高三数学第一轮总复习课件18
高三理科数学一轮总复习第十八章 不等式选讲
第十八章不等式选讲高考导航考试要求重难点击命题展望1.理解绝对值的几何意义，并能用它证明绝对值三角不等式等较简单的不等式.①|a＋b|≤|a|＋|b|；②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2.能用绝对值的几何意义解几类简单的绝对值型不等式，如|ax＋b|≤c或|ax＋b|≥c，以及|x－a|＋|x－b|≥c或|x－a|＋|x－b|≤c类型.3.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法.4.了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用它证明一些简单不等式及其他问题.5.了解柯西不等式的几种不同形式：二维形式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2、向量形式|α|·|β|≥|α·β|、一般形式∑∑∑===∙nininiiiiibaba112122)(≥，理解它们的几何意义.掌握柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.6.了解排序不等式的推导及意义并能简单应用.7.会用数学归纳法证明贝努利不等式：.)1,0,1＞(＞1)1(的正整数为大于nxxnxx n≠-++本章重点：不等式的基本性质；基本不等式及其应用、绝对值型不等式的解法及其应用；用比较法、分析法、综合法证明不等式；柯西不等式、排序不等式及其应用.本章难点：三个正数的算术——几何平均不等式及其应用；绝对值不等式的解法；用反证法、放缩法证明不等式；运用柯西不等式和排序不等式证明不等式.本专题在数学必修5“不等式”的基础上，进一步学习一些重要的不等式，如绝对值不等式、柯西不等式、排序不等式以及它们的证明，同时了解证明不等式的一些基本方法，如比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等，会用绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式、排序不等式等解决一些简单问题.高考中，只考查上述知识和方法，不对恒等变形的难度和一些技巧作过高的要求.知识网络18.1 绝对值型不等式典例精析题型一 解绝对值不等式 【例1】设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)解不等式f (x )＞3；(2)若f (x )＞a 对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【解析】(1)因为f (x )＝|x －1|＋|x －2|＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,11,＜,23x x x x x所以当x ＜1时，3－2x ＞3，解得x ＜0； 当1≤x ≤2时，f (x )＞3无解； 当x ＞2时，2x －3＞3，解得x ＞3.所以不等式f (x )＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).(2)因为f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以f (x )min ＝1.因为f (x )＞a 恒成立，所以a ＜1，即实数a 的取值范围是(－∞，1). 【变式训练1】设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a . (1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域； (2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围.【解析】(1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3，所以－a ≤3，即a ≥－3. 题型二 解绝对值三角不等式【例2】已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|，若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对a ≠0，a 、b ∈R 恒成立，求实数x 的范围.【解析】由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x ).又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，则有2≥f (x ).解不等式|x －1|＋|x －2|≤2得12≤x ≤52.【变式训练2】(2010深圳)若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .【解析】(－∞，0)∪{2}.题型三 利用绝对值不等式求参数范围 【例3】(2009辽宁)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3； (2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围. 【解析】(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|.由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3，①当x ≤－1时，不等式化为1－x －1－x ≥3，即－2x ≥3，不等式组⎩⎨⎧-3≥)(1,≤x f x 的解集为(－∞，－32]；②当－1＜x ≤1时，不等式化为1－x ＋x ＋1≥3，不可能成立，不等式组⎩⎨⎧-3≥)(1,≤＜1x f x 的解集为∅；③当x ＞1时，不等式化为x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3，不等式组⎩⎨⎧3≥)(1,＞x f x 的解集为[32，＋∞).综上得f (x )≥3的解集为(－∞，－32]∪[32，＋∞).(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|不满足题设条件.若a ＜1，f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧+-++-1,≥1),(-2＜1,＜,1,≤,12x a x x a a a x a xf (x )的最小值为1－a .由题意有1－a ≥2，即a ≤－1.若a ＞1，f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧+-++-,≥1),(-2,＜＜1,11,≤,12a x a x a x a x a xf (x )的最小值为a －1，由题意有a －1≥2，故a ≥3.综上可知a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞).【变式训练3】关于实数x 的不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2与x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0 (a ∈R )的解集分别为A ，B .求使A ⊆B 的a 的取值范围.【解析】由不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2⇒－12(a －1)2≤x －12(a ＋1)2≤12(a －1)2，解得2a ≤x ≤a 2＋1，于是A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}.由不等式x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0⇒(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0， ①当3a ＋1≥2，即a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}，因为A ⊆B ，所以必有⎩⎨⎧++1,3≤1,2≤22a a a 解得1≤a ≤3；②当3a ＋1＜2，即a ＜13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}，因为A ⊆B ，所以⎩⎨⎧++2,≤1,2≤132a a a 解得a ＝－1.综上使A ⊆B 的a 的取值范围是a ＝－1或1≤a ≤3.总结提高1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.2.绝对值不等式的解法中，||x ＜a 的解集是(－a ，a )；||x ＞a 的解集是(－∞，－a )∪(a ，＋∞)，它可以推广到复合型绝对值不等式||ax ＋b ≤c ，||ax ＋b ≥c 的解法，还可以推广到右边含未知数x 的不等式，如||3x ＋1≤x －1⇒1－x ≤3x ＋1≤x －1.3.含有两个绝对值符号的不等式，如||x －a ＋||x －b ≥c 和||x －a ＋||x －b ≤c 型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x 前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.18.2 不等式的证明(一)典例精析题型一 用综合法证明不等式【例1】 若a ，b ，c 为不全相等的正数，求证： lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .【证明】 由a ，b ，c 为正数，得 lg a ＋b 2≥lg ab ；lg b ＋c 2≥lg bc ；lg a ＋c 2≥lg ac .而a ，b ，c 不全相等，所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c2＞lg ab ＋lg bc ＋lg ac ＝lg a 2b 2c 2＝lg(abc )＝lg a ＋lg b ＋lg c .即lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .【点拨】 本题采用了综合法证明，其中基本不等式是证明不等式的一个重要依据(是一个定理)，在证明不等式时要注意结合运用.而在不等式的证明过程中，还要特别注意等号成立的条件是否满足.【变式训练1】已知a ，b ，c ，d 都是实数，且a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1.求证：|ac ＋bd |≤1. 【证明】因为a ，b ，c ，d 都是实数，所以|ac ＋bd |≤|ac |＋|bd |≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝a 2＋b 2＋c 2＋d 22.又因为a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，所以|ac ＋bd |≤1. 题型二 用作差法证明不等式【例2】 设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：a 2＋b 2＋c 2＜2(ab ＋bc ＋ca ). 【证明】a 2＋b 2＋c 2－2(ab ＋bc ＋ca )＝(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2－a 2－b 2－c 2＝[(a －b )2－c 2]＋[(b －c )2－a 2]＋[(c －a )2－b 2].而在△ABC 中，||b －a ＜c ，所以(a －b )2＜c 2，即(a －b )2－c 2＜0.同理(a －c )2－b 2＜0，(b －c )2－a 2＜0，所以a 2＋b 2＋c 2－2(ab ＋bc ＋ca )＜0. 故a 2＋b 2＋c 2＜2(ab ＋bc ＋ca ).【点拨】 不等式的证明中，比较法特别是作差比较法是最基本的证明方法，而在牵涉到三角形的三边时，要注意运用三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.【变式训练2】设a ，b 为实数，0＜n ＜1,0＜m ＜1，m ＋n ＝1，求证：a 2m ＋b 2n≥(a ＋b )2.【证明】因为a 2m ＋b2n －(a ＋b )2＝na 2＋mb 2mn －nm (a 2＋2ab ＋b 2)mn＝na 2(1－m )＋mb 2(1－n )－2mnab mn＝n 2a 2＋m 2b 2－2mnab mn ＝(na －mb )2mn≥0，所以不等式a 2m ＋b 2n≥(a ＋b )2成立.题型三 用分析法证明不等式【例3】已知a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8(1－a )(1－b )(1－c ).【证明】因为a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，所以要证原不等式成立，即证[(a ＋b ＋c )＋a ][(a ＋b ＋c )＋b ][(a ＋b ＋c )＋c ] ≥8[(a ＋b ＋c )－a ][(a ＋b ＋c )－b ][(a ＋b ＋c )－c ]，也就是证[(a ＋b )＋(c ＋a )][(a ＋b )＋(b ＋c )][(c ＋a )＋(b ＋c )]≥8(b ＋c )(c ＋a )(a ＋b ).① 因为(a ＋b )＋(b ＋c )≥2(a ＋b )(b ＋c )＞0， (b ＋c )＋(c ＋a )≥2(b ＋c )(c ＋a )＞0， (c ＋a )＋(a ＋b )≥2(c ＋a )(a ＋b )＞0， 三式相乘得①式成立，故原不等式得证.【点拨】 本题采用的是分析法.从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”.分析法也可以作为寻找证题思路的方法，分析后再用综合法书写证题过程.【变式训练3】设函数f (x )＝x －a (x ＋1)ln(x ＋1)(x ＞－1，a ≥0). (1)求f (x )的单调区间；(2)求证：当m ＞n ＞0时，(1＋m )n ＜(1＋n )m . 【解析】(1)f ′(x )＝1－a ln(x ＋1)－a ，①a ＝0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－1，＋∞)上是增函数； ②当a ＞0时，f (x )在(－1，aa -1e －1]上单调递增，在[aa-1e －1，＋∞)单调递减.(2)证明：要证(1＋m )n ＜(1＋n )m ，只需证n ln(1＋m )＜m ln(1＋n )，只需证ln(1＋m )m ＜ln(1＋n )n.设g (x )＝ln(1＋x )x (x ＞0)，则g ′(x )＝x1＋x －ln(1＋x )x 2＝x －(1＋x )ln(1＋x )x 2(1＋x ). 由(1)知x －(1＋x )ln(1＋x )在(0，＋∞)单调递减， 所以x －(1＋x )ln(1＋x )＜0，即g (x )是减函数， 而m ＞n ，所以g (m )＜g (n )，故原不等式成立.总结提高1.一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法.比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”，用得较多的是“作差比较法”，其中在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法.2.用综合法证明不等式的过程中，所用到的依据一般是定义、公理、定理、性质等，如基本不等式、绝对值三角不等式等.3.用分析法证明不等式的关键是对原不等式的等价转换，它是从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立.4.所谓“综合法”、“分析法”其实是证明题的两种书写格式，而不是真正意义上的证明方法，并不像前面所用的比较法及后面要复习到的三角代换法、放缩法、判别式法、反证法等是一种具体的证明方法(或者手段)，而只是两种互逆的证明题的书写格式.18.3 不等式的证明(二)典例精析题型一 用放缩法、反证法证明不等式【例1】已知a ，b ∈R ，且a ＋b ＝1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥252.【证明】 方法一：(放缩法) 因为a ＋b ＝1，所以左边＝(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥2[(a ＋2)＋(b ＋2)2]2＝12[(a ＋b )＋4]2＝252＝右边.方法二：(反证法)假设(a ＋2)2＋(b ＋2)2＜252，则 a 2＋b 2＋4(a ＋b )＋8＜252.由a ＋b ＝1，得b ＝1－a ，于是有a 2＋(1－a )2＋12＜252.所以(a －12)2＜0，这与(a －12)2≥0矛盾.故假设不成立，所以(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥252.【点拨】 根据不等式左边是平方和及a ＋b ＝1这个特点，选用重要不等式a 2 ＋ b 2≥ 2(a ＋ b 2)2来证明比较好，它可以将具备a 2＋b 2形式的式子缩小.而反证法的思路关键是先假设命题不成立，结合条件a ＋b ＝1，得到关于a 的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，从而证明了原不等式.当然本题也可以用分析法和作差比较法来证明.【变式训练1】设a 0，a 1，a 2，…，a n －1，a n 满足a 0＝a n ＝0，且有 a 0－2a 1＋a 2≥0， a 1－2a 2＋a 3≥0， …a n －2－2a n －1＋a n ≥0， 求证：a 1，a 2，…，a n －1≤0.【证明】由题设a 0－2a 1＋a 2≥0得a 2－a 1≥a 1－a 0. 同理，a n －a n －1≥a n －1－a n －2≥…≥a 2－a 1≥a 1－a 0.假设a 1，a 2，…，a n －1中存在大于0的数，假设a r 是a 1，a 2，…，a n －1中第一个出现的正数. 即a 1≤0，a 2≤0，…，a r －1≤0，a r ＞0，则有a r －a r －1＞0，于是有a n －a n －1≥a n －1－a n －2≥…≥a r －a r －1＞0. 并由此得a n ≥a n －1≥a n －2≥…≥a r ＞0.这与题设a n ＝0矛盾.由此证得a 1，a 2，…，a n －1≤0成立. 题型二 用数学归纳法证明不等式 【例2】用放缩法、数学归纳法证明：设a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)，n ∈N *，求证：n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22.【证明】 方法一：(放缩法)n 2＜n (n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2，即n ＜n (n ＋1)＜2n ＋12.所以1＋2＋…＋n ＜a n ＜12[1＋3＋…＋(2n ＋1)].所以n (n ＋1)2＜a n ＜12·(n ＋1)(1＋2n ＋1)2，即n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22.