概率论与数理统计第11讲

合集下载

《概率论与数理统计》高教版PPT

P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
30 July 2013
华东师范大学
第一章随机事件与概率
第35页
注意
• 抛一枚硬币三次抛三枚硬币一次
• Ω1={(正正正), (反正正), (正反正), (正正反),
(正反反), (反正反), (反反正), (反反反)}
此样本空间中的样本点等可能. • Ω2={(三正), (二正一反), (二反一正), (三反)} 此样本空间中的样本点不等可能.
第一章随机事件与概率
第30页
注意
求排列、组合时，要掌握和注意：加法原则、乘法原则.
30 July 2013
华东师范大学
第一章随机事件与概率
第31页
加法原理
完成某件事情有 n 类途径，在第一类途径中有m1种方法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种不同的方法.
事件运算的图示
AB
AB
AB
30 July 2013
华东师范大学
第一章随机事件与概率
第16页
德莫根公式
A B A B;
A B A B
A A;
i 1 i i 1 i
n
n
A A
i 1 i i 1
n
n
i
30 July 2013
华东师范大学
第一章随机事件与概率
六根草，头两两相接、尾两两相接。求成环的概率.
解：用乘法原则直接计算
所求概率为
6 4 4 2 2 1 8 6 5 4 3 2 1 15

概率论与数理统计教程-第五版-课件

先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果
会出现.
2021/3/10
讲解：XX
6
三、样本空间样本点
定义随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件，随机试验的所有可能的结果的全体称为样本空间，用或S表示。则中的点就是基本事件，也称作样本点，常用w表示。
2021/3/10
则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记
作 A.
2021/3/10
讲解：XX
16
事件间的运算规律
设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律 A B B A, AB BA. ( AB)C A(BC).
(2) 结合律 ( A B) C A (B C),
(3) 分配律
讲解：XX
2
第一章事件与概率
2021/3/10
讲解：XX
3
1.1 随机事件和样本空间
一、随机现象二、随机试验三、样本空间样本点四、随机事件的概念五、随机事件的关系
2021/3/10
讲解：XX
4
一、随机试验
1.必然现象（确定） 2.偶然现象（不确定）随机
说明：
1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.
2021/3/10
讲解：XX
5
二、随机试验
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验.
1. 可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事

概率论与数理统计第11讲

2
§3.1 多维随机变量及其分布
3
一, 二维随机变量定义1 设随机试验的样本空间为S, e∈S为样本点, 而 X=X(e), Y=Y(e) 是定义在S上的两个随机变量, 称(X,Y)为定义在S上的二维随机变量或二维随机向量. 注: 一般地, 称n个随机变量的整体 X=(X1,X2,…,Xn)为n维随机变量或n维随机向量.
18
于是(X,Leabharlann )的分布律为Y 1 2 3 4 X 1 1/4 0 0 0 2 1/8 1/8 0 0 3 1/12 1/12 1/12 0 4 1/16 1/16 1/16 1/16
19
例2 把一枚均匀硬币抛掷三次, 设X为三次抛掷中正面出现的次数, 而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值, 求 (X,Y)的概率分布及(X,Y)关于X,Y的边缘分布. 解 (X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3) P{X=0,Y=3}=(1/2)3=1/8, P{X=1,Y=1}=3(1/2)3=3/8, P{X=2,Y=1}=3/8, P{X=3,Y=3}=1/8
j
p = P{ = Y y = j j}
j ∑ p ,=
ij i
1, 2, (1.8)
分别称pi•(i=1,2,…)和p•j(j=1,2,…)为(X,Y) 关于X和Y的边缘概率分布. 注: pi•和p•j分别等于联合概率分布表的行和与列和.
17
例1 设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值, 另一个随机变量Y在 1~X中等可能地取一整数值, 试求(X,Y)的分布律. 解由乘法公式容易求得(X,Y)的分布律, 易知{X=i,Y=j}的取值情况是:i=1,2,3,4, j 取不大于i的正整数, 且 P{ X = i, Y = j= } P{Y = j| X = i}P{ X = i} 11 = = , i 1, 2,3, 4, j ≤ i. i 4

概率论与数理统计完整ppt课件

化学
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布，如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概率论中，分别定义了X_1的边缘分布、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据的数据集合，样本是总体的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况，如均值、中位数、标准差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的未知参数，如均值、方差等。
点估计
用样本统计量作为总体参数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计区间，表示对总体的参数有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的

概率论数理统计课件第11讲期望

2 , 0 y 1 f y ( y ) 1 y 2 0, 其它 1 2 2 E (Y ) y dy 0 1 y2
1 , f ( x) 0,

0
法二依题意X的概率密度为
0 x 其它
E (Y ) sin x
a

甲仪器测量结果

a
乙仪器测量结果
较好
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近。
又如，甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：

