5.3用待定系数法确定二次函数表达式(3)
确定二次的函数的表达式
确定二次的函数的表达式知识点1 用一般式确定二次函数表达式1.已知抛物线上的三点坐标，可以设函数解析式为)0(2≠++=a c bx ax y ，代入后得到一个三元一次方程，解之即可得到c b a ,,的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫一般式.2.用待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤：步骤一：设含有待定系数的二次函数表达式y =ax 2+bx +c (a ≠0)；步骤二：将题设中满足二次函数图象的点代入所设表达式，得到关于待定系数a 、b 、c 的方程组；步骤三：解这个方程组，得到待定系数a 、b 、c 的值； 步骤四：将待定系数的值代入表达式，得到所求函数表达式.例1.已知二次函数的图象经过点(0,3)，(−3,0)，(2,−5)，且与x 轴交于A 、B 两点。
(1)试确定此二次函数的解析式； (2)求出抛物线的顶点C 的坐标；(3)判断点P (−2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在，请求出△P AB 的面积；如果不在，试说明理由。
例2.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(0，0)，(12，0)，(6，3)三点，则此抛物线的表达式是 .知识点2 用顶点式确定二次函数表达式已知二次函数的顶点坐标为（h ,k ）的话，可以设成顶点式：y =a (x -h )2+k （a 、h 、k 为常数且a ≠0）然后再找一点带入二次函数的顶点式，即可求得a 的值，最后回代到顶点式即可（提示：最后一般要把二次函数的解析式化成一般式）。
例1.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(−2,3)，且过(−1,5)，则抛物线的表达式为______. 例2.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x =2时，y 有最大值4，且过(1，2)点，此抛物线的表达式为 .例3.有一个二次函数，当x ＜-1时，y 随x 的增大而增大；当x ＞-1时，y 随x 的增大而减小；且当x =-1时，y =3，它的图象经过点（2，0），请用顶点式求这个二次函数的表达式.例4.由表格中的信息可知，若设y ＝ax 2＋bx ＋c ,则下列y 与x 之间的函数表达式正确的（ ）A . y ＝x 2－x ＋4B . y ＝x 2－x ＋6 C . y ＝x 2＋x ＋4 D . y ＝x 2＋x ＋6例5. 已知函数抛物线的顶点坐标为(-3，-2)，且过点(1，6)，求此抛物线的解析式。
5.3 用待定系数法确定二次函数表达式 课件
解：由二次函数y=ax²
＋bx＋c的图像经过点(－3，6)、(－2，－1)和(0，－3)，
得
= (－)² − + ，
൞− = (－)² − + ，
− = ，
= .
解得 ቐ = .
= −.
所求这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－3.
抛物线的顶点式
y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)
归纳总结
你能总结出用顶点式确定二次函数表达式的一般步骤吗？
步骤：
1.设：
（表达式）
2.代：
（坐标代入）
3.解：
方程（组）
4.还原：
（写表达式）
①设函数表达式为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
5.如图，平面直角坐标系中，函数图像的表达式应是_______.
y
5
4
3
2
1
O
-4 -3 -2 -13-1
1 2 x
当堂检测
6.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的x和y满足下表：
x
…
0
1
2
3
4
5
…
y
…
3
0
－1
0
m
8
…
(1)可求得m的值为_____；
3
y＝x2－4x＋3
(2)这个二次函数的表达式为______________．
解：把x=2，y=8代入y=ax²，得
8=2²×a
解得a=2.
所求这个二次函数的表达式为y＝2x2.
用待定系数法求二次函数的解析式(新人教版)课件
设立待定系数并建立方程组
• 同样，若已知抛物线的对称轴为直线$x=h$，则可设立如 下方程组
设立待定系数并建立方程组
$-frac{b}{2a}=h$
$y=ax^2+bx+c$
解方程组求得待定系数
解方程组求得$a, b, c$的值。
解方程组的方法有多种，如代入消元法、加减消元法等。
提高解决问题能力
在学习过程中，学生将学会如何根据问题条件设立未知数 、建立方程组，从而提高解决实际问题的能力。
为后续课程做准备
本节课所介绍的待定系数法将在后续课程中得到广泛应用 ，如求解二次方程、二次曲线等，因此本节课的学习将为 后续课程打下基础。
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用待定系数法求二 次函数的解析式(新 人教版)
目录
• 引言 • 二次函数的基本概念 • 待定系数法介绍 • 用待定系数法求二次函数的解析式 • 实例分析 • 课程总结与展望
01
CATALOGUE
引言
课程背景
01
二次函数是初中数学的重要内容 ，是中考的重点和难点之一。
02
通过学习待定系数法求二次函数 的解析式，学生可以更好地理解 二次函数的性质和图像，提高解 决实际问题的能力。
实际应用举例
通过具体的例题演示如何使用待定系数法求解二次函数解析式，包括如何设立未知数、建 立方程组以及求解过程。
课程对未来的影响和意义
深化对二次函数的理解
通过本节课的学习，学生对二次函数的理解将更加深入， 能够掌握其解析式的求解方法，为后续学习打下基础。
培养数学思维能力
待定系数法是一种重要的数学思维方法，通过本节课的学 习，学生将培养出灵活运用数学思维解决问题的能力。
用待定系数法求二次函数解析式(专题复习)
知识回顾 Knowledge Review
放映结束 感谢各位的批评指导！
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让我们共同进步
3.交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 知道抛物线与x轴的两个交点的坐
标,或一个交点的坐标及对称轴方程或顶 点的横坐标时选用两根式比较简便. (1)当△=b2- 4ac≥0 ,抛物线与x轴相交
y=ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) △=b2- 4ac＞0 ，交点有两个， 分别是: (x1, 0)和(x2, 0) △=b2- 4ac =0,交点只有一个 即顶点[-b/2a,(4ac-b2)/4a] △=b2- 4ac <0 ,无交点
解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c ∵ 图象过B(0,2) ∴ c=2 ∴ y=ax2+bx+2 ∵ 图象过A(2,-4),C(-1,2)两点 ∴ -4=4a+2b+2
2=a-b+2 解得 a=-1,b=-1 ∴ 函数的解析式为：
y=-x2-x+2
2. 顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)已知对称轴
y=a(x-1)2+4 ∵抛物线过点(-1, 0) ∴ 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1
∴ 函数的解析式为： y= -1(x-1)2+4= -x2+2x+3
解法3:（交点式） 由题意可知两根为x1=-1、x2=3 设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2) 则有： y=a(x+1)(x-3) ∵ 函数图象过点(1,4) ∴ 4 =a(1+1)(1-3) 得 a= -1 ∴ 函数的解析式为：
【精选推荐】二次函数(确定二次函数的表达式)
∴二次函数的表达式为y=a(x-1)2+2, 将点(0,1)代入y=a(x-1)2+2, 得a=-1. ∴二次函数的表达式为y=-(x-1)2+2,即y=-x2+2x+1.
解法3:设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将点(0,1),(1,2)和(2,1)分别代
入y=ax2+bx+c,
得 1 c，
因为只有一个系数a是未知
的,所以只需要知道图象上
一个点的坐标即可.
(2)形如y=a(x-h)2和
y=ax2+k的二次函数,有两个
系数是未知的,所以需要知
解:∵(4,3)是抛物线的顶点坐标,∴设二次
函数表达式为y=a(x-4)2+3,
把点(10,0)代入y=a(x-4)2+3,解得a= 1 , 12
因此铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)
2=3x2-6x+1.故选B.
2. 二次函数的图象如图所示,则它的解析式正确的是( D )
A.y=2x2-4x
B.y=-x(x-2)
C.y=-(x-1)2+2
D.y=-2x2+4x
解析:根据图象得:抛物线的顶点坐标为 (1,2),设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2,将 (2,0)代入解析式,得0=a+2,解得a=-2,则抛物 线解析式为y=-2(x-1)2+2=-2x2+4x.故选D.
第二章 二次函数
学习新知
检测反馈
学习新知
生活中有很多类似抛 物线形状的建筑物,如 果你是设计师,你能设 计出这些建筑物吗?
