图形计算器在高一函数教学中的几个应用
图形计算器——高中数学有效教学的利器
2019年18期┆179教法研究图形计算器——高中数学有效教学的利器王 丽摘 要:为进一步推进新课程的实施,实现信息技术与高中数学教学的有效整合,我国教育部基础教育课程中心于2007年10月与美国惠普公司达成合作意向,旨在推进手持技术与中学数学课程的整合。
经过不断的实验和总结,图形计算机在高中数学教学中起到了积极作用,能让学生在具体的操作中生动的感知知识点、体验学习中的成就感、激发思维,从而提高学生对高中数学学习的积极性,进而提高了高中数学教学的有效性。
关键词:图形计算器;高中数学;有效教学;利器 近年来,随着新课程改革的推进,我国的教育事业得到了长足发展,教育的目的更加清晰,教育的方式更加科学、灵活。
然而在发展的过程中依然存在一些问题,在高中数学教学中就出现了教学效率不高和形式主义倾向等现象。
如何提高教学活动的有效性成为当前高中数学教育中的重难点,而图形计算器的合理应用能有效提高高中数学教学的有效性,应得到更加广泛的应用和推广[1]。
一、图形计算器的发展世界上第一台图形计算器是卡西欧研制的fx-7000G ,发布于1985年10月。
在此之后,惠普、德州仪器等公司也相继生产出图形计算器。
我国教育部门于2007年正式制定了关于开展图形计算器应用的相关政策措施,并于2008年正式开始启动,在2008年-2014年期间分两批次对全国20个实验区、500所实验学校进行了应用和研究。
经过多年的实验研究,高中数学老师在教学设计、教学实践和教学观念等方面都有了新的理解,学生学数学、做数学、用数学的方式也更加具有实践性,教学有效性得到了明显提高[2]。
图形计算器在欧美的高中教学中已得到了全面普及,也成为高中学生理科学习的必要工具。
我国的图形计算器应用还处于发展阶段,虽然普及程度还不够,但处在快速发展的过程中。
二、图形计算器的功能图形计算器具有高中数学教学中常用的数据处理、数值运算、动态图像处理等功能,可为高中数学教学提供强有力的技术支持。
图形计算器在函数中的应用
图形计算器在函数中的应用遂宁中学 周剑函数是高中数学的主干知识,贯穿高中数学的始终,它是培养学生理性思维以及应用意识和创新意识的良好载体.学习函数的最大特点就是数形结合.图形计算器具有计算、作图、统计等多种功能,同时它的便携性、专用性、交互性以及网络化为数学学习提供了一种直观、自主、多元的学习环境.在函数教学中恰当应用图形计算器,有助于展示知识形成,突破教学难点,渗透思想方法,促进理性思维.下面通过几个具体案例说明CASIO 图形计算器在函数教学中的应用以及需注意的问题.一、 突出其图形的特性教材的编写有其严密的逻辑体系.函数知识的编写遵循着由简单到复杂,由特殊到一般再到特殊的认知规律.在传统教学中限于技术手段,往往不能很好地呈现函数知识的形成过程,展现函数知识的内涵,挖掘函数知识蕴含的重要思想方法,领悟数学的本质,虽然学生通过一段时间的学习能解决一些问题,但对函数知识的认识往往是一知半解、残缺不全.现在利用图形计算器等信息技术手段,由“静”到“动”,“微观”到“宏观”地展现知识的形成过程,有利于学生构建完整的知识体系.案例1 幂函数传统的幂函数教学是有局限性的,受教材所限,或者是教学手段的不足,教师在组织幂函数的学习时,往往只研究5个具体的函数:1(),1,2,3,,12f x x αα==-1。
关注这5个极具代表性的幂函数,是笔者多年来一贯坚持的,之前由于缺乏信息技术手段,只能是采取“灌输”的办法:引导学生观察其中的3()f x x =的图象,启发他们探究函数73()f x x =的图象以及性质,强制性的“输入”类比的思想,学生略有所悟,其实是怀疑的,但是由于心目中根深蒂固的“依赖教师的情绪”,最终“将信将疑”变成“无庸质疑”,尽管目的达到了,但是缺乏学生自己的“身临其境”。
有了图形计算器,就可以引导学生绘制一定数量的幂函数(不局限于5个典型的),通过观察分析,他们很容易把幂函数分成若干类型,就能概括出每一种类型幂函数的图象特征以及性质。
图形计算器在高中数学教学中的应用
高中幂函数定义 y x , 是有理数 , 为
无理数的情形(qíng xing)在大学才会介绍。
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(3) 学生应用图形计算器探索研究数学问题 人教B版数学必修(bìxiū)⑤第二章《数列》的引入前言中例题 :用计算器可以得到这样的一列数 1,cos1,cos(cos1) ,cos(cos(cos1)),….请你试一试,会出现什么现象? 你能解释这一现象吗?
