等差、等比数列的子数列学案
等差数列与等比数列数学教案
等差数列与等比数列数学教案引言：数列是数学中一种重要的数学概念，是指按照一定规律排列的数的集合。
其中，等差数列和等比数列是数学中最常见的两种数列。
它们是数学中的基础概念，掌握它们的性质与运算方法对深入理解数学知识、提高解决问题的能力具有非常重要的意义。
本教案将通过丰富的案例和实际问题，帮助学生全面掌握等差数列和等比数列的相关知识。
一、等差数列1. 等差数列的定义与公式等差数列是指数列中任意两个相邻项之差都是一个常数的数列。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项可表示为an=a1+(n-1)d。
其中，a1为首项，d为公差，n为项数。
案例：一个等差数列的首项为3，公差为4，求该等差数列的第10项。
2. 等差数列的通项公式推导与应用等差数列的通项公式是指可以通过首项、公差和项数，直接求得等差数列的第n项。
通项公式为an=a1+(n-1)d。
案例：已知一个等差数列的第5项为21，公差为7，求该等差数列的前10项和。
3. 等差数列的性质与运算等差数列具有以下性质和运算方法：（1）等差数列的任意两项的和等于这两项所夹项的两倍。
（2）等差数列的前n项和可以通过n(n+1)/2求得。
案例：某等差数列的前5项和为30，公差为2，求该等差数列的首项和第7项。
二、等比数列1. 等比数列的定义与公式等比数列是指数列中任意两个相邻项之比都是一个常数的数列。
设等比数列的首项为a1，公比为q，则第n项可表示为an=a1 * q^(n-1)。
其中，a1为首项，q为公比，n为项数。
案例：一个等比数列的首项为2，公比为3，求该等比数列的第5项。
2. 等比数列的通项公式推导与应用等比数列的通项公式是指可以通过首项、公比和项数，直接求得等比数列的第n项。
通项公式为an=a1 * q^(n-1)。
案例：已知一个等比数列的第3项为16，公比为2，求该等比数列的前6项和。
3. 等比数列的性质与运算等比数列具有以下性质和运算方法：（1）等比数列的任意两项的比等于这两项所夹项的指数幂。
等差数列学案和等比数列教案
对等差数列的前n 项和公式2：2)1(1dn n na S n -+=可化成式子： n )2da (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式 对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1） 利用n a :当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n（2） 利用n S ：由n )2da (n 2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值 练习：1．差数列{n a }中, 4a ＝－15, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值。
2.如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，{},n a 为等差数列吗？各种等差数列通项公式求法类型一：1()n na a f n +=+（()f n 可以求和）−−−−→解决方法累加法 例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。
解析：121(2)n n a a n n --=-≥∴213243113521n n a a a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 上述1n -个等式相加可得： 211n a a n -=- 2n a n ∴=评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。
类型一专项练习题：1、已知11a =，1n n a a n -=+（2≥n ），求n a 。
(12n n n a +=）2、已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a 。
(31)2n n n a +=3、已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。
等差与等比数列的应用教案
等差与等比数列的应用教案一、引言本教案旨在介绍等差与等比数列的应用，并通过具体的案例来说明其重要性和实际运用场景。
通过本课程的学习，学生将能够深入理解等差与等比数列的概念、性质以及在现实生活中的应用。
二、知识概述1. 等差数列等差数列是指具有相同公差的数列，每一项与前一项之差都相等。
其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1表示首项，d表示公差，n表示项数。
2. 等比数列等比数列是指具有相同公比的数列，每一项与前一项之比都相等。
其通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1表示首项，r表示公比，n表示项数。
三、教学内容1. 等差数列的应用1.1 等差数列的求和对于给定的等差数列，通过求和公式Sn = [2a1 + (n-1)d] * n/2，可以快速求得其前n项和。
1.2 等差数列在商业中的应用等差数列的性质使得其在商业领域中有广泛的应用。
例如，利润、销售额、库存等指标往往可以用等差数列来刻画。
学生可以通过实际案例来了解等差数列在商业中的运用。
2. 等比数列的应用2.1 等比数列的求和对于给定的等比数列，通过求和公式Sn = a1 * (1-r^n) / (1-r)，可以快速求得其前n项和。
2.2 等比数列在科学中的应用等比数列的特性使得其在科学领域中具有广泛的应用。
例如，细胞分裂、放射性衰变、物种繁殖等现象可以用等比数列来建模。
学生可以通过具体案例，深入理解等比数列在科学中的应用。
四、教学方法1. 探究法通过引导学生观察、总结等差与等比数列的特性，并从实际生活中找出案例，引导其分析、归纳和掌握相应的应用方法。
2. 讨论法根据给定的实际问题，组织学生进行小组讨论，鼓励学生积极发表观点，从不同角度思考等差与等比数列在解决问题中的应用。
3. 实践方法引导学生通过实例分析和计算，将等差与等比数列的理论运用到实际问题中，提高学生的运用能力和解决实际问题的能力。
