一元二次方程基础训练

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一元二次方程根与系数的关系基础训练

浙教版数学八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关系（选学）基础训练一．选择题（共15小题）1．（2015•永春县自主招生）已知3m2﹣2m﹣5=0，5n2+2n﹣3=0，其中m，n为实数，则|m ﹣|=（）A．0 B．C．D．0或2．（2015•怀化校级自主招生）方程x2﹣2012|x|+2013=0的所有实数根之和是（）A．﹣2012 B．0 C．2012 D．20133．（2015•湖北校级自主招生）设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，则x13﹣4x22+15等于（）A．﹣4 B．8 C．6 D．04．（2015•武汉模拟）已知x1，x2是方程x2﹣x+1=0的两根，则x12+x22的值为（）A．3 B．5 C．7 D．45．（2015•宝鸡校级模拟）若k＞1，关于x的方程2x2﹣（4k+1）x+2k2﹣1=0的根的情况是（）A．有一正根和一负根 B．有两个正根C．有两个负根D．没有实数根6．（2015•潍坊校级一模）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．07．（2015•芦溪县模拟）设x1，x2是方程2x2﹣6x+3=0的两根，则x12+x22的值是（）A．15 B．12 C．6 D．38．（2016•吉安一模）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1+x2等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．49．（2015•西湖区一模）△ABC的一边长为5，另两边分别是方程x2﹣6x+m=0的两根，则m的取值范围是（）A．m＞B．＜m≤9 C．≤m≤9 D．m≤10．（2015•峨边县模拟）已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则x12+x22的最大值是（）A．19 B．18 C．15 D．1311．（2015•黄陂区校级模拟）如果一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，那么x1+x2=（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．112．（2015•遵义模拟）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=﹣1，那么p，q的值分别是（）A．1，﹣2 B．﹣1，﹣2 C．﹣1.2 D．1，213．（2015•溧水县一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（）A．B．﹣C．﹣D．14．（2015•湖北模拟）已知一元二次方程2x2+mx﹣7=0的一个根为x=1，则另一根为（）A．1 B．2 C．﹣3.5 D．﹣515．（2015•利川市模拟）若一元二次方程﹣3x2+6x+m=0的一个根为x1=3，则该方程的另一个根是（）A．x2=﹣1 B．x2=﹣3 C．x2=﹣5 D．x2=5二．填空题（共5小题）16．（2015•黄陂区校级模拟）已知x1，x2是一元二次方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两个实数根，且，则______．17．（2015•泗洪县校级模拟）已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为______．18．（2015•长清区模拟）若a，b是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则a2+b2=______．19．（2015•滨州模拟）若x1、x2是方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1•x2+x1+x2的值为______．20．（2015•东西湖区校级模拟）设方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=______．三．解答题（共8小题）21．（2015•黄冈中学自主招生）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m ﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．22．（2015•合肥校级自主招生）已知：关于x的方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：的值；（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？23．（2015•黄冈校级自主招生）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，使得（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80成立，求其实数a的可能值．24．（2015•黄冈中学自主招生）已知x1，x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的实数根（x1，x2可相等）（1）证明方程的两根都小于0；（2）当实数k取何值时x12+x22最大？并求出最大值．25．（2015•蓬溪县校级模拟）已知实数m，n（m＞n）是方程的两个根，求的值．26．（2015•湖北校级自主招生）已知m，n是方程x2+3x+1=0的两根（1）求（m+5﹣）﹣的值（2）求+的值．27．（2015•泗洪县校级模拟）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有实数根，（1）求m的取值范围；（2）若方程的一个根为1，求m的值；（3）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．28．（2015•肇庆二模）设x1、x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：（1）（x1﹣x2）2；（2）．浙教版数学八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关系（选学）基础训练参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2015•永春县自主招生）已知3m2﹣2m﹣5=0，5n2+2n﹣3=0，其中m，n为实数，则|m ﹣|=（）A．0 B．C．D．0或【分析】先分别解方程求m，n的值，再把m，n的值分别组合出不同的情形计算求解．【解答】解：由3m2﹣2m﹣5=0得m1=﹣1，m2=；由5n2+2n﹣3=0得n1=，n2=﹣1．=，①当m=﹣1，n=时，原式=；②当m=﹣1，n=﹣1时，原式=0；③当m=，n=时，原式=0；④当m=，n=﹣1时，原式=．综上所述，=0或．故答案为0或．【点评】此题因两个字母都取两个值，需讨论不同的取值组合情况，考查学生严谨的思维能力，难度中等．2．（2015•怀化校级自主招生）方程x2﹣2012|x|+2013=0的所有实数根之和是（）A．﹣2012 B．0 C．2012 D．2013【分析】先根据绝对值的意义分类讨论：当x＞0时，原方程化为x2﹣2012x+2013=0；当x ＜0时，原方程化为x2+2012x+2013=0，然后根据根与系数的关系分别得到两个方程的两根之和，再求所有根之和．【解答】解：当x＞0时，原方程化为x2﹣2012x+2013=0，方程的两根之和为2012；当x＜0时，原方程化为x2+2012x+2013=0，方程的两根之和为﹣2012，所以方程x2﹣2012|x|+2013=0的所有实数根之和是0．故选B．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．3．（2015•湖北校级自主招生）设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，则x13﹣4x22+15等于（）A．﹣4 B．8 C．6 D．0【分析】首先求出两个之和与两根之积，然后把x13﹣4x22+15转化为3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，然后整体代入即可．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，∴x1+x2=﹣1，x1x2=﹣3，∵x13=x1x12=x1（3﹣x1）=3x1﹣x12，∴x13﹣4x22+15=3x1﹣x12﹣4x22+15=3x1﹣x12﹣x22﹣3x22+15=3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，∴x13﹣4x22+15=﹣3﹣1﹣6+6=﹣4，故选：A．【点评】本题主要考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解的知识，解答本题的关键是把x13﹣4x22+15转化为3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，此题有一定的难度．4．（2015•武汉模拟）已知x1，x2是方程x2﹣x+1=0的两根，则x12+x22的值为（）A．3 B．5 C．7 D．4【分析】首先，根据根与系数的关系求得x1+x2=，x1•x2=1；其次，对所求的代数式进行变形，变为含有两根之和、两根之积的形式的代数式；最后，代入求值即可．【解答】解：∵x1，x2是方程的两根，∴x1+x2=，x1•x2=1，∴=（x1+x2）2﹣2x1•x2=5﹣2=3．故选A．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．（2015•宝鸡校级模拟）若k＞1，关于x的方程2x2﹣（4k+1）x+2k2﹣1=0的根的情况是（）A．有一正根和一负根 B．有两个正根C．有两个负根D．没有实数根【分析】根据根的判别式与0的关系判断出根的情况，再根据根与系数的关系判断根的正负．【解答】解：方程的△=（4k+1）2﹣4×2（2k2﹣1）=8k+9，∵k＞1，∴△＞17，故方程有两不相等的实数根．∴x1+x2=＞2，x1x2=＞，所以两根为正根．故选B．【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、根与系数的关系为：x1+x2=，x1x2=．6．（2015•潍坊校级一模）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．0【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根．【解答】解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的两个根，由韦达定理，得x1•x2=2，即﹣2x2=2，解得，x2=﹣1．即方程的另一个根是﹣1．故选C．【点评】此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．7．（2015•芦溪县模拟）设x1，x2是方程2x2﹣6x+3=0的两根，则x12+x22的值是（）A．15 B．12 C．6 D．3【分析】由根与系数的关系求得x1+x2=3，x1x2=，然后将其代入变形后的代数式进行求值．【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣6x+3=0的两根，∴x1+x2=3，x1x2=，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=32﹣2×=6．故选：C．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．8．（2016•吉安一模）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1+x2等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【分析】据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．【解答】解：∵方程x2﹣4x+1=0的两个根是x1，x2，∴x1+x2=﹣（﹣4）=4．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系即韦达定理，两根之和是﹣，两根之积是．9．（2015•西湖区一模）△ABC的一边长为5，另两边分别是方程x2﹣6x+m=0的两根，则m的取值范围是（）A．m＞B．＜m≤9 C．≤m≤9 D．m≤【分析】设三角形另两边分别为a、b（a≥b），先利用判别式的意义得到m≤9，根据根与系数的关系得到a+b=6，ab=m，由于a＜b+5，则利用完全平方公式变形得到（a﹣b）2＜25，所以（a+b）2﹣4ab＜25，即36﹣4m＜25，解得m＞，于是可得到m的取值范围是＜m≤9．【解答】解：设三角形另两边分别为a、b（a≥b），根据题意得△=（﹣6）2﹣4m≥0，解得m≤9，a+b=6，ab=m，∵a＜b+5，即a﹣b＜5，∴（a﹣b）2＜25，∴（a+b）2﹣4ab＜25，即36﹣4m＜25，∴m＞，∴m的取值范围是＜m≤9．故选B．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了三角形三边的关系．10．（2015•峨边县模拟）已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则x12+x22的最大值是（）A．19 B．18 C．15 D．13【分析】根据x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+（k2+3k+5）=0的两个实根，由△≥0即可求出k的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．【解答】解：由方程有实根，得△≥0，即（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0所以3k2+16k+16≤0，所以（3k+4）（k+4）≤0解得﹣4≤k≤﹣．又由x1+x2=k﹣2，x1•x2=k2+3k+5，得x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣k2﹣10k﹣6=19﹣（k+5）2，当k=﹣4时，x12+x22取最大值18．故选：B．【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据△≥0先求出k的取值范围再根据根与系数的关系进行求解．11．（2015•黄陂区校级模拟）如果一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，那么x1+x2=（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1【分析】根据x1+x2=﹣计算即可．【解答】解：根据题意可得x1+x2=﹣=﹣=3，故选B．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式．12．（2015•遵义模拟）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=﹣1，那么p，q的值分别是（）A．1，﹣2 B．﹣1，﹣2 C．﹣1.2 D．1，2【分析】根据根与系数的关系得2+（﹣1）=﹣p，2×（﹣1）=q，然后解方程即可．【解答】解：根据题意得2+（﹣1）=﹣p，2×（﹣1）=q，所以p=﹣1，q=﹣2．故选：B．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．13．（2015•溧水县一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣=．故选D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．14．（2015•湖北模拟）已知一元二次方程2x2+mx﹣7=0的一个根为x=1，则另一根为（）A．1 B．2 C．﹣3.5 D．﹣5【分析】设方程的另一个根为t，根据两根之积得到1×t=﹣，然后解一次方程即可．【解答】解：设方程的另一个根为t，根据题意得1×t=﹣，解得t=﹣3.5．故选C．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．15．（2015•利川市模拟）若一元二次方程﹣3x2+6x+m=0的一个根为x1=3，则该方程的另一个根是（）A．x2=﹣1 B．x2=﹣3 C．x2=﹣5 D．x2=5【分析】设方程的另一个解为x2，根据根与系数的关系得到3+x2=﹣=2，然后解一次方程即可．【解答】解：由根与系数的关系得3+x2=﹣=2，解得x2=﹣1．故选A．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根方程的另一个解时，x1+x2=﹣，x1x2=，熟记这一关系是解题的关键．二．填空题（共5小题）16．（2015•黄陂区校级模拟）已知x1，x2是一元二次方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两个实数根，且，则m=1或m=5．【分析】x1，x2是一元二次方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两个实数根，根据根与系数的关系即可解答．【解答】解：∵方程有两个实数根，由韦达定理知，∵，而由知，x1，x2异号．故=﹣，令x1=3k，x2=﹣2k，则得，从上面两式消去k，得，即m2﹣6m+5=0，解之得m1=1，m2=5．故答案为：1或5．【点评】本题考查了根与系数的关系，难度适中，关键是熟记x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=，反过来也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2．17．（2015•泗洪县校级模拟）已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为7．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣a﹣3=0，即a2=a+3，则a2+b+3化简为a+b+6，再根据根与系数的关系得到a+b=1，然后利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣3=0的根，∴a2﹣a﹣3=0，∴a2=a+3，∴a2+b+3=a+3+b+3=a+b+6，∵a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，∴a+b=1，∴a2+b+3=1+6=7．故答案为7．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．18．（2015•长清区模拟）若a，b是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则a2+b2=10．【分析】根据根与系数的关系得到a+b=2，ab=﹣3，再把a2+b2变形为（a+b）2﹣2ab，然后利用整体代入思想计算．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，∴a+b=2，ab=﹣3，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=22﹣2×（﹣3）=10．故答案为：10．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个解为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．19．（2015•滨州模拟）若x1、x2是方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1•x2+x1+x2的值为﹣．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=，x1•x2=﹣2，然后代入所求的代数式中计算即可．【解答】解：根据题意得x1+x2=，x1•x2=﹣2，所以x1•x2+x1+x2=﹣2+=﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．20．（2015•东西湖区校级模拟）设方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=3．【分析】利用根与系数的关系x1+x2=﹣解答并填空即可．【解答】解：∵方程x2+3x﹣1=0的二次项系数a=1，一次项系数b=3，∴x1+x2=﹣=﹣=3．故答案是：3．【点评】考查了一元二次方程的根与系数的关系．解答该题需要熟记公式：x1+x2=﹣．三．解答题（共8小题）21．（2015•黄冈中学自主招生）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m ﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．【分析】（1）本题可先求出方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m的值．（2）由（1）得出的m的值，然后将m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．进行化简，得出a，b的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b的值，进而得出三角形的面积．【解答】解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是整数）．∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，∴b2﹣4ac=（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）=9（m﹣3）2≥0，设x1，x2是此方程的两个根，∴x1•x2==，∴也是正整数，即m2﹣1=1或2或3或6或9或18，又m为正整数，∴m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a2﹣4a+2=0，b2﹣4b+2=0当a=b时，当a≠b时，a、b是方程x2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a＞0、b＞0．①a≠b，时，由于a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S△ABC=．②a=b=2﹣，c=2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③a=b=2+，c=2时，因＞，故能构成三角形．S△ABC=×（2）×=综上，△ABC的面积为1或．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a，b的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．22．（2015•合肥校级自主招生）已知：关于x的方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：的值；（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？【分析】（1）由方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，可以求出△＞0，由此可求出k的取值范围；（2）欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．（3）只要满足△＞0（或用k的取值范围表示）的值就为一定值．【解答】解：（1）△=4+4k，∵方程有两个不等实根，∴△＞0，即4+4k＞0∴k＞﹣1（2）由根与系数关系可知α+β=﹣2，αβ=﹣k，∴=，（3）由（1）可知，k＞﹣1时，的值与k无关．【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．23．（2015•黄冈校级自主招生）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，使得（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80成立，求其实数a的可能值．【分析】由于x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，利用根与系数的关系可以得到x1+x2=﹣（3a﹣1），x1•x2=2a2﹣1，然后把（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）乘开，接着整体代入前面等式的值即可得到关于a的方程，解方程即可求解．【解答】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，a=1，b=（3a﹣1），c=2a2﹣1，∴x1+x2=﹣（3a﹣1），x1•x2=2a2﹣1，而（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80，∴3x12﹣10x1x2+3x22=﹣80，3（x1+x2）2﹣16x1x2=﹣80，∴3[﹣（3a﹣1）]2﹣16（2a2﹣1）=﹣80，∴5a2+18a﹣99=0，∴a=3或﹣，当a=3时，方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的△＜0，∴不合题意，舍去∴a=﹣．【点评】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．24．（2015•黄冈中学自主招生）已知x1，x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的实数根（x1，x2可相等）（1）证明方程的两根都小于0；（2）当实数k取何值时x12+x22最大？并求出最大值．【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0，解此不等式得到﹣4≤k≤﹣，再由根与系数的关系得x1+x2=k﹣2，x1x2=k2+3k+5，利用k的取值范围有x1+x2=k﹣2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0，于是利用有理数的性质即可判断方程的两根都小于0；（2）利用完全平方公式得到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣（k+5）2+19，然后根据二次函数的最值问题求解．【解答】（1）证明：∵△=（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0，∴﹣4≤k≤﹣，∵x1+x2=k﹣2，x1x2=k2+3k+5，∴x1+x2=k﹣2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0，∴方程的两根都小于0；（2）解：x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣k2﹣10k﹣6=﹣（k+5）2+19，∵﹣4≤k≤﹣，∴k=﹣4时，x12+x22有最大值，最大值为﹣（﹣4+5）2+19=18．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根的判别式．25．（2015•蓬溪县校级模拟）已知实数m，n（m＞n）是方程的两个根，求的值．【分析】根据根与系数的关系求得m、n的值，然后将其代入所求的代数式求值．【解答】解：∵方程的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣2，常数项c=2，∴b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×2=4，∴x===±1，∴m=+1，n=﹣1；∴+=====4．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．26．（2015•湖北校级自主招生）已知m，n是方程x2+3x+1=0的两根（1）求（m+5﹣）﹣的值（2）求+的值．【分析】（1）首先求出m和n的值，进而判断出m和n均小于0，然后进行分式的化简，最后整体代入求值；（2）根据m和n小于0化简+为（），然后根据m+n=﹣3，mn=1整体代值计算．【解答】解：（1）∵m，n是方程x2+3x+1=0的两根，∴m=，n=，∴m＜n＜0，原式=•﹣=﹣=﹣6﹣2m﹣=∵m，n是方程x2+3x+1=0的两根，∴m2+3m+1=0，∴原式=0；（2）∵m＜0，n＜0，∴+=﹣m﹣n=+=（），∵m+n=﹣3，mn=1，∴原式=9﹣2=7．【点评】本题主要考查了根与系数的关系、分式的化简求值以及代数求值等知识，解答本题的关键是能求出m和n的判断出m和n均小于0，此题难度一般．27．（2015•泗洪县校级模拟）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有实数根，（1）求m的取值范围；（2）若方程的一个根为1，求m的值；（3）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，然后解不等式即可；（2）把x=1代入原方程可得到关于m的一元二次方程，然后解此一元二次方程即可；（3）根据根与系数的关系得到α+β=﹣（2m﹣1），αβ=m2，利用α2+β2﹣αβ=6得到（α+β）2﹣3αβ=6，则（2m﹣1）2﹣3m2=6，然后解方程后利用（1）中m的范围确定m的值．【解答】解：（1）根据题意得△=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得m≤；（2）把x=1代入方程得1+2m﹣1+m2=0，解得m1=0，m2=﹣2，即m的值为0或﹣2；（3）存在．根据题意得α+β=﹣（2m﹣1），αβ=m2，∵α2+β2﹣αβ=6，∴（α+β）2﹣3αβ=6，即（2m﹣1）2﹣3m2=6，整理得m2﹣4m﹣5=0，解得m1=5，m2=﹣1，∵m≤；∴m的值为﹣1．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=，反过来也成立．也考查了根的判别式．28．（2015•肇庆二模）设x1、x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：（1）（x1﹣x2）2；（2）．【分析】欲求（x1﹣x2）2与的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．【解答】解：根据根与系数的关系可得：x1+x2=﹣2，x1•x2=．（1）（x1﹣x2）2=x12+x22﹣2x1x2=x12+x22+2x1x2﹣4x1x2=（x1+x2）2﹣4x1x2==10．（2）=x1x2+1+1+==．【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。

