【配套K12】华师大版九年级数学下册课后练习：锐角三角函数的应用+课后练习二及详解
九年级下册数学锐角三角函数练习题(2)(2021年整理)
九年级下册数学锐角三角函数练习题(2)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级下册数学锐角三角函数练习题(2)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为九年级下册数学锐角三角函数练习题(2)(word版可编辑修改)的全部内容。
九年级下册数学锐角三角函数练习题一．选择题（共15小题，满分45分，每小题3分)1．(3分）（2015•丽水)如图,点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A．B．C．D．2．（3分）(2015•崇左）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则下列三角函数表示正确的是（）A．sinA=B．cosA=C．tanA=D．tanB=3．（3分)（2015•扬州）如图，若锐角△ABC内接于⊙O,点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论:①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中,正确的结论为（）A．①②B．②③C．①②③ D．①③4．（3分）(2015•石河子校级模拟）如果∠A为锐角，且sinA=0。
6，那么（）A．0°＜A≤30°B．30°＜A＜45° C．45°＜A＜60° D．60°＜A≤90°5．（3分）(2015•开县二模)在Rt△ABC中，∠C=90°，若,则sinB的值得是（）A．B．C．D．6．（3分）(2015•江夏区模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA的值为（）A．B．C．D．7．（3分）（2015•泰安校级二模）在Rt△ABC中,∠C=90°，若sinA=，则tanB=( ）A．B．C．D．8．（3分）（2015•安陆市模拟）在Rt△A BC中,∠C=90°,sinB=，则cosA的值为( ）A．B．C．D．9．（3分)（2015•玉林）计算：cos245°+sin245°=（）A．B．1 C．D．10．（3分）(2015•天津）cos45°的值等于（)A．B．C．D．11．(3分）（2015•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=26°，BC=5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（）A．5÷tan26°=B．5÷sin26°=C．5×cos26°=D．5×tan26°=12．（3分）（2015•日照)如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=,则tan∠CAD的值（）A．B．C．D．13．（3分）（2015•南通）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（）A．B．C．D．214．（3分)（2015•绵阳）如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯,路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时,路灯的灯柱BC高度应该设计为（）A．（11﹣2）米B．(11﹣2）米C．(11﹣2）米D．（11﹣4）米15．（3分)（2015秋•成武县月考）若计算器的四个键的序号如图所示，在角的度量单位为“度的状态下"用计算器求sin47°，正确的按键顺序是（）A．(1)（2）（3）（4） B．（2）（4）（1）（3） C．（1)（4）（2）（3） D．(2）（1）（4）（3）二．填空题（共10小题,满分33分)16．（3分）(2015•曲靖）如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则cosD= ．17．（3分）（2015•成都校级模拟）已知＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是．18．（3分）（2015•大连模拟)已知部分锐角三角函数值：sin15°=，sin30°=，sin45°=，sin75°=，计算cos75°=．（提示:sin2x+cos2x=1）19．（3分）（2015•酒泉）已知α、β均为锐角，且满足｜sinα﹣|+=0，则α+β=．20．（3分)（2015•周村区一模）用计算器求tan35°的值,按键顺序是．21．（3分）（2015•齐齐哈尔）BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD=1，tan∠ABD=，则CD的长为．22．（3分）（2015•邵阳）如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB=2000米，则他实际上升了米．23．（4分）（2015•西宁）某校数学兴趣小组要测量西山植物园蒲宁之珠的高度．如图，他们在点A处测得蒲宁之珠最高点C的仰角为45°,再往蒲宁之珠方向前进至点B处测得最高点C 的仰角为56°，AB=62m，根据这个兴趣小组测得的数据，则蒲宁之珠的高度CD约为m．(sin56°≈0.83，tan56°≈1。
[推荐学习]华师大版九年级数学下册课后练习：期中期末串讲--锐角三角函数+课后练习及详解
![[推荐学习]华师大版九年级数学下册课后练习：期中期末串讲--锐角三角函数+课后练习及详解](https://img.taocdn.com/s3/m/4f0a32f8b14e852459fb5701.png)
期中期末串讲--锐角三角函数课后练习主讲教师：黄老师题一：(1)在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =3，AB =4，则sin B 的值是___________．(2)计算：sin 245°－2tan30°tan60°+cos 245°+0-．题二：(1)在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =12，AC =5，则sin A 的值是___________．(2)计算：22sin 60tan 45(-︒︒-．题三：已知：如图在△ABC 中，∠A =30°，tan B =13，BC AB 的长为________．题四：如图，在△ABC 中，∠A =45︒，∠B =30°，BC =8，求AC ，AB 的长．题五：如图，用线段AB 表示的高楼与地面垂直，在高楼前D 点测得楼顶A 的仰角为30°，向高楼前进60米到C 点，又测得楼顶A 的仰角为45°，且D 、C 、B 三点在同一直线上，求该高楼的高度．题六：如图，小明在坡度为1：2.4的山坡AB 上的A 处测得大树CD 顶端D 的仰角为45°，CD 垂直于水平面，测得坡面AB 长为13米，BC 长为9米，A 、B 、C 、D 在一个平面内，求树高CD ．题七：如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点F，且交BA的延长线于点E．(1)求证：直线DE是⊙O的切线；(2)若cos∠BAC=13，⊙O的半径为6，求线段CD的长．题八：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．(1)试判断DE是否是⊙O的切线，并说明理由；(2)若tan B DE=，求⊙O的直径．期中期末串讲--锐角三角函数课后练习参考答案题一：；0． 详解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =3，AB =4，∴AC sin B =AC AB ；(2)原式2－2)2+1=－1+1=0．题二：94-． 详解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =12，AC =5，∴BC sin A =BC AB ；(2)原式2×1－3=34×1－3=94-．题三：详解：过点C 作CD ⊥AB 于D ，设CD =x ，根据题意BD =3x ，x 2+(3x )22，解得x =1，∴ BD =3，∵∠A =30°，tan A =x AD ，∴AD =tan30x ︒AB =AD +BD题四： 4+详解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，在Rt △BCD 中，CD =BC sin ∠B =4，BD =BC cos ∠B =，在Rt △ACD 中，AD =tan CD A ∠=4，AC =sin CD A∠=∴AB =AD +BD =4+题五：米．详解：在Rt △ABC 中，∠ACB = 45°，∴BC =AB ，在Rt △ABD 中，∠ADB =30°，∴BD =tan30AB ︒，∴DC =BD －BC 1)AB =60，∴AB．答：楼的高度为米．题六： 26米．详解：作AF ⊥BC 延长线于点F ，AE 垂直大树于点E ，∵山坡AB 的坡比为1：2.4，∴AF BF =1：2.4， 设AF =x ，则BF =2.4x ，在Rt △AFB 中，AF 2+BF 2=AB 2=132，即x 2+(2.4x )2=132， 解得x =5，则BF =2.4x =12，∵BC =9，∴FC =12+9=21，∵四边形AFCE 为矩形，∴AE =FC =21，∵山坡AB 上的A 处测得大树CD 顶端D 的仰角为45°， ∴ED AE=tan45°，∴DE =tan45AE ⋅︒=21， 则DC =ED +EC =21+5=26，答：树高为26米．题七： 见详解．详解：(1)连接BD 、OD ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB =90°，即BD ⊥AC ，∵BA =BC ，∴D 为AC 中点，又O 是AB 中点，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD ∥BC ，∴∠BFE =∠ODE ， ∵DE ⊥BC ，∴∠BFE =90°，∴∠ODE =90°，∴OD ⊥DE ， ∴直线DE 是⊙O 的切线；(2)∵⊙O 的半径为6，∴AB =12，在Rt △ABD 中，cos ∠BAC =AD AB =13，∴AD =4， 由(1)知BD 是△ABC 的中线，∴CD =AD =4．题八： 是，16．详解：(1)DE 是⊙O 的切线．理由如下：如图，连接OD ，∵AB =AC ，∴∠B =∠C ．∵OB =OD ，∴∠B =∠BDO ，∴∠C =∠BDO ，∴OD ∥AC ． ∵DE ⊥AC ，∴OD ⊥DE ，∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线；(2)如图，连接AD ，∵∠B =∠C ，tan B ，∴tan C ，∴∠C =30°，在Rt △DEC 中，∵sin C =sin30°=DE CD，∴CD =2DE在Rt △ADC 中，∵cos C =cos30°=CD AC ， ∴AC =16．∴直径AB =16．。
【最新】2019-2020精选华师大版九年级数学下册课后练习：锐角三角函数 课后练习一及详解
题三：
题面：已知cosα+cosβ，sinα+sinβ，则cos(αβ)______
课后练习详解
重难点易错点解析
答案：24．
详解：作AD⊥BC于D点，如图所示，
在Rt△ADC中，AC10，sinC，
∴ADACsinC10×8，
在Rt△ABD中，sinB，AD8，
则AB24．
金题精讲
答案：C.
详解：由已知，根据锐角三角形函数定义对各选项作出判断：
A、由于在Rt△ABO中∠AOB是直角，所以B到AO的距离是指BO的长.
∵AB∥OC，∴∠BAO∠AOC36°.
在Rt△BOA中，∵∠AOB 90°，AB1，
①+②得：2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)1，
即cosαcosβ+sinαsinβ，
则cos(αβ)cosαcosβ+sinαsinβ．
C．点A到OC的距离为sin36°sin54° D．点A到OC的距离为cos36°sin54°
满分冲刺
题一：
题面：如图，△ABC中，∠C90°，点D在AC上，已知∠BDC45°，BD，AB20，求∠A的度数.
