数值分析在电力系统潮流计算中的应用

数值分析在电力系统潮流计算中的应用摘要：电力系统是一个复杂的网络，由于其中的模块大多为非线性，所以在分析计算时很难求出解析解。而电力系统需要进行实时的平衡与调整，以确保电力的正常输送，所以对电网的稳态运行状况与暂态分析都很重要，这当中就需要用到数值分析的方法。本文就会将介绍数值分析方法在电力系统潮流计算中的应用。

关键词：数值分析；电力系统；潮流计算；N-R法；PQ分解法

1.引言

电力系统及其自动化学科是电气工程的一个二级学科，研究对象是以电力系统各单元为核心的有关发电、输电、配电等过程的电网设施。所以其研究的内容主要则包括电力系统运行、电网分析、电力电子技术、高电压技术以及继电保护等。

电力系统是由发电厂、输电线路、供配电所和用电侧等环节组成的一个电能生产与消费链。它的功能是将自然界的一次能源通过发电动力装置转化成电能，再经输电、变电和配电将电能供应到各用户。为实现这一功能，电力系统在各个环节和不同层次还具有相应的信息与控制系统，对电能的生产过程进行测量、调节、控制、保护、通信和调度，以保证用户获得安全、优质的电能。

电力系统中各种电压的变电所及输配电线路组成的整体，称为电力网，简称电网。电网又分为输电网和配电网，其中电压等级在110kV及以上的电力网主要用于电能的远距离输送，成为输电网；35kV及以下的电力网主要用于向用户配送电能，成为配电网。

由于电能是国家的战略资源，所以电网的稳定性十分重要，而电力系统包括诸多类型的非线性模块，加上它们在实际运行过程中的非理想性，很难对它的运行状态进行精准的计算与分析，因此历代工程师们不断将电力系统数学模型简化，并优化算法，以求更好更快地得到电网运行的数值解，这当中，数学分析方法起到了很重要的作用，下面就简要介绍一下电力系统分析里最重要的潮流计算中的数值分析应用。

2.电力系统数学模型概述

电力系统主要包括发电侧、输电线路、负荷侧三部分。由于电力系统稳态分析与暂态分析的要求不同，所以两种情况下的数学模型也不尽相同。

2.1发电侧

发电侧的主要是由若干发电机构成的。在进行电力系统稳态分析与潮流计算时，发电机的数学模型仅看作一个有功功率和电压幅值恒定的节点。

在进行暂态分析时，首先要将电机理想化，因为这样的模型对电力系统的暂态与动态分析已经足够精确了。具体模型包括转子运动方程、绕组方程和磁链方程三部分。但是由于参数过多，很难对其中的自感、互感的参数进行测量与计算，且大多参数为时变参数，有周期性，所以电力系统中对这样的方程组进行了优化，将发电机的abc三相变换到了dq两轴上，如图1所示：

图1 同步发电机派克变换示意图

变换的矩阵如下：

经过派克变换后，时变的自感与互感值变为了常数，且各类方程都得到了一定程度的简化。经过派克变换以后的方程如下：

(1)磁链方程：

(2)电压方程：

根据派克变换后的方程即可很好地将理想电机数学化，以便在暂态分析中更好地进行分析计算。

2.2输电线路

输电线路多采用分裂金属导线，理想情况下的输电线路上应该是没有损耗的，但在实际运行过程中，输电线路上不仅有电阻，还有寄生的电感和电容。在计算这些参数时，一般采用分布式参数的方式，即用单位长（/km）的参数值r,x,g,b来计算，其等值电路如图2所示。在计算时，由于电缆的尺寸是经过标准化的，而且外界对其影响较小，一般不需要研究；而4个参数的值则受到气候、地理、架设条件等的影响，所以需要分析计算。

图2 输电线路分布式参数等值电路

2.3负荷侧

负荷侧一般为由电阻、电感、电容串并联所构成的负载，但是在稳态分析时，对于一个负载节点，一般不会测量其工作时的阻抗特性，而是会给出它的额定工作电压以及额定功率，所以在电力系统的潮流计算中负荷侧的数学模型为一个固定功率和电压的节点。

