DVD在线租赁的数学模型
数学建模2005B DVD在线租赁(山东大学)
DVD 在线租赁方案摘要摘要本论文通过对DVD 租赁问题的抽象简化，建立了一个明确的、完整的数学模型，分别用线性规划模型与递归算法对DVD 分配进行优化，设计出一个使得会员满意度较高的分配方案。
针对问题一,我们利用正态分布等概率论知识建立了一个较为完整而又简单的数学模型1.6j j j d Q ω≥×在问题四中，关于问题一我们利用货币流通模型和信息源的最大熵原理，建立起关于需求量的另一种模型：j j j m d n ω=针对问题二, 考虑到当天会员的偏爱度加和可以用来衡量满意度，我们提出了在两种不同网站运行模式下的分配方案，方案一运用线性规划很好的解决了分配问题，使得满意度最大。
方案二运用递归算法较好的解决了此问题，并且跟方案一结果相当吻合。
针对问题三,我们利用问题一和问题二建立的数学模型组合起来解决了当前DVD 的购买和分发问题，并阐述了动态规划的方法。
针对问题四,我们从DVD 需求预测角度出发，利用本模型特点合理的引入了传染病模型，有效的解决了该预测问题。
最后,我们对模型的科学性和现实性进行了阐述,并得到了对模型的整体评价,及急需改进之处.关键字关键字:: 正态分布 线性规划 递归算法 货币流通 最大熵原理 SIS 模型SIR 模型问题重述问题重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
DVD 的在线租赁就是一种可行的服务。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD 租赁服务。
会员对哪些DVD 有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD 是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD 数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD 之后，只需要将DVD 放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁.1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD 的数据）。
DVD在线租赁的数学模型
DVD在线租赁的数学模型数学模型是通过数学语言、符号和算法来描述和解释现实生活中的问题的工具。
DVD在线租赁业务是一种基于数字技术和互联网的新型商业模式，对于该业务，数学模型有着非常重要的应用价值。
下面将介绍DVD在线租赁业务的数学模型。
一、问题描述DVD在线租赁业务是一种基于互联网的流媒体服务，用户可以通过网络订购所需的DVD，收到DVD后使用一段时间后再归还。
该业务存在一些关键问题，比如如何安排库存，如何控制用户租赁时间等问题。
下面将对这些问题进行具体描述。
1. 库存安排问题在DVD在线租赁业务中，每个DVD的使用时间不同，一些DVD可能会在一段时间内连续租出，而另一些DVD则可能长时间放置于库存中未被租赁。
因此，如何安排库存是一个非常重要的问题。
库存成本和库存量之间存在着一定的关系，库存量越高，库存成本则越高。
因此，需要找到一个合适的库存量，使库存成本最小化。
2. 用户租赁时间问题用户租赁时间会直接影响业务的盈利情况。
用户租赁时间越长，公司的收益也就越高。
但是，租赁时间过长也会导致库存中的DVD数量减少，增加库存成本。
因此，需要找到一个合适的租赁时间，使业务的收益最大化。
二、数学模型DVD在线租赁业务的数学模型可以采用动态规划模型来描述。
该模型可以将库存管理和用户租赁时间问题结合起来，以最大化业务的盈利为目标。
1. 库存管理的动态规划模型库存管理问题可以用动态规划模型来解决。
假设有一个DVD的库存，指定库存中每个DVD可以被租赁的最大时间为t，且每个DVD被租赁的时间是相互独立的。
那么该问题可以表述为：设f(i,j)表示前i个DVD中所有租赁时间不超过j的最大收益，则有：f(i,j) = max{f(i-1,j-k) + profit(i,k)}, 0 <= k <= t其中，profit(i,k)表示第i个DVD租赁k天的收益，f(i,j-k)表示前i-1个DVD所有租赁时间不超过j-k的最大收益，可以使用递推公式计算出f(i,j)。
数学建模第一次作业+DVD在线租赁分析报告
DVD租赁第二问报告
