Ising Model
三维伊辛模型的蒙特卡罗模拟
三维伊辛模型的蒙特卡罗模拟吴洋新疆大学物理科学与技术学院，新疆乌鲁木齐（830046）E-mail: 328627928@摘要: 本文采用蒙特卡罗方法模拟三维晶格系统伊辛模型。
在不同温度下，分别模拟了具有简立方晶格、体心立方晶格及面心立方晶格相互作用的三维伊辛模型。
模拟结果表明：在高温下，系统磁化消失。
在低温下，系统具有磁性，并存在一个临界状态。
同时研究了三种晶格的磁化率、能量及比热随温度的变化趋势。
关键词:三维伊辛模型；蒙特卡罗方法；临界态中图分类号：0552.61．引言伊辛模型是一个简单但很重要的物理模型[1-5]，伊辛在1925年解出的精确解表明一维伊辛模型中没有相变发生。
二维伊辛模型[6-10]的临界问题及精确解在40年代由昂萨格严格求出。
人们采用了分子场理论及其改进理论、高温级数展开、低温级数展开、重整化群理论等多种方法计算三维伊辛模型[11-16]的解，但至今没有被学术界公认的三维伊辛模型的精确解。
本文通过蒙特卡罗方法模拟得到三维伊辛模型的近似解。
2．模型分析与计算2.1 模型格点选取本文研究三维伊辛模型的解，选取三维格点。
首先我们选取最简单的简立方格点，因为它具有典型性和代表性，它是直接由二维平面4个最近邻延伸到三维空间6个最近邻。
然后，再推广到体心立方晶格和面心立方晶格，只是最近邻点数目增加，处理问题的方法是相同的。
2.2 模型边界条件分析我们选取周期性边界条件，因为考虑到计算机的运算能力有限，所研究模型的大小也应是有限的。
但我们又要模拟无限大的空间系统，只有将边界条件取为周期性，才很好的解决了这个问题。
无论是对于简立方格点还是体心立方格点和面心立方晶格，只要是处于边界的格点，可以通过周期边界条件进行延伸，从而保证每个格点周围的最近邻格点数是一致的。
使用周期性边界条件，通常还可以减小来自边界的干扰。
2.3 反转概率函数选取采用蒙特卡罗模拟方法研究三维伊辛模型，反转概率的选取是很关键的一步。
一维Ising模型
物理学院 14级本科 李佳明
5.1 History and Formulation
• Ising模型：
• 对海森堡模型的简化。 • 考虑电子自旋只有两个方向。 • 最初是为了解释铁磁物质的相变。
History
• 1925：Ising，一维Ising模型的确切解——无相变。 • 1930s：Bragg (1934) and Williams (1935)，二元金属 • 1936：Peierls，二维Ising模型中，铁磁相变存在。 • 1941：Kramers and Wannier，二维Ising模型的临界点。 • 1944：Onsager得到无外场时的确切解（配分函数）。这是第一个仅仅通 过配分函数来说明相变存在的重要的证明。
开链式：
周期一维晶格链：
通过矩阵方法求和：
考虑N趋于无穷时的热力学极限：
当B=0，等式右边化为 log(2 cosh v)，与之前的结果完全相同。
当N有限时：
此结果与之前开链式一维晶格的计算结果明显不 同。 在热力学极限（N非常大）中，仅最大的特征值 （λ 1）有贡献。
Ising模型
• 于是，可写出配分函数（正则系综）：
5.2 Lattice Gas
• V：格点数（体积） • N：粒子数 • 每个格点最多容纳一个粒子； • 只计算相邻格点上粒子的相互作用能。
• 对于tp，存在约束：
• 配分函数：imensional Model and Transfer Matrix
LB83_伊辛模型
(4.101)
24
Fi的形式可由系统的亥姆霍兹自由能A取极小 值的条件来决定。
A U TS TrH kT ln (4.102 ) 由式(4.99)-(4.102)以及A=0,得出:
H Fi , Si (4.103)
式中<H>和<Si>分别为系统的哈密顿量及自旋 的平均值。
铁电体的微观理论：横场伊辛模型 Ising model in a transverse field
赝自旋模型的引入 赝自旋模型静态性质 赝自旋系统的动力学
wangcl@
1
含氢键的铁电体（如KH2PO4和PbHPO4）可以作 为有序无序型铁电体的代表。在这些晶体中， 顺电相时氢在氢键中两个可能位置上等概率 分布，呈无序状态；铁电相时，氢择优地占 据这两个可能位置之一，呈有序状态。 氢的有序化是该类晶体铁电性的触发机制， 而且氢的有序化程度是相变的序参量。不过， 氢键所在平面与自发极化方向（沿c轴）垂直， 为了说明自发极化，还要借助氢有序化与重 原子（K和P）运动的耦合。
wangcl@ 8
ai+：为在氢键i上产生量子态为的粒子的 产生算符； ai ：为相应的湮灭算符；所以ai+ai 就是 氢键i上量子态为的粒子数算符。 在任一氢键i上，有一个且仅有一个质子的条 件由下式表示：
i i 1 i i
H J S S J S S
ij x x ij i x j
Heisenburger model
H J S S J S S J S S
ij x x ij i x j y y y ij i j
wangcl@
z z z ij i j
Ising模型（伊辛模型）
Ising模型（伊⾟模型）Ising模型（伊⾟模型）是⼀个最简单且能够提供⾮常丰富的物理内容的模型。
可⽤于描写叙述⾮常多物理现象，如：合⾦中的有序-⽆序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结与蒸发、玻璃物质的性质、森林⽕灾、城市交通等。
Ising模型的提出最初是为了解释铁磁物质的相变，即磁铁在加热到⼀定临界温度以上会出现磁性消失的现象，⽽降温到临界温度下⾯⼜会表现出磁性。
这样的有磁性、⽆磁性两相之间的转变。
是⼀种连续相变（也叫⼆级相变）。
Ising模型如果铁磁物质是由⼀堆规则排列的⼩磁针构成，每⼀个磁针仅仅有上下两个⽅向（⾃旋）。
