)x x y y -=⎧⎨-=-⎩，即122x x =-，1232y y =-．因为点A ，B 在椭圆上，所以222222224(3)44x x m x y m⎧+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得21344y m =+，所以2222221591(32)(5)444244x m y m m m =--=-+-=--+≤，所以当5m =时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2．34．(2015浙江文)椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点(),0F c 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是．【答案】22【解析】设左焦点为1F ，由F 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上，得||||OQ OF =，又1||||OF OF =，所以1F Q QF ⊥，不妨设1||QF ck =，则||QF bk =，1||F F ak =，因此2c ak =，又2a ck bk =+，由以上二式可得22c a k a b c ==+，即c a a b c=+，即22a c bc =+，所以bc =，22e =．35．(2014江西文理)过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于．【答案】22【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，分别代入椭圆方程相减得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b-+-++=，根据题意有12122,2x x y y +=+=，且121212y y x x -=--，所以22221(02a b +⨯-=，得222a b =，整理222a c =，所以22e =．36．(2014辽宁文)已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN +=．【答案】12【解析】设MN 交椭圆于点P ，连接1F P 和2F P ，利用中位线定理可得AN BN +=122222412F P F P a a +=⨯==．37．(2014江西文)设椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点为21F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于B A ，两点，B F 1与y 轴相交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________．【答案】33【解析】由题意可得2(,b A c a ，2(,)b B c a -，由题意可知点D 为1F B 的中点，所以点D 的坐标为2(0,2b a -，由B F AD 1⊥，所以11AD F B k k ⋅=-232b ac =，解得33e =．38．(2014安徽文)设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为____．【答案】22312x y +=【解析】由题意得通径22AF b =，∴点B 坐标为251(,)33c B b --将点B 坐标带入椭圆方程得22221()53()13b c b--+=，又221b c =-，解得222313b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴椭圆方程为22312x y +=．39．(2013福建文)椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，焦距为c 2．若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于．【答案】13-【解析】由题意可知，21F MF ∆中，︒=∠︒=∠︒=∠90,30,60211221MF F F MF F MF ，所以有⎪⎩⎪⎨⎧==+==+12212221222132)2(MF MF a MF MF c F F MF MF ，整理得13-==ac e ，故答案为13-．40．【2020年高考全国Ⅲ文21理数20】已知椭圆()222:10525x y C m m +=<<的离心率为4，,A B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且,BP BQ BP BQ =⊥，求△APQ 的面积．【解析】解法一：(1)由c e a =，得2221b e a =-，即21511625m =-，∴22516m =，故C 的方程为221612525x y +=．(2)设点P 的坐标为(,)s t ，点Q 的坐标为(6,)n ，根据对称性，只需考虑0n >的情形，此时55s -<<，504t < ．∵||||BP BQ =，∴有222(5)1s t n -+=+①．又∵BP BQ ⊥，∴50s nt -+=②．又221612525s t +=③．联立①、②、③，可得，312s t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩或318s t n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．当312s t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩时，(8,1)AP = ，(11,2)AQ =，∴15|82111|22APQ S ==⨯-⨯=△．同理可得，当318s t n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩时，52APQ S =△．综上所述，可得APQ △的面积为52．解法二：(1) 222:1(05)25x y C m m +=<<，∴5a =，b m =，根据离心率4c e a ====，解得54m =或54m =-(舍)，∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=．(2) 点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N，根据题意画出图形，如图，||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又 90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=，∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=．设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时，故532MB =-=， PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图，(5,0)A -，(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：222311110555125211d ⨯-⨯+===+，根据两点间距离公式可得：()()22652055AQ =++-=，∴APQ 面积为：15555252⨯=．②当P 点为(3,1)-时，故5+38MB ==， PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ==，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图，(5,0)A -，(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ 的距离为：()22831114055185185811d ⨯--⨯+===+，根据两点间距离公式可得：()()226580185AQ =++-=∴APQ 面积为：1518522185=．综上所述，APQ 面积为：52．41．【2020年高考天津卷18】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【解析】(Ⅰ) 椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以椭圆的方程为221189x y +=．(Ⅱ) 直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx +=，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+．将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++，所以点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，由3OC OF = ，得点C 的坐标为()1,0，所以直线CP 的斜率为222303216261121CP k kk k k k --+=-+-+=，又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =．所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-．42．【2019年高考天津理】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4，离心率为55．(1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =(O 为原点)，且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．【解析】(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，524,5c b a ==，又222a b c =+，可得a =，2,b =1c =．所以，椭圆的方程为22154x y +=．(2)由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，．设直线PB 的斜率为()0k k ≠，又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P kx k =-+，代入2y kx =+得2281045P k y k -=+，进而直线OP 的斜率24510P p y k x k-=-．在2y kx =+中，令0y =，得2M x k=-．由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k -．由OP MN ⊥，得2451102k k k-⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而2305k =±．所以，直线PB 的斜率为2305或2305-．43．【2019年高考天津文】设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B．已知|2||OA OB =(O 为原点)．(1)求椭圆的离心率；(2)设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x=4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程．【解析】(1)设椭圆的半焦距为c，由已知有2b =，又由222a b c =+，消去b 得22232a a c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得12c a =，所以椭圆的离心率为12．(2)由(1)知，2,a c b ==，故椭圆方程为2222143x y c c+=．由题意，(, 0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221,433(),4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7c x c x ==-．代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-．因为点P 在x 轴上方，所以3,2P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭．由圆心C 在直线4x =上，可设(4, )C t ．因为OC AP ∥，且由(1)知(2 , 0)A c -，故3242ct c c=+，解得2t =．因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l相切，得2=，可得=2c ．所以，椭圆的方程为2211612x y +=．44．【2018高考全国III 文20】(12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >．(1)证明：12k <-；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0 ．证明：2FP FA FB =+．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【解析】试题分析：(1)设而不求，利用点差法进行证明；(2)解出m ，进而求出点P 的坐标，得到FP，再由两点间距离公式表示出,FA FB，得到直l 的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．试题解析：(1)设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m =-．由题设得302m <<，故12k <-．(2)由题意得F(1，0)．设33()P x y ，，则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．由(1)及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP uur ．于是1||22x FA ==-uur ．同理2||=22x FB -uur ．所以1214()32FA FB x x +=-+=uur uur ，故2FA FB FP +=uur uur uur ．45．【2018高考天津文19】(本小题满分14分)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B．已知椭圆的离心率为3，AB =．(I)求椭圆的方程；(II)设直线():0l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点,P M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．【解析】试题分析：(I)由题意结合几何关系可求得3,2a b ==．则椭圆的方程为22194x y +=．(I I)设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，由题意可得215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩可得1x =215x x =，可得89k =-，或12k =-．经检验 的值为12-．试题解析：(I)设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由AB ==3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=．(II)设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，由题意，210x x >>，点 的坐标为()11,x y --．由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得2PM PQ =，从而()21112x x x x -=--⎡⎤⎣⎦，即215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y，可得1x =．由215x x =，可得()532k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-．当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，211212,5x x ==，符合题意．所以，k 的值为12-．46．【2018高考江苏18】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C过点12⎫⎪⎭，焦点())12,0,0F F ，圆O 的直径为12F F ．(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为l的方程．【解析】试题分析：(1)根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得,a b ，即得椭圆方程；(2)第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标．第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程．试题解析：(1)因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．又点12在椭圆C 上，2222311,43,a ba b ⎧+=⎪∴⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．(2)①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．(*) 直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，222222000000()()() 24443640(482)x x y y y x ∴∆=--+-=-=．0000,0,,1x y x y >∴== ．因此，点P的坐标为),1．②OAB △，所以1 2AB OP ⋅=，从而427AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由(*)得001,2x =2221212()()AB y x x y ∴=-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．22003x y += ，22022016(2)32(1)49x AB x -∴==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去)，则2012y =，因此P的坐标为(22．综上，直线l的方程为y =+．47．【2018高考全国1理19】(本小题满分12分)设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为()2,0．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【解析】试题分析：(1)首先根据l 与x 轴垂直，且过点()1,0F ，求得直线l 的方程为1x =，代入椭圆方程求得点A 的坐标为21,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或21,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，利用两点式求得直线AM 的方程；(2)分直线l 与x 轴重合、l 与x 轴垂直、l 与x 轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果．试题解析：(1)由已知得()1,0F ，l 的方程为1x =．由已知可得，点A 的坐标为21,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或21,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．所以AM 的方程为222y x =-+222y x =．(2)当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，OMA OMB ∴∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则122,2x x <<，直线MA MB ,的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--．由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--．将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=．2212121333221222422441284,,23()40212121k k k k k k kk x x x x x x k k k k x x k ---+++==∴-++=∴=+++．从而0MA MB k k +=，故MA MB ,的倾斜角互补，OMA OMB ∴∠=∠．综上，OMA OMB ∠=∠．48．【2018高考全国3理20】(12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >．(1)证明：12k <-；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++= 0．证明：,,FA FP FB成等差数列，并求该数列的公差．【解析】试题分析：(1)设而不求，利用点差法进行证明；(2)解出m ，进而求出点P 的坐标，得到FP，再由两点间距离公式表示出,FA FB，得到直l 的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．试题解析：(1)设()()1122,,,A x y B x y ，则222211221,14343x y x y +=+=．两式相减，并由1212y y k x x -=-得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知12121,22x x y y m ++==，于是34k m=-．①由题设得302m <<，故12k <-．(2)由题意得()1,0F ，设()33,P x y ，则()()()()3311221,1,1,0,0x y x y x y -+-+-=．