1建模目的：
根据订单信息，将现有的100中DVD分配给1000位会员，使分配方案总满意度最大
2关键问题分析：
1，分配方案获得最大满意度，分配依据是会员订单及他们标注的优先级
2，由于现有的DVD数量可能小于需求，会员每次实际得到的DVD可能小于3张，也就意味着可能无法完全满足
3 条件数据：
1，100种DVD分配给1000名会员
2，每个会员每月可租赁两次，每次小于等于3张
3，最大满意度：分配方案使得偏爱程度数字之和最小
4 建模方向：
1，构建矩阵A，A为1000行100列矩阵，其中，第i行第j列元记为Aij，Aij 表示第i位会员得到了第j张碟片Aij张，所以Aij=0或1，且对于矩阵A，每行之和小于等于3，每列之和小于等于该列代表的碟片的数量
2，构建矩阵B，B为100行1000列矩阵，其中，第i行第j列元Bij表示第j 位会员对第i种碟片的满意度，依题意，B为确定矩阵
3，记矩阵C=AB，则使得矩阵C范数最小的A为所求，其代表的分配方案为最佳分配方案。
(计算机软件及应用)DVD在线租赁问题数学模型
回溯算法
在无法通过贪心算法得到最优解时，采用回溯算 法搜索所有可能的解，找到最优解。
3
分治算法
将问题拆分成若干个子问题，分别求解子问题， 再将子问题的解合并得到原问题的解。
算法复杂度分析
时间复杂度
贪心算法的时间复杂度为O(nlogn)，回溯算法的时间复杂度为 O(2^n)，分治算法的时间复杂度为O(nlogn)。
2. 最大利润 = 总租赁 费用 - N × C（C为 DVD的购买成本）
3. 最佳租赁策略 = argmax(总租赁费用)
求解方法：采用动态 规划方法求解最佳租 赁策略和最大利润。 通过迭代计算不同租 赁策略下的总租赁费 用和最大利润，最终 得到最优解。
04
模型求解与分析
求解算法设计
1 2
贪心算法
模型假设与符号定义
N
DVD的总数量
n
当前租赁的DVD数量
P
每张DVD的租赁费用
模型假设与符号定义
T
租赁期限（天数）
R
续租费用
F
退租费用
模型方程与求解方法
模型方程：根据问题 描述和假设，建立以 下方程来表示DVD的 租赁过程和费用计算
1. 总租赁费用 = N × P×T+n×R×TF × T × (N - n)
租赁期限、续租和退租等。
确定变量
根据问题确定相关的变量，如 DVD数量、租赁费用、租赁期 限等。
建立方程
根据问题描述和变量，建立数 学方程来表示DVD的租赁过程 和费用计算。
求解方程
通过数学方法求解建立的方程 ，得出最优解或近似解。
11560-数学建模-2005年BD题《DVD在线租赁》题目、论文、点评
2005年B\D题《DVD在线租赁》题目、论文、点评DVD租赁优化方案王颖高德宏...在线租赁是信息时代发展的必然趋势。
在租赁过程中，网络经营者主要关注DVD 的预测、购买和分配。
本文提出了简单随机抽样、分类预测和关联预测等三种方法进行需求预测。
针对问题一，利用需求预测得到观霜DVD的人数服从二项分布，并计算出多种可靠度下购买DVD的数量。
以会员的最大满意度为目标函数，建立一个整数规划模型，得到问题二的分配方案。
并计算出前30位会员的分配结果。
在问题三中，我们考虑到60％的会员由于两次租赁而导致DVD可重复利用，因而，采用了两阶段购买的策略，在每个购买阶段都建立了双目标整数规划，从而得到的购买量比原来网站拥有量小，并且会员的满意度达到99．38％，本文最后还给出了考虑归还DVD周期的情形下购买与分配的模型。
DVD租赁优化方案.pdf (388.78 KB)DVD在线租赁系统的优化设计李蓬蓬朱小满...本文在DVD在线租赁背景下，对DVD的租赁与归还，网方的购买与分配以及需求预测等相关问题进行了建模和研究。
首先，对题中给出的表示会员对各DVD的偏爱程度的偏好指数进行修正，提出了绝对满意度和相对满意度的合理定义。
在模型的建盘和求解上，本文首先建立了基于DVD租用次数限制的通用模型和以Pois8ion过程模拟DVD归还过程的随机服务模型解决了在预知市场需求的情况下，各DVD采购量的问题。
随后，建立0-1整数线性规划模型并结合Lingo软件进行求解，很好地回答了现有碟的一次性分配问题。
结合抽样统计的知识，建立0-1规划模型用以解答第三问的多目标规划问题。
在双目标规划的求解处理上，采取以满意度为限制条件，以碟的总量最小为目标进行规划的方式寻优求解。
针对第四问，本文引入VIP机制，分别建立并求解了VIP会员与普通会员的权重不同时的加权规划模型、VIP会员有优先权的分层规划模型。
