数列的概念与简单表示法19 PPT
《数列的概念与简单表示法》课件
归纳反思
提高认识
本节课主要学习：
1、数列有关的概念 2、数列与函数的关系 3、会由通项公式求数列的特定项 4、观察法求数列的通项公式
布置作业
延伸课堂
1、书面作业 必做：教材P33 练习A 1，2 , 3 选作：教材P34 练习B 1, 2
2、预习作业
预习课本第30页和第31页，思考下列问题：
（1）递推公式与通项公式有什么区别？
定义域
解析式
数列
序号n 1
an n
2
图像
数列是一种特殊函数！
x
1 2 2.5 4 4.5
定义域是 N*(或它的 有限子集)
y
3 4 5 6 7
n
1 2 3 4 5
an a1 a2 a3 a4 a5
通项公式：数列{an}的第n项an与n的关系式
13
5
做出常数数列： ,4,4,图象 4,4
4
3
这个公式就叫做这个数列 的通项公式.
问题导引
深化概念
（1）项an
1 1 1 1， ， ， , 2 4 8
3 4
序号n 1 2
1 n 1 an ( ) 2
（3）项an 1， 9， , 4， 16
2 3 4
问题2：类比函数的表示 方法，你还能用其他方法 表示数列（1）、数列（3） 吗？
数列与函数的比较 函数
（1）一尺之棰,日取其半,万世不竭.——《庄子》
1 1 1 (1)1， ， ， , 2 4 8
（单位：尺）
（2）三角形数
(2)1， 6， , 3， 10
（3）正方形数
(3)1， 9， , 4， 16
（4）第三套人民币面额按从大到小顺序构成一列数（单位：元）
人教版高中数学课件-数列的概念与简单表示法
寫出下麵數列的一個通項公式， 使它的前4項分別是下列各數：
（1）1,2,4,8. (2)10，100，1000，10000。
（3）9，99，999，9999。 （4）5，55，555，5555。 （5）0.9,0.99,0.999,0.9999
(6) 2 , 5 ,2 2 , 11.
練習:
根據下麵數列的前幾項的值，寫出數列 的一個通項公式：
序號 1 2 3 4
5
……
n
數列中的每一個數都對應著一個序號， 反過來，每個序號也都對應著一個數。
數列與函數的關係 :
數列可以看作特殊的函數，序號是其 引數，項是序號所對應的函數值，數 列的定義域是正整數集 ，或是N *正整 數集 的有限子N集* ．
於是我們研究數列就可借用函數的研究 方法，用函數的觀點看待數列．
(1) 3, 5, 7, 9, 11, ;
(2) 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , ; 3 15 35 63 99
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,;
(4) 3 , 6 , 11 , 18 , 27 , ; 3 15 35 63 99
(5) 2, 6, 18, 54, 162,.
講解範例:
有些項小於它的前一項的數列
以下數列屬於哪種分類？
⑴全體自然數構成數列：
0，1，2，3, … . 遞增數列
⑵1996~2002年某市普通高中生人數（單位：萬人）構成數列
82，93，105，119，129，130，132. 遞增數列
⑶無窮多個3構成數列
3，3，3，3，3, … . 常數列
⑷目前通用的人民幣面額從大到小的順序構成數列（單位:元） 100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，
第一讲+数列的概念与简单表示法课件-2025届高三数学一轮复习
a6＝( )
A.3×44
B.3×44＋1
C.44
D.44＋1
解析：由an＋1＝3Sn，得到an＝3Sn－1(n≥2)，
两式相减，得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an， 则an＋1＝4an(n≥2)，因为a1＝1，a2＝3S1＝3a1＝3，所以此数 列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以an＝ a2qn-2＝3×4n-2(n≥2).则a6＝3×44.故选A.
1
＝
(2n
＋
1)
7 8
n＋1
，
an＋1 an
＝
(2n＋1)78n＋1 (2n－1)78n
＝
14n＋7 16n－8
.