由(1)及题设得()()31231231,20x x x y y y m =-+==-+=-<．又点P 在C 上，34m ∴=，从而331,,22P FP ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ．于是122xFA ==-= ．同理222x FB =- ，()121432FA FB x x +=-+=∴ ．2FP FA FB =+∴ ，即,,FA FP FB成等差数列．设该数列的公差为d ，则12122d FB FA x x =-=-=②将34m =代入①得1k =-，l ∴的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=．故121212,28x x x x +==，代入②解得28d=49．【2018高考天津理19】(本小题满分14分)设椭圆22221x x a b +=(a>b>0)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅=．(I)求椭圆的方程；(II)设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点)，求k 的值．【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合椭圆的性质可得,32a b ==．则椭圆的方程为22194x y +=．(Ⅱ)设点P 的坐标为()11,x y ，点Q 的坐标为()22,x y ．由题意可得1259y y =．由方程组22{ 194y kx x y =+=，，可得1y =．由方程组{20y kx x y =+-=，，可得221ky k =+．据此得到关于k 的方程，解方程可得k 的值为12或1128试题解析：(Ⅰ)设椭圆的焦距为2c ，由已知有2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=，可得6ab =，从而,32a b ==，∴椭圆的方程为22194x y +=．(Ⅱ)设点P 的坐标为()11,x y ，点Q 的坐标为()22,x y ．由已知有120y y >>，故12PQ sin AOQ y y ∠=-．又2y AQ sin OAB =∠ ，而∠OAB=π4，故2AQ =．由sin 4AQ AOQ PQ =∠，可得1259y y =．由方程组22,194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x，可得1y =易知直线AB 的方程为20x y +-=，由方程组{20y kx x y =+-=，，消去x ，可得221ky k =+．由1259y y =，可得()15k +=，两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =，k ∴的值为12或1128．50．(2017天津文)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b ．(Ⅰ)求椭圆的离心率；(Ⅱ)设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ．(i)求直线FP 的斜率；(ii)求椭圆的方程．【解析】(Ⅰ)设椭圆的离心率为e ．由已知，可得21()22b c a c +=．又由222b ac =-，可得2220c ac a +-=，即2210e e +-=．又因为01e <<，解得12e =．所以，椭圆的离心率为12．(Ⅱ)(ⅰ)依题意，设直线FP 的方程为(0)x my c m =->，则直线FP 的斜率为1m．由(Ⅰ)知2a c =，可得直线AE 的方程为12x yc c+=，即220x y c +-=，与直线FP 的方程联立，可解得(22)3,22m c c x y m m -==++，即点Q 的坐标为(22)3(,)22m c cm m -++．。
高考数学二轮复习 专题06 三角函数的图像与性质讲学案 文-人教版高三全册数学学案
专题06 三角函数的图像与性质1.三角函数y ＝A sin (ωx ＋φ)( A >0，ω>0)的图象变换，周期及单调性是高考热点．2.备考时应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象与性质，并熟练掌握函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的值域、单调性、周期性等．1．任意角和弧度制(1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．(2)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (3)弧长公式：l ＝|α|r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)． (2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 3．诱导公式公式一sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α，tan(2k π＋α)＝tan α公式二sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α公式三sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α4.同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinαcosα(cosα≠0)．5．正弦、余弦、正切函数的性质对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)．对称轴：x ＝π2＋kπ(k∈Z)对称中心：(π2＋kπ，0)(k∈Z)． 对称轴：x ＝kπ(k∈Z)对称中心：(kπ2，0)(k∈Z)6.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0、π2、π、3π2、2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点连线可得．考点一 三角函数图象及其变换例1、(1)(2016·高考全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3【答案】A且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，故φ＝2k π－π6(k ∈Z)，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.优解：代入特殊点检验排除． 当x ＝π3，y ＝2时，排除B ，D.当x ＝－π6，y ＝－2时，排除C ，故选A.(2)(2016·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．【答案】23π【解析】通解：化简后平移函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度得到．【方法规律】1．已知图象求解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的方法 (1)求A ，B ，已知函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，B ＝M ＋m2.(2)求ω，已知函数的周期T ，则ω＝2πT.(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A ，ω，B 已知)，或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是下降区间)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口，具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点中距原点最近的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.2．三角函数图象平移问题处理策略(1)看平移要求：首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数，这是判断移动方向的关键点； (2)看左右移动方向，左“＋”右“－”；(3)看移动单位：在函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中，周期变换和相位变换都是沿x 轴方向的，所以ω和φ之间有一定的关系，φ是初相，再经过ω的压缩，最后移动的单位是⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω.【变式探究】1．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 期的周期函数可知，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z，故选D.考点二 三角函数性质及应用例2、(1)(2016·高考全国卷Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z)B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z) 【答案】B【解析】通解：写出解析式求对称轴．函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，令2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝k π＋π2(k ∈Z)，解得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，所以所求对称轴的方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，故选B.优解：由对称轴平移得对称轴．y ＝2sin 2x 的对称轴为x ＝π4＋k 2π，向左平移π12个单位长度得x ＝π4－π12＋k 2π＝k π2＋π6.(k ∈Z)，故选B.(2)(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5【答案】B【方法技巧】 求解三角函数的性质问题的常用方法及技巧 1．求单调区间的两种方法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω＞0)的单调区间时，令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．2．判断对称中心与对称轴：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f (x 0)的值进行判断．3．三角函数的周期的求法 (1)定义法；(2)公式法：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. (3)利用图象．【变式探究】设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增考点三 三角函数的图象与性质的综合应用例3、已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6cos ωx (0＜ω＜2)，且f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，32. (1)求ω的值及函数f (x )的最小正周期；(2)将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，已知g ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝536，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3的值．解：(1)f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6cos ωx ＝3sin ωx cos ωx ＋3cos 2ωx ＝32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＋32【方法技巧】三角函数解析式化简的基本思路1．将“sin x cos x ”化为12sin 2x ，将sin 2x 或cos 2x 降幂．2．函数解析式成为“a sin x ＋b cos x ”后，利用辅助角公式化为a 2＋b 2sin(x ＋φ)，⎝⎛⎭⎪⎫cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2.3．利用整体思想，对于a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)型的三角函数． 视“ωx ＋φ”为整体，利用sin x 的性质来求解．【变式探究】已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调增区间．(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b ＞0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，即b 的最小值为4π＋1112π＝5912π.1．(2017·高考全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B ．1 C.35D.15【解析】选A.解法一：∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝35sin x ＋335cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值65.故选A.解法二：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝π2，∴f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤65.∴f (x )max ＝65.故选A.2．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 23.【2017课标3，文6】函数1ππ()sin()cos()536f x x x =++-的最大值为（ ）A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A【解析】由诱导公式可得：cos cos sin 6233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 则：()16sin sin sin 53353f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , 函数的最大值为65.所以选A.1.【2016高考新课标3文数】在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos A （ ）（A ）31010 （B ）1010（C ）1010 （D ）31010【答案】C2.【2016高考新课标2文数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725- 【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.3.【2016高考新课标3文数】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．4.【2016年高考四川文数】22cossin 88ππ-= .【答案】2【解析】由二倍角公式得22cossin 88ππ-=cos42=π5.【2016年高考四川文数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 6.【2016高考新课标2文数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B7.【2016年高考北京文数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.32t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.32t =，s 的最小值为3π【答案】A【解析】由题意得，ππ1sin(2)432t =⨯-=，当s 最小时，'P 所对应的点为π1(,)122，此时min πππ4126s ==-，故选A. 8.【2016高考新课标3文数】函数sin 3y x x =-的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π 【解析】因为sin 32sin()3y x x x π=+=+，sin 32sin()3y x x x π==-＝2sin[()]33x π2π+-，所以函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移32π个单位长度得到． 9.【2016高考浙江文数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ） A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B10.【2016高考山东文数】函数f （x ）=3sin x +cos x ）3x –sin x ）的最小正周期是（ ） （A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π【答案】B【解析】()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B. 11.【2016年高考四川文数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 12.【2016高考新课标2文数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B13.【2016年高考北京文数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.32t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.32t =，s 的最小值为3π【答案】A【解析】由题意得，ππ1sin(2)432t =⨯-=，当s 最小时，'P 所对应的点为π1(,)122，此时min πππ4126s ==-，故选A. 14.【2016高考新课标3文数】函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π 【解析】因为sin 32sin()3y x x x π=+=+，sin 32sin()3y x x x π==-＝2sin[()]33x π2π+-，所以函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移32π个单位长度得到． 15.【2016高考新课标3文数】在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos A （ ）（A 310 （B 10（C ）1010 （D ）31010【答案】C16.【2016高考新课标2文数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725- 【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.17.【2016高考新课标3文数】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【2015高考新课标1，文2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )（A ）3-（B 3（C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =osin30=12，故选D. 【2015江苏高考，8】已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3【解析】12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 【2015高考福建，文19】已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x 的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2个单位长度.(Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程； (Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m 在[0,2)内有两个不同的解,．（1)求实数m 的取值范围； （2)证明：22cos )1.5m ( 【答案】(Ⅰ) f()2sin x x ，(kZ).2xk；(Ⅱ)（1）(5,5)；（2）详见解析．【解析】解法一：(1)将()cos g x x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到当1m<5时，+=2(),2();2当5<m<1时, 3+=2(),32();2所以2222cos )cos 2()2sin ()12()1 1.55m m (【2015高考山东，文16】设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫==⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值. 【答案】（I ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（II ）ABC ∆ 23+ 【解析】（I ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=- sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【2015高考重庆，文9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】C 【解析】由已知，3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin 555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos103cos 10ππ==，选C . 