3.1.1椭圆 课件5(北师大版选修2-1)
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高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程课件北师大版选修2_1
∴点
������2 ������2 A 的轨迹方程是 + =1(y ≠0). 25 16
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟找出点A的轨迹满足|AB|+|AC|=10>6后,知A的轨迹是 椭圆,用定义法求出其方程,但要注意去掉不符合题意的点(5,0),(5,0).Βιβλιοθήκη 探究一探究二探究三
探究四
变式训练1过椭圆4x2+y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A,B 两点,F2是椭圆的另一个焦点,求△ABF2的周长. 解:根据题意画出图形如图所示, ∵A,B在椭圆4x2+y2=1上,a2=1, ∴2a=2. ∴|AF1|+|AF2|=2a=2, |BF1|+|BF2|=2a=2. ∴|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4, 即|AB|+|AF2|+|BF2|=4. ∴△ABF2的周长为4.
探究一
探究二
探究三
探究四
求椭圆的标准方程 【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上任意一点P到两焦点 的距离的和等于10;
(2)两个焦点的坐标分别为(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点 - , (3)经过两点(2,- √2), -1,
探究一
探究二
探究三
探究四
解:如图,建立平面直角坐标系,使x轴经过点B,C,原点O与BC的中 点重合. 由已知|AB|+|AC|+|BC|=16,|BC|=6,有|AB|+|AC|=10>6,即点A的 轨迹是椭圆,且2c=6,2a=16-6=10. ∴c=3,a=5,b2=52-32=16. 但当点A在直线BC上,即y=0时,A,B,C三点不能构成三角形,
数学第三章1.1椭圆及其标准方程课件(北师大版选修2-1)
25 9
(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上， ∴设它的标准方程 为ya22＋xb22＝ 1(a>b>0)．
由于椭圆经过点 (0， 2)和 (1， 0)，
∴
a42＋b02＝ a02＋b12＝
11， ，∴ab22＝ ＝
4， 1.
故所求椭圆的标准 方程为y2＋ x2＝ 1. 4
【名师点评】 本例中的解法体现了求椭圆 方程的一般方法，通过“定位”与“定量” 两个过程可求得所求椭圆的方程．
93
法二：由已知,设椭圆的方程是 Ax2＋By2＝1
(A>0， B>0， A≠ B)，
故6A＋B＝1， ⇒ 3A＋2B＝1，
A＝1， 9
B＝ 1， 3
即所求的椭圆的标 准方程是x2 ＋y2 ＝ 1. 93
椭圆定义及标准方程的应用
已知椭例圆2的焦点是F1(－1，0)，F2(1，0)， P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等 差中项． (1)求椭圆的方程； (2)若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求 △PF1F2的面积．
第三章 圆锥曲线与方程
•§1 椭 圆 •1．1 椭圆及其标准方程
学习导航
学习目标
重点难点 重点：椭圆的定义及其标准方程． 难点：椭圆的标准方程的推导过程．
新知初探思维启动
1.椭圆的定义 (1)椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数 (大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆． 这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点 F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．
25 16
4.若方程xa22－ya2＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 则 a 的取值范围是______． 解析：∵a2>0，xa22－ya2＝1 即xa22＋－y2a＝1， ∴－a>a2，－1<a<0.
(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上， ∴设它的标准方程 为ya22＋xb22＝ 1(a>b>0)．
由于椭圆经过点 (0， 2)和 (1， 0)，
∴
a42＋b02＝ a02＋b12＝
11， ，∴ab22＝ ＝
4， 1.
