创新教程2016年高考数学大一轮复习冲关集训2理新人教A版

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创新教程2016年高考数学大一轮复习第二章第8节函数与方程课时冲关理新人教A版

【创新教程】2016年高考数学大一轮复习第二章第8节函数与方程课时冲关理新人教A 版对应学生用书课时冲关理十一第253页文十一第221页一、选择题1．下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是( )解析：A 中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；B 中函数的图象不连续；D 中函数在x 轴下方没有图象，故选C.答案：C2．(2015·荆门调研)已知函数y ＝f (x )的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：则函数y A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个解析：依题意，f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0，故函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个，故选B.答案：B3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：当x ≤0时，由f (x )＝x 2＋2x －3＝0，得x 1＝1(舍去)，x 2＝－3；当x >0时，由f (x )＝－2＋ln x ＝0，得x ＝e 2，所以函数f (x )的零点个数为2，故选B.答案：B4．(2015·北京高考)已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )的零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)解析：方法一：对于函数f (x )＝6x－log 2x ，因为f (2)＝2>0，f (4)＝－0.5<0，根据零点的存在性定理知选C.方法二：在同一坐标系中作出函数h (x )＝6x与g (x )＝log 2x 的大致图象，如图所示，可得f (x )的零点所在的区间为(2,4)．答案：C5．(2015·天津模拟)函数f (x )＝|tan x |，则函数y ＝f (x )＋log 4x －1与x 轴的交点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：函数y ＝f (x )＋log 4x －1与x 轴的交点个数，为方程f (x )＋log 4x －1＝0的解的个数，即方程f (x )＝－log 4x ＋1解的个数，也即函数y ＝f (x )，y ＝－log 4x ＋1的图象交点个数，作出两个函数图象可知，它们有3个交点．故选C.答案：C6．函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( ) A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点 C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点解析：在同一直角坐标系中分别作出函数y ＝x 和y ＝cos x 的图象，如图，由于x >1时，y ＝x >1，y ＝cos x ≤1，所以两图象只有一个交点，即方程x －cos x ＝0在[0，＋∞)内只有一个根，所以f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内只有一个零点，所以选B.答案：B7．(2015·哈师大模拟)若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点个数是( )A ．5B ．7C ．8D ．10解析：依题意得，函数f (x )是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象，结合图象得，当x ∈[－5,5]时，它们的图象的公共点共有8个，即函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点个数是8.答案：C8．(2015·郑州模拟)已知x 0是函数f (x )＝11－x＋ln x 的一个零点，若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0解析：令f (x )＝11－x ＋ln x ＝0.从而有ln x ＝1x －1，此方程的解即为函数f (x )的零点．在同一坐标系中作出函数y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象如图所示．由图象易知，1x 1－1＞ln x 1，从而ln x 1－1x 1－1＜0，故ln x 1＋11－x 1＜0，即f (x 1)＜0.同理f (x 2)＞0.答案：D9．(2015·金华模拟)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 解析：依题意，结合函数f (x )的图象分析可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f －f，f f ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋m ＋m ＋，[m －2＋m ＋m ＋m －＋2m ＋m ＋，解得14<m <12.答案：C10．(2015·济南模拟)设函数f 1(x )＝log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f 2(x )＝log 12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点分别为x 1，x 2，则( )A ．0<x 1x 2<1B ．x 1x 2＝1C ．1<x 1x 2<2D ．x 1x 2≥2解析：依题意知x 1>x 2>0，且log 2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＝0，log 12 x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＝0，则log 2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x1＝log 12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＝－log 2x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2，所以log 2x 1＋log 2x 2＝log 2x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2<0＝log 21，所以0<x 1x 2<1.答案：A11．(2015·北京西城二模)执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①y ＝2x ；②y ＝－2x ；③f (x )＝x ＋x －1；④f (x )＝x －x －1. 则输出函数的序号为( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：由图可知输出结果为存在零点的函数，因2x>0，所以y ＝2x没有零点，同样y ＝－2x 也没有零点；f (x )＝x ＋x －1，当x >0时，f (x )≥2，当x <0时，f (x )≤－2，故f (x )没有零点；令f (x )＝x －x －1＝0得x ＝±1，故选D.答案：D 二、填空题12．(2015·烟台模拟)函数f (x )＝cos x －log 8x 的零点个数为________．解析：由f (x )＝0得cos x ＝log 8x ，设y ＝cos x ，y ＝log 8x ，作出函数y ＝cos x ，y ＝log 8x 的图象，由图象可知，函数的零点个数为3.答案：313．(2015·浙江协作体模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )]＋1的所有零点所构成的集合为________．解析：由题意知f [f (x )]＝－1，由f (x )＝－1得x ＝－2或x ＝12，则函数y ＝f [f (x )]＋1的零点就是使f (x )＝－2或f (x )＝12的x 值，解f (x )＝－2得x ＝－3或x ＝14；解f (x )＝12得x ＝－12或x ＝2，从而函数y ＝f [f (x )]＋1的零点构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，214．已知函数f (x )＝x ＋2x，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________．解析：令x ＋2x＝0，即2x＝－x ，设y ＝2x，y ＝－x ；令x ＋ln x ＝0，即ln x ＝－x ，设y ＝ln x ，y ＝－x .在同一坐标系内画出y ＝2x，y ＝ln x ，y ＝－x ，如图：x 1<0<x 2<1，令x －x －1＝0，则(x )2－x －1＝0，∴x ＝1＋52，即x 3＝3＋52>1，所以x 1<x 2<x 3.答案：x 1<x 2<x 315．(文科)已知函数y ＝f (x ) (x ∈R )满足f (－x ＋2)＝f (－x )，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点的个数为________．解析：因为f (－x ＋2)＝f (－x )，所以y ＝f (x )为周期函数，其周期为2.在同一直角坐标系中，画出函数y ＝f (x )和y ＝log 7x 的图象如图，当x ＝7时，f (7)＝1，log 77＝1，故y ＝f (x )与y ＝log 7x 共有6个交点．答案：615．(理科)(2015·河北邯郸一模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12＋x 2＋2x ，x <0，f x －，x ≥0，且函数y ＝f (x )＋ax 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析：当x <0时，f (x )＝(x ＋1)2－12，把函数f (x )在[－1,0)上的图象向右平移一个单位即得函数y ＝f (x )在[0,1)上的图象，继续右移可得函数f (x )在[0，＋∞)上的图象．如果函数y ＝f (x )＋ax 恰有3个不同的零点，即函数y ＝f (x )，y ＝－ax 的图象有三个不同的公共点，当－a >0时，易知a 无解．当－a <0时，－a <－12即a >12，综上知，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞[备课札记]。

2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)精讲课件：第2章第3节函数的奇偶性与周期性

1．给出下列命题：
①函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数． ②若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝ a对称． ③若函数 y ＝ f(x ＋ b) 是奇函数，则函数 y ＝ f(x) 关于点 (b,0)
中心对称．
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第二章
201究2：周期函数y＝f(x)(x∈R)的周期唯一吗？提示：不唯一．若 T是函数 y ＝ f(x)(x∈R) 的一个周期，则 nT(n∈Z，且n≠0)也是f(x)的周期，即f(x＋nT)＝f(x)．
人教A数学
第二章
2016年新课标高考· 大一轮复习讲义
整合·主干知识聚焦·热点题型提升·学科素养提能·课时冲关
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Ⅰ.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
Ⅱ.会运用
函数的图象理解和研究函数的奇偶性．
Ⅲ. 了解函数周期
性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．
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第二章
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④函数f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2 016)＝ 2 016. 其中正确的是( A．①② C．②③ ) B．①③ D．③④
人教A数学
第二章
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创新教程2016年高考数学大一轮复习第二章第1节函数及其表示课时冲关理新人教A版

【创新教程】2016年高考数学大一轮复习第二章第1节函数及其表示课时冲关理新人教A 版对应学生用书课时冲关理四第239页文四第207页一、选择题1．已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1. 答案：C2．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．答案：B3．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C. f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )，满足要求；B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )，满足要求；C ，f (2x )＝2x ＋1≠2(x ＋1)＝2f (x )，不满足要求；D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，满足要求．答案：C4．(2015·南昌模拟)函数f (x )＝2x ＋12x 2－x －1的定义域是( )A ．{x |x ≠－12}B ．{x |x >－12}C ．{x |x ≠－12且x ≠1}D ．{x |x >－12且x ≠1}解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥0，2x 2－x －1≠0，解得x >－12且x ≠1.答案：D5．(2015·温州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，0≤x <5，f x －，x ≥5，那么f (2 013)＝( )A ．27B ．9C ．3D ．1解析：根据题意，当x ≥5时，f (x )＝f (x －5)， ∴f (2 013)＝f (3)，而当0≤x <5时，f (x )＝x 3， ∴f (3)＝33＝27，故选A. 答案：A6．设g (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则f (x )等于( ) A ．－2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3D ．2x ＋7解析：由g (x )＝2x ＋3，知f (x )＝g (x ＋2)＝2(x ＋2)＋3＝2x ＋7. 答案：D7．设f (x )＝lg 2＋x 2－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的定义域为( )A ．(－4,0)∪(0,4)B ．(－4，－1)∪(1,4)C ．(－2，－1)∪(1,2)D ．(－4，－2)∪(2,4)解析：∵2＋x2－x>0，∴－2<x <2.∴－2<x 2<2且－2<2x<2，取x ＝1，则2x＝2不合题意(舍去)，故排除A ，取x ＝2，满足题意，排除C 、D ，故选B. 答案：B8．(2015·陕西工大附中质检)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对于定义域内的任意x ，y 都有f (xy )＝f (x )＋f (y )，且f (2)＝1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫22的值为( ) A ．1B.12C ．－2D ．－12解析：由题意可得f (2)＝f (2)＋f (2)，∴f (2)＝12；∵f (1)＝f (1)＋f (1)，∴f (1)＝0，∴f (1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·22＝f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝－12.故选D. 答案：D9．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋3解析：由f (x )＋2f (3－x )＝x 2可得f (3－x )＋2f (x )＝(3－x )2，由以上两式解得f (x )＝13x 2－4x ＋6，故选B.答案：B10．(2015·青岛模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：当x ≤1时，21－x≤2，解得x ≥0，又因为x ≤1，所以0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，又因为x >1，所以x >1.故x 的取值范围是[0，＋∞)．故选D. 答案：D11．(2015·南平模拟)定义ab ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ×b ，a ×b ≥0，ab，a ×b <0.设函数f (x )＝ln x x ，则f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．4ln 2B ．－4ln 2C ．2D ．0解析：由题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x ，x ≥1，ln xx，0<x <1，所以f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2ln 2＋2ln 12＝0. 答案：D12．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1，g (x )是二次函数，若f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则g (x )的值域是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：f (x )的图象如图．g (x )是二次函数，且f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，∴g (x )的值域是[0，＋∞)．答案：C 二、填空题13．若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立． ∵x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝________.解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1<x ≤215．若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是________．解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6 ≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]．答案：[－5，－1]16．(2014·安徽高考)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x ，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________.解析：由题易知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝－316＋sin π6＝516. 答案：516[备课札记]。

2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)精讲课件：第2章第2节函数的单调性与最值

质疑探究 1 ：若函数 f(x) 在区间 C 和区间 D 上都是增 ( 减 ) 函数，则函数f(x)在区间C∪D上是增(减)函数吗？
1 提示：不一定．如函数 f(x)＝x在区间(－∞，0)及(0，＋∞) 上都是减函数，但在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是减函数，如取 x1＝－1，x2＝1，x1<x2，但 f(x1)>f(x2)不成立．
第二章
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第二章
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第2节函数的单调性与最值
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第二章
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第二章
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1．给出下列命题：
①函数 f(x) 的图象如图所示，则函数 f(x)的单调增区间是(－∞，0]∪(0，＋∞)； ② 若定义在 R 上的函数 f(x) ，有 f( － 1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数；
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函数y＝f(x)的单调区间．质疑探究 2 ：当一个函数的增区间 ( 减区间 ) 有多个时，能否用“∪”将函数的单调增区间(减区间)连接起来？提示：不能直接用 “∪” 将它们连接起来．例如，函数 y
＝x2－3x的单调增区间有两个： (－∞，－1)和(1，＋∞)，不能
写成(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
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第二章

创新教程高考数学大一轮复习第三章第5节三角恒等变换课时冲关理新人教A版

【创新教程】2016年高考数学大一轮复习第三章第5节三角恒等变换课时冲关理新人教A 版对应学生用书课时冲关理二十/第271页文十九/第237页一、选择题1．(2015·青岛高三期末)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，则sin 2x 的值为( ) A ．－2425B.2425 C ．－725D.725解析：sin 2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π2＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋π4＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－725.答案：C2．(2014·全国新课标卷Ⅰ)若tan α＞0，则( ) A ．sin α＞0 B ．cos α＞0 C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0解析：因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C. 答案：C3．已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β等于( ) A.π4 B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π4解析：由于α，β都为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010.所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝22，所以α＋β＝π4.答案：A4．(2015·兰州检测)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4 B.π3 C.π2D.3π4解析：由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sinC ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C1－tan B tan C＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.答案：A6．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于( )A ．－12B.12 C ．－13D.2327解析：∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2α∈(0，π)．∵cos α＝13，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－79，∴sin 2α＝1－cos 22α＝429，而α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝223， ∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327.答案：D 二、填空题6．(2014·山东高考)函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________．解析：因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .答案：π7．(2015·广州模拟)已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________.解析：∵cos 4 α－sin 4 α＝(sin 2 α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝23，∴cos 2α＝23，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α＝12×23－32×53＝2－156. 答案：2－1568.3tan 12°－34cos 212°－2sin 12°＝________.解析：原式＝3sin 12°cos 12°－322cos 212°－1sin 12°＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°2cos 24°sin 12° cos 12° ＝23sin －48°2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3.答案：－4 39．(2015·烟台模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________.解析：依题设及三角函数的定义得：cos β＝－13，sin(α＋β)＝45.又∵0<β<π，∴π2<β<π，π2<α＋β<π，sin β＝223， cos(α＋β)＝－35.∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋45×223＝3＋8215.答案：3＋8215三、解答题10．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．解：(1)由T ＝2πω＝10π得ω＝15.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617得⎩⎪⎨⎪⎧2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＋π6＝－65，2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＋π6＝1617，整理得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35，cos β＝817.∵α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝45，sin β＝1－cos 2β＝1517.∴cos(α＋β)＝cos αcos β －sin αsin β ＝45×817－35×1517＝－1385. 11．已知函数f (x )＝sin x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 2.(1)求函数f (x )在[－π，0]上的单调区间．(2)已知角α满足α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，2f (2α)＋4f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝1，求f (α)的值．解：f (x )＝sin x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 2＝sin x 2cos x 2＝12sin x .(1)函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0. (2)2f (2α)＋4f ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝1⇒sin 2α＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝1 ⇒2sin αcos α＋2(cos 2α－sin 2α)＝1⇒cos 2α＋2sin αcos α－3sin 2α＝0⇒(cos α＋3sin α)(cos α－sin α)＝0.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α－sin α＝0⇒tan α＝1得α＝π4，故sin α＝22，∴f (α)＝12sin α＝24.[备课札记]。

