最新人教版高中数学必修1第二章《实数指数幂及其运算》教案

示范教案整体设计教学分析在初中，学生已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把整数指数推广到分数指数，进而推广到有理数指数幂，再推广到无理指数幂，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质．2．掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．3．掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学、一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．4．能熟练地运用实数指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解．(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质．(3)运用实数指数幂性质进行化简、求值．教学难点：(1)分数指数幂及根式概念的理解．(2)实数指数幂性质的灵活应用．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织，先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代(半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)．引出本节课题．思路2.同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的．这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题．推进新课 新知探究 提出问题(1)整数指数幂的运算性质是什么？(2)观察以下式子，并总结出规律：a ＞0，①5a 10＝5(a 2)5＝a 2＝a 105；②a 8＝(a 4)2＝a 4＝a 82；③4a 12＝4(a 3)4＝a 3＝a 124；④2a 10＝2(a 5)2＝a 5＝a 102.(3)利用 2 的规律，你能表示下列式子吗？453，375，5a 7，nx m x>0，m 、n ∈N ＋，且n>1 .(4)你能用方根的意义来解释 3 的式子吗？(5)你能推广到一般的情形吗？讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：a n ＝a·a·a·…·a ，a 0＝1(a≠0)；00无意义； a －n ＝1a n (a≠0)；a m ·a n ＝a m ＋n ；(a m )n ＝a mn ；(a n )m ＝a mn ；(ab)n ＝a n b n .其中n 、m ∈N ＋.(2)①a 2是a 10的5次方根；②a 4是a 8的2次方根；③a 3是a 12的4次方根；④a 5是a 10的2次方根．实质上①5a 10＝a 105，②a 8＝a 82，③4a 12＝a 124，④2a 10＝a 102结果的a 的指数是2,4,3,5分别写成了105，82，124，102，形式上变了，本质没变．根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式)．(3)利用(2)的规律，453＝534，375＝753，5a 7＝a 75，n x m ＝x m n.(4)53的四次方根是534，75的三次方根是753，a 7的五次方根是a 75，x m 的n 次方根是x mn .结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的．(5)如果a ＞0，那么a m 的n 次方根可表示为na m ＝a m n ，即a m n＝n a m (a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)．综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n＝na m (a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)．提出问题①负整数指数幂的意义是怎样规定的？ ②你能得出负分数指数幂的意义吗？③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义？ ④综合上述，如何规定分数指数幂的意义？⑤分数指数幂的意义中，为什么规定a ＞0，去掉这个规定会产生什么样的后果？ ⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理指数幂呢？讨论结果：①负整数指数幂的意义是：a －n ＝1an (a≠0，n ∈N ＋)．②既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义．规定：正数的负分数指数幂的意义是a －m n ＝1a m n ＝1na m (a ＞0，m 、n ∈N ＋，n ＞1)．③规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．④教师板书分数指数幂的意义．分数指数幂的意义就是：有时我们把正分数指数幂写成根式，即nm a ＝na m (a ＞0，m 、n ∈N ＋)，正数的正分数指数幂的意义是nm a ＝na m(a ＞0，m 、n ∈N ＋，n ＞1)，正数的负分数指数幂的意义是nm a－＝1a m n＝1na m(a ＞0，m 、n ∈N ＋，n ＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．⑤若没有a ＞0这个条件会怎样呢？如31)1(－＝3－1＝－1，62)1(－＝6－1 2＝1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的．因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无a ＞0的条件，比如式子3a 2＝|a|23，同时负数开奇次方是有意义的，负数开奇次方时，应把负号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂，也就是说，负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指数上．⑥规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理指数． 