离散数学
离散数学
3、：N×NN，N是自然数集 (0∈N)，(<x,y>)=|x2-y2|
解: 取<1,1>,<2,2>∈ N×N (<1,1>)=|12－12|=0 (<2,2>)=|22－22|=0 故不是单射. 又取2∈N, 因不存在自然数x,y∈N 满足: |x2－y2|=2 故不是满射. ∴ 既不是单射也不是满射.
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离散数学
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§3.2 映射的运算
• 逆映射的概念
定义3.2.1 设：AB，定义关系RBA为： R={<y,x> | y∈B , x∈A,且(x)=y}；如果R是B 到A的映射，则称R为的逆映射。记为– 1。
• 例如：设：N E，N 是自然数集合，E是 自然数中所有偶数的集合，(n) = 2n，n∈N。 则的逆映射-1为： -1 ：E N，-1(m)=m/2，m∈E。
§3.1 基本概念
定义3.1.1： 设A，B是两个集合，是A到B的二 元关系，若对A中每个元素a，有唯一的 b∈B， 使得<a,b>∈ ，则称为A到B的映射，记为： : AB 或 A B
• 所谓从A到B的映射就是A中的每个人都向B中 的人射了一箭，并且都射中了B中的一个人。 既没有人偷懒不射，也没有人一箭双雕。 • 这时，B中的人，有的可能身中数箭，有的可 能一箭未中。当然也可能刚好每人中了一箭。
• 充分性：设是双射，考虑的逆关系，易知，对于B 中的每个元素y，都对应着A中唯一的一个在下以y 为映象的元素x，因此， 的逆关系是B到A的映射。
2019/3/2 离散数学 4
满射、单射和双射的例子
• 设：N N，N 是自然数集，(n)= 2n， n∈N。则是 单射，但不是满射。
离散数学简介
数理逻辑
非欧几何的产生和集合论的悖论的发现， 说明数学本身还存在许多问题，为了研 究数学系统的无矛盾性问题，产生了证 明论
数理逻辑
证明论（proof theory）
– 证明论是数学家D.希尔伯特于20世纪初期建立的，目的是要
证明公理系统的无矛盾性 – 1931年，K.哥德尔证明：一个包含公理化的算术的系统中不 能证明它自身的无矛盾性。这就是著名的哥德尔不完备性定 理 – 1936年，G.根岑证明了算术公理系统的无矛盾性 – 20世纪60年代以后，证明论不再局限于无矛盾性的证明
数理逻辑
现代数理逻辑可分为
– 命题逻辑演算 – 谓词逻辑演算 – 证明论 – 模型论
– 递归函数论
– 公理化集合论等
数理逻辑
命题逻辑和一阶谓词逻辑是数理逻辑中 最成熟的部分，在计算机科学中应用最 为广泛
– 命题逻辑是数理逻辑的最基础部分 – 谓词逻辑在命题逻辑的基础上发展起来
数理逻辑
在数理逻辑的历史上，哥德尔的工作起着承前 启后的作用 他的不完全性定理，把人们引向一种完全不同 的境界 第一不完全性定理：一个包括初等数论的形式 系统，如果是协调的，那就是不完全的。
欧氏几何
欧氏几何的五条公理是：
– 1、任意两个点可以通过一条直线连接。 – 2、任意线段能无限延伸成一条直线。 – 3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作
离散数学是后继课程的基础 离散数学是实际应用的基础工具 计算机科学和离散数学处理问题的方法、思维 方式有相似之处 离散数学可提供所需的思维训练，培养所需的 分析问题和解决问题的能力
简介
离散数学是学习数据结构与算法、数据库、编 译原理、算法设计与分析、计算机网络等课程 的主要基础，对开发大型软件、研究信息安全 和密码学、开展计算机理论研究以及开发新型 计算机都提供了不可缺少的基础知识
离散数学 经典教材
离散数学是计算机科学中的一门核心课程，它涉及到数学中的许多概念和方法。
以下是一些离散数学的经典教材：
1.《离散数学》（作者：Kozen）
这是一本非常经典的离散数学教材，涵盖了离散数学中的许多基本概念和方法，包括集合论、图论、数理逻辑、组合数学等。