2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)课时冲关第2章函数、导数及其应用2

第二章第2节对应学生用书课时冲关理(五)/第241页文(五)/第209页一、选择题1．(2014·北京高考)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A ．y ＝e －xB ．y ＝x 3C ．y ＝ln xD ．y ＝|x | 解析：由定义域为R ，排除选项C ，由函数单调递增，排除选项A ，D.答案：B2．(2015·宁波模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x ) ＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈ [－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 答案：C3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x >1)，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2(x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8) 解析：因为f (x )是R 上的单调递增函数，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2.解得4≤a <8，故选B.答案：B 4．(2015·山东济宁二模)定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f ⎝⎛⎭⎫13＝0，则满足f (log 18x )＞0的x 的取值范围是( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫0，18∪⎝⎛⎭⎫12，2 D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：由f (x )＝f (－x )＝f (|x |) 得f (|log 18 x |)＞f ⎝⎛⎭⎫13，于是|log 18x |＞13，解出答案，可知选B. 答案：B5．(2015·杭州模拟)已知减函数f (x )的定义域是实数集R ，m 、n 都是实数．如果不等式f (m )－f (n )＞f (－m )－f (－n )成立，那么下列不等式成立的是( )A ．m －n ＜0B ．m －n ＞0C ．m ＋n ＜0D ．m ＋n ＞0解析：设F (x )＝f (x )－f (－x )，由于f (x )是R 上的减函数，∴f (－x )是R 上的增函数，－f (－x )是R 上的减函数，∴F (x )为R 上的减函数，∴当m ＜n 时，有F (m )＞F (n )，即f (m )－f (－m )＞f (n )－f (－n )成立，因此当f (m )－f (n )＞f (－m )－f (－n )成立时，不等式m －n ＜0一定成立，故选A.答案：A6．设函数y ＝f (x )在R 上有定义，对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )，f (x )≤k ，k ，f (x )＞k .若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥0，2x ，x ＜0，则函数f ⎝⎛⎭⎫12(x )的单调递减区间为( ) A ．(－∞，－1]B ．(－∞，0]C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：f ⎝⎛⎭⎫12(x )＝ ⎩⎨⎧ f (x )，f (x )≤12，12，f (x )＞12＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，12，x ∈(－1，1)，如图所示，函数f ⎝⎛⎭⎫12(x )在区间[1，＋∞)上单调递减．答案：D二、填空题7．(2014·天津高考)函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是________．解析：函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间需满足x 2>0且y ＝x 2单调递减，故x ∈(－∞，0)．答案：(－∞，0)8．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是________．解析：f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a，其对称中心为(－2a ，a )．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1>0－2a ≤－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1>0a ≥1⇒a ≥1. 答案：[1，＋∞)9．(2015·辽宁沈阳模拟)设函数f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )>K ，取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，f K (x )的单调递增区间为________．解析：当f (x )>12时，f K (x )＝12无单调递增区间，所以f (x )≤12，即⎝⎛⎭⎫12|x |≤12，所以x ≥1或x ≤－1，结合图象知单调递增区间为(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)10．(2015·荆州市质检)函数f (x )＝|x 3－3x 2－t |，x ∈[0,4]的最大值记为g (t )，当t 在实数范围内变化时，g (t )的最小值为________．解析：令g (x )＝x 3－3x 2－t ，则g ′(x )＝3x 2－6x ，令g ′(x )≥0，则x ≤0或x ≥2，在[0,2]上g (x )为减函数，在[2,4]上g (x )为增函数，故f (x )的最大值g (t )＝max{|g (0)|，|g (2)|，|g (4)|}，又|g (0)|＝|t |，|g (2)|＝|4＋t |，|g (4)|＝|16－t |，在同一坐标系中分别作出它们的图象，由图象可知，在y ＝16－t (t ≤16)与y ＝4＋t (t ≥－4)的交点处，g (t )取得最小值，由16－t ＝4＋t ，得2t ＝12，t ＝6，∴g (t )min ＝10.答案：10三、解答题11．(2015·昆明模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x， x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值； (2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12，f (x )＝x ＋12x＋2， ∴f ′(x )＝1－12x 2，当x ∈[1，＋∞)时，f ′(x )＞0恒成立，∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴当x ＝1时，f (x )取最小值，f (1)＝72.故f (x )min ＝72. (2)要使f (x )＞0，x ∈[1，＋∞)恒成立，即x 2＋2x ＋a ＞0，x ∈[1，＋∞)恒成立．设g (x )＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1，∴当x ∈[1，＋∞)时，g (x )min ＝3＋a .∴3＋a ＞0，∴a ＞－3即可，∴a ∈(－3，＋∞)．12．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b>0成立． (1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它；(2)解不等式：f ⎝⎛⎭⎫x ＋12<f ⎝⎛⎭⎫1x －1； (3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2，则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)，由已知得f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在[－1,1]上单调递增．(2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋12<1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1.∴－32≤x <－1. (3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上，f (x )≤1.问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须有g(－1)≥0且g(1)≥0，∴m≤－2或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或m≥2或m≤－2.[备课札记]。

2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)课时冲关第2章函数、导数及其应用10

第二章第10节对应学生用书课时冲关理(十三)/第257页文(十三)/第225页一、选择题1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )] ＝3(x 2－a 2)．答案：C2．(2015·合肥模拟)若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( ) A ．2 B ．0 C ．－2D ．－4 解析：f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，则f ′(1)＝2f ′(1)＋2，得f ′(1)＝－2，所以f ′(0)＝2f ′(1)＋0＝－4. 故选D. 答案：D3．(2015·长沙模拟)曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝⎛⎭⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A.29 B.19 C.13D.23 解析：y ′＝f ′(x )＝x 2＋1，在点⎝⎛⎭⎫1，43处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝2，所以切线方程为y －43＝2(x －1)，即y ＝2x －23，与坐标轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－23，⎝⎛⎭⎫13，0，所以三角形的面积为12×13×⎪⎪⎪⎪－23＝19，故选B. 答案：B4．(2015·青岛模拟)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．2B ．－14C ．4D ．－12解析：因为曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，所以g ′(1)＝2.又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.答案：C5．(2015·太原模拟)设函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2f ′(2)－3x ，则f (－1)与f (1)的大小关系是( )A ．f (－1)＝f (1)B ．f (－1)>f (1)C ．f (－1)<f (1)D ．不确定解析：因为f (x )＝x 2f ′(2)－3x ，所以f ′(x )＝2xf ′(2)－3，则f ′(2)＝4f ′(2)－3，解得f ′(2)＝1，所以f (x )＝x 2－3x ，所以f (1)＝－2， f (－1)＝4，故f (－1)>f (1). 故选B. 答案：B6．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2D ．2 解析：∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′|x ＝π2＝－1，由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1. 答案：A7．(2015·东营一模)设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线的斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为( )解析：根据题意得g (x )＝cos x ，∴y ＝x 2g (x )＝x 2cos x 为偶函数．又x ＝0时，y ＝0，故选C.答案：C8．(2015·济南模拟)已知曲线y 1＝2－1x 与y 2＝x 3－x 2＋2x 在x ＝x 0处切线的斜率的乘积为3，则x 0的值为( )A ．－2B ．2 C.12D ．1解析：由题知y ′1＝1x 2，y ′2＝3x 2－2x ＋2，所以两曲线在x ＝x 0处切线的斜率分别为1x 20，3x 20－2x 0＋2，所以3x 20－2x 0＋2x 20＝3，所以x 0＝1.答案：D9．(2015·郑州模拟)已知曲线方程f (x )＝sin 2x ＋2ax (x ∈R )，若对任意实数m ，直线l ：x ＋y ＋m ＝0都不是曲线y ＝f (x )的切线，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(－1,0)B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C ．(－1,0)∪(0，＋∞)D ．a ∈R 且a ≠0，a ≠－1解析：f ′(x )＝2sin x cos x ＋2a ＝sin 2x ＋2a ，直线l 的斜率为－1，由题意知关于x 的方程sin 2x ＋2a ＝－1无解，所以|2a ＋1|>1，解得a <－1或a >0，选B.答案：B10．已知f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0，即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．答案：C11．已知函数f (x )＝23x 3－2ax 2－3x (a ∈R )，若函数f (x )的图象上点P (1，m )处的切线方程为3x －y ＋b ＝0，则m 的值为( )A ．－13B ．－12C.13D.12解析：∵f (x )＝23x 3－2ax 2－3x ，∴f ′(x )＝2x 2－4ax －3，∴过点P (1，m )的切线斜率k ＝f ′(1)＝－1－4a . 又点P (1，m )处的切线方程为3x －y ＋b ＝0， ∴－1－4a ＝3，∴a ＝－1，∴f (x )＝23x 3＋2x 2－3x .又点P 在函数f (x )的图象上，∴m ＝f (1)＝－13.答案：A 二、填空题12．(2015·衡阳模拟)若曲线y ＝2x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则切线l 的方程为________________．解析：设切点为(x 0，y 0)，y ′＝4x ，则4x 0＝4⇒x 0＝1，所以y 0＝2，所以切线方程为：y －2＝4(x －1)⇒4x －y －2＝0.答案：4x －y －2＝013．(2015·黄冈一模)已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)·(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝_______.解析：f ′(x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋x [(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′， ∴f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120. 答案：－12014．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，x ＋1x －a ＝0，∴a ＝x ＋1x≥2.答案：[2，＋∞)15．(2015·江西南昌模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1－sin 2xcos 2x ·sin2x＝________.解析：f ′(x )＝cos x －sin x ，由f ′(x )＝2f (x )得－cos x ＝3sin x ，即tan x ＝－13.1－sin 2x cos 2x －sin 2x ＝2sin 2x －cos 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2tan 2x －11－2tan x＝19－11－23＝1115. 答案：111516．(2015·广东江门调研)曲线y ＝ln(2x )上任意一点P 到直线y ＝2x 的距离的最小值是________．解析：如图，所求最小值即曲线上斜率为2的切线与y ＝2x 两平行线间的距离，也即切点到直线y ＝2x 的距离．由y ＝ln x ，则y ′＝1x ＝2，得x ＝12，y ＝ln ⎝⎛⎭⎫2×12＝0，即与直线y ＝2x 平行的曲线y ＝ln(2x )的切线的切点坐标是⎝⎛⎭⎫12，0，y ＝ln(2x )上任意一点P 到直线y ＝2x 的距离的最小值，即15＝55. 答案：5517．若以曲线y ＝13x 3＋bx 2＋4x ＋c (c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b 的取值范围为________．解析：y ′＝x 2＋2bx ＋4，∵y ′≥0恒成立， ∴Δ＝4b 2－16≤0，∴－2≤b ≤2. 答案：[－2,2] [备课札记]。

