矩阵论
矩阵论-线性代数引论
无限维空间很多，如
n
K={ ai i | ai Q, n N}, （为圆周率） i0
K为Q上的无限维线性空间.
设V是数域F上得线性空间， x1, , xr V ,若满足
1)x1, , xr线性无关, 2)V中任一x均可由x1, , xr线性表示. 则称x1, , xr为V的一个基底（基）.
二、维数，基底与坐标
设V为F上线性空间,xi V (i 1, , m), x V .若有ci F,
使得
x
=c 1
x1
c 2
x2
c m
xm
,
则称
x为
x1,
, xm的线性
组合,或者说x可由 x1, , xm线性表示.如果存在一组不
m
全为零的数k1, , km ,使得 ki xi ,则称向量组x1, , i 1
m
xm线性相关;否则称线性无关, 即若 ki xi ,则 i 1
k1 km 0.
线性无关组的任一子集是线性无关的，线性相关组的 任一扩展集仍线性相关.
维数：线性空间V中不同线性无关组中向量个数不
一定相同，向量个数最大者叫做V的维数，记为 dimV. 当dim V< ∞, 称 V 为有限维空间，否则为无
下都构成加群.
数域：若一个数集中任意两个数的和， 差，积，商（除数不为0）仍在该数集 中，则称该数集为数域.
如：有理数域，实数域，复数域等
线性空间：设(V, +)是一个加群，F 是一个数域，若 有 F 对 V 的数乘规则，使得 F,u V , 有V中唯
一元与之对应，记为 u ，且此规则满足：
3)存在零元 V 使得 u V , u u; 4)u V , 存在V中唯一负元-u,使得u+(-u)= .
矩阵论_精品文档
矩阵论矩阵论是线性代数的一个重要分支，它研究的是矩阵的性质、运算和应用。
在现代科学和工程领域中，矩阵论被广泛应用于各种数学模型的建立、数据处理和优化问题的求解等。
一、矩阵的定义与性质矩阵是由数个数值排列成矩形形状的数组。
在矩阵论中，通常用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。
一个矩阵由m行n列的数值组成，可以表示为A = [aij]，其中i表示行的编号，j表示列的编号，aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
在矩阵论中，还有一些基本的运算符号和性质。
如矩阵的转置、加法、乘法等。
矩阵转置是指将矩阵的行列互换得到的新矩阵。
矩阵加法是指将两个具有相同维数的矩阵对应元素相加得到新矩阵。
矩阵乘法是指对矩阵的每个元素进行乘积运算，最终得到的新矩阵的元素是原矩阵对应行与对应列的乘积之和。
矩阵还有一些重要的性质。
如矩阵的对称性、零矩阵、单位矩阵等。
对称矩阵是指元素关于主对角线对称的矩阵，即a[i][j] = a[j][i]。
零矩阵是每个元素都为0的矩阵。
单位矩阵是指主对角线上元素都为1，其它元素都为0的矩阵。
单位矩阵在矩阵乘法运算中起到类似于数1的作用。
二、矩阵的运算与法则1. 矩阵的转置法则：(AB)T = BTAT。
即两个矩阵的乘积的转置等于这两个矩阵分别转置后的乘积。
这个法则在矩阵运算中经常被使用，可以简化复杂矩阵乘法的计算。
2. 矩阵的加法法则：矩阵加法满足交换律和结合律。
即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。
这些法则使得矩阵的加法运算可以像普通的数的加法一样直观和易于计算。
3. 矩阵的乘法法则：矩阵乘法满足结合律，但一般不满足交换律。
即(AB)C = A(BC)，但一般来说，AB ≠ BA。
这是因为矩阵乘法涉及到对矩阵的行和列进行运算，行和列的次序不同会导致运算结果的差异。
4. 零矩阵的性质：对于任意矩阵A，都有A + 0 = A，0A = 0。
即任何矩阵与零矩阵相加或相乘都不改变原矩阵。
矩阵论第一章线性空间和线性变换
∃x∈R, x ∉ R
（采用这种观点来读数学，你不觉得别有情致吗？）每一种作用都有 其特性，因而每种运算都有它所服从的规律——运算律，所以在定义 运算时，需要讨论或说明它的运算律。
既然如此，是否有某种方式来描述我们的物质世界呢？就宏观现 象而论，涉及到各式各样的物质，自然的作用使物质产生互变，而且 我们认为物质世界是“完备”的，这句话意味着人类的向往，例如“点 石成金”等这类愿望。从这些粗糙的认识出发，我们来探讨描述它的
§6.1 K 积……………………………………………………（258） §6.2 拉伸算子Vec ……………………………………………（264）
§6.3 几个常见的矩阵方程…………………………………（271） 参考目录……………………………………………………………（275）
第一章 线性空间和线性变换
§1.1 引言
12121212nnnnnxxyyxxyyxyfxyxyxy?????12????????????????????????????????定义数乘12nnnxxaxaxafxfaxaxax??????????????????????????????容易验证这些运算满足公理系的要求nff是线性空间
目录
第二章 特征值和特征向量………………………………………（86） §2.1 引言………………………………………………………（86） §2.2 特征值、特征多项式和最小多项式……………………（87） §2.3 特征矢量和特征子空间………………………………（103） §2.4 约当标准型……………………………………………（113） §2.5 特征值的分布…………………………………………（128） §2.6 几个例子………………………………………………（138）
矩阵论定义
矩阵论定义
矩阵论是一门研究矩阵、向量及其操作以及如何应用于数学、物理、工程等学科的学科。
矩阵论是一个较大的学科，涉及线性代数、几何、微积分、数值分析和计算机科学等多个学科。