【2015高考山东，文3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）（A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B【2015高考新课标1，文8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )(A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B)13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ (C)13(,),44k k k Z -+∈ (D)13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D.1. 【2014高考湖南卷第9题】已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )A.56x π=B.712x π=C.3x π=D.6x π= 【答案】A【考点定位】三角函数图像、辅助角公式2. 【2014高考江苏卷第5题】已知函数cos y x =与函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 .【答案】6π 【解析】由题意cossin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=，2(1)36k k ππϕπ+=+-⋅，()k Z ∈，因为0ϕπ≤<，所以6πϕ=．【考点】三角函数图象的交点与已知三角函数值求角． 3. 【2014辽宁高考文第9题】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 【答案】B【考点定位】函数sin()yA x ωϕ=+的性质.4. 【2014四川高考文第3题】为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ）A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A【解析】1sin(21)sin 2()2y x x =+=+，所以只需把sin 2y x =的图象上所有的点向左平移12个单位.选A.【考点定位】三角函数图象的变换.5. 【2014全国1高考文第6题】如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（ ）POAM【答案】CPOAMD POAM D【考点定位】解直角三角形、三角函数的图象．6. 【2014高考北卷文第14题】设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为 .【答案】π【解析】由)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且)6()2(ππf f -=知，函数)(x f 的对称中心为)0,3(π，由)32()2(ππf f =知函数)(x f 的对称轴为直线127)322(21πππ=+=x ，设函数)(x f 的最小正周期为T ，所以，6221ππ-≥T ，即32π≥T ，所以43127T =-ππ，解得π=T . 【考点定位】函数)sin()(ϕω+=x A x f 的对称性、周期性， 7. 【2014高考安徽卷文第11题】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是________.【答案】83π【考点定位】三角函数的平移、三角函数恒等变换与图象性质.8. 【2014浙江高考文第4题】为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位【答案】Ｄ【解析】sin 3cos3234y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故只需将23y x =向左平移4π个单位．【考点定位】三角函数化简,图像平移.9. 【2014陕西高考文第2题】函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π【答案】B【解析】由周期公式2T w π=，又2w =,所以函数()cos(2)6f x x π=-的周期22T ππ==，故选B . 【考点定位】三角函数的最小正周期.10. 【2014大纲高考文第16题】若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 .【答案】(],2-∞．【解析】()()2sin 2cos 4sin cos cos cos 4sin .,62f x x a x x x a x x x a x ππ⎛⎫'=-+=-+=-+∈ ⎪⎝⎭时，()f x 是减函数，又cos 0x >，∴由()0f x '≤得4sin 0,4sin x a a x -+≤∴≤在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，()min 4sin ,,262a x x a ππ⎛⎫⎛⎫∴≤∈∴≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【考点定位】三角函数的单调性11. 【2014高考江西文第16题】已知函数()sin()cos(2)f xx a x θθ=+++，其中,(,)22a R ππθ∈∈-（1）当4a πθ==时，求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值；（2）若()0,()12f f ππ==，求,a θ的值.【答案】（1最小值为-1. （2）1.6a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩【考点定位】三角函数性质12. (2014·福建卷)已知函数f(x)＝2cos x(sin x ＋cos x)． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x)的最小正周期及单调递增区间．【解析】思路一 直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，解得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.思路二 先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f(x)＝2sin xcos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.[]由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，解得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得k π－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.13. (2014·北京卷)函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f(x)的最小正周期及图中x 0、y 0的值； (2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．。
2015年高考理科数学福建卷(含答案解析)
绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合234{i,i ,i ,i }A =（i 是虚数单位），{1,1}B =-，则A B I 等于（ ）A. {1}-B. {1}C. {1,1}-D. ∅ 2. 下列函数为奇函数的是（ ）A. y =B. |sin |y x =C. cos y x =D. e e x x y -=-3. 若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为1F ,2F ，点P 在双曲线E 上，且1||3PF =，则2||PF 等于（ ）A. 11B. 9C. 5D. 34. 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到根据上表可得回归本线方程ˆˆybx a =+，其中0.76b =，ˆˆa y bx =-，据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭年支出为（ ）A. 11.4万元B. 11.8万元C. 12.0万元D. 12.2万元5. 若变量x ，y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩≥≤≥则2z x y =-的最小值等于（ ）A. 52-B. 2-C. 32-D. 26. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为 （ ）A. 2B. 1C. 0D. 1-7. 若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“l α∥”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 若a ，b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且a ，b ，2-这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ）A. 6B. 7C. 8D. 99. 已知AB AC ⊥u u u r u u u r ,1||AB t =u u u r ，||AC t =u u u r ，若P 点是ABC △所在平面内一点，且4||||AB ACAP AB AC =+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，则 PB PC u u u r u u u r g 的最大值等于 （ ）A. 13B. 15C. 19D. 2110. 若定义在R 上的函数()f x 满足(0)1f =-，其导函数'()f x 满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ）A. 11()f k k<B. 11()1f k k >- C. 11()11f k k <-- D. 1()11k f k k >-- 第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11. 5(2)x +的展开式中，2x 的系数等于________.（用数字作答）12. 若锐角ABC △的面积为，且5AB =，8AC =，则BC 等于________.13. 如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数2()f x x =.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________.14. 若函数6,2,()3log ,2,a x x f x x x -+⎧=⎨+⎩≤＞（0a >且1a ≠）的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是________.15. 一个二元码是由0和1组成的数字串*12()n x x x n ∈N L ，其中()1,2,,k x k n =L 称为第k 位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为）.已知某种二元码127x x x L 的码元满足如下校验方程组：4567236713570,0,0,x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩ 其中运算⊕定义为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那姓名________________ 准考证号_____________---------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------么利用上述校验方程组可判定k等于________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分13分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.（Ⅰ）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（Ⅱ）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望.17.（本小题满分13分）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE EC⊥，2AB BE EC===，G，F分别是线段BE，DC的中点.（Ⅰ）求证：GF∥平面ADE；（Ⅱ）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.18.（本小题满分13分）已知椭圆22221(a0)x yE ba b+=>>：过点，且离心率为e=.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线:1,()l x my m=-∈R交椭圆E于A，B两点，判断点9(,0)4G-与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.19.（本小题满分13分）已知函数()f x的图象是由函数()cosg x x=的图象经如下变换得到：先将()g x图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移π2个单位长度.（Ⅰ）求函数()f x的解析式，并求其图象的对称轴方程；（Ⅱ）已知关于x的方程()()f xg x m+=在[0,2π)内有两个不同的解α，β.（ⅰ）求实数m的取值范围；（ⅱ）证明：22cos)15mαβ-=-(.20.（本小题满分14分）已知函数()ln(1)f x x=+，()g x kx=()k∈R.（Ⅰ）证明：当0x>时，()f x x<；（Ⅱ）证明：当1k<时，存在x>，使得对任意的(0)x x∈,，恒有()()f xg x>；（Ⅲ）确定k的所以可能取值，使得存在0t>，对任意的(0,)x t∈恒有2|()()|f xg x x-<.21. 本题设有（1），（2），（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵2143⎛⎫= ⎪⎝⎭A，1101⎛⎫= ⎪-⎝⎭B.（Ⅰ）求A的逆矩阵1-A；（Ⅱ）求矩阵C，使得=AC B.（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为13cos,23sin,x ty t=+⎧⎨=-+⎩（t为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线lπsin(),()4m mθ-=∈R.（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值.（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知0a>，0b>，0c>，函数()||||f x x a x b c=++-+的最小值为4.（Ⅰ）求a b c++的值；（Ⅱ）求2221149a b c++的最小值.2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】∵234{i }{i ,i ,i ,i ,1,}i,1A ==--，}1{1,B =-， ∴{i }{}{}1i 11111A B =---=-I I ，，，，，．【提示】利用虚数单位i 的运算性质化简A ，然后利用交集运算得答案． 【考点】虚数单位i 及其性质，交集及其运算． 2.【答案】D【解析】A ．函数的定义域为[0,)+∞，定义域关于原点不对称，故A 为非奇非偶函数． B ．()|()|||()f x sin x sinx f x -=-==，则()f x 为偶函数． C ．cos y x =为偶函数．D ．()e e (e e ())x x x x f x f x ---=-=--=-，则()f x 为奇函数 【提示】根据函数奇偶性的定义进行判断即可． 【考点】函数奇偶性的判断，余弦函数的奇偶性． 3.【答案】B【解析】由题意，双曲线22:1916x y E -=中3a =∵3a =，∴P 在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得21|||6|PF PF -=，∴2||9PF =【提示】确定P 在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论． 【考点】双曲线的简单性质 4.【答案】B 【解析】由题意可得(8.28.610.011.311.9)1501x ++++==，(6.27.58.08.5915.8)8y ++++==，代入回归方程可得80.76100.4a =-⨯=$， ∴回归方程为0.760.4y x =+$， 把15x =代入方程可得0.76150.411.8y =⨯+=【提示】由题意可得x 和y ，可得回归方程，把15x =代入方程求得y 值即可． 【考点】线性回归方程5.【答案】D【解析】由约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩作出可行域如图，由图可知，最优解为A ，联立20220x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭．∴2z x y =-的最小值为152(1)22⨯--=-．【提示】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案． 【考点】简单线性规划 6.【答案】C【解析】模拟执行程序框图，可得AGB ∠，0S =πcos 2S =，i 2=不满足条件i 5>，πcoscos π2S =+，i 3= 不满足条件i 5>，π3πcos cos πcos 22S =++，i 4=不满足条件i 5>，π3πcos cos πcos cos2π22S =+++，i 5=不满足条件i 5>，π3π5πcoscos πcos cos2πcos 010100222S =++++=-+++=+，i 6= 满足条件i 5>，退出循环，输出S 的值为0【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i ，S 的值，当i=6时满足条件i>5，退出循环，输出S 的值为0 【考点】循环结构 7.【答案】B【解析】l m ，是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”可能“l α∥”也可能l α⊂，反之，“l α∥”一定有“l m ⊥”所以l m ，是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“l α∥”的必要而不充分条件．【提示】利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可． 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 8.【答案】D【解析】由题意可得：a b p ab q +==，， ∵00p q >>，， 可得00a b >>，，又2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得224b a ab =-⎧⎨=⎩①或224a b ab =-⎧⎨=⎩②．解①得：41a b =⎧⎨=⎩；解②得：14a b =⎧⎨=⎩．∴5144p a b q =+==⨯=，，则9p q += 【考点】等比数列的性质，等差数列的性质．【提示】由一元二次方程根与系数的关系得到a b p ab q +==，，再由2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a b ，的方程组，求得a b ，后得答案． 9.【答案】A【考点】平面向量数量积的运算【提示】建系，由向量式的几何意义易得P 的坐标，可化1144(1)4PB PC t t t t ⎛⎫⎛⎫=----=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu r uu u r g g ，由基本不等式可得．【解析】由题意建立如图所示的坐标系， 可得1(0,0),0(0,)t A B C t ⎛⎫⎪⎝⎭，，，∵4||||AB AC AP AB AC =+uu u r uuu ruu u r uu u r uuu r ，∴(1,4)P ，∴11,4PB t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭uu r ，(1,4)C t P -=-uu ur ，∴114(1)1744t t t PB t PC ⎛⎫⎛⎫---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭-uu r uu u r g ，由基本不等式可得144t t +≥=，∴117417413t t ⎛⎫-+≤-= ⎪⎝⎭当且仅当14t t =即12t =时取等号，∴PB PC uu r uu u rg 的最大值为13，10.【答案】C【解析】解；∵lim()(0)(0)0x f x f f x →-'=-()1f x k '>>， ∴()(0)1f x f k x ->>，即()11f x k x+>>，当11x k =-时，1111111f k k k k ⎛⎫+>⨯= ⎪---⎝⎭，即1111111f k k k ⎛⎫>-= ⎪---⎝⎭ 故1111f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭，所以1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭，一定出错， 另解：设()()1g x f x kx =-+，0(0)g =，且()()0g x f x k ''=->，()g x 在R 上递增，1k >，对选项一一判断，可得C 错．