而进行暂态分析时，由于存在工况的变化，所以需要把负荷看作一个由电阻、电感和电容构成的电路，先对其阻抗特性进行测量，再求出它的等效电路。

3.数值分析在潮流计算中的应用

3.1潮流计算方法简介

潮流指的是电力系统中各个节点电压以及功率的稳态分部。通过潮流计算与研究可以分析和评价电网的安全、经济和质量，为电网的规划与稳定运行服务。

潮流的数值分析解法经历了很长一段时间的发展。1956年，有人提出了基于Y矩阵的Gauss 迭代法，其原理和编程都很简单，但是算法的首先性较差。紧接着1960年又在此基础上提出了基于Z矩阵的Gauss迭代法，收敛性得到了一定改善，但是占用内存大大增加，限制了解题的规模。之后几年，具有二阶收敛性的Newton-Raphson法受到了广泛关注，但是计算量较大。60年代中后期，Tinney在N-R法的基础上引入了稀疏技术，计算量大大降低，成为了潮流计算的基本算法。1974年，Stott在大量实践的基础上，提出了基于PQ解耦性的PQ分解法，大大加快了计算速度，并且可以应用于在线系统，成为潮流计算主要的算法。下面就选择其中一些算法进行介绍。

3.2节点导纳矩阵、节点阻抗矩阵与功率方程

潮流计算的分析方法仍然符合基尔霍夫定律，但是此时的已知量和待求量均为复电压和复功率，

即电压和功率都是复数。电压常用幅值V和角度δ来表示；而功率的实部表示有功功率P，虚部则为无功功率Q。潮流的数学模型为非线性方程组，针对不同的电网情况，要建立不同的数学模型，确定算法，再用计算机求它的数值解。

潮流计算中，电力网络由且仅由元件和联结两类构成，把元件抽象成支路，把联结抽象成节点，即可画出等效的电力拓扑网络。

根据电网运行的实际情况，可以将节点分为三类，即负荷节点、联络节点和发电机节点。负荷节点代表负荷侧，属于PQ节点，因为它的有功功率P和无功功率Q由负荷需求决定，一般作为已知量，而它的复电压是待求量。联络节点指的是线路上的一些节点，由于线路上的某一点是没有功率产生或消耗的，所以它也属于PQ节点，有功功率和无功功率都为0。发电机节点代表发电侧，属于PV节点，它的有功功率和电压幅值给定，无功功率和电压的角度待求。

节点导纳矩阵如下，其中Yii表示节点i的自导纳，即i所连接的所有支路导纳之和，Yij表示节点i,j之间的互导纳，在数值上体现为ij支路导纳的相反数（负值）。

所以对于电力拓扑网络来说，有

Y n U n=I n

易知，矩阵Y是一个n×n阶的对称复数方阵，由于两个互相不连接的节点之间没有导纳，所以Y 是一个系数矩阵，有很多零元。而且，在支路阻抗性质相同时，Y是一个对角占优的矩阵。

同理，节点阻抗矩阵定义如下，其中Zii表示节点i的自阻抗，Zij表示ij间的互阻抗。

对于电力拓扑网络来说，有

U n=Z n I n

易知，Zn与Yn互为逆矩阵。矩阵Z也是n×n阶的对称复数方阵。

节点导纳矩阵与节点阻抗矩阵都只对节点的复电压进行了分析，而节点的复功率仍然需要方程，即功率方程。功率方程如下：

即用复功率和复电压来代替复电流进行计算。

最后将复数换成实数表示，即可得到潮流方程，接下来就需要解潮流方程，即求潮流方程的数值解。

3.3潮流方程的数值解

3.3.1Gauss迭代法

Gauss迭代法即数值分析中的Gauss-Seidel迭代法，其迭代式如下：

该方法的原理由于在课上讲过，在此不再赘述。

在潮流计算中，有基于Y矩阵的迭代法与基于Z矩阵的迭代法。由于Y矩阵稀疏，所以所占资源少，但是不易于收敛；Z矩阵收敛性好，但是存储量大，所以两种方法都不是很好。