关于DVD在线租赁问题的数学建模的研究(家家) 2
DVD租赁―全国数学建模大赛
DVD租赁―全国数学建模大赛电力市场的输电阻塞管理摘要随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
音像制品的在线租赁是一种可行的服务。
这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。
针对问题一，对于DVD张数的求解，由于会员每月租赁次数不同，我们将情况分为三种：保证情况：优先考虑占40%每月租赁一次的会员；一般情况：每月租赁一次和每月租赁两次的会员按比例同时考虑；乐观情况：优先考虑占60%每月租赁两次的会员。
经过分析，我们认为最佳解为一般情况下求得的DVD购买量，同时在[乐观情况，保证情况]这个区间内浮动。
如下表：针对问题二，为了使会员满意度最大，我们使用0―1线性规划模型，令1000100 j张DVD 0,第i位会员未获得第，目标函数为max xijaij ，辅以相应xij j张DVD 1,第i位会员获得第 i 1j 1的约束条件，利用LINGO软件可解得当会员满意度最大为24746时的分配方案。
针对问题三，为了使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大时的DVD 购买量及分配方案，我们建立0―1线性规划模型和双目标优化模型，并将会员满意度转化为相对满意度，将双目标优化模型转化为单目标优化模型。
利用LINGO软件可以得到在不同相对满意度相对应的DVD的最少购买量。
通过比较分析，可以得到最优解为相对满意度为0.9即会员总体满意度为34020，并解得在此满意度下的100张DVD的购买方案及前30位会员的分配方案。
针对问题四，我们考虑到每个会员提交订单的时间不同，为了公平起见，我们遵守先订先得的原则，所以最后的模型要增加一个关于下订单时间约束条件。
另外，我们还考虑到每种DVD的价格不同，所以最后的目标函数不是简单的DVD总张数最少，而且还使DVD 得总价格最少。
根据新的目标函数和增加的约束条件建立新的数学模型。
DVD在线租赁问题研究
D V D在线租赁问题研究摘要本文解决的是DVD在线租赁网站在DVD的需求预测、购买和分配中的重要问题。
首先我们通过随机概率模型分析了要满足会员要求的DVD的最少采购量，其中主要利用了0-1分布和二项分布的理论，即认为会员是否一个月租赁两次是一个随机事件，服从0-1分布，因此分配到自己想要DVD的会员中租赁两次的人数就服从二项分布，具体计算时(由于是大样本场合)用标准正态分布逼近二项分布得到最后的结果。
在解决最大满意度原则下的DVD分配时，我们建立的是以最大期望满意度为目标，含有随机变量的规划模型。
出于计算规模和效率方面的考虑，文中采用类似贪婪算法的处理方法，将DVD的分配分成两个阶段来处理，这两个阶段分别的最优解之和作为最终要得到的最优目标。
最后我们基于现实基础提出了以最大满意度和最小邮费为目标的规划方程，并对上述几个模型进行了评价和推广价值讨论。
关键字最优解 0-1规划满意度分配方案一、问题重述（一）提出背景随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。
在线DVD租赁就是这样一种传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉的服务。
（二）提出问题客户缴纳一定数量的月费成为会员，通过在线提交订单，订购DVD租赁服务，会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
在已知会员订单情况下，如何购买、分配这些DVD，使会员满意度最大且成本最低就成了自然而然的问题。
另外，在DVD的需求预测、购买和分配中还存在很多其他问题值得研究。
（三）重述问题考虑如下DVD租赁问题：顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
DVD在线租赁的数学模型
DVD在线租赁的数学模型数学模型是通过数学语言、符号和算法来描述和解释现实生活中的问题的工具。
DVD在线租赁业务是一种基于数字技术和互联网的新型商业模式，对于该业务，数学模型有着非常重要的应用价值。
下面将介绍DVD在线租赁业务的数学模型。
一、问题描述DVD在线租赁业务是一种基于互联网的流媒体服务，用户可以通过网络订购所需的DVD，收到DVD后使用一段时间后再归还。
该业务存在一些关键问题，比如如何安排库存，如何控制用户租赁时间等问题。
下面将对这些问题进行具体描述。
1. 库存安排问题在DVD在线租赁业务中，每个DVD的使用时间不同，一些DVD可能会在一段时间内连续租出，而另一些DVD则可能长时间放置于库存中未被租赁。
因此，如何安排库存是一个非常重要的问题。
库存成本和库存量之间存在着一定的关系，库存量越高，库存成本则越高。
