第六章不等式章末测试
不等式
第六章不等式26.不等式的性质及不等式的解法1.(2105·烟台一模)设集合M＝{x|x2－2x－3<0}，N＝{x|log2x<0}，则M∩N等于()A.(－1，0)B.(－1，1)C.(0，1)D.(1，3)2.(2015·北京昌平区期末)已知a>b>0，则下列不等式成立的是()A.a2<b2B.1 a> 1 bC.|a|<|b|D.2a>2b3.(2015·江西师大模拟)若a<0，b<0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为()A.p<qB.p≤qC.p>qD.p≥q4.(2015·山东枣庄一模)关于x的不等式x2－ax＋a>0(a∈R)在R上恒成立的充分不必要条件是()A.a<0或a>4B.0<a<2C.0<a<4D.0<a<85.(2015·威海一模)若a>b，则下列不等式成立的是()A.ln a>ln bB.0.3a>0.3bC.a 12>b12 D.3a>3b6.(2016·青岛质检)已知a∈R，则“a＜1”是“|x－2|＋|x|＞a恒成立”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.(2016·烟台模拟)不等式|x－3|＋|x＋1|＞6的解集为()A.(－∞，－2)B.(4，＋∞)C.(－∞，－2)∪(4，＋∞)D.(－2，4)8.(2015·湖北利川模拟)设p: |2x＋1|>a.q：x－12x－1>0.使得p是q的必要但不充分条件的实数a的取值范围是()A.(－∞，0)B.(－∞，－2]C.[－2，3]D.[3，＋∞)9.(2015·四川模拟)设k∈R，若关于x方程x2－kx＋1＝0的两根分别在区间(0，1)和(1，2)内，则k的取值范围为()A.(－∞，－2)∪(2，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52 C.(1，3)D.(－∞，2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞10.(2016·德州统考)若不等式|2x －8|＋|2x －6|＜a 有解，则实数a 的取值范围为( ) A.(2，＋∞) B.(14，＋∞) C.(1，＋∞)D.(7，＋∞)11.(2015·威海一模)函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A.{x |x >2或x <－2}B.{x |－2<x <2}C.{x |x <0或x >4}D.{x |0<x <4}12.(2016·淄博检测)不等式|2x ＋1|－2|x －1|＞0的解集是( ) A.(－1，1) B.(－1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞D.(1，＋∞)13.(2016·济宁模拟)若关于x 的不等式|2x ＋m |≤1的整数解有且仅有一个值为－3，则整数m 的值为________.14.(2016·胶东示范校检测)若不等式|x ＋2|－|x －1|≥a 3－4a 2－3对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________.15.(2016·枣庄四校一联)若命题“∃x 0∈R ，|x 0－1|－|x 0－5|＜m ”是真命题，则实数m 的取值范围是________.16.(2016·常州质检)不等式|x 2－4|＜x ＋2的解集为________.17.(2015·江西师大模拟)若不等式ax 2－3x ＋5>0的解集为{x |m <x <1}，则实数m ＝________.18.(2016·北京市东城区模拟)若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号).①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b ≥2.27.二元一次不等式(组)与简单的线性规划1.(2016·北京)若x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为()A.0B.3C.4D.52.(2016·山东)若变量x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是()A.4B.9C.10D.123.(2016·浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影.由区域⎩⎨⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A.2 2B.4C.3 2D.64.(2016·全国Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________.5.(2016·全国Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________.6.(2016·江苏)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________.7.(2016·全国Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A ，产品B 的利润之和的最大值为________元.考点1 二元一次不等式(组)表示的平面区域1.(2015·重庆)若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( ) A.－3B.1C.43D.32.(2014·安徽)不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________.考点2 利用线性规划求最值3.(2015·福建)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于()A.－52B.－2C.－32D.24.(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 C.17万元D.18万元5.(2015·四川)设实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≤10，x ＋2y ≤14，x ＋y ≥6，则xy 的最大值为()A.252B.492C.12D.166.(2014·课标全国Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为()A.10B.8C.3D.27.(2014·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为()A.2B.3C.4D.58.(2014·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A.5B.4C. 5D.29.(2014·福建)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎨⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0若圆心C ∈Ω，且圆C与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( ) A.5 B.29 C.37D.49考点3 利用简单的线性规划求参数的值(范围)10.(2015·新课标全国Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________.11.(2015·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝()A.3B.2C.－2D.－312.(2014·安徽)x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( ) A.12或－1B.2或12C.2或1D.2或－113.(2014·北京)若x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为()A.2B.－2C.12D.－1214.(2014·广东)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( ) A.5 B.6 C.7D.815.(2014·课标全国Ⅰ)不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2，p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2，p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1，其中的真命题是( ) A.p 2，p 3 B.p 1，p 2 C.p 1，p 4 D.p 1，p 316.(2014·浙江)当实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________.28.基本不等式1.(2016·上海)设a ＞0，b ＞0，若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧ax ＋y ＝1，x ＋by ＝1无解，则a ＋b 的取值范围是________.2.(2016·江苏)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________.3.(2016·上海)已知a ∈R .函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a .(1)当a ＝5时，解不等式f (x )＞0；(2)若关于x 的方程f (x )－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围； (3)设a ＞0，若对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值和最小值的差不超过1，求a 的取值范围.考点1 利用基本不等式求最值(值域)1.(2015·福建)若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A.2B.3C.4D.52.(2014·重庆)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A.6＋2 3B.7＋2 3C.6＋4 3D.7＋4 33.(2015·山东)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________.4.(2015·重庆)设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________.5.(2014·辽宁)对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c 的最小值为________.6.(2014·江苏)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________.7.(2016·广东茂名模拟)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是( ) A.24 B.8 C.83D.538.(2015·辽宁师大附中模拟)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n 的最小值为( ) A.2B.4C.8D.169.(2015·山东德州模拟)若正数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，则x ＋2yxy 的最小值为________.10.(2015·日照模拟)已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围________. 11.(2015·江苏省盐城模拟)已知x >0，y >0，n >0，nx ＋y ＝1，1x ＋4y 的最小值为16，则n 的值为________. 考点2 不等式中恒成立的问题7.(2015·福建) 已知函数f (x )＝ln x －（x －1）22.(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1；(3)确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0＞1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )＞k (x －1).考点3 基本不等式在实际中的应用8.(2014·福建)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元).9.(2014·浙江)如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，则tan θ的最大值是__________.(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)10.(2014·湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝76 000vv2＋18v＋20l.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时.。
高二上学期数学单元测试(1)不等式(第六章)
高中学生学科素质训练系列试题高二上学期数学单元测试（1）[原人教版] 不等式（第六章）注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟.2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上.考试结束，试题和答题卡一并收回.3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案.第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）. 1．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤ （ ）A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 2．不等式11x -＜的解集是 （ ）A ．（0，2）B ．（-2，2）C ．（1，2）D ．[0,2]3．已知,,x y z R +∈，230x y z -+=，则2()y zx ÷的最小值 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．已知1230a a a >>>，则使得2(1)1i a x -<(1,2,3)i =都成立的x 取值范围是 （ ） A ．（0，11a ） B ．（0，12a ） C ．（0，31a ） D ．（0，32a ）5．如果等比数列{}n a 的首项10a >，公比0q >，前n 项和为n S ，那么44S a 与66S a 的大小为（ ）A ．6446S S a a ≤B ．6446S S a a >C ．6446S S a a <D ．6446S S a a =6． “18a =”是“对任意的正数x ，21a x x+≥”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则 （ ） A ．a <b <c B ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a8．设0,1b a a b >>+=且，则221,,2A B a b C b ==+=的大小顺序为 （ ）A ．ABC >>B ．BC A >>C ．C B A >>D ．C A B >>9．设直角三角形两直角边的长分别为a 和b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则44a b +和44c h +的大小关系是（ ）A ．4444a b c h +>+ B ．4444a b c h +<+C ．4444a b c h +=+D ．不确定的10．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-+∞ ，，B ．(1)(01)-∞- ，，C ．(1)(1)-∞-+∞ ，，D ．(10)(01)- ，，11．如果对x >0，y >0，有21(,)(4)()2f x y x y m x y=++≥恒成立，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．(]4-∞，B ．()8+∞，C ．()0-∞，D ．(]8-∞，12．如果,x y R ∈，且满足关系)1yx +=，那么有（ ）A ．x y <B ．x y >C ． x y =D ．x y ≤第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）. 13．设集合A={x|(x-1)2<3x+7,x ∈R }，则集合A ∩Z 中有_ 个元素. 14．函数2()log (1)f x x =-的定义域为 ．15．关于x 的不等式()001112><++⎪⎭⎫⎝⎛++-a a a x a a x 的解集为 . 16．已知a ∈R ，若关于x 的方程2104x x a a ++-+=有实根，则a 的取值范围是 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分). 17．（12分）已知集合}02|{},,116|{2<--=∈≥+=m x x x B R x x x A（I ）当m=3时，求 A B C U ；（II ）若},41|{<<-=x x B A 求实数m 的值.18．（12分）解关于x 的不等式：()0922>≤-a a a x x .19．（12分）（I ）已知,a b 是正常数，a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，求证222()a b a b xyx y++≥+，并指出等号成立的条件；（II ）利用（I ）的结论求函数29()12f x xx=+-（1(0,)2x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．20．（12分）设不等式2x －1＞m(x 2－1)对满足|m|≤2的一切实数m 的取值都成立，求实数x的取值范围．21．（12分）已知,x y R ∈，且x y ≠，求证：221111x y xy-<-++．22．（14分）对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:1()-污物质量物体质量含污物)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为a (1≤a ≤3).设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是0.81x x ++(1x a >-),用y 质量的水第二次清洗后的清洁度是y ac y a++,其中(0.80.99)c c <<是该物体初次清洗后的清洁度.（I ）分别求出方案甲以及0.95c =时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少; （II ）若采用方案乙,当a 为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.参考答案一、选择题1．B 因为{2101}M =--，，，，{10123}N =-，，，，，所以{}101.M N =- ，， 2．A3．A 4．B5．C ．当01q <≠时，有466411354611(1)(1)(1)(1)S S a q a q a a a q q a q q ---=---255110(1)q q q q q---==<-；当1q =时，有6446460S S a a -=-<．综合以上，应当选C.6．A. 一方面，当18a =时，有12218a x x x x +=+≥=；另一面，对任意正数x ，都有21a x x +≥，只要21a x x +≥=≥，即得1.8a ≥7．C ．因为11e x -<<，所以1ln 0x -<<，即10.a -<< 因为20b a a a -=-<，所以;b a <因为32(1)0a c a a a a -=-=-<，所以.a c < 综合以上，得b <a <c .8．C.9． B ．注意到勾股定理222a b c +=，显然有2222a b c h +<+．平方并注意到面积关系的变形ab ch =，立即，得4444a b c h +<+． 10．D. 由奇函数()f x ，知()()0f x f x x--<等价与2()0f x x<，也即()0.xf x < 当0x >时，有()0(1)f x f <=，因为函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，所以01x <<； 当0x <时，有()0(1)f x f >=，即()(1)f x f -<，()(1)f x f -<因为函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，所以1x -<，且0x <，即10x -<<.综合得10x -<<，或01x <<.11．D ．用２元均值不等式，得218(4)()44822y x x y xyxy++=++≥+=，于是，只能有8≤m ． 12．C ．当x y =时，等式)1yx =显然成立．再取特殊值，可以否定A ，B ，D ． 二、填空题13．6.因为A={x|(x-1)2<3x+7,x ∈R }＝{x| -1<x<6,x ∈R }，所以A∩Z ＝{０,１,２,３,４,５},其中有６个元素 14．[3,)+∞.15．11,a a ⎛⎫+⎪⎝⎭. 原不等式可化为()110x x a a ⎛⎫---< ⎪⎝⎭，10,21a a a >+≥>，则不等式()001112><++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-a a a x a a x 的解集为11,a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.16．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 方程即211[0,]44a a x x -+=--∈,利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行求解)可得实数a 的取值范围为10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.三、解答题17．解：}51|{≤<-=x x A .（I ）当}31|{,3<<-==x x B m 时则 =}31|{≥-≤x x x 或A ∴ =}53|{≤≤x x…………………………………6分（II ）},41|{<<-=x x B A.},42|{804242符合题意此时解得有<<-===-⨯-∴x x B m m …………………………………12分18．解：当()⎩⎨⎧≤--≥⎩⎨⎧≤-≥≥029929222a ax x ax a a x x a x a x 即时，不等式可转化为 a bx a 173+≤≤∴. …………………………………6分 ⎩⎨⎧≥+-<⎩⎨⎧≤-<<02992)(222a ax x ax a x a ax a x a x 即时不等式可化为当. ]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋃-∞<≤≤∴a a a ax a a x 6173,323,(323故不等式的解集为或. …………………………12分 19．解：（I ）应用２元均值不等式，得222222()()a b y x x y a b a b xyxy ++=+++ ……………………………3分22a b ≥++2()a b =+，故222()a b a b xyx y++≥+．当且仅当22y x ab xy=，即a b xy=时上式取等号．…………………………6分（II ）由（I ）22223(23)()252122(12)f x xxx x +=+≥=-+-． …………………10分当且仅当23212xx=-，即15x =时上式取最小值，即min [()]25f x =．……12分20．解：令f(m)＝2x －1－m(x 2－1)＝(1－x 2)m ＋2x －1，可看成是一条直线（由|m|≤2知它实质是一条线段），且使|m|≤2的一切实数都有2x －1＞m(x 2－1)成立． ………5分 所以有(2)0,f(2)0,f ⎧⎨⎩＞－＞ 即 222x 2x 10,2x 2x 30,⎧⎨⎩－－＞＋－＜ ……………………………8分 即x x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩所以213x 217＋＜＜－．………………………………12分21．对不等式左端绝对值里的代数式施行通分技巧，就可以分解、游离出不等式右端的结果．22221111(1)(1)x y x y x y x y +-=-⋅++++222222(1)(1)(1)(1).11x y x y x y x y x y x y x y x y x y +=-⋅+++≤-⋅++⎡⎤<-⋅+⎢⎥++⎣⎦只要证明22111x y xy+≤++就可以了．由对称性，考虑不等式左面的一个局部，显然有212t t +≥，即2112t t ≤+．得证．22．解：（I ）设方案甲与方案乙的用水量分别为x 与z,由题设有0.81x x ++=0.99,解得x=19.由0.95c =得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y 满足方程:七彩教育网 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载 0.950.99,y a y a +=+ …………………………………3分 解得y=4a ,故z=4a +3.即两种方案的用水量分别为19与4a +3.因为当13,4(4)0,a x z a x z ≤≤-=->>时即,故方案乙的用水量较少. …………………………6分 （II ）设初次与第二次清洗的用水量分别为x 与y ，类似（I ）得545(1)c x c -=-，(99100)y a c =-（*）于是 545(1)c x y c -+=-+(99100)a c -1100(1)15(1)a c a c =+----。
