数值分析第一章PPT
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数值分析第一章ppt
s 某商品标注重量为 27±0.5kg, 实际重量是多少？
}
1.2.2 相对误差和相对误差限
x*的相对误差
r
x x x
在不同近似值中，|εr (x)|越小，x*的精确度越高。
r(x)
| ( x) | |x|
x x x
——x*的相对误差限
常用计算公式： r ( x)
( x)
x*Βιβλιοθήκη x x* x* ,}
（2）相对误差：
r ( x1
x2 )
( x1 x2 )
x1 x2
( x1 ) ( x2 )
x1 x2
x1 x1 x2
( x1 )
x1
x2 x1 x2
(x2 )
x2
x1
x1
x2
r
(
x1
)
x1
x2
x2
r
(
x2
)
当x1≈x2时, x1 – x2 ≈0,所以相近两数之差的相对误差将很大 。
}
1.2 误差的基本估计方法
= 1.2.1 绝对误差和绝对误差限 = 1.2.2 相对误差和相对误差限 = 1.2.3 有效数字 = 1.2.4 算术运算的误差
}
1.2.1 绝对误差和绝对误差限
设某准确值x近似值为x*。 x*的绝对误差 ε(x)=x–x*
在同一量的不同近似值中，|ε(x)|越小，x*的精确度越高。
sin x x x3 x5 x7 , x 3! 5! 7!
用近似计算公式 sin x x
截断误差 sin x x x3 x5 x7 cos x3
3! 5! 7!
3!
sin x x 1 x 3 6
数值分析ppt
例如：建立积分
1 xn
In
dx 0 x5
n 0,1, , 20
的递推关系式，研究它的误差传递。
解：由
In 5In1
1
xn
5xn1 dx
0 x5
1 xn1dx 1
0
n
和
I0
1 1 dx ln 6 ln 5 0 x5
可建立递推公式
1 In 5In1 n
n 1, 2, , 20
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在四中误差中，模型误差和观测误差是客 观存在的，截断误差和舍入误差是由计算方法和 计算工具引起的，我们在研究数学问题的数值解 法时，主要是分析讨论计算方法的截断误差和舍 入误差。
例如 在计算机上计算级数
sin x x 1 x3 1 x5 1 x7 3! 5! 7!
取前三项计算 sin x 的近似值
e*( y) y*
( f )* x1
x1* y*
er*
(
x1)
(
f x2
)*
x2* y*
er*(x2 )
（2）
利用（1）、（2）两式，可以得到两数 和、差、积、商的绝对误差与相对误差传播 的估计式.
e* (x1 x2 ) e* (x1) e*(x2 )
《数值分析教程》课件
总结词
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
数值分析PPT--颜庆津-北京航空航天大学出版社-2000
* I1 * I0
We just got lucky?
1 * (1 I 2 ) 0 .36787944 2 1 * (1 I 1 ) 0 .63212056 1
考察反推一步的误差：
| E N 1 | 1 1 1 * (1 I N ) (1 I N ) | EN | N N N
0.5 e (b) 0.5 e r (a) 0.16%, e r (b) 2.08%, | a | 312 |b| 24
e (a)
| x a | e (a) 0.5 a 0.5 x a 0.5
311.5 x 312.5，同理
23.5 y 24.5 (mm).
以此类推，对 n < N 有：
1 | En | | EN | . N (N 1) (n 1)
误差逐步递减, 这样的算法称为稳定的算法
(stable algorithm)
在我们今后的讨论中, 误差将不可回避, 算法的
稳定性会是一个非常重要的话题。
1.2.3 误差与有效数字 (Error and Significant Digits )
S4
R4
( Remainder )
例 :近似计算 e
0
1
x2
dx = 0.747… …
取 0
1
e x dx S4 ,
2
1 1 1 1 称为截断误差 ( Truncation Error ). 则 4! 9 5! 11 1 1 这里 R4 0 .005 4! 9 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 .024 0 .743 3 10 42 R4
We just got lucky?
1 * (1 I 2 ) 0 .36787944 2 1 * (1 I 1 ) 0 .63212056 1
考察反推一步的误差：
| E N 1 | 1 1 1 * (1 I N ) (1 I N ) | EN | N N N
0.5 e (b) 0.5 e r (a) 0.16%, e r (b) 2.08%, | a | 312 |b| 24
e (a)
| x a | e (a) 0.5 a 0.5 x a 0.5
311.5 x 312.5，同理
23.5 y 24.5 (mm).