本文将对矩阵论的定义和运用做出详细的阐述。
矩阵(matrix)是一种方阵，由行向量和列向量构成。
正如向量是如果数的数组，矩阵是由多个向量构成的更复杂的数组。
它可以用来存储多个变量之间的关系、表示向量空间中的线性变换，或者描述复杂的函数等。
在数学上，矩阵论是对矩阵及其操作的研究。
它涉及线性变换、行列式、特征值、特征向量、线性方程组的解等概念。
这些概念的研究可以帮助人们研究更复杂的数学、物理和工程问题。
一般来说，矩阵论是指矩阵的结构和特性，以及矩阵的操作和应用。
通过矩阵的操作，可以得到向量、行列式等结构，从而简化解决复杂数学、物理和工程问题的过程。
比如，可以通过矩阵操作来求解多元不定线性方程组，用矩阵进行线性变换，用行列式解决性质问题，用特征值和特征向量解决一些矩阵分解问题等等。
另外，矩阵论在数值分析和计算机科学中也有广泛的应用。
在数值分析中，矩阵可以用来精确地描述复杂的函数，并用来计算它们的数值解。
在计算机科学中，矩阵也可以用来实现复杂的算法，如最短路径算法、小波变换等等。
综上所述，矩阵论是一门研究矩阵及其操作以及如何应用于数学、
物理、工程等学科的学科。
矩阵论涉及线性变换、行列式、特征值、特征向量、线性方程组的解等概念，可以用来精确描述复杂的函数、实现复杂的算法、解决性质问题和线性变换等。
因此，矩阵论在数学/工程/物理等学科中都具有重要的应用意义。
矩阵论第一章第二节
是一个线性变换. 是一个线性变换
线性变换的简单性质 1．σ 为V的线性变换，则 ． 的线性变换， 的线性变换
σ (0) = 0, σ ( −α ) = −σ (α ).
2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即 ．线性变换保持线性组合及关系式不变， 若 β = k1α1 + k2α 2 + L + krα r , 则 σ ( β ) = k1σ (α1 ) + k2σ (α 2 ) + L + krσ (α r ). 3．线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关 ． 的向量组. 的向量组 即
线性变换， 例． V = P[ x ]或P[ x ]n 上的求微商是一个 线性变换， 表示， 用D表示，即 表示
D : V → V , D( f ( x )) = f ′( x ), ∀f ( x ) ∈ V
例. 闭区间 [a , b] 上的全体连续函数构成的线性空间
C ( a , b ) 上的变换 J : C ( a , b ) → C ( a , b ) , J ( f ( x ) ) = ∫ f ( t )dt
则有
y1 x1 y2 x2 M ＝ A M . y x n n
证：由已知有
σ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) A,
x1 x2 ξ＝( ε 1 , 2 ,L , ε n ) , ε M x n y1 y2 σ (ξ ) = ( ε 1 , 2 ,L , ε n ) . ε M y n
B = X AX .
−1
证：由已知，有 由已知，
σ ( ε 1 , 2 ,L , ε n ) = ( ε 1 , 2 ,L , ε n ) A, ε ε
《矩阵论》课件 共39页PPT资料
n
x 1
xi ;
i1
1
x
2
n i1
xi
2 2
;
x
max
1 i n
xi
;
1
x
n p i 1
xi
p p ,
p1
x , x , x , x ( p 1)都是 C n上的向量范数。
1
2
p
引6理 .1.1 如 果p实 1,q数 1且111,则 对 pq
向 量 范,数1,,n为V的 一 组,V基中 任 一 向量
n
可唯一地表示为xii, x(x1,, xn)T Pn. i1
则 是x1,, xn的连续函. 数
定义6.1.2 设 , 是n维线性V空 上间 定义的 ab
种 向 量,范 如数 果 存 在 两 无个关与的 正 常
其中p 实 1,q 数 1且 111. pq
定理6.1.2（Minkowski不等式）
设 x ( x 1 , ,x n ) T ,y ( y 1 , ,y n ) T C n ,则
1
1
1
i n1xiyi p p i n1xi p p i n1yi p p
定理6.1.5 设V是 数 域 P上 的n维 线 性 空,间 1,,n 为V的 一 组,基 则V中 任 一 向可 量唯 一 地 表 示
n
xii , x (x1,, xn)T Pn.又 设 是Pn上 的
i1
向 量 范,数 令 v
x,
则 是V上的向量范. 数 v
定理6.1.6 设 是数域 P上n维线性空V上 间的任一
矩阵论范数知识点总结
矩阵论范数知识点总结一、概述矩阵论是线性代数的一个分支，它研究矩阵及其性质。
矩阵的范数是矩阵的一种性质的度量，它在矩阵分析、数值线性代数、优化理论等领域中有着广泛的应用。
本文将对矩阵范数的定义、性质、应用以及相关的其他知识点进行总结和介绍。
二、矩阵的定义在数学中，矩阵是一个按照矩形排列的复数或实数集合。
也可以看成是一个数域上的矩形阵列。
矩阵的元素可以是实数、复数或者是其他的数学对象。
一个n×n矩阵A是一个由n×n个元素（a_ij）组成的矩形数组。
三、范数的定义在数学中，范数是定义在向量空间中的一种函数，它通常被用来衡量向量的大小或长度。
对于矩阵来说，范数是一种度量矩阵大小的方法。
对于一个矩阵A，它的范数通常记作||A||。
矩阵的范数满足以下性质：1. 非负性：||A|| ≥ 0，并且当且仅当A = 0时，||A|| = 02. 齐次性：对于任意标量c，||cA|| = |c| * ||A||3. 三角不等式：||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||四、矩阵范数的种类矩阵范数一般有几种不同的类型。