方法二：(数学归纳法)①当n ＝1时，a 1＝2，而1＜2＜2，所以原不等式成立.②假设n ＝k (k ≥1)时，不等式成立，即k (k ＋1)2＜a k ＜(k ＋1)22.则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1×2＋2×3＋…＋k (k ＋1)＋(k ＋1)(k ＋2)，所以k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)＜a k ＋1＜(k ＋1)22＋(k ＋1)(k ＋2).而k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)＞k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋1)＝k (k ＋1)2＋(k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)2， (k ＋1)22＋(k ＋1)(k ＋2)＜(k ＋1)22＋(k ＋1)＋(k ＋2)2＝k 2＋4k ＋42＝(k ＋2)22. 所以(k ＋1)(k ＋2)2＜a k ＋1＜(k ＋2)22.故当n ＝k ＋1时，不等式也成立.综合①②知当n ∈N *，都有n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22.【点拨】 在用放缩法时，常利用基本不等式n (n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2将某个相乘的的式子进行放缩，而在上面的方法二的数学归纳法的关键步骤也要用到这个公式.在用数学归纳法时要注意根据目标来寻找思路.【变式训练2】已知数列8×112×32，8×232×52，…，8n (2n －1)2(2n ＋1)2，…，S n 为其前n 项和，计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝8081，观察上述结果推测出计算S n 的公式且用数学归纳法加以证明.【解析】猜想S n ＝(2n ＋1)2－1(2n ＋1)2(n ∈N ＋).证明：①当n ＝1时，S 1＝32－132＝89，等式成立.②假设当n ＝k (k ≥1)时等式成立，即S k ＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2.则S k ＋1＝S k ＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2(2k ＋3)2－(2k ＋1)2(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝[2(k ＋1)＋1]2－1[2(k ＋1)＋1]2.即当n ＝k ＋1时，等式也成立.综合①②得，对任何n ∈N ＋，等式都成立. 题型三 用不等式证明方法解决应用问题【例3】某地区原有森林木材存量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设a n 为n 年后该地区森林木材存量.(1)求a n 的表达式；(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年森林木材量应不少于79a ，如果b ＝1972a ，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(取lg 2＝0.30)【解析】(1)依题意得a 1＝a (1＋14)－b ＝54a －b ，a 2＝54a 1－b ＝54(54a －b )－b ＝(54)2a －(54＋1)b ，a 3＝54a 2－b ＝(54)3a －[(54)2＋(54＋1)]b ，由此猜测a n ＝(54)n a －[(54)n －1＋(54)n －2＋…＋54＋1]b ＝(54)n a －4[(54)n －1]b (n ∈N ＋).下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝54a －b ，猜测成立.②假设n ＝k (k ≥2)时猜测成立，即a k ＝(54)k a －4[(54)k －1]b 成立.那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝54a k －b ＝54⎩⎨⎧⎭⎬⎫(54)k a －4[(54)k －1]b －b ＝(54)k ＋1a －4[(54)k ＋1－1]b ，即当n ＝k ＋1时，猜测仍成立. 由①②知，对任意n ∈N ＋，猜测成立.(2)当b ＝1972a 时，若该地区今后发生水土流失，则森林木材存量必须少于79a ，所以(54)n a －4[(54)n －1]·1972a ＜79a ，整理得(54)n ＞5，两边取对数得n lg 54＞lg 5，所以n ＞lg 5lg 5－2lg 2＝1－lg 21－3lg 2≈1－0.301－3×0.30＝7.故经过8年该地区就开始水土流失.【变式训练3】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0).(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解析】(1)依题意，y ＝9203＋(v ＋1 600v)≤9203＋2 1 600＝92083，当且仅当v ＝1 600v，即v ＝40时，上式等号成立，所以y max ＝92083≈11.1(千辆/时).(2)由条件得920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理得v 2－89v ＋1 600＜0，即(v －25)(v －64)＜0，解得25＜v ＜64.答：当v ＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时.总结提高1.有些不等式，从正面证如果不易说清，可以考虑反证法，凡是含有“至少”、“唯一”或者其他否定词的命题适用反证法.在一些客观题如填空、选择题之中，也可以用反证法的方法进行命题正确与否的判断.2.放缩法是证明不等式特有的方法，在证明不等式过程中常常要用到它，放缩要有目标，目标在结论和中间结果中寻找.常用的放缩方法有：(1)添加或舍去一些项，如a 2＋1＞||a ，n (n ＋1)＞n ； (2)将分子或分母放大(或缩小)；(3)利用基本不等式，如n (n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2；(4)利用常用结论，如k ＋1－k ＝1k ＋1＋k ＜12k，1k 2＜1k (k －1)＝1k －1－1k； 1k 2＞1k (k ＋1)＝1k －1k ＋1(程度大)； 1k 2＜1k 2－1＝1(k －1)(k ＋1)＝12(1k －1－1k ＋1) (程度小). 3.用数学归纳法证明与自然数有关的不等式的证明过程与用数学归纳法证明其他命题一样，先要奠基，后进行假设与推理，二者缺一不可.18.4 柯西不等式和排序不等式典例精析题型一 用柯西不等式、排序不等式证明不等式【例1】设a 1，a 2，…，a n 都为正实数，证明：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .【证明】方法一：由柯西不等式，有(a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1)(a 2＋a 3＋…＋a n ＋a 1)≥ (a 1a 2·a 2＋a 2a 3·a 3＋…＋a n a 1·a 1)2＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2. 不等式两边约去正数因式a 1＋a 2＋…＋a n 即得所证不等式.方法二：不妨设a 1≤a 2≤…≤a n ，则a 21≤a 22≤…≤a 2n，1a 1≥1a 2≥…≥1a n. 由排序不等式有a 21·1a 2＋a 22·1a 3＋…＋a 2n －1·1a n ＋a 2n ·1a 1≥a 21·1a 1＋a 22·1a 2＋…＋a 2n ·1a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， 故不等式成立.方法三：由均值不等式有 a 21a 2＋a 2≥2a 1，a 22a 3＋a 3≥2a 2，…，a 2na 1＋a 1≥2a n ，将这n 个不等式相加得 a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a 1≥2(a 1＋a 2＋…＋a n )，整理即得所证不等式. 【点拨】 根据所证不等式的结构形式观察是否符合柯西不等式、排序不等式的结构形式或有相似之处.将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方等方法的处理.【变式训练1】已知a ＋b ＋c ＝1，且a 、b 、c 是正数，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9.【证明】左边＝[2(a ＋b ＋c )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a )＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a)≥(1＋1＋1)2＝9，(或左边＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a)＝3＋a ＋b b ＋c ＋a ＋b c ＋a ＋b ＋c a ＋b ＋b ＋c c ＋a ＋c ＋a a ＋b ＋c ＋a b ＋c≥3＋2b ac b c b b a ++++∙＋2b a a c a c b a ++++∙＋2c b ac a c c b ++++∙＝9) 所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9.