2021年江西省九年级中考数学一轮复习课时训练：一元二次方程

一元二次方程 (答题时间：45分钟) 【基础训练】1．(2020·聊城中考)用配方法解一元二次方程2x 2－3x －1＝0，配方正确的是( ) A ．⎝⎛⎭⎫x －34 2 ＝1716 B ．⎝⎛⎭⎫x －34 2＝12 C.⎝⎛⎭⎫x －32 2 ＝134 D ．⎝⎛⎭⎫x －32 2＝1142．(2020·黔东南中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋5x －m ＝0的一个根是2，则另一个根是( ) A.－7 B ．7 C ．3 D ．－33．(2019·内江中考)一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x 2－8x ＋15＝0的一根，则此三角形的周长是( )A.16 B ．12 C.14 D ．12或164．(2020·河南中考)定义运算：m ☆n ＝mn 2－mn －1.例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7.则方程1☆x ＝0的根的情况为( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根5．(2020·自贡中考)关于x 的一元二次方程ax 2－2x ＋2＝0有两个相等实数根，则a 的值为( ) A.12 B ．－12C ．1D ．－1 6．关于x 的一元二次方程2x n －3＋m ＝4的一个解为x ＝1，则mn 的值为( ) A.9 B ．8 C ．10 D ．67．(2020·黔西南中考)已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是( ) A.m ＜2 B ．m ≤2C.m ＜2且m ≠1 D ．m ≤2且m ≠18．(2019·广东中考)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x ＝0的两个实数根，下列结论错误的是( ) A.x 1≠x 2 B ．x 21 －2x 1＝0 C.x 1＋x 2＝2 D ．x 1x 2＝29．(2020·遵义中考)已知x 1，x 2是方程x 2－3x －2＝0的两根，则x 21 ＋x 22 的值为( )A.5 B ．10 C ．11 D ．1310．(2019·贵港中考)若α，β是关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0的两实根，且1α ＋1β ＝－23 ，则m 等于( )A.－2 B ．－3 C ．2 D ．311．(2020·衢州中考)某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程( )2020年1～5月份某厂家的口罩产量统计图A.180(1－x)2＝461 B．180(1＋x)2＝461C.368(1－x)2＝442 D．368(1＋x)2＝44212．(2020·青海中考)在解一元二次方程x2＋bx＋c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝4.请你写出正确的一元二次方程____.13．(2020·上海中考)如果关于x的方程x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是____．14．(2019·南昌模拟)设α，β是方程x2－x－2 019＝0的两个实数根，则α3－2 021α－β的值为____.15．(2020·黔西南中考)有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了____个人．16．(2020·无锡中考)解方程：x2＋x－1＝0.17．(2020·南京中考)用配方法解方程：x2－2x－3＝0.18．(2020·玉林中考)已知关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若方程的两个不相等的实数根是a，b，求aa＋1－1b＋1的值．19．(2020·上海中考)去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%.解答下列问题：(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8，9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8，9月份营业额的月增长率．【能力提升】20．(2020·铜仁中考)已知m，n，4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋2＝0的两个根，则k的值等于()A.7 B．7或6 C．6或－7 D．621．(2020·遵义中考)如图，把一块长为40 cm，宽为30 cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600 cm2，设剪去小正方形的边长为x cm，则可列方程为()A.(30－2x)(40－x)＝600B.(30－x)(40－x)＝600C.(30－x)(40－2x)＝600D.(30－2x)(40－2x)＝60022．(2019·呼和浩特中考)若x1，x2是一元二次方程x2＋x－3＝0的两个实数根，则x32－4x21＋17的值为() A．－2 B．6 C．－4 D．423．(2019·十堰中考)对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝(a＋b)2－(a－b)2.若(m＋2)◎(m－3)＝24，则m＝____．24．(2019·荆门中考)已知x1，x2是关于x的方程x2＋(3k＋1)x＋2k2＋1＝0的两个不相等实数根，且满足(x1－1)(x2－1)＝8k2，则k的值为____.25．(2019·东营中考)为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32 000元？26．(2020·南充中考)已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0的两个实数根．(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得等式1x1＋1x2＝k－2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．答案一元二次方程 (答题时间：45分钟) 【基础训练】1．(2020·聊城中考)用配方法解一元二次方程2x 2－3x －1＝0，配方正确的是( A )A ．⎝⎛⎭⎫x －34 2 ＝1716B ．⎝⎛⎭⎫x －34 2＝12 C.⎝⎛⎭⎫x －32 2 ＝134 D ．⎝⎛⎭⎫x －32 2＝1142．(2020·黔东南中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋5x －m ＝0的一个根是2，则另一个根是( A ) A.－7 B ．7 C ．3 D ．－33．(2019·内江中考)一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x 2－8x ＋15＝0的一根，则此三角形的周长是( A )A.16 B ．12 C.14 D ．12或164．(2020·河南中考)定义运算：m ☆n ＝mn 2－mn －1.例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7.则方程1☆x ＝0的根的情况为( A )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根5．(2020·自贡中考)关于x 的一元二次方程ax 2－2x ＋2＝0有两个相等实数根，则a 的值为( A ) A.12 B ．－12C ．1D ．－1 6．关于x 的一元二次方程2x n －3＋m ＝4的一个解为x ＝1，则mn 的值为( C ) A.9 B ．8 C ．10 D ．67．(2020·黔西南中考)已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是( D ) A.m ＜2 B ．m ≤2C.m ＜2且m ≠1 D ．m ≤2且m ≠18．(2019·广东中考)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x ＝0的两个实数根，下列结论错误的是( D ) A.x 1≠x 2 B ．x 21 －2x 1＝0 C.x 1＋x 2＝2 D ．x 1x 2＝29．(2020·遵义中考)已知x 1，x 2是方程x 2－3x －2＝0的两根，则x 21 ＋x 22 的值为( D )A.5 B ．10 C ．11 D ．1310．(2019·贵港中考)若α，β是关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0的两实根，且1α ＋1β ＝－23 ，则m 等于( B )A.－2 B ．－3 C ．2 D ．311．(2020·衢州中考)某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程( B )2020年1～5月份某厂家的口罩产量统计图A.180(1－x )2＝461 B ．180(1＋x )2＝461 C.368(1－x )2＝442 D ．368(1＋x )2＝44212．(2020·青海中考)在解一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0时，小明看错了一次项系数b ，得到的解为x 1＝2，x 2＝3；小刚看错了常数项c ，得到的解为x 1＝1，x 2＝4.请你写出正确的一元二次方程__x 2－5x ＋6＝0__.13．(2020·上海中考)如果关于x 的方程x 2－4x ＋m ＝0有两个相等的实数根，那么m 的值是__4__． 14．(2019·南昌模拟)设α，β是方程x 2－x －2 019＝0的两个实数根，则α3－2 021α－β的值为__2__018__. 15．(2020·黔西南中考)有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了__10__个人．16．(2020·无锡中考)解方程：x 2＋x －1＝0. 解：∵a ＝1，b ＝1，c ＝－1，∴Δ＝12－4×1×(－1)＝5，x ＝－1±52×1 .∴x 1＝－1＋52 ，x 2＝－1－52 .17．(2020·南京中考)用配方法解方程： x 2－2x －3＝0. 解：x 2－2x ＝3. x 2－2x ＋1＝3＋1. (x －1)2＝4. x －1＝±2. ∴x 1＝3，x 2＝－1.18．(2020·玉林中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x －k ＝0有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)若方程的两个不相等的实数根是a ，b ，求a a ＋1 －1b ＋1 的值．解：(1)∵方程x 2＋2x －k ＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4＋4k ＞0. 解得k ＞－1；(2)由根与系数的关系，得a ＋b ＝－2，ab ＝－k . ∴a a ＋1 －1b ＋1 ＝ab －1ab ＋a ＋b ＋1 ＝－k －1－k －2＋1＝1. 19．(2020·上海中考)去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%.解答下列问题：(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8，9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8，9月份营业额的月增长率．解：(1)该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为450＋450×12%＝504(万元)；(2)设该商店去年8，9月份营业额的月增长率为x.根据题意，得350(1＋x)2＝504.解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去).答：该商店去年8，9月份营业额的月增长率为20%.【能力提升】20．(2020·铜仁中考)已知m，n，4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋2＝0的两个根，则k的值等于(B)A.7 B．7或6 C．6或－7 D．621．(2020·遵义中考)如图，把一块长为40 cm，宽为30 cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600 cm2，设剪去小正方形的边长为x cm，则可列方程为(D)A.(30－2x)(40－x)＝600B.(30－x)(40－x)＝600C.(30－x)(40－2x)＝600D.(30－2x)(40－2x)＝60022．(2019·呼和浩特中考)若x1，x2是一元二次方程x2＋x－3＝0的两个实数根，则x32－4x21＋17的值为(A)A．－2 B．6 C．－4 D．423．(2019·十堰中考)对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝(a＋b)2－(a－b)2.若(m＋2)◎(m－3)＝24，则m＝__－3或4__．24．(2019·荆门中考)已知x1，x2是关于x的方程x2＋(3k＋1)x＋2k2＋1＝0的两个不相等实数根，且满足(x1－1)(x2－1)＝8k2，则k的值为__1__.25．(2019·东营中考)为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32 000元？解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300＋5(200－x)]个．根据题意，得(x－100)[300＋5(200－x)]＝32 000.整理，得x2－360x＋32 400＝0.解得x1＝x2＝180.180＜200，符合题意．答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32 000元．26．(2020·南充中考)已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0的两个实数根．(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得等式1x1＋1x2＝k－2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0有两个实数根，∴Δ＝(－2)2－4×1×(k＋2)≥0.解得k≤－1；(2)由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2.∴1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝2k＋2.又1x1＋1x2＝k－2，∴2k＋2＝k－2，即(k＋2)(k－2)＝2.∴k2－6＝0.解得k＝±6. 又∵k≤－1，∴k＝－6.。

九年级上册数学基础训练人教版

九年级上册数学基础训练人教版一、一元二次方程。

1. 定义与一般形式。

- 定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c 是常数项。

- 例如方程3x^2-5x + 1 = 0，这里a = 3，b=-5，c = 1。

2. 解法。

- 直接开平方法。

- 对于形如x^2=k(k≥0)的方程，解为x=±√(k)。

- 例如，方程x^2=9，解得x = 3或x=-3。

- 配方法。

- 步骤：先将方程化为ax^2+bx=-c的形式，然后在等式两边加上一次项系数一半的平方((b)/(2a))^2，将左边配成完全平方式(x +(b)/(2a))^2，再进行求解。

- 例如，解方程x^2+6x - 1 = 0。

- 首先将方程变形为x^2+6x=1。

- 然后在等式两边加上((6)/(2))^2=9，得到x^2+6x + 9=1 + 9，即(x +3)^2=10。

- 解得x=-3±√(10)。

- 公式法。

- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

- 例如，解方程2x^2-3x - 2 = 0，这里a = 2，b=-3，c=-2。

- 先计算b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-2)=9 + 16 = 25。

- 然后代入公式x=(3±√(25))/(2×2)=(3±5)/(4)，解得x = 2或x=-(1)/(2)。

- 因式分解法。

- 将方程化为一边是两个一次因式乘积，另一边为0的形式，即(mx +n)(px+q)=0，则mx + n = 0或px+q = 0。

- 例如，解方程x^2-3x + 2 = 0，因式分解为(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2。

第24章一元二次方程同步基础训练 2021-202学年九年级数学冀教版上册(word版含答案)

