人教版高中数学选修2.2-2.3-平面与圆柱面的截线---平面与圆锥面的截线ppt课件

切，作两圆的公切线EF，切点分别为F1、F2，交BA、DC的延长线于E、F， 交AD于G1，交BC于G2.设EF与BC、CD的交角分别为φ、θ.
＝ AD；② G1G2＝ AD； ① G2F1＋ G2F2
G2F1 ＝ cosφ＝ 为球面，将矩形 ABCD 看 成是圆柱面的轴截面，将 EB、 DF 拓广为两个平面 α、 β， EF 拓广为平面 γ，则平面 γ 与圆柱面的截线是 椭圆 得定理 1：圆柱形物体的斜截口是椭圆． ．即
[悟一法]
借助条件中已经建立的直角坐标系，通过相关平面图形转换确定椭圆的 长、短轴的长是关键．
[通一类] 1．平面内两个定点的距离为8，动点M到两个定点的距离 的和为10，求动点M的轨迹方程．
解 ：以两点的连线段所在的直线为 x 轴，线段的中垂线 为 y 轴建立直角坐标系，则由椭圆的定义知，动点的轨 x2 y2 迹是椭圆，设所求椭圆方程为 2＋ 2＝ 1. a b ∵ 2a＝ 10,2c＝ 8，∴ a＝ 5， c＝ 4.则 b2＝ 9. x2 y2 故所求椭圆的方程为 ＋ ＝ 1. 25 9
2．平面与圆锥面的截线
(1)如图，AD是等腰三角形底边BC上的高，∠BAD＝α，直线l与AD相交于点P，
且与AD的夹角为β(0<β<)，则： ① β>α ，l与AB(或AB的延长线)、AC相交； ② ③ β＝α ，l与AB不相交； β<α ，l与BA的延长线、AC都相交．
(2)定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l 旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π 与l平行时，记β＝0)，则
①
，平面π与圆锥的交线为椭圆；
② β>α ，平面π与圆锥的交线为抛物线； ③ β＝α ，平面π与圆锥的交线为双曲线．
β<α
[小问题·大思维] 用平面截球面和圆柱面所得到的截线分别是什么形状？ 提示：联想立体图形及课本方法，可知用平面截球面所得截线的形
状是圆；用平面截圆柱面所得截线的形状是圆或椭圆．
由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆S1、S2所在平行平面间的母线段的长度
而与P的位置无关，由此我们可知在β>α时，平面π与圆锥的交线是以F1、F2为焦点的 椭圆．
[悟一法]
由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓广为空间内圆锥与平
面的截线之后，较难入手证明其所成曲线的形状，尤其是焦点的确定更加
证明： 如图，设平面 π 与圆锥内切球相切于点 F1，球与圆 锥的交线为圆 S，过该交线的平面为 π′ ，π 与 π′相交于 直线 m. 在平面 π 与圆锥的截线上任取一点 P，连接 PF1.过点 P 作 PA⊥ m，交 m 于点 A，过点 P 作 π′的垂线，垂足为 B，连 接 AB， 则 AB⊥ m， ∴∠PAB 是 π 与 π′所成二面角的平面 角．连接点 P 与圆锥的顶点，与 S 相交于点 Q1，连接 BQ1， 则∠ BPQ1＝ α，∠ APB＝ β. 在 Rt△ APB 中，PB＝PAcos β.
在 Rt△ PBQ1 中，PB＝ PQ1cos α. PQ1 cos β ∴ ＝ . PA cos α PF1 又∵ PQ1＝ PF1， α＝ β，∴ ＝ 1， PA 即 PF1＝PA， 动点 P 到定点 F1 的距离等于它到定直线 m 的距 离，故当 α＝ β 时，平面与圆锥的交线为抛物线．
本课时考点在高考中很少考查.2012年梅州模拟以选择题的形式考查
当β>α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一个封闭曲线．设两个球与
平面π的切点分别为F1、F2，与圆锥相切于圆S1、S2. 在截口的曲线上任取一点P，连接PF1、PF2.过P作母线交S1于Q1，交S2于Q2，于 是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因此PF1＝PQ1.同理，PF2＝PQ2. 所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2.
[研一题] [例2] 证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆锥的交线为椭圆． 分析：本题考查平面与圆锥面的截线．解答本题需要明确椭圆的定义，利 用椭圆的定义证明．
证明：如图，与定理1的证明相同，在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个 位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切．
[读教材·填要点]
1．平面与圆柱面的截线
(1)椭圆组成元素： F1，F叫椭圆的焦点； 2 的焦距；AB叫椭圆的 的 短轴．
F1F2 叫椭圆 长轴 ；CD 叫椭圆
如果长轴为2a，短轴为2b，那么焦 2 2 2 a － b 距2c＝ .
(2)如图(1)，AB、CD是两个等圆的直径，AB∥CD，AD、BC与两圆相
了平面与圆柱面的截线的形状，是高考模拟命题的一个新动向．
[考题印证]
(2012· 梅州模拟)已知半径为 2 的圆柱面， 一平面与圆 柱面的轴线成 45° 角，则截线椭圆的焦距为 A．2 2 C．4 B． 2 D．4 2 ( )
不容易，但可以采用与上节中定理1的证明相同的方法，即Danelin双球法， 这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使问题得到解决．
[通一类] 2．在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角
为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l
的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，求证：β＝α时，平面π与圆锥的交线是抛 物线．(如图)
[研一题]
[例1] 已知圆柱底面半径为，平面β与圆柱母线夹角为60°，在平面
β上以G1G2所在直线为横轴，以G1G2中点为原点，建立平面直角坐标系， 求平面β与圆柱截口椭圆的方程．
分析：本题考查平面与圆柱面的截线．解答本题需要根据题目条件确定椭圆
的长轴和短轴．
解：过 G1 作 G1H⊥BC 于 H. ∵圆柱底面半径为 3， ∴AB＝2 3. ∵四边形 ABHG1 是矩形， ∴AB＝G1H＝2 3. G1H 2 3 在 Rt△G1G2H 中，G1G2＝ ＝ ＝4. sin∠G1G2H 3 2 又椭圆短轴长等于底面圆的直径 2 3， x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 4 3