这本书的内容非常丰富，而且语言通俗易懂，是学习离散数学的好教材。
2.《离散数学及其应用》（作者：Rosen）
这是一本非常经典的离散数学教材，涵盖了离散数学中的许多基本概念和方法，包括集合论、图论、数理逻辑、组合数学等。
这本书的内容非常详细，而且有很多例子和练习题，可以帮助读者更好地掌握离散数学的知识。
3.《离散数学教程》（作者：Kleitman）
这是一本非常经典的离散数学教材，涵盖了离散数学中的许多基本概念和方法，包括集合论、图论、数理逻辑、组合数学等。
这本书的内容非常详细，而且有很多例子和练习题，可以帮助读者更好地掌握离散数学的知识。
4.《离散数学精讲》（作者：Sipser）
这是一本非常经典的离散数学教材，涵盖了离散数学中的许多基本概念和方法，包括集合论、图论、数理逻辑、组合数学等。
这本书的内容非常详细，而且有很多例子和练习题，可以帮助读者更好地掌握离散数学的知识。
以上是一些离散数学的经典教材，每本书都有其独特的风格和特点，读者可以根据自己的需求和兴趣选择适合自己的教材。
02324离散数学知识点
02324离散数学知识点
离散数学是研究离散对象和离散结构的数学分支，其知识点包括但不限于集合论、图论、逻辑学、组合数学等。
以下是其中一些重要的知识点：
1. 集合论：集合论是离散数学的基石，它研究集合、集合之间的关系和集合的性质。
2. 图论：图论是离散数学的重要组成部分，它研究图（由节点和边构成的结构）的性质和分类。
3. 逻辑学：逻辑学是离散数学的另一个重要组成部分，它研究推理的规则和形式。
在离散数学中，逻辑通常用于描述和证明一些结构或系统的性质。
4. 组合数学：组合数学是离散数学的一个分支，它研究计数、排列和组合问题。
5. 离散概率论：离散概率论是离散数学的另一个分支，它研究离散随机事件的数学模型。
6. 离散概率分布：离散概率分布是描述离散随机事件发生概率的数学模型。
7. 离散随机变量：离散随机变量是能够取到可数无穷多个值的随机变量。
8. 离散概率空间：离散概率空间是一个集合，它包含一个可数无穷多的元素，每个元素都有一个与之相关的概率值。
9. 离散随机过程：离散随机过程是离散随机事件在时间或空间上的序列。
这些知识点都是离散数学的重要组成部分，它们在计算机科学、数学、物理学等领域都有广泛的应用。
离散数学定义(必须背)
命题逻辑▪令狐采学▪(论域)定义：论域是一个数学系统，记为D。
它由三部分组成：•(1)一个非空对象集合S，每个对象也称为个体；•(2) 一个关于D的函数集合F；•(3)一个关于D的关系集合R。
▪（逻辑连接词）定义•设n>0,称为{0,1}n到{0,1}的函数为n元函数，真值函数也称为联结词。
•若n =0，则称为0元函数。
▪（命题合式公式）定义：•(1).常元0和1是合式公式；•(2).命题变元是合式公式；•(3).若Q,R是合式公式，则(Q)、(Q R) 、(Q R) 、(Q R) 、(Q R) 、(Q R)是合式公式；•(4).只有有限次应用(1)—(3)构成的公式是合式公式。
▪（生成公式）定义1.5 设S是联结词的集合。
由S生成的公式定义如下：•⑴若c是S中的0元联结词，则c是由S生成的公式。
•⑵原子公式是由S生成的公式。
•⑶若n≥1，F是S中的n元联结词，A1,…,An是由S生成的公式，则FA1…An是由S生成的公式。
▪（复杂度）公式A的复杂度表示为FC(A)•常元复杂度为0。
•命题变元复杂度为0，如果P是命题变元，则FC (P)=0。
•如果公式A=B，则FC (A)=FC(B)+1。
•如果公式A=B1 B2，或A=B1 B2，或A=B1B2，或A=B1 B2，或A=B1 B2，或则FC (A)=max{FC(B1), FC(B2)}+1。
▪命题合式公式语义•论域：研究对象的集合。
•解释：用论域的对象对应变元。
•结构：论域和解释称为结构。
•语义：符号指称的对象。
公式所指称对象。
合式公式的语义是其对应的逻辑真值。
▪（合式公式语义）设S是联结词的集合是{，，，，，}。
由S生成的合式公式Q在真值赋值v下的真值指派v(Q)定义如下：•⑴v(0)=0, v(1)=1。