2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)课时冲关第2章函数、导数及其应用12

第二章第12节对应学生用书课时冲关(十五)第261页一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤1，1，1<x ≤2，则定积分⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.83 B ．2 C.43D.13解析：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛121d x＝13x 3|10＋x |21＝43. 故选C. 答案：C2．(2015·厦门模拟)设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值等于( )A.56B.12C.23D.16解析：f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，得m ＝2，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x ，所以f (－x )＝x 2－x ，所以⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 2|21＝56.故选A. 答案：A3．如果1 N 的力能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18 J B ．0.26 J C ．0.12 JD ．0.28 J解析：由物理知识F ＝kx 知，1＝0.01k ， ∴k ＝100 N/m ，则W ＝⎠⎛00.06 100x d x ＝50x 2|0.060＝0.18(J)．故选A. 答案：A4．(2015·合肥模拟)如图，由函数f (x )＝e x －e 的图象，直线x ＝2及x 轴所围成的阴影部分面积等于( )A ．e 2－2e －1B ．e 2－2e C.e 2－e 2D ．e 2－2e ＋1解析：由已知得S ＝⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛12(e x －e)d x ＝(e x －e x )|21＝(e 2－2e)－(e －e)＝e 2－2e. 故选B.答案：B5．(2015·南昌模拟)若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b解析：因为a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x 3|20＝83∈(2,3)， b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4|20＝4>3，c ＝⎠⎛02sin x d x＝(－cos x )|20＝1－cos 2＜2，所以c ＜a ＜b . 故选D. 答案：D6．一质点运动时速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点做直线运动，则此质点在时间[1,2]内的位移为( )A.176 B.143 C.136D.116解析：∵v (t )>0，∴质点在[1,2]内的位移s 即为v (t )在[1,2]上的定积分， ∴s ＝⎠⎛12v (t )d t ＝⎠⎛12(t 2－t ＋2)d t＝⎝⎛⎭⎫13t 3－12t 2＋2t | 21＝176. 答案：A7．(2015·中山模拟)已知t ＞0，若⎠⎛0t (2x －1)d x ＝6，则t 的值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：⎠⎛0t (2x －1)d x ＝(x 2－x )|t 0＝t 2－t ，由t 2－t ＝6得t ＝3或t ＝－2(舍去)．故选B.答案：B8．由直线x ＋y －2＝0，曲线y ＝x 3以及x 轴围成的图形的面积为( ) A.43 B.54 C.56D.34解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝x 3，解得交点坐标是(1,1)．故由直线x ＋y －2＝0，曲线y ＝x 3以及x 轴围成的图形的面积为⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝14x 4|10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2|21＝14＋12＝34.故选D. 答案：D9．(2015·石家庄模拟)已知等比数列{a n }，且a 4＋a 8＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( )A ．π2B ．4C ．πD ．－9π解析：∵a 4＋a 8＝π，∴a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2＝π2，故选A.答案：A10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(－1≤x <0)，cos x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A.32 B ．1 C ．2D.12答案：A11．(2013·北京高考)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83D.1623解析：由题意知抛物线的焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1，该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为(2,1)，根据对称性和定积分的几何意义可得所求的面积是2⎠⎛02⎝⎛⎭⎫1－x 24d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －x 312|20＝83.答案：C12．(2015·珠海模拟)由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2(t 为常数且t ∈(0,1))所围成图形(阴影部分)面积的最小值为( )A.14 B.13 C.12D.23解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝t 2，x >0，得x ＝t .故S ＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x＝⎝⎛⎭⎫t 2x －13x 3|t 0＋⎝⎛⎭⎫13x 3－t 2x |1t ＝43t 3－t 2＋13，令S ′＝4t 2－2t ＝0，因为0<t <1，所以t ＝12，易知当t ＝12时，S min ＝14，故选A.答案：A 二、填空题13．(2015·昆明模拟)⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝________. 解析：⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋ln x ＋2x |32 ＝92＋ln 32. 答案：92＋ln 3214．(2015·南宁模拟)在同一坐标系中作出曲线xy ＝1和直线y ＝x 以及直线y ＝3的图象如图所示，曲线xy ＝1与直线y ＝x 和y ＝3所围成的平面图形的面积为________．解析：所求区域面积为S ＝⎠⎜⎛13113⎝⎛⎭⎫3－1x d x ＋⎠⎛13(3－x )d x ＝4－ln 3. 答案：4－ln 315．已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝kx 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边梯形的面积为 ⎠⎛0k(kx －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫k 2x 2－13x 3|k0＝k 32－13k 3＝43，即k 3＝8，∴k ＝2. 答案：216．(2015·成都模拟)函数y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t )d t 的最大值是________．解析：y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t )d t＝⎠⎛0x ⎝⎛⎭⎫sin t ＋12sin 2t d t ＝⎝⎛⎭⎫－cos t －14cos 2t |x 0 ＝－cos x －14cos 2x ＋54＝－cos x －14(2cos 2 x －1)＋54＝－12cos 2x －cos x ＋32＝－12(cos x ＋1)2＋2≤2，当cos x ＝－1时取等号．答案：2 [备课札记]————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————高考大题冲关导数综合应用的热点问题导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)；利用导数研究恒成立问题等．体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归的数学思想的运用．题型一利用导数研究函数性质综合问题对应学生用书理52页文49页[典例赏析1] (理科)(2014·重庆高考)已知函数f(x)＝a e2x－b e－2x－cx(a，b，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c.(1)确定a，b的值；(2)若c＝3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围．[思维导引](1)先求导函数f′(x)，再利用f′(x)为偶函数和曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c建立关于a，b的方程组求解；(2)把c＝3代入函数解析式，利用基本不等式求f′(x)的最小值，进而确定f′(x)的符号，从而确定函数f(x)的单调性；(3)对c 分类，讨论方程f′(x)＝0是否有实根，从而确定极值．[解](1)对f(x)求导得f′(x)＝2a e2x＋2b e－2x－c，由f′(x)为偶函数，知f′(－x)＝f′(x)，即2(a－b)(e2x－e－2x)＝0，所以a＝b.又f′(0)＝2a＋2b－c＝4－c，故a＝1，b＝1.(2)当c＝3时，f(x)＝e2x－e－2x－3x，那么f′(x)＝2e2x＋2e－2x－3≥22e2x·2e－2x－3＝1>0，故f(x)在R上为增函数．(3)由(1)知f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c，而2e2x＋2e－2x≥22e2x·2e－2x＝4，当x＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论．当c <4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －c >0，此时f (x )无极值；当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －4>0，此时f (x )无极值；当c >4时，令e 2x＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1＝c ＋c 2－164，t 2＝c ＋c 2－164，t 1t 2>0，即f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1或x 2＝12ln t 2.当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；又当x >x 2时，f ′(x )>0，从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值．综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．[典例赏析1] (文科)(2014·广东高考)已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＜0时，试讨论是否存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝⎛⎭⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝⎛⎭⎫12. [思维导引] (1)由函数的导数与函数的单调性之间的关系求解；(2)先由a <0得函数的单调性，求得函数的最大值是f (0)或f (1)再讨论求解得答案．[解] (1)f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ，方程x 2＋2x ＋a ＝0的判别式Δ＝4－4a ＝4(1－a )，若a ≥1，则Δ≤0，f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ≥0， ∴f (x )在R 上单调递增．若a <1，则Δ>0，方程x 2＋2x ＋a ＝0有两个不同的实数根， x 1＝－1－1－a ，x 2＝－1＋1－a ，当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )>0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0， ∴f (x )的单调递增区间为()－∞，－1－1－a 和()－1＋1－a ，＋∞，单调递减区间为()－1－1－a ，－1＋1－a .(2)当a <0时，Δ>0，且f (0)＝1， f ⎝⎛⎭⎫12＝3124＋a 2，f (1)＝73＋a ，此时x 1<0，x 2>0，令x 2＝12得a ＝－54.①当－54<a <0时，x 1<0<x 2<12，f (x )在(0，x 2)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫x 2，12上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递增． (ⅰ)若－54<a <－712，则f (0)＝1>f ⎝⎛⎭⎫12， ∴存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝⎛⎭⎫12； (ⅱ)当－712≤a <0时，f (0)≤f ⎝⎛⎭⎫12， ∴不存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝⎛⎭⎫12；②当a ＝－54时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递增． ∴不存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝⎛⎭⎫12. ③当－2512<a <－54时，f ⎝⎛⎭⎫12<f (1)， ∴存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝⎛⎭⎫12. ④当a ≤－2512时，f ⎝⎛⎭⎫12≥f (1)， ∴不存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝⎛⎭⎫12.综上，当a ∈⎣⎡⎭⎫－712，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－54∪⎝⎛⎦⎤－∞，－2512时，不存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝⎛⎭⎫12；当a ∈⎝⎛⎭⎫－2512，－54∪⎝⎛⎭⎫－54，－712时，存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝⎛⎭⎫12.函数性质综合问题难点是函数单调性和极值、最值的分类讨论．(1)单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论．(2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点．(3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值、最小的为最小值．1．(2015·呼伦贝尔市二模)已知函数f (x )＝1＋ln xx ，(x ≥1)．(1)试判断函数f (x )的单调性，并说明理由； (2)若f (x )≥kx ＋1恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝－ln xx2.∵x ≥1，∴ln x ≥0，∴f ′(x )≤0，故f (x )在[1，＋∞)单调递减． (2)f (x )≥kx ＋1⇔(x ＋1)(1＋ln x )x ≥k .记g (x )＝(x ＋1)(1＋ln x )x，g ′(x )＝[(x ＋1)(1＋ln x )]′x －(x ＋1)(1＋ln x )x 2＝x －ln x x 2.再令h (x )＝x －ln x 则h ′(x )＝1－1x . ∵x ≥1则h (x )≥0，∴h (x )在[1，＋∞)上单调递增，∴[h (x )]min ＝h (1)＝1>0，从而g ′(x )>0，故g (x )在[1，＋∞)上也单调递增，∴[g (x )]min ＝g (1)＝2，∴k ≤2.题型二利用导数证明不等式[典例赏析2] (2013·新课标全国高考Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )>0.[思维导引] (1)f ′(x )＝0解得m ，在f (x )的定义域内确定f ′(x )>0，f ′(x )<0的区间即得其单调区间；(2)m ≤2时，ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，只要f (x )＝e x －ln(x ＋2)>0即可，故只要f (x )min >0，确定函数f (x )的最小值点后论证其最小值大于0.[解] (1)解：f ′(x )＝e x －1x ＋m.由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝e x －1x ＋1. 函数f ′(x )＝e x －1x ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，且f ′(0)＝0，因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)证明：当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时， ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，故只需证明当m ＝2时，f (x )>0. 当m ＝2时，函数f ′(x )＝e x －1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增．又f ′(－1)<0，f ′(0)>0，故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x 0，且x 0∈(－1,0)．当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，从而当x ＝x 0时，f (x )取得最小值．由f ′(x 0)＝0得e x 0＝1x 0＋2，ln(x 0＋2)＝－x 0，故f (x )≥f (x 0)＝1x 0＋2＋x 0＝(x 0＋2)2x 0＋2>0.综上，当m ≤2时，f (x )>0.导数研究实数区间D 上的不等式的主要表现形式是“证明不等式在区间D 上成立，不等式在区间D 上恒成立，求参数k 的范围”等．(1)证明区间D 上不等式成立的策略：构造函数f (x )，把不等式转化为证明f (x )>0，f (x )<0等，把其转化为求函数f (x )在区间D 上的最值或值域的端点值，通过最值和值域端点值与0的比较得证．(2)根据区间D 上不等式恒成立求参数k 范围的策略：如果能够分离参数k ，即得到φ(k )>f (x )或φ(k )<f (x )，问题等价于求函数在区间D 上的最值或值域的端点值，通过最值与值域端点值得到关于k 的不等式解之；如果不能分离参数，则在含有参数的情况下，其处理策略同证明区间D 上不等式成立的策略．2．(2015·湛江一模)已知f (x )＝ln(x ＋1)，g (x )＝12ax 2＋bx (a ，b ∈R )．(1) 若b ＝2且h (x )＝f (x －1)－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若a ＝0，b ＝1，求证：当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )－g (x )≤0恒成立； (3) 利用(2)的结论证明：若x >0，y >0，则x ln x ＋y ln y >(x ＋y )ln x ＋y2. 解：(1)当b ＝2时，h (x )＝ln x －12ax 2－2x∴h ′(x )＝1x－ax －2.∵h (x )有单调减区间，∴h ′(x )<0有解，即1－ax 2－2xx <0∵x >0，∴ax 2＋2x －1>0有解． (ⅰ)当a ≥0时符合题意；(ⅱ)当a <0时，Δ＝4＋4a >0，即a >－1. ∴a 的取值范围是(－1，＋∞)．(2)当a ＝0，b ＝1时，设φ(x )＝f (x )－g (x )＝ln(x ＋1)－x ，∴φ′(x )＝1x ＋1－1＝－xx ＋1.∵x >－1，讨论φ′(x )的正负得下表：∴当x ＝0时φ(x )有最大值0，即φ(x )≤0恒成立，∴当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )－g (x )≤0恒成立． (3)证明：∵x >0，y >0， ∴x ln x ＋y ln y －(x ＋y )ln x ＋y2＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －lnx ＋y 2＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln y －ln x ＋y 2 ＝x ln 2xx ＋y ＋y ln 2yx ＋y＝－x ln x ＋y 2x －y ln x ＋y2y＝－x ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y －x 2x －y ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x －y 2y .由(2)有－x ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y －x 2x －y ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x －y 2y >－x ·y －x 2x －y ·x －y 2y ＝0∴x ln x ＋y ln y >(x ＋y )ln x ＋y2.题型三利用导数研究恒成立问题对应学生用书理53页文50页[典例赏析3] (2015·珠海检测)已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋12，a ∈R .(1)当a ＝－13时，求f (x )的最大值；(2)讨论函数f (x )的单调性；(3)如果对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|恒成立，求实数a 的取值范围． [思维导引] (1)对函数f (x )求导，得到f (x )的单调递增区间和单调递减区间，进而得到f (x )最小值； (2)对函数f (x )求导，然后对a 分情况进行讨论得到f (x )的单调区间； (3)分①当a ≥0时， ②当a ≤－1时， ③当－1<a <0时进行讨论，在这三种情况中分别找到a 的范围，最后取并集．[规范答题] (1)当a ＝－13时，f (x )＝23ln x －13x 2＋12，f ′(x )＝23x －23x ＝2－2x23x ＝－2(x ＋1)(x －1)3x，所以f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)，所以f (x )max ＝f (1)＝16.(2)函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋12的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.下面对参数进行如下讨论：当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a ，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞，f ′(x )<0. 故f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增；在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减． (3)不妨设0<x 1≤x 2：①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，即f (x 2)＋4x 2≥f (x 1)＋4x 1恒成立．构造函数g (x )＝f (x )＋4x ，须证g (x )＝f (x )＋4x 在(0，＋∞)上单调递增，即证g ′(x )＝f ′(x )－4＝a ＋1x＋2ax －4≥0，即2ax 2－4x ＋a ＋1≥0(x >0)恒成立．当a ＝0时，则由－4x ＋1>0得x >14，不合题意，即a ≠0，则a >0.根据二次函数y ＝2ax 2－4x ＋a ＋1(x >0)开口方向向上，对称轴x ＝1a >0，所以只需Δ≤0，可得16－8a (a ＋1)≤0，解得a ≥1(a ≤－2舍去)．②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减，即f (x 2)＋4x 2≤f (x 1)＋4x 1恒成立．构造函数g (x )＝f (x )＋4x ，须证g (x )＝f (x )＋4x 在(0，＋∞)上单调递减，即证g ′(x )＝f ′(x )＋4＝a ＋1x＋2ax ＋4≤0，得2ax 2＋4x ＋a ＋1≤0(x >0)恒成立.根据二次函数y ＝2ax 2＋4x ＋a ＋1(x >0)开口方向向下，对称轴x ＝－1a >0，所以只需Δ≤0，可得16－8a (a ＋1)≤0，解得a ≤－2(a ≥1舍去)． ③当－1<a <0时，f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增；在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减，此时|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|等价于f (x 2)－4x 2≥f (x 1)－4x 1恒成立或者f (x 2)＋4x 2≥f (x 1)＋4x 1恒成立，由上可知a ≥1或a ≤－2，这与－1<a <0不符，故此情况无解．综上所述：实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[1，＋∞)．利用导数解决恒成立问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为函数在给定区间上的最值问题求解．(2)如果无法分离参数可以考虑对参数a 或自变量进行分类求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑限制二次项系数或判别式的方法求解．(3)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立的问题．3．(2015·青岛一模)已知函数f (x )＝23x 3－2ax 2－3x .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))的切线方程；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，af ′(x )＋4a 2x ≥ln x －3a －1恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a >0时，试讨论f (x )在(－1,1)内的极值点的个数．解：(1)由题意知f (x )＝23x 3－3x ，所以f ′(x )＝2x 2－3.又f (3)＝9，f ′(3)＝15，所以曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))的切线方程为15x －y －36＝0. (2)由题意2ax 2＋1≥ln x ，即a ≥ln x －12x 2对一切x ∈(0，＋∞)恒成立．