高等数学(同济大学)课件上第7_5平面方程

(P327 例4 , 自己练习)
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三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 设平面∏1的法向量为 n = ( A , B ,C ) 1 1 1 1 平面∏2的法向量为 n2 = (A , B2 ,C2 ) 2 则两平面夹角θ 的余弦为
n1
n2 θ
Π2
即
x− a y z −a b 0 = 0
−a 0 c 按第一行展开得 (x − a)bc− y(−a)c + zab = 0
即
bcx + acy +abz = abc
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二、平面的一般方程
设有三元一次方程
Ax + By + Cz + D = 0 ( A2 + B2 + C2 ≠ 0)
Qx0 + y0 + z0 ≤1, ∴1−3x0 = 3 x0
从而 因此所求球面方程为
x o
M0
y
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内容小结
1.平面 平面基本方程: 平面 一般式 点法式 截距式
Ax + By + Cz + D = 0 ( A2 + B2 + C2 ≠ 0)
x y z + + =1 a b c
P (x1, y1, z1) ,则P0 到平面的距离为 1 PP ⋅ n 1 0 r PP = d = Prj n 1 0 n A(x0 − x1) + B( y0 − y1) + C(z0 − z1) = P A2 + B2 + C2 1
d= Ax0 + B y0 + C z0 + D A2 + B2 + C2
n
M1 ∏ M3
n = M1M2 × M1M3
i j k = −3 4 − 6 − 2 3 −1 = (14, 9, −1)
M2
又M1 ∈Π, 利用点法式得平面 Π 的方程
即
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三点式方程也可写成 三点式方程 说明: 说明 此平面的三点式方程
x − 2 y +1 z − 4
n1 ⋅ n2 cosθ = n1 n2
θ
Π1
cosθ =
A A2 + B B2 + C C2 1 1 1
2 2 2 A + B +C 1 1 1 2 2 2 A2 + B2 + C2
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n1 ⋅ n2 cosθ = Π2 : n2 = (A , B2, C2 ) n1 n2 2
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例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A = D = 0 设所求平面方程为
By + Cz = 0
) 代入已知点 (4, −3, −1 得
化简,得所求平面方程 例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程. .
任取一组满足上述方程的数 x0, y0, z0, 则
②
Ax0 + B y0 + C z0 + D = 0
以上两式相减 , 得平面的点法式方程 显然方程②与此点法式方程等价, 因此方程②的图形是 平面的一般 法向量为 n = (A, B,C)的平面, 此方程称为平面的一般 方程. 方程
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Ax + By + Cz + D = 0 ( A + B + C ≠ 0)
2 2 2
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
n = (0, B,C) ⊥ i, 平面平行于 x 轴;
−3 −2
的平面方程为
4 3
−6 = 0 −1
一般情况 : 过三点 Mk (xk , yk , zk ) (k =1, 2,3)
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特别, 特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 时,平面方程为 x y z + + =1 (a,b, c ≠ 0) a b c 此式称为平面的截距式方程 截距式方程. 截距式方程 分析:利用三点式
n⊥M1M2
因此有 − 2C(x −1) + C( y −1) + C(z −1) = 0 (C ≠ 0)
约去C , 得 即
− 2(x −1) + ( y −1) + (z −1) = 0
2x − y − z = 0
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例5. 设
是平面
外一点,求 P 到平面的距离d . 0 解:设平面法向量为 n = (A, B, C), 在平面上取一点
x − x1 x2 − x1 x3 − x1
(abc ≠ 0)
三点式
y − y1 z − z1 y2 − y1 z2 − z1 = 0 y3 − y1 z3 − z1
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2.平面与平面之间的关系 平面 Π1 : A1x + B1y + C1z + D1 =0, n1 = (A1, B1, C1) 平面 Π2 : A x + B2 y + C2z + D2 = 0, n2 = (A , B2,C2 ) 2 2 垂直: 平行: n ×n2 = 0 1n P 0d来自(点到平面的距离公式)
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例6. 求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成 四面体的球面方程. 解: 设球心为 M0 (x0, y0, z0 ),则它位于第一卦限,且 x0 + y0 + z0 −1 径 = x0 = y0 = z0= R(半 ) z 12 +12 +12
∏2
n1
∏1
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例4. 一平面通过两点 M1( 1, 1, 1)和 M2 ( 0, 1, −1), 且 垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 . 解: 设所求平面的法向量为 方程为 则所求平面
A(x −1) + B( y −1) + C(z −1) = 0
− A+ 0⋅ B − 2C = 0, 即 A+ B + C = 0 , 故 n ⊥ Π的法向量
特别有下列结论： 特别有下列结论：
Π1 : n1 = ( A , B , C ) 1 1 1
n2
(1) Π1 ⊥ Π2 (2) Π1 // Π2
n1 ⊥ n2 A A + B B2 + C C2 = 0 1 2 1 1 n1 // n2
A B C 1 1 = = 1 A2 B2 C2
∏1
∏2
n1
n2
M0M ⊥n
n
M0
故
M0M ⋅n = 0
y
A(x − x0) + B( y − y0) + C(z − z0) = 0
①
称①式为平面Π的点法式方程 称n 为 面Π的 点法式方程, 点法式方程 法向量. 平
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1.求过三点 例1. 的平面 Π 的方程. 解: 取该平面Π 的法向量为
A A + B B2 + C C2 = 0 1 2 1 1
A B C 1 = 1= 1 A2 B2 C2
n1 ⋅ n2 夹角公式: cosθ = n1 n2
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思考与练习
P330 题4 , 5, 8
作业
P330 2 , 6 , 7 , 9
第六节 目录
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备用题
求过点 (1,1,1 且垂直于二平面 ) 的平面方程. 解: 已知二平面的法向量为 和
n1 = (1, −1, 1),
取所求平面的法向量
n2 = (3, 2, −12)
n = n1 ×n2 = (10, 15, 5 )
则所求平面方程为
10(x −1) +15( y −1) + 5(z −1) = 0
化简得
2x + 3y + z − 6 = 0
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• A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示 平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示 平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示 平行于 zox 面 的平面.
第五节 平面及其方程
一、平面的点法式方程 平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角
第七章 七
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一、平面的点法式方程 设一平面通过已知点 M0 (x0 , y0 , z0 ) 且垂直于非零向
量 n = (A, B, C), 求该平面Π的方程.
z
Π o x
M
任 点M(x, y, z) ∈Π, 则有 取