•⑵若Q是命题变元p，则v(A)= pv。
•⑶若Q1,Q2是合式公式▪若Q= Q1，则v(Q)= v(Q1)▪若Q=Q1 Q2，则v(Q)=v(Q1)v(Q2)▪若Q=Q1∨Q2，则v(Q)=v(Q1)∨v(Q2)▪若Q=Q1Q2，则v(Q)=v(Q1)v(Q2)▪若Q=Q1 Q2，则v(Q)=v(Q1) v(Q2)▪若Q=Q1Q2，则v(Q)=v(Q1)v(Q2)▪（真值赋值）由S生成的公式Q在真值赋值v下的真值v(Q)定义如下：•⑴若Q是S中的0元联结词c，则v(Q)=c。
离散数学 概念
离散数学概念离散数学是一门研究离散结构的学科，其中的离散结构可以表示为离散对象或离散事件。
它是计算机科学的基础学科之一，在算法设计和系统分析中有着广泛的应用和深远的影响。
离散数学中的概念包括集合、关系、函数、图论、计数等。
1.集合集合是离散数学中最基础、最重要的概念之一。
集合是指具有某种共同特征的事物的总体，用括号{}括起来表示。
例如，一个集合A包含了元素a、b、c，则A={a,b,c}。
集合的基本运算包括：并集、交集、补集和差集。
并集指的是包含两个集合中所有元素的一个新集合，交集指的是两个集合中共有的元素构成的一个集合，补集则是指一个集合相对于另一个集合的所有不包含的元素构成的集合，差集则是指一个集合中除去另一个集合中共有的元素后所剩余的元素所构成的集合。
2.关系关系是指任意两个元素之间的一种有序的二元关系，用箭头表示，例如(x,y)表示x与y之间有一种特定关系。
关系可以是等于（=）、大于（>）、小于（<）等。
根据关系的定义，关系可以分为反对称、对称、传递等几种类型。
其中反对称关系是指如果(x,y) 且(y,x)，则x=y；对称关系是指如果(x,y) ，则(y,x)；而传递关系则是指如果(x,y)且(y,z)，则(x,z)。
3.函数函数是指一个集合中的每一个元素都对应于另一个集合中的唯一元素的一种映射关系。
函数通常用f(x)来表示，其中f为函数名称，x为变量名称。
例如，用f(x)=x^2表示一个函数，当x为2时，f(x)的值为4。
函数的性质包括：单调性、奇偶性、周期性等。
其中单调性是指函数在定义域内的增减情况；奇偶性则是指函数与自身的中心对称关系；周期性则是指函数图像的重复性。
4.图论图论是离散数学中最为重要和实用的一部分，它用数学语言对各种问题进行分析和解决，例如网络连接问题、旅行商问题等。
图由点和边组成，点表示对象，边表示对象之间的关系。
常用的图有有向图和无向图，有向图是指图中的边有一个方向，无向图则是指图中的边没有方向。
离散数学 格
定义（子格）
定义： 设（L，≤）是格，S L， 如果（S，≤）是格， 则称（S，≤）是格（L，≤）的子格。
格的性质：
1、格满足幂等律: a×a=a，a+a=a；Th7.3 2、格的子代数也是格；Th7.4 3、格满足对偶律； 4、代数格必为偏序格。
注:
任取L中元素a，由×，+满足吸收律知， a×（a+a）=a， a +（a×a）=a。 故
a×a=a×（a+（a×a））， a+a=a+（a×（a +a））。 又由×，+ 满足吸收律知，上面两式的等式右 端都等于a。因此， a×a = a， a + a = a。 即， 运算亦满足等幂律。
定义（对偶式）
定义：在格（L，×，+ ）的任一公式中，出 现×，+处分别用+，×替换后所得到的公 式称为该公式的对偶式。 如: (1) a+b+c 与 a×b×c (2) a×(b+c)与 a+(b×c)
对偶定理：
Th: 格中如公式A 为定理，则A的对偶式也是 定理。 Th: 代数格与偏序格同构。
定义（偏序格） 定义： 给出一个偏序集（L，≤）, 如果对于任意a，b∈L，L的子集{a，b} 在L中都有一个下确界(记为inf{a，b}) 和一个上确界（记为sup{a，b}），则 称（L，≤）为一个格。
