高中数学必修二知识讲解,巩固练习(复习补习,期末复习资料)：21【基础】直线的倾斜角与斜率

直线的倾斜角与斜率【学习目标】1.了解直线倾斜角的概念，掌握直线倾斜角的范围；2.理解直线斜率的概念，理解各倾斜角是90时的直线没有斜率；3.已知直线的倾斜角(或斜率)，会求直线的斜率(或倾斜角)；4.掌握经过两点111(,)P x y 和222(,)P x y 的直线的斜率公式：2121y y k x x -=-(12x x ≠)；5.熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件. 【要点梳理】要点一、直线的倾斜角平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，则α叫做直线的倾斜角.规定：当直线和x 轴平行或重合时，直线倾斜角为0，所以，倾斜角的范围是0180α≤<． 要点诠释：1.要清楚定义中含有的三个条件 ①直线向上方向； ②x 轴正向； ③小于180的角.2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由x 轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.3.倾斜角α的范围是0180α≤<.当0α=时，直线与x 轴平行或与x 轴重合.4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置.要点二、直线的斜率 1．定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即tan k α=． 要点诠释：(1)当直线l 与x 轴平行或重合时，=0°，k=tan0°=0； (2)直线l 与x 轴垂直时，=90°，k 不存在.由此可知，一条直线l 的倾斜角一定存在，但是斜率k 不一定存在. 2．直线的倾斜角α与斜率k 之间的关系由斜率的定义可知，当α在(090)，范围内时，直线的斜率大于零；当α在(90180)，范围内时，直线的斜率小于零；当0α=︒时，直线的斜率为零；当90α=︒时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(90除外)为一一对应关系，且在)090⎡⎣，和(90180)，范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在)090⎡⎣，或(90180)，范围内比较倾斜角的大小只需比较ααα斜率的大小即可，反之亦然．要点三、斜率公式已知点111(,)P x y 、222(,)P x y ，且12P P 与x 轴不垂直，过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率公式2121y y k x x -=-.要点诠释：1.对于上面的斜率公式要注意下面五点：(1) 当x 1=x 2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=90°，直线与x 轴垂直；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关，即y 1，y 2和x 1，x 2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；(3)斜率k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；(4)当y 1=y 2时，斜率k=0，直线的倾斜角=0°，直线与x 轴平行或重合； (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 2.斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：(1)由1P 、2P 点的坐标求k 的值；(2)已知k 及1122,,,x y x y 中的三个量可求第四个量； (3)已知k 及1P 、2P 的横坐标(或纵坐标)可求12||PP ； (4)证明三点共线.要点四、两直线平行的条件设两条不重合的直线21,l l 的斜率分别为21,k k .若21//l l ，则1l 与2l 的倾斜角1α与2α相等.由21αα=，可得，即.因此，若21//l l ，则21k k =. 反之，若21k k =，则21//l l . 要点诠释：1.公式2121//k k l l =⇔成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为21k k ，；②21l l 与不重合；2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时，21l l 与的倾斜角都是90︒，则21//l l . 要点五、两直线垂直的条件设两条直线21,l l 的斜率分别为21,k k .若21l l ⊥，则121-=⋅k k . 要点诠释：1.公式12121-=⋅⇔⊥k k l l 成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；αα21tan tan αα=21k k =2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直. 