2021=202学年冀教版九年级数学上册《第24章一元二次方程》同步基础训练（附答案）1．若是一元二次方程，则m的值是（）A．﹣1B．0C．1D．±12．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+n＝0的根，则m+n的值为（）A．0B．1C．﹣1D．﹣23．若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2020的值为（）A．2019B．2020C．2021D．20224．如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（）A．k B．k且k≠0C．k且k≠0D．k5．设a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为（）A．﹣2018B．2018C．2020D．20226．已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则＝（）A．3B．﹣3C．D．﹣7．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．x+＝2B．3x﹣2y＝1C．2x2﹣3x+1＝0D．2x﹣5＝98．若实数x、y满足（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）＝0，则x2+y2的值为（）A．1B．2C．2或﹣1D．2或﹣29．将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（）A．x2﹣2x+5＝0B．x2﹣2x﹣5＝0C．x2+2x﹣5＝0D．x2+2x+5＝0 10．若关于x的方程x2+ax+a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（）A．9B．4.5C．3D．﹣311．方程（x﹣1）2＝1的根为（）A．0B．2C．0或2D．1或﹣112．一元二次方程x2+4x＝2配方后化为（）A．（x+2）2＝6B．（x﹣2）2＝6C．（x+2）2＝﹣6D．（x+2）2＝﹣2 13．用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0，可变形为（）A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝11C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝1114．方程（x+1）（x﹣3）＝﹣4的解是（）A．x1＝﹣1，x2＝3B．x1＝1，x2＝0C．x1＝1，x2＝﹣1D．x1＝x2＝115．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（）A．5B．10C．11D．1316．方程x2﹣x﹣6＝0的解为．17．已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x+c＝0有两个相等的实数根，则c ＝．18．方程﹣5x＝x2的解是．19．设x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则+的值为．20．某商店4月份营业额为2.7万元，6月份营业额为3.5万元，平均每月的增长率为x，根据题意可列方程为．21．哈尔滨市南岗区中学校组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间比赛一场），计划一共安排21场比赛，设总共x个学校参加比赛，列方程为．22．有一人患了流感，假如平均一个人传染了x个人，经过两轮感染后共有121人患了流感，依题意可列方程为．23．如图，某试验小组要在长50米，宽39米的矩形试验田中间开辟一横一纵两条等宽的小道，使剩余的面积是1800平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则所列出的方程是（只列方程，不求解）24．一个矩形的长比宽多1cm，面积是132cm2，则矩形的长为cm．25．如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，要围成面积为45m2的花圃，AB的长是．26．解方程：x2﹣3x＝2（3﹣x）．27．解方程：①x2﹣8x+12＝0；②x2﹣2x﹣8＝0．28．已知关于x的方程x2+mx+2m﹣7＝0．（1）若该方程的一个根为1，求m的值和该方程的另一个根．（2）求证：不论m取何值时，该方程都有两个不同实数根．29．某商场销售一种商品，每件进价60元，每件售价110元，每天可销售50件，每销售一件需要支付给商场管理费3元．6月份该商品搞“减价促销”活动，市场调查发现，售价每降低1元，每天销售量增加2件，若某一天销售该商品共获利2590元，求该商品降价多少元？30．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．求进馆人次的月平均增长率．参考答案1．解：由题意得：，解得，m＝1．故选：C．2．解：把x＝n代入方程x2+mx+n＝0得n2+mn+n＝0，∵n≠0，∴n+m+1＝0，即m+n＝﹣1．故选：C．3．解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，∴m2﹣m﹣1＝0，∴m2﹣m＝1，∴m2﹣m+2020＝1+2020＝2021．故选：C．4．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0且k≠0，解得k≤且k≠0，故选：C．5．解：∵a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2020，则原式＝ab﹣a﹣b+1＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2020+1+1＝﹣2018．故选：A．6．解：根据题意得m+n＝3，mn＝﹣1，所以＝．故选：B．7．解：A、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、是二次一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C、是一元二次方程，故本选项符合题意；D、是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；故选：C．8．解：设t＝x2+y2，则t≥0，原方程变形为（t+2）（t﹣2）＝0，解得：t＝2或t＝﹣2（舍去）．故选：B．9．解：（x﹣1）2＝6，x2﹣2x+1﹣6＝0，x2﹣2x﹣5＝0，即将方程（x﹣1）2＝6化成一般形式为x2﹣2x﹣5＝0，故选：B．10．解：把x＝﹣3代入方程x2+ax+a＝0得9﹣3a+a＝0，解得a＝4.5．故选：B．11．解：∵（x﹣1）2＝1，∴x﹣1＝±1，∴x＝2或x＝0；故选：C．12．解：∵x2+4x＝2，∴x2+4x+4＝2+4，∴（x+2）2＝6．故选：A．13．解：∵x2﹣4x﹣7＝0，∴x2﹣4x+4＝11，∴（x﹣2）2＝11，故选：D．14．解：∵（x+1）（x﹣3）＝﹣4，∴x2﹣2x+1＝0，∴（x﹣1）2＝0，∴x1＝x2＝1，故选：D．15．解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13．故选：D．16．解：∵x2﹣x﹣6＝0，∴a＝1，b＝，c＝﹣6，∴△＝3+24＝27，∴x＝，∴x＝2或x＝，故答案为：x＝2或x＝17．解：根据题意得Δ＝（﹣5）2﹣4×2×c＝0，解得c＝．故答案为：．18．解：x2+5x＝0，x（x+5）＝0，x＝0或x+5＝0，所以x1＝0，x2＝﹣5故答案为x1＝0，x2＝﹣5．19．解：根据题意得x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣2，所以+＝＝＝．故答案为．20．解：依题意，得：2.7（1+x）2＝3.5．故答案为：2.7（1+x）2＝3.5．21．解：依题意，得：x（x﹣1）＝21．故答案为：x（x﹣1）＝21．22．解：依题意，得：1+x+x（1+x）＝121或（1+x）2＝121．故答案为：1+x+x（1+x）＝121或（1+x）2＝121．23．解：设小道的宽为x米，依题意，得：（50﹣x）（39﹣x）＝1800．故答案为：（50﹣x）（39﹣x）＝1800．24．解：设矩形的宽为xcm，依题意得：x（x+1）＝132，整理，得（x+12）（x﹣11）＝0，解得x1＝﹣12（舍去），x2＝11，则x+1＝12．即矩形的长是12cm．故答案为12．25．解：设AB长为x，则BC长为24﹣3x∴x（24﹣3x）＝45即：﹣3x2+24x＝45．整理，得x2﹣8x+15＝0，解得x＝3或5，当x＝3时，BC＝24﹣9＝15＞10不成立，当x＝5时，BC＝24﹣15＝9＜10成立，∴AB长为5m，故答案为：5m．26．解：左边提取﹣x得：﹣x（3﹣x）＝2（3﹣x），移项，得﹣x（3﹣x）﹣2（3﹣x）＝0，（﹣x﹣2）（3﹣x）＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣2．27．解：①∵x2﹣8x+12＝0，∴（x﹣2）（x﹣6）＝0，则x﹣2＝0或x﹣6＝0，解得x＝2或x＝6；②∵x2﹣2x﹣8＝0，∴（x+2）（x﹣4）＝0，则x+2＝0或x﹣4＝0，解得x＝﹣2或x＝4．28．（1）解：把x＝1代入方程x2+mx+2m﹣7＝0得：1+m+2m﹣7＝0，解得：m＝2，即原方程为：x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，即m的值为2，方程的另一个根是﹣3，（2）证明：Δ＝m2﹣4（2m﹣7）＝m2﹣8m+28＝（m﹣4）2+12＞0，即不论m取何值时，该方程都有两个不同实数根．29．解：设该商品降价x元，则每天可销售（50+2x）件，依题意，得：（110﹣60﹣3﹣x）（50+2x）＝2590，整理，得：x2﹣22x+120＝0，解得：x1＝10，x2＝12．答：该商品降价10元或12元．30．解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：128+128（1+x）+128（1+x）2＝608化简得：4x2+12x﹣7＝0∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）答：进馆人次的月平均增长率为50%．。

《2.2一元二次方程的解法》作业设计方案-初中数学湘教版12九年级上册

《一元二次方程的解法》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在巩固学生对一元二次方程基本概念的理解，掌握一元二次方程的解法，并能够运用所学知识解决实际问题。

通过本课时的作业练习，提高学生的数学逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、作业内容（一）基础训练1. 让学生复习一元二次方程的标准形式ax^2 + bx + c = 0（其中a ≠ 0），并能够根据给定的方程判断其是否为一元二次方程。

2. 练习一元二次方程的根的判别式Δ = b^2 - 4ac，并能够根据判别式判断方程的根的情况。

3. 让学生掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，并能够独立完成相关练习。

（二）实践应用1. 针对实际生活问题，设计一元二次方程应用题，让学生通过解决实际问题来加深对一元二次方程的理解。

2. 通过画图来辅助解决一元二次方程问题，例如在直角坐标系中表示一元二次方程的图像。

（三）提高题针对学有余力的学生，设计一些复杂的一元二次方程问题，包括含有参数、高次项的方程，提高学生的解题能力。

三、作业要求1. 作业需在规定时间内独立完成，不得抄袭他人答案。

2. 基础训练部分需全部完成，实践应用部分至少完成两道题目，提高题可根据自身能力选择完成。

3. 作业需字迹工整，步骤清晰，答案准确。

4. 对于每一道题目，需写出详细的解题步骤和答案。

四、作业评价1. 教师将根据学生的作业完成情况、解题步骤和答案的准确性进行评价。

2. 对于基础训练部分，教师将重点评价学生对一元二次方程基本概念的理解和掌握情况。

3. 对于实践应用和提高题部分，教师将评价学生的应用能力和解题思路的准确性。

4. 教师将根据学生的作业情况给出相应的鼓励和建议，帮助学生改进学习方法，提高学习效果。

五、作业反馈1. 教师将在课堂上对作业进行讲解和点评，针对学生的错误进行纠正和指导。

2. 对于普遍存在的问题，教师将进行重点讲解和练习，确保学生掌握相关知识点。

3. 教师将鼓励学生相互交流和学习，共同进步。

北京市西城区第二十二章一元二次方程课堂练习题及答案

直开法解一元二次方程基础训练一、填空题1．一元二次方程中，只含有______个未知数，并且未知数的______次数是2．它的一般形式为__________________．2．把2x 2－1=6x 化成一般形式为__________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______．3．若(k ＋4)x 2－3x －2=0是关于x 的一元二次方程，则k 的取值范围是______． 4．把(x ＋3)(2x ＋5)－x (3x －1)=15化成一般形式为______，a =______，b =______，c =______． 5．若x x m －m +-222)(－3=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是______． 6．方程y 2－12=0的根是______．二、选择题7．下列方程中，一元二次方程的个数为( )．(1)2x 2－3=0 (2)x 2＋y 2=5 (3)542=-x (4)2122=+x x A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．方程：3x 2－5x =0，,5312+=+x x 7x 2－6xy ＋y 2=0，322,052222--=+++xx x x ax =0， 3x 2－3x =3x 2－1中必是一元二次方程的有( )．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 9．x 2－16=0的根是( )．A ．只有4B ．只有－4C ．±4D ．±8 10．3x 2＋27=0的根是( )．A ．x 1=3，x 2=－3B ．x =3C ．无实数根D ．以上均不正确三、解答题(用直接开平方法解一元二次方程) 11．2y 2=8． 12．2(x ＋3)2－4=0．13．.25)1(412=+x 14．(2x ＋1)2=(x －1)2．综合运用一、填空题15．把方程x x x +=-2232化为一元二次方程的一般形式(二次项系数为正)是__________，一次项系数是______．16．把关于x 的一元二次方程(2－n )x 2－n (3－x )＋1=0化为一般形式为_______________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______． 17．若方程2kx 2＋x －k =0有一个根是－1，则k 的值为______．二、选择题18．下列方程：(x ＋1)(x －2)=3，x 2＋y ＋4=0，(x －1)2－x (x ＋1)=x ，,01=+xx,5)3(21,42122=+=-+x x x 其中是一元二次方程的有( )．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个19．形如ax 2＋bx ＋c =0的方程是否是一元二次方程的一般形式，下列说法正确的是( )．A ．a 是任意实数B ．与b ，c 的值有关C ．与a 的值有关D ．与a 的符号有关20．如果21=x 是关于x 的方程2x 2＋3ax －2a =0的根，那么关于y 的方程y 2－3=a 的解是( )．A ．5±B ．±1C ．±2D ．2±21．关于x 的一元二次方程(x －k )2＋k =0，当k ＞0时的解为( )．A ．k k +B ．k k -C ．k k -±D ．无实数解三、解答题(用直接开平方法解下列方程) 22．(3x －2)(3x ＋2)=8． 23．(5－2x )2=9(x ＋3)2．24．.063)4(22=--x25．(x －m )2=n ．(n 为正数)26．若关于x 的方程(k ＋1)x 2－(k －2)x －5＋k =0只有唯一的一个解，则k =______，此方程的解为______．27．如果(m －2)x |m ｜＋mx －1=0是关于x 的一元二次方程，那么m 的值为( )．A ．2或－2B ．2C ．－2D ．以上都不正确28．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2x ＋m 2－1=0有一个根是0，求m 的值．29．三角形的三边长分别是整数值2cm ，5cm ，k cm ，且k 满足一元二次方程2k 2－9k －5=0，求此三角形的周长．配方法与公式法解一元二次方程基础训练一、填空题1．+-x x 82_________=(x －__________)2．2．x x 232-＋_________=(x －_________)2． 3．+-px x 2_________=(x －_________)2． 4．x ab x -2＋_________=(x －_________)2．5．关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的根是______．6．一元二次方程(2x ＋1)2－(x －4)(2x －1)=3x 中的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______．二、选择题7．用配方法解方程01322=--x x 应该先变形为( )．A ．98)31(2=-x B ．98)31(2-=-xC ．910)31(2=-xD ．0)32(2=-x8．用配方法解方程x 2＋2x =8的解为( )．A ．x 1=4，x 2=－2B ．x 1=－10，x 2=8C ．x 1=10，x 2=－8D ．x 1=－4，x 2=29．用公式法解一元二次方程x x 2412=-，正确的应是( )．A ．252±-=x B ．252±=x C ．251±=x D ．231±=x 10．方程mx 2－4x ＋1=0(m ＜0)的根是( )．A ．41 B ．m m-±42 C ．mm-±422D ．mm m -±42 三、解答题(用配方法解一元二次方程)11．x 2－2x －1=0． 12．y 2－6y ＋6=0．四、解答题(用公式法解一元二次方程) 13．x 2＋4x －3=0．14．.03232=--x x五、解方程(自选方法解一元二次方程) 15．x 2＋4x ＝－3． 16．5x 2＋4x =1．综合运用一、填空题17．将方程x x x 32332-=++化为标准形式是______________，其中a =______，b =______，c =______．18．关于x 的方程x 2＋mx －8=0的一个根是2，则m =______，另一根是______．二、选择题19．若关于x 的二次三项式x 2－ax ＋2a －3是一个完全平方式，则a 的值为( )．A ．－2B ．－4C ．－6D ．2或6 20．4x 2＋49y 2配成完全平方式应加上( )．A ．14xyB ．－14xyC ．±28xyD ．0 21．关于x 的一元二次方程ax a x 32222=+的两根应为( )．A ．22a±- B ．a 2，a 22C ．422a±D ．a 2±三、解答题(用配方法解一元二次方程) 22．3x 2－4x =2． 23．x 2＋2mx =n ．(n ＋m 2≥0)．四、解答题(用公式法解一元二次方程) 24．2x －1=－2x 2．25．x x 32132=+26．2(x －1)2－(x ＋1)(1－x )=(x ＋2)2．27．解关于x 的方程：x 2＋mx ＋2=mx 2＋3x ．(其中m ≠1)28．用配方法说明：无论x 取何值，代数式x 2－4x ＋5的值总大于0，再求出当x 取何值时，代数式x 2－4x ＋5的值最小?最小值是多少?一元二次方程根的判别式基础训练一、填空题1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)根的判别式为=b 2－4ac ，(1)当b 2－4ac ______0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当b 2－4ac ______0时，方程有两个相等的实数根； (3)当b 2－4ac ______0时，方程没有实数根．2．若关于x 的方程x 2－2x －m =0有两个相等的实数根，则m =______． 3．若关于x 的方程x 2－2x －k ＋1=0有两个实数根，则k ______． 4．若方程(x －m )2=m ＋m 2的根的判别式的值为0，则m =______．二、选择题5．方程x 2－3x =4根的判别式的值是( )．A ．－7B ．25C ．±5D ．56．一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0有两个实数根，则根的判别式的值应是( )．A ．正数B ．负数C ．非负数D ．零 7．下列方程中有两个相等实数根的是( )．A ．7x 2－x －1=0B ．9x 2=4(3x －1)C ．x 2＋7x ＋15=0D ．02322=--x x8．方程03322=++x x 有( )．A ．有两个不等实根B ．有两个相等的有理根C ．无实根D ．有两个相等的无理根三、解答题9．k 为何值时，方程kx 2－6x ＋9=0有：(1)不等的两实根；(2)相等的两实根；(3)没有实根．10．若方程(a －1)x 2＋2(a ＋1)x ＋a ＋5=0有两个实根，求正整数a 的值．11．求证：不论m 取任何实数，方程02)1(2=++-mx m x 都有两个不相等的实根．综合运用一、选择题12．方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)根的判别式是( )．A ．242ac b b -±- B ．ac b 42-C ．b 2－4acD ．abc13．若关于x 的方程(x ＋1)2=1－k 没有实根，则k 的取值范围是( )．A ．k ＜1B ．k ＜－1C ．k ≥1D ．k ＞114．若关于x 的方程3kx 2＋12x ＋k ＋1=0有两个相等的实根，则k 的值为( )．A ．－4B ．3C ．－4或3D ．21或32-15．若关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2mx ＋m ＋3=0有两个不等的实根，则m 的取值范围是( )．A ．23<mB ．23<m 且m ≠1 C ．23≤m 且m ≠1D ．23>m16．如果关于x 的二次方程a (1＋x 2)＋2bx =c (1－x 2)有两个相等的实根，那么以正数a ，b ，c为边长的三角形是( )． A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．任意三角形二、解答题17．已知方程mx 2＋mx ＋5=m 有相等的两实根，求方程的解．18．求证：不论k 取任何值，方程(k 2＋1)x 2－2kx ＋(k 2＋4)=0都没有实根．19．如果关于x 的一元二次方程2x (ax －4)－x 2＋6=0没有实数根，求a 的最小整数值． 20．已知方程x 2＋2x －m ＋1=0没有实根，求证：方程x 2＋mx =1－2m 一定有两个不相等的实根．21．若a ，b ，c ，d 都是实数，且ab =2(c ＋d )，求证：关于x 的方程x 2＋ax ＋c =0，x 2＋bx ＋d =0中至少有一个方程有实数根．因式分解法解一元二次方程基础训练一、填空题(填出下列一元二次方程的根) 1．x (x －3)=0．______ 2．(2x －7)(x ＋2)=0．______ 3．3x 2=2x ．______ 4．x 2＋6x ＋9=0．______ 5．.03222=-x x ______6．.)21()21(2x x -=+______ 7．(x －1)2－2(x －1)=0．______．8．(x －1)2－2(x －1)=－1．______二、选择题9．方程(x －a )(x ＋b )=0的两根是( )．A ．x 1=a ，x 2=bB ．x 1=a ，x 2=－bC ．x 1=－a ，x 2=bD ．x 1=－a ，x 2=－b 10．下列解方程的过程，正确的是( )．A ．x 2=x ．两边同除以x ，得x =1．B ．x 2＋4=0．直接开平方法，可得x =±2．C ．(x －2)(x ＋1)=3×2．∵x －2=3，x ＋1=2， ∴x 1=5， x 2=1．D ．(2－3x )＋(3x －2)2=0．整理得3(3x －2)(x －1)=0，.1,3221==∴x x三、解答题(用因式分解法解下列方程，*题用十字相乘法因式分解解方程) 11．3x (x －2)=2(x －2)．12．.32x x =*13．x 2－3x －28=0． 14．x 2－bx －2b 2=0．*15．(2x －1)2－2(2x －1)=3． *16．2x 2－x －15=0．四、解答题17．x 取什么值时，代数式x 2＋8x －12的值等于2x 2＋x 的值．综合运用一、写出下列一元二次方程的根18．0222=-x x ．______________________． 19．(x －2)2=(2x ＋5)2．______________________．二、选择题20．方程x (x －2)=2(2－x )的根为( )．A ．－2B ．2C ．±2D ．2，2A ．0B ．－1和0C ．1D ．1和022．方程0)43)(21()43(2=--+-x x x 的较小的根为( )．A ．43-B ．21C ．85D ．43三、用因式分解法解下列关于x 的方程 23．.2152x x =- 24．4(x ＋3)2－(x －2)2=0．25．.04222=-+-b a ax x26．abx 2－(a 2＋b 2)x ＋ab =0．(ab ≠0)四、解答题27．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m 2＋2)x ＋2m =0．(1)求证：当m 取非零实数时，此方程有两个实数根； (2)若此方程有两个整数根，求m 的值．一元二次方程解法综合训练基础训练一、填空题(写出下列一元二次方程的根) 1．3(x －1)2－1=0．__________________2．(2x ＋1)2－2(2x ＋1)=3．__________________ 3．3x 2－5x ＋2=0．__________________ 4．x 2－4x －6=0．__________________ 二、选择题A ．x =2B ．x 1=x 2=2C ．x =4D ．x 1=x 2=46．5.27.0512=+x 的根是( )．A ．x =3B ．x =±3C ．x =±9D ．3±=x7．072=-x x 的根是( )．A ．77=x B ．77,021==x xC ．x 1=0，72=xD ．7=x8．(x －1)2=x －1的根是( )．A ．x =2B ．x =0或x =1C ．x =1D ．x =1或x =2 三、用适当方法解下列方程9．6x 2－x －2=0． 10．(x ＋3)(x －3)=3．11．x 2－2mx ＋m 2－n 2=0． 12．2a 2x 2－5ax ＋2=0．(a ≠0)四、解下列方程(先将你选择的最佳解法写在括号中) 13．5x 2=x ．(最佳方法：______)14．x 2－2x =224．(最佳方法：______)15．6x 2－2x －3=0．(最佳方法：______)16．6－2x 2=0．(最佳方法：______)17．x 2－15x －16=0．(最佳方法：______)18．4x 2＋1=4x ．(最佳方法：______)19．(x －1)(x ＋1)－5x ＋2=0．(最佳方法：______) 综合运用一、填空题20．若分式1872+--x x x 的值是0，则x =______．21．关于x 的方程x 2＋2ax ＋a 2－b 2=0的根是____________．二、选择题22．方程3x 2=0和方程5x 2=6x 的根( )．A ．都是x =0B ．有一个相同，x =0C ．都不相同D ．以上都不正确23．关于x 的方程abx 2－(a 2＋b 2)x ＋ab =0(ab ≠0)的根是( )．A ．ba x ab x 2,221== B ．b ax a b x ==21, C ．0,2221=+=x ab b a x D ．以上都不正确三、解下列方程24．(x ＋1)2＋(x ＋2)2=(x ＋3)2． 25．(y －5)(y ＋3)＋(y －2)(y ＋4)=26．26．.02322=+-x x 27．kx 2－(k ＋1)x ＋1=0．四、解答题28．已知：x 2＋3xy －4y 2=0(y ≠0)，求yx yx +-的值．29．已知：关于x 的方程2x 2＋2(a －c )x ＋(a －b )2＋(b －c )2=0有两相等实数根．求证：a ＋c =2b ．(a ，b ，c 是实数)30．已知一元二次方程ax2＋bx ＋c =0(a ≠0)中的两根为,24,221aacb b x x -±-=请你计算x 1＋x 2=____________，x 1·x 2=____________．并由此结论解决下面的问题：(1)方程2x 2＋3x －5=0的两根之和为______，两根之积为______．(2)方程2x 2＋mx ＋n =0的两根之和为4，积为－3，则m =______，n =______． (3)若方程x 2－4x ＋3k =0的一个根为2，则另一根为______，k 为______．(4)已知x 1，x 2是方程3x 2－2x －2=0的两根，不解方程，用根与系数的关系求下列各式的值： ①;1121x x + ②;2221x x +③｜x 1－x 2｜；④;221221x x x x +⑤(x 1－2)(x 2－2)．实际问题与一元二次方程基础训练一、填空题1．实际问题中常见的基本等量关系。