例. S是任意一个集合，ρ(S)是S的幂集合， 则，偏序集(ρ(S)，)是一个格，记 (ρ(S)，∪，∩)。 因为对A,B∈ρ (S)， sup{A,B}=A∪B∈ρ (S),inf{A,B}=A∩B∈ρ (S) 例 . 设 Z+ 是所有正整数集合， D 是 Z + 中的“整除 关系”，对任意a，b∈Z+，aDb当且仅当a整除 b，于是，（Z+，D）是一个格。 sup{a，b}=lcm(a，b)(最小公倍数)∈Z+， inf{a,b}= gcd(a，b)（最大公因数）∈Z+ 。 注：不是所有的偏序集都是格。
离散数学群的概念
离散数学群的概念嘿，朋友！咱们今天来聊聊离散数学里那个有点神秘又挺有趣的“群”的概念。
你知道吗？群就像是一个小小的魔法世界。
在这个世界里，元素们有着自己独特的规则和玩法。
比如说，一群小伙伴一起玩游戏，规定了某些特定的动作和顺序，这就有点像群的规则啦。
群中的元素之间也有类似的“默契”。
群得满足几个条件呢。
首先，得有个封闭性。
这啥意思？就好比你在一个封闭的房间里，不管怎么折腾，都跑不出去，在群里，元素之间运算的结果还得在这个群里才行。
你想想，如果每次运算结果都跑群外面去了，那不乱套啦？还有结合律得成立。
这就像搭积木，先搭左边再搭右边，或者先搭右边再搭左边，最后搭出来的样子应该是一样的。
要是不一样，那不就抓狂啦？另外，得有个单位元。
这就好比玩游戏里的起点，从这出发，不管怎么折腾，跟其他元素运算，都能保持自己的“身份”。
逆元也不能少。
这就像有去有回，去了还能原路返回。
要是只能去不能回，那不就被困住啦？群这个概念在生活中也有不少影子呢。
比如说，时钟上的数字，12 个数字构成了一个群。
为啥？因为时针转一圈又回到原来的位置，这就是封闭性呀。
再比如，我们常见的正多边形的旋转对称，这也是群。
你说，这离散数学里的群是不是挺有意思？它就像一个隐藏在数学世界里的神秘组织，有着自己独特的规矩和秩序。
咱们学了群的概念，就能更好地理解很多数学问题，就像有了一把神奇的钥匙，能打开更多知识的大门。
总之，离散数学中的群概念，虽然有点抽象，但只要咱们多琢磨，多联系实际，就能发现它的魅力和用处。
别觉得它难，只要用心，咱们都能玩转这个小世界！。
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
什么叫离散数学
什么叫离散数学
什么叫“离散”？离散，就是和连续相反的。
随便拿⼀堆东西，如⼤到宇宙，⼩到粒⼦团，若其整体中的元素是独⽴的，分开的，则叫“离散”。
计算机是不能处理连续信息的，这是由计算机的本质：0和1，决定的。
正因为这样，如果要借助计算机来处理连续的东西，其中有⼀个必须的步骤：离散化。
“离散数学”是什么？它是⼀门研究离散物质的规律的学科，是数学的⼀个分⽀。
近代数学，尤其是计算数学，在解决实际问题的时候，对于连续问题往往只能推论出“是否有解”，进⼀步可能会求出“解的形式”。
⽽实际的需求，却⾮要得到⼀个结果不可。
因此，在数学建模时，我们通常会⽤⼀个离散的模型去逼近这个连续的问题，最终⽤计算机进⾏⼤量运算来得到⼀个近似值。
不要以为我上⾯说的距离我们很远，⽐如我们常⽤的求根号（你敢说实际中不需要求根号？），就是通过迭代法取近似值。
离散数学推理规则公式
离散数学推理规则公式
离散数学的推理规则包括以下几种：
1. 前提引入规则（P规则）：可以在证明的任何时候引入前提。
2. 结论引入规则（T规则）：在证明的任何时候，已证明的结论都可以作为后续证明的前提。
3. 置换规则：在证明的任何时候，命题公式中的任何子命题公式都可以用与之等价的命题公式置换。
4. 假言推理规则（P∧ (P→Q) ⇒ Q）。
5. 附加规则（P ⇒ P∨Q）。
6. 化简规则（P∧ Q ⇒ P）。
7. 拒收式规则（¬Q∧(P→Q) ⇒ ¬P）。
8. 假言三段论规则((P→Q)∧(Q→R) ⇒ P→R）。
9. 析取三段论规则（¬P∧(P∨Q) ⇒ Q）。
10. 构造性二难规则((P∨Q)∧(P→R)∧(Q→S) ⇒ (S∨R))。
以上内容仅供参考，建议查阅离散数学书籍或咨询数学领域专业人士获取更多专业信息。
离散数学知识点整理
离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、数理逻辑等领域都有着广泛的应用。
下面就来对离散数学的一些重要知识点进行整理。