从最近几届十九中学生高考的数学成绩来看,一些喜 欢数学、动手能力强的学生,使用图形计算器后考试成绩 有明显提升,高考数学得高分的学生,几乎人人都在使用 图形计算器;但对于那些数学基础较差的学生,使用图形 计算器一般不会明显提高考试成绩。
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四、图形计算器在学习中的作用 用图形计算器画出函数(hánshù)图像,可以帮助更多
的
学生学会高中数y 学 x 3 x 2 2 x , x [ 4 ,4 ]
例:作出函数(hánshù) 的图像,并研究它们的对称性、增减性。
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(2) 学生使用图形(túxíng)计算器自主学习
例:函数 yx是2否存在?它的图像是什么的?
算器学习数学,可以减少学生烦琐的计算,帮助学 生分析、理解数学问题,许多发达国家的学生都使 用图形计算器学习数学。但图形计算器不是万能的, 学好数学首先还是要靠学生自己动脑筋钻研思考(sīkǎo), 掌握基本的概念和解题方法。
使用图形计算器解决问题也是一种能力,它要求 学生要熟悉计算器的各种功能,输入方法; 在理解基 本数学概念的条件下,可以培养学生的动手能力。
需要的运用信息技术解决实际问题的能力,全面提 高学生的综合素质。
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三、图形计算器的主要功能 图形计算器是一种小型的手持数学专用
如何利用图形计算器辅助高一数学学习
如何利用图形计算器辅助高一数学学习对于刚刚踏入高一的同学们来说,数学学习的难度和深度都有了明显的提升。
在这个阶段,合理利用工具来辅助学习能够起到事半功倍的效果,图形计算器就是其中一个非常有用的工具。
图形计算器是一种专门用于数学和科学计算的电子设备,它具有强大的绘图和计算功能,可以帮助我们更直观地理解数学概念,解决数学问题。
那么,具体该如何利用图形计算器来辅助高一数学学习呢?一、帮助理解函数概念函数是高一数学中的重要概念,也是后续学习的基础。
图形计算器可以通过绘制函数图像,让我们直观地看到函数的性质,如单调性、奇偶性、周期性等。
例如,对于一次函数 y = 2x + 1,我们可以在图形计算器中输入函数表达式,然后立即得到它的图像。
通过观察图像的走向,我们能清楚地看到函数是单调递增的。
再比如二次函数 y = x² 2x 3,我们可以通过图形计算器观察它的对称轴、顶点坐标以及与 x 轴的交点,从而更好地理解二次函数的性质。
二、探索三角函数三角函数在高一数学中也是一个重点和难点。
利用图形计算器绘制正弦函数、余弦函数的图像,能够帮助我们直观地理解它们的周期性、值域、对称轴等性质。
我们可以在图形计算器中同时绘制多个三角函数的图像,比如 y =sin x 和 y = cos x,观察它们之间的关系。
还可以通过改变函数的参数,如振幅、周期等,来深入理解三角函数的变化规律。
三、解决不等式问题不等式是高一数学中的常见题型。
图形计算器可以帮助我们快速地找到不等式的解集。
例如,对于不等式 x² 3x + 2 > 0,我们可以先将其对应的函数 y= x² 3x + 2 绘制出来,然后观察函数图像在 x 轴上方的部分,对应的x 值就是不等式的解集。
四、进行数据统计与分析在学习概率与统计这部分内容时,图形计算器可以帮助我们处理和分析数据。
比如,我们可以输入一组数据,然后利用图形计算器计算均值、方差、标准差等统计量。
浅谈图形计算器在高中函数教学中的应用
浅谈图形计算器在高中函数教学中的应用陈理宏广州市花都区教研室(510800)摘要:函数是高中一个重要内容,在这个内容的学习中应用图形计算器的函数功能和绘图功能,有利于学生加深对函数知识的理解,挖掘函数知识蕴含的数形结合思想方法,领悟数学的本质;有利于学生掌握函数知识的重点,构建完整的函数知识体系;有利于学生用函数知识解决实际应用问题,逐步培养科学研究的态度和意识.关键词:图形计算器函数图像数形结合课堂教学仍是我国目前中学数学教学活动的主要形式,提高课堂效率、培养学生能力是当今数学教学的一个重任。