相邻的⼩磁针之间通过能量约束发⽣相互作⽤。
同⼀时候⼜会因为环境热噪声的⼲扰⽽发⽣磁性的随机转变（上变为下或反之）。
涨落的⼤⼩由关键的温度參数决定。
温度越⾼，随机涨落⼲扰越强。
⼩磁针越easy发⽣⽆序⽽剧烈地状态转变。
从⽽让上下两个⽅向的磁性相互抵消，整个系统消失磁性。
如果温度⾮常低，则⼩磁针相对宁静，系统处于能量约束⾼的状态,⼤量的⼩磁针⽅向⼀致,铁磁系统展现出磁性。
科学家对该模型的⼴泛兴趣还源于它是描写叙述相互作⽤的粒⼦（或者⾃旋）最简单的模型。
Ising模型是⼀个很easy的模型，在⼀维、⼆维、三维的每⼀个格点上占领⼀个⾃旋。
⾃旋是电⼦的⼀个内部性质。
每⼀个⾃旋在空间有两个量化⽅向。
即其指向能够向上或者向下。
虽然该模型是⼀个最简单的物理模型。
眼下仅有⼀维和⼆维的精确解。
考虑⼀维Ising模型。
M个⾃旋排成⼀排，每⼀个⾃旋与其左右两个近期邻的⾃旋之间有相互作⽤。
简单起见，我们仅仅考虑倾向于使近邻⾃旋的⽅向⼀致的相互作⽤。
⼆维正⽅Ising模型就是由N个同样的⾃旋排。
每⼀个⾃旋不但与其左右两个近期邻的⾃旋相互作⽤，并且与前后相邻的⾃旋排中两个近期邻的⾃旋相互作⽤，project了⼀个⼆维的⾃旋阵列。
三维⽴⽅Ising模型就是有L个同样的⼆维⾃旋阵列，每⼀个⾃旋与其左右、前后、上下六个近期邻的⾃旋相互作⽤。
ising model物理
ising model物理
Ising模型？听起来好神秘！
今天上科学课，老师提到了个叫“Ising模型”的东西。
我听
着听着，感觉自己好像进了另一个世界。
这个模型是不是跟磁铁有
关系？老师说得太快，我有点没跟上。
回家路上，我一直在琢磨。
Ising模型，是个啥玩意儿？我问
妈妈，妈妈笑着说，“这个模型就像是个魔法，能帮我们理解物质
怎么从乱七八糟变得有秩序。
”哦，原来这么神奇！
晚上，我躺在床上，想着想着就睡着了。
梦里，我变成了一个
小磁铁，跟着一群磁铁朋友跳舞。
有时候我们乱七八糟地晃来晃去，有时候又整整齐齐地站成一排。
哈哈，原来Ising模型就是我们的
舞蹈教练啊！
第二天，我赶紧跟老师分享了我的梦。
老师听了，笑得眼睛都
成月牙儿了。
她说，“你想象力真丰富！其实，Ising模型不只是
跟磁铁跳舞有关，它还能解释很多自然现象，比如水结冰、人们排
队什么的。
”哇，这么厉害！
从那以后，我看到磁铁或者排队的人，都会想起那个有趣的梦。
Ising模型真是个神奇的魔法，让我对这个世界充满了好奇和想象！。
伊辛模型资料
伊辛模型简介伊辛模型（Ising model）是一种理想磁体的模型，被提出来描述固体中磁性原子的行为。
这个模型虽然简单，但却能够阐明许多磁性材料中的重要现象。
在该模型中，每个原子只有两种可能的自旋状态，即向上或向下。
原子之间通过相邻原子之间的相互作用而相互影响。
历史1936年，物理学家恩斯特·伊辛（Ernst Ising）建立起这个模型，以研究铁磁体的基本性质。
在原始形式的伊辛模型中，只考虑相邻自旋之间的相互作用，这样使得问题更容易求解。
基本假设在伊辛模型中，我们给予每个自旋一个参数，可以是+1（代表向上）或-1（代表向下）。
自旋之间的相互作用用参数J描述，表征相邻自旋之间的相互作用强度。
另外，温度参数T也是一个重要的因素，用于描述外界环境对磁体的影响。
模型描述伊辛模型可以表示为以下的哈密顿量：H = -J * Σs_i * s_j其中，J定义了相邻自旋之间的耦合强度，s_i和s_j分别是第i和第j个自旋的取值。
在伊辛模型中，我们通常采用蒙特卡罗模拟的方法来对系统进行计算，模拟系统在不同温度和参数下的自旋状态。
通过统计大量的自旋状态，我们能够获得磁体的平均磁矩、比热容等物理量。
应用伊辛模型虽然简单，却被广泛应用于各种磁性系统的研究。
从铁磁体到自旋玻璃等复杂的系统，伊辛模型都能提供重要的参考。
通过调节参数J和温度T，我们能够模拟出不同体系下的磁性行为，为材料科学和凝聚态物理学的研究提供了重要的参考。
总结伊辛模型作为一种理想磁体模型，为我们理解磁性材料中的重要现象提供了一个简单而有力的工具。
通过建立模型、模拟计算，我们能够更好地理解材料的性质，并为新材料的设计提供指导。
这个简单却丰富的模型，一直在吸引着物理学家和材料科学家的关注，带动着磁性材料研究的进步。
基于神经网络量子态的横场Ising模型研究
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
北京工业大学理学硕士学位论文
4.2 平均磁矩和磁敏感度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.3 关联函数与关联⻓度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5 纠缠熵的测量 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 35 结论 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 41 参考文献 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 43 攻读硕士期间发表的论文 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 49 致谢 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 51
摘要
摘要