还简单讨论了会员的信用度、邮递时间、租赁规则、DVD价格因素等实际问题DVD在线租赁系统的优化设计.pdf (315.72 KB)DVD租赁问题的模型设计及求解王成文野...本文讨论了DVD在线租赁的服务供应商可能遇到的问题与其解决方案。
DVD在线租赁DVD在线租赁数学建模
DVD在线租赁一、问题重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。
这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。
考虑如下的在线DVD租赁问题。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD 之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
请考虑以下问题：1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从.asp下载），如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。
如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。
DVD在线租赁
B题： DVD在线租赁组号：14B 题： DVD 在线租赁摘要本文所求解的问题是为DVD 在线租赁网站提供一套对DVD 碟片进行需求预测、购买和分配的方案。
通过建立数学模型并求解，实现会员获得较大利益的同时使DVD 在线租赁网站赢利最大化的目的。
本文建立数学模型用到的数学建模方法主要有组合概率法和最优化法。
在解决第一个问题：至少需要准备各种DVD 多少张才能满足一定比例的会员在一定时间内可以观看到自己喜欢的DVD 的问题时，本题考虑了一个月租赁两次DVD 的会员在第一次借DVD 后归还，之后DVD 可在一个月内再借出的情况，再按比例推广到有10万个会员的情况。
在解决第二和第三个问题时，我们首先定义了会员满意度的概念，并建立平均满意度的表达式，并要求其取最大值：1000100116m ax111000ij iji j x b ==⋅⨯∑∑其中ij x 是个0-1矩阵（只包括0和1两个元素），ij b 表示会员对各种DVD 的满意度矩阵。
根据所要解决的不同问题，本文分别列出两问题的内在约束关系，分别得到两问题的约束条件，通过建立0-1整数规划模型并结合大量的数据求解此模型。
在处理10万个数据时，我们先使用excel 的内部命令对其中的数据进行相应的处理（主要是替换并调整偏爱度的数据，但并不失去数据的原始涵义），接着将数据复制到WINDOWS 自带的记事本中并保存（在选择数学软件时，因为LINGO 在解决规划问题时拥有的强大优势，所以我们选择了LINGO 作为我们的主要工具），然后利用LINGO 软件的函数@file 将处理过的数据导入，最后通过对LINGO 的编程解决该0-1整数规划模型。
关键词：DVD 在线租赁;概率；偏爱度;购买分配;平均满意度;0-1规划一、问题重述顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员对哪些DVD 有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
DVD在线租赁(2005年数学建模D题)
2005年数学建模D题
问题重述
考虑如下的在线DVD租赁问题。 考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成 DVD租赁问题 为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣， DVD租赁服务 DVD有兴趣 为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提 交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。 交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的 订单包括多张DVD 这些DVD是基于其偏爱程度排序的。 DVD， DVD是基于其偏爱程度排序的 订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根 据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。 