中心

中心
乙较好
甲炮射击结果
乙炮射击结果
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近。
如果分别用随机变量X1，X2表示甲、乙品牌手表日走时误差，则X1，X2的分布律为：
X1 -2 -1 0 1 2 X2 P -2 -1 0 1 2
P 0.03 0.07 0.8 0.07 0.03
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
可以算得两种手表平均日走时误差即数学期望分别为E(X1)=0， E(X2)=0 问：能否断定两种手表质量一样好？衡量办法：求偏离程度的平均值
例5：设随机变量X和Y相互独立，概率密度分别为 4e 4 x , x 0, 2e 2 y , y 0, f X ( x) fY ( y ) 其他, 其他. 0, 0,
求 E(XY)。解：因 G(X,Y)=XY, X 和Y 相互独立。
所以，
E[ g ( X , Y )]
i j
有E ( X Y ) ( xi y j ) pij
i j
xi pij y j pij

概率论与数理统计第11讲二项概率公式

泊松(Siméon-Denis Poisson 1781～1840) 是法国数学家、几何学家和物理学家. 泊松定理于1837年由泊松引入的.
二项概率的泊松逼近定理
在实际计算中, 当n ≥10, p ≤0.1时,可用近似
ห้องสมุดไป่ตู้
公式
Pn (k ) Cnk pk (1 p)nk
k e.
k!
其中 λ=np, k=0,1, …n.
二项概率公式
求证证明
Pn (k) Cnk pk qnk
设Bk=“n次试验成功A恰好发生k次”, Ai =“第i次试验成功”,Ai =“第i次试验失败”，
则 Bk A1A2 Ak Ak1 An
A1 A2 Ak1 Ak Ak1 Ak2 An
A1 A2 Ank Ank1 An.
二项概率公式
P(A)
5 k 0
P1000 (k )
5 k 0
5k e-5 k!
1 5k e-5 k6 k !
查表
= 1 0.38404 0.61596.
例3 一个工厂某产品的废品率为0.005，任取
1000件，求（1）不超过5件废品的概率，
（2）其中至少有两件废品的概率.
解 n=1000, p=0.005 , np=5
解(续) 设A=“至少命中两次”
P50 (k) C5k0 (0.08)k (0.92)50k , k 0,,50.
n = 50, p = 0.08, = 500.08 = 4.
所求概率为
P(A)
查poisson 分布表
50 k 2
50
C5k00.08k (0.92)50k
4k
e4
k 2

概率论与数理统计第11讲二项概率公式

概率论与数理统计第11讲二项概率公式概率论与数理统计是一门研究随机现象的规律性和不确定性的数学学科。

在概率论与数理统计的学习中，二项概率公式是一个非常重要的内容。

本文将详细介绍二项概率公式的定义、应用以及相关的例题。

一、二项概率公式的定义二项概率公式是描述在n次独立重复试验中，成功的次数X服从二项分布的概率公式。

假设每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p，则在n次试验中，成功的次数X服从二项分布B(n,p)。

二项概率公式的表达式为：P(X=k)=C(n,k)*p^k*q^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，p^k表示成功概率p连续发生k次，q^(n-k)表示失败概率q连续发生n-k次。

二、二项概率公式的应用二项概率公式可以应用于很多实际问题的概率计算。

以下是几个常见的应用场景：1. 投硬币问题：假设有一枚公正的硬币，投掷10次，成功定义为正面朝上，失败定义为反面朝上。

求在10次投掷中正面朝上的次数为5的概率。

根据二项概率公式，可以得到：P(X=5)=C(10,5)*0.5^5*0.5^5=0.24612. 生产线问题：某工厂生产的产品中有10%的次品率。

从该工厂生产的产品中随机抽取20个，求其中有3个次品的概率。

根据二项概率公式，可以得到：P(X=3)=C(20,3)*0.1^3*0.9^17=0.30833. 游戏问题：某游戏中有一个抽奖系统，每次抽奖的中奖概率为0.02。

玩家连续抽奖100次，求中奖次数为2的概率。

根据二项概率公式，可以得到：P(X=2)=C(100,2)*0.02^2*0.98^98=0.2707三、二项概率公式的例题1. 掷一枚骰子10次，求得到6点的次数为3的概率。

根据二项概率公式，可以得到：P(X=3)=C(10,3)*(1/6)^3*(5/6)^72. 一批产品中有10%次品率，从中随机抽取40个，求其中有4个次品的概率。

根据二项概率公式，可以得到：P(X=4)=C(40,4)*(0.1)^4*(0.9)^363. 有一个有10个球的盒子，其中有4个红球和6个蓝球。

概率论与数理统计泊松分布

练习1
设随机变量 X 服从参数为λ的Poisson分布，且已知
PX 1 PX 2 试求 PX 4．
练习1解答
设随机变量 X 服从参数为λ的Poisson分布，且已知
PX 1 PX 2 试求 PX 4．
解：随机变量 X 的分布律为
PX k k e k 0， 1， 2，
进行600次射击可看作是一个600重Bernoulli试验.
X：600次射击命中目标的次数．
则 X ~ B600， 0.012．
用 Poisson分布近似计算，
取 600 0.012 7.2．
练习3解答（续）
所以，
PB PX 3 1 PX 3
1 PX 0 PX 1 PX 2
P{X N} 0.01.
P{X N} 0.01.
用泊松分布近似计算二项分布
P{X N} N 3k e3 0.99. k0 k!
查表可知，满足上式的最小的 N 是 8 , 因此至少需配备 8 个工人。
泊松分布的分布律（PDF）
二项分布的分布律（PDF）
泊松分布的CDF 二项分布的CDF
• Poisson分布是概率论中重要的分布之一．
• 自然界及工程技术中的许多随机指标都服从 Poisson分布．
• 例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从Poisson分布的．
k e 0
k!
⑵ 又由幂级数的展开式，可知
所以
k e e k e e 1