故所求椭圆的标准 方程为y2＋ x2＝ 1. 4
【名师点评】 本例中的解法体现了求椭圆 方程的一般方法，通过“定位”与“定量” 两个过程可求得所求椭圆的方程．
93
法二：由已知,设椭圆的方程是 Ax2＋By2＝1
(A>0， B>0， A≠ B)，
故6A＋B＝1， ⇒ 3A＋2B＝1，
A＝1， 9
B＝ 1， 3
即所求的椭圆的标 准方程是x2 ＋y2 ＝ 1. 93
椭圆定义及标准方程的应用
已知椭例圆2的焦点是F1(－1，0)，F2(1，0)， P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等 差中项． (1)求椭圆的方程； (2)若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求 △PF1F2的面积．
第三章 圆锥曲线与方程
•§1 椭 圆 •1．1 椭圆及其标准方程
学习导航
学习目标
重点难点 重点：椭圆的定义及其标准方程． 难点：椭圆的标准方程的推导过程．
新知初探思维启动
1.椭圆的定义 (1)椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数 (大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆． 这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点 F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．
25 16
4.若方程xa22－ya2＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 则 a 的取值范围是______． 解析：∵a2>0，xa22－ya2＝1 即xa22＋－y2a＝1， ∴－a>a2，－1<a<0.
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(北师大选修2-1)
提示：相同．
返回
问题2：这种游戏设计的原理是什么？ 提示：椭圆的定义．椭圆上的点到两焦点距离之 和为定值． 问题3：在游戏中，选手所跑的路程能否等于两焦 点间的距离？为什么？ 提示：不能．椭圆上的点到两焦点距离之和一定
大于两焦点间的距离．
返回
椭圆的定义
定义
焦点
平面内到两个定点F1，F2的 距离之和等于常数 (大于|F2|)的点的集合叫作椭圆 两个 定点 F1，F2叫作椭圆的焦点
返回
[例3]
(12分)已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C
为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P 的轨迹方程． [思路点拨] P为AC垂直平分线上的点，则|PA|＝|PC|，
而BC为圆的半径，从而4＝|PA|＋|PB|，可得点P轨迹为以A、
B为焦点的椭圆．
返回
[精解详析]如图所示，连接AP，∵l垂直平分AC， ∴|AP|＝|CP|. ∴|PB|＋|PA|＝|BP|＋|PC|＝4， ∴P点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆． ∵2a＝4,2c＝|AB|＝2， ∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3. x2 y2 ∴点P的轨迹方程为 4 ＋ 3 ＝1. (10分) (12分) (8分) (3分)
y2 x2 轴上时，方程为36＋35＝1.
答案：D 返回
2．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，求 椭圆C的标准方程．
x2 y2 解：依题意，可设椭圆 C 的方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，且可 知左焦点为 F′(－2,0)．
c＝2， 从而有 2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8， c＝2， 解得 a＝4.
返回
4．平面内有一个动点M及两定点A，B.设p：|MA|＋|MB|为
高中数学北师大版选修2-1 3.1.1.2椭圆及其标准方程习题课 课件(27张)
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(方法一)由已知的椭圆方程为 ������2
+
������2 ������
2
= 1(������ > ������ >
4
������2 0), 由 9
+
������2 4
= 1 得c2 =5, ∴a2 -
b2 =5, ① 又点 Q(2,1)在椭圆上, 则 ������2 +
+
������2 ������2
= 1(������ > ������ > 0) 上任一点, 且∠
F1PF2=α,则△ PF1F2(常称为椭圆的焦点三角形)的面积有下面的一 般求法:
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= ������ 2tan
������ . 2
在选择题、填空题中可以直接使用此公式求椭圆焦点三角形 对于椭圆上的点 P , ∠F 1 PF 2 随着点 P 从长轴端点向短轴端点 的移动而变大, 当点 P 在短轴端点时, ∠F 1 PF2 最大.
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2.焦点三角形
如图所示,椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1,F2构成的△F1PF2称 为焦点三角形,解关于椭圆中的焦点三角形问题时,要充分利用椭 圆的定义,解三角形中的正弦定理、余弦定理等知识.如△PF1F2的 面积问题,|PF1|· |PF2|的最值问题.
