高一数学必修一知识点与习题讲解

必修1第一章集合与函数基础知识点整理

第1讲§集合的含义与表示

¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、

集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.

¤知识要点：

1.把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.

2.集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集.描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集.

3.通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合.要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或

N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .

4.元素与集合之间的关系是属于（belongto ）与不属于（notbelongto ），分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈，

2N -∉.

¤例题精讲：

【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：

（1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数. 解：（1）用描述法表示为：2{|(23)0}x R x x x ∈--=； 用列举法表示为{0,1,3}-.

（2）用描述法表示为：{|27}x Z x ∈<<； 用列举法表示为{3,4,5,6}.

【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17A ；－5A ；17B .

解：由3217k +=，解得5k Z =∈，所以17A ∈；

由325k +=-，解得7

3

k Z =∉，所以5A -∉；

由6117m -=，解得3m Z =∈，所以17B ∈.

【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6练习题2，P 13A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合；

（2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2

y x

=

的自变量的值组成的集合. 解：（1）3

{(,)|}{(1,4)}26y x x y y x =+⎧=⎨

=-+⎩

. （2）2{|4}{|4}y y x y y =-=≥-. （3）2{|}{|0}x y x x x

==≠.

点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量.在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.

*【例4】已知集合2{|1}2

x a

A a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ． 解：化方程

2

12

x a

x +=-为：2(2)0x x a --+=．应分以下三种情况：

⑴方程有等根且不是=0，得9

4

a =-，此时的解为12x =，合．

x =a =1x =-

A B

B

A A

B A B

A ．

B ．

C ．

D ． ⑶方程有一解为2-，而另一解不是2：将2x =-代入得2a =，此时另一解为21x =+，合．

综上可知，9{,2,2}4

A =--．

点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示.注意分式方程易造成增根的现象.

第2讲§集合间的基本关系

¤学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用Venn 图表达集合间的关系.

¤知识要点：

1.一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A 是集合B 的子集（subset ），记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.

2.如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），即集合A 与集合B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A B =.

3.如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集（propersubset ），记作A ≠

⊂B （或B ≠⊃A ）.

4.不含任何元素的集合叫作空集（emptyset ），记作∅，并规定空集是任何集合的子集.

5.性质：A A ⊆；若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆； 若A B A =，则A B ⊆；若A B A =，则B A ⊆. ¤例题精讲：

【例1】用适当的符号填空：

（1）{菱形}{平行四边形}；{等腰三角形}{等边三角形}. （2）∅2{|20}x R x ∈+=；0{0}；∅{0}；N {0}. 解：（1），； （2）=，∈，，. 【例2】设集合1

,,}22

{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 与B 关系的是（）. 解：简单列举

两个

集合的一些元素，

3113{,1,,0,,1,,}2222A =⋅⋅⋅---⋅⋅⋅，3113

{,,,,,}2222B =⋅⋅⋅--⋅⋅⋅，

易知B ≠

⊂A ，故答案选A ．

另解：由21

,}2

{|n x n B x +=

∈=Z ，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．

【例3】若集合{}

{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，求实数a 的值.

解：由26023x x x +-=⇒=-或，因此，{}2,3M =-. （i ）若0a =时，得N =∅，此时，N M ⊆； （ii ）若0a ≠时，得1{}N a =.若N M ⊆,满足1123a a ==-或，解得1123

a a ==-或. 故所求实数a 的值为0或

12或1

3

-. 点评：在考察“A B ⊆”这一关系时，不要忘记“∅”，因为A =∅时存在A B ⊆.从而需要分情况讨论.

题中讨论的主线是依据待定的元素进行.

【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2

}.若A =B ，求实数x 的值.

解：若2

2a b ax a b ax +=⎧⎨+=⎩

⇒a +ax 2-2ax =0,所以a (x -1)2

=0，即a =0或x =1. 当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去； 当x =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去.

若2

2a b ax a b ax

⎧+=⎨

+=⎩⇒2ax 2-ax -a =0.