设g (x )＝ln x －12x 2，则g ′(x )＝3－2ln x2x 3.当0<x <e 32时，g ′(x )>0；当x >e 32时，g ′(x )<0.所以当x ＝e 32时，g (x )取得最大值g (x )max ＝14e 3，故实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫14e 3，＋∞. (3)f ′(x )＝2x 2－4ax －3，f ′(－1)＝4⎝⎛⎭⎫a －14， f ′(1)＝－4⎝⎛⎭⎫a ＋14. ①当a >14时，∵⎩⎨⎧f ′(－1)＝4⎝⎛⎭⎫a －14>0，f ′(1)＝－4⎝⎛⎭⎫a ＋14<0，∴存在x 0∈(－1,1)，使得f ′(x 0)＝0.因为f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上，所以在(－1，x 0)内f ′(x )>0，在(x 0,1)内f ′(x )<0，即f (x )在(－1，x 0)内是增函数，f (x )在(x 0,1)内是减函数，故a >14时，f (x )在(－1,1)内有且只有一个极值点，且是极大值点．②当0<a ≤14时，∵⎩⎨⎧f ′(－1)＝4⎝⎛⎭⎫a －14≤0，f ′(1)＝－4⎝⎛⎭⎫a ＋14<0.又因为f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上，所以在(－1,1)内f ′(x )<0，则f (x )在(－1,1)内为减函数，故没有极值点．综上可知：当a >14，f (x )在(－1,1)内的极值点的个数为1；当0<a ≤14时，f (x )在(－1,1)内的极值点的个数为0.题型四利用导数研究方程的根(或函数的零点) 对应学生用书理54页文51页[典例赏析4] (2015·包头市二模)已知函数f (x )＝x 2ln x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若关于x 的方程f (x )＝kx －1有实数解，求实数k 的取值范围．[思维导引] (1)在定义域范围内，解不等式f ′(x )>0得单调递增区间，解不等式f ′(x )<0得单调递减区间；(2)将实数k 分离出来，转化为求函数的值域．[规范答题] (1)函数的定义域为{x |x >0}， f ′(x )＝x (2ln x ＋1)令f ′(x )＝x (2ln x ＋1)>0，得2ln x ＋1>0，即x >e e；令f ′(x )＝x (2ln x ＋1)<0，得2ln x ＋1<0，即0<x <ee；所以，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，e e 时，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫ee ，＋∞时，f (x )单调递增 (2)由f (x )＝kx －1，得x 2ln x ＝kx －1，所以有k ＝x ln x ＋1x(x >0)，设g (x )＝x ln x ＋1x ，g ′(x )＝ln x ＋x 2－1x 2g ′(1)＝0，当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以x >0时，g (x )min ＝g (1)＝1 所以k ≥1，k 的取值范围是[1，＋∞)．研究方程根，可以通过构造函数g (x )的方法，把问题转化为研究构造的函数g (x )的零点问题．研究函数g (x )零点的策略是：(1)如果函数g (x )在已知区间上是单调的，则其最多只有一个零点，再结合函数的零点存在定理，确定其零点是否存在．(2)如果函数g (x )在已知区间不是单调的，则求出这个函数的极值点和单调区间，再结合g (x )的极值与零的大小，以及函数g (x )的单调性、结合零点存在定理判断其零点的个数．4．已知函数f (x )＝x 2－2a ln x －bx .(1)若a ＝－12，函数f (x )在其定义域内是增函数，求b 的最大值；(2)若b ＝0，关于x 的方程f (x )－2ax ＝0有唯一解，求实数a 的取值范围．解：(1)依题意a ＝－12时，f (x )＝ln x ＋x 2－bx ，且在其定义域(0，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝1x＋2x －b ≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，即b ≤1x ＋2x 对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴只需b ≤⎝⎛⎭⎫1x ＋2x min . ∵x >0，∴1x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝22时取“＝”，∴b ≤22，故b 的最大值为2 2.(2)记(g )x ＝f (x )－2ax ＝x 2－2a ln x －2ax ， g ′(x )＝2x －2a x －2a ＝2x(x 2－ax －a )．若方程f (x )＝2ax 有唯一解，即g (x )＝0有唯一解. 令g ′(x )＝0，得x 2－ax －a ＝0.因为a >0，x >0，所以x 1＝a －a 2＋4a 2<0(舍去)，x 2＝a ＋a 2＋4a2. 当x ∈(0，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(0，x 2)是单调递减函数；当x ∈(x 2，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在(x 2，＋∞)上是单调递增函数．当x ＝x 2时，g ′(x 2)＝0，g (x )min ＝g (x 2)．因为g (x )＝0有唯一解，所以g (x 2)＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧ g (x 2)＝0，g ′(x 2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 22－2a ln x 2－2ax 2＝0，x 22－ax 2－a ＝0，两式相减得a ln x 2＋ax 2－a ＝0，因为a >0，所以2ln x 2＋x 2－1＝0(*)．设函数h (x )＝2ln x ＋x －1，因为在x >0时，h (x )是增函数，所以h (x )＝ 0至多有一解．因为h (1)＝0，所以方程(*)的解为x 2＝1，从而解得a ＝12.1．(2015·武威市凉州区一诊)已知函数f (x )＝(ax －2)e x 在x ＝1处取得极值． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )在[m ，m ＋1]上的最小值；(3)求证：对任意x 1，x 2∈[0,2]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e. 解：(1)解：f ′(x )＝a e x ＋(ax －2)e x ＝(ax ＋a －2)e x . 由已知得f ′(1)＝0，即(2a －2)e x ＝0，解得a ＝1.当a ＝1时，在x ＝1处函数f (x )＝(x －2)e x 取得极小值，所以a ＝1. (2)解：f (x )＝(x －2)e x ，f ′(x )＝e x ＋(x －2)e x ＝(x －1)e x .所以函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．当m ≥1时，f (x )在[m ，m ＋1]单调递增， f min (x )＝f (m )＝(m －2)e m . 当0<m <1时，m <1<m ＋1，f (x )在[m,1]上单调递减，在[1，m ＋1]上单调递增， f min (x )＝f (1)＝－e. 当m ≤0时，m ＋1≤1，f (x )在[m ，m ＋1]上单调递减，f min (x )＝f (m ＋1)＝(m －1)e m ＋1.综上，f (x )在[m ，m ＋1]上的最小值f min(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(m －2)e m ，m ≥1，－e ，0<m <1，(m －1)e m ＋1，m ≤0.(3)证明：由(Ⅰ)知f (x )＝(x －2)e x ， f ′(x )＝e x ＋(x －2)e x ＝(x －1)e x . 令f ′(x )＝0得x ＝1.因为f (0)＝－2，f (1)＝－e ，f (2)＝0，所以f max (x )＝0，f min (x )＝－e ，所以，对任意x 1，x 2∈[0,2]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤f max (x )－f min (x )＝e.2．(2015·常州市监测)已知函数f (x )＝ln x －x －a x ，a ∈R .(1)当a ＝0时，求函数f (x )的极大值； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)当a >1时，设函数g (x )＝⎪⎪⎪⎪f (x －1)＋x －1＋a x －1，若实数b 满足b >a 且g ⎝⎛⎭⎫bb －1＝g (a )，g (b )＝2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，求证：4<b <5.解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝0时，f (x )＝ln x －x ，f ′(x )＝1x －1，令f ′(x )＝0得x ＝1.列表：所以f (x )的极大值为f (1)＝－1.(2)f ′(x )＝1x －1＋a x 2＝－x 2＋x ＋ax 2.令f ′(x )＝0，得－x 2＋x ＋a ＝0，记Δ＝1＋4a .(ⅰ)当a ≤－14时，f ′(x )≤0，所以f (x )单调减区间为(0，＋∞)；(ⅱ)当a >－14时，由f ′(x )＝0得x 1＝1＋1＋4a 2，x 2＝1－1＋4a 2，①若－14<a <0，则x 1>x 2>0，由f ′(x )<0，得0<x <x 2，x >x 1；由f ′(x )>0，得x 2<x <x 1.所以，f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1－1＋4a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a2，＋∞，单调增区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋4a 2，1＋1＋4a 2；②若a ＝0，由(1)知f (x )单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，＋∞)； ③若a >0，则x 1>0>x 2，由f ′(x )<0，得x >x 1；由f ′(x )>0，得0<x <x 1. f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1＋4a 2. 综上所述：当a ≤－14时，f (x )的单调减区间为(0，＋∞)；当－14<a <0时，f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1＋4a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫1－1＋4a 2，1＋1＋4a 2；当a ≥0时，f (x )单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1＋4a 2. (3)证明： g (x )＝|ln(x －1)|(x >1)．由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫b b －1＝g (a )得⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln 1b －1＝|ln(a －1)|.∵1<a 2. 由g (b )＝2g ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2得|ln(b －1)|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b －1＝2⎪⎪⎪⎪ln 12[(a －1)＋(b －1)]，(*)因为a －1＋b －12≥(a －1)(b －1)＝1，所以(*)式可化为ln(b －1)＝2ln 12[(a －1)＋(b －1)]，即b －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1＋b －12. 令b －1＝t (t >1)，则t ＝⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2，整理得t 4－4t 3＋2t 2＋1＝0，从而(t －1)(t 3－3t 2－t －1)＝0，即t 3－3t 2－t －1＝0.记h (t )＝t 3－3t 2－t －1，t >1.h ′(t )＝3t 2－6t －1，令h ′(t )＝0得t ＝1－233(舍去)，t ＝1＋233，列表：所以，，h (4)>0，所以3<t <4，从而4<b <5.对应学生用书理55页文52页3．(2015·临沂市质检)已知函数f (x )＝ln x .(1)若直线y ＝x ＋m 与函数f (x )的图象相切，求实数m 的值； (2)证明曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x －1x 有唯一的公共点；(3)设0<a <b ，比较f (b )－f (a )2与b －ab ＋a 的大小，并说明理由．解：(1)f ′(x )＝1x，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝1x 0＝1，∴x 0＝1，y 0＝ln x 0＝ln 1＝0，代入y ＝x ＋m ，得m ＝－1.(2)证明：令h (x )＝f (x )－⎝⎛⎭⎫x －1x ＝ln x －x ＋1x ，则h ′(x )＝1x －1－1x 2＝－x 2＋x －1x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －122－34x 2<0，∴h (x )在(0，＋∞)内单调递减．又h (1)＝ln 1－1＋1＝0，∴x ＝1是函数h (x )唯一的零点，故点(1,0)是两曲线唯一的公共点．(3)ln b －ln a 2－b －a b ＋a ＝12 ln b a －b a－1b a ＋1，∵0<a 1.构造函数φ(x )＝12ln x －x －1x ＋1，(x >1)，则φ′(x )＝12x －x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝12x －2(x ＋1)2＝(x －1)22x (x ＋1)2>0，∴φ(x )在(1，＋∞)内单调递增，又当x ＝1时，φ(1)＝0， ∴x >1时，φ(x )>0，即12ln x >x －1x ＋1，则有12ln b a >ba－1b a ＋1成立，即ln b －ln a 2>b －a b ＋a .即f (b )－f (a )2>b －a b ＋a.4．(2015·湖北省八市联考)定义在R 上的函数g (x )及二次函数h (x )满足g (x )＋2g (－x )＝e x ＋2ex －9，h (－2)＝h (0)＝1且h (－3)＝－2.(1)求g (x )和h (x )的解析式；(2)对于x 1，x 2∈[－1,1]，均有h (x 1)＋ax 1＋5≥g (x 2)－x 2g (x 2)成立，求a 的取值范围；(3)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，(x >0)h (x )，(x ≤0)，讨论方程f [f (x )]＝2的解的个数情况．解：(1)∵g (x )＋2g (－x )＝e x ＋2e x －9，①g (－x )＋2g (x )＝e －x ＋2e －x－9，即g (－x )＋2g (x )＝2e x ＋1e x －9.②由①②联立解得：g (x )＝e x －3.∵h (x )是二次函数，且h (－2)＝h (0)＝1，可设 h (x )＝ax (x ＋2)＋1，由h (－3)＝－2，解得a ＝－1.∴h (x )＝－x (x ＋2)＋1＝－x 2－2x ＋1. ∴g (x )＝e x －3，h (x )＝－x 2－2x ＋1.(2)设φ(x )＝h (x )＋ax ＋5＝－x 2＋(a －2)x ＋6， F (x )＝e x －3－x (e x －3)＝(1－x )e x ＋3x －3，依题意知：当－1≤x ≤1时，φ(x )min ≥F (x )max . ∵F ′(x )＝－e x ＋(1－x )(e x －3)＋3＝－x e x ＋3，F ″(x )＝－e x (1＋x )，当x ∈[－1,1]时，F ″(x )≤0，∴F (x )在[－1,1]上单调递减， ∴F ′(x )min ＝F ′(1)＝3－e>0.∴F (x )在[－1,1]上单调递增，∴F (x )max ＝F (1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ(－1)＝7－a ≥0，φ(1)＝a ＋3≥0，解得－3≤a ≤7， ∴实数a 的取值范围为[－3,7]． (3)f (x )的图象如图所示：令T ＝f (x )，则f (T )＝2.∴T 1＝－1，T 2＝ln 5，f (x )＝－1有两个解，f (x )＝ln 5有3个解． ∴f [f (x )]＝2有5个解．5．(理科)(2015·漳州市质检)给出定义在(0，＋∞)上的三个函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2－af (x )，h (x )＝x －a x ，已知g (x )在x ＝1处取极值．(1)求实数a 的值，并确定函数h (x )的单调性； (2)求证：当1<x <e 2时，恒有x <2＋f (x )2－f (x )成立；(3)若函数y ＝m －g (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有两个零点，求实数m 的取值范围．解：(1)由题设，g (x )＝x 2－a ln x ，则g ′(x )＝2x －ax .由已知，g ′(1)＝0，即2－a ＝0⇒a ＝2.于是h (x )＝x －2x ，则h ′(x )＝1－1x，且x ∈(0，＋∞)．由h ′(x )＝1－1x >0⇒x >1，h ′(x )＝1－1x<0⇒0<x <1.所以h (x )在(1，＋∞)上是增函数，在(0,1)上是减函数．(2)当1<x <e 2时，0<ln x <2，即0<f (x )<2，欲证x <2＋f (x )2－f (x )，只需证x [2－f (x )]<2＋f (x )，即证f (x )>2(x －1)x ＋1.设γ(x )＝f (x )－2(x －1)x ＋1＝ln x －2(x －1)x ＋1，则γ′(x )＝1x －2(x ＋1)－2(x －1)(x ＋1)2＝(x －1)2x (x ＋1)2. 当1<x <e 2时，γ′(x )>0，所以γ(x )在区间(1，e 2)上为增函数．从而当1<x <e 2时，γ(x )>γ(1)＝0，即f (x )>2(x －1)x ＋1，故x <2＋f (x )2－f (x ).(3)∵y ＝2ln x －x 2＋m ，则y ′＝2x －2x ＝－2(x ＋1)(x －1)x，∵x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，故y ′＝0时，x ＝1.当1e <x <1时，y ′>0；当1<x <e 时，y ′<0. 故函数y ＝φ(x )在x ＝1处取得极大值φ(1)＝m －1. 又φ⎝⎛⎭⎫1e ＝m －2－1e 2，φ(e)＝m ＋2－e 2， φ(e)－φ⎝⎛⎭⎫1e ＝4－e 2＋1e 2<0，则φ(e)<φ⎝⎛⎭⎫1e ， ∴y ＝φ(x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最小值是φ(e)．y ＝φ(x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有两个零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧φ(1)＝m －1>0，φ⎝⎛⎭⎫1e ＝m －2－1e 2≤0，解得1<m ≤2＋1e2，∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤1，2＋1e 2. 5．(文科)(2015·大连市二模)设函数f (x )＝ln x －cx (x ∈R )． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若f (x )≤x 2恒成立，求c 的取值范围；(3)设函数f (x )有两个相异零点x 1、x 2，求证：x 1·x 2>e 2. 解析：(1)∵f (x )＝ln x －cx ，∴x ∈(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －c ＝1－cx x.当c ≤0时，f (x )单调增区间为(0，＋∞)；当c >0时，f (x )单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，1e ，f (x )单调减区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞. (2)∵f (x )≤x 2，∴ln x －cx ≤x 2，∴c ≥ln xx －x .设g (x )＝ln xx －x ，∴g ′(x )＝1－ln x －x 2x 2，∴g (x )在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减． ∴g (x )max ＝g (1)＝－1，∴c ≥－1.(3)证明： f (x )有两个相异零点，ln x 1＝cx 1，ln x 2＝cx 2，① ∴ln x 1－ln x 2＝c (x 1－x 2)， ∴ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝c ，②而x 1·x 2>e 2，等价于ln x 1＋ln x 2>2，即cx 1＋cx 2>2，③ 由①②③得：ln x 1－ln x 2x 1－x 2(x 1＋x 2)>2.不妨设x 1>x 2>0，则t ＝x 1x 2>1，上式转化为ln t >2(t －1)t ＋1(t >1)．设H (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1(t >1)，则H (t )＝(t －1)2t (t ＋1)2>0，故函数H (t )是(1，＋∞)上的增函数，所以H (t )－H (l )＝0，即不等式ln t >2(t －1)t ＋1成立，故所证不等式x 1·x 2>e 2成立.6．(理科)(2015·南平市质检)设函数g (x )＝x 2－2x ＋1＋m ln x ，(m ∈R )． (1)当m ＝1时，求过点P (0，－1)且与曲线y ＝g (x )－(x －1)2相切的切线方程； (2)求函数y ＝g (x )的单调增区间；(3)若函数y ＝g (x )有两个极值点a ，b ，且a <b ，记[x ]表示不大于x 的最大整数，试比较sin [g (a )][g (b )]与cos([g (a )][g (b )])的大小．解：(1)曲线方程为y ＝ln x ，设切点为(x 0，ln x 0)．由y ′＝1x 得切线的斜率k ＝1x 0，则切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)．因为切线过点P (0，－1)，所以－1－ln x 0＝－1，即 x 0＝1，故所求切线方程为x －y －1＝0.(2)函数y ＝g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝2x －2＋m x ＝2x 2－2x ＋mx.令g ′(x )>0并结合定义域得2x 2－2x ＋m >0，对应一元二次方程的判别式Δ＝4(1－2m )．①当Δ≤0，即m ≥12时，g ′(x )≥0，则函数g (x )的增区间为(0，＋∞)；②当0<m <12时，函数g (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－2m 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－2m 2，＋∞； ③当m ≤0时，函数g (x )的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫1＋1－2m 2，＋∞. (3)g ′(x )＝2x －2＋m x ＝2x 2－2x ＋mx，令g ′(x )＝0得2x 2－2x ＋m ＝0，由题意知方程有两个不相等的正数根a ，b (a 0，m 2>0解得0<m <12，解方程得b ＝1＋1－2m 2，则120，即函数g (b )是⎝⎛⎭⎫12，1上的增函数，所以1－2ln 24<g (b )<0，故g (b )的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1－2ln 24，0.则[g (b )]＝－1. 同理可求0<a <12，g (a )＝a 2－2a ＋1＋(－2a 2＋2a )ln a ，a ∈⎝⎛⎭⎫0，12，g ′(a )＝－4⎝⎛⎭⎫a －12ln a <0，即函数g (a )是⎝⎛⎭⎫0，12上的减函数，所以1－2ln 24<g (a )<1，故g (a )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2ln 24，1，则[g (a )]＝－1或[g (a )]＝0.当[g (a )]＝－1时，sin [g (a )][g (b )]>cos([g (a )][g (b )])；当[g (a )]＝0时，sin [g (a )][g (b )]<cos([g (a )][g (b )])．6．(文科)(2015·南平市质检)已知函数f (x )＝e x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)已知t 为实数，求函数f (x )在区间[t ，t ＋2]上的最小值；(3)定义在区间D 上的函数g (x )，若存在区间[a ，b ]⊆D 及实常数m ，当x ∈[a ，b ]时，g (x )的取值范围恰为[a ＋m ，b ＋m ]，则称区间[a ，b ]为g (x )的一个同步偏移区间，m 为同步偏移量．试问函数y ＝[f (x )＋x ](x 2－1)在(1，＋∞)上是否存在同步偏移区间？若存在，请求出一个同步偏移区间及对应的偏移量；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知f (1)＝e －1，f ′(x )＝e x －1. ∴函数f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝e －1， ∴切线方程为y －(e －1)＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x . (2)令f ′(x )＝e x －1＝0得x ＝0.①当t ≥0时，在[t ，t ＋2]上f ′(x )≥0，f (x )单调递增，f min x ＝f (t )＝e t －t .②当－2<t <0时，在[t,0]上f ′(x )≤0，f (x )单调递减；在[0，t ＋2]上f ′(x )≥0，f (x )单调递增，∴f min (x )＝f 极小(x )＝f (0)＝1.③当t ≤－2时，在[t ，t ＋2]上f ′(x )≤0，f (x )单调递减，f min (x )＝f (t ＋2)＝e t ＋2－t －2.∴f min(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e t ＋2－t －2，t ≤－21，－2<t <0e t－t ，t ≥0(3)函数y ＝[f (x )＋x ](x 2－1)在(1，＋∞)上不存在同步偏移区间．证明如下：假设函数g (x )＝[f (x )＋x ](x 2－1)＝(x 2－1)e x 存在同步偏移区间[a ，b ]，则g ′(x )＝(x 2＋2x －1)e x .∵x >1时，g ′(x )>0，∴g (x )为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (a )＝(a 2－1)e a＝a ＋m ，g (b )＝(b 2－1)e b＝b ＋m ，即方程(x 2－1)e x ＝x ＋m 有两个大于1的相异实根．设φ(x )＝(x 2－1)e x －x －m (x >1)，则φ′(x )＝(x 2＋2x －1)e x －1. ∵x >1，φ′(x )>0，∴φ(x )在(1，＋∞)上单调递增.∴φ(x )在区间(1，＋∞)上至多有一个零点与方程(x 2－1)e x ＝x ＋m 有两个大于1的相异实根矛盾，∴假设不成立，即g (x )在(1，＋∞)上不存在同步偏移区间．。