当
aan＋n1>1 时，n<125；当aan＋n1<1 时，n>125.∵an>0，∴数列{an}的最大项 是 a8.
答案：8
考向 2 数列的周期性
[例3]已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝
2.数列的表示方法
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
把点(n，an)画在平面直角坐标系中
公 通项公式 把数列的通项用公式表示
式 法
递推公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an， an－1)等表示数列的方法
3.an 与 Sn 的关系 若数列{an}的前 n 项和为 Sn， 则 an＝SS1n， －nSn＝－11，，n≥2.
4.数列的分类
分类标准
类型
项数
有穷数列 无穷数列
项与项间的 大小关系
递增数列 递减数列
常数列
高考总复习一轮数学精品课件 第六章 数列 第一节 数列的概念与简单表示法
1
例 4.在数列{an}中,a1=2且(n+2)an+1=nan,则它的前 30 项和 S30=(
30
A.
31
29
B.
30
28
C.
29
19
D.
29
)
答案 A
解析 易知
+1
an≠0,∵(n+2)an+1=nan,∴
2 3
∴an=a1·
· ·
…·
1 2
-1
=
1 1 2
2-1-2 , ≥ 2.
增素能 精准突破
考点一
利用an与Sn的关系求通项公式(多考向探究)
考向1.已知Sn求an
典例突破
例1.(1)(2023北京朝阳二模)已知数列{an}的前n项和是2n-1,则a5=(
)
A.9
B.16
C.31
D.33
(2)若数列{an}对任意n∈N*满足a1+2a2+3a3+…+nan=n,则数列{
∴{an}是首项为1,公差为1的等差数列.
∴a4 023=1+(4 023-1)×1=4 023.故选B.
(2)因为 + -1 =an=Sn-Sn-1=( + -1 )( − -1 )(n≥2),所以
− -1 =1.又 1 = √1 =1,所以数列{ }是首项为 1,公差为 1 的等差
(+1)
1+2+3+…+n=
.
2
考向2.已知an与Sn的关系式求an
典例突破
例2.(1)(2023河南名校联考改编)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,满足
第一节数列的概念与简单表示法
角度三 形如 an＋1＝Aan＋B(A≠0 且 A≠1)，求 an 3．已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝3an＋2，求 an.
解：∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴aan＋n＋1＋11＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比 q＝3， 又 a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1， ∴an＝2·3n－1－1.
(3)数列的通项公式： 如果数列{an}的第 n 项与 序号 n 之间的关系可以用一个 式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 2．数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且 任一项 an 与它 的 前一项 an－1 (n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表 示，那么这个公式叫数列的递推公式．
A．an＝1
B．an＝－12n＋1
C．an＝2－sinn2π
D．an＝－1n2－1＋3
解析：由 an＝2－sinn2π可得 a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，….
答案：C
第7页/共30页
2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； (2)－1×1 2，2×1 3，－3×1 4，4×1 5，…； (3)a，b，a，b，a，b，…(其中 a，b 为实数)； (4)9,99,999,9 999，….
又由 an＋1＝Sn＋1－Sn＝16(an＋1＋1)(an＋1＋2)－16(an＋1)·(an＋2)， 得 an＋1－an－3＝0 或 an＋1＝－an. 因为 an>0，故 an＋1＝－an 不成立，舍去． 因此 an＋1－an－3＝0. 即 an＋1－an＝3，从而{an}是以公差为 3，首项为 2 的等差数列， 故{an}的通项公式为 an＝3n－1.