初步探究确定二次函数表达式所需要的条件
用待定系数法确定二次函数的解析式
第4课时 用待定系数法确定二次函数的解析式课标要求会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．中考考点确定二次函数的解析式.典型例题回顾：大家知道：一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数)0(≠+=k b kx y 的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数)0(≠=k xk y 的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的关系式，又需要几个独立的条件呢？ 例1 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A （0，-1），B （1，0），C （-1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y 轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x 轴交于点M （-3，0），（5，0），且与y 轴交于点（0，-3）；（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x 轴两交点间的距离为4．分析：（1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为c bx ax y ++=2的形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为3)1(2--=x a y ，再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值；（3）根据抛物线与x 轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为)5)(3(-+=x x a y ，再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值；（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为2)3(2--=x a y ，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x 轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x 轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入2)3(2--=x a y ，即可求出a 的值． 解:（1）设二次函数关系式为c bx ax y ++=2，由已知，这个函数的图象过（0，-1），可以得到c= -1．又由于其图象过点（1，0）.（-1，2）两点，可以得到⎩⎨⎧=-=+31b a b a 解这个方程组，得a=2，b= -1．所以，所求二次函数的关系式是1222--=x x y ． （2）因为抛物线的顶点为（1，-3），所以设二此函数的关系式为3)1(2--=x a y ，又由于抛物线与y 轴交于点（0，1），可以得到3)10(12--=a ，解得4=a ．所以，所求二次函数的关系式是1843)1(422+-=--=x x x y ．（3）因为抛物线与x 轴交于点M （-3，0）.（5，0），所以设二此函数的关系式为)5)(3(-+=x x a y ．又由于抛物线与y 轴交于点（0，3），可以得到)50)(30(3-+=-a ，解得 51=a ． 所以，所求二次函数的关系式是35251)5)(3(512--=-+=x x x x y ． （4）根据前面的分析，本题已转化为与（2）相同的题型，请同学们自己完成．归纳反思确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：（1）一般式：)0(2≠++=a c bx ax y ，给出三点坐标可利用此式来求．（2）顶点式：)0()(2≠+-=a k h x a y ，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．（3）交点式：)0)()((21≠--=a x x x x a y ，给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x .)0,(2x 时可利用此式来求．例2 有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6 m ，跨度为8 m ，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．(1) 求这条抛物线所对应的函数关系式；(2) 若要在隧道壁上点P (如图)安装一盏照明灯，灯离地面高4.5 m ．求灯与点B 的距离．分析：先观察图象，挖掘已知条件，确定设适当的解析式.解：(1) 由题意，设抛物线所对应的函数关系为y = ax 2 + 6 (a ＜9)，∵ 点A (－4，0)或B (4，0)在抛物线上，∴ 6)4(02+-⋅=a ， 得 83-=a ． 故抛物线的函数关系式为6832+-=x y ． (2) 将 y = 4.5代入6832+-=x y 中，得x = ± 2． ∴ P (－2，4.5)，Q (－2，0)，于是∣PQ ∣= 4.5，∣BQ ∣= 6， 从而5.725.5665.4||22==+=PB ．所以照明灯与点B 的距离为7.5 m ． 强化练习 一、选择题 1．已知：函数c bx ax y ++=2的图象如图：那么函数解析式为（ ）A ．322++-=x x yB ．322--=x x yC ．322+--=x x y D.322---=x x y 2．若所求的二次函数的图象与抛物线1422--=x x y 有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，则所求二次函数的函数关系式为 （ ）A ．y=-x 2+2x-4 B.y=ax 2-2ax-3(a ＞0) C ．y=-2x 2-4x-5 D. y=ax 2-2ax+a-3(a ＜0)二、解答题3.如图，在直角坐标系中，Rt △AOB 的顶点坐标分别为A(0，2)，O(0，0)，B(4，0)，把△AOB 绕O 点按逆时针方向旋转90°得到△COD.(1) 求C ，D 两点的坐标;(2) 求经过C ，D ，B 三点的抛物线的解析式;（3）设(2)中抛物线的顶点为P ，AB 的中点为M ，试判断△PMB 是钝角三角形.直角三角形还是锐角三角形，并说明理由.x 第1题图AB第6题图4.已知抛物线2(1)8y a x x b =-++的图象的一部分如图所示，抛物线的顶点在第一象限，且经过点A(0，-7)和点B.(1)求a 的取值范围；(2)若OA=2OB ，求抛物线的解析式.5．已知二次函数322+--=x x y 的图象与x 轴相交于A.B 两点，与y 轴交于C 点（如图所示），点D 在二次函数的图象上，且D 与C 关于对称轴对称，一次函数的图象过点B ，D.（1）求点D 的坐标；（2）求一次函数的解析式；（3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围；6．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1.6m ，涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？7．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系是35321212++-=x x y ，问此运动员把铅球推出多远？ 8．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元.市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克.在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）.设销售单价为x 元，日均获利为y 元.（1）求y 关于x 的二次函数关系式，并注明x 的取值范围；（2）将（1）中所求出的二次函数配方成ab ac a b x a y 44)2(22-++=的形式，写出顶点x O 第7题图坐标；在直角坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？9．某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x （十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y 与x 的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？10．如图，在正方形ABCD 中，AB=2，E 是AD 边上一点(点E与点A ，D 不重合)．BE 的垂直平分线交AB 于M ，交DC于N ． (1)设AE=x ，四边形ADNM 的面积为S ，写出S 关于x 的函 数关系式；(2)当AE 为何值时，四边形ADNM 的面积最大?最大值是多 少?11.已知抛物线y ＝x 2－2x ＋m 与x 轴交于点A （x 1，0）,B （x 2，0）（x 2＞x 1），(1) 若点P （－1，2）在抛物线y ＝x 2－2x ＋m 上，求m 的值；（2）若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋m 与抛物线y ＝x 2－2x ＋m 关于y 轴对称，点Q 1（－2，q 1）,Q 2（－3，q 2）都在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋m上，则q 1,q 2的大小关系是（请将结论写在横线上，不要求写解答过程）；（3）设抛物线y ＝x 2－2x ＋m 的顶点为M ，若△AMB 是直角三角形，求m 的值.12．某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其它生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品.(1)如果增加x 台机器，每天的生产总量为y 个，请你写出y 与x 之间的关系式；第10题图(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？13．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高920m ，与篮圈中心的水平距离为7m ，当球出手后水平距离为4m 时到达最大高度4m ，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m.（1）建立如图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m ，那么他能否获得成功？14. 已知抛物线y=x 2+(2n-1)x+n 2-1 (n 为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时， 求出它所对应的函数关系式；(2)设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方.且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C.①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长；②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由.15．甲车在弯路作刹车试验，收集到的数据如下表所示：（1）请用上表中的各对数据（x ，y ）作为点的坐标，在图10所示的坐标系中画出甲车刹车距离y （米）与速度x （千米/时）的函数图象，并求函数的解析式.（2）在一个限速为40千米/时的弯路上，甲、乙两车相向而行，同时刹车，但还是相撞了.事后测得甲、乙两车的刹车距离分别为12米和10.5米，又知乙车的刹车距离y第16题图（米）与速度x （千米/时）满足函数14y x =，请你就两车的速度方面分析相撞的原因.16．已知二次函数c bx ax y ++=2. (1）当a=1，b=一2，c=1时，请在如图的直角坐标系中画出此时二次函数的图象；（2）用配方法求该二次函数的图象的顶点坐标．。
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(提高)