2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)精讲课件：第2章函数、导数及其应用 10

第10节导数的概念与计算
Ⅰ.了解导数概念的实际背景．
Ⅱ.通过函数图象直观理
解导数的几何意义． Ⅲ.能根据导数的定义求函数 y＝c(c 为常 1 数)，y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ x的导数． Ⅳ.能利用
基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如 f(ax＋b)的复合函数)的导数．

所以导函数为周期函数．
又因为y＝f(x)是奇函数，则有：f(－x)＝－f(x)两边同时求导，得f′(－x)·(－x)′＝－f′(x)，即f′(－x)＝f′(x)，所以导函数为偶函数．答案：B

f1＋2x－f1 4．设 f(x)是可导函数，且满足 lim ＝－1，则 2 x Δx→0 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为________．
f(x)＝logax f(x)＝ln x f(x)＝tan x f(x)＝cot x
1 f′(x)＝ xln a 1 f′(x)＝x 1 f′(x)＝ 2 cos x 1 f′(x)＝－ 2 sin x

1 质疑探究：如果 f(x)＝ln |x|，则 f′(x)＝x？提示：正确，分x>0，x<0去绝对值，求导数可得．
解析：令 2x＝Δx，由 x→0，得 Δx→0， f1＋Δx－f1 则有 lim ＝－1，即 f′(1)＝－1， Δ x Δx→0 由导数的几何意义知，y＝f(x)在(1，f(1))处切线斜率为－1.

答案：－1

5．给出下列命题： ①y′＝f′(x)在点x＝x0处的函数值就是函数y＝f(x)在点x ＝x0处的导数值； ②求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)； ③曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点； ④与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线； ⑤若f(x)＝f′(a)x2＋lnx(a>0)，则f′(x)＝2xf′(a)＋.

2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)课时冲关第6章不等式1

第六章第1节对应学生用书课时冲关理(二十九)/第289页文(二十八)/第255页一、选择题1．(2015·温州市高三质检)设a ，b ∈R ，则“a ＞1且b ＞1”是“ab ＞1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：a ＞1且b ＞1⇒ab ＞1；但ab ＞1，则a ＞1且b ＞1不一定成立，如a ＝－2，b ＝－2时，ab ＝4＞1.故选A.答案：A2．设a 1bB.1a －b >1a C ．|a |>－b D.－a >－b解析：由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a 成立，即1a －b >1a不成立．答案：B3．设a ＝lg e ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a解析：∵0<lg e<lg 10＝12， ∴lg e>12lg e>(lg e)2，∴a >c >b . 答案：B4．已知p ＝a ＋1a －2，q ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2，其中a >2，x ∈R ，则p ，q 的大小关系是( ) A ．p ≥qB ．p >qC ．p <qD ．p ≤q 解析：p ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝3时取等号．因为x 2－2≥－2，所以q ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2≤⎝⎛⎭⎫12－2＝4，当且仅当x ＝0时取等号．所以p ≥q . 答案：A5．(2015·上海十三校联考)已知1a <1b<0，给出下面四个不等式：①|a |>|b |；②a b 3.其中不正确的不等式的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由1a <1b<0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①不正确；a >b ，②不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.答案：C6．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( )A ．－n ＜m ＜n ＜－mB ．－n ＜m ＜－m ＜nC ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可．法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立．答案：D7．(2013·北京高考)设a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则( )A ．ac ＞bcB.1a ＜1b C ．a 2＞b 2 D ．a 3＞b 3解析：利用作差比较法或取特殊值排除法．A 项，c ≤0时，由a ＞b 不能得到ac ＞bc ，故不正确；B 项，当a ＞0，b ＜0(如a ＝1，b ＝－2)时，由a ＞b 不能得到1a ＜1b，故不正确； C 项，由a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )及a ＞b 可知当a ＋b ＜0时(如a ＝－2，b ＝－3或a ＝2，b ＝－3)均不能得到a 2＞b 2，故不正确；D 项，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2，因为⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2＞0，所以可由a ＞b 知a 3－b 3＞0，即a 3＞b 3，故正确．答案：D8．(2015·黄冈质检)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z ，可得xy >xz . 答案：C9．(2015·济南调研)设a >1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系为( )A ．n >m >pB ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n解析：因为a >1，所以a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0，即a 2＋1>2a ，又2a >a －1，所以由对数函数的单调性可知log a (a 2＋1)>log a (2a )>log a (a －1)，即m >p >n .答案：B二、填空题10．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的________条件．解析：∵x ≥2且y ≥2，∴x 2＋y 2≥4，∴“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分条件；而x 2＋y 2≥4不一定得出x ≥2且y ≥2，例如当x ≤－2且y ≤－2时，x 2＋y 2≥4亦成立，故“x ≥2且y ≥2”不是“x 2＋y 2≥4”的必要条件．∴“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分不必要条件．答案：充分不必要11．(2014·扬州期末)若a 1<a 2，b 10，即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 112．已知f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n(n ∈N *，n >2)，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系是________．解析：f (n )＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n<12n ＝φ(n )， g (n )＝n －n 2－1＝1n ＋n 2－1>12n＝φ(n )， ∴f (n )<φ(n )<g (n )．答案：f (n )<φ(n )<g (n )13．已知奇函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上是单调减函数，α，β，γ∈R ，且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0，则f (α)＋f (β)＋f (γ)与0的关系是________．解析：∵f (x )在R 上是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∵α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0，∴α>－β，β>－γ，γ>－α，而f (x )在R 上是单调减函数，∴f (α)<f (－β)＝－f (β)，f (β)<f (－γ)＝－f (γ)，f (γ)<f (－α)＝－f (α)，以上三式相加得：2[f (α)＋f (β)＋f (γ)]<0，即f (α)＋f (β)＋f (γ)<0.答案：f (α)＋f (β)＋f (γ)<014．设f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．解析：方法一设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1) (m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝1， ∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法二由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b f (1)＝a ＋b ，得⎩⎨⎧ a ＝12[f (－1)＋f (1)]b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法三由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤22≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝⎛⎭⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10. 答案：[]5，10[备课札记]。

2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)精讲课件：第1章第3节命题量词逻辑联结词

解析：因为命题p和命题q都是真命题，所以命题“p∧q” 是真命题，命题 “ p∧¬q” 是假命题，命题 “ ¬p∨q” 是真命
题，命题“¬p∨¬q”是假命题．
答案：①②③④
人教A数学
第一章
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聚集· 热点题型
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3．已知命题p∧q为假命题，下列结论正确的是(
)
A．p∨q为真命题
B．(¬p)∧q为真命题 C．p，q有且只有一个假命题 D．¬p，¬q至少有一个真命题解析： p∧q 为假命题时， p ， q 可能一个真命题一个假命
题，也可能两个都是假命题．故选项A，B，C中的结论都不正
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Ⅰ.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．解全称量词与存在量词的意义．词的命题进行否定．
Ⅱ. 理
Ⅲ. 能正确地对含有一个量
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1．(2014·福建高考)命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否
定是( ) A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0 B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0 C．∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0
D．∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0
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)
A．∀n∈R，n2≥n

创新教程2016年高考数学大一轮复习第一章第1节集合课时冲关理新人教A版

【创新教程】2016年高考数学大一轮复习第一章第1节集合课时冲关理新人教A 版对应学生用书课时冲关理一第233页文一第201页一、选择题1．已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1,3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A )∩(∁U B )＝( )A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1 ,3}D. {2,4,6}解析：因为∁U A ＝{2,4,6,7,9}，∁U B ＝{0,1,3,7,9}，所以(∁U A )∩(∁U B )＝{7,9}．故选B. 答案：B2．(2015·北京东城区统一检测)设集合A ＝{1,2}，则满足A ∪B ＝{1,2,3}的集合B 的个数是( )A ．1B ．3C ．4D ．8解析：根据已知，满足条件的集合B 为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．故选C. 答案：C3．(2015·宁德质检)已知集合A ＝{0,1}，B ＝{－1,0，a ＋2}，若A ⊆B ，则a 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．1解析：∵A ⊆B ，∴a ＋2＝1，解得a ＝－1. 故选B. 答案：B4．R 表示实数集，集合M ＝{x ∈R |1<x <3}，N ＝{x ∈R |(x －1)(x －2)<0}，则( ) A ．M ∩N ＝M B ．M ∪N ＝N C ．(∁R N )∩M ＝∅D ．(∁R M )∩N ＝∅解析：因为M ＝{x |1<x <3}，N ＝{x |1<x <2}，所以M ∩N ＝N ，M ∪N ＝M ， (∁R N )∩M ＝{x |2≤x <3}，(∁R M )∩N ＝∅，故选D. 答案：D5．(2015·太原诊断)已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |y ＝ln(x －2)}，则(∁R B )∩A ＝( )A ．{x |－2≤x <1}B ．{x |－2≤x ≤2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}解析：集合A＝{x|1<x<3}，B＝{x|x>2}，则(∁R B)∩A＝{x|1<x≤2}，故选C.答案：C6．(2015·广东七校联考)已知集合A＝{x|(x－1)(x－4)<0}，B＝{x|y＝2－x}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A．(1,2) B．(1,2]C．(0,1) D．(0,2]解析：由韦恩图可以看出阴影部分是两集合的交集，由题意得集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|x≤2}，所以A∩B＝{x|1<x≤2}．答案：B7．若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：∵A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，∴B⊆A，∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，解得x＝0或2或－2或1.经检验当x＝2或－2时满足题意．故选B.答案：B8．设集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{y|y＝－x2，－1≤x≤2}，则∁R(A∩B)等于( ) A．RB. (－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．∅解析：由|x|≤2得－2≤x≤2，所以集合A＝{x|－2≤x≤2}；由－1≤x≤2得－4≤－x2≤ 0，所以集合B＝{y|－4≤y≤0}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤0}，故∁R(A∩B)＝(－∞，－2)∪(0，＋∞)，故选B.答案：B9．(2015·江西七校联考)若集合P＝{x|3<x≤22}，非空集合Q＝{x|2a＋1≤x<3a－5}，则能使Q⊆(P∩Q)成立的所有实数a的取值范围为( )A．(1,9) B．[1,9]C．[6,9) D．(6,9]解析：选依题意，P∩Q＝Q，Q⊆P，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1<3a －5，2a ＋1>3，3a －5≤22，解得6<a ≤9，即实数a 的取值范围是(6,9]．故选D.答案：D10．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：法一：A 为圆心在原点的单位圆，B 为过原点的直线，故有 2个交点，故选C.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y ＝x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝22，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－22，故选C.答案：C11．已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：由P ＝{x |x 2≤1}得P ＝{x |－1≤x ≤1}．由P ∪M ＝P 得M ⊆P .又M ＝{a }，∴－1≤a ≤1. 答案：C12．(2015·东北五市模拟)已知全集U ＝{－1,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁R A )∪B ＝( )A ．{1,2,4}B ．{2,3,4}C ．{－1,2,4}D ．{－1,2,3,4}解析：因为集合A ＝{1,2,3}，所以∁R A ＝{－1,4}，所以(∁R A )∪B ＝{－1,2,4}．答案：C 二、填空题13．已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a ＝________. 解析：由a 2－a ＋1＝3，得a ＝－1或a ＝2，经检验符合．由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a ＝－1或2. 答案：－1或214．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝________.解析：A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．答案：{(0,1)，(－1,2)}15．对于集合M、N，定义M－N＝{x|x∈M且x∉N}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)．设A＝{y|y ＝3x，x∈R}，B＝{y|y＝－(x－1)2＋2，x∈R}，则A⊕B＝________.解析：由题意得A＝{y|y＝3x，x∈R}＝{y|y>0}，B＝{y|y＝－(x－1)2＋2，x∈R}＝{y|y≤2}，故A－B＝{y|y>2}，B－A＝{y|y≤0}，所以A⊕B＝{y|y≤0或y>2}．答案：(－∞，0]∪(2，＋∞)16．已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.解析：A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<2，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.答案：－1 1[备课札记]。

