16.1.1二次根式的概念--上课用
二次根式知识点的相关概念及对应的公式
二次根式知识点的相关概念及对应的公式一、引言二次根式作为数学中的重要概念，它涉及到了数学运算、代数式简化等方面，对于学习数学的人来说是一个基础而又重要的概念。
在学习二次根式的过程中，我们需要了解相关的概念和对应的公式，并且能够灵活运用于实际问题中。
本文将会从深度和广度的角度，全面评估二次根式的相关概念及对应的公式，并给出一个有价值的文章。
二、二次根式的概念1. 二次根式的定义二次根式是形如$\sqrt{a}$（其中$a\geq 0$）的式子，其中$a$称为被开方数。
我们称$\sqrt{a}$为二次根式，通常可以将$\sqrt{a}$理解为一个数，这个数的平方等于$a$。
$\sqrt{4}$就是一个二次根式，它的值为2，因为$2^2=4$。
2. 二次根式的简化在进行数学运算时，我们经常需要对二次根式进行简化。
当被开方数$a$为某个整数的平方时，二次根式$\sqrt{a}$可以进行化简，即$\sqrt{a}=\pm\sqrt{b}$，其中$b$为$a$的正平方根。
$\sqrt{25}=5$。
3. 二次根式的运算二次根式可以进行加减乘除运算，其中需要特别注意的是，二次根式在进行加减运算时，要求根指数相同才能进行运算。
在进行乘法和除法运算时，我们可以利用二次根式的性质进行化简。
三、二次根式的公式1. 二次根式的乘法公式当两个二次根式相乘时，可以利用乘法分配律进行化简，即$(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}) = \sqrt{ab}$。
这个公式在化简乘法运算时非常有用。
2. 二次根式的除法公式当两个二次根式相除时，可以通过有理化的方法，将分母有理化为整数，从而进行化简。
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\cdot\frac{\sqrt{ b}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}$。
3. 二次根式的加法和减法公式二次根式的加法和减法需要根指数相同才能进行运算。
人教版数学八年级下册16.1第1课时《 二次根式的概念》教学设计
人教版数学八年级下册16.1第1课时《二次根式的概念》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1第1课时《二次根式的概念》是初中数学的重要内容，主要让学生了解二次根式的概念，理解二次根式与有理数、实数之间的关系，为后续学习二次根式的运算和应用打下基础。
本节课的内容包括二次根式的定义、性质和运算方法，通过学习，让学生能够熟练掌握二次根式的相关知识，提高他们的数学素养。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数等相关知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。
但二次根式作为新的数学概念，对于部分学生来说可能较为抽象，难以理解。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中抽象出二次根式的概念，帮助他们建立直观的认识，从而更好地理解和掌握二次根式的相关知识。
三. 教学目标1.让学生了解二次根式的定义、性质和运算方法。
2.培养学生从实际问题中抽象出二次根式的能力。
3.提高学生的数学素养，培养他们的逻辑思维能力和运算能力。
四. 教学重难点1.二次根式的定义和性质。
2.二次根式的运算方法。
3.引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
五. 教学方法1.情境教学法：通过创设实际问题情境，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
2.讲授法：讲解二次根式的定义、性质和运算方法。
3.实践操作法：让学生通过实际操作，掌握二次根式的运算方法。
4.小组讨论法：分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示二次根式的相关知识。
2.实际问题：准备一些与生活实际相关的问题，用于引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实际问题情境，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
例如，讲解一个物体从地面上升到最高点再下降到地面的过程，上升和下降的距离分别是3米和4米，求物体的最大高度。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的定义、性质和运算方法。
16.1.1 二次根式的定义
C．x >－1
D．x >－1且x≠3
本题易错在漏掉分母不为0这个条件，由题意 知x＋1≥0且(x－3)2≠0，解得x≥－1且x≠3.
易错点：考虑不全造成答案不完整.
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
知2－讲
例2 当x是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义？ 解：由x-2≥0，得x≥2.
当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
知2－练
1 当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有 意义？
(1) a 1； (2) 2a 3； (3) a； (4) 5 a .