五、教学步骤1. 引入通过提出一个简单的实际问题，引导学生思考等差与等比数列的应用场景。
高中必修二数学教材数列教案
高中必修二数学教材数列教案
教学内容：数列
教学目标：1. 了解数列的概念及特点。
2. 掌握常见数列的表示方法及性质。
3. 能够解决与数列相关的问题。
教学重点：数列的概念、常见数列的特点、递推公式的求解。
教学难点：数列的性质应用题的解题技巧。
教学准备：黑板、彩色粉笔、教学PPT、习题集。
教学过程：
1. 概念引入：通过举例引入数列的概念，让学生了解什么是数列，并询问学生对数列的认识。
2. 数列的表示方法：介绍等差数列、等比数列等常见数列的表示方法及特点，并通过实例引导学生理解。
3. 数列的性质：讲解数列的性质，如首项、公差、通项公式等，让学生掌握数列的基本概念。
4. 数列的递推公式：通过实例引导学生如何求解数列的递推公式，让学生熟练掌握求解方法。
5. 综合练习：布置一些数列的练习题目，让学生独立解题，并及时纠正学生的错误。
6. 总结提问：对本节课所学的知识进行总结，并提出一些问题让学生思考，加深对数列的理解。
7. 课后作业：布置一些相关的练习题目，帮助学生巩固复习所学知识。
教学反思：在教学过程中要注重引导学生思考和探究，通过实例让学生理解数列的概念及性质，让学生在解题中得到实际应用。
同时要及时纠正学生的错误，并鼓励他们勇于探索和学习。
等差数列与等比数列备课教案
等差数列与等比数列备课教案一、引入在数学中，等差数列和等比数列是两个重要的数列类型。
本节课程将会对这两个数列类型进行详细介绍，并给出一些相关的例子和实际应用。
二、等差数列1.定义等差数列是指数列中两个相邻的项之间的差值相等的数列。
其通项公式为：an = a1 + (n-1)d其中，a1为首项，d为公差，n为项数。
2.性质等差数列的常用性质有：（1）前n项和公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2（2）若an + am = ak + al，则n + m = k + l（3）n个等差中，最小值为a，最大值为b（b>a），则它们的平均数为(a+b)/23.应用举例（1）高中物理中的匀加速直线运动（2）利用等差数列求解数学中的递推数列问题三、等比数列1.定义等比数列是指数列中两个相邻的项之间的比值相等的数列。
其通项公式为：an = a1 * q^(n-1)其中，a1为首项，q为公比，n为项数。
2.性质等比数列的常用性质有：（1）前n项和公式为：S_n = (a1(1 - q ^ n)) / (1 - q)（2）首项和公比已知，n项和也可求出。
（3）对于公比大于1的等比数列，其和为无穷大。
3.应用举例（1）金融领域中的复利计算（2）人口增长问题中的增长倍数四、综合应用等差数列和等比数列在现实生活中的应用非常广泛，比如经济增长率、利率计算、股票价格变化等等。
同时，也是学习高中数学和竞赛数学的基本内容之一。
在教学中，我们可以通过让学生解决一些实际问题，来深入理解这两个数列类型的本质。
五、总结本课程对等差数列和等比数列进行了详细介绍，并给出了一些实际应用。
通过这些知识点的学习，我们可以更好地理解数列的本质和应用，为今后的学习和应用奠定基础。
等比数列教案（精选7篇）
等比数列教案等比数列教案什么是教案？教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。
等比数列教案（精选7篇）作为一名辛苦耕耘的教育工作者，很有必要精心设计一份教案，教案是教学活动的总的组织纲领和行动方案。
那么优秀的教案是什么样的呢？下面是小编为大家收集的等比数列教案（精选7篇），希望能够帮助到大家。
等比数列教案1教学目标1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题.(1)正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列，了解等比中项的概念;(2)正确认识使用等比数列的表示法，能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项;(3)通过通项公式认识等比数列的性质，能解决某些实际问题.2.通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.3.通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度.教材分析(1)知识结构等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图像，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用.(2)重点、难点分析教学重点是等比数列的定义和对通项公式的认识与应用，教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用.①与等差数列一样，等比数列也是特殊的数列，二者有许多相同的性质，但也有明显的区别，可根据定义与通项公式得出等比数列的特性，这些是教学的重点.②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法，但对学生来说仍然不熟悉;在推导过程中，需要学生有一定的观察分析猜想能力;第一项是否成立又须补充说明，所以通项公式的推导是难点.③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式，因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点.教学建议(1)建议本节课分两课时，一节课为等比数列的概念，一节课为等比数列通项公式的应用.(2)等比数列概念的引入，可给出几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，有一种是按等差、等比来分的，由此对比地概括等比数列的定义.(3)根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解.(4)对比等差数列的表示法，由学生归纳等比数列的各种表示法. 启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征画数列的图象.