概率论与数理统计ppt课件(完整版)

27
( 1)
n 1
例4. 设P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 用p, q, r表示下列事件的概率:
(1) P ( A B ); (2) P ( A B); (3) P ( A B); (4)P( A B ).
28
§5. 条件概率
(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概率问题.
概率论与数理统计
第一章概率论的基本概念前言
1. 确定性现象和不确定性现象.
2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出不确定性, 在大量重复试验中其结果又具有统计规律性. 3. 概率与数理统计的广泛应用.
2
§1.随机试验
我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验称为试验。
举例:
E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面的情况.
B A 类似地, 事件 S 为可列个事件A1, A2, ...的积事件.
k 1 K
(2) A B A B
S
(3)A B
9
4.差事件:
事件A-B={x|xA且xB} 称为A与B的差. 当且仅当 A发生, B不发生时事件A-B发生. 即:
A - B A AB
显然: A-A=, A- =A, A-S=
(一) 频率 1. 在相同的条件下, 共进行了n次试验,事件A发生的次数nA, 称为A的频数, nA/n称为事件A发生的频率, 记为 fn(A).
2. 频率的基本性质： (1) 0 f（ 1；（非负性） n A） (2) f n ( S ) 1; （规范性）（3）若A1，A 2， , Ak 两两互不相容 ,则 f n ( A1 A2 Ak ) f n ( A1 ) f n ( A2 ) f n ( Ak ).(有限可加性）

同济大学《概率论与数理统计》PPT课件

随机事件 D=“出现的点数超过 6”= ，即一定不会发生的不可能事件。
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
四、随机事件之间的关系与运算
第1章随机事件与概率 10
（1）事件的包含
若事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生, 则称事件A 包含在事件 B 中. 记作 A B .
BA
A B
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
3
某快餐店一天内接到的订单量；
4
航班起飞延误的时间；
5
一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
第1章随机事件与概率 6
一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为
全体样本点的集合称为样本空间, 记为 , 也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成
的集合, 集合中的元素就是样本点. 样本空间可以是有限集, 可数集, 一个区间（或若干区间的并集）.
01 在相同的条件下试验可以重复进行;
OPTION
02 每次试验的结果不止一个, 但是试验之前可以明确;
OPTION
03 每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.
OPTION
一、随机试验
例1
随机试验的例子
第1章随机事件与概率 5
1 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；
2
抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；
（互斥）.
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
2、随机事件之间的运算
第1章随机事件与概率 12
（1）事件的并
事件 A 或 B至少有一个发生时, 称事件 A 与事件B 的并事件发生, 记为 A U B .
（2）事件的交（积）

T218概率论与数理统计复习资料ch1-11大数定律及中心极限定理

或
~ n np
近似地
N (0,1)
np(1 p
B(16,0.36)和N(5.76,3.6864)的对比：
0.25
b(16,0.36)和 N(5.76,3.6864)
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
B(25,0.36)和N(9,5.76)的对比：
B(300,0.25)和N(75,56.25)的对比：
P{a n b}
(b np ) (a np )
(120 120) (100 120)
npq
npq
48
48
(0) (2.887) 0.5 1 0.9981 0.4981
(2) 设至少要供给这个车间 r 千瓦电才能以99.9%的概
率保证这个车间正常生产。由题意有 P{ X r} 0.999
t2
e 2 dt
2
（以下的注解是拉普拉斯定理的实质，要领会）
定理表明：正态分布是二项分布的极限分布，即：
若 n ~ B(n, p) 当n很大，0<p<1是一个定值时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变量 n
的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)).也就是:
近似地
n ~ N (np, np(1 p))
n
定理条件，随即变量之和 X k，当n很大时，就近 k 1
似服从正态分布，这就是为什么正态分布在概率论
中所占的重要地位的一个基本原因.
德莫佛-拉普拉斯定理
ห้องสมุดไป่ตู้
(De Moivre--Laplace)

