《离散数学》总复习
离散数学期末复习
离散数学内容总结大纲第一篇 数理逻辑第1章 命题逻辑求命题公式的主析取范式及主合取范式例 求()()p r q p ∨⌝∧∨的主析取范式及主合取范式。
例 求(P →Q)∧R 的主析取范式及主合取范式。
例 求命题公式R Q P ∨∧)(的主析取范式和主合取范式。
例 求公式A =(p →⌝q )→r 的主析取范式与主合取范式。
例 求()r q p →→的主析取范式。
判断公式类型例 用等值演算法判断公式q ∧⌝ (p →q )的类型例 判断下列命题公式的类型（永真式、永假式、可满足式），方法不限。
(1)(2)证明例 证明：()()()r q r p r q p →∧→⇔→∨ 例 证明：r q p r q p →∧⇔→→)()( 例 推证：⌝Q ∧(P →Q)⇒⌝P例 前提：q p s q r p ∨→→,,，结论：s r ∨。
该结论是否有效？请说明原因。
在命题逻辑中构造下面推理的证明：例 如果小张守第一垒并且小李向B 队投球，则A 队获胜。
或者A 队未获胜，或者A 队成为联赛的第一名。
小张守第一垒。
A 队没有成为联赛的第一名。
因此小李没有向B 队投球。
解：先将简单命题符号化。
P：小张守第一垒；Q：小李向B队投球；R：A队取胜；S：A 队成为联赛第一名。
前提：(P∧Q)→R，R∨S，P，S结论：Q证明：(1) R∨S 前提引入(2) S 前提引入(3) R (1)(2)析取三段论(4) (P∧Q)→R 前提引入(5) (P∧Q) (3)(4)拒取式(6) P∨Q (5)置换(7) P 前提引入(8) Q (6)(7)析取三段论例一个公安人员审查一件盗窃案，已知下列事实：（1）甲或乙盗窃了录像机；（2）若甲盗窃了录像机，则作案时间不能发生在午夜前；（3）若乙的证词正确，则午夜时屋里灯光未灭；（4）若乙的证词不正确，则作案时间发生在午夜前；（5）午夜时屋里灯光灭了。
根据以上事实，推断谁是盗窃犯。
（在命题逻辑中构造推理证明。
《离散数学》复习题及答案
页眉内容《离散数学》试题及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）PP⌝P→⌝↔（4）QQ→⌝（2）QP⌝→（3）Q8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ∀x∃y(x+y=0) (2) ∃y∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x∀y(x+y=y) ( )(3) ∃x∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x∃y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
离散数学复习资料
第1章命题逻辑本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定, (主)析取(合取)范式，命题逻辑的推理理论.一、重点内容1. 命题命题表述为具有确定真假意义的陈述句。
命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2. 六个联结词及真值表“⌝”否定联结词，P是命题，⌝P是P的否命题，是由联结词⌝和命题P组成的复合命题.P取真值1，⌝P取真值0，P取真值0，⌝P取真值1. 它是一元联结词.“∧”合取联结词，P∧Q是命题P，Q的合取式，是“∧”和P，Q组成的复合命题. “∧”在语句中相当于“不但…而且…”，“既…又…”. P∧Q取值1，当且仅当P，Q均取1；P∧Q 取值为0，只有P，Q之一取0.“∨”析取联结词，“⎺∨”不可兼析取(异或)联结词， P∨Q是命题P，Q的析取式，是“∨”和P，Q组成的复合命题. P⎺∨Q是联结词“⎺∨”和P，Q组成的复合命题. 联结词“∨”或“⎺∨”在一个语句中都表示“或”的含义，前者表示相容或，后者表示排斥或不相容的或. 即“P⎺∨Q”↔“(⌝P∧Q)∨(P∧⌝Q)”. P∨Q取值1，只要P，Q之一取值1，P∨Q取值0，只有P，Q都取值0.“→”蕴含联结词， P→Q是“→”和P，Q组成的复合命题，只有P取值为1，Q 取值为0时，P→Q取值为0；其余各种情况，均有P→Q的真值为1，亦即1→0的真值为0，0→1，1→1，0→0的真值均为1. 在语句中，“如果P则Q”或“只有Q，才P，”表示为“P→Q”.“↔” 等价联结词，P↔Q是P，Q的等价式，是“↔”和P，Q组成的复合命题. “↔”在语句中相当于“…当且仅当…”，P↔Q取值1当且仅当P，Q真值相同.3. 命题公式、赋值与解释，命题公式的分类与判别命题公式与赋值，命题P含有n个命题变项P1，P2,…,P n，给P1，P2,…,P n各指定一个真值，称为对P的一个赋值(真值指派). 若指定的一组值使P的真值为1，则这组值为P 的真指派；若使P的真值为0，则称这组值称为P的假指派.命题公式分类，在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式；判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，任给公式，列出该公式的真值表，若真值表的最后一列全为1，则该公式为永真式；若真值表的最后一列全为0，则该公式是永假式；若真值表的最后一列既非全1，又非全0，则该公式是可满足式.其二是推导演算法. 利用基本等值式(教材P.16的十六个等值式或演算律)，对给定公式进行等值推导，若该公式的真值为1，则该公式是永真式；若该公式的真值为0，则该公式为永假式.既非永真，也非用假，成为非永真的可满足式.其三主析取(合取)范式法，该公式的主析取范式有2n个极小项(即无极大项)，则该公式是永真式；该公式的主合取范式有2n个极大项(即无极小项)，则该公式是永假式；该公式的主析取(或合取)范式的极小项(或极大项)个数大于0小于2n,，则该公式是可满足式.等值式A⇔B，命题公式A，B在任何赋值下，它们的真值均相同，称A，B等值。