������2 若点 P(x 0,y 0)是椭圆 2 ������
3.1 椭圆 课件1 (北师大选修2-1)
小知识 与《几何原本》齐名的《圆锥曲线论》
公元前三世纪产生了具有完整体系的欧 几里得的《几何原本》。半个世纪以后，古 希腊的另一位数学家阿波罗尼斯又著《圆锥 曲线论》（8卷）—以其几乎将圆锥曲线的全 部性质网罗殆尽而名垂史册。 在解析几何之前的所有研究圆锥曲线的著 作中，没有一本达到象《圆锥曲线论》那样 对圆锥曲线研究得如此详尽的程度。 解析几何是由费尔马和笛卡尔分别创立的。 自从有了解析几何，圆锥曲线的研究才开辟 了新的纪元。
a ,0
(
）,(0,
c,0)
b)
（
b ,0
）,(0,
(0,
c)
a)
长半轴长为a,短半轴长为b.
a,b,c关系
离 心 率
焦距为2c;
c e a
a2=b2+c2
推荐作业：
必做题：1 、 阅读教材p28-31页内容完成例5；2 、 课本第31页习题第3、4、6题 选做题：
课外练习 1、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍, 且椭圆过(-2,-4)点,求椭圆的标准方程. 2、已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成 等差数列,求该椭圆的离心率.
2
轻松愉快
------谈收获
标准方程
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 b a
图
象
范
围
|x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
对 称 性 顶点坐标 焦点坐标 半 轴 长 焦 距 （
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。
问题1 已知椭圆方程为是： 10 。短轴长是： 8 。
焦距是：
6
。
高中数学 3.1第1课时椭圆及其标准方程课件 北师大版选修2-1
① 解得①②得－3<a<－1 或 a>1.
当 a>1 时，③不成立．当－3<a<－1 时，得 a<－2. 综上可得：a 的取值范围是－3<a<－2.
最值问题
F1 是x92＋y52＝1 的左焦点，P 是椭圆上的动点，A(1,1) 为定点，则|PA|＋|PF1|的最小值为________________．
[解析] (1)∵椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为ax22 ＋by22＝1(a>b>0)．
∵2a＝ 5＋32＋0＋ 5－32＋0＝10,2c＝6. ∴a＝5，c＝3， ∴b2＝a2－c2＝52－32＝16. ∴所求椭圆的方程为：2x52 ＋1y62 ＝1.
(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为：ay22＋bx22＝ 1(a>b>0)．
3．已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆x32＋y2＝1 上，顶点 A 是
椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC
的周长是( )
A．2 3
B．6
C．4 3
D．12
[答案] C
[解析] 设椭圆的另一个焦点为 F(如图)，
则 △ ABC 的 周 长 为 (|AB| ＋ |BF|) ＋ (|CA| ＋ |CF|) ＝ 2a ＋ 2a ＝
∴－2c≤|PF1|－|PF2|≤2c， ∴2a－2c≤2|PF1|≤2a＋2c，即 a－c≤|PF1|≤a＋c
∴|PF1|的最大值为 a＋c，最小值为 a－C．
[总结反思] 椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长 轴的两个端点，应掌握这一性质．
[总结反思] 椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标准方程 中x2和y2项分母的大小，如果x2项的分母大于y2项的分母，则椭 圆的焦点在x轴上；反之，焦点在y轴上．由于本题中x2和y2项 分母的大小不确定，因此需要进行分类讨论．
3.1.1《椭圆及其标准方程》课件(北师大版选修2-1)
(2)因为m2+n2≥2mn,
所以2(m2+n2)≥m2+n2+2mn=(m+n)2.
4 故m2+n2≥ =8,当且仅当m=n=2时，等号成立. 2
2
所以|PF1|2+|PF2|2的最小值是8， 此时P位于短轴的端点处.
焦点.
由椭圆定义知
|AB|+|BM|+|AM|=|AN|+|BN|+|BM|+|AM| =|AN|+|AM|+|BN|+|BM| =2a+2a=4a=16.
x 2 y 2 的内部，则a的取值范围是 2.(5分)点A(a,1)在椭圆 + =1 4 2
(
)
(A)- 2 <a< 2
(C)-2<a<2
(B)a<- 2 或a> 2
【解析】
x 2 y2 1.(5分)已知点M( 7 ,0)，椭圆 + =1与直线y=k(x+ 7 )交 16 9
于A，B两点，则△ABM的周长为(
(A)11 (B)10
)
(C)9 (D)16
【解析】选D.如图.