【典型例题】类型一：直线的倾斜角与斜率例1．设直线l 与x 轴的交点为P ，且倾斜角为α，若将其绕点P 按逆时针方向旋转45°，得到直线l 的倾斜角为α+45°，则（ ）A ．0°≤α＜90°B ．0°≤α＜135°C ．0°＜α≤135°D ．0°＜α＜135° 【答案】D【解析】 ∵α，α+45°均为倾斜角，∴0180045180αα︒≤<︒⎧⎨≤+︒<︒⎩，∴0°≤α＜135°．又∵直线l 与x 轴相交，∴α≠0°．故选D ．【总结升华】 （1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②x 轴的正方向；③小于平角的正角．（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x 轴正方向的倾斜程度．（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．（4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．例2．下列说法正确的是________．①若两直线的倾斜角相等，则两直线平行或重合；②若一直线的倾斜角为150°，则此直线关于y 轴的对称直线的倾斜角为30°； ③若α，2α，3α分别为三条直线的倾斜角，则α不大于60°； ④若倾斜角α=90°，则此直线与坐标轴垂直． 【答案】 ①②【解析】 若倾斜角相等，则两直线平行或重合，故①正确；若两直线关于y 轴对称，则其倾斜角互补，故②正确；当α=60°时，3α=180°，故③错误；若α=90°，则直线与x 轴垂直．故④错误．【总结升华】本题考查直线的倾斜角定义中的条件及倾斜角的取值范围．理解倾斜角的定义是解决此题的关键．举一反三：【变式1】 下图中各标注的直线的倾斜角是否正确？为什么？【答案】（1）不正确（2）不正确（3）不正确（4）不正确【解析】题图（1）中的角α的一边取的是x 轴的负方向，因此标注不正确； 题图（2）中的角α的一边取的是直线向下的方向，因此标注不正确；题图（3）中的角α的两边分别取的是x 轴的负方向和直线向下的方向，因此标注不正确，但是它的大小等于直线的倾斜角．题图（4）中的角α是x 轴正方向与直线向上方向所成的角，因此标注不正确．例3．如图所示，直线1l 的倾斜角130α=︒，直线1l 与2l 垂直，求1l ，2l 的斜率．【答案】1k =k 2=【解析】由图形可知，2190αα=+︒，则k 1，k 2可求． 直线1l的斜率11tan tan 30k α==︒=． ∵直线2l 的倾斜角2α=90°+30°=120°，∴直线2l 的斜率k 2=tan120°=tan(180°―60°)=―tan60°=【总结升华】（1）本例中，利用图形的形象直观挖掘出直线1l 与2l 的倾斜角之间的关系是解题的关键． （2）公式tan(180°－α)=－tan α是一个重要公式，它是求倾斜角为钝角时的直线斜率的关键，即把钝角的正切转化为锐角的正切．熟记30°，45°，60°角的正切值可快速求解．举一反三： 【变式1】（2016 山西曲沃县模拟）过两点A （3―m ―m 2，―2m ），B （m 2+2，3―m 2）的直线的倾斜角为135°，求m 的值．【答案】m =―2【解析】依题意可得：直线的斜率为―1 又直线过两点A （3―m ―m 2，―2m ），B （m 2+2，3―m 2）即：22223132m m m m m --+=----- 整理的2223121m m m m --=+-可求得m =―2或m =―1 经检验m =―1不合题意，故m =―2． 类型二：过两点的直线斜率公式的应用例3．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率． （1）（1，―1），（―3，2）；（2）（1，―2），（5，―2）；（3）（3，4），（―2，―5）；（4）（3，0），（3，．【答案】（1）34-（2）0（3）95（4）不存在【解析】 当倾斜角α=90°时，斜率不存在；当α≠90°时，2121y y k x x -=-．（1）2(1)3314k --==---；（2）2(2)051k ---==-；（3）549235k --==--；（4）∵倾斜角α=90°，∴k 不存在．【总结升华】 应用斜率公式求斜率时，首先应注意这两点的横坐标是否相等，若相等，则这两点的连线必与x 轴垂直，即直线的倾斜角为90°，故其斜率不存在，也就不能运用斜率公式求斜率．事实上，此时若将两点坐标代入斜率公式，则其分母为零无意义，即斜率不存在；其次，在运用斜率公式时，分子的被减数与分母的被减数必须对应着同一点的纵坐标和横坐标．举一反三：【变式1】 直线l 过点A （1，2），B （m ，3），求l 的斜率．【答案】不存在或11m - 【解析】若m=1，此时l 的倾斜角为2π，显然直线斜率不存在，； 若m ≠1，则直线斜率存在，设此时斜率为k ，倾斜角为α，321tan 11k m m α-===--． 例4．已知A （a ，2），B （5，1），C （―4，2a ）三点在同一条直线上，求a 的值． 【答案】2 或72【解析】 ∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB =k BC ，∴2121545a a --=---，解得a=2或72a =． 故所求的a 的值为2或72．