10.1《两角和与差的余弦、正弦、正切》教案2

第五课时 两角和与差的余弦、正弦、正切(二)教学目标：熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，理解公式：a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin(θ＋ϕ)(其中cos ϕ＝a a 2＋b 2 ，sin ϕ＝b a 2＋b 2，θ为任意角)，灵活应用上述公式解决相关问题；培养学生的创新意识，提高学生的思维素质.教学重点：利用两角和与差的正、余弦公式将a sin θ＋b cos θ形式的三角函数式化为某一个角的三角函数形式.教学难点：使学生理解并掌握将a sin θ＋b cos θ形式的三角函数式化为某一个角的三角函数形式，并能灵活应用其解决一些问题.教学过程：Ⅰ.复习回顾同学们，观察这些关系式，不难看出这是我们前面所推导出的两角和与差的正余弦公式的倒写形式.有时，直接利用这种形式可使问题简化，这节课，我们就来探讨一下它的运用. Ⅱ.讲授新课［例1］求证cos α＋ 3 sin α＝2sin(π6＋α) 证明：右边＝2sin(π6 ＋α)＝2(sin π6 cos α＋cos π6sin α) ＝2(12 cos α＋32sin α)＝左边 由于同学们对两角和的正弦公式比较熟悉，所以要证此式容易想到从右边往左边推证，只要将右边按照两角和的正弦公式展开，化简便可推出左边.也可这样考虑：左边＝cos α＋ 3 sin α＝2(12 cos α＋32sin α) ＝2(sin π6 cos α＋cos π6 sin α)＝2sin(π6＋α)＝右边 (其中令12 ＝sin π6 ，32＝cos π6) ［例2］求证cos α＋ 3 sin α＝2cos(π3－α) 分析：要证此式，可从右边按照两角差的余弦公式展开，化简整理可证此式.若从左边推证，则要仔细分析，构造形式即：左＝cos α＋ 3 sin α＝2(12 cos α＋32sin α)＝2(cos π3 cos α＋sin π3 sin α)＝2cos(π3－α) (其中令12 ＝cos π3 ，32＝sin π3)综合上两例可看出对于左式cos α＋ 3 sin α可化为两种形式2sin(π6 ＋α)或2cos(π3－α)，右边的两种形式均为一个角的三角函数形式.那么，对于a sin α＋b cos α的式子是否都可化为一个角的三角函数形式呢?推导公式：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2 (a a 2＋b 2 sin α＋b a 2＋b 2 cos α)由于(a a 2＋b 2 )2＋(b a 2＋b 2)2＝1，sin 2θ＋cos 2θ＝1(1)若令a a 2＋b 2 ＝sin θ，则b a 2＋b 2 ＝cos θ ∴a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2 (sin θsin α＋cos θcos α)＝a 2＋b 2 cos(θ－α) 或原式＝a 2＋b 2 cos(α－θ)(2)若令a a 2＋b 2 ＝cos ϕ，则b a 2＋b 2＝sin ϕ ∴a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2 (sin αcos ϕ＋cos αsin ϕ)＝a 2＋b 2sin(α＋ϕ)例如：2sin θ＋cos θ＝22＋12 (255sin θ＋55cos θ) 若令cos ϕ＝255，则sin ϕ＝55 ∴2sin θ＋cos θ＝ 5 (sin θcos ϕ＋cos θsin ϕ)＝ 5 sin(θ＋ϕ)若令255sin β，则55＝cos β ∴2sin θ＋cos θ＝ 5 (cos θcos β＋sin θsin β) ＝ 5 cos(θ－β)或原式＝ 5 cos(β－θ)看来，a sin θ＋b cos θ均可化为某一个角的三角函数形式，且有两种形式.Ⅲ.课堂练习1.