直线y=k(x+ 7 )恒过定点N(- 7 ,0).
x 2 y2 由椭圆方程 + =1知M( 7 ,0),N(- 7 ,0)恰好为椭圆的两 16 9
【解析】如图所示，由题意知， F1（- 3 ，0），F2（ 3 ，0）. 设|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0), 由椭圆的定义知m+n=4.
(1)根据均值不等式知mn≤ ( m+n ) 2= ( 4 )2 = 4,
2 2
高中数学北师大版选修2-1 3.1.2.1椭圆的简单性质 课件(30张)
= 1 的短轴长为6,∴a2= 25,b2=9. 答案 :D
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UITANGYANLIAN
【做一做 2】 若椭圆的焦距等于它的短轴长,则椭圆的离心率 为( )
1 2 A. B. C. 2 2
2D. 2
2 , 3
答案 :B 【做一做 3】 若椭圆以坐标轴为对称轴,离心率 e = 长轴长为 6, 则椭圆的方程为( )
������2 ������2 1或 + 36 20 ������2 ������2 ������2 ������2 A. + = 1B. + = 1 36 20 9 5 ������2 ������2 ������2 ������2 ������2 ������2 C. + = 1 或 + = 1D. + 9 5 5 9 20 36
������ , ������, ������, ������之间的关系为������2 ������ ������ ������
= ������2 − ������2,
������ ������
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化. 椭圆的离心率������ = , 用������, ������表示为������ = 1������ 2 ������ ������ , 当 越小时, 椭圆越扁 , ������越大; 当 越大时 ������ ������ ������
1.对称性
������2 椭圆 2 ������
+
= 1 是以������轴、 ������轴为对称轴的轴对称图形 ,
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.1 椭圆及其标准
(4)对于椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)，F1，F2 为其左、右焦 点．点 P 坐标为(x1，y1)． ①当点 P 落在椭圆外时，|PF1|＋|PF2|＞2a；xa212＋by212＞1； ②当点 P 落在椭圆上时，|PF1|＋|PF2|＝2a，xa212＋by212＝1； ③当点 P 落在椭圆内时，|PF1|＋|PF2|＜2a，xa212＋by212＜1.
第三 章
圆锥曲线与方程
§1 椭 圆 1．1 椭圆及其标准方程
学课前预习学案
1．影视剧中常有这样的镜头：武士为了显示自 己的功夫超群及手中刀剑锋利，对准身边树桩 或毛竹，手起刀(剑)落，劈为两截，你知道截口 是什么形状吗？ [提示] 椭圆或圆形
2．你能举出几个椭圆形的例子吗？ [提示] 卫星轨道，镜子，会议桌等． 3．特殊的曲线都可以看作是满足特定的条件的动 点运动的轨迹．(1)圆是动点满足什么条件时形成 的轨迹？(2)线段的垂直平分线是动点满足什么条 件时的轨迹？
1．a＝6，c＝1 的椭圆的标准方程是( )
பைடு நூலகம்
A.3x62＋3y52 ＝1
B.3y62 ＋3x52＝1
C.3x62 ＋y52＝1
D．以上都不对
解析： ∵a＝6，c＝1，∴b2＝a2－c2＝35 ∵椭圆的焦点在x轴，还是在y轴不确定． 答案： D
2．椭圆3x2＋4y2＝12的两个焦点之间的距离为
()
(2)椭圆的标准方程中，焦点的位置由分母的大小 来确定．如果x2的分母大，焦点就在x轴上；如 果y2的分母大，则焦点就在y轴上．简记为“焦点 位置看大小，焦点随着大的跑”．
(3)椭圆方程中，a 表示椭圆 上的点 M 到两焦点间距离的 和的一半，可借助图帮助记 忆，a、b、c(都是正数)恰构 成一个直角三角形的三条边， a 是斜边，所以 a＞b，a＞c，且 a2＝b2＋c2，其中 c 是焦距的一半，叫做半焦距．
高中数学 3.1第2课时椭圆的简单性质课件 北师大版选修2-1
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1．焦点在 x 轴上，长、短半轴之和为 10，焦距为 4 5，则椭
圆的方程为( ) A．3x62 ＋1y62 ＝1 C．x62＋y42＝1
B．1x62 ＋3y62 ＝1 D．y62＋x42＝1
[答案] A
[解析] 由题意得 c＝2 5，a＋b＝10， ∴b2＝(10－a)2＝a2－c2＝a2－20， 解得 a2＝36，b2＝16，故椭圆方程为3x62 ＋1y62 ＝1.