高中数学课件-第1讲 数列的概念与简单表示法
第六章 数列第1讲 数列的概念与简单表示法1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通考试要求项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数，理解单调性是数列的一项重要性质，可用来求最值.01聚焦必备知识知识梳理1.数列的有关概念(1)数列的定义一般地，我们把按照__________________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.(2)数列与函数数列{a n}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R 的函数，其自变量是__________，对应的函数值是________________，记为a n＝f (n).数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.提醒2.数列的表示法解析式法、表格法、____________.3.数列的单调性从第2项起，每一项都_________它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都_________它的前一项的数列叫做递减数列.特别地，__________________的数列叫做常数列.4.数列的通项公式和递推公式(1)如果数列{a n}的__________________与它的____________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.(2)如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用_______________来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.提醒(1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一.5.数列的前n项和公式如果数列{a n}的前n项和S n与它的____________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.常用结论1.思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( )(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.( )(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( )夯基诊断√××√(2)已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝n 2，则a n ＝____________.答案：2n －1当n＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，且a 1＝1也满足此式，故a n ＝2n －1，n ∈N *.(3)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n＝____________.答案：5n －4由a1＝1＝5×1－4，a 2＝6＝5×2－4，a 3＝11＝5×3－4，a 4＝16＝5×4－4，…，归纳可知a n ＝5n －4.02突破核心命题考 点 一由an与S n的关系求通项公式C(2)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2n＋2－3，则a n＝_____.已知S n 求a n 的3个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式.(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写.反思感悟训练1 (1)已知数列{a n}的前n项和为S n，且2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n a n＝n·2n，则数列{a n}的通项公式为a n＝____________.(2)已知S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，S n S n＋1＝－a n＋1(n∈N*)，则a10＝____________.例2 设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝____________.考 点 二由数列的递推关系求通项公式考向1累加法例3 已知a 1＝2，a n ＋1＝2n a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝_______.2累乘法反思感悟B考 点 三数列的性质考向 1数列的单调性D2数列的周期性答案：13数列的最值A反思感悟训练3 (1)如表，定义函数f (x )：对于数列{a n }，a 1＝4，a n ＝f (a n －1)，n ＝2，3，4，…，则a 2023＝( )A.1B.2C.5D.4C x12345f (x )54312C 由题意，a1＝4，a n＝f(a n－1)，所以a2＝f(a1)＝f(4)＝1，a3＝f(a2)＝f(1)＝5，a4＝f(a3)＝f(5)＝2，a5＝f(a4)＝f(2)＝4，a6＝f(a5)＝f(4)＝1，a7＝f(a6)＝f(1)＝5，…，则数列{a n}是以4为周期的周期数列，所以a2023＝a2020＋3＝a3＝5，故选C.突破核心命题限时规范训练聚焦必备知识 4103限时规范训练(四十)ADB4.大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上第一道数列题，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，则大衍数列的第41项为( )CA.760B.800C.840D.924BCD6.(2023·珠海质检)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2且a n ＋2＝a n ＋(－1)n ，n ∈N *，则该数列的前40项之和为( )A.－170B.80C.60D.230C C 由a n ＋2＝a n ＋(－1)n ，n ∈N *，得a 2k ＋2＝a 2k ＋1，a 2k ＋1＝a 2k －1－1，所以a 2k ＋1＋a 2k ＋2＝a 2k －1＋a 2k ＝…＝a 1＋a 2＝3，所以数列{a n }的前40项之和为20(a 1＋a 2)＝60.。
高中数学选择性必修二(人教版)《4.1 数列的概念 第一课时 数列的概念与简单表示法》课件
()
(2)数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列．
()
(3)数列的项可以相等．
()
(4)数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列．
()
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．所有正奇数的立方按从小到大的顺序组成数列，其前3项为______．
答案：1,27,125
知识点二 数列的分类与通项公式
[对点练清]
[多选]下面四个结论中正确的是
()
A．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集
{1,2,3，…，n})上的函数
B．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点
C．数列的项数是无限的
D．数列的通项公式是唯一的 解析：数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，C错；数列的通
项公式可能不唯一，比如数列1,0，－1，0,1,0，－1,0，…的通项公
(1)从图(2)开始观察每个图案从上往下的小正方形个数有什么规律？ 提示：按照1,3,5,7，…，1的顺序分布． (2)按照此图规律，f(6)为多少？ 提示：f(1)＝1＝2×1×0＋1， f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1， f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1， f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1， 故f(n)＝2n(n－1)＋1. 当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61.