当今这个信息化的时代,为适应信息社会的发展和新课程改革的需要,我们在努力探求如何让信息技术融入课堂为学生所用,让学生参与探究、发现、获取、验证、构建数学知识这一过程,从而培养学生的创新能力和实践能力。
因此,图形计算器的使用是数学发展的必然趋势,是新课程改革的必然产物。
在进行实验教学时,引入手持图形计算器进课堂。
我深刻体会到通过使用卡西欧fx-CG20图形计算器能具体从以下几个方面帮助学生深化对函数概念的理解。
1、在使用图形计算器时可以加深理解变量,促进认识飞跃,实现静态与动态,离散与连续之间的相互转化,让自己从“常量数学”自如地走向“变量数学”;2、突出关系:已知数与未知数之间的关系是方程;变量与变量之间的相互关系是函数,高中生要学会“函数建模”(建立函数模型);在使用图形计算器是在输入函数表达式(解析式)时就要求学生去构建函数。
3、一些函数图象往往不太容易直接画图,而且画出的图也不准确,在课堂上,教师只能空口说白话,数学思维难以渗透。
图形计算器很好地解决了这一问题,很复杂的函数都可以很快在图形计算器上画出。
图形计算器帮助学生理解函数的性质如:结合图象观察理解单调性、奇偶性、周期性、对称性、极值性(最值)、连续性(中学阶段学的基本上都是连续函数)实际上通过数形结合认识、掌握函数图像,认识图像变换。
对照函数图像,以“对应”的观点和“形式化表示”为核心,来认识函数,这是高中数学的一个精髓。
TI图形计算器在高中数学教学中的应用
TI图形计算器在高中数学教学中的应用一、问题的提出我们面临的是一个信息时代,社会的飞速发展正在逐步改变着教与学的关系,在我们可以预见的未来,老师将走下"传道"的神坛,教与学的主体,将实实在在地转向学生,教师的角色正在发生着根本性的变化。
"要给学生一杯水,教师必须要有一桶水",传统教师所拥有的知识权威性赋予了其神圣的"师道尊严"正受到冲击。
告诉学生什么水能喝?哪里能找到水?的理念正在被理解和接受。
知识经济时代,知识从容量、难度、更新周期以及获得信息的渠道都发生了很大的变化,这对教育、教学提出了新的要求,教师作为知识传授者的传统地位已经动摇。
要想在有限的教学时间内将所有的知识传授给学生已不可能,也无必要。
对于教师而言,简单地将学生作为知识灌输对象的行为主义学习时代即将过去,而应该把重点放在强调对认知,即学生内部心理过程的研究,不断地激发学生学习热情及智慧,培养学生学会认知能力。
TI图形计算器其丰富的数学功能,完善的数学化设计,不但能满足一般常规的数学学习和数学教学的需要,而更以其动态演示、变换、回归分析和人机交互等功能,便于携带、操作简单为学生提供了一个良好的“作数学”的环境,成为学生手中“流动的数学实验室”,利用它,学生可以随时随地的研究数学,让学生在“玩”中体验数学,在这种意义上讲,TI图形计算器便成为学习者手中的一个认知的工具,一个了解数学规律的窗口.为了探索在高中数学教学中探究式教学的实践,在建构主义理论指导下,在数学教学中对TI 图形计算器进行应用研究。
二、研究的实施:1、研究的对象:函数和图形计算器的整合2、研究的时间:2006年9月——2007年9月3、研究的实施:(一设置教学情景,激发学习兴趣(二联系实际,注重实践(三分析和讨论4、研究的模式:(1实验发现模式:实验发现模式是指学生在教师的引导下,利用TI图形计算器,根据教材内容,自觉地参与实验并发现规律或结论的教学模式。
TI图形计算器在高中数学教学中的应用与思考
TI图形计算器在高中数学教学中的应用与思考TI图形计算器在高中数学教学中的应用与思考随着科技的迅速发展,计算器成为高中数学教学中不可或缺的工具之一。
其中,TI图形计算器作为市场上最受欢迎的品牌之一,被广泛应用于数学课堂中。