求证： (1) 32sin α＋12 cos α＝sin(α＋π6 ) (2)cos θ＋sin θ＝ 2 sin(θ＋π4) (3) 2 (sin x ＋cos x )＝2cos(x －π4) 证明：(1) 32sin α＋12 cos α＝sin(α＋π6) 证法一：左边＝sin αcos π6＋cos αsin π6＝sin(α＋π6)＝右边证法二：右边＝sin αcos π6＋cos αsin π6＝32sin α＋12cos α＝左边 (2)cos θ＋sin θ＝ 2 sin(θ＋π4) 证法一：左边＝ 2 (22cos θ＋22sin θ)＝ 2 (sin π4 cos θ＋cos π4sin θ) ＝ 2 sin(θ＋π4)＝右边 证法二：右边＝ 2 (sin θcos π4 ＋cos θsin π4) ＝ 2 (22sin θ＋22cos θ)＝cos θ＋sin θ＝左边 (3) 2 (sin x +cos x )＝2cos(x －π4 ) 证法一：左边＝ 2 (sin x ＋cos x )＝2(22sin x ＋22cos x ) ＝2(cos x cos π4＋sin x sin π4 )＝2cos(x －π4)＝右边 证法二：右边＝2cos(x －π4 )＝2(cos x cos π4 ＋sin x sin π4) ＝2(22cos x ＋22sin x )＝ 2 (cos x ＋sin x )＝左边 2.利用和(差)角公式化简： (1) 32sin x ＋12cos x (2)315 sin x －3 5 cos x (3) 3 sin x －cos x (4)26sin(π3 －x )＋66cos(π3－x ) 解：(1) 32sin x ＋12 cos x ＝sin x cos π6 ＋cos x sin π6 ＝sin(x ＋π6) 或：原式＝sin x sin π3 ＋cos x cos π3 ＝cos(x －π3) (2)315 sin x －3 5 cos x ＝6 5 (32sin x －12cos x ) ＝6 5 (sin x cos π6 －cos x sin π6 )＝6 5 sin(x －π6) 或：原式＝6 5 (sin π3 sin x －cos π3 ·cos x )＝－6 5 cos(x ＋π3) (3) 3 sin x －cos x ＝2(32sin x －12cos x )＝2sin(x－π6)＝－2cos(x＋π3)(4)26sin(π3－x)＋66cos(π3－x)＝23［12sin(π3－x)＋32cos(π3－x)］＝23［sinπ6sin(π3－x)＋cosπ6cos(π3－x)］＝23cos［π6－(π3－x)］＝23cos(x－π6)或：原式＝23［sin(π3－x)cosπ3＋cos(π3－x)sinπ3］＝23sin［(π3－x)＋π3］＝23sin(2π3－x)Ⅳ.课时小结通过本节的学习，要在熟练掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式的基础上，推导并理解公式：a sinθ＋b cosθ＝a2＋b2sin(θ＋ϕ)(其中cosϕ＝aa2＋b2，sinϕ＝ba2＋b2)m cosα＋n sinα＝m2＋n2cos(α－β)(其中cosβ＝mm2＋n2，sinβ＝nm2＋n2)进而灵活应用上述公式对三角函数式进行变形，解决一些问题. Ⅴ.课后作业课本P964，6；P1014，5.两角和与差的余弦、正弦、正切(一)1．若0＜α＜β＜π4，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则 ( ) A.ab ＜1 B.a ＞b C.a ＜b D.ab ＞22．已知α、β为锐角，cos α＝17 ，cos(α＋β)＝－1114，求β的值.3．已知π2 ＜β＜α＜3π4 ，cos(α－β)＝1213 ，sin(α＋β)＝－35，求sin2α的值.4．若A ＋B ＝π4，求（1＋tan A )(1＋tan B )的值.5．化简 3 －tan1801＋ 3 tan1806．化简（tan10°－ 3 )cos100sin5007．求证：sin x －cos x sin x ＋cos x ＝tan(x －π4)8．已知tan A 与tan(－A ＋π4)是x 2＋px ＋q ＝0的解，若3tan A ＝2tan(π4－A )，求p 和q 的值.两角和与差的余弦、正弦、正切(一)答案1．C2．已知α、β为锐角，cos α＝17 ，cos(α＋β)＝－1114，求β的值. 分析：注意观察α、α＋β及β间的关系，先求角β的一个三角函数值，再根据β为锐角求出β.解：∵α为锐角，且cos α＝17 ，∴sin α＝1－cos 2α ＝437. 又∵α、β均为锐角，∴0＜α＋β＜π，且cos(α＋β)＝－1114， ∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β) ＝5314. 则cos β＝cos ［(α＋β)－α］＝cos （α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝(－1114 )×17 ＋5314×437＝12 ∴β＝π3. 