解：(1)由a－1≥0，得a≥1，所以当a≥1时， a 1 在 实数范围内有意义．
围是( A )
A．x≥1
B．x＞1
C．x≤1
D．x＜1
知2－练
3
【 2017·日照】式子
a＋1 有意义，则实数 a－2
a的取值范围是( C )
A．a≥－1
B．a≠2
C．a≥－1且a≠2
D．a＞2
知2－练
4 (中考·滨州)如果式子 2 x 6 有意义，那么x的取值 范围在数轴上表示正确的是( C )
∴ x2 2x 2 是二次根式．
(8)∵|x|≥0，∴ x 是二次根式．
总结
知1－讲
二次根式的识别方法： 判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式 的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个 特征： (1)含根号且根指数为2(通常省略不写)； (2)被开方数(式)为非负数．
知1－练
A．2个
ห้องสมุดไป่ตู้
B．3个
C．4个
D．5个
知识点 2 二次根式有意义的条件
二次根式的概念与运算
二次根式的概念与运算一、二次根式的概念二次根式是指形如√a的表达式，其中a为非负实数。
在数学中，二次根式是非常重要的概念，它与平方根的运算密切相关。
在二次根式中，a被称为被开方数，√a被称为二次根式符号，它表示被开方数的平方根。
二、二次根式的运算二次根式的运算包括加减乘除四则运算，下面我将依次介绍这些运算规则：1. 二次根式的加减法：当二次根式的被开方数相同且二次根式符号相同时，可以进行加减运算。
例如：√2 + √2 = 2√2，√3 - √3 = 02. 二次根式的乘法：将二次根式相乘时，可以将被开方数相乘并保留二次根式符号。
例如：√2 × √3 = √63. 二次根式的除法：将二次根式相除时，可以将被开方数相除并保留二次根式符号。
例如：√8 ÷ √2 = √4 = 2需要注意的是，二次根式的除法要求除数不为0。
4. 二次根式的化简：化简二次根式是指将含有多项二次根式的表达式转化为最简形式。
要化简二次根式，可以通过合并同类项、约分等方法实现。
合并同类项时，需要注意被开方数是否相同以及二次根式符号是否相同。
例如：√2 + √8可以化简为√2 + 2√2 = 3√2另外，有些二次根式可以化简为整数或分数。
例如：√4 = 2，√9 = 3，√16 = 4/√2三、二次根式的运算实例为了更好地理解二次根式的概念与运算，下面我将给出一些运算实例：例1：计算√8 × √2解：根据乘法运算规则，可以将被开方数相乘并保留二次根式符号。
√8 × √2 = √(8 × 2) = √16 = 4例2：化简√12 - √27解：根据减法运算规则，要实现减法，需要先化简被开方数相同的二次根式。
√12 - √27 = √(4 × 3) - √(9 × 3) = 2√3 - 3√3 = -√3例3：将√18 + 4√2化简为最简形式解：根据加法运算规则，可以合并同类项。
16.1.1二次根式概念
16.1.1 姓名
1.形如 的式子叫二次根式，其中被开方数的要求是
2.二次根式就是我们以前学过的 和
3.二次根式具有 性，被开方数 ，结果
4.判断二次根式要注意什么⎩
⎨⎧
5.判断二次根式
3- 3- 5.0 0 32 a 10+a
6.有意义条件
4-x 有意义条件是
7.两个组合 x x --+23有意义条件是
8. 0+0型
0824=++-b a ，求b a ,
9. 互为相反型
4284+=-+-b a a ，求b a ,
10.综合型 531
+x 有意义条件是
16.1.1 姓名
1.形如 的式子叫二次根式，其中被开方数的要求是
2.二次根式就是我们以前学过的 和
3.二次根式具有 性，被开方数 ，结果
4.判断二次根式要注意什么⎩
⎨⎧
5.判断二次根式
3- 3- 5.0 0 32 a 10+a
6.有意义条件
4-x 有意义条件是
7.两个组合
x x --+23有意义条件是
8. 0+0型
0824=++-b a ，求b a ,
9. 互为相反型
4284+=-+-b a a ，求b a ,
10.综合型 5
31
+x 有意义条件是。
16.1《二次根式》(第1-3课时)教案 新人教版
16.1 二次根式教案第一课时二次根式的概念教学目标知识与技能 1 理解二次根式的概念2a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围．过程与方法从具体实例中建立二次根式模型，探索二次根式被开方数中字母的取植范围情感态度与价值观经历观察比较总结和应用等数学活动，体验发现的快乐教学重难点关键1a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以，．问题2：由勾股定理得问题3：由方差的概念得.二、探索新知，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平a≥0）•的式子叫做二次根式，”称为二次根号．（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0老师点评:有意义的条件例1．下列式子，哪些是二次根式，、1xx>0）、、、1x y+x≥0，y•≥0）．分析”；第二，被开方数是正数或0．x>0）、x≥0，y≥0）；不是二、1x、1x y+．例2．当x是多少时，2-x在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以x-2≥0，2-x•才能有意义．解：由x-2≥0，得：x≥2当x≥2时，2-x在实数范围内有意义．三、巩固练习教材练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x11x+在实数范围内有意义？分析11x+在实数范围内有意义，必须同时满足0和11x+中的x+1≠0．解：依题意，得23010xx+≥⎧⎨+≠⎩由①得：x≥-3 2由②得：x≠-1当x≥-32且x≠-111x+在实数范围内有意义．例4(1)已知，求xy的值．(答案:2)(2)+=0，求a2004+b2004的值．(答案:25)五、归纳小结（学生活动，老师点评）1a≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．七板书设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A． B C．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（）A B．1 x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（） A．5 B C．15D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x+x2在实数范围内有意义？3．4.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b为实数，且=b+4，求a、b的值．16..1 二次根式教案教学内容 1．a ≥0）是一个非负数；2．2=a （a ≥0）． 教学目标知识与技能a ≥02=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．过程与方法 经历探索二次根式的性质的过程，培养学生从简单到复杂从一般到特殊的思 维过程情感 态度与价值观 通过学生自主探索合作交流体会学习数学的乐趣 教学重难点关键1a ≥0）是一个非负数；2=a （a ≥0）及其运用．2a ≥0）是一个非负数；•用探究的方2=a （a ≥0）． 教学过程一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？