一元二次方程的解法基础训练及一元二次方程知识点

（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式： .
12.直线与抛物线的交点
（1）轴与抛物线得交点为(0, ).
（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点( , ).
（3）抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．任意三角形
10．不解方程，判断所给方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
11.用公式法解方程4x2－12x=3，得到（）
A．x= B．x=
C．x= D．x=
12.方程 x2+4 x+6 =0的根是（）
4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中 .
5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
① 的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；
相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于轴（或重合）的直线记作 .特别地，轴记作直线 .
（2）方程左边化为两个平方差，右边为零得_________；
（3）将方程左边分解成两个一次因式之积得______；
（4）分别解这两个一次方程得x1=_____,x2=______.
3、x(x+1)=0的解是；
4、3x(x－1)=0的解是;
5、(x－1)(x+1)=0的解是;;
6、(2x－1)(x+1)=0的解是;

第21章一元二次方程考点练习(有答案)

根是﹣3，1.小明看错了一次项系数 P，得到方程的两个根是 5，﹣4，则原来的方程是（） A .x2+2x﹣3＝0 B .x2+2x﹣20＝0 C .x2﹣2x﹣20＝0 D .x2﹣2x﹣3＝0
19.（2021 枣庄）若等腰三角形的一边长是 4，另两边的长是关于 x 的方程 x2﹣6x+n＝0 的两
25.已知关于 x 的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0，其中 a，b，c，分别为△ABC 三
边长. （1）如果 x=－1 是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
的最大值是（）
A .1 B . 2 C . 3 D .2
13.（2020 潍坊）关于 x 的一元二次方程 x2 (k 3)x 1 k 0 根的情况，下列说法正确
的是（） A. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根
B. 有两个相等的实数根 D. 无法确定
3
14.（2021 枣庄、泰安）已知关于 x 的一元二次方程 kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（）
个根，则 k 的值为（）
A. 3
B. 4 C. 3 或 4
D. 7
5.(2020 张家界) 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程 x2-6x+8=0 的两根，则该
等腰三角形的底边长为（
）
A .2 B .4 C .8
D .2 或 4
6.(2021 雅安) 若直角三角形的两边长分别是方程 x2-7x+12=0 的两根，则该直角三角形的

大象出版社《基础训练》九年级数学(全一册)第22章参考答案

与人教版义务教育课程标准实验教科书配套基础训练（含单元评价卷）数学九年级全一册参考答案课时练习部分参考答案第二十二章一元二次方程22．1 一元二次方程课前预习1．x (x ＋10)＝900 2.C 课堂练习1．A 2.A 3.C 4.B 5.m ≠3 6.(1)一般形式为x 2＋5x －1＝0，二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为－1； (2)一般形式为x 2＋4x －12＝0，二次项系数为1，一次项系数为4，常数项为－12. 课后训练1．B5. 36. 4 78x 2＋2x －3＝0.9．因为m 是方程x 2－2011x ＋1＝0的一个根，则有m 2－2011m ＝－1，m 2＋1＝2011m ，所以原式＝－1＋2011＝2010. 中考链接m ＋n ＝－2.22．2 降次——解一元二次方程22．2.1 配方法第1课时课前预习1．±2 2. 3 －3 3. 4 课堂练习1．± 5 2. 1或－7 3.(1)9 3 (2)16 (3)6x4.(1)x 1＝2，x 2＝－2； (2)x 1＝5－3，x 2＝5＋3； (3)x 1＝2，x 2＝－1；(4)x 1＝－2－62，x 2＝－2＋62.课后训练1．C 2.D 3.±12 4．(1)94 32 (2)x 125．(1)x 1＝45，x 2＝－25； (2)x 1＝x 2＝12； (3)x 1＝4，x 2＝－23； (4)x 1＝5，x 2＝－13. 6．－8中考链接x 2＋y 2＝1.第2课时课前预习1．(1)16 4 (2)494 72 (3)19 13 (4)2516 54 2.(1)x 1＝－2，x 2＝2；(2)x 1＝3－72，x 2＝3＋72. 课堂练习 1．B 2.B 3.(1)2 －9 (2)32 14 4. 1 －125．(1)x 1＝－2－7，x 2＝－2＋7； (2)x 1＝－7，x 2＝2； (3)x 1＝3－5，x 2＝3＋5； (4)x 1＝6－35，x 2＝6＋35. 课后训练1．D 2.B 3.x 1＝－5，x 2＝14．(1)x 1＝5，x 2＝－1； (2)x 1＝－9，x 2＝1； (3)t 1＝－12，t 2＝4； (4)x 1＝12，x 2＝3. 5．能求出来．由（x －x 1）2＝12，得x 2＋1x 2＝52，∴ （x ＋x1）2＝x 2＋1x 2＋2＝52＋2＝92.22．2.2 公式法课前预习1. 2 －3 －52.x 1＝3，x 2＝－1. 课堂练习1．D 2.A 3.k ＜－1 4．有两个不相等的实数根5．(1)x 1＝6，x 2＝－3； (2)x 1＝－32，x 2＝2； (3)x 1＝9－732，x 2＝9＋732；(4)y 1＝y 2＝12.课后训练1．B 2.B 3. 2或－1 4.m ＜925.(1)x 1＝1，x 2＝－12； (2)x 1＝－3－32，x 2＝－3＋32； (3)x 1＝x 2＝22；(4)y 1＝－1－136，y 2＝－1＋136.6．不存在，由Δ≥0，得m ≤14，又m ＞0，∴ 0＜m ≤14，这样的非负整数m 不存在．7．B22．2.3 因式分解法课前预习1．(1)(2x ＋1)(2x －1) (2)(x －3)2 (3)3x (x －4) (4)(x ＋2)(x ＋3) 2. (1)0 0 (2)0 0 课堂练习1．B 2.D 3.(1)x 1＝14，x 2＝－14； (2)x 1＝3，x 2＝0； (3)x 1＝3，x 2＝－12； (4)x 1＝2，x 2＝1； (5)x 1＝83，x 2＝2； (6)x 1＝2，x 2＝－3.课后训练1．(1)x 1＝32，x 2＝－32； (2)x 1＝－3－52，x 2＝－3＋52； (3)x 1＝2，x 2＝23； (4)x 1＝0，x 2＝3； (5)x 1＝0，x 2＝12； (6)x 1＝113，x 2＝－5. 2．(1)x 1＝0，x 2＝3； (2)x 1＝－6，x 2＝2；(3)x 1＝32，x 2＝－2； (4)x 1＝2，x 2＝0； (5)x 1＝0，x 2＝4； (6)x 1＝3－52，x 2＝3＋52. 3.x y ＝5或x y＝10. 4．(1)是． (2)x 2－2kx －3k 2＝0. (3)由规律可知k ＝51，x 1＝－51，x 2＝153.22．2.4 一元二次方程的根与系数的关系课前预习1. 1 2 3 22. 73课堂练习1．C 2.－13－233. 24．答案不唯一，如x2－4x＋3＝05．(1)5；(2)－4；(3)212 .课后训练1．m＝2，方程的两根为x1＝1，x2＝2.2．根据两根的和为6，得另一个根为3－2，于是c＝x1x2＝7.3.由x1＋x2＝－m，x1x2＝m－1，(x1＋x2)2－2x1x2＝26，得m2－2(m－1)＝26，解得m1＝6，m2＝－4.只取m＝6.中考链接m＝－5.22．3 实际问题与一元二次方程第1课时课前预习1．6(1＋x) 6(1＋x)26＋6(1＋x)＋6(1＋x)2 2.x1＝10，x2＝－12. 课堂练习1．设平均一台电脑会感染x台电脑，由题意得(1＋x)2＝81，解得x1＝8，x2＝－10(舍去)．所以平均一台电脑会感染8台电脑．2．设原价为1个单位，每次降价的百分率为x，则(1－x)2＝12，解得x＝2±22.由于降价的百分率不可能大于1，所以x＝2＋22应舍去，只取x＝2－22≈29.3%.即每次降价的百分率约为29.3%.3．设平均每月增长的百分率为x，由题意得5000(1＋x)2＝7200，解得x1＝0.2，x2＝－2.2(舍去)，只取x＝0.2＝20%.即平均每月增长的百分率是20%.4．设一套成本为x元，另一套成本为y元，则x(1＋20%)＝180，x＝150；y(1－20%)＝180，y＝225.于是x＋y＝150＋225＝375(元).375－180×2＝15(元)．所以赔了15元．5．设要向x人发送，由题意得x2＋x＝90.解得x1＝9，x2＝－10(舍去)．所以，一个人要向9个人发送．第2课时课前预习1. 322. 6x2＝384课堂练习设金色纸边的宽为x cm，由题意得(80＋2x)(50＋2x)＝5400，得x2＋65x－350＝0.解得x1＝5，x2＝－70(舍去)．所以金色纸边宽5 cm.课后训练1．设原正方形铁皮边长为x cm ，由题意得5(x －10)2＝720.即(x －10)2＝144，解得x 1＝22，x 2＝－2(舍去)．所以原正方形铁皮的边长为22 cm.2．设经过x 秒，由题意得12(6－x )·2x ＝8，即x 2－6x ＋8＝0，所以x 1＝2，x 2＝4.当经过2秒时，点P 在离A 点1×2＝2 cm 处，点Q 在离B 点2×2＝4 cm 处．当经过4秒时，点P 在离A 点1×4＝4 cm 处，点Q 在离B 点2×4＝8 cm 处．所以经过2秒或4秒，△PBQ 的面积等于8 cm 2.3．设每千克应涨价x 元，由题意得(10＋x )(500－20x )＝6000，解得x 1＝5，x 2＝10(舍去)．所以每千克应涨价5元．第二十二章复习课课前回顾1．D 2.C 3.D 课堂练习1. 4x 2－3x －9＝0 －32. 23.k ≤924．(1)x 1＝2＋7，x 2＝2－7； (2)x 1＝2，x 2＝－15.课后训练1．B 2.D 3.B 4. 5 5.答案不唯一，如x 2＝4 6. 6或10或127．(1)x 1＝2－73，x 2＝2＋73； (2)x 1＝5，x 2＝－2； (3)x 1＝32，x 2＝3；(4)x 1＝3，x 2＝1.8．把x ＝0代入方程，得m 2＋2m －8＝0.解得m 1＝－4，m 2＝2(舍去)．当m＝－4时，得－6x 2＋3x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝12，所以方程有两个不相等的实数根．9.依题意得⎩⎨⎧Δ1＝16－4m ＞0，Δ2＝4－4m ＜0，解得1＜m ＜4.中考链接设单价降低x 元，80×200＋(80－x )(200＋10x )＋40－50×800＝9000，x 1＝x 2＝10.∴ 80－x ＝70，即第二个月T 恤的单价应为70元．。

浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章一元二次方程2

浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章一元二次方程（解析版）2.3一元二次方程的应用（1）【知识重点】1. 利润问题：总利润=单位利润×销售量；利润=售价-进价；利润率=进价进价售价-×100%. 2. 增长率问题：基数×(1+增长率)2=增长两次后的数量.【经典例题】【例1】疫情期间“停课不停学”，因此王老师在线上开通公众号进行公益授课，4月份该公众号关注人数为6000，6月份该公众号关注人数达到7260，若从4月份到6月份，每月该公众号关注人数的平均增长率都相同，求该公众号关注人数的月平均增长率．【答案】解：设月平均增长率为 x ，根据题意得： 6000(1+x)2=7260 ，解得： x 1=0.1 ， x 2=−2.1 （舍去），故该公众号关注人数的月平均增长率为0.1，答：该公众号关注人数的月平均增长率为0.1．【解析】根据题意先求出 6000(1+x)2=7260 ，再解方程即可。

【例2】直播带货逐渐走进了人们的生活，某电商在APP 上对一款成本价为40/件的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每星期可卖出300件，通过市场调查发现，每件小商品的售价每降价0.5元，每星期可多卖出10件，在顾客得实惠的前提下，电商还想获得6080元利润，每件小商品的售价应定为多少元？这时电商每月能售出小商品多少件？【答案】解：设每件商品售价应定为x 元，则每件商品的销售利润为(x −40)元，每月的销售量为300+60−x 0.5×10=1500−20x （件），依题意得：(x −40)(1500−20x)=6080，解得x 1=56，x 2=59．∵在顾客得实惠的前提下，∴x =56，当x =56时，1500−20×56=380答：每件小商品的售价应定为56元，这时电商每月能售出小商品380件．【解析】设每件商品售价应定为x 元，则每件商品的销售利润为(x −40)元，每月的销售量为300+60−x 0.5×10=1500−20x （件），根据总利润=单件的利润×销售量列出方程并解之即可. 【例3】土豆（马铃薯）色泽光鲜，含淀粉高，不容易腐烂，具有比其它地方土豆多淀粉、蛋白质、维生素C 等营养成分．某合作社2020年到2022年每年种植土豆100亩，2020年土豆的平均亩产量为1000千克，2021年到2022年引进先进的种植技术，2022年土豆的平均亩产量达到1440千克．（1）若2021年和2022年土豆的平均亩产量的年增长率相同，求土豆平均亩产量的年增长率为多少？（2）2023年该合作社计划在保证土豆种植的总成本不变的情况下，增加土豆的种植面积，经过统计调查发现，2022年每亩土豆的种植成本为1200元，若土豆的种植面积每增加1亩，则每亩土豆的种植成本将下降10元，求该合作社增加土豆种植面积多少亩，才能保证土豆种植的总成本不变？【答案】（1）解：设2021年和2022年土豆平均亩产量的年增长率为x ．根据题意，得1000(1+x)2=1440．解得x 1=0.2，x 2=−2.2．（不合题意，舍去）答：土豆平均亩产量的年增长率为20%．（2）解：设增加土豆种植面积a 亩．根据题意，得(100+a)(1200−10a)=1200×100．解得a 1=0（不合题意，舍去），a 2=20．答：该合作社增加土豆的种植面积20亩时，才能保证土豆种植的总成本保持不变．【解析】（1）设2021年和2022年土豆平均亩产量的年增长率为x ，根据2020年土豆的平均亩产量×（1+年增长率）2=2022年土豆平均亩产量，列出方程并解之即可；（2）根据2023年每亩土豆的实际成本×亩数=2022年的总成本列出方程并解之即可.【基础训练】1．秦杨商场去年第一季度销售利润是100万元，第二季度和第三季度的销售利润逐步攀升，第三季度销售利润是196万元．设第二季度和第三季度平均增长的百分率为x，那么所列方程正确的是（）A．100(1+x)2=196B．100(1+2x)=196C．196(1−x)2=100D．100+100(1+x)+100(1+x)2=196【答案】A【解析】设秦杨商场第二、三季度的利润平均增长率为x，根据题意得：100（1＋x）2＝196，故A符合题意．故答案为：A．2．华为某型号手机经过2次降价后的价格是2次降价前价格的1625，则每次降价的平均百分比是（）A．10%B．20%C．15%D．25%【答案】B【解析】设平均降低率为x，起始价格为m元，根据题意，得m(1−x)2=1625m，解得x=0.2或x=1.8(舍去)，故答案为：B．3．随着生产技术的进步，某厂生产一件产品的成本从两年前的100元，下降到现在的64 元，求年平均下降率.设年平均下降率为x，通过解方程得到一个根为1.8，则正确的解释是（）A．年平均下降率为80%，符合题意B．年平均下降率为18%，符合题意C．年平均下降率为1.8%，不符合题意D．年平均下降率为180%，不符合题意【答案】D【解析】由已知可得，平均年下降率是大于0且小于1的数，故选项D说法正确.故答案为：D.4．某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P（件）与每件的销售价x（元）满足关系：P=100−2x．若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．(x−30)(100−2x)=200B．x(100−2x)=200C．(30−x)(100−2x)=200D．(x−30)(2x−100)=200【答案】A【解析】设每件商品的售价应定为x元，每天要销售这种商品p件．根据题意得：（x-30）（100-2x）=200，整理得：x2-80x+1600=0.故答案为：A5．某超市销售一种商品，其进价为每千克30元，按每千克45元出售，每天可售出300千克，为让利于民，超市采取降价措施，当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千克，若每天的利润要达到5500元，则实际售价应定为多少元？设售价每千克降低x元，可列方程为（）A．（45-30-x）（300+50x）=5500B．（x-30）（300+50x）=5500C．（x-30）[300+50（x-45）]=5500D．（45-x）（300+50x）=5500【答案】A【解析】由题意可知，当售价每千克降低x元时，每千克的售价为(45−x)元，此时每天销量为(300+ 50x)千克，则可列方程为(45−x−30)(300+50x)=5500，故答案为：A．6．陕西重型汽车有限公司（简称陕汽重卡）是由湘火炬汽车集团股份有限公司与陕西汽车集团有限责任公司合资组建的大型汽车公司企业，该企业随着生产技术的不断提升，生产的某款汽车的价格由2021年8月份的39万元／辆下降到10月份的31.59万元／辆，若月平均降价的百分率保持不变，则月平均降价率是%．【答案】10【解析】月平均降价率是x，则有39(1−x)2=31.59解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去）故答案为：10.7．2021年端午节期间，合肥某食品专卖店准备了一批粽子，每盒利润为50元，平均每天可卖300盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利16000元，设每盒粽子降价x元，可列方程．【答案】(50−x)(300+10x)=16000【解析】由题意得：(50−x)(300+10x)=16000；故答案为(50−x)(300+10x)=16000．8．随着人们节能意识的增强，节能产品的销售量逐年增加．某地区高效节能灯的年销售量2019年为10万只，预计2021年将达到12.1万只．求该地区2019年到2021年高效节能灯年销售量的平均增长率．【答案】解：设该地区2019年到2021年高效节能灯年销售量的平均增长率为x，依题意得：10(1+x)2=12.1解得：x1=0.1＝10%，x2=−2.1（不合题意，舍去）．答：该地区2019年到2021年高效节能灯年销售量的平均增长率为10%．【解析】设该地区2019年到2021年高效节能灯年销售量的平均增长率为x，则2020年为10(1+x)万只，2021年为10(1+x)2万只，然后根据预计2021年将达到12.1万只列出方程，求解即可.9．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？【答案】解：设每件衬衫应降价x元，由题意得：(40−x)(20+2x)=1200，解得：x1=10，x2=20，∵要尽快减少库存，∴每件衬衫应降价20元．【解析】设每件衬衫应降价x元，降价后每件衬衫的利润为（40-x）元，销售的数量为（20+2x）件，根据每一件衬衫的利润×销售量=1200，据此列方程，然后求出方程的解，根据要尽快减少库存，可得到符合题意的x的值.10．2022年冬季奥运会和冬季残奥会两件赛事在我国首都北京和河北省石家庄市举行，某商家购进了冬季残奥会吉祥物“雪容融”纪念品，每个的进价是30元．为了增大“雪容融”类纪念品的销售量，商家决定对“雪容融”类纪念品进行降价销售，当销售价为每个44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个．请问商家应将“雪容融”类纪念品每个降价多少元时，每天售出此类纪念品能获利400元？【答案】解：设降价x元，每天售出此类纪念品能获利400元，由题意得：(44−x−30)(20+5x)=400解得：x1=4，x2=6，答：商家应将“雪容融”类纪念品每个降价4元或6元时，每天售出此类纪念品能获利400元．【解析】设降价x元，每天售出此类纪念品能获利400元，由题意可得每个的利润为(44-x-30)元，每天的销售量为(20+5x)个，然后根据每个的利润×销售量=总利润可得关于x的方程，求解即可.【培优训练】11．某电影上映第一天票房收入约1亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到4亿元.若增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1+x=4B．(1+x)2=4C．1+(1+x)2=4D．1+(1+x)+(1+x)2=4【答案】D【解析】由题意得：1+(1+x)+(1+x)2=4；故答案为：D.12．某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由今年1月份的每平方米10000元下降到3月份的每平方米8100元，且今年房价在2月份、3月份、4月份的下降率保持一致，则4月份的房价单价为每平方米（）．A．7300元B．7290元C．7280元D．7270元【答案】B【解析】设房价的下降率为x，根据题意得：10000(1−x)2=8100，解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）∴房价的下降率为10%，∴4月份的房价单价为每平方米8100(1−10%)=7290元．故答案为：B．13．某经济开发区，今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，二月、三月平均每月的增长率是多少？若设平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为（）A．50(1+x)2=175B．50+50(1+x)+50(1+x)2=175C．50(1+x)+50(1+x)2=175D．50+50(1+x)2=175【答案】B【解析】二月份的产值为：50(1+x)，三月份的产值为：50(1+x)(1+x)=50(1+x)2，故第一季度总产值为：50+50(1+x)+50(1+x)2=175．故答案为：B．14．"桃花流水窅然去，别有天地非人间."桃花园景点2017年三月共接待游客a万人，2018年三月比2017年三月旅游人数增加5%，已知2017年三月至2019年三月欣赏桃花的游客人数平均年增长率为8%，设2019年三月比2018年三月游客人数增加b% ，则可列方程为()A．a(1+5%)(1+b%)=a(1+8%×2)B．a(1+5%)(1+b%)=a(1+8%)2C．a(1+5%)(1+8%)=a(1+b%×2)D．a(1+5%)(1+8%)=2a(1+b%)2【答案】B【解析】2018年三月共接待游客a(1+5%) 万人，2019年三月共接待游客a(1+5%)(1+b%) 万人，又2017年三月至2019年三月欣赏桃花的游客人数平均年增长率为8%，则2019年三月共接待游客a(1+8%)2，故方程为：a(1+5%) (1+b%)=a(1+8%)2 .故答案为：B.15．某超市销售一批玩具，平均每天可售出120件，每件盈利4元，市场调查发现售价每涨1元，销售量减少10件；售价每降1元，销售量增加10件。

中考数学一轮复习专题08 一元二次方程(基础训练)(原卷版)

专题08 一元二次方程【基础训练】一、单选题1．（2021·西宁市教育科学研究院中考真题）某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x ，那么x 满足的方程是（）A ．26.5(1) 5.265x -=B ．26.5(1) 5.265x +=C ．25.265(1) 6.5x -=D ．25.265(1) 6.5x +=2．（2021·辽宁丹东市·中考真题）若实数k 、b 是一元二次方程(3)(1)0x x +-=的两个根，且k b <，则一次函数y kx b =+的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．（2021·贵州毕节市·中考真题）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 4．（2021·贵州毕节市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2410ax x --=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A ．4a ≥-B ．4a >-C ．4a ≥-且0a ≠D ．4a >-且0a ≠ 5．（2021·内蒙古赤峰市·中考真题）一元二次方程2820x x --=，配方后可形为（） A ．()2418x -=B ．()2414x -= C ．()2864x -= D ．()241x -= 6．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x ，则可列方程为（）A ．()50712833.6x +=B ．()50721833.6x ⨯+=C ．()25071833.6x +=D ．()()250750715071833.6x x ++++= 7．（2021·山东临沂市·中考真题）方程256x x -=的根是（）A ．1278x x ==，B ．1278x x ==-，C ．1278x x =-=，D ．1278x x =-=-， 8．（2021·广西河池市·）关于x 的一元二次方程220x mx m +--=的根的情况是（） A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．实数根的个数由m 的值确定9．（2021·山东滨州市·中考真题）下列一元二次方程中，无实数根的是（）A ．2230x x --=B ．2320x x ++=C ．2210x x -+=D ．2230x x ++=10．（2021·贵州遵义市·）在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P ，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）A ．x 2+2x ﹣3＝0B ．x 2+2x ﹣20＝0C ．x 2﹣2x ﹣20＝0D ．x 2﹣2x ﹣3＝0 11．（2021·湖南湘潭市·）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程得（）A ．()2100164x -=B ．()2100164x += C ．()1001264x -= D ．()1001264x += 12．（2021·山东潍坊市·）若菱形两条对角线的长度是方程x 2﹣6x +8＝0的两根，则该菱形的边长为（）A B ．4 C ．25 D ．513．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·）若关于x 的一元二次方程26=0x ax -+ 的一个根是2，则a 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．514．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x 个人，可到方程为（）A ．1281x +=B ．2181x +=C ．2181x x ++=D ．1(1)81x x x +++= 15．（2021·辽宁大连市·中考真题）“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x ，根据题意，可列方程为（）A ．()5001800x +=B ．()50012800x +=C ．25001800()x +=D ．()25001800x += 16．（2021·广西贵港市·中考真题）某蔬菜种植基地2018年的蔬菜产量为800吨，2020年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为x ，则年平均增长率x 应满足的方程为（）A ．2800(1)968x -=B ．2800(1)968x +=C ．2968(1)800x -=D ．2968(1)800x +=17．（2021·广西贵港市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程x 2－kx ＋k －3＝0的两个实数根分别为12,x x ，且22125x x +=，则k 的值是（）A ．－2B ．2C ．－1D ．118．（2021·四川雅安市·中考真题）若直角三角形的两边长分别是方程27120x x -+=的两根，则该直角三角形的面积是（）A ．6B ．12C ．12D ．6 19．（2021·山东菏泽市·）关于x 的方程()()2212110k x k x -+++=有实数根，则k 的取值范围是（）A ．14k >且1k ≠B ．14k ≥且1k ≠C ．14k >D ．14k ≥ 20．（2021·湖北襄阳市·中考真题）随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为x ，下面所列方程正确的是（）A ．()2500014050x +=B ．()2405015000x += C ．()2500014050x -= D ．()2405015000x -= 21．（2021·吉林长春市·中考真题）关于x 的一元二次方程260x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（）A ．8B ．9C ．10D ．1122．（2021·山东济宁市·中考真题）已知m ，n 是一元二次方程220210x x +-=的两个实数根，则代数式22m m n ++的值等于（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．202223．（2021·黑龙江中考真题）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A ．14B ．11C ．10D ．924．（2021·湖南张家界市·中考真题）对于实数,a b 定义运算“☆”如下：2a b ab ab =-☆，例如23336222⨯-⨯==☆，则方程12x =☆的根的情况为（）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根25．（2021·海南中考真题）用配方法解方程2650x x -+=，配方后所得的方程是（） A ．2(3)4x +=- B ．2(3)4x -=- C ．2(3)4x += D ．2(3)4x -= 26．（2021·广西玉林市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程：2x 2x m 0-+=有两个不相等的实数根1x ，2x ，则（）A ．120x x +<B ．120x x <C ．121x x >-D ．121x x <27．（2021·山东聊城市·）关于x 的方程x 2＋4kx ＋2k 2＝4的一个解是﹣2，则k 值为（） A ．2或4 B ．0或4 C ．﹣2或0 D ．﹣2或228．（2021·湖南怀化市·）对于一元二次方程22340x x -+=，则它根的情况为（） A ．没有实数根B ．两根之和是3C ．两根之积是2-D ．有两个不相等的实数根29．（2021·湖南邵阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，若直线y x m =-+不经过第一象限，则关于x 的方程210mx x ++=的实数根的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1或2个 30．（2021·四川眉山市·中考真题）已知一元二次方程2310x x -+=的两根为1x ，2x ，则211252x x x --的值为（）A ．7-B ．3-C ．2D ．531．（2021·浙江台州市·中考真题）关于x 的方程x 2-4x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A ．m ＞2B ．m ＜2C ．m ＞4D ．m ＜4二、填空题32．（2021·山东济南市·中考真题）关于x 的一元二次方程20x x a +-=的一个根是2，则另一个根是__________．33．（2021·辽宁锦州市·中考真题）关于x 的一元二次方程x 2＋2x ﹣k ＝0有两个实数根，则k 的取值范围是________．34．（2021·江苏南通市·中考真题）若m ，n 是一元二次方程2310x x +-=的两个实数根，则3231m m n m +-的值为___________． 35．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）实数m ，n 是一元二次方程2320x x -+=的两个根，则多项式mn m n --的值为____．36．（2021·四川成都市·中考真题）若m ，n 是一元二次方程2210x x +-=的两个实数根，则242m m n ++的值是______．37．（2021·四川雅安市·中考真题）已知一元二次方程220210x x +-=的两根分别为m ，n ，则11m n+的值为______．三、解答题38．（2021·辽宁沈阳市·）某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？39．（2021·江苏徐州市·中考真题）（1）解方程：2450x x --=（2）解不等式组：213238x x x -≤⎧⎨+>+⎩40．（2021·山东淄博市·）为更好地发展低碳经济，建设美丽中国．某公司对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司去年第三季度产值是2300万元，今年第一季度产值是3200万元，假设公司每个季度产值的平均增长率相同．解答过程中可直接使用表格中的数据哟！（2）问该公司今年总产值能否超过1.6亿元？并说明理由．41．（2021·湖北黄石市·中考真题）已知关于x的一元二次方程2220x mx m m+++=有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为1x、2x，且221212x x+=，求m的值．42．（2021·山西中考真题）2021☆7☆1☆☆☆100☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆4☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆65☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆43．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）解方程：(7)8(7)x x x-=-．44．（2021·江苏无锡市·中考真题）（1）解方程：2(1)40x；（2）解不等式组：231,1 1.3xxx-+≤⎧⎪⎨-<+⎪⎩45．（2021·湖北荆州市·中考真题）已知：a 是不等式()()528617a a -+<-+的最小整数解，请用配方法解关于x 的方程2210x ax a +++=．46．（2021·山东菏泽市·）列方程（组）解应用题端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？47．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）小敏与小霞两位同学解方程()()2333x x -=-的过程如下框：答过程．48．（2021·湖南常德市·中考真题）解方程：220x x --=49．（2021·西宁市教育科学研究院中考真题）解方程：2(2)x x x -=-．。

