数学---江西省南昌三中2016-2017学年高二下学期期末考试(理)

江西省南昌三中2016-2017学年高二下学期期末考试（理）一选择题1.设集合M P x y x P x y y M 则},1|{},|{2-====-（ ）A ．（1，+∞）B ．),1[+∞C ．（0，+∞）D ．),0[+∞2.在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差3.已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，且P (X ＜4)＝0.8，则P (0＜X ＜2)＝( )A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2 4. 已知命题P ：1122k ->;命题q:函数22log (2)y x kx k =-+的值域为R ,则P 是q 的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，x －1，x ≥0， 则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是( )A.{x |－1≤x ≤2－1}B.{x |x ≤1}C.{x |x ≤2－1}D.{x |－2－1≤x ≤2－1}6．设f (x )是定义在R 上的偶函数，它的图象关于直线x ＝2对称，已知x ∈[－2,2]时，函数f (x )＝－x 2＋1，则x ∈[－6，－2]时，f (x )等于 ( )A ．－(x ＋4)2＋1B ．－(x －4)2＋1C ．－(x －4)2－1D ．－(x ＋4)2－1 7.已知集合{}{},,,|19A a b c B x x x N ==≤≤∈且若映射:f A B →满足()()()f a f b f c ≤≤且()()()12f a f b f c ++=，则这样的映射个数为（ ）A ．12 B.11 C.10 D.98.若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数（ ）A. B. C.1 D.29.⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为( ) x y 330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩x y +m =2-1-A.－40B.－20C.20D.4010.如图，、分别为棱长为1的正方体的棱、的中点，点、分别为面对角线和棱上的动点（包括端点），则下列关于四面体E-FGH 的体积说法正确的是（ ）A ）此四面体体积既存在最大值，也存在最小值；B ）此四面体的体积为定值；C ）此四面体体积只存在最小值；D ）此四面体体积只存在最大值。

11已知函数的对称中心为，记函数的导函数为，的导函数为，则有．若函数，则可求得（ ） A. B ． C. D ．12．设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈u u r u u r u u r，316λμ⋅=，则双曲线的离心率为 ( )A ．233B ．355C ．322D ．98二．填空题E F 11A B 11B C G H AC 1DD )0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 00(,)M x y )(x f )(x f ')(x f ')(x f ''0)(0=''x f 233)(x x x f -==+++)20134025()20134024()20132()20131(f f f f 40254025-80508050-13.若实数满足，则的最大值是 。

14.已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为________15. 如图,网格上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 . 16. 对于圆锥曲线，给出以下结论：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1()2OP OA OB =+，则动点P 的轨迹为圆； ③方程241250x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线2222111693510x y x y -=+=与椭圆有相同的焦点.⑤椭圆C:2212x y +=上满足120MF MF ⋅= 的点M 有4个（其中12F F ，为椭圆C 的焦点）.其中正确结论的序号为 （写出所有正确结论的序号）． 三．解答题17．已知命题p:的定义域为R ，命题q ：关于 的不等式>1的解集为R ，若“p 或q”为真，“p 且q”为假，求实数的取值范围.18.如图，平面ABEF ABC ⊥平面,四边形ABEF 为矩形，AC BC = ，O 为AB 的中点，OF EC ⊥．y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-0001x y x y x yx z 23+=()()2lg 1f x x ax =++x 2x x a +-a（1）求证：OE FC ⊥；（2）若2,3AB AC ==，求二面角F CE B --的余弦值19.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列． (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．20.（本小题满分13分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x -y +26=0相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设A (-4，0)，过点R (3，0)作与x 轴不重合的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，连结AP 、AQ 分别交直线163x =于M 、N 两点，试问直线MR 、NR 的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由。

21.设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R. (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值.求实数a 的取值范围.请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.已知圆锥曲线2cos :3sin x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点(0,3)A ，1F 、2F 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线2AF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求11||||MF NF -的值．23.设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|. (1)求不等式f (x )≥3的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≥t 2－3t 在[0，1]上无解，求实数t 的取值范围.参考答案1-12.BDCCC ABCDA DA13.、914. {x|x<－lg2}15. 316.②③④17．解：p 为真命题时，P 为真命题时，令的解集为R 又“p 或q 为真”，“p 且q”为假 P ，q 中一真一假a 的取值范围是 18.解：(1)X 可能的取值为10，20，100，－200.根据题意，有 P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38， P (X ＝100)＝C 33×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为：X 10 20 100 －200 P38381818(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1，2，3)，则 P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.240a =-< 22a -<<()22,222,2x a x ag x x x a a x a -≥⎧=+-=⎨<⎩()2g x a ∴=小|2|1x x a +-> 1212a a ∴>>即∴∴22221122a a a a a ⎧-<<≤-≥⎧⎪⎪⎨⎨≤>⎪⎪⎩⎩或或∴1222a a -<≤≥或∴1222a a -<≤≥或(3)由(1)知，X 的数学期望为EX ＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54.这表明，获得分数X 的均值为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大． 19（本小题满分12分）（I ）证明：连接，因为，是的中点，故. 又因为平面平面，面面，面，故平面. 因为面，于是. ………………2分又，，所以平面，所以. ……………………4分又因为，，故平面，………5分所以. …………6分（Ⅱ）由（I ）得，，不妨设，取的中点，以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系。