题型一 数列的概念及分类 [学透用活]
(1) 数 列 的定 义 中 要 把 握 两 个 关 键 词 ： “ 一 定 顺 序 ” 与 “ 一 列 数”．也就是说，构成数列的元素是数，并且这些数是按照“一定顺序” 排列着的，即确定的数在确定的位置上．
(2)数列的项与它的项数是两个不同的概念：项是指出现在这个数列 中的某一个确定的数，它是一个函数值，即 an＝f(n)；而项数是指这个 数列共有多少项．
数列的概念和简单表示法ppt
递增性
总结词
数列的各项按照从小到大的顺序排列。
详细描述
递增性指的是数列中的每一项都比前一项大，即数列按照从小到大的顺序排列。 例如，一个递增的整数数列可以是1，2，3，4，5，…。
递减性
总结词
数列的各项按照从大到小的顺序排列。
详细描述
递减性指的是数列中的每一项都比后一项小，即数列按照从大到小的顺序排 列。例如，一个递减的整数数列可以是5，4，3，2，1，…。
2023
数列的概念和简单表示法
目录
• 数列的定义和分类 • 数列的表示法 • 数列的特性 • 数列的简单运算 • 数列的扩展知识 • 数列的应用案例
01
数列的定义和分类
数列的定义
数列是一种特殊的函数，它按照顺序排列一组实数。 数列的第一个数叫做首项，最后一个数叫做末项。
数列中的每一个数叫做项，而每个项与它前面的那个 数的差叫做公差。
数列的极限和收敛性
数列的极限
如果当n趋向无穷大时，数列的项无限接近某个常数a，则称a为该数列的极限。
数列的收敛性
如果一个数列存在极限，则称该数列为收敛数列。
06
数列的应用案例
数列在金融领域的应用
复利计算
01
数列常用于计算投资收益的复利，如等比数列的求和公式被广
泛应用于计算累计利息。
风险评估
02
等差数列的性质
等差数列的任意一项都等于其首项加上一个常数，即第n 项a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。
等比数列的概念和性质
等比数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，这个数列 就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。
等比数列的性质
第6章 第1节 数列的概念与简单表示法 课件(共45张PPT)
第一节 数列的概念与简单表示法
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
[跟进训练]
已知正项数列{an}中， a1＋ a2＋…＋ an＝nn2＋1，则数列{an}
的通项公式为( )
A．an＝n C．an＝n2
B．an＝n2 D．an＝n22
第一节 数列的概念与简单表示法
B [∵ a1＋ a2＋…＋
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
考点三 数列的性质
1.解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周
期性求值．
2．判断数列单调性的两种方法
(1)作差(或商)法．
(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等
函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．
第一节 数列的概念与简单表示法
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
二、教材习题衍生
1．数列－1，12，－13，14，－15，…的一个通项公式为( )
A．an＝±1n
B．an＝(－1)n·1n
C．an＝(－1)n＋11n
D．an＝1n
B [由a1＝－1，代入检验可知选B.]
1234
∴an1＋1＝a1n＋12，即an1＋1－a1n＝12，
又a1＝2，则a11＝12，
∴a1n是以12为首项，12为公差的等差数列． ∴a1n＝a11＋(n－1)×12＝n2，∴an＝2n.]
第一节 数列的概念与简单表示法
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
高中数学第四章数列1第1课时数列的概念与简单表示法课件新人教A版选择性必修2
若数列{an}满足an＝2n，则数列{an}是( ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 【解析】选A.an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0， 所以an＋1>an，即{an}是递增数列．
D．摆动数列
【补偿训练】已知下列数列：
(1)0，0，0，0，0，0；
(2)0，－1，2，－3，4，－5，…；
2．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式． (2)讨论数列{an}的单调性，并证明你的结论． 【解析】(1)因为f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n， 所以有2log2an－2－log2an＝－2n， 即an－a1n ＝－2n， 所以an2 ＋2nan－1＝0， 解得an＝－n± n2＋1 .
