数学建模——DVD在线租赁

DVD在线租赁问题优化方案（田密万国）摘要本文依托现实网站DVD在线租赁预测、购买和分配方式，抽象简化出主要以网站购置量少、分配方式好以及会员满意度高为目标的数学模型，并通过合理简化假设进行需求预测，并建立优化模型。

问题一：我们建立DVD利用率数学模型，得到了至少50%在一个月内能够看到各种DVD至少需要的DVD张数分别为6250,3125,1563,782,313，以及三个月内能保证至95%的会员能够看到各种DVD至少需要的每种DVD的张数分别为3959,1980,990,495,198。

（具体见表一）问题二：首先通过对数据的分析定义了关系式：满意度f ij=11－偏爱度d ij，建立整数规划模型。

用Lingo解得最大满意度为24746,以及前三十名会员的分配方案（见表一），全部会员的分配方式（见附表DVDc.xls）。

问题三：要求DVD购置量最小与满意度最高是决策问题的关键，平衡DVD购置量和会员满意度，找到较好的购置方式及分配方案。

于是有两个目标：DVD购买总量最少，总满意度最大。

采用分层序列法将多目标规划转换为单目标规划，用Lingo编程解得DVD 购买总量2850张, 最大满意度为25650,以及分配方式（见附表DVD3c.xls）。

问题四：我们的想法是从网站最大化客户满意度与最大利润双目标的具体实现入手，可以考虑设立不同等级优先度的策略，以及减少DVD人为或运输破损等造成的损失，来共同提高会员整体满意度和实现效益最优。

关键词：整数规划模型，满意度，0-1规划，多目标规划，Lingo一、问题重述信息时代，网络发挥越来越重要的作用，许多网站利用强大资源和知名度为消费者提供专业便捷的服务。

音像制品的在线租赁即为其中一项，充分发挥了网络诸多优势，为顾客提供了周到的服务。

考虑在线DVD租赁问题。

顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。

会员提交订单，网站根据现有的DVD数量和会员的订单进行分发，并基于其偏爱程度排序。

每个会员每月租赁次数和张数有限制。

会员在看完之后，将DVD寄回网站，就可以进行下次租赁。

考虑以下问题：1、网站预购新DVD，问卷调查得到愿意观看人数记录，并由历史数据得到租赁两次与租赁一次的人数之比。

考虑至少应准备多少张，能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD；类似的，考虑在三个月内能保证至95%的会员能够看到该DVD至少需要的DVD张数。

2、根据网站现有DVD张数以及所需处理的会员订单，思考如何分配这些DVD，使会员得到最大满意度，并列出前三十位会员分别获得哪些DVD。

3、考虑表2（假设DVD数量为0），确定DVD的购买量以及分配方式，使一个月内95%的会员得到想看的DVD，并达到最大满意度。

4、针对问题四，我们从网站最大化客户满意度与最大利润双目标的具体实现入手，可以考虑设立不同等级优先度的策略，以及减少DVD人为或运输破损等造成的损失，来共同提高会员整体满意度和实现效益最优。

二、模型假设、的比例分配；1、只存在每月租借一次和每月租借两次两类会员，且符合40%60%2、会员每月至少租借一次DVD，每次只能租借三张DVD，且三张不同；3、一个月借两次的人必须在第一次借的DVD归还之后才能再接第二次；4、每月只借一次的会员在月末才归还所借的DVD，所以这部分DVD不能再借给其他会员；5、不同DVD的需求与分配独立，之间没有关联性；6、某张DVD被会员还回后，可在当天配送给其他需要的会员；7、DVD的分配量决定其购置量；8、会员满意度与其在一个分配周期内租借到其想看DVD的具体时间无关；三、符号说明1、a j为第j(j=1,2…5)种DVD应准备的数量；2、b j为希望看到第j种DVD的人数;3、c ij等于1表示分配给会员i第j种DVD,反之不分配(i=1,2,…,1000，j=1,2,3…100)；4、d ij表示会员i对第j种DVD的偏爱度(i=1,2,3…1000，j=1,2,…,100)；5、e j 表示第j 种DVD 现有的数量；6、f ij 为会员i 对第j 种DVD 的满意度(i=1,2,3…1000，j=1,2,3…100)；7、g i 表示会员i(i=1,2,3…1000)是否得到三张DVD ，若得三张，则其为1，反之为0； 8、x j 代表第j 中DVD 应该购买的数量,z 为购买的DVD 总数，y 为会员总满意度； 9、excel 文件：表DVDed 是偏爱度数据； 表DVDf 是满意度数据；表DVDc 是问题二DVD 的分配方案；表DVD3c 是模型三解得的DVD 分配方案和每种DVD 应购买数量。

