【步步高江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮.
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题四 第1讲
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(2)(2012· 山东)如图，正方体 ABCD－ A1B1C1D1 的棱长为 1， E， F 分别为线段 AA1， B1C 上的点，则三棱锥 D1－EDF 的体积为 ________．
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专题四 第1讲
解析 (1)设三棱锥 F－ADE 的高为 h，
1 1 AD· AE · sin ∠ DAE h 3 2 V1 1 则V ＝ ＝24. 1 2 2h22AD2AEsin∠DAE
平面的量是不变的，然后根据翻折前后图形及数量关系的变 化，借助立体与平面几何知识，即可求解．
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专题四 第1讲
如图， 把边长为 2 的正六边形 ABCDEF 沿对角线 BE 折起，使 AC＝ 6.
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斜高、 侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形； 侧棱在 底面内的射影、 斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成 一个直角三角形． (3)正棱台的性质 侧面是全等的等腰梯形；斜高相等；棱台的高、斜高和两底面 的边心距组成一个直角梯形； 棱台的高、 侧棱和两底面外接圆 的半径组成一个直角梯形； 棱台的斜高、 侧棱和两底面边长的 一半也组成一个直角梯形．
(2)利用三棱锥的体积公式直接求解． 1 1 1 1 VD1 EDF VF DD1F S D1DE AB ＝ × ×1×1×1＝ . 3 2 6 3 1 (2)6 答案 (1)1∶24
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专题四 第1讲
考点三
多面体与球
例 3 直三棱柱 ABC—A1B1C1 的各顶点都在同一球棱柱的侧面积为 2×a×bsin 45° ＋ab＝( 2＋1)ab.
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3 2 3 2 又∵斜三棱柱的底面积为 2× a ＝ a ， 4 2 3 2 ∴斜三棱柱的表面积为( 2＋1)ab＋ 2 a .
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题七 第1讲
所以△ABD 为等腰三角形．
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又∵AB＝AD＝6，∴AE＝4，DE＝2， AE AC 又 ＝ ⇒AC2＝AE· AD＝4×6＝24，AC＝2 6. AC AD 在△ABC 中，BC＝ AB2－AC2＝ 36－24＝2 3.
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(2)如图，⊙O 的半径 OB 垂直于直径 AC，M 为 AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于 N，过 N 点的切线交 CA 的延长线于 P. ①求证：PM2＝PA· PC；
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专题七 第1讲
(2013· 课标全国Ⅰ)如图， 直线 AB 为圆 O 的切线， 切点为 B， 点 C 在圆上， ∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E， DB 垂直 BE 交圆于点 D.
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(1)证明：DB＝DC； (2)设圆的半径为 1， BC＝ 3， 延长 CE 交 AB 于点 F， 求△BCF 外接圆的半径．
主干知识梳理
专题七 第1讲
6．直线与圆位置关系的“四定理” (1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线 段长的积相等．
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(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条 割线与圆的交点的两条线段长的积相等． (3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是 这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． (4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线 长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
DM DE ∴ BM ＝ BF .
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∵F 是 BC 的中点， ∴DE＝2BF.∴DM＝2BM， 1 ∴BM＝3DB＝3.
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专题七 第1讲
判定三角形相似的常用方法：
【步步高 浙江专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题一 第1讲
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专题一 第1讲
解析
(1)不等式2x
2
1 ＋x－1>0的解集为xx>2或x<－1
，
1 故由x>2⇒2x2＋x－1>0，但2x2＋x－1>0 本
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1 x>2，故选A.
(2)在△ABC中，由正弦定理得sin A＝sin B⇔a＝b⇔A＝B. 故选B.
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专题一 第1讲
第1讲
【高考考情解读】
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集合与常用逻辑用语
1．本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定，常 与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列 等知识综合在一起考查. 2．试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本 技能，题目难度中等偏下．
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专题一 第1讲
(2)因为A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x2>0}＝{x|－1<x<1}， 则u＝1－x2∈(0,1]，
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所以B＝{y|y＝f(x)}＝{y|y≤0}，
A∪B＝(－∞，1)，A∩B＝(－1,0]， 故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)．
解．
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专题一 第1讲
(1)(2013· 山东)已知集合 A＝{0,1,2}，则集合 B＝ {x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是 A．1
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(
)
B． 3
C．5
D．9
(2)设全集 U＝R，集合 P＝{x|y＝ln(1＋x)}，集合 Q＝{y|y＝ x}，则右图中的阴影部分表示的集合 为 A．{x|－1<x≤0，x∈R} B．{x|－1<x<0，x∈R} C．{x|x<0，x∈R} D．{x|x>－1，x∈R} ( )
步步高2014届高考数学江苏专用(文)二轮专题突破专题六第2讲统计
第2讲 统 计【高考考情解读】 1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表，有时也会在知识交汇点处命题，如概率与统计交汇等.2.从考查形式上来看，大部分为填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题，都属于中低档题．1． 随机抽样(1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体较少．(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多．(3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的几部分组成． 2． 常用的统计图表(1)频率分布直方图 ①小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率； ②各小长方形的面积之和等于1；③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形的高的和为1组距.(2)茎叶图在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好． 3． 用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数、中位数、平均数(2)方差：s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．标准差： s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2].考点一 抽样方法例1 (2012·山东改编)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为________． 答案 10解析 由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为96032＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n 项，显然有729＝459＋(n －1)×30，解得n ＝10.所以做问卷B 的有10人．在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取几个个体，样本就需要分成几个组，则分段间隔即为Nn (N 为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体．解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围．但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量和总体容量的比值．(1)(2013·江西改编)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为________.(2)抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．答案 (1)01 (2)37 20解析 (1)从第1行第5列、第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为：08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01.(2)由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，即第n 组抽取的号码为5n －3，所以第8组抽出的号码为37；40岁以下年龄段的职工数为200×0.5＝100，则应抽取的人数为40200×100＝20人．考点二 用样本估计总体例2 (2012·广东)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.解 (2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5，0．04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×12＝20,30×43＝40,20×54＝25.故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10(人)．(1)在频率分布直方图中估计中位数和平均数的方法①中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． ②平均数：在频率分布直方图中，平均数等于图中每个小矩形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．(1)(2012·陕西改编)从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶 图表示(如图所示)．设甲、乙两组数据的平均数分别为x 甲、 x 乙，中位数分别为m 甲、m 乙，则下列结论正确的是 ________．(填序号) ①x 甲<x 乙，m 甲>m 乙 ②x 甲<x 乙，m 甲<m 乙 ③x 甲>x 乙，m 甲>m 乙 ④x 甲>x 乙，m 甲<m 乙(2)(2013·江苏)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：答案 (1)② (2)2解析 (1)直接利用公式求解．x 甲＝116(41＋43＋30＋30＋38＋22＋25＋27＋10＋10＋14＋18＋18＋5＋6＋8)＝34516，x 乙＝116(42＋43＋48＋31＋32＋34＋34＋38＋20＋22＋23＋23＋27＋10＋12＋18)＝45716.∴x 甲<x乙．又∵m 甲＝20，m 乙＝29，∴m 甲<m 乙．(2)x 甲＝15(87＋91＋90＋89＋93)＝90，x 乙＝15(89＋90＋91＋88＋92)＝90，s 2甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4， s 2乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2. 考点三 概率与统计的综合问题例3 在“2012魅力新安江”青少年才艺表演评比活动中，参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如图，据此回答以下问题：(1)求参赛总人数和频率分布直方图中[80,90)之间的矩形的高，并完成直方图；(2)若要从分数在[80,100]之间任取两份进行分析，在抽取的结果中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率．解 (1)由茎叶图知，分数在[50,60)之间的频数为2. 由频率分布直方图知，分数在[50,60)之间的频率为 0．008×10＝0.08.所以参赛总人数为20.08＝25(人)．分数在[80,90)之间的人数为25－2－7－10－2＝4(人)， 分数在[80,90)之间的频率为425＝0.16， 得频率分布直方图中[80,90)间矩形的高为0.1610＝0.016.完成直方图，如图．(2)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4；[90,100]之间的2个分数编号为5和6.则在[80,100]之间任取两份的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个，其中至少有一个在[90,100]之间的基本事件为(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共9个．故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是915＝35.本题以概率和统计知识为结合点，以生活中的热点问题为背景，较全面的考查了学生用概率统计知识解决实际问题的能力．在求解(1)时，充分利用了茎叶图和频率分布直方图提供数据的互补性，即切实理解两统计方式提供数据的特征是求解本题的关键．右面茎叶图记录了甲组四名同学、乙组六名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用x 表示． (1)如果x ＝7，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果x ＝8，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数大于17的概率．解 (1)平均数为7＋7＋8＋10＋11＋116＝9，方差为(7－9)2×2＋(8－9)2＋(10－9)2＋(11－9)2×26＝3.(2)由题知所有基本事件为(6,7)，(6,8)，(6,8)，(6,10)，(6,11)，(6,11)，(7,7)，(7,8)，(7,8)，(7,10)，(7,11)，(7,11)，(8,7)，(8,8)，(8,8)，(8,10)，(8,11)，(8,11)，(10,7)，(10,8)，(10,8)，(10,10)，(10,11)，(10,11)，共24个．这两名同学的植树总棵数大于17的基本事件为(7,11)，(7,11)，(8,10)，(8,11)，(8,11)，(10,8)，(10,8)，(10,10)，(10,11)，(10,11)，共10个．所以这两名同学的植树总棵数大于17的概率为1024＝512.1． 三种抽样方法的异同点2． 用样本估计总体(1)在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为1.(2)众数、中位数及平均数的异同众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量． (3)当总体的个体数较少时，可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布；当总体容量很大时，通常从总体中抽取一个样本，分析它的频率分布，以此估计总体分布． ①总体期望的估计，计算样本平均值x ＝1n ∑ni ＝1x i .②总体方差(标准差)的估计： s 2＝1n ∑n i ＝1(x i －x )2，标准差s ＝s 2， 方差(标准差)较小者较稳定.1． 经问卷调查，某班学生对摄影分别持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的学生比持“不喜欢”的学生多12人，按分层抽样的方法(抽样过程中不需要剔除个体)从全班选出部分学生进行关于摄影的座谈．若抽样得出的9位同学中有5位持“喜欢”态度的同学，1位持“不喜欢”态度的同学和3位持“一般”态度的同学，则全班持“喜欢”态度的同学人数为________． 答案 30解析 由题意设全班学生为x 人，持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”态度的学生分别占全班人数的59、19、13，所以x (13－19)＝12，解得x ＝54，所以全班持“喜欢”态度的人数为54×59＝30.2． 某校从参加高三年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图的频率分布直方图，请你根据频率分布直方图中的信息，估计出本次考试数学成绩的平均分为________．答案 71解析 由频率分布直方图得每一组的频率依次为0.1,0.15,0.15,0.3,0.25,0.05，又由频率分布直方图，得每一组数据的中点值依次为45,55,65,75,85,95.所以本次考试数学成绩的平均分为x ＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71. 故填71.3． 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图． (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．解 (1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160 cm ～179 cm 之间，而乙班身高集中于170 cm ～180 cm 之间，因此乙班平均身高高于甲班，其中x 甲＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋18210＝170，x 乙＝159＋162＋165＋168＋170＋173＋176＋178＋179＋18110＝171.1.(2)甲班的样本方差为110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2. (3)设身高为176 cm 的同学被抽中的事件为A .从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm 的同学有：(181,173)、(181,176)、(181,178)、(181,179)、(179,173)、(179,176)、(179,178)、(178,173)、(178,176)、(176,173)，共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件， ∴P (A )＝410＝25.(推荐时间：45分钟)一、填空题1． 要完成下列两项调查：①从某肉联厂的火腿肠生产线上抽取1 000根火腿肠进行“瘦肉精”检测；②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况．适合采用的抽样方法依次为________，________. 答案 系统抽样 简单随机抽样解析 ①中总体容量较大，且火腿肠之间没有明显差异，故适合采用系统抽样；②中总体容量偏小，故适合采用简单随机抽样．2． (2012·四川改编)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为________． 答案 808解析 由题意知抽样比为1296，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12＋21＋25＋43＝101，故有1296＝101N，解得N ＝808.3． 一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n }，若a 3＝8，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是________． 答案 13,13解析 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，a 3＝8，a 1a 7＝a 23＝64，(8－2d )(8＋4d )＝64，(4－d )(2＋d )＝8,2d －d 2＝0，又d ≠0，故d ＝2，故样本数据为4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，样本的平均数为(4＋22)×510＝13，中位数为12＋142＝13.4． 将某班的60名学生编号为：01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是____________． 答案 16,28,40,52解析 依据系统抽样方法的定义知，将这60名学生依次按编号每12人作为一组，即01～12、13～24、…、49～60，当第一组抽得的号码是04时，剩下的四个号码依次是16,28,40,52(即其余每一小组所抽出来的号码都是相应的组中的第四个号码)． 5． 某校高三考生参加某高校自主招生面试时，五位评委给分如下：9．0 9.1 8.9 9.2 8.8则五位评委给分的方差为________． 答案 0.02解析 评委给分的平均数为 15×(9.0＋9.1＋8.9＋9.2＋8.8)＝9.0，方差为15×[(9.0－9.0)2＋(9.1－9.0)2＋(8.9－9.0)2＋(9.2－9.0)2＋(8.8－9.0)2]＝0.15＝0.02.6． (2012·广东)由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列) 答案 1,1,3,3解析 假设这组数据按从小到大的顺序排列为x 1，x 2，x 3，x 4， 则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋x 3＋x44＝2，x 2＋x32＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 4＝4，x 2＋x 3＝4.又s ＝14[(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2] ＝12(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(4－x 2－2)2＋(4－x 1－2)2 ＝122[(x 1－2)2＋(x 2－2)2]＝1， ∴(x 1－2)2＋(x 2－2)2＝2. 同理可求得(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝2.由x 1，x 2，x 3，x 4均为正整数，且(x 1，x 2)，(x 3，x 4)均为圆(x －2)2＋(y －2)2＝2上的点，分析知x 1，x 2，x 3，x 4应为1,1,3,3.7． 某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若 记分员计算无误，则数字x 应该是__________． 答案 1解析 当x ≥4时，89＋89＋92＋93＋92＋91＋947＝6407≠91，∴x <4，∴89＋89＋92＋93＋92＋91＋x ＋907＝91，∴x ＝1. 二、解答题8． (2013·陕西)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：(1)中从B 组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表.(2)在(1)中，若评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解 (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：(2)记从A 12312B 组抽到的6位评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手．从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2共4种，故所求概率P ＝418＝29.9． 某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：(1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ (3)已知y ≥245，z ≥245，求初三年级中女生比男生多的概率． 解 (1)∵x2 000＝0.19，∴x ＝380. (2)初三年级人数为y ＋z ＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为482 000×500＝12(名)．(3)设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生、男生数记为(y ，z )，由(2)知y ＋z ＝500，且y ，z ∈N *，基本事件空间包含的基本事件有：(245,255)、(246,254)、(247,253)、…、(255,245)共11个，事件A包含的基本事件有：(251,249)、(252,248)、(253,247)、(254,246)、(255,245)共5个．∴P(A)＝511.。
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题四 第2讲
专题四 第2讲
∵MC⊄平面 PAB，AB⊂平面 PAB，
∴MC∥平面 PAB.∵EM∩MC＝M， ∴平面 EMC∥平面 PAB. ∵EC⊂平面EMC， ∴EC∥平面PAB.