一、集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。
集合是由一些确定的、彼此不同的对象所组成的整体。
集合的表示方法有列举法和描述法。
列举法就是将集合中的元素一一列举出来，用花括号括起来。
描述法是通过描述元素所具有的性质来确定集合。
集合之间的关系包括子集、真子集、相等。
如果集合 A 的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集；如果 A 是 B 的子集且 A 不等于 B，那么 A 是 B 的真子集；如果集合 A 和集合 B 的元素完全相同，那么 A 和 B 相等。
集合的运算有并集、交集、差集和补集。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集是两个集合中共同的元素组成的新集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的新集合；补集是在给定的全集 U 中，去掉集合 A 中的元素所得到的新集合。
二、关系关系是集合论中的一个重要概念，它描述了两个集合元素之间的某种联系。
关系可以用关系矩阵和关系图来表示。
关系矩阵是一个二维矩阵，用于表示两个有限集合之间的关系；关系图则是用顶点和边来表示关系。
关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。
自反性是指集合中的每个元素都与自身有关系；反自反性则是集合中的每个元素都与自身没有关系；对称性是如果 a 与 b 有关系，那么 b 与 a 也有关系；反对称性是如果 a 与 b 有关系且 b 与 a 有关系，那么 a 等于 b；传递性是如果 a 与 b 有关系，b 与 c 有关系，那么 a 与 c 有关系。
等价关系是一种具有自反性、对称性和传递性的关系，它可以将集合划分为等价类。
偏序关系是一种具有自反性、反对称性和传递性的关系，它可以引出偏序集的概念。
三、函数函数是一种特殊的关系，它对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。
离散数学数论基础知识
离散数学数论基础知识离散数学是数学中的一个重要分支，它研究离散的结构和离散的对象。
而数论作为离散数学中的一个重要领域，主要研究整数的性质和规律。
本文将介绍一些离散数学数论的基础知识，包括质数、整除性、同余关系等。
1. 质数及其性质质数是指只能被1和自身整除的整数。
例如，2、3、5、7等都是质数。
质数在数论中具有重要的地位和作用。
对于给定的整数n，存在无限个质数。
这是一个著名的结论，由古希腊数学家欧几里得证明。
除了这一性质，还有以下有趣的特点：- 质数不能由其他数相乘得到。
这个性质使得质数在密码学和加密算法中具有重要应用。
- 欧拉定理：若a和n互质，则a的φ(n)次方与n同余于1，其中φ(n)表示不大于n的正整数中与n互质的数的个数。
2. 整除性与最大公约数对于两个整数a和b，若a能整除b（即b可以被a整除），我们称a是b的约数，b是a的倍数。
最大公约数（GCD）是指两个或多个整数共有约数中最大的一个。
最大公约数的求解有多种方法，其中最常见的是辗转相除法：- 若a可以整除b，则a和b的最大公约数为a；- 若a不能整除b，则a和b的最大公约数等于b和a除以b的余数的最大公约数。
3. 同余关系在数论中，同余关系是一个重要的概念。
对于整数a、b和正整数m，若a和b除以m得到相同的余数，我们就说a和b关于模m同余，记作a ≡ b (mod m) 。
同余关系具有以下性质：- 自反性：对于任意的整数a和正整数m，a ≡ a (mod m)。
- 对称性：如果a ≡ b (mod m)，那么b ≡ a (mod m)。
- 传递性：如果a ≡ b (mod m)且b ≡ c (mod m)，那么a ≡ c (mod m)。
同余关系在密码学、编码理论和计算机科学中都有广泛应用。
4. 素数与唯一分解定理在数论中，复数的唯一分解定理是一个重要的结论。