因此，需要找到一个合适的库存量，使库存成本最小化。
2. 用户租赁时间问题用户租赁时间会直接影响业务的盈利情况。
用户租赁时间越长，公司的收益也就越高。
但是，租赁时间过长也会导致库存中的DVD数量减少，增加库存成本。
因此，需要找到一个合适的租赁时间，使业务的收益最大化。
二、数学模型DVD在线租赁业务的数学模型可以采用动态规划模型来描述。
该模型可以将库存管理和用户租赁时间问题结合起来，以最大化业务的盈利为目标。
1. 库存管理的动态规划模型库存管理问题可以用动态规划模型来解决。
假设有一个DVD的库存，指定库存中每个DVD可以被租赁的最大时间为t，且每个DVD被租赁的时间是相互独立的。
那么该问题可以表述为：设f(i,j)表示前i个DVD中所有租赁时间不超过j的最大收益，则有：f(i,j) = max{f(i-1,j-k) + profit(i,k)}, 0 <= k <= t其中，profit(i,k)表示第i个DVD租赁k天的收益，f(i,j-k)表示前i-1个DVD所有租赁时间不超过j-k的最大收益，可以使用递推公式计算出f(i,j)。
数学建模案例DVD在线租赁
意度为目标含有随机变量的规划模型， 在计算时我们考虑用贪婪算法得出近似最 优解。 对于第三个小题，我们认为可以在第一个小题和第二个小题结合得到，考虑 先用第一小题的方法算出网站应该购入的 DVD 数量，在此基础上再建立和第二 小题类似的规划模型来解决。 最后一个问题具有较多的研究方向，由于时间关系，我们仅就邮资最小， 网 站的成本最低，盈利最大这个方面进行了一些讨论。 2、题目要义的理解： a、一个月内 DVD 出租次数的限制： 根据假设 1，结合实际，由于邮寄货物一般要一到两个星期左右，因此本文 考虑一张 DVD 在一个月内最多只能分配两次，即只能在初次分配后由会员返还 一次，也就是说一个月可以考虑有两个阶段的分配，第一阶段是网站对其拥有的 DVD 进行初次分配，这一阶段的分配网站在某一原则下（文中是满意度最大原 则）是可以完全掌控的； 第二个阶段网站可分配的 DVD 数量是由第一阶段分配后剩下的 DVD 数量 加上第一阶段分配的会员中返还得 DVD 数量之和。这一阶段的分配是带有随机 性的，因为会员是否返还 DVD （也就是一个月租赁两次）是一个随机事件，这 一阶段，因此必须在承认随机性的前提上考虑其分配。 b、会员满意度 α ij 的定义： 根据假设 4，本文满意度 α ij 定义如下： 若题中所给表 2 中会员 i 对第 j 张 DVD 的订单是 aij （ aij 越小，偏爱程度越 高） ，则会员 i 得到第 j 张 DVD 的满意度 α ij = 则 α ij = 0 ，与假设相符合。
DVD 在线租赁问题研究
摘要
本文解决的是 DVD 在线租赁网站在 DVD 的需求预测、购买和分配中的重要 问题。 首先我们通过随机概率模型分析了要满足会员要求的 DVD 的最少采购量， 其中主要利用了 0 − 1 分布和二项分布的理论， 即认为会员是否一个月租赁两次是 一个随机事件，服从 0 − 1 分布，因此分配到自己想要 DVD 的会员中租赁两次的 人数就服从二项分布，具体计算时（由于是大样本场合）用标准正态分布逼近二 项分布得到最后的结果。 在解决最大满意度原则下的 DVD 分配时，我们建立的是以最大期望满意度 为目标，含有随机变量的规划模型。出于计算规模和效率方面的考虑，文中采用 类似贪婪算法的处理方法，将 DVD 的分配分成两个阶段来处理，这两个阶段分 别的最优解之和作为最终要得到的最优目标。 最后我们基于现实基础提出了以最大满意度和最小邮费为目标的规划方程， 并对上述几个模型进行了评价和推广价值讨论。
(计算机软件及应用)DVD在线租赁问题数学模型
回溯算法
在无法通过贪心算法得到最优解时，采用回溯算 法搜索所有可能的解，找到最优解。
3
分治算法
将问题拆分成若干个子问题，分别求解子问题， 再将子问题的解合并得到原问题的解。
算法复杂度分析
时间复杂度
贪心算法的时间复杂度为O(nlogn)，回溯算法的时间复杂度为 O(2^n)，分治算法的时间复杂度为O(nlogn)。
2. 最大利润 = 总租赁 费用 - N × C（C为 DVD的购买成本）
3. 最佳租赁策略 = argmax(总租赁费用)
求解方法：采用动态 规划方法求解最佳租 赁策略和最大利润。 通过迭代计算不同租 赁策略下的总租赁费 用和最大利润，最终 得到最优解。
04
模型求解与分析
求解算法设计
1 2
贪心算法
模型假设与符号定义
N
DVD的总数量
n
当前租赁的DVD数量
P
每张DVD的租赁费用
模型假设与符号定义
T
租赁期限（天数）
R
续租费用
F
退租费用
模型方程与求解方法
模型方程：根据问题 描述和假设，建立以 下方程来表示DVD的 租赁过程和费用计算
1. 总租赁费用 = N × P×T+n×R×TF × T × (N - n)
租赁期限、续租和退租等。
确定变量
根据问题确定相关的变量，如 DVD数量、租赁费用、租赁期 限等。