(5)由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，教师只需把握课堂的节奏，作为一节课的组织者出现.(6)可让学生相互出题，解题，讲题，充分发挥学生的主体作用. 等比数列教案2教学目标1.通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式.2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力.3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度.教学重点，难点重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.教学用具投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法讨论、谈话法.教学过程一、提出问题给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.(幻灯片)①-2，1，4，7，10，13，16，19，②8，16，32，64，128，256，③1，1，1，1，1，1，1，④-243，81，27，9，3，1，，，⑤31，29，27，25，23，21，19，⑥1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，⑦1，-10，100，-1000，10000，-100000，⑧0，0，0，0，0，0，0，由学生发表意见(可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类)，统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列(学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为等比数列).二、讲解新课请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数。
小学数学等差数列教案【优秀8篇】
小学数学等差数列教案【优秀8篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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新课标高中数学等差数列和等比数列教学设计
等差数列和等比数列一、课程说明1.教学目标：1）知识与技能：理解并掌握等差与等比数列的定义和通项公式，并加以初步应用。
2）过程与方法：通过概念、公式和例题的教学，渗透类比思想、方程思想、函数思想以及从特殊到—般等数学思想，着重培养学生观察、比较、概括、归纳、演绎等方面的思维能力，并进—步培养运算能力，分析问题和解决问题的能力，增强应用意识。
3）情感态度与价值观：通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切关系，激发学生学习的兴趣。
2、学习者特征分析高中生与初中生相比，心理和心里都日趋成熟，认识能力也有提高，对事对人都有自己的看法，同时他们思维的独立性也较为成熟，喜欢独立思考问题以获取答案，还具备了一定的自学能力。
因此，将等比数列与等差数列的一些基本性质以问题的形式提出进而引导他们探究新的知识这种教学模式更能激发他们的学习兴趣。
等差与等比数列作为高考的必考内容，难度不是很大。
在教学中，要求学生掌握基本的知识体系与解题思路。
3、难点、重点分析教学重点：等差与等比数列的概念的形成与深化；等比数列通项公式的推导及应用。
教学难点：等差与等比数列性质的灵活应用：等比数列前n项和公式的推导。
二、课前准备1、教学方法：多媒体教学法；问题探究发现教学法。
2、教学器材：多媒体教学工具。
3、教材分析：本节内容先由分析日常生活中的实际问题来引出等差与等比数列的概念，再由归纳演绎法得出通项公式，既让学生感受到等比数列是现实生活中大量存在的数列模型，也让学生经历了从实际问题抽象出数列模型的过程。
4、时间分配：（一）等差与等比数列的概念 （10分钟）（二）、等差数列的通项、基本性质。
（20分钟）（三）、等比数列的通项、基本性质。
（20分钟） （四）、总结 （10分钟）三、课程设计（一）等差与等比数列的概念 创设情境，引入概念（展示图片）引例⒈小明觉得自己英语成绩很差。
初中数学等差数列与等比数列教学案
初中数学等差数列与等比数列教学案一、引言数列是数学中非常重要的概念之一，在初中阶段，学生会接触到等差数列和等比数列这两种特殊的数列。
本文将就初中数学中等差数列与等比数列的教学案进行详细讲解和分析。
二、等差数列的教学案分析1. 教学目标：了解等差数列的定义及其性质，并能够通过给定的前几项求出第n项的公式。
2. 教学内容：（1）等差数列的定义：等差数列是指数列中，相邻的两项之差为一个固定的常数。
常用表示形式为：a, a+d, a+2d, a+3d, ...（其中a为首项，d为公差）。
（2）等差数列的性质：等差数列的公差是固定的，任意两项之差等于公差，任意三项的公差是相等的，等差数列的任意一项等于前一项加上公差。
（3）等差数列的求和公式：Sn = (a1 + an) / 2 * n，其中Sn为前n项的和，a1为首项，an为第n项，n为项数。
3. 教学过程：（1）导入：通过一个生活实例引入等差数列的概念，如某人每天跑步锻炼，第一天跑2公里，第二天跑4公里，第三天跑6公里，以此类推。
（2）呈现：通过示例数列和图像呈现等差数列的规律，解释等差数列的定义和性质。
（3）引导：通过一些简单的练习题，让学生发现等差数列的规律，引导他们找到公差，进而推导出等差数列的通项公式。
（4）操练：让学生通过给定的前几项，找出等差数列的公差和首项，并进一步求出第n项的值。
（5）拓展：引导学生思考等差数列的应用场景，如利用等差数列表示年龄、价格等变化规律。
（6）归纳总结：总结等差数列的定义、性质和求和公式，强化学生对等差数列的理解。
4. 教学评价：通过解答问题、练习题和仿真问题等形式，检查学生对等差数列的相关知识掌握情况，并进行评价和反馈。
三、等比数列的教学案分析1. 教学目标：了解等比数列的定义及其性质，并能够通过给定的前几项求出第n项的公式。
2. 教学内容：（1）等比数列的定义：等比数列是指数列中，相邻的两项之比为一个固定的常数。
等差、等比数列教案 (1)