该定理指出，任何一个大于1的正整数都可以表示为若干个素数相乘，而且这种表示方式是唯一的。
离散数学基本公式
离散数学基本公式离散数学是数学中的一个重要分支，主要研究离散对象及其关系的数学结构。
离散数学中有很多基本公式，下面将介绍一些常用的公式。
1.排列公式：排列是从一个集合中取出特定元素组成一定长度的有序排列。
对于n个不同元素中取r个元素排列的个数表示为P(n,r)，其计算公式为：P(n,r)=n!/(n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*(n-2)*...*12.组合公式：组合是从一个集合中取出特定元素组成一定长度的无序组合。
对于n个不同元素中取r个元素组合的个数表示为C(n,r)，其计算公式为：C(n,r)=n!/(r!*(n-r)!)3.二项式定理：二项式定理是将一个二次多项式展开为一系列项的求和，其公式为：(a+b)^n=C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+C(n,2)*a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)*a^0*b^n4.递推公式：递推公式是通过前一项或前几项的值求得下一项的值。
在离散数学中，递推公式经常用来求解递归关系式。
例如，斐波那契数列的递推公式为：F(n)=F(n-1)+F(n-2)其中，F(n)表示斐波那契数列的第n项，F(0)=0，F(1)=15.布尔代数公式：布尔代数是离散数学中研究命题逻辑的一种代数结构。
布尔代数中有一些常见的公式，如德·摩根定律：¬(p∧q)=¬p∨¬q¬(p∨q)=¬p∧¬q其中，¬表示取非操作，∧表示逻辑与操作，∨表示逻辑或操作。
6.常用等式：在离散数学中，还有一些常用的等式，如：a+(a*b)=aa∨(a∧b)=aa∧(a∨b)=a这些等式在布尔代数、集合论等离散数学的领域中经常被使用。
7.容斥原理：容斥原理是离散数学中常用的一种求解集合问题的方法，其公式为：A1∪A2∪...∪An，=，A1，+，A2，+...+，An，-，A1∩A2，-，A1∩A3，-...+(-1)^(n+1)*，An-1∩An，+...+(-1)^(n+1)*，A1∩A2∩...∩A其中，A，表示集合A的元素个数。
离散数学公式大全总结
离散数学公式大全总结离散数学是数学中的一个分支，涵盖了许多概念和公式。
以下是一些离散数学中常见的公式和概念的总结：1. 集合理论：集合并：$A \cup B = {x | x \in A \text{或} x \in B}$集合交：$A \cap B = {x | x \in A \text{且} x \in B}$集合补：$A' = {x | x \notin A}$集合差：$A - B = {x | x \in A \text{且} x \notin B}$幂集：如果$A$有$n$个元素，$P(A)$有$2^n$个子集。
容斥原理：$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$2. 排列和组合：排列数：$P(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!}$组合数：$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}$二项定理：$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}C(n, k)a^{n-k}b^k$3. 图论：手握定理：$2 \cdot \text{边数} = \sum \text{度数}$欧拉图：一个连通图是欧拉图，当且仅当每个顶点的度数都是偶数。
哈密顿图：包含图中每个顶点的圈。
图着色：给定图中的顶点，用尽量少的颜色对它们进行着色，使得相邻的顶点颜色不相同。
图的最短路径：Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法用于找到图中的最短路径。