1. Frobenius范数：矩阵A的Frobenius范数定义为||A||_F = sqrt(Σ_(i=1)^m Σ_(j=1)^n|a_ij|^2)2. 1-范数：矩阵A的1-范数定义为||A||_1 = max(Σ_(i=1)^n |a_ij|)3. 2-范数：矩阵A的2-范数定义为||A||_2 = max(Σ_(i=1)^m Σ_(j=1)^n |a_ij|^2)^(1/2)4. ∞-范数：矩阵A的∞-范数定义为||A||_∞ = max(Σ_(j=1)^n |a_ij|)五、矩阵范数的性质矩阵范数具有一些重要的性质，下面将介绍其中一些主要性质。
1. 非负性：||A|| ≥ 0，并且当且仅当A = 0时，||A|| = 02. 齐次性：对于任意标量c，||cA|| = |c| * ||A||3. 三角不等式：||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||4. 乘法范数：||AB|| ≤ ||A|| * ||B||5. 谱半径：对于任意矩阵A，它的谱半径定义为rho(A) = max|λ_i(A)|6. 对称矩阵：对于对称矩阵A，其2-范数定义为rho(A)，即||A||_2 = rho(A)，其中rho(A)是A的最大特征值六、矩阵范数的应用矩阵范数在数学和工程领域有着广泛的应用，下面将介绍一些主要的应用。
学习矩阵论有什么书推荐？
矩阵论是现代数学中的重要分支，它在各个领域中都有广泛的应用，如物理学、计算机科学、统计学等。
学习矩阵论可以帮助我们更好地理解和解决实际问题，因此推荐以下几本书籍供大家参考。
1.《线性代数及其应用》（Linear Algebra and Its Applications）这是一本经典的线性代数教材，由Gilbert Strang撰写。
这本书详细介绍了线性代数的基本概念，如向量、矩阵、线性变换等，并探讨了线性代数在各个领域中的应用。
书中还包括了大量的例题和习题，帮助读者更好地理解和掌握知识。
2.《矩阵分析与应用》（Matrix Analysis and Applied Linear Algebra）这是一本由Carl D. Meyer撰写的矩阵论教材，它介绍了矩阵论的基本理论和应用。
书中包括了大量的例题和习题，可以帮助读者更好地理解和掌握知识。
书中还介绍了一些高级的矩阵理论，如奇异值分解、特征值分解等，这些理论在实际问题中有着广泛的应用。
3.《矩阵计算》（Matrix Computations）这是一本由Gene H. Golub和Charles F. Van Loan撰写的矩阵论教材，它介绍了矩阵计算的基本理论和算法。
书中包括了大量的算法和代码实现，可以帮助读者更好地理解和掌握知识。
书中还介绍了一些高级的矩阵计算方法，如特征值计算、奇异值计算等，这些方法在实际问题中有着广泛的应用。
通过学习以上推荐的书籍，我们可以深入了解矩阵论的基本理论和应用，掌握矩阵计算的基本算法和方法，从而更好地解决实际问题。
学习矩阵论是非常重要的，它不仅可以帮助我们理解和解决实际问题，还可以提高我们的数学素养和分析能力。
我推荐大家选择一本适合自己的矩阵论教材，认真学习并掌握其中的知识。
01_矩阵论_第一章线性空间与线性变换
则有
1 0 0 1 0 0 0 0 A a11 0 0 a12 0 0 a21 1 0 a22 0 1
因此 R22 中任何一个向量都可写成向量组
1 0 0 1 0 0 0 0 E11 0 0 , E12 0 0 , E21 1 0 , E22 0 1
Pn [ x] { ai xi | ai R}
i 0 n 1
在通常多项式加法和数乘多项式运算下构成线性 空间 Pn[x]。 值得指出的是次数等于 n 1 的多项式集合
V { ai x | ai R, an1 0}
i i [a, b] = {f (x) | f (x) 是区间 [a, b] 上 实连续函数 } ，对于函数的加法与数乘运算构成 实数域上的线性空间。
定义 1.3 设 1, 2, …, n 是线性空间 Vn(F) 的一组基，若 V,
xi i (1 2
i 1 n
x1 x2 n ) x n
(1.1)
则称数 x1, x2, …, xn 是 在基 {1, 2, …, n} 下 的坐标，(1.1) 式中向量 (x1, x2, …, xn)T 为 的坐 标向量，也简称为坐标。
从上述线性空间例子中可以看到，许多常见 的研究对象都可以在线性空间中作为向量来研究。 另外应理解加法和数乘分别是 V 中的一个二元运 算和数域 F 和 V 中元素间的运算，要求运算满足 定义 1.1 中的八条性质，它们已不再局限在数的 加法、乘法的概念中。
一个数学例子 取集合为正实数集合 R+，F 为实数域 R，加 法“”和数乘“”如下定义 ：a, bR+，ab = ab， ：kR(i.e. F )，aR+，k a = ak。 在此运算下，R+ 是 R 上的一个线性空间，其中 加法零元素是 R+ 中的数 1，R+ 中元素 a 的负元素 是 a1。
矩阵论第一章
k1 , k2 ,L, kr ∈ P ，使得
k1α1 + k2α 2 + L + krα r = 0
线性相关的 则称向量组 α1 ,α 2 ,L,α r 为线性相关的；
不是线性相关的 （4）如果向量组 α1 ,α 2 ,L,α r 不是线性相关的，即 ）
k1α1 + k2α 2 + L + krα r = 0
上零多项式作成的集合， 上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘 上的一个线性空间， 表示． 法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[x]n表示． 上的一个线性空间