5．已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为
23，且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的 方程为________________．
[答案] 3x62 ＋y92＝1 [解析] 由题设，知 2a＝12，ac＝ 23， ∴a＝6，c＝3 3，∴b＝3. ∴椭圆 G 的方程为3x62 ＋y92＝1.
长轴__A_1_A_2_的长为__2_a_ 短轴_B_1_B_2_的长为__2_b_
短轴_B_1_B_2_的长为_2_b___
离心率
e＝___a_c___∈___(0_,_1_)__ 其中 c＝__a_2_－__b_2___
知识要点解读
1．根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画 出它的图形，是解析几何的基本问题之一．本节就是根据椭圆 的标准方程来研究它的几何性质．其性质可分为两类：一类是 与坐标系无关的本身固有性质，如长短轴长、焦距、离心率； 一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点．
2．椭圆1x62 ＋y82＝1 的离心率为(
)
A．13
B．12
C．
3 3
D．
2 2
[答案] D
[解析] 由椭圆方程知 a2＝16，b2＝8， ∴c2＝a2－b2＝16e＝ac＝
高中数学北师大版选修2-1 3.1.1.1椭圆及其标准方程 课件(30张)
������2 或 ������ ������2 + ������
= 1(������ > 0, ������ > 0, ������≠n).
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【做一做 2-1】 A.(±4,0) C.(± 3,0) 答案 :D
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【做一做1】 命题甲:动点P到两个定点A,B的距离之和 |PA|+|PB|=2a(a>0,且a为常数),命题乙:P点的轨迹是椭圆,则命题甲 是命题乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
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解析:若P点的轨迹是椭圆,则一定有|PA|+|PB|=2a(a>0,且a为常 数 ). ∴甲是乙的必要条件. 反过来,若|PA|+|PB|=2a(a>0,且a为常数),是不能推出P点的轨迹 是椭圆的.这是因为,仅当2a>|AB|时,P点的轨迹才是椭圆;而当 2a=|AB|时,P点的轨迹是线段AB;当2a<|AB|时,P点无轨迹. ∴甲不是乙的充分条件. 故甲是乙的必要不充分条件. 答案:B
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= 1(������ > 0, ������ > 0, ������≠n).