龙文教育-----您值得信赖的专业化个性化辅导学校课题 等差数列与等比数列学情分析数列是高考的一个重要考点，分值很大，数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点．学习目标与 考点分析 等差或等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式的应用；以及它们的联系。
学习重点 难点 等差或等比数列的性质；等差或等比数列通项公式的求法；以及前n 项和的运用。
学习方法熟练函数思想、单调性、最值等问题、分类讨论等方法的应用．教学过程 基础知识回顾1．等差数列的常用性质：⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有 ．⑵ {a n }是等差数列， 则{a kn } (k ∈N *，k 为常数)是 数列． ⑶ S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成 数列．2．在等差数列中，求S n 的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0，而它后面的各项皆取负(正)值．⑴ a 1> 0，d <0时，解不等式组 ⎩⎨⎧<≥+01n n a a 可解得S n 达到最 值时n 的值． ⑵ a 1<0，d>0时，解不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧可解得S n 达到最小值时n 的值． 3．等比数列的常用性质：⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有 ． ⑵ {a n }是等比数列，则{a 2n }、{na 1}是 数列．⊂⑶ 若S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成 数列． 4求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： （1）等差数列的前n 项和公式：S n ＝ ＝ ． （2）等比数列的前n 项和公式：① 当q ＝1时，S n ＝ ． ② 当q ≠1时，S n ＝ ．3．倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和．4．错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． 5．裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列．例题分析1是否存在互不相等的三个实数a 、b 、c ，使它们同时满足以下三个条件： ① a ＋b ＋c ＝6 ② a 、b 、c 成等差数列 ③ 将a 、b 、c 适当排列后成等比数列。
等差数列与等比数列教学案
等差数列与等比数列教学案一、引言数学是一门重要的学科，对培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。
在数学教学中，等差数列和等比数列是基础而重要的概念，对学生的数学素养和解题能力有着深远的影响。
本教学案将重点介绍等差数列和等比数列的概念、性质和解题方法，以便帮助学生更好地理解和掌握这两个数列。
二、等差数列的介绍1. 概念等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。
设数列为a₁，公差为d，则对于任意的正整数n，有递推公式：aₙ = aₙ₋₁+ d。
其中，a₁为首项，d为公差。
2. 性质（1）首项和公差的关系：a₁ = a₂ - d。
（2）通项公式：aₙ = a₁ + (n - 1)d。
（3）求前n项和的公式：Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2。
3. 解题方法（1）已知首项和公差，求任意项：利用通项公式aₙ = a₁ + (n - 1)d，代入已知的首项和公差，即可求得任意项。
（2）已知首项和公差，求前n项和：利用前n项和的公式Sₙ =(a₁ + aₙ) * n / 2，代入已知的首项和公差，即可求得前n项和。
三、等比数列的介绍1. 概念等比数列是指数列中每一项与前一项的比都相等的数列。
设数列为a₁，公比为q，则对于任意的正整数n，有递推公式：aₙ = aₙ₋₁* q。
其中，a₁为首项，q为公比。
2. 性质（1）首项和公比的关系：a₁ = a₂ / q。
（2）通项公式：aₙ = a₁ * q^(n - 1)。
（3）求前n项和的公式：Sₙ = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)，其中q ≠ 1。
3. 解题方法（1）已知首项和公比，求任意项：利用通项公式aₙ = a₁ * q^(n - 1)，代入已知的首项和公比，即可求得任意项。
（2）已知首项和公比，求前n项和：利用前n项和的公式Sₙ = a₁* (1 - q^n) / (1 - q)，代入已知的首项和公比，即可求得前n项和。
等差、等比数列的子数列问题
等差、等比数列的子数列问题【教学目标】1．了解子数列的概念，会解决等差、等比数列的子数列问题；2．会用归纳猜想证明的思维分析解决数列问题．【重点难点】解决等差等比数列的子数列问题．【概念解析】一般地，若数列}{n b 是由数列}{n a 的一些项按原来的顺序构成的一个新数列，则称数列}{n b 是数列}{n a 的一个子数列．【小题回顾】1．在等差数列}{n a 中，0≠d ，21=a ，若抽出一些项 ,,,,,321n k k k k a a a a 按原顺序组成等比数列，其中11=k ，32=k ，113=k ，则=n k ．2．设4321,,,a a a a 是各项均不为零的等差数列，且公差0d ≠，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则1a d=．总结： 【典型考题】例1已知}{n a 的通项公式31()n a n n *=-∈N ．设非常数数列{}n b 为等比数列，且n n k b a =．⑴若11=2b a =，且等比数列{}n b 的公比最小，①写出数列{}n b 的前4项； ②求数列{}n k 的通项公式；⑵证明：以125b a ==为首项的无穷等比数列{}n b 有无数多个．