P [ x ]n = { f ( x ) = a n − 1 x n − 1 + L + a 1 x + a 0 a n − 1 ,L , a 1 , a 0 ∈ P }
+ ∀a ∈ R + , ∀k ∈ R, k o a = a k ∈ R,且 ak 唯一确定． 唯一确定．
其次， 其次，加法和数量乘法满足下列算律 ① a ⊕ b = ab = ba = b ⊕ a ② (a ⊕ b) ⊕ c = (ab) ⊕ c = (ab)c = a(bc) = a ⊕(bc) = a ⊕(b ⊕ c)
二、线性空间的简单性质
1、零元素是唯一的. 、零元素是唯一的
证明：假设线性空间 有两个零元素 有两个零元素0 证明：假设线性空间V有两个零元素 1、02，则有 01＝01＋02＝02．
2、 α ∈V ，的负元素是唯一的，记为- α ． 、 的负元素是唯一的，记为∀
证明： 证明：假设α 有两个负元素 β、γ ，则有
k ,α 的数量乘积 并记做 kα , 如果加法和数量乘法 的数量乘积,并记做
矩阵论定义
矩阵论定义矩阵论是一种主要研究矩阵结构及其相关性质的数学研究领域。
矩阵理论的发展起源于19世纪50年代，当时名为“行列式”的矩阵数学研究已经出现。
阵论的内容涉及非常广泛，涵盖线性代数、概率论、几何、数值分析、控制论、信号处理等数学学科，以及它们之间的联系和应用。
矩阵论的基本概念是矩阵（Matrix）。
矩阵是指二元数组，一般用粗体字母来表示，它表示一组数字，可用二维形式来表示。
一张矩阵可以通过网格表示出来，每个格子都有一个数字，这些数字的总和就是矩阵的大小。
矩阵论的基本定义是：矩阵（Matrix）是一种多元有序数组，其元素以行和列进行组织，称为行向量和列向量。
矩阵是一个容器，可以容纳多个元素，这些元素可以是数值类型，也可以是文本类型。
矩阵中的每一行和列都是独立的，它们之间都有一定的联系。
矩阵论也涉及矩阵的运算，例如加法、乘法、转置等。
矩阵的加法表达式为A+B=C，其中A和B是两个矩阵，C是他们的和，它的大小和行列数和A和B一样。
矩阵的乘法表达式为A×B=C，其中A和B 都是矩阵，C是他们的乘积，它的大小和行列数和A和B不一样。
矩阵也可以进行转置，即A-1=C，其中A是一个矩阵，C是它的转置，它的大小和A相同，但行列相反。
矩阵运算不仅可以用于理论研究，还可以应用于工程和科学研究中，如线性系统分析、图论、网络分析等。
矩阵论从定义到实际应用，这些矩阵的应用极其广泛，表明它的重要性。
综上所述，矩阵论是一门融合数学、工程和科学等多个学科的学科，主要研究矩阵结构及其相关性质，其基本定义是矩阵是一种多元有序数组，由行和列构建，它的主要运算有加法、乘法、转置等，并可以在理论研究和实践应用中都有所体现。
因此，矩阵论的发展具有重要的现实意义，仍然具有广阔的发展前景。
矩阵论的实验报告
一、实验目的1. 理解矩阵的基本概念和性质。
2. 掌握矩阵的运算方法，包括加法、减法、乘法、转置等。
3. 学习矩阵的行列式、逆矩阵、秩和迹的计算方法。
4. 熟悉矩阵的分解方法，如三角分解、Cholesky分解等。
5. 通过实验加深对矩阵论理论的理解和应用。
二、实验原理矩阵论是线性代数的一个重要分支，主要研究矩阵及其运算。
矩阵在自然科学、工程技术、经济学等领域都有广泛的应用。
本实验主要涉及以下内容：1. 矩阵的基本运算：矩阵的加法、减法、乘法、转置等。
2. 矩阵的行列式、逆矩阵、秩和迹的计算方法。
3. 矩阵的分解方法，如三角分解、Cholesky分解等。
三、实验仪器与软件1. 仪器：计算机2. 软件：MATLAB四、实验内容1. 矩阵的基本运算（1）编写MATLAB程序，计算矩阵A和B的加法、减法、乘法、转置。
（2）验证矩阵运算的性质，如结合律、分配律等。
2. 矩阵的行列式、逆矩阵、秩和迹的计算（1）编写MATLAB程序，计算矩阵A的行列式、逆矩阵、秩和迹。
（2）验证计算结果与理论值的一致性。
3. 矩阵的分解方法（1）编写MATLAB程序，对矩阵A进行三角分解（LU分解）。
（2）编写MATLAB程序，对矩阵A进行Cholesky分解。
（3）验证分解结果与理论值的一致性。
4. 应用实例（1）使用矩阵运算解决实际问题，如线性方程组的求解。
（2）使用矩阵分解方法解决实际问题，如求解最小二乘问题。
五、实验步骤1. 编写MATLAB程序，实现矩阵的基本运算。
2. 编写MATLAB程序，计算矩阵的行列式、逆矩阵、秩和迹。
3. 编写MATLAB程序，对矩阵进行三角分解和Cholesky分解。
4. 对实验结果进行分析，验证理论值与实验结果的一致性。
5. 使用矩阵运算和分解方法解决实际问题。
六、实验结果与分析1. 矩阵的基本运算实验结果与分析通过编写MATLAB程序，实现了矩阵的加法、减法、乘法、转置等基本运算。
实验结果与理论值一致，验证了矩阵运算的性质。
矩阵论第一章
二、基与维数
设X是数域K上的线性空间, { x1 , x2 ,L , xn } ⊂ X . 相关与无关 若存在不全为零的数 ai ∈ K , i = 1, 2,L , n, 使 则称 { x1 , x2 ,L , xn } 是线性相关的，否则称为线性无关的. 生成空间 设 E ⊂ X , 称
M中元素 的个数
当 A1 = A2 = L = An 时，记A = A1 × A2 ×L × An
n
习惯上：有理数集Q、实数集R、整数集Z、
{ } C = {α α = ( x , x ,L, x ) ,其中x ,L, x ∈ C} R = { A A = ( a ) , a ∈ R} C = { A A = ( a ) , a ∈ C}
矩阵论课件
2013.9