【提示】根据导数的概念得出()(0)1f x f k x ->>，用11x k =-代入可判断出1111f k k ⎛⎫>⎪--⎝⎭，即可判断答案． 【考点】函数的单调性与导数的关系第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】80【解析】5(2)x +的展开式的通项公式为5152r r r r T C x -+=g g ，令52r -=，求得3r =，可得展开式中2x 项的系数为335280C =g ，【提示】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于2，求得r 的值，即可求得展开式中的2x 项的系数． 【考点】二项式定理 12.【答案】7【解析】因为锐角ABC △的面积为，且5AB =，8AC =，所以158sin 2A ⨯⨯⨯=，所以sin A =所以60A =︒，所以1cosA =， 所以7BC ==【提示】利用三角形的面积公式求出A ，再利用余弦定理求出BC ． 【考点】余弦定理的应用 13.【答案】512【解析】由已知，矩形的面积为4(21)4⨯-=，阴影部分的面积为22321115(4)433x dx x x ⎛⎫⎰-=-= ⎪⎝⎭由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于512； 【提示】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式解答． 【考点】定积分的简单应用，几何概型 14.【答案】(1,2]【解析】由于函数6,2()(01)3log ,2a x c f x a a x x -+≤⎧=>≠⎨+>⎩且的值域是[4,)+∞， 故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，∴log 1a x ≥，∴log 21a ≥，∴12a <≤ 综上可得，12a <≤，【提示】当2x ≤时，满足()4f x ≥．当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，即log 1a x ≥，故有log 21a ≥，由此求得a 的范围，综合可得结论． 【考点】对数函数的单调性与特殊点 15.【答案】5【解析】依题意，二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101， ①若1k =，则12345670101101x x x x x x x =======，，，，，，， 从而由校验方程组，得45671x x x x ⊕⊕⊕=，故1k ≠；②若2k =，则12345671001101x x x x x x x =======，，，，，，， 从而由校验方程组，得23671x x x x ⊕⊕⊕=，故2k ≠；③若3k =，则12345671111101x x x x x x x =======，，，，，，， 从而由校验方程组，得23671x x x x ⊕⊕⊕=，故3k ≠；④若4k =，则12345671100101x x x x x x x =======，，，，，，， 从而由校验方程组，得13571x x x x ⊕⊕⊕=，故4k ≠；⑤若5k =，则12345671101001x x x x x x x =======，，，，，，， 从而由校验方程组，得4567236713570,0,0x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=， 故5k =符合题意；⑥若6k =，则12345671101111x x x x x x x =======，，，，，，， 从而由校验方程组，得23671x x x x ⊕⊕⊕=，故6k ≠；⑦若7k =，则123456110110x x x x x x ======，，，，，，70x =， 从而由校验方程组，得23671x x x x ⊕⊕⊕=，故7k ≠； 综上，k 等于5【提示】根据二元码127x x x L 的码元满足的方程组，及“⊕”的运算规则， 将k 的值从1至7逐个验证即可． 【考点】通讯安全中的基本问题 三、解答题16.【答案】52【考点】离散型随机变量的期望与方差，相互独立事件的概率乘法公式． 【提示】（1）根据概率的公式即可求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）随机变量X 的取值为：1，2，3，分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望． 【解析】（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则5431()=6542P A =⨯⨯．（2）有可能的取值是1，2，3 又则1(1)6P X ==， 511(2)656P X ==⨯=，542(3)653P X ==⨯=1236632EX =⨯+⨯+⨯=17.【答案】（1）见解析（2）23【解析】解法一：（1）如图，取AE 的中点H ，连接HG ，HD ， ∵G 是BE 的中点，∴GH AB ∥，且12GH AB =， 又∵F 是CD 中点，四边形ABCD 是矩形， ∴DF AB ∥，且12DF AB =，即GH DF ∥，且GH DF =， ∴四边形HGFD 是平行四边形，∴GF DH ∥，又∵DH ADE ⊂平面，GF ADE ⊄平面，∴GF ADE ∥平面． （2）如图，在平面BEG 内，过点B 作BQ CE ∥， ∵BE EC ⊥，∴BQ BE ⊥，又∵AB BEC ⊥平面，∴AB BE ⊥，AB BQ ⊥，以B 为原点，分别以BE uur ，BQ uu u r ，BA uu r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,2)(0,0,0)2,0,0)(2,2,1)(A B E F ，，， ∵AB BEC ⊥平面，∴(0,0,2)BA =uu r为平面BEC 的法向量，设(,,)n x y z =r为平面AEF 的法向量．又(2,0,2)BE =-uur ，(2,2,1)AF =-uuu r由垂直关系可得220220n AE x z n AF x y z ⎧==-=⎪⎨==+-=⎪⎩r uu u r r uuu r，取2z =可得(2,1,2)n =-r ． ∴2cos ,3||||n BA n BA n BA 〈〉>=r uu rr uu r g r uu r∴平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23． 解法二：（1）如图，取AB 中点M ，连接MG ，MF ， 又G 是BE 的中点，可知GM AE ∥，且12GM AE =又AE ⊂平面ADE ，GM ⊄平面ADE ， ∴GM ∥平面ADE ．在矩形ABCD 中，由M ，F 分别是AB ，CD 的中点可得MF AD ∥． 又AD ⊂平面ADE ，MF ⊄平面ADE ，∴MF ADE ∥平面． 又∵GM MF M =I ，GM ⊂平面GMF ，MF GMF ⊂平面∴平面GMF ADE ∥平面，∵GF GMF ⊂平面，∴GF ADE ∥平面 （2）同解法一．【提示】解法一：（1）取AE 的中点H ，连接HG ，HD ，通过证明四边形HGFD 是平行四边形来证明GF DH ∥，由线面平行的判定定理可得；（2）以B 为原点，分别以BE uur ，BQ uu u r，BA uu r 的方向为x 轴，y 轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得平面BEC 和平面AEF 的法向量，由向量夹角的余弦值可得．解法二：（1）如图，取AB 中点M ，连接MG ，MF ，通过证明平面GMF ∥平面ADE 来证明GF ∥平面ADE ； （2）同解法一．【考点】用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定．18.【答案】（1）22142x y +=（2）见解析【解析】解法一：（1）由已知得222b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2a b c =⎧⎪⎨==⎪⎩，∴椭圆E 的方程为22142x y +=． （2）设点11)(A x y ，22)(,B x y ，AB 中点为00)(,H x y ．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为22(2)230m y my +--=，∴12222m y y m +=+，12232y y m -=+，∴022m y m =+． 9,04G ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴222222200000095525||(1)44216GH x y my y m y my ⎛⎫⎛⎫=++=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．222222212121212012()()(1)[()4]||(1)()444x x y y m y y y y AB m y y y -+-++-===+-， 故222222012222||52553(1)25172||(1)042162(2)21616(2)AB m m m GH my m y y m m m ++-=+++=-+=>+++. ∴2||||2AB GH >，故G 在以AB 为直径的圆外． 解法二：（1）同解法一．（2）设点11)(A x y ，22)(,B x y ，则119,4GA x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭uu r ，229,4GB x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭uu u r ．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为222)230(m y my +--=，∴12222m y y m +=+，12232y y m -=+，从而12129944GA GB x x y y ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭uu r uu u r g12125544my my y y ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21212525(1)()416m y y m y y =++++22222253(1)2517202(2)21616(2)m m m m m m ++=-+=>+++ ∴0GA GB >uu r uu u r g 又GA uu r ，GB uu u r不共线，∴AGB ∠为锐角．故点9,04G ⎛⎫- ⎪⎝⎭在以AB 为直径的圆外．【提示】解法一：（1）由已知得2222b ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得即可得出椭圆E 的方程．（2）设点11)(,A x y ，22)(,B x y ，AB 中点为00(),H x y ．直线方程与椭圆方程联立化为22(2)230m y my +--=，利用根与系数的关系中点坐标公式可得：022m y m =+．222009||4GH x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．2221212(1)[()4]||44m y y y y AB ++-=，作差22|||4|AB GH -即可判断出． 解法二：（1）同解法一．（2）设点1122(,(,))A x y B x y ，，则119=,4GA x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭uu r ，229=,4GB x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭uu u r ．直线方程与椭圆方程联立化为22(2)230m y my +--=，计算12129944GA GB x x y y ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭uu r uu u r g即可得出AGB ∠，进而判断出位置关系． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 19.【答案】（1）()2sin f x x =ππ()2x k k =+∈Z（2）（i）( （ii ）见解析【解析】（1）将c (s )o x g x =的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到2cos y x =的图象，再将2cos y x =的图象向右平移π2个单位长度后得到π2cos 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故()2sin f x x =，从而函数()2sin f x x =图象的对称轴方程为ππ()2x k k =+∈Z ．（2）（i）()()2sin cos )f x g x x x x x x ϕ⎫+=++=+⎪⎭（其中sin ϕ=cos ϕ=依题意，in )(s x ϕ+在区间[0,2π)内有两个不同的解αβ，，1<，故m的取值范围是(． （ii ）因为αβ，)x m ϕ+=在区间[0,2π)内的两个不同的解，所以sin()αϕ+=，sin()βϕ+=．当1m ≤<时，π22αβϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即π2()αββϕ-=-+；当1m <时，23π2αβϕ+=-⎛⎫⎪⎝⎭，即3π2()αββϕ-=-+；所以2222cos()cos2()2sin ()12115m αββϕβϕ-=-+=+-=-=-．【提示】（1）由函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律可得：()2sin f x x =，从而可求对称轴方程．（2）（i ）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得：()())f x g x x ϕ+=+（其中sin ϕ=，cos ϕ=，1<，即可得解．（ii）由题意可得sin()αϕ+=，sin()βϕ+=当1m ≤π2()αββϕ-=-+，当0m <时，可求3π2()αββϕ-=-+，由2cos()2sin ()1αββϕ-=+-，从而得证． 【考点】三角函数中的恒等变换应用，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换． 20.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）见解析【解析】（1）证明：令()()ln(1)f x f x x x x =-=+-，0x ≥ 则有1()111xf x x x '=-=-++， ∵0x ≥，∴()0f x '≤，∴()f x 在[0,)+∞上单调递减， ∴当,()0x ∈+∞时，有()(0)0f x f =＜， ∴0x >时，()f x x <；（2）证明：令()()ln(1())g x f x g x x kx =-=+-，,()0x ∈+∞，则有1(1)()11kx k g x k x x -+-'=-=++，当0k ≤时，()0g x '>， ∴()g x 在(0,)+∞上单调递增， ∴()(0)0g x g >=，故对任意正实数0x 均满足题意．当01k <<时，令()0g x '=，得1110k x k k-==->．取011x k =-，对任意0)(0,x x ∈，恒有()0g x '>，∴()g x 在0(0,)x 上单调递增，()(0)0g x g >=，即()()f x g x >．综上，当1k <时，总存在00x >，使得对任意的0)(0,x x ∈，恒有()()f x g x >； （3）解：当1k >时，由（1）知，对于任意,()0x ∈+∞，()()x g x f x >>， 故()()g x f x >，()()()()ln(1)f x g x g x f x kx x -=-=-+， 令2ln(1)()M x kx x x =-+-，,()0x ∈+∞，则有212(2)1()211x k x k M x k x x x -+-+-'=--=++，故当x ⎛ ∈ ⎝⎭时，()0M x '>，()M x在0⎡⎢⎣⎢⎭上单调递增，故()(0)0M x M >=，即2()()||f x x g x ->，∴满足题意的t 不存在． 当1k <时，由（2）知存在00x >，使得对任意的0(0,)()()f x x x g x ∈>，． 此时|()()|()()ln(1)f x g x f x g x x kx -=-=+- 令2ln(1)0(),)[N x kx x x x =+--∈+∞，，则有212(2)121(1)x x k x k N k x x x--+-+'=--=++， 故当x ⎛ ∈ ⎝⎭时，0()N x '>，()N x在⎡⎢⎢⎭⎣上单调递增，故()(0)0N x N >=， 即2()()x f x g x ->，记0x1x ，则当1)(0,x x ∈时，恒有2()()||f x x g x ->，故满足题意的t 不存在．当1k =，由（1）知，当,()0x ∈+∞时，()()|()|()ln(1)f x g x g x f x x x =-=-+-， 令2ln(1)([0),)H x x x x x =-+-∈+∞，，则有2121)121(x xH x x xx --'=--=++， 当0x >，()0H x '<，∴()H x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0H x H <=， 故当0x >时，恒有2()()||f x x g x -<，满足0t >的实数t 存在． 综上，1k =【提示】（1）令()()ln(1)f x f x x x x =-=+-，0x ≥，求导得到()0f x '≤， 说明()f x 在[0,)+∞上单调递减，则0x >时，()f x x <；（2）令(()ln (1))()f x g x g x x kx =-=+-，,()0x ∈+∞，可得0k ≤时，()0g x '>， 说明()g x 在(0,)+∞上单调递增，存在00x >，使得对任意0)(0,x x ∈，恒有()()f x g x >； 当01k <<时，由()0G x '=求得1110k x k k-==->． 取011x k=-，对任意0)(0,x x ∈，恒有()0g x '>，()g x 在上单调递增， ()0)0(g x g >=，即()()f x g x >；（3）分1k >、1k <和1k =把不等式2|()()|f x g x x -<的左边去绝对值， 当1k >时，利用导数求得2|()()|f x g x x ->，满足题意的t 不存在．当1k <时，由（2）知存在00x >，使得对任意的任意0()0,x x ∈，()()f x g x >． 令2()(ln 1)N x x x x k =+--，,[)0x ∈+∞，求导数分析满足题意的t 不存在． 当1k =，由（1）知，当,[)0x ∈+∞时，()|()()()n |l (1)g x f x x f x x x g -=-=-+， 令2()ln(1)H x x x x =-+-，,[)0x ∈+∞，则有0x >，()0H x '<，()H x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0H x H =＜，说明当0x >时，恒有2|()()|f x g x x -<，此时，满足0t >的实数t 存在．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用21.【答案】（1）312221⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭（2）32223⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭【解析】（1）因为||23142A =⨯-⨯=，所以131312222422122A --⎛⎫⎛⎫ ⎪-⎪==⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）由AC B =得11()A A C A B --=，故1313112222012123C B A -⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭---⎝⎭⎝⎭． 【提示】（1）求出矩阵的行列式，即可求A 的逆矩阵1A -； （2）由AC B =得11()A A C A B --=，即可求矩阵C ，使得AC B =． 【考点】逆变换与逆矩阵22.【答案】（1）22(1)(2)9x y -++=0x y m -+=（2）3-±【解析】（1）消去参数t ，得到圆的普通方程为22(1)(2)9x y -++=，πsin 4m θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 0m ρθρθ--=，所以直线l 的直角坐标方程为：0x y m -+=.（2）依题意，圆心(1,2)C -到直线0l x y m -+=:的距离等于22=，解得3m =-±．【提示】（1）直接利用极坐标与直角坐标的互化以及参数方程与普通方程的互化求解即可． （2）直接利用点到直线的距离个数求解即可． 【考点】圆的参数方程，简单曲线的极坐标方程． 23.【答案】（1）4 （2）87【解析】（1）因为|()|||||()()||f x x a x b c x a x b c a b c =++-+≥+--+=++， 当且仅当a x b -≤≤时，等号成立，又00a b >>，，所以||a b a b +=+， 所以()f x 的最小值为a b c ++，所以4a b c ++=；（2）由（1）知4a b c ++=，由柯西不等式得，2222211(491)231()164923a b a b c c a b c ⎛⎫⎛⎫++++≥++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g g， 即222118497a b c ++≥ 当且仅当1132231b a c ==，即87a =，187b =，27c =时，等号成立．所以2221149a b c ++的最小值为87．【提示】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值； （2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值． 【考点】一般形式的柯西不等式。