创新教程高考数学大一轮复习第二章第4节指数函数课时冲关理新人教A版

【创新教程】2016年高考数学大一轮复习第二章第4节指数函数课时冲关理新人教A 版对应学生用书课时冲关理七/第245页文七/第213页一、选择题1．已知f (x )＝2x ＋2－x，若f (a )＝3，则f (2a )等于( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11解析：由f (a )＝3得2a＋2－a＝3，两边平方得22a＋2－2a＋2＝9，即22a＋2－2a＝7，故f (2a )＝7.答案：B 2．函数y ＝的值域是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(2，＋∞)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：∵－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1， ∴≥12，故选D. 答案：D3．函数y ＝xa x|x |(0<a <1)图象的大致形状是( )解析：函数定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}，且y ＝xa x |x |＝{a x ，x >0－a x，x <0}．当x >0时，函数是一个指数函数，因为0<a <1，所以函数在(0，＋∞)上是减函数；当x <0时，函数图象与指数函数y ＝a x(x <0,0<a <1)的图象关于x 轴对称，在(－∞，0)上是增函数．答案：D4．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：由f (1)＝19，得a 2＝19，∴a ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝－13舍去，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B. 答案：B5．设函数f (x )＝2x1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域是( )A ．{0,1}B ．{0，－1}C ．{－1,1}D ．{1,1}解析：f (x )＝1＋2x－11＋2x －12＝12－11＋2x .∵1＋2x>1，∴f (x )的值域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12.∴y ＝[f (x )]的值域是{0，－1}．答案：B6．若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，b B ．(10a,1－b ) C.⎝⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1D ．(a 2,2b )解析：由点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，知b ＝lg a ，对于A ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，b ，当x ＝1a 时，y ＝lg 1a＝－lg a ＝－b ≠b ，∴不在图象上．对于B ，点(10a,1－b )，当x ＝10a 时，y ＝lg(10a )＝lg 10＋lg a ＝1＋b ≠1－b ，∴不在图象上．对于C ，点⎝⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1，当x ＝10a 时，y ＝lg 10a ＝1－lga ＝1－b ≠b ＋1，∴不在图象上，对于D ，点(a 2,2b )，当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，∴该点在此图象上．答案：D 二、填空题7．函数f (x )＝ax 2＋2x －3＋m (a >1)恒过点(1,10)，则m ＝________.解析：f (x )＝ax 2＋2x －3＋m 在x 2＋2x －3＝0时过定点(1,1＋m )或(－3,1＋m )，∴1＋m ＝10，解得m ＝9.答案：98．(2015·南昌一模)函数y ＝8－23－x(x ≥0)的值域是________．解析：∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3， ∴23－x≤23＝8，∴8－23－x≥0，∴函数y ＝8－23－x的值域为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)9．(2014·新课标高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13 ，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析：当x <1时，由e x －1≤2，得x <1；当x ≥1时，由x 13 ≤2，解得1≤x ≤8，综合可知x 的取值范围为x ≤8.答案：(－∞，8]10．(文科)若函数f (x )＝a x－x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：令a x －x －a ＝0即a x ＝x ＋a ，若0<a <1，显然y ＝a x与y ＝x ＋a 的图象只有一个公共点；若a >1，y ＝a x与y ＝x ＋a 的图象如图所示．答案：(1，＋∞)10．(理科)(2015·金华模拟)若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a ＞0，a ≠1) 的图象有两个公共点，则实数a 的取值范围为________．解析：分底数0＜a ＜1与a ＞1两种情况，分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象，如图，图1 图2从图中可以看出，只有当0＜a ＜1，且0＜2a ＜1，即0＜a ＜12时，两函数才有两个交点．所以实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12三、解答题11．已知f (x )＝|2x－1|， (1)求f (x )的单调区间； (2)比较f (x ＋1)与f (x )的大小；(3)试确定函数g (x )＝f (x )－x 2零点的个数．解：(1)由f (x )＝|2x－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≥0，1－2x，x ＜0.可作出函数的图象如图．因此函数f (x )在(－∞，0)上递减；函数f (x )在(0，＋∞)上递增．(2)在同一坐标系中分别作出函数f (x )、f (x ＋1)的图象，如图所示．由图象知，当|2x 0＋1－1|＝|2x 0－1|时，解得x 0＝log 223，两图象相交，从图象可见，当x ＜log 223时，f (x )＞f (x ＋1)；当x ＝log 223时，f (x )＝f (x ＋1)；当x ＞log 223时，f (x )＜f (x ＋1)．(3)将g (x )＝f (x )－x 2的零点转化为函数f (x )与y ＝x 2图象的交点问题，在同一坐标系中分别作出函数f (x )＝|2x－1|和y ＝x 2的图象如图所示，有四个交点，故g (x )有四个零点．12．(文科)(2015·广东佛山模拟)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1，从而有f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0等价于f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t ＞－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k ＞0，从而Δ＝4＋12k ＜0，解得k ＜－13.12．(理科)已知函数f (x )＝3x－13|x |.(1)若f (x )＝2，求x 的值； (2)判断x >0时，f (x )的单调性；(3)若3tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1恒成立，求m 的取值范围．解：(1)当x ≤0时，f (x )＝3x－3x＝0， ∴f (x )＝2无解．当x >0时，f (x )＝3x －13x ，令3x－13x ＝2.∴(3x )2－2·3x－1＝0，解得3x ＝1± 2. ∵3x>0，∴3x＝1＋ 2.∴x ＝log 3(1＋2)．(2)∵y ＝3x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝13x 在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )＝3x－13x 在(0，＋∞)上单调递增．(3)∵t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴f (t )＝3t－13t >0.∴3tf (2t )＋mf (t )≥0化为 3t ⎝⎛⎭⎪⎫32t－132t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t －13t ≥0，即3t ⎝⎛⎭⎪⎫3t ＋13t ＋m ≥0，即m ≥－32t－1.令g (t )＝－32t－1，则g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上递减，∴g (x )max ＝－4.∴所求实数m 的取值范围是[－4，＋∞)． [备课札记]。

创新教程2016年高考数学大一轮复习第二章第3节函数的奇偶性与周期性课时冲关理新人教A版

【创新教程】2016年高考数学大一轮复习第二章第3节函数的奇偶性与周期性课时冲关理新人教A 版对应学生用书课时冲关理六 /第243页文六 /第211页一、选择题1．(2015·四川绵阳诊断性考试)下列函数中定义域为R ，且是奇函数的是( ) A ．f (x )＝x 2＋x B ．f (x )＝tan x C ．f (x )＝x ＋sin xD ．f (x )＝lg 1－x1＋x解析：函数f (x )＝x 2＋x 不是奇函数；函数f (x )＝tan x 的定义域不是R ；函数f (x )＝lg 1－x 1＋x的定义域是(－1,1)．故选C. 答案：C2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数解析：因为f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，所以有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，于是f (－x )·g (－x )＝－f (x )g (x )，即f (x )g (x )为奇函数，A 错；|f (－x )|g (－x )＝|f (x )|g (x )，即|f (x )|g (x )为偶函数，B 错；f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，即f (x )|g (x )|为奇函数，C 正确；|f (－x )g (－x )|＝|f (x )g (x )|，即f (x )g (x )为偶函数，所以D 也错．答案：C3．(2015·长春调研)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝( )A.23 B ．－23C.43D ．－43解析：根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43，故选C.答案：C4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98解析：∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是周期为4的函数，∴f (7)＝f (2×4－1)＝f (－1)，又∵f (x )在R 上是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (－1)＝－f (1)，而当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，∴f (1)＝2×12＝2，∴f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，故选A.答案：A5．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：f (x )的图象如图．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)；当x ∈(0,1)时，由xf (x )<0得x ∈∅；当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)．故x ∈(－1,0)∪(1,3)．答案：C6．设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a的取值范围是( )A ．a <－1或a ≥23B ．a <－1C ．－1<a ≤23D ．a ≤23解析：函数f (x )为奇函数，则f (1)＝－f (－1)．由f (1)＝－f (－1)≥1，得f (－1)≤－1；函数的最小正周期T ＝3，则f (－1)＝f (2)，由2a －3a ＋1≤－1，解得－1<a ≤23. 答案：C 二、填空题7．(2014·湖南高考)若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________. 解析：由偶函数的定义可得f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x＋1)－ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ，∴2ax ＝－ln e 3x＝－3x ，∴a ＝－32.答案：－328．(2015·广州市调研)已知f (x )是奇函数，g (x )＝f (x )＋4，g (1)＝2，则f (－1)的值是________．解析：∵g (x )＝f (x )＋4，∴f (x )＝g (x )－4，又f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－g (1)＋4＝2. 答案：29．(2015·嘉兴模拟)函数y ＝(x －2)|x |在[a,2]上的最小值为－1，则实数a 的取值范围为________．解析：y ＝(x －2)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，0，x ＝0，－x 2＋2x ，x <0.函数的图象如图所示，当x <0时，由－x 2＋2x ＝－1，得x ＝1－ 2.借助图形可知1－2≤a ≤1. 答案：[1－2，1]10．(文科)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x－1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x，则①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是________．解析：由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x ≤0时0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x ，函数y ＝f (x )的图象如图所示：当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，因此②④正确．③不正确．答案：①②④10．(理科)(2015·丽水模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.解析：∵f (x )为奇函数并且f (x －4)＝－f (x )．∴f (x －4)＝－f (4－x )＝－f (x )，即f (4－x )＝f (x )，且f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，即y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称，并且是周期为8的周期函数．∵f (x )在[0,2]上是增函数，∴f (x )在[－2,2]上是增函数，在[2,6]上为减函数，据此可画出y ＝f (x )的图象，其图象也关于x ＝－6对称，∴x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－8. 答案：－8 三、解答题11．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称． (1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．解：(1)证明：由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )．故f (x ＋2)＝－f (x )．从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．(2)解：由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x .故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－－x .x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]， f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )＝－－x －4. 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]． [备课札记]。

创新教程高考数学大一轮复习第二章第7节函数图象课

【创新教程】2016年高考数学大一轮复习第二章第7节函数图象课时冲关理新人教A 版对应学生用书课时冲关理十/第251页文十/第219页一、选择题1．为了得到函数y ＝2x －3－1的图象，只需把函数y ＝2x的图象上所有的点( )A ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度解析：y ＝2x――→向右平移3个单位y ＝2x －3――→向下平移1个单位y ＝2x －3－1.故选A.答案：A2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则y ＝f (x ＋1)的图象大致是( )解析：将f (x )的图象向左平移一个单位即得到y ＝f (x ＋1)的图象．故选B. 答案：B3．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图象可能是( )解析：由于f (－x )＝f (x )，所以函数y ＝f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，所以A ，C 错误；由于f (x ＋2)＝f (x )，所以T ＝2是函数y ＝f (x )的一个周期，D 错误．所以选B.答案：B4．已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x －1≤x ≤0，x 0<x ≤1，则函数y ＝f (x －1)的图象是( )解析：先在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，如图所示，再将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到y＝f(x－1)的图象，因此选项A正确．故选A.答案：A5．(2015·西宁模拟)函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是( )解析：方法一：因为函数y＝f(x)·g(x)的定义域是函数y＝f(x)与y＝g(x)的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，图象不经过坐标原点，故可以排除C，D.由于当x为很小的正数时f(x)>0且g(x)<0，故f(x)·g(x)<0.故选A.方法二：由函数f(x)，g(x)的图象可知，f(x)，g(x)分别是偶函数、奇函数，则f(x)·g(x)是奇函数，可排除B，又因为函数y＝f(x)·g(x)的定义域是函数y＝f(x)与y＝g(x)的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，图象不经过坐标原点，可以排除C，D，故选A.答案：Af(x)的图象大致6．(2015·青岛模拟)函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝log12是( )解析：由函数y ＝f (x )的图象知，当x ∈(0,2)时，f (x )≥1，所以log 12f (x )≤0.又函数f (x )在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以y ＝log 12f (x )在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数．答案：C7．函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21－x在同一直角坐标系下的图象大致是( )解析：f (x )＝1＋log 2x 的图象由函数f (x )＝log 2x 的图象向上平移一个单位而得到，所以函数图象经过(1,1)点，且为单调增函数，显然，A 项中单调递增的函数经过点(1,0)，而不是(1,1)，故不满足；函数g (x )＝21－x＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，其图象经过(0,2)点，也经过点(1,1)且为单调减函数，B 项中单调递减的函数与y 轴的交点坐标为(0,1)，故不满足；D 项中两个函数都是单调递增的，故也不满足，综上所述，排除A ，B ，D.故选C.答案：C8．(2015·福建泉州质检)函数f (x )＝sin 2x ＋eln|x |的图象的大致形状是( )解析：函数f (x )＝sin 2x ＋|x |是非奇非偶函数，排除选项A 、C.当x ＝－π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋π4＝－1＋π4<0.故排除D ，选B.答案：B9．设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12 a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c解析：如图，在同一坐标系中，作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝2x，y ＝log 2x 和log 12x 的图象．由图象可知a <b <c .答案：A10．已知有四个平面图形，分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x 轴的直线l ：x ＝t (0≤t ≤a )经过原点O 向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y (选项中阴影部分)，若函数y ＝f (t )的大致图象如图所示，那么平面图形的形状不可能是( )解析：观察函数图象可得函数y ＝f (t )在[0，a ]上是增函数，即说明随着直线l 的右移，扫过图形的面积不断增大，从这个角度讲，四个图象都适合．再对图象作进一步分析，图象首先是向下凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越快，然后是由上凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越慢．根据这一点很容易判定C 项不适合．这是因为在C 项中直线l 扫到矩形部分时，面积会呈直线上升．答案：C11．(2015·安庆模拟)为了得到函数y ＝log 2x －1的图象，可将函数y ＝log 2x 的图象上所有的点( )A ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度B ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度解析：y ＝log 2x －1＝12log 2(x －1)，所以可将y ＝log 2x 的图象上所有的点纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，得到y ＝12log 2x 的图象，再向右平移1个单位长度，得到y ＝12·lo g 2(x －1)的图象，选A. 答案：A12．(文科)(2015·金华模拟)f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1x ≤0，f x －1x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)解析：x ≤0时，f (x )＝2－x－1.0＜x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1，故x >0时，f (x )是周期函数．如图．欲使方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数解，即函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同的交点，故a <1.答案：A12．(理科)若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( ) A ．[－1,1＋22] B ．[1－22，1＋22] C ．[1－22，3] D ．[1－2，3]解析：由y ＝3－4x －x 2，得(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)．∴曲线y ＝3－4x －x 2是半圆，如图中实线所示．当直线y ＝x ＋b 与圆相切时， |2－3＋b |2＝2. ∴b ＝1±2 2.由图可知b ＝1－2 2. ∴b 的取值范围是[1－22，3]．答案：C 二、填空题13．已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________．解析：当f (x )>0时，函数g (x )＝log2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )>0的x ∈(2,8]．答案：(2,8]14．(2015·浙江温州调研)已知t >－1，当x ∈[－t ，t ＋2]时，函数y ＝(x －4)|x |的最小值为－4，则t 的取值范围是________．解析：函数y ＝(x －4)|x |可化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ∈[0，＋∞，－x 2＋4x ，x ∈－∞，0，其图象如图所示，当y ＝－4时，x ＝2或x ＝2－22，要满足当x ∈[－t ，t ＋2]时，函数y ＝(x －4)|x |的最小值为－4，则2－22≤－t ≤2≤t ＋2，因此可得t 的取值范围是[0,22－2]．答案：[0,22－2]15．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．解析：当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1.∴y ＝x ＋1.当x >0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1， ∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1，得a ＝14.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤014x －22－1，x >016．(文科)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，x －13，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．解析：画出分段函数f (x )的图象如图所示，结合图象可以看出，若f (x )＝k 有两个不同的实根，也即函数y ＝f (x )的图象与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0,1)．答案：(0,1)16．(理科)已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2.若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围为________．解析：依题意得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的函数．g (x )＝f (x )－kx －k 在区间[－1,3]内有4个零点，即函数y ＝f (x )与y ＝k (x ＋1)的图象在区间[－1,3]内有4个不同的交点．在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象(如图所示)，注意直线y ＝k (x ＋1)恒过点(－1,0)，可知当k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14时，相应的直线与函数y ＝f (x )在区间[－1,3]内有4个不同的交点，故实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 [备课札记]。