DVD数量和会员的订单进行分发 据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租 赁次数不得超过2 每次获得3 DVD。会员看完3 DVD之后 之后， 赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只 需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担）， DVD放进网站提供的信封里寄回 ），就可 需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可 以继续下次租赁。请考虑以下问题： 以继续下次租赁。请考虑以下问题： 网站正准备购买一些新的DVD 通过问卷调查1000个会员， DVD， 1000个会员 1. 网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了 愿意观看这些DVD的人数（ 给出了其中5 DVD的数据）。此外 DVD的人数 的数据）。此外， 愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外， 历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次 而另外的40% 的会员每月租赁DVD两次， 40%只租一 历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一 假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说， 10万个会员 DVD来说 次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至 少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50% DVD的会员中至少50%在一个 少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个 月内能够看到该DVD 如果要求保证在三个月内至少95% DVD？ 95%的会员能 月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能 够看到该DVD DVD呢 够看到该VD租给哪个会员，即分配方案，对于每 种DVD,每个会员都要知道是租还是不租。因此我们引 入 x ij 表示第j种DVD是否租给第i个会员。
DVD在线租赁DVD在线租赁 数学建模
数学建模论文王伟自动化与信息工程学院自091 刘宏自动化与信息工程学院电气085 关庆理学院计算0822011年7月21日DVD在线租赁摘要针对本题我们采用关键词：一、问题重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。
这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。
考虑如下的在线DVD租赁问题。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD 之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
请考虑以下问题：1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从/mcm05/problems2005c.asp下载），如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
DVD在线租赁问题数学模型
2）如何对手中DVD已编号有的DD0V01D进行D00分2 配，D0以03 使所D有004会员的…
满
DVD现有数量
8
1
22
10
…
意度和达到最大C00。01 0
0
2
0
…
C0002
1
0
9
0
…
会员 C0003
0
6
0
0
…
在线
订单 C0004
0
0
0
0
…
C0005
5பைடு நூலகம்
0
0
0
…
…
…
…
…
…
…