2010-2019历年高考数学《等差数列》真题汇总
2010-2019历年高考数学《等差数列》真题汇总专题六 数列第十五讲 等差数列2019年1. （2019全国Ⅰ文18）记S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =－． （1）若34a =，求{}n a 的通项公式；（2）若10a >，求使得n n S a ≥的n 的取值范围．2. （2019全国Ⅲ文14）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.3.（2019天津文18）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知113a b ==，23b a = ，3243b a =+.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足21,,,n n n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩奇偶为数为数求()*112222n na c a c a c n N +++∈L .4.（2019江苏8）已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 .2010-2018年一、选择题1．（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+2S S S >”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2．（2015新课标2）设n S 是数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5SA ．5B ．7C ．9D ．13．（2015新课标1）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a = A ．172 B ．192C ．10D ．12 4．（2014辽宁）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >5．（2014福建）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =A ．8B ．10C ．12D ．14 6．（2014重庆）在等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则7a =A ．5B ．8C ．10D ．147．（2013新课标1）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m ＝A ．3B ．4C ．5D ．68．（2013辽宁）下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为A ．12,p pB ．34,p pC ．23,p pD ．14,p p 9．（2012福建）等差数列{}n a 中，1510a a +=,47a =，则数列{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．3D ．410．（2012辽宁）在等差数列{}n a 中，已知48+=16a a ，则该数列前11项和11=S A ．58 B ．88 C ．143 D ．17611．（2011江西）设{}n a 为等差数列，公差2d =-,n s 为其前n 项和，若1011S S =，则1a =A ．18B ．20C ．22D ．2412．（2011安徽）若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),nn a n a a a =--+++=L 则A ．15B ．12C ．-12D ．-1513．（2011天津）已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为A ．－110B ．－90C ．90D ．11014．（2010安徽）设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为A ．15B ．16C ．49D ．64 二、填空题15．（2015陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为_____．16．（2014北京）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =____时，{}n a 的前n 项和最大．17．（2014江西）在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取最大值，则d 的取值范围_________．18．（2013新课标2）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n nS 的最小值为____．19．（2013广东）在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____． 20．（2012北京）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，23S a =，则2a = ；n S = ．21．（2012江西）设数列{},{}n n a b 都是等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=____．22．（2012广东）已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =____．23．（2011广东）等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若11a =，40k a a +=，则k =_________．三、解答题24．（2018全国卷Ⅱ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17=-a ，315=-S ．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最小值．25．（2018北京）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求12e e e n aa a +++L ．26．（2017天津）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N ． 27．（2017江苏）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足11112n k n k n n n k n k n a a a a a a ka --+-++-+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=对任意正整数n ()n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列． 28．（2016年北京）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等差数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．29．（2016年山东）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（I ）求数列{}n b 的通项公式；（II ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T ． 30．（2015福建）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．31．（2015山东）已知数列}{n a 是首项为正数的等差数列，数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为12+n n． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设(1)2n an n b a =+⋅，求数列}{n b 的前n 项和n T ． 32．（2015北京）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =．问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 33．（2014新课标1）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根．(Ⅰ)求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和． 34．(2014新课标1)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数．(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由．35．（2014浙江）已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2336S S ⋅= （Ⅰ）求d 及n S ；（Ⅱ）求,m k （*,m k N ∈）的值，使得1265m m m m k a a a a +++++++=L ． 36．（2013新课标1）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列21211{}n n a a -+的前n 项和．37．（2013福建）已知等差数列{}n a 的公差1d =，前n 项和为n S ．（Ⅰ）若131,,a a 成等比数列，求1a ； （Ⅱ）若519S a a >，求1a 的取值范围．38．（2013新课标2）已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且11113,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+．39．（2013山东）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，221n n a a =+（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和n T ,且12n n na T λ++=（λ为常数），令2n n c b =（*n ∈N ）．求数列{}n c 的前n 项和n R ．40．（2011福建）已知等差数列{}n a 中，1a =1，33a =-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n a 的前k 项和35k S =-，求k 的值．41．（2010浙江）设1a ，d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足56S S +15=0．（Ⅰ）若5S =5，求6S 及1a ； （Ⅱ）求d 的取值范围． 答案部分1.解析（1）设{}n a 的公差为d ．由95S a =-得140a d +=．由a 3=4得124a d +=．于是18,2a d ==-．因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．（2）由（1）得14a d=-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=.由10a >知0d <，故n n S a…等价于211100n n -+„，解得110n ≤≤．所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N 剟． 2.解析 在等差数列{}n a 中，由35a =，713a =，得731352734a a d --===-，所以132541a a d =-=-=，则1010910121002S ⨯=⨯+⨯=．3.解析（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q 依题意，得23323154q d q d =+⎧⎨=+⎩，解得33d q =⎧⎨=⎩，故33(1)3n a n n =+-=，1333n nn b -=⨯=.所以，{}n a 的通项公式为3n a n =()n *∈N ，{}n b 的通项公式 为3n n b =()n *∈N .（Ⅱ）112222n na c a c a c ++⋯+()()135212142632n n n a a a a a b a b a b a b -=+++⋯++++++L()123(1)3663123183...632n n n n n -⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯⎢⎥⎣⎦()2123613233n n n =+⨯+⨯++⨯L1213233nn T n =⨯+⨯+⋯+⨯. ① 2331313233n T n +=⨯+⨯++⨯L ， ②②-①得，()12311313(21)3323333..3313.2n n n n n n n T n n +++--+=----+=-⨯=-+⨯-，故()121334n n n T +-+=.所以，()122112222213336332n n n n n a c a c a c n T n +-+++=+=+⨯L()22*(21)3692n n n n N +-++=∈.4.解析 设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1111()(4)70989272a d a d a d a d ++++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得152a d =-⎧⎨=⎩．所以818786(5)152162dS a ⨯=+=⨯-+⨯=.2010-2018年1．C 【解析】∵655465()()S S S S a a d---=-=，当0d >，可得465+2S S S >；当465+2S S S >，可得0d >．所以“0d >”是“465+2S S S >” 充分必要条件，选C ．2．A 【解析】13533331a a a a a ++==⇒=，()15535552a a S a +===．故选A ．3．B 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题设知1d =，844S S =，所以118284(46)a a +=+，解得112a =，所以10119922a =+=．4．C 【解析】∵数列1{2}na a 为递减数列，111111[(1)]()n a a a a n d a dn a a d =+-=+-，等式右边为关于n 的一次函数，∴10a d <．5．C 【解析】 设等差数列{}n a 的公差为d ，则3133S a d=+，所以12323d =⨯+，解得2d =，所以612a =．6．B 【解析】由等差数列的性质得1735a a a a +=+，因为12a =，3510a a +=，所以78a =，选B ．7．C 【解析】有题意知m S =1()2m m a a +=0，∴1a =－m a =－（m S -1m S -）=－2， 1m a +=1m S +-mS =3，∴公差d =1m a +-ma =1，∴3=1m a +=－2m +，∴m =5，故选C ． 8．D 【解析】设1(1)n a a n d dn m=+-=+，所以1p 正确；如果312n a n =-则满足已知，但2312n na n n =-并非递增所以2p 错；如果若1n a n =+，则满足已知，但11n a n n =+，是递减数列，所以3p 错；34n a nd dn m +=+，所以是递增数列，4p 正确．9．B 【解析】由题意有153210a a a +==,35a =,又∵47a =，∴432a a -=，∴2d =．10．B 【解析】4866+=2=16=8a a a a ∴，而()11111611+==11=882a a S a ，故选B.11．B 【解析】由1011S S =，得1111100a S S =-=，111(111)0(10)(2)20a a d =+-=+-⨯-=．12．A 【解析】10121014710(1)(3102)a a a ++⋅⋅⋅+=-+-++⋅⋅⋅+-⋅⨯-910(14)(710)[(1)(392)(1)(3102)]15=-++-++⋅⋅⋅+-⋅⨯-+-⋅⨯-=．13．D 【解析】因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2739a a a =，又数列{}n a 的公差为-2，所以2111(12)(4)(16)a a a -=--，解得120a =，故20(1)(2)222n a n n=+-⨯-=-，所以1101010()5(202)1102a a S +==⨯+=．14．A 【解析】887644915a S S =-=-=．15．5【解析】设该数列的首项为1a ，由等差数列的性质知1201510102a +=，所以1202020155a =-=．16．8【解析】∵数列{}n a 是等差数列，且789830a a a a ++=>，80a >．又710890a a a a +=+<，∴90a <．当n =8时，其前n 项和最大．17．7(1,)8--【解析】由题意可知，当且仅当8=n 时n S 取最大值，可得8900d a a <⎧⎪>⎨⎪<⎩，解得718d -<<-．18．－49【解析】设{}n a 的首项为1a ，公差d ，由100S =，1525S =，得112903215a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得123,3a d =-=，∴()321103n nS n n =-，设()()321103f n n n =-，()220,3f n n n '=- 当2003n <<时()0f n '<，当203n >，()0f n '>，由*n N ∈， 当6n =时，()()31661036483f =-⨯=- 当7n =时，()()3217107493f n =-⨯=-∴7n =时，nnS 取得最小值49-．19．20【解析】 依题意12910a d +=，所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=．或：()57383220a a a a +=+=20．1，(1)4n n +【解析】设公差为d ,则1122a d a d +=+,把112a =代入得12d =， ∴21a =，n S =1(1)4n n +21．35【解析】（解法一）因为数列{},{}n n a b 都是等差数列，所以数列{}n n a b +也是等差数列．故由等差中项的性质，得()()()5511332a b a b a b +++=+，即()557221a b ++=⨯，解得5535a b +=．（解法二）设数列{},{}n n a b 的公差分别为12,d d ,因为331112(2)(2)a b a d b d +=+++1112()2()a b d d =+++1272()21d d =++=所以127d d +=.所以553312()2()35a b a b d d +=+++=.22．21n a n =-【解析】221321,412(1)4a a a d d ==-⇔+=+-221n d a n ⇔=⇔=-．23．10【解析】设{}n a 的公差为d ，由94S S =及11a =，得9843914122d d ⨯⨯⨯+=⨯+，所以16d =-．又40k a a +=，所以11[1(1)()][1(41)()]066k +-⨯-++-⨯-=，即10k =． 24．【解析】(1)设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-．由17a =-得2=d ．所以{}n a 的通项公式为29n a n =-． (2)由(1)得228(4)16n S n n n =-=--．所以当4=n 时，nS 取得最小值，最小值为−16．25．【解析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，∵235ln 2a a +=， ∴1235ln 2a d +=，又1ln 2a =，∴ln 2d =．∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=．(2)由(1)知ln 2n a n =，∵ln 2ln 2e ee =2nn a n n ==， ∴{e }na 是以2为首项，2为公比的等比数列． ∴212ln 2ln 2ln 2e e e e ee nn a a a +++=+++L L 2=222n +++L 1=22n +-．∴12e e ena a a+++L 1=22n +-．26．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=．又因为0q >，解得2q =．所以，2n n b =．由3412b a a =-，可得138d a -=①．由11411S b =，可得1516a d +=②，联立①②，解得11,3a d ==，由此可得32n a n =-．所以，{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2nn b =．（Ⅱ）解：设数列2{}n n a b 的前n 项和为nT ，由262n a n =-，有2342102162(62)2nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，2341242102162(68)2(62)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ，上述两式相减，得23142626262(62)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L1212(12)4(62)2(34)21612n n n n n ++⨯-=---⨯=----．得2(34)216n n T n +=-+．所以，数列2{}n n a b 的前n 项和为2(34)216n n +-+．27．【解析】证明:（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，从而，当n 4≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d--+++-122(1)2na n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n na a a a a a a ---+++++=321123+++6，因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”.