以此类推，对 n < N 有：
1 | En | | EN | . N (N 1) (n 1)
误差逐步递减, 这样的算法称为稳定的算法
(stable algorithm)
在我们今后的讨论中, 误差将不可回避, 算法的
稳定性会是一个非常重要的话题。
1.2.3 误差与有效数字 (Error and Significant Digits )
S4
R4
( Remainder )
例 :近似计算 e
0
1
x2
dx = 0.747… …
取 0
1
e x dx S4 ,
2
1 1 1 1 称为截断误差 ( Truncation Error ). 则 4! 9 5! 11 1 1 这里 R4 0 .005 4! 9 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 .024 0 .743 3 10 42 R4
数值分析课件第1章
解：
(s ) l (d ) d (l )
110 (0.1) 80 (0.2) 27( m 2 )
r
(
s
)
(s)
s
(s)
ld
27 0.31% 8800
2、函数误差 当自变量有误差时计算函数值也产生误差，可以利用
函数的泰勒展开式进行估计。
工科研究生公共课程数学系列
（f (x)） f (x)（x）.
例1-4 设x0,x的相对误差为，求lnx的误差。
解：
lnx*
-lnx
1 x*
(x*
-
x), 即有
e(lnx) er(x)
进而有(ln(x)) 。
工科研究生公共课程数学系列
机动 上页 下页 首页 结束
1.3 误差定性分析与避免误差危害
一、几种定性分析误差的方法 1、概率分析法：考虑到误差分布的随机性，用概率统计的
二、数值分析的特点
• 面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算 法。
• 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似 算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。 这些都是建立在数学理论的基础上，因此不应片面的将数 值分析理解为各种数值方法的简单罗列和堆积。
• 要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间 复杂性好是指节省存上实现。
• 要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述 三点外，还要通过数值实验证明是行之有效的。
工科研究生公共课程数学系列
机动 上页 下页 首页 结束
三、数值分析的学习方法 初学可能仍会觉得公式多，理论分析复杂。给出如下的 几点学习方法。
• 认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本任务，主 动适应公式多和讲究理论分析的特点。
数值分析-第一章ppt课件
3. 高效性: 它应该具有计算量小、占用存储单元 少、计算过程简单、规律性强等优点.
可编辑课件PPT
4
《数值分析》课程主要介绍几类数学问题的经典 算法. 在学习中既要重视实际应用, 又要重视有关理论, 必须注意理解算法的设计原理和处理技巧, 重视基本 概念和理论——误差分析, 收敛性与稳定性. 认真完成 习题中的理论证明和计算方面的相关问题, 手算与上 机计算相结合, 同时注意培养利用计算机进行科学计 算的能力.
似值 x*的绝对误差限, 简称为误差限. 在工程技术中常记作 x=x*±*。 例如, 电压V=100±2(V), V*=100(V)是V的一个近
似值, 2(V)是V*的一个误差限, 即
| V–V*| 2(V)
可编辑课件PPT
11
二、相对误差与相对误差限
对于两个数值
x1=100±2, x2=10±1
[4] Rainer Kress. Numerical Analysis. New York:
Springer-Verlag, 2003.
可编辑课件PPT
1
实际问题
否
解释 实际问题
是
结束
抽象
建立数学模型
简化
类方 型法
结果分析 求解计算
应用于实践
可编辑课件PPT
2
数值分析研究的主要内容:是各类数学问题的近 似解法——数值方法, 是从数学模型(由实际问题产生 的一组解析表达式或原始数据)出发, 寻求在有限步内 可以获得数学问题满足一定精度近似解的运算规则, 这种规则称为算法, 它包括计算公式, 计算方案和整个 计算过程.
值x的比值为近似值x*的相对误差, 并记作er(x*),
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12
可编辑课件PPT
4
《数值分析》课程主要介绍几类数学问题的经典 算法. 在学习中既要重视实际应用, 又要重视有关理论, 必须注意理解算法的设计原理和处理技巧, 重视基本 概念和理论——误差分析, 收敛性与稳定性. 认真完成 习题中的理论证明和计算方面的相关问题, 手算与上 机计算相结合, 同时注意培养利用计算机进行科学计 算的能力.