最新沪教版(上海)六年级数学第二学期第六章一次方程(组)和一次不等式(组)章节训练试题(含答案解析)
第六章一次方程（组）和一次不等式（组）章节训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、根据等式的性质，下列变形错误的是（ ）．A ．如果x y =，那么55x y +=+B ．如果x y =，那么33x y -=-C ．如果x y =，那么22x y -=+D ．如果x y =，那么1122x y +=+ 2、已知关于x 的方程2mx x +=的解是4x =，则m 的值为（ ）A ．12B ．2C ．32D ．233、两辆汽车从相距84km 的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车的速度快20km /h ，半小时后两车相遇，则甲车速度为（ ）A ．84km /hB ．94km /hC ．74km /hD ．114km /h4、不等式331x +>-的解集为（ ）A ．13x >-B ．13x > C ．1x > D ．43x >- 5、若（m －1）x |m |＝7是关于x 的一元一次方程，则m ＝（ ）A ．1B ．－1C ．±1D ．06、若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则下列式子不一定成立的是（ ）A ．a ﹣c ＞b ﹣dB ．cd b a > C ．ac ＞bc D ．ac ＞bd7、《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x 两，燕每只y 两，则可列出方程组为（ ）A ．561656x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩B ．561645x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩C ．651665x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩D ．651654x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩8、不等式﹣2x +4<0的解集是（ ）A ．x >12B ．x >﹣2C ．x <2D ．x >2 9、方程145-=x x 的解为（ ） A ．4x = B ．1x = C ．1x =- D ．4x =-10、《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x 钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ）A ．3487x x -+=B ．3487x x +-=C ．4387x x -+=D ．4387x x +-= 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、[]x 表示不超过数x 的最大整数，当 5.2x =时，[]x 表示的整数为______；若[][][][]23410010100x x x x x +++++=，则x =______．2、3x 与2y 的差是非正数，用不等式表示为_________．3、若5x =是关于x 的方程234x a +=的解，则a ＝___．4、若2m -的相反数是5，则3m 的值是_________．5、若()2120m n +++=，则关于x 的方程23x m x n --=的解为x =______． 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、解方程组346323x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 2、解方程组：27329x y x y +=⎧⎨+=⎩． 3、为响应国家节能减排政策，某班开展了节电竞赛活动．通过随手关灯、提高夏季空调温度、及时关闭电源等行为小明和小玲两位同学半年共节电55度．据统计，节约1度电相当于减排0.997千克“二氧化碳”，在节电55度产生的减排量中，若小明减排量的2倍比小玲多19.94千克．设小明半年节电x 度．请回答下面的问题：（1）用含x 的代数式表示小玲半年节电量为 度，用含x 的代数式表示这半年小明节电产生的减排量为 千克，用含x 的代数式表示这半年小玲节电产生的减排量为 千克．（2）请列方程求出小明半年节电的度数．4、甲和乙在长400米的环形跑道上散步，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒．（1）两人同时同地同向走，几秒钟第一次相遇？（2）两人同时同地反向走，几秒后两人第二次相距10米？5、列方程解应用题迎接2022年北京冬奥会，响应“三亿人上冰雪”的号召，全民参与冰雪运动的积极性不断提升．我国2019年总滑雪人次比2016年总滑雪人次多了约680.5万，2019年旱雪人次约占本年总滑雪人次的1.5%，比2016年总滑雪人次的2%多2.6万．2019年总滑雪人次是多少万？-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据等式的性质1等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立，和根据等式的性质2等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，对各选项进行一一分析即可．【详解】=，根据等式性质1，两边都加5，等式成立，选项A正确，不合题意；解：x yx y=，根据等式性质2，两边都乘以-3，等式成立，选项B正确，不合题意；=，根据等式性质1，两边都加同一个数，等式成立，但两边加的数不同，等式不成立，故选项C x y不正确，符合题意；=，根据等式性质2，两边都除以2，等式成立，两边再同加1，等式成立，故选项D正确，不合x y题意．故选择C．【点睛】本题考查等式的性质，掌握等式性质是解题关键．2、A【分析】把4x =代入原方程，再解方程即可求解．【详解】解：把4x =代入2mx x +=得，424m +=， 解得，12m =， 故选：A ．【点睛】本题考查了方程的解和解一元一次方程，解题关键是明确方程解的含义，代入后正确地解方程．3、B【分析】设乙车的速度为x km/h ，则甲车的速度为（x ＋20）km/h ，根据题意列出方程，求出方程的解即可求解．【详解】解：（1）设乙车的速度是每小时x 千米，则甲车的速度为（x ＋20）km/h ，根据题意得12（x ＋20）＋12x ＝84， 解得 x ＝74．故乙车的速度是每小时74千米；x ＋20＝74＋20＝94．故甲车的速度是94km/h ，故选：B ．本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．4、D【分析】首先根据一元一次不等式的一般步骤，对其移项，合并同类项，将系数化为1即可得出答案．【详解】331x+>-移项得：313x>--，合并同类项得：34x>-，将系数化为1得：43 x>-．故选：D．【点睛】本题考查了解一元一次不等式的知识，熟练掌握解不等式的一般步骤是解题的关键．5、B【分析】根据一元一次方程的定义得出m-1≠0且|m|=1，再求出答案即可．【详解】解：∵方程（m-1）x|m|=7是关于x的一元一次方程，∴m-1≠0且|m|=1，解得：m=-1，故选：B．本题考查了绝对值和一元一次方程的定义，能根据题意得出m -1≠0和|m |=1是解此题的关键．6、A【分析】根据不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可．【详解】解：A ．当2a =，1b =，4c =，3d =时，a c b d -=-，故本选项符合题意；B ．若0a b >>，0c d >>，则c d b a>，故本选项不合题意； C ．若0a b >>，0c d >>，则ac bc >，故本选项不合题意；D ．若0a b >>，0c d >>，则ac bd >，故本选项不合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是注意不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．7、B【分析】根据题意列二元一次方程组即可．【详解】解：设雀每只x 两，燕每只y 两则五只雀为5x ，六只燕为6y共重16两，则有5616x y +=互换其中一只则五只雀变为四只雀一只燕，即4x +y六只燕变为五只燕一只雀，即5y +x且一样重即45x y y x +=+由此可得方程组561645x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩． 故选：B ．【点睛】列二元一次方程组解应用题的一般步骤审：审题，明确各数量之间的关系；设：设未知数（一般求什么，就设什么）；找：找出应用题中的相等关系；列：根据相等关系列出两个方程，组成方程组；解：解方程组，求出未知数的值；答：检验方程组的解是否符合题意，写出答案．8、D【分析】首先通过移项得到-2-4x <，然后利用不等式性质进一步化简即可得出答案.【详解】解：移项可得：24x -<-，两边同时除以-2可得：＞2x ，∴原不等式的解集为：＞2x ，故选：D.【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握相关方法是解题关键.9、D【分析】先去分母，然后去括号，再移项合并，即可得到答案．【详解】 解：145-=x x ， ∴54(1)x x =-，∴544x x =-，∴4x =-；故选：D ．【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解方程的方法进行解题．10、B【分析】设物价是x 钱，根据人数不变即可列出一元一次方程；由此即可确定正确答案．【详解】解：设物价是x 钱，则根据可得：3487x x +-= 故选B ．【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，正确审题、发现隐藏的等量关系成为解答本题的关键．二、填空题1、5 2【分析】根据题意直接可确定[]x 的值，由[]x 表示整数结合[][][][]23410010100x x x x x +++++=可知，x 必是整数，然后去掉[],最后求出x 即可．【详解】解：由题意可知：当 5.2x =时，[]x 表示的整数为5； ∵[]x 表示整数，[][][][]23410010100x x x x x +++++= ∴x 必是整数∴[][][][]23410010100x x x x x +++++=x +2x +3x +4x +…+100x =10100100100101002x x +⨯= 解得x =2．故答案是5，2．【点睛】本题主要考试了整数以及一元一次方程的应用，根据题意确定x 为整数、进而化简[][][][]23410010100x x x x x +++++=成为解答本题的关键．2、3x -2y ≤0【分析】根据题意直接利用非正数的定义进而分析即可得出不等式．【详解】解：3x 与2y 的差是非正数，用不等式表示为3x -2y ≤0.故答案为：3x -2y ≤0.【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解相关定义是解题的关键．3、-2【分析】把5x =代入234x a +=即可求出a 的值．【详解】解：把5x =代入234x a +=，得1034a +=，∴36=-a ，∴a =-2．故答案为：-2．【点睛】本题考查了一元一次方程解得定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1．4、27-【详解】解：因为2m -的相反数是5，所以25,m所以3,m =-所以33327.m故答案为：27-【点睛】本题考查的是相反数的定义，有理数的乘方的运算，简单的一元一次方程的应用，利用相反数的含义列方程是解本题的关键.5、1【分析】根据非负数的性质求出m 、n 的值，代入后解方程即可．【详解】 解：∵()2120m n +++=，∴1020m n +=+=，解得，12m n =-=-，， 代入23x m x n --=得，1223x x ++=， 解方程得，1x =故答案为：1．【点睛】本题考查了非负数的性质和解方程，解题关键是熟练运用非负数的性质求出m 、n 的值，代入后准确地解方程．三、解答题1、1432x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 【分析】把方程组整理后，利用加减消元法求解即可．【详解】解：原方程组可化为3463218x y x y -=⎧⎨+=⎩①②，②-①得：6y =12，解得：y =2，代入①中，解得：x =143， ∴方程组的解为1432x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．2、13x y =⎧⎨=⎩【分析】由①-②先消去,y 求解1,x = 再把1x =代入①求解,y 从而可得答案.【详解】解：27329x y x y ①②，①﹣②得：﹣2x ＝﹣2，解得：x ＝1，把x ＝1代入①得：1+2y ＝7，解得：y ＝3，所以原方程组的解为13x y ．【点睛】本题考查的是利用加减消元法解二元一次方程组，掌握“加减消元法”是解本题的关键.（1）（55－x ），0.997x ，0.997（55－x ）（2）25度【分析】（1）根据题意列出相关的代数式即可；（2）根据题意列出方程求解即可．（1）解：用含x 的代数式表示小玲半年节电量为（55－x ）度，用含x 的代数式表示这半年小明节电产生的减排量为0.997x 千克，用含x 的代数式表示这半年小玲节电产生的减排量为0.997（55－x ）千克．故答案为：（55－x ），0.997x ，0.997（55－x ）（2）列方程为：20.9970.997(55)19.94x x ⨯=-+解得：25x =答：小明半年节电25度．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，列代数式，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系． 4、（1）200（2）39【分析】（1）设两人同时同地同向走，x 秒钟第一次相遇，根据题意列出方程求解即可；（2）设两人同时同地反向走，y 秒钟后两人第二次相距10米，根据题意列出方程求解即可．解：（1）设两人同时同地同向走，x秒钟第一次相遇，根据题意列方程得，（6-4）x=400，解得，x=200；答：两人同时同地同向走，200秒钟第一次相遇；（2）解：设两人同时同地反向走，y秒钟后两人第二次相距10米，根据题意列方程得，（6+4）y=400-10，解得，y=39；答：两人同时同地反向走，39秒钟后两人第二次相距10米．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是熟练把握题目中的数量关系，找出等量关系列方程．5、2202万【分析】x万，再用两种方法表示2019年旱设2016年总滑雪人次为x万，则2019年总滑雪人次为：680.5雪人次，从而建立方程，再解方程即可.【详解】x万，解：设2016年总滑雪人次为x万，则2019年总滑雪人次为：680.5x万，则2019年旱雪人次为：680.5 1.5%x x，680.5 1.5%=2% 2.6整理得：1.5680.5 1.52260x x解得：1521.5,x所以2019年总滑雪人次为：1521.5680.52202万，答2019年总滑雪人次为：2202万.【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，确定“2019年旱雪人次为：680.5 1.5%x 万或2% 2.6x 万”是解本题的关键.。
七年级数学下册 第6章 不等式(组)全国各地中考(100套真题+100套模拟合集)(含答案)
全国各地中考数学100套真题分类汇编一、选择题1. （湖南永州，15，3分）某市打市电话的收费标准是：每次3分钟以内（含3分钟）收费2.0元，以后每分钟收费1.0元（不足1分钟按1分钟计）．某天小芳给同学打了一个6分钟的市话，所用电话费为5.0元；小刚现准备给同学打市电话6分钟，他经过思考以后，决定先打3分钟，挂断后再打3分钟，这样只需电话费4.0元．如果你想给某同学打市话，准备通话10分钟，则你所需要的电话费至少为（ ） A ．6.0元 B ．7.0元 C ．8.0元 D ．9.0元 【答案】B ． 二、填空题1. （山东临沂，17，3分）有3人携带会议材料乘坐电梯，这3人的体重共210kg ，每捆材料中20kg ，电梯最大负荷为1050kg ，则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载 捆材料． 【答案】422. （湖北襄阳，15，3分）我国从年5月1日起在公众场所实行“禁烟”，为配合“禁烟”行动，某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共有20道题.答对一题记10分，答错（或不答）一题记5 分.小明参加本次竞赛得分要超过100分，他至少要答对 道题. 【答案】143.三、解答题1. （广东广州市，21，12分）某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员．（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？ （2）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算？ 【答案】（1）120×0.95=114（元） 所以实际应支付114元．（2）设购买商品的价格为x 元，由题意得：0.8x +168＜0.95x 解得x>1120所以当购买商品的价格超过1120元时，采用方案一更合算．2. （湖北鄂州，20，8分）今年我省干旱灾情严重，甲地急需要抗旱用水15万吨，乙地13万吨．现有A 、B 两水库各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱．从A 地到甲地50千米，到乙地30千米；从B 地到甲地60千米，到乙地45千米．⑴设从A 水库调往甲地的水量为x 万吨，完成下表甲 乙 总计 A x 14B 14 总计 15 13 28⑵请设计一个调运方案，使水的调运量尽可能小．（调运量=调运水的重量×调运的距离，单位：万吨•千米）【答案】⑴（从左至右，从上至下）14－x 15－x x －1 ⑵y=50x+（14－x ）30+60（15－x ）+（x －1）45=5x+1275 解不等式1≤x ≤14调入地 水量/万吨调出地所以x=1时y 取得最小值y min =12803. ( 浙江湖州，23，10)我市水产养殖专业户王大爷承包了30亩水塘，分别养殖甲鱼和桂鱼．有关成本、销售额见下表：(1) 年，王大爷养殖甲鱼20亩，桂鱼10亩．求王大爷这一年共收益多少万元？ （收益＝销售额－成本） (2) 年，王大爷继续用这30亩水塘全部养殖甲鱼和桂鱼，计划投入成本不超过70万元．若每亩养殖的成本、销售额与年相同，要获得最大收益，他应养殖甲鱼和桂鱼各多少亩？(3) 已知甲鱼每亩需要饲料500kg ，桂鱼每亩需要饲料700kg ．根据(2)中的养殖亩数，为了节约运输成本，实际使用的运输车辆每载装载饲料的总量是原计划每次装载总量的2倍，结果运输养殖所需全部饲料比原计划减少了2次．求王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料多少kg? 【答案】解：（1）年王大爷的收益为：20.+.⨯⨯（3－24）10（25－2）＝17（万元） （2）设养殖甲鱼x 亩，则养殖桂鱼（30－x ）亩． 由题意得2.42(30)70,x x +-≤解得25x ≤，又设王大爷可获得收益为y 万元，则0.60.5(30)y x x =+-，即11510y x =+. ∵函数值y 随x 的增大而增大，∴当x ＝25，可获得最大收益. 答：要获得最大收益，应养殖甲鱼25亩，养殖桂鱼5亩. （3）设王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料a kg ，由（2）得，共需饲料为50025+700516000⨯⨯＝（kg ），根据题意，得160001600022a a-=，解得4000()a kg =. 答：王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料4000kg.4. (浙江绍兴，22，12分)筹建中的城南中学需720套担任课桌椅（如图），光明厂承担了这项生产任务，该厂生产桌子的必须5人一组，每组每天可生产12张；生产椅子的必须4人一组，每组每天可生产24把.已知学校筹建组要求光明厂6天完成这项生产任务.（1）问光明厂平均每天要生产多少套单人课桌椅？（2）先学校筹建组组要求至少提前1天完成这项生产任务，光明厂生产课桌椅的员工增加到84名，试给出一种分配生产桌子、椅子的员工数的方案.【答案】7206=120÷，∴光明厂平均每天要生产120套单人课桌椅.（2）设x 人生产桌子，则(84)x -人生产椅子，则125720,584245720,4xx⨯⨯≥-⨯⨯≥⎧⎨⎩解得6060,60,8424x x x ≤≤∴=-=，∴生产桌子60人，生产椅子24人。
不等式章末测试
不等式章末测试1．不等式(x ＋3)2＜1的解集是( ) A ．{x |x ＞－2} B ．{x |x ＜－4} C ．{x |－4＜x ＜－2}D ．{x |－4≤x ≤－2}解析： 原不等式可化为x 2＋6x ＋8＜0， 解得－4＜x ＜－2. 答案： C2．已知t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则t 和s 的大小关系正确的是( )A ．t ＞sB ．t ≥sC ．t ＜sD ．t ≤s解析： ∵t －s ＝a ＋2b －a －b 2－1 ＝－(b －1)2≤0， ∴t ≤s . 答案： D3．当x ∈R 时，不等式kx 2－kx ＋1＞0恒成立，则k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．[0,4)D ．(0,4)解析： (1)当k ＝0时，不等式变为1＞0成立； (2)当k ≠0时，不等式kx 2－kx ＋1＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，Δ＝(－k )2－4k ＜0，即0＜k＜4，所以0≤k＜4.答案： C4．设A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若A∪B＝R，A∩B＝(3,4]，则a＋b等于()A．7 B．－1C．1 D．－7解析：A＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，∵A∪B＝R，A∩B＝(3,4]，则B＝[－1,4]，∴a＝－(－1＋4)＝－3，b＝－1×4＝－4，∴a＋b＝－7.答案： D5．已知a，b，c满足a＋b＞0，ab＞0，且ac＜0，则下列选项中一定成立的是()A．ab＞ac B．c(b－a)＜0C．cb2＞ab2D．c(b－a)＞0解析：∵a＋b＞0，ab＞0.∴a＞0，b＞0，又∵ac＜0，∴c＜0.∴b＞c，又∵a＞0，∴ab＞ac.答案： A6．满足不等式y2－x2≥0的点(x，y)的集合(用阴影表示)是()解析：取测试点(0,1)可知C，D错；再取测试点(0，－1)可知A 错，故选B.答案： B7．已知x ，y 为正实数，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为( ) A.14 B.18 C.116D.132解析： ∵x ，y 为正实数， ∴x ·y ＝14x ·4y ≤14⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4y 22＝116， 当且仅当x ＝4y 即x ＝12，y ＝18时取等号． 答案： C8．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,3解析： 作出可行域如图所示．目标函数y ＝34x －14z则过B 、A 点时分别取到最大值与最小值． 易求B (5,3)，A (3,5) ∴z max ＝3×5－4×3＝3. ∴z min ＝3×3－4×5＝－11. 答案： A9．若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( )A ．0B ．2 C.2a a －1D ．3解析： a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1∵a ＞1，∴a －1＞0 ∴a －1＋1a －1＋1≥2＋1＝3.当且仅当a －1＝1a －1即a ＝2时取等号．答案： D10．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3，＋∞)解析： 区域D 如图中阴影部分先画出l当y ＝a x 过A 点时a ＝3，当y ＝a x 过B 点时a ＝2， 由图知1＜a ＜3.故选A. 答案： A11．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)解析： 设2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y ) 即2x －3y ＝(m ＋n )x ＋(m －n )y由－1＜x ＋y ＜4 知－2＜－12(x ＋y )＜12①由2＜x －y ＜3知5＜52(x －y )＜152② ①＋②得3＜－12(x ＋y )＋52(x －y )＜8 即3＜z ＜8 答案： (3,8)12．