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专题四 第2讲
方法二
如图，延长 DC、AB，
设它们交于点 N，连结 PN.
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∵∠NAC＝∠DAC＝60° ， AC⊥CD，∴C 为 ND 的中点． ∵E 为 PD 的中点，∴EC∥PN. ∵EC⊄平面 PAB，PN⊂平面 PAB， ∴EC∥平面 PAB.
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(2)方法一 如图，取 AD 的中点 M， 连结 EM，CM. 则 EM∥PA. ∵EM⊄平面 PAB，PA⊂平面 PAB，
本 ∴EM∥平面 PAB. 讲 ，MC＝AM， 栏 在 Rt△ACD 中，∠CAD＝60° 目 开 ∴∠ACM＝60° .而∠BAC＝60° ，∴MC∥AB. 关
面面垂直的 性质定理
主干知识梳理
专题四 第2讲
面面平行的 判定定理
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a⊂β b⊂β ⇒α∥β a∩b＝O a∥α，b∥α α∥β α∩γ＝a⇒a∥b β∩γ＝b
面面平行的 性质定理 提醒
使用有关平行、 垂直的判定定理时， 要注意其具备的条
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专题四 第2讲
(2)设 l，m 是两条不同的直线，α 是一个平面，则下列命题正 确的是________．(填序号) ①若 l⊥m，m⊂α，则 l⊥α
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②若 l⊥α，l∥m，则 m⊥α ④若 l∥α，m∥α，则 l∥m
③若 l∥α，m⊂α，则 l∥m
解析 (1)对于①，直线 l1 与 l3 可能异面、相交； 对于③，直线 l1、l2、l3 可能构成三棱柱的三条棱而不共面；
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题一 第2讲
第2讲
函数、基本初等函数的图象与性质
【高考考情解读】 1．高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基
本 础知识为主，难度中等偏下. 讲 栏 目 2．函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容， 开 对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即 关
利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数 性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合 一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以填空题的形 式考查，且常与新定义问题相结合，难度较大．
3 1 1 － ＝0＋－ ＝－ . 4 2 4
3 1 1 － ＝f ＝－ . 4 2 2
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专题一 第2讲
函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性
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以及函数图象的对称性， 在解题中根据问题的条件通过变换函 数的解析式或者已知的函数关系， 推证函数的性质， 根据函数 的性质解决问题．
讲 栏 解析 根据对任意 t∈R 都有 f(t)＝f(1－t)可得 f(－t)＝f(1＋t)， 目 开 即 f(t＋1)＝－f(t)，进而得到 f(t＋2)＝－f(t＋1)＝－[ －f(t)] ＝ 关
f(t)，得函数 y＝f(x)的一个周期为 2，
故 f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f 所以 f(3)＋f
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专题一 第2讲
(1)(2013· 天津改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的 偶函数， 且在区间[0， ＋∞)上单调递增． 若实数 a 满足 f(log2a)
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＋f( log 1 a )≤2f(1)，则 a 的取值范围是________． (2)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且当 x>0 时， f(x)＝ex＋a， 若 f(x)在 R 上是单调函数，则实数 a 的最小值是________．
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题六 第4讲
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专题六 第4讲
(3)复数运算中常用的结论 ①(1± i)2＝± 2i； 1＋i ② ＝ i； 1－ i 1－i ③ ＝－i； 1＋ i ④－b＋ai＝i(a＋bi)； ⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中 n∈N.
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押题精练
专题六 第4讲
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专题六 第4讲
(2)执行如图所示的流程图，输出的结果 S 的值为________．
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专题六 第4讲
解析
(1)执行程序后，a1＝4a＋1＝1，k1＝k＋1＝2；
a2＝4a1＋1＝5，k2＝k1＋1＝3；
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a3＝4a2＋1＝21，k3＝k2＋1＝4； a4＝4a3＋1＝85，k4＝k3＋1＝5； a5＝4a4＋1＝341，k5＝k4＋1＝6. 要使输出的 a＝341，判断框中应为“k<6”，即 n＝6.
2 2 ∴ | z | ＝ － 1 ＋ － 1 ＝ 2， 本 讲 栏 ∴p1 是假命题；
目 2 2 ∵ z ＝ ( － 1 － i) ＝2i， 开 关
∴p2 是真命题；
∵ z ＝－1＋i，∴p3 是假命题； ∵z 的虚部为－1，∴p4 是真命题． 其中的真命题共有 2 个：p2，p4.
答案 (1)6
(2)－1
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专题六 第4讲
考点二 例2
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复数的基本概念
10 (1)(2013· 安徽改编)设 i 是虚数单位， 若复数 a－ (a∈R) 3－i
是纯虚数，则 a 的值为________． (2)(2013· 四川改编)如图，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图中表示 z 的共轭复数的点 是________．
步步高江苏专用理2014届高三数学大二轮专题复习与增分策略专题五第3讲圆锥曲线中地热点问题
实用标准文档文案大全第3讲圆锥曲线中的热点问题【高考考情解读】纵观近几年高考，解析几何是重要内容之一，所占分值在30分以上，大题小题同时有，除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析几何题.1.填空题主要考查圆锥曲线的几何性质，三种圆锥曲线都有可能涉及.2.在解答题中主要考查圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题，重点关注定点、定值及最值、范围问题．1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长P1P2＝1＋k2|x2－x1|或P1P2＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：实用标准文档文案大全|x2－x1|＝?x1＋x2?2－4x1x2，|y2－y1|＝?y1＋y2?2－4y1y2.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．3．弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．4．轨迹方程问题(1)求轨迹方程的基本步骤：①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法)．②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系．③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化．④化简整理方程——简化．⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性．(2)求轨迹方程的常用方法：①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程；②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程；③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹；(3)注意①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式．步骤②⑤省略后，验证时常用途径：化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.考点一曲线方程的求法及其简单应用例1如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆B：(x－1)2＋y2＝16与点A(－1,0)，P为圆B上的动点，线段PA的垂直平分线交直线PB 于点R，点R的轨迹记为曲线C. (1)求曲线C的方程；(2)曲线C与x轴正半轴交点记为Q，过原点O且不与x轴重合的直线与曲线C的交点记为M，N，连结QM，QN，分别交直线x＝t(t为常数，且t≠2)于点E，F，设E，F 的纵坐标分别为y1，y2，求y1·y2的值(用t表示)．解(1)连结RA，由题意得RA＝RP，RP＋RB＝4，所以RA＋RB＝4>AB＝2，实用标准文档文案大全由椭圆定义，得点R的轨迹方程为x24＋y23＝1.(2)设M(x0，y0)，则N(－x0，－y0)，QM，QN的斜率分别为k QM，k QN，则k QM＝y0x0－2，k NQ＝y0x0＋2，所以直线QM的方程为y＝y0x0－2(x－2)，直线QN的方程为y＝y0x0＋2(x－2)．令x＝t(t≠2)，则y1＝y0x0－2(t－2)，y2＝y0x0＋2(t－2)，又点M(x0，y0)在椭圆x24＋y23＝1上，所以y20＝3－34x20.所以y1·y2＝y20x20－4(t－2)2＝????3－34x20?t－2?2x20－4＝－34(t－2)2，其中t为常数且t≠ 2.(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为圆锥曲线，则可考虑用定义法或待定系数法求解．(2)当曲线上动点的坐标受到另外一些点的坐标制约时，可以用相关点法，利用相关点法求解曲线方程需要注意两个方面：一是准确定位，即确定联动点，动点的轨迹可能与多个动点相关，但要抓住与其一起联动的点；二是找准关系，即根据已知准确求出动点与其联动点的坐标之间的关系，然后代入联动点所在曲线方程求解．设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且MN→＝2MP→，PM→⊥PF→.(1)当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线C上的点，且|AF→|，|BF→|，|DF→|成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)时，求B点坐标．解(1)设N(x，y)，则由MN→＝2MP→，得P为MN的中点，所以M(－x,0)，P(0，y2)．又PM→⊥PF→得PM→·PF→＝0，PM→＝(－x，－y2)，PF→＝(1，－y2)，所以y2＝4x(x≠0)．(2)由(1)知F(1,0)为曲线C的焦点，由抛物线定义知，抛物线上任一点P0(x0，y0)到F的距离等于其到准线的距离，即P0F＝x0＋p2，所以|AF→|＝x1＋p2，|BF→|＝x2＋p2，|DF→|＝x3＋p2，根据|AF→|，|BF→|，|DF→|成等差数列，得x1＋x3＝2x2，实用标准文档文案大全直线AD的斜率为y3－y1x3－x1＝y3－y1y234－y214＝4y1＋y3，所以AD中垂线方程为y＝－y1＋y34(x－3)，又AD中点(x1＋x32，y1＋y32)在直线上，代入上式得x1＋x32＝1，即x2＝1，所以点B(1，±2)．考点二圆锥曲线中的定值、定点问题例2已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1经过点(0，3)，离心率为12，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x＝4上的射影依次为D、K、E. (1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点M，且MA→＝λAF→，MB→＝μBF→，当直线l的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，说明理由；(3)连结AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．(1)待定系数法；(2)用直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y后可得点A，B的横坐标的关系式，然后根据向量关系式MA→＝λAF→，MB→＝μBF→把λ，μ用点A，B的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值，否则就不是定值；(3)先根据直线l的斜率不存在时的特殊情况，看两条直线AE，BD的交点坐标，如果直线AE，BD相交于定点的话，这个特殊位置时的交点就是这个定点，这样只要证明直线AE，BD都经过这个定点即证明了两直线相交于定点，否则两直线就不相交于定点．解(1)依题意得b＝3，e＝ca＝12，a2＝b2＋c2，∴a＝2，c＝1，∴椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)因直线l与y轴相交，故斜率存在，设直线l方程为y＝k(x－1)，求得l与y轴交于M(0，－k)，又F坐标为(1,0)，设l交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)，由?????y＝k?x－1?，x24＋y23＝1，消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，∴x1＋x2＝8k23＋4k2，x1x2＝4k2－123＋4k2，实用标准文档文案大全又由MA→＝λAF→，∴(x1，y1＋k)＝λ(1－x1，－y1)，∴λ＝x11－x1，同理μ＝x21－x2，∴λ＋μ＝x11－x1＋x21－x2＝x1＋x2－2x1x21－?x1＋x2?＋x1x2＝8k23＋4k2－2?4k2－12?3＋4k21－8k23＋4k2＋4k2－123＋4k2＝－83. 所以当直线l的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－83.(3)当直线l斜率不存在时，直线l⊥x轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD 相交于FK的中点N????52，0，猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点N????52，0，证明：由(2)知A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴D(4，y1)，E(4，y2)，当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点????52，0，∵l AE：y－y2＝y2－y14－x1(x－4)，当x＝52时，y＝y2＋y2－y14－x1·????－32＝2?4－x1?·y2－3?y2－y1?2?4－x1?＝2?4－x1?·k?x2－1?－3k?x2－x1?2?4－x1?＝－8k－2kx1x2＋5k?x1＋x2?2?4－x1?＝－8k?3＋4k2?－2k?4k2－12?＋5k·8k22?4－x1?·?3＋4k2?＝0.∴点N????52，0在直线l AE上．同理可证，点N????52，0也在直线l BD上．∴当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点????52，0.(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要实用标准文档文案大全解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．(2013·陕西)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x 轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点．(1)解如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，得O1A＝O1M，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，∴O1M＝x2＋42，又O1A＝?x－4?2＋y2，∴?x－4?2＋y2＝x2＋42，化简得y2＝8x(x≠0)．又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.(2)证明由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0. 其中Δ＝－32kb＋64>0.由根与系数的关系得，x1＋x2＝8－2bkk2，①x1x2＝b2k2，②因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以y1x1＋1＝－y2x2＋1，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0 ③将①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，∴k＝－b，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k(x －1)，即直线l 过定点(1,0)．考点三 圆锥曲线中的最值范围问题实用标准文档文案大全 例3 (2013·浙江)如图，点P(0，－1)是椭圆C 1：x 2a2＋y 2b 2＝1(a>b>0) 的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D. (1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．解 (1)由题意得?????b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 2 4＋y 2＝1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，D(x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离 d ＝1k 2＋ 1，所以AB ＝24－d 2＝ 24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由????? x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4.消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－8k4＋k 2.