似值 x*的绝对误差限, 简称为误差限. 在工程技术中常记作 x=x*±*。 例如, 电压V=100±2(V), V*=100(V)是V的一个近
似值, 2(V)是V*的一个误差限, 即
| V–V*| 2(V)
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11
二、相对误差与相对误差限
对于两个数值
x1=100±2, x2=10±1
[4] Rainer Kress. Numerical Analysis. New York:
Springer-Verlag, 2003.
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1
实际问题
否
解释 实际问题
是
结束
抽象
建立数学模型
简化
类方 型法
结果分析 求解计算
应用于实践
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2
数值分析研究的主要内容:是各类数学问题的近 似解法——数值方法, 是从数学模型(由实际问题产生 的一组解析表达式或原始数据)出发, 寻求在有限步内 可以获得数学问题满足一定精度近似解的运算规则, 这种规则称为算法, 它包括计算公式, 计算方案和整个 计算过程.
值x的比值为近似值x*的相对误差, 并记作er(x*),
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12
数值分析课件第一章
４.减少运算次数 减少运算次数可以不但节省时间，而且减少舍入误差. 例10 计算多项式的值
Pn ( x) an x n an1x n1 a1x a0 .
秦九韶算法：
S n an , S k xS k 1 ak , (k n-1,,0) P ( x) S . n 0
例： x 3.1415926 , 取三位 取五位 1 * * x3 3.14, | e3 | 0.0015926 0.005 10 2 , 2 1 * * x5 3.1416 | e5 | 0.0000073 0.00005 10 4 . , 2
I 0 1 e1.
* I 9 0.0684, I 0 0.6321, ( A) I n 1 nI n1, n 1,2,. ( B) * * I n1 1 (1 I n ), n 9,8,,1. n 1 1 e1 ( I 9 ( ) 0.0684) 2 10 10
* *
§3 误差定性分析、避免误差危害
一、算法的数值稳定性
定义3 一个算法若输入数据有 误差, 而在计算过程中舍入 误差不增长, 则称此算法是数值稳定 的, 否则是不稳定的.
例5
1 1 n x 计算I n e x e dx, n 0,1,, 0
并估计误差.
I n 1 nI n1 , n 1,2,,
数值分析
数学学院 李胜坤
第1章
一、什么是数值分析
引论
§1 数值分析的研究对象与特点
数值分析是计算数学的一个主要部分,计算数学是数 学科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题 的数值计算方法及其理论与软件实现. 步骤：实际问题→数学模型→数值计算方法 →程序设计→上机计算求出结果
Pn ( x) an x n an1x n1 a1x a0 .
秦九韶算法：
S n an , S k xS k 1 ak , (k n-1,,0) P ( x) S . n 0
例： x 3.1415926 , 取三位 取五位 1 * * x3 3.14, | e3 | 0.0015926 0.005 10 2 , 2 1 * * x5 3.1416 | e5 | 0.0000073 0.00005 10 4 . , 2
I 0 1 e1.
* I 9 0.0684, I 0 0.6321, ( A) I n 1 nI n1, n 1,2,. ( B) * * I n1 1 (1 I n ), n 9,8,,1. n 1 1 e1 ( I 9 ( ) 0.0684) 2 10 10
* *
§3 误差定性分析、避免误差危害
一、算法的数值稳定性
定义3 一个算法若输入数据有 误差, 而在计算过程中舍入 误差不增长, 则称此算法是数值稳定 的, 否则是不稳定的.
例5
1 1 n x 计算I n e x e dx, n 0,1,, 0
并估计误差.