题二：
题面：(1)如图中①、②，锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值及余弦值的变化规律；
sin∠B1AC，1sin2∠B1AC．
∵AB3＞AB2＞AB1，∴<<．
∴1sin2∠B3AC＜1sin2∠B2AC＜1sin2∠B1AC．
∴sin2∠B3AC＞sin2∠B2AC＞sin2∠B1AC．
华师大版九年级数学下册课后练习：锐角三角函数+课后练习一及详解
学科：数学专题：锐角三角函数重难点易错点解析题面：已知：如图，△ABC中，AC=10，sin C=45，sin B=13，求AB．金题精讲题面：如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则( )A．点B到AO的距离为sin54°B．点B到AO的距离为tan36°C．点A到OC的距离为sin36°sin54°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°满分冲刺题一：题面：如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=210，AB=20，求∠A的度数.题二：题面：(1)如图中①、②，锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值及余弦值的变化规律；(2)根据你探索到的规律，试分别比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．题三：题面：已知cos α+cos β=12，sin α+sin β=2，则cos(α-β)=______课后练习详解重难点易错点解析答案：24．详解：作AD ⊥BC 于D 点，如图所示，在Rt△ADC 中，AC =10，sin C =45， ∴AD =A Csin C =10×45=8， 在Rt△ABD 中，sin B =13，AD =8， 则AB =sin AD B=24．金题精讲答案：C.详解：由已知，根据锐角三角形函数定义对各选项作出判断：A 、由于在Rt △ABO 中∠AOB 是直角，所以B 到AO 的距离是指BO 的长. ∵AB ∥OC ，∴∠BAO =∠AOC =36°.在Rt △BOA 中，∵∠AOB =90°，AB =1，∴BO =AB sin36°=sin36°.故本选项错误.B 、由A 可知，选项错误.C 、如图，过A 作AD ⊥OC 于D ，则AD 的长是点A 到OC 的距离. 在Rt △BOA 中，∵∠BAO =36°，∠AOB =90°，∴∠ABO =54°.∴AO =AB •sin54°= sin54°.在Rt △ADO 中， AD =AO •sin36°=AB •sin54°•sin36°=sin54°•sin36°.故本选项正确.D 、由C 可知，选项错误.故选C.满分冲刺题一：答案：∠A =30°.详解：∵在直角三角形BDC 中，∠BDC =45°，BD =210，∴BC =BD •sin∠BDC=. ∵∠C =90°，AB =20，∴101sin 202BC A AB ∠===. ∴∠A =30°.题二： 答案：(1)锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．(2)sin18°＜sin34°＜sin50°＜sin62°＜sin88°，cos18°＞cos34°＞cos50°＞cos62°＞cos88°．详解：(1)由图①，知sin∠B 1AC 1=111B C AB ，sin∠B 2AC 2=222B C AB ，sin∠B 3AC 3=333B C AB ． ∵AB 1=AB 2=AB 3且B 1C 1＞B 2C 2＞B 3C 3， ∴111B C AB ＞222B C AB ＞333B C AB ． ∴sin∠B 1AC 1＞sin∠B 2AC 2＞sin∠B 3AC 3．而∠B 1AC 1＞∠B 2AC 2＞∠B 3AC 3，而对于cos∠B 1AC 1=11AC AB ， cos∠B 2AC 2=22AC AB ， cos∠B 3AC 3=33AC AB ． ∵AC 1＜AC 2＜AC 3，∴cos∠B 1AC 1＜cos∠B 2AC 2＜cos∠B 3AC 3．而∠B 1AC 1＞∠B 2AC 2＞∠B 3AC 3．由图②知sin∠B 3AC =33B C AB ，∴sin 2∠B 3AC =2323B C AB ． ∴1-sin 2∠B 3AC =1-2323B C AB =222332233AC =AB B C AB AB -=23AC AB ． 同理，sin∠B 2AC =22B C AB ，1-sin 2∠B 2AC =222AC AB ， sin∠B 1AC =12B C AB ，1-sin 2∠B 1AC =221AC AB ． ∵AB 3＞AB 2＞AB 1，∴223AC AB <222AC AB <221AC AB ． ∴1-sin 2∠B 3AC ＜1-sin 2∠B 2AC ＜1-sin 2∠B 1AC ．∴sin 2∠B 3AC ＞sin 2∠B 2AC ＞sin 2∠B 1AC ．∵∠B 3AC ，∠B 2AC ，∠B 1AC 均为锐角，∴sin∠B 3AC ＞sin∠B 2AC ＞sin∠B 1AC ．而∠B 3AC ＞∠B 2AC ＞∠B 1AC ．而对于cos∠B 3AC =3AC AB ， cos∠B 2AC =2AC AB ， cos∠B 1AC =1AC AB ． ∵AB 3＞AB 2＞AB 1， ∴3AC AB ＜2AC AB ＜1AC AB ． ∴cos∠B 3AC ＜cos∠B 2AC ＜cos∠B 1AC ．而∠B 3AC ＞∠B 2AC ＞∠B 1AC ．结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．(2)由 (1)知sin18°＜sin34°＜sin50°＜sin62°＜sin88°，cos18°＞cos34°＞cos50°＞cos62°＞cos88°．题三：答案：-12．详解：已知等式平方得：(cosα+cosβ)2=cos2α+2cosαcosβ+cos2β=14①，(sinα+sinβ)2=sin2α+2sinαsinβ+sin2β=34②，①+②得：2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1，即cosαcosβ+sinαsinβ= -12，则cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ= -12．。
【最新】2019-2020精选华师大版九年级数学下册课后练习：相似三角形的应用 课后练习二及详解
题三：
题面：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFC内接于三角形， AC=1，BC=2，则AF：FC等于 ．
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：A．
详解：∵，∴．
又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．∴．∴9S△AEF=S△ABC．
又∵S四边形BCFE=8，∴9(S△ABC﹣8)=S△ABC，解得S△ABC=9．故选A．
则CD=DE=EF=CF=x，AF=1x，BD=2x，
∵四边形DEFC是正方形，
∴∠AFE=∠AFE=∠CDE=∠EDB=90°，EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠EDB，
∴△AFE∽△EDB，
∴，
∴，
解得：x=，
∴CF=，AF=1=，
∴．
【最新】2019-2020精选华师大版九年级数学下册课后练习：相似三角形的应用+课后练习二及详解
专题：相似三角形的应用
重难点易错点解析
题一：
题面：如图，在△ABC中，EF∥BC，，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
金题精讲
题面：如图所示，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于E，交AB的延长线于点F，BF=4．求证：△EFO∽△AFD，并求的值．
金题精讲
答案：．
详解：易知∠OEF=∠FAD=90°，而∠OFE=∠DFA，
故△EFO∽△AFD，
所以，
而EO=AO=AB=AD，
即．
满分冲刺
题一：
答案：4.2米．
详解：过点D作DE⊥AB于点E，则BE=CD=1.2米，
九年级下《锐角三角函数》专项训练含答案.docx
九年级下《锐角三角函数》专项训练含答案专训 1求锐角三角函数值的常用方法名师点金：锐角三角函数刻画了直角三角形中边和角之间的关系，对于斜三角形，要把它转化为直角三角形求解．在求锐角的三角函数值时，首先要明确是求锐角的正弦值，余弦值还是正切值，其次要弄清是哪两条边的比．直接用锐角三角函数的定义1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD＝5，AC＝6，(第 1 题)则 tan B 的值是 ()43A.5B.534C.4D.32．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠3BAD ＝4，求 sin C 的值．(第 2 题)133．如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与直线y＝2x交于点B.(1)求点 B 的坐标；(2)求 sin∠BAO 的值．(第 3 题)利用同角或互余两角三角函数间的关系．若∠A 为锐角，且sin A＝3，则 cos A＝ ()42321 A．1 B. 2 C. 2 D.2125．若α为锐角，且cosα＝13，则sin(90°－α)＝()512512A.13B.13C.12D. 56．若α为锐角，且sin2α＋cos230°＝1，则α＝______．巧设参数47．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝5，则tan B的值为()4334A.3B.4C.5D.58．已知，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，且a，b，c 满足 b2＝ (c＋a)(c－a)．若 5b－ 4c＝0，求 sin A＋sin B 的值．利用等角来替换9．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，过点A 作AE ⊥CD，AE 分别与 CD， CB 相交于点 H，E 且 AH ＝2CH，求 sin B 的值．(第 9 题)专训 2同角或互余两角的三角函数关系的应用名师点金：2α＝1，tan α＝sinα．同角三角函数关系：21sinα＋cos.cos α2．互余两角的三角函数关系： sin α＝cos(90 °－α)，cos α＝sin(90 °－α)，tan α·tan(90 °－α)＝1.同角间的三角函数的应用sin A＝4，求sin A －3cos A1．已知cos A4sin A ＋cos A的值．22．若α为锐角，sinα－cosα＝2，求sinα＋cosα的值．余角的三角函数的用3．若45°－α和45°＋α均角，下列关系式正确的是()A．sin(45 °－α)＝sin(45 °＋α)22B．sin (45 °－α)＋cos (45 °＋α)＝122C．sin (45 °－α)＋sin (45 °＋α)＝122D．cos (45 °－α)＋sin (45 °＋α)＝14．算tan 1°·tan 2°·tan 3°·⋯·tan 88°·tan 89°的．同角的三角函数的关系在一元二次方程中的用125．已知sinα·cosα＝25(α 角)，求一个一元二次方程，使其两根分sin α和 cos α.26 ．已知α角且sinα 是方程2x － 7x ＋ 3 ＝ 0 的一个根，求3用三角函数解与有关名点金：用三角函数解与有关的，是近几年中考命内容，型多化；一般以中档、形式出，高度重．一、1．如，已知△ABC的外接⊙O的半径3，AC＝4，sin B＝() 1342A.3B.4C.5D.3(第 1 )(第 2 )2．如是以△ABC的AB直径的半O，点C恰好在半上，C作CD ⊥AB 交 AB于D，已知∠ACD＝3，BC＝4， AC 的 ()cos52016A．1 B. 3C．3 D. 343．在△ABC中， AB ＝ AC ＝5，sin B＝ 5.⊙O 过B，C 两点，且⊙O 半径r ＝10，则OA的长为 ()A．3 或5B． 5C．4 或 5D． 44．如图，在半径为 6 cm 的⊙ O 中，点 A 是劣弧 BC 的中点，点 D 是优弧BC 上一点，且∠ D＝30°.下列四个结论：(第 4 题)①OA⊥BC；②BC＝6 3 cm；3③sin∠AOB ＝2；④四边形 ABOC 是菱形．其中正确结论的序号是 ()A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④二、填空题5．如图，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝________.(第 5 题)(第 6 题)6．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos E＝________.7．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧AB上的一点(不与A， B 重合 )，则 cos C 的值为 ________．(第 7 题)(第 8 题)8．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与 OA ，OC， BC 相切于点 E，D， B，与 AB 交于点 F，已知 A(2 ，0)， B(1，2)，则 tan∠FDE＝________.三、解答题19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，tan B＝2，半径为 2 的⊙ C 分别交 AC ，BC 于点 D， E，得到 .(1)求证： AB 为⊙ C 的切线；(2)求图中阴影部分的面积．(第 9 题)10．如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB.(1)求证： AT 是⊙ O 的切线；(2)连接 OT 交⊙ O 于点 C，连接 AC ，求 tan∠TAC 的值．(第 10 题 )11.如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD 且与 AC 的延长线交于点 E.(1)求证： DC＝DE；1(2)若 tan∠CAB ＝2，AB ＝3，求 BD 的长．(第 11 题 )12．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为 D， E，且＝ .(1)试判断△ ABC 的形状，并说明理由；(2)已知半圆的半径为5，BC＝12，求 sin∠ABD 的值．(第 12 题 )13．如图，在四边形 ABCD 中，AB ＝AD ，对角线 AC ，BD 交于点 E ，点 O3在线段 AE 上，⊙ O 过 B ， D 两点，若 OC ＝ 5， OB ＝ 3，且 cos ∠BOE ＝5.求证： CB 是⊙ O 的切线．(第 13 题 )答案专训 1 1．CBD2．解： ∵AD ⊥BC ，∴ tan ∠BAD ＝AD .∵ t an ∠BAD ＝34，AD ＝12，∴34＝BD12 ，∴ BD ＝ 9. ∴CD ＝BC －BD ＝ 14－ 9＝5，∴在 Rt △ADC 中， AC ＝ AD 2＋CD 2＝ 122＋ 52＝13，AD 12∴sin C ＝AC ＝13.13y ＝ x ＋ ，x ＝1，3．解： (1)解方程组2 2得y ＝2x ，∴点 B 的坐标为 (1， 2)．(第 3 题)13(2)如图，过点 B 作 BC ⊥x 轴于点 C ，由 2x ＋ 2＝ 0，解得 x ＝－ 3，则 A( －3，0)，∴ OA ＝3， ∴AB ＝ AC 2＋BC 2＝2 5，∴ sin ∠ BAC ＝BC＝ 2 ＝ 5， AB2 5 55即 sin ∠BAO ＝ 5 .4．D 5.B 6.30° 7.B8．解： ∵b 2＝(c ＋ a)(c －a)，∴ b 2 ＝c 2－a 2，即 c 2＝a 2＋b 2，∴△ ABC 是直角三角形．∵5b －4c ＝0，∴ 5b ＝4c ，则bc ＝45，设 b ＝ 4k ，c ＝5k ，那么 a ＝ 3k.3k 4k 7∴sin A ＋sin B ＝ 5k ＋5k ＝ 5.9．解： ∵CD 是斜边 AB 的中线， ∴CD ＝AD ＝ BD. ∴∠ DCB ＝∠ B.