一元二次方程配方法基础训练30题

一元二次方程配方法基础训练30题一．选择题（共10小题）1．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15 C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2=152．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时，下列变形正确的为（）A．（x+3）2=1 B．（x﹣3）2=1 C．（x+3）2=19 D．（x﹣3）2=193．用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得（）A．（x+5）2=16 B．（x+5）2=1 C．（x+10）2=91 D．（x+10）2=1094．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（）A．（x﹣6）2=﹣4+36 B．（x﹣6）2=4+36 C．（x﹣3）2=﹣4+9 D．（x﹣3）2=4+95．方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为（）A．（x+3）2=14 B．（x﹣3）2=14 C．D．（x+3）2=46．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5=0的过程中，配方正确的是（）A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=97．用配方法解方程x2+10x+9=0，配方正确的是（）A．（x+5）2=16 B．（x+5）2=34 C．（x﹣5）2=16 D．（x+5）2=258．用配方法解方程x2+4x+1=0时，经过配方，得到（）A．（x+2）2=5 B．（x﹣2）2=5 C．（x﹣2）2=3 D．（x+2）2=39．把方程x2﹣4x+1=0配方，化为（x+m）2=n的形式应为（）A．（x﹣2）2=﹣3 B．（x﹣2）2=3 C．（x+2）2=﹣3 D．（x+2）2=310．用配方法把一元二次方程x2+6x+1=0，配成（x+p）2=q的形式，其结果是（）A．（x+3）2=8 B．（x﹣3）2=1 C．（x﹣3）2=10 D．（x+3）2=4二．填空题（共12小题）11．一元二次方程x2+3﹣2x=0的解是．12．一元二次方程x2﹣6x+a=0，配方后为（x﹣3）2=1，则a=．13．用配方法解方程x2﹣6x=1时，方程两边应同时加上，就能使方程左边配成一个完全平方式．14．已知，关于x的方程x2+2（m+2）x+9m=0，方程的左边是一个完全平方式，则m=．15．把方程x2+6x+3=0变形为（x+h）2=k的形式，其中h，k为常数，则k=．16．若将方程x2+6x=7化为（x+m）2=16，则m=．17．一元二次方程x2﹣4x+2=0的根是．18．方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方式后所得方程为．19．将一元二次方程x2﹣6x﹣5=0化成（x﹣3）2=b的形式，则b=．20．用配方法解方程x2﹣6x+8=0，配方后得：．21．把方程2x2+8x﹣1=0化为（x+m）2=n的形式，则的值是．22．已知x2+4y2=4xy，则的值为．三．解答题（共8小题）23．用配方法解方程2x2﹣4x﹣3=0．24．解方程：（1）x2+2x=1（2）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0．25．解方程：x2+4x﹣7=6x+5．26．解下列方程：（1）（2x﹣3）2=9（2）3x2﹣10x+6=0．27．（1）用配方法解方程：3x2﹣12x﹣3=0 （2）（x+8）（x+1）=﹣1．28．解方程：2x2﹣8x+3=0．29．用配方法解方程：2x2﹣5x+2=0．30．x2+2x﹣35=0（配方法解）配方法参考答案一．选择题（共10小题）1．C；2．D；3．A；4．D；5．A；6．D；7．A；8．D；9．B；10．A；二．填空题（共12小题）11．x1=x2=；12．8；13．9；14．1或4；15．6；16．3；17．x1=2+，x2=2-； 18．（x+3）2=14；19．14；20．（x-3）2=1；21．3；22．4；三．解答题（共8小题）23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．；30．；。