题型二 用柯西不等式求最值【例2】 若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝2，求x 2＋y 2＋z 2的最小值. 【解析】 由柯西不等式得，(12＋22＋32)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋2y ＋3z )2＝4 (当且仅当1＝kx,2＝ky,3＝kz 时等号成立，结合x ＋2y ＋3z ＝2，解得x ＝17，y ＝27，z ＝37)，所以14(x 2＋y 2＋z 2)≥4.所以x 2＋y 2＋z 2≥27.故x 2＋y 2＋z 2的最小值为27.【点拨】 根据柯西不等式，要求x 2＋y 2＋z 2的最小值，就要给x 2＋y 2＋z 2再配一个平方和形式的因式，再考虑需要出现定值，就要让柯西不等式的右边出现x ＋2y ＋3z 的形式，从而得到解题思路.由此可见，柯西不等式可以应用在求代数式的最值中.【变式训练2】已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值.【解析】因为(x 2＋2y 2＋3z 2)[32＋(2)2＋(13)2]≥(3x ＋2y ·2＋3z ·13)2≥(3x ＋2y ＋z )2，所以(3x ＋2y ＋z )2≤12，即－23≤3x ＋2y ＋z ≤23，当且仅当x ＝－9317，y ＝－3317，z ＝－317时，3x ＋2y ＋z 取最小值，最小值为－2 3. 题型三 不等式综合证明与运用【例3】 设x ＞0，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n .【证明】(1)当x ≥1时，1≤x ≤x 2≤…≤x n ，由排序原理：顺序和≥反序和得 1·1＋x ·x ＋x 2·x 2＋…＋x n ·x n ≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋x n －1·x ＋x n ·1，即1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n ≥(n ＋1)x n .①又因为x ，x 2，…，x n ，1为序列1，x ，x 2，…，x n 的一个排列，于是再次由排序原理：乱序和≥反序和得1·x ＋x ·x 2＋…＋x n －1·x n ＋x n ·1≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋x n －1·x ＋x n ·1，即x ＋x 3＋…＋x 2n －1＋x n ≥(n ＋1)x n ，②将①和②相加得1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n .③ (2)当0＜x ＜1时，1＞x ＞x 2＞…＞x n . 由①②仍然成立，于是③也成立. 综合(1)(2)，原不等式成立.【点拨】 分类讨论的目的在于明确两个序列的大小顺序.【变式训练3】把长为9 cm 的细铁线截成三段，各自围成一个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值.【解析】设这三个正三角形的边长分别为a 、b 、c ，则a ＋b ＋c ＝3，且这三个正三角形面积和S 满足：3S ＝34(a 2＋b 2＋c 2)(12＋12＋12)≥34(a ＋b ＋c )2＝934⇒S ≥334.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立.总结提高1.柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用.教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.2.排序不等式也是基本而重要的不等式.一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式a 2＋b 2≥2ab .有些重要不等式则可以借助排序不等式得到简捷的证明.证明排序不等式时，教科书展示了一个“探究——猜想——证明——应用”的研究过程，目的是引导学生通过自己的数学活动，初步认识排序不等式的数学意义、证明方法和简单应用.3.利用柯西不等式或排序不等式常常根据所求解(证)的式子结构入手，构造适当的两组数，有难度的逐步调整去构造.对于具体明确的大小顺序、数目相同的两列数考虑它们对应乘积之和的大小关系时，通常考虑排序不等式.。
指数+课件-2025届高三数学一轮复习
负数没有偶次方根，故C错误；
x + y 2 是非负数，所以
x+y
2
= |x + y|,故D正确.
)
例1-2 ［教材链接题］已知a,b ∈ ，下列各式总能成立的有( B )
A.
3
a−b
4
3
=b−a
B.
4
C. a4 − b 4 = a − b
【解析】
3
a−b
3
【答案】 − = − =
− ,∴
− =
∴
+
− = − ,
−
− =
=
−
+−
=
−
=
−
,
,
故 − + �� − = − +
−
.
− × = ( − ) =
再将x + x −1 = 7平方并化简得x 2 + x −2 = 47,
3
2
x +x
3
−2
1
2
= x +x
1
−2
1
2
x−x ⋅x
3
2
1
−2
方和公式展开求解，也可由x + x
解）
从而
3
3
−
x2 +x 2 +2
x2 +x−2 +3
=
18+2
第一章 第3讲 充分条件与必要条件-2021届高三数学一轮高考总复习课件(共27张PPT)
【规律方法】充分条件、必要条件的应用，一般表现在参 数问题的求解上.解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关 系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式 组)求解；
(2)一定要注意端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增 解的现象；
(3)注意区别以下两种不同说法： ①p 是 q 的充分不必要条件，是指p⇒q 但q p； ②p 的充分不必要条件是 q，是指q⇒p 但p q.
解：p：A＝{x|－2≤x≤10}，q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m}. (1)∵ p 是 q 的必要而不充分条件， 即 q⇒ p， p q，∴p⇒q 且 q p.如图 1-3-1.
图 1-3-1 ∴A B，[－2,10] [1－m,1＋m]，
m>0， 即1－m≤－2，解得m≥9，
1＋m≥10. ∴实数 m 的取值范围是[9，＋∞).
数列”的必要而不充分条件.故选 B. 答案：B
(3)(2019 年新课标Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条 件是( )
A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α，β平行于同一条直线 D.α，β垂直于同一平面 解析：α内有两条相交直线与β平行，则根据面面平行的判 定定理α∥β，显然 B 正确. 答案：B
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：求解不等式 x3>8 可得 x>2，求解绝对值不等式|x|>2
可得 x>2 或 x<－2，据此可知：“x3>8”是“|x|>2”的充分而不
必要条件.故选 A.
答案：A
(2)(2018 年北京)设 a，b，c，d 是非零实数，则“ad＝bc”
第18讲 利用导数研究函数的单调性(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
3. 已知函数单调性求参数的值或参数的范围
(1)函数 y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，可转化为 f′(x)≥0 在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不
恒为_0；也可转化为(a，b)⊆增区间． 函数 y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，可转化为 f′(x)≤0 在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不恒 为_0；也可转化为(a，b)⊆减区间． (2)函数 y＝f(x)的增区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝增区间，也可转化为 f′(x)＞0 的解集是(a，b)；
6、函数 f(x)＝x3－6x2 的单调递减区间为________．
【答案】(0,4)
【解析】：f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，
由 f′(x)<0，得 0<x<4，
∴函数 f(x)的单调递减区间为(0,4)．
7、(多填题)已知函数 f(x)＝x3＋mx2＋nx－2 的图象过点(－1，－6)，函数 g(x)＝f′(x)＋6x 的图象关于 y 轴对
∴h(x)在(2，3)递增，h(x)>h(2)＝3，
∴实数 a 的取值范围为 a≤3；
②由题意得 g′(x)＝x2－ax＋2<0 在(－2，－1)上有解，∴a<x＋2在(－2，－1)上有解， x
【答案】D
【解析】
函数
f(x)＝－2lnx－x－3的定义域为(0，＋∞)，且 x
f′(x)＝－2x－1＋x32＝－x2＋x22x－3，解不等式
f′(x)>0，即 x2＋2x－3<0，由于 x>0，解得 0<x<1.因此，函数 y＝f(x)的单调递增区间为(0，1).故选 D.