建立方程
根据问题描述和变量，建立数 学方程来表示DVD的租赁过程 和费用计算。
求解方程
通过数学方法求解建立的方程 ，得出最优解或近似解。
11560-数学建模-2005年BD题《DVD在线租赁》题目、论文、点评
2005年B\D题《DVD在线租赁》题目、论文、点评DVD租赁优化方案王颖高德宏...在线租赁是信息时代发展的必然趋势。
在租赁过程中，网络经营者主要关注DVD 的预测、购买和分配。
本文提出了简单随机抽样、分类预测和关联预测等三种方法进行需求预测。
针对问题一，利用需求预测得到观霜DVD的人数服从二项分布，并计算出多种可靠度下购买DVD的数量。
以会员的最大满意度为目标函数，建立一个整数规划模型，得到问题二的分配方案。
并计算出前30位会员的分配结果。
在问题三中，我们考虑到60％的会员由于两次租赁而导致DVD可重复利用，因而，采用了两阶段购买的策略，在每个购买阶段都建立了双目标整数规划，从而得到的购买量比原来网站拥有量小，并且会员的满意度达到99．38％，本文最后还给出了考虑归还DVD周期的情形下购买与分配的模型。
DVD租赁优化方案.pdf (388.78 KB)DVD在线租赁系统的优化设计李蓬蓬朱小满...本文在DVD在线租赁背景下，对DVD的租赁与归还，网方的购买与分配以及需求预测等相关问题进行了建模和研究。
首先，对题中给出的表示会员对各DVD的偏爱程度的偏好指数进行修正，提出了绝对满意度和相对满意度的合理定义。
在模型的建盘和求解上，本文首先建立了基于DVD租用次数限制的通用模型和以Pois8ion过程模拟DVD归还过程的随机服务模型解决了在预知市场需求的情况下，各DVD采购量的问题。
随后，建立0-1整数线性规划模型并结合Lingo软件进行求解，很好地回答了现有碟的一次性分配问题。
结合抽样统计的知识，建立0-1规划模型用以解答第三问的多目标规划问题。
在双目标规划的求解处理上，采取以满意度为限制条件，以碟的总量最小为目标进行规划的方式寻优求解。
针对第四问，本文引入VIP机制，分别建立并求解了VIP会员与普通会员的权重不同时的加权规划模型、VIP会员有优先权的分层规划模型。
还简单讨论了会员的信用度、邮递时间、租赁规则、DVD价格因素等实际问题DVD在线租赁系统的优化设计.pdf (315.72 KB)DVD租赁问题的模型设计及求解王成文野...本文讨论了DVD在线租赁的服务供应商可能遇到的问题与其解决方案。
DVD在线租赁问题的数学模型和计算
收 稿 日期 ： ０７— ０— ８ ２０ １ ０
作者简介 ： 张
立（ ９４ ） 男 ， １７ 一 ， 江苏武进人 ， 常熟理工学 院数学系讲师 ， 硕士 ， 研究方向 ： 优化和数学建模
维普资讯
第 ２期
张
立 ：Ｖ Ｄ Ｄ在线 租赁 问题 的数 学模 型和计算
３ ： ．Ａ 每月 租借 Ｄ Ｄ一 次 的会 员 的 比例 ；：每月 租借 Ｄ Ｄ两 次 的会 员 的 比例． Ｖ Ａ： Ｖ
４ 第 ｉ Ｄ Ｄ应该 准备 的数 量 （ ＝１２， ， ， ） ．ｂ： 种 Ｖ ｉ ， ３４５ ． ５ ． 一个 月 内对第 ｉ Ｄ Ｄ有需 求 的会员 得到 满足 的 比例 （ ＝１２ ３ ４ ５ ． ． ： 种 Ｖ ｉ ，， ，，） ６ Ｄ：Ｄ Ｄ每月可 用 次数 的数学期 望． ．Ｅ Ｖ ７ ， 一 个月 内对第 ｉ ．Ｑ ： 种需 求 的人数 上 限（ ＝１２ ３４， ） ｉ ，， ， ５ ．
１ ２， ．０） ， … ２ ．
３ 模 型 的建 立 和 求 解
对第 一个 问题 ， 考虑 到会 员 租 赁 的 实 际情 况 ， １中给 出 的某 种 Ｄ Ｄ的人 数 可 以看 成 是 某 月 选 择 该 表 Ｖ Ｄ Ｄ人 数 的数 学期 望 ， 月 实际选 择该 Ｄ Ｄ的人数 会有 少许 波动 ， 文认 为对 第 种 Ｄ Ｄ的总 的需 求可 以 Ｖ 每 Ｖ 本 Ｖ
３ ７
３ ．客 户提 交订单 应该 注 明 自己的租借 类 型 ： 该月 内一 次或 者两 次． ４ ．对 于租借 一 次或者 两次 的会员 ， 员 必须在 ３ 该会 ０天 内归 还所借 的 Ｄ Ｄ Ｖ．
符号 和变量 说 明如下 ： １ ．Ｎ：网站现 有 的会 员人 数． ． ２ Ｐ ： ｉ Ｄ Ｄ被选 中的概率 （ ＝１２ ３ ４， ） ｇ： ｉ Ｄ Ｄ没有 选 中的概率 （ ＝１２ ３， ５ ． ． 第 种 Ｖ ｉ ， ， ， ５ ； 第 种 Ｖ ｉ ， ， ４， ）
DVD在线租赁DVD在线租赁数学建模
DVD在线租赁一、问题重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。
这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。
考虑如下的在线DVD租赁问题。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD 之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