矩阵论简介 矩阵论是线性代数的深入，是用现代数学 的方法对有限维空间的描述与分析；对复杂矩 阵的分析、刻画与处理。 矩阵论不仅是学习数学理论的一个基本工 具，也是工程技术领域处理大量有限维空间形 式与数量关系的强有力工具。因此也是许多研 究方向的博士生入学考试的规定课程。
第一章
=0
故M为R
的子线性空间。
二、基与维数
1 0 0 1 0 0 取e1 = , e2 = , e3 = ∈ M. 0 −1 0 0 1 0 x1 x2 0 0 因为 x1e1 + x2e2 + x3e3 = = x − x 0 0 1 3
是Z到Z的双射；
x11 f4 x21
x12 x22
x13 = ( x11 , x12 , x13 , x21 , x22 , x23 ) x23
是R2×3到R6的双射。
矩阵论
用途Βιβλιοθήκη 矩阵论的一个重要用途是解线性方程组。线性方程组中未知量的系数可以排成一个矩阵，加上常数项，则称 为增广矩阵。另一个重要用途是表示线性变换，即是诸如f(x) 4x之类的线性函数的推广。设定基底后，某个向 量v可以表示为m×1的矩阵，而线性变换f可以表示为行数为m的矩阵A，使得经过变换后得到的向量f(v)可以表示 成Av的形式。矩阵的特征值和特征向量可以揭示线性变换的深层特性。
物理应用
线性变换及对称线性变换及其所对应的对称，在现代物理学中有着重要的角色。例如，在量子场论中，基本 粒子是由狭义相对论的洛伦兹群所表示，具体来说，即它们在旋量群下的表现。内含泡利矩阵及更通用的狄拉克 矩阵的具体表示，在费米子的物理描述中，是一项不可或缺的构成部分，而费米子的表现可以用旋量来表述。描 述最轻的三种夸克时，需要用到一种内含特殊酉群SU(3)的群论表示；物理学家在计算时会用一种更简便的矩阵 表示，叫盖尔曼矩阵，这种矩阵也被用作SU(3)规范群，而强核力的现代描述──量子色动力学的基础正是SU(3)。 还有卡比博-小林-益川矩阵（CKM矩阵）：在弱相互作用中重要的基本夸克态，与指定粒子间不同质量的夸克态 不一样，但两者却是成线性关系，而CKM矩阵所表达的就是这一点。
量子态的线性组合
1925年海森堡提出第一个量子力学模型时，使用了无限维矩阵来表示理论中作用在量子态上的算子。
感谢观看
先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换 下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。1858年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报 告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等 一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征 值）以及有关矩阵的一些基本结果。凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留 校讲授数学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文。
矩阵论-9-线性无关、基、维数
矩阵论-9-线性⽆关、基、维数线性⽆关、基、维数线性⽆关 Independence假定有 m ×n 的矩阵 A ，以列向量形式表⽰：v 1v 2⋯v n 。
如果 Ac =0 只有零解 c =0（即 A 零空间中有且仅有 0 向量），则各向量线性⽆关。
如果矩阵 A 的列向量为线性⽆关，则 A 所有的列均为主元列，没有⾃由列，矩阵的秩为n 。
rank (A )=n 。
如果存在⾮零向量 c 使得 Ac =0，则存在线性相关向量。
若 A 的列向量为线性相关，则矩阵的秩⼩于n ，并且存在⾃由列。
rank (A )<n 。
例⼦：在 R 2 空间中，两个向量只要不在⼀条直线上就是线性⽆关的。
在 R 3 空间中，三个向量线性⽆关的条件是它们不在⼀个平⾯上。
张成空间 Spanning a space当⼀个空间是由向量 v 1, v 2, ⋯, v k 的所有线性组合组成时，我们称这些向量张成了这个空间。
例如矩阵的列向量张成了该矩阵的列空间。
如果向量 v 1, v 2, ⋯, v k 张成空间 S ，则 S 是包含这些向量的最⼩空间。
基与维数 Basis and dimension向量空间的基（basis）是具有如下两个性质的⼀组向量 v 1, v 2, ⋯, v d ：他们线性⽆关；他们可以张成（span ）该向量空间。
空间的基告诉我们了空间的⼀切信息。
对于向量空间 R n ，如果 n 个向量组成的矩阵为可逆矩阵，则这 n 个向量为该空间的⼀组基，⽽数字 n 就是该空间的维数（dimension）。
对于任何矩阵 A 均有：矩阵的秩r=矩阵主元列的数⽬=列空间的维数例⼦：对于 A =123111211231，A的列向量线性相关，其零空间中有⾮零向量，所以 rank (A )=2=主元存在的列数=列空间维数。
可以求得 Ax =0 的两个解，即x 1=−1−110,x 2=−1001特解的个数就是⾃由变量的个数，所以n −rank (A )=2=⾃由变量存在的列数=零空间维数所以有：列空间维数 dimC (A )=rank (A )，零空间维数 dimN (A )=n −rank (A )总结线性⽆关与线性相关：线性⽆关：Ax =0 只存在 x =0 的解线性相关：Ax =0 存在解⾮ 0 解对于向量空间 R n ，如果 n 个向量组成的矩阵为可逆矩阵，则这 n 个向量为该空间的⼀组基，⽽数字 n 就是该空间的维数（dimension ）。
矩阵论—特征值和特征向量
矩阵论—特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵论中的重要概念。
在线性代数中，矩阵可以视为线性变换的一种表示，而特征值和特征向量则是描述这种线性变换的特性的数学工具。