∵∠ ACD ＋∠ DCB ＝90°，∠ ACD ＋∠ CAH ＝90°， ∴∠ DCB ＝∠ CAH ＝∠ B.在 Rt △ACH 中， AH ＝ 2CH ，CH5∴AC ＝ 5CH.∴sin B ＝sin ∠CAH ＝5CH ＝ 5 .专训 2sin Acos A ， 1．分析： 本题可利用 cos A 求解，在原式的分子、分母上同时除以sin Asin A＝ 4，把原式化为关于 cos A 的代数式，再整体代入求解即可．也可直接由cos A 得到 sin A 与 cos A 之间的数量关系，代入式子中求值．sin A －3解： (方法 1)原式＝ （sin A －3cos A ）÷cos A ＝ cos A （4sin A ＋cos A ）÷cos A 4sin A .＋1cos A sin A4－ 3 1∵cos A ＝ 4，∴原式＝ × ＋＝ 17.441方法 sin A＝4，∴ sin A ＝4cos A.(2)∵ cos A4cos A － 3cos A cos A1＝17cos A＝17.∴原式＝4×4cos A＋cos A2．分析：要求 sin α＋cos α的 ， 必 利用 角三角函数之 的关系找出它与已知条件的关系再求解．解： ∵sin α－ cos α＝ 2 2 12 ，∴ (sin α－cos α)＝2，即 sin 2α＋ cos 2α－ 2sin αcos α＝12.11∴1－2sin αcos α＝2，即 2sin αcos α＝2.2221 3α＋ 2sin αcos α＝1＋2＝ 2.∴(sin α＋cos α)＝sin α＋cos 又∵ α 角，∴ sin α＋cos α＞0.∴ s in α＋cos α＝ 26.3．C 点 ： ∵(45 °－α)＋(45 °＋α)＝90°，∴ sin (45 °－ α)＝cos (45 °＋α)， sin 2(45 °－α)＋sin 2(45 °＋ α)＝cos 2(45 °＋α)＋sin 2(45 °＋α)＝1.4．解： tan 1°·tan 2°·tan 3°·⋯·tan 88°·tan 89°＝ (tan 1°·tan 89°)·(tan 2°·tan88°)·⋯·(tan 44 °·tan 46 °)·tan 45 °＝1.点 ：互余的两角的正切 的 1，即若 α＋β＝ 90°， tan α·tan β＝ 1.5．解： ∵sin 2α＋ cos 2α＝1，sin α·cos α＝1225，2 2 21249∴(sin α＋cos α)＝sin α＋cos α＋ 2sin αcos α＝1＋2× 25＝25.7∵α 角，∴ sin α＋ cos α＞ 0.∴sin α＋cos α＝5.又∵ sin α·cos α＝1225，2 712∴以 sin α， cos α 根的一元二次方程x － 5x ＋25＝0.点 ：此 用到两方面的知 ： (1)公式 sin 2α＋cos 2α＝1 与完全平方公式的 合运用； (2)若 x 1＋x 2 ＝p ，x 1x 2＝ q ， 以 x 1 ，x 2 两根的一元二次方程 x 2 － px ＋q ＝026．解： ∵sin α是方程 2x －7x ＋ 3＝ 0 的一个根，－（－ 7） ± （－ 7）2－ 4× 2× 37±5 sin α＝2× 2＝ 4.∴sin α＝1或 sin α＝3(不符合 意，舍去 )．22221 2 3∵sin α＋cos α＝ 1，∴ cos α＝1－ 2 ＝4.3又∵ cos α＞ 0，∴ cos α＝ 2 .∴ 1－2sin αcos α＝ sin 2α＋cos 2α－ 2sin αcos α＝21 33－ 1（sin α－cos α） ＝|sin α－cos α|＝ 2－2 ＝2 .专训 3 一、 1.D2．D 点拨：∵AB 为直径， ∴∠ ACB ＝ 90°.又∵ CD ⊥ AB ，∴∠ B ＝∠ ACD.BC 3 20 2 2 16∴ cos B ＝AB ＝5，∴ AB ＝3 .∴AC ＝ AB －BC ＝ 3 .3．A 4.B3 141二、 5.4 6.2 7.5 8.2三、(第 9 题)AC9．(1)证明：如图，过点 C 作 CF ⊥AB 于点 F ，在 Rt △ABC 中， tan B ＝BC＝12，∴ BC ＝2AC ＝ 2 5.∴ AB ＝ AC 2＋BC 2＝ （ 5）2＋（ 2 5）2＝ 5，∴ CF· 5×2 5＝ AC BC＝＝2.∴ AB 为⊙ C 的切线．AB 51 n πr2 1 90π× 22(2)解： S 阴影 ＝S △ABC －S 扇形 CDE ＝2AC ·BC － 360 ＝2× 5× 2 5－ 360 ＝5－ π.10． (1)证明： ∵ AB ＝AT ，∴∠ ABT ＝∠ ATB ＝ 45°，∴∠ BAT ＝90°，即 AT 为⊙ O 的切线．AT(2)解：如图，过点 C 作 CD ⊥AB 于 D ，则∠ TAC ＝∠ ACD ，tan ∠ TOA ＝ AO＝ CD OD ＝ 2，设 OD ＝x ，则 CD ＝ 2x ，OC ＝ 5x ＝ OA. ∵AD ＝AO － OD ＝( 5－1)x ，∴ tan ∠TAC ＝tan ∠ACD ＝AD（ 5－1）x＝5－1＝2x2 .CD(第 10 题 )(第 11 题 )11． (1)证明：连接 OC ，如图，∵ CD 是⊙ O 的切线，∴∠ OCD ＝ 90°，∴∠ ACO ＋∠ DCE ＝ 90°.又∵ ED ⊥ AD ，∴∠ EDA ＝90°，∴∠ EAD ＋∠ E ＝90°.∵OC ＝OA ，∴∠ ACO ＝∠ EAD ，故∠ DCE ＝∠ E ，∴ DC ＝DE.(2)解：设 BD ＝x ，则 AD ＝AB ＋BD ＝3＋x ，OD ＝OB ＋ BD ＝ 1.5＋ x.在 Rt1 1 1 1△ EAD 中，∵tan ∠CAB ＝2，∴ED ＝2AD ＝ 2(3＋ x) ．由(1)知，DC ＝2(3＋x)．在Rt △ OCD 中，OC 2＋CD 2＝DO 2，则 1.52＋ 1（ 3＋ x ） 2 ＝(1.5＋x)2，解得 x 1＝－23(舍去 )， x 2＝1，故 BD ＝1.12． 解： (1)△ABC 为等腰三角形，理由如下：连接 AE ，如图， ∵＝，∴∠ DAE ＝∠ BAE ，即 AE 平分∠ BAC. ∵AB 为直径，∴∠ AEB ＝90°，∴ AE ⊥ BC ， ∴△ ABC 为等腰三角形．(2)∵△ ABC 为等腰三角形， AE ⊥BC ，1 1∴BE ＝CE ＝ 2BC ＝2×12＝ 6.在 Rt △ABE 中，∵ AB ＝10， BE ＝ 6，∴ AE ＝ 102－62＝8.∵AB 为直径，∴∠ ADB ＝90°，∴S △ABC＝ 1 · ＝1· ，∴BD ＝ 8×12＝ 482AE BC 2BD AC10 5 .在 Rt △ABD 中，∵ AB ＝10，BD ＝485，142 2 14AD 5 7 ∴AD ＝AB －BD ＝ 5 ，∴ sin ∠ABD ＝AB＝10＝25.(第 12 题 )(第 13 题 )13． 证明：如图，连接 OD ，可得 OB ＝ OD. ∵AB ＝AD ，∴ AE 垂直平分 BD.3 9在 Rt △BOE 中， OB ＝ 3， cos ∠BOE ＝ 5，∴ OE ＝ 5.16 ∴CE ＝OC －OE ＝ 5 .2212根据勾股定理得 BE ＝ BO －OE ＝ 5.在 Rt △CEB 中， BC ＝ CE 2＋BE 2＝4.∵OB ＝3， BC ＝ 4，OC ＝ 5，∴ OB 2＋BC 2 ＝OC 2， ∴∠ OBC ＝ 90°，即 BC ⊥OB ，∴ CB 为⊙ O 的切线．。
九年级数学《锐角三角函数》习题(含答案)(K12教育文档)
(完整word版)九年级数学《锐角三角函数》习题(含答案)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整word版)九年级数学《锐角三角函数》习题(含答案)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整word版)九年级数学《锐角三角函数》习题(含答案)(word版可编辑修改)的全部内容。
九年级数学《锐角三角函数》测试题及答案一、选择题1。
4sin tan 5ααα=若为锐角,且，则为 ( )933425543A B C D ． ． ． ． 2．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，下列式子不一定成立的是（ ）A ．sinA = sinB B ．cosA=sinBC ．sinA=cosBD ．∠A+∠B=90° 3．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（ ）A ．10B ．22C ．10或27D ．无法确定4．在Rt △ABC 中,∠C=90°，当已知∠A 和a 时,求c ，应选择的关系式是( ) A ．c =sin a A B ．c =cos a A C ．c = a ·tanA D ．c = tan a A5、 45cos 45sin +的值等于( ）A 。
2B 。
213+ C. 3 D 。
16．在Rt △ABC 中,∠C=90°,tan A=3，AC 等于10，则S △ABC 等于（ ） A. 3 B. 300 C 。
错误! D 。
15 7．当锐角α>30°时，则cos α的值是（ ）A ．大于12B ．小于12C ．大于3D ．小于38．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米,那么他下降( ) A ．1米 B ．3米 C ．23 D ．239．如图，在四边形ABCD 中,∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2,CD=3，则AB=（ ) (A)4 (B ）5 (C)23 (D ）8310．已知Rt △ABC 中,∠C=90°,tanA=43,BC=8，则AC 等于( ）A ．6B ．323C ．10D ．12二、填空题11．计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______． 12．若sin28°=cos α，则α=________．13．已知△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA=______． 14．某坡面的坡度为1:3，则坡角是_______度．15．在△ABC 中，∠C ＝90°,AB ＝10cm ,sinA ＝54，则BC 的长为_______cm .16。
华师大版九年级数学下册课后练习：锐角三角函数 课后练习二及详解
学科：数学专题：锐角三角函数重难点易错点解析题面：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cos B=，tan B= .金题精讲题面：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tan B的值是( )A．45B．35C．34D．43满分冲刺题一：题面：小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是()B.C. 2.5题二：题面：当锐角A＞60°时，∠A的正弦值()A．小于12BC．小于．大于12题三：题面：若sinα+cosα(sinα-cosα)2= .课后练习详解重难点易错点解析答案：512 135；详解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，∴BC．∴cos B=5=13 BCAB，tan B=12=5 ACBC．金题精讲答案：C.详解：∵CD是斜边AB上的中线，CD=5，∴AB=2CD=10.根据勾股定理，8BC==.∴63tan84ACBBC===.故选C.满分冲刺题一：答案：B.详解：设AB =x ，则BE =x ，在直角三角形ABE 中，用勾股定理求出AE =EF ，于是BF =x ，在直角三角形ABF 中，tan ∠F AB =BF AB =+1=tan67. 5°，选B.题二：答案：B.详解：∵sin60°，当锐角变大时，它的正弦值也变大，∴当锐角A ＞60°时，∠A ．故选B ． 题三：答案：0.详解：因为sin α+cos α2sin αcos α=1，(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-1=0.。
部编数学九年级下册专题09锐角三角函数(课后小练)解析版含答案
专题09 锐角三角函数（课后小练）满分100分 时间：45分钟 姓名：注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题(共24分)1．(本题4分)（2022·湖北湖北·模拟预测）如图，在Rt ABC △中，BD 是斜边AC 上的高，AB BC ¹，则下列比值中等于sin A 的是（ ）．A ．AD AB B ．BDAD C ．BDBC D ．DCBC2．(本题4分)（2022·四川乐山·九年级期末）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB =5，BC =3，则cos A =( )A ．35B ．45C ．34D ．43【答案】B【分析】利用勾股定理计算出AC 长，再利用余弦定义可得答案．【详解】解：如下图．3．(本题4分)（2022·山西·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则tan∠BDE的值等于（）A．65B．56C．34D．43【答案】C【分析】连接AD，由△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为BC中点，利用等腰三角形三线合一的性质，可证得AD⊥BC，再利用勾股定理，求得AD的长，那么在直角△ABD中根据三角函数的定义求出tan∠BAD，然后根据同角的余角相等得出∠BDE=∠BAD，于是tan∠BDE=tan∠BAD．【详解】解：连接AD，∵△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为BC中点，4．(本题4分)（2022·湖南永州·二模）下列计算正确的是（ ）A ．()020220-=B ．1122-æö=ç÷èøC 5=D ．1cos302°=5．(本题4分)（2021·内蒙古包头·九年级期末）已知水库的拦水坝斜坡的坡度为角为（ ）度．A．30B．45C．60D．906．(本题4分)（2021·山东东平东原实验学校九年级阶段练习）若cos∠1=0.8，则∠1的度数在（）范围内．A．0°＜∠1＜30°B．30°＜∠1＜45°C．45°＜∠1＜60°D．60°＜∠1＜90°二、填空题(共20分)7．(本题5分)（2022·山东临沂·一模）设α是锐角，如果tanα＝3，那么cotα＝_____．8．(本题5分)（2022·河南南阳·九年级期末）平面直角坐标系内有点(4,1)P -，若OP 与x 轴的锐角夹角为a ，则sin a 的值为__________．∵点(4,1)P -，PQ x ^轴，∴()4,0Q ，4,1OQ PQ \==，9．(本题5分)（2022·广东·二模）如图，在扇形AOB 中，∠AOB =90°，OA =2，tan ∠OAC =35，图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π）10．(本题5分)（2022·广东·佛山市南海区南海实验中学一模）Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠A＝35，若AB＝5，则△ABC的面积是_____．三、解答题(共56分)11．(本题10分)（2022·云南曲靖·一模）如图，△ABC内接于⊙O，⊙O的直径AD与弦BC相交于点E，BE=EC，过点D的切线交AC的延长线于点F．(1)求证：BC∥DF；(2)若sin∠BAD AB AF的长．∵sin∠BAD=5 513．(本题12分)（2021·上海·八年级期末）如图，在ABC V 中，7AB =，8BC =，5AC =，求：ABC V 的面积和C Ð的度数．14．(本题12分)（2019·全国·九年级单元测试）已知：如图，CA AO ^，E 、F 是AC 上的两点，AOF AOE Ð>Ð．（1）求证：tan tan AOF AOE Ð>Ð；（2）锐角的正切函数值随角度的增大而________．15．(本题12分)（2022·湖北鄂州·二模）如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且AE ＝BF．连接DE，AF交于点G．(1)求证：DE⊥AF；(2)若点E，F分别为边AB，BC的中点，正方形ABCD的边长为B作BH⊥AF于点H，求线段GH的长．。
华师大版九年级数学下册课后练习：三角函数综合问题+课后练习一及详解
13
3
重难点易错点解析 答案： 12－ 4 3 .