离散数学复习总结知识点
复习知识点：第1章1． 命题、真命题、假命题 2． 命题符号化（连接词）设P ：天下大雨，Q ：他在室内运动，命题“除非天下大雨，否则他不在室内运动”可符合化为（ D ）A ．Q P ∧⌝B ．Q P →⌝C ．Q P ⌝→⌝D ．Q P ⌝→设P ：只有你通过了大学英语六级考试，Q ：你是英语专业的学生，R ：你可以选修这门课程。
命题“只有你通过了大学英语六级考试而且不是英语专业的学生，才可以选修这门课程”( B )A ．R Q)(P →∧B ．R Q)(P →⌝∧C ．R Q)(P ↔⌝∧D ．R Q)(P ↔∧3． 什么是命题公式 4． 命题公式的等价式5． 利用逻辑等价关系证明下面的等价关系 Q P Q)(P P))(Q Q)((P ∨⇔∧→→∧→证明：6． 用真值表法求命题公式的主析取范式和主合取范式 7． 符号化以下语句，并推证结论的有效性。
有些学生相信所有的老师，任何一个学生都不相信骗子，所以老师都不是骗子。
解：设论述域为全总个体域，S(x)：x 是学生，T(x)：x 是老师，P(x)：x 是骗子，L(x,y)：x 相信y 。
将前提和结论符号化为P(x))x(T(x)y)))L(x,y(P(y)x(S (x)y))),L(x,y(T(y)x(S (x)⌝→∀⇒⌝→∀→∀→∀∧∃（1）y)))L(x,y(T(y)x(S (x)→∀∧∃ PQ)(P TQ)(P Q)Q (Q)(P Q Q)(P T)(Q Q)(P P))P ((Q Q)(P Q)(P P)(Q Q)(P Q)(P P)Q (Q)P (Q)(P P))Q (Q)P ((Q)(P P)Q (Q)P (Q)(P P))(Q Q)((P ∨⇔∧∨⇔∨⌝∧∨⇔∨⌝∧⇔∧∨⌝∧⇔∨⌝∧∨⌝∧⇔∧∨⌝∧∨⌝∧⇔∧∨∨⌝⌝∨∨⌝⌝⇔∧∨∨⌝∧∨⌝⌝⇔∧→∨⌝∧∨⌝⇔∧→→∧→（2）y))L(a,y(T(y)S (a)→∀∧ T1，ES （3）S(a)T2，I （4）y))L(a,y(T(y)→∀ T2，I （5）b)L(a,T(b)→T4，US （6）y)))L(x,y(P(y)x(S (x)⌝→∀→∀ P （7）y))L(a,y(P(y)S (a)⌝→∀→ T6，US （8）y))L(a,y(P(y)⌝→∀ T3,7，I （9）b)L(a,P(b)⌝→ T8，US （10）P(b)b)L(a,⌝→ T9，E （11）P(b)T(b)⌝→T5,10，I （12）P(x))x(T(x)⌝→∀T11，UG侦查员在调查了某珠宝店的珠宝失窃案现场以及询问了认证之后，得到以下事实： （1） 是营业员甲或营业员乙作案。
离散数学复习题集
离散数学复习题集一、单项选择题 (1)二、填空题 (10)三、计算题 (13)四、其他 (15)一、单项选择题1．下列语句中不．是命题的只有（ ） A ．鸡毛也能飞上天？B ．或重于泰山，或轻于鸿毛。
C ．不经一事，不长一智。
D ．牙好，胃口就好。
2．下列语句中为命题的是（ ）A ．这朵花是谁的？B ．这朵花真美丽啊！C ．这朵花是你的吗？D ．这朵花是他的。
3．下列句子不是．．命题的是（ ） A ．中华人民共和国的首都是北京B ．张三是学生C ．雪是黑色的D ．太好了！ 4下列句子为命题的是（ ）A.全体起立!B.x =0C.我在说谎D.张三生于1886年的春天 5.下列句子为命题的是（ ）A.走，看电影去B.x+y>0C.空集是任意集合的真子集D.你明天能来吗? 6．下列语句中是真命题的是（ ）A ．我正在说谎B ．严禁吸烟C ．如果1+2=3，那么雪是黑的D ．如果1+2=5，那么雪是黑的 7.下列命题为假．命题的是（ ） A.如果2是偶数，那么一个公式的析取范式惟一B.如果2是偶数，那么一个公式的析取范式不惟一C.如果2是奇数，那么一个公式的析取范式惟一D.如果2是奇数，那么一个公式的析取范式不惟一读书是掌握知识的捷径，勤奋是开启知识大门的钥匙， 思考是理解知识的利器，练习是巩固知识的方法，讨论是理解知识的妙招，探求是创新知识的途径。
8.设p ：天下大雨,q ：他在室内运动,命题“除非天下大雨，否则他不．在室内运动”可符合化为（ ）A.⎤p ∧qB.⎤p →qC.⎤p →⎤qD.p →⎤q9．设p ：我们划船，Q ：我们跑步。
命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（ ）A ．⎤ p ∧⎤ qB ．⎤ p ∨⎤ qC ．⎤（p ↔q ）D ．⎤（⎤ p ∨⎤ q ）10．令p ：今天下雪了，q ：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不．滑”可符号化为（ ） A ．p →q B ．p ∨q C ．p ∧q D ．p ∧q11．设p ：他聪明，q ：他用功，命题“他虽聪明但不用功”的符号化正确的是（ ）A ．⎤ p ∧qB ．p ∧⎤ qC ．p →⎤ qD ．p ∨⎤ q12．令p ：今天下雪了，q ：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ ）A ．p →┐qB ．p ∨┐qC ．p ∧qD ．p ∧┐q13.在命题演算中，语句为真为假的一种性质称为( )A.真值B.陈述句C.命题D.谓词14.设p ：明天天晴；q ：我去爬山；那么“除非明天天晴，否则我不去爬山。
