概率论与数理统计条件概率1(精)

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概率论与数理统计公式精粹条件期望条件方差与条件分布

概率论与数理统计公式精粹条件期望条件方差与条件分布

概率论与数理统计公式精粹条件期望条件方差与条件分布条件期望、条件方差和条件分布是概率论与数理统计中重要的概念和技巧。

它们能帮助我们更准确地描述和计算随机现象的特征和性质。

本文将对条件期望、条件方差和条件分布进行精炼的介绍和讨论。

一、条件期望条件期望是指在给定某些信息或条件下,对随机变量的期望进行计算的概念。

对于随机变量X和事件A,条件期望E(X|A)表示在事件A发生的条件下,随机变量X的平均取值。

条件期望的计算可以通过基本的期望定义进行推导。

对于离散型随机变量,条件期望的计算公式为:E(X|A) = ∑x P(X=x|A) * x其中,P(X=x|A)表示在事件A发生的条件下,随机变量X取值为x的概率。

对于连续型随机变量,条件期望的计算公式为:E(X|A) = ∫xf(x|A) dx其中,f(x|A)表示在事件A发生的条件下,随机变量X的概率密度函数。

二、条件方差条件方差是在给定某些信息或条件下,对随机变量的方差进行计算的概念。

对于随机变量X和事件A,条件方差Var(X|A)表示在事件A发生的条件下,随机变量X的离散程度。

条件方差的计算可以通过基本的方差定义进行推导。

对于随机变量X和事件A,条件方差的计算公式为:Var(X|A) = E[(X-E(X|A))^2|A]其中,E(X|A)表示在事件A发生的条件下,随机变量X的条件期望。

三、条件分布条件分布是指在给定某些信息或条件下,随机变量的分布情况。

对于随机变量X和事件A,条件分布P(X=x|A)表示在事件A发生的条件下,随机变量X取值为x的概率。

条件分布的计算可以通过基本的概率计算进行推导。

对于随机变量X和事件A,条件分布的计算公式为:P(X=x|A) = P(X=x, A) / P(A)其中,P(X=x, A)表示事件A发生且随机变量X取值为x的概率,P(A)表示事件A的概率。

四、应用与扩展条件期望、条件方差和条件分布在实际问题中有广泛的应用。

大连理工大学软件学院概率论与数理统计精简版习题解答

大连理工大学软件学院概率论与数理统计精简版习题解答

大连理工大学软件学院概率论与数理统计精简版习题解答一、概率论部分1. 概率的基本概念(1)概率的定义:在随机试验中,某个事件发生的可能性大小,用0到1之间的实数表示。

(2)概率的加法原理:若A和B是两个互斥事件,则P(A或B) = P(A) + P(B)。

(3)概率的乘法原理:若A和B是两个独立事件,则P(A且B) = P(A) P(B)。

2. 概率分布(1)离散型随机变量:取值为有限个或可数无限个的随机变量。

(2)连续型随机变量:取值范围为实数集的随机变量。

3. 常见概率分布(1)二项分布:描述在n次独立重复试验中,成功次数的概率分布。

(2)泊松分布:描述在固定时间内,发生k次事件的概率分布。

(3)正态分布:描述随机变量在某一均值附近呈钟形分布的概率分布。

二、数理统计部分1. 统计量(1)样本均值:样本数据的平均值。

(2)样本方差:描述样本数据离散程度的度量。

(3)样本标准差:样本方差的平方根。

2. 参数估计(1)点估计:用样本统计量来估计总体参数的值。

(2)区间估计:用样本统计量来估计总体参数的取值范围。

3. 假设检验(1)原假设:关于总体参数的某种假设。

(2)备择假设:与原假设相对立的假设。

(3)显著性水平:用于判断假设检验结果是否显著的阈值。

(4)P值:在原假设成立的情况下,观察到样本统计量等于或大于实际观察值的概率。

(5)拒绝域:在假设检验中,当样本统计量落入该区域时,拒绝原假设。

大连理工大学软件学院概率论与数理统计精简版习题解答三、概率论部分4. 条件概率与独立性(1)条件概率:在已知某个事件发生的条件下,另一个事件发生的概率。

(2)独立性:若两个事件A和B满足P(A|B) = P(A),则称A和B相互独立。

5. 随机变量的数字特征(1)期望值:随机变量的平均值,表示随机变量的中心位置。

(2)方差:描述随机变量取值波动程度的度量。

(3)标准差:方差的平方根。

四、数理统计部分4. 抽样方法(1)简单随机抽样:从总体中随机抽取样本,每个个体被抽中的概率相等。

概率论与数理统计第1章

概率论与数理统计第1章
记 Ai={第i台机器需要照管}, i=1,2,3;
A1A2 A3 A1 A2 A3 A1A2 A3
A1 A2 A3
例9 三人独立地去破译一份密码,已知各人能 译出的概率分别为1/5,1/3,1/4,问三人中至 少有一人能将密码译出的概率是多少?
P(AB)=P(B)P(A|B) (2)
P(AB)=P(BA)
P(BA)=P(A)P(B|A)
P(AB)=P(A)P(B|A) (3)
(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算 两个事件同时发生的概率。
推广到多个事件的乘法公式:
当P(A1A2…An-1)>0时,有 P (A1A2…An) =P(A1)P(A2|A1) …P(An| A1A2…An-1)
当有了新的信息(知道B发生),人们对诸 事件发生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计.
贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。
1.5事件的独立性
一、两事件的独立性 将一颗均匀骰子连掷两次,