本文将探讨TI图形计算器在高中数学教学中的应用与思考。
一、TI图形计算器的功能与特点TI图形计算器具有强大的计算功能和丰富的数学工具,通过屏幕上的可视化显示,可以直观地展示数学概念和计算过程。
TI图形计算器主要包含以下功能与特点:1. 图形显示功能:TI图形计算器能够绘制函数图像、几何图形和数据图表等,通过可视化显示,帮助学生更好地理解数学概念和关系。
2. 符号计算功能:TI图形计算器能够进行符号计算,包括代数运算、方程求解、微积分、矩阵等,极大地提升了解题的效率和准确性。
3. 数据分析功能:TI图形计算器可以统计和分析数据,包括插值、拟合、回归分析等,帮助学生深入理解统计学的概念和方法。
4. 编程功能:TI图形计算器支持用户编写程序,能够实现自动计算、解题和模拟等功能,拓展了数学教学的应用。
二、TI图形计算器在数学教学中的应用1. 函数的图像与解析:TI图形计算器可以绘制函数的图像,并且能够通过数值计算和图像分析得到函数的性质和解析式。
学生通过观察和研究图像,能够深入理解函数的变化规律、极限和中间值定理等概念。
2. 几何图形的绘制与变换:TI图形计算器可以绘制几何图形,并通过图像变换和参数的调节,帮助学生研究几何图形的性质和关系。
例如,学生可以绘制不同的三角形,通过调节顶点坐标、角度和边长,来观察三角形的形状变化和角度关系。
3. 解方程和解不等式:TI图形计算器可以通过符号计算功能,帮助学生解方程和解不等式。
学生只需输入方程或不等式,计算器即可给出精确解和图像解,方便学生验证答案和学习解题方法。
4. 统计与概率分析:TI图形计算器可以进行数据的统计和概率分析。
学生可以输入数据集,计算机即可给出统计指标和图表,帮助学生分析数据的分布、相关性和趋势。
图形计算器在函数教学中的运用
图形计算器在函数教学中的运用作者:李贤应来源:《数学教学通讯·高中版》2019年第10期[摘 ;要] 高中数学函数教学中,借助图形计算器可以帮学生有效地构建函数知识,理解函数思想,同时也可以提升学生的思维品质. 图形计算器本质上是教学手段的使用,其是要服务于教师的教,并最终服务于学生的学的.[關键词] 高中数学;图形计算器;函数教学图形计算器是一种集数值计算、函数图像显示、编程、数据分析等功能于一身的掌上计算器. 作为一种新型的数学实验工具,它具备符号代数系统、几何操作系统、数据分析系统等,可以直观地绘制各种图形,并进行动态演示、轨迹跟踪.很显然,图形计算器可以成为辅助教学的重要手段,尤其是在高中数学中,当遇到一些复杂的数学知识的时候,借助于图形计算器来辅助教学,可以化解学生的学习难点,为学生的思维发展提供台阶. 众所周知,函数是中学数学极为重要的内容,同时也是最为复杂的知识点之一,函数几乎贯穿整个高中数学的始终,数、式、方程、不等式、数列、极限、导数与微分等内容与函数有密切的联系,同时还渗透到三角、立体几何、解析几何中,更有内容丰富的函数实际应用性问题,跨学科的综合应用是函数的鲜明特征,所以,学好函数知识是学好整个高中数学的关键. 而根据笔者多年教学的经验,以及从近年来的高考考查来看,函数知识的重要性更体现在学生对函数相关知识的深度理解与综合运用上,而这某种程度上恰恰对学生对函数知识的构建与应用提出了更高的要求. 从教学的角度看,利用图形计算器来降低学生的思维坡度,也是有效的选择之一.基于图形计算器的基本功能帮学生构建函数知识图形计算器的基本功能之一就是函数功能、图形功能,使用图形计算器能实现制作图形、动态演示、跟踪轨迹等功能. 利用这些基本功能,可以让学生在建构函数知识的时候跨越许多障碍.例如,在学习指数函数、对数函数的时候,常常需要让学生作指数函数或对数函数的图像. 如学指数函数的时候,需要让学生作y=2x的图像,又或者作y= ;的图像等. 