概率论与数理统计泊松分布

k！k e
Poisson定理的应用
由 Poisson 定理，可知
若随机变量 X ~ Bn， p，
则当n比较大，p比较小时，
令：
np
则有 PX k Cnk pk 1 p nk
k e
k!
练习3
设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击600次，求至少命中3次目标的概率（用Poisson分布近似计算）．
解：按第一种方法. 以 X 记 “第 1 人负责的 20 台
中同一时刻发生故障的台数”，则 X ~ b (20，0.01）.
以 Ai 表示事件 “第 i 人负责的台中发生故障不能及时维修”，则 80 台中发生故障而不能及时维修的概
率为：
P(A1 A2 A3 A4 ) P(A1) P{X 2}.
k 1
k
1, k 1, k 1, k
如果是整数，则 k 或 1时，
P(X k)达到最大；
如果若不是整数，则 k 时，
P(X k)达到最大；
练习4
为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人，现有同类型设备 300 台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是 0.01. 在通常情况下，一台设备的故障可有一人来处理. 问至少需配备多少工人，才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于 0.01 ？
n
nk
lim 1
n
n
n
nk n
n
n n
n n
Poisson定理的证明(续2)
所以，
lim
n
Cnk
pnk
1 pn
nk
lim
k n
1
1
1
2
1

《概率论与数理统计》课后习题答案

习题1.1解答1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。

试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。

解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）}{=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）}{=C (正，正)，（正，反），（反，正）}2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。

试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。

解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ；{})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ；Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ；{})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。

试用C B A ,,表示以下事件：（1）只订阅日报；（2）只订日报和晚报；（3）只订一种报；（4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报；（6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报；（8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。

解：（1）C B A ；（2）C AB ；（3）C B A C B A C B A ++；（4）BC A C B A C AB ++;（5）C B A ++；（6）C B A ；（7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++（8）ABC ；（9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。