A =“第一次掷出6点”, B =“第二次掷出6点”,
显然
P(B|A)=P(B)=1/6
这就是说,已知事件A发生,并不影响事件B发
例如
甲、乙两人向同一目标射击,记 A={甲命中}, B={乙命中},A与B是否独立?
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的
概率,故认为A、B独立 .
(即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率)
又如:一批产品共n件,从中抽取2件,设 Ai={第i件是合格品} i=1,2
若抽取是有放回的, 则A1与A2独立. 因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.
P( A | B) P( AB) , P(B)
P(B)>0

第一章 条件概率(概率论与数理统计)

第一章 条件概率(概率论与数理统计)

由于 A2 A1A2 由乘法公式
P( A2 ) P( A1)P( A2 | A1)
因为若第2个人抽到 了入场券,第1个人 肯定没抽到.
也就是要想第2个人抽到入场券,必须第1个人未
抽到,
P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5
同理,第3个人要抽到“入场券”,必须第1、 第2个人都没有抽到. 因此
3的证明:对任意事件A1和A2 ,互不相容,有
P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)

P(( A1

A2 )
|
B)

P( A1 U A2
P(B)
B)

P( A1 B) U( A2 B)
P(B)

P A1 B) P( A2 B
P(B)
P A1 | B) P(A2 | B
AB的样本数
对于古典概型
P(A|B)

AB的样本数 B的样本数

Ω样本数 B的样本数
P( AB )。 P( B )
2. 条件概率的性质
设B是一事件,且P(B)>0,则
B ABA
1. 对任一事件A,0≤P(A|B)≤1; 2. P(S|B)=1;
S C
3. 设A1,…,An ,…两两互不相容,则 P[(A1+…+An +…)| B] = P(A1|B)+ …+P(An|B)+…
请思考!!
二、 乘法定理(乘法公式) 由条件概率的定义:
P(A | B)
P( AB) P(B)
在已知P(B), P(A|B)时, 可反解出P(AB)。
即 若P(B)>0, 则 P(AB)=P(B)P(A|B) , (1)

概率1-1 概率论与数理统计

概率1-1   概率论与数理统计

§1.2 样本空间、随机事件
一、样本空间
1.样本空间: 随机试验E的所有可能结果组成的集合. 记为S.
2.样本点: 样本空间S的元素,即E的每个可能结果.
例 写出§1.1节中所列的试验Ei 的样本空间: 试验E1: 抛一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情况.
S1={H, T},(H表示出现正面, T表示出现反面)
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) . 4. 德.摩根律(对偶原理) : A∪B=A∩B, A∩B=A∪B
n
n
n
n
类似有: Ai Ai ,
Ai Ai
i 1
i 1
i 1
i 1
5. 对必然事件的运算法则:A∪S=S, A∩S=A
6.对不可能事件的运算法则:A∪Φ=A,A∩Φ=Φ.
实验序号
n=5
m fn (A)
1 2 0.4
2 3 0.6 3 1 0.2
4 5 1.0
n=50 m fn (A) 22 0.44
25 0.50 21 0.42 25 0.50
n=500
m
fn ( A)
251 0.502
249 0.498 256 0.512 253 0.506
从上面的例子可以看出,试验次数n越大,出现正 面的频率越接近0.5,即频率稳定于1/2 .经验表明:只要 试验是在相同的条件下进行的,则随机事件出现的频率 稳定于一个固定的常数,常数是事件本身所固有的,是 不随人们的意志而改变的一种客观属性,它是对事件出 现的可能性大小进行度量的客观基础.为了理论研究的 需要,从频率的稳定性和频率的性质得到启发,给出如 下度量事件发生可能性大小的概率的定义.
呼叫次数. E6: 在一批灯泡中任意抽取一只, 测试其寿命.

概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)