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【做一做 2-1】 A.(±4,0) C.(± 3,0) 答案 :D
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【做一做1】 命题甲:动点P到两个定点A,B的距离之和 |PA|+|PB|=2a(a>0,且a为常数),命题乙:P点的轨迹是椭圆,则命题甲 是命题乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
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解析:若P点的轨迹是椭圆,则一定有|PA|+|PB|=2a(a>0,且a为常 数 ). ∴甲是乙的必要条件. 反过来,若|PA|+|PB|=2a(a>0,且a为常数),是不能推出P点的轨迹 是椭圆的.这是因为,仅当2a>|AB|时,P点的轨迹才是椭圆;而当 2a=|AB|时,P点的轨迹是线段AB;当2a<|AB|时,P点无轨迹. ∴甲不是乙的充分条件. 故甲是乙的必要不充分条件. 答案:B
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3.1椭圆 第1课时 课件(北师大版选修2-1)
第三章
3.1
第1课时
(3)标准方程中涉及到三个常数 a、b、c ，它们是确定椭圆
特征的重要元素，不随方程形式的改变而改变，它们之间的关 系为c2＝a2－b2. (4)由标准方程判断焦点的位置的方法 看x2 、 y2 的分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴
上，即椭圆的焦点在x轴上等价于标准方程中x2项的分母较大；
2 2 x y 式． 统一形式为 mx2＋ny2＝1(m>0， n>0， m≠n)或m＋ n ＝1(m>0，
n>0，m≠n)．
第三章 3.1 第1课时
4 ．观察椭圆的图形，发现椭圆有两条互相垂直的对称
轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴建立平面直角坐标系，
在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这类方程的化简 方法： (1) 方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一 侧，把其他项移到另一侧；(2)方程中有两个根式时，需将它们 放在方程的两侧，并使其中一侧只有一个根式．
第三章
3.1
第1课时
学习方法指导
第三章
3.1
第1课时
1 ．对于椭圆定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的
条件，即椭圆上点的几何性质，可以对比圆的定义来理解． 椭圆定义中应注意常数大于焦距这个必要条件，即对椭圆 上任一点M有|MF1|＋|MF2|＝2a>|F1F2|；否则，若2a＝|F1F2|，则 轨迹是线段F1F2；若2a<|F1F2|，则轨迹不存在．
1 ．掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其
推导过程． 2 ．能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数 求椭圆的标准方程． 3 ．通过对椭圆的概念的引入教学，培养学生的观察能力
和探索能力．
北师大版选修2-1高中数学3.1《椭圆》(第2课时)ppt课件
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1．焦点在 x 轴上，长、短半轴之和为 10，焦距为 4 5，则椭
圆的方程为( ) A．3x62 ＋1y62 ＝1 C．x62＋y42＝1
B．1x62 ＋3y62 ＝1 D．y62＋x42＝1
[答案] A
[解析] 由题意得 c＝2 5，a＋b＝10， ∴b2＝(10－a)2＝a2－c2＝a2－20， 解得 a2＝36，b2＝16，故椭圆方程为3x62 ＋1y62 ＝1.
所以|PF1|·|Pຫໍສະໝຸດ 2|＝43b2②.由①和②根据基本不等式，得|PF1|·|PF2|≤|PF1|＋2 |PF2|2. 即43b2≤a2，又 b2＝a2－c2，故43(a2－c2)≤a2，解得 e＝ac≥12.
又 e<1，所以该椭圆的离心率 e 的范围是12，1.
解法二：由解法一得出|PF1|＋|PF2|＝2a |PF1|·|PF2|＝43b2
5．已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为
23，且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的 方程为________________．
[答案] 3x62 ＋y92＝1 [解析] 由题设，知 2a＝12，ac＝ 23， ∴a＝6，c＝3 3，∴b＝3. ∴椭圆 G 的方程为3x62 ＋y92＝1.
应用x范围的桥梁，法四应用了极端思想使问题迅速
得解，由此可见，在椭圆中建立不等关系的途径或 方法还是比较多的，平时解题时需要根据已知条件 灵活选择方法，达到快速而又准确地解答题目的目 的．
已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(－c,0)， F2(c,0)若椭圆上存在点 P 使sin∠aPF1F2＝sin∠cPF2F1，则该椭圆的 离心率的取值范围为________________．
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 3.1.1 椭圆及其标准方程名师课件 北师大版选修2-1
(2)焦点在y轴上．
【解】 (1)∵椭圆的焦点在x轴上，
∴ 9k－－1k＞ ＞00， ， 9－k＞k－1，
解得1＜k＜5. 故k的取值范围是(1,5)．
(2)∵椭圆的焦点在y轴上
9－k＞0， ∴k－1＞0，
9－k＜k－1， 解得5＜k＜9.
故k的取值范围是(5,9).