2．当a ≥0a<0老师点评（略）． 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答）a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：）2=_______；2=_______；2=______；2=_______；）2=______；）2=_______；）2=_______．是4的算术平方根，是一个平方等于4）2=4．同理可得：）2=2，2=9，）2=3，）2=13，）2=72，）2=0，所以例1计算1．（5.1）2 2．（2 3．24．（2）2分析：我们可以直接利用（2=a （a ≥0）的结论解题．解：（5.1）2 =1.5，（2 =22·2=22×5=20，2=56，（2）2=22724=．三、巩固练习计算下列各式的值：2）2 （4）2）2（）2 22-四、应用拓展例2 计算1．2（x ≥0） 2．2 3．24． 2 分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4题都可以2=a（a≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x≥0，所以x+1>02=x+1（2）∵a2≥02=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥02+2a+1（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0∴4x2-12x+9≥02=4x2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 五、归纳小结本节课应掌握：1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．六、布置作业1．教材P8复习巩固2．（1）、（2） P97．七板书设计第二课时作业设计一、选择题1个数是（）．A．4 B．3 C．2 D．12．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）． A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0二、填空题1．（2=________．2_______数．三、综合提高题1．计算（1）2（2）-）2（3）（12）2（4）（）2(5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5 （2）3.4 （3）16（4）x（x≥0）3=0，求x y的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-516.1 二次根式教案第三课时教学内容a（a≥0）教学目标知识与技能（a≥0），（a≥0）并利用它进行计算和化简．过程与方法经历探索二次根式的性质的过程，培养学生分类的数学思想情感态度与价值观通过学生自主探索合作交流体会学习数学的乐趣及发散思维能力教学重难点关键1a（a≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1a≥0）的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个非负数；3．2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：；=________=_______．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：110=23=37．例1化简（1（2（3（4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a≥0）•去化简．解：（1（2（3（4三、巩固练习教材P7练习2．四、应用拓展例2 填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？（学生讨论）分析：（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a≥0；（2，所以a≤0；（3）因为当a≥0时，，即使a>a所以a不存在；当a<0，，即使-a>a，a<0综上，a<0例3当x>2分析：(略) 五、归纳小结（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．六、布置作业板书设计第三课时作业设计一、选择题1的值是（）．A．0 B．23C．423D．以上都不对2．a≥0，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）．AC．-二、填空题1．=________．2是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求如下：甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+。
16.1.1二次根式的概念
2
归纳
一般地， （a≥0） ( a) a
2
2 22 ___,
5
2
5 ___,
2 | 2 | ___; 5 | 5 | ___; 0 | 0 | ___.
0 02 ___,
a a
2
请比较左右两边的式子,议一议: a2 与| a | 有什么关 系?当 a 0 时, a 2 ____; a . a ;当a 0 时, a 2 ____
3
想一想： 10 、 -5 、 8 5 3 、 (-2)
2
2
a (a＜0﹚、
a +0.1 、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
例 1：要使 x-1 有意义，字母 x 的取值必须满足 什么条件？
解：由 x-1≥0，得 x≥1。
问：将式子 x-1 改为 1-x ，则字母 x 的取值必须 满足什么条件呢？
x≤1
y
想一想： 已知：y= x-2 + 2-x +3，求 x 的值。
解：由 x-2≥0 且 2-x≥0， 得 x≥2 且 x≤2 ∴x=2。 ∴y= 0 + 0 +3=3 ∴x =2 =8
y 3
x-2 例 2：要使 有意义，字母 x 的取值必须满足 x-3 什么条件？
解：由 x-2≥0，且 x-3≠0, 得 x ≥2 且 x ≠3 。
2
4 4 4 _________
2
x 1 ( x 1)
2
x 1
( a ) 与 a 有区别吗 ?
2
2
1:从运算顺序来看,
2
a 先开方,后平方 a a≥0
人教版八年级下册16.1.1《二次根式》二次根式的概念课件
m m2
2 4
有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-4≠0，
解得m≥2且m≠-2，m≠2，
∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式 x2 6xm都有意 义，求m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0， 即(x+3)2+m-9≥0. ∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
二5的次算根术式平的方被根开是方_数__非_.负
2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 二一((12))次般若(3根 地)二(5式，次)(的如7根)实果均式质一不是个是表数二示的次一平有根个方意式非等义. 负于，数a求，（m那的或么取式x 这值）个范1的数围算叫．术做平a方的根平.方根.