课后练习详解
详解：过点 B 作 BM⊥FD于点 M，
在△ ACB中，∠ ACB=90°，∠ A=45°， AC=12 2 ，
∴BC=AC=12 2 ，∠ ABC=45°．
∵AB∥ CF，∴∠ BCM=∠ ABC=45°．
∴BM=BC×sin45 °＝12 2
CD＝ BD，∠CDE＝∠ BDE＝90°， DE＝ DE
∴△ CDE≌△ BDE(SAS) ，
∴∠ DCE=∠ DBE，
∴∠ DBO+∠ DBE=90°，即 BE与圆 O相切；
(2) 过 D作 DG⊥ AB，可得∠ DGB=90°，即∠ GDB+∠ABC=90°，
∵∠ ODB=90°，
∴∠ ODG+∠ GDB=90°，
x 1x
2
2
5－ 1 ∴x＝ 2 .
11 如图，过点 D作 DE⊥AB于点 E，∵ AD＝ BD，∴ E 为 AB中点，即 AE＝ AB＝ .
22
AE
在 Rt△ AED中， cos A＝
＝
AD
1 2
＝ 5－ 1 2
5＋ 1 4.
满分冲刺 题一： 答案：①②③④ 详解：∵在 Rt△ ABC中，∠ A=90°， AD⊥BC于点 D， ∴△ ABD∽△ CBA，△ ADC∽△ BAC，△ ABD∽△ CAD， ∴AB： BD=BC： AB， AC： BC=CD： AC， AD： BD=DC：AD， AB： AD=BC： AC． ∴得到：① AB2=BD?BC；② AC2=BC?CD；③ AD2=BD?DC；④ AB?AC=AD?BC． ∴正确的有①②③④． 题二： 答案： 3． 详解：过 A作 AM⊥ DC于 M， EN∥ CD交 AB于 N， ∵AD=AC，
【解析版】华师大版九年级数学下册课后练习：锐角三角函数的应用+课后练习二及详解
cos BCD
cos55 o
70.2
∴ t甲 = 57.2 10=38.6（秒） ， t乙 = 70.2 =35.1（秒）
2
2
∴ t甲 >t乙
答：乙先到达 B 处
满分冲刺 题一：
答案： D
详解：如图，在 Rt△ AFG中， tan AFG
AG ，∠ AFG=60°，
FG
∴ FG
AG tan 60o
详解： 1 如图，分别过 A、 D作 AF⊥ BC， DG⊥BC，垂点分别为 F、G
在 Rt△ ABF中， AB=16 米，∠ B=60°， sin B
AF
，
AB
∴ AF 16
3 8 3 ，即 DG= 8 3
2
S 又∵ CE=8，∴ △DCE 1 CE DG 1 8 8 3 32 3
2
2
又∵需加固的大坝长为 150 米，∴需要填方： 150 32 3=4800 3
思维拓展
题面： 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测
得地面上的影长为 8 米，坡面上的影长为 4 米．已知斜坡的坡角为 30°，同一时刻，一根
长为 l 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为
2 米，则树的高度为
A. (6 3) 米 B.12 米 C. (4 2 3) 米 D ． 10 米
秒后赶到海岸线上的 D处，再向 B 处游去 若 CD=40 米， B 在 C的北偏东 35°方向，甲乙的
游泳速度都是 2 米 / 秒 问谁先到达 B处？请说明理由
( 参考数据： sin 55°≈ 0.82 ， cos 55°≈ 0.57 ， tan55 °≈ 1.43)
满分冲刺
【配套K12】华师大版九年级数学下册课后练习：相似三角形的应用+课后练习二及详解
学科：数学专题：相似三角形的应用重难点易错点解析题一：题面：如图，在△ABC中，EF∥BC，12AEEB，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）A．9 B．10 C．12 D．13金题精讲题面：如图所示，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于E，交AB的延长线于点F，BF=4．求证：△EFO∽△AFD，并求FEFA的值．满分冲刺题一：题面：小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长BC为2.7米，又测得墙上影高CD为1.2米，请你求旗杆AB的高度．题二：题面：如图，在平面直角坐标系中，以原点为中心，将△ABO 扩大到原来的2倍，得到△A ′B ′O .若点A 的坐标是（1，2），则点A ′的坐标是（ ）A.(2，4)B.(1-，2-)C.(2-，4-)D.(2-，1-)题三：题面：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，正方形DEFC 内接于三角形， AC =1，BC =2，则AF ：FC 等于 ．课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：A ． 详解：∵12AE EB =，∴11123AE AE AB AE EB ===++． 又∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ．∴2S 11()S 39AEF ABC ∆∆==．∴9S △AEF =S △ABC ． 又∵S 四边形BCFE =8，∴9(S △ABC ﹣8)=S △ABC ，解得S △ABC =9．故选A ．金题精讲 答案：12FE FA =． 详解：易知∠OEF =∠FAD =90°，而∠OFE =∠DFA ，故△EFO ∽△AFD ， 所以EF EO AF AD=， 而EO =AO =12AB =12AD ， 即12FE FA =．满分冲刺题一：答案：4.2米．详解：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则BE =CD =1.2米，∵他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米， ∴10.9AE ED =， 即12.70.9AE =，解得AE =3米， ∴AB =AE +BE =3+1.2=4.2米．答：旗杆的高度是4.2米．题二：答案：C．详解：根据以原点O为中心，将△ABO扩大到原来的2倍，即可得出对应点的坐标应乘以－2，即可得出点A′的坐标：∵点A的坐标是（1，2），∴点A′的坐标是（－2，－4），故选C．题三：答案：12 AFFC=．详解：在Rt△ACB中，AC=1，BC=2，由勾股定理得：AB设正方形CFED的边长是x，则CD=DE=EF=CF=x，AF=1-x，BD=2-x，∵四边形DEFC是正方形，∴∠AFE=∠AFE=∠CDE=∠EDB=90°，EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠EDB，∴△AFE∽△EDB，∴AF EF DE BD=，∴12x xx x -=-，解得：x=23，∴CF=23，AF=1-23=13，∴12 AFFC=．。
配套K12华师大版九年级数学下册课后练习：相似三角形有关的综合问题2+课后练习二及详解
学科：数学专题：相似三角形有关的综合问题2金题精讲题一：题面：在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1，并且经过（-2，-5）和（5，-12）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设此抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，D是线段BC上一点（不与点B、C重合），若以B、O、D为顶点的三角形与△BAC相似，求点D的坐标．满分冲刺题一：题面：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，BC=10，高AG=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．F是腰AB上的一点，且EF⊥AB，连接DE、DF．（1）求证：△BEF∽△BAG；（2）当点E在线段BC上运动时，设BE=x．△DEF的面积为y．①请你求出y和x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②求当x为何值时，y有最大（小）值．题二：题面：如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线22=3y x bx c ++经过点B ，且顶点在直线5=2x 上． （1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把△ABO 沿x 轴向右平移得到△DCE ，点A 、B 、O 的对应点分别是D 、C 、E ，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连结BD ，已知在对称轴上存在一点P 使得△PBD 的周长最小，求出P 点的坐标；（4）在（2）、（3）条件下，若点M 是线段OB 上的一个动点（点M 与点O 、B 不重合），过点M 作MN ∥BD 交x 轴于点N ，连结PM 、PN ，设OM 的长为t ，△PMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．S 是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M 点的坐标；若不存在，说明理由．课后练习详解金题精讲题一：答案：（1）y =−x 2+2x +3；（2）(34，94)或（1，2）． 详解：（1）由题意，得12b a-=，4a −2b +c ＝−5，25a +5b +c =−12.， 解这个方程组，得a =−1，b =2，c =3.，∴抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3．（2）令y =0，得-x 2+2x +3=0．解这个方程，得x 1=−1，x 2=3．∴A （−1，0），B （3，0）．令x =0，得y =3．∴C （0，3）．∴AB =4，OB =OC =3，∠OBC =45°．∴BC ==过点D 作DE ⊥x 轴于点E ．∵∠OBC =45°，∴BE =DE ．要使△BOD ∽△BAC 或△BDO ∽△BAC ，已有∠ABC =∠OBD ，则只需BD BO BC BA =或BD BO BA BC =成立． 若BD BO BC BA=成立，则有BD =4BO BC BA ⨯=．在Rt △BDE 中，由勾股定理，得BE 2+DE 2=2BE 2=BD 2=(BO BC BA ⨯=)2． ∴BE =DE =94．∴OE =OB −BE =3−94=34． ∴点D 的坐标为(34，94)．若BO BD BC BA =成立，则有BD =BO BA BC ⨯=．在Rt △BDE 中，由勾股定理，得BE 2+DE 2=2BE 2=BD 2=(2． ∴BE =DE =2．∴OE =OB −BE =3−2=1．∴点D 的坐标为（1，2）．∴点D 的坐标为(34，94)或（1，2）．满分冲刺：题一：答案：（1）△BEF ∽△BAG ；（2）当x =376，y 有最大值． 详解：（1）∵AG ⊥BC ，EF ⊥AB ，∴∠AGB =∠EFB =90°，∠B =∠B ，∴△BEF ∽△BAG ；（2）∵△BEF ∽△BAG ， ∴BF =35x ，EF =45x ， 作DM ⊥AB 于M ，得△BEF ∽△ADM ， ∴445DM =，∴DM =165，∴S △DAF =8-2425x ， ∵S 梯形ABCD =28，S △DEC =20-2x ，∴y =S 梯形ABCD - S △BEF - S △DEC - S △DAF =26742525x x -+， ∵当点F 与点A 重合时BF 最长，此时35x =5，解得x =253，∴0＜x ≤253，∴当x =376，y 有最大值．题二：答案：（1）函数关系式为：2210433y x x =-+；（2）点C 和点D 都在所求抛物线上；（3）点M 的坐标为17(0,)6.详解：（1）∵抛物线223y x bx c =++经过B （0，4），∴c =4 ∵顶点在直线52x =上，∴522ba -=，103b =- ∴所求的函数关系式为：2210433y x x =-+．（2）在Rt △ABO 中，OA =3，OB =4，∴AB ∵四边形ABCD 是菱形，∴BC =CD =DA =AB =5，∴C 、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）， 当x =5时，2210554433y =⨯-⨯+=当x =2时，2210224033y =⨯-⨯+=∴点C 和点D 都在所求抛物线上；（3）设CD 与对称轴交于点P ，则P 为所求的点， 设直线CD 对应的函数关系式为y =kx +b ，则5420k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：43k =，83b =- ∴4833y x =- 当52x =时，45823233y =⨯-=， ∴52(,)23P（4）∵MN ∥BD ， ∴△OMN ∽△OBD ， ∴OMONOB OD =,即42tON=，得12ON t =设对称轴交x 轴于点F ，则S 梯形PFOM =112555()()223246PF OM OF t t +=+⨯=+ ∵S △MON =211112224OM ON t t t ==S △PNF =1151215()2222366NF PF t t =-⨯=-+ 2255115117()(04)46466412S t t t t t t =+---+=-+<< S 存在最大值．由22117117289()41246144S t t t =-+=--+ ∴当176t =时，S 取得最大值为289144 此时点M 的坐标为17(0,)6.。
【配套K12】华师大版九年级数学下册课后练习：二次函数的图像与性质+课后练习二及详解