例2（Ⅰ）设12,,,n a a a 是各项均不为零的等差数列（n ≥4），且公差0d ≠，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：①当n =4时，求1a d的数值；②求n 的所有可能值；（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n (n ≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列12,,,n b b b ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．例3已知数列{}n a 满足：1113(1)2(1)1,211nn n n a aa a a ++++==--，数列{}n b 满足：221(1)n n n b a a n +=-≥．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）证明：数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列．【课堂练习】1. 已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为63+=n a n ，72+=n a n （*n N ∈），将集合{}{}**,,N n b x x N n a x x nn ∈=∈= 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c ．则2013是这个新数列的第项．2. 已知各项均为正数的等比数列的公比为，且．在数列中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由．3．数列{}n a 中，121==a a ，2)1(12n n n a a -++=+，则=n a ． 4．数列}{n a 满足01=a ，n a a n n 21=++，则=2018a ．5．数列}{n a 满足11=a ，n n n a a 41=⋅+，则数列的前n 项和=n S ．6．数列}{n a 的各项均为1或0，首项为1，且在第k 个1和第1+k 个1之间有12-k 个0，那么第20个1是该数列的第项．7．已知等差数列}{n a 前n 项和是n S ，且93=S ，366=S ．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）是否存在正整数k m ,，使m a ，5+m a ，k a 成等比数列？若存在，求出m 和k 的值；若不存在，请说明理由．8．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13-=n n S ，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若nn a n b 32=，问：是否存在正整数)1(,q p q p <<，使q p b b b ,,1成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组),(q p ；若不存在，请说明理由．【课堂小结】{}n a q 102q <<{}n a。
等差等比数列导学案.doc
数列知识要点1.⑴等差、等比数列：等差数列等比数列定义«n+i ~a n=d n+[ = q(q / 0) a n递推公式a… =«…_! +d；a… =a,n_… +md n—m。
〃=。
〃-10；a n =a mQ通项公式a n = +(〃— l)d Q .= a 、q(Q],q^O)中项公式 a + b s、A- 2 推厂:％a/j+af G2 =ab.推广：a n2 =a n_m xa n+m前&项和S n =刁(。
1 +。
〃) Sqa3 四= S n =f〃2+(%na x(q = 1) S" = <_财(q 丰]) 1-q 1-q性质1若m+n=p+q 贝(J a m +a n = a p+ a q若m+n=p+q,则a,“a“ = a p a q »2若伙“｝成等差数列（其中k n eN）WJ ｛a k｝也为等差数列。
若值“｝成等差数列（其中k n^N）, 则｛四｝成等比数列。
3S”，$2" —S" , S3n -S2n成等差数列。
S”，$2” —S”，$3" — $2"成等比数列。
4 a —a. a — ad = --- ----- = ---- ----- - (m A n)n-l m-n q"T =% , q n~m =% (m?〃)«1 a m⑵看数列是不是等差数列有以下四种方法：a n - a n_x = <7（n > 1,d为常数）®2a… F+i +"i（"Z2）®a n =kn+b （n,k 为常数）④s n=An2 + Bn（缺常数项的二次函数型）⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：®a n =a n_1q（n>2,q为常数且NO）a n =a n+l-a n_l（n>2, a n a n+｛a n_｛ *0）（等比中项）注意：任意两数s c不一定有等比中项，除非有ac>0,则等比中项一定有两个. a“=cq"（c,q为非零常数）.* = —A/+A(其中人=勺)l-q2.等差数列的一些其他的性质等差数列依次每"项的和仍成等差数列，其公差为原公差的尸倍S k,S2k-S k,S3k-S2k...；/ \ ; S 奇 _ a n若等差数列的项数为2n[n G/ ,则S偶一S奇=汨，厂一-—;3偶a n+l若等差数列的项数为2〃-1"N+),贝I」；,,—1=(2〃-巾“，且S奇偶F，室=工S 偶0-13.求通项公式的几种方法：4.几种常见的数列的思想方法：S1 = Q] (〃 = 1)⑴数列｛a n)的前n项和S n与通项a n的关系=< /、⑵在等差数列｛。
等差数列与等比数列教学设计
高三第一轮专题复习一、课程说明(一)教学目标：1.知识与能力：①掌握等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式及其他性质公式；②进一步渗透方程思想、分类讨论思想、等价转化思想以及体会类比与归纳的数学方法。
2.过程与方法：通过典例剖析进一步提高学生研究问题、分析问题与解决问题能力。