【总结升华】 由于直线上任意两点的斜率都相等，因此A ，B ，C 三点共线⇔A ，B ，C 中任意两点的斜率相等（如k AB =k AC ）．斜率是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．举一反三：【变式1】已知A （―3，―5），B （1，3），C （5，11）三点，试判断这三点是否在同一直线上． 【答案】在同一直线上【解析】由题意可知直线AB 的斜率35213AB k +==+，直线BC 的斜率113251BC k -==-．因为k AB =k BC ，即两条直线的斜率相同，并且它们过同一点B ，所以A ，B ，C 三点在同一直线上．例5．（2015春 三明月考）已知两点A （―3，4），B （3，2），过点C （2，―1）的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．【思路点拨】根据题意，画出图形，结合图形，求出满足条件的直线l 斜率k 的取值范围． 【答案】k ≤－1或k ≥3．【解析】如图所示， ∵A （―3，4），B （3，2），C （2，―1），∴14123AC k --==-+， 12323BCk --==-； 要使过点C 的直线L 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥3．【总结升华】本题考查了已知两点的坐标求直线斜率的应用问题，也考查了数形结合的应用问题．举一反三：【变式1】 已知直线l 过点(2,1)A -且与线段BC 相交，设(1,0),(1,0)B C -，则直线l 的斜率k 的取值范围是 ．【答案】113k -≤≤-【解析】画出图形，数形结合类型三：两条直线平行的条件例6．已知1l 经过A （―3，3），B （―8，6），2l 经过21,62M ⎛⎫-⎪⎝⎭，9,32N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求证：12//l l ． 【解析】 直线1l 的斜率为16338(3)5k -==----，直线2l 的斜率为26(3)3219522k --==---，∵k 1=k 2，∴12//l l ．【总结升华】判定两条不重合的直线是否平行的依据是：当这两条直线均不与x 轴垂直时，只需看它们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等（当这两条直线均不与x 轴垂直时）．判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直线是否重合． 举一反三：【变式1】 判断下列各小题中的直线1l 与2l 是否平行．（1）1l 经过点A （―1，―2），B （2，1），2l 经过点M （3，4），N （―1，―1）； （2）1l 的斜率为1，2l 经过点A （1，1），B （2，2）；（3）1l 经过点A （0，1），B （1，0），2l 经过点M （―1，3），N （2，0） （4）1l 经过点A （―3，2），B （―3，10），2l 经过点M （5，―2），N （5，5）． 【解析】 （1）11(2)12(1)k --==--，2145134k --==--，∵k 1≠k 2，∴1l 与2l 不平行．（2）k 1=1，221121k -==-， ∵k 1=k 2，∴1l ∥2l 或1l 与2l 重合． （3）101110k -==--，20312(1)k -==---， ∵k 1=k 2，∴1l ∥2l ．（4）∵1l 与2l 都与x 轴垂直，∴1l ∥2l ．【总结升华】 k 1=k 2⇔1l ∥2l 是针对斜率都存在的直线，对于斜率不存在或可能不存在的直线要注意利用图形求解．例7．已知ABCD 的三个顶点的坐标分别是A （0，1），B （1，0），C （4，3），求顶点D 的坐标． 【答案】 （3，4）【解析】 解法1：设D （m ，n ），线段AC 的中点为E （2，2），所以线段BD 的中点为E （2，2），则122022m n +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得m=3，n=4，所以D （3，4）． 解法2：设D （m ，n ），由题意得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB =k DC ，k AD =k BC ，所以013104130041nmn m --⎧=⎪⎪--⎨--⎪=⎪--⎩，解得m=3，n=4，所以D （3，4）．【总结升华】 解决此类问题的关键是充分利用几何图形的几何性质，并用解析几何中的相关知识解决．解决本题的关键是如何利用平行四边形的几何性质，其出发点是已知平行四边形的三个顶点如何作出第四个顶点，这两种作法对应着两种解法． 类型四：两条直线垂直的条件例8．判断下列各题中1l 与2l 是否垂直．（1）1l 经过点A （―1，―2），B （1，2），2l 经过点M （―2，―1），N （2，1）； （2）1l 的斜率为―10，2l 经过点A （10，2），B （20，3）；（3）1l 经过点A （3，4），B （3，10），2l 经过点M （－10，40），N （10，40）．