【解析版】【2014烟台市一模】山东省烟台市2014届高三3月模拟 数学(理)试题

山东省烟台市高三统一质量检测考试数学（理科）试卷第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设i 是虚数单位，复数103i-的虚部为（ ） A ．-i B ．-l C ．i D ．12.已知集合M={|ln(1)x y x =-}，集合N={|,xy y e x R =∈}，(e 为自然对数的底数) 则M N =（ ）A ．{|1x x <}B ．{|1x x >}C ．{|01x x <<}D ．∅ 【答案】C 【解析】试题分析： 由已知，{|10}{|1}M x x x x =->=<，{|0}N y y =>， 所以，{|01}M N x x =<< ，选C . 考点：集合的运算,函数的定义域、值域.3.一个空间几何体的三视图如下左图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48B ．C ．D ．804.某程序的框图如上右图所示，执行该程序，若输入的p为l6，则输出的n的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．65.以q 为公比的等比数列{n a }中，10a >，则“13a a <”是“1q >”的（ ） A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6.已知不重合的直线m 、l 和平面αβ、，且m α⊥，l β⊂．给出下列命题： ①若//αβ，则m l ⊥；②若αβ⊥，则//m l ；③若m l ⊥，则//αβ； ④若//m l ，则αβ⊥， 其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B 【解析】试题分析：因为m α⊥，//αβ，所以，m β⊥，又l β⊂，所以， m l ⊥.①正确； 因为m α⊥，αβ⊥，所以m //β或m β⊂，又l β⊂，所以//m l 或,m l 相交或,m l 互为异面直线. ②不正确；因为m α⊥，m l ⊥，所以l α⊥，又l β⊂，所以αβ⊥，故③不正确，④正确. 选B .考点：平行关系，垂直关系.7.已知圆221O x y ：＋＝及以下三个函数：①3()f x x =；②()tan f x x =；③()sin f x x x =．其中图象能等分圆O 面积的函数个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．08.双曲线1C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若1C 的一个焦点与抛物线2C ：212y x =的焦点重合，且抛物线2C 的准线交双曲线1C 所得的弦长为4，则双曲线1C 的实轴长为（ ）A ．6B ．C ． 【答案】D 【解析】试题分析：设双曲线1C 的方程为22221x y a b-=(0,0)a b >>.由已知，抛物线2C 的焦点为（3,0），准线方程为x=-3，即双曲线中c=3，229a b +=；将-3代人双曲线方程，解得y =，又抛物线2C 的准线交双曲线1C 所得的弦长为 所以2=与229a b +=联立得， 290a +-=，解得，a =故双曲线1C 的实轴长为，选D . 考点：抛物线的几何性质，双曲线的几何性质.9.下列四个图象可能是函数10ln |1|1x y x +=+图象的是（ ）10.已知函数()sin ()f x x x x R =+∈，且22(23)(41)0f y y f x x -++-+≤，则当y l≥时，1yx +的取值范围是（ ） A ．[14，34] B ．[0，34] C ．[14，43] D ．[0，43]【答案】A 【解析】试题分析：因为，()sin()()f x x x f x -=-+-=-，且'()1cos 0f x x =+≥， 所以函数为奇函数，且在R 是增函数. 所以，由22(23)(41)0f y y f x x -++-+≤得2222(23)(41),2341f y y f x x y y x x -+≤-+--+≤-+-.即22424)0,x y x y +--+≤22(2)(1)1x y -+-≤，其表示圆22(2)(1)1x y -+-=及其内部.1yx +表示满足22y l (2)(1)1x y ≥⎧⎨-+-≤⎩的点P 与定点(1,0)A -连续的斜率.结合图形分析可知，直线AC 的斜率1013(1)4-=--最小，切线AB 的斜率22122tan 33tan tan 211tan 41()3PAX BAX PAX PAX ⨯∠∠=∠===-∠-最大. 故选A .考点：函数的奇偶性，简单线性规划，直线的斜率，直线与圆的位置关系.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.若实数x ，y 满足10,2,3,x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则z y x =-的最小值是 . 【答案】3- 【解析】试题分析：画出可行域及直线0y x -=，如图所示.平移直线0y x -=，当其经过点(2,1)A -时，min 123z =--=-.考点：简单线性规划的应用12.已知tan =2α，则22sin 1sin 2αα+= .13.设sin a xdx π=⎰，则二项式6⎛ ⎝的展开式中含有2x 的项是 .【答案】2192x - 【解析】试题分析：因为，00sin cos |2a xdx x ππ==-=⎰，所以6⎛- ⎝的展开式的通项636166((1)2rr r r r r r r x T C C ---+==-， 令32,r -=得1r =，所以二项式6⎛ ⎝的展开式中含有2x 的项是5121126(1)2192T C x x +-⋅=-=，故答案为2192x -．考点：定积分计算，二项式展开式的通项公式.14.有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为 .15.在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在平面向量集D={a |a (,),R,R x y x y =∈∈}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“ ”．定义如下：对于任意两个向量111)222(()a x y a x y ==，，，， 1a 2a ，当且仅当“12x x >”或“12x x =且12y y >”．按上述定义的关系“ ”，给出如下四个命题：①若12 (10)(01)0(00)e e ＝，，＝，，＝，，则12 0e e， ②12a a ,23a a ，则13a a ；③若12a a ，则对于任意a D ∈ , ()()12a a a a ++ ；④对于任意向量()0000,,a =，若12a a ，则12a a a a ⋅⋅ ．其中真命题的序号为 .【答案】①②③ 【解析】试题分析：由已知，若12 (10)(01)0(00)e e ＝，，＝，，＝，，则12 0e e ，，故①正确；（4）设111222(()a x y a x y == ，)，，，()a x y =，， 由0,a得“x 0＞”或"x 0y 0"=且＞由12a a，得“12x x ＞”或“12x x =且12y y "＞. 