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解〔提高〕【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，复原：将求出的待定系数复原到解析式中． 要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1. 已知抛物线y ax bx c =++2经过A ，B ，C 三点，当x ≥0时，其图象如图1所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.图1【答案与解析】设所求抛物线的解析式为y ax bx c =++2〔a ≠0〕. 由图象可知A ，B ，C 的坐标分别为〔0，2〕，〔4，0〕，〔5，-3〕.∴=++=++=-⎧⎨⎪⎩⎪c a b c a b c 216402553,,，解之，得a b c =-==⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪12322,,∴抛物线的解析式为y x x =-++123222 y x x x =--+=--+1232123225822()()∴该抛物线的顶点坐标为()32258，.【总结升华】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围x ≥0.2. 一条抛物线y x mx n =++142经过点()032，与()432，.求这条抛物线的解析式. 【答案与解析】抛物线y x mx n =++142经过点〔032,〕和(,)432， ∴这条抛物线的对称轴是直线x =2.设所求抛物线的解析式为y x h =-+1422().将点(,)032代入，得1402322()-+=h ，解得h =12. ∴这条抛物线的解析式为y x =-+142122()，即y x x =-+14322. 【总结升华】解析式中的a 值已经知道，只需求出m n ,的值。
苏科版九年级数学下册5-3 用待定系数法确定二次函数表达式 同步课时提优训练【含答案】
苏科版九年级数学下册5.3 用待定系数法确定二次函数表达式 同步课时提优训练一、单选题1.一个二次函数的图象的顶点坐标是 ，与y 轴的交点是 ，这个二次函数的解析式是（ (2,−3)(0,5)）A. B. C. D. y =2x 2−4x +11y =2x 2−4x +5y =2x 2−8x +5y =2x 2+8x +52.二次函数的图象如图所示， 则这个二次函数的表达式为（ ）A. B. C. D. y =x 2+2x −3y =x 2−2x −3y =−x 2+2x −3y =−x 2−2x +33.顶点为 ，开口向下，开口的大小与函数 的图象相同的抛物线所对应的函数是（ ） (6, 0)y =13x 2A.B. C. D.y =13(x +6)2y =13(x −6)2y =−13(x +6)2y =−13(x −6)24.如图，是一条抛物线的图象，则其解析式为（ ）A. y=x 2﹣2x+3B. y=x 2﹣2x﹣3C. y=x 2+2x+3D. y=x 2+2x-35.已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）A. B. C. D. y =2(x +1)2+8y =18(x +1)2−8y =29(x −1)2+8y =2(x −1)2−86.若抛物线经过 三点，则此抛物线的表达式为（ ）(0,1),(−1,0),(1,0)A. B. C. D. y =−x 2+1y =−x 2−1y =x 2+1y =x 2−17.2019年女排世界杯于9月在日本举行，中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠军，充分展现了团队协作、顽强拼搏的女排精神．如图是某次比赛中垫球时的动作．若将垫球后排球的运动路线近似的看作抛物线，在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系，已知运动员垫球时（图中点A ）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点B ）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点C ）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ）A. y ＝﹣B. y ＝﹣ 1475x 2−815x+521475x2+815x +52C. y ＝D. y ＝ 1475x 2−815x +521475x 2+815x +52二、填空题8.写出一个图象开口向上，顶点在x 轴上的二次函数的解析式________．9.抛物线 与 轴的两个交点坐标分别为 ， ，其形状及开口方向与抛y =ax 2+bx +c x (−1,0)(3,0)物线 相同，则 的函数解析式为________．y =−2x 2y =ax 2+bx +c 10.如果一个二次函数图象开口向下，对称轴为 ，则该二次函数表达式可以为________．（任意写x =1出一个符合条件的即可）11.二次函数y ＝ax²＋bx ＋c 图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表： x ...﹣2﹣1012...m ...y 04664…﹣6…则这个二次函数的对称轴为直线x ＝________，m ＝________（m ＞0）．12.如图，经过原点的抛物线是二次函数 的图象，那么a 的值是________.y =ax 2−3x +a +1AB=4D(0，8)C x 13.如图，平行四边形ABCD中，，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为________．三、解答题14.一个二次函数的图象经过A（0，0），B（1，9），C（-1，-1），求这个二次函数的解析式．(1,−3)P(2,0)15.已知二次函数的图象的顶点为，且过点，求这个二次函数的解析式.16.已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）．求此二次函数的解析式．y=ax2+bx+c(a≠0)17.抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…-2-1012…y…04664…求这个二次函数的表达式，并利用配方法求出此抛物线的对称轴、顶点坐标四、综合题y=2x2+mx18.如图，已知经过原点的抛物线与x轴交于另一点A（2，0）。
北师版数学九年级下册3 确定二次函数的表达式教案与反思
3确定二次函数的表达式满招损，谦受益。
《尚书》原创不容易，【关注】，不迷路！第1课时确定含有两个未知数的二次函数的表达式教学目标一、基本目标1．会用待定系数法求二次函数的表达式．2．掌握用“顶点式”求二次函数表达式．二、重难点目标【教学重点】用待定系数法求二次函数的表达式．【教学难点】根据已知条件选取适当的方法求二次函数的表达式．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P42～P43的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的表达式．2．二次函数的一般式：y＝ax2＋bx＋c，顶点式：y＝a(x－－2)x2＋(m＋3)x ＋m＋2的图象过点(0，5)，求m的值，并写出二次函数的表达式．解：把(0，5)代入y＝(m－2)x2＋(m＋3)x＋m＋2，得m＋2＝5，解得m＝3.∴二次函数的表达式为y＝x2＋6x＋5.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】已知二次函数y＝ax2＋c的图象经过点(2，3)和(－1，－3)，求这个二次函数的表达式．【互动探索】(引发学生思考)用待定系数法求解．【解答】将点(2，3)和(－1，－3)的坐标分别代入表达式y ＝ax 2＋c ， 得⎩⎨⎧ 3＝4a ＋c ，－3＝a ＋c ，解得⎩⎨⎧ a ＝2，c ＝－5.即所求二次函数表达式y ＝2x 2－5.【互动总结】(学生总结，老师点评)已知函数表达式和该函数图象上两个点的坐标，一般用待定系数法求函数表达式．活动2 巩固练习(学生独学)1．写出经过点(0，0)，(－2，0)的一个二次函数的表达式y ＝x 2＋2x (答案不唯一)．(写一个即可)2．若抛物线的顶点为(－2，3)，且经过点(－1，5)，则其表达式为y ＝2x 2＋8x ＋11.3．二次函数图象的顶点坐标是(3，5)，且抛物线经过点A (1，3)，求此抛物线的表达式．解：设抛物线的表达式为y ＝a (x －3)2＋5.将A (1，3)代入上式，得3＝a (1－3)2＋5，解得a ＝－2. ∴抛物线的表达式为y ＝－12(x －3)2＋5. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x ＝－1，则这个二次函数的表达式为( )A ．y ＝－x 2＋2x ＋3B ．y ＝x 2＋2x ＋3C ．y ＝－x 2＋2x －3D ．y ＝－x 2－2x ＋3【互动探索】根据对称轴设顶点式→将两个点的坐标代入即可求解．【分析】由图象知抛物线的对称轴为直线x ＝－1，且过点(－3，0)，(0，3，设抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)2＋k .将(－3，0)，(0，3)代入，得⎩⎨⎧ 4a ＋k ＝0，a ＋k ＝3，解得⎩⎨⎧ a ＝－1，k ＝4.故抛物线的表达式为y ＝－(x ＋1)2＋4＝－x 2－2x ＋3.【答案】D【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查定系数法求函数表达式，解题的关键是根据题意设出合适的二次函数表达式，已知对称轴一般设顶点式．环节3 课堂小结，当达标(学生总结，老师点评)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中一项的系数，再知道图象上两个点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式．练习设计请完成本课时对应练习！第2课时 确定二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的表达式教学目标一、基本目标1．掌握用“三点”列方程组求二次函数达式．2．能根据已知点的特点，用“交点式”求二次函数的解析式．3．通过探索和总结，让学生体会到学习数学的乐趣，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感．二、重难点目标【教学重点】用待定系数法求二次函数的表达式．【教学难点】根据已知条件选取适当的方法求二次函数的表达式．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5min 阅读】阅读教材P44～45的内容，完成下面练习．【3min 反馈】1．用待定系数法求二次函数的表达式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，需要求出a 、b 、c 的值，由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 、c 的值，就可以写出二次函数的表达式．2．若已知抛物线的顶点或对称轴，则一般设抛物线的表达式为顶点式y ＝a (x －(1，－2)，且经过点N (2，3)，求此二次函数的表达式．解：∵抛物线的顶点坐标为M (1，－2)，∴可设此二次函数的表达式为y ＝a (x －1)2－2.把点N (2，3)代入表达式，得a －2＝3，即a ＝5.∴此二次函数的表达式为y ＝5(x －1)2－2.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】已知二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．【互动探索】(引发学生思考)已知二次函数的图象经过任意三点的坐标，考虑设二次函数的一般式解决问题．【解答】设所求二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 将三点(－1，10)，(1，4)，(2，7)的坐标分别代入表达式，得⎩⎨⎧ 10＝a －b ＋c ，4＝a ＋b ＋c ，7＝4a ＋2b ＋c ，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－3，c ＝5.即所求二次函数的表达式为y ＝2x 2－3x ＋5.∵y ＝2x 2－3x ＋5＝2x －342＋318， ∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝34，顶点坐标为34，318.【互动总结】(学生总结，老师点评)用待定系数法求二次函数解析式时，当已知抛物线过任意三点时，通常设二次函数的一般式，即设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，从而列三元一次方程组来求解．【例2】已知抛物线经过点(－1，0)，(5，0)和(3，－4)，求该抛物线的解析式．【互动探索】(引发学生思考)已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一点的坐标，应该怎样设函数解析式较为简便？【解答】设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－5)．将(3，－4)代入，得－4＝－8a，解得a＝1 2 .则该抛物线的解析式为y＝12(x＋1)(x－5)，即y＝12x2－2x－52.【互动总结】(学生总结，老师点评)用待定系数法求二次函数解析式时，若已知抛物线与x轴的两个交点分别为(x1，0)，(x2，0)，可选择设其解析式为交点式，即y＝a(x－x1)(x－x2)．活动2巩固练习(学生独学)1．已知一个二次函数的图象经过A(0，－3)、B(1，0)、C(m，2m＋3)、D(－1，－2)四点，求这个函数解析式以及点C的坐标．解：抛物线的解析式为y＝2x2＋x－3，点C坐标为－32，0或(2，7)．2．已知二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)．(1)试确定此二次函数的解析式；(2)请你判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？解：(1)此二次函数的解析式是y＝－x2－2x＋3.(2)点P(－2，3)在此二次函数的图象上．活动3拓展延伸(学生对学)【例3】已知二次函数图象的顶点坐标是(3，5)，且抛物线经过点A(1，3)．(1)求此抛物线的表达式；(2)如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是点C，求△ABC的面积．【互动探索】(1)设顶点式y＝a(x－3)2＋5，然后把点A坐标代入求出a，即可得到抛物线的解析式；(2)利用抛物线的对称性得到B(5，3)，再确定出点C坐标，然后根据三角形面积公式求解．【解答】(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－3)2＋5.将A(1，3)代入上式，得3＝a(1－3)2＋5，解得a＝－1 2 .即抛物线的解析式为y＝－12(x－3)2＋5.(2)∵A(1，3)，且抛物线对称轴为直线x＝3，∴B(5，3)．令x＝0，则y＝－12(x－3)2＋5＝12，∴C0，1 2，∴S△ABC＝12×(5－1)×3－12＝5.【互动总结】(学生总结，老师点评)已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其表达式为顶点式来求解．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)用待定系数法求二次函数解析式的三种常见设法(其中，a≠0，x1、x2分别是抛物线与x轴的交点的横坐标)：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c；(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k；(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)．练习设计请完成本课时对应练习！【素材积累】海明威和他的“硬汉形象” 美国作家海明威是一个极具进取精神的硬汉子。