已知点P (x ，y )满足条件⎩⎨⎧ x ≥y ≤xx ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若x ＋3y 的最大值为8，则k ＝________.解析： 作出可行域如图所示，作直线l 0：x ＋3y ＝0，平移l 0知当l 0过点A 时，x ＋3y 最大，由于A点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3，－k 3. ∴－k3－k ＝8，从而k ＝－6. 答案： －613．已知不等式ax x －1<1的解集为{x |x <1或x >2}，则a ＝______.解析： 原不等式化为(a －1)x ＋1x －1<0⇒(x －1)[(a －1)x ＋1]<0.因为此不等式的解集为{x |x <1或x >2}，所以a －1<0且－1a －1＝2，所以a ＝12.答案： 1214．若1a ＜1b ＜0，已知下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④b a ＋ab ＞2； ⑤a 2＞b 2；⑥2a ＞2b .其中正确的不等式的序号为________． 解析： ∵1a ＜1b ＜0， ∴b ＜a ＜0，故③错，又b ＜a ＜0，可得|a |＜|b |，a 2＜b 2，故②⑤错． 答案： ①④⑥15．不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1＜0对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．（重点看看）解析： 若m 2－2m －3＝0，则m ＝－1或m ＝3. 当m ＝－1时，不合题意； 当m ＝3时，符合题意．若m 2－2m －3≠0，设f (x )＝(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3＜0，Δ＝[－(m －3)]2＋4(m 2－2m －3)＜0，解得：－15＜m ＜3.综合以上讨论，得－15＜m ≤3. 16．一批救灾物资随26辆汽车从某市以x km/h 的速度匀速开往400 km 处的灾区．为安全起见，每两辆汽车的前后间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 202km ，问这批物资全部到达灾区，最少要多少小时？解析： 设全部物资到达灾区所需时间为t 小时，由题意可知，t 相当于：最后一辆车行驶了25个⎝ ⎛⎭⎪⎫x 202km ＋400 km 所用的时间，因此，t ＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫x 202x＋400x ≥225x 400×400x ＝10.当且仅当25x 400＝400x ，即x ＝80时取“＝”．故这些汽车以80 km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少要10小时．17．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，则投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？（这种题也要会做）解析： 设投资人分别用x ，y 万元投资甲、乙两个项目，目标函数为z ＝x ＋0.5y .上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．作直线l0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于直线l 0的一组直线x ＋0.5y ＝z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M ，此时z 最大，这里点M 是直线x ＋y ＝10与直线0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点．此时，z ＝4＋0.5×6＝7(万元)． ∴当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值．答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能使可能的盈利最大．18．解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0.(重点看看)解析： 因为ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0⇔(ax －1)(x －1)＜0 (1)当a ＝0时，(ax －1)(x －1)＜0⇔－x ＋1＜0⇔x ＞1；(2)当a ＜0时，(ax －1)(x －1)＜0⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＞0 ⇔x ＜1a 或x ＞1；(3)当a ＞0时，(ax －1)(x －1)＜0⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0 因为1a －1＝1－a a ＝－a －1a ①当－a －1a ＜0即a ＞1时， 1a ＜1，(ax －1)(x －1)＜0⇔1a ＜x ＜1.②当－a －1a ＝0，即当a ＝1时，不等式的解集为∅. ③当－a －1a ＞0，即0＜a ＜1时，1＜1a ，(ax －1)(x －1)＜0⇔1＜x ＜1a ； 综上所述：原不等式的解集为： 当a ＜0时为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞1；当a ＝0时为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜1a ；当a ＝1时为∅；当a ＞1时为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜1.。
第六章 不等式、推理与证明 阶段质量检测
第六章 不等式、推理与证明(自我评估、考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)1．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪xx －1<0，B ＝{}x |0<x <3，则A ∩B ＝ ( ) A.{}x |1<x <3 B.{}x |0<x <3 C.{}x |0<x <1 D ．∅ 解析：由xx －1<0⇒x (x －1)<0⇒0<x <1，∵B ＝{}x |0<x <3，∴A ∩B ＝{}x |0<x <1. 答案：C2．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋a b >2中正确的是 ( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 解析：由1a <1b <0可知b <a <0，所以ab >0，显然有a ＋b <ab ，|b |>|a |，且由均值不等式有 b a ＋a b >2 b a ·a b ＝2.答案：C3．已知a 1＝1，a n ＋1>a n ，且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0，计算a 2，a 3猜想a n 等于 ( ) A ．n B ．n 2 C ．n 3 D.n ＋3－n 解析：a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，猜想a n ＝n 2. 答案：B4．在下列函数中，最小值是2的是 ( ) A ．y ＝x 2＋2xB ．y ＝x ＋2x ＋1(x >0) C ．y ＝sin x ＋1sin x ，x ∈(0，π2)D ．y ＝7x ＋7－x解析：7x ＋7－x ＝7x ＋17x ≥27x ·17x ＝2. 当且仅当7x ＝17x ，即x ＝0时，“＝”成立．答案：D5．设a ，b ∈R ，则“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：若“a ＋b ＝1”，则4ab ＝4a (1－a )＝－4(a －12)2＋1≤1；若“4ab ≤1”，取a＝－4，b ＝1，a ＋b ＝－3，即“a ＋b ＝1”不成立；则“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的充分不必要条件． 答案：A6．已知不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．－4≤a ≤4 B ．－4<a <4 C ．a ≥4或a ≤－4 D ．a <－4或a >4解析：不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，意味着方程x 2＋ax ＋4＝0的根的判别式大于零，解不等式Δ＝a 2－4×4>0，a <－4或a >4. 答案：D7．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{}x |2<x <4，则不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <14 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 14<x <12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12或x <14 解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧ a <0－b a＝6c a ＝8⇒⎩⎪⎨⎪⎧c <0－b c ＝34，a c ＝18∴cx 2＋bx ＋a <0可化为x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－34x ＋18>0，解得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12或x <14.答案：D8．若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤2|y |≤2y ≤kx －2是一个三角形，则k 的取值范围是 ( )A ．(0,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．[－2,2]解析： 如图，只有直线y ＝kx －2与线段AB 相交 (不包括点A )或与线段CD 相交(不包括点D )，可行 域才能构成三角形，故k ∈[－2,0)∪(0,2]． 答案：C9．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小为 ( ) A ．p ≥q B ．p ≤q C ．p ＞q D ．不确定 解析：q ＝ab ＋mad n ＋nbcm＋cd ≥ ab ＋2abcd ＋cd＝ab ＋cd ＝p . 答案：B10．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m 、n 均为正数，则1m ＋2n 的最小值为 ( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8解析：函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过定点A (－2，－1)，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，令u ＝1m ＋2n ＝(1m ＋2n )·(2m ＋n )＝4＋n m ＋4m n ≥8.答案：D11．已知O 为直角坐标系原点，P 、Q 两点的坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －25≤0，x －2y ＋2≤0，x －1≥0，则tan ∠POQ 的最大值等于 ( ) A.12 B ．1 C.32D ．0 解析：作出可行域，则P 、Q 在图中所示的位置时，∠POQ 最大，即tan ∠POQ 最大，∠POQ ＝∠POM －∠QOM ， tan ∠POQ ＝tan(∠POM －∠QOM ) ＝tan ∠POM －tan ∠QOM 1＋tan ∠POM tan ∠QOM ＝7－341＋7×34＝1，所以最大值为1.答案：B12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0－1，x <0，则不等式x ＋(x ＋2)f (x ＋2)≤4的解集是 ( )A.{}x |－2≤x <1B.{}x |x ≤1C.{}x |x <1D.{}x |x <－2解析：当x ＋2≥0即x ≥－2时，不等式x ＋(x ＋2)f (x ＋2)≤4化为：x ＋(x ＋2)×1≤4，即x ≤1，故－2≤x ≤1；当x ＋2<0即x <－2时，不等式x ＋(x ＋2)f (x ＋2)≤4化为：x ＋(x ＋2)×(－1)≤4，即－2≤4，这显然成立．综上可知，原不等式的解集为{}x |x ≤1. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．观察下列不等式：1＞12，1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2,1＋12＋13＋…＋131＞52，…，由此猜测第n 个不等式为________(n ∈N ＋)． 解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2(n ∈N ＋)．答案：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 214．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线这间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“________________”，这个类比命题的真假性是______．解析：由类比推理可知．答案：夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题 15．设x >0，则y ＝3－2x －1x 的最大值等于________．解析：∵x >0，则2x ＋1x ≥22，所以－(2x ＋1x )≤－22，2x ＝1x 时，x ＝22时等号成立，则y ＝3－2x －1x ≤3－22，即y max ＝3－2 2.答案：3－2 216．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b且z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b 的值为________．解析：由约束条件作出可行域(如图)，当平行直线系y ＝－2x ＋z 经过可行域内的点A (b 3，2b 3)时，z 取得最小值，即2×b 3＋2b3＝3，解之得b ＝94.答案：94三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)设x ＜y ＜0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)·(x ＋y )的大小．解：(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2] ＝－2xy (x －y )，∵x ＜y ＜0，∴xy ＞0，x －y ＜0，∴－2xy (x －y )＞0， ∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )． 18．(本小题满分12分)解下列问题：(1)已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值； (2)已知x ＞2，求x ＋4x －2的最小值； (3)已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，求4x ＋9y 的最小值． 解：(1)法一：∵a ＞0，b ＞0,4a ＋b ＝1， ∴1＝4a ＋b ≥24ab ＝4ab ，当且仅当4a ＝b ＝12，即a ＝18，b ＝12时，等号成立．∴ab ≤14，∴ab ≤116.所以ab 的最大值为116.法二：∵a ＞0，b ＞0,4a ＋b ＝1， ∴ab ＝144a ·b ≤14(4a ＋b 2)2＝116，当且仅当4a ＝b ＝12，即a ＝18，b ＝12时，等号成立．所以ab 的最大值为116.(2)∵x ＞2，∴x －2＞0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立． 所以x ＋4x －2的最小值为6. (3)∵x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1， ∴4x ＋9y ＝(x ＋y )(4x ＋9y )＝13＋4y x ＋9x y ≥13＋24y x ·9xy＝25， 当且仅当4y x ＝9xy 时等号成立，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4y x ＝9x y ，得⎩⎨⎧x ＝25，y ＝35，∴当x ＝25，y ＝35时取等号．所以4x ＋9y 的最小值为25.19．(本小题满分12分)已知两个非零向量为b ＝(a －1，1x －2)，c ＝(x x －2，2－a )．解关于x 的不等式b ·c >1(其中a >0)． 解：b ·c ＝(a －1)x x －2＋2－ax －2， 由b ·c >1得(a －1)x ＋2－a x －2>1⇔(a －2)x －(a －4)x －2>0.(1)当a ＝2时，原不等式⇔2x －2>0，∴x >2. (2)当a ≠2时，x 1＝a －4a －2，x 2＝2.由于a －4a －2－2＝－a a －2，而a >0，于是有：①当－a a －2>0，即0<a <2时，a －2<0，a －4a －2>2.原不等式⇔x －a －4a －2x －2<0，∴2<x <a －4a －2.②当－a a －2<0，即a >2时，a －2>0，a －4a －2<2. 原不等式⇔x －a －4a －2x －2>0，∴x <a －4a －2或x >2综上可得：0<a <2时，原不等式解集为(2，a －4a －2)；a ＝2时，原不等式解集为(2，＋∞)； a >2时，原不等式解集为(－∞，a －4a －2)∪(2，＋∞)． 20．(本小题满分12分)某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个．问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？ 解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，利润总额为z 万元，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤300，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥15，y ≥15.目标函数为z ＝7x ＋12y ， 作出可行域如图，作出一组平行直线7x ＋12y ＝t ，当直线经过直线4x ＋5y ＝200和直线3x ＋10y ＝300 的交点A (20,24)时，利润最大．即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，z max ＝7×20＋12×24＝428(万元).21．(本小题满分12分)设计一幅宣传画，要求画面面积4840 cm 2，画面的宽和高的比为λ(λ<1)，画面的上、下各留8 cm 的空白，左、右各留5 cm 的空白．怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张最小？如果要使λ∈[23，34]，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张最小？ 解：设高为x cm ，则宽为λx cm ， 依题意有λx 2＝4 840 cm 2，则λx ＝4 840x ，宣传画所用纸张的总面积为y ＝(x ＋16)·(λx ＋10)＝λx 2＋(16λ＋10)x ＋160＝5 000＋4 840×16x＋10x ≥5 000＋2 4 840×16x·10x ＝6 760， 当且仅当4 840×16x ＝10x ，即x ＝88 cm 时等号成立，此时λ＝4 840882＝58，所以宽为55 cm.当λ∈[23，34]时，λx 2＝4 840 cm 2，则x ∈[44330， 2215]，显然2215<88，即上面解题过程中等号不可能成立，利用函数的单调性，设f (x )＝4 840×16x＋10x ，则f (x )在区间(0,88]上单调递减，在区间[88，＋∞)上单调递增，故当x ∈[44330，2215]时单调递减，即取x ＝2215时f (x )有最小值，此时λ＝23.22．(文)(本小题满分14分)已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数． (1)证明：对任意实数λ，数列{a n }不是等比数列； (2)证明：当λ≠－18时，数列{b n }是等比数列；(3)设S n 为数列{b n }的前n 项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都是 S n >－12？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)证明：假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即(23λ－3)2＝λ(49λ－4)⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾，∴{a n }不是等比数列．(2)证明：∵b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1(23a n －2n ＋14)＝－23(－1)n ·(a n－3n ＋21)＝－23b n .又λ≠－18∴b 1＝－(λ＋18)≠0.由上式知b n ≠0，∴b n ＋1b n ＝－23(n ∈N ＋)．故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．(3)当λ≠－18时，由(2)得b n ＝－(λ＋18)·(－23)n －1，于是S n ＝－35(λ＋18)·[1－(－23)n ]．当λ＝－18时，b n ＝0，从而S n ＝0，S n >－12恒成立．当λ≠－18时，要使对任意正整数n ，都有S n >－12， 即－35(λ＋18)·[1－(－23)n ]>－12⇔λ<201－(－23)n－18.令f (n )＝1－(－23)n ，则当n 为正奇数时，1<f (n )≤53；当n 为正偶数时，59≤f (n )<1.∴f (n )的最大值为f (1)＝53.于是可得λ<20×35－18＝－6.综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有S n >－12，λ的取值范围为 (－∞，－6)．22．(理)(本小题满分14分)(2009·安徽高考)首项为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝14(a 2n＋3)，n ∈N ＋.(1)证明：若a 1为奇数，则对一切n ≥2，a n 都是奇数； (2)若对一切n ∈N ＋都有a n ＋1>a n ，求a 1的取值范围．解：(1)证明：已知a 1是奇数，假设a k ＝2m －1是奇数，其中m 为正整数，则由递推关系得a k ＋1＝a 2k ＋34＝m (m －1)＋1是奇数．根据数学归纳法，对任何n ≥2，a n 都是奇数．(2)法一：由a n ＋1－a n ＝14(a n －1)(a n －3)知，a n ＋1>a n 当且仅当a n <1或a n >3.另一方面，若0<a k <1，则0<a k ＋1<1＋34＝1；若a k >3，则a k ＋1>32＋34＝3.根据数学归纳法得，0<a 1<1⇔0<a n <1，∀n ∈N ＋； a 1>3⇔a n >3，∀n ∈N ＋.综上所述，对一切n ∈N ＋都有a n ＋1>a n 的充要条件是0<a 1<1或a 1>3. 法二：由a 2＝a 21＋34>a 1，得a 21－4a 1＋3>0， 于是0<a 1<1或a 1>3.a n ＋1－a n ＝a 2n ＋34－a 2n －1＋34＝(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)4，因为a 1>0，a n ＋1＝a 2n ＋34，所以所有的a n 均大于0， 因此a n ＋1－a n 与a n －a n －1同号．根据数学归纳法，∀n∈N＋，a n＋1－a n与a2－a1同号．因此，对一切n∈N＋都有a n＋1>a n的充要条件是0<a1<1或a1>3.。
测评答案-第六单元-不等式、推理与证明