若1212"x 0y 0""x x y y "=且＞且＞且＜，则1212“xx xx yy yy "=且＜，所以12a a a a ⋅⋅不成立．④不正确.综上所述，①②③正确.考点：新定义问题，平面向量的坐标运算.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知m =(2cos ,1)x x +，n =(cos ,)x y -，满足0⋅=m n ． (1)将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期；(2)已知a ，b ，c 分别为∆ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，()(R)f x x ∈的最大值是()2Af ，且a =2，求b +c 的取值范围．（2）由题意得()32A f =， 所以2)(62A k Z k πππ+∈+=，因为0A π<<，所以3A π=． ……… 8分由正弦定理得b B =，c C =，b c B C +=+2sin()4sin()36B B B ππ=-=+， ……………………… 10分 ⎪⎭⎫⎝⎛∈32,0πB ,1sin()( 1]62B π∴+∈，，]4,2(∈+∴c b ， 所以b c +的取值范围为(2,4]. ……………………………………… 12分考点：平面向量的坐标运算，和差倍半的三角函数，正弦定理的应用，三角函数的性质.17.（本小题满分12分）已知数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且12，a n ，S n 成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足221223(log )(log )n n n b a a ++=⨯，求证：12311111 (2)n b b b b ++++<．当2n ≥时，122n n S a =-，11122n n S a --=-， 两式相减得：1122n n n n n a S S a a --=-=-， 12n n aa -∴=， ………… 4分所以数列{}n a 是首项为12，公比为2的等比数列， 12122n n n a a --=⨯=. …………………………………………………… 6分18.（本题满分12分）PM2．5是指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人体健康和大气环境质量的影响很大。

我国PM2．5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2．5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级；在35微克／立方米～75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标．某市环保局从360天的市区PM2．5监测数据中，随机抽取l5天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)．(1)从这l5天的数据中任取3天的数据，记ξ表示空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列； (2)以这l5天的PM2．5日均值来估计这360天的空气质量情况，则其中大约有多少天的空气质量达到一级．【答案】（1）分布列为（2）一年中空气质量达到一级的天数为144天. 【解析】试题分析：（1）由 3,6,15===n M N ,ξ的可能值为0，1，2，3利用315396)(C C C k P kk -⋅==ξ )3 , 2 , 1 , 0(=k 即得分布列：（2）一年中每天空气质量达到一级的概率为52， 由η～⎪⎭⎫ ⎝⎛52,360B , 得到14452360=⨯=ηE (天) ， 一年中空气质量达到一级的天数为144天.试题解析：（1）∵ 3,6,15===n M N ,ξ的可能值为0，1，2，3其分布列为315396)(C C C k P kk -⋅==ξ )3 , 2 , 1 , 0(=k ………………… 3分………………… 6分（2）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为52156==p 一年中空气质量达到一级的天数为η 则η～⎪⎭⎫ ⎝⎛52,360B , 所以14452360=⨯=ηE (天) ……………………11分 一年中空气质量达到一级的天数为144天 ……………………………… 12分 考点：茎叶图，超几何分布，二项分布.19.（本小题满分12分）已知平行四边形ABCD 中，AB=6，AD=10，BD=8，E 是线段AD 的中点．沿直线BD 将△BCD 翻折成△BC 'D ，使得平面BC 'D ⊥平面ABD ． (1)求证：C'D ⊥平面ABD ；(2)求直线BD 与平面BEC'所成角的正弦值．20.（本小题满分13分）已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，离心率等于12，它的一个顶点恰好是抛物线2x=的焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)己知点P(2，3)，Q(2，-3)在椭圆上，点A、B是椭圆上不同的两个动点，且满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．由 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-11216 )2(322y x x k y 整理得 222(34)8(32)4(32)480k x k kx k ++-+--=, ……………………… 9分 2143)32(82k kk x +-=+ ,21.(本题满分l4分)已知函数22()n nxx x af x e --=，其中n ∈N*，a ∈R ，e 是自然对数的底数．(1)求函数12()()()g x f x f x =-的零点；(2)若对任意n ∈N*，()n f x 均有两个极值点，一个在区间(1，4)内，另一个在区间[1，4]外，求a 的取值范围；(3)已知k ，m ∈N*，k <m ，且函数()k f x 在R 上是单调函数，探究函数()m f x 的单调性．（2）a 的取值范围是()1,2.- （3）函数()m f x 在R 上是减函数.（2）222(22)e (2)e 2(1)2().e enx nx n nx nxx n x x a nx n x a n f x -----+++⋅-'==…… 5分 设2()2(1)2n g x nx n x a n =-+++⋅-，()n g x 的图像是开口向下的抛物线. 由题意对任意,N n *∈()0n g x =有两个不等实数根12,x x ，第 21 页 共 21 页 且()[]121,4,1,4.x x ∈∉则对任意,N n *∈(1)(4)0n n g g <,即6(1)(8)0n a n a n ⎡⎤⋅+⋅⋅--<⎢⎥⎣⎦, ………………………………………… 7分 又任意,N n *∈68n -关于n 递增,681n->-, 故min 61(8),186 2.a a n-<<--<<-=所以a 的取值范围是()1,2.- ……………………………………………… 9分。