3、函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 的图像如图，则函数 y＝ax2＋3bx＋c的单调递增区间是( ) 23
高三一轮复习研讨会数学课件(共101张PPT)
重点、难点分析 两个互斥事件的概率加法公式是一个很基本 同时又是很重要的公式。之所以说基本，是因为 它是一个最简单的概率运算公式，它是任意两个 事件的概率加法公式的特例。而其重要性主要在 于它是从单个事件向多个事件过渡的起点和中介， 它起着承前启后的作用。如果说单个事件的概率 问题依靠比例还可以解决的话，那么两个以上的 事件的概率问题仅仅依靠比例就很难解决。对于 一些较复杂的事件的概率，直接依据概率的定义 来进行计算是很不方便的。本章主要包括两个基 本公式：互斥事件概率加法公式及对立事件概率 和公式，而前者既是教学重点又是教学难点。
• 案例1 “两条直线的位置关系”的教学目标设计 知识与技能 ①理解两条直线平行与垂直充要条件的推导、公式及应 用。 ②能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。 过程与方法 ①通过探索两条直线平行或垂直的充要条件和推导过程， 培养学生观察、归纳的数学逻辑思维能力，并渗透算法 的思想。 ②通过灵活运用公式的过程，提高学生类比化归、数形 结合的能力。 情感态度与价值观 ①培养学生主动探究知识、合作交流的意识。 ②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。
• 师：很好，存在长度最小的向量吗？它的长度为 多少？给它取个名字吧！ • 生1：我想存在长度最小的向量，它的长度为零。 • 师：这种长度为零，而方向是任意的向量是零向 量。长度为1，方向是任意的向量呢？（学生沉 思，没反应，但探索的欲望越来越高，都在积极 思考，但又没很好的答案，教师进行启发。） • 师：圆心任意，半径是一个单位的圆是单位圆 （学生讨论交流） •师：这位同学语言表达非常的清晰、简练。 师：可是随着长度的递增，出现无数的向量，它们 无从管理。所以我们引进了新的管理方法
●情感态度与价值观 这里的情感是指，在数学活动过程中的比较稳定 的情绪体验。 数学态度是指，对数学活动、数学对象的心理倾 向或立场，表现出兴趣、爱好、喜欢与否、看法立 场。数学态度可以演变为数学信念——对数学持有 的较为稳定的总体看法、观念。 数学态度包括对数学学科的态度（数学信念）、 对数学的兴趣、对数学具体内容的态度。 这一维度目标的内容还包括宏观的价值观和数学 审美观。例如，对数学的科学价值、应用价值和文 化价值的看法；辩证法的观点；数学的简洁整齐之 美、统一和谐之美、抽象概括之美、对称之美、精 确之美。 刻画情感态度目标的术语有：感受……、体会……、 领悟……；形成……观点、养成……习惯、欣 赏……之美。
高三数学一轮复习 第1章 集合与常用逻辑用语第1课时 集合的概念与运算精品课件
• 集合是高中数学的基础内容，也是高考数学的必考内容，难度 不大，一般是一道选择题或填空题．通过对近两年高考试题的统 计分析可以看出，对集合内容的考查一般以两种方式出现：一是 考查集合的概念、集合间的关系及集合的运算．
• (3){x|x2－ax－1＝0}和{a|方程x2－ax－1＝0有实根}的意义不 同．{x|x2－ax－1＝0}表示由二次方程x2－ax－1＝0的解构成的集 合，而集合{a|方程x2－ax－1＝0有实根}表示方程x2－ax－1＝0有 实数解时参数a的范围构成的集合．
【变式训练】 1.现有三个实数的集合，既可以表示为a，ba，1， 也可表示为{a2，a＋b,0}，则 a2 011＋b2 011＝________.
命题与量 词、 基本 逻辑 联结 词
1.了解命题的概念． 2.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义． 3.理解全称量词与存在量词的含义． 4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
充分条件、
必要
条件 1.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四
与命
种命题的相互关系．
题的 2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
①集合 S＝{a＋b 3|a，b 为整数}为封闭集； ②若 S 为封闭集，则一定有 0∈S； ③封闭集一定是无限集； ④若 S 为封闭集，则满足 S⊆T⊆R 的任意集合 T 也是封闭集． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)
序号 结论
理由
• 【全解全析】对于任意整数 a1，b1，a2，b2，有 a1＋b1 3＋a2＋b2 3
B．{a|a≤2或a≥4}
高三数学一轮复习ppt课件
A，y∈A}中元素的个数是( C )
A．1
B．3
C．5
D．9
13
[解析] ∵A＝{0,1,2}，∴B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1， －2,1,2}．故集合 B 中有 5 个元素．
14
(2)若集合 A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则
a＝( B )
9 A.2
B．98
C．0
9
(2)设全集 U＝R，A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，则图中阴 影部分表示的集合为___{_x_|1_≤__x_<_2_}__．
解析：图中阴影部分可用(∁UB)∩A 表示，故(∁UB)∩A＝ {x|1≤x<2}．
10
解决集合问题的两个方法：列举法；图示法． (1)若集合 A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则 A∩B 的子集的个数 为____4____． 解析：A∩B＝{1,3}，其子集分别为∅，{1}，{3}，{1,3}， 共 4 个．
D．0 或98
15
[解析] 当 a＝0 时，显然成立；当 a≠0 时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即 a＝98.
16
(3)[2017·甘肃白银期末]已知集合 A＝{1,3， m}，B＝{1，
m}，A∩B1
B．0 或 3
C．1 或 3
D．0 或 1 或 3
17
[解析] ∵A＝{1,3， m}，B＝{1，m}，且 A∩B＝B，∴m ＝3 或 m＝ m，但 m≠1，解得 m＝0 或 m＝3.当 m＝0 时，A＝ {0,1,3}，B＝{1,0}，满足 A∩B＝B；当 m＝3 时，A＝{1,3， 3}， B＝{1,3}，满足 A∩B＝B.综上，m＝0 或 3.故选 B.