全品高考复习方案 数学(理科) BS小题自测卷(七)1．A [解析] 当x <1时，原不等式化为(1－x )－(5－x )<2，即－4<2，∴当x <1时原不等式恒成立；当1≤x ≤5时，原不等式化为(x －1)－(5－x )<2，即x <4，∴不等式的解集为[1，4)；当x >5时，原不等式化为(x －1)－(x －5)<2，即4<2，此时不等式不成立．故原不等式的解集为(－∞，4)．2．B [解析] [t ]＝1，则1≤t <2，①[t 2]＝2，则2≤t 2<3，②显然存在t ∈[2，3)使得[t ]＝1与[t 2]＝2同时成立．[t 3]＝3，则3≤t 3<4，即313≤t <413，③ 因为212<313<413<312，所以存在313≤t <413使得①②③同时成立． [t 4]＝4，则4≤t 4<5，则414≤t <514，④ 同理，可以求得313≤t <514使得①②③④同时成立． [t 5]＝5，则5≤t 5<6，即 515≤t <615，⑤ 因为615<313，所以515≤t <615与313≤t <514的交集为空集． 所以n 的最大值是4.故选B. 3．B [解析] r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12ln(ab )＝ln ab ＝p .因为b >a >0，所以a ＋b 2>ab ，又函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以q >p ＝r ，故选B.4．B [解析] (1)当m ＝2时，f (x )＝(n －8)x ＋1，则0≤n <8，所以0≤mn <16.(2)当m ＞2时，抛物线的对称轴为直线x ＝－n －8m －2. 根据题意得－n －8m －2≥2，即2m ＋n ≤12， 所以2m ·n ≤2m ＋n 2≤6， 所以mn ≤18(当且仅当m ＝3，n ＝6时取等号)．(3)当m ＜2时，由题意得－n －8m －2≤12，即2n ＋m ≤18，所以m ·2n ≤m ＋2n 2≤9，所以mn ≤812， 由2n ＋m ＝18，且2n ＝m ，得m ＝9(舍去)．要使得mn 取得最大值，应有2n ＋m ＝18(m ＜2，n ＞8)，所以mn ＝(18－2n )n ＜(18－2×8)×8＝16.综上所述，mn 的最大值为18.5．B [解析] 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A (5，2)处取得最大值，故目标函数的最大值为2×5－2＝8.6.⎣⎡⎦⎤1，32 [解析] 实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，图中A (1，0)，B (2，1)，C ⎝⎛⎭⎫1，32.当a ≤0时，0≤y ≤32，1≤x ≤2，所以1≤ax ＋y ≤4不可能恒成立；当a >0时，借助图像得，当直线z ＝ax ＋y 过点A 时，z 取得最小值，当直线z ＝ax ＋y 过点B 或C 时，z 取得最大值，故⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤4，1≤2a ＋1≤4，1≤a ＋32≤4，解得1≤a ≤32.故a ∈⎣⎡⎦⎤1，32.7.2918[解析] 根据题意，可知DC ＝1，AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋19λAB →·DC →＋λBC →·AD →＋19BC →·DC →＝1＋29λ＋λ2－118≥1＋219－118＝2918，当且仅当λ＝23时，等号成立． 8．3 [解析] 当x ，y 满足x 2＋y 2≤1时，6－x －3y >0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2＝0，x 2＋y 2＝1⇒5x 2－8x ＋3＝0⇒x ＝35或x ＝1，直线2x ＋y －2＝0把单位圆分成如图所示的两部分． ①当(x ，y )在阴影部分内时，2x ＋y －2≥0，则原式＝2x ＋y －2＋6－x －3y ＝x －2y ＋4，由线性规划可知，经过A ⎝⎛⎭⎫35，45时，原式取得最小值3.②当(x ，y )在另一部分内时，2x ＋y －2≤0，则原式＝－2x －y ＋2＋6－x －3y ＝－3x －4y＋8，由线性规划可知，经过A ⎝⎛⎭⎫35，45时，原式取得最小值3.综上，原式的最小值为3. 9．32 [解析] (a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1·b ＋3≤9＋2×（a ＋1）2＋（b ＋3）22＝9＋a ＋b ＋4＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3且a ＋b ＝5，即a ＝72，b ＝32时等号成立，所以a ＋1＋b ＋3≤3 2. 10．4n －1 [解析] 归纳可知，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝4n －1. 11．A [解析] 由于甲没有去过B 城市，乙没有去过C 城市，但三人去过同一个城市，故三人去过的城市为A 城市．又由于甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只能去过一个城市，这个城市为A 城市．12．D [解析] 对于A ，当|a |＞|b |时，a ＞b 不一定成立，例如取a ＝－2，b ＝1，因此不符合题意；对于B ，当1a >1b时，a ＞b 不一定成立，例如取a ＝1，b ＝2，因此不符合题意； 对于C ，当a 2＞b 2时，a ＞b 不一定成立，例如取a ＝－2，b ＝1，因此不符合题意； 对于D ，lg a ＞lg b ⇒a ＞b ＞0⇒a ＞b ，因此使a ＞b 成立的充分不必要条件是lg a ＞lg b .13．B [解析] 画出不等式组所表示的平面区域(图略)，由区域面积为2，可得m ＝0.而x ＋y ＋2x ＋1＝1＋y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1表示可行域内任意一点与点(－1，－1)连线的斜率，∴y ＋1x ＋1的最小值为0＋12＋1＝13，∴x ＋y ＋2x ＋1的最小值是43. 14．A [解析] 第二次用“调日法”后得4715是π的更为精确的不足近似值，即4715＜π＜165； 第三次用“调日法”后得6320是π的更为精确的过剩近似值，即4715＜π＜6320； 第四次用“调日法”后得227是π的更为精确的过剩近似值，即4715＜π＜227. 15.⎣⎡⎦⎤13，1[解析] 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，直线y ＝k (x ＋2)过定点D (－2，0)，由图可知当直线l 经过点A 时，直线的斜率最大，当直线l 经过点B 时，直线的斜率最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，即A (1，3)，此时k ＝31＋2＝1；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即B (1，1)，此时k ＝11＋2＝13.故k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，1. 16.32＋2 [解析] ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝2， ∴1a ＋2b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋2b (a ＋b )＝12⎝⎛⎭⎫3＋b a ＋2a b ≥ 12×(3＋22)＝32＋2， 当且仅当b a ＝2a b，即b ＝2a 时取等号． 17. m 2－n 2 [解析] 当n ＝0，m ＝1时，13＋23＝1，此时1＝12－0＝m 2－n 2； 当n ＝2，m ＝4时，73＋83＋103＋113＝12，此时12＝42－22＝m 2－n 2； 当n ＝5，m ＝8时，163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，此时39＝82－52＝m 2－n 2. 由归纳推理可知：3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝m 2－n 2. 18．29 [解析] 由图可知，第1个字母A 有1个，第2个字母B 有3个，第3个字母C 有5个，依次类推，第n 个字母有(2n －1)个，又O 是第15个字母，故O 有2×15－1＝29(个)．19.⎣⎡⎭⎫24，＋∞ [解析] 当a ＝0时，不等式为－|x |<0，解集不为空集． 当a ≠0时，由题意知a >0，令t ＝|x |， 则原不等式等价于at 2－t ＋2a <0(t ≥0)， 所以a <t t 2＋2(t ≥0)． 根据题意知a ≥⎝⎛⎭⎫t t 2＋2max ，其中t ≥0， 而t t 2＋2＝1t ＋2t ≤122＝24，当且仅当t ＝2时等号成立，所以a ≥24. 20．350 100 3100 [解析] 由题意，设生产圆桌x 张，衣柜y 个，所获利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.18x ＋0.09y ≤72，0.08x ＋0.28y ≤56，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤800，2x ＋7y ≤1400，x ∈N ，y ∈N ，目标函数z ＝6x ＋10y .作出不等式组表示的整数点区域(图略)，可知当直线z ＝6x ＋10y 经过两直线2x ＋y ＝800，2x ＋7y ＝1400的交点(350，100)时，z 取得最大值3100.故应生产圆桌350张，生产衣柜100个，才能使利润最大，最大利润为3100元．。
第6章 一次方程(组)和一次不等式练习题 含解析
第6章 一次方程（组）和一次不等式（组）一．选择题（共11小题） 1．不等式23x ->的解集是( ) A ．23x >-B ．23x <-C ．32x >-D ．32x <-2．如果m n >，那么下列结论错误的是( ) A ．22m n +>+B ．22m n ->-C ．22m n >D ．22m n ->-3．如果a b >，0m <，那么下列不等式中成立的是( ) A ．am bm >B ．a b m m> C ．a m b m +>+ D ．a m b m -+>-+．4．不等式240x +„的解集在数轴上表示正确的是( ) A ． B ．C ．D ．5．不等式260x +>的解集在数轴上表示正确的是( ) A ．B ．C ．D ．6．现有三种不同的物体：“甲、乙、丙”，用天平称了两次，情况如图所示，那么“甲、乙、丙”这三种物体按质量从大到小的顺序排列为( )A ．丙甲乙B ．丙乙甲C ．乙甲丙D ．乙丙甲7．一件商品成本价是30元，如果按原价的八五折销售，至少可获得15%的利润．如果设该商品的原价是x 元，则列式( ) A ．303015%85%x +⨯„ B ．303015%85%x +⨯… C ．303015%85%x -⨯„D ．303015%85%x -⨯…8．若关于x 的一元一次方程20x m -+=的解是负数，则m 的取值范围是( )A ．2m …B ．2m >C ．2m <D ．2m „9．关于x 的方程5264x a a x -=+-的解是非负数，则a 的取值范围是( )A ．1a …B ．1a -…C ．1a -„D ．0a …10．不等式732122x x --+<的负整数解有( ) A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个11．如果关于x 的不等式(1)1a x a +>+的解集为1x <，则a 的取值范围是( ) A ．0a <B ．1a <-C ．1a >D ．1a >-二．填空题（共17小题）12．用不等式表示：y 减去1的差不小于y 的一半 ． 13．不等式2(1)34x x ->-的自然数解为 ． 14．解不等式：29x x --„的非负整数解有 个． 15．不等式2132x x +>-的非负整数解是 ． 16．不等式215x -„的非负整数解是 ． 17．不等式1123x x --<的非负整数解是 ． 18．不等式12123x x -->的非负整数解为 ． 19．不等式3256x x -+„的最大负整数解为 ． 20．不等式123x x -+>的正整数解为 ． 21．不等式3618x ---…的正整数解为 ．22．试写出一个不等式 使它的正整数解只有1，2，3． 23．满足 2.1x <-的最大整数是 ． 24．不等式1208x-…的最大整数解为 ． 25．不等式250x -…的最小整数解为 ． 26．适合不等式3(2)2x x ->的最小正整数是 ． 27．不等式214x ->的最小整数解是 ．28．对于有理数m ，我们规定[]m 表示不大于m 的最大整数，例如[1.2]1=，[3]3=，[ 2.5]3-=-，若2[]53x +=-，则整数x 的取值是 ． 三．解答题（共12小题）29．解不等式3(2)2x x +>，并把解在数轴上表示出来．30．解不等式121132x x+++…，并把它的解集在数轴上表示出来．31．解不等式并把解集表示在数轴上： （1）2(1)142x x +-+…， （2）7223x x---…32．若关于x 的不等式14x x m +>+的解集为1x <，求m 的值．33．若不等式3(2)54(1)6x x -+<-+的最小整数解为方程23x ax -=的解，求a 的值．34．已知3x =是方程212x a x --=-的解，求不等式1(2)53a x ->的解集．35．若关于x 的一元一次方程538m x +=的解是非负数，求m 的取值范围．36．学校为美化环境，计划购进菊花和绿萝共30盆，菊花每盆16元，绿萝每盆8元，若购买菊花和绿萝的总费用不超过400元，则最多可以购买菊花多少盆？37．有10名合作伙伴承包了一块土地准备种植蔬菜，他们每人可种茄子3亩或辣椒2亩，已知每亩茄子平均可收入0.5万元，每亩辣椒平均可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排多少人种茄子？38．字母m 、n 分别表示一个有理数，且m n ≠．现规定{min m ，}n 表示m 、n 中较小的数，例如：{3min ，1}1-=-，{1min -，0}1=-．据此解决下列问题： （1）1{2min -，1}3-= ． （2）若21{3x min -，2)1=-，求x 的值； （3）若{25min x -，3}2x +=-，求x 的值．39．某县为了更好保障居民饮用水安全，环保局决定购10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，价格与每台日处理污水的能力见表．（1）若县环保局购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为有哪几种方案．（2）在（1）的条件下，每日要求处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请设计“一个最省钱”的购买方案．40．甲、乙两队共同承担一项“退耕返林”的植树任务，甲队单独完成此项任务比乙队单独完成此项任务多用8天，且甲队单独植树7天和乙队单独植树5天的工作量相同．（1）甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？（2）甲、乙两队共同植树5天后，乙队因另有任务停止植树，剩下的由甲队继续植树．为了能够在规定时间内完成任务，甲队增加人数，使工作效率提高到原来的2倍．那么甲队至少再单独施工多少天？参考答案一．选择题（共11小题） 1．不等式23x ->的解集是( ) A ．23x >-B ．23x <-C ．32x >-D ．32x <-【解答】解：不等式的两边同时除以2-得，32x <-．故选：D ．2．如果m n >，那么下列结论错误的是( ) A ．22m n +>+ B ．22m n ->- C ．22m n > D ．22m n ->-【解答】解：m n >Q ， 22m n ∴-<-，故选：D ．3．如果a b >，0m <，那么下列不等式中成立的是( ) A ．am bm >B ．a b m m> C ．a m b m +>+ D ．a m b m -+>-+．【解答】解：A 、am bm <，故原题错误； B 、a bm m<，故原题错误； C 、a m b m +>+，故原题正确；D 、a m b m -+<-+，故原题错误；故选：C ．4．不等式240x +„的解集在数轴上表示正确的是( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：移项得，24x -„， 系数化为1得，2x -„． 在数轴上表示为：．故选：C ．5．不等式260x +>的解集在数轴上表示正确的是( ) A ．B ．C ．D ．【解答】解：260x +>， 26x >-， 3x >-，在数轴上表示为：，故选：C ．6．现有三种不同的物体：“甲、乙、丙”，用天平称了两次，情况如图所示，那么“甲、乙、丙”这三种物体按质量从大到小的顺序排列为( )A ．丙甲乙B ．丙乙甲C ．乙甲丙D ．乙丙甲【解答】解：由图一可得：丙+丙>丙+乙，所以丙>乙； 由图二可得：甲+甲+甲=甲+乙，所以乙=甲+甲>甲． 则丙>乙>甲． 故选：B ．7．一件商品成本价是30元，如果按原价的八五折销售，至少可获得15%的利润．如果设该商品的原价是x 元，则列式( ) A ．303015%85%x +⨯„ B ．303015%85%x +⨯… C ．303015%85%x -⨯„D ．303015%85%x -⨯…【解答】解：由题意：303015%85%x +⨯„． 故选：A ．8．若关于x 的一元一次方程20x m -+=的解是负数，则m 的取值范围是( )A ．2m …B ．2m >C ．2m <D ．2m „【解答】解：Q 方程20x m -+=的解是负数， 20x m ∴=-<，解得：2m <， 故选：C ．9．关于x 的方程5264x a a x -=+-的解是非负数，则a 的取值范围是( )A ．1a …B ．1a -…C ．1a -„D ．0a …【解答】解：移项，得5642x x a a +=++， 合并同类项，得666x a =+， 系数化成1得1x a =+，根据题意得：10a +…， 解得：1a -…． 故选：B ． 10．不等式732122x x --+<的负整数解有( ) A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个【解答】解： 去分母， 得：7232x x -+<-， 移项， 得：3722x x -<-- 合并同类项， 得：23x -<， 则32x >-． 则负整数解是：1-． 故选：A ．11．如果关于x 的不等式(1)1a x a +>+的解集为1x <，则a 的取值范围是( ) A ．0a <B ．1a <-C ．1a >D ．1a >-【解答】解：由题意，得 10a +<，解得1a <-， 故选：B ．二．填空题（共17小题）12．用不等式表示：y 减去1的差不小于y 的一半 112y y -… ．【解答】解：依题意，得：112y y -…．故答案为：112y y -…．13．不等式2(1)34x x ->-的自然数解为 1和0 ． 【解答】解：2(1)34x x ->-， 2234x x ->-， 2342x x ->-+， 2x ->-， 2x <，则该不等式的自然数解为1和0， 故答案为：1和0．14．解不等式：29x x --„的非负整数解有 4 个． 【解答】解：29x x --„，29x x +„， 39x „， 3x „，所以不等式：29x x --„的非负整数解有0，1，2，3四个， 故答案为4．15．不等式2132x x +>-的非负整数解是 0，1，2 ． 【解答】解：移项得，2321x x ->--， 合并同类项得，3x ->-， 系数化为1得，3x <． 故其非负整数解为：0，1，2．16．不等式215x -„的非负整数解是 0、1、2、3 ． 【解答】解：215x -„， 移项得：26x „，不等式的两边都除以2得：3x „， 即不等式的非负整数解释：0、1、2、3， 故答案为：0、1、2、3． 17．不等式1123x x --<的非负整数解是 0，1，2，3 ． 【解答】解：1123x x --<， 32(1)6x x --<，3226x x -+<， 3262x x -<-， 4x <，所以不等式1123x x --<的非负整数解是0，1，2，3， 故答案为：0，1，2，3． 18．不等式12123x x -->的非负整数解为 0 ． 【解答】解：12123x x -->3(1)2(21)x x ->-，则3342x x ->-， 故75x ->-， 解得：57x <， 故不等式12123x x -->的非负整数解为0． 故答案为：0．19．不等式3256x x -+„的最大负整数解为 1x =- ． 【解答】解：3256x x -+Q „，3562x x ∴-+„， 28x -„，则4x -…，∴不等式的最大负整数解为1x =-，故答案为：1x =-． 20．不等式123x x -+>的正整数解为 1，2 ． 【解答】解：123x x -+>， 去分母，得：163x x -+>， 移项，得：316x x ->-， 合并同类项，得：25x ->-， 系数化成1得： 2.5x <． 则正整数解是：1，2．故答案是：1，2．21．不等式3618x ---…的正整数解为 1、2、3、4 ．【解答】解：3618x ---…，移项得：3186x --+…合并同类项得：312x --…，把x 的系数化为1得：4x „，∴不等式3618x ---…的正整数解为1、2、3、4．故答案为1、2、3、4．22．试写出一个不等式 3x „（答案不唯一） 使它的正整数解只有1，2，3．【解答】解：不等式3x „（答案不唯一）的正整数解只有1，2，3，故答案为：3x „（答案不唯一）23．满足 2.1x <-的最大整数是 3- ．【解答】解：满足 2.1x <-的最大整数是3-，故答案为：3-．24．不等式1208x -…的最大整数解为 0 ． 【解答】解：不等式去分母得：120x -…， 解得：12x „， 则不等式的最大整数解为0，故答案为：0．25．不等式250x -…的最小整数解为 3 ． 【解答】解：不等式250x -…， 移项得：25x …， 解得：52x …， 则不等式的最小整数解为3，故答案为：326．适合不等式3(2)2x x ->的最小正整数是 7 ．【解答】解：3(2)2x x ->，362x x ->，326x x ->，6x >，所以不等式3(2)2x x ->的最小正整数是7，故答案为：7．27．不等式214x ->的最小整数解是 3 ． 【解答】解：214x ->，25x >，2.5x >，所以不等式214x ->的最小整数解是3，故答案为：3．28．对于有理数m ，我们规定[]m 表示不大于m 的最大整数，例如[1.2]1=，[3]3=，[ 2.5]3-=-，若2[]53x +=-，则整数x 的取值是 17-，16-，15- ． 【解答】解：[]m Q 表示不大于m 的最大整数，2543x +∴-<-„， 解得：1714x -<-„，∴整数x 为17-，16-，15-，故答案为17-，16-，15-．三．解答题（共12小题）29．解不等式3(2)2x x +>，并把解在数轴上表示出来．【解答】解：去括号，得：632x x +>，移项，得：326x x ->-，合并同类项，得：6x >-，将解集表示在数轴上如下：30．解不等式121132x x +++…，并把它的解集在数轴上表示出来． 【解答】解：去分母，得2(12)63(1)x x +++…去括号得，24633x x +++…， 再移项、合并同类项得，5x -…．在数轴上表示为：．31．解不等式并把解集表示在数轴上：（1）2(1)142x x +-+…，（2）7223x x ---… 【解答】解：（1）22142x x +-+…， 24221x x --+…，21x -…， 12x -„，（2）3122(7)x x ---…，312152x x --+…，321512x x --+…，3x -…，32．若关于x 的不等式14x x m +>+的解集为1x <，求m 的值．【解答】解：41x x m ->-，31x m ->-，13m x -<， Q 不等式的解集为1x <，∴113m -=， 解得2m =-．33．若不等式3(2)54(1)6x x -+<-+的最小整数解为方程23x ax -=的解，求a 的值．【解答】解：解不等式3(2)54(1)6x x -+<-+，去括号，得：365446x x -+<-+，移项，得344665x x -<-++-，合并同类项，得3x -<，系数化成1得：3x >-．则最小的整数解是2-．把2x =-代入23x ax -=得：423a -+=， 解得：72a =． 34．已知3x =是方程212x a x --=-的解，求不等式1(2)53a x ->的解集． 【解答】解：由于3x =是方程212x a x --=-的解， 所以32312a --=- 解得5a =-把5a =-代入不等式，得1(21)3x +> 解得，19x > 所以不等式的解集为19x >． 35．若关于x 的一元一次方程538m x +=的解是非负数，求m 的取值范围．【解答】解：解方程538m x +=得853m x -=， 根据题意知8503m -…， 解得85m „． 36．学校为美化环境，计划购进菊花和绿萝共30盆，菊花每盆16元，绿萝每盆8元，若购买菊花和绿萝的总费用不超过400元，则最多可以购买菊花多少盆？【解答】解：设需要购买菊花x 盆，则需要购买绿萝(30)x -盆，依题意，得：168(30)400x x +-„，解得：20x „．答：最多可以购买菊花20盆．37．有10名合作伙伴承包了一块土地准备种植蔬菜，他们每人可种茄子3亩或辣椒2亩，已知每亩茄子平均可收入0.5万元，每亩辣椒平均可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排多少人种茄子？【解答】解：安排x 人种茄子，依题意得：30.52(10)0.815.6x x +-g g …，解得：4x „．所以最多只能安排4人种茄子．38．字母m 、n 分别表示一个有理数，且m n ≠．现规定{min m ，}n 表示m 、n 中较小的数，例如：{3min ，1}1-=-，{1min -，0}1=-．据此解决下列问题：（1）1{2min -，1}3-= 2． （2）若21{3x min -，2)1=-，求x 的值； （3）若{25min x -，3}2x +=-，求x 的值．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：1{2min -，11}32-=-； 故答案为：12-； （2）由21>-，得到2113x -=-， 解得：1x =-； （3）若252x -=-，解得： 1.5x =，此时3 4.52x +=>-，满足题意；若32x +=-，解得：5x =-，此时25152x -=-<-，不符合题意，综上， 1.5x =．39．某县为了更好保障居民饮用水安全，环保局决定购10台污水处理设备，现有A 、B 两种型号的设备，价格与每台日处理污水的能力见表．（1）若县环保局购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为有哪几种方案．（2）在（1）的条件下，每日要求处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请设计“一个最省钱”的购买方案．【解答】解：（1）设购买A 型设备x 台，则B 型设备(10)x -台，依题意得，1210(10)105x x +-„，解得， 2.5x „；又x 取自然数（或说非负整数），故2x =，1，0，所以，符合要求的购买方案有以下3种：①购买10台B 型；②购买1台A 型和9台B 型；③购买2台A 型和8台B 型．（2）设购买A 型设备x 台，则B 型设备(10)x -台，由题意得：240200(10)2040x x +⨯-…，解得，1x …， 由生活实际可知价格便宜的购置数量越多越省钱，故购买1台A 型和9台B 型符合要求，40．甲、乙两队共同承担一项“退耕返林”的植树任务，甲队单独完成此项任务比乙队单独完成此项任务多用8天，且甲队单独植树7天和乙队单独植树5天的工作量相同．（1）甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？（2）甲、乙两队共同植树5天后，乙队因另有任务停止植树，剩下的由甲队继续植树．为了能够在规定时间内完成任务，甲队增加人数，使工作效率提高到原来的2倍．那么甲队至少再单独施工多少天？【解答】解：（1）设乙队单独完成此项任务需x 天，则甲队单独完成此项任务需(8)x +天， 依题意，得：857x x +=， 解得：20x =，828x ∴+=．答：甲队单独完成此项任务需28天，乙队单独完成此项任务需20天．（2）设甲队再单独施工y 天， 依题意，得：55212028y ++…， 解得：8y …．答：甲队至少再单独施工8天．。