所以PD ＝8k 2＋14＋k 2. 设△ABD 的面积为S ，则S ＝12·AB ·PD＝84k 2＋34＋k 2， 所以S ＝32 4 k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k2＋3·134k2＋3＝161313，实用标准文档文案大全当且仅当k＝±102时取等号．所以所求直线l1的方程为y＝±102x－1. 求最值及参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域．已知椭圆C1与抛物线C2的焦点均在x轴上且C1的中心和C2的顶点均为坐标原点O，从每条曲线上的各取两个点，其坐标如下表所示：x 3 y－3 0 －6 1(1)求C1，C2的标准方程；(2)过点A(m,0)作倾斜角为π6的直线l交椭圆C1于C，D两点，且椭圆C1的左焦点F在以线段CD为直径的圆的外部，求m的取值范围．解(1)先判断出(－6，0)在椭圆上，进而断定点(1，－3)和(4，－6)在抛物线上，故(3，1)在椭圆上，所以椭圆C1的方程为x26＋y22＝1，抛物线C2的方程为y2＝9x.(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为y＝33(x－m)，由???y＝33?x－m?x26＋y22＝1，消去y整理得2x2－2mx＋m2－6＝0，由Δ>0得Δ＝4m2－8(m2－6)>0，即－23<m<23，①而x1x2＝m2－62，x1＋x2＝m，故y1y2＝33(x1－m)·33(x2－m) ＝13[x1x2－m(x1＋x2)＋m2]＝m2－66.欲使左焦点F在以线段CD为直径的圆的外部，则FC→·FD→>0，实用标准文档文案大全又F(－2,0)，即FC→·FD→＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2) ＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2＋4>0. 整理得m(m＋3)>0，即m<－3或m>0.②由①②可得m的取值范围是(－23，－3)∪(0,23)．1．求轨迹与轨迹方程的注意事项(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．(2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形．2．定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明．对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果．3．圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0) 的离心率为22，其左、右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1的直线l 交椭圆C 于E 、G 两点，且△EGF2的周长为42. 实用标准文档文案大全 (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A 、B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|PA →－PB →|<253时，求实数t 的取值范围．解 (1)由题意知椭圆的离心率e ＝ca ＝22， ∴ e 2＝c 2a 2＝ a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又△EGF 2的周长42，即4a42，∴a 2＝2，b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知直线AB 的斜率存在，即t ≠0.设直线AB 的方程为y ＝k(x －2)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y)， 由????? y ＝k ? x －2?x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.由Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)>0，得k 2<12.x 1＋x 2＝8 k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2 －21＋2k 2，∵OA →＋OB →＝tOP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t(x ，y)，x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t ?1＋2k 2?，y＝y 1＋y 2t ＝1t[k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4kt ?1＋2k 2?. ∵点P 在椭圆C 上，∴?8k 2?2[t ?1 ＋2k 2?]2＋2?－4k ?2[t ?1 ＋2k 2?]2＝2， ∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)．∵|PA →－PB →|< 253，∴1＋k 2|x 1－x 2|<253，∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<209， ∴(1＋k 2)[64k 4? 1＋2k 2?2－4·8k 2－21＋2k 2]<209， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)>0，∴k 2>14.实用标准文档 文案大全 ∴14<k 2<12. ∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k2，又32<1＋2k2<2，∴83<t2＝8－81＋2k2<4，∴－2<t<－263或263<t<2，∴实数t的取值范围为(－2，－263)∪(26，2)．(推荐时间：70分钟)一、填空题1．已知方程x2k＋1＋y23－k＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是________．．答案1<k<3解析若椭圆焦点在x轴上，则 k＋1>03－k>0k＋1>3－k，解得1<k<3.2．△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________________答案x29－y216＝1(x>3)解析如图AD＝AE＝8，BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29－y216＝1(x>3)．3．若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→的最大值为________．．答案6解析设P(x0，y0)，则实用标准文档文案大全x204＋y203＝1，即y20＝3－3x204，又因为F(－1,0)，所以OP→·FP→＝x0·(x0＋1)＋y20＝14x20＋x0＋3 ＝14(x0＋2)2＋2，又x0∈[－2,2]，即OP→·FP→∈[2,6]，所以(OP→·FP→)max＝6.4．直线y＝kx＋1与椭圆x25＋y2m＝1恒有公共点，则m的取值范围是________．．答案m≥1且m≠5解析∵方程x25＋y2m＝1表示椭圆，∴m>0且m≠5.∵直线y＝kx＋1恒过(0,1)点，∴要使直线与椭圆总有公共点，应有：025＋12m≤1，m≥1，∴m的取值范围是m≥1且m≠5.5．设F1、F2为椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，PF→1·PF→2的值等于________．．答案－2解析易知当P，Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大．此时，F1(－3，0)，F2(3，0)，不妨设P(0,1)，∴PF→1＝(－3，－1)，PF→2＝(3，－1)，∴PF→1·PF→2＝－2.6．直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的交点依次为A，B，C，D，则AB CD的值为________．．答案116解析由?????3x－4y＋4＝0，x2＝4y得x2－3x－4＝0，∴x A＝－1，y A＝14，x D＝4，y D＝4，实用标准文档文案大全直线3x－4y＋4＝0恰过抛物线的焦点F(0,1)，且该圆圆心为F(0,1)，∴AF＝y A＋1＝54，DF＝y D＋1＝5，∴AB CD＝AF－1DF－1＝116. 7．已知双曲线x2－y23＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________．．答案0或－8解析设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则?????x21－y213＝1，①x22－y223＝1，②x1＋x2＝2x0，③y1＋y2＝2y0，④由②－①得(x2－x1)(x2＋x1)＝13(y2－y1)(y2＋y1)，显然x1≠x2.∴y2－y1x2－x1·y2＋y1x2＋x1＝3，即k MN·y0x0＝3，∵M，N关于直线y＝x＋m对称，∴k MN＝－1，∴y0＝－3x0，又∵y0＝x0＋m，∴P????－m4，3m4，代入抛物线方程得916m2＝18·????－m4，解得m＝0或－8，经检验都符合．8．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若PF1＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是________．．答案(13，＋∞)解析设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1＝r1，PF2＝r2. 由题意知r1＝10，r2＝2c，且r1>r2,2r2>r1，∴2c<10,2c＋2c>10，实用标准文档文案大全∴52<c<5?1<25c2<4，∴e2＝2c2a双＝2cr1－r2＝2c10－2c＝c5－c；e1＝2c2a椭＝2cr1＋r2＝2c10＋2c＝c5＋ c. ∴e1·e2＝c225－c2＝125c2－1>13. 9．已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．．答案522－1 解析过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为A，交y轴于B，由抛物线方程为y2＝4x得焦点F的坐标为(1,0)，准线为x＝－1，则由抛物线的定义可得d1＋d2＝PA－AB＋d2＝PF－1＋d2，PF＋d2大于或等于焦点F点P到直线l，即PF＋d2的最小值为|1－0＋4|2＝522，所以d1＋d2的最小值为522－1.二、解答题10．已知直线x－2y＋2＝0经过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左顶点A 和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x＝103分别交于M，N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求线段MN的长度的最小值．解(1)如图，由题意得椭圆C的左顶点为A(－2,0)，上顶点为D(0,1)，即a＝2，b＝1. 故椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)直线AS的斜率显然存在且不为0，设直线AS的方程为y＝k(x＋2)(k＞0)，解得M(103，16k3)，且将直线方程代入椭圆C的方程，得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.实用标准文档文案大全设S(x1，y1)，由根与系数的关系得(－2)·x1＝16k2－41＋4k2. 由此得x1＝2－8k21＋4k2，y1＝4k1＋4k2，即S(2－8k21＋4k2，4k1＋4k2)．又B(2,0)，则直线BS的方程为y＝－14k(x－2)，联立直线BS与l的方程解得N(103，－13k)．∴MN＝????16k3＋13k＝16k3＋13k≥216k3·13k＝83. 当且仅当16k3＝13k，即k＝14时等号成立，故当k＝14时，线段MN 的长度的最小值为83.11．在平面直角坐标系中，点P(x，y)为动点，已知点A(2，0)，B(－2，0)，直线PA与PB的斜率之积为－12.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)过点F(1,0)的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q(M、Q不重合)，求证：直线MQ过x轴上一定点．(1)解由题意知：yx＋2·yx－2＝－12.化简得x22＋y2＝1(y≠0)．(2)证明方法一设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x2，－y2)，l：x＝my＋1，代入x22＋y2＝1(y≠0)整理得(m2＋2)y2＋2my－1＝0. y1＋y2＝－2mm2＋2，y1y2＝－1m2＋2，MQ的方程为y－y1＝y1＋y2x1－x2(x－x1)，令y＝0，得x＝x1＋y1?x2－x1?y1＋y2＝my1＋1＋my1?y2－y1?y1＋y2＝2my1y2y1＋y2＋1＝2. ∴直线MQ过定点(2,0)．方法二设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x2，－y2)，l：y＝k(x－1)，代入x22＋y2＝1(y≠0)整理得实用标准文档文案大全(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，x1＋x2＝4k21＋2k2，x1x2＝2k2－21＋2k2，MQ的方程为y－y1＝y1＋y2x1－x2(x－x1)，令y＝0，得x＝x1＋y1?x2－x1?y1＋y2＝x1＋k?x1－1??x2－x1?k?x1＋x2－2?＝2x1x2－?x1＋x2?x1＋x2－2＝2.∴直线MQ过定点(2,0)．12．设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝32，左顶点M到直线x a＋yb＝1的距离d＝45，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；(3)在(2)的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．(1)解由e＝32，得c＝32a，又b2＝a2－c2，所以b＝12a，即a＝2b.由左顶点M(－a,0)到直线xa＋yb＝1，即bx＋ay－ab＝0的距离d＝455，得|b?－a?－ab|a2＋b2＝455，即2aba2＋b2＝455，把a＝2b代入上式，得4b25b＝455，解得b＝1.所以a＝2b＝2，c＝3. 所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，①当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x1＝x2，y1＝－y2. 因为以AB为直径的圆经过坐标原点，故OA→·OB→＝0，即x1x2＋y1y2＝0，也就是x21－y21＝0，又点A在椭圆C上，所以x214－y21＝1，解得|x1|＝|y1|＝255.实用标准文档文案大全此时点O到直线AB的距离d1＝|x1|＝255. ②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立有?????y＝kx＋m，x24＋y2＝1，消去y，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，所以x1＋x2＝－8km1＋4k2，x1x2＝4m2－41＋4k2.因为以AB为直径的圆过坐标原点O，所以OA⊥OB. 所以OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝0. 所以(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0. 所以(1＋k2)·4m2－41＋4k2－8k2m21＋4k2＋m2＝0. 整理得5m2＝4(k2＋1)，所以点O到直线AB的距离d1＝|m|k2＋1＝255.综上所述，点O到直线AB的距离为定值255.(3)解设直线OA的斜率为k0. 当k0≠0时，则OA的方程为y＝k0x，OB的方程为y＝－1k0x，???x21＝41＋4k20，联立?????y＝k0x，x24＋y2＝1，得y21＝4k201＋4k20.同理可求得???x22＝4k20k20＋4，y22＝4k20＋4.故△AOB的面积为S＝121＋k20·|x1|·1＋1k20·|x2|＝2?1＋k20?2?1＋4k20??k20＋4?. 令1＋k20＝t(t>1)，则S＝2t24t2＋9t－9＝21－9t2＋9t＋4，实用标准文档文案大全令g(t)＝－9t2＋9t＋4＝－9(1t－12)2＋254(t>1)，所以4<g(t)≤25 4.所以45≤S<1.当k0＝0时，可求得S＝1，故45≤S≤1，故S的最小值为4 5.。
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题三 第3讲
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专题三 第3讲
考点一 例1
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归纳推理
(2013· 湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种
多边形数，如三角形数1,3,6,10，„，第n个三角形数为 nn＋1 1 2 1 ＝ n ＋ n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以 2 2 2 下列出了部分k边形数中第n个数的表达式： 1 2 1 三角形数 N(n,3)＝ n ＋ n， 2 2 正方形数 五边形数 N(n,4)＝n2， 3 2 1 N(n,5)＝ n － n， 2 2
答案 a3 (1) 8
(2)内角平分线 a
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考点三 直接证明与间接证明
专题三 第3讲
1 31＋an＋1 21＋an 例 3 已知数列{an}满足：a1＝ ， ＝ ， 2 1－an 1－an＋1
2 anan＋1<0 (n≥1)；数列{bn}满足：bn＝a2 － a n＋1 n (n≥1)．
x ＝x1＋x2， 2 0 则有 y1＋y2 y0＝ . 2
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2 2 x2 y2 1－x2 1－y2 两式相减得 2 ＝ 2 ， a b
专题三 第3讲
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x1－x2x1＋x2 y1－y2y1＋y2 即 ＝ ， a2 b2 y1－y2y1＋y2 b2 即 ＝a2， x1－x2x1＋x2
24－2 4－24 ∴N(10,24)＝ 2 ×100＋ 2 ×10 ＝1 100－100＝1 000.
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专题三 第3讲
归纳推理的一般步骤是： (1)通过观察个别事物发
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现某些相同的性质； (2)从已知的相同性质中推出一个明确表 述的一般性命题． 并且在一般情况下， 如果归纳的个别事物越 多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题八 第2讲
热点分类突破解 方法一 Nhomakorabea专题八 第2讲
从运动的观点看问题，当动点 P 沿直线 3x＋4y
＋8＝0 向左上方或向右下方无穷远处运动时， 1 1 直角三角形 PAC 的面积 SRt△PAC＝2PA· AC＝2PA 越来越大， 从而
思想方法概述
专题八 第2讲
第2讲
数形结合思想