请考虑以下问题：1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从.asp下载），如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。
如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。
最新数学建模——DVD在线租赁
数学建模——D V D在线租赁DVD在线租赁问题优化方案（田密万国）摘要本文依托现实网站DVD在线租赁预测、购买和分配方式，抽象简化出主要以网站购置量少、分配方式好以及会员满意度高为目标的数学模型，并通过合理简化假设进行需求预测，并建立优化模型。
问题一：我们建立DVD利用率数学模型，得到了至少50%在一个月内能够看到各种DVD至少需要的DVD张数分别为6250,3125,1563,782,313，以及三个月内能保证至95%的会员能够看到各种DVD至少需要的每种DVD的张数分别为3959,1980,990,495,198。
（具体见表一）问题二：首先通过对数据的分析定义了关系式：满意度=11－偏爱度，建立整数规划模型。
用Lingo解得最大满意度为24746,以及前三十名会员的分配方案（见表一），全部会员的分配方式（见附表DVDc.xls）。
问题三：要求DVD购置量最小与满意度最高是决策问题的关键，平衡DVD购置量和会员满意度，找到较好的购置方式及分配方案。
于是有两个目标：DVD购买总量最少，总满意度最大。
采用分层序列法将多目标规划转换为单目标规划，用Lingo编程解得DVD购买总量2850张, 最大满意度为25650,以及分配方式（见附表DVD3c.xls）。
问题四：我们的想法是从网站最大化客户满意度与最大利润双目标的具体实现入手，可以考虑设立不同等级优先度的策略，以及减少DVD人为或运输破损等造成的损失，来共同提高会员整体满意度和实现效益最优。
关键词：整数规划模型，满意度，0-1规划，多目标规划，Lingo一、问题重述信息时代，网络发挥越来越重要的作用，许多网站利用强大资源和知名度为消费者提供专业便捷的服务。
音像制品的在线租赁即为其中一项，充分发挥了网络诸多优势，为顾客提供了周到的服务。
考虑在线DVD租赁问题。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员提交订单，网站根据现有的DVD数量和会员的订单进行分发，并基于其偏爱程度排序。
DVD在线租赁DVD在线租赁 数学建模
数学建模论文王伟自动化与信息工程学院自091 刘宏自动化与信息工程学院电气085 关庆理学院计算0822011年7月21日DVD在线租赁摘要针对本题我们采用关键词：一、问题重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。
这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。
考虑如下的在线DVD租赁问题。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD 之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
请考虑以下问题：1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从/mcm05/problems2005c.asp下载），如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
DVD在线租赁问题的探讨数学建模
DVD在线租赁问题的探讨摘要本文探讨了DVD在线租赁问题，成立了DVD租赁问题的优化模型，依据会员中意度达到最优原那么，综合考虑网站制定的假设干约束，分层次成立了以下三个模型：模型Ⅰ：利用概率统计中样本散布可估量整体散布的知识，成立了在最糟糕的情形下也能知足会员要求所需要的DVD数量的模型，而且取得了知足要求的结果：一个月：DVD1~DVD5张数别离为：6250，3125，1563，782，313。
三个月：3959，1980，990，495，198。
模型Ⅱ：咱们概念了一个较为合理的中意度函数，成立了0-1整数计划的模型并用求解，取得整体平均中意度为的全局最优分派情形，而且具体列出了前30位会员别离取得的DVD编号。
模型Ⅲ：咱们采纳了单因素、双因素分层次解决双目标计划的方式，通过运算机C语言编程来实现随机抽样，模拟真实情形，并通过大量的数据观测出DVD总数稳固在2850～2950张之间，依照这一点咱们提出了一个快速算法，使得计算效率大大提高。
咱们还从市场因素，效劳因素，时刻因素和其他因素综合考虑了DVD需求预测，购买，分派中的一些问题，并就需求问题做了专门的探讨，其中会员人流量为其要紧因素。