3.情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯；激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。
（二）教材分析教材上基础知识详细，基本方法归纳基本到位，但对等差数列与等比数列的性质运用及通项公式，求和公式例题讲解不足。
而数列作为一种特殊的，函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备，所以在本次复习中要弥补教材上的不足。
（三）学习者特征分析高三学生，随着高二一年的学习，对于等差数列与等比数列的一些基础知识有点模糊，对性质运用，基本方法不够深入，但是基础知识还是比较好，而且思维敏捷，所以本次复习也有了针对性。
（四）教学重点1.等差数列、等比数列概念，性质，和公式的理解。
2.求等差数列、等比数列的通项公式,前n项和公式的基本方法。
（五）教学难点1. 等差数列、等比数列性质的灵活运用。
2.求等差数列、等比数列通项公式,前n项和公式方法的相互渗透。
二、课前准备（一）教学方法启发引导回顾旧知，通过常见重难题的讲练结合，让学生在自我探究合作、交流中掌握等差数列和等比数列的知识，并能在高考中得分；（二）教学器材（根据辅导地点所定）若是教室则为多媒体设备，投影仪，扩音器；若在家中则借助小白板即可。
（三）时间分配虽内容较多，但重难点突出，且有针对性，所以用三分之一的时间复习基础知识，用三分之二的时间重点讲解和练习性质及方法的运用，课后会有适量的作业巩固课堂所学。
三、课程设计（教学过程）（一）基础知识巩固有关等差、等比数列的结论1．等差数列{}n a 的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S --仍为等差数列．2．等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+ 3．等比数列{}n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅ 4．等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S --仍为等比数列．5．两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． 6．两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n n a b ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列． （二）等差数列、等比数列性质的灵活运用典型题例示范讲解例1已知函数f (x )=412-x (x <－2)(1)求f (x )的反函数f -－1(x );(2)设a 1=1,11+n a =－f －-1(a n )(n ∈N *),求a n ;(3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有b n <25m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由命题意图 本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力知识依托 本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题错解分析 本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{21na }为桥梁求a n ,不易突破技巧与方法 (2)问由式子41121+=+nn a a 得22111nn a a -+=4,构造等差数列{21na },从而求得a n ,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想解设y =412-x ,∵x <－2,∴x =－214y +,即y =f －-1(x )=－214y +(x >0)(2)∵411,14122121=-∴+=++nn nn a a a a ，∴{21na }是公差为4的等差数列，∵a 1=1,21na =211a +4(n －1)=4n －3,∵a n >0,∴a n(3)b n =S n +1－S n =a n +12=141+n ,由b n <25m ,得m >1425+n , 设g (n )= 1425+n ,∵g (n )= 1425+n 在n ∈N *上是减函数，∴g (n )的最大值是g (1)=5,∴m >5,存在最小正整数m =6,使对任意n ∈N *有b n <25m 成立例2（由学生和老师共同完成）设等比数列{a n }的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lg a n }的前多少项和最大？(lg2=0 3,lg3=0 4)命题意图 本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力知识依托 本题须利用等比数列通项公式、前n 项和公式合理转化条件，求出a n ;进而利用对数的运算性质明确数列{lg a n }为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解错解分析 题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方技巧与方法 突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n 项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列S n 是n 的二次函数，也可由函数解析式求最值解法一设公比为q ,项数为2m ,m ∈N *,依题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅--⋅=--⋅)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a m m 化简得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+==+10831 ),1(9114121a q q q a q q 解得 设数列{lg a