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(基础)
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（基础）【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1．（2014秋•岳池县期末）已知二次函数图象过点O （0，0）、A （1，3）、B （﹣2，6），求函数的解析式和对称轴．【答案与解析】解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ，把O （0，0）、A （1，3）、B （﹣2，6）各点代入上式得解得，∴抛物线解析式为y=2x 2+x ；∴抛物线的对称轴x=﹣=﹣=﹣．【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0).举一反三：【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例1】【变式】已知：抛物线2y ax bx c =++经过A （0，5-），B （1，3-），C （1-，11-）三点，求它的顶点坐标及对称轴．【答案】设52-+=bx ax y (a ≠0)，据题意列⎩⎨⎧--=--+=-51153b a b a ，解得⎩⎨⎧=-=42b a ， 所得函数为5422-+-=x x y对称轴方程：1=x ，顶点()31-,.2.（2015•巴中模拟）已知抛物线的顶点坐标为M （1，﹣2），且经过点N （2，3），求此二次函数的解析式．【答案与解析】解：已知抛物线的顶点坐标为M （1，﹣2），设此二次函数的解析式为y=a （x ﹣1）2﹣2，把点（2，3）代入解析式，得：a ﹣2=3，即a=5，∴此函数的解析式为y=5（x ﹣1）2﹣2．【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式.举一反三：【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例2】 【变式】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，. （1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标.【答案】（1）223y x x =--．（2）令0y =，得2230x x --=，解方程，得13x =，21x =-． ∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30)，和(10)-，．∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40)，.3．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．【答案与解析】解法一：设二次函数解析式为2y ax bx c =++(a ≠0)，由图象知函数图象经过点(3，0)，(0，3)． 则有930,3,1,2a b c c b a⎧⎪++=⎪=⎨⎪⎪-=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ 抛物线解析式为223y x x =-++．解法二：设抛物线解析式为12()()y a x x x x =--(a ≠0)．由图象知，抛物线与x 轴两交点为(-1，0)，(3，0)．则有(1)(3)y a x x =+-，即223y ax ax a =--．又33a -=，∴ 1a =-．∴ 抛抛物物解析式为223y x x =-++．解法三：设二次函数解析式为2()y a x h k =-+(a ≠0)．则有2(1)y a x k =-+，将点(3，0)，(0，3)代入得 40,3,a k a k +=⎧⎨+=⎩ 解得1,4.a k =-⎧⎨=⎩ ∴ 二次函数解析式为2(1)4y x =--+，即223y x x =-++．【总结升华】二次函数的解析式有三种不同的形式，它们是相互联系、并可相互转化的，在实际解题时，一定要根据已知条件的特点，灵活选择不同形式的解析式求解．类型二、用待定系数法解题4．已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y 轴交于点C ．(1)求二次函数解析式；(2)求△ABC 的面积．【答案与解析】(1)设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =+-(a ≠0)，将(3，5)代入得5(32)(34)a =+- ， ∴ 1a =-．∴ (2)(4)y x x =-+-．即228y x x =-++．(2)由(1)知C(0，8)，∴ 1(42)8242ABC S =+⨯=△． 【总结升华】此题容易误将(3，5)当成抛物线顶点．将抛物线解析式设成顶点式．。
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(提高)
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（提高）【学习目标】1.能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2.经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式：(1)一般式：2y ax bx c =++(a，b，c 为常数，a≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a，h，k 为常数，a≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a≠0)．2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1.已知抛物线y ax bx c =++2经过A，B，C 三点，当x ≥0时，其图象如图1所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.图1【答案与解析】设所求抛物线的解析式为y ax bx c =++2（a ≠0）.由图象可知A，B，C 的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）.∴=++=++=-⎧⎨⎪⎩⎪c a b c a b c 216402553,,，解之，得a b c =-==⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪12322,,∴抛物线的解析式为y x x =-++123222y x x x =--+=--+1232123225822()(∴该抛物线的顶点坐标为()32258，.【总结升华】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围x ≥0.2.（2020•丹阳市校级模拟）形状与抛物线y=2x 2﹣3x +1的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，﹣5）的抛物线的关系式为．【思路点拨】形状与抛物线y=2x 2﹣3x +1的图象形状相同，但开口方向不同，因此可设顶点式为y=﹣2（x ﹣h ）2+k ，其中（h ，k ）为顶点坐标．将顶点坐标（0，﹣5）代入求出抛物线的关系式．【答案】y=﹣2x 2﹣5．【解析】解：∵形状与抛物线y=2x 2﹣3x +1的图象形状相同，但开口方向不同，设抛物线的关系式为y=﹣2（x ﹣h ）2+k ，将顶点坐标是（0，﹣5）代入，y=﹣2（x ﹣0）2﹣5，即y=﹣2x 2﹣5．∴抛物线的关系式为y=﹣2x 2﹣5．【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．3.已知抛物线y ax bx c =++2的顶点坐标为（－1，4），与x 轴两交点间的距离为6，求此抛物线的函数关系式.【答案与解析】因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为x =-1，又因为抛物线与x 轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为：x 113=--，x 213=-+，则两交点的坐标为（-4，0）、（2，0）；求函数的函数关系式可有两种方法：解法(1)：设抛物线的函数关系式为顶点式：y a x =++()142(a≠0)，把（2，0）代入得a =-49，所以抛物线的函数关系式为y x =-++49142()；解法(2)：设抛物线的函数关系式为两点式：(4)y a x =+（x-2）(a≠0)，把（－1，4）代入得a =-49，所以抛物线的函数关系式为：4(4)9y x =-+（x-2）；【总结升华】在求函数的解析式时，要根据题中所给条件选择合适的形式.举一反三：【变式】（2019•永嘉县校级模拟）已知抛物线经过点（1，0），（﹣5，0），且顶点纵坐标为，这个二次函数的解析式．【答案】y=﹣x 2﹣2x+.提示：设抛物线的解析式为y=a （x+2）2+，将点（1，0）代入，得a （1+2）2+=0，解得a=﹣，即y=﹣（x+2）2+，∴所求二次函数解析式为y=﹣x 2﹣2x+．类型二、用待定系数法解题4.（2020春•石家庄校级期中）已知二次函数的图象如图所示，根据图中的数据，（1）求二次函数的解析式；（2）设此二次函数的顶点为P ，求△ABP 的面积．【答案与解析】解：（1）由二次函数图象知，函数与x 轴交于两点（﹣1，0），（3，0），设其解析式为：y=a （x+1）（x ﹣3），又∵函数与y 轴交于点（0，2），代入解析式得，a ×（﹣3）=2，∴a=﹣，∴二次函数的解析式为：，即；（2）由函数图象知，函数的对称轴为：x=1，当x=1时，y=﹣×2×（﹣2）=，∴△ABP 的面积S===．【总结升华】此题主要考查二次函数图象的性质，对称轴及顶点坐标，另外巧妙设函数的解析式，从而来减少计算量.【答案与解析】(1)把A(2，0)，B(0，-6)代入212y x bx c =-++得220,6,b c c -++=⎧⎨=-⎩解得4,6.b c =⎧⎨=-⎩∴这个二次函数的解析式为21462y x x =-+-．(2)∵该抛物线的对称轴为直线44122x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，∴点C 的坐标为(4，0)，∴AC＝OC-OA＝4-2＝2．∴1126622ABC S AC OB ==⨯⨯= △．【总结升华】求△ABC 的面积时，一般要将坐标轴上的边作为底边，另一点的纵（横）坐标的绝对值为高进行求解．(1)将A、B 两点坐标分别代入解析式求出b，c 的值．(2)先求出点C 的坐标再求出△ABC 的面积．举一反三：【变式】已知二次函数图象的顶点是(12)-，，且过点302⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）求二次函数的表达式；（2）求证：对任意实数m ，点2()M m m -，都不在这个二次函数的图象上.【答案】（1）23212+--=x x y ；（2）证明：若点2()M m m -，在此二次函数的图象上，则221(1)22m m -=-++．得2230m m -+=．△=41280-=-<，该方程无实根．所以原结论成立．。
确定二次函数表达式(已知三个条件)
上时，ON=t，MN= 3t，所以S= 3 t2（0≤t≤2）；当点M在AB上时，MN的
2
值不变为 2 3，所以S= 3t（2≤t≤4），故选C.