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1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形” 两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的 生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段， 数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性 质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些 属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程 来精确地阐明曲线的几何性质．
2
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∴(S四边形PACB)min＝ 9－1＝2 2. 方法三 利用函数思想，将方法二中 S
四 边 形
PACB
＝
x－12＋y－12－1中的 y 由 3x＋4y＋8＝0 解出， 代入转化为关于 x 的一元二次函数，进而用配方法求最值，也 可得(S 四边形 PACB)min＝2 2.
本 讲 栏 当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形 PACB 变小， 目 开 显然，当点 P 到达一个最特殊的位置， 关
S 四边形 PACB 也越来越大；
即 CP 垂直直线时，S |3×1＋4×1＋8| ＝3， 2 2 3 ＋4
四边形 PACB
应有唯一的最小值，此时 PC＝
步步高2014届高考数学江苏专用文二轮专题突破课件专题一 第3讲 函数与方程及函数的应用
2020年4月22日星期三
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【苏教版】【步步高】2014届高三数学(理)大一轮复习学案第6章学案30数列的通项与求和
学案30 数列的通项与求和导学目标： 1.能利用等差、等比数列前n 项和公式及其性质求一些特殊数列的和.2.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．自主梳理1．求数列的通项(1)数列前n 项和S n 与通项a n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.(2)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用________求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)．(3)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1a n ＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用________求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1.(4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．(5)归纳、猜想、证明法． 2．求数列的前n 项的和 (1)公式法①等差数列前n 项和S n ＝____________＝________________，推导方法：____________； ②等比数列前n 项和S n ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧，q ＝1， ＝ ，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法． ③常见数列的前n 项和：a ．1＋2＋3＋…＋n ＝________；b ．2＋4＋6＋…＋2n ＝________；c ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝________；d ．12＋22＋32＋…＋n 2＝________；e ．13＋23＋33＋…＋n 3＝____________.(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(3)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．常见的拆项公式有：①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； ②1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (5)倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导． 自我检测1．(原创题)已知数列{a n }的前n 项的乘积为T n ＝3n 2(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项的和为________．2．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是其前n 项和，若{S n }是等差数列，则q ＝________.3．已知等比数列{a n }的公比为4，且a 1＋a 2＝20，故b n ＝log 2a n ，则b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n ＝________.4．(2010·天津高三十校联考)已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设{a n }的前n 项的和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n 的最小值为________．5．(2010·北京海淀期末练习)设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．6．数列1,412，714，1018，…前10项的和为________．探究点一 求通项公式例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝2n ＋1·a na n ＋2n ＋1，a 1＝2，求数列{a n }的通项公式．变式迁移1 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．探究点二 裂项相消法求和例2 已知数列{a n }，S n 是其前n 项和，且a n ＝7S n －1＋2(n ≥2)，a 1＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1log 2a n ·log 2a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .变式迁移2 求数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋3＋…＋n，…的前n 项和．探究点三 错位相减法求和 例3 已知数列{a n }是首项、公比都为q (q >0且q ≠1)的等比数列，b n ＝a n log 4a n (n ∈N *)． (1)当q ＝5时，求数列{b n }的前n 项和S n ；(2)当q ＝1415时，若b n <b n ＋1，求n 的最小值．变式迁移3 求和S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋nan .分类讨论思想例 (5分)二次函数f (x )＝x 2＋x ，当x ∈[n ，n ＋1](n ∈N *)时，f (x )的函数值中所有整数值的个数为g (n )，a n ＝2n 3＋3n 2g (n )(n ∈N *)，则S n ＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…＋(－1)n －1a n ＝______________________.答案 (－1)n －1n (n ＋1)2解析 当x ∈[n ，n ＋1](n ∈N *)时，函数f (x )＝x 2＋x 的值随x 的增大而增大，则f (x )的值域为[n 2＋n ，n 2＋3n ＋2](n ∈N *)，∴g (n )＝2n ＋3(n ∈N *)，于是a n ＝2n 3＋3n 2g (n )＝n 2.当n 为偶数时，S n ＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…＋a n －1－a n ＝(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－[3＋7＋…＋(2n －1)]＝－3＋(2n －1)2·n 2＝－n (n ＋1)2；当n 为奇数时，S n ＝(a 1－a 2)＋(a 3－a 4)＋…＋(a n －2－a n －1)＋a n ＝S n －1＋a n ＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2，∴S n ＝(－1)n －1n (n ＋1)2.【突破思维障碍】在利用并项转化求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n 进行分类讨论，但最终的结果却往往可以用一个公式来表示．1．求数列的通项：(1)公式法：例如等差数列、等比数列的通项； (2)观察法：例如由数列的前几项来求通项； (3)可化归为使用累加法、累积法；(4)可化归为等差数列或等比数列，然后利用公式法； (5)求出数列的前几项，然后归纳、猜想、证明． 2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．3．求和时应注意的问题：(1)直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程．(2)注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分) 1．(2010·广东)已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝________.2．有两个等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝7n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.3．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1且a n －1－a n a n a n －1＝a n －a n ＋1a n a n ＋1(n ≥2)，则此数列的第10项为________．4．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5＝________.5．(2011·南京模拟)数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前n 项和S n >1 020，那么n 的最小值是________．6．(2010·东北师大附中高三月考)数列{a n }的前n 项和为S n 且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ＝1,2,3，…)，则log 4S 10＝__________.7．(原创题)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1a n，则该数列前26项的和为________．8．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝____________.二、解答题(共42分)9．(12分)已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7(n ∈N *)．(1)若函数f (x )的图象的顶点的横坐标构成数列{a n }，试证明数列{a n }是等差数列； (2)设函数f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，试求数列{b n }的前n 项和S n .10．(14分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝12na n ＋a n －c (c 是常数，n ∈N *)，a 2＝6.(1)求c 的值及数列{a n }的通项公式；(2)证明1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<18.11．(16分)(2010·北京宣武高三期中)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ，数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1) (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求数列{b n }的通项公式b n ；(3)若c n ＝a n ·b nn，求数列{c n }的前n 项和T n .答案 自主梳理 1．(4)n ＝1或n ≥2 自我检测1．22 2.32 3.15 4.8 5.919课堂活动区例1 解题导引 1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．2．利用等比数列前n 项和公式时注意公比q 的取值．同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的思维难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解．解 (1)由已知得⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝7(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q .又S 3＝7，可知2q＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q >1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1. (2)由(1)得a 3n ＋1＝23n ， ∴b n ＝ln a 3n ＋1＝ln 23n ＝3n ln 2.又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln 2. 故T n ＝3n (n ＋1)2ln 2.变式迁移1 4解析 设a 1，a 2，a 3，a 4的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，又0<a 1<2，所以1<d <2.易知数列{b n }是等比数列，故(1)正确；a 2＝a 3－d ∈(2,3)，所以b 2＝2a 2>4，故(2)正确；a 4＝a 3＋d >5，所以b 4＝2a 4>32，故(3)正确；又a 2＋a 4＝2a 3＝8，所以b 2b 4＝2a 2＋a 4＝28＝256，故(4)正确．例2 解题导引 这是一道数列、函数、不等式的综合题，利用函数关系式求通项a n ，观察T n 特点，求出T n .由a n 再求b n 从而求S n ，最后利用不等式知识求出m .解 (1)∵a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n＝2a n ＋33a n＝2＋3a n3＝a n ＋23，∴{a n }是以23为公差的等差数列．又a 1＝1，∴a n ＝23n ＋13.(2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1 ＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－43·n ⎝⎛⎭⎫53＋4n 3＋132＝－49(2n 2＋3n )．(3)当n ≥2时，b n ＝1a n －1a n ＝1⎝⎛⎭⎫23n －13⎝⎛⎭⎫23n ＋13＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 又b 1＝3＝92×⎝⎛⎭⎫1－13，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝92×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝9n 2n ＋1， ∵S n <m －2 0012对一切n ∈N *成立．即9n 2n ＋1<m －2 0012，又∵9n 2n ＋1＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1递增，且9n2n ＋1<92.∴m －2 0012≥92， 即m ≥2 010.∴最小正整数m ＝2 010.变式迁移2 解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.∴a 2＋a 4＝20.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32.又{a n }单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2n .(2)b n ＝2n ·log 122n ＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .①∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1.② ∴①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2.由S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，即2n ＋1－n ·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1<0对任意正整数n 恒成立，∴m ·2n ＋1<2－2n ＋1对任意正整数n ，m <12n －1恒成立．∵12n －1>－1，∴m ≤－1， 即m 的取值范围是(－∞，－1]． 例3 解 依题意，第1个月月余款为a 1＝10 000(1＋20%)－10 000×20%×10%－300＝11 500， 第2个月月底余款为a 2＝a 1(1＋20%)－a 1×20%×10%－300， 依此类推下去，设第n 个月月底的余款为a n 元，第n ＋1个月月底的余款为a n ＋1元，则a n ＋1＝a n (1＋20%)－a n ×20%×10%－300＝1.18a n－300.下面构造一等比数列．设a n ＋1＋x a n ＋x＝1.18，则a n ＋1＋x ＝1.18a n ＋1.18x ， ∴a n ＋1＝1.18a n ＋0.18x .∴0.18x ＝－300.∴x ＝－5 0003，即a n ＋1－5 0003a n －5 0003＝1.18.∴数列{a n －5 0003}是一个等比数列，公比为1.18，首项a 1－5 0003＝11 500－5 0003＝29 5003. ∴a n －5 0003＝29 5003×1.18n －1，∴a 12－5 0003＝29 5003×1.1811，∴a 12＝5 0003＋29 5003×1.1811≈62 396.6(元)，即到年底该职工共有资金62 396.6元． 纯收入有a 12－10 000(1＋25%) ＝62 396.6－12 500＝49 896.6(元)．变式迁移3 解 (1)设中低价房的面积形成的数列为{a n }， 由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50， 则a n ＝250＋(n －1)·50＝50n ＋200， S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n ，令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，∴n ≥10.∴到2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米． (2)设新建住房面积形成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列，其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400·(1.08)n －1. 由题意可知a n >0.85b n ， 即50n ＋200>400·(1.08)n －1·0.85. 当n ＝5时，a 5<0.85b 5， 当n ＝6时，a 6>0.85b 6，∴满足上述不等式的最小正整数n 为6.∴到2016年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 课后练习区1．3＋22 2.② 3.991 4．