4. 布尔代数：布尔变量：$0$表示假，$1$表示真。
逻辑与：$A \land B$逻辑或：$A \lor B$逻辑非：$\lnot A$逻辑与门：$AND$逻辑或门：$OR$逻辑非门：$NOT$布尔恒等定律：$A \land 1 = A$，$A \lor 0 = A$德·摩根定律：$\lnot (A \land B) = \lnot A \lor \lnot B$，$\lnot (A \lor B) = \lnot A \land \lnot B$5. 树和图：树的顶点数与边数关系：$V = E + 1$二叉树的性质：最多有$2^k$个叶子节点，高度为$h$的二叉树最多有$2^{h+1} - 1$个节点。
第三章 离散数学
数学归纳法还有另一种形式，为了证明一个命题对于所有的自 然数n都是真的，我们只要证明： ⑴ (归纳基础)当n＝n0时，p(n0)真(可用任意方法证明） ⑵若n0≤n＜k时，p(n)真，则n=k时，这个命题也真， 即p(k)真。
例2. 证明每一整数n≥2可以写成素数的乘积。 证明： ⑴ (归纳基础) n=2时，因为2是素数，所以 结论成立。 ⑵ (归纳步骤) 对于任意的n∈N且n＞2 设n＜k时，结论成立(即n＝2，3，...，k－1时， n能写成素数的乘积) n=k时：①若k是素数，结论成立。 ②若k不是素数，那么n＝k＝i·j，(2≤i，j＜k) 于是根据归纳假设，i，j均能写成素数的乘积。 即i=q1q2...qt，j=p1p2...pr，其中qm,pS均为素(m=1,2,...t;s=1,2,...r) ∴n=q1q2....qtp1p2....pr，即n也能写成素数的乘积。 因此，对任意的n∈N，n≥2，结论成立。
(二)不可数集
不是所有的无限集都是可数的 定理3-23：集合R1＝{x |0＜x＜1}是不可数集。 定义3-12：如果有从R1(0,1)到集合A的双射函数，那么＃A＝ §1。 例4：[0，1]的基数为§1。 解：定义A＝{1/2,1/3,1/4,....,1/n,....} 做f:(0,1) f(1/2)=0 [0,1] f(1/3)=1 f(1/n)=1/(n-2)
有g·f(a')=g(f(a'))=g(b ')=a '=IA(a ') 所以g·f=IA，即g是f的左逆函数。
⑵设f是满函数，要证f有右逆函数，即构造一个g:B 使f·g=IB，则g为f的右逆函数。
证明：因为f是A
A
B的满射，所以对∀ b∈B， ∃a∈A使得f(a)=b。
contingent离散数学
contingent离散数学
“contingent离散数学”是指与离散数学相关的概念或内容。
离散数学（Discrete mathematics）是研究离散对象数学结构及其性质的有关数学分支的总称，以处理离散对象为特征，研究内容通常包括（但不限于）图论、集合论、组合数学、数理逻辑，以及各种代数结构等可以离散化或者枚举计数的数学对象。
在计算机科学与技术领域，离散数学具有广泛的应用，同时也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。
通过离散数学的学习，人们可以掌握处理离散结构的描述工具和方法。
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离散数学
作业要求：
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（2）作业按题号顺序作答，乱序、不写题号等视情况扣分。
（3）选择题直接提交答案，不要抄题。
（4）卷面整洁，文字、符号以及图等要清晰可辨。
一、单选题（每题2分，共15小题）
1.集合}}}{{},{,{c b a A =，则下列不属于A 的子集的是（ ）
A.}}{{a
B.}}{{b
C.}}}{{{c
D.}}{,{b a
2.设全集{1,2,...,9,10}U =的子集为A={偶数}，B={奇数}，则下列选项正确的是（ ）
A.A
B =∅ B.A
B =∅ C.A B U =
D. 以上答案都不对