学科：数学专题：二次函数的图像与性质重难点易错点解析题一：题面：二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b2－4ac>0；② 2a ＋b<0；③ 4a－2b＋c=0；④ a︰b︰c=-1︰2︰3.其中正确的是( )A．①② B．②③ C．③④ D．①④满分冲刺题一：题面：如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，则下列说法：①a＞0②2a+b=0③a+b+c＞0④当-1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4题二：题面：如图，抛物线y =x 2＋bx ＋c 经过坐标原点，并与x 轴交于点A (2，0).(1)求此抛物线的解析式；(2)写出顶点坐标及对称轴；(3)若抛物线上有一点B ，且3OAB S =，求点B 的坐标.思维拓展题面：已知抛物线y =ax 2+bx +c (0＜2a ＜b )的顶点为P (x 0，y 0)，点A (1，y A )、B (0，y B )、C (－1，y C )在该抛物线上．(Ⅰ)当a =1，b =4，c =10时，①求顶点P 的坐标；②求A B Cy y y -的值； (Ⅱ)当y 0≥0恒成立时，求A B Cy y y -的最小值．课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：D.详解：根据二次函数图象和性质分别作出判断：∵二次函数图象与x 轴有两个交点，∴对应的一元二次方程y =ax 2＋bx ＋c 有两个不相等的实数根.∴b 2－4ac ＞0.选项①正确.又∵对称轴为直线x =1，即12b a-=，∴2a ＋b =0.选项②错误. ∵由图象知，x = -2对应的函数值为负数，∴当x = -2时，y =4a -2b ＋c ＜0.选项③错误. ∵图象知，x = -1对应的函数值为0，∴当x = -1时，y =a ＋b ＋c =0.联立2a ＋b =0和y =a ＋b ＋c =0可得：b = -2a ，c = -3a .∴a ：b ：c =a ：(－2a )：(－3a )= -1：2：3.选项④正确. 综上所述，正确的选项有：①④.故选D.满分冲刺题一：答案：C.详解：由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由x =1时的函数值判断a +b +c ＞0，然后根据对称轴推出2a +b 与0的关系，根据图象判断-1＜x ＜3时，y 的符号：①∵图象开口向下，∴a ＜0.说法错误.②∵对称轴为x =1+3=12-，∴=12b a-，即2a +b =0.说法正确. ③当x =1时，y ＞0，则a +b +c ＞0.说法正确.④由图可知，当-1＜x ＜3时，y ＞0.说法正确.∴说法正确的有3个.故选C.题二：答案：(1)抛物线的解析式为22y x x =-.(2)顶点为(1，－1)；对称轴为：直线x =1.(3)点B 的坐标为(3，3)或(－1，3).详解：(1)把(0，0)，(2，0)代入y =x 2＋bx ＋c 得 0420c b c =⎧⎨++=⎩，解得20b c =-⎧⎨=⎩ .∴此抛物线的解析式为22y x x =-.(2)∵222(1)1y x x x =-=--∴顶点为(1，－1)；对称轴为：直线x =1.(3)设点B 的坐标为(a ，b )，则 由1232b ⨯=解得b =3或b = 3. ∵顶点纵坐标为－1，－3＜－1，∴b = 3舍去.∴由x 2－2x =3解得x 1=3，x 2= 1∴点B 的坐标为(3，3)或(－1，3).思维拓展答案：(Ⅰ) ①P (－2，6); ②155107A B C y y y ==--；(Ⅱ)A B C y y y -的最小值为3. 详解：(Ⅰ)若a =1，b =4，c =10，此时抛物线的解析式为y =x 2+4x +10.①∵y =x 2+4x +10=(x +2)2+6，∴抛物线的顶点坐标为P (－2，6).②∵点A (1，y A )、B (0，y B )、C (－1，y C )在抛物线y =x 2+4x +10上，∴y A =15，y B =10，y C =7.∴155107A B C y y y ==--. (Ⅱ)由0＜2a ＜b ，得012b x a =-<-. 由题意，如图过点A 作AA 1⊥x 轴于点A 1，则AA 1=y A ，OA 1=1.连接BC ，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，则BD =y B －y C ，CD =1.过点A 作AF ∥BC ，交抛物线于点E (x 1，y E )，交x 轴于点F (x 2，0). 则∠FAA 1=∠CBD .∴Rt△AFA 1∽Rt△BCD . ∴11AA FA BD CD = ，即22111A B C y x x y y -==--. 过点E 作EG ⊥AA 1于点G ，易得△AEG ∽△BCD . ∴AG EG BD CD =，即11A E B Cy y x y y -=--. ∵点A (1，y A )、B (0，y B )、C (－1，y C )、E (x 1，y E )在抛物线y =ax 2+bx +c 上，∴y A =a +b +c ，y B =c ，y C =a －b +c ，y E =ax 12+bx 1+c ， ∴2111()()1()a b c ax bx c x c a b c ++-++=---+，化简，得x 12＋x 1－2=0， 解得x 1= 2(x 1=1舍去).∵y 0≥0恒成立，根据题意，有x 2≤x 1<－1.则1－x 2≥1－x 1，即1－x 2≥3.∴A B Cy y y 的最小值为3.。
九年级数学锐角三角函数(带答案)(2)(2021年整理)
(完整)九年级数学锐角三角函数(带答案)(2)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)九年级数学锐角三角函数(带答案)(2)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)九年级数学锐角三角函数(带答案)(2)(word版可编辑修改)的全部内容。
锐角三角函数与解直角三角形【考纲要求】1。
理解锐角三角函数的定义、性质及应用,特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题。
题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现； 2。
命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边,∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边,也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA,即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ，即cos A bA c∠==的邻边斜边；BCa bc锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA,即tanA aAA b∠==∠的对边的邻边。
同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边;tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．要点诠释:(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系,是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．（2）sinA，cosA,tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体,不能写成，，,不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角（如∠AEF）,其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3）任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值,不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4）由锐角三角函数的定义知:当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释：（1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．（2）仔细研究表中数值的规律会发现：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小）而增大(或减小）②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大）．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示,在Rt△ABC中，∠C=90°．(1）互余关系：，；（2)平方关系：；（3）倒数关系：或;(4）商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中,计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素（直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形。
上海华东师范大学第二附属中学九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》测试题(答案解析)
一、选择题1．如图，这是某市政道路的交通指示牌，BD 的距离为5m ，从D 点测得指示牌顶端A 点和底端C 点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC 的长度是（ ）A ．53mB ．52mC ．()5352m -D ．()535m -2．如图，点A （-1，0），点B （-4，0），平行四边形ABCD 的顶点D 在第二象限，反比例函数y=kx（k<0）图像过点D 和BC 边的中点E ，若∠C=α，则k 的值（用含α的式子表示为）（ ）A ．-4tanαB ．-3tanαC ．925-tanα D ．289-tanα 3．下列说法中，正确的有（ ）个 ①a 为锐角，则1sina cosa +>； ②314172︒+︒=︒cos cos cos ﹔③在直角三角形中，只要已知除直角外的两个元素，就可以解这个三角形﹔ ④坡度越大，则坡角越大，坡越陡；⑤1302==︒sinA ； ⑥当Rt ABC ∆的三边长扩大为2倍时，则sinA 的值也相应扩大2倍．A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，四边形 ABCD 中，BD 是对角线，AB=BC ，∠ABC=60°，CD=4，∠ADC=60°，则△BCD 的面积为（ ）A ．43B ．8C ．23+4D ．365．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝62，点E 是边BC 上一动点，B 关于AE 的对称点为B ′，过B ′作B ′F ⊥DC 于F ，连接DB ′，若△DB ′F 为等腰直角三角形，则BE 的长是（ ）A ．6B ．3C ．32D ．62﹣66．如图，ABC 中，6AB AC AE AC DE ==⊥，，垂直平分AB 于点D ，则EC 的长为（ ）A ．23B ．43C ．22D ．427．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD 的形状，并使得其面积变为原矩形面积的一半，则平行四边形ABCD 的内角BCD ∠的大小为（ ）A ．100°B ．120°C ．135°D ．150°8．如图，菱形ABCD 的边长为2，且∠ABC ＝120°，E 是BC 的中点，P 为BD 上一点，且△PCE 的周长最小，则△PCE 的周长的最小值为（ ）A ．3+1B ．7+1C ．23+1D ．27+19．西南大学附中初2020级小李同学想利用学过的知识测量棵树的高度，假设树是竖直生长的，用图中线段AB 表示，小李站在C 点测得∠BCA ＝45°，小李从C 点走4米到达了斜坡DE 的底端D 点，并测得∠CDE ＝150°，从D 点上斜坡走了8米到达E 点，测得∠AED ＝60°，B ，C ，D 在同一水平线上，A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，则大树AB 的高度约为（ ）米．（结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）A ．24.3B ．24.4C ．20.3D ．20.410．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD 旁一棵树AB 的高度，他们先在点C 处测得树顶B 的仰角为60°，然后在坡顶D 测得树顶B 的仰角为30°，已知斜坡CD 的长度为10m ，DE 的长为5m ，则树AB 的高度是（ ）m ．A ．10B ．15C ．153D ．153﹣511．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2AC ，则cos A ＝（ ）A ．12B 5C 25D 5 12．在平面直角坐标系中，正方形1111D C B A 、1122DE E B 、2222A B C D 、2343D E E B 、3333A B C D …按如图所示的方式放置，其中点1B 在y 轴上，点1C 、1E 、2C 、3E 、4E 、3C …在x 轴上，已知正方形1111D C B A 的边长为1，1160B C O ∠=︒，112233B C B C B C …则正方形2019201920192019A B C D 的边长是（ ）A ．201812⎛⎫⎪⎝⎭B ．201912⎛⎫⎪⎝⎭C ．201933⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．201833⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭二、填空题13．