离散数学复习资料
1.证明永真公式Q14,Q15,Q16,Q17和Q18。
2.证明P(x)∧任意xQ(x)==>存在x(P(x)∧Q(x))3.设论述域是{a1,a2,a3,…an},试证明下列关系式。
(a) 任意xA(x)∧P<==>任意x(A(x)∧P)(b) 任意x(A(x)∧B(x))<==>任意xA(x)∧任意xB(x)(c) 存在x(A(x)∧B(x))<==>存在xA(x)∧存在xB(x)4.证明下列关系式(a) 任意x任意y(P(x)∨P(y))<==>任意xP(x)∨任意yP(y)(b) 存在x存在y(P(x)∧Q(y))==>存在xP(x)(c) 任意x任意y(P(x)∧Q(y))<==>任意xP(x)∧任意yQ(y)(d) 存在x存在y(P(x)－＞P(y)) <==>任意xP(x)－＞存在yP(y)(e) 任意x任意y(P(x) －＞Q(y)) <==>(存在xP(x)－＞任意yQ(y))5.写出limf(x)=k的定义的符号形式，并用形成定理两边的否定的方法，找出limf(x)不等x->c x->c于k的条件。
6.给定自然数集合N的下列子集：A={1,2,7,8}B={i|i平方<50}C={i|i可被30整除}D={i|i=2的k次方∧k∈I∧0≤k≤6}求下列集合(a)A∪(B∪(C∪D))(b)A∩(B∩(C∩D))(c)B-(A∪C)(d)(非A∩B) ∪D7.假定A≠空集和A∪B=A∪C，证明这不能得出B=C，假设中增加A∩B=A∩C，你能得出B=C吗？8．(a)证明“相对补”不是一个可交换运算，即证明存在一个论述域包含集合A和B，使A-B≠B-A。
(b)A-B=B-A可能吗？刻划上式出现的全部条件。
(c)“相对补”是一个可结合的运算马？证明你的断言。
9.证明下列恒等式(a)A∪(A∩B)=A(b)A∩(A∪B)=A(c)A-B=A∩非B(d)A∪(非A∩B)=A∪B(e)A∩(非A∪B)=A∩B10.设Sn={a0,a1,…,an}和Sn+1={a0,a1, …,an,an+1},试用p(Sn)和an+1表达出p(Sn+1)。
离散数学复习题及答案
总复习题（一）一．单选题1 (C)。
一连通的平面图，5个顶点3个面，则边数为（）。
、4 、5 、6 、72、 (A)。
如果一个简单图，则称为自补图，非同构的无向4阶自补图有（）个。
、1 、2 、3 、43、 (D)。
为无环有向图，为的关联矩阵，则（）。
、是的终点、与不关联、与关联、是的始点4、 (B)。
一连通的平面图，8个顶点4个面，则边数为。
、9 、10 、11 、125、 (D)。
如果一个简单图，则称为自补图，非同构的3阶有向完全图的子图中自补图有个。
、1 、2 、3 、46、21条边，3个4度顶点，其余顶点为3度的无向图共有个顶点。
、13 、12 、11 、107、 (D)。
有向图的通路包括。
、简单通路、初级通路、复杂通路、简单通路、初级通路和复杂通路8、 (D)。
一连通的平面图，9个顶点5个面，则边数为。
、9 、10 、11 、129、21条边，3个4度顶点，其余顶点为3度的无向图共有个顶点。
、13 、12 、11 、1010、 (D)。
有向图的通路包括。
、简单通路、初级通路、复杂通路、简单通路、初级通路和复杂通路11、 (D)。
一连通的平面图，9个顶点5个面，则边数为。
、9 、10 、11 、1212、 (B)。
为有向图，为的邻接矩阵，则。
、邻接到的边的条数是５、接到的长度为４的通路数是５A B C D GG ≅G A B C D E ,V D =[]m n ij m ⨯D 1m ij =A i v je B i v j e C i v j e D i v j e A B C D GG ≅G A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D E ,V D=[]n n ij a ⨯D 5a )4(ij =A i v j v B i v j v、长度为４的通路总数是５、长度为４的回路总数是５13、 (C)。
在无向完全图中有个结点，则该图的边数为（）。
《离散数学》总复习上课讲义
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算（重点） 3.3 集合中元素的计数（容斥原理是重点）
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系：属于xA，不属于xA 集合A与集合B的关系：习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1：命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是 命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都 是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假，即 当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时，pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型 所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1}；哑元 最小联结词组 对偶式与对偶原理 简单析取式、简单合取式 析取范式与合取范式 附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1：前束范式（重点）
