平面与圆锥面的截线 课件

3．平行射影有哪些性质？ 【提示】 (1)直线的平行射影是直线或一个点，线段的 平行射影是线段或一个点； (2)平行直线的平行射影是平行或重合的直线或两个点； (3)平行于投射面的线段，它的平行射影与这条线段平行 且等长； (4)与投射面平行的平面图形，它的平行射影与这个图形 全等．
如图 3－1－1，E、F 分别为正方体的面 ADD1A1、 面 BCC1B1 的中心，则四边形 BFD1E 在该正方体的面上的正 射影可能是____________．(要求：把可能的图的序号都填上)
根据切线长定理的空间推广， 知 PF1＝PK1，PF2＝PK2， 所以 PF1＋PF2＝PK1＋PK2＝K1K2. 由于 K1K2 为定值，故点 P 的轨迹是以 F1、F2 为焦点的 椭圆．
图 3－1－5
【思路探究】 (1)根据 Dandlin 双球的位置可判断交线 的形状．
(2)通过作辅助线求出椭圆的长半轴 a 与半焦距 c，可求 离心率．
【自主解答】 Dandlin 双球均在顶点 S 的同侧，所以截 线为椭圆．
设 A、B 分别是该椭圆的长轴的两个端点，F1、F2 分别 是其焦点，O1、O2 分别为 Dandlin 双球中小、大球的球心， C、D 分别为截面圆与母线的切点．
截面的距离，也是 O′到 A′B′的距离．在等腰直角三角形
O′A′B′中，O′A′＝O′B′＝1 cm，虽然 O′到斜边
A′B′的距离为
2 2
cm，所以 O 到截面的距离为
2 2
cm.
一个顶角为 60°的圆锥面被一个平面 π 所截，如 图 3－1－5 所示 Dandlin 双球均在顶点 S 的下方，且一个半径 为 1，另一个半径为 5，则交线的形状是什么曲线？其离心率 是多少？
图 3－1－3
【思路探究】
【自主解答】 设⊙O 的半径为 R，母线 VB＝l，
则圆锥侧面展开图的中心角为2πlR＝ 2π，
∴Rl ＝
22，∴sin∠BVO＝
2 2.
∴圆锥的母线与轴的夹角 α＝∠BVO＝π4.
如图，连接 OE， ∵O、E 分别是 AB、VB 的中点，
∴OE∥VA.
∴∠VOE＝∠AVO＝∠BVO＝π4， ∴∠VEO＝π2，即 VE⊥OE. 又∵AB⊥CD，VO⊥CD，∴CD⊥平面 VAB， ∵VE⊂平面 VAB，∴VE⊥CD.
∵∠CSO1＝30°，O1C＝1，∴SC＝ 3. 同理，SD＝5 3.则 CD＝4 3. 又∵BF1＋BF2＝BC＋BD＝CD， ∴2a＝BF1＋BF2＝4 3.即 a＝2 3. 再延长 O1F1 交 O2D 于点 G.过 O2 作 O2F⊥F1G 交 F1G 于 点 F，则 O1F＝r1＋r2＝6.
【解析】 求阴影部分在平面 ADD1A1 上的正射影，则 投影光线与面 ADD1A1 垂直，显然点 D 的正射影为点 D，点 N 的正射影为边 AD 的中点，点 M 的正射影为边 A1A 的中 点．故选 A.