我们使用神经⺴络量子态表示一维与二维横场 Ising 模型的波函数，这样的波函数 相当于一种从自旋位形空间到由⺴络参数序列决定的复数域的映射，也就是说当我们 给波函数输入一种自旋位形时，它就会反馈一个复数。我们使用无监督机器学习方法 去寻找基态波函数，具体是，我们采用随机重构 (SR) 方法不断调整波函数中的⺴络参 数，使得这个波函数不断逼近基态。同时，我们还从最小作用量原理和信息几何的角度 为 SR 方法提供了一种理解方式。在找到基态波函数之后，我们根据它并且使用重要性 抽样方法计算了几种关键的热力学量，它们包括，每个格点的平均能量、两点关联函数 和关联⻓度、平均磁矩和磁敏感度。我们探究了这些物理量与外加横场强度的关系，我 们得到的结果与已有文献的结果高度一致。特别地，纠缠熵的计算不同于这些物理量， 因为在其计算过程中会面临对密度矩阵 ρ 的操作，以致无法使用简单的重要性抽样方 法计算他们的统计平均值。我们提供了一种可行的用于计算纠缠熵的近似方法，并且 其一维结果与已有解析结果高度一致，其二维结果也与已有的几种其它数值结果给出 了相近的量子相变的位置。另外，我们还讨论了⺴络参数 α 对计算精度的影响，结果 显示出 α 的值对计算精度的影响很小。 关键词：横场 Ising 模型，神经⺴络量子态，随机重构方法，纠缠熵
ising model
伊辛模型Yixin moxing伊辛模型Ising model描述物质相变的一种模型。
物质经过相变，要出现新的结构和物性。
发生相变的系统一般是在分子之间有较强相互作用的系统，又称合作系统。
在铁和镍这类金属中，当温度低于居里温度（见铁磁性）时，原子的自旋自发地倾向某个方向，而产生宏观磁矩。
温度高于居里温度时,自旋的取向非常紊乱,因而不产生净磁矩。
当温度从大于或小于两边趋于居里温度时，金属的比热容趋于无限大。
这是物质在铁磁性状态和非铁磁性状态之间的相变，它并不包含在P.厄任费斯脱所分类的相变中。
伊辛模型就是模拟铁磁性物质的结构，解释这类相变现象的一种粗略的模型。
它的优点在于，用统计物理方法，对二维情形求得了数学上严格的解。
这就使得铁磁性物质相变的大致特征，获得了理论上的描述。
这个模型所研究的系统是由个阵点排列成维周期性点阵，这里=1,2,3点阵的几何结构可以是立方的或六角形的,每个阵点上都赋予一个取值+1或－1的自旋变数,如果＝+1,即第个阵点的自旋向上；如＝-1，即第个阵点的自旋向下并且认为只是最近邻的自旋之间有相互作用。
点阵的位形用一组自旋变数{}（＝1，2，…,）来确定。
图1[二维伊辛点阵模型]是一个二维伊辛模型的示意图，图中表示自旋向上,[kg2]表示自旋向下。
处理方法20世纪30年代初，不少科学家如W.L.布格 E.J.威廉斯H.A.贝特、R.E.佩尔斯等人就已从有序－无序转变问题及点阵气体等模型出发，采用平均场近似法处理伊辛模型。
布格－威廉斯平均场近似法认为，某一阵点上的自旋取某一方向的几率同近邻阵点上的自旋取向无关，只同自旋在该方向的数目成正比。
每个阵点上有一平均磁场，自旋在阵点上的取向只同该磁场有关。
用这种方法可求得下列公式[1148-01]式中是每个自旋的磁矩,是每一阵点的最近邻数，是外磁场强度，是热力学温度，是自旋同向的最近邻对之间的相互作用能（铁磁性物质0，非铁磁性物质0），是玻耳兹曼常数, [kg2]是每个自旋上的磁化强度，可表示为[1148-02],其中是总阵点数,[1110-17]、[1110-18]分别代表自旋向上和向下的总阵点数,显然[1110-17]+[1110-18]=。
自旋模型简述
自旋模型简述1、自旋的基本概念与表述自旋是电子的基本性质之一，是电子内禀运动量子数的简称。
电子自旋的概念是由Uhlenbeck 和Goudsmit 为了解释碱金属原子光谱的精细结构以及反常Zeeman 效应而提出的。
他们认为电子的运动与地球绕太阳运动相似，电子一方面绕原子核运动，从而产生了相应的轨道角动量；而另一方面它又有着自转，其自转的角动量为ħ/2，并且它在空间任何方向的投影都只能取两个值，即±ħ/2(也就是自旋向上和向下两个状态↑↓)，与自旋相对应的磁矩则是eħ/2mc 。
当然，这样带有机械性质的概念是不正确的，而自旋作为电子的内禀属性，是标志电子等各种粒子(如质子、中子等)的一个重要的物理量。
对于自旋这个自由度，我们一般用算符ŝ表示(这里的记号^表示算符，在下文中为了简便我们将略去这一记号)。
因为自旋角动量与轨道角动量有着相同的特征，所以一般也认为它们具有相同的对易关系，即s ⨯s =iħs 。
在这里我们引入泡利算符s =σħ/2。
由于s 沿任何表象的投影都只能取±ħ/2两个值，即σ沿任何方向的投影只能取±1这两个值，所以泡利算符σ的每个分量都可以用2⨯2的矩阵来表示。
我们一般采用σz 分量对角化的表象，得到其矩阵表示：i i z y x ,1001,00,0110⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=σσσ (1-1) 这样的表示就是著名的Pauli 矩阵。
2、自旋模型的形式2.1 物质的磁性与自旋模型由于原子核的磁矩很小，物质的磁矩可以看成其轨道磁矩和自旋磁矩之和。
电子的总磁矩(轨道磁矩+自旋磁矩)，直接体现为物质的宏观磁性。
而对于过渡金属的原子或离子，因为轨道角动量的冻结，其磁性主要来源于未配对电子的自旋磁矩。
对于物质的磁性，很早以来就有着广泛的研究，比如Langevin的顺磁理论，Wiess的分子场理论，Bloch的自旋波理论。
这些理论中，原子(离子)都具有磁矩，而磁矩之间存在着一定的相互作用。
Ising模型简述
Ising模型简述Lenz曾向他的学生Ising提出一个研究铁磁性的简单模型，而Ising于1925年发表了他对此模型求解的结果，所以这个模型被称为Ising模型。
当时Ising 只做出了该模型一维下的严格解，在一维情况下并没有自发磁化的发生。
另外他还由此错误地推断出在更高维的情况下，这个模型也不存在自发磁化。
这个推断在后来被证明是错误的。