即求(二x+次3根)2式+m中-字9≥母0.的取值范围的基本依据2：
（）
一定是二次根式的有
（）
解：由题意得x2+6x+m≥0，
3个
B.
解：∵被开方数需大于或等于零，
16.1.1 二次根式的概念 4 已知y=
,求3x+2y的算术平方根.
解：∵被开方数需大于或等于零，
一般地，我们把形如
的式子叫做二次根式.
问题2 这些式子有什么共同特征？
注意：a可以是数，也可以是式.
x＞2 B.
一定是二次根式的有 (本2)节无课论主x取要任学何习实了数二，次代根数式式的定义及被开方数都的有取意值义范，围求.m的取值范围．
(若2)式无子论为x取分任式何，实应数同，时代考数虑式分母不为零. 都有意义，求m的取值范围．
一(2)个无正论数x取有任两何个实平数方，根代；数式
都有意义，求m的取值范围．
16.1.1 二次根式的定义
根据(1)(2)可列出关于字母的不等式(组)，根据不
等式(组)的解集最终确定字母的取值.
第1课时
二次根式的定义
基础课堂·精讲精练 课堂小结·名师点金 提升拓展·考向导练
精炼方法·教你一招
资源素材包
基础课堂· 精讲精练
精 讲
1
二次根式的定义
”
a (a 0) 的式子叫做二次根式；其中 “ 1.定义：形如___________
称为二次根号，a称为被开方数(式)． 要点精析： (1)二次根式的定义是从式子的结构形式上界定的，必须含有 二次根号“ 般省略不写． (2)被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子， 但前提是a必须大于或等于0. (3)在具体问题中，已知二次根式 这一条件． ”；“ ”的根指数为2，即
由题意得x2－9＝0，解得x＝±3，∴y＝4，∴x－y＝－1或－7.
基础课堂· 精讲精练
精 练
考虑不全造成答案不完整
13．(中考·潍坊)若代数式
取值范围是( B ) A． x ≥－1 C． x >－1
x 1 ( x 3)2 有意义，则实数x的
B． x ≥－1且x ≠3 D． x > －1且x ≠3
本题易错在漏掉分母不为0这个条件，由题意知x＋ 1≥0且(x － 3)2≠0，解得x ≥－1且x ≠3.
课堂小结·名师点金
名师点金
1.二次根式的条件： (1)带二次根号“ ”；
(2)被开方数是非负数．
2.常见具有“非负性”的三类数： a ，|a|，a2n(n为
正整数)；二次根式的双重非负性为：(1) (2)a≥0.
基础课堂· 精讲精练
精 练
1
二次根式的定义
1．下列式子一定是二次根式的是( C A. x 2 B.
二次根式的认识
二次根式的认识在数学中，二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。
二次根式是数学中的一个重要概念，它在解方程、计算和几何等领域中具有广泛的应用。
本文将深入探讨二次根式的定义、性质和应用，帮助读者更好地认识和理解二次根式。
一、二次根式的定义二次根式的定义相对简单，就是非负实数的平方根。
其表示形式为√a，其中a ≥ 0，并且√表示根号符号。
例如，√4 = 2，因为2的平方等于4。
同样地，√9 = 3，因为3的平方等于9。
在这些例子中，4和9都是非负实数。
二、二次根式的性质二次根式具有以下几个重要的性质：1. 二次根式的运算规则：二次根式具有与平方根相似的运算规则。
例如，√a * √b = √(ab)，√a / √b = √(a/b)。
这些运算规则在化简和计算二次根式时非常有用。
2. 二次根式的化简：有时，二次根式可以通过化简来简化其表达形式。
例如，√9 = 3，因为9是一个完全平方数。
类似地，√16 = 4，√25 = 5。
通过将二次根式转化为它们的平方形式，可以使计算更加方便。
3. 二次根式的加减运算：对于相同根的二次根式，可以进行加减运算。
例如，√2 + √2 =2√2，√3 - √3 = 0。
注意，根号下的数字必须相同才能进行此类运算。
4. 二次根式的大小比较：对于非负实数a和b，如果a < b，则√a <√b。
这意味着二次根式的大小顺序与根号下的数字的大小顺序相同。
三、二次根式的应用二次根式在数学中有广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景：1. 解方程：二次根式可以用于解关于二次根式的方程。
例如，方程√(x+2) = 4的解为x = 18。
2. 几何问题：二次根式可以用于计算几何图形的边长、面积和体积。
例如，在计算正方形的对角线长、圆的半径和球的体积时，常常会涉及到二次根式的计算。
3. 物理学中的运动问题：二次根式可以用于描述自由落体运动、弹射运动等物理过程中的速度、加速度和位移等量。
二次根式的概念、性质(第1、2课时 教案)
第十六章二次根式16.1二次根式第1课时二次根式的概念【知识与技能】是一个非负数.【过程与方法】通过新旧知识的联系，培养学生观察、演绎能力，发展学生的归纳概括能力.【情感态度】通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法，进而体验成功的喜悦，并通过合作学习增进终身学习的信念.≥0的基本性质【教学难点】经历知识产生的过程，探索新知识.一、情境导入,初步认识问题（1）一个长方形的围栏，长是宽的3倍，面积为39m2，则它的宽为_______m；（2）面积为S的正方形的边长为_______；（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含h的式子表示t，则t=.______【教学说明】设置上述问题的目的是让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密.