【答案】 A
如图 3－1－3 所示， AB、CD 是圆锥面的正截面(垂直于轴的截面)上互相垂直 的两条直径，过 CD 和母线 VB 的中点 E 作一截面．已知圆 锥侧面展开图扇形的中心角为 2π，求截面与圆锥的轴线所 夹的角的大小，并说明截线是什么曲线．
1．平行射影是指被投影面与投影面互相平行吗？
【提示】 不是．是指投影光线与投影方向平行． 2．几何图形的正射影与原图相比有什么变化？ 【提示】 可能变，也可能不变．例如，一个圆所在平 面 β 与平面 α 平行时，该圆在 α 上的正射影是与原来大小相 同的圆；若 β 与 α 不平行时，圆在 α 上的正射影不再是圆， 而是椭圆或线段(β 与 α 垂直时)．
平行射影 平面与圆柱面的截线 平面与圆点 A 作平面α的垂线，垂足为点 A′，称 点A′ 为点 A 在平面α上的正射影． 一个图形上各点在平面α上的正射影 所组成的图形， 称为这个图形在平面α上的正射影．
2．平行射影 设直线 l 与平面 α 相交，称 直线l的方向 为投影方向， 过点 A 作 平行于l 的直线(称为投影线)必交 α 于一点 A′， 称 点A′ 为 A 沿 l 的方向在平面 α 上的平行射影． 一个图形上 各点在平面α上的平行射影 所组成的图
又∵OE∩CD＝O，OE⊂平面 CDE， CD⊂平面 CDE， ∴∠VOE 是截面与轴线的夹角， ∴截面与轴线夹角大小为π4. 由圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，知截面 CDE 与圆锥面的截线为一抛物线．
1．解答本题的关键是求出圆锥的母线与轴的夹角以及 截面与轴的夹角．
2．判断平面与圆锥面的截线形状的方法 (1)求圆锥面的母线与轴线的夹角 α，截面与轴的夹角 β； (2)判断 α 与 β 的大小关系； (3)根据定理 2 判断交线是什么曲线．
四边形 BFD1E 在平面 ABB1A1，平面 CDD1C1，平面 ABCD 和平面 A1B1C1D1 上的正射影均为(2)图，四边形 BFD1E 在平 面 ADD1A1 和平面 BCC1B1 上的正射影均为(3)图．
【答案】 (2)(3)
1．解答本题的关键是找出阴影部分的各个顶点在投影 面上的正射影．
如图 3－1－6，在圆柱 O1O2 内嵌入双球，
使它们与圆柱面相切，切线分别为⊙O1 和⊙O2，
并且和圆柱的斜截面相切，切点分别为 F1、F2.
求证：斜截面与圆柱面的截线是以 F1、F2
为焦点的椭圆．
图 3－1－6
【证明】 如图，设点 P 为曲线上任一点，连接 PF1、 PF2，则 PF1、PF2 分别是两个球面的切线，切点为 F1、F2， 过 P 作母线，与两球面分别相交于 K1、K2，则 PK1、PK2 分 别是两球面的切线，切点为 K1、K2.
形，叫做这个图形的平行射影．
3．椭圆的定义 平面上到两个定点的距离之和等于定长的点 的轨迹叫 做椭圆．
4．两个定理 定理 1：圆柱形物体的斜截口是 椭圆 ． 定理 2：在空间中，取直线 l 为轴，直线 l′与 l 相交于 O 点，夹角为 α，l′围绕 l 旋转得到以 O 为顶点，l′为母线 的圆锥面，任取平面 π，若它与轴 l 的交角为 β(当 π 与 l 平行 时，记 β＝0)，则 (1)β>α，平面 π 与圆锥的交线为 椭圆 ； (2)β＝α，平面 π 与圆锥的交线为 抛物线 ； (3)β<α，平面 π 与圆锥的交线为 双曲线 ．
∥AA′，OO′A′A 是矩形．易知△O′B′A′是等腰直角
三角形，∴A′B′＝ 2.
又 AA′＝2，OO′与 AB′所成的角为∠B′AA′，
∴tan
∠B′AA′＝AA′AB′′＝
2 2.
(2)所求截面为矩形 AA′B′B，面积等于 2 2 cm2.
(3)O 到截面的距离即 OO′到截面的距离，也是 O′到
又∵CD＝4 3，∠DSO2＝30°，
∴O1O2＝8.
在 Rt△O1O2F 中，
FO2＝ 82－62＝2 7.
即 2c＝F1F2＝FO2＝2 7.故 c＝ 7.
所以，离心率
e＝ac＝2
7＝ 3
21 6.
1．解答本题的关键通过作辅助线求出 a、c 的值． 2．解决此类问题可先把空间图形转化为平面图形，然 后利用曲线的定义及性质来解决．
2．判断平行射影的形状时，常常先确定图形中各顶点 的射影，再依次连接各顶点的射影即可；同一图形在平行平 面上的平行射影是相同的．
如图 3－1－2，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分 别是 BB1、BC 的中点，则图中阴影部分在平面 ADD1A1 上的 正射影为下列各图中的( )
图 3－1－2
图 3－1－1
【思路探究】 找出四边形 BFD1E 的四个顶点在各个面 上的正射影，然后连接各正射影即可．
【自主解答】 对四边形 BFD1E 在正方体的六个面上的 正射影都要考虑到，并且对于图形要考虑所有点的正射影， 又知线段由两端点唯一确定，故考察四边形 BFD1E 的射影， 只需同时考察点 B、F、D1、E 在各个面上的正射影即可．
如图 3－1－4 所示，圆柱面的母线长为 2 cm，点 O，O′ 分别是上、下底面的圆心．
若 OA⊥O′B′，OA＝1 cm.求： (1)OO′与 AB′所成的角的正切值； (2)过 AB′与 OO′平行的截面面积；
图 3－1－4 (3)O 到截面的距离．
【解】 (1)设过 A 的母线为 AA′，连接 AB′，则 OO′