首先，我们来定义特征值和特征向量。
设A是一个n×n矩阵，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个标量，那么称λ为矩阵A的特征值，x称为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量的求解可以通过求解特征方程来实现。
特征方程是指矩阵A减去λI后的行列式等于零，其中I是单位矩阵。
即，det(A-λI)=0。
求解特征方程可以得到矩阵A的所有特征值λ。
而对于每个特征值λ，通过求解(A-λI)x=0，可以得到对应的特征向量x。
特征值和特征向量的应用非常广泛。
一方面，它们可以用来判断一个矩阵的性质。
例如，对于对称矩阵，它的特征值都是实数；对于正定矩阵，所有特征值都是正数。
另一方面，特征向量可以用来描述矩阵的变换效果。
当一个向量x是矩阵A的特征向量时，它进行矩阵A的线性变换后，只发生了伸缩而没有发生旋转。
特征向量的长度（模）因子为特征值的绝对值。
特征值和特征向量还与矩阵的对角化有关。
如果一个n×n矩阵A有n个线性无关的特征向量，那么A可以被相似对角化，即存在一个可逆矩阵P和对角矩阵D，使得A=PDP^(-1)，其中D的对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
对角化简化了矩阵的计算，并且提供了矩阵变换的直观理解。
特征值和特征向量还可以应用于解决线性方程组和矩阵的幂运算问题。
对于一个方阵A，求解Ax=b的解可以通过特征值和特征向量来实现。
当一个矩阵A对角化后，方程Ax=b可以转化为Dy=P^(-1)b，其中y是一个新的未知向量。
然后再求解Dy=P^(-1)b，最后通过y=P^(-1)b求得原方程的解x。
此外，矩阵的幂运算A^k可以通过特征值和特征向量来简化。
由于A=PDP^(-1)，所以A^k=(PDP^(-1))^k=PD^kP^(-1)，其中D^k是D中的每个元素都进行幂运算后的对角矩阵。
矩阵论 教学大纲
以下是一个矩阵论教学大纲：
1.矩阵的定义和基本性质
-矩阵的定义
-矩阵的基本运算：加法、数乘、矩阵乘法
-矩阵的转置、逆矩阵、行列式
2.矩阵的秩和线性相关性
-矩阵的秩
-矩阵的线性相关性和线性无关性
-基于初等变换的矩阵分解
3.矩阵的特征值和特征向量
-矩阵的特征值和特征向量的定义
-特征值和特征向量的性质
-相似矩阵和对角化
4.线性变换和矩阵
-线性变换的定义和性质
-线性变换与矩阵的关系
-矩阵的核和象
5.最小二乘法和正则化
-最小二乘法的概念和应用
-正则化方法的概念和应用
6.奇异值分解和主成分分析
-奇异值分解的定义和性质
-奇异值分解的应用：主成分分析
7.应用实例
-线性回归分析
-主成分分析在图像处理中的应用
-矩阵在物理学中的应用
以上只是一个可能的矩阵论教学大纲，具体的内容和深度可以根据课程的要求和学生的水平进行调整。
矩阵论_最小多项式_JORDAN式子
λ-矩阵一、λ-矩阵的基本概念数域P 上m n ⨯的λ-矩阵的一般形式()()()()()()()1111n ij mnm mn a a A a a a λλλλλλ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ，其中各()[]ij a P λλ∈.1 ()A λ的某行（列）不为零：该行（列）的元素不全为零多项式； 2()A λ的：该子式是一个非零多项式；3 ()A λ的秩为r ：()A λ有一个r 级子式不为零，而所有的1r +级子式（如果还有的话）全为零；4 n 级λ-矩阵()A λ可逆：存在n 级λ-矩阵()B λ使()()()()A B B A E λλλλ==，这时记()B λ为()1A λ-称为()A λ的逆矩阵。
()A λ可逆()A λ⇔=非零常数（即零次多项式）. 5 ()A λ与()B λ等价：()A λ与()B λ可以经过初等变换互相转化。
()A λ与()B λ等价⇔存在可逆矩阵()(),P Q λλ使()()()()P A Q B λλλλ=.二、λ-矩阵的标准准形及三种因子1 每个λ-矩阵()A λ都可以经过初等变换（可以同时作行变换和列变换）化为标准形()()()()1200r d d B d λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭ ， 其中()()()12,,,r d d d λλλ 均为首一多项式，称为()A λ的不变因子。
它们满足依次整除关系：()()1i i d d λλ+，1,2,,1i r =- .因为初等变换不改变()A λ的秩，所以上述()()r r A λ=.2()A λ的所有k 级子式的首一最大公因式()k D λ称为()A λ的k 级行列式因子。
（1）若()()r A rλ=，则()A λ的行列式因子恰有r 个：()()()12,,,r D D D λλλ .（2）初等变换不改变()A λ的各级行列式因子，所以()A λ与它的标准形()B λ有相同的行列式因子。
矩阵论札记
矩阵论札记
矩阵论是应用线性代数，研究若干事例（关系）中某类特征的求解问题。
它利用行列式、特征值和特征向量等概念，可以把解决复杂的运算问题，转化为求解小规模的矩阵方程问题。
矩阵论目前在多个领域有重要的应用，如:经济、物理、工程、信号处理和金融领域。
矩阵论在其研究中有一些重要的基本概念。
其中行列式是矩阵论最基础的概念，是一个具有有限行数和有限列数的数字表（也叫阵列），它可以用来表示某一种数量，它的值取决于行列式中元素的数字值。
行列式满足一些基本的性质，它的计算可以用称为行列式算法的较简单的运算进行，其本质是由多个子式组成的线性组合。