n }前n 项和为S n ,则S n =lg a 1+lg a 1q 2+…+lg a 1q n －1=lg a 1n ·q 1+2+…+(n －1)=n lg a 1+21n (n －1)·lg q =n (2lg2+lg3)－21n (n －1)lg3=(－23lg )·n 2+(2lg2+27lg3)·n可见，当n =3lg 3lg 272lg 2+时，S n 最大 而4.024.073.043lg 3lg 272lg 2⨯⨯+⨯=+=5,故{lg a n }的前5项和最大解法二接前，⎪⎩⎪⎨⎧==311081q a ,于是lg a n =lg ［108(31)n －1］=lg108+(n－1)lg 31,∴数列{lg a n }是以lg108为首项，以lg 31为公差的等差数列，令lg a n ≥0,得2lg2－(n －4)lg3≥0, ∴n ≤4.04.043.023lg 3lg 42lg 2⨯+⨯=+=5 5由于n ∈N *,可见数列{lg a n }的前5项和最大例3（由学生和老师共同完成） 等差数列{a n }的前n 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为_________解法一将S m =30,S 2m =100代入S n =na 1+2)1(-n n d ,得11(1)3022(21)21002m m ma d m m ma d -⎧+= ⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩ ① ②2102)13(33,2010,4013212=-+=∴+==d m m ma S m m a md m 解得 解法二由]2)13([32)13(33113d m a m d m m ma S m -+=-+=知，要求S 3m 只需求m ［a 1+2)13(d m -］,将②－①得ma 1+ 2)13(-m m d =70,∴S 3m =210解法三由等差数列{a n }的前n 项和公式知，S n 是关于n 的二次函数，即S n =An 2+Bn (A 、B 是常数）将S m =30,S 2m =100代入，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+=+m B m A m B m A Bm Am 1020 1002)2(30222,∴S 3m =A ·(3m )2+B ·3m =210解法四S 3m =S 2m +a 2m +1+a 2m +2+…+a 3m=S 2m +(a 1+2md )+…+(a m +2md ) =S 2m +(a 1+…+a m )+m ·2md =S 2m +S m +2m 2d由解法一知d =240m,代入得S 3m =210 解法五 根据等差数列性质知S m ,S 2m －S m ,S 3m －S 2m 也成等差数列，从而有S 2m －S m )=S m +(S 3m －S 2m )∴S 3m =3(S 2m －S m )=210 解法六∵S n =na 1+2)1(-n n d ,∴nS n =a 1+2)1(-n n d∴点(n , nS n )是直线y =2)1(d x -+a 1上的一串点，由三点(m ,mS m ),(2m , mS m 22),(3m , mS m 33)共线，易得S 3m =3(S 2m－S m )=210解法七令m =1得S 1=30，S 2=100，得a 1=30,a 1+a 2=100,∴a 1=30,a 2=70∴a 3=70+(70－30)=110 ∴S 3=a 1+a 2+a 3=210 答案 210（三）十种求数列通项公式的方法（归纳总结，不用于课堂讲解，只是根据学生的掌握情况，个别指导，弥补学生没有掌握的那种方法）3((2221](1)1a a n ++-++⨯+++++-+3(a a ++-2222(33213()331)13a a ++-+++++++22(33a a ++-的通项公式。
等差等比数列综合应用教案
教育个性化教育教案教师姓名 学科 数学 上课时间 2011/1/29学生姓名年级时间段课题名称 等差数列和等比数列教学目标等差数列和等比数列教学重难点等差数列和等比数列 一、知识回顾1. 等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法. (2)通项公式法.(3)中项公式法.3. 在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足⎩⎨⎧≥≤+01m ma a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
二、基本训练1．等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为 。
2．各项均为正数的等比数列{}n a 中，569a a ⋅=，则3132310log log log a a a +++= 。
3．若一个等差数列的前3项和为34，最后3项和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 项。
4．在等差数列中，S 11＝22，则a 6＝__________________.5．等比数列{}n a 中，①若a 1 +a 4＝9，a 2 ·a 3=8，则前六项和S 6=___________；②若a 5+ a 6 ＝a ，a 15+ a 16 ＝b ，则a 25+ a 26＝__________________.6．数列{}n a 是等比数列，下列四个命题：①2{}n a 、2{}n a 是等比数列；②{ln }n a 是等差数列；③1{}na 、{||}n a 是等比数列；④{}n ka 、{}n a k +(0)k ≠是等比数列。
正确的命题是 。
三、例题分析例1、设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，m n ≠，1）若,m n a n a m ==，求m n a +和m n S +；2）若,m n S n S m ==，求m n S +；3）若71427n n S n T n +=+，求n n a b 。
高三数学《等差等比数列》复习教案 必修
芯衣州星海市涌泉学校光泽第一中学高三数学必修五等差、等比数列复习教案光泽一中江居明【教材内容分析】假设一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