北京理工大学《概率论与数理统计》课件-第11章

区间估计的基本概念前面介绍了参数的点估计，讨论了估计量的优良性准则，给出了寻求估计量最常用的矩估计法和最大似然估计法.参数的点估计是用一个确定的值去估计未知参数，看似精确，实际上把握不大，没有给出误差范围，为了使估计的结论更可信，需要引入区间估计.Neyman(1894–1981)引例在估计湖中鱼数的问题中，若根据一个实际样本，得到鱼数N的最大似然估计为1000条.实际上，N的真值可能大于1000，也可能小于1000.为此，希望确定一个区间来估计参数真值并且满足：1.能以比较高的可靠程度相信它包含参数真值.“可靠程度”是用概率来度量的.2.区间估计的精度要高.可靠度：越大越好估计你的年龄八成在21－28岁之间区间：越小越好被估参数可靠度范围、区间一、置信区间的定义（Confidence Interval ）对于任意θ∈Θ，满足设总体X 的分布函数F (x ,θ)含有一个未知参数θ，θ∈Θ,对于给定常数α(0<α<1)，若由抽自X 的样本X 1,X 2,…,X n 确定两个统计量112212ˆˆ{(,,,)(,,,)}1n n P X X X X X X θθθα<<≥-112ˆ(,,,)nX X X θ212ˆ(,,,)nX X X θ和则称随机区间是θ的置信水平为1−α的置信区间.12ˆˆ(,)θθ和分别称为置信下限和置信上限.1ˆθ2ˆθ（1）当X 连续时，对于给定的α，可以求出置信区间满足此时，找区间使得至少为1−α，且尽可能接近1−α.12ˆˆ(,)θθ112212ˆˆ{(,,,)(,,,)}1nnP X X X X X X θθθα<<=-12ˆˆ(,)θθ112212ˆˆ{(,,,)(,,,)}1n n P X X X X X X θθθα<<=-12ˆˆ()P θθθ<<（2）当X 离散时，对于给定的α，常常找不到区间满足12ˆˆ(,)θθ说明：（2）估计的精度要尽可能高. 如要求区间长度尽可能短，或者能体现该要求的其他准则.（1）要求θ以很大的可能被包含在区间内，即概率尽可能的大.可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度.12ˆˆ()P θθθ<<12ˆˆ(,)θθ21ˆˆθθ-（3）对于样本(X 1,X 2,…,X n )112212ˆˆ((,,,),(,,,))n n X X X X X X θθ以1−α的概率保证其包含未知参数的真值.随机区间112212ˆˆ{(,,,)(,,,)}1n n P X X X X X X θθθα<<=-即有：（4）对于样本观测值(x 1,x 2,…,x n )可以理解为：该常数区间包含未知参数真值的可信程度为1−α.112212ˆˆ((,,,),(,,,))n n x x x x x x θθ常数区间只有两个结果，包含θ和不包含θ.此时，不能说：112212ˆˆ{(,,,)(,,,)}1n n P x x x x x x θθθα<<=-没有随机变量，自然不能谈概率如：取1−α=0.95.若反复抽样100次，样本观测值为112212ˆˆ{(,,,)(,,,)}1n n P X X X X X X θθθα<<=-1121ˆˆ((,,),(,,))i i i in n x x x x θθ于是在100个常数区间中，包含参数真值的区间大约为95个，不包含真值的区间大约为5个.12,,,ii i nx x x1,2,,100i =对应的常数区间为1,2,,100i =对一个具体的区间而言，它可能包含θ，也可能不包含θ，包含θ的可信度为95%.1121ˆˆ((,,),(,,))i i i i nnx x x x θθ二、构造置信区间的方法枢轴量法1.寻求一个样本X 1,X 2,…,X n 和θ的函数W =W (X 1,X 2,…,X n ;θ)，使得W 的分布不依赖于θ和其他未知参数，称具有这种性质的函数W 为枢轴量（Pivotal quantity ）.3.若由不等式a <W (X 1,X 2,…,X n ;θ)<b 得到与之等价的θ的不等式2.对于给定的置信水平1−α，定出两个常数a 和b ，使得P {a <W (X 1,X 2,…,X n ;θ)<b }=1−α112212ˆˆ(,,,)(,,,)n n X X X X X X θθθ<<即有P {a <W (X 1, X 2,…, X n ;θ)<b }关键：1.枢轴量W (X 1, X 2,…, X n ;θ)的构造2.两个常数a ,b 的确定一般从θ的一个良好的点估计出发构造，比如MLE因此，是θ的一个置信水平为1−α的置信区间.112212ˆˆ{(,,,)(,,,)}1n n P X X X X X X θθθα=<<=-12ˆˆ(,)θθf (w )ababab1−α1−α1−α希望置信区间长度尽可能短.对于任意两个数a 和b ，只要使得f (w )下方的面积为1−α，就能确定一个1−α的置信区间.f(w)abab ab1−α1−α1−α当W 的密度函数单峰且对称时，如：N (0,1),t 分布等，当a =−b 时求得的置信区间的长度最短.如：b =z α/2或t α/2(n )当W 的密度函数不对称时，如χ2分布，F 分布，习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的置信区间.χ21−αα/2α/222()n αχ21-2()n αχ单个正态总体参数的区间估计一、单个正态总体的情形X 1, X 2,…, X n 为来自正态总体N (μ,σ2)的样本，置信水平1−α.样本均值样本方差11nii X X n ==∑2211()1nii S X X n ==--∑0-4-3-2-1012340.050.10.150.20.250.30.350.4是枢轴量W 是样本和待估参数的函数，其分布为N (0,1)，完全已知由于是μ的MLE ，且是无偏估计，由抽样分布定理知X ~(0,1)X W N nμσ-=1.均值μ的置信区间（方差σ2已知情形）单峰对称-4-3-2-1012340.050.10.150.20.250.30.350.4即等价变形为选择两个常数b =−a =z α/222{}1X P z z nααμασ--<<=-22{}1P X z X z nnαασσμα-<<+=-1−αα/2α/2z α/2−z α/2简记为因此，参数μ的一个置信水平为1−α的置信区间为22(,)X z X z nnαασσ-+2()X z nασ±置信区间的长度为22n l z nασ=说明：2.置信区间的中心是样本均值；4.样本容量n 越大，置信区间越短，精度越高；1.l n 越小，置信区间提供的信息越精确；5.σ越大，则l n 越大，精度越低.因为方差越大，随机影响越大，精度越低.3.置信水平1−α越大，则z α/2越大.因此，置信区间长度越长，精度越低；22n l z nασ=22(,)X z X z nnαασσ-+2.均值μ的置信区间（方差σ2未知情形）想法：用样本标准差S 代替总体标准差σ.是枢轴量包含了未知未知参数σ，~(0,1)X W N nμσ-=此时，因此不能作为枢轴量.~(1)X T t n Snμ-=-由抽样分布理论知：使即枢轴量~(1)X T t n Snμ-=-22((1)(1))1X P t n t n Snααμα---<<-=-22{(1)(1)}1P t n T t n ααα--<<-=-选择两个常数b =−a =t α/2 (n -1)等价于因此，方差σ2未知情形下均值μ的一个置信水平为1−α的置信区间为22{(1)(1)}1S S P X t n X t n nnααμα--<<+-=-22((1),(1))X t n X t n nnαα--+-例1.现从中一大批糖果中随机取16袋，称得重量（以克记）如下：506508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496设每袋糖果的重量近似服从正态分布. 试求总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间.解：这是单总体方差未知，总体均值的区间估计问题.均值μ的置信水平1−α的置信区间为22((1),(1))x t n x t n nnαα--+-根据给出的数据，算得这里10.95,16n α-==/20.025(1)(15) 2.1315t n t α-==503.75, 6.2022x s ==因此，μ的一个置信水平为0.95的置信区间为6.20226.2022(503.75 2.1315,503.75 2.1315)1616(500.4,507.1)-⨯+⨯=此区间包含μ的真值的可信度为95%.22((1),(1))x t n x t n nnαα--+-3.方差σ2的置信区间（均值μ未知）σ2的常用点估计为S 2，且是无偏估计。

概率论与数理统计ppt课件

注：P( A) 0不能 A ； P( B) 1不能 B S .
2。 A1 , A2 ,...,An , Ai Aj , i j, P( P(
n n i 1
Ai ) P( Ai )
i 1
n
证：令 Ank (k 1, 2,...), Ai Aj , i j, i, j 1, 2,....
•
5.1 大数定律 5.2 中心极限定理
•
第六章数理统计的基本概念
• • 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
4
第七章参数估计
• • • 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计
第八章假设检验
• • • • • • • 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 假设检验正态总体均值的假设检验正态总体方差的假设检验置信区间与假设检验之间的关系样本容量的选取分布拟合检验秩和检验
A B 2 A＝B B A
B A
S
例：记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A
记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车} B
A
一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}
BA
13