D001－D020表示20种DVD, C0001－C0100表示100个会员，会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员 的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。
问题二类似于“分配问题”或“指派问题（Assignment problem）”，我们可以对偏 爱度进行适当的处理以满足我们的要求。0-1规划是处理该问题的最佳方法，因此如 何使用这一方法将是研究问题二的关键。
问题三看似是问题一与问题二的结合（存贮+分配），但实际要复杂得多。他综合 考虑一个月内DVD的购买、分配方案，是一个多目标线性规划。从经济效益看，在 保证95%以上会员一个月内看到想看的DVD的情况下，希望购买尽量少的DVD， 从社会效应看，则要尽可能多地考虑让总的满意度最大。 这时，可以将多目标变为单目标规划，以求得一个经济与社会效益的综合最优。由 于问题三牵涉到两次分配，而对会员满意率的理解又有多种解释，因此目标及约束 函数会和问题一、问题二有很大差别。而问题三的模型又可从当前满意度最大和一 段时间内满意度最大两个角度来考虑。
数学建模作业之DVD租赁优化方案
DVD在线租赁方案设计摘要本题针对DVD在线租赁这一现实问题，用简单合理的算法，得到了在满足会员一定百分比要求的情况下需要准备DVD数量的设计方案，及在一定DVD数量下满足会员最大满意度的DVD分配方案。
在这两个方案的基础上确定出DVD的最佳购买量及对应的分配方案。
最后，我们对问题更一般的情况进行了讨论。
针对问题一。
我们假设每个会员在1个月内每一天在线提交订单的机会是均等的，同时还考虑到网站从接到会员订单到收回会员寄出的DVD的持续时间，我们以此持续时间为周期，讨论了在不同周期下网站应准备DVD的数量。
另外，由于有60%的会员每月租赁两次，因此我们还考虑了租赁两次情况对准备的DVD数量的影响。
最后，结合题目给定的满足要求的百分比，我们建立了应该准备的DVD数量随周期、租赁次数变化和满足百分比要求的数学模型。
对于三个月的情况，由于我们假设了会员每次提交订单相互独立，则我们可以通过概率论的基础知识将三个月的情况转化为一个月的情况来考虑（具体过程见6.1.2）。
针对问题二。
我们首先建立了第i个会员对编号为Dj的DVD的满意度的数学模型，结合实际可知，越能满足会员的偏爱，则会员的满意程度也就越高。
又由题目可知，会员的偏爱程度与会员在线订单的数字表示有关，数字越小偏爱程度越高。
因此，我们建立了会员满意度与其在线订单的映射关系，数据为0则满意度为0，数据从1到10 依次增大，满意度则成比例下降。
根据这个模型，构造出满足1000个会员的总体满意度最大的分配方案的0-1规划模型（详细过程见6.2）。
通过在LINGO中求解，我们给出了前30个会员的具体分配方式。
经检验可知，在这个模型的基础上对1000个人进行DVD的分配中，每人平均可分到2.992张DVD。
针对问题三。
我们首先用EXCEL统计出对100种DVD愿意观看每种DVD的人数，并在MATLAB中绘出其直观的图像。
其次，结合问题一的方法，我们得出一个月内95%的会员得到他想看的DVD的情况下的每种DVD的购买量。
DVD在线租赁的数学模型
DVD在线租赁的数学模型介绍在互联网时代，人们越来越依赖在线服务。
DVD在线租赁作为一种常见的在线服务方式，已成为许多人看电影的首选。
然而，如何正确制定租赁计划，既使用户感到满意，又使公司获得合理的收益，是DVD在线租赁公司经常面临的挑战。
在本文中，我们将介绍DVD在线租赁公司所使用的数学模型。
通过对不同租赁计划的分析，我们将了解这些数学模型如何用于决策制定，以保证租赁计划的成功。
数学模型租赁计划的设计是基于数学模型的。
在这个模型中，需要考虑以下因素：用户需求DVD在线租赁公司需要了解用户的喜好和需求，以制定合适的租赁方案。
用户可以选择租用几张DVD，租赁期限以及收费方式。
因此，DVD在线租赁公司需要了解用户偏好，包括喜欢的影片类型、租赁频率和数量等相关信息。
库存管理DVD在线租赁公司需要保持足够的库存，以满足用户的需求。
此外，还要考虑库存成本、采购成本和退货等因素。
因此，库存管理是该模型中的重要部分，需要考虑到库存成本和库存的最优量。
前期投入和回报DVD在线租赁公司需要考虑前期投入和回报，包括购买DVD的成本、租赁服务器的成本等。
此外，还需要计算租赁计划的收益，以形成合理的租赁收费模式。
数据分析DVD在线租赁公司需要收集并分析大量的用户数据，以了解用户需求和行为模式。