本文章还从会员一次订购DVD的数量对中意度函数进行了灵敏度分析，并依照拟合图像验证了一次订购3张DVD能够使中意度达到最优的假设。
在问题的进一步讨论中，咱们给出了模型Ⅰ可能的取值范围，考虑到实际情形，对模型Ⅱ进行了改良，提出了一种应用更普遍的模型。
关键词：全局最优解 0－1计划中意度随机抽样快速算法一．问题重述1. 1问题的背景在线DVD租赁问题。
随着信息时期的到来，网络成为人们生活中愈来愈不可或缺的元素之一。
许多网站利用其壮大的资源和知名度，面向其会员群提供日趋专业化和便利化的效劳。
1．2实际现状顾客缴纳必然数量的月费成为会员，订购DVD租赁效劳。
会员假设对DVD 有爱好，只要在线提交定单，网站就会通过快递的方式尽可能知足要求。
DVD在线租赁问题研究
D V D在线租赁问题研究 Revised by Petrel at 2021D V D在线租赁问题研究摘要本文解决的是DVD在线租赁网站在DVD的需求预测、购买和分配中的重要问题。
首先我们通过随机概率模型分析了要满足会员要求的DVD的最少采购量，其中主要利用了0-1分布和二项分布的理论，即认为会员是否一个月租赁两次是一个随机事件，服从0-1分布，因此分配到自己想要DVD的会员中租赁两次的人数就服从二项分布，具体计算时(由于是大样本场合)用标准正态分布逼近二项分布得到最后的结果。
在解决最大满意度原则下的DVD分配时，我们建立的是以最大期望满意度为目标，含有随机变量的规划模型。
出于计算规模和效率方面的考虑，文中采用类似贪婪算法的处理方法，将DVD的分配分成两个阶段来处理，这两个阶段分别的最优解之和作为最终要得到的最优目标。
最后我们基于现实基础提出了以最大满意度和最小邮费为目标的规划方程，并对上述几个模型进行了评价和推广价值讨论。
关键字最优解0-1规划满意度分配方案一、问题重述（一）提出背景随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。
在线DVD租赁就是这样一种传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉的服务。
（二）提出问题客户缴纳一定数量的月费成为会员，通过在线提交订单，订购DVD租赁服务，会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
在已知会员订单情况下，如何购买、分配这些DVD，使会员满意度最大且成本最低就成了自然而然的问题。
另外，在DVD的需求预测、购买和分配中还存在很多其他问题值得研究。
（三）重述问题考虑如下DVD租赁问题：顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
DVD在线租赁问题数学模型
2）如何对手中DVD已编号有的DD0V01D进行D00分2 配，D0以03 使所D有004会员的…
满
DVD现有数量
8
1
22
10
…
意度和达到最大C00。01 0
0
2
0
…
C0002
1
0
9
0
…
会员 C0003
0
6
0
0
…
在线
订单 C0004
0
0
0
0
…
C0005
5பைடு நூலகம்
0
0
0
…
…
…
…
…
…
…
D001－D020表示20种DVD, C0001－C0100表示100个会员，会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员 的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。
问题二类似于“分配问题”或“指派问题（Assignment problem）”，我们可以对偏 爱度进行适当的处理以满足我们的要求。0-1规划是处理该问题的最佳方法，因此如 何使用这一方法将是研究问题二的关键。
问题三看似是问题一与问题二的结合（存贮+分配），但实际要复杂得多。他综合 考虑一个月内DVD的购买、分配方案，是一个多目标线性规划。从经济效益看，在 保证95%以上会员一个月内看到想看的DVD的情况下，希望购买尽量少的DVD， 从社会效应看，则要尽可能多地考虑让总的满意度最大。 这时，可以将多目标变为单目标规划，以求得一个经济与社会效益的综合最优。由 于问题三牵涉到两次分配，而对会员满意率的理解又有多种解释，因此目标及约束 函数会和问题一、问题二有很大差别。而问题三的模型又可从当前满意度最大和一 段时间内满意度最大两个角度来考虑。
DVD在线租赁的数学模型
DVD在线租赁的数学模型介绍在互联网时代，人们越来越依赖在线服务。
DVD在线租赁作为一种常见的在线服务方式，已成为许多人看电影的首选。
然而，如何正确制定租赁计划，既使用户感到满意，又使公司获得合理的收益，是DVD在线租赁公司经常面临的挑战。
在本文中，我们将介绍DVD在线租赁公司所使用的数学模型。
通过对不同租赁计划的分析，我们将了解这些数学模型如何用于决策制定，以保证租赁计划的成功。
数学模型租赁计划的设计是基于数学模型的。