事件的运算
A与B的和事件，记为 A B
8
§1 随机试验
确定性现象
自然界与社会Βιβλιοθήκη 活中的两类现象不确定性现象
确定性现象：结果确定不确定性现象：结果不确定

例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定 ——不确定明天天气状况 ——不确定买了彩票会中奖

魏宗舒版《概率论与数理统计教程》第三版_课后习题

三、回归方程和回归系数的显著性检验
1 . 回归方程的显著性检验
检验多元线性回归方程是否显著，就是检验y与x1，x2，…，xp，中的某些自变量之间是否有较密切的线性关系。检验假设为
H0:β1=β2=…=βp=0
SR为回归平方和 S R ( yˆi y)2
i
Se为剩余平方和 Se ( yi yˆi ) 2
有效的回归方程。就要检验xj对y的影响是否显著。统计假设为
H0 j : βj=0，1≤j≤p
当假设H0成立时，统计量
Fj

Se
b2j /(n
/ c jj p 1)
服从自由度(1, n-p-1)的F的分布。
若Fj＞F，则拒绝假设H0，认为xj是重要的，应保留在回归方程中；若Fj≤F ，则认为变量xj可以从回归方程中剔除。
不难证明，当一元线性回归的基本假定成立时，统计量
t
y0 yˆ0
~ t(n 2)
S 1 1 (x0 x )2
n
S xx
其中，S Se /(n 2) 为σ的估计。
因此，得到的置信度为1-α的预报区间为

yˆ 0

t
2
S
1
1 n

(x0 x)2 S xx

实际上，对任何一组数据都可以用上述方法配一条直线。因此，必须判断y与x 是否真的存在线性相关关系。
二、回归问题的统计检验
欲检验假设 H0: β1= 0
总平方和 Syy ( yi y)2
回归平方和 SR i ( yˆi y)2 b1Sxy
i
剩余平方和 Se ( yi yˆi )2

概率论与数理统计(最新完整版)ppt课件

(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
.
(2) 试验的所有可能结果:
正面，反面; (3) 进行一次试验之前不能
确定哪一个结果会出现.
故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验
1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
2.“从一批产品中,依次任选三件, 记录出现正品与次品的件数”.
.
3. 记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.
(3)分配律
A(BC)(A B)(AC)AB AC ,
A (BC)AB AC
( A B ) C ( A C ) ( B C ) ( A C ) B C ( )
(对 4律 ):偶 A B A B ,A B A B .
n
n
Ai Ai,
i1
i1
.
n
n
Ai Ai
i1
i1
三完备事件组
4. 考察某地区 10 月份的平均气温.
5. 从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.
.
四、概率的统计定义
１、随机事件：在试验的结果中，可能发生、也可能不发生的事件。比如，抛硬币试验中，”徽花向上”是随机事件；掷一枚骰子中，”出现奇数点”是一个随机事件等。
２、频率：设A为实验E中的一个随机事件，将E重复n次， A发生m次，称f(A)=m/n为事件A的频率．随着实验次数n的增加，频率将处于稳定状态．比如投硬币实验，频率将稳定在1/2附近．
B A
.
6. 事件的互逆（对立）
若事件 A 、B 满足 A B 且 A B .
则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记作 A .
实例 “骰子出现1点”对立 “骰子不出现1点”