第二十一章一元二次方程

第二十一章一元二次方程1．一元二次方程预习归纳1．等号两边都是整式，只含有一个，并且未知数的最高次数是的方程，叫一元二次方程． 2．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的． 3．一元二次方程的一般形式是．例题讲解【例】把方程(3x －2)(2x －3)＝x 2－5化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项，一次项及常数项和二次项系数，一次项系数．基础训练1．下列方程是一元二次方程的是( )A ．2110x x=＋＋ B ．2110x x=＋＋ C ．210xy －＝D ．220x xy y =－＋ 2．方程()45x x －＝化为一般形式为( ) A ．2450x x =－＋ B ．2450x x =＋＋ C ．2450x x =－－ D ．2450x x =＋－ 3．方程23740x x =－＋中二次项的系数，一次项的系数及常数项分别是( )A ．3、7、4B ．3、7、﹣4C ．3、﹣7、4D ．3、﹣7、﹣44．(2014菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－25．(2014哈尔滨)若x ＝－1是关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＋1＝0的一个解，则m 的值为． 6．把一元二次方程2(x 2＋7)＝x ＋2化成一般形式是．7．下列数中－1，2，－3，－2，3是一元二次方程x 2－2x ＝3的根是． 8．若方程x 2－2x ＋m ＝0的一个根是－1，求m 的值．9．(2013牡丹江)若关于x 的一元二次方程为ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，求2013－a －b 的值．中档题训练：10．将一元二次方程2514x x =－化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为( ) A ．5、－4 B ．5、4 C ．5x 2、4x D ．5x 2、－4x 11．若0是一元二次方程22610x x m ＋＋－＝的一个根，则m 的取值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．以上都不是 12．已知关于x 的方程20x bx a =＋＋有一个根是－a (a ≠0)，则a －b 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 13．若()1160m m xmx -＋＋＋2＝是关于x 的一元二次方程，则m ＝．14．已知m 是方程x 2－x －2＝0的一个根，求代数式4m 2－4m －2的值．15．在一次同学聚会时，同学见面后每两人握一次手，共握手28次，求有多少同学参加了这次聚会？学习以下解答过程，并完成填空．解：设参加聚会的同学有x 人，每人共握手次，握手的总次数用含x 的式子表示为．根据题意，可列出方程．整理，得．化为一般式，得．二次项系数、一次项系数、常数项分别为．综合训练题16．已知关于x 的方程(t 2—9)x 2＋(t 十3)x －5＝0．(1)当t 为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解．(2)当t 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项．2．配方法——解一元二次方程(一)——直接开平方预习归纳1．若x 2＝p (p ≥0)，则x 1＝，x 2＝．例题讲解【例】用直接开方法解方程．⑴9x 2＝25 ⑵2x 2－98＝0基础题训练1．16的平方根是( )A ．4B ．－4C ．±4D ．±8 2．方程x 2＝9的解是( )A ．x 1＝x 2＝3B ．x 1＝x 2＝－3C ．x 1＝3，x 2＝－3D ．x ＝3 3．方程x 2＝3的解是( )A ．12x x =＝B ．12x x =＝C ．1x 2x =D ．x ＝3 4．方程()210x -=的解是( )A ．x 1＝1，x 2＝－1B ．x 1＝x 2＝1C ．x 1＝x 2＝－1D ．x 1＝1，x 2＝－2 5．方程()219x -=的解是( )A ．x 1＝1，x 2＝－3B ．x 1＝4，x 2＝－4C ．x 1＝4，x 2＝－2D ．x ＝3 6．(2014济宁)若一元二次方程ax 2＝b (ab ＞0)的两个根分别是m ＋l 与2m －4，则ba＝． 7．用直接开方法解方程．⑴3(x －2)2＝0 ⑵3(x －1)2＝278．如果12x =是关于x 的方程22320x ax a -=＋的根，求关于y 的方程23y a -=的解．中档题训练：9．(2013鞍山)已知b ＜0，关于x 的一元二次方程(x －1)2＝6的根的情况是( )． A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．有两个实数根10．(2013丽水)一元二次方程(x ＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )．A ．x ＋6＝－4B ．x －6＝4C ．x ＋6＝4D ．x ＋6＝－4 11．一元二次方程2+2990x x -=变形正确的是( )A ．()2+1100x = B ．()21100x =﹣ C ．()2+2100x = D ．()22100x -= 12．方程3x 2＝2的根是___________． 13．解下列方程：⑴()22510x +-= ⑵()()11x x -＋1＝⑶()2531250x --= ⑷24415x x -＋＝综合题训练：14．已知x 、y 、z 满足2246130x x y y -=＋＋，求关于ｍ的方程2104m x y z -+-=的根．3．配方法——解一元二次方程(二)预习归纳1．通过配成解一元二次方程的方法，叫配方法．例题讲解【例】用配方法解方程：⑴ x 2＋2x －3＝0 ⑵ x 2－2x －8＝0基础题训练1．填空： (1) x 2－20x ＋＝ (x － )2(2) x 2＋ x ＋81＝ (x ＋ ) 2(3) x 2＋5x ＋＝ (x ＋ )22．用配方法解一元二次方程x 2－4x ＝1，配方后得到的方程是( )A ．(x －2)2＝1B ．(x －2)2＝4C ．(x －2)2＝5D ．(x －2)2＝3 3．(2013兰州)用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后得到的方程为( ) A ．(x ＋1)2＝0 B ．(x －1)2＝0 C ．(x ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＝2 4．(2014宁夏)一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是( )A ．x1＝x 2＝1 B ．x 1＝1x 2＝1-C ．x1＝1x 2＝1D ．x 1＝1-x 2＝1--5．用配方法解方程242203x x --＝变形正确的是( ) A ．21839x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝ B ．2203x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝ C ．211039x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝ D ．211039x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝ 6．填空：(1) x 2－4x ＋＝ (x － )2 (2) x 2＋6x ＋＝ (x ＋ )2(3) x 2－43x ＋＝ (x － ) 2 (4) x 2－3ax ＋＝ (x － ) 2 7．用配方法解下列方程：⑴2ｍ2－6ｍ＋3＝0 ⑵6x 2－x －12＝0中档题训练：8．已知方程260x x q -=＋可以配方成()27x p -＝的形式，那么262x x q -=＋可以配方成下列的( )A ．()25x p -= B ．()29x p -＝ C ．()229x p -＋＝ D ．()225x p -＋＝9．关于x 的一元二次方程()211420m m xx =＋＋＋＋的解为( )A ．x 1＝1，x 2＝－1B ．x 1＝x 2＝1C ． x 1＝x 2＝－1D ．无解 10．添上适当的数，使下列等式成立：⑴22x x ＋＋_____ ＝2(x ＋ )2 ⑵2323x x -＋2＝(x ＋____)2－11．如果(x －y )2－2(x －y )＋1＝0，那么x 与y 的关系是．12．用配方法解下列方程：⑴x 2－2x ＝5； ⑵2244y y -=13．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x －6y ＋13＝0，求y x 的值．综合题训练：14．试证明：不论x ，y 为何值，221x y x y -＋＋＋的值都为正数．专题配方法的应用一、配方法解方程⑴x2－3x－2＝0⑵3x2－6x－1＝0二、已知a2、b2配方求2ab．2．若代数式9x2＋kx y＋y2是完全平方式，则k的值为( )A．6B．±6C．±12D．12三、已知a2、2ab配方求b23．若代数式x2－5x＋k是完全平方式，则k＝．四、配方法求最值4．求多项式x2＋3x－1的最小值．5．求多项式－2x2＋5x＋3的最大值．五、配方法比较大小6．求证：不论x为何值，多项式2x2－4x－1的值总比x2－6x－6的值大．六、配方法与非负数7．m2＋n2＋4m－2n＋5＝0，求3m2＋5n2－4的值．82-+++=．求x－ｙ＋ｚ的值．44410y x x4．公式法——解一元二次方程(一)——根的判别式预习归纳1．式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，常用希腊字母“△”来表示．2．一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0，当____时，它有两个不等的实数根，当时，它有两个相等的实数根，当时，它无实数根．例题讲解【例】不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况．(1) 3x2－2x－1＝0; (2) 2x2－x＋1＝0．基础题训练1．(2013成都)一元二次方程x2＋x－2＝0的根的情况是( )．A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．方程x2＋16＝8x的根的情况为( )．A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根．C．有一个实数根D．没有实数根．3．(2014益阳)一元二次方程x2－2x＋ｍ＝0总有实数根，则ｍ应满足的条件是( )．A．ｍ＞1B．ｍ＝1C．ｍ＜1D．ｍ≤14．(2014宁波)已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，当ｂ＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是( )．A．ｂ＝－1B．ｂ＝2C．ｂ＝－2D．ｂ＝05．已知关于x的一元二次方程x2＋kx＋1＝0有两个相等的实数根，则k＝．6．(2014广东)关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数ｍ的取值范围为( )．A．m＞94B．m＜94C．m＝94D．m＜－947．不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况．(1) 4x－x2＝x2＋2⑵3x－1＝2x28．当m为何值时，方程2x2－(4m＋1) x＋2m2－1＝0⑴有两个不相等的实数根？⑵有两个相等的实数根？⑶没有实数根？中档题训练：9．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋b＝0有两个相等的实数根，则b的值是．10．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( ) A．a＜2B．a＞2C．a＜2且a≠1D．a＜－211．一元二次方程ax2＋b x＋c＝0中a、c异号，则方程根的情况是( )A．有两个不相等实数根B．两个相等实数根C．没有实数根D．无法确定12．(2013潍坊)已知关于x的方程k x2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是( )．A．当k＝0时，方程无解B．当k＝1时，方程有一个实数解C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解13．若关于x的一元二次方程mx2－(2m－2) x＋m＝0有实数根，则m的取值范围是．14．已知关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围．15．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0有实数根，求m的取值范围．综合题训练：16．已知关于x的一元二次方程(a＋c) x2－2bx－a＋c＝0有两个相等的实数根，试求以a、b、c为边能否构成三角形？若能，请判断三角形的形状．专题一元二次方程根的判别式一、已知常数系数直接判断方程根的情况1．不解方程直接判别下列方程根的情况．(1)2104x --= (2)3x 2－6x ＋3＝0 (3) x (2x －4)＝－5－8x 二、含字母系数时将△配方成a 2，－a 2，a 2＋正数，－a 2－正数，来判断方程根的情况2．判别下列关于x 的一元二次方程的根的情况．(1)22125104x mx m -++= (2) x 2－4mx ＋4m 2＝ 0 (3) 211022x mx m -+-= (4) 21402x mx m -+-=三、“结合a ≠0”确定字母的取值范围3．关于x 的一元二次方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足( ． A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠54．当m 为何值时，关于x 的一元二次方程(ｍ2－1)x 2＋2(ｍ－1)x ＋1＝0，有两个不相等的实数根．四、判别式与隐含条件相结合5．已知关于x 的一元二次方程(1－k )x 2－2x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的最大整数值是( )． A ．2 B ．1 C ．0 D ．－16．已知关于x 的一元二次方程kx 2－4kx ＋k －5＝0有两个相等的实数根，求k 的值．7．(2013西宁)函数ｙ＝ｋx ＋b 的图象如图所示，试判断关于x 的方程x 2＋x ＋k －1＝0根的情况．5．公式法－－解一元二次方程(二)预习归纳1．当△≥0时，一元二次方程20ax bx c ++=的求根公式是．例题讲解【例】用公式法解方程：(1)2520x x -+=； (2)261x x =+基础题训练1．方程2230x x --=中，a ＝，b ＝，c ＝． 2．方程2515x x +=中的△＝24b ac -＝． 3．(2013．广西)一元二次方程2230x x --=的解是( ) A ．121,3x x =-= B ．121,3x x ==- C ．121,3x x =-=- D ．121,3x x == 4．方程210x x +-=的两根是( )A ．1BC ．1-D 5．方程232x x +=的正根是( )A B C D 6．用公式法解方程：(1)2230x x -=； (2)23650x x +-=(3)20.20.10.4x x -=； (4222x -=；(5)24352x x x --=-； (6)3(3)2(1)(1)x x x x -=-+；中档题训练7．(2014．荆门)已知a 是一元二次方程210x x --=较大的根，则下面对a 的估计正确的是( ) A ．0＜a ＜1 B ．1＜a ＜1．5 C ．1．5＜a ＜2 D ．2＜a ＜3 8．用适当方法解下列方程：(1)2(31)90x +-= (2)2410x x +-=(3)2324x x -= (4)2(2)12y y +=+9．已知一元二次方程2310x x m -+-=．(1)若方程有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围； (2)若方程有两个相等的实数根，求此方程的根．综合题训练10．(2013．北京)已知关于x 的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．6．因式分解法－－－解一元二次方程预习归纳1．用因式分解法要先将方程一边化为，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．例题讲解【例】用因式分解法解下列方程：(1)20x x += (2)2940x -=基础题训练1．多项式25x x -因式分解结果为．2．多项式2(3)5(3)x x x ---因式分解结果为． 3．(2014．舟山)方程230x x -=的根为．4．经计算整式x ＋1与x －4的积为234x x --，则2340x x --=的所有根为( )． A ．121,4x x =-=- B ．121,4x x =-= C ．121,4x x == D ．121,4x x ==- 5．(2013．河南)方程(2)(3)0x x -+=的解是( )A ．x ＝2B ．x ＝－3C ．122,3x x ==-D ．122,3x x =-= 6．(2013．宁夏)一元二次方程(2)2x x x -=-的根是( )A ．－1B ．2C ．1和2D ．－1和2 7．方程2520x x -=的根是( ) A ．1225x x ==B ．1225x x ==-C ．1220,5x x ==D ．1220,5x x ==- 8．用因式分解法解下列方程：(1)2(1)2(1)0x x ---= (2)2(31)40x --=(3)5(3)(3)(1)x x x x -=-+ (4)22(4)(52)0x x ---=中档题训练9．若关于x 的一元二次方程的两根为121,2x x ==-，则这个方程可以是．(任写一个即可) 10．a ，b ，c 为△ABC 的三边，且a ，b ，c 满足()()0a b b c --=,则△ABC 的形状是角形． 11．三角形一边长为10，另两边长是方程(6)8(6)0x x x ---=的两实数根，则这是一个三角形． 12．选择适当的方法解下列方程：(1)225x x -= (2)(2)(3)6x x -+=-(3)210x -= (4)3(21)42x x x +=+13．已知关于x 的一元二次方程240x x m ++=． (1)当m ＝1时，请用配方法求方程的根； (2)若方程没有实数根，求m 的取值范围．综合训练14．已知关于x 的一元二次方程210ax bx ++=中，1b m =+． (1)若a ＝4，求b 的值；(2)若方程210ax bx ++=有两个相等的实数根，求方程的根．专题一元二次方程的解法一、一元二次方程和方程解的概念1．若方程||(2)310m m x mx ++-=是关于x 的一元二次方程，则m ＝． 2．已知x ＝1是一元二次方程210x mx -+=的一个解，则m 的值是( ) A ．2 B ． 0 C ．0或2 D ．－2二、用公式法解方程3．解方程：(1)210x x +-= (2)2310x x +-=三、用配方法解方程4．解方程：(1)(2)1x x += (2)25(3)125x -=四、用因式分解法解方程5．解方程：(1)(2)x x x -= (2)269x x -=-五、选择你喜欢的方法解方程6．解方程：(1)23(2)0x x +-= (2)(21)(3)4x x -+=(3)3(1)2(1)x x x -=- (4)22(21)(3)x x -=-专题利用几何构建一元二次方程【方法归纳】：通过几何条件构建一元二次方程．一、利用面积构建一元二次方程1．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从A 沿AC 边向C 点以1cm /s 的速度移动，在C 点停止，点Q 从C 点开始沿CB 边向点B 以2cm /s 的速度移动，在B 点停止． (1)如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟，使28QPC S cm ∆=？(2)如果点P 从点A 先出发2s ，点Q 再从点C 出发，经过几秒钟后24QPC S cm ∆=？ (3)如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒后PQ ＝BQ ？二、利用勾股定理构建一元二次方程2．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝90°，CD ＝2，AB ＝3，AD ＝7，点P 为线段AD 上一点，CP ⊥BP ，求DP 的长．PABCD3．如图，直角梯形AECD 中，AE ∥CD ，∠E ＝90°，AE ＝CE ＝12，M 为EC 上一点，若∠MAD ＝45°，DM ＝10，求EM 的长．AMEDC7．一元二次方程的根与系数的关系预习归纳1．一元二次方程20ax bx c ++=的两根1x 、2x 满足12x x +＝，12x x = ．例题讲解【例】若方程2310x x --=的两根为1x 、2x ，求1211x x +的值．基础题训练1．若1x 、2x 是一元二次方程2560x x -+=的两个根，则12x x +的值是( ) A ．1 B ．5 C ．－5 D ．62．(2014．昆明)已知1x 、2x 是一元二次方程2410x x -+=的两个根，则12x x ⋅等于( ) A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．4 3．已知方程23570x x --=的两根为1x 、2x ，则下列各式中正确的是( ) A ．125x x +=，127x x ⋅= B ．125x x +=-，127x x ⋅=- C ．1253x x +=，1273x x ⋅=- D ．1253x x +=-，1273x x ⋅=- 4．(2014．攀枝花)若方程210x x +-=的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是( )A ．1αβ+=-B ．1αβ=-C ．223αβ+= D ．111αβ+=-5．若0，－3是方程20x px q -+=的两个根，则αβ+＝．6．(2013．雅安)已知1x 、2x 是一元二次方程220x x -=的两根，则12x x +的值是．7．(2014．黄冈)若α、β是一元二次方程2260x x +-=的两根，则22αβ+＝( )．A ．－8B ．3C ．16D ．40 8．若1x 、2x 是一元二次方程22310x x --=的两个根，求下列代数式的值．(1)12x x +； (2)12x x ⋅； (3)12123322x x x x ⋅++ ；(4)2211222x x x x ++； (5)1211x x + ； (6)2212x x +．中档题训练9．当m ＝时，关于x 的方程222(4)0x m x --=的两根互为相反数．10．已知1x 、2x 是一元二次方程220x ax c +-=的两个实数根，则12122x x x x +-等于( ) A ．2a c +B ．2a c --C ．2a c -+D ．2a c - 11．一元二次方程2380x x m -+=的两根之比为3:1，则m 等于( ) A ．4 B ．－4 C ．3 D ．5 12．一元二次方程240x x c --=的一个根是2+c 的值．13．若1x 、2x 是一元二次方程的22310x x -++=两个根，求下列代数式的值． (1)212()x x - (2)2112x x x x +(3)12(2)(2)x x -- (4)12||x x -综合题训练14．若关于x 的一元二次方程2(1)40x m x m ++++=的两实数根的平方和为2，求m 的值．专题一元二次方程的根与系数关系一、直接求两根之和与两根之积1．根据一元二次方程根与系数关系，求下列方程两个根1x 、2x 的和与积． (1)2320x x ++= (2)2550x x +-=(3)256x x x +=+ (4)27583x x -=-二、不解方程求对称式的值2．设1x 、2x 是一元二次方程22510x x --=的两根，求下列代数式的值．(1)221221x x x x + (2)2212123x x x x +-(3)2112x x x x + (4)12||x x -三、已知方程的一根求另一根及未知系数3．已知x ＝1是方程220x bx +-=的一个根，求方程的另一个根及b 的值．4．(2013．玉林)已知关于x 的方程20x x n ++=有两个实数根－2，m ，求m ，n 的值．四、已知方程的两根求新方程5．已知一元二次方程的两根为22，则该一元二次方程为．五、与判别式结合求字母系数的值6．已知关于x 的一元二次方程2210mx x -+=． (1)若方程有两个实数根，求m 的范围；(2)若方程的两个实数根为1x 、2x ，且满足121212x x x x --=，求m 的值．7．已知关于x 的方程222(1)740x a x a a +-+--=的两根为1x 、2x ，且满足12123340x x x x --+=，求a 的值．六、与绝对值结合求字母系数的值8．已知关于x 的方程222(1)0x k x k +-+=有两个实数根1x 、2x ． (1)求k 的取值范围；(2)若1212||1x x x x +=-，求k 的值．9．(2013．荆州)已知关于x 的方程2(31)2(1)0kx k x k --+-= (1)求证：无论k 为何实数，方程总有实数根；(2)若此方程有两个实数根1x 、2x ，且12||2x x -=，求k 的值．8．实际问题与一元二次方程（一）传播、循环、数字问题预习归纳1．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有100人患了流感，假设每轮传染中，平均一个人传染了几个人？例题讲解【例】：九⑴班每个同学都能与全班同学交换小礼物一件，共计全班交换小礼物2550件，求九⑴班有多少个同学？基础题训练1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长小分支的个数为x ，则依题意可列为． 2.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x 个对参赛，则x 满足的关系式为（） A ．28)1(21=+x x B ．1(1)282x x -= C ．(1)28x x += D ．(1)28x x -= 3．两个连续奇偶数的积是323，那么这两个数是（）A ．17,19B ．－17,－19C ．17,19或－17,－19D ．17,－19 4.有一人患了流感，经过两轮传染后有64人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？5．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，求这个两位数为．中档题训练6．参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为_______________________．7．要参加一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为_____________________．8．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和是91，每个支干长出多少小分支？9．有一个人收到短信后，再用手机转发短消息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有133人收到短消息，问每轮转发中平均一个人转发给几个人？综合题训练10．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小2，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小36，求原来的两位数．9．实际问题与一元二次方程（二）增长率与利润问题归预习纳1．某厂今年一月的总产量为500吨，三月的总产量为720吨，平均每月增长率是x ，根据题意，可列方程________________．例题讲解【例】．2011年某新建小区一月份的新房均价为每平方米10000元，三月份此新房均价降为每平方米8100元，求二、三月份此新房均价的平均月下降率．基础题训练1．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元。

初三数学：一课三练系列试题(1.4用一元二次方程解决问题)

初三数学：一课三练系列试题（1.4用一元二次方程解决问题）一、基础训练题1、用一元二次方程解决实际问题要经历审题、找出、设、列、解方程、、写出答案的过程.2、用一元二次方程解决问题的关键是 .3、《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少?如果设门的宽为x 尺，根据题意，那么可列方程___________．4、兰州市政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价，由每盒72元调至56元．若每次平均降价的百分率为x ，由题意可列方程为__________．5、某种商品的进价为10元，当售价为x 元时，能销售该商品(x ＋10)个，此时获利1 500元，则该商品的售价为__________元．6、某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利40元．在每件降价幅度不超过15元的情况下，若每件降价1元，则每天可以多售5件．为了实现每天1440元的销售利润，每件应降价多少元？设每件应降价x 元，则可列方程为_____________．7、某火龙果果园去年栽种果树600株，现计划扩大栽种面积，使今明两年的栽种量都比前一年增长相同的百分数，这样，三年（包括去年）的总栽种量为2503，求这个相同的百分数．若设这个相同的百分数为x ，则根据题意，可列方程为________．8、从一块长30cm ，宽12cm 的长方形薄铁片的四个角上，截去四个相同的小正方形，余下部分的面积为296cm 2，则截去小正方形的边长为（）A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm 9、在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡42张，设参加活动的同学有x人，根据题意，可列方程（）A ．()1=42x x -B ．()142x x +=C ．(1)422x x -=D ．(1)422x x += 10、菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程x 2﹣7x +12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A ．12B ．14C ．16D ．12或1611、商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（）A ．50元B ．60元C ．70元D ．50元或70元12、若一个三角形的两边长分别是4和7，第三边的边长是方程x2﹣10x+21＝0的一个根，则这个三角形的周长为（）A．13 B．18 C．15 D．1613、将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问：为了赚得8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少个？14、有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是多少？15、某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册，求平均每年藏书增长的百分率。

九年级数学上册第2章《第1课时_利用一元二次方程解决几何问题》基础训练(北师大版)