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx，kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律 第一组 命题逻辑推理定律代换实例 第二组 由基本等值式生成（置换规则） 第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
离散数学复习整理
百度文库离散数学复习整理离散数学复习整理离散数学复习整理函数***重点掌握：单射、满射、双射函数的概念一、函数的概念（和数学里面函数的概念差不多）A为函数f的定义域，记为domf=A；f(A)为函数f的值域，记为ranf。
|f|=|A|f(x)表示一个变值，f代表一个集合，因此f≠f(x)。
⨯|A||B||A|从A到B的不同的关系有2个；但从A到B的不同的函数却仅有|B|个。
(个数差别) 每一个函数的基数都为|A|个(|f|=|A|)，但关系的基数却为从零一直到|A|×|B|。
二、特殊函数单射：对任意x,x∈A，如果x≠x，有f(x)≠f(x)，则称f为从A到B的单射（不同的x对应121212不同的y)；满射：如果ranf＝B，则称f为从A到B的满射；（B的定义域都能通过函数f(x)求到）双射：若f是满射且是单射，则称f为从A到B的双射。
若A＝B，则称f为A上的函数；当A上的函数f是双射时，称f为一个变换。
定理：8.2.1设A，B是有限集合，且|A|=|B|，f是A到B的函数，则f是单射当且仅当f是满射。
典型(自然)映射：设R是集合A上的一个等价关系，g：A→A/R称为A对商集A/R的典型(自然) 映射，其定义为g(a)＝[a]，a∈A.R恒等函数：如果A=B，且对任意x∈A，都有f(x)=x，则称f为A上的恒等函数，记为I。
A常值函数：如果∃b∈B，且对任意x∈A，都有f(x)=b，则称f为常值函数。
上取整函数：对有理数x，f(x)为大于等于x的最小的整数，则称f(x)为上取整函数(强取整函数)，记为f(x)= ；下取整函数：对有理数x，f(x)为小于等于x的最大的整数，则称f(x)为下取整函数(弱取整函数)，记为f(x)= ；三、函数的复合运算不满足交换律，但满足结合律1.函数f和g可以复合⇔ranf⊆domg；2.dom(fog)=domf，ran(fog)⊆rang；3.对任意x∈A，有fog(x)=g(f(x))。
离散数学总复习
总复习题1. 设︱A ︱=5, ︱P(B)︱=512, ︱P(A ∩B)︱=8, 则︱A ⊕B ︱＝ , ︱A ∪B ︱＝ 。
2. 设p :选小王当班长，q ：选小李当班长，则选小王或小李中的一人当班长可符号化为____。
3. 命题公式根据赋值可分为________________、________________和______________三类。
4. 含N 个个命题变项的命题公式有______________组赋值，有_____________个真值。
5. ()A A B ∨∧=______________，()A A B ∧∨=__________________。
6. 设{|3,,14}A x x k k N k ==∈≤≤，则用列举法表示A =________________________。
7. 集合A ={1，2}的幂集P (A )与A 的笛卡尔积()P A A ⨯=________________________________________________________________________________________________________。
8. 某无向图G 中，共有边15条，该图中共有5度顶点2个，4度顶点3个，剩下的均为2度顶点，则该图中共有顶点 个。
9. 一个结点为n 的无向完全图，其边的数目为 。
10．已知<Z 6, ⊕>是一个群，则这个群的幺元是 ，这个群当中，逆元和自身相等的元素有 。
11. 已知关系R 1＝{<a,a>,<a,c>,<b,d>,<c,b>},R 2={<c,a>,<b,c><a,d><d,b>}，写出下列关系 R 2◦R 1= ,R 13= 。
12、设Φ是一个空集，则下列之一哪一个不成立（①、Φ∈Φ②、Φ⊆Φ③、Φ∈{Φ}④、Φ⊆{Φ}13、如果命题公式G=P ∧Q ，则下列之一哪一个成立（①、G=⌝(P →Q) ②、G=⌝(P →⌝Q)③、G=⌝(⌝P →Q)④、G=⌝(⌝P →⌝Q)14、设X 、Y 是两个集合，|X|＝n ，|Y|＝m ，则从X 到Y 可产生（①、mn②、nm③、n m ⨯④、2m n⨯15、若复合映射τσ⋅是满射，则 ( )。
离散数学总复习-知识点
离散数学总复习第1章命题逻辑一、命题的判断例：1、仁者无敌！2、x+y<23、如果雪是红的，那么地球是月亮的卫星。
4、我正在说谎。
二、命题符号化例：1、蓝色和黄色可以调成绿色。
2、付明和杨进都是运动员。
3、刘易斯是百米游泳冠军或百米跨栏冠军。
4、李飞现在在宿舍或在图书馆。