假设一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示〔0 q〕。
【学情分析】学生可以掌握根本的结论，但学生由于缺少系统性的练习，不可以准确的找到解题思路，所以需要进展全面的复习。
【教学目的】(1)理解等差、等比数列的定义与断定． (2)掌握等差、等比数列的通项公式． (3)理解等差中项、等比中项与性质．(4)掌握等差、等比数列的前n 项和公式及其运用． 【重点、难点】【课时安排】一课时【教学方法】启发式教学、讲练结合 【教学过程和步骤】 1.等差数列等差数列的定义：假设一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
等差中项： 假设a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。
即：2ba A +=或者者b a A +=2 等差数列的断定方法: 〔1〕定义法：对于数列{}n a ，假设da a nn =-+1(常数)，那么数列{}n a 是等差数列。
〔2〕等差中项：对于数列{}n a ，假设212+++=n n n a a a ，那么数列{}n a 是等差数列。
等差数列的通项公式： 假设等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，那么等差数列的通项为dn a a n)1(1-+=，d m n a a m n )(-+=等差数列的前n 项和：①2)(1n n a a n S +=②d n n na S n 2)1(1-+= 等差数列的性质： 〔1〕对于等差数列{}n a ，假设q p m n +=+，那么q p mn a a a a +=+。
等差等比数列教学设计
教学设计：一、课题：等差数列等比数列复习课(高二学考复习课)二、教学目标：1、理解并能熟记等差数列等比数列的定义式、通项公式、重要性质。
2、能熟练运用相关公式，综合解题。
3、渗透函数与方程的数学思想方法。
三、教学重点：等差数列等比数列的定义式、通项公式、重要性质的理解与运用。
四、教学难点：综合运用等差数列等比数列的重要公式。
五、课前准备：多媒体，白板，课件。
六、教学程序：1、对比回顾复习：等差数列等比数列的定义、通项公式。
2、探究等差数列公式特点：如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。
3、对比回顾复习：等差数列等比数列的重要性质；等差中项和等比中项。
4、例1.⑴｛a n｝是首项a i= 1,公差d = 3的等差数列，若a n = 2005,则n =()⑵在3与27之间插入7个数，使它们成为等差数列，则插入的7个数的第四个数是( )5、例2.求下列各等比数列的通项公式：(1)a1= —2, a3 ——8; (2) a1= 5,且2a n+1 ——3a n.6、练习：(1)等比数列｛a n｝，a2=2,a6=162,求q, a 4(2)等比数列｛a n｝, a a+2 a3a?+ a4a10=36 , a n>0, 求a3+ a?(3)等差数列｛a n｝，a1+a4+a?=39,a2+a5+a8=33,求a s+a s+a o(4)数列｛a n｝，a1=1,a n-a n-1 =2,求a n7、思考题：1 、求4和8的等比中项x,公比q2 、知数列｛an｝满足a1 —1，a n+1—2a n + 1.(1) 求证数列｛a n+1｝是等比数列；(2) 求｛a n｝的表达式.&小结、作业布置。
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等差、等比数列的子数列探究（学案）
学习目标：经历等差数列与等比数列子数列的性质的研究过程，体验“归纳——猜想
——论证”的数学发现的科学方法；体会从特殊到一般、类比等数学思想，获得数学发现与研究的乐趣。
学习重点与难点：归纳-猜想-论证、从特殊到一般、类比等数学思想方法的体验与认识
学习方法与策略：自主、互助探究式学习。
学习内容：
（一）复习导入：观察下列数列：
（1）1,2,3,4,... （2）2,4,6,8,... （3）1,3,5,7,... （4）1,2,4,8,... （4）5,9,13,17,... （5）2,5,8,11,... （6）1,4,16,64,... （7）5,20,80,320,...
1）试写出一个符合前4项的通项公式；
2）观察数列（2）——（7）的项与数列（1）的项之间存在的关系： 3）归纳无穷数列的子数列的概念；
4）上述数列中具有子数列关系的有那几对？
（二）探究问题一、数列{}n a 是无穷等差数列，问：数列{}n a 是否存在等差的子数列？ 研究问题1、若n a n =，n N *
∈，举例说明数列{}n a 的等差子数列。
研究问题2、1
13
n a n =
-，探究数列{}n a 的等差子数列。
研究问题3、数列{}n a 是等差数列，首项为1a ，公差为d ，探究数列{}n a 的等差子数列。
（三）探究问题二、无穷数列{}n a 是等比数列，问：数列{}n a 是否存在等比的子数列？ 研究问题1、若设a a a n (=为常数），举例说明数列{}n a 的等差子数列。
研究问题2、若1
)
3
1
(2-⋅=n n a ，举例说明数列{}n a 的等差子数列。
研究问题3、若数列{}n a 是等比数列，首项为1a ，公比为q ，探究数列{}n a 的等比子数列。
探究问题三、无穷数列{}n a 是等差数列，问：数列{}n a 是否存在等比的子数列？ 研究问题1、若n a n =，探求数列{}n a 的等比子数列。
研究问题2、等差数列{}n a ，且13-=n a n 。
问：数列{}n a 中是否存在等比子数列{}n c ？ 研究问题3、能否将问题2的研究结果，加以归纳与推广？
学习方法总结：
学习方法应用：
思考问题1、 等比数列是否存在等差子数列？请举例说明，并研究一般规律。
思考问题2： 已知：数列{}n a 是首项,21=a 公差是d 的等差数列。
数列{}n b 是等比数列，且2211,a b a b ==。
问：是否存在自然数d ，使得数列{}n b 是数列{}n a 的子数列？如存在，试求出d 的一切可能值。
思考问题3、无穷数列{}n a 是等比数列，问：数列{}n a 是否存在等差的子数列？。