【解析】 求出斜率，利用1l ⊥2l ⇔k 1k 2=－1进行判断，注意数形结合及斜率不存在的特殊情况． （1）12(2)21(1)k --==--，21(1)12(2)2k --==--，k 1k 2=1， ∴1l 与2l 不垂直； （2）k 1=－10，2321201010k -==-，k 1k 2=－1，∴1l ⊥2l ；（3）1l 的倾斜角为90°，则1l ⊥x 轴；24040010(10)k -==--，则2l ∥x 轴，∴1l ⊥2l ．【总结升华】 判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于―1即可，但应注意有一条直线与x 轴垂直，另一条直线与x 轴平行时，两条直线也垂直．例9．已知定点A （―1，3），B （4，2），以A ，B 为直径的端点，作圆与x 轴交于点C ，求交点C 的坐标．【答案】（1，0）或（2，0）【解析】 本题中有三个点A ，B ，C ，由于AB 为直径，C 为圆上的点，所以∠ACB=90°，因此，必有k AC ·k BC =―1．列出方程，求解即可．以线段AB 为直径的圆与x 轴的交点为C ，则AC ⊥CB ．设C （x ，0），MJ 31AC k x -=+，24BC k x -=-．∴32114x x --⋅=-+-，去分母解得x=1或2． ∴C （1，0）或C （2，0）．【总结升华】利用直线平行与垂直的条件解题，主要利用其斜率的关系，当然，在解题时要特别注意斜率不存在的情况，以及分类讨论的思想．本例中，利用∠ACB=90°，及两条直线垂直时斜率之间的关系，从而构造关于x 的方程，解之便求出其交点坐标，因此利用直线垂直与平行关系可构造相关方程，解之即可求出相关参数．本例中，当AC 或BC 的斜率不存在时，不满足AC ⊥BC ，这是很明显的事情（如图）．故不需要对AC 或BC 斜率不存在的情形作讨论．举一反三： 【变式1】（2015春 海淀区期末）已知点A （a ，a ）（a ≠0），B （1，0），O 为坐标原点．若点C 在直线OA 上，且BC 与OA 垂直，则点C 的坐标是（ ）A ．11(,)22- B ．(,)22a a - C ．(,)22a a D ．11(,)22【思路点拨】设C （x ，y ），利用点C 在直线OA 上，且BC 与OA 垂直得到关于x ，y 的方程组解之． 【答案】D【解析】设C （x ，y ），因为点C 在直线OA 上，且BC 与OA 垂直，所以11x y y x =⎧⎪⎨=-⎪-⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；故选：D【巩固练习】1．以下两点确定的直线的斜率不存在的是（ ）A ．（4，2）与（―4，1）B ．（0，3）与（3，0）C ．（3，―1）与（2，―1）D ．（―2，2）与（―2，5） 2．过点P （－2，m ），Q （m ，4）的直线的斜率为1，则m 的值为（ ） A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4 3．如图，若图中直线的斜率分别为k 1， k 2， k 3，则( )321,,l llA.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 24．若直线1l ，2l 的倾斜角分别为1α，2α，且1l ⊥2l ，则（ ）A ．1290αα-=︒B ．1290αα+=︒C ．12180αα+=︒D ．1290αα-=︒ 5．直线122a y x =--与直线2y x =-+互相垂直，那么a 的值为（ ） A ．1 B ．13- C ．23- D ．―26．（2015春 黄冈期末）已知直线1l ：x +2ay ―1=0，与2l ：(2a ―1)x ―ay －1=0平行，则a 的值是（ ）A ．0或1B ．1或14 C ．0或14 D ．147．已知点A （―1，3），B （3，1），点C 在x 轴上，且∠ACB=90°，则满足条件的点C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 8．已知函数2()log (1)f x x =+，且0a b c >>>，则()f a a ，()f b b ，()f c c 的大小关系为( ) A ．()()()f a f b f c a b c >> B ．()()()f a f b f c a b c <<C ．()()()f b f a f c b ac>>D ．()()()f a f c f b a c b<<9．已知点M （2m+3，m ），N （m －2，1），当m ∈________时，直线MN 的倾斜角为锐角；当m ∈________时，直线MN 的倾斜角为直角；当m ∈________时，直线MN 的倾斜角为钝角． 10．已知三点A （2，―3），B （4，3），(5,)2kC 在同一条直线上，则k=________． 11．直线210x a y ++=与直线2(1)30a x by +-+=互相垂直，a 、b ∈R 且ab ≠0，则ab 的最小值为________． 12．（2016 湖南衡阳模拟）过A （m ，1）与B （―1，m ）的直线与过点P （1，2），Q （―5，0）的直线垂直，则m =________． 13．（2016 浙江金华模拟）如果三条直线mx +y +3=0，x ―y ―2=0，2x ―y +2=0不能成为一个三角形三边所在的直线，求m 的值． 14．（2015春 淮安期中）直线mx +y +2=0与线段AB 有公共点，其中A （－2，3），B （3，2），求实数a 的取值范围．