第六章 不等式
2006年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编第六章《不等式》一、选择题（共15题）1．（安徽卷）不等式112x <的解集是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．(,2)-∞⋃(2,)+∞解：由112x <得：112022x x x--=<，即(2)0x x -<，故选D 。
2．（江苏卷）设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是 （A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）a a a a 1122+≥+（C ）21||≥-+-ba b a （D ）a a a a -+≤+-+213 【思路点拨】本题主要考查.不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全提干，必须结合选择支，才能得出正确的结论。
【正确解答】运用排除法，C 选项21≥-+-ba b a ，当a-b<0时不成立。
【解后反思】运用公式一定要注意公式成立的条件如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 3．（江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于（ ） A ．1b －<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b C.x <-1a 或x >1b D.x <1b －或x >1a解： 故选D4．（山东卷）设f (x )= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩ 则不等式f (x )>2的解集为 (A)（1，2）⋃（3，+∞） (B)（10，+∞）11bx b 001x x b a 11ax x a 00x x 1x 0x x bx 1011b x x x 1ax 01b a x x 0a ⎧⎧⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎪⎧⎪⇔⇔⇒⎨⎨⎩⎪⎪⎩＋＋－－－或－（＋）－或（－）或(C)（1，2）⋃ （10 ，+∞） (D)（1，2）解：令12x e ->2（x <2），解得1<x <2。
《南方新课堂》2022年高考数学(理)总复习练习：第六章不等式 Word版含答案
第六章 不等式第1讲 不等式的概念与性质1．(2021年上海)假如a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b2．(2021年北京)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( )A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 33．已知下列不等式：①x 2＋3>2x ；②a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2(a ，b ∈R ＋)；③a 2＋b 2≥2(a －b －1)．其中正确的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N )，公比q ≠1，则( ) A ．a 1＋a 8>a 4＋a 5 B ．a 1＋a 8<a 4＋a 5 C ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5 D ．不确定5．(2022年广东茂名二模)下列三个不等式中，恒成立的个数有( )①x ＋1x ≥2(x ≠0)；②c a <cb (a >b >c >0)； ③a ＋m b ＋m >a b(a ，b ，m >0，a <b )． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 6．下列不等式肯定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 7．若不等式(－1)n a <2＋(－1)n ＋1n对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－2，32B.⎝⎛⎦⎤－2，32 C.⎣⎡⎭⎫－3，32 D.⎝⎛⎭⎫－3，32 8．用若干辆载重为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装8吨，则最终一辆汽车不满也不空．则有汽车________辆．9．已知a ＞0，b ＞0，求证：⎝⎛⎭⎫a 2b 12＋⎝⎛⎭⎫b 2a 12≥a 12＋b 12.10．已知α∈(0，π)，比较2sin2α与sin α1－cos α的大小．第2讲 一元二次不等式及其解法1．(2022年山东)设集合A ＝{x |x 2－2x <0}，B ＝{x |1≤x ≤4}，则A ∩B ＝( ) A ．(0,2] B ．(1,2) C ．[1,2) D ．(1,4)2．假如kx 2＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，那么实数k 的取值范围是( ) A ．－1≤k ≤0 B ．－1≤k <0 C ．－1<k ≤0 D ．－1<k <03．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x ≤0)，－x ＋2(x ＞0)，则不等式f (x )≥x 2的解集是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]4．若关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋bx －2＞0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)5．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.1526．(2022年大纲)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋2)>0，|x |<1的解集为( )A ．{x |－2<x <－1}B ．{x |－1<x <0}C ．{x |0<x <1}D ．{x |x >1}7．(2022年广东佛山一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0.若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0,1]C ．[－1,1]D ．[－2,2]8．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集区间为⎝⎛⎭⎫－13，2，对于系数a ，b ，c ，有如下结论：①a <0；②b ＞0；③c ＞0；④a ＋b ＋c ＞0；⑤a －b ＋c ＞0.其中正确的结论的序号是____________．9．已知a ，b ，c ∈R ，且a ＜b ＜c ，函数f (x )＝ax 2＋2bx ＋c 满足f (1)＝0，且关于t 的方程f (t )＝－a 有实根(其中t ∈R ，且t ≠1)．(1)求证：a ＜0，c ＞0；(2)求证：0≤ba<1.10．(2022年广东揭阳二模)已知函数f (x )＝ax ＋ln x (a ＜0)． (1)若当x ∈[1，e]时，函数f (x )的最大值为－3，求a 的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ′(x )，若函数g (x )在(0，＋∞)上是单调函数，求a 的取值范围．第3讲 算术平均数与几何平均数1．已知x >1，则y ＝x ＋1x －1的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．2 2 D ．32．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )A ．1＋ 2B ．1＋3C ．3D ．43．(2021年山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98C ．2 D.944．(2022年重庆)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 35．(2021年湖北黄冈一模)若向量a ＝(x －1,2)与向量b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为______． 6．(2021年上海虹口一模)假如log a 4b ＝－1，则a ＋b 的最小值为__________． 7．(2022年上海)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为______________．8．(2022年上海)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x ≤0，x ＋1x ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围是________．9．(2021年上海徐汇一模)某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k .轮船的最大速度为15海里/时．当船速为10海里/时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时150元．假定航行过程中轮船是匀速航行．(1)求k 的值；(2)求该轮船航行100海里的总费用W 的最小值．(总费用＝燃料费＋航行运作费用)10．(2021年广东中山一模)某书商为提高某套丛书的销量，预备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套．现出版社为协作该书商的活动，打算进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：(1)当每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ (2)求每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？第4讲 简洁的线性规划1．(广西百所示范性中学2021届高三第一次大联考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x ≥1，y ≥0，则z ＝x －y的最小值是________．2．(2021年广东深圳一模)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x ＋y ≤3，则x ＋2y 的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．53．(2022年新课标Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－34．(2021年山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－125．某农户方案种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩(1亩≈666.7平方米)，投入资金不超过54万元，(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,506．设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －19≥0，x －y －8≤0，x ＋2y －14≤0所表示的平面区域为M ，则使函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9]7．(2021年广东惠州一模)已知点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤x ＋y ≤2，则点Q (x ＋y ，y )构成的图形的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．(2021年北京)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为__________．9．某养分师要为某个儿童预定午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的养分中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.假如一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的养分要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？10．(2022年陕西)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )．(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．第5讲 不等式的应用1．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析：每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x 的函数关系为y ＝－(x －6)2＋11(x ∈N *)，要使每辆客车运营的年平均利润最大，则每辆客车营运的最佳年数为( )A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年 2．(2021年陕西)在如图X651所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )图X651A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]3．(2022年福建)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是20元/m 2，侧面造价是10元/m 2，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元 4．某单位用2160万元购得一块空地，方案在该地块上建筑一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，若将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，则楼房应建为( )A ．10层B ．15层C ．20层D ．30层5．(2021年广东)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，－1≤x ≤1，y ≥1，则z ＝x ＋y 的最大值是________．6．一份印刷品，其排版面积为432 cm 2(矩形)，要求左右留有4 cm 的空白，上下留有3 cm 的空白，则当矩形的长为________cm ，宽为________cm 时，用纸最省．7．某工厂投入98万元购买一套设备，第一年的修理费用为12万元，以后每年增加4万元，每年可收入50万元．就此问题给出以下命题：①前两年没能收回成本；②前5年的平均年利润最多；③前10年总利润最多；④第11年是亏损的；⑤10年后每年虽有盈利但与前10年比年利润有所削减(总利润＝总收入－投入资金－总修理费)．其中真命题是________．8．(2022年湖北)某项争辩表明，在考虑行车平安的状况下，某路段车流量F (单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其关系式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)假如不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)假如限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加______辆/时．9．(2021年广东江门调研)某农户建筑一间背面靠墙的房屋，已知墙面与地面垂直，房屋所占地面是面积为12 m 2的矩形，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5200元．假如墙高为3 m ，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？10．(2021年上海)甲厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． (1)求证：生产a 千克该产品所获得的利润为100a ·⎝⎛⎭⎫5＋1x －3x 2； (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应当如何选取何种生产速度？并求此最大利润．第6讲 不等式选讲1．不等式|x －2|>x －2的解集是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)2．(2021年大纲)不等式|x 2－2|<2的解集是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－2,0)∪(0,2)3．不等式1≤|x －3|≤6的解集是( ) A ．{x |－3≤x ≤2或4≤x ≤9} B ．{x |－3≤x ≤9} C ．{x |－1≤x ≤2} D ．{x |4≤x ≤9}4．若不等式|ax ＋2|<4的解集为(－1,3)，则实数a 等于( ) A ．8 B ．2 C ．－4 D ．－25．不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是( ) A ．[－5,7] B ．[－4,6]C ．(－∞，－5]∪[7，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[6，＋∞)6．若不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围________．7．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ＝4t ＋1t －6，t ∈(0，＋∞)，则集合A ∩B ＝__________.8．(2021年山东)在区间[－3,3]上随机取一个数x ，使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为______．9．(2021年福建)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．10．(2021年新课标Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．第六章 不等式第1讲 不等式的概念与性质1．D 解析：a <b <0，设a ＝－2，b ＝－1，则－12>－1；(－2)×(－1)>(－1)2；－(－2)×(－1)>－(－2)2.故A ，B ，C 错误．故选D.2．D 解析：当c ≤0时，A 不成立；当a ＝1，b ＝－2时，B ，C 不成立．故选D.3．D 解析：∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0，∴x 2＋3>2x .∵a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a ＋b )(a －b )2≥0，∴a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)．4．A 解析：(a 1＋a 8)－(a 4＋a 5)＝(a 1＋a 1q 7)－(a 1q 3＋a 1q 4)＝a 1(1－q 3)＋a 1q 4(q 3－1)＝a 1(1－q 3)(1－q 4)＝a 1(1－q )2·(1＋q )(1＋q 2)(1＋q ＋q 2)＞0，∴a 1＋a 8＞a 4＋a 5.5．B 解析：当x <0时，x ＋1x≥2(x ≠0)明显不成立．由a >b >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧1a <1b ，c >0⇒c a <c b .故②成立.a ＋m b ＋m －a b ＝m (b －a )(b ＋m )b >0，故③成立．故选B.6．C 解析：此类题目多选用筛选法，对于A ：当x ＝12时，两边相等，故A 错误；对于B ：具有基本不等式的形式，但sin x 不肯定大于零，故B 错误；对于C ：x 2＋1≥2|x |⇔x 2±2x ＋1≥0⇔(x ±1)2≥0，明显成立；对于D ，任意x 都不成立．故选C.7．A8．6 解析：设有x 辆汽车，则货物重为(4x ＋20)吨．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧8(x －1)＜4x ＋20，8x ＞4x ＋20，x ∈N *，解得5＜x ＜7，且x ∈N *.故只有x ＝6才满足要求．9．证明：方法一：左边－右边＝(a )3＋(b )3ab－(a ＋b )＝(a ＋b )(a －ab ＋b )－ab (a ＋b )ab＝(a ＋b )(a －2ab ＋b )ab ＝(a ＋b )(a －b )2ab≥0.∴原不等式成立．方法二：左边>0，右边>0.左边右边＝(a ＋b )(a －ab ＋b )ab (a ＋b )＝(a －ab ＋b )ab ≥2 ab －abab ＝1. ∴原不等式成立．10．解：2sin2α－sin α1－cos α＝4sin αcos α(1－cos α)－sin α1－cos α＝sin α1－cos α(－4cos 2α＋4cos α－1)＝－sin α1－cos α(2cos α－1)2. ∵α∈(0，π)，∴sin α＞0,1－cos α＞0，(2cos α－1)2≥0.∴－sin α1－cos α(2cos α－1)2≤0，即2sin2α－sin α1－cos α≤0.∴2sin2α≤sin α1－cos α，当且仅当α＝π3时取等号．第2讲 一元二次不等式及其解法1．C 解析：由已知，得A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |1≤x ≤4}，则A ∩B ＝[1,2)．故选C.2．C 解析：当k ＝0时，原不等式等价于－2＜0，明显恒成立，∴k ＝0符合题意．当k ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，(2k )2－4k ·[－(k ＋2)]＜0. 解得－1<k <0.∴－1＜k ≤0.3．A 解析：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x ＋2≥x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x ＋2≥x 2⇒－1≤x ≤0或0＜x ≤1⇒－1≤x ≤1. 4．A5．A 解析：不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1，x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，且x 2－x 1＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2＋32a 2＝6a ＝15，则a ＝52.故选A. 6．C 解析：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，或x >0，－1<x <1，，求交集，得0<x <1.故选C.7．