2005年DVD在线租赁DVD在线租赁__数学建模

DVD在线租赁一、问题重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。

许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。

例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。

这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。

考虑如下的在线DVD租赁问题。

顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。

会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。

会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。

网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。

每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。

会员看完3张DVD 之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。

请考虑以下问题：1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。

此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。

假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从.asp下载），如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。

3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。

如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。

二、模型假设1.一个月的天数按30天计算；2.1000名会员的样本足以反映10万名会员的特点；3.严格按照60%的会员每月租赁两次DVD，40%会员每月租赁一次，且对DVD没有损坏；4.会员提交的订单的时间是随机的；5.会员连续两次借的DVD没有重复的；6.会员每个月必须至少租赁一次；7.会员对他所偏爱的DVD的偏爱度不会改变。

三、符号说明四、问题分析五、模型的建立与求解5.1问题一5.1.1悲观情况估计 ①一个月的情况假设DVDj 其购买量为j x ,从表1中可以认为是想看DVDj 的人数，而会员一个月借1次或借2次是随机的，这就可能出现极端的情况，即第一次分配时正好所有1类会员都分配到了DVDj ，我们把这种情况称为悲观情况。

则j x 的一部分首先被会员总数40%的1类会员借走了,而且在该月不会归还。

那么,为了保证至少有50%的会员在一个月内能看到该DVD,则DVDj 总的购买量应满足：j j j j p p x p 100000%502)100000%40(100000%40⨯≥⨯⨯-+⨯其中 5,4,3,2,1=j表3②三个月的情况从“一月情况”，我们可以推广到“三月情况”。

如果 j j p x 100000%40⨯<，则每次分配都将只能由每月借一次的会员的到DVD ，这样三个月中DVDj 的流动量就仅为3j x ，为了保证至少有50%的会员在一个月内能看到该DVD ，那么此时DVDj 总的购买量应该满足:j j p x 100000%953⨯≥⨯其中 5,4,3,2,1=j表45.1.2均值情况估计:现实中，每天都会有订单提交，也有DVD 归还，而且都是服从参数为λ的泊松分布。

考虑平均情况，认为：60%的会员15天归还DVD ，40%的会员一个月归还，即对于每张DVD 有60%的可能15天流通一次，40%的可能30天流动一次。

假设所有会员在每个月的某天（不妨为1号）提交订单，那些2类会员也集中在15号归还并提交下一份订单，则可以发现上述的简化是泊松分布的平均情况。

因此，在处理时可以不考虑每个会员的具体租赁、归还的时间，而只考虑每个月两次的分配方案，即1号和15号的分配方案。

同时，在DV D 租赁出去后，对于某种DVD ，是均匀的分布在1类会员和2类会员中，即在15号，该DVD 将有60%归还。

我们用下图表示租赁情况，每块代表长度为15天的时段，上方的箭头表示该时刻借出的数量，下方表示归还的数量。

则初始时刻DVD 有j x 1张可用于分配。

图1①一个月的情况：对于“一月情况”，仅观察上图中的前两段。

在分配时，每张DVD 都有60%的可能被分配给每月借2次的会员，40%的可能分配给每月借1次的。

在初始时刻会将所有DVD 借出，因此j x 1表示网站对DVDj 的购买量，而问题目标则是要求出j x 1的最小值，以达到效益的最优。

因为，第1个月月中有60%×j x 1的DVDj 归还，另外40%仍在会员中，这时网站可将60%×j x 1的DVDj 借出。

则j x 2=0.6j x 1。

这样就可以计算 DVDj 在一个月中的流通量为j x 1+j x 2＝1.6j x 1，即一个月内DVD 的流通量为月初购买量的1.6倍，称这个“1.6”为“一月流通系数”。

那么DVD 一个月最小购买量可通过以下公式来计算：∑==511min i i x Si i p x ⨯⨯≥100000%506.11其中5,4,3,2,1=i由表1表5总的购买量12033min =S 。

②三个月的情况：由图1可以得到各个时间节点的DVD 数量的关系式从而建立模型如下：j j x x 126.0= j i j ij i x x x 214.06.0--+=j i jip x100000%9561⨯≥∑=其中6,5,4,3,2,16,5,4,3==j i所以，各种表6购买量之和8147max =S 。

由jx 2＝0.6jx 1，ji x ＝0.6ji x 1-+0.4ji x 2-（i=3,4,5,6）得到“三月情况”中DVD 流通量∑=61i i x ＝4.49jx1。