另外在矩阵论研究中还包括了特征值和特征向量的概念，特征值是矩阵性质的一个基本参数，它可以决定矩阵的性质，从而确定矩阵的局部排列特点和全局构造形状；而特征向量可以定义一个矩阵的坐标系，可以用来确定矩阵中元素之间的关系，同时，它也可以用来研究多个相关矩阵之间的关系。
矩阵论是现代科学中非常重要的一门数学研究领域，它主要通过矩阵的性质和表示形式，来分析线性的数学问题，从而为解决得到其它更复杂的问题提供了帮助。
因此，可以说，矩阵论是科学研究和实际工程应用中绝对不可或缺的重要部分。
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红色题目：2，20，21，22不会做，其他题目参照提示不难做出来 1 .计算Frobenius 矩阵0210101n n c A c c ---⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭ 的特征多项式()f I A λλ=-和最小多项式。
修订版_ch0_例2.5解 记02111n n n c D I A c c λλλλ---=-=-+按第一行展开111010(1)(1)n n n n n D D c D c λλ+---=+--=+递推得2210210()n n n D D c c D c c λλλλ--=++=++=1110n n n c c c λλλ--=++++其最小多项式就是特征多项式。
2 设1110()n n n f c c c λλλλ--=++++ ，求证()0f λ=的任一根λ满足{}min max(,1),max(1)i i c c λ≤+∑提示：用上题和盖氏圆盘定理3. 设矩阵()n nij A a C⨯=∈为Hermite 矩阵，满足1(1,2,,)nii ij j j ia a i n =≠>=∑证明A 正定。
参考修订版_ch4_例4.5证明 A 为Hermite 矩阵，故其特征值均为实数。
只需证明A 的特征值全大于零。
（反证）若A 有特征值b 0≤，则存在某个盖尔圆i G ，使得i b G ∈。
即||ii i b a R -≤=1nij j j ia =≠∑ (1)事实上，0ii a >，故||ii ii b a a -≥>1nijj j ia=≠∑=i R 。
这与条件(1)相矛盾。
证毕。
4. 设2121212311122222224333333644421(1)(1)n n n A n n n n n n n ---⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭证明（1）A 与对角矩阵相似；（2）A 的特征值全为实数。
修订版_ch4_例4.6证明 （1）A 的n 个盖尔圆半径为2111111(1)(1)(1)k n n k k k R k k k k --=+++=-<++++ (1,2,,)k n = n 个盖尔圆为:2(1,2,,)k k G z k R k n -≤=显然，12,,,n G G G 不相交，知一个盖尔圆中恰有一个特征值，从而A 的n 个特征值互异，故A 与对角矩阵相似。
（2）由于k G 关于实轴对称，故A 的特征值全为实数。
否则，如果A 有复特征值，由于A 是实矩阵，那么特征值必共轭成对出现，它们同属于某一个盖尔圆，这与一个盖尔圆中恰有一个特征值矛盾。
5 设A 是非奇异矩阵，证明：存在多项式()g λ，使得1()A g A -=。
提示：用Hamilton-Cayley 定理。
证明：由Hamilton-Cayley 定理，设()f λ是A 的特征多项式，则()f =A O 。
因为A 是非奇异矩阵，则1A -存在。
设1()(())g A A f A I -=+，则存在多项式()g λ= 1(()1)f λλ-+，使得1()A g A -=。
6 设,m n n m A C B C ⨯⨯∈∈，证明AB 与BA 有相同的非零特征值。
方法一：证明m n m n I AB I BA λλλ--=-（设m n ≥）见修订版ch0定理2.9方法二：直接用特征值的定义证明。
()(0,0)()()()AB BA B B αλαλααλα=≠≠⇒=，要说明0B α≠证明 （1）1n nn m n m n mI BI AB I I AI B A I λλλλλλλ--=-=12[][]n m m n n mc c A I BABI I BA I BA OI λλλλλλ--=-=-这说明AB 与BA 有相同的非零特征值。
（2）设矩阵AB 的非零特征值和对应的非零特征向量为λ和α，则()AB αλα=，0,0λα≠≠()(0,0)()()()AB BA B B αλαλααλα=≠≠⇒=，显然0B α≠，否则若0B α=，由()AB αλα=知0λα=，与0,0λα≠≠矛盾。
故命题得证。
7 证明Sylvester 不等式rank()rank()rank()min(rank(),rank())m n n p A B n A B A B ⨯⨯+-≤≤提示：见修订版ch0定理3.12。
注：还可用其他方法。
证 设r AB r t B r s A r p n n m ===⨯⨯)(,)(,)(，由相抵标准形定理知有可逆矩阵Q P ,使⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000sEPAQ 因此sm sB s m s B B EB Q PAQ PAB s-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-0000))((1211 1rank()rank()rank()rank()AB PAB B s A ==≤= rank()rank()rank()rank()rank()T T T T AB AB B A B B ==≤=这就证明了))(),(min()(B r A r AB r ≤。