数据分析使得公司可以更好地了解他们的用户，并优化他们的租赁计划。
模型的优化优化模型是保证租赁计划成功的重要步骤。
在优化模型时，DVD在线租赁公司可以从以下几个方面入手：利润最大化DVD在线租赁公司的目标之一是获得尽可能多的收入。
他们可以通过分析数据和制定不同的租赁方案来提高利润。
成本最小化相对于获得更多的收入，DVD在线租赁公司最好的选择是尽可能地降低成本。
成本最小化可以使得公司在竞争中获得更大的优势。
最优库存库存管理是DVD在线租赁公司的关键点之一。
他们可以通过最优库存，降低库存成本和租赁计划的风险。
总结在本文中，我们介绍了DVD在线租赁公司所使用的数学模型。
DVD在线租赁的数学模型
１ 模 型 假 设
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
显然 随机变量 ｘ ， 服从两 点分布 ， 其分 布律 为
Ｐ｛ ： ｝ Ｘ ｌ 一 ， Ｐ｛ ｝ １ Ｘｏ 。 一 一
１ 一 个月结 束 ， ） 所租赁 出的 ＤＶ 全部归 还 网站 ， 其 中 为会 员租赁第 种 Ｄ Ｄ ＶＤ 的概 率 ， （ 一 １２ ，，
Ｄ ＶＤ 的 会 员 中 至 少 ５ 在 一 个 月 内 能 看 到 该 ＤＶ ０ Ｄ。
表 ｌ 会 员 租 赁 ５种 Ｄ ＶＤ 的概 率
设 网站 的会 员数为 ， 因为每张 Ｄ ｚ ， ＶＤ是否 被租赁
且 租赁 或不 租 赁 ， 因此设 随 如果 要求 保证 在三 个 月 内至 少 ９ 的会员 能 够 看 到 是随机 的 ， 只有两种情 况 ， ５ 个会 员租赁 第 种 ＤＶ ｉ ， ， Ｄ（一１ ２ 该 Ｄ ＶＤ怎 么办 ；２ 如 果 网站 现有 １ ０种 ＤＶ 的数 机变量 Ｘ 表 示第 ｉ （） ０ Ｄ
Ｖｏ ． ５ № ． １１ ５
Ｓｅ ． ０ ｐｔ ２０ ７
ＤＶＤ 在 线 租 赁 的 数 学 模 型
李 新 芳 ， 秀梅 ， 王 贪书 杰
（ 河南 机 电 高 等专 科 学 校 基 础部 ， 南 新 乡 ４３ ０ ） 河 ５ ０ ２ 摘要 ：文 中根 据 需求 预 测 ， 概 率 统 计方 法求 出 了在 一定 置信 水 平 下 Ｄ Ｄ 的 购 买数 量 ； 对 现 有 ＤＶ 的分 配 问 用 Ｖ 针 Ｄ 题 ， 所有 会 员 的平 均 满 意度 最 大 为 目标 函数 ， 立 了 Ｄ 以 建 ＶＤ分 配 方 案 的整 数规 划 模 型 ， 利 用 Ｌｎ ｏ８ ０求 出 了 并 ｉｇ ．
次， 每次 最多 租 赁 ３张 ， 员 看完 ３张 Ｄ 会 ＶＤ 之后 ， 只
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DVD在线租赁的数学模型摘要：在线租赁DVD能够实现DVD的双重利用，对于商家和客户都是有利可图的选择。
然而对于商家而言，购买多少数量的DVD 以实现效用的最大化和成本的最小化，如何在客户满意和利润最大化之间做出合理的选择，都是需要着重考虑的问题。
本文试图就这些问题给出数学上的分析和解决办法。
对于问题一，如何使得所需购买的DVD数量最小，我们从DVD本身入手，分析其不同的利用率，满足一定的约束条件，然后用目标规划建立数学模型，利用相关的数学软件(lingo)可以求出最优解.而问题二则要求我们从客户入手，厂商如何选择才能使得客户最为满意，我们通过客户的偏爱程度得到他们对不同DVD的满意程度，并进而得到一个总体的满意矩阵，利用0—1规划建立相应的数学模型，代入matlab的linprog函数可求解。
问题三在综合问题一和问题二的基础上又有了一些扩展，目标函数有两个：DVD数量最小和客户满意度最大。
只有两者都达到最优，我们才可以说这样的解是最优的。
正因为如此，我们建立了一个双目标规划的模型，给出了问题三的解法。
关键词0-1规划 lingo matlab 双目标规划DVD在线租赁的数学模型一．问题重述音像制品在线租赁充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
表1给出了其中5种DVD的数据关于1000个会员愿意观看DVD的人数，表2中列出了网站手上20种DVD的现有张数和当前需要处理的100位会员的在线订单，此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。