7解析 设至少需要n 秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n －1≥100，∴1－2n1－2≥100，∴n ≥7.5．64解析 依题意有a n a n ＋1＝2n，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2×24＝32，a 11＝1×25＝32，又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64.6．3解析 该题是数列知识与函数知识的综合．a n ＝5·⎝⎛⎭⎫252n －2－4·⎝⎛⎭⎫25n －1＝5·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫25n －1－252－45， 显然当n ＝2时，a n 取得最小值，当n ＝1时，a n 取得最大值，此时x ＝1，y ＝2，∴x ＋y ＝3.7．21解析 y ′＝(x 2)′＝2x ，则过点(a k ，a 2k )的切线斜率为2a k ，则切线方程为y －a 2k ＝2a k (x－a k )，令y ＝0，得－a 2k ＝2a k (x －a k )，∴x ＝12a k ，即a k ＋1＝12a k .故{a n }是a 1＝16，q ＝12的等比数列，即a n ＝16×(12)n －1，∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.8．107解析 由数表知，第一行1个奇数，第3行3个奇数，第5行5个奇数，第61行61个奇数，前61行用去1＋3＋5＋…＋61＝62×312＝961个奇数．而2 009是第1 005个奇数，故应是第63行第44个数，即i ＋j ＝63＋44＝107.9．解 (1)∵f (1)＝a ＝13，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x .…………………………………………………(1分) a 1＝f (1)－c ＝13－c ，a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29，a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－227； 又数列{a n }成等比数列，a 1＝a 22a 3＝481－227＝－23＝13－c ，∴c ＝1；……………………………………………………………………………………(2分)公比q ＝a 2a 1＝13，a n ＝－23×⎝⎛⎭⎫13n －1＝－2×⎝⎛⎭⎫13n ，n ∈N *；……………………………………………………………………(3分) ∵S n －S n －1＝()S n －S n －1()S n ＋S n －1＝S n ＋S n －1(n >2)，……………………………………………………………………(4分)又b n >0，S n >0，∴S n －S n －1＝1.数列{S n }构成一个首项为1、公差为1的等差数列，S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，S n ＝n 2.…………………………………………………………(6分) 当n ≥2，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1； 又当n ＝1时，也适合上式，∴b n ＝2n －1，n ∈N *.………………………………………………………………………(8分)(2)T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)×(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12⎝⎛⎭⎫13－15＋12⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋ 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.……………………………………………(12分) 由T n ＝n 2n ＋1>1 0002 009，得n >1 0009，∴满足T n >1 0002 009的最小正整数为112.…………………………………………………(14分)10．解 设乙企业仍按现状生产至第n 个月所带来的总收益为A n (万元)，技术改造后生产至第n 个月所带来的总收益为B n (万元)．依题意得A n ＝45n －[3＋5＋…＋(2n ＋1)]＝43n －n 2，………………………………………………………………………………(5分)当n ≥5时，B n ＝16⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫325－132－1＋16⎝⎛⎭⎫324(n －5)－400＝81n －594，………………………………………………………(10分) ∴当n ≥5时，B n －A n ＝n 2＋38n －594，令n 2＋38n －594>0，即(n ＋19)2>955，解得n ≥12，∴至少经过12个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益．……………………………………………………………………………………………(14分)11．(1)解 令x ＝n ，y ＝1，得到f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝12f (n )，…………………………………………………………(2分)∴{f (n )}是首项为12，公比为12的等比数列，即f (n )＝(12)n .………………………………………………………………………………(5分)(2)证明 记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，∵a n ＝n ·f (n )＝n ·(12)n ，……………………………………………………………………(6分)∴S n ＝12＋2×(12)2＋3×(12)3＋…＋n ×(12)n ，12S n ＝(12)2＋2×(12)3＋3×(12)4＋…＋(n －1)×(12)n ＋n ×(12)n ＋1， 两式相减得12S n ＝12＋(12)2＋…＋(12)n －n ×(12)n ＋1，整理得S n ＝2－(12)n －1－n (12)n <2.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2.………………………………………………………………(9分) (3)解 ∵f (n )＝(12)n ，而b n ＝(9－n )f (n ＋1)f (n )＝(9－n )(12)n ＋1(12)n ＝9－n 2.…………………………………………………………………(11分)当n ≤8时，b n >0；当n ＝9时，b n ＝0； 当n >9时，b n <0，∴n ＝8或9时，S n 取到最大值．………………………………………………………(14分)。
【步步高-江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题五-第3讲圆锥曲线中的热点问题
第3讲圆锥曲线中的热点问题【高考考情解读】纵观近几年高考，解析几何是重要内容之一，所占分值在30分以上，大题小题同时有，除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析几何题.1.填空题主要考查圆锥曲线的几何性质，三种圆锥曲线都有可能涉及.2.在解答题中主要考查圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题，重点关注定点、定值及最值、范围问题．1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长P1P2＝1＋k2|x2－x1|或P1P2＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x2－x1|＝(x1＋x2)2－4x1x2，|y2－y1|＝(y1＋y2)2－4y1y2.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．3．弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．4．轨迹方程问题(1)求轨迹方程的基本步骤：①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法)．②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系．③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化．④化简整理方程——简化．⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性．(2)求轨迹方程的常用方法：①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程；②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程；③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹；(3)注意①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式．步骤②⑤省略后，验证时常用途径：化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.考点一曲线方程的求法及其简单应用例1如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆B ：(x －1)2＋y 2＝16与点A (－1,0)，P 为圆B 上的动点，线段P A 的垂直平分线交直线PB 于点R ，点R 的轨迹记为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)曲线C 与x 轴正半轴交点记为Q ，过原点O 且不与x 轴重合的直线与曲线C 的交点记为M ，N ，连结QM ，QN ，分别交直线x ＝t (t 为常数，且t ≠2)于点E ，F ，设E ，F 的纵坐标分别为y 1，y 2，求y 1·y 2的值(用t 表示)． 解 (1)连结RA ，由题意得RA ＝RP ，RP ＋RB ＝4， 所以RA ＋RB ＝4>AB ＝2，由椭圆定义，得点R 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 0，y 0)，则N (－x 0，－y 0)，QM ，QN 的斜率分别为k QM ，k QN ， 则k QM ＝y 0x 0－2，k NQ ＝y 0x 0＋2，所以直线QM 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，直线QN 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x －2)． 令x ＝t (t ≠2)，则y 1＝y 0x 0－2(t －2)，y 2＝y 0x 0＋2(t －2)，又点M (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 23＝1上，所以y 20＝3－34x 20. 所以y 1·y 2＝y 2x 20－4(t －2)2＝⎝⎛⎭⎫3－34x 20(t －2)2x 20－4＝－34(t －2)2，其中t 为常数且t ≠2.(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为圆锥曲线，则可考虑用定义法或待定系数法求解． (2)当曲线上动点的坐标受到另外一些点的坐标制约时，可以用相关点法，利用相关点法求解曲线方程需要注意两个方面：一是准确定位，即确定联动点，动点的轨迹可能与多个动点相关，但要抓住与其一起联动的点；二是找准关系，即根据已知准确求出动点与其联动点的坐标之间的关系，然后代入联动点所在曲线方程求解．设F (1,0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →.(1)当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)是曲线C 上的点，且|AF →|，|BF →|，|DF →|成等差数列，当AD 的垂直平分线与x 轴交于点E (3,0)时，求B 点坐标．解 (1)设N (x ，y )，则由MN →＝2MP →，得P 为MN 的中点，所以M (－x,0)，P (0，y 2)．又PM →⊥PF →得PM →·PF →＝0，PM →＝(－x ，－y 2)，PF →＝(1，－y 2)，所以y 2＝4x (x ≠0)．(2)由(1)知F (1,0)为曲线C 的焦点，由抛物线定义知，抛物线上任一点P 0(x 0，y 0)到F 的距离等于其到准线的距离，即P 0F ＝x 0＋p2，所以|AF →|＝x 1＋p 2，|BF →|＝x 2＋p 2，|DF →|＝x 3＋p 2，根据|AF →|，|BF →|，|DF →|成等差数列，得x 1＋x 3＝2x 2， 直线AD 的斜率为y 3－y 1x 3－x 1＝y 3－y 1y 234－y 214＝4y 1＋y 3，所以AD 中垂线方程为y ＝－y 1＋y 34(x －3)，又AD 中点(x 1＋x 32，y 1＋y 32)在直线上，代入上式得x 1＋x 32＝1，即x 2＝1，所以点B (1，±2)． 考点二 圆锥曲线中的定值、定点问题例2已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1经过点(0，3)，离心率为12，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线x ＝4上的射影依次为D 、K 、E . (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF →，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，说明理由；(3)连结AE 、BD ，试探索当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．(1)待定系数法；(2)用直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y 后可得点A ，B 的横坐标的关系式，然后根据向量关系式MA →＝λAF →，MB →＝μBF →把λ，μ用点A ，B 的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k 无关即证明了其为定值，否则就不是定值；(3)先根据直线l 的斜率不存在时的特殊情况，看两条直线AE ，BD 的交点坐标，如果直线AE ，BD 相交于定点的话，这个特殊位置时的交点就是这个定点，这样只要证明直线AE ，BD 都经过这个定点即证明了两直线相交于定点，否则两直线就不相交于定点． 解 (1)依题意得b ＝3，e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，c ＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因直线l 与y 轴相交，故斜率存在，设直线l 方程为 y ＝k (x －1)，求得l 与y 轴交于M (0，－k )，又F 坐标为(1,0)，设l 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2， 又由MA →＝λAF →，∴(x 1，y 1＋k )＝λ(1－x 1，－y 1)， ∴λ＝x 11－x 1，同理μ＝x 21－x 2，∴λ＋μ＝x 11－x 1＋x 21－x 2＝x 1＋x 2－2x 1x 21－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝8k 23＋4k 2－2(4k 2－12)3＋4k 21－8k23＋4k 2＋4k 2－123＋4k 2＝－83. 所以当直线l 的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－83.(3)当直线l 斜率不存在时，直线l ⊥x 轴，则ABED 为矩形，由对称性知，AE 与BD 相交于FK 的中点N ⎝⎛⎭⎫52，0， 猜想，当直线l 的倾斜角变化时，AE 与BD 相交于定点N ⎝⎛⎭⎫52，0， 证明：由(2)知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴D (4，y 1)，E (4，y 2)，当直线l 的倾斜角变化时，首先证直线 AE 过定点⎝⎛⎭⎫52，0，∵l AE ：y －y 2＝y 2－y 14－x 1(x －4)，当x ＝52时，y ＝y 2＋y 2－y 14－x 1·⎝⎛⎭⎫－32 ＝2(4－x 1)·y 2－3(y 2－y 1)2(4－x 1)＝2(4－x 1)·k (x 2－1)－3k (x 2－x 1)2(4－x 1)＝－8k －2kx 1x 2＋5k (x 1＋x 2)2(4－x 1)＝－8k (3＋4k 2)－2k (4k 2－12)＋5k ·8k 22(4－x 1)·(3＋4k 2)＝0.∴点N ⎝⎛⎭⎫52，0在直线l AE 上．同理可证，点N ⎝⎛⎭⎫52，0也在直线l BD 上．∴当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点⎝⎛⎭⎫52，0.(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．(2013·陕西)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点．(1)解如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，得O1A＝O1M，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中 点， ∴O 1M ＝x 2＋42， 又O 1A ＝(x －4)2＋y 2，∴(x －4)2＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明 由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk 2，① x 1x 2＝b 2k2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0， (kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)． 考点三 圆锥曲线中的最值范围问题例3(2013·浙江)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) 的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭 圆C 1于另一点D . (1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)． 由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4， 故点O 到直线l 1的距离 d ＝1k 2＋1，所以AB ＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4.消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0， 故x 0＝－8k 4＋k 2.所以PD ＝8k 2＋14＋k 2.设△ABD 的面积为S ，则S ＝12·AB ·PD＝84k 2＋34＋k 2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313， 当且仅当k ＝±102时取等号． 所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1.求最值及参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域．已知椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x轴上且C 1的中心和C 2的顶点均为坐标原点O ，从每条曲线上的各取两个点，其坐标如下表所示：(1)求C 1，C 2(2)过点A (m,0)作倾斜角为π6的直线l 交椭圆C 1于C ，D 两点，且椭圆C 1的左焦点F 在以线段CD 为直径的圆的外部，求m 的取值范围．解 (1)先判断出(－6，0)在椭圆上，进而断定点(1，－3)和(4，－6)在抛物线上，故(3，1)在椭圆上，所以椭圆C 1的方程为x 26＋y 22＝1，抛物线C 2的方程为y 2＝9x .