创新教程2016年高考数学大一轮复习第二章第6节二次函数与幂函数课时冲关理新人教A版

【创新教程】2016年高考数学大一轮复习第二章第6节二次函数与幂函数课时冲关理新人教A 版对应学生用书课时冲关理九/第249页文九/第217页一、选择题1．(2015·济南模拟)函数y ＝x －x 13 的图象大致为( )解析：函数y ＝x －x 13 为奇函数．当x >0时，由x －x 13 >0，即x 3>x 可得x 2>1，即x >1，结合选项，选A.答案：A2．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于( ) A ．3 B ．2或3 C ．2D ．1或2解析：函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[1，b ]上递增，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝1，f b ＝b ，b >1，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2－3b ＋2＝0，b >1.解得b ＝2.答案：C3．(2015·临沂统考)幂函数f (x )＝x α的图象过点(2,4)，那么函数f (x )的单调递增区间是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：因为函数图象过点(2,4)，所以4＝2α，α＝2.故函数解析式为f (x )＝x 2，单调递增区间为[0，＋∞)．故选C.答案：C4．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：由A ，C ，D 知，f (0)＝c <0. ∵abc >0，∴ab <0，∴对称轴x ＝－b2a >0，知A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c >0，∴ab >0，∴x ＝－b2a <0，B 错误．答案：D5．已知函数f (x )＝x 12 ，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1bB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1aD ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f (a )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b<f (b ) 解析：因为函数f (x )＝x 12 在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a，故f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a . 答案：C6．(2015·湖北孝感调研)函数f (x )＝(m 2－m －1)x m是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．－1或2解析：f (x )＝(m 2－m －1)x m是幂函数⇒m 2－m －1＝1⇒m ＝－1或m ＝2，又函数f (x )在x ∈(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝2.答案：B7．(2015·衢州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋c ，若f (0)＞0，f (p )＜0，则必有( ) A ．f (p ＋1)＞0B ．f (p ＋1)＜0C ．f (p ＋1)＝0D ．f (p ＋1)的符号不能确定解析：函数f (x )＝x 2＋x ＋c 的对称轴为x ＝－12，又因为f (0)＞0，f (p )＜0，故－1＜p＜0，p ＋1＞0，所以f (p ＋1)＞0.答案：A8．(2015·舟山模拟)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2＞4ac ；②2a －b ＝1; ③a －b ＋c ＝0；④5a ＜b .其中正确的是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③解析：因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac ＞0，即b 2＞4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1，2a －b ＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y ＞0，即a －b ＋c ＞0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .又函数图象开口向下，所以a ＜0，所以5a ＜2a ，即5a ＜b ，④正确．答案：B9．若定义在R 上的二次函数f (x )＝ax 2－4ax ＋b 在区间[0,2]上是增函数，且f (m )≥f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．0≤m ≤4B ．0≤m ≤2C ．m ≤0D ．m ≤0或m ≥4解析：∵f (x )＝a (x －2)2＋b －a ，对称轴为x ＝2， ∴由已知得a <0，结合二次函数图象知，要使f (m )≥f (0)，需满足0≤m ≤4. 答案：A10．方程|x |(x －1)－k ＝0有三个不相等的实根，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14解析：如图，作出函数y ＝|x |(x －1)的图象，由图象知当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0时，函数y ＝k 与y ＝|x |(x －1)有3个不同的交点，即方程有3个实根．答案：A11．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13B.12C.34D ．1解析：当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1. ∴m －n 的最小值是1. 答案：D12．关于x 的二次方程(m ＋3)x 2－4mx ＋2m －1＝0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m 的取值范围是( )A ．－3<m <0B ．0<m <3C ．m <－3或m >0D ．m <0或m >3解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16m 2－4m ＋32m －1>0， ①x 1＋x 2＝4m m ＋3<0， ②x 1·x 2＝2m －1m ＋3<0， ③由①②③得－3<m <0，故选A. 答案：A 二、填空题13．幂函数f (x )＝(m 2－5m ＋7)x m －2为奇函数，则m ＝________.解析：由f (x )＝(m 2－5m ＋7)xm －2为幂函数得：m 2－5m ＋7＝1，解得：m ＝2或m ＝3，又因为该函数为奇函数，所以m ＝3. 答案：314．已知幂函数f (x )＝x －12 ，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．解析：由于f (x )＝x －12 在(0，＋∞)上为减函数且定义域为(0，＋∞)，则由f (a ＋1)<f (10－2a )得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得3<a <5.答案：(3,5)15．(理科)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－215．(文科)(2015·海口模拟)二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意x 恒有f (2＋x )＝f (2－x )，若f (1－2x 2)＜f (1＋2x －x 2)，则x 的取值范围是________．解析：由f (2＋x )＝f (2－x )，知x ＝2为对称轴，由于二次项系数为正的二次函数中距对称轴较近的点的纵坐标较小，∴|1－2x 2－2|＜|1＋2x －x 2－2|，即|2x 2＋1|＜|x 2－2x ＋1|，∴2x 2＋1＜x 2－2x ＋1，∴－2＜x ＜0.答案：(－2,0) [备课札记]。

创新教程高考数学大一轮复习冲关集训2 理新人教A版

【创新教程】2016年高考数学大一轮复习冲关集训2 理新人教A版1．(2015·怀化市一模)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，向量b ＝(cos x ，－sin x )，f (x )＝a ·b .(1)求函数g (x )＝f (x )＋sin 2x 的最小正周期和对称轴方程； (2)若x 是第一象限角且3f (x )＝－2f ′(x )，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的值.解：(1)∵g (x )＝cos 2x －sin 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴最小正周期T ＝2π2＝π，对称轴方程为x ＝k π2＋π8(k ∈Z )．(2)由3f (x )＝－2f ′(x )，得3cos 2x ＝4sin 2x . 3cos 2x －3sin 2x ＝8sin x cos x (cos x －3sin x )(3cos x ＋sin x )＝0， ∴cos x －sin x ＝0或3cos x ＋sin x ＝0，又x 是第一象限角，∴cos x ＝3sin x ，故tan x ＝13，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tan π41－tan x tan π4＝1＋131－13＝2.2．(2015·南昌市一模)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12sin x ＋32cos x 与b ＝(1，y )共线，设函数y ＝f (x )．(1)求函数f (x )的周期及最大值；(2)已知△ABC 中的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若锐角A 满足f ⎝⎛⎭⎪⎫A －π3＝3，且a ＝7，sin B ＋sin C ＝13314，求△ABC 的面积．解：(1)∵a 与b 共线， ∴12y －⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝0，则y ＝f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴f (x )的周期T ＝2π.当x ＝2k π＋π6，k ∈Z 时，f max (x )＝2.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π3＝3，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π3＋π3＝3，∴sin A ＝32. ∵0<A <π2，∴A ＝π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得sin B ＋sin C ＝b ＋c a sin A ，即13314＝b ＋c 7×32，∴b ＋c ＝13.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得a 2＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，即49＝169－3bc ，∴bc ＝40.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×40×32＝10 3.3．(2015·茂名市一模)设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2b sin A .(1)求角B 的大小；(2)若a ＝33，c ＝5，求△ABC 的面积及b . 解：(1)∵a ＝2b sin A ，由正弦定理得sin A ＝ 2sin B sin A ．由于sin A ≠0，故有sin B ＝12.又∵B 是锐角，∴B ＝30°. (2)依题意得S △ABC ＝12ac sin 30°＝12×33×5×12＝1534. ∴由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 可得b 2＝(33)2＋52－2×33×5×cos 30°＝27＋25－45＝7，∴b ＝7.4．(2015·日照市一模)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)在△ABC 中，若A ＝π4，锐角C 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋π6＝12，求BC AB 的值．解：(1)因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以函数f (x )的最小正周期为2π2＝π.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋π6－π3＝sin C ，由已知，sin C ＝12，又角C 为锐角，所以C ＝π6.由正弦定理，得BC AB ＝sin Asin C ＝sinπ4sinπ6＝2212＝ 2. 5．(2015·临沂市质测)已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)的最小正周期是π，将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象．(1)求g (x )的解析式；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝45，b ＝2，△ABC 的面积为3，求边长a 的值．解：(1)f (x )＝32sin 2ωx ＋12(cos 2ωx ＋1)－12＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6∵f (x )的最小正周期是π，且ω>0， ∴2π2ω＝π，∴ω＝1.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象．再将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象向右平移π6个单位，得到y ＝sin x 的图象，故g (x )＝sin x .(2)由(1)知g (x )＝sin x ，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝cos A ＝45，∵0<A <π，∴sin A ＝1－cos 2A ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.∵△ABC 的面积为3，∴12bc sin A＝3.又∵b ＝2，∴12×2·c ·35＝3，得c ＝5.由a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝22＋52－2×2×5×45＝13，得a ＝13.[备课札记]___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________。

创新教程2016年高考数学大一轮复习第二章第5节对数函数课时冲关理新人教A版

【创新教程】2016年高考数学大一轮复习第二章第5节对数函数课时冲关理新人教A 版对应学生用书课时冲关理八/第247页文八/第215页1．(2015·长沙模拟)已知a ＝5log3.42，b ＝5log3.64，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b解析：c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3可化为c ＝5log3103 如图所示，结合指数函数的单调性可知选项C 正确．答案：C2．(2014·福建高考)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )解析：因为函数y ＝log a x 过点(3,1)，所以1＝log a 3，解得a ＝3，所以y ＝3－x不可能过点(1,3)，排除选项A ；y ＝(－x )3＝－x 3不可能过点(1,1)，排除选项C ； y ＝log 3(－x )不可能过点(－3，－1)，排除选项D.故选B.答案：B3．若log a (a 2＋1)<log a (2a )<0，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析：∵a 2＋1>1，又log a (a 2＋1)<0，∴0<a <1.又log a (a 2＋1)<log a (2a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1>2a 2a >1∴a >12且a ≠1.所以12<a <1，故选C.答案：C 4．设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：由f (x )是奇函数可得a ＝－1， ∴f (x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为(－1,1)．由f (x )<0，可得0<1＋x1－x <1，∴－1<x <0.故选A.答案：A5．已知函数f (x )＝|lg x |.若0<a 1.∵f (a )＝|lg a |＝－lg a ＝lg 1a＝f (b )＝|lg b |＝lg b ，∴b ＝1a .∴a ＋2b ＝a ＋2a .令g (a )＝a ＋2a，则易知g (a )在(0，2)上为减函数，∴当0<a <1时，g (a )＝a ＋2a>g (1)＝1＋2＝3.故选C.答案：C6．(2015·南阳三模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |0<x ≤e ，2－ln x x >e .若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围为( )A ．(1＋e,1＋e ＋e 2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋2e ，2＋e 2 C ．(21＋e 2，2＋e 2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e 2，1e ＋2e解析：不妨设a <b <c ，由已知和如图所示的图象可知1e <a <1<b <e<c <e 2，∵－ln a ＝ln b ，∴ab ＝1，∵ln b ＝2－ln c ，∴bc ＝e 2，∴a ＋b ＋c ＝1b ＋b ＋e2b ＝b ＋e 2＋1bb ∈(1，e)位于函数的减区间，所以将b ＝1和b ＝3代入得a ＋b ＋c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋2e ，2＋e 2，∴a ＋b ＋c 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋2e ，2＋e 2.答案：B 二、填空题7．(2015·济南模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，log 2x ，x >0，则f (f (－1))＝________.解析：f (－1)＝2－1＝12，所以f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212 ＝－1.答案：－18．计算：log 2.56.25＋lg 0.001＋ln e ＋2－1＋log 23＝________.解析：原式＝log 2.5(2.5)2＋lg10－3＋ln e 12 ＋2log232 ＝2－3＋12＋32＝1.答案：19．(2014·重庆高考)函数f (x )＝log 2 x ·log 2(2x )的最小值为________．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.答案：－1410．(文科)(2015·中山模拟)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a ＞0，a ≠1)，若f (x )＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：当a ＞1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )＞1恒成立，则f (x )min＝log a (8－2a )＞1，解得1＜a ＜83.若0＜a ＜1时，f (x )在x ∈[1,2]上是增函数，由f (x )＞1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )＞1，且8－2a ＞0，∴a ＞4，且a ＜4，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 10．(理科)(2015·哈尔滨模拟)已知函数f (x )＝ln x1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________．解析：由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b ＝0，即ln ⎝⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14，又0<a 0时，f (x )＝log 12x . (1)求函数f (x )的解析式． (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12 (－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12－x ，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，因为f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5)． 12．已知函数f (x )＝lnx －1x ＋1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性； (2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝ln x －1x ＋1>ln mx ＋17－x恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由x －1x ＋1>0，解得x <－1或x >1，∴定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln－x －1－x ＋1＝ln x ＋1x －1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1－1＝－ln x －1x ＋1＝－f (x )， ∴f (x )＝lnx －1x ＋1是奇函数． (2)由x ∈[2,6]时，f (x )＝ln x －1x ＋1> lnm x ＋17－x恒成立．∴x－1x＋1>mx＋17－x>0，∵x∈[2,6]，∴0<m<(x－1)(7－x)在x∈[2,6]上成立．令g(x)＝(x－1)(7－x)＝－(x－4)2＋9，x∈[2,6]，由二次函数的性质可知x∈[2,4]时函数g(x)单调递增，x∈[4,6]时函数g(x)单调递减，x∈[2,6]时，g(x)min＝g(6)＝5，∴0<m<5.[备课札记]。