1936年Peierls论证了二维或三维的Ising模型存在着自发磁化，虽然当时他并没有能够给出模型的严格解。
1944年，当Onsager给出了二维Ising模型的严格解之后，Ising模型开始引起人们广泛的关注。
这次求解是相变理论发展上的一个重要进展，它第一次清楚地证明了从没有奇异性的哈密顿量体系出发，在热力学极限下能导致热力学函数在临界点附近的奇异行为，而Onsager本人也因此获得了诺贝尔奖。
在此之后很多人又相继发表Ising模型的各种不同解法，Baxter甚至有篇论文叫‘Ising模型的第399种解法’。
但至今没有被学术界公认的三维Ising模型精确解。
甚至有人发表论文证明无法解出三维Ising模型的精确解，因为三维Ising模型存在拓扑学的结构问题。
人们通常用分子场理论及其改进理论、高温级数展开、低温级数展开、重整化群理论、蒙特-卡罗模拟等近似计算三维Ising模型的居里温度和临界指数，而其中Wilson于1971年发展的重整化群理论能以较高精度计算三维Ising模型的近似结果[18-20]。
我国科学家张志东提出三维“Ising模型”精确解猜想。
张志东的出发点就是拓扑学中的一个常识：低维空间的扭曲和纽结可以被高一维空间的旋转打开。
通过引入第四卷曲起来的维与本征矢量上的权重这两个猜想作为处理三维Ising模型拓扑学问题的边界条件，并应用这些猜想用自旋分析法评估了三维简单正交晶格Ising模型的配分函数。
当系统的对称性越高，居里温度也越高。
他猜测三维系统具有最高对称性的简单立方Ising模型具有最高的居里温度黄金解，在二维系统具有最高对称性的正方Ising模型具有最高的居里温度白银解。
Ising 模型简介
Ising 模型简介
可以毫不夸张地说，Ising模型是统计物理中迄今为止唯一的一个同 时具备:表述简单、内涵丰富、应用广泛这三种优点的模型。 Ising模型的提出是为了解释铁磁物质的相变，即磁铁在加热到一定 临界温度以上会出现磁性消失的现象，而降温到临界温度以下又会 表现出磁性。这种有磁性、无磁性两相之间的转变，是一种连续相 变（也叫二级相变）。
1944年，当Onsager给出了二维Ising模型的严格解之后，Ising模型开 始引起人们广泛的关注。这次求解是相变理论发展上的一个重要进 展，它第一次清楚地证明了从没有奇异性的哈密顿量体系出发，在 热力学极限下能导致热力学函数在临界点附近的奇异行为，而 Onsager本人也因此获得了诺贝尔奖。在此之后很多人又相继发表 Ising模型的各种不同解法，Baxter甚至有篇论文叫‘Ising模型的第 399种解法’。但至今没有被学术界公认的三维Ising模型精确解。
Ising模型假设铁磁物质是由一堆规则排列的小磁针构成，每个磁针 只有上下两个方向（自旋）。
相邻的小磁针之间通过能量约束发生相互作用，同时又会由于环境 热噪声的干扰而发生磁性的随机转变（上变为下或反之）。
涨落的大小由关键的温度参数决定，温度越高，随机涨落干扰越强， 小磁针越容易发生无序而剧烈地状态转变，从而让上下两个方向的 磁性相互抵消，整个系统消失磁性，如果温度很低，则小磁针相对 宁静，系统处于能量约束高的状态,大量的小磁针方向一致,铁磁系 统展现出磁性。而当系统处于临界温度的时候，Ising模型表现出一 系列幂律行为和自相似现象。
ISING模型简史 Ising模型最早的提出者是Wilhelm Lenz (1920)。后来， 他让他的学生Ernst Ising对一维的Ising模型进行求解，但是并没有发 现相变现象，因此也没有得到更多物理学家的关注。 随后，著名 的统计物理学家Lars Onsager于1944年对二维的ISING模型进行了解 析求解，并同时发现了二维ISING模型中的相变现象，从而引起了 更多学者的注意。 之后，随着物理学家Landau、Ginzburg等人的努 力，人们发现了Ising模型与量子场论之间的联系，并创立了平行的 “统计场论”
二维伊辛模型磁化强度曲线
二维伊辛模型磁化强度曲线【原创版】目录1.二维伊辛模型的概述2.磁化强度曲线的定义和意义3.二维伊辛模型磁化强度曲线的特点4.二维伊辛模型磁化强度曲线的应用正文一、二维伊辛模型的概述二维伊辛模型（Ising Model）是一种描述磁性材料中磁化强度与温度关系的数学模型，该模型由英国物理学家威廉·伊辛（William L.Ising）在 1920 年提出。
二维伊辛模型是伊辛模型在二维空间上的推广，相较于一维伊辛模型，二维伊辛模型能更准确地描述磁性材料在二维空间中的磁化行为。
二、磁化强度曲线的定义和意义磁化强度曲线（Magnetization Curve）是描述磁性材料在外加磁场作用下磁化强度与磁场强度之间关系的曲线。
磁化强度是指单位体积内磁偶极矩的矢量和，用符号 M 表示。
磁化强度曲线是磁性材料在磁场中磁化行为的重要表现形式，对于研究磁性材料的磁性能有着重要的意义。
三、二维伊辛模型磁化强度曲线的特点二维伊辛模型磁化强度曲线具有以下特点：1.在零磁场下，磁化强度为零。
当外加磁场强度逐渐增大时，磁化强度逐渐增大。
2.当磁场强度达到一定值时，磁化强度达到饱和状态，此时磁化强度不再随磁场强度的增大而增大。
3.二维伊辛模型磁化强度曲线在磁场强度为零和饱和状态时，分别对应着顺磁性和铁磁性。
4.在曲线的饱和磁场强度附近，磁化强度曲线的斜率会发生剧变，这一现象称为磁化强度的“膝点”（Knee Point）。
四、二维伊辛模型磁化强度曲线的应用二维伊辛模型磁化强度曲线在磁性材料的研究中有着广泛的应用，例如：1.分析磁性材料的磁性能，如磁化强度、饱和磁场强度、矫顽力等参数。
2.研究磁性材料的磁化过程，了解磁性材料在外加磁场作用下的磁化行为。
3.指导磁性材料的设计和应用，如磁性材料的磁场调控、磁性材料的磁性能优化等。
Opinion Dynamics
