DVD在线租赁(一等奖)

DVD 在线租赁摘要本文以DVD 在线租赁方案为研究对象，在题目中所给出的调查数据的基础上，根据不同会员的需要，建立优化模型，探讨在不同情况下如何分配各种DVD 数量使得会员的满意度最大。

对于问题一，基于各种DVD 的需求数量是一个随机变量，满足二项分布，并趋于正态分布，由此建立基于二项分布的随机模拟模型，利用中心极限定理，得出想看该DVD 最多的会员人数，再结合每张DVD 的平均利用率，得出在不同置信水平下，网站应准备的DVD 的张数。

在置信水平为50%时，一个月内：15DVD DVD ~的张数为：6260，3133,1568,785,315；三个月：15DVD DVD ~的张数为：3965,1984,993,497,199。

对于问题二，建立0-1规划数学模型，将100种DVD 合理地分配给1000位在线订单的会员，以使会员的满意度最大。

首先，采用倒数形式将会员对各种DVD 的偏爱程度转化为满意度，由此建立目标函数：100010011maxijij i j bx ==⋅∑∑及列出其相应的约束条件，运用Lingo 软件求出DVD 的最优分配方案，并列出了其中前30位会员希望看到的DVD 具体分配情况。

对于问题三，运用多目标规划模型，求解每种DVD 的购买数量及对DVD 的分配方案。

由于有60%的会员每月会租赁DVD 两次，而另外40%的会员每月只租赁一次，所以分阶段进行求解。

第一次租赁时，建立满意度函数，得出第一目标满意度最大为1741；第二目标DVD 的购买数量为2850张；第二次租赁时，在第一次租赁的基础上考虑了月中时DVD 归还的情况，得出100种DVD 的购买总数量为3111张，并列出了部分会员的分配情况。

对于问题四，在DVD 的需求预测时，采用多种预测方法相结合，例如简单随机抽样、分类预测和灰色预测等，得出最终需要的信息；在DVD 的购买与分配时，在预测市场需求的基础上，结合会员满意度，运用多目标规划模型确定DVD 购买及分配方案。

关键词 满意度 0-1规划 多目标规划模型 最优分配方案一、问题重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。

许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。

例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。

这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。

考虑如下的在线DVD租赁问题。

顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。

会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。

会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。

网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。

每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。

会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。

请考虑以下问题：1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD 的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。

此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。

假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD 来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？2）表2中列出了网站上100种DVD现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（具体数据请从://../05/2005.asp（下载），如何对这些DVD http mcm edu cn mcm problems c进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即00010030c c）分别获得哪些DVD。

3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。

如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。

二、模型假设结合本题的实际，为了确保模型求解的准确性和合理性，我们排除了一些位置因素的干扰，提出以下几点假设：（1）一个周期结束，所租赁出的DVD全部归还网站，不影响下一个周期的租赁；（2）一个会员在一个周期内租赁到自己想看的DVD的时间不影响他的满意度；（3）会员只有在将第一次租赁的三张DVD还回网站之后，才能进行第二次租赁；（4）每个会员同一种DVD只租赁一次；（5）DVD在租赁过程中无损坏；（6）会员租赁各DVD时是相互独立事件；（7）需要二次租赁的会员都是在月中归还，在月中再借。

三、符号说明及名词解释为了便于问题的求解，我们给出以下符号说明：（其他未说明的符号在文中第一次出四、问题分析对于问题一，共有2小问，第一问要求我们在假设该网站现有10万个会员的情况下，根据对1000个会员的调查结果来确定至少准备的DVD的数量，并且这个最小数量能够让想看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD。

首先，根据60%的会员每月租赁DVD两次,而另外的40%会员只租赁一次，可以求出每张光盘的平均利用率。

由于问卷调查的随机性较大，所以引入置信水平这个概念，计算在各个置信水平下，观看该DVD的人数最大值，并用之除以每张光盘的平均利用率即可得到在该置信水平下第j种DVD应准备的数量，对于第二小问，求解保证在3个月内至少95%的会员能够看到该DVD的数量，运用同样的方法，只需变换每张光盘的平均利用率。

对于问题二，要求将100种DVD合理地分配给1000位在线订单的会员，并使得会x为第i个员的满意度最大。

本问题类似于指派问题，因此运用0-1规划模型，决策变量ij会员是否租到第j种DVD，题目中只给出了会员对每种DVD的偏爱程度，所以将会员对DVD的偏爱程度转化为满意度，构造满意度函数，列出约束条件，并求解该目标函数的最大值。