你学到哪些二次函数表达式的求法？ （1）已知图象上三点的坐标或给定x与y的三对对应值， 通常选择一般式. （2）已知图象的顶点坐标,对称轴和最值,通常选择顶点式. （3）已知图象与x轴的交点坐标,通常选择交点式.
【跟踪训练】
（西安·中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过
A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点.
求该抛物线的表达式.
y
【解析】设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,
根据题意，得
a b c 0, 9a 3b c 0, c 1.
a
1 3
【例题】
【例1】已知一个二次函数的图象过（－1，10），（1， 4），（2，7）三点，求这个函数的表达式.
解析：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，
a-b+c=10，
a=2,
由条件得： a+b+c=4， 解方程组得： b=-3,
4a+2b+c=7，
c=5.
因此，所求二次函数的表达式是
y=2x2-3x+5.
3 确定二次函数的表达式
1.会用待定系数法确定二次函数的表达式. 2.会求简单的实际问题中的二次函数表达式.
二次函数表达式有哪几种表达方式？ 一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-h)2+k 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
苏科版数学九年级下册《5.3用待定系数法确定二次函数表达式》说课稿
苏科版数学九年级下册《5.3 用待定系数法确定二次函数表达式》说课稿一. 教材分析苏科版数学九年级下册《5.3 用待定系数法确定二次函数表达式》这一节主要让学生掌握用待定系数法确定二次函数表达式的方法。
在学习了二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c后，学生已经了解了二次函数的图象和性质。
本节课通过待定系数法，让学生更好地理解二次函数的表达式，提高他们解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的概念和性质有一定的了解。
但他们在解决实际问题时，还存在着对二次函数表达式的确定不够熟练的现象。
因此，在教学过程中，我将会引导学生通过待定系数法来确定二次函数表达式，提高他们的解题技巧。
三. 说教学目标1.让学生掌握待定系数法确定二次函数表达式的步骤。
2.培养学生运用待定系数法解决实际问题的能力。
3.提高学生对二次函数图象和性质的理解。
四. 说教学重难点1.教学重点：待定系数法确定二次函数表达式的步骤。
2.教学难点：如何引导学生运用待定系数法解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动法，引导学生主动探究待定系数法的步骤。
2.利用多媒体课件，展示二次函数图象，帮助学生更好地理解二次函数的性质。
3.运用案例分析法，让学生通过实际问题，掌握待定系数法的应用。
六. 说教学过程1.导入：回顾二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c，引导学生思考如何确定二次函数的表达式。
2.新课讲解：介绍待定系数法确定二次函数表达式的步骤，并通过示例进行讲解。
3.案例分析：让学生通过实际问题，运用待定系数法确定二次函数表达式。
4.课堂练习：布置一些练习题，让学生巩固所学知识。
5.总结提升：对本节课的内容进行总结，引导学生思考如何运用待定系数法解决实际问题。
七. 说板书设计板书设计如下：待定系数法确定二次函数表达式：步骤1：设定二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c步骤2：根据已知条件，列出方程组步骤3：解方程组，求出a、b、c的值步骤4：写出二次函数的表达式八. 说教学评价本节课的评价主要从学生的课堂表现、练习题的完成情况以及他们对实际问题的解决能力来进行。
用待定系数法确定二次函数表达式
用待定系数法确定二次函数表达式知识点一、二次函数解析式的三种形式1.一般式：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）；2.顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a、h、k为常数，且a≠0）；3.交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0）.例：二次函数化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果正确的是（ ）A．B．C．D．【解答】A【解析】故选A．知识点二、待定系数法求二次函数表达式在求含有待定系数的二次函数的表达式时，可以通过题中条件得到方程（组），解出这些待定系数，从而得到函数表达式.1.二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中若有一个待定系数，就需要已知一个条件得到一个方程求解；若有两个待定系数，就需要已知两个条件得到两个方程，联立得到二元一次方程组求解；若有三个待定系数，就需要已知三个条件，组成一个三元一次方程组求解.2.当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，通常设函数表达式为y＝a（x－h）2＋k.3.当已知抛物线与x轴交点坐标时，通常设函数表达式为y＝a（x－x1）（x－x2），其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标.例：若某二次函数图象的形状与抛物线y＝3x2相同，且顶点坐标为（0，﹣2），则它的表达式为 ．【解答】y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2．【解析】图象顶点坐标为（0，﹣2），可以设函数解析式是y＝ax2﹣2，又∵形状与抛物线y＝﹣3x2相同，即二次项系数绝对值相同，∴|a|＝3，∴这个函数解析式是：y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2，故答案为y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2．巩固练习一．选择题1．二次函数y＝ax2﹣2ax+b中，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，则b﹣a的值为（ ）A．﹣6B．﹣6或7C．3D．3或﹣2【解答】D【解析】∵抛物线y＝ax2﹣2ax+b＝a（x﹣1）2+b﹣a，∴顶点（1，b﹣a）当a＞0时，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，函数有最小值，∴b﹣a＝﹣2，当a＜0时，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，函数有最大值，∴b﹣a＝3，故选D．2．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（ ）A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞0【解答】C【解析】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：1=a(1―h)2+k 8=a(8―ℎ)2+k，∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，整理得：a（9﹣2h）＝1，若h＝4，则a＝1，故A错误；若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；，故C正确；若h＝6，则a=―13，故D错误；若h＝7，则a=―15故选C．3．将二次函数y＝x2+4x﹣1用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列所配方的结果中正确的是（ ）A．y＝（x﹣2）2+5B．y＝（x+2）2﹣5C．y＝（x﹣4）2﹣1D．y＝（x+4）2﹣5【解答】B【解析】y＝x2+4x﹣1＝y＝x2+4x+4﹣4﹣1＝（x+2）2﹣5，故选B．4．用配方法将二次函数y＝x2﹣6x﹣7化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）A．y＝（x﹣3）2+2B．y＝（x﹣3）2﹣16C．y＝（x+3）2+2D．y＝（x+3）2﹣16【解答】B【解析】y＝x2﹣6x﹣7＝（x﹣3）2﹣16，故选B．5．将二次函数y＝2x2﹣4x+1的右边进行配方，正确的结果是（ ）A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x+1）2﹣1C．y＝2（x﹣1）2﹣1D．y＝2（x+1）2+1【解答】C【解析】提出二次项系数得，y＝2（x2﹣2x）+1，配方得，y＝2（x2﹣2x+1）+1﹣2，即y＝2（x﹣1）2﹣1．故选C．6．抛物线的顶点为（1，﹣4），与y轴交于点（0，﹣3），则该抛物线的解析式为（ ）A．y＝x2﹣2x﹣3B．y＝x2+2x﹣3C．y＝x2﹣2x+3D．y＝2x2﹣3x﹣3【解答】A【解析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，得：﹣3＝a（0﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．故选A．7．将二次函数y＝2x2﹣4x+5的右边进行配方，正确的结果是（ ）A．y＝2（x﹣1）2﹣3B．y＝2（x﹣2）2﹣3C．y＝2（x﹣1）2+3D．y＝2（x﹣2）2+3【解答】C【解析】提出二次项系数得，y＝2（x2﹣2x）+5，配方得，y＝2（x2﹣2x+1）+5﹣2，即y＝2（x﹣1）2+3．故选C．8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H，设AG＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）A．y＝2B．y＝2C．y＝8x2D．