5.1.3中心极限模型中心极限定理的客观背景：在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的，而其中每一个因素在总的影响中所起的作用都是微小的，这种随机变量是近似地服从正态分布。

会员每月借一次的人的概率和借两次的概率服从独立同分布。

为使想看该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到，即要j ni ip ⨯⨯≥∑=100000%501ξ其中5,4,3,2,1=j为使它成立的概率尽可能的大，不妨取：%95)100000%50(1≥⨯⨯≥∑=j ni i p P ξ当n 充分大时，可以通过)(x Φ给出其近似分布，这样就可以利用正态分布对∑=ni i1ξ作理论分析或作实际计算，其好处是明显的。

95.0)6.04.06.1100000%506.04.06.1(1≥⨯⨯-⨯⨯≥⨯⨯+∑=n np n nP j ni iξ将j p 的数值依次带入经查表知，均值模型成立。

我们把模型推广到范围更广的现实经济生活中。

假设通过问卷调查分析推算出任意客户群体的借阅分布情况，b p 为会员每月借两次的人的概率；j p 会员喜欢看第j 种DVD 人的概率;n 为所考虑月份数，N 为会员总数，则可得到下面更一般的带约束的线性规划模型（这里人设DVD 种类为k 种）：Min S=∑=kj j ix1j b j x p x 12⨯=ji b j i b j i x p x p x 21)1(--⨯-+⨯=j ni j i p N x ⨯>∑=21其中k j n i ,,3,2,12,,4,3ΛΛ==5.2问题二问题二是在现有一定数量DVD 的前提下，如何分配以使会员总的满意度最大。

这与“分配问题”或“指派问题”有很多相同点。

我们可以通过一些变化来使求解“分配问题”的模型能运用于该问题。

我们把问题二中“1000个会员对DVD 的需求” 理解为“需要完成的1000项任务”，“100种DVD 数量”理解为“有 100个人可以承担这些任务”，“会员对于不同DVD 的偏爱度”理解为“不同人去完成不同工作的效率”，通过类比就能把分配问题的模型运用到问题二中了。

分配问题最常用的方法是0-1型整数规划。

在具体使用前，还需要将每个会员对不同DVD 的偏爱度转化为满意度。

因为我们的目标是总体满意度最大。

从表1.2中可以看到：会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD 当前不在会员的在线订单中。

我们想到了，用一个对于9的固定数字减去偏爱数，但存在一定的不合理性。

比如，当看到了最想看的DVD 时，心理上满足是非常大的 ，但当仅仅得到了次想看的DVD ，那满足感会大打折扣，而如果仅得到了第三想看得DVD ，满足感会更低，但与仅获得第二想看的DVD 相比，也许失落感并不会如没有获得第一想看的DVD 那么大。

所以，如果只是简单得把会员订单中的DVD 进行了相同差别的处理，无法表示出会员的真实满意度差别。

所以我们想到了用偏爱数的倒数来表示会员的满意度，对满意度矩阵F 的元素ij f 来定义：ijij b f 1= 0≠ij bij f ＝0 0＝ij b1） 表2中的数字0意义特殊，不直接与满意度产生关系。

0代表该DVD 没有出现在订单中，即会员不需要看该DVD 。

从分配费用考虑，避免把该DVD 分配给会员。

根据ij a 的定义，不妨认为：≤ij a ij b ，则 ij b =0时，ij a 也就等于0了，从而避免了上述情况的发生。

2）于一次最多只能借3张，但，如果会员没被分配到3张DVD ，那么他们的需求就没被满足，会导致客源流失，那么就必须有1000,,2,131001Λ==∑=i aj ij又DVDj 分配给各会员的数量肯定不超过现有数量j e ，所以,≤∑=10001i ijaj e 。

3）有上述可表示所有会员的满意度的总和为iji j ij af ∑∑==100011001综上，建立的模型如下：ij i j ij a f Z ∑∑===100011001max≤ij a ij b31001=∑=j ija≤∑=10001i ijaj eij a =0或1其中i ＝1，2，3，···，1000；j ＝1，2，3，···，100我们利用Lingo 软件进行模型的求解发现，上述模型无解，经分析知，是由于≤ija ijb ，31001=∑=j ij a 其中i =1,2,3,…,1000约束条件加强了的原因。