四、问题分析与模型建立（一）模型一从实际情况看，每个会员每月最多借两次，根据历史数据，每月租借一次和两次的会员分别占总会员人数的40%和60%，即每个月借出去的DVD 有60%的人在本月会归还，还能借给他人，即第一次借出a j ，则归还后还能再借给其他60%a j 人，在一个月中使需要每种DVD 的会员中有50%的人可以借得DVD ，即至少有50%b j 人借得需要的DVD ；引入下面的结构图辅助分析：图 1对上面的租借结构图可以得出：①在一个月中要使希望看到该DVD 的会员中至少有50%可以看到该DVD ，则a,b 应满足：min=∑a j 5j=1; a j +60%a j ≥50%b j②在三个月中使希望看到该DVD 的会员中至少有95%的人可以看到该DVD ，由于每个月是一个周期，所以第二个月、三个月的情况与第一个月类似，所以a,b 应满足：min=∑a j 5j=1; 3(a j +60%a j )≥95%b j由Lingo 可以解出模型一的结果见表一：表一DVD 名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 ①购置张数 6250 3125 1563 782 313 ②购置张数39591980990495198具体程序参考附录一（二）模型二要使会员的满意度最高，即使会员总的偏爱度最高，分析表中的数据可知表中所给的数据不代表订单的数量，而是代表偏爱程度，到数据为零代表该会员没有下订单，不为零代表有订单，而数据越小代表偏爱度越高，观察表中的数据可知：偏爱度最小为10，最大为1，为了方便计算，我们将偏爱度转化为满意度，则：最小满意度为1，最大满意度为10：即当偏爱度部位0时：满意度=11-偏爱度；当偏爱度为0时满意度为0。

同时分配DVD 时需满足：当会员无订单时不能给其分配DVD ，必须够三张才能给其分配，计算表中的DVD 现有数量总和可知，共有3007张DVD ，可以满足1000人每人三张。

目标函数：Max=∑∑c ijf ij 100j=11000i=1；分配原则必须满足如下条件：现有的DVD 数量约束： ∑c ij 1000i=1≤e j (j=1,2,3…100); 每人是否得到三张DVD 约束：∑c ij 100j=1=3g i (i=1,2,3…1000); 满意度计算：当 d ij =0时，f ij =0；当d ij >0时，f ij =11- d ij ； 综上，数学模型为：Max=∑∑c ijf ij 100j=11000i=1；约束条件：∑c ij 1000i=1≤e j (j=1,2,3…100); ∑c ij 100j=1=3g i (i=1,2,3…1000);当 d ij =0时，f ij =0；当d ij >0时，f ij =11- d ij ；运用Lingo 软件编程可求得前三十名会员的分配方案如下表二:表二会员编号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 DVD 编号 41 44 50 18 66 53 66 35 78 55 98 62 80 41 68 66 81 71 100 85 会员编号DVD 编号 59 2 21 23 13 10 47 41 66 45 63 31 78 52 52 84 51 60 84 61 66419689859767788689会员编号DVD 编号50 55 81 41 69 68 58 34 30 62 53 57 95 76 94 95 78 82 55 98全部会员的分配方案见表DVDc.xls ；（三）模型三购买DVD 的数量越少越省钱，但是不能太少，如果不能满足一定的会员满意度，则会对公司后期发展造成不利后果，所以应该在购买DVD 的数量和会员满意度之间找到一个平衡，既能使购买的DVD 数量尽可能的少，又能使会员满意度尽可能的大。

于是该模型有两个目标函数：满意度：max y=∑∑c ij 100j=1f ij 1000i=1DVD 总购买量：min z=∑x j 100j=1; 约束条件：购买与分配的DVD 数量约束：∑c ij 1000i=1≤x j , j=1,2,3…100; 会员得到三张DVD 约束：∑c ij 100j=1=3g i , i=1,2,3…1000; 95%的会员得到需要的DVD 约束：∑g i 1000i=1=95%×1000; 0,1约束：g i =0或1；c ij =0或1。

综上，数学模型为：max=∑∑c ij 100j=1f ij 1000i=1 , min= ∑x j 100j=1;约束条件：∑c ij 1000i=1≤x j , j=1,2,3…100; ∑c ij 100j=1=3g i , i=1,2,3…1000; ∑g i 1000i=1=95%×1000; g i =0或1；c ij =0或1。

由于多目标函数用Lingo 不能直接求解，所以运用分层序列法求解：先不考虑总满意度最大，求得DVD 的最小购买量z=2580，再以求得的DVD 的最小购买量z=2580为约束条件求得最大满意度25650；然后再不考虑DVD 的最小购买量，求得总的最大满意度25650，以最大满意度为约束条件，求DVD 的最小购买量2850。

综上可知，最大满意度为25650，购买的DVD 数量为2850时可以使一个月有95%的会员能得到希望的DVD 。

具体程序见附录三。

（四）模型四从网站最大化客户满意度与最大利润双目标的具体实现入手，可以考虑根据会员缴纳会费多少设立不同等级优先度的策略，或者通过监管力度加大对流通环节因DVD 人为或运输破损等造成的损失，来共同提高会员整体满意度和实现效益最优。

五、模型评价1.问题一中采用DVD 利用率的简化模型，算法思想清晰，便于求解；2.问题二中采用的0-1规划模型，运用Lingo 较快解出了最优解3.问题三中采用0-1规划及多目标模型求解，为网站平衡会员满意度和DVD 购置量提供了量化依据。