在这个模型中，需要考虑以下因素：用户需求DVD在线租赁公司需要了解用户的喜好和需求，以制定合适的租赁方案。
用户可以选择租用几张DVD，租赁期限以及收费方式。
因此，DVD在线租赁公司需要了解用户偏好，包括喜欢的影片类型、租赁频率和数量等相关信息。
库存管理DVD在线租赁公司需要保持足够的库存，以满足用户的需求。
此外，还要考虑库存成本、采购成本和退货等因素。
因此，库存管理是该模型中的重要部分，需要考虑到库存成本和库存的最优量。
前期投入和回报DVD在线租赁公司需要考虑前期投入和回报，包括购买DVD的成本、租赁服务器的成本等。
此外，还需要计算租赁计划的收益，以形成合理的租赁收费模式。
数据分析DVD在线租赁公司需要收集并分析大量的用户数据，以了解用户需求和行为模式。
数据分析使得公司可以更好地了解他们的用户，并优化他们的租赁计划。
模型的优化优化模型是保证租赁计划成功的重要步骤。
在优化模型时，DVD在线租赁公司可以从以下几个方面入手：利润最大化DVD在线租赁公司的目标之一是获得尽可能多的收入。
他们可以通过分析数据和制定不同的租赁方案来提高利润。
成本最小化相对于获得更多的收入，DVD在线租赁公司最好的选择是尽可能地降低成本。
成本最小化可以使得公司在竞争中获得更大的优势。
最优库存库存管理是DVD在线租赁公司的关键点之一。
他们可以通过最优库存，降低库存成本和租赁计划的风险。
总结在本文中，我们介绍了DVD在线租赁公司所使用的数学模型。
DVD在线租赁问题数学模型
DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型
问题提出
为深入研究网站的经营策略，我们从以下几个角度由浅入深得进行考察： 为深入研究网站的经营策略，我们从以下几个角度由浅入深得进行考察： 至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD DVD的会员中 1）至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中 至少50%在一个月内能够看到？ 50%在一个月内能够看到 至少50%在一个月内能够看到？若要求保证在三个月 内至少95%的会员能够看到呢？ 95%的会员能够看到呢 内至少95%的会员能够看到呢？ 在实际的经营过程中，不可能像刚才讨论的两个问题这么简单， 3、在实际的经营过程中，不可能像刚才讨论的两个问题这么简单，我们 不可能将顾客的满意率与他们的满意度割裂开来分开研究， 不可能将顾客的满意率与他们的满意度割裂开来分开研究，可以说这是 两个问题是相互牵制的关系。假设表1.2 DVD现有数量全部为 1.2中 现有数量全部为0 两个问题是相互牵制的关系。假设表1.2中DVD现有数量全部为0。作为网 如何对手中已有的DVD进行分配， DVD进行分配 2）如何对手中已有的DVD进行分配，以使所有会员的满 站经营管理人员，如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD DVD的购买量 DVD进行 站经营管理人员，如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行 意度和达到最大。 意度和达到最大。 分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD 95%的会员得到他想看的DVD， 分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大呢 只有弄清楚这个问题，我们才能初步的对DVD在线租赁问题有个认识。 DVD在线租赁问题有个认识 ？只有弄清楚这个问题，我们才能初步的对DVD在线租赁问题有个认识。 作为网站经营管理员，如何决定每种DVD的购买量， DVD的购买量 3）作为网站经营管理员，如何决定每种DVD的购买量， 以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95% DVD进行分配 以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95% 的会员得到他想看的DVD 并且满意度最大呢？ DVD， 的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大呢？
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关于DVD在线租赁问题的数学建模的研究年级：2011级学院：计算机信息与工程专业：计算机科学与技术姓名：陈志超（1108114022计科二班）王俊美（1108114014计科二班）焦标标(1108114科一班)关于DVD 在线租赁问题的数学建模的研究摘 要 本文考虑的是DVD 在线租赁的问题，我们从历史统计数据出发把会员分为两类，A 类：（占60%）一个月内可以租碟两次，B 类：（占40%）一个月内只可以租碟一次。