教师提出问题后，让学生独立思考，然后相互交流，获得对二次根式的感性认识.二、思考探究，获取新知思考的式子，这些式子有什么特点？【教学说明】教师提出问题，同学生一道分析，体会这些式子的特征，从而引出二次根式的定义.a≥0）形式的式子称.针对上述定义，教师可强调以下几点：（1中，a必须是大于等于0的数或式子，否则它就没有意义了；（2=2，是一个整数，但4仍应称为一个二次根式；（3）当a≥0表示a的算术平方根，而一个非负数的算术平方根必≥0（a≥0）三、典例精析，掌握新知例1下列各式中，一定是二次根式的有_______分析：判断二次根式应关注两点：（1；（2）被开方数必须是非负数.因而在所给出四个式子中，只有②③中的式子同时符合两个要求，故应填②③.例2当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.解：（1）中，由x-2≥0，得x≥2；（2）中，由得2≤x≤3；（3）中，由2x-1＞0，得x＞1/2.【教学说明】对于例3，教师应引导学生分析题目特征，抓住解决问题的突a中a≥0及a≥0的双重非负性特征.四、运用新知，深化理解1.填空题：（1）形如_______的式子叫二次根式；（2）负数算术平方根________（填“有”或者“没有”）2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义：【教学说明】学生自主探究，教师巡视，了解学生对本节课知识的掌握情况，及时予以指导，帮助学生巩固新知.五、师生互动,课堂小结通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,你获得哪些解决二次根式问题的方法?你还有哪些问题?请与同伴交流.【教学说明】学生相互交流,回顾知识,反思问题,共同发展提高.1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.教师创设情境，给出实例.学生积极主动探索，教师引导与启发，师生互动.体现教师的组织者、引导者与合作者地位.2.注意知识之间的衔接，在温故知新的过程中引导出新知，讲练结合旨在巩固学生对新知的理解.第十六章二次根式16.1二次根式第2课时二次根式的性质【知识与技能】理解并掌握二次根式的性质，正确区分=a（a≥0）与2a=a（a ≥0），并利用它们进行化简和计算.【过程与方法】在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力.【情感态度】通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展.【教学重点】2a=a（a≥0）2a（a≥0）及其应用.【教学难点】用探究的方法探索2a=a（a≥02a（a≥0）的结论.一、情境导入,初步认识试一试：请根据算术平方根填空，.猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出2a（a≥0）的结论是什么？说说你的理由.【教学说明】让学生通过具体实例所展示的特征，猜想出结果，然后再利用算术平方根的意义对所猜测结论进行分析，由感性认识到理性思考，培养学生利用代数语言进行推理的能力.二、思考探究，获取新知在学生相互交流的基础上可归纳出：2=a（a≥0）.探究（1）填空：（2）通过（1）的思考，你能确定a≥0）的化简结果吗？说说你的理由.【教学说明】教师应尽力引导学生积极主动进行探究思考，让学生经历知识的发现与完善的过程，深化对所学知识的理解和记忆，最后师生共同完成对知识的归纳总结.（a≥0）.最后，教师给出代数式的概念.代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式.（代数式的定义只要求学生了解就行，不必深究.）三、典例精析，掌握新知例1计算：（1））2；（2）（2【教学说明】以上例1、例2可由学生自主完成，教师巡视，对有困难的学生及时予以指导，让每个学生都能得到发展.例3教师引导学生看懂数轴，结合数轴确定a、b的符号.四、运用新知，深化理解【教学说明】以上1~3题可试着让学生自主完成，第4题稍有难度，教师适时点拨.（22a进行化简.然后再根据x＞2的这个范围，来判断x-2与1-2x的正负，最后化简掉绝对值符号.∵x＞2，∴x-2＞0,1-2x＜0.3.(1)原式=5-5+1=1(2)原式=7+49×2/7=7+14=21(2)首先利用a2=|a|化简掉二次根号，再根据x的取值范围来判断绝对值中的代数式的正负，化掉绝对值的符号.五、师生互动，课堂小结1.本节知识可这样归纳：2.通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.注意前后知识的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的数学内容，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.在总结二次根式的性质过程中，由学生经过观察、分析的过程，让学生在交流中体会成功.3.几个例题，旨在帮助学生对二次根式的性质的理解，在练习和作业中都增加了难度，主要给能力较好的学生提供更大的发展空间.。
人教版八年级下册16.1.1二次根式的概念(教案)
-二次根式的有理化：掌握分母含有二次根式的表达式的有理化方法。
举例：重点讲解如何将√12化简为2√3，以及如何计算(√2 + √3) * (√2 - √3)的结果。
2.教学难点