y＝9x2【解答】C【解析】设正方形的边长为2a，∴BC＝2a，BE＝a，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF∥CE，∵EG⊥AF，FH⊥CE，∴四边形EHFG是矩形，∵∠AEG+∠BEC＝∠BCE+∠BEC＝90°，∴∠AEG＝∠BCE，∴tan∠AEG＝tan∠BCE，∴AGEG =BEBC，∴EG＝2x，∴由勾股定理可知：AE，∴AB＝BC＝，∴CE＝5x，易证：△AEG≌△CFH，∴AG＝CH，∴EH＝EC﹣CH＝4x，∴y＝EG•EH＝8x2，故选C．9．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝2．则这条抛物线的解析式是（ ）A．y＝x2﹣x﹣2B．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2C．y＝﹣x2+x+2D．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2【解答】D【解析】设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x+1），∵OC＝2，∴C点坐标为（0，2）或（0，﹣2），把C（0，2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a•（﹣2）•1＝2，解得a＝﹣1，此时抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）（x+1），即y＝﹣x2+x+2；把C（0，﹣2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a•（﹣2）•1＝﹣2，解得a＝1，此时抛物线解析式为y＝（x﹣2）（x+1），即y＝x2﹣x﹣2．即抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．故选D．10．将二次函数y＝2x2﹣4x+1化为顶点式，正确的是（ ）A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x+1）2﹣1C．y＝2（x﹣1）2﹣1D．y＝2（x+1）2+1【解答】C【解析】y＝2x2﹣4x+1＝2（x2﹣2x）+1＝2（x2﹣2x+1﹣1）+1＝2（x﹣1）2﹣2+1＝2（x﹣1）2﹣1，故选C．11．将二次函数y＝﹣x2+4x﹣5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）A．y＝﹣（x+2）2﹣1B．y＝﹣（x+2）2+1C．y＝﹣（x﹣2）2+1D．y＝﹣（x﹣2）2﹣1【解答】D【解析】y＝﹣x2+4x﹣5，＝﹣（x2﹣4x+4）﹣1，＝﹣（x﹣2）2﹣1．故选D．12．与抛物线y＝﹣x2+1的顶点相同、形状相同且开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式为（ ）A．y＝﹣x2B．y＝x2﹣1C．y＝﹣x2﹣1D．y＝x2+1【解答】D【解析】与抛物线y＝﹣x2+1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛物线y＝﹣x2+1只有二次项系数不同．即y＝x2+1，故选D．二．填空题13．已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣3），且过点（2，0），则这个二次函数的解析式 ．【解答】y＝3x2﹣6x【解析】设此二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3．∵其图象经过点（2，0），∴a（2﹣1）2﹣3＝0，∴a＝3，∴y＝3（x﹣1）2﹣3，即y＝3x2﹣6x，故答案为y＝3x2﹣6x．14．二次函数图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2），则此二次函数的解析式是 ．【解答】y＝x2﹣x﹣2．【解析】∵二次函数图象经过A（﹣1，0），B（2，0），∴设二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣2），将C（0，﹣2）代入，得：﹣2a＝﹣2，解得a＝1，则抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2，故答案为y＝x2﹣x﹣2．15．若某抛物线的函数解析式为y＝ax2+bx+c，已知a，b为正整数，c为整数，b＞2a，且当﹣1≤x≤1时，有﹣4≤y≤2成立，则抛物线的函数解析式为 ．【解答】y＝x2+3x﹣2【解析】抛物线y＝ax2+bx+c中，a，b为正整数，c为整数，b＞2a，∴抛物线开口向上，对称轴直线x＜﹣1，∵当﹣1≤x≤1时，有﹣4≤y≤2成立，∴当x＝﹣1时y＝﹣4，x＝1时y＝2，∴a―b+c=―4①a+b+c=2②，②﹣①得2b＝6，∴b＝3，∵a，b为正整数，b＞2a，∴a＝1，∴1+3+c＝2，解得c＝﹣2，∴抛物线的函数解析式为y＝x2+3x﹣2，故答案为y＝x2+3x﹣2．16．若二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则此函数的解析式为 ．【解答】y＝﹣x2+4x﹣3【解析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+1，将B（1，0）代入y＝a（x﹣2）2+1得，0＝a+1∴a＝﹣1，∴函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1，所以该抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+4x﹣3，故答案为y＝﹣x2+4x﹣3．17．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．则该抛物线的解析式是 ．【解答】y＝﹣x2+2x+3【解析】根据题意设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将点C（0，3）代入，得：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，故答案为y＝﹣x2+2x+3．18．把二次函数y＝x2+4x﹣1变形为y＝a（x+h）2+k的形式为 ．【解答】y＝（x+2）2﹣5【解析】y＝x2+4x﹣1＝（x2+4x+4）﹣4﹣1＝（x+2）2﹣5，即y＝（x+2）2﹣5．故答案是：y＝（x+2）2﹣5．19．二次函数y＝x2+6x﹣3配方后为y＝（x+3）2+ ．【解答】（﹣12）【解析】∵y＝x2+6x﹣3＝（x2+6x）﹣3＝（x2+6x+32﹣32）﹣3＝（x+3）2﹣9﹣3＝（x+3）2﹣12，故答案为（﹣12）．20．已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，请写出一个符合条件的二次函数解析式 ．【解答】答案不唯一【解析】∵当x＜1时y随x增大而减小；当x＞1时y随x增大而增大，∴对称轴为x＝1，开口向上，∴符合条件的二次函数可以为：y＝（x﹣1）2，故答案为y ＝（x ﹣1）2（答案不唯一）．21．在平面直角坐标系中，点O （0，0），点A （1，0）．已知抛物线y ＝x 2+mx ﹣2m （m 是常数），顶点为P ．无论m 取何值，该抛物线都经过定点H ．当∠AHP ＝45°时，求抛物线的解析式是 ．【解答】y ＝x 2―145x +285或y ＝x 2―223x +443【解析】当x ＝2时，y ＝4+2m ﹣2m ＝4∴无论m 取何值，该抛物线都经过定点H （2，4）过点A 作AB ⊥PH 于点B ，过点B 作DC ⊥x 轴于点C ，过点H 作HD ⊥CD 于点D ，∴∠ABH ＝∠ACB ＝∠BDH ＝90°∴∠ABC +∠DBH ＝∠ABC +∠BAC ＝90°∴∠BAC ＝∠DBH∵∠AHP ＝45°∴△ABH 是等腰直角三角形，AB ＝BH在△ABC 与△BHD 中∠ACB =∠BDH∠BAC =∠HBD AB =BH∴△ABC ≌△BHD （AAS ）∴AC ＝BD ，BC ＝HD设点B 坐标为（a ，b ）①若点P 在AH 左侧，即点B 在AH 左侧，如图1，∴AC ＝1﹣a ，BC ＝b ，BD ＝4﹣b ，DH ＝2﹣a ∴1―a =4―b b =2―a 解得：a =―12b =52∴点B （―12，52）设直线BH 解析式为y ＝kx +h ∴―12k +ℎ=522k +ℎ=4解得：k =35ℎ=145∴直线BH ：y =35x +145，∵y ＝x 2+mx ﹣2m ，∴抛物线顶点P 为（―m 2，―m 24―2m ），∵点P （―m 2，―m 24―2m ）在直线BH 上∴35（―m 2）+145=―m 24―2m 解得：m 1=―145，m 2＝﹣4∵m ＝﹣4时，P （2，4）与点H 重合，要舍去∴抛物线解析式为y ＝x 2―145x +285；②若点P 在AH 右侧，即点B 在AH 右侧，如图2，∴AC ＝a ﹣1，BC ＝b ，BD ＝4﹣b ，DH ＝a ﹣2∴a ―1=4―b b =a ―2 解得：a =72b =32∴点B （72，32）设直线BH 解析式为y ＝kx +h+ℎ=32+ℎ=4解得：k =―53ℎ=223∴直线BH ：y =―53x +223，∵点P （―m 2，―m 24―2m ）在直线BH 上∴―53（―m 2）+223=―m 24―2m 解得：m 1=―223，m 2＝﹣4（舍去）∴抛物线解析式为y ＝x 2―223x +443，综上所述，抛物线解析式为y ＝x 2―145x +285或y ＝x 2―223x +443，故答案为y ＝x 2―145x +285或y ＝x 2―223x +443．22．若抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点是A （2，﹣1），且经过点B （1，0），则抛物线的函数关系式为 ．【解答】y ＝x 2﹣4x +3【解析】设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣2）2﹣1，将B （1，0）代入y ＝a （x ﹣2）2﹣1得，a ＝1，函数解析式为y ＝（x ﹣2）2﹣1，展开得y ＝x 2﹣4x +3．故答案为y ＝x 2﹣4x +3．23．请写出一个开口向下，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 ．【解答】答案不唯一【解析】∵抛物线开口向下，∴a ＜0，令a ＝﹣1，设抛物线的关系式为y ＝﹣（x ﹣h ）2+k ，∵对称轴为直线x ＝2，∴h ＝2，把（0，3）代入得，3＝﹣（0﹣2）2+k ，解得，k ＝7，∴抛物线的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+7，故答案为y＝﹣（x﹣2）2+7（答案不唯一）．