2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)课时冲关第10章计数原理、概率、随机变量及其分

第十章第5节对应学生用书课时冲关理(五十四)第337页一、选择题1．(2015·兰州模拟)将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p ＝(m ，n )，q ＝(3,6)．则向量p 与q 共线的概率为( )A.13B.14C.16D.112 解析：由题意可得：基本事件(m ，n )(m ，n ＝1,2，…，6)的个数＝6×6＝36.若p ∥q ，则6m －3n ＝0，得到n ＝2m .满足此条件的共有(1,2)，(2,4)，(3,6)三个基本事件．因此向量p 与q 共线的概率为P ＝316＝112.故选D.答案：D2．“抖空竹”是中国的传统杂技，表演者在两根直径约8～12毫米的杆上系一根长度为1 m 的绳子，并在绳子上放一空竹，则空竹与两端距离都大于0.2 m 的概率为( )A.12B.35C.25D.23解析：与两端都大于0.2 m 即空竹的运行范围为(1－0.2－0.2)m ＝0.6 m ，记“空竹与两端距离都大于0.2 m ”为事件A ，则所求概率满足几何概型，即P (A )＝1－0.2－0.21＝35.答案：B3．(2015·亳州高三质检)已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A.12 B.13 C.14D.18解析：易知过点(0,0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由古典概型知概率为416＝14.答案：C4．从1,2,3,4,5中随机抽三个不同的数，则其和为奇数的概率为( ) A.15B.25C.35D.45解析：从1,2,3,4,5中随机抽三个不同的数共有(1,2,3)、(1,2,4)、(1,2,5)、(1,3,4)、(1,3,5)、(1,4,5)、(2,3,4)、(2,3,5)、(2,4,5)、(3,4,5)共10种情况，其中(1,2,4)、(1,3,5)、(2,3,4)、(2,4,5)中三个数字和为奇数，所以概率为25.答案：B5．连续抛掷两颗骰子得到的点数分别为m ，n ，向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角记为α，则α∈⎝⎛⎭⎫0，π4的概率为( ) A.518 B.512 C.12D.712解析：依题意得a ＝(m ，n )共有36种情况，其中与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝⎛⎭⎫0，π4需满足nm ＜1，即m ＞n ，则有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(5,4)，(6,4)，(6,5)，共15种情况．所以所求概率为1536＝512.答案：B6．(2015·惠州调研)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为( ) A.12 B.1532 C.1732 D.3132解析：方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2>b 2，e ＝c a＝a 2－b 2a <32，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>b 2，a 2<4b 2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，a <2b ，又a ∈[1,5]，b ∈[2,4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为154，故所求的概率P ＝S 阴影2×4＝1532.答案：B7．(2015·安庆一模)将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，设两条直线l 1：ax ＋by ＝2与l 2：x ＋2y ＝2平行的概率为P 1，相交的概率为P 2，则点P (36P 1,36P 2)与圆C ：x 2＋y 2＝1 098的位置关系是( )A ．点P 在圆C 上B ．点P 在圆C 外 C ．点P 在圆C 内D ．不能确定解析：易知当且仅当a b ≠12时两条直线相交，而a b ＝12的情况有三种：a ＝1，b ＝2，此时两直线重合；a ＝2，b ＝4，此时两直线平行；a ＝3，b ＝6，此时两直线平行，而投掷两次的所有情况有36种，所以两条直线平行的概率P 1＝236＝118.两条直线相交的概率P 2＝1－336＝1112，∴点P (2,33)，点P 与圆心(0,0)的距离为4＋1 089＝ 1 093＜ 1 098，故点P 在圆C 内．答案：C8．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A.16 B.13 C.23D.45解析：设AC ＝x ，CB ＝12－x ， ∴x (12－x )<32，解得x <4或x >8. ∴P ＝4＋412＝23.答案：C9．抛掷两枚均匀的骰子，得到的点数分别为a ，b ，那么直线x a ＋y b 的斜率k ≥－12的概率为( )解析：记a ，b 的取值为数对(a ，b )，由题意知a ，b 的所有可能取值有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(2,6)，(3,1)，(3,2)，…，(3,6)，(4,1)，(4,2)，…，(4,6)，(5,1)，(5,2)，…，(5,6)，(6,1)，(6,2)，…，(6,6)，共36种．由直线x a ＋y b ＝1的斜率k ＝－a b ≥－12，知a b ≤12，那么满足题意的a ，b 可能的取值为(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共有9种，所以所求概率为936＝14. 答案：D10．在棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到正方体各面的距离都不小于1的概率为( )A.127B.2627C.827D.18解析：正方体中到各面的距离不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合，且棱长为1的正方体，该正方体的体积是V 1＝13＝1，而原正方体的体积为V ＝33＝27，故所求的概率为P ＝V 1V ＝127.答案：A11．(2014·湖北高考)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2.在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18 B.14 C.34D.78解析：由题意作图，如图所示，Ω1的面积为12×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－12×22×22＝74，则所求的概率P ＝742＝78. 答案：D12．(2015·宁波模拟)设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间[1,2]上有零点的概率为( )A.12B.58C.1116D.34解析：因为f (x )＝x 3＋ax －b ，所以f ′(x )＝3x 2＋a .因为a ∈{1,2,3,4}，因此f ′(x )>0，所以函数f (x )在区间[1,2]上为增函数．若存在零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≤0，解得a ＋1≤b ≤8＋2a .因此可使函数在区间[1,2]上有零点的有a ＝1,2≤b ≤10，故b ＝2，b ＝4，b ＝8；a ＝2,3≤b ≤12，故b ＝4，b ＝8，b ＝12；a ＝3,4≤b ≤14，故b ＝4，b ＝8，b ＝12；a ＝4,5≤b ≤16，故b ＝8，b ＝12.根据古典概型可得有零点的概率为1116.答案：C 二、填空题13．在区间[0,10]上任取一个实数a ，使得不等式2x 2－ax ＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立的概率为________．解析：要使2x 2－ax ＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立，只需ax ≤2x 2＋8，即a ≤2x ＋8x 在(0，＋∞)上恒成立．又2x ＋8x ≥216＝8，当且仅当x ＝2时等号成立，故只需a ≤8，因此0≤a ≤8.由几何概型的概率计算公式可知所求概率为8－010－0＝45.答案：4514．用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是________．解析：由于只有两种颜色，不妨将其设为1和2，若只用一种颜色有111；222. 若用两种颜色有122；212；221；211；121；112. 所以基本事件共有8种．又相邻颜色各不相同的有2种，故所求概率为14.答案：1415．从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为22的概率是________．解析：如图，在正方形ABCD 中，O 为中心，从O ，A ，B ，C ，D 这五点中任取两点的情况有C 25＝10种．∵正方形的边长为1，∴两点距离为22的情况有(O ，A )，(O ，B )，(O ，C )，(O ，D )4种，故P ＝410＝25.答案：2516．(2014·福建高考)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．解析：因为函数y ＝ln x 的图像与函数y ＝e x 的图象关于正方形的对角线所在直线y ＝x 对称，则图中的两块阴影部分的面积为S ＝2⎠⎛1eln x d x ＝2(x ln x －x )|e 1＝2[(eln e －e)－(ln 1－1)]＝2，故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率P ＝2e2.答案：2e2[备课札记]。

创新教程高考数学大一轮复习第十章第3节二项式定理

【创新教程】2016年高考数学大一轮复习第十章第3节二项式定理课时冲关理新人教A 版对应学生用书课时冲关理五十二第333页一、选择题1．(2013·辽宁高考)使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n(n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：由二项式定理得，T r ＋1＝C rn (3x )n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C r n 3n －rxn －52r ，令n －52r ＝0，当r ＝2时，n ＝5，此时n 最小．故选B.答案：B2．(2015·贵阳模拟)在二项式(x 2＋x ＋1)(x －1)5的展开式中，含x 4项的系数是( ) A ．－25 B ．－5 C ．5D ．25解析：∵(x 2＋x ＋1)(x －1)＝x 3－1，∴原式可化为(x 3－1)(x －1)4.故展开式中，含x 4项的系数为C 34(－1)3－C 04＝－4－1＝－5.故选B.答案：B3．(2015·厦门质检)(2－x )8的展开式中不含x 4项的系数的和为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：(2－x )8展开式中各项的系数和为(2－1)8＝1，展开式的通项为C r 828－r(－x )r，则x 4项的系数为C 88×28－8＝1，则(2－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为0. 故选B.答案：B4．设⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 6的展开式中x 3的系数为A ，二项式系数为B ，则A B ＝( )A ．4B ．－4C ．26D ．－26解析：T k ＋1＝C k 6x 6－k⎝⎛⎭⎪⎫－2x k ＝C k 6(－2)k x 6－3k 2，令6－3k 2＝3，即k ＝2，所以T 3＝C 26(－2)2x 3＝60x 3，所以x 3的系数为A ＝60，二项式系数为B ＝C 26＝15，所以A B ＝6015＝4，故选A.答案：A5．(2015·湖北八校联考)在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中，常数项为15，则n 的值可以为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：∵T r ＋1＝C rn (x 2)n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r n (－1)r x 2n －3r ，∴C rn (－1)r＝15且2n －3r ＝0，∴n 可能是6，故选D. 答案：D6．(2013·陕西高考)设函数f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f (f (x ))表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15解析：依据分段函数的解析式，得f (f (x ))＝f (－x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1x －x 6，∴T r ＋1＝C r 6(－1)r xr－3，则常数项为C 36(－1)3＝－20. 故选A. 答案：A7.⎠⎛0x(1－t )3d t 的展开式中x 的系数是( )A ．－1B ．1C ．－4D ．4解析：⎠⎛0x(1－t )3d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－t 44|x 0＝－1－x44＋14，故这个展开式中x 的系数是－C 14－14＝1.故选B. 答案：B8．(2015·合肥质检)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为( )A ．1或－3B ．－1或3C ．1D ．－3解析：令x ＝0，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m )9，令x ＝－2，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9，所以有(2＋m )9m 9＝39，即m 2＋2m ＝3，解得m ＝1或－3. 故选A.答案：A9．(2015·黄冈模拟)设a ＝⎠⎛02(3x 2－2x )d x ，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2－1x 6展开式中的第4项为( )A ．－1 280x 3B ．－1 280C ．240D ．－240解析：由微积分基本定理知a ＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2－1x 6展开式中的第4项为T 3＋1＝C 36(4x 2)3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝－1 280x 3，故选A.答案：A10．(2015·青岛一检)“n ＝5”是“⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋13x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋13x n (n ∈N *)展开式的通项T r ＋1＝C r n 2n －r x n －r 2－r 3，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋13x n 的展开式中含有常数项时满足n －r 2－r3＝0，当n ＝5时，15－5r6＝0，解得r ＝3，此时含有常数项；反之，当n ＝10时，r ＝6，也有常数项，但是不满足n ＝5.故“n ＝5”是“⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋13x n(n ∈N *)的展开式中含有常数项”的充分不必要条件，故选A.答案：A 二、填空题11．若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5等于________．解析：在已知等式两边对x 求导，得5(2x －3)4×2＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3＋5a 5x 4，令x ＝1得a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝5×(2×1－3)4×2＝10.答案：1012．(2015·荆州模拟)已知a ＝4∫π20cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6d x ，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 5的展开式中x 的系数为________．解析：依题意得a ＝4∫π20cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6d x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6|π20＝－2，即a ＝－2，则T r ＋1＝C r 5(－2)r x 10－3r，当r ＝3时，T 4＝－80x .故二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 5的展开式中x 的系数为－80.答案：－8013．(2015·福州质检)在(1－x 2)20的展开式中，如果第4r 项和第r ＋2项的二项式系数相等，则r ＝________.解析：由题意得，C 4r －120＝C r ＋120故4r －1＝r ＋1或4r －1＋r ＋1＝20，即r ＝23或r ＝4.因为r 为整数，故r ＝4.答案：414．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.解析：将f (x )＝x 5进行转化，利用二项式定理求解．f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T r ＋1＝C r5(1＋x )5－r·(－1)r，T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.答案：1015．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为________．解析：利用二项展开式的通项公式求解．由题意知，C 2n ＝C 6n ，∴n ＝8. ∴T r ＋1＝C r8·x8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 8·x 8－2r，当8－2r ＝－2时，r ＝5， ∴1x2的系数为C 58＝C 38＝56.答案：56[备课札记]。

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【创新教程】2016年高考数学大一轮复习冲关集训2 理新人教A
版
1．(2015·怀化市一模)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，向量b ＝(cos x ，－sin x )，f (x )＝a ·b .
(1)求函数g (x )＝f (x )＋sin 2x 的最小正周期和对称轴方程；
(2)若x 是第一象限角且3f (x )＝－2f ′(x )，
求tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4的值. 解：(1)∵g (x )＝cos 2 x －sin 2
x ＋sin 2x
＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴最小正周期T ＝2π2＝π，对称轴方程为x ＝k π2＋π8
(k ∈Z )． (2)由3f (x )＝－2f ′(x )，得3cos 2x ＝4sin 2x .
3cos 2 x －3sin 2 x ＝8sin x cos x
(cos x －3sin x )(3cos x ＋sin x )＝0，
∴cos x －sin x ＝0或3cos x ＋sin x ＝0，
又x 是第一象限角，
∴cos x ＝3sin x ，故tan x ＝13
， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tan π41－tan x tan π4＝1＋131－13
＝2. 2．(2015·南昌市一模)已知向量a ＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，12sin x ＋32cos x 与b ＝(1，y )共线，设函数y ＝f (x )． (1)求函数f (x )的周期及最大值； (2)已知△ABC 中的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若锐角A 满足f ⎝
⎛⎭⎪⎫A －π3＝3，且a ＝7，sin B ＋sin C ＝13314
，求△ABC 的面积．解：(1)∵a 与b 共线，
∴12y －⎝ ⎛⎭
⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝0，则y ＝f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴f (x )的周期T ＝2π. 当x ＝2k π＋π6
，k ∈Z 时，f max (x )＝2. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π3＝3，∴2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A －π3＋π3＝3， ∴sin A ＝32
. ∵0<A <π2，∴A ＝π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得sin B ＋sin C ＝b ＋c a
sin A ，即13314＝b ＋c 7×32
，∴b ＋c ＝13. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得a 2＝(b ＋c )2
－2bc －2bc cos A ，
即49＝169－3bc ，∴bc ＝40.
∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×40×32
＝10 3. 3．(2015·茂名市一模)设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2b sin A .
(1)求角B 的大小； (2)若a ＝33，c ＝5，求△ABC 的面积及b .
解：(1)∵a ＝2b sin A ，由正弦定理得sin A ＝
2sin B sin A ．由于sin A ≠0，故有sin B ＝12
. 又∵B 是锐角，∴B ＝30°.
(2)依题意得S △ABC ＝12ac sin 30° ＝12×33×5×12＝1534
. ∴由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 可得 b 2＝(33)2＋52－2×33×5×cos 30°＝27＋25－45＝7，∴b ＝7.
4．(2015·日照市一模)已知函数f (x )＝
2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6·sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)在△ABC 中，若A ＝π4
，锐角C 满足 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋π6＝12
，求BC AB 的值．解：(1)因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以函数f (x )的最小正周期为2π2
＝π. (2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋π6－π3＝sin C ，由已知，sin C ＝12，又角C 为锐角，所以C ＝π6
. 由正弦定理，得BC AB ＝sin A sin C ＝sin π4sin π6＝2212＝ 2. 5．(2015·临沂市质测)已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2 ωx －12
(ω>0)的最小正周期是π，将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再将
所得函数图象向右平移π6
个单位，得到函数g (x )的图象． (1)求g (x )的解析式；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若g ⎝
⎛⎭⎪⎫π2－A ＝45，b ＝2，△ABC 的面积为3，求边长a 的值．
解：(1)f (x )＝
32sin 2ωx ＋12(cos 2ωx ＋1)－12 ＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6 ∵f (x )的最小正周期是π，且ω>0，
∴2π2ω＝π，∴ω＝1.∴f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象．
再将函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象向右平移π6个单位，得到y ＝sin x 的图象，故g (x )＝sin x .
(2)由(1)知g (x )＝sin x ，∴g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－A ＝ sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－A ＝cos A ＝45， ∵0<A <π，∴sin A ＝1－cos 2 A ＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35
.∵△ABC 的面积为3，∴12bc sin A ＝3.
又∵b ＝2，∴12×2·c ·35
＝3，得c ＝5. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝22＋52－2×2×5×45
＝13，得a ＝13.
[备课札记]
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