15．已知△ABC 的三个顶点坐标为A （2，4），B （1，―2），C （―2，3），求BC 边上的高AD 所在直线的斜率．【答案与解析】1．【答案】 D【解析】 选项D 中两点的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x 轴垂直，因此直线的斜率不存在． 2．【答案】A【解析】 由斜率公式可求得m=1． 3．【答案】B 【解析】设直线的倾斜角分别为321,,ααα，则，根据正切函数的图像可得. 4．【答案】 D【解析】 方法一：特殊值法，令145α=︒，2135α=︒．方法二：如图，可得2390αα+=︒， ①13180αα+=︒， ②②－①，得1290αα-=︒．若1l 与2l 变换位置，则有2190αα-=︒． 5．【答案】D【解析】 ∵两直线垂直，∴()(1)12a -⨯-=-，∴a=―2．6．【分析】先检验当a =0时，是否满足两直线平行，当a ≠0时，两直线的斜率都存在，由21121a a a a ---=≠-，解得a 的值． 【答案】【解析】当a =0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x =1，x =－1，显然两直线是平行的． 当a ≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由21121a a a a ---=≠-，解得：14a =． 综上，a =0或14，故选：C ．【点评】本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验． 7．【答案】 B 【解析】 设C （x ，0），则有13131x x⋅=----，即3+(x ―3)·(x+1)=0．整理，得x 2―2x=0，∴x=0或x=2． 8．【答案】Ｂ321,,l l l παπαα<<<<<32120213k k k <<11【解析】该题从特殊值和常规方法都不容易找到解题的捷径，经仔细分析发现，其结构具务()()00f x f x x x -=-的特点，由此联想到利用斜率进行求解． 作出函数2()log (1)f x x =+的大致图象．由图可知，曲线上各点与原点连线的斜率随x 的增大而减小．因为0a b c >>>，所以()()()f a f b f c a b c<<．故选Ｂ． 9．【答案】（－∞，－5）∪（1，+∞） {}5- （―5，1）【解析】 112(23)5MN m m k m m m --==--+--，若直线MN 的倾斜角为锐角，则105MN m k m -=>--，有1050m m ->⎧⎨-->⎩或1050m m -<⎧⎨--<⎩．解得m ＜－5或m ＞1．其他同理可得． 10．【答案】12【解析】 由k AB =k AC 解方程可得．11．【分析】由题意知，两直线的斜率之积等于－1，得到a 、b 的关系，代入ab 的解析式变形后使用基本不等式，求得其最小值．【答案】2 【解析】由题意得22111a a b +-⨯=-，∴ 221a b a =+，∴222111a b a a+==+， ∴211|||(1)|||||2ab a a a a=⨯+=+≥，当且仅当a =1或a =－1时，取等号，故ab 的最小值为2， 故答案为2．【点评】本题考查两条直线垂直的性质，利用基本不等式求式子的最小值，注意检验最小值取得的条件是否具备．12．【答案】―2【解析】过点A （m ，1）与B （―1，m ）的直线的斜率11m m ---，过点P （1，2），Q （―5，0）的直线的斜率为：201153-=+． 因为两条直线垂直，所以11113m m -⨯=---，解得m =―2． 故答案为：―2．13．【答案】―1或―2或34- 【解析】①mx +y +3=0与x ―y ―2=0平行时，m =―1，此时满足题意，所以m =―1；②mx +y +3=0与2x ―y +2=0平行时，m =―2，此时满足题意，所以m =―2；③联立x ―y ―2=-，2x ―y +2=0得20220x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得：46x y =-⎧⎨=-⎩，12即x ―y ―2=0与2x ―y +2=0的交点坐标为（―4，―6），根据题意所求直线过（―4，―6）， 代入得，34m =-， 综上m 的值是―1或―2或34-． 14．【分析】由题意得直线y =―mx ―2过定点P （0，―2），作出图象求出边界直线的斜率，根据图象和条件求出实数m 的取值范围． 【答案】54(,)[,)23-∞-+∞ 【解析】由题意得，直线mx +y +2=0化为y =―mx ―2，则直线y =―mx ―2过定点P （0，―2），画出图象：∴直线P A 的斜率是325202+=---，直线PB 的斜率是224303+=-， ∵直线mx +y +2=0与线段AB 有公共点，∴直线mx +y +2=0在直线P A 和直线PB 之间，且直线PB 按逆时针转动，直线P A 按顺时针转动，则实数m 的取值范围是54(,)[,)23-∞-+∞， 15．【答案】35【解析】由题意可知BC 边所在直线的斜率为2351(2)3BC k --==---．因为AD ⊥BC ，所以135AD BC k k =-=，所以BC 边上的高AD 所在直线的斜率为35．。