C 解析：f (1)＝3，当a ＝0时，f (0)＋f (0)＝0≤6成立；当a >0时，f (－a )＋f (a )＝(－a )2＋2a ＋a 2＋2a ≤6，a 2＋2a －3≤0，a ∈[－3,1]，得a ∈(0,1]；当a <0时，f (－a )＋f (a )＝(－a )2＋2×(－a )＋a 2－2a ≤6，a 2－2a －3≤0，a ∈[－1,3]，得a ∈[－1,0)． 综上所述，a ∈[－1,1]．故选C.8．①②③④ 解析：∵不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－13，2，∴a <0；－13，2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，－13＋2＝－ba>0，∴b >0；f (0)＝c >0，f (1)＝a ＋b ＋c >0，f (－1)＝a －b ＋c <0.故正确答案为①②③④.9．证明：(1)∵f (x )＝ax 2＋2bx ＋c ，∴f (1)＝a ＋2b ＋c ＝0. ① 又a ＜b ＜c ，∴2a ＜2b ＜2c ，∴4a ＜a ＋2b ＋c ＜4c . 即4a ＜0＜4c ，∴a ＜0，c ＞0.(2)由f (1)＝a ＋2b ＋c ＝0，得c ＝－a －2b .又a ＜b ＜c 及a ＜0，得－13<ba<1. ②将c ＝－a －2b 代入f (t )＝at 2＋2bt ＋c ＝－a ，得at 2＋2bt －2b ＝0. ∵关于t 的方程at 2＋2bt －2b ＝0有实根，∴Δ＝4b 2＋8ab ≥0，即⎝⎛⎭⎫b a 2＋2⎝⎛⎭⎫b a ≥0， 解得b a ≤－2或ba≥0. ③由②③知，0≤ba<1.10．解：(1)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x ，x >0，a <0，令f ′(x )>0，即a ⎝⎛⎭⎫x ＋1a x >0.解得0<x <－1a . ∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减． ∴当x ＝－1a 时，f (x )取极大值．①当－1a≤1，即a ≤－1时，函数f (x )在[1，e]上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝－3.解得a ＝－3.②当1<－1a ≤e ，即－1<a ≤－1e 时，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－3， 解得a ＝－e 2<－1，与－1<a ≤－1e冲突，故舍去．③当－1a >e ，即a >－1e时，f (x )在[1，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝－3.解得a ＝－4e <－1e ，与a >－1e冲突，故舍去．综上所述，a ＝－3.(2)方法一：∵g (x )＝ln x ＋ax ＋1x ＋a ，∴g ′(x )＝1x ＋a －1x 2＝－⎝⎛⎭⎫1x －122＋a ＋14. 明显，对于x ∈(0，＋∞)，g ′(x )≥0不行能恒成立，∴函数g (x )在(0，＋∞)上不是单调递增函数．若函数g (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，则g ′(x )≤0对于x ∈(0，＋∞)恒成立，∴当x ＝2时，[g ′(x )]max ＝a ＋14≤0.解得a ≤－14.综上所述，若函数g (x )在(0，＋∞)上是单调函数，则a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－14. 方法二：∵g (x )＝ln x ＋ax ＋1x＋a ，∴g ′(x )＝1x ＋a －1x 2＝ax 2＋x －1x 2.令ax 2＋x －1＝0， (*)方程(*)的判别式Δ＝1＋4a ，当Δ≤0，即a ≤－14时，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≤0，即当a ≤－14时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减；当Δ>0，即a >－14时，方程(*)有两个不相等的实数根x 1＝－1＋1＋4a 2a ，x 2＝－1－1＋4a 2a ，∴g ′(x )＝ax2(x －x 1)(x －x 2)．当x 1<x <x 2时，g ′(x )>0，当x >x 2或0<x <x 1时，g ′(x )<0，即函数g (x )在(x 1，x 2)上单调递增，在(0，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递减． ∴此时函数g (x )在(0，＋∞)上不单调．综上所述，若函数g (x )在(0，＋∞)上是单调函数，则a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－14. 第3讲 算术平均数与几何平均数1．D2．C 解析：∵x ＞2，∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时取等号．3．C 解析：z ＝x 2－3xy ＋4y 2， z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ≥2x ·2y －3xy xy ＝xy xy＝1. 当且仅当x ＝2y 时，zxy取最小值，此时z ＝2y 2.x ＋2y －z ＝4y －2y 2＝－2(y 2－2y )＝－2(y －1)2＋2，最大值为2.故选C.4．D 解析：由题意知，ab >0，且3a ＋4b >0，所以a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以3a ＋4b ＝ab ，所以4a ＋3b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋2 4b a ·3a b ＝7＋4 3.当且仅当4b a ＝3a b，即a ＝4＋2 3，b ＝3＋2 3时，等号成立．故选D.5．6 解析：若a ⊥b ，则4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2.9x ＋3y ≥29x ·3y ＝232x ＋y ＝232＝6.6．1 解析：log a 4b ＝－1，1a ＝4b ，ab ＝14，则a ＋b ≥2ab ＝2 14＝1.7．2 2 解析：x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝22(xy )2＝2 2.8．(－∞，2] 解析：当x ≤0时，f (x )单调递减，最小值为f (0)＝a .当x >0时，f (x )＝x ＋1x ≥2 x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号，则最小值为f (1)＝2.若f (0)是f (x )的最小值，则f (0)＝a ≤f (1)＝2.9．解：(1)由题意，得燃料费W 1＝k v 2， 把v ＝10，W 1＝96代入，得k ＝0.96.(2)W ＝0.96v 2×100v ＋100v ×150＝96v ＋15 000v ≥2 1 440 000＝2400，当且仅当96v ＝15 000v 时等号成立，解得v ＝15 00096＝12.5<15.故该轮船航行100海里的总费用W 的最小值为2400元． 10．解：(1)每套丛书售价定为100元时， 销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套丛书的供货价格为30＋105＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)． (2)设每套丛书售价定为x 元． 由⎩⎪⎨⎪⎧15－0.1x >0，x >0得0<x <150. 依题意，单套丛书利润为P ＝x －⎝⎛⎭⎫30＋1015－0.1x ＝x －100150－x－30.∴P ＝－⎣⎡⎦⎤(150－x )＋100150－x ＋120.∵0<x <150，∴150－x >0，且(150－x )＋100150－x ≥2 (150－x )·100150－x＝2×10＝20.当且仅当150－x ＝100150－x，即x ＝140时等号成立．此时，P max ＝－20＋120＝100(元)．第4讲 简洁的线性规划1．－1 解析：由题作出可行域如图D70，y ＝x －z ，当x ＝1，y ＝2时，z min ＝－1.图D70 2．D3．B 解析：依据题中约束条件可画出可行域如图D71，两直线交点坐标为A ⎝⎛⎭⎫a －12，a ＋12.又由z ＝x ＋ay 知，当a ＝0时，A ⎝⎛⎭⎫－12，12，z 的最小值为－12，不合题意；当a >0时，y ＝－1a x ＋za过点A 时，z 有最小值，即z ＝a －12＋a ×a ＋12＝a 2＋2a －12＝7.解得a ＝3或a ＝－5(舍去)；当a <0时，z 无最小值．故选B.图D71 图D724．C 解析：如图D72，当点M 位于点A (3，－1)时，OM 的斜率最小，最小值为－13.5．B 解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x ，y 亩，种植总利润为z 万元，则目标函数z ＝(0.55×4x －1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y .作出约束条件如图D73的阴影部分．易求得点A (0,50)，B (30,20)，C (45,0)．平移直线x ＋0.9y ＝0，当直线x ＋0.9y ＝0经过点B (30，20)时，z 取得最大值为48.故选B.图D736．C 解析：区域M 是一个三角形区域，三个顶点的坐标是(8,3)，(10,2)，(9,1)，结合图形检验，可知：当a ∈[2,9]时，符合题目要求．7．B 解析：令x ＋y ＝u ，y ＝v ，则点Q (u ，v )满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤u －v ≤1，0≤u ≤2.在uO v 平面内画出点Q (u ，v )所构成的平面区域如图D74，易得其面积为2.故选B.图D74 图D75 8.2 55 解析：区域D (如图D75)上的点与点(1,0)之间的距离的最小值就是点(1,0)到直线2x －y ＝0的距离，即d ＝|2－0|22＋12＝2 55.9．解：设该儿童分别预订x ，y 个单位的午餐和晚餐，共花费z 元，则z ＝2.5x ＋4y .可行域为⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .作出可行域如图D76：经检验发觉，当x ＝4，y ＝3时，花费最少，最少花费为z ＝2.5x ＋4y ＝2.5×4＋4×3＝22(元)．图D76 图D7710．解：(1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)．∴|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，①y ＝2m ＋n .②②－①，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图D77知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1.故m －n 的最大值为1.第5讲 不等式的应用1．C 解析：yx＝－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ＋12≤－2 x ×25x ＋12，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时取等号．2．C 解析：设矩形的高为h ，有40－h 40＝x40，即h ＝40－x ，S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ≥300，解得x ∈[10,30]．3．C 解析：设长方体底面边长分别为x ，y ，则y ＝4x，所以容器总造价为z ＝2(x ＋y )×10＋20xy ＝20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＋80.由基本不等式，得z ≥20×2 4＋80＝160，当且仅当底面是边长为2的正方形时，总造价最低．故选C.4．B 解析：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2160×10 0002000x＝560＋48x ＋10 800x＝560＋48⎝⎛⎭⎫x ＋225x ≥560＋48×2 x ·225x＝2000(x ≥10，x ∈N *)．当且仅当x ＝225x，即x ＝15时，f (x )取得最小值为f (15)＝2000.图D785．5 解析：如图D78，将点(1,4)代入z ＝x ＋y ，得最大值为5.6．24 18 解析：设矩形的长为x cm ，则宽为432xcm ，则总面积为y ＝(x ＋8)·⎝⎛⎭⎫432x ＋6＝432＋48＋6x ＋432×8x ＝480＋6⎝⎛⎭⎫x ＋72×8x ≥480＋6×2 x ·72×8x ＝768，当且仅当x ＝72×8x ，即x ＝24时取等号，此时宽为43224＝18 (cm)．7．①③④8．(1)1900 (2)100 解析：(1)当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l ＝76 000v ＋121v ＋18≤76 0002 v ·121v＋18＝76 00022＋18＝1900，当且仅当v ＝121v ，即v ＝11时，等号成立．(2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l ＝76 000v ＋100v ＋18≤76 0002 v ·100v＋18＝76 00020＋18＝2000，当且仅当v ＝100v ，即v ＝10时，等号成立．此时车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/时．9．解：设房屋地面宽为x m ，长为y m ，总造价为z 元(x ，y ，z >0)，则xy ＝12，z ＝3y ×1200＋2×3x ×800＋5200.∵y ＝12x ，∴z ＝12×3600x＋4800x ＋5200.∵x ，y >0，∴z ≥212×3600×4800＋5200＝34 000.当且仅当12×3600x＝4800x ，即x ＝3(x ＝－3，舍去)时，z 取最小值，最小值为34 000元．答：房屋地面宽3 m ，长4 m 时，总造价最低，最低总造价为34 000元．10．(1)证明：每小时生产x 千克产品，获利100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ， 生产a 千克该产品用时间为ax小时，所获利润为100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ·a x ＝100a ⎝⎛⎭⎫5＋1x －3x 2. (2)生产900千克该产品，所获利润为90 000⎝⎛⎭⎫5＋1x －3x 2＝90 000⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫1x －162＋6112. ∴当x ＝6时，最大利润为90 000×6112＝457 500(元)．故甲厂应以6千克/时的速度生产，可获得最大利润为457 500元．第6讲 不等式选讲1．A 2．D解析：|x 2－2|<2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2<2，x 2－2>－2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2<4，x 2>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，x ≠0.故选D. 3．A 4.D5．D 解析：方法一：当x ≤－3时，|x －5|＋|x ＋3|＝5－x －x －3＝2－2x ≥10，即x ≤－4. 当－3<x <5时，|x －5|＋|x ＋3|＝5－x ＋x ＋3＝8≥10，不成立，无解． 当x ≥5时，|x －5|＋|x ＋3|＝x －5＋x ＋3＝2x －2≥10，即x ≥6，∴x ≥6. 综上所述，不等式的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)．故选D.方法二：可用特值检验法，首先x ＝0不是不等式的解，排解A ，B ；x ＝6是不等式的解，排解C.故选D.6．(5,7) 7.{x |－2≤x ≤5} 8.13解析：解不等式|x ＋1|－|x －2|≥1，分以下三种状况： 当x ≤－1时，原不等式化为－(x＋1)＋(x －2)≥1，即－3≥1，此时无解；当－1<x <2时，原不等式化为(x＋1)＋(x－2)≥1，即x≥1，此时1≤x<2；当x≥2时，原不等式可化为(x＋1)－(x－2)≥1，即3≥1，此时x≥2.综上所述，原不等式的解集为∅∪[1,2)∪[2，＋∞)＝[1，＋∞)．故使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为3－13－(－3)＝13.9．解：(1)由于32∈A，且12A，所以⎪⎪⎪⎪32－2<a，且⎪⎪⎪⎪12－2≥a.解得12<a≤32.又由于a∈N*，所以a＝1.(2)由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2时取得等号，所以f(x)的最小值为3.10．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x，x<12，－x－2，12≤x≤1，3x－6，x>1.其图象如图D79.从图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.图D79所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)当x∈⎝⎛⎭⎫－a2，12时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.所以x≥a－2对x∈⎝⎛⎭⎫－a2，12都成立．故－a2≥a－2，即a≤43.从而a的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，43.。
沪教版(上海)六年级数学第二学期第六章一次方程(组)和一次不等式(组)专项测评练习题(含详解)
第六章一次方程（组）和一次不等式（组）专项测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、不等式组212x x <⎧⎪⎨≥⎪⎩的解集在数轴上应表示为（ ） A ． B ．C ．D ．2、一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20％，另一件亏损20％，卖这两件衣服的盈亏情况为（ ）A ．盈利5元B ．亏损5元C ．不盈不亏D ．无法计算3、如果二元一次方程组3x y a x y a-=⎧⎨+=⎩的解是二元一次方程3570x y --=的一个解,那么a 的值是( ) A ．9 B ．7 C ．5 D ． 34、若关于x 的一元一次方程351923x m x m ---=的解，比关于x 的一元一次方程﹣2（3x ﹣4m ）＝1﹣5（x ﹣m ）的解大15，则m ＝（ ）A ．2B ．1C ．0D ．﹣15、下列不等式是一元一次不等式的是（ ）A ．23459x x >-B ．324x -<C ．12x < D ．4327x y -<-6、下列方程中，是二元一次方程组的是（ ）A ．123xy x y =⎧⎨+=⎩B ．231x y y x +=⎧⎨-=⎩C ．1111x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩D ．23x z x y +=⎧⎨+=⎩ 7、大车平均速度每小时80公里，小车平均速度每小时100公里，则大车和小车行驶完同一条路的时间之比是（ ）A ．80：100B ．100：80C ．4：5D ．5：48、下列说法中，正确的是（ ）A ．若a b =，则22a b +=-B ．若a b =，则44a b -=-C ．若22a =，则1a =D ．若20a b --=，则2a b =-9、不等式820x ->的解集在数轴上表示正确的是 （ ）A ．B ．C ．D ．10、下面方程是一元一次方程的是（ ）A ．31x -B ．x y y x +=+C ．21x =D ．310x -=第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、某活动小组购买了4个篮球和5个足球，共花费435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球和足球的单价．设足球的单价为x 元，依题意可列方程为________．2、若2x =是方程342x x a -=-的解，则201120111a a+的值是_______． 3、若关于x 的方程2236kx m x nk +-=+，无论k 为任何数时，它的解总是x ＝2，那么m +n ＝_____． 4、解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行___，把“三元”___ “二元”，使解三元一次方程组转化为解_____，进而再转化为解_____．5、如果一个数的56是65，那么这个数是_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、解方程：（1）4x -10=6（x -2）（2）10349.52.525x x +++= 2、 若关于x 的方程0ax b +=（a ≠0）的解与关于y 的方程0cy d +=（c ≠0）的解满足1x y -=，则称方程0ax b +=（a ≠0）与方程0cy d +=（c ≠0）是“美好方程”．例如：方程2+15x =的解是2x =，方程10y -=的解是1y =，因为1x y -=，方程2+15x =与方程10y -=是“美好方程”．（1）请判断方程532x -=与方程()213y +=是不是“美好方程”，并说明理由；（2）若关于x 的方程3212x k x k +-=+与关于y 的方程413y -=是“美好方程”，请求出k 的值；（3）若无论m 取任何有理数，关于x 的方程232x ma b m +-=（,a b 为常数）与关于y 的方程125y y +=-都是“美好方程”，求ab 的值．3、阅读与解答：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a |．数轴上表示数a 的点与表示数b 的点的距离记作|a -b |，如|3-5|表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，|3+5|=|3-（-5）|表示数轴上表示数3的点与表示数-5的点的距离，|a -3|表示数轴上表示数a 的点与表示数3的点的距离．根据以上材料解答下列问题：已知数轴上两点A、B对应的数分别为－1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；（2）利用数轴探究：满足|x－3|+|x+1|=8的x的所有值；（3）当点P以每秒6个单位长的速度从O点向右运动时，点A以每秒6个单位长的速度向右运动，点B以每秒钟5个单位长的速度向右运动，问它们同时出发，几秒后P点到点A、点B的距离相等？4、某校艺术节表演了30个节目，其中歌曲类节目比舞蹈类节目的3倍少2个，问歌唱类节目和舞蹈类节目各有多少个．5、果园里有桃树500棵，比苹果树的棵数多19，苹果树有多少棵？-参考答案-一、单选题1、B【分析】在数轴上把不等式组的解集表示出来，即可选项答案．【详解】解：不等式组212xx<⎧⎪⎨≥⎪⎩的解集在数轴上应表示为：故选：B．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集等知识点，注意：在数轴上表示不等式组的解集时，包括该点时用实心点，不包括该点时用空心点．2、B【分析】首先设盈利的衣服的进价为x 元，亏损的衣服的进价为y 元，根据题意列出方程，求解即可.【详解】设盈利的衣服的进价为x 元，亏损的衣服的进价为y 元，依题意，得：60﹣x ＝20%x ，60﹣y ＝﹣20%y ，解得：x ＝50，y ＝75，∴60+60﹣x ﹣y ＝﹣5（元）．答：卖这两件衣服总的是亏损，亏损了5元钱．故选择B【点睛】此题主要考查一元一次方程的实际应用，解题关键是理解题意，列出关系式.3、B【分析】先求出3x y a x y a -=⎧⎨+=⎩的解，然后代入3570x y --=可求出a 的值． 【详解】解：3x y a x y a -=⎧⎨+=⎩①②， 由①+②，可得2x ＝4a ，∴x ＝2a ，将x ＝2a 代入①，得2a -y =a ，∴y ＝2a ﹣a ＝a ，∵二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，∴将2x a y a =⎧⎨=⎩代入方程3x ﹣5y ﹣7＝0，可得6a ﹣5a ﹣7＝0， ∴a ＝7，故选B ．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，以及二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．4、A【分析】 分别求出方程351923x m x m ---=的解为114137m x +=，方程()()23415x m x m --=--的解为31x m =-，然后根据题意得到1141331157m m +=-+，由此求解即可． 