概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2.样本空间、随机事件1.事件间的关系 A B 则称事件 B 包含事件 A ,指事件 A 发生必然导致事件 B 发生A B {x x A或x B} 称为事件 A 与事件 B 的和事件,指当且仅当 A ,B 中至少有一个发生时,事件 A B 发生A B {x x A且x B} 称为事件 A 与事件 B 的积事件,指当A,B 同时发生时,事件A B 发生A—B {x x A且x B} 称为事件A 与事件 B 的差事件,指当且仅当 A 发生、B 不发生时,事件 A — B 发生A B ,则称事件 A 与B 是互不相容的,或互斥的,指事件 A 与事件 B 不能同时发生,基本事件是两两互不相容的A B S A B ,则称事件 A 与事件 B 互为逆事件,又称事件 A 与事件 B 互为且对立事件2.运算规则交换律 A B B A A B B A结合律(A B) C A (B C) ( A B)C A(B C)分配律 A (B C)(A B) ( A C)A (B C)(A B)( A C)—徳摩根律 A B A B A B A B§3.频率与概率定义在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,事件 A 发生的次数n称为事件AA 发生的频数,比值n nA 称为事件 A 发生的频率概率:设E是随机试验,S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件的概率1.概率P( A)满足下列条件:(1)非负性:对于每一个事件 A 0 P( A) 1(2)规范性:对于必然事件S P (S) 11(3)可列可加性:设A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件,有nn nP A k ) P( A) ( (n可kk 1 k 1以取)2.概率的一些重要性质:(i )P( ) 0(ii )若A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件,则有n Pn n( (n可以取)A k ) P( A )kk 1 k 1(iii )设A,B 是两个事件若 A B ,则P(B A) P( B) P( A) ,P( B) P(A) (iv)对于任意事件A,P(A) 1(v)P( A) 1 P(A) (逆事件的概率)(vi)对于任意事件A,B 有P(A B) P( A) P( B) P( A B)§4等可能概型(古典概型)等可能概型:试验的样本空间只包含有限个元素,试验中每个事件发生的可能性相同若事件 A 包含k 个基本事件,即{e i } {e } {e }A ,里1 i i k] 2,k是,中某个不同的数,则有i1 i 2, ,i k 1,2 nP( A)j k1P { eij}knA包含的基本事件数S中基本事件的总数§5.条件概率(1)定义:设A,B 是两个事件,且P( A) 0 ,称P( A B)P(B | A) 为事件 A 发生的条P(A)件下事件 B 发生的条件概率(2)条件概率符合概率定义中的三个条件。

《概率论与数理统计》1.4条件概率

《概率论与数理统计》1.4条件概率

P( A B) P( AB) 1 个基本事件 P(B) 15
掷两颗骰子,观察出现的点数,设 x1 , x2分别表示第
一颗、第二颗骰子的点数,且设:
A ( x1, x2 ) x1 x2 10 B ( x1, x2 ) x1 x2
二. 乘法原理
由条件概率的定义:P( A
|
B)
P( AB) P(B)
若已知 P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).即有:
定理1:设 P(B)> 0 或 P(A)> 0,则:
P( AB) P(B)P( A B) P( A)P(B A)
注 乘法原理可推广到多个事件的积事件的情形:
(1) P(ABC) P( A) P(B A) P(C AB)
其中: P(AB) > 0
方法1: 在样本空间S中计算P(B),P(AB)
然后依 P ( A B ) 公式计算
AB { (6, 4) } P( AB) 1 ,
又 : P( A) 3 , 36
P(B) 15 36
从而: P(B A) P( AB) 1 P( A) 3
36Βιβλιοθήκη 样本空间S有36 个方基法本2: 事在件缩;减 A的中样有本3空个间基本S A 事和件S;B B中中计有算15
求: 该地区由疑似病人转为非典病人的概率. 解: 设 事件A: {非典病人},事件B: {疑似病人}
(1) 若求 P(A), 则此时 S {1, 2, ,10000}
显然:P( A) 10 0.1% (千分之一) 10000
这是没有附加条件的概率 (无条件概率)
(2)该地区由疑似病人转为非典病人的概率为:p
P( AB) ,(P( A) 0)
P( A)

概率论与数理统计 1-3

概率论与数理统计 1-3

3
1. 条件概率的定义
设A、B是两个事件,且P(A)>0,则称 P(B | A) P( AB) (1) P( A)
为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.
1.3条件概率
B ABA
S
若事件A已发生, 则为使 B也发 生 , 试验结果必须是既在 B 中又在 A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道A已发生, 故A变 成了新的样本空间 , 于是 有(1).
3
P( Ai ) P(A1)P(A2 / A1)P(A3 / A1A2 )
i 1
※想一想: ①应如何推导此式? ② n个事件的公式如何写呢?
7
1.3条件概率
例2 一批零件共100个,其中有10个是次品。今从这批零
件中随机抽取,每次一件,1)若不放回地抽取3次,求3次都 取得合格品的概率;2)若有放回地抽取2次,求2次都取得合 格品的概率。
注 通常, P(B|A) ≠ P(B)
4
2. 条件概率P(.|A)的性质
1.3条件概率
(1)非负性 对每一个事件B, P(B|A) ≧0 概
(2)规范性 对必然事件S, P(S|A) =1


(3)可列可加性 若B1, B2 ,是两两互不相容的事件,则有


P Bi | A P(Bi | A)
解 记 Ai=“第i次取得合格品”,i=1,2,3;
1) 若不放回地抽,则
P
(
A1
)

90 100
,
P(
A2
|
A1 )

89 99
,
P(
A3
|
A1
A2
)