(2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝33(x －m )， 由⎩⎨⎧y ＝33(x －m )x 26＋y22＝1，消去y 整理得2x 2－2mx ＋m 2－6＝0， 由Δ>0得Δ＝4m 2－8(m 2－6)>0， 即－23<m <23，①而x 1x 2＝m 2－62，x 1＋x 2＝m ，故y 1y 2＝33(x 1－m )·33(x 2－m ) ＝13[x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2] ＝m 2－66.欲使左焦点F 在以线段CD 为直径的圆的外部， 则FC →·FD →>0，又F (－2,0)，即FC →·FD →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋4>0. 整理得m (m ＋3)>0， 即m <－3或m >0.②由①②可得m 的取值范围是(－23，－3)∪(0,23)．1． 求轨迹与轨迹方程的注意事项(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．(2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形． 2． 定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明．对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果．3． 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其左、右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1的直线l 交椭圆C 于E 、G 两点，且△EGF 2的周长为4 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A 、B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB→＝tOP →(O 为坐标原点)，当|P A →－PB →|<253时，求实数t 的取值范围．解 (1)由题意知椭圆的离心率e ＝c a ＝22，∴e 2＝c2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又△EGF 2的周长为42，即4a ＝42，∴a 2＝2，b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知直线AB 的斜率存在，即t ≠0.设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.由Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)>0，得k 2<12.x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，∵OA →＋OB →＝tOP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t (1＋2k 2)，y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4k t (1＋2k 2).∵点P 在椭圆C 上，∴(8k 2)2[t (1＋2k 2)]2＋2(－4k )2[t (1＋2k 2)]2＝2， ∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)． ∵|P A →－PB →|<253，∴1＋k 2|x 1－x 2|<253， ∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<209，∴(1＋k 2)[64k4(1＋2k 2)2－4·8k 2－21＋2k 2]<209，∴(4k 2－1)(14k 2＋13)>0， ∴k2>14.∴14<k 2<12. ∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k 2， 又32<1＋2k 2<2，∴83<t 2＝8－81＋2k 2<4， ∴－2<t <－263或263<t <2，∴实数t 的取值范围为(－2，－263)∪(263，2)．(推荐时间：70分钟)一、填空题1． 已知方程x 2k ＋1＋y 23－k＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________．答案 1<k <3解析 若椭圆焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1>03－k >0k ＋1>3－k ，解得1<k <3.2． △ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________________． 答案 x 29－y 216＝1(x >3)解析 如图AD ＝AE ＝8，BF ＝BE ＝2，CD ＝CF ， 所以CA －CB ＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线 的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)．3． 若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________． 答案 6解析 设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 204， 又因为F (－1,0)，所以OP →·FP →＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3 ＝14(x 0＋2)2＋2， 又x 0∈[－2,2]，即OP →·FP →∈[2,6]， 所以(OP →·FP →)max ＝6.4． 直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________．答案 m ≥1且m ≠5解析 ∵方程x 25＋y 2m ＝1表示椭圆，∴m >0且m ≠5.∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点， ∴要使直线与椭圆总有公共点，应有： 025＋12m≤1，m ≥1， ∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.5． 设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF →1·PF →2的值等于________． 答案 －2解析 易知当P ，Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2面积最大．此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，不妨设P (0,1)， ∴PF →1＝(－3，－1)，PF →2＝(3，－1)， ∴PF →1·PF →2＝－2.6． 直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A ，B ，C ，D ，则ABCD 的值为________．答案116解析 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y得x 2－3x －4＝0，∴x A ＝－1，y A ＝14，x D ＝4，y D ＝4，直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F (0,1)， 且该圆圆心为F (0,1)，∴AF ＝y A ＋1＝54，DF ＝y D ＋1＝5，∴AB CD ＝AF －1DF －1＝116. 7． 已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________． 答案 0或－8解析 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 213＝1，①x 22－y 223＝1， ②x 1＋x 2＝2x 0， ③y 1＋y 2＝2y 0， ④由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)(y 2＋y 1)，显然x 1≠x 2.∴y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·y 0x 0＝3，∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，∴k MN ＝－1，∴y 0＝－3x 0，又∵y 0＝x 0＋m ，∴P ⎝⎛⎭⎫－m 4，3m 4， 代入抛物线方程得916m 2＝18·⎝⎛⎭⎫－m 4， 解得m ＝0或－8，经检验都符合．8． 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1、F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若PF 1＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是________．答案 (13，＋∞) 解析 设椭圆与双曲线的半焦距为c ，PF 1＝r 1，PF 2＝r 2.由题意知r 1＝10，r 2＝2c ，且r 1>r 2,2r 2>r 1，∴2c <10,2c ＋2c >10，∴52<c <5⇒1<25c2<4， ∴e 2＝2c 2a 双＝2c r 1－r 2＝2c 10－2c ＝c 5－c； e 1＝2c 2a 椭＝2c r 1＋r 2＝2c 10＋2c ＝c 5＋c. ∴e 1·e 2＝c 225－c 2＝125c 2－1>13. 9． 已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．答案 522－1 解析 过点P 作抛物线的准线的垂线，垂足为A ，交y 轴于B ，由抛物线方程为y 2＝4x 得焦点F 的坐标为(1,0)，准线为x ＝－1，则由抛物线的定义可得d 1＋d 2＝P A －AB ＋d 2＝PF －1＋d 2，PF ＋d 2大于或等于焦点F 点P 到直线l ，即PF ＋d 2的最小值为|1－0＋4|2＝522， 所以d 1＋d 2的最小值为522－1. 二、解答题10．已知直线x －2y ＋2＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：x ＝103分别交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)求线段MN 的长度的最小值．解 (1)如图，由题意得椭圆C 的左顶点为A (－2,0)，上顶点为D (0,1)，即a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)直线AS 的斜率显然存在且不为0，设直线AS 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ＞0)，解得M (103，16k 3)，且将直线方程代入椭圆C 的方程，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.设S (x 1，y 1)，由根与系数的关系得(－2)·x 1＝16k 2－41＋4k2. 由此得x 1＝2－8k 21＋4k 2，y 1＝4k 1＋4k 2，即S (2－8k 21＋4k 2，4k 1＋4k 2)． 又B (2,0)，则直线BS 的方程为y ＝－14k(x －2)， 联立直线BS 与l 的方程解得N (103，－13k)． ∴MN ＝⎪⎪⎪⎪16k 3＋13k ＝16k 3＋13k ≥216k 3·13k ＝83. 当且仅当16k 3＝13k ，即k ＝14时等号成立，故当k ＝14时，线段MN 的长度的最小值为83.11．在平面直角坐标系中，点P (x ，y )为动点，已知点A (2，0)，B (－2，0)，直线P A 与PB 的斜率之积为－12. (1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过点F (1,0)的直线l 交曲线E 于M ，N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (M 、Q 不重合)，求证：直线MQ 过x 轴上一定点．(1)解 由题意知：y x ＋2·y x －2＝－12. 化简得x 22＋y 2＝1(y ≠0)． (2)证明 方法一 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 2，－y 2)，l ：x ＝my ＋1，代入x 22＋y 2＝1(y ≠0)整理得 (m 2＋2)y 2＋2my －1＝0.y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2， MQ 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)， 令y ＝0，得x ＝x 1＋y 1(x 2－x 1)y 1＋y 2＝my 1＋1＋my 1(y 2－y 1)y 1＋y 2＝2my 1y 2y 1＋y 2＋1＝2. ∴直线MQ 过定点(2,0)．方法二 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 2，－y 2)，l ：y ＝k (x －1)，代入x 22＋y 2＝1(y ≠0)整理得 (1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2， MQ 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)，令y ＝0，得x ＝x 1＋y 1(x 2－x 1)y 1＋y 2＝x 1＋k (x 1－1)(x 2－x 1)k (x 1＋x 2－2)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1＋x 2－2＝2. ∴直线MQ 过定点(2,0)．12．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，左顶点M 到直线x a ＋y b ＝1的距离d ＝455，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值；(3)在(2)的条件下，试求△AOB 的面积S 的最小值．(1)解 由e ＝32，得c ＝32a ，又b 2＝a 2－c 2， 所以b ＝12a ，即a ＝2b . 由左顶点M (－a,0)到直线x a ＋y b＝1， 即bx ＋ay －ab ＝0的距离d ＝455， 得|b (－a )－ab |a 2＋b 2＝455，即2ab a 2＋b 2＝455， 把a ＝2b 代入上式，得4b 25b＝455，解得b ＝1. 所以a ＝2b ＝2，c ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当直线AB 的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x 1＝x 2，y 1＝－y 2.因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，故OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，也就是x 21－y 21＝0，又点A 在椭圆C 上，所以x 214－y 21＝1， 解得|x 1|＝|y 1|＝255.此时点O 到直线AB 的距离d 1＝|x 1|＝255. ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ， 与椭圆方程联立有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2. 因为以AB 为直径的圆过坐标原点O ，所以OA ⊥OB .所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0.所以(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0.所以(1＋k 2)·4m 2－41＋4k 2－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0. 整理得5m 2＝4(k 2＋1)，所以点O 到直线AB 的距离d 1＝|m |k 2＋1＝255. 综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值255. (3)解 设直线OA 的斜率为k 0.当k 0≠0时，则OA 的方程为y ＝k 0x ，OB 的方程为y ＝－1k 0x ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 0x ，x 24＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 21＝41＋4k 20，y 21＝4k 201＋4k 20.同理可求得⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＝4k 20k 20＋4，y 22＝4k 20＋4.故△AOB 的面积为S ＝121＋k 20·|x 1|·1＋1k 20·|x 2|＝2(1＋k 20)2(1＋4k 20)(k 20＋4). 令1＋k 20＝t (t >1)， 则S ＝2t 24t 2＋9t －9＝21－9t 2＋9t ＋4，令g (t )＝－9t 2＋9t ＋4＝－9(1t －12)2＋254(t >1)， 所以4<g (t )≤254.所以45≤S <1. 当k 0＝0时，可求得S ＝1， 故45≤S ≤1，故S 的最小值为45.。
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题六 第1讲
专题六 第1讲
第1讲
【高考考情解读】
排列与组合、二项式定理
本 组合往往通过实际问题进行综 讲 高考中对两个计数原理、排列、 栏 经常与概率问题相结合， 出现在解答题中， 难度中等； 目 合考查， 开 关 对于二项式定理的考查，难度较小．
主干知识梳理
专题六 第1讲
1．分类计数原理和分步计数原理
本 讲 栏 目 开 关
如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类计数原 理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事 件完成，则要用分步计数原理将各步的方法种数相乘．
主干知识梳理
2．排列与组合
专题六 第1讲
(1)排列：从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素，按照 一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的一个排列．从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数
本 讲 栏 目 开 关
专题六 第1讲
1 2 (1)无重复的三位数有：A3 ＋ A 9 2A9＝648 个．
当中间数为 4 时，有 3×4＝12 种； 当中间数为 5 时，有 4×5＝20 种； 当中间数为 6 时，有 5×6＝30 种； 当中间数为 7 时，有 6×7＝42 种； 当中间数为 8 时，有 7×8＝56 种； 当中间数为9时，有8×9＝72种． 故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240种．
本 讲 栏 目 开 关
C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________ 种． (2)如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好 数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的重复数字的四位数 中，“好数”共有________个．
热点分类突破
专题六 第1讲
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题二 第1讲
14 即 a ＋c －4＝ ac. 9
2 2
热点分类突破
7 ②在△ABC 中，cos B＝ ， 9
专题二 第1讲
∴sin B＝ 1－cos B＝
2
7 4 2 2 1－9 ＝ 9 .