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 作BD 的垂线分别交,AD BC 于,E F 两点．若23,120AC AEO =∠=︒，则FC 的长度为_________，AOES等于_____．14．已知ABC 中，16,3AB AC cosB ===，则边BC 的长度为____________． 15．在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 是边AB 上两点，且CE 所在直线垂直平分线段AD ，CD 平分∠BCE ，BC=23，则AB=_____．16．如图，△ABC 是等边三角形，AB =3，点E 在AC 上，AE 23=AC ，D 是BC 延长线上一点，将线段DE 绕点E 逆时针旋转90°得到线段FE ，当AF ∥BD 时，线段AF 的长为____．17．如图，在1OAA △中，130AOA ∠=︒，A 90∠=︒，11AA =，以1OA 为边作12Rt OA A △，使1230AOA ∠=︒，1290OA A ∠=︒；再以2OA 为边作23Rt OA A △，使2330A OA ∠=︒，2390OA A ∠=︒；再以3OA 为边作34Rt OA A △，使3430A OA ∠=︒，3490OA A ∠=︒，…，如此继续，可以依次得到12Rt OA A △，23Rt OA A △，34Rt OA A △，…，1n n Rt OA A -△，则2020OA =__________．18．如图：在矩形ABCD 中，4AB =，8BC =，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作OE AC ⊥交AD 于点E ．求OE 的长是 ．19．如图，在矩形ABCD 中，连接AC ，以点B 为圆心，BA 为半径画弧，交BC 于点E ，已知3BE =，33BC =，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π）20．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD ，小明在斜坡上B 处测得标识牌顶部C 的仰角为45︒，沿斜坡走下来在地面A 处测得标识牌底部D 的仰角为60°，已知斜坡AB 的坡角为30°，10AB AE ==米． 则标识牌CD 的高度是米__________．三、解答题21．如图，有一个半径为3cm 球形的零件不能直接放在地面上，于是我们找了两个三角形的垫块把这个零件架起来，两个三角形与球的接触点分别是点P 和Q ，已知70α=，40β=，一侧接触点离地面距离PM 是4cm（sin 700.94,cos700.34,tan 70 2.75;sin 400.64,cos 400.77,tan 400.84≈≈≈≈≈≈）（1）求圆心O距离地面的高度；∠与α、β的关系；（2）直接写出QOP（3）另一侧接触点离地面距离QN又是什么？22．黄河，既是一条源远流长、波澜壮阔的自然河，又是一条孕育中华民族灿烂文明的母亲河，数学课外实践活动中，小林和同学们在黄河南岸小路上的A，B两点处，用测角仪分别对北岸的观景亭D进行测量．如图，测得∠DAC＝45°，∠DBC＝65°．若AB＝200米，求观景亭D到小路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）23．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．（1）求该圆的半径；（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC=5，求tan∠ABD的值．参考答案25．计算：25864sin453+⨯-︒26．第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至16日在郑州举行，据了解，该赛事每四年举办一届，是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会，其中，花炮、押加、民族式摔跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行．如图，钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一，是郑大的“第一高度”，寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚．小刚站在钟楼前C处测得钟楼顶A的仰角为53°，小强站在对面的教学楼三楼上的D 处测得钟楼顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为4m，已知教学楼三楼所在的高度为10m，根据测得的数据，计算钟楼AB的高度．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】由题意可得到BD=BC=5，根据锐角三角函数关系得出方程，然后解方程即可． 【详解】解：由题意可得：∠CDB=∠DCB=45°， ∴BD=BC=5，设AC=x m ，则AB=（x +5）m ， 在Rt △ABD 中，tan60°=AB BD， 则535x +=， 解得：535x =-， 即AC 的长度是()535m -； 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．2．D解析：D 【分析】过点D 作DH ⊥OB 于H ，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，根据平行四边形的对边相等可得DA=CB ，然后求出DA=2EB ，再求出HA=2FB ，设FB=a ，表示出点E 、D 的坐标，然后根据EF 、DH 的关系列方程求出a 的值，再求出HA 、DH ，然后利用∠DAH 的正切值列式整理即可得解． 【详解】解：如图，过点D 作DH ⊥OB 于H ，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，在平行四边形ABCD 中，DA=CB ， ∵E 为边BC 的中点， ∴DA=CB=2EB ，DH=2EF ， ∴AH=2FB ，设FB=a ，∵点C 、D 都在反比例函数上， ∴D(−2a−1,k−2a−1)， ∵B(−4,0)， ∴点E(−a -4,4ka --)，∴2214k k a a =⨯----，解得a= 23，∴FB=a=23，EF=3241443k k ka ==-----， ∵∠C=α，∴tan ∠EBF=tan ∠α=EFFB， 即tanα=928k -，k=289-tanα． 故选D ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数，根据点C 、D 的纵坐标列出方程是解题的关键．3．B解析：B 【分析】①根据三角函数的定义判断； ②函数值不是简单度数相加； ③至少已知一条边能解直角三角形； ④根据坡度的性质即可判定④对； ⑤只能说∠A=30°；⑥角度数不变，函数值就不变． 【详解】①在Rt △ACB 中，设c 为斜边，∠α的对边、邻边分别为a ，b ，那么sinα+cosα=1a bc+>，所以①对； ②不对，函数值是角与边的关系，不是简单度数相加； ③不对，只知道角不知道边也不能解直角三角形； ④垂直高度与水平距离之比即坡度所以④对；⑤也不对，sinA=1302=︒，是明显错误； ⑥不对，角度数不变，函数值就不变． 综上，①④正确，共2个， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形以及锐角三角函数．学生学这一部分知识时要细心去理解文字所表达的意思．关键是熟练掌握有关定义和性质．4．A解析：A【分析】先证明△ABC 是等边三角形，以C 为圆心，CD 为半径作圆，交AD 边与点M ，可得△CDM 是等边三角形，进而得到∆BCM ≅∆ACD ，可得到60BMC ∠=︒，得到BM ∥CD ，过点M 作MH CD ⊥，根据△BCD 的面积等于△CDM 的面积求解即可；【详解】∵BD 是对角线，AB=BC ，∠ABC=60°， ∴△ABC 是等边三角形，以C 为圆心，CD 为半径作圆，交AD 边与点M ，延长BC ，交C 于点N ，如图所示，∵∠ADC=60°，CM=CD ， ∴△CDM 是等边三角形， ∴60MCD ∠=︒，∴∠ACB+∠ACM=∠MCD+∠ACM ， 即：∠BCM=∠ACD ， ∴∆BCM ≅∆ACD ， ∴∠BMC=∠ADC=60°， ∴∠BMC=∠MCD ， ∴BM ∥CD ，根据平行线间的距离相等得到△BCD 的面积等于△CDM 的面积， 过点M 作MH CD ⊥， ∵CD=4， ∴2==CH HD ， ∴tan 602MH MHDH ︒==， ∴23MH =， ∴△△1423432BDC CDM S S ==⨯⨯= 故答案选A ． 【点睛】本题主要考查了四边形综合，结合等边三角形性质，构造等边△CDM 是解题的关键．5．D解析：D【分析】根据 B 关于 AE 的对称点为 B′，可得AB AD '=1AB D ∴等腰直角三角形，可得D B E '、、三点共线，可求出BE 的长．【详解】解：6,2AB AB AB AD AD ==='∴=', 又△DB′F 为等腰直角三角形，045FDB ∴∠=,又在矩形 ABCD ，090ADF ∠=,045ADB ∴='∠,又2AB AD '= AB D ∴'等腰直角三角形, 090AB D ∴='∠,090AB E ∠=',D BE ∴'、、三点共线，在等腰直角△RCE ，CE=CD=6,∴BE=BC-CE=6,故选D..【点睛】本题考查三角形的性质及解直角三角形，找出D B E '、、三点共线是解题关键． 6．B解析：B【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE ，由等腰三角形的性质得到∠B=∠BAE ，根据三角形的外角的性质得到∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B ，求得∠C=30°，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】∵DE 垂直平分AB 于点D ，∴AE=BE ，∴∠B=∠BAE ，∴∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B ，∵AB=AC ，∴∠AEC=2∠C ，∵AE ⊥AC ，∴∠EAC=90°，∴∠C=30°，∴CE=43cos303AC ==︒， 故选：B ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及特殊角的三角函数值．注意掌握数形结合思想的应用．7．D解析：D【分析】 作AE ⊥BC 于E ，根据平行四边形的面积=矩形面积的一半，得出AE=12AB ，再由三角函数即可求出∠ABC 的度数，即可得到答案．【详解】解：作AE ⊥BC 于E ，如图所示：则∠AEB=90°，根据题意得：平行四边形的面积=BC•AE=12BC•AB ， ∴AE=12AB ， ∴sinB=12AE AB =， ∴∠ABC=30°，∴∠BCD=150°．故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、面积的计算以及三角函数；熟练掌握平行四边形和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．8．B解析：B【分析】由菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，易得△BCD 是等边三角形，继而求得∠ADE 的度数；连接AE ，交BD 于点P ；首先由勾股定理求得AE 的长，即可得△PCE 周长的最小值＝AE +EC ．【详解】解：∵菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，∴BC＝CD＝AD＝2，∠C＝180°﹣∠ABC＝60°，∠ADC＝∠ABC＝120°，∴∠ADB＝∠BDC＝12∠ADC＝60°，∴△BCD是等边三角形，∵点E是BC的中点，∴∠BDE＝12∠BDC＝30°，∴∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴PA＝PC，∵△PCE的周长=PC PE CE++，若△PCE的周长最小，即PC+PE最小，也就是PA+PE最小，即A，P，E三点共线时，∵DE＝CD•sin60°＝3，CE＝12BC＝1，∴在Rt△ADE中，227AE AD DE=+=，∴△PCE周长为：PC+PE+CE＝PA+PE+CE＝AE+CE＝71+，故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质、最短路线问题、等边三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．9．B解析：B【分析】过E作EG⊥AB于G，EF⊥BD于F，则BG=EF，EG=BF，求得∠EDF=30°，根据直角三角形的性质得到EF=12DE=4，33即可得到结论．【详解】过E作EG⊥AB于G，EF⊥BD于F，则BG＝EF，EG＝BF，∵∠CDE＝150°，∴∠EDF＝30°，∵DE＝8，∴EF ＝12DE ＝4，DF ＝43， ∴CF ＝CD +DF ＝4+43，∵∠ABC ＝90°，∠ACB ＝45°，∴AB ＝BC ，∴GE ＝BF ＝AB +4+43，AG ＝AB ﹣4，∵∠AED ＝60°，∠GED ＝∠EDF ＝30°，∴∠AEG ＝30°，∴tan30°＝3443AG GE AB ==++ ， 解得：AB ＝14+63≈24.4，故选：B ．【点睛】此题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据题意作出辅助线是解题的关键． 10．B解析：B【分析】先根据CD ＝10m ，DE ＝5m 得出∠DCE ＝30°，故可得出∠DCB ＝90°，再由∠BDF ＝30°可知∠DBE ＝60°，由DF ∥AE 可得出∠BGF ＝∠BCA ＝60°，故∠GBF ＝30°，所以∠DBC ＝30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：在Rt △CDE 中，∵CD ＝10m ，DE ＝5m ，∴sin ∠DCE ＝51102DE CD ==， ∴∠DCE ＝30°．