基本假设出发，第一问我们根据实际情况以及基本假设，A 类：一个月内第一次租碟看了半个月就还回来，可以提供本月下一次再出租，B 类：租一次就看了一个月这个，我们通过推理的出了满足假设的结果，其结果基本上是合理的，第二问我们可以把它归结为（0，1）整数规划，把会员的满意度作为目标函数进行决策，首先我们把代表会员偏爱程度用层次分析的方法（即通过取倒数的方法）转化为顾客满意程度，由于我们建立的模型是一个（0，1）整数规划的模型，它是一个NP-难的问题，基于问题复杂性，我们只能提供贪婪算法这种启发式算法，通过逐步寻优得出一个近似解后，我们再对解进行改进，使之得到更具实际意义的解，第三问也可以把它归结为（0，1）整数规划，我们首先确定1000个会员中A 类会员与B 类会员，我们的作法是在（1-1000）中随机产生600数我们令会员编号属于这600个数是属于A 类的，其余的属于B 类。
然后初步确定每种DVD 数量，我们开始取的DVD 总的数量为应该有的下界（即3*950=2850），则第j 种DVD 的数量为：满意度之和所有客户对所有的满意度之和种所有客户对第DVD DVD j *2850然后与第二问类似的算法的出初始解，然后对解进行进一步优化与改进，使满足95%的会员在一个月内能够看到他想看到的DVD 。
最后我们提及了模型的改进以及算法的改进建议。
关键字 整数规划 贪婪算法 满意度 在线租碟一﹑问题的重述及研究背景随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
例如，教育资源的光盘制品在线租赁就是一种可行的服务。
这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。
在为顾客提供方便的同时，为了追求利润的最大化，租赁服务将面临以下决策问题： 1．在知道愿意观看的顾客的数量的情况下，如何对准备DVD 的数量，使愿意观看的人数达到某种程度？2．在知道每个顾客的定单、偏爱程度以及现有的DVD 的数量的情况下，如何分配才能使会员获得最大的满意度？3．在知道顾客的定单、偏爱的程度的情况下，如何决定DVD 的购买量以及分配，使满足一定的顾客得到他想要的情况下使满意度最大4．如何预测顾客的需求，使准备的DVD 利用率最高以及使顾客的满意度最大。
以上问题的解决将使在线租赁服务的决策者对需求、购买量、分配进行决策使顾客的满意度以及服务的利润最大。
二﹑问题假设 （1）每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD 会员看完3张DVD 之后，需将DVD 寄回，才可以继续下次租赁。
（2）每个会员所租的DVD都是不同种类的。
（3）在所有的会员中有60%的租一次看了半个月就还回来，可以提供本月下一次再出租，而40%租一次就看了一个月。
（4）假设月初和月中两次发货，租出去的DVD月末全部收回。
（5）DVD在邮寄和使用时不会被弄坏。
三﹑符号说明I所有为会员的集合AI*类会员的集合I**B类会员集合JDVD种类的集合i会员的下标j种类的下标DVD四．模型的建立与求解4．1 第一问分析假设与求解基本假设：5张不同种类的假设不愿意观看DVD1的会员不会租看DVD1。
假设准备x1张DVD1，。
，x5张DVD5。
对于DVD1来说，根据历史数据显示，有200个人想看，其中有60%的人（A类）租一次看了半个月就还回来，可以提供本月下一次再出租，40%的人（B类）租一次就看了一个月。
其中每次租赁遇到A类的人的概率为0.6。
为了满足题设的要求：至少准备多少张DVD（i）。
所以应该尽力提高每张DVD（i）的利用率。
我们将A类准备租同一种DVD的会员分成均等的两批，分上下两个半月来观看那种DVD，上半月DVD（i）全部租出去：租给1/2A类人和全部B类人：下半月DVD（i）租给另外的1/2A类人。
这时人均使用DVD张数减少，即为（0.6/2+0.4=0.7），这是我们人为完全可以实现的，操控的。
这是我们减少同种DVD库存数量的一种行之有效的方法，由此很容易想到可以通过以A类人为对象来实现DVD的利用率达到更高，可以假设：比如租借DVD1的人全是A类人，此时可通过上述方法使人均使用DVD张数减少到（1/2=0.5），但是这只是理想的情况，实际中是不可能存在的，是违背概率规律的。
是我们人为不可能通过操控实现，达到的。
愿意观看DVD（i）的人数=会员总数×抽样中愿意观看DVD（i）的人数/抽样总人数i=1，2，3，4，5（1）需要准备的DVD（i）的张数=愿意观看DVD（i）的人数×50%×0.7(根据实际情况，若出现小数则取整再加1)（2）需要准备的DVD（i）的张数=愿意观看DVD（i）的人数×95%÷3×0.7将已知数据代入上面的式子算得：(根据实际情况，若出现小数则取整再加1)4．2 第二问的模型与算法 4．2．1 问题的假设与分析问题要求我们只处理当前的1000位会员的在线定单，因而我们只考虑当前满足一次的情况，即给每一个会员的DVD 不超过3张也就是说每个会员的DVD 数只能是0或者3，要使会员的满意度最大，由于问题给出的是反映偏爱程度的数字，而且数字越小偏爱程度越高。