5、只要天不下雨，我就步行上学校。
6、只有天不下雨，我才步行上学校。
7、并非只要你努力了，就一定成功。
三、主范式1、会等值演算；2、主合取和主析取范式的相互转换。
例：求命题公式P∨Q的主析取范式和主合取范式。
3、根据主范式进行方案的选择例1：某科研所要从3名科研骨干A,B,C中挑选1-2名出国进修，由于工作需要，选派需同时满足条件：（1）若A去，则C同去；（2）只有C不去，B才去；（3）只要C不去，则A或B就可以去。
问有哪些选派方案？例2：甲、乙、丙、丁四人有且仅有两个人参加比赛，下列四个条件均要满足：（1）甲和乙有且只有一人参加；（2）丙参加，则丁必参加；（3）乙和丁至多有一人参加；（4）丁不参加，甲也不会参加。
问哪两个人参加了比赛？四、简单的推理例1：如果明天天气好我们就去爬长城。
明天天气好。
所以我们去爬长城。
例3：课后习题16第2章谓词逻辑一、谓词逻辑中的命题符号化例：1、所有运动员都是强壮的2、并非每个实数都是有理数3、有些实数是有理数二、量词的辖域，约束变元换名、自由变元代替例：1、∀x(P(x)∨∃yR(x,y))→Q(x)2、∀x(P(x,z)∨∃yR(x,y))→Q(x)中量词的辖域，重名情况，改名等三、命题逻辑永真式的任何代换实例必是谓词逻辑的永真式。
同样，命题逻辑永假式的任何代换实例必是谓词逻辑的永假式。
例：1、(∀xP(x)→∃xQ(x))↔(⌝∀xP(x)∨∃xQ(x))2、(∀xP(x)→∃xQ(x))∧(∃xQ(x))→∀zR(z)))→(∀xP(x) →∀zR(z))1-2是永真式（重言式）3、⌝(∀xF(x) ∃yG(y)) ∧ ∃yG(y) 永假式（矛盾式）四、消量词例：个体域D={1,2}，对∀x∀y(P(x)→Q(y))消量词五、简单的前束范式会判断即可。
《离散数学》方世昌的期末复习知识点总结
《离散数学》方世昌的期末复习知识点总结1.集合论-集合的定义和运算：交、并、差、补、反转。
子集与真子集的概念。
-集合的基数：有限集、无限集、可数集、不可数集的定义与特性。
-集合的运算律：交换律、结合律、分配律、幂等律、吸收律。
-集合的等价关系：等价关系的定义和性质，等价关系的划分和等价类。
2.逻辑与命题关系-命题与命题符号：命题的定义、真值表和含有逻辑连接词的复合命题。
-命题逻辑：命题的蕴涵、等价、否定、充分条件和必要条件。
-谓词逻辑：命题的全称量词、存在量词及其关系。
-命题逻辑推理：假言推理、析取推理、拒取推理、类比推理等。
3.图论-图的基本概念与术语：顶点、边、邻接、路径、回路、连通、子图、生成树等。
-图的分类：无向图、有向图、简单图、多重图、完全图。
-图的矩阵表示：邻接矩阵、关联矩阵、度矩阵等。
-图的遍历算法：深度优先、广度优先。
-图的最短路径算法：迪杰斯特拉算法、弗洛伊德算法。
4.代数系统与半群-代数结构：代数系统的定义、代数公理、代数性质。
-半群：半群的定义与性质，封闭性、结合律和单位元。
-半群的子半群与同态：子半群的概念，同态映射的定义与性质。
-有限半群与无限半群：有限半群的定义和性质，无限半群的特点与例子。
5.数论与代数-整数与整数集合的性质：整数的除法原理、整除、公约数、最大公约数和最小公倍数。
-同余关系与同余类：同余关系的定义、同余类的性质、同余关系的基本定理。
-质数与素数：质数的定义、素数的性质、素数的判定方法。
-线性同余方程：线性同余方程的解法、同余方程的应用。
以上仅是《离散数学》中的部分重要知识点总结，该教材还包括很多其他内容，如排列组合、概率论、布尔代数等等。
期末复习时，建议从教材中选取一些重点章节进行深入学习和复习，同时要进行大量的习题训练，加深对知识点的理解和掌握。
祝你在期末考试中取得好成绩！。
离散数学综合复习资料
离散数学综合复习资料一、判断题1.（）命题联结词{⌝，∧，∨}是最小联结词组。
2.（）（P∧Q）∧⌝P为矛盾式。
3.（）（（⌝P∨Q）∧（Q→R））→（P→R）为重言式。
4.（）A、B、C是任意命题公式，如果A∨C⇔B∨C，一定有A⇔B。
5.（）若集合A上的二元关系R是对称的，R C一定是对称的。
6.（）R是A上的二元关系，R是自反的，当且仅当r(R)=R。
7.（）集合A上的等价关系确定了A的一个划分。
8.（）有理数集是可数的。
9.（）若函数f，g为入射则其复合函数也为入射。
10.（）R是集合A上的关系，R有传递性的充要条件是RoR⊆R。
11.（）设<A，*>是一个代数系统，且集合A中元素的个数大于1。
如果该代数系统中存在幺元e和零元θ，则e≠θ。
12.（）交换群必是循环群。
13.（）一个群可以有多个等幂元。
14.（）模格一定是分配格。
15.（）每个有向图中，结点入度数总和等于结点出度总和。
16.（）图G的邻接矩阵A，A l中的i行j列表示结点v i到v j长度为l路的数目。
17.（）任何图中必有偶数个度数为奇数的结点。
18.（）有向图中，它的每一个结点位于且只位于一个单侧分图中。
19.（）任意平面图最多是四色的。
20.（）不存在既有欧拉回路又有汉密尔顿回路的图。
二、填空题1．设P：“天下雨”，Q：“他骑自行车上班”，R：“他乘公共汽车上班”。
则命题“除非下雨，否则他就骑自行车上班”可符号化为。
“他或者骑自行车，或者乘公共汽车上班”可符号化为2．设N(x)：x是自然数；J(x)：x是奇数；Q(x)：x是偶数，用谓词公式符号化命题“任何自然数不是偶数就是奇数”。
3．设P(x)：x是运动员，Q(x)：x是教练。
则命题“不是所有运动员都是教练”可符号化为。