I n 1 nI n1 , n 1,2,,
数值分析
数学学院 李胜坤
第1章
一、什么是数值分析
引论
§1 数值分析的研究对象与特点
数值分析是计算数学的一个主要部分,计算数学是数 学科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题 的数值计算方法及其理论与软件实现. 步骤：实际问题→数学模型→数值计算方法 →程序设计→上机计算求出结果
数值分析全套课件
Ln n si n
ˆ L2n (4L2n Ln ) / 3
n L error 192 3.1414524 1.4e-004 384 3.1415576 3.5e-005 3.1415926 4.6e-010
3/16
通信卫星覆盖地球面积
将地球考虑成一 个球体, 设R为地 球半径,h为卫星 高度,D为覆盖面 在切痕平面上的 投影(积分区域)
( x1 x2 ) | x1 | ( x2 ) | x2 | ( x1 )
15/16
例3.二次方程 x2 – 16 x + 1 = 0, 取
求 x1 8 63 使具有4位有效数
63 7.937
解:直接计算 x1≈8 – 7.937 = 0.063
( x1 ) (8) (7.937) 0.0005
5/16
误差的有关概念
假设某一数据的准确值为 x*,其近似值 为 x，则称
e(x)= x - x*
为 x 的绝对误差 而称
e( x) x x er ( x ) , x x
*
( x 0)
为 x 的相对误差
6/16
如果存在一个适当小的正数ε
，使得
e( x) x x
计算出的x1 具有两位有效数
1 0.062747 修改算法 x1 8 63 15.937 4位有效数 (15.937) 0.0005 ( x1 ) 0.000005 2 2 (15.937) (15.937)
16/16
1
参考文献
[1]李庆扬 关治 白峰杉, 数值计算原理(清华) [2]蔡大用 白峰杉, 现代科学计算 [3]蔡大用, 数值分析与实验学习指导 [4]孙志忠,计算方法典型例题分析 [5]车刚明等, 数值分析典型题解析(西北工大) [6]David Kincaid,数值分析(第三版) [7] John H. Mathews,数值方法(MATLAB版)
数值分析：第一章绪论PPT课件
x
*
是指对每一个 1 i
n
都有lim k
xi( k )
x
* i
可以。理解为 | |
x
(
k
)
x*
||
0
定义1.2.3
若存在常数
C1、C2
>
0
使得，
C1 || x ||B || x ||A C2 || x ||B
则称 || ·||A 和|| ·||B 等价。
可以理解为对任何
向量范数都成立。
数值分析课程中所讲述的各种数值方 法在科学与工程计算、信息科学、管理 科学、生命科学等交叉学科中有着广泛 的应用
第3页/共44页
应用问题举例
第4页/共44页
1、一个两千年前的例子
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉， 实三十九斗；
上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉， 实三十四斗；
上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉， 实二十六斗。 问上、中、下禾实一秉各几何？ 答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾 一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四 分斗之三。-------《九章算术》
定理1.2.1 Rn 上一切范数都等价。
第27页/共44页
二. 矩阵范数
定义1.2.4
Rmn空间的矩阵范数 || ·|| 对任意A, B R满mn足： (1) || A || 0 ; || A || 0 A 0 （正定性)
(2) || A || | | || A || 对任意 C (齐次性) (3) || A B || || A|| || B || （三角不等式)
1 1
(1
I1*
)
0.63
212056
第24页/共44页
我们仅仅是幸运吗?
数值分析第一章PPT课件
= f ’( )(x* x)
x* 与 x 非常接近时，可认为 f ’( ) f ’(x*) ，则有：
|e*(y)| | f ’(x*)|·|e*(x)|
即：x*产生的误差经过 f 作用后被放大/缩小了| f ’(x*)| 倍。故称| f ’(x*)|为放大因子 /* amplification factor */ 或 绝对条件数 /* absolute condition number */.
r* (x ) ln x * r* (y )
11 0n1lnx*0.1% 2a1
n4
.
10
1.3 避免误差危害的若干原则
算法的数值稳定性
用一个算法进行计算，如果初始数据误差在计算中 传播使计算结果的误差增长很快，这个算法就是数值不 稳定的.
.
11
1.3 避免误差危害的若干原则
病态问题与条件数
Cp
x f (x) f (x)
x nxn1 xn
n,
它表示相对误差可能放大 n倍.
如 n10，有 f(1 ) 1 ,f(1 .0)2 1 .2，4 若取 x 1, x*1.02, 自变量相对误差为 2% ，函数值相对误差为 24%， 这时问题可以认为是病态的.
一般情况下,条件数
Cp
10就认为是病态，
εr*21 a11 0n10.0 0% 1
已知 a1 = 3，则从以上不等式可解得 n > 6 log6，即
n 6，应取 * = 3.14159。
.
8
1.2 数值计算的误差
问题：对于y = f (x)，若用x* 取代x，将对y 产生什么影响？
分析：e*(y) = f (x*) f (x)
e*(x) = x* x
《数值分析》ppt课件
7.
er
a b
er
(a)
er
(b)
30
例4
ε(p)
设有三个近似数
p ≈ 6.6332
≈0.02585
a=2.31,b=1.93,c=2.24
它们都有三位有效数字，试计算p=a+bc，e ( p)和e r ( p) 并问：p的计算结果能有几位有效数字？
2位
例5
设f (x, y) cos y , x 1.30 0.005, y 0.871 0.0005. x
er
e x
x x x
.