（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此，当3n ≥时，n n n n na a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n na a a a a a a ---++++++++=3211236.②由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n na a a -++=112，其中4n ≥，所以345,,,a a a L是等差数列，设其公差为d'.在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-，所以数列{}n a 是等差数列.28．【解析】（I ）等比数列{}n b 的公比32933b q b ===，所以211bb q ==，4327b b q ==．设等差数列{}n a 的公差为d ．因为111a b ==，14427a b ==，所以11327d +=，即2d =．所以21n a n =-（1n =，2，3，⋅⋅⋅）．（II ）由（I ）知，21n a n =-，13n n b -=．因此1213n n n n c a b n -=+=-+．从而数列{}n c 的前n 项和()11321133n n S n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()12113213n n n +--=+-2312n n -=+．29．【解析】（Ⅰ）由题意当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ，当1=n 时，1111==S a ；所以56+=n a n ；设数列的公差为d ，由⎩⎨⎧+=+=322211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=d b db 321721111，解之得3,41==d b ，所以13+=n b n ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知112)1(3)33()66(=-⋅+=++=n nn n n n n c ，又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，即23413[223242(1)2]n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++，所以]2)1(242322[322543+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T ，以上两式两边相减得234123[22222(1)2]n n n T n ++-=⨯+++⋅⋅⋅+-+224(21)3[4(1)2]3221n n n n n ++-=+-+=-⋅-．所以223+⋅=n n n T ．30．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得2n n b n=+，所以231012310(21)(22)(23)(210)b b b b ++++=+=+=++++…………2310(2222)=+++++......（1+2+3+ (10)102(12)(110)10122-+⨯=+-11(22)55=-+112532101=+=． 31．【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，令1n =，得12113a a =，所以123a a =．令2n =，得12231125a a a a +=，所以2315a a =．解得11,2a d ==，所以21n a n =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知24224,n n n b n n -=⋅=⋅所以121424......4,n n T n =⋅+⋅++⋅所以23141424......(1)44,n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅两式相减，得121344......44n n n T n +-=+++-⋅114(14)13444,1433n n n n n ++--=-⋅=⨯-- 所以113144(31)44.999n n n n n T ++-+-⋅=⨯+=32．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．因为432a a -=，所以2d =．又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =．所以42(1)22(1,2,)n a n n n =+-=+=L ．（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ．因为238b a ==，3716b a ==，所以2q =，14b =．所以61642128b -=⨯=．由128=22n +得63n =．所以6b 与数列{}n a 的第63项相等．33．【解析】(Ⅰ)方程2560x x -+=的两根为2,3，由题意得242, 3.a a ==设数列{}n a 的公差为d ，则422,a a d -=故1,2d =从而13,2a = 所以{}n a 的通项公式为112n a n =+．（Ⅱ）设2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，由（I ）知12,22n n n a n ++=则2313412...,2222n n n n n S +++=++++ 341213412....22222n n n n n S ++++=++++两式相减得31213112(...)24222n n n n S +++=+++-123112(1).4422n n n -++=+--所以1422n n n S ++=-．34．【解析】(Ⅰ)由题设，11211, 1.n n n n n n a a S a a S λλ++++=-=-两式相减得121().n n n a a a a λ+++-= 由于10n a +≠，所以2.n n a a λ+-=（Ⅱ）由题设，11a =，1211a a S λ=-，可得2 1.a λ=-由(Ⅰ)知，3 1.a λ=+令2132a a a =+，解得 4.λ= 故24n n a a +-=，由此可得{}21n a -是首项为1，公差为4的等差数列，2143n a n -=-； {}2n a 是首项为3，公差为4的等差数列，241n a n =-.所以21n a n =-，12n n a a --=.因此存在4λ=，使得数列{}n a 为等差数列．35．【解析】（Ⅰ）由题意，36)33)(2(11=++d a d a ， 将11=a 代入上式得2=d 或5-=d ，因为0>d ，所以2=d ，从而12-=n a n ，2n S n =（*∈N n ）.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，)1)(12(1+-+=+⋅⋅⋅++++k k m a a a k n n n ，所以65)1)(12(=+-+k k m ，由*∈N ,k m 知，1)1)(12(>+-+k k m ，所以⎩⎨⎧=+=-+511312k k m ，所以⎩⎨⎧==45k m . 36．【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则n S =1(1)2n n na d -+。
2015年福建省高考数学试卷及解析(文科)
2015年福建省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分、1、（5分）若（1+i）+（2﹣3i）=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（）A、3，﹣2B、3，2C、3，﹣3D、﹣1，42、（5分）若集合M={x|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}，则M∩N=（）A、{0}B、{1}C、{0，1，2}D、{0，1}3、（5分）下列函数为奇函数的是（）A、y=B、y=e xC、y=cosxD、y=e x﹣e﹣x4、（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出y的值为（）A、2B、7C、8D、1285、（5分）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A、2B、3C、4D、56、（5分）若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（）A、B、﹣C、D、﹣7、（5分）设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k的值等于（）A、﹣B、﹣C、D、8、（5分）如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（1，0），且点C与点D在函数f（x）=的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（）A、B、C、D、9、（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A、8+2B、11+2C、14+2D、1510、（5分）变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于（）A、﹣2B、﹣1C、1D、211、（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l 的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A、（0，]B、（0，]C、[，1）D、[，1）12、（5分）“对任意x，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分、13、（4分）某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为、14、（4分）在△ABC中，AC=，∠A=45°，∠C=75°，则BC的长度是、15、（4分）若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于、16、（4分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于、三、解答题：本大题共6小题，共74分、17、（12分）等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15、（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值、18、（12分）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标，根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示：组号分组频数1[4，5）22[5，6）83[6，7）74[7，8]3（1）现从融合指数在[4，5）和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7，8]内的概率；（2）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数、19、（12分）已知点F为抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且|AF|=3，（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）已知点G（﹣1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切、20、（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1，（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证；AC⊥平面PDO；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC体积的最大值；（Ⅲ）若BC=，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值、21、（12分）已知函数f（x）=10sin cos+10cos2、（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，且函数g（x）的最大值为2、（i）求函数g（x）的解析式；（ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）＞0、22、（14分）已知函数f（x）=lnx﹣、（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k（x﹣1）、参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分、1、（5分）若（1+i）+（2﹣3i）=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（）A、3，﹣2B、3，2C、3，﹣3D、﹣1，4题目分析：由复数的加法运算化简等式左边，然后由实部等于实部，虚部等于虚部求得a，b的值、试题解答解：由（1+i）+（2﹣3i）=3﹣2i=a+bi，得a=3，b=﹣2、故选：A、点评：本题考查复数的加法运算及复数相等的条件，是基础题、2、（5分）若集合M={x|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}，则M∩N=（）A、{0}B、{1}C、{0，1，2}D、{0，1}题目分析：直接利用交集及其运算得答案、试题解答解：由M={x|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}，得M∩N={x|﹣2≤x＜2}∩{0，1，2}={0，1}、故选：D、点评：本题考查了交集及其运算，是基础题、3、（5分）下列函数为奇函数的是（）A、y=B、y=e xC、y=cosxD、y=e x﹣e﹣x题目分析：根据函数奇偶性的定义进行判断即可、试题解答解：A、函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，故A为非奇非偶函数、B、函数y=e x单调递增，为非奇非偶函数、C、y=cosx为偶函数、D、f（﹣x）=e﹣x﹣e x=﹣（e x﹣e﹣x）=﹣f（x），则f（x）为奇函数，故选：D、点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本题的关键、4、（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出y的值为（）A、2B、7C、8D、128题目分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求y=的值，从而得解、试题解答解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求y=的值，若x=1不满足条件x≥2，y=8输出y的值为8、故选：C、点评：本题主要考查了程序框图和算法，正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基础题、5、（5分）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A、2B、3C、4D、5题目分析：将（1，1）代入直线得：+=1，从而a+b=（+）（a+b），利用基本不等式求出即可、试题解答解：∵直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），∴+=1（a＞0，b＞0），所以a+b=（+）（a+b）=2++≥2+2=4，当且仅当=即a=b=2时取等号，∴a+b最小值是4，故选：C、点评：本题考察了基本不等式的性质，求出+=1，得到a+b=（+）（a+b）是解题的关键、6、（5分）若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（）A、B、﹣C、D、﹣题目分析：利用同角三角函数的基本关系式求出cosα，然后求解即可、试题解答解：sinα=﹣，则α为第四象限角，cosα==，tanα==﹣、故选：D、点评：本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力、7、（5分）设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k的值等于（）A、﹣B、﹣C、D、题目分析：由题意可得的坐标，进而由垂直关系可得k的方程，解方程可得、试题解答解：∵=（1，2），=（1，1），∴=+k=（1+k，2+k）∵，∴•=0，∴1+k+2+k=0，解得k=﹣故选：A、点评：本题考查数量积和向量的垂直关系，属基础题、8、（5分）如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（1，0），且点C 与点D在函数f（x）=的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（）A、B、C、D、题目分析：由题意易得矩形和三角形顶点的坐标，进而可得面积，由几何概型可得、试题解答解：由题意可得B（1，0），把x=1代入y=x+1可得y=2，即C（1，2），把x=0代入y=x+1可得y=1，即图中阴影三角形的第3个定点为（0，1），令=2可解得x=﹣2，即D（﹣2，2），∴矩形的面积S=3×2=6，阴影三角形的面积S′=×3×1=，∴所求概率P==故选：B、点评：本题考查几何概型，涉及面积公式和分段函数，属基础题、9、（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A、8+2B、11+2C、14+2D、15题目分析：判断出该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，底面的梯形上底1，下底2，高为1，运用梯形，矩形的面积公式求解即可、试题解答解：根据三视图可判断该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，底面的梯形上底1，下底2，高为1，∴侧面为（4）×2=8，底面为（2+1）×1=，故几何体的表面积为8=11，故选：B、点评：本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，关键是能够恢复判断几何体的形状、10、（5分）变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于（）A、﹣2B、﹣1C、1D、2题目分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m的值、试题解答解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为，解得：m=1、故选：C、点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题、11、（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l 的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A、（0，]B、（0，]C、[，1）D、[，1）题目分析：如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，可得4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a、取M（0，b），由点M到直线l的距离不小于，可得，解得b≥1、再利用离心率计算公式e==即可得出、试题解答解：如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2、取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于，∴，解得b≥1、∴e==≤=、∴椭圆E的离心率的取值范围是、故选：A、点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题、12、（5分）“对任意x，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件题目分析：利用二倍角公式化简不等式，利用三角函数线判断充要条件即可、试题解答解：对任意x，ksinxcosx＜x，即对任意x，ksin2x ＜2x，当k＜1时，ksin2x＜2x恒成立（sinx＜x在x恒成立），但是对任意x，ksinxcosx＜x”，可得k=1也成立，所以“对任意x，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的必要而不充分条件、故选：B、点评：本题考查充要条件的判断与应用，三角函数线的应用，考查逻辑推理能力、二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分、13、（4分）某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为25、题目分析：根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出应抽取的男生人数、试题解答解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则应抽取的男生人数是500×=25人，故答案为：25、点评：本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目、14、（4分）在△ABC中，AC=，∠A=45°，∠C=75°，则BC的长度是、题目分析：根据∠A和∠C求得∠B，进而根据正弦定理求得求得BC、试题解答解：∠B=180°﹣45°﹣75°=60°由正弦定理可知ACsinB=BCsinA∴BC==故答案为点评：本题主要考查了正弦定理的应用、属基础题、15、（4分）若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于1、题目分析：先由f（1+x）=f（1﹣x）得到f（x）的图象关于直线x=1轴对称，进而求得a=1，再根据题中所给单调区间，求出m≥1、试题解答解：因为f（1+x）=f（1﹣x），所以，f（x）的图象关于直线x=1轴对称，而f（x）=2|x﹣a|，所以f（x）的图象关于直线x=a轴对称，因此，a=1，f（x）=2|x﹣1|，且该函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，又因为函数f（x）在[m，+∞）上单调递增，所以，m≥1，即实数m的最小值为1、故答案为：1、点评：本题主要考查了指数型复合函数的图象与性质，涉及该函数图象的对称性和单调区间，体现了数形结合的解题思想，属于中档题、16、（4分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于9、题目分析：由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案、试题解答解：由题意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②、解①得：；解②得：、∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9、故答案为：9、点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题、三、解答题：本大题共6小题，共74分、17、（12分）等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15、（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值、题目分析：（Ⅰ）建立方程组求出首项与公差，即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）b n=2+n=2n+n，利用分组求和求b1+b2+b3+…+b10的值、试题解答解：（Ⅰ）设公差为d，则，解得，所以a n=3+（n﹣1）=n+2；（Ⅱ）b n=2+n=2n+n，所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（22+2）+…+（210+10）=（2+22+...