Opinion Dynamics林颖婷 2011.12.23•内容提纲• （一）意见动力学 概要 • （二）几个经典模型 • （三）其他模型和扩展Statistical physics of social dynamics, C. Castellano, S. Fortunato, V. Loreto, Rev. Mod. Phys. 81 (2009) 591. Adaptive coevolutionary networks: a review, Thilo Gross and Bernd Blasius, Journal of the Royal Society 5(2008)259. S. Boccaletti et al, Complex networks: Structure and dynamics , Physics Reports 424(2006)175（一) Opinion Dynamics• 研究意义： 舆情研究是社会学中很早就开始关注的问题。
每个人 都有自己的倾向。
人类也具有社会性，很多情况下都必须 通过达成共识，发挥集体力量，才能得到更好的发展。
• 研究手段：相互作用的个体=》agent-based modeling，interaction network 通过从个体的微观动力学入手，来寻找影响宏观现象形成 的关键因素 • 选取的动力学机制和相互作用网络会对结果产生极大的影 响 • 统计物理和非线性动力学一些概念• Opinion：倾向、种类；离散、连续；二元、多 元 • 状态的描述： comsensus:一致 Ploarization : 两种意见对抗 Fragmentation、diversity：多种意见共存 相变:Phase Transition一般关注的焦点形成一致、极化、共存的条件 达到一致的收敛时间 共存相的斑图：随机分布，形成团簇 集团的大小分布 个体意见改变的一些人类行为动力学特征，如时间间隔分 布 • 标度律 • • • • •(二)Ising Model• A binary variable modelH =− 1 σ iσ j ∑ 2 <i , j >p = exp(−ΔE / k BT )m=1 N∑σii• Potts model – nonbinary variable model复杂网络上的Ising相变和临界现象A. D. Sánchez, J. M. López, and M. A. Rodríguez, Nonequilibrium Phase Transitions in Directed Small-World Networks, Phys. Rev. Lett. 88, 048701 (2002) A. Barrat and M. Weigt, On the properties of small-world network models ,Eur. Phys. J. B 13, 547 (2000) C. P. Herrero, Ising model in small-world networks, Phys. Rev. E 65, 066110 (2002) B. Bianconi ，Mean field solution of the Ising model on a Barabasi-Albert network，Phys. Lett. A 303, 166(2002) S. N. Dorogovtsev, A. V. Goltsev, and J. F. F. Mendes, Critical phenomena in complex networks, Rev. Mod. Phys. 80, 1275–1335 (2008)（三） 几个基本模型• Voter Model • Majority rule model • Sznajd model • Social impact theory • Bounded confidence models (Continuous opinions)3.1 Voter Modelat each time step one site is selected at random and made equal to one of its nearest neighbors.Incomplete ordering of the voter model on small-world networks, C. Castellano, D. Vilone, A. Vespignani, Euprophysics Letters 63(2003)1533.2 Majority ModelThe agent will adopt the local/global majority state certainly or priority.P. L. Krapivsky and S. Redner, Dynamics of Majority Rule in TwoState Interacting Spin Systems ,Phys. Rev. Lett. 90, 238701 (2003) M. Mobilia and S. Redner, Majority versus minority dynamics: Phase transition in an interacting two-state spin system, Phys. Rev. E 68, 046106 (2003) P Chen and S Redner，Consensus formation in multi-state majority and plurality models, J. Phys. A 38 (2005) 72393.3 Sznajd modelin the Sznajd model