因为，所以，，于是有，从而，，设平面的法向量，由 得得，…………9分同理，可求得平面的一个法向量，设的夹角为，则， …11分由于二面角为钝二面角，所以所求余弦值为. …12分 20.解:（1）由题意：26232b ==………2′OC AC BC =O AB OC AB ⊥ABEF ⊥ABC ABEF ⋂ABC AB =OC ⊂ABC OC ⊥ABEF OF ⊂ABEF OC OF ⊥OF EC ⊥OC EC C ⋂=OF ⊥OEC OF OE ⊥OC OE ⊥OF OC O ⋂=OE ⊥OFC OE FC ⊥2AB AF =1,2AF AB ==EF D O ,,OC OB OD ,,x y z 32AC AB =2OC =(0,1,1),(0,1,1),(0,1,0),(2,0,0)F E B C -(2,1,1,)CE =- (0,2,0)EF =- FCE (,,)n x y z =00n CE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2020x y z y ⎧-++=⎪⎨-=⎪⎩(1,0,2)n = BCE (1,2,0)m = ,m nθ1cos 3m n m n θ⋅== F CE B --13-222214a b e a-==，∴a 2=16………3′ 故椭圆C 的方程为2211612x y +=………4′ （2）设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，若PQ ⊥y 轴，则M 、N 中有一点与A 重合，与题意不符 故可设直线PQ ：x =my +3.………5′将其与椭圆方程联立，消去x 得：(3m 2+4)y 2+18my -21=0………6′1221834m y y m -+=+，1222134y y m -=+………7′ 由A 、P 、M 三点共线可知，1116443M y y x =++，112834M y y x =⋅+，………8′ 同理可得222834N y y x =⋅+………9′ ()()1212916161649443333M N M N MR NR y y y y y y k k x x ⋅⋅=⋅==++--………10′ 而()()()()()2121212124477749x x my my m y y m y y ++=++=+++………11′∴()2222211616211234211844977493434MR NRm k k m m m m m -⨯⨯-+⋅===---⨯⋅+⋅+++故直线MR 、NR 的斜率为定值127-.………13′21.解：(1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a .可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)， 则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x.当a ≤0时，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增； 当a ＞0时，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 时，g ′(x )＞0时，函数g (x )单调递增， x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减.所以当a ≤0时，g (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，g (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，12a ，单调减区间为⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞. (2)由(1)知，f ′(1)＝0. ①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，所以当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意.②当0＜a ＜12时，12a ＞1，由(1)知f ′(x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 内单调递增. 可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，x ∈⎝⎛⎭⎫1，12a 时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在(0，1)内单调递减，在⎝⎛⎭⎫1，12a 内单调递增. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意. ③当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减.所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意.④当a ＞12时，0＜12a ＜1，当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减. 所以f (x )在x ＝1处取极大值，合题意 . 综上可知，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，＋∞.22.解：（Ⅰ）曲线可化为， …………………2分 其轨迹为椭圆，焦点为. ………………………3分 经过和的直线方程为,即 . ………………5分2cos :3sin x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩22143x y +=12(1,0),(1,0)F F -(0,3)A 2(1,0)F 113x y+=330x y +-=（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的斜率为，因为，所以的斜率为，倾斜角为， 所以的参数方程为 （为参数）， ……………7分 代入椭圆的方程中，得. ……………8分 因为在点的两侧，所以. …………10分 23.解(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥12，－3x －1，－2≤x ＜12，3－x ，x ＜－2，所以原不等式转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x －3≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ＜12，－3x －1≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－2，3－x ≥3，所以原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪[6,＋∞). (2)只要f (x )max ＜t 2－3t ，由(1)知f (x )max ＝－1＜t 2－3t 解得t ＞3＋52或t ＜3－52.即t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，3－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋52，＋∞，2AF 3-2l AF ⊥l 3330︒l 31212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t C 213123360t t --=,M N 1F 111212313MF NF t t -=+=。