评述：（1）在和（差）角公式的运用中,要注意和、差的相对关系，如（α＋β)－α＝β. (2)求角的基本步骤：①求角的范围；②求角的一个三角函数值；③写出满足条件的角. 3．已知π2 ＜β＜α＜3π4 ，cos(α－β)＝1213 ，sin(α＋β)＝－35，求sin2α的值. 分析：注意观察α－β、α＋β和2α间的关系，再选择适当的公式进行计算. 解：由题设知α－β为锐角，所以sin （α－β）＝513， 又∵α＋β是第三象限角，∴cos(α＋β)＝－45， 由2α＝(α＋β)＋(α－β)得sin2α＝sin ［(α－β)＋(α＋β)］＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝－5665评述：在三角变换中，角的变换是常用技巧，本题是将角2α变换成（α＋β)＋(α－β)，使已知式中的角与待求式中的角联系起来. 4．若A ＋B ＝π4，求（1＋tan A )(1＋tan B )的值. 分析：注意待求式与正切和角公式间的联系，将正切和角公式变形解题.解：（1＋tan A )(1＋tan B )＝1＋tan A ＋tan B ＋tan A tanB.又tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B 且A ＋B ＝π4∴tan(A ＋B )＝1 ∴tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B即tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＝1∴(1＋tan A )(1＋tan B )＝2.评述：在解题过程中要注意分析条件和结论中的关系式与有关公式间的联系，并将公式进行变形加以运用.5．化简 3 －tan1801＋ 3 tan180分析：注意把所要化简的式子与正切的差角公式进行比较. 解： 3 －tan1801＋ 3 tan180 ＝tan600－tan1801＋tan600tan180 ＝tan(60°－18°)＝tan42° 评述：在三角函数的化简与求值时，通常将常数写成角的一个三角函数，再根据有关公式进行变形. 6．化简（tan10°－ 3 )cos100sin500 分析：切、弦混合式在不能直接运用公式的情况下，考虑将切化弦.解：原式＝（tan10°－tan60°) cos100sin500 ＝(sin100cos100 －sin600cos600 )cos100sin500＝sin(－500)cos100 cos600 ·cos100sin500 ＝－1cos600＝－2. 评述：（1）切化弦是三角函数化简的常用方法之一.（2）把函数值化成tan60°在本题的化简中是必经之路.7．求证：sin x －cos x sin x ＋cos x ＝tan(x －π4) 证明：左边＝ 2 sin(x －π4 )2 cos(x －π4) ＝tan(x －π4 )＝右边 或：右边＝tan(x －π4 )＝sin(x －π4 )cos(x －π4) ＝sin x cos π4 －cos x sin π4 cos x cos π4 ＋sin x sin π4 ＝sin x －cos x sin x ＋cos x ＝左边 8．已知tan A 与tan(－A ＋π4)是x 2＋px ＋q ＝0的解，若3tan A ＝2tan(π4－A )，求p 和q 的值. 分析：因为p 和q 是两个未知数，所以须根据题设条件列出关于p 、q 的方程组，解出p 、q .解:设t ＝tan A ，则tan(π4－A )＝1－tan A 1＋tan A ＝1－t 1＋t由3tan A ＝2tan(π4 －A ) 得3t ＝2（1－t ）1＋t解之得t ＝13或t ＝－2. 当t ＝13 时，tan(π4 －A )＝1－t 1＋t ＝12， P ＝－［tan A ＋tan(π4 －A )］＝－56 ，q ＝tan A tan(π4 －A )＝ 13 ×12 ＝16. 当t ＝－2时，tan(π4 －A )＝ 1－t 1＋t＝－3， P ＝－［tan A ＋tan(π4 －A )］＝5，q ＝tan A tan(π4－A )＝6 ∴满足条件的p 、q 的值为：⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=656165q p q p 或 评述：(1)“列方程求解未知数”是基本的数学思想方法.(2)如果tan α、tan β是某一元二次方程的根，则由韦达定理可与公式T (α+β)联系起来；若cos α、sin α是某一元二次方程的根，则由韦达定理与公式sin 2α＋cos 2α＝1联系起来.。