有理指数幂的运算性质：对任意的有理数r ，s ，均有下面的运算性质：(1)a r ·a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )， (2)(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )， (3)(a·b)r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 应用示例思路1例1求值：(1) 328；(2) ２１－25；(3)(12)－5；(4)43)8116(－.活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23,25写成52，12写成2－1，1681写成(23)4，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来．解：(1);422)2(8232332332====⨯(2);5155)5(251)21(221221====⨯－－－－(3);322)2()21()5(1515===⨯－－－－－(4).827)32()32()8416(3)43(443===⨯－－－点评：本例主要考查指数幂的运算，要按规定来解．在进行指数幂的运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如82＝382＝364＝4.例2用分数指数幂的形式表示下列各式的b.(1)b 5＝32；(2)b 4＝35；(3)b －5n ＝π3m (m 、n ∈N ＋)．活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，先化为根式，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结．解：(1)b ＝532＝5132； (2)b ＝±435＝±453； (3)b ＝－5nπ3m ＝n m 53－π(m ，n ∈N ＋)．点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先化为根式，再把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算．对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分思路2例1计算下列各式： (1)(325－125)÷425；(2)a 2a·3a 2(a ＞0)．活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，化为同底．利用分数指数幂计算，在第(1)小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，最后写出解答．解：(1)2123324121315)55(25)12525(÷=÷=－－原式;55555566121232132－－－－－===(2)a 2a·3a 2＝a 2a 12·a 23＝a 2－12－23＝a 56＝6a 5.例2计算下列各式的值：(1)[(a －32b 2)－1·(ab －3)12·(b 12)7]13；(2)1112121－－－a a a aa+-++；(3)(a 3b 2)－3÷b －4a －1.活动：先由学生观察以上三个式子的特征，然后交流解题的方法，把根式用分数指数幂写出，利用指数的运算性质去计算，教师引导学生，强化解题步骤，对(1)先进行积的乘方，再进行同底数幂的乘法，最后再乘方，或先都乘方，再进行同底数幂的乘法，对(2)把分数指数化为根式，然后通分化简，对(3)把根式化为分数指数，进行积的乘方，再进行同底数幂的运算．知能训练1．(1)下列运算中，正确的是()A．a2·a3＝a6B．(－a2)3＝(－a3)2C．(a－1)0＝0 D．(－a2)3＝－a6(2)下列各式①4(－4)2n，②4－42n＋1)，③5a4，④4a5(各式的n∈N，a∈R)中，有意义的是()A．①②B．①③C．①②③④D．①③④(3)(34a6)2·(43a6)2等于()A．a B．a2C．a3D．a4(4)把根式5(a－b)－2改写成分数指数幂的形式为()A ．(a －b)－25 B ．(a －b)－52 C ．(a －25－b －25) D ．(a －52－b －52) (5)化简(a 23b 12)(－3a 12b 13)÷(13a 16b 56)的结果是( )A ．6aB ．－aC ．－9aD ．9a2．计算：(1)0.027－13－(－17)－2＋25634－3－1＋(2－1)0＝__________.(2)设5x ＝4,5y ＝2，则52x －y ＝__________.3．已知x ＋y ＝12，xy ＝9且x ＜y ，求21212121yx y x －的值．答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)83.因为x ＋y ＝12，xy ＝9，所以(x －y)2＝(x ＋y)2－4xy ＝144－36＝108＝4×27. 又因为x ＜y ，所以x －y ＝－2×33＝－6 3.所以原式＝12－6－63＝－33.拓展提升化简活动：学生观察式子特点，考虑x 的指数之间的关系可以得到解题思路，应对原式进行因式分解，根据本题的特点，注意到：课堂小结活动：教师：本节课同学们有哪些收获？请把你的学习收获记录在你的笔记本上，同学们之间相互交流．同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点：(1)分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是nm a ＝na m (a ＞0，m 、n ∈N ＋，n ＞1)，正数的负分数指数幂的意义是nmnm nm aaa11==－(a ＞0，m 、n ∈N ＋，n ＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．(2)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理指数． (3)有理指数幂的运算性质：对任意的有理数r 、s ，均有下面的运算性质：①a r ·a s ＝a r ＋s (a ＞0，r 、s ∈Q )，②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r 、s ∈Q )，③(a·b)r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )．(4)说明两点：①分数指数幂的意义是一种规定，我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性，其中没有推出关系．②整数指数幂的运算性质对任意的有理指数幂也同样适用．因而分数指数幂与根式可以互化，也可以利用m nm n nmna aa ==⨯)(来计算．作业课本本节练习B 2、3.