a b 由正弦定理得： ＝ ， sin A sin B 本
讲 栏 目 开 关
4 2 3× 9 asin B 2 2 ∴sin A＝ ＝ ＝ . b 2 3 π 1 2 又 A＝C，∴0<A< ，∴cos A＝ 1－sin A＝ ， 2 3
主干知识梳理
2．三角函数的图象及常用性质 函数 y＝sin x y＝cos x
专题二 第1讲
y＝tan x
本 讲 栏 目 开 关
图象
π π π 在 [ － π ＋ 2 k π ， 在 [ － ＋ 2kπ ， ＋ 在(－ ＋ 2 2 2 2kπ](k∈Z) 上 单 π 单调 2kπ](k∈Z)上单调递增； kπ ， ＋ 2 调递增； 在[2kπ， π 3π 性 在 [ ＋ 2kπ ， ＋ 2 2 π ＋ 2kπ](k∈Z) kπ)(k∈Z)上 2kπ](k∈Z)上单调递减 上单调递减 单调递增
(1)求 f(x)的定义域及最小正周期； (2)求 f(x)的单调递增区间．
先化简函数解析式，再求函数的性质．
热点分类突破
专题二 第1讲
解
(1)由 sin x≠0 得 x≠kπ(k∈Z)，
故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
本 讲 栏 目 开 关
sin x－cos xsin 2x 因为 f(x)＝ sin x
主干知识梳理
专题二 第1讲
1．三角函数定义、同角关系与诱导公式
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【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题七 第2讲矩阵与变换
第2讲 矩阵与变换【高考考情解读】 本讲从内容上看，主要考查二阶矩阵的基本运算，考查矩阵的逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等．从形式上看，以解答题为主，本节知识是高考中数学教材和高等数学教材的接轨知识，一般以基础题目为主，难度不大．又经常与其他知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力．分值为10分．1． 矩阵乘法的定义一般地，我们规定行矩阵[a 11，a 12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法规则为[a 11，a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11b11＋a 12b 21]，二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的乘法规则为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy . For personal use only in study and research; not for commercial use说明：矩阵乘法MN 的几何意义为对向量的连续实施的两次几何变换(先T N 后T M )的复合变换．一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x ，y )，若按照对应法则T ，总能对应惟一的一个平面点(向量)(x ′，y ′)，则称T 为一个变换，简记为T ：(x ，y )→(x ′，y ′)或T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′. 2． 几种常见的平面变换(1)恒等变换；(2)伸缩变换；(3)反射变换；(4)旋转变换；(5)投影变换；(6)切变变换． 3． 矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1，A －1＝B . (2)逆矩阵的求法一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd (ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc . (3)逆矩阵的简单性质①若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1. ②已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C . (4)逆矩阵与二元一次方程组对于二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n (ad －bc ≠0)，若将X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 看成是原先的向量，而将B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n 看成是经过系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd (ad －bc ≠0)对应变换作用后得到的向量，则可记为矩阵方程AX ＝B ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，则X ＝A －1B ，其中A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc .4． 二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量． (2)特征向量的几何意义特征向量的方向经过变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被变成了零向量． (3)特征多项式 设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 的一个特征值，它的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ，故⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0.(*)由特征向量的定义知α≠0，因此x ，y 不全为0，此时D x ＝0，D y ＝0，因此，若要上述二元一次方程组有不全为0的解，则必须有D ＝0，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0.定义：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 是一个二阶矩阵，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc . 称为A 的特征多项式． (4)求矩阵的特征值与特征向量如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ一定是二阶矩阵A 的特征多项式的一个根，它满足f (λ)＝0.此时，将λ代入二元一次方程组(*)，就可以得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，于是，非 零向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0即为A 的属于λ的一个特征向量.考点一 常见矩阵变换的应用 例1 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 011，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤023 2.(1)求满足条件AM ＝B 的矩阵M ；(2)矩阵M 对应的变换将曲线C ：x 2＋y 2＝1变换为曲线C ′，求曲线C ′的方程． 解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，AM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b a ＋c b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 2， 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，a ＋c ＝3，b ＝2，b ＋d ＝2，∴a ＝0，b ＝2，c ＝3，d ＝0.∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 0.(2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )在矩阵M 对应的变换作用下变为点P ′(x ′，y ′)， 则M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y 3x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ′，3x ＝y ′，即⎩⎨⎧y ＝x ′2，x ＝y ′3，代入曲线C ：x 2＋y 2＝1，得(x ′2)2＋(y ′3)2＝1.∴曲线C ′的方程是x 24＋y 29＝1.求曲线经过二阶矩阵变换的方法步骤曲线f (x ，y )＝0经过二阶矩阵变换，得曲线g (x ，y )＝0，求曲线g (x ，y )的一般步骤为： (1)取曲线f (x ，y )＝0上的任意一点A (x ，y )； (2)A (x ，y )通过二阶矩阵变换得A ′(x ′，y ′)；(3)用x 表示x ′，y 表示y ′代入f (x ，y )＝0，得g (x ′，y ′)＝0； (4)g (x ′，y ′)＝0用x 代替x ′，y 代替y ′，得g (x ，y )＝0，即为所求．(2013·福建)已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1. (1)求实数a ，b 的值；(2)若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标． 解 (1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的象是M ′(x ′，y ′)．由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝y . 又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1.(2)由A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 故点P 的坐标为(1,0)． 考点二 求二阶矩阵的逆矩阵 例2 设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (其中a >0，b >0)．(1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1； (2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．解 (1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2， 则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1. 又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.所以2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1， 即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 0 0 13.(2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′，by ＝y ′. 又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1.则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.求逆矩阵的常见方法(1)待定系数法设A 是一个二阶可逆矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，AB ＝BA ＝E ；(2)公式法|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，有A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A | －b |A |－c |A | a |A |， 当且仅当|A |≠0；(3)利用逆矩阵的性质(AB )－1＝B －1A －1.(2013·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120 6，求矩阵A －1B .解 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12， 所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3.考点三 求矩阵的特征值与特征向量例3 已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系； (3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程． 解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4. 联立以上两方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4， 故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4.(2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2 －4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2.设矩阵M 的另一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Me 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0. (3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换下对应的点的坐标为(x ′，y ′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程后并化简得x ′－y ′＋2＝0，即x －y ＋2＝0.求特征值和特征向量的方法(1)矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征值λ满足(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，属于λ的特征向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .(2)求特征向量和特征值的步骤：①解f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0得特征值； ②解⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0⇔(λ－a )x －by ＝0，取x ＝1或y ＝1，写出相应的向量．求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3652的特征值与属于每个特征值的一个特征向量．解 矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 －6－5 λ－2，令f (λ)＝0得，λ2－5λ－24＝0，∴λ1＝8，λ2＝－3为矩阵A 的两个特征值．①当λ1＝8时，解相应线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x －6y ＝0，－5x ＋6y ＝0，可任取一解如⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，得λ＝8的特征向量ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤65.②当λ2＝－3时，解相应线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧－6x －6y ＝0，－5x －5y ＝0.可任取一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，得λ＝－3的特征向量ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.1． 在解决通过矩阵进行平面曲线的变换问题时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆．2． 对于二阶矩阵，要能够熟练地根据常见的几种变换的坐标形式和矩阵形式相互转化的规则，直接指明对应的变换．3． 对于常见的变换，要能够根据前后的图形中的点的坐标变换规律准确写出变换矩阵． 4． 对于二阶矩阵A 而言，至多有两个特征值，将特征值λ代入Aα＝λα，即可求得对应的特征向量α.5． 关于特征值与特征向量的讨论与矩阵变换性质、矩阵的乘积、行列式以及线性方程组的解等有密切的联系，或说是所学知识的一个综合运用.1． 已知点A 在变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y 作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B .若点B 的坐标为(－3,4)，求点A 的坐标． 解 变换T 对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2. 设A (a ，b )，由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 4，即⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＝－3，a ＋2b ＝4.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，即A (－2,3)．2． 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －3－1 －1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120 1.(1)求(AB )－1.(2)求直线2x ＋y －5＝0在(AB )－1对应变换作用下的直线方程．解 (1)AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －3－1 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1－1 －3， 又|AB |＝－3－1＝－4，∴(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34 －14－14－14. (2)设P (x 0，y 0)是直线2x ＋y －5＝0上任一点，P ′(x ，y )是在变换作用下点P 的象，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝(AB )－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34 －14－14 －14⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0.∴⎩⎨⎧x ＝34x 0－14y 0，y ＝－14x 0－14y 0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －y ，y 0＝－x －3y .代入直线方程2x ＋y －5＝0，得2(x －y )－(x ＋3y )－5＝0，即x －5y －5＝0，即为所求的直线方程．(推荐时间：60分钟)1． 求满足X ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 312＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 2－11的二阶矩阵X .解 设X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由于⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a ＋b 3a ＋2b 2c ＋d 3c ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 2－1 1，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝3，3a ＋2b ＝2，2c ＋d ＝－1，3c ＋2d ＝1得a ＝4，b ＝－5，c ＝－3，d ＝5，故X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 －5－3 5. 2． 双曲线x 25－y 24＝1的右焦点为F ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 3，求点F 在矩阵BA 对应的变换作用下的象F ′.解 BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 0，∴(BA )⎣⎢⎡⎦⎥⎤30＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤30＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤09. 即F ′的坐标为(0,9)．3． 求函数y ＝x 2在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14变换作用下的结果．解 任选曲线y ＝x 2上一点(x ，y )，它在变换T M 作用下变为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 14y＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′⇒x ＝x ′， y ＝4y ′，代入y ＝x 2，得y ′＝14x ′2，即y ＝14x 2. 4． (2012·江苏)已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 3412 －12，求矩阵A 的特征值． 解 因为A －1A ＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 3412 －12，所以A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1， 于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.5． 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β. 解 A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3. 设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，由A 2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12， 从而⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝2.所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2. 6． 已知变换S 把平面上的点A (3,0)，B (2,1)分别变换为点A ′(0，3)，B ′(1，－1)，试求变换S 对应的矩阵T .解 设T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ， 则S ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤30→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤30 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 3b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤03，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1；S ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤21→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a ＋c 2b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1d ＝－3，综上可知，T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 －3. 7． 已知曲线C ：xy ＝1，将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C ′的方程．解 设P (x 0，y 0)是曲线C ：xy ＝1上的任一点，点P (x 0，y 0)在旋转变换后对应的点为P ′(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0′y 0′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 45° －sin 45°sin 45° cos 45°⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－222222⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22x 0－22y 022x 0＋22y 0 ∴⎩⎨⎧ x ′0＝22x 0－22y 0，y ′0＝22x 0＋22y 0，∴⎩⎨⎧ x 0＝22(x ′0＋y ′0)，y 0＝22(y ′0－x ′0).又x 0y 0＝1，∴22(y ′0＋x ′0)×22(y ′0－x ′0)＝1. ∴y ′20－x ′20＝2，即曲线C ：xy ＝1旋转后所得到的曲线C ′的方程为：y 2－x 2＝2.8． 在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A (0,0)、B (1,1)、C (0,2)，求△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 解 由在矩阵线性变换下的几何意义可知，在矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转90°得到的图形；在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0作用下，一个图形变换为与之关于直线y ＝x 对称的图形，因此，△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形与△ABC 全等，从而其面积等于△ABC 的面积，即为1.9． 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－3)． (1)求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量．解 (1)由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－3， 所以a ＋1＝－3，所以a ＝－4.(2)由(1)知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1－4 1， 令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 1 4 λ－1＝(λ－1)2－4＝0. 解得A 的特征值为λ＝－1或3.当λ＝－1时，由⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋y ＝04x －2y ＝0得矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12， 当λ＝3时，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝04x ＋2y ＝0得矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2. 10．(2012·福建)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1(a >0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.(1)求实数a ，b 的值；(2)求A 2的逆矩阵．解 (1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的象是P ′(x ′，y ′)． 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ ax bx ＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1，即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. 因为a >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1. 所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－2 1.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题八 第3讲
思想方法概述
专题八 第3讲
(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置 需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系 等．
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(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如 含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结 果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方 法． (6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在 解决排列、组合中的计数问题时常用．
热点分类突破
专题八 第3讲
已知圆的方程 x2＋y2＝1， 则过点 P(1,2)的圆的切线
x＝1 或 3x－4y＋5＝0 ． 方程为_______________________
解析 当 k 不存在时，直线为 x＝1，也是切线，
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当 k 存在时，设直线方程为 y－2＝k(x－1)， 即 kx－y－k＋2＝0. |2－k| ∴圆心(0,0)到直线的距离 d＝ 2 ＝1， k ＋1 3 解得 k＝4. ∴直线方程为 3x－4y＋5＝0. ∴切线方程为 x＝1 或 3x－4y＋5＝0.