在平面直角坐标系中，A(4,0)，B(－4,0)，且
二、教学重点难点 重点：椭圆的定义和标准方程． 难点：椭圆的标准方程的推导． 在教学中，可采用从感性到理性，通过抽象概括，形成 概念．通过椭圆的实例，使学生对椭圆有一个直观的了解； 再让学生自己举例、动手操作“定性”地画出椭圆和探究归 纳定义；最后通过坐标法“定量”地描述椭圆，从而化解重 点．在讲解中精心设问，通过问题给学生提示，突破难点．
由椭圆定义可知，椭圆上任一点到椭圆的两个焦点距离 之和为定值，所以椭圆定义有以下应用：
(1)实现两个焦点半径之间的相互转化； (2)将两个焦点半径之和看成一个整体，求解定值问题．
椭圆
x2 25
＋
y2 9
＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的
中点，O是椭圆中心，则|ON|的值是( )
A．2
∴|PF2|＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝|PF1|2＋2|P|PFF1|2|P|2－F2||F1F2|2＝－12. ∴∠F1PF2＝120° 【答案】 2 120°
B．4
C．8
D．32
【解析】 |ON|＝12|MF2|＝12(2×5－2)＝4，故选B. 【答案】 B
求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点 (5,0)． (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)． 【思路探究】 求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位 置，确定出符合题意的椭圆的标准方程的形式，最后由条件 确定出a和b即可．
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第三章 3．1 椭圆
第4课时 椭圆及其标准方程
学习目标
• 1．能用椭圆定义解决最值问题． • 2. 能结合三角形解决有关最值问题
• 最值问题
x2 y2 设 P 为椭圆a2＋b2＝1 上任意一点，F1 为它的一 个焦点，求|PF1|的最大值和最小值．
• [解析] 设F2为椭圆的另一焦点，则由椭圆定 义得：|PF1|＋|PF2|＝2a， • ∵||PF1|－|PF2||≤2c， • ∴－2c≤|PF1|－|PF2|≤2c， • ∴2a－2c≤2|PF1|≤2a＋2c， • 即a－c≤|PF1|≤a＋c • ∴|PF1|的最大值为a＋c，最小值为a－c.
• [点评] 椭圆上到某一焦点的最远点与最近点 分别是长轴的两个端点，应掌握这一性质．
x2 y2 F1 是 ＋ ＝1 的左焦点，P 是椭圆上的动点，A(1,1)为定 9 5 点，则|PA|＋|PF1|的最小值为________．最大值是__________.
[答案] 6－ 2 6 + 2
• [解析] 如图所示，连结F2A并 延长交椭圆于P，在椭圆上任 取异于点P的一点P′，连结P′F1、 P′F2、P′A. • 由三角形任意两边之和大于第 三边得|P′F1|＋|P′A|＋ |AF2|>|P′F1|＋|P′F2|＝|PF1|＋ |PF2|＝|PF1|＋|PA|＋|AF2|， • ∴|P′F1|＋|P′A|>|PF1|＋|PA|. • 又F1(－2,0)，F2(2,0)，写出F2A的方程，与 椭圆联立求出P点坐标，则此|PF1|＋|PA|即为 所求最小值．
x2 y2 [例 5] 已知椭圆的标准方程为25＋m2＝1(m>0)． 且焦距为 6，求实数 m 的值．
• • • • • •
[误解] ∵2c＝6，∴c＝3. 由椭圆标准方程知a2＝25，b2＝m2， a2＝b2＋c2，∴25＝m2＋9， ∴m2＝16， ∵m>0， ∴m＝4.
[正解] 若椭圆的焦点在 x 轴上则 a2＝25，b2＝m2，∵a2 ＝b2＋c2， 25＝m2＋9，∴m2＝16，∵m>0，∴m＝4. 若椭圆的焦点在 y 轴上， 则 a2＝m2，b2＝25， 由 a2＝b2＋c2， ∴m2＝25＋9， ∴m2＝34，∵m>0，∴m＝ 34. 综上可得 m＝4 或 m＝ 34.
