四川省乐山一中2013-2014学年高一第一学期期中考试数学试题(含答案)

乐山一中2013-2014学年高一第一学期期中考试数学试题第Ⅰ卷 选择题一．选择题：本大题共10小题，每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5}，集合M ＝{0,3,5}，N ＝{1,4,5}，则集合M ∩(∁U N )等于( ) A ．{5} B ．{0,3} C ．{0,2,5} D ．{0,1,3,4,5}2．满足A ∪{－1,1}＝{－1,0,1}的集合A 共有( )A ．10个B ．8个C ．6个D ．4个3. 若函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=->=+-08020221x x x xx f x ，则()()()0f f f =( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．34. 若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数)12(-=x f y 的定义域是（ ） A ．[0,1] B ．[0,2] C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2321， D ．[]3,1-5. 已知函数f (x )在R 上为奇函数，对任意的2121),0(,x x x x ≠+∞∈且，总有0)()(1212>--x x x f x f 且f (1)＝0，则不等式xx f x f )()(--<0的解集为 ( ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ． (－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)6. 函数22)21(++-=x x y 的单调递增区间是（ ）A ．]21,1[-B ．]1,(--∞C ．),2[+∞D ．]2,21[7. 函数y =xx2121+-的值域是（ ） A.［－1，1］ B.（－1，1） C.［－1，1） D.（－1，1］8. 函数y ＝a x－1a(a ＞0，且a ≠1)的图象可能是()9.已知函数1f (x )+是偶函数，当1x (,)∈-∞时，函数f (x )单调递减，设1122a f (),b f (),c f ()=-=-=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c< a<bB ．a< b<cC ．a< c<bD ．c<b<a10.已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值,{}min ,p q 表示,p q 中的较小值,记()1H x 的最小值为,A ()2H x 的最小值为B ,则A B -=( )(A)2216a a -- (B)2216a a +- (C)16 (D)-16第Ⅱ卷 非选择题二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．函数()3f x x =+的定义域是______________.12．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x >时，1)(2-+=x x x f ，那么0x <时，()f x = 。

13. 计算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷++-33233233421428a b b ab a ba a = .(0,0>>b a )14. 设全集{}(,),U x y x y R =∈,集合2(,)12y M x y x ⎧+⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)4N x y y x =≠-, 那么()()U U C M C N =_______________。

15. 对于定义在R 上的函数()x f ，有如下四个命题：① 若()00=f ，则函数()x f 是奇函数；②若()(),44f f ≠-则函数()x f 不是偶函数；③ 若()(),40f f <则函数()x f 是R 上的增函数；④若()(),40f f <则函数()x f 不是R 上的减函数．其中正确的命题有 （写出你认为正确的所有命题的序号）.三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，本大题共6小题，共75分。

16．（12分）设全集R U =，{}2≤≤∈=x a R x A ，{}23,312≥+≤+∈=x x x R x B 且．(1) 若1=a ，求B A ，(∁A U )B ； (2)若A B ⊆，求实数a 的取值范围.17．（12分）已知函数()bx ax x f ++=322是奇函数，且()352=f .(1)求实数b a ,的值；(2)判断函数()x f 在(]1,-∞-上的单调性，并用定义加以证明．18．（12分）定义运算⎩⎨⎧≥<=⊕b a bb a a b a 若函数()xx x f -⊕=22.(1) 求()x f 的解析式；(2)画出()x f 的图像，并指出单调区间、值域以及奇偶性．19.（12分）定义在R 上的函数),(x f y =当0>x 时，1)(>x f ，且对任意的R b a ∈,有)()()(b f a f b a f =+。

（1）求证：1)0(=f ， （2）求证：对任意的R x ∈，恒有0)(>x f ；（3）若1)2()(2>-x x f x f ，求x 的取值范围。

20.（13分）已知214)(2+-+-=a ax x x f ，[]1,0∈x ， （1）求f (x )的最大值g (a )； （2）求g (a )的最小值。

21.（14分）对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。

① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。

已知函数2()g x x =与()21xh x a =⋅-是定义在[0,1]上的函数。

（1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值；（3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()xg h x m -+=()m R ∈解的个数情况。