【详解】 解：351923x m x m ---= 去分母得：()()3352114x m x m ---=，去括号得：91522114x m x m --+=，移项得：92114152x x m m -=+-，合并得：711413x m =+，系数化为1得：114137m x +=；()()23415x m x m --=--去括号得：68155x m x m -+=-+，移项得：65158x x m m -+=+-，合并得：13x m -=-，系数化为1得：31x m =-；∵关于x 的一元一次方程351923x m x m ---=的解，比关于x 的一元一次方程()()23415x m x m --=--的解大15， ∴1141331157m m +=-+， ∴114132198m m +=+，解得2m =，故选A ．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法．5、B【分析】根据含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式进行分析即可．【详解】解：A 、未知数的次数含有2次，不是一元一次不等式，故此选项不合题意；B 、是一元一次不等式，故此选项符合题意；C 、1x是分式，故该不等式不是一元一次不等式，故此选项不合题意；D 、含有两个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不合题意；故选：B ．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式定义，关键是掌握一元一次不等式的定义．6、B【分析】根据二元一次方程组的定义解答．【详解】解：A 中含有两个未知数，含未知数的项的最高次数为2，故不符合定义；B 符合定义，故是二元一次方程组；C 中含有分式，故不符合定义；D 含有三个未知数，故不符合定义；故选：B ．【点睛】此题考查了二元一次方程组定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程是二元一次方程组，熟记定义是解题的关键．7、D【详解】解：设该条路的长度为S ，则5:801004S S ，即大车和小车行驶完同一条路的时间之比是5:4． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程并解答．8、B【分析】依据等式的性质，依次判断即可．【详解】解：A. 若a b =，根据等式的性质一，两边同时加2，则22a b +=+，故该选项错误，不符合题意；B. 若a b =，根据等式的性质二，两边同时乘-4，则44a b -=-，故该选项正确，符合题意；C. 若22a =，根据等式的性质二，两边同时乘4，则4a =，故该选项错误，不符合题意； D. 若20ab --=，根据等式的性质一，两边同时加2b +，则2a b =+，故该选项错误，不符合题意； 故选：B ．【点睛】本题考查等式的性质．性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．9、B【分析】先解不等式，得到不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可.【详解】解：820x ->，移项得：28,x解得：4,x <所以原不等式得解集：4x <．把解集在数轴上表示如下：故选B【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，掌握“画图时，小于向左拐，大于向右拐”是解本题的关键，注意实心点与空心圈的使用.10、D【详解】解：A 、31x -不是等式，不是一元一次方程，此项不符题意；B 、x y y x +=+整理为00=，不含有未知数，不是一元一次方程，此项不符题意；C 、21x =中的未知数的次数是2，不是一元一次方程，此项不符题意；D 、310x -=是一元一次方程，此项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了一元一次方程，熟记一元一次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程）是解题关键．二、填空题1、()435435x x ++=【分析】找准等量关系建立等式即可【详解】设足球的单价为x 元，则篮球单价为x+3故有：4(x +3)+5x =435故答案为：4(x +3)+5x =435【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系是关键．2、2-【分析】将2x =代入方程342x x a -=-中，解出a 的值；将a 的值代入201120111a a+中，进而得出结果． 【详解】解：将2x =代入342x x a -=- 得23242a ⨯-=- 解得1a =-将1a =-代入201120111a a + 得201120111(1)(1)-+- 1(1)=-+-2=-故答案为：2-．【点睛】本题考察了方程中字母的求解、整数指数幂．解题的关键与难点在于正确的求出a 的值以及a 的指数幂．解题技巧：1-的奇次幂值为1-；1-的偶次幂值为1．3、﹣1【分析】将x =2代入原方程即可求出答案【详解】解：将x =2代入2236kx m x nk +-=+， 42236k m nk +-∴=+， ∴（8+n ）k =14-2m ，由题意可知：无论k 为任何数时（8+n ）k =14-2m 恒成立，∴n +8=0，14-2m =0，∴n =-8，m =7，∴m +n =-8+7=-1，故答案为：-1．【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．4、消元 化为 二元一次方程组 一元一次方程【分析】利用解三元一次方程组的基本思想-消元的思想，判断即可得到结果．【详解】解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．故答案为：消元；化为；二元一次方程组；一元一次方程【点睛】此题考查了解三元一次方程组的思路，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．5、3625【分析】设这个数是x，根据这个数的56是65，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设这个数是x，依题意得：56x＝65，解得：x＝36 25．故答案为：36 25．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．三、解答题1、（1）x=1（2）x=-12【分析】（1）先去括号、再移项，最后系数化为1即可；（2）按照去分母、去括号、再移项，最后系数化为1的步骤解答即可．（1）解：4x-10=6x-12，4x-6x=-12+10，-2x=-2，x=1．（2） 解：10349.52.525x x +++= 50x +15+25=8x +1942x =-21x =-12．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的基本步骤为去分母、去括号、再移项，最后系数化为1．2、（1）不是，理由见解析（2）0k =或23k =-（3）20ab =或28ab =【分析】（1）分别求出方程的解，再判断1x y -=，即可求解； （2）分别解出方程，再代入1x y -=，求出k 即可；（3）先解出方程125y y +=-，再代入1x y -=，求出x 的值，最后代入232x ma b m +-=即可求出ab 的值．（1）532x -=的解为1x =，()213y +=的解为12y =， 1||112x y ∴-=-≠，∴方程532x -=与方程()213y +=不是“美好方程”；（2） ∵3212x k x k +-=+的解为32x k =+， 413y -=解为1y =||3211x y k ∴-=+-=203k k ∴==-或 （3）125y y +=-的解为6y =∵关于x 的方程232x ma b m +-=（,a b 为常数）与关于y 的方程125y y +=-都是“美好方程”， ∴1x y -=∴5x =或7x = ∴232x ma b m +-=的解为5x =或7x = 即关于x 的方程232x ma b m +-=，无论m 为何值，方程的解都是5x =或7x = ∴5x =代入得232x ma b m +-=，1032ma b m +-=，整理得(26)320a m b -=- 7x =代入得232x ma b m +-=，1432ma b m +-=，整理得(26)328a m b -=- 203,3a b ∴==或283b = 20ab ∴=或28ab =【点睛】本题考查一元一次方程的解，理解新定义并熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．3、（1）P点对应的数为1（2）x的值为－3或5（3）它们出发2秒或4秒后P到A、B点的距离相等【分析】（1）根据点P到点A、点B的距离相等列方程求解；（2）|x－3|和|x+1|=8表示P点到数轴表示3和－1的点的距离之和为8，然后分3种情况求解；（3）分P点在点B左侧和P点在点B右侧两种情况求解．（1）解：∵点P到点A、点B的距离相等，∴P点只能在A、B之间，∴PA=PB，∴x-(-1)=3-x，∴x=1，∴P点对应的数为1．（2）解：|x－3|和|x+1|=8表示P点到数轴表示3和－1的点的距离之和为8，①当P在A点左侧时，PA+PB=8，∴(-1-x)+(3-x)=8，∴x=－3；②当P在B点右侧时，PA+PB=8，∴x-3+(x+1)=8，∴x =5；③当P 在点A 、B 之间时，x 不存在．∴x 的值为－3或5．所以答案为：－3和5．（3）解：设t 秒后P 点到点A 、点B 的距离相等，当P 点在点B 左侧时，5t +3－6t =1，∴t =2当P 点在点B 右侧时，6t －(5t +3)=1，∴t =4，∴它们出发2秒或4秒后P 到A 、B 点的距离相等．【点睛】此题考查了数轴上两点间的距离及一元一次方程的应用，分类讨论是解（2）（3）的关键．4、歌唱类节目和舞蹈类节目分别有22个和8个【分析】由题意，歌唱类节目+舞蹈类节目=30个，歌曲类节目=3倍舞蹈类节目-2个，设未知数列方程组求解．【详解】解：设歌唱类节目x 个，舞蹈类节目y 个，由题意，得3032x y x y +=⎧⎨=-⎩， 解得：228x y =⎧⎨=⎩， 答：歌唱类节目和舞蹈类节目分别有22个和8个．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确找到等量关系，并以此列出方程是解题的关键． 5、450棵【分析】设苹果树有x 棵，依题意列一元一次方程求解即可．【详解】解：设苹果树有x 棵，依题意得，115009x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 解得，x=450，答：苹果树有450棵．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找等量关系是解本题的关键．。
第六章第四节基本不等式
第六章 第四节 基本不等式课下练兵场、选择题11 .已知 f(x)= x +1— 2(x v 0),则 f(x)有解析：■/ x v 0,.・.—x > 0,即 x =— 1. 答案：C2 D.2解析：■/ 0 v x v 1, • 4— 3x > 0, 1• x(4 — 3x) = 3 3x(4 — 3x)2 42 )= 4, 1 3x + 4 — 3x w3 当且仅当3x = 4— 3x ,即x = f 时取得等号.答案: 3. (2019 1 1 t —重庆高考）已知a >0, b >0,则一 + 7 + 2 ab 的最小值是a bB . 2 2解析:•/ 1 + 7+ 2题》承+ 2题》2^2 X 2 = 4.当且仅当 F_，a bab、ab =1时，等号成A .最大值为0B .最小值为0C .最大值为—4D .最小值为—••• x + - — 2 =— (— x +—x )-2 w-2-x —x—2=-4等号成立的条件是1x=—x ，2 .若 0v x v 1, 则f （ x ） = x （4 — 3x ）取得最大值时,x 的值为 1B.1答案：C4.已知圆 x 2 + y 2+ 2x — 4y + 1 = 0 关于直线 2ax — by + 2= 0(a >0, b >0)对称，贝V -+£的最a b 小值是( )B . 6解析：由圆的对称性可得， 直线2ax — by + 2= 0必过圆心(一1,2),所以a + b = 1.所以4+a答案：D5.设M 是厶ABC 内一点，且△ ABC 的面积为1,定义f(M)= (m , n , p),其中 m 、n 、p 1 1 4分别是△ MBC , △ MCA , △ MAB 的面积，若f(M)= (； x , y),贝匕+丁的最小值是( )A . 8B . 9C . 16D . 181解析：由厶ABC 的面积为△ MBC , △ MCA , △ MAB 的面积之和，所以-+ x + y = 1,即1 1.4 J . 48x . 2y.x + y = 2 x + y = (x +「(2x + 2y)= 10+ - +> 16 17 18・当且仅当區=2^,l 卩y = 2x 时，即x = £ y =扌时取等号.y x 6 3 答案：D6. (2019惠州模拟)某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0vt w 30)的关系大致满足 f(t) = t 2 + 10t + 16,则该商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为 嚅)的月饼最少为A . 18B . 27C . 20D . 16f(t) t 2 + 10t + 1616=t +寸 + 10> 18.当且仅当t =半，即t = 4 € [1,30]等号成立， 即平均销售量的最小值为 18. 答案：A 二、填空题7. (2019南京模拟)若log m n =— 1,贝U 3n + m 的最小值是 __________ . 解析：log m n = — 1, ••• m = n ,4(a + b)计 a + b 4b , a，当且仅当 4T =b ，即a =2b 时取等号.=+ + 5> 2 b a b解析：平均销售量y= ¥=1 -8.> 2/• mn = 1, ■/ n >0, m > 0 且 m ^ 1,当且仅当x 2= 2,即卩x = + 3时取等号. 答案：1 + 39 .当a > 0,1时，函数f(x)= log a (x — 1) +1的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线 mx — y+ n = 0上，则4m + 2n 的最小值是 _________ . 解析：A(2,1)，故 2m + n = 1. ••• 4m + 2n > 2 ,4m 2n = 2 22m + n = 2 2.当且仅当4m = 2n ，即卩2m = n ，即卩n = £ m =三时取等号.2 4 • 4m + 2n 的最小值为2 2. 答案：2 2 三、解答题10. (1)求函数y = x(a — 2x)(x > 0，a 为大于2x 的常数)的最大值; (x + 5)(x + 2)占厶曰居 (2)设x >— 1，求函数y = x + 1的最值. 解：(1) •/x > 0，a >2x ，1• y = x(a — 2x)= 2x(a — 2x)W1x [2x+ (a — 2x)]2 22a_8，2 a_⑵•/ x >— 1， • x + 1>0， 设 x + 1 = z >0，贝U x = z — 1，2(z + 4)(z + 1) z + 5z + 4 4 _ y = = = z + 一 + 5/• 3n + m > 2 3mn = 2 3. 答案： 8 .函数解析:2 3 2x y = x °+ 9(x 丰0)的最大值为x 21 1x + rx，此时x 的值为等号，故函数的最大值为当且仅当x =z4+ 5=9,xx当且仅当z = 2即x = 1时上式取等号， x = 1时，函数y 有最小值9,无最大值.*^a b^11.已知：a , b 是正常数，x , y € R ,且a + b = 10, x + y = 1, x + y 的最小值为18,求a 、 b 的值. a b解：■/ x + y =（x + y ）q + y ） =a + b ++ "》a + b + 2 ；.：aby x w当且仅当bx 2= ay 2时等号成立..x + y 的最小值为 a + b + 2 ab = 18 又 a + b = 10.① .2 ab = 8, .ab = 16.②由①②可得a = 2, b = 8或a = 8, b = 2. 12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积水处理池，池的深度一定 （平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为 248元/米，池底建造单价为80元/米 2,水池所有墙的厚度忽略 不计.2X 162 1 296 X 100则总造价 f （x ）=400 X（2x +"^-）+248X 2x + 80X 162=4 5 296x+—L+1 2960=1 296（x + 警）+ 12 960 > 1 296 X2当且仅当x =迪°（x > 0）,即x = 10时取等号..当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元.0 x = 16 1⑵由限制条件知 162 , 10一三x < 6.0< ——< 16 85 100 1设 g(x) = x + —(10-< x w 16),X 84 试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；5 若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过 16米，试设计污水池的长和宽，使总造 价最低，并求出最低总造价.x 为162平方米的三级污解：（1）设污水处理池的宽为 x 米，则长为 162x米. + 12 960 = 38 880（元）,1由函数性质易知g(x)在[10-, 16]上是增函数，•••当x= 10 -时(此时些=16),8 xg(x)有最小值,即f(x)有最小值1 8001296 X (10 -+ ) + 12960 = 38 882(元).8 81•当长为16米，宽为10 £米时，总造价最低，为838 882 元.。
高考数学复习 第六章 不等式6章 综合测试
第六章 不等式综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1．(2009·四川，7)已知a ，b ，c ，d 为实数，且c ＞d .则“a ＞b ”是“a －c ＞b －d ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B解析：∵a －c ＞b －d ，c ＞d 两个同向不等式相加得a ＞b 但c ＞d ，a ＞b ⇒/ a －c ＞b －d .例如a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－3时，a －c ＜b －d .故选B.2．(2010·保定市摸底考试)已知a ∈R，则“a >2\”是“a 2>2a \”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：由a 2>2a 得a (a －2)>0即a >2或a <0，因此a >2是a 2>2a 的充分不必要条件，故选A.3．(2009·成都市第一次诊断性检测)下列四个命题中正确的是 ( ) A ．若a 、b ∈R，则|a |－|b |＜|a ＋b | B ．若a 、b ∈R，则|a －b |＜|a |＋|b |C ．若实数a 、b 满足|a －b |＝|a |＋|b |，则ab ≤0D ．若实数a 、b 满足|a |－|b |＜|a ＋b |，则ab ＜0 答案：C4．当x ∈R ＋时，下列函数中，最小值为2的是 ( )A ．y ＝x 2－2x ＋4 B ．y ＝x ＋16xC ．y ＝x 2＋2＋1x 2＋2D ．y ＝x ＋1x答案：D5．(2009·辽宁模拟)不等式1x＜x 的解集是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案：C解析：1x ＜x ⇔(x －1)(x ＋1)x＞0.用标根法(如图)可知－1＜x ＜0或x ＞1.6．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd的最小值是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．4答案：D解析：由等差、等比数列的性质得(a ＋b )2cd＝(x ＋y )2xy＝x y ＋y x ＋2≥2y x ·xy＋2＝4，当且仅当x ＝y 取“＝”，故选D.总结评述：考查等比、等差数列的性质及均值定理的应用． 7．(2009·湖北省八校高三第一次联考)设p ：|4x －3|≤1；q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若┐p 是┐q 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是 ( )A ．[0，12]B ．(0，12)C ．(－∞，0]∪[12，＋∞)D ．(－∞，0)∪(12，＋∞)答案：A解析：∵p ：|4x －3|≤1，∴p ：12≤x ≤1，┐p ：x ＞1或x ＜12；∵q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，∴q ：a ≤x ≤a ＋1，┐q ：x ＞a ＋1或x ＜a . 又∵┐p 是┐q 的必要而不充分条件， 即┐q ⇒┐p ，而┐p ⇒/ ┐q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12a ＋1≥1⇒0≤a ≤12.故选A.8．若2－m 与|m |－3同号，则m 的取值范围是 ( ) A ．(3，＋∞) B ．(－3,3)C ．(2,3)∪(－∞，－3)D ．(－3,2)∪(3，＋∞) 答案：C解析：由(2－m )(|m |－3)＞0得(m －2)(|m |－3)＜0，两边同乘以|m |＋3得(m 2－9)(m －2)＜0，即(m －3)(m －2)(m ＋3)＜0∴m ＜－3或2＜m ＜3，故选C.9．a ，b 为正实数且a ，b 的等差中项为A ；1a ，1b的等差中项为1H；a ，b 的等比中项为G (G＜0)，则( )A ．G ≤H ≤AB ．H ≤G ≤AC ．G ≤A ≤HD ．H ≤A ≤G答案：B解析：由题意知A ＝a ＋b2，H ＝2ab a ＋b ，G ＝ab 易知a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b， ∴A ≥G ≥H .10．(2010·唐山市摸底考试)已知实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则2a ＋4b的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 答案：B解析：2a ＋4b ＝2a ＋22b ≥22a ·22b ＝22a ＋2b＝22，故选B.11．(2008·重庆模拟卷)已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0＜x ＜3时，f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )·cos x ＜0的解集为 ( )A ．(－3，－π2)∪(0,1)∪(π2，3)B ．(－π2，－1)∪(0,1)∪(π2，3)C ．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)D ．(－3，－π2)∪(0,1)∪(1,3)答案：B解析：由图象可知0＜x ＜1时，f (x )＜0；当1＜x ＜3时，f (x )＞0. 再由f (x )是奇函数，知当－1＜x ＜0时，f (x )＞0； 当－3＜x ＜－1时，f (x )＜0.再结合余弦函数的图象，得x ∈(－π2，－1)∪(0,1)∪(π2，3)．12．(2009·黄冈中学一模)已知不等式|a －2x |＞x －1，对任意x ∈[0,2]恒成立，则a 的取值范围为 ( )A ．(－∞，－1)∪(5，＋∞)B ．(－∞，2)∪(5，＋∞)C ．(1,5)D ．(2,5) 答案：B解析：当0≤x ≤1时，不等式 |a －2x |＞x －1，a ∈R；当1≤x ≤2时，不等式|a －2x |＞x －1，即a －2x ＜1－x 或a －2x ＞x －1，x ＞a －1或3x ＜1＋a ，由题意得1＞a －1或6＜1＋a ，a ＜2或a ＞5；综上所述，则a 的取值范围为(－∞，2)∪(5，＋∞)，故选B. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。
高考数学总复习 第六章 不等式配套章末综合检测(含解析)新人教A版