【解析】由数列中项的多少可知(1)是有穷数列，(2)(3)(4)(5)是无穷数列，根据数 列单调性的定义知(3)是递增数列，(4)是递减数列，(1)是常数列，(2)(5)是摆动数 列． 答案：(1) (2)(3)(4)(5) (3) (4) (1) (2)(5)
探究点二 用观察法求数列的通项公式
A．1，13 ，312 ，313 ，…
B．sin
π 13
，sin
2π 13
，sin
3π 13
，sin
4π 13
，…
C．－1，－12 ，－13 ，－14 ，…
D．1，2，3，4，…，30
【思维导引】(1)根据数列的定义去判断． (2)根据无穷数列和递增数列的定义逐一判断四个选项，即可得正确答案．
【解析】(1)选C.A中的{1，2，3，5，7}表示集合而不是数列，故A错，B中的两 个数列是不同的两个数列，因为1，0，－1，－2这四个数的顺序不一样，故B错 误，数列0，2，4，6，8，…，可记为{2(n－1)}，而不是{2n}，故D错．
【课件】数列的概念及简单表示课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
1
3. 的 n 次幂按 1次幂、2 次幂、3 次幂、4次幂
2
1 1
1 1
， ， ， ， ．
③
2 4
8 16
1
1
1
1
a1 , a2 , a3 , a4 ,
2
4
8
16
这也是具有确定顺序的一列数.
归纳: 上面三个例子的共同特征是什么？
依次排成一列数．
n2＋2n
n
n
系为
，故所求的数列的一个通项公式为 an＝n＋
＝
(n∈N*)．
n＋1
n＋1 n＋1
1
1
1
1
(4)原数列的各项可变为 ×9， ×99， ×999， ×9 999，…，易知数列
9
9
9
9
9,99,999,9 999，…的一个通项公式为 an＝10n－1，所以原数列的一个通项公
1 n
式为 an＝ (10 －1)(n∈N*)．
你能仿照上面
的叙述，说明③也
是具有确定顺序的
一列数吗？
探究新知
定义：按照一定顺序排列的一列数叫做 数列
数列中的每一个数叫做这个数列的______.
项
排在第一位的数称为这个数列的第1项（ 首项），排在第二位
的数称为这个数列的第2项，
···，排在第n位的数称为这个数列这个数列的第n项.
数列的一般形式可以写成：
②数列1,2,3,4,…的一个通项公式是an=n.
③数列1,3,5,7,…的一个通项公式是an=2n-1.
④数列2,4,6,8,…的一个通项公式是an=2n.
⑤数列1,2,4,8,…的一个通项公式是an=2n-1.
2025高考数学一轮复习-6.1-数列的概念与简单表示方法【课件】
『变式训练』 1．设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，若 2Sn＝3an－3，则 a4 等于( B ) A．27 B．81 C．93 D．243
【解析】 根据 2Sn＝3an－3，可即 an＋1＝3an，当 n＝1 时，2S1＝3a1－3，解得 a1＝3，所以数列{an}是以 3 为首项，3 为公 比的等比数列，所以 a4＝a1q3＝34＝81.故选 B.
【解析】 ∵Sn＝3＋2n， ∴Sn－1＝3＋2n－1(n≥2)，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)． 而 a1＝S1＝5，∴an＝52， n－1n，＝n1≥，2.