4．设D={a,b}；P(a,a)=P(b,b)=T；P(a,b)=P(b,a)=F。
则公式(∀x)(∃y)(P(x,y)→P(y,x))的真值是。
离散数学复习资料
离散数学复习资料第1章命题逻辑本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定, (主)析取(合取)范式，命题逻辑的推理理论.一、重点内容1. 命题命题表述为具有确定真假意义的陈述句。
命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2. 六个联结词及真值表h“”否定联结词，P是命题，P是P的否命题，是由联结词和命题P组成的复合命题.P取真值1，P取真值0，P取真值0，P取真值1. 它是一元联结词.h “”合取联结词，P Q是命题P，Q的合取式，是“”和P，Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“不但…而且…”，“既…又…”. P Q取值1，当且仅当P，Q均取1；P Q取值为0，只有P，Q之一取0.h “”析取联结词，“”不可兼析取(异或)联结词， P Q是命题P，Q的析取式，是“”和P，Q组成的复合命题. P Q是联结词“”和P，Q组成的复合命题. 联结词“”或“”在一个语句中都表示“或”的含义，前者表示相容或，后者表示排斥或不相容的或. 即“P Q”“(P Q)(P Q)”. P Q取值1，只要P，Q之一取值1，P Q取值0，只有P，Q都取值0.h “”蕴含联结词， P Q是“”和P，Q组成的复合命题，只有P取值为1，Q取值为0时，P Q取值为0；其余各种情况，均有P Q的真值为1，亦即10的真值为0，01，11，00的真值均为1. 在语句中，“如果P则Q”或“只有Q，才P，”表示为“P Q”.h “” 等价联结词，P Q是P，Q的等价式，是“”和P，Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“…当且仅当…”，P Q取值1当且仅当P，Q真值相同.3. 命题公式、赋值与解释，命题公式的分类与判别h命题公式与赋值，命题P含有n个命题变项P1，P2,…,P n，给P1，P2,…,P n各指定一个真值，称为对P的一个赋值(真值指派). 若指定的一组值使P的真值为1，则这组值为P的真指派；若使P的真值为0，则称这组值称为P的假指派.h命题公式分类，在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式；判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，任给公式，列出该公式的真值表，若真值表的最后一列全为1，则该公式为永真式；若真值表的最后一列全为0，则该公式是永假式；若真值表的最后一列既非全1，又非全0，则该公式是可满足式.其二是推导演算法. 利用基本等值式(教材的十六个等值式或演算律)，对给定公式进行等值推导，若该公式的真值为1，则该公式是永真式；若该公式的真值为0，则该公式为永假式.既非永真，也非用假，成为非永真的可满足式.其三主析取(合取)范式法，该公式的主析取范式有2n个极小项(即无极大项)，则该公式是永真式；该公式的主合取范式有2n个极大项(即无极小项)，则该公式是永假式；该公式的主析取(或合取)范式的极小项(或极大项)个数大于0小于2n,，则该公式是可满足式.h等值式A B，命题公式A，B在任何赋值下，它们的真值均相同，称A，B等值。
成人高等教育《离散数学》复习资料
成人高等教育《离散数学》复习资料1、下列语句中是命题的只有（）1+1=102、设图13、设S { 1, 2, 3 }，定义S S上的等价关系,则由R产生的S S上一个划分共有( )个分块。
54、设A={，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“[如图1]”的哈斯图为（）[如图2]图1图2C5、集合A上的相容关系R的关系矩阵M(R)的对角线元素（）。
全是16、论断：“命题变元不是命题”（）命题。
是7、设A={Ø}，B=P(P(A))，以下正确的式子是（）{Ø,{Ø}}∈B8、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（）主析取范式9、如图图110、设S { ,{1},{1,2}}，则有( A ) S{{1,2}}11、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的。
（）主析取范式12、() [如图1]图113、设图G的相邻矩阵为[如图1]，则G的顶点数与边数分别为（）.图15，814、下列等价关系正确的是（）。
15、在一棵树中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点则该树有（）个4度结点。
116、设集合A={1，2，3，4}，A上的关系R＝{（1，1），（2，3），（2，4），（3，4）}，则R不具有（）。
A自反性C对称性D以上答案都不对17、若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的不是（）.A（1，2，2，3，4，5）B（1，2，3，4，5，5）D（2，3，3，4，5，6）.18、设G、H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，G＝∃xP（x），H＝∀xP（x），则一阶逻辑公式G→H不是（）.A恒真的B恒假的D前束范式19、下列关于集合的表示中不正确的为（）A{a}∈{a，b，c}C∅∈{a，b，c}D{a，b}∈{a，b，c}20、下列各命题中真值为真的命题有（）。