∵∠ACB ＝60°，DF ∥AE ，∴∠BGF ＝60°∴∠ABC ＝30°，∠DCB ＝90°．∵∠BDF ＝30°，∴∠DBF ＝60°，∴∠DBC ＝30°，∴BC＝tan30CD ==︒m ）， ∴AB ＝BC •sin60°＝＝15（m ）． 故选：B ．【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用－仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．11．D解析：D【分析】此题根据已知可设AC ＝x ，则BC ＝2x ，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：∵BC ＝2AC ，∴设AC ＝a ，则BC ＝2a ，∵∠C ＝90°，∴AB=， ∴cosA＝5AC AB ==， 故选：D ．【点睛】此题考查的知识点是锐角三角函数的定义，勾股定理，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．12．D解析：D【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．【详解】解：∵∠B 1C 1O=60°，B 1C 1//B 2C 2//B 3C 3，∴∠D 1C 1E 1=∠C 2B 2E 2=∠C 3B 3E 4=30°，∴D 1E 1=C 1D 1sin30°= 12， 则B 2C 2= 2230B E cos= 1= 1，同理可得：B 3C 3= 13= 23()3， 故正方形A n B n C n D n 的边长是：13()n ． 则正方形2019201920192019A B C D 的边长是：20183()． 故选D ．【点睛】 此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键.二、填空题13．1【分析】先根据矩形的性质推理得到OF=CF 再根据Rt △BOF 求得OF 的长即可得到CF 的长再由三角形面积公式可得结论【详解】解：∵EF ⊥BD ∠AEO=120°∴∠DEO=60°∠EDO=30°∵四边解析：13 【分析】先根据矩形的性质，推理得到OF=CF ，再根据Rt △BOF 求得OF 的长，即可得到CF 的长，再由三角形面积公式可得结论．【详解】解：∵EF ⊥BD ，∠AEO=120°，∴∠DEO=60°，∠EDO=30°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°，∴∠FOC=60°-30°=30°，∴OF=CF ，又∵Rt △BOF 中，BO=12BD=12AC=3， ∴OF=tan30°×BO=1，∴CF=1，过H 点O 作OH ⊥BC 于点H ，则OH=1322BO = ， ∴1133122FOC S CF OH ∆==⨯⨯= ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD//BC ，AO=CO∴∠EAO=∠FCO又∠AOE=∠COF∴△AOE ≌△COF∴3AOE S ∆= 故答案为：1，34． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．14．4【分析】过A 作AD ⊥BC 于点D 则根据等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义可以得到解答【详解】解：如图过A 作AD ⊥BC 于点D 则由已知可得△ABC 为等腰三角形BD=DC=∴由cosB=得BC=2BD=解析：4【分析】过A 作AD ⊥BC 于点D ，则根据等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义可以得到解答 ．【详解】解：如图，过A 作AD ⊥BC 于点D ，则由已知可得△ABC 为等腰三角形，BD=DC=12BC ，∴由 cosB=13得111,62333BD BD AB AB ===⨯=，BC=2BD=4，故答案为4 ．【点睛】本题考查等腰三角形和锐角三角函数的综合应用，灵活运用等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义是解题关键．15．4【解析】分析：由CE所在直线垂直平分线段AD可得出CE平分∠ACD进而可得出∠ACE=∠DCE由CD平分∠BCE利用角平分线的性质可得出∠DCE=∠DCB结合∠ACB=90°可求出∠ACE∠A的度解析：4【解析】分析：由CE所在直线垂直平分线段AD可得出CE平分∠ACD，进而可得出∠ACE=∠DCE，由CD平分∠BCE利用角平分线的性质可得出∠DCE=∠DCB，结合∠ACB=90°可求出∠ACE、∠A的度数，再利用余弦的定义结合特殊角的三角函数值，即可求出AB的长度．详解：∵CE所在直线垂直平分线段AD，∴CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE．∵CD平分∠BCE，∴∠DCE=∠DCB．∵∠ACB=90°，∴∠ACE=13∠ACB=30°，∴∠A=60°，∴AB=60BCsin=︒=4．故答案为4．点睛：本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及特殊角的三角函数值，通过角的计算找出∠A=60°是解题的关键．16．1【分析】过点E作EM⊥AF于M交BD于N根据30°直角三角形的性质求出AM=1再根据∠60°的三角函数值求出EN的长再依据△EMF≌△DNE（AAS）得出MF=EN据此可得当AF∥BD时线段AF的解析：1+．【分析】过点E作EM⊥AF于M，交BD于N，根据30°直角三角形的性质求出AM =1，再根据∠60°的三角函数值求出EN的长，再依据△EMF≌△DNE（AAS）得出MF=EN=得，当AF∥BD时，线段AF的长为12 +.【详解】如图过点E作EM⊥AF于M，交BD于N．∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=3，∠ACB=60°．∵AE23=AC，∴AE=2，EC=1．∵AF∥BD，∴∠EAM=∠ACB=60°．∵EM⊥AF，∴∠AME=90°，∴∠AEM=30°，∴AM12=AE=1．∵AF∥BD，EM⊥AF，∴EN⊥BC，∴EN=EC•sin60°3=∵∠EMF=∠END=∠FED=90°，∴∠MEF+∠MFE=90°，∠MEF+∠DEN=90°，∴∠EFM=∠DEN．∵ED=EF，∴△EMF≌△DNE（AAS），∴MF=EN3=∴AF=AM+MF=132+．故答案为：13．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、特殊角的三角函数值和全等三角形的判定的综合运用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形和全等三角形，熟记特殊角的三角函数值. 17．【分析】在直角三角形中已知一个角是30°一边边长根据特殊角三角函数解直角三角形依次求出OA1OA2OA3OA4OA5OA6然后找到规律即可求出的值【详解】∵∴=∵∴∵∴∵∴∵∴同理可得综上所述∴故答【分析】在直角三角形中，已知一个角是30°，一边边长，根据特殊角三角函数解直角三角形，依次求出OA 1、OA 2、OA 3、OA 4、OA 5、OA 6，然后找到规律，即可求出2020OA 的值．【详解】∵130AOA ∠=︒，A 90∠=︒，11AA =∴1223OA ===∵1230AOA ∠=︒，1290OA A ∠=︒∴1cos302OA OA ====︒∵2330A OA ∠=︒，2390OA A ∠=︒∴2328cos3033OA OA ====︒ ∵3430A OA ∠=︒，3490OA A ∠=︒∴34282cos303OA OA ====︒ ∵4330A OA ∠=︒，4590OA A ∠=︒∴4232cos309325OA OA ====︒同理可得563322cos302732OA OA ====︒综上所述，223n nOA =∴2020101023OA =【点睛】本题考查了特殊角三角函数解直角三角形，是一道找规律题，本题根据已知多求出几个直角三角形斜边，然后从中找到规律是解题的关键．18．【分析】利用矩形的性质求解再证明利用锐角三角函数可得答案【详解】矩形矩形故答案为：【点睛】本题考查的是矩形的性质解直角三角形知识掌握以上知识点是解题关键【分析】利用矩形的性质求解AC ，再证明OAE ACB ∠=∠，利用锐角三角函数可得答案．【详解】矩形ABCD ，4AB =，8BC =，90,ABC AC ∴∠=︒==41,82OA OC tan ACB ==∠== 矩形ABCD ，//,AD BC ∴,OAE ACB ∴∠=∠,OE OA ⊥1tan tan ,2OAE ACB ∴∠=∠= 1,2=OE ∴=【点睛】本题考查的是矩形的性质，解直角三角形知识，掌握以上知识点是解题关键．19．【分析】设圆弧与AC 交于F 连接BF 过F 作FH ⊥BC 于H 解直角三角形得到∠BAC ＝60°求得△ABF 是等边三角形得到∠ABF ＝60°推出∠FBE ＝30°然后根据S 阴影＝S 扇形BAF ＋S △BCF−S △A 解析：34π 【分析】设圆弧与AC交于F，连接BF，过F作FH⊥BC于H，解直角三角形得到∠BAC＝60°，求得△ABF是等边三角形，得到∠ABF＝60°，推出∠FBE＝30°，然后根据S阴影＝S扇形BAF＋S△BCF−S△ABF−S扇形BFE＝S扇形BAF−S扇形BFE计算即可．2【详解】解：设圆弧与AC交于F，连接BF，过F作FH⊥BC于H，在矩形ABCD中，∵∠ABC＝90°，AB＝BE＝3，BC＝33∴tan∠BAC333=∴∠BAC＝60°，∵BA＝BF＝3，∴△ABF是等边三角形，∴∠ABF＝60°，∴∠FBH＝30°，∴FH＝12BF＝32，∴S阴影＝S扇形BAF＋S△BCF−S△ABF−S扇形BFE＝S扇形BAF−S扇形BFE 22603303333360360244，故答案为：34π．【点睛】本题考查扇形面积的计算，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．【分析】过点B作BM⊥EA的延长线于点M过点B作BN⊥CE于点N通过解直角三角形可求出BMAMCNDE的长再结合CD＝CN＋EN−DE即可求出结论【详解】解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M过点B作解析：153-【分析】过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CD＝CN＋EN−DE即可求出结论．【详解】解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．在Rt△ABM中，AB＝10米，∠BAM＝30°，∴AM＝AB•cos30°＝3BM＝AB•sin30°＝5（米）．在Rt△ADE中，AE＝10（米），∠DAE＝60°，∴DE＝AE•tan60°＝3在Rt△BCN中，BN＝AE＋AM＝10＋3∠CBN＝45°，∴CN＝BN•tan45°＝10＋3（米），∴CD＝CN＋EN−DE＝10＋33＝3故答案为：3【点睛】此题考查解直角三角形−仰角俯角问题及解直角三角形−坡度坡脚问题，通过解直角三角形求出BM，AM，CN，DE的长是解题的关键．三、解答题∠=+；(3)2.7121．（1）5.02；（2）QOPαβ【分析】（1）过O作OA⊥PM，与MP的延长线交于点A，根据互余角的性质求得∠OPA=70°，再解直角三角形得AP，进而求AM；（2）根据切线的性质求出∠OPC和∠OQB的度数，再通过邻补角的性质求得∠PCB和∠QBC，最后根据五边形的内角和求得∠POQ；（3）过O作OD⊥NQ，与NQ的延长线交于点D，仿（1）题方法求得DQ，再由圆心O距离地面的高度减去DQ便可得QN．【详解】（1）过O作OA⊥PM，与MP的延长线交于点A，连接OP，如图1，则OP =3cm ，∠OAP =90°，∵CP 是⊙O 的切线，∴∠OPC =90°，∴∠PCM +∠MPC =90°，∠APO +∠MPC =90°，∴∠APO =∠PCM =70°，∴PA =OP •cos70°≈3×0.34=1.02（cm ），∴圆心O 距离地面的高度：AM =AP +PM =1.02+4=5.02（cm ）；（2）∵BQ 与CP 都是⊙O 的切线，∴∠OPC =∠OQB =90°，∵∠PCM=α，∠QBN=β，∴∠PCB=180α︒-，∠QBC=180β︒-，∴∠POQ =540°﹣90°﹣90°﹣(180α︒-)﹣(180β︒-)=αβ+，∴∠POQ =7040110αβ+=︒+︒=︒；（3）过O 作OD ⊥NQ ，与NQ 的延长线交于点D ，如图3，按（1）的方法得，∠OQD=∠NBQ=40°，∴DQ=OQ•cos40°≈3×0.77=2.31（cm），由（1）知，圆心O距离地面的高度5.02cm，DN=5.02cm∴QN=DN-DQ=5.02﹣2.31=2.71（cm）．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，圆的切线性质，多边形内角和定理，正确构造直角三角形是解题的关键所在．22．约为375米【分析】过点 D 作DE⊥AC，垂足为E ，设 BE = x，根据 AE = DE ，列出方程即可解决问题．【详解】解：如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE＝x，在Rt△DEB中，tan∠DBE＝DE BE．∵∠DBC＝65°，∴DE＝xtan65°，又∵∠DAC＝45°，∴AE＝DE．∴200+x＝xtan65°，解得x≈175.4，∴DE＝200+x≈375（米）∴观景亭D到小路AC的距离约为375米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解決问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题．