概率论与数理统计条件概率PPT课件

概率论与数理统计条件概率PPT课件
( 1 ) P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) = 0 . 9 × 0 . 9 = 0 . 8 1 ( 2 ) P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A B ) = 0 . 9 + 0 . 9 - 0 . 8 1 = 0 . 9 9
(3)P(A B A B)=P(A B )+P( A B) =P(A)P( B )+P( A )P(B)
问题:条件概率P(B|A)与普通概率有何关系?
P(B| A) 6 6 / 20 P( AB ) 10 10 / 20 P( A)
《概率统计》
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§1.4.1 条件概率
一、 条件概率
1.定义1 设A,B为随机试验E 的两个事件,且P(A)>0,则称
P(B| A)P(AB) P(A)
为在事件A已发生的条件下,事件B发生的条件概率. 注:条件概率与普通概率有相类似的性质,如,
则 P(A) = 0.9,P(B) = 0.8,P(C) = 0.85
因 A、B、C 相互独立,所求概率分别为
(1) P(ABC)
(2) P(ABC)
(3) P ( A B C A B C A B C A B C )
算法 (1) P (ABC ) P (A )P (B )P (C )
(2) P (A B C )P (AB )1 C P (AB ) C (3) 略.
《概率统计》
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二、多个事件的独立性
(1) 3个事件相互独立的定义
三个事件A、B、C,如果满足下面四个等式
P(AB) P(A)P(B)
P(AC) P(A)P(C)

概率论与数理统计(条件概率与全概率公式)

概率论与数理统计(条件概率与全概率公式)
2 22
二、全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复 杂事件的概率,它们实质上是加法公式、乘法公式 和条件概率的综合运用.
综合运用
加法公式
乘法公式
条件概率
P(AB)=P(A)+P(B) P(AB)= P(A)P(B|A) P(A|B)= P(AB)/P(B)
A、B互斥
P(A)>0
600 1000
1%
250 1000
4%
150 1000
2%
0.019
(2)
P(B1 A)
P(AB1 ) P(A)
P(B1 )P(A B1 )
3
P(Bi )P(ABi )
i=1
0.6 0.01 0.3158 0.019
所以甲厂应承担约31.58%的经济责任.
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例7 甲箱中有5个正品3个次品,乙箱中有4个正品3个
接下来我们介绍贝叶斯公式来解决这类问题
贝叶斯公式 P19
设S是试验E的样本空间, B1, B2 ,是SB的n 一个划 分, 且 P(Bi)>0(,i=则1,2对, 任n一) 事件A,有
P(B k
A )=
P(ABk ) P(A)
=
P(Bk )P(A Bk )
n
P(B)i P(A Bi )
k 1, 2,
P( A1)P( A3
|
A1 )
2 5% 3
1 30
(2)
P( A2 A3)
P( A2 )P( A3 |
A2 )
1 3% 1
3
100
返回
例5(P18) 一口袋中装有a 只白球,b 只红球,每次随 机取出一只,然后把原球放回,并加进与抽出的球同 色的球 c只。连续摸球三次,试求第一、第二次取到 白球,第三次取到红球的概率。 解 设 A表i 示事件“第 i 次取到白球’’ (i=1,2,3)

概率论与数理统计整理(一二章)

概率论与数理统计整理(一二章)

一、随机事件和概率考试内容:随机事件(可能发生可能不发生的事情)与样本空间(包括所有的样本点) 事件的关系(包含相等和积差互斥对立)与运算(交换分配结合德摸根对差事件文氏图) 完全事件组(所有基本事件的集合) 概率的概念概率的基本性质(非负性规范性可列可加性) 古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求:1.了解样本空间(基本事件空间)的概念,理解随机事件的概念,掌握事件的关系与运算.2.理解概率、条件概率的概念,掌握概率的基本性质,会计算古典型概率和几何型概率(弄清几何意义),掌握概率的加法公式(PAUB=PA+PB--PAB)、减法公式(P(A--B)=PA--PAB)、乘法公式(PAB=PA*PB|A)、全概率公式(关键是对S进行正确的划分),以及贝叶斯公式.3.理解事件的独立性(PAB=PA*PB)的概念,掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概念,掌握计算有关事件概率的方法.整理重点:1. 随机事件:可能发生也可能给不发生的事件。

0<概率<1。

2. 样本空间:实验中的结果的每一个可能发生的事件叫做实验的样本点,实验的所有样本点构成的集合叫做样本空间,大写字母S表示。

3. 事件的关系:(1)包含:事件A发生必然导致事件B发生,称事件B包含事件A。

(2)相等:事件A包含事件B且事件B包含事件A。

(3)和:事件的并,记为A∪B。

(4)差:A-B称为A与B的差,A发生而B不发生,A-B=A-AB。

(5)积:事件的交,事件A与B都发生,记为AB或A∩B。

(6)互斥:事件A与事件B不能同时发生,AB=空集。

(7)对立:A∪B=S。

4. 集合的运算:(1)交换律:A∪B=B∪A AB=BA (2结合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C) (AB)C=A(B C) (3)分配率:A (B∪C)=AB∪AC A∪(BC)=(A∪B)(A∪C) (4)德*摩根定律5. 完全事件组:如果n个事件中至少有一个事件一定发生,则称这n个事件构成完全事件组(特别地:互不相容的完全事件组)。

(完整版)概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)