A2+2=4当且仅当3是奇数；D2+2≠4当且仅当3不是奇数；21、下列等价式成立的有（）AD22、下列语句中，（）不是命题。
《离散数学》复习题及答案
《离散数学》试题及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式?x((A(x)?B(y，x))??z C(y，z))?D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P↔（4）QP→⌝P⌝Q→⌝（2）QP⌝→（3）Q8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ?x?y(x+y=0) (2) ?y?x(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ?x?y (xy=y) ( ) (2) ?x?y(x+y=y) ( )(3) ?x?y(x+y=x) ( ) (4) ?x?y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式?x(P(x)?Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
离散数学复习题及答案
1. 写出命题公式 ﹁（P →（P ∨ Q ））的真值表。
答案：2.证明 答案：3. 证明以下蕴涵关系成立： 答案：4. 写出下列式子的主析取范式： 答案：)()(Q P Q P Q P ⌝∧⌝∨∧⇔↔Q)P (Q)(P P)(Q P)P (Q)(Q Q)P (P)Q)P ((Q)Q)P (P)Q (Q)P (Q P ⌝∧⌝∨∧⇔∧∨∧⌝∨⌝∧∨⌝∧⌝⇔∧∨⌝∨⌝∧∨⌝⇔∨⌝∧∨⌝⇔↔Q Q P P ⇒∨∧⌝)()()(R P Q P ∨∧∧⌝5. 构造下列推理的论证：p ∨q, p →Ør, s→t, Øs→r, Øt Þ q 答案：①s →t 前提 ②t 前提③s ①②拒取式I12 ④s →r 前提⑤r ③④假言推理I11 ⑥p →r 前提⑦p ⑤⑥拒取式I12 ⑧p ∨q 前提⑨q ⑦⑧析取三段论I106. 用反证法证明：p →(Ø(r∧s)→Øq), p, Øs Þ Øq)()(R P Q P ∨∧∧⌝)()(R P Q P ∨∧⌝∨⌝⇔))(())(R Q P P Q P ∧⌝∨⌝∨∧⌝∨⌝⇔)()()()(R Q R P P Q P P ∧⌝∨∧⌝∨∧⌝∨∧⌝⇔)()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧∧⌝⇔)()()(P R Q P R Q Q R P ⌝∧∧⌝∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨)()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧∧⌝⇔)(Q R P ⌝∧∧⌝∨7. 请将下列命题符号化：所有鱼都生活在水中。
答案：令 F( x )：x 是鱼 W( x )：x 生活在水中))((W(x)F(x)x →∀8. 请将下列命题符号化：存在着不是有理数的实数。
答案：令 Q ( x )：x 是有理数 R ( x )：x 是实数Q(x))x)(R(x)(⌝∧∃9. 请将下列命题符号化：尽管有人聪明，但并非一切人都聪明。
离散数学复习资料试卷习题与答案
离散数学复习资料试卷习题与答案离散数学总复习资料一、鸽笼原理与容斥原理1．求证边长为1的正方形中放9个点，由这些点构成的三角形中，必有一个三角形面积小于18。
证：把该正方形均分成四个相同的小正方形，则由鸽笼原理知，必有一个小正方形内存在三个点，且这三个点构成的三角形面积小于18。
# 2．对一列21n +个不同整数，任意排列，证明一定存在长为1n +的上升子序列或下降子序列。
证：设此序列为：2121,,,,,k n a a a a +，从ka 开始上升子序列最长的长度为kx ，下降子序列最长的长度为k y ，每一个k a 2(1,2,,1)k n =+都对应了(,)k kx y 。
若不存在长为1n +的上升子序列或下降子序列，那么,k k xn y n ≤≤，形如(,)k k x y 的不同点对至多有2n 个，而k a 有21n +个，则由鸽笼原理知，必有,i j a a 2(11)i j n ≤<≤+同时对应(,)i i x y =(,)j j x y ，由于i j aa ≠，若i j a a <，则i x 至少比j x 大1，若i j a a >，则iy 至少比j y 大1，这均与(,)i i x y =(,)j j x y 矛盾。
故原命题成立。
#3．求}100,,2,1{ 中不被3、4、5整除的个数。
解： 设A 表示}100,,2,1{ 中被3整除的数的集合，B 表示}100,,2,1{ 中被4整除的数的集合，C 表示}100,,2,1{ 中被5整除的数的集合，则20,25,33===C B A 6,5,8=⋂=⋂=⋂A C C B B A ， 1=⋂⋂C B A ，进而有-⋂⋂-⋂+-+⋃C⋃=+A⋂⋂BBCABABCAACBC---++=+660158252033=故有40AB⋃C⋃UBCA⋃100=60=-=-⋃即},,2,1{ 中不被3、4、5整除的个数为40。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、内容提要 1、集合的两种表示方法：列举法和描述法。 2、特殊的集合：空集、全集、子集和幂集。 3、集合的运算：并、交、差和对称差，各种 运算的性质。 4、集合运算的基本定律：交换律，结合律， 分配律，吸收律，德.摩根律等。