新课标2023版高考数学一轮总复习第1章预备知识第1节集合课件
根据集合的运算结果求参数的值或范围的方法 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中 的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若 是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取 到． (2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．
1．设集合 A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＝1}，则 A∩B
(5,6] 解析：因为 P 中恰有 3 个元素，所以 P＝{3,4,5}，故 k 的取值范围为(5,6]．
与集合中的元素有关问题的求解思路 (1)确定集合中元素的特征，即集合是数集还是点集或其他集合． (2)看清元素的限制条件． (3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，但要检 验参数是否满足集合元素的互异性．
1．A∪B＝A⇔B⊆A． 2．A∩B＝A⇔A⊆B． 3．∁U(∁UA)＝A．
4．常用结论 (1)若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集有 2n 个，真子集有(2n －1)个，非空真子集有(2n－2)个． (2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C． (3)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)， ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
(4)集合与集合间的基本关系 ①子集：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素．用符号表 示为 A⊆B (或 B⊇A )． Venn图如图所示：
②真子集：集合 A⊆B，但存在元素 x∈B，且 x A．用符号表示 为：A B(或 B A)．
Venn 图如图所示：
③集合相等：集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集 合B的任何一个元素都是集合A的元素．用符号表示为 A＝B ．
1．设全集 U＝R，则集合 M＝{0,1,2}和 N＝{x|x·(x－2)·log2x＝0} 的关系可表示为( )
新课标2023版高考数学一轮总复习第1章预备知识第2节充分条件与必要条件课件
03
一题N解·深化综合提“素养”
已知 p：x>1 或 x<－3，q：5x－6>x2，则 p 是 q 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[四字程序]
读
想
算
思
1．充分条件、必要
判断充分条 条件的概念． 件、必要条件 2．判断充分条件、
解不等式
转化与化归
(1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．
(√)
(2)当q是p的必要条件时，p是＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条
件．
(√)
(4)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则B是A的真子
集．
(√)
2．(2021·惠州市二调)“θ＝0”是“sin θ＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
B 解析：设等比数列{an}的公比为 q， 充分性：当 a1>0，q<0 时，Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn，无法判断其正 负，显然数列{Sn}不一定是递增数列，充分性不成立； 必要性：当数列{Sn}为递增数列时，Sn－Sn－1＝an>0，可得 a1>0， 必要性成立．
A 解析：由题意，若 a>6，则 a2>36，故充分性成立；若 a2>36， 则 a>6 或 a<－6，推不出 a>6，故必要性不成立．所以“a>6”是 “a2>36”的充分不必要条件．
2．已知 a，b，c∈R，则“abbc>>00， ”是“b－a c<b＋a c”的(
)
A．充分不必要条件
高三数学第一轮复习课件(ppt)目录
Page 12
目录 CONTENTS
第二章
2.1 函数及其表示 2.2 函数的单调性与最值 2.3 函数的奇偶性与周期性 2.4 一次函数、二次函数 2.5 指数与指数函数 2.6 对数与对数函数 2.7 幂函数 2.8 函数的图象及其变换 2.9 函数与方程
函数
2.10 函数模型及其应用
第一讲：三角函数
S ABC=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2ah，可得sinA=√15/8，sinC=√15/4。
∴cosA=7/8,cosC=1/4，
∴cos（A-C）=7/8 x 1/4 + √15/8 x √15/4
=11/16 c=2
A
b=2
h=√15/2
Page 21
B
C 1/2 a
1/2
C、﹙1，＋∞﹚
D、[1，＋∞﹚
解析：由于3x＞0，所以3x+1＞1，所以f（x）＞0，集合表示为（0，＋∞），答案为A
2、已知函数y=2x＋1的值域为（5,7），则对应的自变量x的范围为（
）
A、[2,3）
B、[2,3]
C、(2,3)
D、（2,3]
解析：根据题意：5＜2x+1＜7,解得2＜x＜3，用集合表示为（2,3），答案为C
A [1,2]
解析：解二元一次不等式x2 +2x-8≤0，可得-4≤x≤2，所以M为[-4,2]; 解不等式3x-2≥2x-1,可得x≥1,所以N为[1,＋∞﹚。此时我们可以应用数轴马 上解决问题：
-4 0 1 2
如图所示，阴影部分即为所求。答案：A 启示：掌握好数轴工具，在集合、函数问题（ B
B、﹙－∞，5]
）
D、[5，＋∞﹚
集合课件高三数学一轮复习
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
主干知识·回顾
核心题型·突破
课时分层检测
3．设全集为 R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则∁R(A∪B)＝ ________，(∁RA)∩B＝________．
答案 {x|x≤2 或 x≥10} {x|2＜x＜3 或 7≤x＜10}
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
得 m>－6.]
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
主干知识·回顾
核心题型·突破
课时分层检测
题型三 集合的基本运算
命题点 1 集合的运算
[例 3] (2023·天津卷，5 分)已知集合 U＝1，2，3，4，5 ，A＝
1，3
，B＝{1，2，4}，则(∁UB)∪A＝(
)
A． 1，3，5
B． 1，3
__A_∩__B___ __∁_U__A___
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
主干知识·回顾
核心题型·突破
课时分层检测
【常用结论】 1．若集合 A 有 n(n≥1)个元素，则集合 A 有 2n 个子集，2n－1 个真子 集． 2．子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C. 3．等价关系：A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.
所以 M∩N＝{－2}．故选 C. 方法二 因为 M＝{－2，－1，0，1，2}，将－2，－1，0，1，2 代入 不等式 x2－x－6≥0，只有－2 使不等式成立，所以 M∩N＝{－2}．故选 C.]
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
主干知识·回顾
核心题型·突破
课时分层检测
跟踪训练 1 (1)(多选)集合 A＝{x|mx2＋2x＋m＝0，m∈R}中有且只有 一个元素，则 m 的取值可以是( )
高三数学一轮复习北师大PPT课件
第42页/共61页
[点评] 求锥体的体积常用方法为：割补法和等积变 换法：(1)割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何 体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积， 从而得出几何体的体积．有时将几何体补成易求几何体的 体积，如长方体、正方体，然后求出两个或几个几何体的 体积之差．
第12页/共61页
5．(2010·浙江理)若某几何体的三视图(单位：cm)如 图所示，则此几何体的体积是________cm3.
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[答案] 114 [解析] 三视图还原为一个正棱台和长方体的组合体， 对棱台：下底边长8，上底边长为4，高为3，对其上的长 方体，边长为4,4,2，则体积为144cm3.
第25页/共61页
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝，AA1 ＝2，∠ABC＝90°，E、F分别为AA1、B1C1的中点，沿棱 柱的表面从E点到F点的最短路径的长度为d，求d的最小 值．
第26页/共61页
[分析] 可将直三棱锥的表面展开，利用“两点间线 段最短”来解决．
[解析] 将三棱柱的侧面、底面展开有三种情形：
方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为
()
2
2
3
2
A. 6
B. 3
C. 3
D.3
[答案] B
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[解析] 本小题主要考查正方体的有关性质和凸多 面体的体积公式．
如图，凸多面体为两个相同正四棱锥的组合体， ∵AC＝ 2，AE＝1， 且 AECF 为正方形， ∴EC＝1，∴SAECF＝1， ∵高为 22， ∴V＝2×31× 22＝ 32，故选 B.