要求：1）假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？2）如何根据表2中列出了网站手上20种DVD的现有张数和当前需要处理的100位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？并且具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。
如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？二．模型假设1．很短时间内完成租赁过程，忽略DVD的邮递过程。
2．每个会员每次租到的DVD没有相同的，而且以前租过的不会再去租。
3．会员租赁DVD的种类只由自己的偏好决定。
三．符号说明）的需求量，（种个会员对第：），的需求，（种个会员对第：第），的所获得的满意度，（种个会员对第：第），的满意度，（种个会员对第：第），的偏好程度，（种个会员对第：第）的数量，（种：公司可以提供的第）的会员人数，（种：希望租到第的会员所占的比例中供应给租赁一次：总）的数量，（种：可用于出租的第202,1100202,11002,1202,11002,1202,11002,1202,11002,1'202,1202,1202,1⋯⋯=⋯⋯=⋯⋯=⋯⋯=⋯⋯=⋯⋯=⋯⋯=⋯⋯=⋯⋯=⋯⋯=⋯⋯=⋯⋯=j DVD j n j i DVD j i m j i DVD j i y j i DVD j i s j i DVD j i s j DVD j D j DVD j r DVD DVD p j DVD j q j ij ij ij ij j j j四．模型的建立与求解1．问题一：根据调查问卷提供的抽样数据与总体数据服从同一种概率分布，可由1000个会员同倍扩大到总体的100000个会员，得到总体中愿意观看五种DVD 的会员人数，见下表：由于我们不知道各个会员在什么时候租、还DVD ，尤其不知道那些租赁两次DVD 的会员的情况。
通过调查了类似的租赁情况，我们大致了解到大部分会员基本集中在月中十五号和月末还DVD 的。
因此可以认为每个月底DVD 基本上都还回了，同时租赁两次DVD的会员第一次租的DVD 能够被租赁公司再利用，租给其他的会员，也就是说，这样的DVD 能够被利用两次。
我们从DVD 出发，以DVD1为例，设需要购买的DVD1的总的数量是1q ，其中租给一个月只租借一次的会员的DVD1的数量占总量的比例为)10(≤≤p p ，租给一个月租借两次的会员的DVD1的数量占总量的比例为p -1，这样就有：租给只租赁一次会员的DVD1数量1*q p ，而这些DVD 能够满足1*q p 个愿意观看DVD1的会员；租给租赁二次会员的DVD1数量是1)1(q p *-，但是由于这部分DVD 能够再次出租，因此可以满足1*)1(*2q p -个愿意观看该DVD1的会员；而这两部分的和1*q p +2*1)1(q p *-应该满足至少50%愿意租借DVD1的会员.如下图所示：。
（1） 题目中要求在希望看到该DVD 的会员中至少有50%的会员在一个月内能够看到该DVD ，那么DVD1的数量满足的会员总数%50*20000*)1(*2*≥-+=j j q p q p另外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD 两次，而另外的40%只租一次，对于租赁公司而言，既要是成本最小（所需DVD 数目最小），又要考虑到他的两类会员的要求都能基本被满足，因此在这里我们控制6.04.0≤≤p 。
也就是租给两位会员的DVD 的数量基本一样，避免两者相差太悬殊的不公平的结果。
这样我们建立的模型是：)5,4,3,2,1(min ==j q j约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≤≤=≥-++z j j j j q p j r q p pq 6.04.0)5,4,3,2,1(5.0)1(2 运用lingo 软件编程可以解出结果，(命令见附件1.1)结果是：（2）要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD ，由于每个月的月底可以基本上认为所租赁的DVD 基本还清，以备下一个月的待租赁，因此每一个月的情况都可以看做是第一个月的重复，而在三个月内任何一天使得会员获得其所愿意租到的DVD 都可以看作是其得到满足。