设计感想本节课是分数指数幂的意义的引出及应用，分数指数是指数概念的又一次扩充，要让学生反复理解分数指数幂的意义，教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解，用观察、归纳和类比的方法完成，由于是硬性的规定，没有合理的解释，因此多安排一些练习，强化训练，巩固知识，要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务．备课资料[备选例题] 例1 已知32121=+－aa ，探究下列各式的值的求法．点评：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．例2 已知a＞0，对于0≤r≤8，r∈N＋，式子(a)8－r·(14a)r能化为关于a的整数指数幂的情形有几种？活动：学生审题，考虑与本节知识的联系，教师引导解题思路，把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，即先把根式转化为分数指数幂，再进行幂的乘方，化为关于a的指数幂的情形，再讨论，及时评价学生的作法．16－3r能被4整除才行，因此r＝0,4,8时上式为关于a的整数指数幂．点评：本题中确定整数的指数幂时，可由范围的从小到大依次验证，决定取舍．利用分数指数幂进行根式运算时，结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式．(设计者：郝云静)第2课时导入新课思路1.同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数(有理数)，有理数到实数．并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是无理数．对无理指数幂，也是这样扩充而来．既然如此，我们这节课的主要内容是：教师板书本堂课的课题——无理指数幂．思路2.同学们，在初中我们学习了函数的知识，对函数有了一个初步的了解，到了高中，我们又对函数的概念进行了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几种简单的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等，这些远远不能满足我们的需要，随着科学的发展，社会的进步，我们还要学习许多函数，其中就有指数函数，为了学习指数函数的知识，我们必须学习实数指数幂的运算性质，为此，我们必须把指数幂从有理指数幂扩充到实数指数幂，因此我们本节课学习：无理指数幂．推进新课新知探究提出问题①我们知道2＝1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…是2的什么近似值？②多媒体显示以下图表：同学们从下面的两个表中，能发现什么样的规律？③你能给上述思想起个名字吗？④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如52，根据你学过的知识，能作出判断并合理地解释吗？⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容：问题①：从近似值的分类来考虑，一方面从大于2的方向，另一方面从小于2的方向．问题②：对图表的观察一方面从上往下看，再一方面从左向右看，注意其关联．问题③：上述方法实际上是无限接近，最后是逼近．问题④：对问题给予大胆猜测，从数轴的观点加以解释．问题⑤：在③④的基础上，推广到一般的情形，即由特殊到一般．讨论结果：①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，这些数都小于2，称2的不足近似值，而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，这些数都大于2，称2的过剩近似值．②第一个表：从大于2的方向逼近2时，52就从51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于52的方向逼近52.第二个表：从小于2的方向逼近2时，52就从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于52的方向逼近52.从另一角度来看这个问题，在数轴上近似地表示这些点，数轴上的数字表明一方面52从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于52的方向接近52，而另一方面52从51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于52的方向接近52，可以说从两个方向无限地接近52，即逼近52，所以52是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，按上述变化规律变化的结果，事实上表示这些数的点从两个方向向表示52的点靠近，但这个点一定在数轴上，由此我们可得到的结论是52一定是一个实数，即51.4＜51.41＜51.414＜51.414 2＜51.414 21＜…＜52＜…＜51.414 22＜51.414 3＜51.415＜51.42＜51.5.充分表明52是一个实数，再如(12)3，3π等都是实数．③逼近思想，事实上里面含有极限的思想，这是以后要学的知识．④根据②③我们可以推断52是一个实数，猜测一个正数的无理数次幂是一个实数． ⑤无理指数幂的意义：一般地，无理指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数． 也就是说无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数，这样指数概念又一次得到推广，在数的扩充过程中，我们知道有理数和无理数统称为实数．我们规定了无理指数幂的意义，知道它是一个确定的实数，结合前面的有理指数幂，那么，指数幂就从有理指数幂扩充到实数指数幂．提出问题1 为什么在规定无理指数幂的意义时，必须规定底数是正数？2 无理指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理指数幂的运算法则相通呢？3 你能给出实数指数幂的运算法则吗？活动：教师组织学生互助合作，交流探讨，引导他们用反例说明问题，注意类比，归纳． 对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明．对问题(2)结合有理指数幂的运算法则，既然无理指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数，那么无理指数幂的运算法则应当与有理指数幂的运算法则类似，并且相通．对问题(3)有了有理指数幂的运算法则和无理指数幂的运算法则，实数的运算法则自然就得到了．讨论结果：(1)底数大于零的必要性，若a ＝－1，那么a α是＋1还是－1就无法确定了，这样就造成混乱，规定了底数是正数后，无理指数幂a α是一个确定的实数，就不会再造成混乱．