易错点睛：(1)数列是特殊的函数，注意其自变量为正整数． (2)求数列前 n 项和 Sn 的最值时，注意项为零的情况． (3)使用 an＝Sn－Sn－1 求 an 时注意 n≥2 这一条件，要验证 n＝1 时是否成立．
满足条件
有穷数列 无穷数列
项数 项数
有限 无限
递增数列 递减数列
常数列
an＋1 an＋1 an＋1
> an < an ＝ an
其中 n∈N*
从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小
于它的前一项的数列
3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和 解析法 ． 4．数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集 N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集 R 的函数，其自变 量是序号 n，对应的函数值是数列的第 n 项 an，记为 an＝f(n)．也就是说，当自变量从 1 开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值 f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是 数列{an}．
同理令2nn－＋11＝15，得 n＝2，∴15为数列{an}的项；
数列的概念与简单表示法_教学课件
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1.了解数列的概念和几种简单的表示 方法(列表、图象、通项公式). 2.了 解数列是自变量为正整数的一类函数. 1.已知数列的通项公式或递推关系， 求数列的各项. 2.以数列的前几项为 背景，考查“归纳—推理”思想.
1．数列的定义 按照一定顺序 排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数 叫做这个数列的项． 2．数列的分类
1，首项为
0.
故λann－λ2 n＝n－1，所以数列{an}的通项公式为 an＝(n－1)λn＋2n.
利用Sn，求an
已知数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式．
(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.
【思路点拨】 利用数列的通项an与前n项和Sn的关系
an＝SS1n－Sn－1
【思路点拨】 由所给数列前几项的特点，归纳出其通项公式，
注意项与项数的关系，项与前后项之间的关系，通项公式的形式并
不唯一．
【自主探究】 (1)各项是从4开始的偶数，
所以an＝2n＋2.
(2)每一项分子比分母少1，而分母可写为21,22,23,24,25，…，故所
求数列的一个通项公式可写为an＝
2n－1 2n
由此可得a100＝－1. 方法二：an＋2＝an＋1－an，an＋3＝an＋2－an＋1， 两式相加可得an＋3＝－an，an＋6＝an， ∴a100＝a16×6＋4＝a4＝－1. 【答案】 B
a 3．已知数列
n 的通项公式是an＝
2n 3n＋1
，那么这个数列是(
)
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
所有等式左右两边分别相加，得
(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1) ＝f(n)＋f(n－1)＋…＋f(3)＋f(2)，
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即数列{n2}，可得分母的通项公式为 cn＝n2＋1，因此
可得它的一个通项公式为 an＝2nn2＋＋11.
(3)an
＝
0
1
n为奇数 n为偶数
或
an
＝
1＋－1n 2
或
an ＝
1＋cos nπ 2
【例 2】 (1)已知 a1＝1，an＋1＝2an 思维启迪
题型分类·深度剖析
变式训练 2 根据下列 条件，确定数列{an} 的通项公式：
(1)a1＝1，an＋1＝3an ＋2； (2)a1＝1，an＝n－n 1
·an－1 (n≥2)； (3) 已 知 数 列 {an} 满 足 an＋1＝an＋3n＋ 2，且 a1＝2，求 an.
解 (1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴aan＋n＋1＋11＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比 q＝3， 又 a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1. (2)∵an＝n－n 1an－1 (n≥2)， ∴an－1＝nn－ －21an－2，…，a2＝12a1. 以上(n－1)个式子相乘得 an＝a1·12·23·…·n－n 1＝an1＝1n.
题型二
由数列旳递推关系求通项公式
【例 2】 (1)已知 a1＝1，an＋1＝2an ＋1，求 an； (2)已知 a1＝2，an＋1＝an＋n，求
an.
思维启迪
解析
探究提升
已知数列的递推关系，求数列的 通项时，通常用累加、累乘、构 造法求解．
当出现 an＝an－1＋m 时，构造等差 数列；当出现 an＝xan－1＋y 时， 构造等比数列；当出现 an＝an－1 ＋f(n)时，用累加法求解；当出现 aan－n 1＝f(n)时，用累乘法求解．