3.已知集合}4,3,2,1{=A ， },,{c b a B =， }8,6,4,2,1{=C ,定义A 到B 的关系c)}(4,b),(3,a),(2,a),{(1,1=ρ，B 到C 的关系(c,1)}(b,6),{(a,4),2=ρ，则下列属于21ρρ的是（ ）
A.)8,1(
B.)4,1(
C.)6,2(
D.)1,3(
4.集合}3,2,1{=A 上的关系)}3,1(),1,2(),2,1{(=R ，则R 具有（ ）
A.对称性
B.自反性
C.可传递性
D.以上说法都不对
5.集合{1,2,3}A =上的下列关系，是由A 到A 的函数的是（ ）
A.{(1,3),(2,3),(3,1)}f =
B.{(1,2),(3,1)}g =
C.{(1,1),(2,1),(3,2),(1,3)}h =
D.{(1,3),(2,1),(2,2)}I =
6.集合},,{},3,2,1{c b a B A ==，则A 到B 的映射中，是单射的是（ ）
A.}b)b)(3,a)(2,(1,{
B.}b)b)(3,a)(1,(1,{
C.}c)b)(3,a)(2,(1,{
D.}b)b)(3,b)(2,(1,{
7. 下面各集合都是N 的子集，（ ）集合在普通加法运算下是封闭的。
A.}16|{整除的幂可以被x x
B.}5|{互质与x x
C.}30|{的因子是x x
D.}30|{<x x
8.设集合A={1，2，3，4，5}上偏序关系图为，
则子集B={2，3，4}的最大下界为（ ）
A.1
B.4
C.5
D.无
9.设,L <≤>是格，则对任意12,l l L ∈，有（ ）
A.12212()()l l l l l ∨=⇔≤
B.12212()()l l l l l ∧=⇔≤
C.12112()()l l l l l ∨=⇔≤
D. 以上答案都不对
10. 设图G 的相邻矩阵为⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0110110101110110010111110，则G 的顶点数与边数分别为（
） A.5,4
B.6,5
C.10,4
D.8,5
11. 无向简单图>=<E V G ,，},,,,{54321v v v v v V =，则||E 的最大值是（
）
A.8
B.10
C.12
D.16
12.在如下各图中是欧拉图的是（ ）
13. Q P ,是真命题，R 是假命题，则（ ）
A.R Q P ∧→为真
B.Q P R ∨→为真
C.R P Q ∨→为假
D.P Q R ∧→为假
14.设是乌鸦x :P(x )，一样黑y x ,:y),Q(x ，则命题“天下乌鸦一般黑”可符号化为（
）
A.),()(y x Q x xP →∃
B.),()()(y x Q y P x P →∨
C.),())()()(((y x Q y P x P y x →∧∀∀
D.)),()()((y x Q x P x ⌝∧∃⌝
15.谓词公式)())()((x Q y yS x F x →∃∨∀中变元是（ ）。
A. 自由变元
B. 约束变元
C. 既是自由变元也是约束变元
D. 以上答案都不对
二、简答题（每题5分，共6小题）
1.写出集合{,,{}}a a ∅的幂集.
2.设(4,5)}(3,3),(2,4),{(1,2),1=ρ，(5,4)}(4,2),(2,4),{(1,3),2=ρ，试求关系12ρρ的
定义域和值域。
3. 说明什么是等价关系。
4. 请解释什么是群.
5.给定如图所示的图,G V E =<>，求出从A 到E 的所有初级路。
6.用二叉树表示算术表达式()a b c d *+-。
三、证明题（每题10分，共4小题）
1.已知C B g B A f →→:,:，f 是单射，g 是单射，证明gf 是单射。
2.设（L,≤）是一个格， ,,a b c L ∈试证明: 若c b a ≤≤，则 )()()()(c a b a c b b a ∨∧∨=∧∨∧
3. 用推理法证明下式成立：(),,|P Q Q R R P ⌝∧⌝⌝∨⌝-⌝
4.由等值演算证明下列蕴涵式成立: (()())()x y P x Q y xP x ∃∃∧⇒∃。