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《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2.样本空间、随机事件1.事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ,指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件,指当且仅当A ,B 中至少有一个发生时,事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件,指当A ,B 同时发生时,事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件,指当且仅当A 发生、B 不发生时,事件B A —发生φ=⋂B A ,则称事件A 与B 是互不相容的,或互斥的,指事件A 与事件B 不能同时发生,基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ,则称事件A 与事件B 互为逆事件,又称事件A 与事件B 互为对立事件2.运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃)( ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3.频率与概率定义 在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数,比值n n A 称为事件A 发生的频率概率:设E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P (A ),称为事件的概率 1.概率)(A P 满足下列条件:(1)非负性:对于每一个事件A 1)(0≤≤A P (2)规范性:对于必然事件S 1)S (=P(3)可列可加性:设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件,有∑===nk kn k kA P A P 11)()( (n 可以取∞)2.概率的一些重要性质: (i ) 0)(=φP(ii )若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件,则有∑===nk kn k kA P A P 11)()((n 可以取∞)(iii )设A ,B 是两个事件若B A ⊂,则)()()(A P B P A B P -=-,)A ()B (P P ≥ (iv )对于任意事件A ,1)(≤A P(v ))(1)(A P A P -= (逆事件的概率)(vi )对于任意事件A ,B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型(古典概型)等可能概型:试验的样本空间只包含有限个元素,试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件,即}{}{}{2]1k i i i e e e A =,里个不同的数,则有中某,是,,k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5.条件概率(1) 定义:设A,B 是两个事件,且0)(>A P ,称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率(2) 条件概率符合概率定义中的三个条件1。

(完整版)概率论与数理统计知识点总结

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p k q nk
其中 q 1 p,0 p 1, k 0,1,2,, n ,
则称随机变量 X 服从参数为 n , p 的二项分布。记为
X ~ B(n, p) .
当 n 1时, P(X k) pk q1k , k 0.1,这就是(0—1)分布,
所以(0-1)分布是二项分布的特例。
泊 松 设随机变量 X 的分布律为
1
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A—B,也可表示为 A—AB 或者 AB ,它表示 A 发生而 B 不发生的事
件.
A、B 同时发生:A B,或者 AB。A B=Ø ,则表示 A 与 B 不可能 同时发生,称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是
互不相容的.
—A 称为事件 A 的逆事件,或称 A 的对立事件,记为 A .它表 示 A 不发生的事件。互斥未必对立。
P(A)= (1) (2 ) (m ) = P(1) P(2 ) P(m )
m n
A所包含的基本事件数 基本事件总数
(6)几 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均
1
(完整版)概率论与数理统计知识点总结
何概型 匀,同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域 来描述,则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A,
3° F() lim F(x) 0, F() lim F(x) 1;
x
x
4° F(x 0) F(x) ,即 F(x) 是右连续的;
5° P(X x) F(x) F(x 0) .
对于离散型随机变量, F(x) pk ; xk x x
对于连续型随机变量, F(x) f (x)dx .
概型 用 p 表示每次试验 A 发生的概率,则 A 发生的概率为1 p q ,用

概率论与数理统计第一章第四节

概率论与数理统计第一章第四节
21 2005
例6 有一批同一型号的产品,已知其中由一厂 生产的占 30% ,二厂生产的占 50% ,三厂生 产的占 20%,又知这三个厂的产品次品率分别 为2% , 1%,1%,问从这批产品中任取一件 是次品的概率是多少? 解
设事件 A 为“任取一件为次品”,
事件 Bi 为“ 任取一件为i 厂的产品 , i 1, 2, 3. ”
此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.
例5 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时 打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落 下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三 次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未 打破的概率.
" 解 以Ai (i 1,2,3)表示事件"透镜第 i 次落下打破 ,
P( A B j )P(B j ) j 1
n
称此为贝叶斯公式.
证明
P ( Bi A) P ( Bi A) P ( A)
P ( A Bi ) P ( Bi )
P( A B j )P( B j ) j 1
n
, i 1,2,, n.
在应用全概率公式与贝叶斯公式时,有两个问题需 要弄清楚:
1. 样本空间的划分
定义 设 S 为试验E的样本空间 B1 , B2 ,, Bn 为 , E 的一组事件, 若 (i ) Bi B j , i j , i , j 1, 2,, n ; (ii ) B1 B2 Bn S . 则称 B1 , B2 ,, Bn 为样本空间 S 的一个划分.
则 A3 、 A4 为事件第三、四次取到白球 .
因此所求概率为
P ( A1 A2 A3 A4 )
P ( A4 A1 A2 A3 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A2 A1 ) P ( A1 )

概率论与数理统计 第一章第三节条件概率及相关公式

概率论与数理统计 第一章第三节条件概率及相关公式

率的公理化定义中的三个条件:
1.非负性:对任一事件A,有0 PA B 1
2.规范性:P B 1
3.可列可加性:对可列无限多个互不相容
的事件A1, A2 ,
An ,