one has an outward flow of influence.On a chain, this set is a bond with two people at its ends.K. Sznajd-Weron, J. Sznajd, Opinion evolution in closed community , IJMPC 11, 1157(2000) Election results and the Sznajd model on Barabasi network, A.T. Bernardes, D. Stauffer and J. Kertész, EPJB 25,123(2002)K. Sznajd-Weron, J. Sznajd, Opinion evolution in closed community , IJMPC 11, 1157(2000The case of 2D3.4 Social impact theory• pi : persuasiveness • dij: distancesi : supportiveness α: parameterA. Nowak et al, Simulating the coordination of individual economic decisions, Physica A 287, 613(2000)3.5 Bounded confidence models• Deffuant modelμis convergence parameter [0,-1/2]G. Deffuant, D. Neau, F. Amblard, G. Weisbuch, Adv. Complex Syst. 3 (2000) 87;• Hegselmann-Krause model (HK model)Agent takes the average opinion of his neighbours.(四) 其他模型举例以及扩展• （1）人际关系网 (a)不同关系网络 SW、BA、有向网、 层次网、社团结构 (b)随着动力学演化的网络拓扑 • （2）接受机制 从众、权威效应、记忆效应、固执等 • （3）人类行为4.1 the coevolution of networks and opinions <1>On each step we pick a vertex i at random. If ki isn’t zero, then (1) With probabilityφ, choose random one of his edges, move the other end to a vertex chosen randomly from the set of all vertices having the same opinion with him; (2) With probability 1-φ , we set his opinion equal to random one’s of his neighbours.Community sizes, Time to reach consensusthe coevolution of networks and opinions <2> At each time step,i) the spins are updated random sequentially based on a simple majority rule: their state will be changed to the majority in the next time step; in the case of a tie, the spin remains unchanged. ii) the links are updated as follows: two nodes carrying equal (unequal) spins are connected with probability p (q). In this letter, we focus on the special case q =1−pI. J. Benczik, Lack of consensus in social systems, EPL 82, 48006(2008) F. Schweitzer and L. Behera，Nonlinear voter models: the transition from invasion to coexistence，EPJB 67, 301(2009) M.Mobilia, Fixation and polarization in a three-species opinion dynamics model, EPL 95 , (2011)4.2 接受机制（1）Effects of social diversityYang, H.-X. et al, Effects of social diversity on the emergence of global consensus in opinion dynamics, Phys. Rev. E 80, 046108(2009) Yang, H.-X. et al, Effects of social diversity on the evolutionary game and opinion dynamics, Physics Procedia 3, 1859(2010)• At each step: (1)At first, randomly select an agent i, and one of his neighbors j. The probability i changes his value to that of j is nj/N (2)Then, With probabilityα another random agent k is assigned a new random integer which does not appear anywhere else in the system.谢谢大家！。