-理解二次根难以理解，需要通过实例和图示来帮助学生理解。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式的定义和性质。二次根式是形如√a（a≥0）的数，它是解决无法直接开平方问题的重要工具。
2.案例分析：接下来，我们通过一个具体的案例，如计算边长为√3和√4的矩形面积，来展示二次根式在实际中的应用。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次根式的定义和性质这两个重点。对于难点部分，如二次根式的化简和乘除法则，我会通过举例和步骤分解来帮助大家理解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式的概念》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过无法直接开平方的情况？”（例如，计算面积时遇到√12这样的数）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式的奥秘。
3.更多地关注学生们的个体差异，鼓励他们大胆提问和发表观点。
4.丰富教学手段，结合实际案例和实验操作，帮助学生更好地理解二次根式的应用。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式的定义、性质、化简方法和乘除法则。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次根式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
【大单元教学】人教版数学八年级下册 16.1.1 二次根式的概念 教案
第十六章内容提要【课标要求】1.了解二次根式、最简二次根式的概念，2.了解二次根式(根号下仅限于数)加，减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算。
【内容分析】本章内容“二次根式”是《课程标准》中“数与代数”领域的重要内容。
本章是在之前学习的基础上，进一步研究二次根式的概念和运算。
在本章中，将学习二次根式的概念、性质、运算法则和化简的方法。
通过对二次根式的概念和性质的学习,学生将对实数的概念有更深刻的认识，通过对二次根式的加、减、乘、除运算的学习，学生将对实数的简单四则运算有进一步的了解。
【学情分析】1.认知基础本节内容是学习二次根式的基础，理解二次根式的概念，同时理解二次根式有意义的条件，并熟悉二次根式的性质用来进行有关的计算;二次根式是初中阶段重要的知识点之一,学习好二次根式,为后续的计算打下良好的基础;2.认知障碍（1）能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究次根式的必要性；（2）能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围.（3）经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；（4）了解并掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算.【教学目标】1.了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由；2.理解二次根式的性质；3.了解二次根式的加、减、乘、除运算法则、会用它们进行四则运算；4.了解代整式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用；5.先提出问题,让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简。
6.用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定，并运用规定进行计算，利用逆向思维，得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简。
7.通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念；利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的。
16.1二次根式第1课时爱的教育上课用
\
a - b + 6 = 0，a + b - 8 = 0
a－ b = － 6 a＋ b = 8 a ＋ b－ 8 = 0 a=1 b=7
∴ a － b＋ 6 = 0
在实数范围内分解因式:4 x - 3
解: ∴ ∵ 3
2
2
3
2
2
4 x 3 (2 x) 3
2
(2 x 3 )(2 x 3 )
\ a=
2 2
2，b = 2
\ a + b - 2b + 1 =
( 2) + 2 2
2
2? 2 1
= 2 + 4- 4 + 1 = 3
10. 已知 a - b + 6与 a + b - 8互为相 反数，求 a、b的值。 解:
a- b+ 6 0，a + b - 8
0
பைடு நூலகம்
而 a - b + 6+ a + b - 8 = 0
a
2
先平方,后开方
2.从取值范围来看 , 2 a≥0 a
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a
a
2
2
2
=a
a (a≥ 0) -a (a＜0)
= ∣ a∣ =
m4 思考：若 ( m 4 ) 4 m , 则 m 的取值范围是 _________
3， x ＋ 1，
144,
7. 三角形三边长分别是a、b、c，且 a > c ， 那么 c - a - (a + c - b)2等于（ D ）。
二次根式的概念
二次根式的概念二次根式，也称为平方根，是指一个数的平方根，即找出一个数，使其平方等于给定的数。
在代数中，二次根式是非常重要的数学概念。
它们在代数运算、方程求解以及几何形状的计算中都有广泛应用。
本文将介绍二次根式的定义、性质和一些常用的求解方法。
一、二次根式的定义在数学中，二次根式是一个数学表达式，形式为√a，其中a是一个非负实数。
它表示一个数x，使得x的平方等于a。
例如，√4表示一个数x，使得x的平方等于4，因此x等于正负2。
当a是一个负实数时，二次根式通常用i来表示虚数单位。
虚数单位i定义为√-1。
因此，√-9可以表示为3i，因为(3i)^2 = -9。
二、二次根式的性质1. 非负实数的二次根式是唯一确定的。
即对于给定的非负实数a，它的二次根式√a只有一个值。
2. 二次根式满足乘法运算律。
即对于任意非负实数a和b，有√(ab)= √a * √b。
3. 二次根式满足除法运算律。
即对于任意非负实数a和b，有√(a/b) = √a / √b，其中b不等于0。
4. 二次根式满足加法和减法运算律。
即对于任意非负实数a和b，有√a ± √b不能进行合并。
三、二次根式的求解方法1. 分解因式法：如果二次根式的被开方数可以分解成两个平方数的乘积，那么可以利用分解因式的方法来求解。
例如，√12可以分解为√(4 * 3)，然后再分别对4和3开方，最后得到2√3。
2. 化简法：可以将二次根式的被开方数进行化简，将其中的一个因子提取出来，并留在根号外面。
例如，√50可以化简为√(25 * 2)，再对25开方得到5，最终得到5√2。
3. 有理化法：当二次根式的被开方数是一个分数时，可以利用有理化方法将其化为无理数。
有理化的方法是在分子和分母上同时乘以一个适当的数，使得分母变为一个有理数。
例如，√(3/5)可以进行有理化，将分子和分母同时乘以√5，得到√(3/5) * (√5/√5)= √15 / 5。
四、结论本文介绍了二次根式的定义、性质和求解方法。
二次根式概念知识点总结
二次根式概念知识点总结一、二次根式的概念1. 二次根式的定义二次根式是一种形如√a的代数式，其中a为一个实数，且a≥0。
在二次根式中，√称为根号，a称为被开方数。
被开方数a的平方根就是等于a的正实数。
2. 二次根式的特点- 被开方数a必须是非负实数，即a≥0。
- 二次根式可以是整数、小数、分数或无理数。
- 二次根式可以化简为最简形式，即根号下的被开方数不含有平方因子。
3. 二次根式的分类根据被开方数的性质，二次根式可以分为完全平方数根式和非完全平方数根式两种情况。
完全平方数根式是指被开方数是一个完全平方数的二次根式，非完全平方数根式则是指被开方数是一个非完全平方数的二次根式。
二、二次根式的化简1. 化简方法对于二次根式的化简，主要有以下几种方法：- 求被开方数的因式分解，将根号下的一些平方因子化简出来。
- 利用完全平方公式，将二次根式化为一个完全平方根式。
- 使用等价变形的方法，将二次根式化为最简形式。
2. 化简步骤（1）对于完全平方数根式，只需将根号下的被开方数进行因式分解，并将平方因子提出来，即可将二次根式化为最简形式。
例如：√100=√(2²×5²)=2×5=10（2）对于非完全平方数根式，可以利用完全平方公式将二次根式化为最简形式。
例如：√50=√(25×2)=√25×√2=5√2（3）对于一般的二次根式，可以利用等价变形的方法进行化简。
例如：√72=√(36×2)=√36×√2=6√2三、二次根式的运算1. 二次根式的加减对于二次根式的加减运算，主要是要求二次根式的根号下的被开方数相同，然后分别将二次根式的系数进行加减运算。
例如：√18+2√18=3√182. 二次根式的乘除对于二次根式的乘除运算，可以利用分配律和乘法公式进行运算。
例如：(3√5)×(4√5)=123. 二次根式的混合运算对于二次根式的混合运算，可以根据运算法则依次进行加、减、乘、除等运算，最终得到最简形式的结果。
01-16.1.1二次根式的概念
16.1.1 二次根式的概念
知识点二 二次根式有、无意义的条件
条件
栏目索引
式子表示
有意义
被开方数为非负数
a 有意义⇒a≥0
无意义
被开方数为负数
a 无意义⇒a<0
知识 详解
(1)如果一个式子中含有多个二次根式,那么这个式子有意义的条 件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数. (2)如果一个式子中既含有二次根式又含有分式,那么这个式子有 意义的条件是:二次根式中的被开方数是非负数,分式的分母不等 于0. (3)如果一个二次根式的被开方数中含有零指数或负整数指数,那 么这个式子有意义的条件是底数不等于0
2.下列各式中,不一定是二次根式的为 ( )
A. a
B. b2 1
C. 0
D. (a b)2
栏目索引
答案 A 对于 a ,由于a的取值范围不确定,当a<0时, a 无意义,所以 a 不一定是二次根式.
3.(独家原创试题)若a=2 020,则下列各式是二次根式的是 ( )
A. 2 019-a
B. a-2 020
方根为
.
答案 ±1
解析
由题意得
x-7 7-x
0, 0,
解得x=7,则y=9,故(xy-64)2=1,1的平方根为±1,故答
案为±1.
16.1.1 二次根式的概念
栏目索引
1.使式子3-1 x 有意义的x的取 值范围是 ( )
A.x>0
B.x≠9
C.x≥0且x≠9
D.x>0或x≠9
答案 C 当x满足3- x 0,即x≥0且x≠9时,式子 1 有意义.故选C.
16.1.1 二次根式的概念
栏目索引
二次根式的有关概念及性质
页眉内容二次根式的有关概念及性质一、二次根式的有关概念：1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而，，5，都是最简二次根式。
3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2。
4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。
如与，a+与a-，-与+，互为有理化因式。
二、二次根式的性质：1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0;2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)；3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=·（a≥0,b≥0）。
5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即=（a≥0,b>0）。
三、例题：例1.x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义：（1）（2）（3）（4）+（5）（6）+分析：这是一组考察二次根式基本概念的问题，要弄清每一个数学表达式的含义，根据分式和根式成立的条件去解，即要考虑到分式的分母不能为0并且偶次根号下被开方数要大于或等于零。
解：（1）∵6-x≥0,∴x≤6时原式有意义。
（2）∵x2≥0, ∴x2+3>0, ∴x取任意实数原式都有意义。
（3）∵∴∴当x<3且x≠-3时，原式有意义。
（4）∵∴∴当-≤x<时，原式有意义。
（5）∴∴当x≥0且x≠1时，原式有意义。
（6）∵∴∴x=2∴当x=2时，原式有意义。
16.1.1 二次根式的概念
2 3
练习：a 取何值时，下列根式有意义？
（1） a+1 ；（2）
2 ． 1 ；（3） （a -1 ） 1- 2a
解：（1）由题可知a+1≥0，得
a≥ - 1； 1 （2）由题可知1-2a＞0，得a＜ ； 2
2 （3）由题可知 （a-1） ≥0，得 a为任何实数．
上面问题中，得到的结果分别是： 3 ， S ， 65 ， h ． 5 （1）这些式子分别表示什么意义？ （2）这些式子有什么共同特征？
h 分别表示3，S，65， 的算术平方根． 5 这些式子的共同特征是： 都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负 数）的算术平方根．
定义
一般地，我们把形如 a 叫做二次根式 .
5 ．已知 a ， b 为一 等腰 三角 形的 两边 长，且满 足等 式 2 3a－6＋3 2－a＝b－4，求此等腰三角形的周长．
谢谢！
四、巩固练习 1 ．已知 a －2 ＋ 1 b＋ ＝0，求－a2 b 的值． 2
2 ．若 x ，y 使 x －1 ＋ 1 －x －y＝3 有意义，求 2x ＋y 的值．
3．△ABC 的三边长为 a，b，c，其中 a 和 b 满足 b2－4b＋4＋ a－5 ＝0，求 c 的取值范围．
4．已知 a 为实数，求代数式： a＋2016－ 2016－a＋ －a2的值．
16.1.1 二次根式
知识回顾
什么叫算术平方根?
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a , 2 即 x a ，那么这个正数X就叫作a的算数 平方根。 什么叫做平方根?
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个 数叫做a的平方根。
问题： 3 ，面积为 （1）面积为3 的正方形的边长为_______ S ． S 的正方形的边长为_______ （2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130 65 m． m2，则它的宽为______ （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的 时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满 h． 足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，则t= __ 5
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1 a 3 2a 1 1 3 a x 1 x 1 2 1 x
反思：2.有二次根式的要考虑二次根式的被 开方数大于等于零，有分母的要考虑分母不为零.
题型2.求二次根式中被开方数字母的取值范围
例2．当a是怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
3 x x 2 5 x x5 1 2x 3+ x 1
反思：2.有二次根式的要考虑二次根式的被 开方数大于等于零，有分母的要考虑分母不为零.
x 例3．已知 y 2 x + x 2 5 ，求 的值． y
题型3.二次根式非负性的应用
反思：当被开方数互为相反数时被开方数只 能为零.
题型3.二次根式非负性的应用
例4．已知a，b分别为等腰三角形的两条边
长，且a，b满足 b 4 3a 6 3 2 a ，求此三角 形的周长．
反思：当被开方数互为相反数时被开方数只 能为零.
题型3.二次根式非负性的应用
例5．（1）已知 18 n 是整数，求自然数n
所有可能的值．
题型3.二次根式非负性的应用
例5．（2）已知 24n 是整数，求正整数n的 最小值.
16.1.1二次根式的概念
泰化初级实验中学 李伟伟
题型1.二次根式的概念
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不
是二次根式？
1 1 3 , 2，4, 0, 1 , 3，12, 5, x y 3 x , x 3, x y , xy , a ,
2 2
x 1
2
, a 5,
2
1 . 2 x
反思：判断二次根式的依据是一个形式（ a ） 和一个条件（a≧0），二者缺一不可.
题型2.求二次根式中被开方数字母的取值范围
例2．当a是怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？5aFra biblioteka3a 1
3 a
2a 3
反思：1.二次根式中求字母的取值范围的依 a 据是：被开方数大于等于零.
题型2.求二次根式中被开方数字母的取值范围
例2．当a是怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
a
2
a 1
2
a 1
2
a
2
a 5
2
反思：1.二次根式中求字母的取值范围的依 据是：被开方数大于等于零.
题型2.求二次根式中被开方数字母的取值范围
例2．当a是怎样的实数时，下列各式在实数
祝同学们学 习愉快！！