又111222rank()rank()rank rank()rank()()()()B t B Q B B B r AB r B r n s B -⎡⎤===≤+=+≤+-⎢⎥⎣⎦移项得r n t s ≤-+，即rank()rank()rank()A B n AB +-≤。
8 设,2n n A R n ⨯∈≥，rank()1A = （1）证明：(0,)T n A R αβαβ=≠∈（2）证明：A 的最小多项式是2()tr()m A λλλ=- （3）讨论A 何时可对角化。
提示： （1）满秩分解，（2）可对角化⇔最小多项式没有重根证明：（1）rank()1A =0>,由满秩分解定理，存在列满秩矩阵11n C α⨯∈和行满秩矩阵11T nC β⨯∈，满足 T A αβ=其中0,n R αβ≠∈。
（2）易知2TT T A A αβαββα==,而()T tr A βα=。
因此，令2()()m tr A λλλ=-，则2()()m A A tr A A O=-=，说明()m λ是A 的一个化零多项式。
同时它也是A 的最小多项式。
这是因为，次数比()m λ更低的多项式()m z 必为()m c λλ=+（c 是常数），但()m A A cI O =+≠。
（因为若此时()m A O =则A cI =-,()()1rank A rank cI n =-=≠与已知矛盾。
）（3）由定理5.4 n 阶矩阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 的最小多项式()m λ没有重零点。
即要求2()()m tr A λλλ=- 无重根。
亦即()0tr A ≠，此时A 可对角化。
9 设初等矩阵T H I uv σ=-，0,0,n R u v R σ≠∈≠∈求H 的Jordan 标准形。
答案：当0Tv u ≠时，1~11T H J v u σ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 当0Tv u =时，1~1111H J ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭注（1）12det 1T n H v u λλλσ==-（2）Householder 矩阵2(1)T T H I uu u u =-=的行列式为det 1H =-(3)H 可逆⇔1Tv u σ≠，1T HI uv τ-=-，1T v u στσ=-10 证明QR 分解的“唯一性”。
（1）设nm n R A ⨯∈，则A 的QR 分解m n m n n n A Q R ⨯⨯⨯=几乎是唯一的。
即如果A 有两个QR 分解式A QR =和11A Q R =，则11,Q QD R DR ==，其中diag(1)D =±。
也就是，分解因子除相差一个对角元为1±的对角矩阵外是唯一的。
（2）设A 为非奇异矩阵，当限制A 的QR 分解式中R 的对角元为正数时，则分解是唯一的。
证明：（1）设11A QR Q R ==，由此得111Q Q R R -=QD =式中11D RR -=仍为具有正对角元的上三角矩阵。
由于()()11TTT I Q Q QD QD D D ===即D 为正交矩阵，因此diag(1)D =±.也就是，分解因子除相差一个对角元为1±的对角矩阵外是唯一的。
（2）设A 为非奇异矩阵，当限制A 的QR 分解式中R 的对角元为正数时,由（1）知D 为正交矩阵，故diag(1)D =，因此D 为单位矩阵（正规上三角为对角阵） 故R DR R Q D Q Q ====111,，分解是唯一的。
11 设A 是可逆矩阵，如果矩阵B 满足11B A A --⋅<，则B 是可逆矩阵。
证明：选取向量范数v x ，使得v x 与1A -和B A -相容。
若det()0B =,则0Bx =有非零解0x ，即00Bx =,00()B A x Ax -=.。
又A 是可逆矩阵，100()x A B A x -=-，11B A A --⋅<⇒1100()()vvvv x A B A x A B A x x --=-⋅≤-⋅<矛盾。
即有det()0B ≠则B 是可逆矩阵。
12 设()ij A a =是n 阶实对称正定矩阵，证明1122nn A a a a ≤ 提示：方法一：111110n n n nn TT nnnn n A A A A A a a a A ααααα-----==⇒≤-再递推 方法二： 用Cholesky 分解211111111100T T T T T l a l l A L A L LL βααβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111A a A ⇒=再递推13 设A 为n 阶的Hermite 矩阵，其特征值12n λλλ≤≤≤ ，证明对任意非零向量nx C ∈有1H n H x Axx xλλ≤≤提示：如果A 是实对称正定矩阵，这是线性代数常见题。
证法是一样的。
证明：由定理3.4 ，对Hermite 矩阵A ，其特征值λ均为正实数，则0<12n λλλ≤≤≤ 且满足Ax x λ=，0x ≠又HHx Ax x x λ=，则1H n H x Axx xλλλ≤=≤。
14 m nA C⨯∈，证明：2,,max ij ij i ji ja Aa ≤≤提示：由2－范数的定义证明。
见修订版ch4最后 证明 设21x=，(1,2,,)T i i m α= 为A 的行，则 2222222212122222,max T T T T T T mm ij i jAx x x x mn a αααααα=+++≤+++≤所以2221,max ij x i jA Ax a ==≤特别地取121,,,,(1,0,,0),n x e e e e == 等。