对于问题三，分析题目所给的条件，我们首先要明确作为经营管理人员，不仅要使得会员满意度达到最大值，还要使网站的经营成本最小，这是一个多目标规划问题。

又由于一个月存在租赁一次和两次的会员，所以进行分阶段求解。

第一阶段在月初，利用表2的数据，随机抽取950人，并尽量满足他们的订单中偏好程度为1,2,3的DVD，由此得出第一阶段购买方案；第二次租赁在月中进行，此时要在第一阶段的基础上，考虑60%会员归还的DVD数量。

对于问题四，将对DVD的需求预测、购买及分配问题进行研究。

对于DVD的需求预测，我们采取随机调查问卷、分类预测、关联预测、灰色预测等多种预测模型相结合的方法，得出经营者所需的DVD需求信息。

对于DVD的购买及分配，我们假设每位会员每次可以租赁DVD数量为1-3，每月可租赁次数不限，且对于选择过的DVD不会再次选择，构建双目标函数，列出约束条件，建立了具有普遍适用性的模型。

五、模型的建立与求解经过以上的分析和准备，我们将逐步建立以下数学模型，进一步阐述模型的实际建立过程。

5.1问题一的模型建立与求解 5.1.1一个月时题目中共给出了5种DVD 的种类，求解保证至少50％的人一个月内看到各种DVD 需要准备的最小张数，接下来以1DVD 的计算为例，根据题目已知条件，可以分析出计算公式如下：=DVD j DVD ⨯愿意观看的人数能看到该人数的比例第种应准备的数量每张光盘利用次数的期望（1）因此，要求出1DVD 应准备的数量，即求出愿意观看1DVD 的人数、能看到1DVD 人数的比例和每张DVD 的平均利用率这三个量，步骤如下： 1、每张光盘的利用次数期望分析题目可知，60%的会员每月租赁DVD 两次,而另外的40 %会员只租赁一次,把每月租赁2次的会员叫做A 类会员，把每月租赁1次的会员叫做B 类会员，每个会员能到租到j DVD 是一种等概率事件，假设光盘第一次被每月租两次的会员租,则DVD 光盘一个月能利用两次,即可被两个会员租到,被只租一次的会员租的DVD 光盘一个月只能利用一次。

可得到:每个光盘在一个月能利用次数的期望为:()=0.62+0.4=1.6E x ⨯ 2、概率计算根据题目已知条件，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD 的人数，由此可以得出第i 张DVD 被租的概率，见表1：1000个会员中1DVD 的需求概率来代替，即=0.2P 。

3、愿意观看的人数对于每个光盘，是否被租赁是随机的，且只有两种情况，租赁或不租赁，因此设随机变量ij X 表示第i 个会员租赁第j 种DVD ()=12=12345i m j ⋅⋅⋅，，；，，，，，则1=0ij i j DVDx i j DVD⎧⎨⎩，第个会员租到第种，第个会员未租到第种 显然，随机变量服从两点分布，{}=1=ij j P x P ；{}=0=1-ij j P x P ，其中j P 为会员租到第j 种DVD 的概率，又由于会员之间是否租赁第j 种DVD 是相互独立的，所以DVD 的需求数量ξ是满足二项分布的。

所以ξ是服从参数n P 、的二项分布，记为(),X B n p ~。

于是,=m ξ (即有m 个会员想看,-n m 个会员不想看1DVD )的概率为:()()-1-n mm mn P m C P P ξ==其中P 是每个会员想看1DVD 的概率,为0.2，n 是网站会员总数,=100000n 。

若每个会员同时看到1DVD ，则网址至少准备5万张1DVD ，来应付这种概率极其小的极端情况，对于网站来说，也存在着极大的资源浪费，由于抽样调查的随机性，不能确认是否能完全针对10万个会员的喜好，所以保证一个月内看到1DVD 的会员至少在50%，只能在一定置信水平上办到，计算在置信水平下保证希望看到该DVD 的总会员人数上限M 。

当置信水平为0.5时：()()-=0=1-=0.5Mn mmn m P M C P P ξ≤∑由中心极限定理[1]：样本看1DVD 的会员人数是从总体中随机抽选出来的，而样本容量为10万，已足够大，所以样本的平均值就以总体的平均值为中心呈正态分布，记为：()()1-N np np p ξ~，其中np 为随机变量ξ的数学期望，()1-np p 为标准方差，由此得出：()()22---=0.52M t P M e dt μξσ∞≤⎰ 运用Matlab [2]编程（见附录一）得到=20032M 。

在3个未知量都求解出来后，运用公式（1），可以得出在置信水平为50%时，1DVD 应准备的数量为6260。