显然满足了偏爱程度高其满意程度就高，因而我们可以用数组数字的倒数来刻画满意程度的高低，如表：即若满足了偏爱程度为2的，则其满意程度为2，如果不在会员的定单中，则其满意度为0，这样刻画满意度在事实上是比较合理的。
4．2．2 问题的模型∑∑==100011001maxi j ijijx a（0）∑=≤10013j ijxI i ∈ （1）j i ijA x≤∑=10001J j ∈ （2）其中：ij a 为第i 个客户对第j 个客户的满意程度。
⎩⎨⎧=DVDj i DVD j i x ij 种个客户得到第第种个客户没有得到第第1j A 为第j 种碟的数量（0） 式为目标函数，约束（1）表示每个人分到的DVD 只能是3或者是0，约 束（2）表示的是分第分给会员的DVD 的数量不能超过该DVD 的数量。
4．2．3 模型的算法：由于数据过于庞大，我们在此提供一个贪婪算法，贪婪算法是一种逐步寻优的方法，它虽然是一种近似算法，但是用它可以快速的解决较大规模的问题。
具体步骤如下： Step0: 首先我们要求满足第一列满意程度高的，直到所有的该碟分配完或所有有定单的客户得到满足，k=2.Step1: 考察第k 列，先满足满意程度高的（如果满足约束条件），不满足约束条件则考虑满足约束条件满意程度次之的。
依次类推直到所有的碟分配完，或已经满足有定单的会员。
Step2: k++, 转Step1, 直到k=100。
Step3:解的改进:用上面的算法得到的解有可能使某个会员得到的DVD 数少于3张，因而必须对所求的解进行改进，我们的做法是把小于3张的取出来在进行同列再分配使尽量满足其他小于3张的会员使其达到3张，如果不能再分配则与同列比他的满意度低的相交换。
然后该会员的DVD 数变为0。
4．2．3 数值结果及分析我们通过Matlab 编程计算可以得到前30位的客户所分配到的DVD 种类为：从上表结合在线定单表我们可以看到其中大部分都会满足满意度最高的三个，这主要是因为DVD 的总数量超过了3000张达到3007张，从理论上讲应该大部分满足满足最高的三个，从表中我们还可以看到编号为C0015会员没有分到DVD ，这是因为从在线定单表中可以看出编号为D037的DVD 的数量为106张，而其定单数只为91个因而有15张D037不能被分配，从而最多只有3007-15=2992被分配，所以将存在会员没有被分配。
4．3 第三问的模型与算法 4．3．1 问题的分析与假设此问要求在一个月内满足95%的会员得到他想看的条件下使满意度最大，为此我们假设若某会员对某张DVD 有定单的话，那么该会员就想看这张碟，从表中我们可以看到：每一个会员发的定单数都超过了六张，而每个会员所能租的DVD 不会超过六张，因而我们不可能满足其所有想看的DVD ，所以我们假设当一个会员得到他所想要的一部分，就说他得到他想看的DVD ，即我们只要给某个会员分三张或者六张DVD ，则该会员得到了想看的。
4．3．2模型为：∑∑==100011001maxi j ij ijx a（0）∑=≤10016j ijx*I i ∈ （1）∑=≤10013j ijx**I i ∈ （2）∑∑==≥100011001950*3i j ijx（3）∑∑==≤100011001950*6i j ijx（4）其中：ij a 、ij x 的定义与的第二问相同，（0）为模型的目标函数表示的是使满意度最大，约束（1）表示的是属于A 类的会员分配到的DVD 不能超过6张（即：只可能为0，3，6），约束（2）表示的是属于B 类的会员分配到的DVD 不能超过3张（即只可能是0，3），约束（3）表示DVD 的数量至少应该使950个人得到3张DVD ，约束（4）DVD 的数量不可能超过分给950个会员每个会员6张DVD 。
4．3．2 模型的算法首先：确定那些会员是属于A 类的，哪些会员是属于B 类的，为此我们随机产生600个（1-1000）的数，我们令这600个数是属于A 类的，其余的属于B 类。
然后初步确定每种DVD 数量，我们开始取的DVD 总的数量为应该有的下界（即3*950=2850），则第j 种DVD 的数量为： 满意度之和所有客户对所有的满意度之和种所有客户对第DVD DVD j *2850当所有的数据初始化之后，执行下列算法：Step0: 首先我们要求满足第一列满意程度高的会员，若有属于*I 的，则其还回来的再分配给余下的满意度高的，直到所有的DVD 被分配完或满足了所有有定单的会员，k=2. Step1: 考察第k 列先满足满意程度高的（如果满足约束条件），不满足约束条件则考虑满足约束条件满意程度次之的，若有属于*I 的会员，则其还回来的再分配给余下的满意度高的，直到所有的该种碟被分配完或满足有定单的会员。