P
k 1
Ak
B
P
k 1
Ak B
注:由于条件概率满足概率定义的三个条
件,所以,概率的所有性质均适用于条
件概率.
例如: 对于任意事件A1, A2有
PC 0.005 P C 0.995
由贝叶斯公式 :
PC
A
PCPA C
PCPA C PCPA
C
0.087
结果表明:虽然PA C , P A C 比较大,但试
验呈阳性的人确患癌症的可能性还是不大.
练习:
数字通讯过程中,信源发射0、1两种状态信号,其中发 0的概率为0.55,发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰,在 发0的时候,接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和 “不清”。在发1的时候,接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收 为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发 的是0的概率是多少?
概率,是P Ak 的修正值,称为后验概率.
3) 贝叶斯公式适用于试验之后,求解导致某
事件发生的各种原因的概率.
例.某射击小组共有20名射手,其中一级射手 4人,二级射手8人,三级射手7人,四级射手1人.
一,二,三,四级射手能通过选拔进入比赛的
概率分别是0.9,0.7,0.5,0.2.现从该射击小组 任选一人,若此人已通过选拔进入比赛, 问:此人是一级射手的概率等于多少?
A1 B
P A1B PB
P A1 PB

概率论与数理统计第1.3节条件概率及独立性

概率论与数理统计第1.3节条件概率及独立性

练习 一个家庭中有若干个小孩,假定生
男生女是等可能的,令
A =“一个家庭中有男孩又有女孩”
B =“一个家庭最多有一个女孩”
(1)家庭中有两个小孩, (2)家庭中有三个小孩。
对上述2种情况,讨论事件
A, B 的独立性。
(1) {( B, B),( B, G),(G, B),(G, G)}
(2) {( B, B, B),( B, B, G),( B, G, B),(G, B, B), (G, G, B),(G, B, G),( B, G, G),(G, G, G)}
今任选一个袋子然后再从选到的袋子中任取一个球问取到红球的概率为多上述分析的实质是把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件再将概率的加法公式和乘法定理结合起来这就产生了全概率公式
课堂练习: 化简事件
( AB
AC
C ) AC
解 原式 AB C
AC ABC AC
( A B)C
AC BC AC
P ( AB ) 1 6 P( A | B) 3 P( B) 3 6 2)从加入条件后改变了的情况去算
1
掷骰子
1 P(A|B)= 3
B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数 在缩减样本空间 中A所含样本点 个数
问题 : 分别考虑
P ( A)与P A B 哪个大?
A B, B A, AB
条件概率是概率(P30)
首先,不难验证条三条公理:
(1) 非负性 P( A | B) 0 (2) 正规性 P( | B) 1
(3) 完全可加性 若A1, A2 ,, An ,两两互斥, P( B) 0, 则
由此得
P( An | B) P( An | B)

概率论与数理统计李小明版 第一章

概率论与数理统计李小明版 第一章
P( B) 0.005, P( B ) 0.995 , P( A | B) 0.95, P( A | B ) 0.04 。
求 P(B|A)。
由贝叶斯公式,得
P( B) P( A | B) P( B | A) , P( B) P( A | B) P( B ) P( A | B )
由此可以形象地把全概率公式看成是: 由原因推结果,每个原因对结果的发生有 一定的“作用”,即结果发生的可能性与 各种原因的“作用”大小有关。全概率公 式表达了因果之间的关系 。 诸Bi是原因 A是结果
实际中还有下面一类问题:已知结果求原因。
接上例,考虑如下问题: 某人从任意一箱中任意摸出一球,发现是 红球,求该球是取自1号箱的概率。 或者问:“该球取自各箱的可能性大小” 。 这一类问题在实际中常见,它所求的是 条件概率,是某结果发生条件下,求各原因 发生的可能性大小。
10 , 100 P( A2 A1 ) 90 , 99
则由乘法公式,所求的概率为
10 90 1 P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) . 100 99 11
注:换成求“第二次取得正品”的概率,又是怎样 ?
多个事件乘法公式的推广: 当 P(AB)>0 时,有 P(ABC) =P(A)P(B|A)P(C|AB) 当 P(A1A2…An-1) > 0 时,有 P (A1A2…An) = P(A1) P(A2|A1) …P(An| A1A2…An-1) .
(2). 由于5件不合格品中有3件是次品,故可得 3 P( A | B) . 5 可见,P(A) ≠P(A|B)。 虽然 P(A) 与 P(A|B) 不同,但二者之间存 在什么关系呢? 先来计算P(B)和P(AB)。

概率论与数理统计(全部公式整理)

概率论与数理统计(全部公式整理)


P(1 )

P( 2
)

P( n
)

1 n

设任一事件 A ,它是由1, 2 m 组成的,则有
P(A)=(1 ) (2 ) (m ) = P(1 ) P(2 ) P(m )

m n

A所包含的基本事件数 基本事件总数
(9)几何 概型
的事件。互斥未必对立。 ②运算:
结合率:A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率:(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)