9Leabharlann 重点掌握重点掌握集合的幂集及建立在幂集之上 的运算； 集合的对称差、绝对补、相对补； 包含排斥定理 运用量词符号化命题 判断变量的出现形式 解释公式的真值
《离散数学》总复习 离散数学》
1
概
述
一、什么是离散数学？ 什么是离散数学？ 离散数学
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机专业的一 门重要的专业基础课程。它是以研究离散量的结构和相互间的 关系为主要目标，其研究对象一般是有限个或可数个元素，因 此它充分描述了计算机科学离散性的特点。
2
二、为什么要学离散数学？ 为什么要学离散数学？
15
可交换半群、独异点； 群, Klein四元群，交换群；求解基于群的代数 方程； 群的相关概念，循环群，P141； m阶轮换，以前布置过的作业； 环、零因子、整环、域，例6.5、6.6；
16
熟练掌握
熟练掌握幺元、零元、逆元的计算； 代数系统的同态与同构 求解基于群的代数方程； m阶轮换
17
第七章 图的基本概念
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
下列图中，是二部图的有。
21
第九章 树
树的定义 余树 基本回路、基本回路系统；基本割集、基本割 集系统。能够分析图的基本回路系统和基本割 集系统 联通图的固有属性：基本回路数目：m-n+1； 基本割集数目：n-1； 根树的基本概念
22
最优二元树 Huffman算法的应用，例9.3 前缀码、最佳前缀码
23
24
7
重点掌握
根据公式的真值判断公式的类型，例如，重言 式、矛盾式、可满足式； 利用等值式进行等值演算、等值式的证明； 能够计算公式的极小项、主析取范式，并能运 用主析取范式判断两命题公式是否等值、命题 公式的类型； 能够计算公式的极大项、主和取范式； 能够运用推理定律和规则进行推理；
8
第三章 集合论
无向图、有向图；n阶图、零图； 边与顶点的关联；边与边的相邻； 度；无向图和有向图度的定义； 握手定理：即图中边数目与顶点数目的关系； 平凡图与简单图； 子图、真子图、生成子图、导出子图； 补图； 图的同构，能够判断图的同构；
18
通路、简单通路、初级通路、复杂通路；回路、 简单回路、初级回路、复杂回路； 连通图、非连通图； 连通分支； 图的矩阵表示：关联矩阵、邻接矩阵、可达矩 阵；给定图G，能够熟练地给出相应的各种矩 阵，并能应用邻接矩阵计算图的通路和回路条 数； 最短路径，例7.3；关键路径，例7.4
第一、二章 命题、一阶逻辑
命题、真值； 命题常项、命题变项；简单命题、复合命题； 五个连接词：￢、∧、∨、→、 ； 命题公式的解释；命题公式的真值表；命题公 式的类型； 等值演算； 对偶式、简单合取式、简单析取式；合取范式、 析取范式；
6
极小项与主析取范式；极大项与主合取范式；
推理、推理定律和推理规则 个体常项、个体变项；谓词常项、谓词变项； 量词，全称量词、存在量词； 合式公式；约束出现、自由出现；指导变项、 辖域； 解释；通过解释判断公式的类型；
3
三、离散数学的主要内容有哪些？ 离散数学的主要内容有哪些？
离散数学的主要内容可以分为四个部分： 第一部分 集合论。包括集合、关系和函数。 第二部分 代数系统。包括代数系统的一般概念，几类典型 的代数系统。 第三部分 图论。包括图的基本概念，几种特殊的图。 第四部分 数理逻辑。包括命题逻辑和谓词逻辑。 4
19
第八章 一些特殊的图
二部图、完全二部图； 二部图的判断，定理8.1； 匹配、最大匹配、完美匹配、完备匹配； 相异性条件（定理8.2）、t条件（定理8.3） 欧拉图、哈密尔顿图，掌握两种图的判断方法 平面图、内部面、外部面； 极大平面图、极小非平面图 欧拉公式 对偶图
20
下列图中那些图是欧拉图。
12
等价关系、等价类、划分； 偏序关系与哈斯图； 函数的定义及性质：单射、满射、双射
13
熟练掌握
能够根据关系矩阵和关系图判断关系的性质； 关系的自反闭包、对称闭包、传递闭包的计算； 函数运算后的类型判断
14
第五、六章 代数系统
运算的概念 运算的交换律、结合律、幂等律、分配律、吸 收律、消去律； 熟练掌握幺元、零元、逆元； 代数、子代数、积代数；联系半群、子半群和 积半群的定义加深对代数和半群的理解； 代数系统的同态与同构，p127；
四、考试
1、题型 考试试题的题型有：填空题，共10个空，占20分。单项选 择题，共15小题，占30分。简答题，共5小题，占20分。计算 题，共6小题，占30分。 2、难易程度 考试题的难度不会超过教材、参考书和模拟试题的难度。 以基础题为主。 3、考试范围 考试试题覆盖《离散数学》的全部内容。 5
10
运用有关量词的各种规则进行推理
11
第四章 二元关系和函数
有序对、有序n元组、笛卡尔积及其性质； 二元关系；关系的关系矩阵和关系图表示； 熟练掌握关系的逆、合成、限制和像等运算； 关系的性质：自反性、反自反性、对称性、反 对称性、传递性；能够根据关系矩阵和关系图 判断关系的性质； 关系的自反闭包、对称闭包、传递闭包的计算； p93~95