高三数学第一轮复习《第1课时 集合的概念及其基本运算》课件
探究提高 在解决两个数集关系问题时,避免出错的 一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解,另 外，在解含有参数的不等式（或方程）时,要对参数 进行讨论.分类时要遵循“不重不漏”的分类原则， 然后对每一类情况都要给出问题的解答. 分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类； ③逐类讨论；④归纳结论.
（2）当a=0时，显然B A；
当a<0时，若B A，如图,
4 则 a
1 a
1 2
2
,
a a
8 1.
2
1 2
a
0;
当a>0时，若B A，如图,
则4 a
1 a
2
1
2
,
a a
2 .0
2
a
2.
综上知，当B
A时，
1 2
a
2
（3）当且仅当A、B两个集合互相包含时，A=B.
由（1）、（2）知，a=2.
( B)
A.a<1 B.a≤1 C.a<2 D.a≤2
解析 由图象得a≤1,故选B.
明年目标
工作详情
题型一 集合的基本概念
【例1】 集合A={0,2,a},B={1,a2},
若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为 （ ）
A.0
B.1
C.2
D.4
思维启迪 根据集合元素特性，列出关于a的方程
则A∩（ UB）等于 A.{x|0≤x<1}
（B） B.{x|0<x≤1}
C.{x|x<0}
D.{x|x>1}
解析 ∵B={x|x>1},
∴ UB={x|x≤1}. 又A={x|x>0},
∴A∩（ UB）={x|0<x≤1}。
高三数学一轮复习课件第18讲三角函数的图像与性质
平移 个单位长度,则平移后图像的对称轴为 (
12
π π
A.x= 2 - 6 (k∈Z)
π π
C.x= 2 -12 (k∈Z)
π
π
B.x= 2 + 6 (k∈Z)
π
π
D.x= 2 +12 (k∈Z)
[答案]
B
)
[解析] 平移后的图像对应的解析式为
π
π
π
y=2sin 2 x+12 ,令 2 + 12 =kπ+ 2 (k∈
π
T= .
||
2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称
1
中心与对称轴之间的距离是 周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.
4
3.三角函数中奇函数一般可化为 y=Asin ωx 或 y=Atan ωx 的形式,偶函数一般可化为 y=Acos
ωx+b 的形式.
D.与 b 无关,但与 c 有关
)
[答案]
B
[解析] 若 b=0,则
f(x)=sin2x+c=
1-cos 2
2
1
1
2
2
+c=- cos 2x+ +c 的
最小正周期是 π;若 b≠0,则
f(x)=sin2x+bsin x+c 的最小正周期是 2π.
故选 B.
教学参考
3.[2017·天津卷] 设函数
A
5π
8
=2,f
11π
=0,∴
8
3π
- 8 =4 (2m+1),m∈N,解得 T=2 +1,m∈
高三数学一轮复习PPT课件
角度一
离散型数集间的交、并、补运算
[典题 3] [2017·湖南株洲模拟]设全集 U＝{0,1,2,3,4,5}，
集合 A＝{2,4}，B＝{y|y＝log 3) (x－1)，x∈A}，则集合(∁ UA)∩(∁UB)＝( D )
第17页/共60页
[点石成金] 与集合中的元素有关问题的求解策略 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含 义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是 其他类型集合． (2)集合中元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特 别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的 元素是否满足互异性．
第25页/共60页
(2)已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}， 若 B⊆A，则实数 m 的取值范围为______(_－__∞__，__3_]______．
[解析] ∵B⊆A， ∴①若 B＝∅，则 2m－1<m＋1，此时 m<2.
2m－1≥m＋1， ②若 B≠∅，则m＋1≥－2，
第23页/共60页
[典题 2] (1)已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B
＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件 A⊆C⊆B 的集合 C 的个
数为( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
第24页/共60页
[解析] 由 x2－3x＋2＝0，得 x＝1 或 x＝2， ∴A＝{1,2}． 由题意知 B＝{1,2,3,4}， ∴满足条件的 C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
9 A.2
B．98
C．0
D．0 或98
第14页/共60页
直线的方程课件 高三数学一轮复习
解析：如图所示：
当直线l过B时设直线l的斜率为k1，
则k1＝
3−0＝－0−13， Nhomakorabea当直线l过A时设直线l的斜率为k2， 则k2＝12−−01＝1，
∴要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－ 3] ∪
1， + ∞ ．
题后师说
(1)由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围 求 π)上直的线单倾调斜性角求的解取，值这范里围特时别，要常注借意助，正正切切函函数数y＝在ta[0n，x在π2)[∪0，(π2，π2)π∪)上(π2 ， 并不是单调的．
课堂互动探究案
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算 公式．
2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜 式、两点式及一般式)．
问题思考·夯实技能 【问题1】 直线的倾斜角越大，斜率越大对吗？
答案：不对．设直线的倾斜角为α，斜率为k.
【问题2】
在平面直角坐标系中，给定直线l上一个定点P0(x0，y0)和斜率k，则 直线l上不同于该定点的任意一点P(x，y)的横坐标x与纵坐标y所满足 的关系式是什么？
公共点，则直线l斜率的取值范围为__[13_，___3_]_．
解析：∵P(－1，0)，A(2，1)，B(0， 3)， ∴kPA＝2−1−−01 ＝13，kPB＝0−3−−01 ＝ 3. 由图可知，直线l的斜率k的取值范围为[13 ， 3].
【变式练习】 若本例(2)中“P(－1，0)”改为“P(1，0)”，其他 条件不变，则直线l的斜率的取值范围为__(－__∞__，_－___3_]_∪__1_，__+__∞__．
题后师说
求直线方程的两种方法 (1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式． (2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待 定的系数，再由题设条件求出待定系数．
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题型一 两条直线的位置关系
例1(1)已知:直线ax+3y+1=0与x+(a-2)y+a=0平行,求a的取值; (2)已知:直线ax-y+2a=0与(2a-1)x+ay+a=0互相垂直,求a的 取值.
共 71 页
17
共 71 页
18
点评 : 若直线l1 , l 2的方程分别为A1x B1 y C1 0和 A 2 x B2 y C 2 0, 则l1 A1 B1 C1 l 2的条件是 . A 2 B2 C 2
共 71 页 36
点评:点到直线的距离公式经常在研究直线与圆的位置关系
时运用,在利用点求到直线的距离公式解题时,首先要把直线 方程化为标准形式.
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37
变式4:如果圆(x-a)2+(y-a)2=4上总存在两个点到原点的距离 为1,则实数a的取值范围是____.
2 3 3 2 答案 : ( 2, ) , 2 2 2 2 2
2
共 71 页 8
2 点到直线的距离公式
点P(x 0 , y0 )到直线Ax By C 0的距离记为d. | Ax 0 By0 C | d A 2 B2
共 71 页
9
说明 : ①点到直线的距离是直线上的点与直线外一点 的连线的最短距离. ②当直线为x a时, d | x 0 a |, 当直线为y b时, d | y 0 b | . ③用点到直线间的距离公式, 先把直线方程化为一般 式方程.