《第1课时利用一元二次方程解决几何问题》类型1 利用一元二次方程解决几何图形问题1.绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米.设绿地的宽为x 米，根据题意，可列方程为( )A .(10)900x x -=B .(10)900x x +=C .10(10)900x +=D .[]2(10)900x x ++=2.用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米.若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于x 的方程为( )A .(5)6x x +=B .(5)6x x -=C .(10)6x x -=D .(102)6x x -=3.已知直角三角形两条直角边的长度之和为7，面积为6，则斜边长为( )A .B .5C .25D .74.如图，某小区内有一块长、宽比为2：1的矩形空地，计划在该空地上修筑两条宽均为2 m 的互相垂直的小路，余下的四块小矩形空地铺成草坪，如果四块草坪的面积之和为312m 2，请求出原来大矩形空地的长和宽.(1)请找出上述问题中的等量关系____________________________________;(2)若设大矩形空地的宽为x m ，可列出的方程为__________________________，方程的解为__________________________，原来大矩形空地的长和宽分别为__________________________.5.如图，某工厂师傅要在一个面积为15m 2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面，且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1 m ，则裁剪后剩下的阴影部分的面积为_________ m2.6.已知如图所示的图形的面积为24，根据图中条件，求出x的值.7.（教材P57复习题T8变式）如图，有一块长方形铁皮，长40 cm，宽30 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？8.如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米.(1)当a为10时,花圃的面积为_________平方米;(2)通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3:5？如果能,试求出此时通道的宽.类型2利用一元二次方程解决动态几何问题9.（教材P52例1变式）如图，某海关缉私艇在点O处发现在正北方向相距45海里的点A处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/时的速度向正东方向航行，缉私艇随即调整方向，以75海里/时的速度准备在点B处将其拦截，试问需要多长时间？10.如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O处.甲沿着喀什路以4 m/s的速度由西向东走，乙沿着北京路以3 m/s的速度由南向北走，当乙走到点O以北50 m处时，甲恰好到点O处，若两人继续向前行走，求两人相距85m 时各自的位置11.（汝州期中）如图，一根木棍OE垂直平分柱子AB，AB=200 cm，OE=260 cm，一只小猫C由柱子底端A点以2 cm/s的速度向顶端B点爬行，同时，另一只小猫D 由O点以3 cm/s的速度沿木棍OE爬行.问：是否存在这样的时刻，使两只小猫与O点组成的三角形面积是1800 cm2?12.（教材P53习题T2变式）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=16cm，BC=8cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从点A出发沿着AC方向以4cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t s.（1）若△PCQ的面积是△ABC的面积的14，求t的值；（2）△PCQ的面积能否与四边形ABPQ的面积相等？若能，求出t的值；若不能，说明理由.参考答案1.B2.B3.B4.解:(1)原矩形面积－小路面积=草坪面积(2)(2)(22)312x x --= 1411()x x ==-或舍去 28 m ，14 m .5. 26.解:由题意，得211=24x +-（）.整理，得21=25x +（）.解得x =4或x =﹣6(不合题意,舍去).∴x 的值是4.7.解：设切去的小正方形的边长为x cm .依题意，得402x -（）302=x -（）600.解得12=530x x =，.当x =30时，3020x -＜，∴x =30不合题意，应舍去.∴x =5. 答：铁皮各角应切去边长为5cm 的正方形.8.解:(1)800 (2)根据题意，得5(402)(602)8a a --=⨯60⨯40.解得125,45a a ==(舍去).答：通道的面积与花圃的面积之比能等于3：5，此时通道的宽为5米.9.解:设需要x 小时，根据题意，得222(60)45(75)x x +=，解得121,1x x ==-（舍去）答：需要1小时.10.解:设两人继续向前行走x s 时相距85 m .根据题意，得222(503)(4)85x x ++=.解得129,21x x ==-(舍去).则50377,436x x +==.答：两人相距85 m 时，甲走到点O 以东36 m 处，乙走到点O 以北77m 处.11.解：有两种情况：①当小猫C 在AO 上运动时，设x s 后两只小猫与O 点组成的三角形面积为1800 cm 2，由题意，得12x x ⨯3⨯(100-2)=1800，整理，得2506000x x -+=，解得12=20,30x x =.经检验，12=20,30x x =均符合题意；②当小猫C 在OB 上运动时，设y s 后两只小猫与O 点组成的三角形面积为1800 cm 2，由题意，得11002y y ⨯3⨯(2-)=1800，整理，得2506000y y --=，解得12=60,10()y y =-舍去.经检验，y =60符合题意.答：20 s 或30 s 或60 s 后，两只小猫与O 点组成的三角形面积是1800 cm 2.12.解:(1)t 的值为2. （2）△PCQ 的面积不能与四边形ABPQ 的面积相等.理由如下：当△PCQ 的面积与四边形ABPQ 的面积相等时，则1=2PCQ ABC S S △△，即11(164)6422t t ⨯2-=⨯，整理，得2480t t -+=.∵Δ=2(4)--4⨯1-8=-160＜， ∴此方程没有实数根.∴△PCQ 的面积不能与四边形ABPQ 的面积相等.。

高一一元二次不等式及其解法知识点+例题+练习含答案

1．“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个相异实根x1，x2(x1<x2)有两个相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集(－∞，x1)∪(x2，＋∞)(－∞，－b2a)∪(－b2a，＋∞)Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集(x1，x2) ∅∅不等式解集a<b a＝b a>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b}{x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a) (x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a}【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ ) (2)不等式x －2x ＋1≤0的解集是[－1,2]．( × )(3)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (5)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )1．(教材改编)不等式x 2－3x －10>0的解集是________．答案 (－∞，－2)∪(5，＋∞)解析解方程x 2－3x －10＝0得x 1＝－2，x 2＝5，由y ＝x 2－3x －10的开口向上，所以x 2－3x －10>0的解集为(－∞，－2)∪(5，＋∞)． 2．设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝________. 答案 [0,4)解析 ∵M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}， ∴M ∩N ＝[0,4)．3．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是________________．答案 (2,3)解析由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a <0即为x 2－5x ＋6<0，解集为(2,3)．4．(教材改编)若关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数m 的值为________．答案 2解析因为m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}．所以1,2一定是m (x －1)＝x 2－x 的解，∴m ＝2.5．(教材改编)若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为________．答案 (－1,1)解析由题意可知，Δ>0且x 1x 2＝a 2－1<0，故－1<a <1.题型一一元二次不等式的求解命题点1 不含参的不等式例1 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集．解化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0，解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝32，∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞)，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞)．命题点2 含参不等式例2 解关于x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a <0. 解由x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0得(x －a )(x －1)＝0， ∴x 1＝a ，x 2＝1，①当a >1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |1<x <a }， ②当a ＝1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为∅， ③当a <1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |a <x <1}．引申探究将原不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集．解若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a .综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a<x <1}．思维升华含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．解 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0，即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得：x 1＝－a 4，x 2＝a3.①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； ③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.题型二一元二次不等式恒成立问题命题点1 在R 上恒成立例3 (1)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________．(2)设a 为常数，∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则a 的取值范围是________．答案 (1)(－3,0) (2)[0,4)解析 (1)2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2k <0，Δ＝k 2－4×2k ×(－38)<0，解之得－3<k <0. (2)∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0或a ＝0，∴0≤a <4.命题点2 在给定区间上恒成立例4 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即 m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：方法一令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述：m 的取值范围是{m |m <67}．方法二因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m <67.命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5 对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是________________________________________________________________________．答案 {x |x <1或x >3}解析 x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立，即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0，在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解之得x <1或x >3.思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(1)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为__________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (1)[－1,4] (2)(－22，0) 解析 (1)x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.(2)作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0.题型三一元二次不等式的应用例6 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解 (1)由题意得，y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈[0,2]． (2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.思维升华求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？解 (1)y ＝[(1＋0.75x )×12－(1＋x )×10]×(1＋0.6x )×10 000 ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000，即y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0<x <1)． (2)上年利润为(12－10)×10 000＝20 000. ∴y －20 000>0，即－6 000x 2＋2 000x >0， ∴0<x <13，即x 的范围为(0，13)．14．转化与化归思想在不等式中的应用典例 (1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．思维点拨 (1)考虑“三个二次”间的关系； (2)将恒成立问题转化为最值问题求解．解析 (1)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22. 又∵f (x )<c ，∴⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ，即－a 2－c <x <－a2＋c .∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.(2)∵x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋ax >0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立．即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )＝g (x )恒成立．而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3. ∴实数a 的取值范围是{a |a >－3}．答案 (1)9 (2){a |a >－3}温馨提醒 (1)本题的解法充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a ，b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题． (2)注意函数f (x )的值域为[0，＋∞)与f (x )≥0的区别．[方法与技巧]1．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a <0时的情形转化为a >0时的情形．2．f (x )>0的解集即为函数y ＝f (x )的图象在x 轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想．3．简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解． [失误与防范]1．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．A 组专项基础训练(时间：30分钟)1．不等式(x －1)(2－x )≥0的解集为____________．答案 {x |1≤x ≤2}解析由(x －1)(2－x )≥0可知(x －2)(x －1)≤0，所以不等式的解集为{x |1≤x ≤2}．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤0，－x ＋2， x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为________．答案 [－1,1]解析方法一当x ≤0时，x ＋2≥x 2， ∴－1≤x ≤0；①当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.② 由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．方法二作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图象，如图，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1,1]．3．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是____________．答案 [0,4]解析由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.4．已知不等式x 2－2x －3<0的解集是A ，不等式x 2＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b ＝________. 答案－3解析由题意，A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，则不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |－1<x <2}．由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.5．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c ＝________.答案 2∶1∶3解析 ∵－c <ax ＋b <c ，又a >0，∴－b ＋c a <x <c －b a. ∵不等式的解集为{x |－2<x <1}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋c a ＝－2，c －b a ＝1，∴⎩⎨⎧ b ＝a 2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a 2＝2∶1∶3. 6．若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则a 的值为__________．答案 1±52解析若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则x 2－2ax ＋a ＝－1有两个相等的实根，所以Δ＝4a 2－4(a ＋1)＝0，解得a ＝1±52. 7．若0<a <1，则不等式(a －x )(x －1a)>0的解集是________________．答案 {x |a <x <1a} 解析原不等式即(x －a )(x －1a)<0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a. 8．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >－12，则实数a ＝____________. 答案－2解析 ax －1x ＋1<0⇔(x ＋1)(ax －1)<0，依题意，得a <0，且1a ＝－12.∴a ＝－2. 9．设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________．答案 (－1，23) 解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)<－1.∴2a －3a ＋1<－1⇔3a －2a ＋1<0⇔(3a －2)(a ＋1)<0， ∴－1<a <23. 10．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )．当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a >0，且0<x <m <n <1a， ∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是__________________________．答案 (－∞，－32)∪(12，＋∞) 解析 f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a <0，由f (－2x )<0得－2x >3或－2x <－1，∴x <－32或x >12.12．若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________.答案 52解析由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. 13．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________．答案 b <－1或b >2解析由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a 2＝1，故a ＝2. 由f (x )的图象可知f (x )在[－1,1]上为增函数．∴x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.14．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈[32，＋∞)，f (x m)－4m 2·f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________________．答案 {m |m ≤－32或m ≥32} 解析依据题意得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈[32，＋∞)上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈[32，＋∞)上恒成立．当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32. 15．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．解将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.所以x 的取值范围是{x |x <2或x >4}．。

一元二次不等式的解法基础训练题(含详解)-26cd681be7994d9e9aa8aebe68b918fd

一元二次不等式的解法基础训练题（含详解)一、单选题1．设集合221{|20},{|1,}2P x x x Q y y x x P =--≥==-∈，则P Q =（） A ．[1,2)-B ．(1,2)-C ．[2,)+∞D ．{}1-2．若关于x 的不等式2320x ax -+>的解集为(,1)(,)m -∞⋃+∞，则a m +等于（） A ．1-B ．1C ．2D ．33．若不等式2440x ax ++>的解集为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．()16,0-B ．(]16,0-C ．(),0-∞D ．()8,8-4．不等式的解集为（） A ． B ． C ． D ．5．若不等式220x x m ++<的解集不是空集，则实数m 的取值范围为( ) A ．-∞1(,)2B ．11(,22-C ．11[,]22-D ．1[,)2+∞6．若290x -≤,则( ) A ．03x ≤≤B ．30x -≤≤C ．33x -≤≤D ．3x ≤-或3x ≥7．不等式x 2+2x ﹣3≥0的解集为（） A ．{x |x ≥3或x ≤﹣1} B ．{x |﹣1≤x ≤3}C ．{x |x ≥1或x ≤﹣3}D ．{x |﹣3≤x ≤1}8．不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ． 9．不等式x 2－5x ＋6<0的解集是 A ．{x|－2<x<3} B ．{x|－3<x<2} C ．{x|2<x<3} D ．{x|－3<x<－2} 10．不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．11．不等式x 2－2x －5>2x 的解集是( ) A ．{x |x ≥5或x ≤－1} B ．{x |x >5或x <－1} C ．{x |－1<x <5} D ．{x |－ ≤x ≤5}二、填空题12．关于x的不等式290x kx++>的解集是R，求实数k的取值范围是_______.13．已知方程210ax bx++=的两个根为14-，3，则不等式210ax bx++>的解集为______．14．若不等式的解集是，则的值为__________．15．若不等式与不等式的解集相同，则________．三、解答题16．不等式（1）若不等式的解集为或，求的值；（2）若不等式的解集为R，求的取值范围．参考答案1．C 【解析】【分析】解出集合P 、Q ，然后利用集合的交集运算可求出P Q .【详解】解不等式220x x --≥，得1x ≤-或2x ≥，所以，{}12P x x x =≤-≥或. 当1x ≤-时，211122y x =-≥-；当2x ≥时，21112y x =-≥，12Q y y ⎧⎫∴=≥-⎨⎬⎩⎭.因此，[)2,P Q =+∞I ，故选：C. 【点睛】本题考查集合的交集运算，要明确集合的对象类型以及集合的含义，解出集合是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题. 2．D 【解析】【分析】由题可得1和m 是方程2320x ax -+=的两个根，利用根与系数关系解出,a m ，进而得答案。

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一元二次方程基础训练（一）概念及意义
教学目标
1．了解整式方程和一元二次方程的概念；
2．知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。

3．强化一元二次方程的概念
下列方程都是整式方程吗?其中哪些是一元一次方程?哪些是一元二次方程?
(1)3x 十2＝5x —3： (2)x 2＝4 (3)(x 十3)(3x ·4)＝(x 十2)2； (4)(x —1)(x —2)＝x 2十8 4. 一元二次方程概念的延伸练习：
1．说出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项：（1）x 2十3x 十2＝O （2）x 2—3x 十4＝0； (3)3x 2-5＝0
（4）4x 2十3x —2＝0； (5)3x 2—5＝0； (6)6x 2—x=0。

2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项：
(1)6x 2＝3-7x ； (3)3x(x-1)＝2(x 十2)—4；(5)(3x 十2)2＝4(x-3)2
习题精选
一、关于一元二次方程概念的题目（一）选择题
1．下列方程中有（）是一元二次方程
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（A ）（1）（5）（6）（B ）（1）（4）（5）
（C ）（1）（3）（4）（D ）（2）（4）（5）
2．若方程
是关于的一元二次方程，则的取值范围是（）
（A ）
（B ）
（C ）
或
（D ）
且
（二）填空题
已知关于的方程
当
时，方程为一元二次方程，当
时，方程为一元一次方程。

（三）解答题
已知关于的方程
是一元二次方程，求的取值范围。

二、关于一元二次方程一般形式的题目（一）选择题
1．方程
化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别为( B ）
（A）3，－4，－2（B）3,2，－4（C）3，－2，－4（D）2，－2，0
2．一元二次方程
化为一般形式
（
）
后，
的值分别为（ C ）
（A）6,4，3（B）6，－4,－3（C）5,4，－3（D）5,－4，3
3．一元二次方程
化成一般式后，二次项系数为1，一次项系
数为－1，则的值为（ A ）（A）－1（B）1（C）－2（D）2
（二）填空题
1．的二次项系数是2
1
，常数项为0 ，
的值为
1 。

2．方程
化为一般式为，二次项系数，一次项系数，常数项的和为。

（三）解答题
1．把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项。

（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2．下列关于的方程是否为一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出二次项
系数，一次项系数及常数项。

（1）
（2）
（3）
常用四种解法
教学目标
1．初步掌握用直接开平方法解一元二次方程；
2．初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解数字系数的一元二次方程；
3．掌握一元二次方程的求根公式的推导，能够运用求根公式解一元二次方程；
4．会用因式分解法解某些一元二次方程。

5．通过对一元二次方程解法的教学，使学生进一步理解“降次”的数学方法，进一步获得对事物可以转化的认识。

6．知识结构：一元二次方程的解法
习题精选
1.完全的一元二次方程的一般形式是什么样的?
2.不完全一元二次方程的哪几种形式?
3.对于前两种不完全的一元二次方程ax 2=0 (a≠0)和ax 2+c=0 (a≠0),我们已经学会了它们的解法。

特别是结合换元法，我们还会解形如(x+m) 2=n(n≥0)的方程。

项固练习(填空配方)
1．用开平方法解一元二次方程一、选择题
1．方程
的解为（）
A．
B．
C．
D．
2．方程
的解为（）
A．
B．
C．
D．
3．方程
的实数根的个数是（）
A．0个B．1个C．2个D．无数个
4．方程
的根是（）
A．
B．
C．
D．
5．对于形如
的方程，它的解的正确表达式为（）
A．都可以用直接开平方法求解，且
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
二、填空题
6．若
，则的值是。

7．若方程
有解，则
的取值范围是。

8．方程
的解为。

2．用配方法解一元二次方程1．用配方法解下列方程
（1）
（2）
（3）
（4）
2．用配方法将下列各式化成
的形式
（1）
（2）
（3）
（4）
3．用公式法解一元二次方程一、选择题
1．用公式法解方程
，得到（）
A．
B．
C．
D．
2．方程
化简整理后，写成
的形式，其
中
分别是（）
A．
B．
C．
D．
二、解答题
3．用公式法解下列方程
（1）
；（2）
；
（3）
；（4）
；
（5）
；（6）
；
（7）。

4．用因式分解法解一元二次方程
一、填空题
1．方程
的根是。

2．（盐城市，1998）方程
的解是。

3．方程
的解是。

二、解答题
4．用因式分解法解方程
（1）
；（2）
；
（3）
；（4）。

5．用因式分解法解下列方程
（1）
；（2）
；
（3）
；（4）。

巩固练习：选择适当的方法解下列关于的方程
1. 2.
3.
4.
5. 6.。