24．已知函数y＝﹣x2+2x+c2的部分图象如图所示，则c＝ ，当x 时，y随x的增大而减小．【解答】c x＞1时，y随x的增大而减小【解析】图象过（3，0），将（3，0）代入y＝﹣x2+2x+c2，得：c2＝3，即c根据图象得：对称轴为x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小．三．解答题25．已知二次函数的图象经过（1，﹣1），（0，1），（﹣1，13）三点，求此二次函数的解析式．【解答】y＝5x2﹣7x+1．【解析】设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，根据题意得a+b+c=―1c=1a―b+c=13，解得a=5b=―7c=1，所以抛物线解析式为y＝5x2﹣7x+1．26．如图，抛物线y＝a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且S△AOB =12．（1）求抛物线的解析式；（2）若点C是该抛物线上A、B两点之间的一点，求△ABC面积的最大值．【解答】（1）抛物线的解析式为y ＝﹣（x +1）2；（2）△ABC 面积的最大值是18．【解析】（1）由题意得：A （﹣1，0），B （0，a ），∴OA ＝1，OB ＝﹣a ，∵S △AOB =12．∴12×1×(―a)=12，解得，a ＝﹣1，∴抛物线的解析式为y ＝﹣（x +1）2；（2）∵A （﹣1，0），B （0，﹣1），∴直线AB 为y ＝﹣x ﹣1，过C 作CD ⊥x 轴，交直线AB 于点D ，设C （x ，﹣（x +1）2），则D （x ，﹣x ﹣1），∴CD ＝﹣（x +1）2+x +1，∵S △ABC ＝S △ACD +S △BCD =12[﹣（x +1）2+x +1]×1，∴S △ABC =―12（x +12）2+18，∵―12＜0，∴△ABC 面积的最大值是18．27．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +6经过点A （﹣2，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C ．点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为m （1＜m ＜4）．连接AC ，BC ，DB ，DC ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值．【解答】（1）y =―34x 2+32x +6；（2）m ＝3．【解析】（1））∵抛物线y ＝ax 2+bx +6经过点A （﹣2，0），B （4，0）两点，∴4a ―2b +6=016a +4b +6=0，解之，得：a =―34b =32，∴故抛物线的表达式为：y =―34x 2+32x +6；（2）设直线BC 解析式为y ＝kx +n ，将点B 、C 的坐标代入得：4k +n =0n =6，解得k =―32n =6，∴直线BC 的表达式为：y =―32x +6，如图所示，过点D 作y 轴的平行线交直线BC 于点H ，设点D （m ，―34m 2+32m +6），则点H （m ，―32m +6）∴S △BDC =12HD ×OB =12（―34m 2+32m +6+32m ﹣6）×4＝2（―34m 2+3m ），∵34S △ACO =34×12×6×2=92，即：2（―34m 2+3m ）=92，解得：m 1＝3，m 2＝1（舍去），故m ＝3．28．已知二次函数y ＝x 2+bx +2b （b 是常数）．（1）若函数图象过（1，4），求函数解析式；（2）设函数图象顶点坐标为（m ，n ），当b 的值变化时，求n 关于m 的函数关系式；（3）若函数图象不经过第三象限时，当﹣5≤x ≤3时，函数的最大值和最小值之差是20，求b 的值．【解答】（1）y ＝x 2+x +2；（2）n =―m 2﹣4m ；（3）b ＝﹣b ＝10﹣【解析】（1）将点（1，4）代入y ＝x 2+bx +2b ，得1+b +2b ＝4，∴b ＝1，∴函数解析式是y ＝x 2+x +2；（2）∵y ＝x 2+bx +2b ＝（x +12b ）2―14b 2+2b ，设函数图象顶点坐标为（m ，n ），∴m =―12b ，n =―14b 2+2b ，∴b ＝﹣2m ，∴n =―14×(―2m )2+2(―2m)=―m 2﹣4m ；（3）∵y ＝（x +12b ）2―14b 2+2b ，∴对称轴x =―12b ，在y ＝x 2+bx +2b 中，当x ＝﹣5时，y ＝25﹣5b +2b ＝25﹣3b ，当x ＝3时，y ＝9+3b +2b ＝9+5b ，分两种情况：①当b ≤0时，2b ＝c ≤0，函数不经过第三象限，则c ＝0；此时y ＝x 2，当﹣5≤x ≤3时，函数最小值是0，最大值是25，∴最大值与最小值之差为25，此种情况不符合题意；②当b＞0时，2b＝c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，∴b2﹣8b≤0，∴0＜b≤8，∴﹣4≤x=―b＜0，2b2+2b，当﹣5≤x≤3时，函数有最小值―14∵当x＝3和x＝﹣5对称时，对称轴是：x＝﹣1，∴当﹣4≤―b＜―1时，函数有最大值9+5b，2∵函数的最大值与最小值之差为20，b2+2b）＝20，∴9+5b﹣（―14∴b＝﹣6﹣，当﹣1＜―b＜0时，函数有最大值25﹣3b；2∵函数的最大值与最小值之差为20，b2+2b）＝20，∴25﹣3b﹣（―14∴b＝10﹣8（舍），综上所述b＝﹣b＝10﹣29．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B两点，对称轴为x＝1，与y轴交于点C（0，6），点P是抛物线上一个动点，设点P的横坐标为m（1＜m＜4）．连接BC．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△BCP的面积等于9时，求点P的坐标；2【解答】（1）y =―34x 2+32x +6；（2）点P(3，154)【解析】（1）依题意得4a ―2b +c =0―b 2a =1c =6解得a =―34b =32c =6，故抛物线的解析式为：y =―34x 2+32x +6；（2）A （﹣2，0）关于直线x ＝1的对称点B （4，0），如图所示，过点P 做y 轴的平行线交直线BC 于点D ，设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，∴4k +b =0b =6，解得k =―32，∴直线BC 的解析式为y =―32x +6，设点P(m ，―34m 2+32m +6)，则点D(m ，―32m +6)，S △BPC =12PD ×OB =2(―34m 2+32m +6+32m ―6)=2(―34m 2+3m)，∴2(―34m 2+3m)=92，解得：m 1＝1，m 2＝3，又∵1＜m ＜4，∴m ＝3，∴y P =―34×9+32×3+6=154，∴点P(3，154)．30．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A （0，4），B （1，0），C （5，0）（1）求抛物线的解析式和顶点E 坐标；（2）该抛物线有一点D ，使得S △DBC ＝S △EBC ，求点D 的坐标．【解答】（1）y =45(x ―3)2―165，E 坐标为(3，―165)；（2）D (3―，165)或(3+，165)【解析】（1）由题意，设y ＝a （x ﹣1）（x ﹣5），代入A （0，4），得a =45，∴y =45(x ―1)(x ―5)，∴y =45(x ―3)2―165，故顶点E 坐标为(3，―165)；（2）∵S △DBC ＝S △EBC ，∴两个三角形在公共边BC 上的高相等，又点E 到BC 的距离为165，∴点D 到BC 的距离也为165，则45（x ﹣3）2―165=165，解得x ＝则点D (3―，165)或(3+，165)．31．已知二次函数y ＝ax 2﹣4ax +3+b （a ≠0）．（1）求出二次函数图象的对称轴；（2）若该二次函数的图象经过点（1，3），且整数a ，b 满足4＜a +|b |＜9，求二次函数的表达式；（3）对于该二次函数图象上的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设t ≤x 1≤t +1，当x 2≥5时，均有y 1≤y 2，请结合图象，直接写出t 的取值范围．【解答】（1）对称轴是x=―4a2a=2；（2）y＝﹣3x2+12x﹣6或y＝﹣4x2+16x﹣9；（3）当a＞0时，﹣1≤t ≤4【解析】（1）二次函数图象的对称轴是x=―4a2a=2；（2）该二次函数的图象经过点（1，3），∴a﹣4a+3+b＝3，∴b＝3a，把b＝3a代入4＜a+|b|＜9，得4＜a+3|a|＜9．当a＞0时，4＜4a＜9，则1＜a＜94．而a为整数，∴a＝2，则b＝6，∴二次函数的表达式为y＝2x2﹣8x+9；当a＜0时，4＜﹣2a＜9，则―92＜a＜―2．而a为整数，∴a＝﹣3或﹣4，则对应的b＝﹣9或﹣12，∴二次函数的表达式为y＝﹣3x2+12x﹣6或y＝﹣4x2+16x﹣9；（3）∵当x2≥5时，均有y1≤y2，二次函数y＝ax2﹣4ax+3+b（a≠0）的对称轴是x＝2，∵y1≤y2，∴①当a＞0时，有|x1﹣2|≤|x2﹣2|，即|x1﹣2|≤x2﹣2∴2﹣x2≤x1﹣2≤x2﹣2，∴4﹣x2≤x1≤x2，∵x2≥5，∴4﹣x2≤﹣1，∵该二次函数图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），设t≤x1≤t+1，当x2≥5时，均有y1≤y2，∴t≥―1 t+1≤5∴﹣1≤t ≤4．②当a ＜0时，|x 1﹣2|≥|x 2﹣2|，即|x 1﹣2|≥x 2﹣2∴x 1﹣2≥x 2﹣2，或x 1﹣2≤2﹣x 2，∴x 1≥x 2，或x 1≤4﹣x 2∵x 2≥5，∴4﹣x 2≤﹣1，∵该二次函数图象上的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设t ≤x 1≤t +1，当x 2≥5时，均有y 1≤y 2，∴t 比x 2的最大值还大，或t +1≤比4﹣x 2的最小值还小，这是不存在的，故a ＜0时，t 的值不存在，综上，当a ＞0时，﹣1≤t ≤4．32．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过A （﹣1，0），C （0，3）两点，它的对称轴与x 轴交于点F ，过点C 作CE ∥x 轴交抛物线于另一点E ，连结EF ，AC ．