共 71 页
2
说明:判断两条直线平行时,要注意,两条直线的斜率,当两条直
线都与x轴垂直时,平行,当两条直线不与x轴垂直时,只要它们 的斜率相等,截距不等就平行.
共 71 页
3
(2)两条直线垂直 设直线l1:y=k1x+b1,直线l2:y=k2x+b2 若l1⊥l2,则k1k2=-1;反之,若k15k2=-1,则l1⊥l2. 特别地,对于直线l1:x=a,l2:y=b,l1⊥l2.
第四十七讲 两条直线的位置
关系、交点坐标与距离公式
共 71 页
1
走进高考第一关 考点关 回归教材 1.两条直线的位置关系 (1)两条直线平行
两条不重合直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2(b1≠b2),若l1∥l2,则
k1=k2,反之;若k1=k2,则l1∥l2,如果l1,l2的斜率都不存在,那么它 们的倾斜角都是90°,从而它们互相平行.
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10
3 两条平行直线的距离.
l1 : Ax By C1 0与l2 : Ax By C 2 0的距离 d | C1 C 2 | A 2 B2
注意:应用此公式要把两平行直线化为一般形式且使 x,y的系数分别相等.
共 71 页
11
考点训练
1.(2009·上海)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x2y+3=0平行,则k的值是( A.1或3 B.1或5 ) C.3或5 D.1或2
答案:C
解析:∵l1∥l2,∴(k-3)(-2)=(4-k)· 2(k-3),
且(4-k)×3≠1×(-2).
解得k=3或k=5. 故选C.
共 71 页
12
2.点P(2,-3)到点P关于M(4,1)对称点P′的距离是(
)
A.20
答案:D
B.40
C.2 5
D.4 5
解析 :| PP 2 PM | 4 5, 故选D.
2
3
2
1.由点到直线的距离公式得d 0.即k 0或k 0.
|1 k 3 4 | 1 k
2
, 从而k 24k 7
7 , 所以直线l的方程为y 0或7x 24y 28 24
共 71 页
34
(2)设点P(a, b)满足条件, 不妨设直线l1的方程为y b 1 k x a , k 0, 则直线l 2的方程为y b x a . k 因为圆C1和C2的半径相等, 及直线l1被圆C1截得的弦 长与直线l 2被圆C2 截得的弦长相等, 所以圆C1的圆心 到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l 2的距离相等, 即 1 4 a b 1 k 3 a b k , 2 1 1k 1 2 k 整理得 1 3k ak b 5k 4 a bk , 5 从而1 3k ak b 5k 4 a bk 或1 3k ak b 5k 4 a bk,
共 71 页 35
即 a b 2 k b a 3或 a b 8 k a b 5, 因为k的取值有无穷多个, 所以 a b 2 0, a b 8 0, 或 b a 3 0, a b 5 0, 5 3 a , a , 2 2 解得 或 b 1 . b 13 . 2 2 5 1 3 13 这样点P只可能是点P1 , 或点P2 , . 2 2 2 2 经检验点P1和P2满足题目条件.
方程.
共 71 页
39
共 71 页
40
共 71 页
41
共 71 页
42
共 71 页
43
点评:在对称问题中,点关于直线的对称是最基本的对称,处理
这种问题要抓住两点:一是已知点与对称点的连线与对称轴 垂直;二是以已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴 上;处理直线关于直线的对称问题可以转化为点关于直线的 对称问题来解决.如解法一,也可以用距离公式来解决,如解法 二. 直线的方向向量将解析问题与向量问题有机结合,在解决问 题时要注意运用.
共 71 页
4
2.两条直线的交点 一般地,如果两条不重合的直线方程分别为 l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0. 如果它们的斜率不相等,则两条直线相交,交点坐标就是两个
方程组成的方程组的唯一解.
共 71 页
5
A1x B1 y C1 0 说明 : 方程组 A 2 x B2 y C 2 0 若方程组无解, 则直线l1和l2平行, 反之, 也成立. 若方程组有无穷解, 则直线l1和l2重合, 反之, 也成立. 若方程组有唯一解, 则直线l1和l2相交, 方程组的解就 是交点坐标.
的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的
点P的坐标.
共 71 页
33
解 : 1由于直线x 4与圆C1不相交, 所以直线l的斜率存在. 设直线l的方程为y k x 4 ,圆C1的圆心到直线l的距离为 d,因为直线l被圆C1截得的弦长为2 3, 所以d 2
共 71 页
21
共 71 页
22
共 71 页
23
共 71 页
24
点评:一般地,直线l:Ax+By+C=0中系数A、B确定直线的斜率,
因此与直线l平行的直线可设为Ax+By+m=0.与直线l垂直的 直线可设为Bx-Ay+n=0.
共 71 页
25
变式2:过点(-2,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为. 答案:2x+y+1=0
共 71 页
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解法二:设所求直线方程为3x+y-1+λ(x+2y-7)=0,
即(3+λ)x+(1+2λ)y-1-7λ=0. ∵此直线与3x+y-1=0垂直, ∴3(3+λ)+1×(1+2λ)=0,即λ=-2. ∴所求直线方程为3x+y-1-2(x+2y-7)=0. 即x-3y+13=0.
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1 解析 : 直线x 2y 3 0的斜率为k , 则所求直线的 2 斜率为 2, 故所求直线方程为y 3 2 x 2 , 即2x y 1 0.
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题型二 两条直线的交点 例3求过两直线3x+y-1=0与x+2y-7=0的交点,并且与第一条 直线垂直的直线方程.
(A 2 B2 0)再判断A 2或B2有为零时情况. l1 l2的充要条件是A1A 2 B1B2 0.
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变式1:已知直线(3-a)x+(2a-1)y+7=0与直线(2a+1)x+(a+5)yb=0互相垂直,则实数a的值为( )
1 A. 3
答案:B
1 B. 7
1 C. 2
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解析 :由题意可知, l1 , l2间的距离为
3 1 11
2,
直线m被l1 , l2 截得的线段的长度为2 2, 直线m与l1或l2的夹角为30.又直线l1 , l 2的倾斜角为45, 直线m的倾斜角为15或75. ①⑤正确.
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解读高考第二关 热点关
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4.(2009 全国)若直线m被两平行线l1 : x y 1 0与l 2 : x y 3 0所截得的线段的长为2 2, 则m的倾斜角可 以是①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75 其中正确答案的序号是____.(写出所有正确答案的 序号)
答案:①⑤
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题型三 距离问题
例4(2009·江苏) 在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆 C2:(x-4)2+(y-5)2=4. (1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为23,求直线l的