Ai Ai
德摩根率: i1
i 1
AB AB,AB AB
(7)概率 的公理化 定义
设 为样本空间, A 为事件,对每一个事件 A 都有一个实数 P(A),若满
1° 0 F(x) 1, x ;
2° F(x) 是单调不减的函数,即 x1 x2 时,有 F(x1) F (x2) ;
3° F() lim F(x) 0, F() lim F(x) 1;
x
x
4° F(x 0) F(x) ,即 F(x) 是右连续的;
(5)基本 事件、样本 空间和事 件
(6)事件 的关系与 运算
加法原理(两种方法均能完成此事):m+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由 m 种方法完成,第二种方法可由 n 种方法来完成,则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由 m 种方法完成,第二个步骤可由 n 种方法来完成,则这件事可由 m×n 种方法来完成。

xx大学《概率论与数理统计》条件概率

xx大学《概率论与数理统计》条件概率
P (BA ) 1 P (B A )
P ( B 1 B 2 A ) P ( B 1 A ) P ( B 1 B 2 A )
3). 设B1,B2,…两两不相容,则有
PBi |A PBi |A
i1
i1
Pi 1Bi | AP(P i 1(B Ai))A
(条件概率 ) 定义
P
一般地,设A、B是中的两个事件,则
P(B| A) P(AB) P(A)
称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率
.
例如,某地发生了一个案件,怀疑对象有甲、乙、 丙三人.在不了解案情细节(事件B)前,侦破人员根据过去 的前科,对他们作案的可能性有一个估计,设为甲、 乙、 丙分别为P(A1)、 P(A2)、 P(A3),但在知道案情细 (知 道B发生后)这个估计就有了变化.比如原来认为作案可 能性较小的某甲,现在变成了重点嫌疑犯.
PA B P ( A B ) P ( A ) P ( B A )
P(A)1P(BA)
0.0810.850.012
P(AB)0.98. 8
例3 盒中装有50个产品, 其中30个一等品,20 二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求 (1)取两次,两次都取得一等品的概率; (2)取两次,第二次取得一等品的概率; (3)取三次,第三次才取得一等品的概率; (4)取两次,已知第二次取得一等品,求
(2)样本空间不同,在P(A|B)中,事件B成为样本
空间;在P(AB)中,样本空间仍为 。
因而有 P(AB)P(AB)
.
条件概率也是概率, 故具有概率的性质:
1)非负性 2)规范性
3)可列可加性
P(BA)0
P(A)1
Pi 1Bi Ai 1PBi A
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i 1 n
Bi B j , i j , i, j 0,1,2,3,4
已知P( Bi )如表中所示,且 10 C100i P( A Bi ) 10 , i 0,1,2,3,4 C100 由全概率公式与Bayes 公式可计算P( A )与
P( Bi A), i 0,1,2,3,4
i P 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1
从每批产品中不放回地取10件进行检验,若 发现有不合格产品,则认为这批产品不合格, 否则就认为这批产品合格. 求 (1) 一批产品通过检验的概率 (2) 通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率
解 设一批产品中有 i 件次品为事件Bi , i = 0,1 A 为一批产品通过检验 则 A Bi ,
已知: A B1 B2 , B1 B2
P( B1 ) 0.6, P( B2 ) 0.4
P( A B1 ) 0.2, P( A B2 ) 0.1 P( A) P( B1 ) P( A B1 ) P( B2 ) P( A B2 )
0.16 P( B1 ) P( A B1 ) 3 P( B1 A) , P( A) 4
本例中,i 较小时,P( Bi A) P( Bi )
i 较大时,P( Bi A) P( Bi )
例6 由于随机干扰, 在无线电通讯中发出信 号“ • ”, 收到信号“• ”,“不清”,“ — ” 的概率 别为0.7, 0.2, 0.1; 发出信号“ — ”,收到信号 “• ”,“不清”,“— ”的概率分别为0.0, 0.1, 0.9. 已知在发出的信号中, “ • ”和“ — ”出现的概 率分别为0.6 和 0.4 , 试分析, 当收到信号 “不清”时, 原发信号为“ • ”还是“ — ”的概 哪个大? 解 设原发信号为“ • ” 为事件 B1 原发信号为“ — ”为事件 收到信号“不清” 为事件 A
P A !). 则所求概率是 PA B(而不是
2 2 P AB P( A) C 5 / C 20
所以
PB (C C C ) / C
2 5 1 5 1 15
2 20
PA B P( AB) / P( B)
C /(C C C ) 10 / 85 0.118
例1 某厂生产的灯泡能用1000小时的概率 为0.8, 能用1500小时的概率为0.4 , 求已用 1000小时的灯泡能用到1500小时的概率 解 令 A 灯泡能用到1000小时 B 灯泡能用到1500小时 所求概率为
P( AB) P( B) 0.4 1 P B A P( A) P( A) 0.8 2
P( A 1 ) P( B A 1 ) P( A 1 ) P( B A 1 ) P( A 2 ) P( B A 2 ) P( A 3 ) P( B A 3 )
0.25 0.05 0.25 0.05 0.35 0.04 0.4 0.02
0.362
例5 每100件产品为一批, 已知每批产品中 次品数不超过4件, 每批产品中有 i 件 次品的概率为
例2 从混有5张假钞的20张百元钞票中任 意抽出2张, 将其中1张放到验钞机上检验 发现是假钞. 求2 张都是假钞的概率.
下面两种解法哪个正确? 解一 令 A 表示 “其中1张是假钞”. B表示 “2 张都是假钞” 由缩减样本空间法得
P A B 4 /19 0.2105.
解二 令 A 表示“抽到2 张都是假钞”. A B B表示“2 张中至少有1张假钞”
(2)直接解更简单
P( A2 ) 3 / 5
提问:第三次才取得一等品的概率, 是 P ( A3 A1 A2 ) 还是 P ( A1 A2 A3 ) ?
(3) P( A1 A2 A3 ) P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2
2 1 3 1 5 4 3 10
4 则 P (1) P ( A) 10 6 4 P (3) P ( AB ) 10 9
4 3 P (2) P ( ห้องสมุดไป่ตู้B ) 10 9 4 3 2 P (4) P( ABC ) 10 9 8
例 设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产 品,已知各车间的产量分别占全厂产量的25 %, 35%, 40%,而且各车间的次品率依次为 5% ,4%, 2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品,试判断它 是由甲车间生产的概率. 解 设A1 ,A2 ,A3 分别表示产品由甲、乙、丙车 间生产,B表示产品为次品. 显然,A1 ,A2 ,A3 构成完备事件组.依题意,有 P(A1)= 25% , P(A2)= 35% , P(A3)= 40%, P(B|A1)= 5% , P(B|A2)=4% , P(B|A3)= 2% P(A1|B)=
P ( A A ) P ( A ) P ( A A ) 1 2 2 1 2 (4) P A1 A2 P( A2 ) P( A2 )
1
3 10 3 5
0.5
一般地
条件概率与无条件概率 之间的大小无确定关系 若 B A
P( AB) P( B) P B A P( B) P( A) P( A)
A=“从甲箱中取出白球”,