+210）+（1+2+ (10)=+=2101、点评：本题考查等差数列的通项，考查数列的求和，求出数列的通项是关键、18、（12分）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标，根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示：组号分组频数1[4，5）22[5，6）83[6，7）74[7，8]3（1）现从融合指数在[4，5）和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7，8]内的概率；（2）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数、题目分析：（1）利用列举法列出基本事件，结合古典概型的概率公式进行求解即可、（2）根据平均数的定义和公式进行计算即可、试题解答解：（1）融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3，融合指数在[4，5）内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2，从融合指数在[4，5）和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研的事件为：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个、至少有1家的融合指数在[7，8]内的事件有；{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共9个，则至少有1家的融合指数在[7，8]内的概率为；（2）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数为：=6.05、点评：本题主要考查古典概型，频率分布表，平均数等基础知识，考查数据处理能力，运算求解能力，应用意识，考查必然与或然思想等、19、（12分）已知点F为抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且|AF|=3，（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）已知点G（﹣1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切、题目分析：解法一：（I）由抛物线定义可得：|AF|=2+=3，解得p、即可得出抛物线E的方程、（II）由点A（2，m）在抛物线E上，解得m，不妨取A，F（1，0），可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为2x2﹣5x+2=0，解得B、又G（﹣1，0），计算k GA，k GB，可得k GA+k GB=0，∠AGF=∠BGF，即可证明以点F 为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切、解法二：（I）同解法一、（II）由点A（2，m）在抛物线E上，解得m，不妨取A，F（1，0），可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为2x2﹣5x+2=0，解得B、又G（﹣1，0），可得直线GA，GB的方程，利用点到直线的距离公式可得：点F （1，0）到直线GA、GB的距离，若相等即可证明此以点F为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB相切、试题解答解法一：（I）由抛物线定义可得：|AF|=2+=3，解得p=2、∴抛物线E的方程为y2=4x；（II）证明：∵点A（2，m）在抛物线E上，∴m2=4×2，解得m=，不妨取A，F（1，0），∴直线AF的方程：y=2（x﹣1），联立，化为2x2﹣5x+2=0，解得x=2或，B、又G（﹣1，0），∴k GA=、k GB==﹣，∴k GA+k GB=0，∴∠AGF=∠BGF，∴x轴平分∠AGB，因此点F到直线GA，GB的距离相等，∴以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切、解法二：（I）同解法一、（II）证明：点A（2，m）在抛物线E上，∴m2=4×2，解得m=，不妨取A，F（1，0），∴直线AF的方程：y=2（x﹣1），联立，化为2x2﹣5x+2=0，解得x=2或，B、又G（﹣1，0），可得直线GA，GB的方程分别为：x﹣3y+2=0，=0，点F（1，0）到直线GA的距离d==，同理可得点F（1，0）到直线GB的距离=、因此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切、点评：本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题、20、（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1，（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证；AC⊥平面PDO；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC体积的最大值；（Ⅲ）若BC=，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值、题目分析：（Ⅰ）由题意可证AC⊥DO，又PO⊥AC，即可证明AC⊥平面PDO、（Ⅱ）当CO⊥AB时，C到AB的距离最大且最大值为1，又AB=2，即可求△ABC 面积的最大值，又三棱锥P﹣ABC的高PO=1，即可求得三棱锥P﹣ABC体积的最大值、（Ⅲ）可求PB===PC，即有PB=PC=BC，由OP=OB，C′P=C′B，可证E 为PB中点，从而可求OC′=OE+EC′==，从而得解、试题解答解：（Ⅰ）在△AOC中，因为OA=OC，D为AC的中点，所以AC⊥DO，又PO垂直于圆O所在的平面，所以PO⊥AC，因为DO∩PO=O，所以AC⊥平面PDO、（Ⅱ）因为点C在圆O上，所以当CO⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为1，又AB=2，所以△ABC面积的最大值为，又因为三棱锥P﹣ABC的高PO=1，故三棱锥P﹣ABC体积的最大值为：、（Ⅲ）在△POB中，PO=OB=1，∠POB=90°，所以PB==，同理PC=，所以PB=PC=BC，在三棱锥P﹣ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP共面，如图所示，当O，E，C′共线时，CE+OE取得最小值，又因为OP=OB，C′P=C′B，所以OC′垂直平分PB，即E为PB中点、从而OC′=OE+EC′==、亦即CE+OE的最小值为：、点评：本题主要考查了直线与直线、直线与平面的位置关系、锥体的体积的求法等基础知识，考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题、21、（12分）已知函数f（x）=10sin cos+10cos2、（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，且函数g（x）的最大值为2、（i）求函数g（x）的解析式；（ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）＞0、题目分析：（Ⅰ）先化简函数的解析式，进而求出最小正周期；（Ⅱ）（i）先求出每一步函数变换的函数解析式，再根据g（x）的最大值为2，容易求出a的值，然后进而写出g（x）的解析式；（ii）就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得10sinx0 ﹣8＞0，即sinx0 ，由＜知，存在0＜α0＜，使得sinα0=由正弦函数的性质当x∈（2kπ+α0，2kπ+π﹣α0）（k∈Z）时，均有sinx，即可证明、试题解答解：（Ⅰ）∵f（x）=10sin cos+10cos2=5sinx+5cosx+5=10sin （x+）+5，∴所求函数f（x）的最小正周期T=2π；（Ⅱ）（i）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到y=10sinx+5的图象，再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到函数g（x）=10sinx+5﹣a的图象，∵函数g（x）的最大值为2，∴10+5﹣a=2，解得a=13，∴函数g（x）=10sinx﹣8、（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得10sinx0 ﹣8＞0，即sinx0 ，由＜知，存在0＜α0＜，使得sinα0=，由正弦函数的性质可知，当x∈（α0，π﹣α0）时，均有sinx，因为y=sinx的周期为2π，所以当x∈（2kπ+α0，2kπ+π﹣α0），（k∈Z）时，均有sinx、因为对任意的整数k，（2kπ+π﹣α0）﹣（2kπ+α0）=π﹣2α0＞＞1，所以对任意的正整数k，都存在正整数x k∈（2kπ+α0，2kπ+π﹣α0），使得sinx k，即存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）＞0、点评：本题考查了三角函数的辅助角公式、最小正周期、函数图象的平移变换、最值问题等，属于中档题、22、（14分）已知函数f（x）=lnx﹣、（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k（x﹣1）、题目分析：（Ⅰ）求导数，利用导数大于0，可求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），证明F（x）在[1，+∞）上单调递减，可得结论；（Ⅲ）分类讨论，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），利用函数的单调性，可得实数k的所有可能取值、试题解答解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣，∴f′（x）=＞0（x＞0），∴0＜x＜，∴函数f（x）的单调增区间是（0，）；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），则F′（x）=当x＞1时，F′（x）＜0，∴F（x）在[1，+∞）上单调递减，∴x＞1时，F（x）＜F（1）=0，即当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，k=1时，不存在x0＞1满足题意；当k＞1时，对于x＞1，有f（x）＜x﹣1＜k（x﹣1），则f（x）＜k（x﹣1），从而不存在x0＞1满足题意；当k＜1时，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），则G′（x）==0，可得x1=＜0，x2=＞1，当x∈（1，x2）时，G′（x）＞0，故G（x）在（1，x2）上单调递增，从而x∈（1，x2）时，G（x）＞G（1）=0，即f（x）＞k（x﹣1），综上，k的取值范围为（﹣∞，1）点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数是关键。
2015年福建省文科数学高考考试技巧(非常实用)
2015年高考福建省文科数学考前寄语福州一中陈新栋(2015-5-6)高考的遗憾莫过于实有的水平未能充分发挥出来，致使十几年的辛劳毁于两小时的“经验”不足．应该知道，数学高考不仅是数学知识的较量，而且也是心理素质和考试技术的较量．当一个考生进入封闭考场之后，他（她）的数学知识和数学能力，可以看成一个常数，如何将所掌握的知识转化为阅卷得分点，这就取决于稳定的心态和答题的技术了．根据数学高考解题和阅卷的特点，我们来提供一些正常应试乃至超水平发挥的技术，从“进场前后、答题要领、答题策略、全局意识、分段得分”．第一部分——进场前、后的准备（1）休养生息、宁静致远．考生在考前应逐渐放松，进入静息状态，并进行生物钟的调整，让作息时间安排得与高考的时间同步，在这段时间内，要保持情绪稳定，降低学习强度，增加睡眠时间，进行轻微活动，熟悉考场细则，做好物质准备，在一种宁静的气氛中主要做识记性的复习工作（勿做难题、偏题、怪题），比如，回想学科的整体结构，舒展脉络，背诵其中的重点内容（如二项式定理、等差（比）数列求和公式、圆锥曲线标准方程、两角和的余弦公式……）．发现有缺漏时不要焦急，应从容不迫地坐下来翻阅教材和笔记，保持内紧外松．“静能生慧”，临考前必要的静息，看似失去，实为获得．高考是很紧张、很繁重的脑力劳动，心理和体力都消耗很大，需要提前加以储备，入静改善了大脑和全身的生理机能，就为提高智力活动的效率准备了良好的心理氛围与充足的身体能量．作息时间安排得与高考的时间同步，则能在正式考试时，思维自动进入工作状态并迅速达到高潮．（2）熟悉考场，备足清单．考生一定要亲临考场，熟悉环境，记下来回的路线和行走的时间．临考当天，应有充足的睡眠，并吃好清淡的早餐．赴考离家前，要按预先列好的清单带齐一应用具，如准考证、黑色圆珠笔（两支）、铅笔、橡皮、圆规、三角板、防暑药物、擦汗小毛巾等，特别不要忘记带准考证和2B铅笔．同时要注意当年的规定，能带才带、不能带不带，并装入透明文件袋．（3）提前活动，进入角色．应提前半个多小时到达考场，一方面防止路上出现意外，另一方面可以稳定情绪，让脑细胞开始简单的数学活动，让大脑进入单一的数学情景．下面是一些可供选择的建议：①清点所需用具是否齐全．②把一些基本数据、常用公式、重要定理“过过电影”，特别是一些你认为难记易忘的结论．经验表明，“过电影”的成功顺利，不仅能转移临考前的焦虑，而且有利于把最佳竞技状态带进考场．进场后----统揽全卷、迅速摸清“题情”．刚拿到试卷，一般心情比较紧张，思考亦未进入高潮，此时不要匆忙作答，可先从头到尾、正面反面通览一遍试卷，弄清全卷共有几页、几题？看看页码是否齐全？卷页是否配套？印刷是否完整、清晰？尤其要认真阅读试卷的说明与各题型的指导语．（1）通览全卷的基本工作．①填卷首、看说明、三写三涂．即首先填好卷首各栏，如写姓名、写座位号、写准考证号等项．对答题卡则涂类型、涂准考证号、涂科目代号，同时，要要认真阅读试卷的说明与各题型的指导语．②顺手解答．即顺手解答那些一眼看得出结论的简单选择题、填空题，显然，看完全卷比只看开头二三道题更容易找到熟悉的内容，更容易找到会做的题目；而只要能很快解答出一二道题（每套试卷都会有难度系数0．8以上的热身题），情绪就会迅速稳定下来，并且“旗开得胜”的愉悦感还有一种增力作用，能鼓励自己去作更充分的发挥．③粗略分类、“先易后难”．对于不能立即作答的题目，可一面浏览一面按照难度估计，粗略分为A、B 两类，A类是指题型比较熟悉、估计上手比较容易的题；B类是指题型比较陌生，自我感觉比较难的题目，以便于“先易后难”地答题．④做到三个心中有数、“先同后异”．首先是对题量心中有数，弄清全卷一共几页、大小几道题，防止漏做题，发现漏印题．其次是对题分心中有数，弄清每道题各占多少分，为后面实施“先高后低”作调查，并粗略分配一下各题的解答时间．既注重每道题少丢分，更注重全卷多得分．最后是对题目的内容分量心中有数，即大致区分一下哪些属于函数题、哪些属于不等式题、哪些属于数列题、哪些属于三角函数题、哪些属于立体几何题、哪些属于解析几何题、哪些属于概率统计题，为实施“先同后异”做好准备．第二部分——答题要领．通览全卷之后，思考逐渐进入高潮，建议掌握好三个答题要领．三轮循环答题．就是说，完整解答一套试题可经过3个循环（三轮答题法）．一头一尾是两个小循环，各用10分钟左右，中间是一个大循环，用将近100分钟．（1）第一循环：通览全卷．即在通览全卷的同时，先做简单题的第一遍解答，这是一个小循环．按高考题的难度比例3：5：2计算，可以先从那30%的容易题入手，获二三十分；同时，把情绪稳定下来，将思考推向高潮．（2）第二循环：全面解答．即用将近100分钟的时间，基本完成全卷，会做的都做了．在这个大循环中，要有全局意识，能作整体把握，并执行“四先四后”、“一慢一快”的方针．（3）第三循环：复查收尾．即用大约10分钟的时间来检查解答过程并实施“分段得分”．对于绝大多数考生来说，都不可能在第二循环中答全答对所有的试题，因此要对那些答不全或答不对的题目进行技术性处理．这一步的作用有点像足球守门，把住最后一关．即使都做完了的题目，也要复查，防止“会而不对、对而不全”．这一步是超水平发挥，争取多得分的不可缺少的步骤．第三部分：答题策略．考虑到满分卷是极少数，绝大多数考生，都只能答对部分题目或题目的部分，因此，执行“四先四后”的技术措施是明智的．（1）先易后难．就是说，先做简单题，再作复杂题，先做A类题，再攻B类题，容易和困难是因人而异的．“难者不会，会者不难”，虽然试卷本身的编排已经原则上考虑到从易到难，但这仅仅是命题组的主观认识，而且数学试卷常常被设计为“两个从易到难的三个小高潮”，（三类题型——选择题、填空题、解答题——从易到难；每类题型本身又从易到难），就是说，选择题的难题完全可能比填空题的易题困难，而解答题的易题又完全可能比选择、填空的难题容易，所以，进入第二遍答题时，就无须拘泥于从前到后的自然顺序，可根据自己的实际，跳过啃不动的题目，从易到难（被跳过的题目其实还在潜意识里继续思考），特别是不能在低分值的题目上耽误过长时间，防止“前面难题久攻不下，后面易题无暇顾及”．（2）先熟后生．通览全卷，既可能看到较多的有利条件，也可能看到较多的不利因素，特别是对后者，不要惊慌失措，万一当年试题偏难．首先要会自我暗示：“我难别人也不易，水退船低没关系”，“要镇定，别哆嗦，办法总比困难多”，其次，可实行“先熟后生”的策略，就是说，先做哪些内容掌握比较到家，题型结构比较熟悉的题目，后攻那些题型、内容、甚至语言都比较陌生的题目．先做在某些方面有熟悉感的题目，容易产生精神亢奋，会使人情不自禁地进入境界，展开联想，促进转化，拾级登高．（3）先高后低．这是说要优先处理高分题（解答题），特别是在考试的后半段时间，更要注意解题的时间效益，比如：①两道都会做的题目，应先做高分题，后做低分题，以减少时间不足的失分；②到了最后一二十分钟，也应对那些拿不下来的题目先就高分题实施“分段得分”（参见第五部分），以增加在时间不足的前提下的得分．事实证明，“大题拿小分”是一个好主意．当然，“先高后低”要与“先易后难”结合起来，不能不分难易，专挑高分题做，否则会造成“高分难题做不出来，低分易题没时间做”．这“四先四后”要结合自己的实际，相互配合，产生整体效果．（5）慢审快写．就是说，审题要慢、书写要快．（1）审题要慢．题目本身是“怎样解这道题”的钥匙．只不过其中的积极提示往往是通过语言文字、公式符号以及它们之间的联系间接地告诉我们．所以，审题一定要逐字逐句看清楚，力求从语法结构、逻辑关系、数学含义、答题形式、数据要求等各方面真正看懂题意．特别要抓好审题的“三个要点、四个步骤”．①三个要点．要点1：弄清题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如何．要点2：弄清题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何．要点3：弄清题目的条件与结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构．②四个步骤．步骤1：读题——弄清字面含义．步骤2：理解——弄清数学含义．步骤3：表征——识别题目类型．步骤4：深化——接近深层结构．经验表明，凡是题目未明显写出的，一定是隐蔽地给予的，只有细致地审题才能从题目本身获得尽可能多的信息，这一步不要怕“慢”．（2）书写要快．①首先，在宏观上要有争分夺秒的速度意识，因为高考本身有时间限制，有速度要求．据统计，一套高考数学试卷通常控制在2000个左右的印刷符号，若以每分钟阅读300 ～ 400个印刷符号的速度审题，约需5～7分钟，考虑到有的题目要反复阅读，实际需要12分钟：书写主要用于解答题，约3000个印刷符号，按每分钟150个印刷符号的速度书写，约需28分钟，也就是说，看清题目后直接抄标准答案都需要40分钟，留给思考、草算、文字组织和复查检验的时间只有80分钟，平均到每一问（通常是每卷都不下20题、约30问），保证不了3分钟．