《概率论与数理统计》(韩旭里)课后习题答案

《概率论与数理统计》(韩旭里)课后习题答案概率论与数理统计习题及答案习题一1．略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）ABC （2）ABC （3）ABC（4）A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC (5) ABC=A B C (6) ABC1(7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1P（AB）=1[P(A)P(A B)]=1[0.70.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC) =11114+4+312=347.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】p=C533213C13C13C13/C13528.对一个五人学习小组考虑生日问题：（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；2（3）求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1）设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故P（A1）=115 =（）（亦可用独立性求解，下同）757（2）设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故6565P（A2）=5=() 77(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}P（A3）=1P(A1)=1(15) 79.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n<N）.试求其中恰有m件（m≤M）正品（记为A）的概率.如果：（1）n件是同时取出的；（2）n件是无放回逐件取出的；（3）n件是有放回逐件取出的.n mn【解】（1）P（A）=CmMCN M/CNn(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有PN种，n次抽取中有m次为正品的组合数为Cmn种.对于固定的一种正品与次品的抽取mn m次序，从M件正品中取m件的排列数有PM种，从N M件次品中取n m件的排列数为PN M种，故mn mCmnPMPN MP（A）= nPN由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成3n mCmMCN MP（A）= nCN可以看出，用第二种方法简便得多.（3）由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n次抽取中有m次为正品的组合数为Cmn种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，n m次取得次品，每次都有N M种取法，共有（N M）n m种取法，故mn mn P(A)CmM(N M)/Nn此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为M，则取得m件正品的概率为Nmn m M M P(A)C1N N mn11.略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设A={发生一个部件强度太弱}10C3/C50 1 196013.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.【解】设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥.1C2184C3P(A2)3,C735C344P(A3)3 C7354故P(A2A3)P(A2)P(A3)223514.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1）两粒都发芽的概率；（2）至少有一粒发芽的概率；（3）恰有一粒发芽的概率.【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2）(1) P(A1A2)P(A1)P(A2)0.70.80.56(2) P(A1A2)0.70.80.70.80.94 (3) P(A1A2A1A2)0.80.30.20.70.38 15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1）问正好在第6次停止的概率；（2）问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1）p2121315C111314()()1C5(2)(2)232 (2) p25/32 2516.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则P(3i0A212iBi3)(0.3)3(0.4)3C130.7(0.3)C30.6(0.4)C2223(0.7)0.3C3(0.6)20.4+(0.7)3(0.6)3=0.32076517．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率. 【解】p1C411115C2CC2C2213C4102118.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1）在下雨条件下下雪的概率；（2）这天下雨或下雪的概率.【解】设A={下雨}，B={下雪}.（1）p(BA)P(AB)0.50.2（2）p(A B)P(A)P(B)P(AB)0.30.50.10.719.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故P(BA)P(AB)6/8P(A)7/8 67或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.P(BA) 6720.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式P(AB)P(AB)P(A)P(BA)P(B)P(A)P(BA)P(A)P(BA)60.50.050.50.050.50.0025202121.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图题22图【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x y|>30.如图阴影部分所示.302P 1602 422.从（0，1）中随机地取两个数，求：76的概率；51（2）两个数之积小于的概率. 4（1）两个数之和小于【解】设两数为x,y，则0<x,y<1.（1）x+y<6. 514417 p110.68 1251(2) xy=<. 4p21111dxdy11ln2 4x442123.设P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求P（B｜A∪B）【解】P(BA B)P(AB)PA()PAB() P(A B)P(A)P(B)P(AB)0.70.51 0.70.60.5424.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有8P(B)P(BAi)P(Ai)i032321C3C3C1C8C9C6C3C3C3699C67960.08933333333C15C15C15C15C15C15C15C1525. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则A={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P （A）=0.8，P（A）=0.2，又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（B|A）=0.9，故由贝叶斯公式知P(A)P(BA)P(AB)（1）P(AB)P(B)P(A)P(BA)P(A)P(BA)0.20.110.02702 0.80.90.20.137即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%P(A)P(BA)P(AB)(2) P(AB)P(B)P(A)P(BA)P(A)P(BA)0.80.140.3077 0.80.10.20.913即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.926. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？【解】设A={原发信息是A}，则={原发信息是B}C={收到信息是A}，则={收到信息是B}由贝叶斯公式，得P(AC)P(A)P(CA)P(A)P(CA)P(A)P(CA) 2/30.980.99492 2/30.981/30.0127.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）【解】设Ai={箱中原有i个白球}（i=0,1,2），由题设条件知P（Ai）=1,i=0,1,2.又设B={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知3P(A1B)P(BA1)P(A1)P(A1B) 2P(B)P(BAi)P(Ai)i02/31/31 1/31/32/31/311/3328.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得10P(AB)P(A)P(BA)P(AB) P(B)P(A)P(BA)P(A)P(BA)0.960.980.998 0.960.980.040.05 29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年设A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一般的”}，C={该客户是“冒失的”}，D={该客户在一年内出了事故}则由贝叶斯公式得P(A|D)P(AD)P(A)P(D|A)P(D)P(A)P(D|A)P(B)P(D|B)P(C)P(D|C)0.20.050.057 0.20.050.50.150.30.330.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.【解】设Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）.P(Ai)1P(A1A2A3A4) i141P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)10.980.970.950.970.12431.