例8
已知在所有男子中有5%,在所有女子中有 0.25%患有色盲症。随机抽一人发现患色盲症, 问其为男子的概率是多少?(设男子和女子的人 数相等)。
3 2 3 (1) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) 5 4 10
解 令 Ai 为第 i 次取到一等品
(2)P( A2 ) P( A1 A2 A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 )
2 3 3 2 3 5 4 5 4 5
条件概率
无条件概率
甲,乙,丙3人参加面试抽签,每人的试题通过
不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题签中有4
个是难题签,按甲先,乙次,丙最后的次序抽签。试求
1)甲抽到难题签,2)甲和乙都抽到难题签,3)甲没
抽到难题签而乙抽到难题签,4)甲,乙,丙都抽到难
题签的概率。
解 设A,B,C分别表示“甲、乙、丙抽到难签”
B A
某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7,活 到25岁的概率为0.56,求现年为20岁的这种动 物活到25岁的概率。 解 设A表示“活到20岁”,B表示“活到25岁”

P( A) 0.7, P( B) 0.56
P( AB) P( B) 0.8 所求概率为 P( B A) P( A) P( A)
结果如下表所示
i 0 1 2 3 4
P( Bi )
0.1
1.0
4
0.2
0.9
0.4
0.2
0.1
P( A Bi ) P( Bi A)
i 0
0.809 0.727 0.652
0.123 0.221 0.397 0.179 0.080
P( A) P( Bi )P( A Bi ) 0.814
乘法法则
P ( AB ) P ( A) P ( B A) P( B) P( A B)
推广
P( AB) P( B A) P( A) P( AB) P( A B) P( B)
P( ABC) P( A)P(B A) P(C | AB)
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 ( A1 A2 )) P( An ( A1 A2 An 1 ))
P( B2 ) P( A B2 ) 1 P( B2 A) P( A) 4
可见, 当收到信号“不清”时, 原发信号为 “ • ”的可能性大
例7 甲箱中有3个白球,2个黑球,乙箱中有1个白
球,3个黑球。现从甲箱中任取一球放入乙箱 中,再从乙箱任意取出一球。问从乙箱中取 出白球的概率是多少? 解 设B=“从乙箱中取出白球”,
2 5 2 20 1 5 1 15
例3 盒中装有5个产品, 其中3个一等品,2个 二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求 (1)取两次,两次都取得一等品的概率; (2)取两次,第二次取得一等品的概率; (3)取三次,第三次才取得一等品的概率; (4)取两次,已知第二次取得一等品,求 第一次取得的是二等品的概率.
概率 P(A|B)与P(AB)的区别与联系
联系:事件A,B都发生了
区别: (1)在P(A|B)中,事件A,B发生有时间上的差异,
B先A后;在P(AB)中,事件A,B同时发生。
(2)样本空间不同,在P(A|B)中,事件B成为样本
空间;在P(AB)中,样本空间仍为
因而有

P( A B) P( AB)
P( Bi ) P( A Bi ) P( Bi A) , i 0,1,2,3,4 P( A)
称 P( Bi ) 为先验概率,它是由以往的经验 得到的,它是事件 A 的原因 称 P( Bi A) i 0,1,2,3,4 为后验概率,它是
得到了信息 — A 发生, 再对导致 A 发生的 原因发生的可能性大小重新加以修正
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