（1）求该抛物线的表达式及点E 的坐标；（2）在线段EF 上任取点P ，连结OP ，作点F 关于直线OP 的对称点G ，连结EG 和PG ，当点G 恰好落到y 轴上时，求△EGP 的面积．【解答】（1）y ＝﹣（x ﹣1）2+4，E （2，3）；（2）S △EGP =12S △EGF =12×12×1【解析】（1）把A （﹣1，0），C （0，3）两点代入抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 中得：―1―b +c =0c =3，解得：b =2c =3，∴该抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴对称轴是：x ＝1，∵CE ∥x 轴，∴点C 与点E 是对称点，∴E （2，3）；（2）连接FG ，过P 作PM ⊥x 轴于M ，过E 作EN ⊥x 轴于N ，则PM ∥EN ，∵F 与G 关于OP 对称，且G 在y 轴上，∴OF ＝OG ＝1，∴FG =OGF ＝45°，∵OC ＝3，∴OG ＝3﹣1＝2＝CE ，∴△ECG 是等腰直角三角形，∴EG ＝CGE ＝45°，∴∠EGF ＝90°，∵E （2，3），F （1，0），易得EF 的解析式为：y ＝3x ﹣3，设P （x ，3x ﹣3），∵∠POM ＝45°，∴△POM 是等腰直角三角形，∴PM ＝OM ，即x ＝3x ﹣3，x =32，∴P （32，32），∴FM ＝MN =12，∵PM ∥EN ，∴FP ＝EP ，∴S △EGP =12S △EGF =12×12× 1.。
二次函数表达式的三种形式
二次函数表达式的三种形式
二次函数的三种形式：1、一般式：y=ax²+bx+c(a≠0，a 、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。
2、顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0，a、h、k为常数)。
3、交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0，x1、x2为常数)。
扩展资料：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
1、当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；2、当a与b异号时（即ab抛物线与x轴交点个数：1、Δ= b²-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
2、Δ= b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
3、Δ= b²-4ac用待定系数法求二次函数的解析式：1、当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0)。
2、当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)。
3、当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(提高)
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（提高）【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1. 已知抛物线y ax bx c =++2经过A ，B ，C 三点，当x ≥0时，其图象如图1所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.图1【答案与解析】设所求抛物线的解析式为y ax bx c =++2（a ≠0）.由图象可知A ，B ，C 的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）.∴=++=++=-⎧⎨⎪⎩⎪c a b c a b c 216402553,,，解之，得a b c =-==⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪12322,,∴抛物线的解析式为y x x =-++123222 y x x x =--+=--+1232123225822()()∴该抛物线的顶点坐标为()32258，.【总结升华】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围x ≥0.2. 一条抛物线y x mx n =++142经过点()032，与()432，.求这条抛物线的解析式. 【答案与解析】抛物线y x mx n =++142经过点（032,）和(,)432， ∴这条抛物线的对称轴是直线x =2.设所求抛物线的解析式为y x h =-+1422(). 将点(,)032代入，得1402322()-+=h ，解得h =12. ∴这条抛物线的解析式为y x =-+142122()，即y x x =-+14322. 【总结升华】解析式中的a 值已经知道，只需求出m n ,的值。
5.3用待定系数法确定二次函数表达式(1)
5.3 用待定系数法确定二次函数表达式学习目标：1.会用待定系数法求二次函数中相关参数．2.会用待定系数法求二次函数的表达式．教学过程：1.知识回顾（1）二次函数关系式有哪几种表达方式？一般式：． 顶点式：．（2）还记得我们是怎样求一次函数和反比例函数的表达式吗？待定系数法．2.用类比的方式来研究二次函数表达式的求法．活动一由一般式确定二次函数的表达式． 例1 已知二次函数的图像经过点(－2，8)，求a 的值． 例2 已知二次函数的图像经过点(－2，8)和(－1，5)，求c a 、的值． 例3 已知二次函数的图像经过点---(3，6)、(2，1)和)30(-，，求这个二次函数的表达式．学习交流程序（1）先学生自己做．（2）讨论交流．（3）学生讲解，教师点拨．参考答案：例1 a=2．例2 a=1,c=4．例3 函数表达式为． 通过例题讲解，学生交流，学生讲解等方法让学生熟悉二次函数表达式的求法．3.本节课3个目标你达成 个。
分别是：5.3用待定系数法确定二次函数表达式同步习题一．选择题1．抛物线y＝2x2+c的顶点坐标为（0，1），则抛物线的解析式为（）A．y＝2x2+1B．y＝2x2﹣1C．y＝2x2+2D．y＝2x2﹣22．抛物线的顶点为（1，﹣4），与y轴交于点（0，﹣3），则该抛物线的解析式为（）A．y＝x2﹣2x﹣3B．y＝x2+2x﹣3C．y＝x2﹣2x+3D．y＝2x2﹣3x﹣3 3．抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点（2，﹣3），则c的值为（）A．﹣1B．2C．﹣3D．﹣24．已知二次函数的图象经过（﹣1，0），（2，0），（0，2）三点，则该函数解析式为（）A．y＝﹣x2﹣x+2B．y＝x2+x﹣2C．y＝x2+3x+2D．y＝﹣x2+x+2二．填空题5．二次函数y＝x2+bx+c经过（5，3）和（﹣2，3），则当x＝时，函数取到最小值．6．若抛物线y＝x2﹣kx+k﹣1的顶点在坐标轴上，则k＝．三．解答题7.已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3），求抛物线的解析式和顶点坐标．8．若二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（0，1）和（1，2）两点，（1）求此二次函数的表达式．（2）当x取何值时，y随x的增大而减小．。
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5.3用待定系数法确定二次函数表达式（3） 班级______学号_____姓名___________
【学习目标】
1.会根据特殊的已知条件求二次函数的关系式，并掌握规律；
2.渗透数形结合的数学思想.
【学前准备】
1.二次函数c bx ax y ++=2
的图象如图所示，求c b a 、、的值.
【合作探究】
例1.抛物线的顶点为（-1，-8），它与x 轴的两个交点间的距离为4.求此抛物线的关系式.
例2.二次函数图象的对称轴是1-=x ，与y 轴的交点纵坐标是-6，且经过顶点（2,10）.
求此二次函数的关系式.
【拓展提升】
二次函数c bx ax y ++=2
的图象与x 轴交与A 、B 两点，与y 轴交C 点，A 点坐标为
（-3,0）、B 点坐标为（1,0），且△ABC 的面积为6，求该二次函数的关系式.
【课堂检测】
1.抛物线与x 交与点A(-1,0)、B （-6,0），则线段AB= .
2.二次函数c bx x y ++=2
的对称轴是直线1=x ，则b = .
3.函数c bx x y ++=2
经过(-2,0)、(3,0)两点，则这个函数的关系式是b = ，c = . 4.已知二次函数c bx ax y ++=2
，当3=x 时，函数取得最大值10，且它的图象在x 轴 上截得的线段长为4，求c b a 、、的值.
5.抛物线c bx x y ++=2
与x 轴只有一个交点，坐标为（-2.，0）.求抛物线的解析式.
【课后作业】
1.已知二次函数当2=x 时，y 的最值是6，该抛物线可设为 .
2.二次函数c bx x y ++=2
经过点（0，-3）、（1,0），则该函数关系式是 . 3.抛物线c bx x y ++=2
经过点（1,0）、（-3,0），则关系式是： .
4.抛物线bx ax y +=2在x 轴截得的线段长为4，且经过点（1，3），则该函数关系式是： .
5.（2010 江苏镇江）
已知二次函数m x x y ++=22
的图象C 1与x 轴有且只有一个公共点. ⑴求C 1的顶点坐标；
⑵将C 1向下平移若干个单位后，得抛物线C 2，如果C 2与x 轴的一个交点为A （—3，0），求C 2的函数关系式，并求C 2与x 轴的另一个交点坐标；
⑶若n y y C y Q y n P 求实数且上的两点是,,),2(),,(21121>的取值范围.
6.如图，二次函数2
y x ax b =++的图象与x 轴交于1(,0)2
A -,(2,0)
B 两点，且与y 轴 交于点
C .
⑴求该抛物线的解析式，并判断ABC ∆的形状；
⑵在x 轴上方的抛物线上有一点D ,且以A C D B 、、、四点为顶点的四边形是等腰梯 形，请直接写出D 点的坐标为 .
★⑶在此抛物线上是否存在点P ,使得以A C B P 、、、四 点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标； 若不存在，说明理由.。