根据条件建立如下的模型：目标函数：)5,4,3,2,1(min ==j q j约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≤≤=≥-++zj j j j q p j r q p Pq 6.04.0)5,4,3,2,1(95.0)1(2*332．问题二: 会员提交定单，给出所需的各种DVD 的偏好程度，数值化后得到的就是文中所提满意度：我们根据满意度最大的原则决定每种DVD 的归属，这是一个优化问题，满意度最大即是总体的满意度最大。
由于涉及到的变量都是整数，我们采用整数规划的中的0-1规划，即将会员得到DVD 记做是1，没得到记为是0.首先我们将所给的满意度用矩阵的形式表示出来（只选取了前五个会员对前五种DVD 的满意度）。
000540000000600090100200'=ij s所以前面矩阵转化为数值化满意度后为6.07.000000005.00002.001008.000=sij而让DVD DVD x ij 会员得到该会员没有得到该⎩⎨⎧=10这样ij ij x s *就能得到我们的所构造的满意矩阵，它是一个100行20列的矩阵，表示的含义是在ij x 的取值下每个会员所能获得所有的满意度。
将各项相加，得到的取值就是总体满意度。
若能使总体满意度达最大，则该方案就是符合条件的最优的。
总上所述：目标函数：x s ij i j ij ∑∑===2011001max约束条件是：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋯⋯==⋯⋯==∑∑==10)203,2,1()1003,2,1(31001201或x x x ij i j ij j ij j D i问题三因为这个问题既要决定DVD的购买量，使网站的经营成本尽量低，也就是购买尽可能少的DVD，使一个月内95%的会员得到他想看的DVD。
又要考虑到DVD的分配使会员的满意度最大。
所以，这是一个双目标的规划问题。
我们的模型如下：目标函数是：Ⅰ. ij i j ij x s ∑∑===2011001maxⅡ.)202,1(min ⋯⋯==j q j约束条件：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∈≤≤⋯⋯=≥-+=⋯⋯==⋯⋯==+==∑∑z q p j r q p pq x j D x i x jj j j ij i j ij j ij 6.04.0)202,1(95.0)1(210)203,2,1()1003,2,1(31001201或 在双目标模型求解的过程中，我们要尽量同时使得两个目标函数都能获得最优的值。
这个问题先尽量满足一个目标函数，再考虑第二个目标函数得到的结果和同时考虑双目标最优问题的结果比较接近。
所以，可以在尽量满足模型中第二个目标函数的前提下，再考虑第一个目标函数的最优解。
在考虑满足第二个目标函数的时候，并不是求它的最值，而是给它一定的弹性区间，在此区间范围再考虑第一个目标函数的最优解时，就可以兼顾到两个目标的要求，达到双目标规划的最优。
首先考虑实现题目中第二目标，过程如下：将100个会员对不同DVD 的偏好程度矩阵ij s '转化为会员的需求矩阵ij m ，转化过程如下：令)202,1(1001⋯⋯==∑=j m n i ij j并根据多次计算验证发现当将j n 扩大到它的1.25倍时，对兼顾满意度和最小数量的DVD 比较适合。
所以此时求建模型如下：)5,4,3,2,1(min ==j q j⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≤≤⋯⋯=≥-++zj j j j q p j n q p Pq 6.04.0)202,1(*25.1*95.0)1(2*33 然后再根据模型：x s ij i j ij ∑∑===2011001max⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋯⋯=<=⋯⋯=<=∑∑==10)203,2,1()1003,2,1(31001201或x x x ij i j ij j ij j q i 既可以求出最后最优解。
（程序见附件3）具体的分配方案为：（有空格表示该会员被分到不到三张DVD）五．模型的进一步思考1.模型一中p的值，是网站租给只租借一次的会员的DVD占总DVD的比例，如果不加限制，p的范围应该是1≤p，可以0≤求出使得一定比例的会员要求被满足的最少DVD数量。