数学试题参考答案一、选择题（1）B （2）D （3）B （4）C （5）D （6）D （7）B （8）D （9）A （10）D 二、填空题（11）()(]2,33,--∞- （12）1-2++x x (13)32a （14）(){}2,2- （15） ②④三．解答题(16)题：解：(1)若a ＝1，则A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤2，且x ≥23}＝{x |23≤x ≤2}，----2分此时A ∪B ＝{x |1≤x ≤2}∪{x |23≤x ≤2}＝{x |23≤x ≤2}．-------------------4分由∁U A ＝{x |x <1，或x >2}，---------------6分∴(∁U A )∩B ＝{x |x <1，或x >2}∩{x |23≤x ≤2}＝{x |23≤x <1}．--------------8分(2)B ＝{x |x ≤2，且x ≥23}＝{x |23≤x ≤2}，又∵B ⊆A ，∴a ≤23，即实数a 的取值范围是：a ≤23.---------------------12分(17)题：解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴ax 2＋2－3x ＋b ＝－ax 2＋23x ＋b ＝ax 2＋2－3x －b ，因此b ＝－b ，即b ＝0.又f (2)＝53，∴4a ＋26＝53，∴a ＝2；-----------------6分(2)由(1)知f (x )＝2x 2＋23x ＝2x 3＋23x，f (x )在(－∞，－1]上为增函数，证明：设x 1<x 2≤－1，则f (x 1)－f (x 2)＝23(x 1－x 2)(1－1x 1x 2)＝23(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2.∵x 1<x 2≤－1，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>1.∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在(－∞，－1]上为增函数．--------------------12分18题：解： (1)由a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a <b )b (a ≥b )，知y ＝2x ⊕2－x ＝错误!-------5分(2)y ＝f (x )的图像如图：---------------------7分在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，------------9分 值域为(0,1]，为偶函数．-----------------------12分(19)解（1）证明：1)0()0()1()1()0()1()01(=⇒=⇒=+f f f f f f f ----------------3分 （2）证明：设0<x ，则0>-x ，1)()()()0(=-=+-=x f x f x x f f)1,0()(1)(∈-=⇒x f x f 。

故由（1）及已知可得对任意的R x ∈，恒有0)(>x f --7分 （3）解：任取R x x ∈21,且)()()()(,11121221x f x x x f x f x f x x -+-=-< 0)(]1)([)()()(1121112>--=--=x f x x f x f x f x x f 。

即)()(12x f x f > 故 )(x f y =在R 上是增函数。

由03)0()2(1)2()(222>-⇒>-+⇒>-x x f x x x f x x f x f 可得其解集 )3,0(∈x ---------------------------------------------------12分 （20）解：(1)∵f (x )＝－x 2＋ax －a 4＋12＝－(x －a 2)2＋a 24－a 4＋12，对称轴x ＝a2，又∵x ∈[0,1]，………………………………………3分①当a 2≤0，即a ≤0时，f (x )max ＝f (0)＝－a 4＋12；……………………4分②当0<a 2<1，即0<a <2时，f (x )max ＝f (a 2)＝a 24－a 4＋12；……………5分③当a 2≥1，即a ≥2时，f (x )max ＝f (1)＝3a 4－12.…………………………6分∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a 4＋12，a ≤0，a 24－a 4＋12，0<a <2，3a 4－12，a ≥2.…………………………………8分(2)①当a ≤0时，－a 4＋12≥12；……………………………………………9分②当0<a <2时，a 24－a 4＋12＝14(a －12)2＋716≥716；…………………10分③当a ≥2时，3a 4－12≥1. ……………………………………………11分∴g (a )min ＝716.………………………………………………………13分 21解：（1） 当[]0,1x ∈时，总有2g x x 0()=≥，满足①，1分 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，22221212121212g x x x x 2x x x x g x g x +=++≥+=+()()()，满足② 3分（2）若a 1<时，h 0a 10()=-<不满足①，所以不是G 函数；4分 若a 1≥时，h x ()在x 01[,]∈上是增函数，则h x 0≥()，满足①5分 由1212h x x h x h x +≥+()()() ，得1212x x x xa 21a 21a 21+⋅-≥⋅-+⋅-，即12x xa 121211[()()]---≤， 6分因为 12120,0,1x x x x ≥≥+≤所以 1x0211≤-≤ 2x0211≤-≤ 1x 与2x 不同时等于1 11xx021211()()∴≤--<11x x 0121211()()∴<---≤ 11x x 1a 12121()()∴≤--- 7分当12x x 0==时，11x x 1112121min ()()()=--- a 1∴≤，综合上述：a 1{}∈ 8分（3）根据（２）知： a=1，方程为xx42m -=，由x 02110x 1⎧≤-≤⎨≤≤⎩ 得 x 01∈[,] １0分 令x2t 12=∈[,]，则2211m t t t 24=-=--() １2分由图形可知：当m 02∈[,]时，有一解；当m 02∈-∞⋃+∞(,)(,)时，方程无解。