（凝聚态物理专业论文）Ising模型磁性质的理论研究
摘要
磁性是物质的基本属性之一，对物质磁性质及其机理的研究一直是凝聚态物 理中重要的研究课题之一。近年来，层状高温超导材料、磁性多层膜、人造磁性 超品格、有机聚合物磁性材料的制备技术和实验研究发展迅速，这些新材料表现 出了许多奇特的磁性质，具有广阔的应用前景，这极大地促进了新型磁性材料的 理论研究。作为描述固体磁性的Ｉｓｉｎｇ模型也受到了许多理论工作者的关注。
上世纪２０年代，量子力学迅速发展起来，人们开始用量子力学来解释物质 磁性的起源。１９２８年，Ｗ．Ｈｅｉｓｅｎｂｅｒｇ把铁磁物质的自发磁化归结为原子磁矩之 间的直接交换作用，建立了局域性电子自发磁化的Ｈｅｉｓｅｎｂｅｒｇ交换作用理论模 型，从而正确地揭示了自发磁化的量子本质。这一理论不但成功地解释了物质存 在铁磁性、反铁磁性和亚铁磁性等实验事实，而且为进一步导出低温自旋波理论、 铁磁相变理论及铁磁共振理论奠定了基础。
Ｈ＝忑∑氓１％，ｓｌｉｓＵ＋ＪｌＨ秣㈨ｉｓｌｉｓ㈨＋“．蠢ｔｔ乳ＩｓｌｉＳⅧ、）
Ｉ（，．』）Leabharlann 我们用相关有效场理论对系统的磁性质进行了研究，推导出了系统磁矩和 相变温度的表达式。研究了温度、交换相互作用常数和稀磁浓度对各层原子磁矩 和相变温度的影响，还给出了磁矩随原子层数的变化规律。研究结果表明，对自 旋值较小的原子层来说，层间交换相互作用比层内交换相互作用对该层磁矩的影 响大得多，这直接导致低自旋材料在界面处出现磁矩最大值，而高自旋材料在界 面处出现磁矩最小值。我们还发现，稀磁情况下磁矩随温度的变化趋势与未稀磁 时类似，不同的是磁矩大小相应减小。
ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ ａｓ
Ｈ＝一∑∑（‘。，Ｓ，，甄＋以ｔｆ＋。Ｓ，，Ｓ…，，＋‘，『＿。Ｓ，，Ｓ，．．，，） ， （，，』）
Ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ、析ｔ１１ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｉｓｉｎｇ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｉｎ ｄｅｔａｉｌ．Ｗｅ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ ｔｈｅ ｍａｇｎｅｔｉｚａｔｉｏｎ，ｃｒｉｔｉｃａｌ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ａｎｄ ｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｏｎ
伊辛模型的基本方法
伊辛模型的基本方法
伊辛模型（Ising model）是一种描述物质相变的随机过程模型，主要用于解释铁磁系统的相变。
该模型由多维周期性点阵组成，点阵的几何结构可以是立方的或六角形的，每个阵点上都赋予一个取值表示自旋变数，即自旋向上或自旋向下。
伊辛模型假设只有最近邻的自旋之间有相互作用，点阵的位形用一组自旋变数来确定。
伊辛模型的计算方法通常包括以下步骤：
1. 定义模型参数：包括自旋的相互作用强度、温度等。
2. 初始状态设置：根据问题背景和具体要求，设置初始的自旋状态。
3. 迭代更新：根据伊辛模型的更新规则，对每个自旋进行状态更新，通常采用Metropolis算法或其他相关算法。
4. 统计测量：在更新完成后，统计各种物理量的测量值，如总自旋向上或向下的数量、磁化强度等。
5. 结果分析：根据测量结果，进行分析和解读，以了解相变的过程和性质。
需要注意的是，伊辛模型的计算方法可能因具体问题和要求而有所不同，上述步骤仅为一般性的流程。
同时，由于伊辛模型的计算复杂度较高，对于大规模系统的模拟需要借助高性能计算机和高效的算法设计。
ising model解释铁磁顺磁相变
ising model解释铁磁顺磁相变铁磁顺磁相变是材料在外加磁场的作用下，从铁磁相态转变为顺磁相态的现象。
铁磁物质和顺磁物质是指在外加磁场下，材料的磁化强度方向与外加磁场基本一致（顺磁）或者相反（铁磁）。
铁磁顺磁相变的解释可以使用经典的经典ising模型。
该模型是由Ernst Ising在1920s年提出的，是量子力学中的一个重要模型，在描述铁磁性和顺磁性方面有广泛的应用。
在ising模型中，我们将材料分割成一个个离散的点，每个点代表一个自旋，自旋只能取两个值：向上（+1）或者向下（-1）。
这里的自旋可以看作是代表材料中的一个基本单位，例如原子的磁矩。
在该模型中，自旋与自旋之间存在相互作用，这个相互作用可以使得自旋的方向具有倾向性。
具体可以通过哈密顿量来描述该模型：H = -J∑(si * sj) - µB H * ∑si其中，第一项表示自旋之间的相互作用，J是相互作用常数；第二项表示自旋与外加磁场之间的相互作用，μB是玻尔磁子，H是外加磁场强度，si表示第i个自旋的磁化强度。
在低温下，自旋更有可能与相邻的自旋保持相同的方向，这是由相互作用J所导致的。
而在高温下，热涨落使得自旋更随机地改变方向。
这个随温度变化的相变可以通过参数β=1/(kT)来描述，其中k是玻尔兹曼常数，T是温度。
β越小，温度越高。
为了研究铁磁顺磁相变，我们可以采用Monte Carlo模拟的方法。