由于精确值 x 未知, 实际上总把
e x
作为x*的
相对误差，并且仍记为er , 即
er
e x
.
❖定义 近似值 x* 的相对误差上限(界) (relative accuracy)
εr
|
ε x
|.
注:相对误差一般用百分比表示.
17
例1 用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆
注:理论上讲,e 是唯一确定的, 可能取正, 也可能取负.
e > 0 不唯一，当然 e 越小越具有参考价值。
15
提问：绝对误差限的大小能否完全地 表示近似值的好坏？ 例如：有两个量
x 10 1 , y 1000 5
思考
问：谁的近似程度要好一些？
16
❖定义 近似值 x* 的相对误差 (relative error)
a 2.18
e r(b) e (b) 0.00005 0.0024%
b 2.1200
19
➢有效数字 ( significant digits)
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1.1.2 计算数学与科学计算 现代科学的三个组成部分: 科学理论, 科学实验, 科学计算 科学计算 的核心内容是以现代化的计算机及数学软件 （Matlab, Mathematica, Maple, MathCAD etc. ）为工具，以数学 模型为基础进行模拟研究。
一些边缘学科的相继出现：
计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学, 计算地质学,计算经济学,等等
取 0 e
1
x2
dx S4 ,
S4
R4
/* Remainder */
1 1 1 1 由留下部分 称为截断误差 /* Truncation Error */ 4! 9 5! 11 /* included terms */ 1 1 这里 R4 引起.005 0 由截去部分 4! 9 /* excluded terms */ 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 .024 0 .743 引起 3 10 42 | 舍入误差 /* Roundoff Error */ | 0.0005 2 0.001
数值分析
第1章
数值分析与科学计算引论
§1.1 数值分析的对象、作用与特点
1.1.1 什么是数值分析 数值分析是计算数学的主要部分,计算数学是数学 科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题的 数值计算方法及其理论与软件实现.这门课程又称为(数 值)计算方法、科学与工程计算等。
•
在电子计算机成为数值计算的主要工具的今天， 需要研究适合计算机使用的数值计算方法。使用计 算机解决科学计算问题时大致要经历如下几个过程:
造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
公式
I n 1 n I n 1 I n 1 1 (1 I n ) n
方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n << N )。 注意此公式与公式一 在理论上等价。
1 1 IN e( N 1) N 1
1 2 1
1 x 99 70
2
8
如果分别用近似值
2 7 5 1.4
和
2 17 12 1.4166 按上列四种算法计算 x 值，
其结果如下表1-1所示。
表1-1(x=0.0050506)
序 号 算 式 计 算 结 果
2 7/5
2 17 / 12
5 0.005233 12
还会由于计算机计算的近似性和误差的传播、积累直
接影响到计算结果的精度甚至直接影响到计算的成败。
不合适的算法会导致计算误差达到不能容许的地步， 而使计算最终失败，这就是算法的数值稳定性问题。
数值计算过程中会出现各种误差，数值计算中这
往往是无法避免的，例如近似值带来的误差，模型误
差、观测误差、截断误差和舍入误差等。应该设法尽
绝对误差 /* absolute error */
e* x* x 其中x为精确值，x*为x的近似值。 | e* | 的上限记为 ε* ，称为绝对误差限 /* accuracy */， 1 * * x x ε ，例如： e x dx 0.743 0.006 工程上常记为 0
1 x ln 1 x 1 x3 ( x ), 2 3
Cramer法则 vs Gauss消去法.