23．（1）该圆的半径为5m．；（2）2米．【分析】（1）连接OC，延长CO交AB于点D，利用垂径定理求出AD，再利用勾股定理求出圆的半径．（2）过点O作OE⊥AB'，利用垂径定理求出A'E的长，再利用勾股定理求出OE的长，然后求出水面上涨的高度．【详解】（1）解：连接OC，延长CO交AB于点D，∴CD⊥AB∴116322AD AB==⨯=，设圆的半径为r，OD=r-1在Rt△AOD中OD2+AD2=AO2即（r-1）2+9=r2．解之：r=5．∴该圆的半径为5m．（2）解：过点O作OE⊥AB'∴A'E=1''2A B=4，∴2222''543 OE A O A E，∴水面上涨的高度为5-3=2米．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，以及圆周角定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．24．（1）90°；（2）证明见解析；（3）2．【分析】（1）根据圆周角定理即可得∠CDE的度数；（2）连接DO，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质易证∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，即可判定DF是⊙O的切线；（3）根据已知条件易证△CDE∽△ADC，利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值即可．【详解】解：（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠EDC=90°；（2）证明：连接DO，∵∠EDC=90°，F是EC的中点，∴DF=FC，∴∠FDC=∠FCD，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，∵∠OCF=90°，∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF是⊙O的切线；（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，∴∠DCA=∠E，又∵∠ADC=∠CDE=90°，∴△CDE∽△ADC，∴DC DEAD DC=，∴DC2=AD•DE∵，∴设DE=x，则，则AC2﹣AD2=AD•DE，期（）2﹣AD2=AD•x，整理得：AD2+AD•x﹣20x2=0，解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去），则2x=，故tan∠ABD=tan∠ACD=422AD xDC x==．25．52【分析】先代入特殊角三角函数值和进行二次根式的混合运算，再进行合并即可得到结果．【详解】25864sin453︒=62 225432⨯=225222=52【点睛】此题考查了二次根式的混合运算以及特殊角三角函数值，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式再运算．26．钟楼AB的高度约为56m【分析】作DF⊥AB于F，根据矩形的性质得到FB＝DE＝10，DF＝BE，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案．【详解】解：作DF⊥AB于F，设AB＝xm，∵FB⊥EB，DE⊥EB，DF⊥AB，∴四边形FBED为矩形，∴FB＝DE＝10，DF＝BE，∴AF＝10﹣x，在Rt△AFD中，∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝x﹣10，在Rt△ABC中，∠ACB＝53°，tan∠ACB＝AB BC，∴BC＝3 tan4ABxACB≈∠，由题意得，BE﹣BC＝CE，即x﹣10﹣34x＝4，解得，x＝56，答：钟楼AB的高度约为56m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．。
【配套K12】华师大版九年级数学下册课后练习：相似三角形的性质+课后练习二及详解
学科：数学专题：相似三角形的性质重难点易错点解析题一：题面：如图，把△ABC沿着AB的方向平移到△A′B′C′的位置，使它们重叠部分的面积（图中阴影）是△ABC面积的四分之一，若AB=2，则此三角形移动的距离AA′等于。
金题精讲题面：在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCDE的面积为5，那么AB的长为．满分冲刺题一：题面：如图，在Rt△ABC内画有边长依次为a，b，c的三个正方形，则a，b，c之间的关系是（）题二：题面：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=90°，DE⊥AC于E点．（1）△ABC与△EDA相似吗？说明理由；（2）若AB=6，BC=10，AD=DC，求线段DE的长．题三：题面：如图，点E是线段BC的中点，分别以B、C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形，且在BC同侧．（1）AE和ED的数量关系为，AE和ED的位置关系为；（2）在图1中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD得到图2．在图2中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比1：2，H是EC的中点．求证：GH=HD，GH⊥HD．课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：1．详解：∵把△ABC 沿着AB 的方向平移到△A ′B ′C ′的位置，∴AC ∥A ′C ′，∴△A ′OB ∽△ACB ，∵重叠部分的面积A ′OB 是△ABC 面积的四分之一， ∴12A BAB '=，∵AB =2，∴A ′B =1．AA ′是1．金题精讲答案：AB =3．详解：∵∠AED =∠B ，∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ACB ．∴2()ADE ACB S AE S AB ∆∆=． ∵△ADE 的面积为4，四边形BCDE 的面积为5，∴△ABC 的面积为9． 又∵AE =2，∴242()9AB=，解得：AB =3．满分冲刺题一：答案：b 2=ac ．详解：根据条件可以得到△EFG ∽△GHD ，得到：EF ：HG =FG ：HD而EF =a -b ，FG =b ，HG =b -c ，HD =c ，则(a-b)：(b-c)=b：c，则得到：b2=ac．a，b，c之间的关系是b2=ac．题二：答案：△ABC∽△EDA；DE=3．详解：（1）△ABC与△EDA相似，理由是：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠ACB，∵∠BAC=90°，DE⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90°，∴△ABC∽△EDA；（2）①在Rt△BAC中，AB=6，BC=10，由勾股定理得：AC=8，∵AD=DC，DE⊥AC，∴AE=CE=12AC=4，∵△ABC∽△EDA，∴DE AE AB AC=，∴4 68 DE=，∴DE=3题三：答案：（1）AE=ED，AE⊥ED；（2）GH=HD，GH⊥HD．详解：（1）AE=ED，AE⊥ED．（2）由题意，∠B=∠C=90°，AB=BE=EC=DC，∵△EGF与△EAB的相似比1：2，∴∠GFE=∠B=90°，GF=12AB，EF=12EB．∴∠GFE=∠C．∴EH=HC=12 EC．∴GF=HC，FH=FE+EH=12EB+12EC=12BC=EC=CD．∴△HGF≌△DHC（SAS）∴GH=HD，∠GHF=∠HDC．∵∠HDC+∠DHC=90°，∴∠GHF+∠DHC=90°．∴∠GHD=90°．∴GH⊥HD．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学科：数学
专题：锐角三角函数的应用
金题精讲
题一：
题面：在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图，已知小明距假山的水平距离BD为12m，他的眼睛距地面的高度为1. 6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为()
A．()m B．()m C．()m D．
题二：
题面：某海滨浴场东西走向的海岸线可以近似看作直线l(如图).救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号，他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙.乙马上从C处入海，径直向B处游去.甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去.若CD=40米，B在C的北偏东35°方向，甲乙的游泳速度都是2米/秒.问谁先到达B处？请说明理由.
(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)
满分冲刺
题一：
题面：兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D地用高2m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，楼AB的高为()
A ()m
B ()m
C ()m
D ()m
题二：
题面：水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD.
如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B=600，背水坡面CD的长为
大坝的横截面积为梯形ABED，CE的长为8米.
（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？
（2）求加固后的大坝背水坡面DE的坡度.
题三：
题面：如图，小明在坡度为1：2.4的山坡AB上的A处测得大树CD顶端D的仰角为45°，CD垂直于水平面，测得坡面AB长为13米，BC长为9米，A、B、C、D在一个平面内，求树高CD．
思维拓展
题面：小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为l米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为()
A.(6米
B.12米
C.(4+米 D ．10米
课后练习详解
金题精讲
题一：
答案：A .
详解：如图，作AK ⊥CD 于点K ，
∵BD =12米，李明的眼睛高AB =1.6米，∠AOE =60°，
∴DB =AK =12米，AB =KD =1.6米，∠ACK =60°.
∵tan AK ACK
CK ∠=，∴o 12tan tan 60AK CK ACK ====∠.
∴CD =CK +DK ()(米).故选A .
题二：
答案：乙先到达B 处.
详解：由题意得∠BCD =55°，∠BDC =90°. ∵tan BD BCD CD
∠=
，∴ BD =CD •tan∠BCD =40×tan55°≈57.2. ∵cos CD BCD BC ∠=，∴o 4070.2cos cos55CD BC BCD ==≈∠.
∴57.2=10=38.62
t +甲（秒），70.2==35.12t 乙（秒） ∴>t t 乙甲
答：乙先到达B 处.
满分冲刺
题一：
答案：D .
详解：如图，在Rt△AFG 中，tan AG AFG FG
∠=，∠AFG =60°，
∴o tan 60AG FG AG ==. 在Rt△ACG 中，tan AG ACG CG ∠=
，∠ACG =30°，
∴o tan 30
AG CG AG ==.
又∵CF =CG －FG =303=30AG AG -
，解得AG
∴2AB AG GB =+.
∴这幢教学楼的高度AB 为(2+)m .故选D .
题二：
答案：.
详解：(1)如图，分别过A 、D 作AF ⊥BC ，DG ⊥BC ，垂点分别为F 、G .
在Rt△ABF 中，AB =16米，∠B =60°，sin AF B AB
∠=，
∴162
AF =⨯=，即DG =
又∵CE =8，∴S △DCE 11822CE DG =
⋅⋅=⨯⨯=
又∵需加固的大坝长为150米，∴需要填方：150⨯
答：需要填土石方150⨯.
(2)在Rt△DGC 中，DC =DG =
∴24GC ==.∴GE =GC +CE =32.
∴DE 的坡度DG i GE ===.
答：加固后的大坝背水坡面DE .
题三：
答案：26米
详解：作AD ⊥BC 的延长线于点D ，AE 垂直大树于点E ，
∵山坡AB 的坡比为1：2.4， ∴AD BD
=1：2.4， 设AD =x ，则BD =2.4x ，
在Rt△ADB 中，AD 2+BD 2=AB 2=132，即x 2+(2.4x )2=132，
解得x =5，
则BD =2.4x =12米，
∵BC =9米，
∴DC =12+9=21米，
∵四边形ADCE 为矩形，
∴AE =DC =21米，
∵在山坡AB 上的A 处测得大树CD 顶端D 的仰角为45°， ∴ED AE
=tan45°， ∴DE =AE •tan45°=21米，
则DC =ED +EC =21+5=26米．
思维拓展
答案：A.
详解：延长AC 交BF 延长线于D 点，则∠CFD =30°.
作CE ⊥BD 于E ，在Rt△CFE 中，∠CFE =30°，CF =4，
∴CE =2，EF
在Rt△CED 中，CE =2，
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴DE =4.
∴BD =BF +EF +ED
∵△DCE ∽△DAB ，且CE ：DE =1：2，
∴在Rt △ABD 中，AB =12BD =(12=故选A .。