在这个模拟过程中，我们需要考虑整个系统的能量以及熵，通过随机改变自旋的方式，计算系统的平衡态。
具体的Monte Carlo模拟步骤如下：1.初始化自旋的状态，可以随机生成。
2.选择一个自旋，计算其在当前状态下的能量。
3.随机改变该自旋的方向，计算新状态下的能量。
4.根据Metropolis准则，判断是否接受该变化。
如果能量降低，接受该变化；如果能量增加，有一定概率接受该变化，概率由Boltzmann因子e^(-ΔE/kT)决定，其中ΔE是能量差。
Ising模型简述
Ising模型简述Ising模型简述Lenz曾向他的学⽣Ising提出⼀个研究铁磁性的简单模型，⽽Ising于1925年发表了他对此模型求解的结果，所以这个模型被称为Ising模型。
当时Ising只做出了该模型⼀维下的严格解，在⼀维情况下并没有⾃发磁化的发⽣。
另外他还由此错误地推断出在更⾼维的情况下，这个模型也不存在⾃发磁化。
这个推断在后来被证明是错误的。
1936年Peierls论证了⼆维或三维的Ising模型存在着⾃发磁化，虽然当时他并没有能够给出模型的严格解。
1944年，当Onsager 给出了⼆维Ising模型的严格解之后，Ising模型开始引起⼈们⼴泛的关注。
这次求解是相变理论发展上的⼀个重要进展，它第⼀次清楚地证明了从没有奇异性的哈密顿量体系出发，在热⼒学极限下能导致热⼒学函数在临界点附近的奇异⾏为，⽽Onsager本⼈也因此获得了诺贝尔奖。
在此之后很多⼈⼜相继发表Ising模型的各种不同解法，Baxter甚⾄有篇论⽂叫‘Ising模型的第399种解法’。
但⾄今没有被学术界公认的三维Ising模型精确解。
甚⾄有⼈发表论⽂证明⽆法解出三维Ising模型的精确解，因为三维Ising模型存在拓扑学的结构问题。
⼈们通常⽤分⼦场理论及其改进理论、⾼温级数展开、低温级数展开、重整化群理论、蒙特-卡罗模拟等近似计算三维Ising模型的居⾥温度和临界指数，⽽其中Wilson于1971年发展的重整化群理论能以较⾼精度计算三维Ising模型的近似结果[18-20]。
我国科学家张志东提出三维“Ising模型”精确解猜想。
张志东的出发点就是拓扑学中的⼀个常识：低维空间的扭曲和纽结可以被⾼⼀维空间的旋转打开。
通过引⼊第四卷曲起来的维与本征⽮量上的权重这两个猜想作为处理三维Ising模型拓扑学问题的边界条件，并应⽤这些猜想⽤⾃旋分析法评估了三维简单正交晶格Ising模型的配分函数。
当系统的对称性越⾼，居⾥温度也越⾼。
深度学习-BM玻尔兹曼机
按照这个规则，整个Hopfield网络的神经元从某个随机的状态开始，以序列化的方式，每次更新 一个神经元，则最后网络可以达到一个能量的最小值状态，但是这个最小值可能只是局部最小。
Hopfield Network—Energy Model
举个例子：
1 3 1 2
-4
-1
3
-1
3 1 -1
如右图state1是网络的随机开始状态，这个状态 下只有一个单元对被激活了，所有总能量为-11。 现在我们以序列化方式随机更新其他的单元， 随便挑选一个，比如右上角橘黄色的单元，这 个单元原来的状态是关闭的-1，这时候观察它 的总输入为(-4)*1+3*(-1)+3*(-1)=-4，小于0， 所以把它关闭，即还处于状态-1。 我们看state2，计算橘黄色神经元的总输入为 3*1+(-1)*(-1)=4，大于0，所以保持开状态1。
ISING Model
伊辛模型表述如下： 每个结点是一个小磁针，有向上和向下两种状态，即 Si=+1或者Si=-1，相邻的小磁针可以发生相互作用。我们 可以为整个模型定义一个总能量，总能量由两部分组成， 一部分是所以小磁针内部能量，即如果小磁针方向一致， 那么总能量减1，否则加1；另一部分是外部能力，即外 界也有磁场，如果小磁针和外界磁场方向相同则总能量 加1，否则减1.
ising模型假设磁铁物质由一堆规则排列的小磁针组成每个磁针只有上下两个方向相邻的小磁针之间通过能量约束发生相互作用同时又由于环境热噪声的干扰而发生随即转变由上变为下或者反之涨落的大小由关键的温度参数决定温度越高随机涨落干扰越强小磁针越容易发生无序而剧烈的状态转变从而可能会让上下两个方向的磁性抵消整个系统消失的磁性
Hopfield Network—Associative Memory
伊辛模型配分函数的简捷推导_谢自芳
= Tr
0 1
[1 0 ]U1 U 2… UN - 1
[0 1 ]U 1 U2… UN - 1;
[0 1 ]U 1 U2… UN - 1 1 a - a -a 于是得 QN (λ ) = ( A 1| D = 1 e + B 1| D = 1e ) eb+ λ0 + ( A 1| D = - 1e + 0 0 0
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第 29卷 第 3 期 20 0 2年 6 月
湖 南 大 学 学 报 (自然科学版 ) Jour nal of Huna n U niv er sity ( N atura l Sciences Edition )
V o 1. 29, N o. 3 Ju n. 2 0 0 2
- a - b- λ
a - b- λ
N- 3
( 9)
由此类推下去 eaD 0D 1 ( A2 eaD 1 + B 2 e- a D1 ) ( eb+ λ1 + e- b- λ1 ) = A 1 eaD 0 + B 1 e- aD 0
b+ λ
1 1
=
e- a+ b+ λ1 e e
1
A2 B2 e e
+
b+ λ
BN - 1 e ) e
N- 2
- aD
N- 3
e
- b- λ
N- 2
=
AN - 2e
a
+ .
; AN - 2 = ( AN - 1 e + BN - 1 e ) e AN - 2 BN - 2 e e
a+ b+ λ