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n次独立射击.1(0.8)n0.911即为(0.8)n0.1故n≥11至少必须进行11次独立射击.32.证明：若P（A｜B）=P(A｜B)，则A，B相互独立.【证】P(A|B)即P(A|B)P(AB)P(AB) P(B)P(B)亦即P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(AB)[1P(B)][P(A)P(AB)]P(B)因此P(AB)P(A)P(B)故A与B相互独立.33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为【解】设Ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则111，，，求将此密码破译出的概率. 534P(Ai)1P(A1A2A3)1P(A1)P(A2)P(A3) i1314230.6 53434.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,312由全概率公式，得P(A)P(A|Bi)P(Bi)i03=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7=0.45835.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：（1）虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.（2）新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.【解】（1）p1 Ck0k103k10(0.35)k(0.65)10k0.5138 (2) p2 Ck410(0.25)k(0.75)10k0.224136.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1）A=“某指定的一层有两位乘客离开”；（2）B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；（3）C=“恰有两位乘客在同一层离开”；（4）D=“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.24C69（1）P(A)，也可由6重贝努里模型：6101321294P(A)C6()() 1010（2）6个人在十层中任意六层离开，故6P10P(B) 6 102（3）由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有C110种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有C6种离开方式.其余4人中不能31再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有C19C4C8种可4能结果；②4人同时离开，有C19种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有P9种可能结果，故2131146P(C)C110C6(C9C4C8C9P9)/10（4）D=B.故6P10P(D)1P(B)1 6 1037. n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：（1）甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；（2）甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3）如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.【解】（1）p1 1 n 114(2) p3!(n3)!2(n1)!,n 3 (3) p(n1)!11n!n;p3!(n2)!2n!,n 338.将线段[0，a]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】设这三段长分别为x,y,a x y.则基本事件集为由0<x<a,0<y<a,0<a x y<a所构成的图形，有利事件集为由x y a x yx(a x y)yy(a x y)x构成的图形，即0x a20y a 2a2x y a如图阴影部分所示，故所求概率为p 14.39. 某人有n把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k次（k=1,2,…,n）才能把门打开的概率与k无关.【证】p Pk 1n11Pk,k1,2,n ,nn1540.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i面涂有颜色的概率P（Ai）（i=0,1,2,3）.【解】设Ai={小立方体有i面涂有颜色}，i=0,1,2,3.在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000（8+96+384）=512个P(A)P[A(B C)]P(AB AC)P(AB)P(AC)P(ABC)P(AB)P(AC)P(BC)42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】设Ai={杯中球的最大个数为i},i=1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故P(AC33!31)4438而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故16C114P(A3)3 416因此P(A2)1P(A1)P(A3)131981616或P(AC1214C3C32)4391643.将一枚均匀硬币掷2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n次硬币，可能出现：A={正面次数多于反面次数}，B={正面次数少于反面次数}，C={正面次数等于反面次数}，A，B，C两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P（A）=P（B）.所以P(A)1P(C)2由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为P(C)Cn1n1n2n(2)(2)故P(A) 12[1Cn12n22n]44.掷n次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A={出现正面次数多于反面次数}，B={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P（A）=P（B）（1）当n为奇数时，正、反面次数不会相等.由P（A）+P（B）=1得P（A）=P（B）=0.5 (2) 当n为偶数时，由上题知P(A)1n212[1Cn(2)n]45.设甲掷均匀硬币n+1次，乙掷n次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.17【解】令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数.显然有（甲正>乙正）=（甲正≤乙正）=（n+1甲反≤n乙反）=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）由对称性知P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反）因此P(甲1正>乙正)=246.证明“确定的原则”（Sure thing）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|C)≥P(B|C)，则P（A）≥P(B).【证】由P（A|C）≥P(B|C),得P(AC)PP(C)(BC)P(C),即有P(AC)P(BC)同理由P(A|C)P(B|C),得P(AC)P(BC),故P(A)P(AC)P(AC)P(BC)P(BC)P(B)47.一列火车共有n节车厢，有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢设Ai={第i节车厢是空的}，（i=1,…,n）,则18(n1)k1kP(Ai)(1)nkn2P(AiAj)(1)knP(AAn1ki1Ai2in1)(1n)其中i1,i2,…,in1是1，2，…，n中的任n1个. 显然n节车厢全空的概率是零，于是nS P(A)n(111k1ii1n)k C1n(1n)S P(AC222iAj)n(1)k1i j nnSn11i P(An1i1Aii1i2in1n2An1)Cn(1n1kn)Sn0P(ni1Ai)S1S2S3(1)n1SnC11k22knn1n 1n(1n)Cn(1n)(1)Cn(1n)k故所求概率为191k2in1k2n1n11P(Ai)1C1Cn(1) n(1)Cn(1)(1)i1nnnn48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1.【证】在前n次试验中，A至少出现一次的概率为1(1)n1(n)49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽}B={这只硬币为正品}由题知P(B)mn,P(B) m nm nP(A|B)1,P(A|B) 1 r2则由贝叶斯公式知P(B|A)P(AB)P(B)P(A|B) P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)m1rm rm1nr1m2nm n2m n50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？20【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有P(B1)P(B2) 1.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r根，说明已取了2n r次，设n次取自B1盒（已2空），n r次取自B2盒，第2n r+1次拿起B1，发现已空。

概率论与数理统计第11讲

《概率论与数理统计》高教版PPT

概率论与数理统计教程-第五版-课件

概率论与数理统计第11讲

概率论与数理统计完整ppt课件

概率论数理统计课件第11讲期望

概率论与数理统计第11讲 二项概率公式

概率论与数理统计第11讲二项概率公式

概率论与数理统计 泊松分布

概率论与数理统计ppt课件(完整版)

同济大学《概率论与数理统计》PPT课件

T218概率论与数理统计复习资料ch1-11大数定律及中心极限定理

概率论与数理统计泊松分布

《概率论与数理统计》课后习题答案

北京理工大学《概率论与数理统计》课件-第11章

概率论与数理统计ppt课件

魏宗舒版《概率论与数理统计教程》第三版_课后习题

概率论与数理统计(最新完整版)ppt课件

《概率论与数理统计》(韩旭里)课后习题答案

概率论与数理统计第11讲二项概率公式

概率论与数理统计泊松分布