第六章章末综合检测(学生用书为活页试卷 解析为教师用书独有)(检测范围：第六章) (时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的)1．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是 ( )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a c >b c，则a >bC ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b解析 C 当c ＝0时，可知选项A 不正确；当c <0时，可知B 不正确；由a 3>b 3且ab <0知a >0且b <0，所以1a >1b成立；当a <0且b <0时，可知D 不正确．2．(2013·洛阳模拟)若集合A ＝{x ||x －2|≤3，x ∈R }，B ＝{y |y ＝1－x 2，x ∈R }，则A ∩B ＝( )A ．[0,1] B.[0，＋∞) C ．[－1,1]D.∅解析 C 由|x －2|≤3，得－1≤x ≤5，即A ＝{x |－1≤x ≤5}；B ＝{y |y ≤1}．故A ∩B ＝[－1,1]．3．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，在验证n ＝1时，左边计算所得的式子为( )A ．1 B.1＋2 C ．1＋2＋22D.1＋2＋22＋23解析 D 当n ＝1时，左边＝1＋2＋22＋23. 4．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0 B.最小值0 C ．最大值为－4D.最小值为－4解析 C ∵x <0，∴－x >0，∴x ＋1x－2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋1－x －2≤－2·－x ·1－x－2＝－4， 等号成立的条件是－x ＝1－x，即x ＝－1.5．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都不大于－2 B.都不小于－2 C ．至少有一个不大于－2D.至少有一个不小于－2解析 C 因为a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a≤－6，所以三者不能都大于－2.6．(2013·西安模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞) B.(－3,1)∪(2，＋∞) C ．(－1,1)∪(3，＋∞) D.(－∞，－3)∪(1,3)解析 A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x ＋6>3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －1x －3>0，得0≤x <1或x >3，①由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3，得－3<x <0，②由①②可得－3<x <1或x >3.7．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( )A ．2 B.2 2 C ．4D.5解析 C ∵a >0，b >0， ∴1a ＋1b ＋2ab ≥21ab＋2ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，∴⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＋2ab min ＝4. 8．设z ＝x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0x －y ≤00≤y ≤k，若z 的最大值为6，则z 的最小值为A ．－2 B.－3 C ．－4D.－5解析 B 如图，x ＋y ＝6过点A (k ，k )，k ＝3，z ＝x ＋y 在点B 处取得最小值，B 点在直线x ＋2y ＝0上，B (－6,3)，∴z min ＝－6＋3＝－3.9．(2013·绵阳模拟)要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明 ( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B.a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.a ＋b22－1－a 2b 2≤0D.(a 2－1)(b 2－1)≥0解析 D 因为a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0，故选D. 10．设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)满足f (m )<0，则f (m ＋1)的符号是 ( )A ．f (m ＋1)≥0 B.f (m ＋1)≤0 C ．f (m ＋1)>0D.f (m ＋1)<0解析 C ∵f (x )的对称轴为x ＝－12，f (0)＝a >0，∴由f (m )<0，得－1<m <0， ∴m ＋1>0，∴f (m ＋1)>f (0)>0.11．已知m >0，a 1>a 2>0，则使得m 2＋1m≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立的x 的取值范围是A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，4a1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，4a2解析 C m 2＋1m ＝m ＋1m≥2，所以要使不等式恒成立，则有2≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立，即－2≤a ix －2≤2，所以0≤a ix ≤4，因为a 1>a 2>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4a10≤x ≤4a2, 即0≤x ≤4a 1，所以使不等式恒成立的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，4a1，故选C.12．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为( )A.256B.83C.113D.4解析 A 作出可行域(四边形OBAC 围成的区域，包括边界)如图，作出直线l ：ax ＋by ＝0，当直线l 经过点A 时，z ＝ax ＋by 取得最大值．解⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，3x －y －6＝0，得点A (4,6)，∴4a ＋6b ＝12，即a 3＋b2＝1， ∴2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋b 2 ＝23＋32＋a b ＋b a ≥23＋32＋2＝256， 当且仅当a ＝b 时取等号．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论：________.解析 由等比数列的性质可知，b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20，∴10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30 .【答案】10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 3014．(2013·武汉模拟)若关于x 的不等式ax 2＋2x ＋a >0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________．解析 当a ＝0时，易知条件不成立；当a ≠0时，要使不等式ax 2＋2x ＋a >0的解集为R ，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a 2<0，解得a >1.【答案】 (1，＋∞)15．若x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥12y －x ≤2y ≥mx，且y ＋12x 的最大值为2，则实数m 的值为________．解析设z ＝y ＋12x ，当y ＋12x 取最大值2时，有y ＋12x ＝2，先做出不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，2y －x ≤2对应的可行域，要使y ＋12x 取最大值2，则说明此时为区域内使直线z ＝y ＋12x 的截距最大，即点A 在直线y ＝mx 上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12x ＝22y －x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝32，代入直线y ＝mx 得，m ＝32.【答案】 3216．某公司租地建仓库，每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，这项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________ km 处．解析 设仓库建在离车站d km 处，由已知y 1＝2＝k 110，得k 1＝20，∴y 1＝20d.由y 2＝8＝10k 2，得k 2＝45，∴y 2＝45d .∴y 1＋y 2＝20d ＋4d5≥220d ·4d5＝8， 当且仅当20d ＝4d5，即d ＝5时，费用之和最小．【答案】 5三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a . 解析 要证b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2， 因为a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2， 只需证2a 2－ab －b 2>0， 只需证(a －b )(2a ＋b )>0， 只需证(a －b )(a －c )>0.因为a >b >c ，所以a －b >0，a －c >0， 所以(a －b )(a －c )>0，显然成立． 故原不等式成立．18．(12分)设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，如果M ⊆[1,4]，求实数a 的取值范围．解析 (1)当Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，即－1<a <2时，M ＝∅，满足题意；(2)当Δ＝0时，a ＝－1或a ＝2.a ＝－1时M ＝{－1}，不合题意；a ＝2时M ＝{2}，满足题意；(3)当Δ>0，即a >2或a <－1时，令f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，要使M ⊆[1,4]，只需⎩⎪⎨⎪⎧1<a <4，f 1＝3－a ≥0，f 4＝18－7a ≥0，得2<a ≤187；综上，－1<a ≤187.19．(12分)已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a 、b 的值． 解析 (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0， 即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3. ∴不等式解集为{a |3－23<a <3＋23}． (2)f (x )>b 的解集为(－1,3)，即方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝a 6－a3，－3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.20．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝1，当n ∈N *时，a n ＋2＝a n ＋1＋a n .求证：数列{a n }的第4m ＋1(m ∈N *)项能被3整除．解析 (1)当m ＝1时，a 4m ＋1＝a 5＝a 4＋a 3＝(a 3＋a 2)＋(a 2＋a 1)＝(a 2＋a 1)＋2a 2＋a 1＝3a 2＋2a 1＝3＋0＝3.即当m ＝1时，第4m ＋1项能被3整除．命题成立． (2)假设当m ＝k 时，a 4k ＋1能被3整除，则当m ＝k ＋1时，a 4(k ＋1)＋1＝a 4k ＋5＝a 4k ＋4＋a 4k ＋3＝2a 4k ＋3＋a 4k ＋2＝2(a 4k ＋2＋a 4k ＋1)＋a 4k ＋2＝3a 4k ＋2＋2a 4k ＋1.显然，3a 4k ＋2能被3整除，又由假设知a 4k ＋1能被3整除， ∴3a 4k ＋2＋2a 4k ＋1能被3整除．即当m ＝k ＋1时，a 4(k ＋1)＋1也能被3整除．命题也成立．由(1)和(2)知，对于任意n ∈N *，数列{a n }中的第4m ＋1(m ∈N *)项能被3整除． 21．(12分)已知函数f (x )＝x ＋b1＋x2为奇函数． (1)证明：函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数； (2)解关于x 的不等式f (1＋2x 2)＋f (－x 2＋2x －4)>0.解析 (1)∵函数f (x )＝x ＋b1＋x2为定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，即b ＝0，∴f (x )＝xx 2＋1，∴f ′(x )＝x 2＋1－x ·2xx 2＋12＝1－x 2x 2＋12.当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数． (2)由f (1＋2x 2)＋f (－x 2＋2x －4)>0，得f (1＋2x 2)>－f (－x 2＋2x －4)．∵f (x )是奇函数，∴f (1＋2x 2)>f (x 2－2x ＋4)．又∵1＋2x 2>1，x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3>1，且f (x )在(1，＋∞)上为减函数， ∴1＋2x 2<x 2－2x ＋4，即x 2＋2x －3<0， 解得－3<x <1.∴不等式f (1＋2x 2)＋f (－x 2＋2x －4)>0的解集为{x |－3<x <1}．22．(14分)(2013·南京模拟)某种商品定价为每件60元，不加收附加税时每年大约销售80万件，若政府征收附加税，每销售100元要征税p 元(即税率为p %)，因此每年销售量将减少203p 万件．(1)将政府每年对该商品征收的总税金y (万元)表示成p 的函数，并指出这个函数的定义域；(2)要使政府在此项经营中每年收取的税金不少于128万元，问税率p %怎样确定？ (3)在所收税金不少于128万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则应如何确定p 值？解析 (1)由题意，该商品年销售量为⎝ ⎛⎭⎪⎫80－203p 万件，年销售额为60⎝ ⎛⎭⎪⎫80－203p 万元，故所求函数为y ＝60⎝⎛⎭⎪⎫80－203p ·p %.由80－203p >0，且p >0得，定义域为(0,12)．(2)由y ≥128，得60⎝ ⎛⎭⎪⎫80－203p ·p %≥128，化简得p 2－12p ＋32≤0，(p －4)(p －8)≤0，解得4≤p ≤8.故当税率在[4%,8%]内时，政府收取的税金不少于128万元．(3)当政府收取的税金不少于128万元时，厂家的销售额为g (p )＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫80－203p (4≤p ≤8)．∴g (p )为减函数，∴[g (p )]max ＝g (4)＝3 200(万元)．即当p ＝4时，厂家获得最大销售额．。
第六章第一节不等关系与不等式
一、选择题1．(2011·长沙一模)若a ，b ∈R ，则下列命题正确的是( )A ．若a >b ，则a 2>b 2B ．若|a |>b ，则a 2>b 2C ．若a >|b |，则a 2>b 2D ．若a ≠|b |，则a 2≠b 2解析：∵a >|b |≥0，∴a 2>b 2.答案：C2．(2011·泉州质检)已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定解析：由题意得M －N ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)>0，故M >N .答案：B3．设a ，b 是非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是( )A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2bC.1ab 2<1a 2bD.b a <a b解析：当a <0，b >0时，a 2<b 2不一定成立，故A 错．因为ab 2－a 2b ＝ab (b －a )，b －a >0，ab 符号不确定，所以ab 2与a 2b 的大小不能确定，故B 错．因为1ab 2－1a 2b ＝a －b a 2b 2<0，∴1ab 2<1a 2b.故C 正确． D 项中b a 与a b 的大小不能确定．答案：C4．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( )A ．ab <b 2<1B ．12log b <12log a <0C ．2b <2a <2D ．a 2<ab <1解析：取a ＝12，b ＝13验证可得． 答案：C5．(2012·厦门模拟)设命题p ：若a >b ，则1a <1b ，q ：若1ab<0，则ab <0.给出以下3个复合命题，①p ∧q ；②p ∨q ；③綈p ∧綈q .其中真命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：p 为假命题，q 为真命题，所以②为真命题．答案：B二、填空题6．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是________．解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3.答案：(－3,3)7．若x ＞y ，a ＞b ，则在①a －x ＞b －y ，②a ＋x ＞b ＋y ，③ax ＞by ，④x －b ＞y －a ，⑤a y ＞b x 这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x ＞y ，a ＞b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5，∴a －x ＝b －y .因此①不成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by .因此③也不正确．又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝b x .因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出②④成立．答案：②④三、解答题8．已知a >0，b >0，试比较M ＝a ＋b 与N ＝a ＋b 的大小．解：∵M 2－N 2＝(a ＋b )2－(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab －a －b ＝2ab >0，∴M >N .9．已知奇函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上是单调递减函数，α，β，γ∈R 且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0.试说明f (α)＋f (β)＋f (γ)的值的与0的关系．解：由α＋β>0，得α>－β.∵f (x )在R 上是单调减函数，∴f (α)<f (－β)．又∵f (x )为奇函数，∴f (－β)＝－f (β)．∴f (α)<－f (β)．∴f (α)＋f (β)<0.同理f (β)＋f (γ)<0，f (γ)＋f (α)<0.∴f (α)＋f (β)＋f (γ)<0.10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？解：设从寝室到教室的路程为s ，甲、乙两人的步行速度为v 1，跑步速度为v 2，且v 1<v 2.甲所用的时间t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝s (v 1＋v 2)2v 1v 2， 乙所用的时间t 乙＝2s v 1＋v 2， ∴t 甲t 乙＝s (v 1＋v 2)2v 1v 2×v 1＋v 22s ＝(v 1＋v 2)24v 1v 2 ＝v 21＋v 22＋2v 1v 24v 1v 2>4v 1v 24v 1v 2＝1. ∵t 甲>0，t 乙>0，∴t 甲>t 乙，即乙先到教室．。
章末测试(不等式) (2)
不
等式(组)与
最大 (小) 方法值技问巧
等 式 及 其 平面区域
解法
简单的线性规
划问题
1.不题等式的性质
如下图所示),则每辆客车营运多少年,其营 运的年 平均利润最大?
y 17 O1 4 6 x
例 4 某商品进货价每件 50 元,据市场调查,
不等式的性质是不等式理论的基础,在应用
当销售价格(每件 x 元)在 50 x 80 时,每 不等式性质进行论证时,要注意每一个性质
的条件,不要盲目乱用或错用性质,特别要乘 天售出的件数为
法性质容易用错,要在记忆基础上加强训练,
提高应用的灵活性. 2.一元二次不等式的解法
P
105 (x 40)2
,若想每天获得的利润最多,销
售价格每件应定为多少元?
第□讲
一元一次不等式的解法是根据相应一元二次 专题三 一元一次不等式的解法
方程的根与二次函数图象求解,在求解含有 在高考试题中,一元二次不等式多与集合结
实用文档
精品文档
By C ,通过 Ax0 By0 C 的正负,结合原不 cx2 bx
等号方向判定.
a 0 的解集.
4.简单线性规划问题的解法
例
6
若不等式组
x2 x 2
2
x
2
(2k
0 5) x
5k
0
的整
简单线性规划问题的解法称为图解法,即通 数解只有 2 ,求 k 的取值范围.
过研究一族平行直线与可行域有交点时,直
每个初、高中班硬件配置分别为 28 万元和 例 1 已知 a,b R ，那么“ a2 b2 1”是“ ab 1
58 万元,将办学规模
a b ”的
配套PPT课件：第六章第六章 常考题型强化练——不等式
B．－α1，－1β D．－1β，－α1
解析 ∵不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为(α，β)，
而则不a<等0，式αc＋x2β＋＝b－x＋ba，a>α0β可＝化ac，为acx2＋bax＋1<0， 即 αβx2－(α＋β)x＋1<0，可得(αx－1)(βx－1)<0，
即x－α1x－1β<0， 所以其解集是1β，α1，故选 C.
时，
z＝x＋2y 的最大值是 z＝1＋2×5＝11；
A组 专项基础训练
1
2
3
4
5
6
7
y≤5， 5．若实数 x，y 满足不等式组2x－y＋3≤0，
x＋y－1≥0，
8
9 10
则 z＝|x|＋2y 的
最大值是 A．10
B．11
C．14
D．15
(C)
x<0， 当实数 x，y 满足不等式组2y≤x－5，y＋3≤0，
A组 专项基础训练
1
2
3
4
5
6
7
8
x＋y≤8， 2y－x≤4， 3．(2013·四川)若变量 x，y 满足约束条件x≥0， y≥0，
9 10
且 z＝
5y－x 的最大值为 a，最小值为 b，则 a－b 的值是
A．48
B．30
C．24
D．16
解析 画出可行域如图阴影部分(包括
边界)易解得 A(4,4)，B(8,0)，C(0,2)． 对目标函数令 z＝0 作出直线 l0，上
x＋y－1≥0
时，
z＝－x＋2y 的最大值是 z＝－(－4)＋2×5＝14.
因此，z＝|x|＋2y 的最大值是 14，选 C.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
姓名__________
章末测试
一、填空题
1．用不等式填空：（1）如果44y x -<-，那么y x _____，（2）如果02
1>-x ，则0___x 2．x 的2倍加上x 的%40大于5用不等式表示为_____________________
3．满足15<<-x 的整数x 是___________________
4．当m 为_______时，由y x >得my mx >，当m 为_______时，由y x >得my mx <，当m 为_______时，由y x >得my mx =.
5．代数式32-a 的值最大是1，则________a
6．不等式组⎩
⎨⎧>-≥+137253x x 的整数解是___________________ 二、选择题
1．下列按要求列出的不等式，错误的是（ ）
A 、m 是非负数，则0≥m
B 、m 是非正数，则0≤m
C 、m 不大于1-，则1-<m
D 、2倍的m 是负数，则02<m
2．若b a >，那么下列式子正确的是（ ）
A 、22+>-b a
B 、8
8b a < C 、bc ac < D 、33+-<+-b a 3．m 为什么值时，方程x m x +=+527的解在1-和1之间（ ）
A 、213>>m
B 、373>>m
C 、21211->>m
D 、2
121->>m 4．若方程6
253x b a x -=-的解是非负数，则a 与b 的关系是（ ） A 、b a 65-
≤ B 、b a 65≥ C 、b a 65-≥ D 、6528b a -≥ 5．如果0<<b a ，那么不等式b ax <的解集是（ ）
A 、a b x <
B 、a b x >
C 、a b x -<
D 、a
b x -> 6．不等式组⎩⎨⎧≤+-≥-4
213x x 的解集为（ ）
7．若不等式组⎩⎨⎧<>b
x a x 的解是b x a <<，则（ ）
A 、0<ab
B 、0>ab
C 、a b >>-0
D 、a b -<
8．不等式组⎩⎨⎧<-+≤12
3935x x x 的所有整数解的和是（ ）
A 、0
B 、4
C 、3-
D 、1
9．已知012>-x ，化简x x 312-+的结果是（ ）
A 、x -1
B 、15-x
C 、x 51-
D 、1-x
三、解不等式，并把解集在数轴上表示出来
1．4)2(3≥--x x 2．
5
374411073x x x +->++-
四、解下列不等式组 1．⎪⎩⎪⎨⎧-≥+->-3223)92(4143x x x x 2．⎪⎩⎪⎨⎧+≥+-≥--1
553123522x x x x
五、k 取哪些整数时代数式
729+x 与2
143-x 的差大于6且小于8 ？
六、k 是什么数时，方程)(365k x x +=-的解是正数.
七、已知关于x 、y 的二元一次方程组⎪⎩
⎪⎨⎧-=-+=-m y x m y x 321232的解中0>x ，0<y ，求m 的取值范围.。