1.2 误差分析
来源与分类
从实际问题中抽象出数学模型 ,数学模型本身包含着误差。 —— 模型误差 /* Modeling Error */ 通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 /* Measurement Error */ 求近似解时，其近似解与精确解之间的误差。 —— 方法误差 (截断误差 /* Truncation Error */ ) 机器字长有限 —— 舍入误差 /* Roundoff Error */
• 二、数值分析的基本内容 • • • • 1、数值逼近 插值法 函数逼近与曲线拟和 数值积分与数值微分
• 2、数值代数 • 线性代数问题(方程组和特征值) • 非线性方程(组)数值解法
• 3、常微方程数值解法和偏微方程数值解法
研究方法
• • • • • 理论分析 算法分析 误差分析 收敛性分析 收敛速度
可取 I
* N
1 1 1 IN 2 e( N 1) N 1
* 当 N 时, E N I N I N 0
* 取 I 15 1 1 1 0 .042746233
2 e 16 16 1 * * I 14 (1 I 15 ) 0 .063816918 15 1 * * I 13 (1 I 14 ) 0 .066870220 14 1 * * I 12 (1 I 13 ) 0 .071779214 13 1 * * I 11 (1 I 12 ) 0 .077351732 12 1 * * I 10 (1 I 11 ) 0 .083877115 11
量降低其数值，尤其要控制住经多次运算后误差的积 累，以确保计算结果的精度。
下面是一个简单的算例，可以看出近似值带来的误差和算
法的选择对计算结果的精度所产生的巨大影响。例如，要
计算
2 1 x 2 1
x
3
可用四种算式算出：
2 1
6
x 99 70
2
6
x
1.1.3计算方法与计算机 1.1.4数值问题与算法
• • • • 数值问题： 算法： 并行算法与串行算法： 什么样的算法是好的算法？
ln(1 x ) x2 x3 x , 2 3
vs
1 1 n 1 1 ln 2 1 (1) , 2 3 n
1 1 1 1 1 1 1 ln 2 2( 3 5 7 ). 3 3 3 5 3 7 3
• 例1 我们用 • S(t)=(1/2)gt2,g≈9.81米/秒2 • 来描述自由落体下落时距离与时间的关系.设自 由落体在时间t的实际下落距离为st,则st-S (t)叫 做模型误差. • 例2 设铝棒在温度t时的实际长度为Lt,在t=0时 的实际长度为L0,用lt来表示铝棒在温度为t时的 长度计算值,并建立如下模型: • lt= L0(1+at) • 其中a是实验观测到的常数: • a=(0.0000238±0.0000001)1/℃ • 则称Lt- lt为模型误差, 0.0000001/ ℃是a的观 测误差.
§1 Introduction: Source & Classification
例 :近似计算 e
0
1
x2
dx = 0.747… …
解法之一：将 e 作Taylor展开后再积分 大家一起猜？ 4 6 8 1 1
x2
0
e x dx
2
x x x ) dx 0 4! 12 ! 2 3! 1 1 1 ex 1dx1 1 1 1 1/e 1 0 3 2! 5 3! 7 4! 9 (1 x 2
6
1
2
1
6
1 0.166667 6
6
3
5 0.005233 12 0.005020 12 29
4
1 0.005076 197
12 0.005046 2378
• 由表1-1可见，按不同算式和近似值计算出的结果 各不相同，有的甚至出现了负值，这真是差之毫 厘，谬以千里。可见近似值和算法的选定对计算 结果的精确度影响很大。因此，在研究算法的同 时，还必须正确掌握误差的基本概念，误差在近 似值运算中的传播规律，误差分析、估计的基本 方法和算法的数值稳定性概念，否则，一个合理 的算法也可能会得出一个错误的结果。
实际问题
数学模型
数值计算方法
上机计算求出结果
程序设计
• 1.数学模型 • 用数值计算的方法来解决工程实际和科学技术中 的具体技术问题时，首先必须具体问题抽象为数 学问题，即建立起能描述并等价代替该实际问题 的数学模型，例如各种微分方程、积分方程、代 数方程……等等。
2.数值计算方法 • 所谓数值计算方法，是指将所欲求解的数学模型 （数学问题）简化成一系列算术运算和逻辑运算， 以便在计算机上求出问题的数值解，并对算法的收 敛性和误差进行分析、计算。这里所说的“算 法”，不只是单纯得数学公式，而且是指由基本的 运算和运算顺序的规定所组成的整个解题方案和步 骤。一般可以通过框图来较直观地描述算法的全貌。 • 选定适合的算法是整个数值计算中非常重要 的一环。例如，当计算多项式
1 1 n 0 1 1 n 1 0 x e dx I n e 0 x e dx e I1* 1 1 I 0* 0.36787944 ... ... ... ... * I10 1 10 I 9* 0.08812800 * * I11 1 11 I10 0 .03059200 * * I12 1 12 I11 0 .63289600 ? * * I13 1 13 I12 7 .2276480 ?? * * I14 1 14 I13 94 .959424 ? ! I15 1 15 I14 1423 .3914 ! !
p( x ) an x an 1 x
n n 1
a1 x a0
p( x ) an x an 1 x
n
n 1
的值时，若直接计算 a
项相加，共需做
i
x (i 0,1,, n),再逐
i
Байду номын сангаас
a1 x a0