(2)因为无理指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算，有理指数幂的运算性质，同样也适用于无理指数幂．类比有理指数幂的运算性质可以得到无理指数幂的运算法则：①a r ·a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s 都是无理数)． ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s 都是无理数)． ③(a·b)r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r 是无理数)．(3)指数幂扩充到实数后，指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂． 实数指数幂的运算性质：对任意的实数r ，s ，均有下面的运算性质：①a r ·a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈R )． ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈R )． ③(a·b)r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈R )． 应用示例思路1例1利用科学计算器计算(精确到0.001)：0．21.52；3.14－2；321.3；52.解：所以0.21.52≈0.087,3.14－2≈0.101, 321.3≈2.126,52≈9.739.就可分别得到：0.135164359,0.367647059,2.72,7.3984,20.123648.2化简下列各式：点评：注意运算性质的应用.思路2例计算：活动：学生观察、思考，根式化成分数指数，利用幂的运算性质解题，另外要注意整体的意识，教师有针对性地提示引导，对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行，对(2)充分利用指数幂的运算法则来进行，对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行，对(4)要利用平方差公式先因式分解，并对学生作及时的评价．点评：在指数运算中，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式.知能训练解析：根据本题的特点，注意到它的整体性，特别是指数的规律性，我们可以进行适当的变形．因为(1＋2－132)(1－2－132)＝1－2－116，所以原式的分子、分母同乘(1－2－132)，依次类推，所以 1－2－12 1＋2－12 1－2－132＝1－2－11－2－132＝12(1－2－132)－1.答案：A3．计算a ＋2a －1＋a －2a －1(a≥1)．解：原式＝ a －1＋1 2＋ a －1－1 2＝a －1＋1＋|a －1－1|(a≥1)． 本题可以继续向下做，去掉绝对值，作为思考留作课下练习．4．设a ＞0，x ＝12(n n a a 11－－)，则(x ＋1＋x 2)n 的值为__________．答案：a 拓展提升已知10α＝3,10β＝4，求10α＋β，10α－β，10－2α，510β.活动：学生思考，观察题目的特点，从整体上看，应利用运算性质，然后再求值，要有预见性，教师引导学生考虑问题的思路，必要时给予提示．解：10α＋β＝10α×10β＝3×4＝12；10α－β＝10α10β＝34； 10－2α＝(10α)－2＝3－2＝19；510β＝(10β)15＝415.点评：运用整体思想和运算法则是解决本题的关键，要深刻理解这种做法． 课堂小结(1)无理指数幂的意义．一般地，无理指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数． (2)实数指数幂的运算性质：对任意的实数r ，s ，均有下面的运算性质：①a r ·a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈R )． ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈R )． ③(a·b)r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈R )． (3)逼近的思想，体会无限接近的含义． 作业课本习题3－1 A 1.设计感想无理指数是指数概念的又一次扩充，教学中要让学生通过多媒体的演示，理解无理指数幂的意义，教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索，自己得出结论，加深对概念的理解，本堂课内容较为抽象，又不能进行推理，只能通过多媒体的教学手段，让学生体会，特别是逼近的思想、类比的思想，多做练习，提高学生理解问题、分析问题的能力．备课资料参照我们说明无理指数幂的意义的过程，请你说明无理指数幂23的意义．活动：教师引导学生回顾无理指数幂52的意义的过程，利用计算器计算出3的近似值，取它的过剩近似值和不足近似值，根据这些近似值计算23的过剩近似值和不足近似值，利用逼近思想，“逼出”23的意义，学生合作交流，在投影仪上展示自己的探究结果．解：3＝1.732 050 80…，取它的过剩近似值和不足近似值如下表．我们把用2作底数，3的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数21．7,21.73,21.731,21.731 9，…，同样把用2作底数，3的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数：21．8,21.74,21.733,21.732 1，…，不难看出3的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多，即3的近似值精确度越高，以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2α会越来越趋近于同一个数，我们把这个数记为23，即21.7＜21.73＜21.731＜21.731 9＜…＜23＜…＜21.732 1＜21.733＜21.74＜21.8.也就是说23是一个实数，23＝3.321 997 …也可以这样解释：当3的过剩近似值从大于3的方向逼近3时，23的近似值从大于23的方向逼近23；当3的不足近似值从小于3的方向逼近3时，23的近似值从小于23的方向逼近23.所以23就是一串有理指数幂21.7,21.73,21.731,21.731 9，…和另一串有理指数幂21.8,21.74,21.733,21.732 1，…，按上述规律变化的结果，即23≈3.321 997.(设计者：张新军)。