• [点评] 椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标 准方程中x2和y2项分母的大小，如果x2项的分 母大于y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上； 反之，焦点在y轴上．由于本题中x2和y2项分 母的大小不确定，因此需要进行分类讨论．
名师辩误作答
பைடு நூலகம்
x2 y2 AB 为过椭圆a2＋b2＝1 中心的弦，F(c,0)为椭圆的左焦点， 则△AFB 的面积最大值是( A．b2 C．ab ) B．bc D．ac
• [答案] B
1 [解析] S△ABF＝S△AOF＋S△BOF＝2|OF|· |yA－yB|， 当 A、B 为短轴两个端点时，|yA－yB|最大，最大值为 2b. ∴△ABF 面积的最大值为 bc.
第4课时 椭圆及其标准方程
学习目标
• 1．能用椭圆定义解决最值问题． • 2. 能结合三角形解决有关最值问题
• 最值问题
x2 y2 设 P 为椭圆a2＋b2＝1 上任意一点，F1 为它的一 个焦点，求|PF1|的最大值和最小值．
• [解析] 设F2为椭圆的另一焦点，则由椭圆定 义得：|PF1|＋|PF2|＝2a， • ∵||PF1|－|PF2||≤2c， • ∴－2c≤|PF1|－|PF2|≤2c， • ∴2a－2c≤2|PF1|≤2a＋2c， • 即a－c≤|PF1|≤a＋c • ∴|PF1|的最大值为a＋c，最小值为a－c.
• [点评] 椭圆上到某一焦点的最远点与最近点 分别是长轴的两个端点，应掌握这一性质．
x2 y2 F1 是 ＋ ＝1 的左焦点，P 是椭圆上的动点，A(1,1)为定 9 5 点，则|PA|＋|PF1|的最小值为________．最大值是__________.
[答案] 6－ 2 6 + 2
• [解析] 如图所示，连结F2A并 延长交椭圆于P，在椭圆上任 取异于点P的一点P′，连结P′F1、 P′F2、P′A. • 由三角形任意两边之和大于第 三边得|P′F1|＋|P′A|＋ |AF2|>|P′F1|＋|P′F2|＝|PF1|＋ |PF2|＝|PF1|＋|PA|＋|AF2|， • ∴|P′F1|＋|P′A|>|PF1|＋|PA|. • 又F1(－2,0)，F2(2,0)，写出F2A的方程，与 椭圆联立求出P点坐标，则此|PF1|＋|PA|即为 所求最小值．
x2 y2 [例 5] 已知椭圆的标准方程为25＋m2＝1(m>0)． 且焦距为 6，求实数 m 的值．
• • • • • •
[误解] ∵2c＝6，∴c＝3. 由椭圆标准方程知a2＝25，b2＝m2， a2＝b2＋c2，∴25＝m2＋9， ∴m2＝16， ∵m>0， ∴m＝4.
[正解] 若椭圆的焦点在 x 轴上则 a2＝25，b2＝m2，∵a2 ＝b2＋c2， 25＝m2＋9，∴m2＝16，∵m>0，∴m＝4. 若椭圆的焦点在 y 轴上， 则 a2＝m2，b2＝25， 由 a2＝b2＋c2， ∴m2＝25＋9， ∴m2＝34，∵m>0，∴m＝ 34. 综上可得 m＝4 或 m＝ 34.
• [点评] 椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标 准方程中x2和y2项分母的大小，如果x2项的分 母大于y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上； 反之，焦点在y轴上．由于本题中x2和y2项分 母的大小不确定，因此需要进行分类讨论．
名师辩误作答
பைடு நூலகம்
x2 y2 AB 为过椭圆a2＋b2＝1 中心的弦，F(c,0)为椭圆的左焦点， 则△AFB 的面积最大值是( A．b2 C．ab ) B．bc D．ac
• [答案] B
1 [解析] S△ABF＝S△AOF＋S△BOF＝2|OF|· |yA－yB|， 当 A、B 为短轴两个端点时，|yA－yB|最大，最大值为 2b. ∴△ABF 面积的最大值为 bc.