为了给解答题留下思考的时间，选择题、填空题就只能在一二分钟内解决，解决不了的就先跳过去（被跳过的题目其实还在潜意识里继续思考）；解答题中容易的题也不妨边想边写，节省草算时间，一般地，选择题、填空题与解答题的时间比可分配为4：6．②其次，具体到每一道题，一旦找到解题思路，书写要简明扼要、快速规范，不要拖泥带水，啰嗦重复，更别画蛇添足（导致倒扣分），用阅卷教师的行话来说，就是要写出“得分点”，就数学题而言，一个原理写一步就可以了，至于不是题目要直接考查的过度知识，特别是那些初中知识，可以直接写出结论，须知，多写一步就是多出现一个犯错误的机会，就是多占用了后面高分题的一点思考时间，这意味着“隐含失分”或“潜在丢分”．为了节约书写，我们建议多使用数学语言、集合符号、充要条件．第四部分：全局意识．（1）高考不是按满分录取的，也没有单科的最低控制线．因此，部分题目失分、个别科目未考好并不影响录取，关键是加总分能进入录取线，上述“四先四后”已经体现了临场的全局意识，此外还有3条建议．（2）立足中下题目，力争高上水平．平时做作业，全都是按照全做全对来要求的，但高考却不然，只有极个别的学生能够完成所有的题目，获得满分，因为时间和难度都不允许多数学生去做完、做对全部题目（据知，当今高考命题通常按50%～60%考生能做完、但不保证做对来设计题量的），所以，每个考生都要有这样的战略眼光：立足中下题目．应该看到，中下题目通常占全卷的80%（计120分），是试卷构成的主要成分，是考生得分的主要来源，是高校录取的主要依据，并且还是进一步解高难题的基础．我们说“前120分若能稳拿，后30分就更有希望”．确实，考生若能攻下全部中下档题目，稳拿120分，应该认为这已打了一个大胜仗．已经获得了一个成功的奖赏，它为后面攻克高难题准备了时间和心理能量，更容易出现超水平的发挥，退一万步说，各科的难题都做不了，仅凭80%的得分率（总分可得750×0．8=600分），录取通知书也已遥遥在望了．相反，若因为还有二三十分的题做不出来（满分150分），感到很紧张、很焦急，总想全做全对，就只会更加发挥不好，甚至忙中出错，把本来做对的地方也改错了（检查中遇到两种解法，没把握时，可印象优先、尊重第一选择）．应该知道，高考是加总分录取的，它是依据相对分数的优势从前往后选择的．就像奥运会比赛，关键不是破世界纪录，而是得金牌，当然，既得金牌又破纪录是一件两全其美的好事，但对多数考生来说，要害是“考上”！要确保基础分，拿下力争分，不丢零碎分．（3）立足一次成功，重视复查环节．高考的时间很紧张，不可能做大量细致的解后检验，所以，答题要立足于一次成功，稳扎稳打，字字准确，步步有据，努力提高解题的成功率，最好是每进行一步书写时，都用眼睛的余光扫视上下两行，顺便检验有无差错（步步检验）！有的考生上一行写32，下一行变为23，想填（B），却填了（D），还有是试卷翻页时忙中出错．造成“方法全对，结论全错”，心是手非，实在可惜！如其匆匆忙忙做6题对5题，不如扎扎实实做5题对5题．在这个基础上，还要有最后把关的检验．这是解决“会而不对，对而不全”的一个有效措施．检验应“以粗为主，粗细结合”，粗检验主要看题目有无遗漏，题意有无弄错，要求是否符合，具体到每一道题，要看解题过程是否合理，解题步骤是否完整，解题结果是否科学．细检验就要具体看每一步推理是否合乎逻辑，每一步计算是否正确无误？定理的条件满足了吗？公式的记忆准确吗？符号、数据抄对了吗？特别是在出现“ ”号的地方，一定要多留意，不要在移项、去括号时忙中出错．为了提高检验的效率，还应熟悉检验的一些基本方法，防止每道题都简单地重复去再算一次，我们建议同学们尝试如下的复查方法：复查核对、代值检验、多解对照、逆向运算、观测估算、量纲检查、特值检验、条件检验、逻辑检验等．第五部分、分段得分．一道高考题做不出来，不等于一点想法都没有，不等于所涉及的知识一片空白，尚未成功不等于彻底失败．问题是，如何将片段思路转化为得分点，从而“分段得分”．（1）考生“分段得分”的法定依据是高考“分段评分”．在高考中，由于有的人理解得深，有的人理解的浅，有的人解决得多，有的人解决得少，为了区别这些情况，阅卷时总是按照所考查的知识点，分段评分．踩上了知识点就给分，多踩多给．据此考生答题就应该也必然是“分段得分”．由于平时做作业，教师总是要求学生“全做全对”，不实行“分段评分”，所以学生在高考时就不习惯“分段得分”，这就把平时做作业与高考竞争混为一谈了，因此，考生必须从高考性质与评分办法上去理解，转变观念，心理换位．教师在模拟训练时也应提醒这一点．（2）分段得分的基本内容是：防止“分段扣分”，争取“分段得分”．“分段评分”本身既包含着“分段给分”，也包含着“分段扣分”．因此，考生应“会做的题不丢分，不会做的题拿足分”．①会做的题目，要力求不丢分．情况表明，对于考生会做的题目，阅卷教师更注意找其中的毛病，分段扣回一二分，这时要特别解决好“会而不对、对而不全”力求不丢分．相反，对考生未能正确解答或未能完整解答的题目，阅卷教师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”．②部分理解的题目，要力求多得分．对于多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中多得点分段分，其实质是多出现几个相关的知识点．从原则上讲，每一个考生做每一道题都不会一无所知，得零分的原因无非两条：没有时间做；不会把自己所掌握的知识表达出来或表达错了．（3）分段得分的总体功能．对于一道拿不下来的题目，实施分步得分的初衷是得部分分，但实施的过程也是解题策略的运用过程，正确策略的运用就带来了全题解决的前景．所以，运用解题策略同时具有分段得分与全题解决的双重功能：进可全题解决，退可分段得分．（4）分段得分的主要技术有：缺步解答；跳步解答；退步解答；倒步解答；辅助解答．最后祝愿大家在高考这场人生大考中，稳定发挥、顺利渡过这个激情燃烧的夏天，迎来果实累累的秋天。
2015年高考-概率与统计试题(有详细答案)详解
2015年高考-概率与统计试题1.（15北京理科）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；(Ⅱ) 如果25a=，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅲ) 当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）【答案】（1）37，（2）1049，（3）11a=或182.（15北京文科）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）A．90 B．100 C．180 D．300类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300【答案】C【解析】试题分析：由题意，总体中青年教师与老年教师比例为1600169009=；设样本中老年教师的人数为x，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即320169x=，解得180x=.考点：分层抽样.3.（15北京文科）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A．6升 B．8升 C．10升D．12升【答案】B【解析】试题分析：因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V=升. 而这段时间内行驶的里程数3560035000600S=-=千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为481008600⨯=升，故选B.考点：平均耗油量.4.（15北京文科）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 ． 【答案】乙、数学 【解析】试题分析：①由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填乙.②由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学. 考点：散点图.5.（15北京文科）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200√ √ √ × 300√ × √ × 85√ × × × 98×√××（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率；（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？ 【答案】（1）0.2；（2）0.3；（3）同时购买丙的可能性最大.商品 顾 客 人 数【解析】试题分析：本题主要考查统计表、概率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由统计表读出顾客同时购买乙和丙的人数200，计算出概率；第二问，先由统计表读出顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的人数100+200，再计算概率；第三问，由统计表读出顾客同时购买甲和乙的人数为200，顾客同时购买甲和丙的人数为100+200+300，顾客同时购买甲和丁的人数为100，分别计算出概率，再通过比较大小得出结论.试题解析：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000=. （Ⅱ）从统计表可以看出，在在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.31000+=.（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2000.21000=， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003000.61000++=，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000.11000=，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大. 考点：统计表、概率.6.（15年广东理科）已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()D 20X =，则p = ． 【答案】13． 【解析】依题可得()30E X np ==且()()120D X np p =-=，解得13p =，故应填入13．【考点定位】本题考查二项分布的性质，属于容易题． 7.（15年广东理科）某工厂36名工人的年龄数据如下表。
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2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数 学（文史类）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若(1)(23)i i a bi ++-=+(,a b R ∈，i 是虚数单位)，则,a b 的值分别等于（ ）A ：3，2-；B ：3，2；C ：3，3-；D ：1-，4。
A ，复数运算2．若集合{|22}M x x =-≤<，{0,1,2}N =，则M N 等于（ ）A ：{0}；B ：{1}；C ：{0,1,2}；D ：{0,1}。
D ，交集 3．下列函数为奇函数的是（ ）A：y =；B ：x y e =；C ：cos y x =；D ：x x y e e -=-。
D ，函数奇偶性4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出y 的值为（ ）：2；B ：7；C ：8；D ：128。
C ，程序框图-条件分支 5．若直线1(0,0)x y a b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（ ）A ：2；B ：3；C ：4；D ：5。
C ，均值不等式-逆构法6．若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ）A ：125；B ：125-；C ：512；D ：512-。
D ，同角三角函数关系，三角函数值正负 7．设(1,2)a =，(1,1)b =，c a kb =+，若b c ⊥，则实数k 的值等于（ ）A ：32-；B ：53-；C ：53；D ：32。
A ，向量的数量积 8．如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数1,0()11,02x x f x x x +≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩的图象上，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（ ）A ：16；B ：14；C ：38；D ：12。
B ，几何概型，直线方程 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A：8+B：11+C：14+D ：15。
B ，三视图，表面积10．变量,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数m等于（ ）A ：2-；B ：1-；C ：1；D ：2。
C ，线性规划-含字母系数，解：当0m ≤时，可行域为开放区域，不合题意；当0m >时，可行域如示意图所示的封闭三角形，由2200x y mx y -+=⎧⎨-=⎩，解得22(,)2121m A m m --，代入22x y -=，解得1m = 11．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点，若||||4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ：；B ：3(0,]4；C ：2；D ：3[,1)4。
C ，椭圆的性质，点到直线距离。
解“设椭圆的左焦点为'F ，根据椭圆的对称性，有2a =|||'|AF AF +=||||AF BF +=4，∴2a =，点M 到直线l 的距离为45b ，∴415b ≥，∴1b ≥，∴2214b a ≥，∴22214a c a -≥，∴234e ≤，∴4e ≤。
12．“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的（ ）A ：充分而不必要条件；B ：必要而不充分条件；C ：充分必要条件；D ：既不充分也不必要条件。
B ，三角函数图象性质，导数判定函数单调性，简易逻辑。
解：题目转化为：对任意的(0,)2x π∈，sin cos k x x x <恒成立，求k 的取值范围，∵sin cos k x x =sin 22k x ，当0k ≤时，根据三角函数图象性质可知sin 22k x <x 恒成立，符合题意；当0k >时，设()sin 22k f x x x =-，'()cos 21f x k x =-，∵(0)0f =，若sin 22k x <x 恒成立，则'()0f x ≤恒成立，∴1k ≤。
则有1k <⇒1k ≤第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
把答案填在答题卡的相应位置。
13．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数是__________。
分层抽样，2514．若△ABC中，AC ，45A =︒，75C =︒，则BC =__________。
正弦定15．若函数||()2x a f x -=()a R ∈满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞上单调递增，则实数m 的最小值等于__________。
指数函数，绝对值函数，函数对称性、单调性，1，解：∵(1)(1)f x f x +=-，∴()f x 的对称轴为1x =，又∵||()2x a f x -=的对称轴为x a =，∴1a =，∵()f x 在[,)m +∞上单调递增，∴实数m 的最小值等于116．若,a b 是函数2()f x x px q =-+(0,0)p q >>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于__________。
数列，根与系数关系，9，解：∵,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，∴易知,a b 分别为1,4，∴5p a b =+=，4q ab ==，∴9p q +=。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（12分）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=，（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b ++++的值。
解：（Ⅰ）【等差通项】2n a n =+；（Ⅱ）【等差求和】【等比求和】【数列求和-分组相加】12310b b b b ++++=2101。
18．（12分）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标，根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；（Ⅱ）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数。
解：（Ⅰ）【古典概型】设事件A ：“至少有1家的融合指数在[7,8]内”，则22259()110C P A C =-=（文科列举法）；（Ⅱ）【频率分布表计算平均数】28734.5 5.5 6.57.520202020⨯+⨯+⨯+⨯=6.05 19．（12分）已知点F 为抛物线2:2E y px =(0)p >的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且||3AF =，（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB（Ⅰ）【抛物线定义】∵||22p AF =+，且||3AF =，解得2p =，∴抛物线E 的方程为24y x =；（Ⅱ）∵点(2.)A m 在抛物线E 上，∴m =±A ，【直线方程-两点式】直线AF 方程为1)y x =-，【直线与抛物线相交】由241)y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得22520x x -+=，解得2x =或12，∴1(,)2B ，【斜率公式】又∵GA k =02(1)--=3，GB k =(1)2--=3-，∴GA k =GB k ，从而∠AGF =∠BGF ，这表明F 到直线,GA GB 的距离相等，故以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切。
解法二：写出直线,GA GB 的方程，用点F 到两直线的距离验证。
20．（12分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO OB ==，（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ；（Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（Ⅲ）若BC =E在线段PB 上，求CE OE +的最小值。
解：（Ⅰ）在△AOC 中，∵OA OC =，D 为AC 中点，∴AC ⊥DO ，又PO 垂直于圆O 所在的平面，【线面垂直性质】∴PO ⊥AC ，∵DO PO O =，【线面垂直判定】∴AC ⊥平面PDO ；（Ⅱ）【三棱锥体积】【三角形面积最值】∵点C 在圆O 上，∴当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1，又2AB =，∴△ABC 面积最大值为1212⨯⨯=1，又∵三棱锥P ABC -的高1PO =，故三棱锥P ABC -体积的最大值为1113⨯⨯=13；（Ⅲ）【侧面展开图】在△POB 中，1PO OB ==，∠90POB =︒，∴PB =同理PC ，∴P B P C B C ==，在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕BC 旋转至平面'BC P ，使之与平面APB共面，如图所示，当'OEC 共线时，CE OE +取得最小值，又∵OP OB =，''C P C B =，∴'OC 垂直平分PB ，即E 为PB 中点，从而'OC ='OE EC +=2即C E O E +21．（12分）已知函数()2cos 10cos 222x x x f x =+，（Ⅰ）求函数()f x的最'A B C D OPE小正周期；（Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a (0)a >个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2，（ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >。
解：（Ⅰ）【倍角公式】【化和为一】【周期性】∵()f x =2cos 10cos 222x x x +=5cos 5x x ++=10sin()56x π++，∴函数()f x 的最小正周期2T π=；（Ⅱ）（ⅰ）【图像平移】将()f x 图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移(0)a a >个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象，【最值】又已知函数()g x 的最大值为2，∴1052a +-=，解得13a =，∴()10sin 8g x x =-；（ⅱ）【问题转化】要证明无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >，【放缩为特殊值】由452<，存在003a π<<，使得04sin 5a =，由正弦函数图象可知当00(,)x a a π∈-时，均有4s i n 5x >，∵s i n y x =的周期为2π，∴当00(2,2)x k a k a πππ∈++-()k Z ∈时均有4sin 5x >，【区间长度】∵对任意的正整数k ，都存在正整数00(2)(2)k a k a πππ+--+=02a π->3π>1，∴对任意的正整数k ，都存在正整数00(2,2)k x k a k a πππ∈++-，使得4sin 5k x >，即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >。