材料力学第七章 应力与应变分析 强度理论
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材料力学第七章应力状态和强度理论
2
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
材料力学第七章_3_ 应变能密度和强度理论概要
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
[例9－8]证明弹性模量E 、泊松比µ 、切变弹性模量G 之间 的关系为 G E 。
2(1 )
证明： 纯剪应力状态应变能密度为
3
v1
1
2
1 2
2G
1 , 2 0, 3
1
用主应力计算比能
v2
1 2E
[
2 1
2 2
2 3
2 (1 2
2 3
1
3
k
1
3
2
OC
B
3
1
2
1 3
河南理工大学土木工程学院
A
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
各向同性材料的广义胡克定律：
εx
1 E
σx
μ
σy
σz
εy
1 E
σy
μσz
σx
εz
1 E
σz
μ
σx σy
xy
xy
G
,
yz
yz
G
,
zx
zx
G
上述一组方程为用应力表示应变，若用应变表示应力，
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
二、常用四个强度理论
● 第一强度理论（最大拉应力理论） 该理论不论材料处于什么应力状态，引起材料脆性断裂
破坏的主要原因是最大拉应力，并认为当复杂应力状态的最 大拉应力达到单向应力状态破坏时的最大拉应力时，材料便 发生断裂破坏。由此，材料的断裂判据为
一、强度理论的概念
1. 什么是强度理论 强度理论是关于材料破坏原因的学说。
材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论
2
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
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7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
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7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
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7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论
无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向， 到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 研究一点的应力状态时， 应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定： 主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0
材料力学应力和应变分析强度理论
§7–5 广义虎克定律
y
一、单拉下旳应力--应变关系
x
x
E
y
E
x
ij 0 (i,j x,y,z)
二、纯剪旳应力--应变关系
z
E
x
z
y
xy
xy
G
i 0 (i x,y,z)
z
yz zx 0
x
x
xy
x
三、复杂状态下旳应力 --- 应变关系
y
y
x
y x
z
xy
z
x
依叠加原理,得:
x
1
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
45 25 3
95
60°
i j
x
2
y
（
x
2
y
）2
2 xy
y
1
25 3 y 45MPa
° 5
0
Ox
6095MPa 6025 3MPa
yx 25 3MPa xy
x ?
x
y
2
sin 2
xy cos 2
25 3 x 45 sin 120o 25 3 cos120o
y
z
z
y
证明: 单元体平衡 M z 0
xy x
x
( xydydz)dx( yxdzdx)dy0
xy yx
五、取单元体： 例1 画出下图中旳A、B、C点旳已知单元体。
F
A
y
F x
x
A
B
C z
x B x
zx
xz
F
Mex
yx
C
xy
FP
材料力学 第七章 应力状态和强度理论
y
2
2 xy
tan 2a0
2 xy x
y
max
1
2
3
主应力符号与规定： 1 2 3 （按代数值）
§7-3 空间应力状态
与任一截面相对应 的点，或位于应力 圆上，或位于由应 力圆所构成的阴影 区域内
max 1 min 3
max
1
3
2
最大切应力位于与 1 及 3 均成45的截面上
针转为正，顺时针转为负。
tg 2a 0
2 x x
y
在主值区间，2a0有两个解，与此对应的a0也有两个解，其中落
在剪应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。
三、应力圆
由解析法知，任意斜截面的应力为
a
x y
2
a x
x
y
2
y cos2a
2
sin 2a x c
x s os2a
in
2a
广义胡克定律
1、基本变形时的胡克定律
1）轴向拉压胡克定律
x E x
横向变形
y
x
x
E
2）纯剪切胡克定律
G
y
x x
2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法
2
2
1
1
3
3
1
1
E
2
E
3
E
1
1 E
1
2
3
同理
2
1 E
2
3
1
广义胡克定律
3
1 E
3
1
2
7-5, 7-6
§7-4 材料的破坏形式
⒈ 上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先应写清已 知条件。
材料力学第七章
若应力状态由主应力表示，并且在max 0 和 min 0 的情况下，则式（7-7） 成为
max min
max
min
2
1 3
2
进一步讨论，由式（7-4）和式（7-6）可知
tan
21
1 tan 20
上式表明1 与 0 之间有如下关系：
1
0
4
可见，切应力取得极值的平面与主平面之间的夹角为 45 。
若三个主应力中，只有一个主应力不等于零，这样的应力状态称为 单向应力状态。若三个主应力中有两个不等于零，称为二向应力状态或 平面应力状态。若三个主应力皆不为零，称为三向应力状态或空间应力 状态。
第二节 平面应力状态分析——解析法
一、斜截面上的应力
图 7-1 所示为平面应力状态的最一般情况。已知 x ， y ， xy 和 yx 。现 在研究图中虚线所示任一斜截面上的应力，设截面上外法向 n 与 x 轴的夹角 为 。
令 d /d 0 ，由式（7-1）可得
x
2
y
sin
2
xy
cos 2
0
解得
（7-3）
tan 20
2 xy x y
通过运算，可以得到斜截面上正应力的极值为
（7-4）
max min
x
y 2
x
2
y
2
2 xy
（7-5）
由式（7-4）可知， 取得极值的角0 有两个，二者相差 90 ，即最大正应 力 max 和最小正应力 min ，二者分别作用在两个相互垂直的截面上。当 0 ， 取得极值时，该斜截面上的切应力 0 ，即正应力就是主应力。
（a）
（b） 图7-6
例 7-4 悬臂梁受力如图 7-7（a）所示。试求截面 n n 上 A 点处的主应力 大小和方向，并按主平面画出单元体。
材料力学第七章__应力和应变分析__强度理论(2)
解题思路：寻找已知量ε-45o和未知量m间的联
系。
1.本题已知正应变ε-45o,通过广义胡克定律可将 ε 正应变 -45o和正应力σ-45o (σ45o)联系起来。
2.再通过应力状态分析，找到正应力σ-45o (σ45o)和横截面上的剪应力τ的关系。 3.而τ是由外力偶矩引起的，由此即可求出外力
偶矩m的大小。
例题：图示直径为d的圆截面轴，承受力偶 矩m的作用。设由实验测得轴表面上与轴线
成-45o方向正应变ε-45o，试求力偶矩m之值。
材料的弹性常数E、μ均为已知。
此题有实际意义，传动轴上所受的外力偶矩m的 大小，有时采用实验方法。测得轴上某个方向的 正应变，再由应变值计算出外力偶矩大小。
2021/7/13
作用下，z方向的变形是自由的，所以
2021/7/13
εz 0σ,z 0
铝块在左、右两个面上，由于是刚体，所以 在P力作用下，x方向受到约束力不能变形，故
εx0σ,x0.
由广义胡克定律及上述可得
εxE 1[σx(σyσz)]0
所以 σx(σyσz)σy18MP
因此2021/7σ /13 10σ ,2 18M σ3 P 6a 0,M
y两方向上分别贴上应变片，然后使其承受外 力矩m的作用，发生扭转变形，如图所示。 已知圆筒材料的弹性模量为E=200GPa， v=0.3。若该圆筒的变形在弹性范围内，且k 点横截面上的剪应力为t =80MPa，试求圆筒 k点处的线应变 x、 y及变形后的筒壁厚度。
2021/7/13
解: (1)求 x、 y
dl x 2021/7/13
y dl
xy dl
xc2o y s s2i n xs y icno
x 2yx 2yc2 o s2 xy si2 n
材料力学-第七章-强度理论
脆性断裂,最大拉应力准则
r1 = max= 1 [] 其次确定主应力
ma xx 2y 1 2 xy2 4x 2y 2.2 9 M 8 P
m inx 2y 1 2 xy2 4x 2y 3 .7M 2 P
1＝29.28MPa,2＝3.72MPa, 3＝0
r113M 0 Pa
根据常温静力拉伸和压缩试验,已建立起单向应力状态下的弹 性失效准则;
考虑安全系数后，其强度条件
根据薄壁圆筒扭转实验,可建立起纯剪应力状态下的弹性失 效准则;
考虑安全系数后，强度条件
建立常温静载复杂应力状态下的弹性失效准则: 强度理论的基本思想是:
确认引起材料失效存在共同的力学原因,提出关于这一 共同力学原因的假设;
像铸铁一类脆性材料均具有 bc bt 的性能，
可选择莫尔强度理论。
思考题:把经过冷却的钢质实心球体,放入沸腾的热油锅 中,将引起钢球的爆裂,试分析原因。
答:经过冷却的钢质实心球体,放入沸腾的热油锅中, 钢 球的外部因骤热而迅速膨胀,其内芯受拉且处于三向均 匀拉伸的应力状态因而发生脆性爆裂。
思考题: 水管在寒冬低温条件下,由于管内水结冰引起体 积膨胀,而导致水管爆裂。由作用反作用定律可知,水 管与冰块所受的压力相等,试问为什么冰不破裂,而水管 发生爆裂。
局限性:
1、未考虑 2 的影响，试验证实最大影响达15%。
2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象, 此准则也称特雷斯卡（Tresca）屈服准则
4. 畸变能密度理论（第四强度理论） 材料发生塑性屈服的主要因素是 畸变能密度;
无论处于什么应力状态,只要危险点处畸变能密度达到 与材料性质有关的某一极限值,材料就发生屈服。
具有屈服极限 s
铸铁拉伸破坏
r1 = max= 1 [] 其次确定主应力
ma xx 2y 1 2 xy2 4x 2y 2.2 9 M 8 P
m inx 2y 1 2 xy2 4x 2y 3 .7M 2 P
1＝29.28MPa,2＝3.72MPa, 3＝0
r113M 0 Pa
根据常温静力拉伸和压缩试验,已建立起单向应力状态下的弹 性失效准则;
考虑安全系数后，其强度条件
根据薄壁圆筒扭转实验,可建立起纯剪应力状态下的弹性失 效准则;
考虑安全系数后，强度条件
建立常温静载复杂应力状态下的弹性失效准则: 强度理论的基本思想是:
确认引起材料失效存在共同的力学原因,提出关于这一 共同力学原因的假设;
像铸铁一类脆性材料均具有 bc bt 的性能，
可选择莫尔强度理论。
思考题:把经过冷却的钢质实心球体,放入沸腾的热油锅 中,将引起钢球的爆裂,试分析原因。
答:经过冷却的钢质实心球体,放入沸腾的热油锅中, 钢 球的外部因骤热而迅速膨胀,其内芯受拉且处于三向均 匀拉伸的应力状态因而发生脆性爆裂。
思考题: 水管在寒冬低温条件下,由于管内水结冰引起体 积膨胀,而导致水管爆裂。由作用反作用定律可知,水 管与冰块所受的压力相等,试问为什么冰不破裂,而水管 发生爆裂。
局限性:
1、未考虑 2 的影响，试验证实最大影响达15%。
2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象, 此准则也称特雷斯卡（Tresca）屈服准则
4. 畸变能密度理论（第四强度理论） 材料发生塑性屈服的主要因素是 畸变能密度;
无论处于什么应力状态,只要危险点处畸变能密度达到 与材料性质有关的某一极限值,材料就发生屈服。
具有屈服极限 s
铸铁拉伸破坏
材料力学第七章知识点总结
研究应力状态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化
规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建 立适当的强度条件。
材料力学
3、一点的应力状态的描述
研究一点的应力状态，可对一个 包围该点的微小正六面体——单 元体进行分析
在单元体各面上标上应力 各边边长 dx , dy , dz
——应力单元体
三、几个对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面
上的正应力和切应力；
y
σy
n
τ
H (σα ,τα )
τ yxHτ xy来自αxσx
(σy ,Dτyx)
2α A (σx ,τxy)
c
σ
σx +σ y
2
转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。
α =α0
=
−2⎢⎡σ x
⎣
−σ y
2
sin 2α0
+τ xy
cos
2α
0
⎤ ⎥
⎦
=0
=
−2τ α 0
τα0 = 0
tg
2α 0
=
− 2τ xy σx −σ y
可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分别为
最大正应力和最小正应力所在平面。
主平面的方位
(α0 ; α0′ = α0 ± 900 )
主应力的大小
材料力学
四、在应力圆上标出极值应力
τ
τ max
x
R
O σ min
2α12α0A(σx ,τxy)
c
σ
σ
max
(σy ,τyx) D
规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建 立适当的强度条件。
材料力学
3、一点的应力状态的描述
研究一点的应力状态，可对一个 包围该点的微小正六面体——单 元体进行分析
在单元体各面上标上应力 各边边长 dx , dy , dz
——应力单元体
三、几个对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面
上的正应力和切应力；
y
σy
n
τ
H (σα ,τα )
τ yxHτ xy来自αxσx
(σy ,Dτyx)
2α A (σx ,τxy)
c
σ
σx +σ y
2
转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。
α =α0
=
−2⎢⎡σ x
⎣
−σ y
2
sin 2α0
+τ xy
cos
2α
0
⎤ ⎥
⎦
=0
=
−2τ α 0
τα0 = 0
tg
2α 0
=
− 2τ xy σx −σ y
可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分别为
最大正应力和最小正应力所在平面。
主平面的方位
(α0 ; α0′ = α0 ± 900 )
主应力的大小
材料力学
四、在应力圆上标出极值应力
τ
τ max
x
R
O σ min
2α12α0A(σx ,τxy)
c
σ
σ
max
(σy ,τyx) D
材料力学 第七章 应力状态与强度理论
取三角形单元建立静力平衡方程
n 0
dA ( xdA cos ) sin ( xdA cos ) cos ( y dA sin ) cos ( y dA sin ) sin 0
t 0
dA ( xdA cos ) cos ( xdA cos ) sin ( y dA sin ) sin ( y dA sin ) cos 0
2 2
cos 2 x sin 2
2 x y 2 x y ( ) ( cos 2 x sin 2 )2
2
2
x y
sin 2 x cos 2
( 0) (
x y
2
2
sin 2 x cos 2 )
max x y x y 2 x 2 2 min
2
max
1 3
2
例7-2 试求例7-1中所示单元体的主应力和最大剪应力。
（1）求主应力的值
x 10MPa, y 30MPa, x 20MPa max x y x y 2 2 x min 2
复杂应力状态下（只就主应力状态说明） 有三个主应力
1 , 2 , 3
1
E
由 1引起的线段 1应变 1
由 2引起的线段 1应变 1
2
由 3引起的线段1应变 1
3
E
E
沿主应力1的方向的总应变为：
1 1 1 1
1 42.4 1 3 2 0 MPa 由 max 3 2.4 2
材料力学第七章
2
x y
2
cos 2 x sin 2
x y
2
sin 2 x cos 2
补充例 题1
T
图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm， 轴向拉 力F=500kN，外力矩Me=7kN· m。 求C点 =30°截面上的应力。
y T
y
F x
F
C
x
第7章
应力状态和强度理论
§7-1 概 述
低 碳 钢 拉 伸 试 验
铸 铁 拉 伸 试 验
低 碳 钢 扭 转 试 验
铸 铁 扭 转 试 验
1、一点处的应力状态
构件内一点处各截面方向上的应力的情况，称 为该点的应力状态。可由围绕该点的一个单元体面 上的应力表示。
目的：通过应力状态分析求出该点处的 max 、 max 及 其作用面，从而更好地进行强度分析。
30
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说 补充例 明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。 题3
低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。
x
x y
2
x y
2
cos 2 x sin 2
x
单元体如何取？ 在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平 面构成的六面体，该六面体的边长分别为无穷小量 dx、dy和dz，如下图所示。
y
dz dx dy x
z
单元体每个面上应力均布；每对相互平行面上的 性质相同的应力大小相等；可用截面法求任一截面上 的应力。
根据单元体的局部平衡：
y
n
y
x y
2
cos 2 x sin 2
x y
2
sin 2 x cos 2
补充例 题1
T
图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm， 轴向拉 力F=500kN，外力矩Me=7kN· m。 求C点 =30°截面上的应力。
y T
y
F x
F
C
x
第7章
应力状态和强度理论
§7-1 概 述
低 碳 钢 拉 伸 试 验
铸 铁 拉 伸 试 验
低 碳 钢 扭 转 试 验
铸 铁 扭 转 试 验
1、一点处的应力状态
构件内一点处各截面方向上的应力的情况，称 为该点的应力状态。可由围绕该点的一个单元体面 上的应力表示。
目的：通过应力状态分析求出该点处的 max 、 max 及 其作用面，从而更好地进行强度分析。
30
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说 补充例 明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。 题3
低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。
x
x y
2
x y
2
cos 2 x sin 2
x
单元体如何取？ 在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平 面构成的六面体，该六面体的边长分别为无穷小量 dx、dy和dz，如下图所示。
y
dz dx dy x
z
单元体每个面上应力均布；每对相互平行面上的 性质相同的应力大小相等；可用截面法求任一截面上 的应力。
根据单元体的局部平衡：
y
n
y
材料力学应力状态分析和强度理论
材料力学应力状态分析和强度理论材料力学是一门研究物质内部各个部分之间的相互作用关系的科学。
在材料力学中，应力状态分析和强度理论是非常重要的概念和方法，用来描述和分析材料的力学行为和变形性能。
材料的应力状态是指在外力作用下，物体内部各个部分所受到的力的分布情况。
应力有三个分量：法向应力、剪应力和旋转应力。
法向应力是垂直于物体表面的作用力，剪应力是平行于物体表面的作用力，旋转应力则是物体受到扭转力产生的应力分量。
应力状态的描述可以用应力矢量来表示。
应力状态分析的目的是确定材料内部各个部分的应力分布情况，进而推导出物体的变形和破坏行为。
常用的应力状态分析方法有平面应力问题、平面应变问题和三维应力问题。
平面应力问题是指在一个平面上的应变为零，而垂直于该平面的应力不为零；平面应变问题是指在一个平面上的变形为零，而垂直于该平面的应力不为零；三维应力问题则是指在空间中3个方向的应力都不为零。
强度理论是指根据材料的内部应力状态来评估其抗拉强度、抗压强度和抗剪强度等，以判断材料是否能够承受外力而不发生破坏。
常见的强度理论有最大正应力理论、最大剪应力理论和最大扭转应力理论。
最大正应力理论是指在材料的任何一个点，其法向应力都不能超过材料的抗拉强度；最大剪应力理论则是指剪应力不能超过材料的抗剪强度；最大扭转应力理论则是指旋转应力不能超过材料的极限扭转强度。
实际应用中，强度理论通常与材料的断裂理论结合起来，以评估材料的破坏行为。
材料断裂的主要原因是应力超过了材料的强度极限，从而导致材料的破坏。
为了提高材料的强度和抗拉性能，可以通过选择合适的材料、改变材料的结构和制造工艺等方法来实现。
综上所述，材料力学应力状态分析和强度理论是描述和分析材料力学行为和变形性能的重要理论和方法。
通过深入研究应力状态、应力分析和强度理论，可以为材料的设计和制造提供指导和支持，从而提高材料的强度和抗拉性能。
材料力学-07-应力分析和强度理论
§7-2 平面应力状态 平面应力状态--解析法 平面应力状态 解析法： 解析法
1.斜截面上的应力 1.斜截面上的应力
y
σx
a
τ yx
τ xy
σx α
τa
n
τ xy
σa
dA
x
σy
n
τ yx
σy
t
t
∑F = 0
∑F =0
13
§7-2 平面应力状态 平面应力状态--解析法 平面应力状态 解析法： 解析法
tan 2α0 = − 2τ xy
σ x −σ y
由上式可以确定出两个相互垂直的平面， 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别 为最大正应力和最小正应力所在平面。 为最大正应力和最小正应力所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为： 所以，最大和最小正应力分别为：
σmax = σ x +σ y
2 1 + 2 − 1 2
单元体
单元体——构件内的点的代表物， 单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的 ——构件内的点的代表物 无限小的几何体。 常用的是正六面体。 无限小的几何体。 常用的是正六面体。 单元体的性质—— 平行面上，应力均布； 单元体的性质——1) 平行面上，应力均布； —— 2) 平行面上，应力相等。 平行面上，应力相等。
2 2
σy
τ xy
α
60 − 40 60 + 40 = + cos(−60o ) + 30 sin(−60o ) 2 2
σx
= 9.02 MPa
τα =
σ x −σ y
2 60 + 40 = sin(−60o ) − 30 cos(−60o ) 2
材料力学第七章应力应变分析
x
y
2
x
2
y
cos 2
xy sin 2
x
y
2
sin 2
xy cos 2
1、最大正应力的方位
令
d d
2[
x
y sin 2
2
xy cos 2 ] 0
tg 2 0
2 xy x
y
0 0
90
0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应 力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面.
的方位.
m
m a
A
l
解： 把从A点处截取的单元体放大如图
x 70, y 0, xy 50
A
tan 20
2 xy x y
2 50 1.429
1
3
(70) 0
0
A
x
0
27.5 62.5
3
1
因为 x < y ，所以 0= 27.5° 与 min 对应
max min
x
2
y
(
x
2
y )2
三、应力状态的分类
1、空间应力状态
三个主应力1 、2 、3 均不等于零
2、平面应力状态
三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
3、单向应力状态
三个主应力 1 、2 、3 中只有一个不等于零
2 3
2
1
1
1
1
1
3 2
2
1
例题 1 画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.
F
5
S平面
4
3
l/2
2
l/2 1
任意一对平行平面上的应力相等
材料力学第七章_3_+应变能密度和强度理论
max
强度条件为：
1 3
2
S
2
1 3
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
● 第四强度理论（形状改变能密度理论） 该理论认为材料发生塑性屈服破坏是由形状改变能密度 引起的：复杂应力状态下，当形状改变能密度vd 达到单向 拉伸时发生塑性屈服破坏的形状改变能密度vd，材料发生塑 性屈服破坏。 相关理论分析可得三向应力状态下的形状改变能密度为
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
v1 v2
1 2 1 2 2G E
E G 2(1 )
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
§11-5 强度理论
一、强度理论的概念
1. 什么是强度理论
强度理论是关于材料破坏原因的学说。
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
§7-9 空间应力状态的应变能密度
一、应变能密度的定义 物体在单位体积内所积蓄的应变能。
二、应变能密度的计算公式 1、单向应力状态下，物体内积蓄的应变能密度为
1 vε σε 2
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
强度条件为：
1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 2
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
三、强度理论的应用
1. 强度理论的统一形式：
r
r 称为相当应力
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25MPa
39 MP a 89
2）主平面
tg2 0 2t xy
s1 39MPa；s 2＝0；s 3＝ 89MPa
s x s y
0 19.33或109 33 .
sy
§7–3
平面应力状态分析——图解法 一、应力圆（ Stress Circle）
sx
y O x
txy
s
s3
体图知：y
z面为主面
s 150
B
s 1 58 s 2 50 s 3 27 t max 44
§7–5 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系 ——（广义胡克定律）
一、单拉下的应力--应变关系 y
sx
sx x E
y s x E
z s x
E
ij 0 (i,jx,y,z)
s x s y s x s y cos2 t xy sin2 s 2 2 t s x s y sin2 t cos2 xy 2
对上述方程消去参数（2），得：
sx
y O
sy
x
txy
t
s x s y s x s y 2 2 s t t xy 2 2 n
tg2 0
2t xy
t max t min
破坏分析
sx s y 2
s x s y
0 45
2 t xy
2
s x s y tg21 0 10 2t xy
低碳钢 s 240 : s MPa;t s 200MPa
低碳钢
低碳钢拉伸
铸铁压缩 F
F
M
低碳钢
铸铁
2、问题：组合变形杆将怎样破坏？ F
M
二、一点的应力状态： 过一点各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态 三、单元体：单元体——包围被研究点的无限小的几何体， 常用的是正六面体。
单元体的性质——a、各面应力均布；
sy
y
b、平行面上，应力相等。
sz
z
txy
A(sx ,txy)
AB与s 轴的交点C便是圆心。 以C为圆心，以AC为半径画 圆——应力圆；
s
B(sy ,tyx)
sy
s t
y
n
三、单元体与应力圆的对应关系 面上的应力(s ，t ) 应力圆上一点(s ，t )
sx
txy
D( s , t x
t
O
x
A(sx ,txy s y sx s y 2 t xy s min 2 2
t 0 极值正应力就是主应力 ！
0
sx
y O x
txy
s max s 1 ; s min 0时，s min s 2 ; s 3 0 s min 0时，s 2 0; s min s 3
150°
95
A
0
25 3
s1
B(45,25 3)
t (MPa)
B A 20MPa
AB的垂直平分线与
s 轴的交点C便是
圆心，以C为圆心， 以AC为半径画
s3
20
C
O s2
s1
s
(MPa)
圆——应力圆
主应力及主平面如图
s 1 120 s 2 20 s 3 0
25 3
s2
45 B
150°
95
A
0
25 3
s1
0 30
t (MPa)
B A 20MPa
s3
2s0
C
O s2
s1
s
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
25 3
45
150°
95
60°
s x s y 2 2 s 1 s x s y （ ）t xy 2 2 s 2
25 3
s y 45MP a t yx 25 3MP at xy
2 3
s2 s3 2 2 s2 s3 2 (s n ) tn l (s 1 s 2 )(s 1 s 3 ) 2 2
2
s 3 s1 2 2 s 3 s1 2 (s n ) tn m (s 2 s 3 )(s 2 s 1 ) 2 2
2）设ABC的面积为dA，则：
SOBC ldA SOCA mdA SOAB ndA ; ;
3）ABC面应力p可分解为px， py，pz，则：
F
x
0; px dA s1ldA 0; px s1l
同理： y s 2 m; pz s 3n p
p
2 2 2 s1 l 2 s 2 m2 s 3 n2
力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。
整个单元体内的最大切应力为：
t max
s 1 s 3
2
例4 求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa） y 建立应力坐标系如
B A
30
t （MPa ）
C 40 50
t max A
x
图，画应力圆和 点s1′,得: 10
z 解：由单元
s s2 s1 (MPa)
sx
x
四、普遍状态下的应力表示
五、切应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress): 过一点的两个正交面上与相交边垂直的切应力分量数值等
值、方向相对或相离。
证明 单元体平衡 :
M
z
0
sy
y
(t xydydz)dx(t yxdzdx)dy0
sz
z
txy
t
s sx
y O
sy
x
txy
t
设：斜截面面积为S， 由分离体平衡得：
n
F 0
n
t
s S s x S cos2 t xy S cos sin
s y Ssin 2 t yx Ssin cos 0
s x s y s x s y s cos2 t xy sin 2 2 2
C M
t yx
C M C
解：确定危险点并画其原
始单元体
t xy
t xy
s x s y 0
M t Wt
2
txy
求极值应力
tyx
y O
s max s x s y sx s y 2 t xy s min 2 2
2 t xy t
x
s 1t ;s 2 0;s 3 t
dt 令: d
s x s y tg21 2t xy
sy
主 单元体
s min
sx
0
1
y
txy s max
x
O
t max t min
1 0
sx s y 2
4
2 t xy
2
正应力平面和切应力平面相差45度
例2 分析受扭构件的破坏规律。
sy
y
sx sz
z
txy
x
t xy xy G t yz yz G zx t zx
同理：
s x s y t sin 2 t xy cos2 2
二、极值应力
ds 令: s x s y sin 2 0 2t xy cos 2 0 0 d 0
由此的两个驻点：
0、（ 0 ）和两个极值：
2
2
tg2 0
2t xy
第七章 主要内容安排
§7–1 应力状态的概念
§7–2 二向应力状态分析——解析法
§7–3 二向应力状态分析——图解法 §7–4 §7–5 §7–6 三向应力状态研究——应力圆法 广义胡克定律 复杂应力状态下的应变能密度
§7–7 强度理论及其应用
§7–１ 应力状态的概念 一、引言 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？ F
sx
x
xy t yx t
六、单元体的画法
例1 P 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。 P
A
sx
A
sx t yx
y
B P M
sx
tzx
B
C
z
x
txz
sx
C
t xy
七、主单元体、主面、主应力：
sy
y
主单元体(Principal body)：
sx
各侧面上切应力均为零的单元体。 主面(Principal Plane)：
sz
z x
切应力为零的截面。
主应力(Principal Stress ）：
s2 s1
主面上的正应力。
主应力排列规定：按代数值大小，
s3
s 1s 2 s 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。 二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。 单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
4）ABC面应力p还可分解为sn， t n，则：
p
2 2 sn tn
s n p x l p y m pz n s1l 2 s 2 m2 s 3n 2
2 2 t n s12l 2 s 2 m2 s 3 n 2
2 t n (s n s 2 )(s n s 3 ) 2 l (s 1 s 2 )(s 1 s 3 ) 2 t n (s n s 3 )(s n s 1 ) m2 (s 2 s 3 )(s 2 s 1 ) 2 t n (s n s 1 )(s n s 2 ) n2 (s 3 s 1 )(s 3 s 2 )