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专题八 第3讲
1 2 综上，当0<a<1时，f(x)的极大值是－ a ＋aln a，极小值 2 1 是－ ； 2
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当 a＝1 时，f(x)无极值； 1 1 2 当 a>1 时，f(x)的极大值是－2，极小值是－2a ＋aln a.
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专题八 第3讲
分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．用分类讨
在 [0,1] 上的最大值只能在区间端点取得 ( 由于此处不涉及 最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系)．
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题八 第1讲
专题八 第1讲
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1 2 ＝4x(7x －32x＋25)<0. 因此 h(x)在(1,3)内单调递减． 又 h(1)＝0，所以 h(x)<0， 9x－1 即 f(x)< . x＋5
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专题八 第1讲
根据所证不等式的结构特征构造相应的函数，研
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究该函数的单调性是解决这一类问题的关键，体现了导数的 工具性以及函数、方程的数学思想．
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1 (2)设数列{bn}的通项 bn＝ ， 记 Sn 是数列{bn}的前 n 项和， anan＋1 若 n≥3 时，有 Sn≥m 恒成立，求 m 的最大值．
解 (1)∵{an}是等差数列，a1＝1，a2＋a3＋„＋a10＝144， 10a1＋a10 ∴S10＝145，∴S10＝ ， 2 ∴a10＝28，∴公差d＝3. ∴an＝3n－2(n∈N*)．
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专题八 第1讲
(1) 函数 f(x) ＝ (2x － 1)2 ， g(x) ＝ ax2 (a>0) ，满足 f(x)<g(x) 的 整 数 x 恰有 4 个 ， 则实 数 a 的 取 值范 围是 __________． (2)f(x)＝ax3－3x＋1 对于 x∈[－1,1]总有 f(x)≥0 成立，则 a
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过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未 知量的方程来解． (4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系 问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程 与二次函数的有关理论． (5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要 运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.
程的思想是对方程概念的本质认识， 用于指导解题就是善于
【苏教版】【步步高】2014届高三数学(理)大一轮复习练习6.4数列求和
6.4 数列求和一、填空题1.在公比为整数的等比数列{}中,如果那么该数列的前8项和＝________.解析 q=或q=2,而Z,∴.∴.答案 5102．数列11×3，12×4，13×5，…，1n n ＋，…的前n项和S n＝________.解析∵1n n ＋＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n＋2，∴S n＝121－13＋12－14＋…＋1n－1n＋2＝121＋12－1n＋1－1n＋2＝34－12n＋2－12n＋4.答案34－12n＋2－12n＋43．在等比数列{a n}中，a1＝12，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝________.解析∵a4a1＝q3＝－8，∴q＝－2.∴|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝12－2n1－2＝2n－1－12.答案－2 2n－1－1 24.数列{}的前n项和为若则＝________.解析∵∴….答案5．等比数列{a n}的前n项和S n＝2n－1，则a21＋a22＋…＋a2n＝________. 解析当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，又∵a1＝1适合上式．∴a n＝2n－1，∴a2n＝4n－1.∴数列{a2n}是以a21＝1为首项，以4为公比的等比数列．∴a21＋a22＋…＋a 2n ＝－4n1－4＝13(4n－1)．答案13(4n－1)6．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________. 解析 设b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列， 所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10 ＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5×3＝15. 答案 157．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n ＝________. 解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.令n ＋1－1＝10，得n ＝120. 答案 1208．数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝5，b 1＝7，且a 20＋b 20＝60.则{a n ＋b n }的前20项的和为________．解析 由题意知{a n ＋b n }也为等差数列，所以{a n ＋b n }的前20项和为：S 20＝a 1＋b 1＋a 20＋b 202＝＋7＋2＝720.答案 7209．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________.解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3.所以a n ＝a 1q n －1＝3×3n －1＝3n ，故b n ＝log 3a n ＝n ， 所以1b n b n ＋1＝1nn ＋＝1n －1n ＋1. 则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.答案n n ＋110．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前5项和为________．解析 设数列{a n }的公比为q .由题意可知q ≠1，且－q 31－q＝1－q 61－q， 解得q ＝2，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，由求和公式可得S 5＝3116. 答案311611．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为________． 解析 a n ＝2n －1，设b n ＝1a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1， 则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n .答案 23⎝⎛⎭⎪⎫1－14n12.在等差数列{}中 008,其前n 项的和为.若则=________.解析 ∵=d=2.∴ 2=-2 008. 答案 -2 00813．等差数列{a n }的公差不为零，a 4＝7，a 1，a 2，a 5成等比数列，数列{T n }满足条件T n ＝a 2＋a 4＋a 8＋…＋a 2n ，则T n ＝________.解析 设{a n }的公差为d ≠0，由a 1，a 2，a 5成等比数列，得a 22＝a 1a 5， 即(7－2d )2＝(7－3d )(7＋d ) 所以d ＝2或d ＝0(舍去)． 所以a n ＝7＋(n －4)×2＝2n －1. 又a 2n ＝2·2n －1＝2n ＋1－1，故T n ＝(22－1)＋(23－1)＋(24－1)＋…＋(2n ＋1－1)＝(22＋23＋…＋2n ＋1)－n ＝2n ＋2－n －4. 答案 2n ＋2－n －4 二、解答题14．已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0. (1)求{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和公式． 解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 3＝－6，a 6＝0， 所以⎩⎨⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0.解得a 1＝－10，d ＝2.所以a n ＝－10＋(n －1)·2＝2n －12. (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8， 所以－8q ＝－24，即q ＝3. 所以{b n }的前n 项和公式为S n ＝b 1－q n 1－q＝4(1－3n )．15．设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0.(1)求{a n }的通项；(2)求{nS n }的前n 项和T n .解析 (1)由210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0得210(S 30－S 20)＝S 20－S 10， 即210(a 21＋a 22＋…＋a 30)＝a 11＋a 12＋…＋a 20，可得210·q 10(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝a 11＋a 12＋…＋a 20.因为a n >0，所以210q 10＝1，解得q ＝12，因而a n ＝a 1q n －1＝12n ，n ＝1,2，….(2)因为{a n }是首项a 1＝12、公比q ＝12的等比数列，故S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n ，nS n ＝n －n2n .则数列{nS n }的前n 项和T n ＝(1＋2＋…＋n )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋222＋…＋n 2n ，T n 2＝12(1＋2＋…＋n )－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1.两式相减，得T n 2＝12(1＋2＋…＋n )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＋n 2n ＋1＝n n ＋4－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＋n2n ＋1，即T n ＝n n ＋2＋12n －1＋n 2n －2.16．已知首项不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的r ，t ∈N *，都有 S r S t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r t 2. (1)判断{a n }是否是等差数列，并证明你的结论；(2)若a 1＝1，b 1＝1，数列{b n }的第n 项是数列{a n }的第b n －1项(n ≥2)，求b n ； (3)求和T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n . 解析 (1){a n }是等差数列． 证明如下：因为a 1＝S 1≠0，令t ＝1，r ＝n ，则由S r S t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r t 2，得S nS 1＝n 2，即S n ＝a 1n 2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)a 1，且n ＝1时此式也成立， 所以a n ＋1－a n ＝2a 1(n ∈N *)，即{a n }是以a 1为首项，2a 1为公差的等差数列． (2)当a 1＝1时，由(1)知a n ＝a 1(2n －1)＝2n －1， 依题意，当n ≥2时，b n ＝ab n －1＝2b n －1－1， 所以b n －1＝2(b n －1－1)，又b 1－1＝2，所以{b n －1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以b n －1 ＝2·2n －1，即b n ＝2n ＋1.(3)因为a n b n ＝(2n －1)(2n ＋1)＝(2n －1)·2n ＋(2n －1)T n ＝[1·2＋3·22＋…＋(2n －1)·2n ]＋[1＋3＋…＋(2n －1)]， 即T n ＝[1·2＋3·22＋…＋(2n －1)·2n ]＋n 2，① 2T n ＝[1·22＋3·23＋…＋(2n －1)·2n ＋1]＋2n 2，②②－①，得T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋n 2＋6.17．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13. (1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n 的前n 项和S n .解析 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q ＞0且⎩⎨⎧1＋2d ＋q 4＝21，1＋4d ＋q 2＝13，解得⎩⎨⎧d ＝2，q ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝q n －1＝2n －1. (2)a n b n ＝2n －12n －1，S n ＝1＋321＋522＋…＋2n －32n －2＋2n －12n －1，①2S n ＝2＋3＋52＋…＋2n －32n －3＋2n －12n －2.②②－①，得S n ＝2＋2＋22＋222＋…＋22n －2－2n －12n －1＝2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n －1＝2＋2×1－12n －11－12－2n －12n －1＝6－2n ＋32n －1.18．在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2＝2a 1＋3，且3a 2，a 4,5a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{a n b n }的前n 项和S n .解析 (1)设{a n }公比为q ，由题意，得q ＞0，且⎩⎨⎧a 2＝2a 1＋3，3a 2＋5a 3＝2a 4，即⎩⎨⎧a 1q －＝3，2q 2－5q －3＝0.解得⎩⎨⎧a 1＝3，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－65，q ＝－12(舍去)．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3·3n －1＝3n ，n ∈N *. (2)由(1)可得b n ＝log 3a n ＝n ，所以a n b n ＝n ·3n . 所以S n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n . 所以3S n ＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n ·3n ＋1 两式相减，得2S n ＝－3－(32＋33＋…＋3n )＋n ·3n ＋1 ＝－(3＋32＋33＋…＋3n )＋n ·3n ＋1 ＝－－3n 1－3＋n ·3n ＋1＝3＋n －n ＋12.所以数列{a n b n }的前n 项和为S n ＝3＋n －n ＋14.。