由于这些函数与简单的函数不同,用描点法作图往往会出现描点、连线的困难,学生的注意力大多集中在如何作出图像上面,通过对这两个图像的比较去发现y=ax和y= ;(a>0,且a≠1)的性质,而要化解这一矛盾,让学生将注意力集中到函数性质的探究上来,就可以借助图形计算器(可以是单机版,也可以是在线图形计算器)来生成图形,并在图像生成的过程中观察图像的形状,判断两个函数的关系(如图1),进而认识两个函数的性质.很显然,根据图形计算器生成的图形,可以发现y=2x跟y= ;是关于y轴对称的,而这个时候学生自然的猜想就是:y=ax和y= ;(a>0,且a≠1)是不是也是关于y轴对称的. 此时学生可以自己通过对图形计算器的处理,同时生成y=ax和y= ;(a>0,且a≠1)的图像,进而发现一般结论. 同时为了加深学生对指数函数的性质的理解,生成图像的过程中,还可以通过对a 进行不同的赋值,从而去发现a值对指数函数的影响. 同理,在对数函数的学习中,也可以采用类似的思路.这样的教学的最大价值在于,学生所获得的函数图像的信息是准确的,而用图形计算器来生成函数图像,实际上也是让学生建立基于更精确的图像分析得出函数性质的思路. 当然,考虑到高中学生对函数图像的认知,教师可以在用图形计算器呈现图形之前先让学生在方格纸上自己描点作图,然后将自己所作的图形与图形计算器生成的图形进行比较,从而让学生认识到图形计算器在生成函数图像方面独特的作用,进而可以让学生自己接纳这一图像生成方式,理解其准确性与合理性. 这可以保证学生在理解函数性质的时候有形可依,从而让学生对函数图像的表象比较准确,所建立起来的对函数性质的理解也就比较清晰.如上所说,函数知识是高中数学中比较复杂的知识,在这个过程中借助图形计算器不只是为了提高教学的效率,更是为了帮学生形成清晰的图像表象,及不同函数图像之间的关系(通常就是对称等). 有了这样的认识,图像的性质的建立过程往往是顺利的,所认识到的性质往往也不会显得过于抽象,这是传统教学所不及的.利用图形计算器的动态功能帮学生体会函数思想图形计算器的另一个基本功能,就是可以给学生提供动态的画面,这对于让学生认识包括图像在内的函数的性质来说,具有其他教学手段所无法替代的作用. 利用这一功能,让学生理解函数思想及其应用,具有不俗的“功效”. 函数思想的应用,就是用运动和变化的观点、集合对应的思想,去分析和研究数学问题中的数量关系,建立函数关系或构造函数. 运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题,可以使问题获得顺利的解决.比如说函数图像的变换,可以借助图形计算器,让学生看到同一类型不同参数的函数的图像之间的关系,并建立动态表象. 这样的教学可以遵循由易及难的思路来进行,比如说可以先给学生提供他们熟悉的简单函数的图像,如反比例函数f(x)= ,然后变换到f(x+2)与f (x-2)(如图2). 然后再给学生提供更复杂的图像,如f(x)=2x以及f(x+2)与f(x-2)(如图3).这样的变换,对于学生来说,就是在眼前有一个清晰的一组图像可供加工,且图像的生成过程如果设置成动态的,那学生就可以在观察动态图像生成过程中,感悟到函数随着自变量的变化而变化的关系,从而理解某一具体函数的变化趋势. 然后在此基础上再生成不同参数的其他图像,则就可以顺利地在大脑中完成图像的变换,这种变换的过程,就是动态的图像形成的过程,也是学生对同一类型、不同参数的函数关系的更生动、形象的认识形成的过程.在这个过程中,学生对函数的思想的理解是比较深刻且有效的. 尤其是其中的动态变化观念的形成,是其他教学手段难以起到作用的. 在实际教学中,利用图形计算器帮学生认识函数思想,还可以采用一个小的教学技巧,那就是在使用图形计算器之前,先让学生自己猜想、探究参数变化之后可能的图像是什么样的,猜想得越细致越好,既可以猜想图像的形状,也可以猜想参数变化之后与原图像的间隔大小等,然后再用图形计算器生成准确的图像,以让学生进行对比. 这个对比的过程,其实就是强化学生准确认知的过程,这些细节方面感觉越准,那学生对函数思想的理解也就越准确.利用图形计算器的计算功能提升学生的学习品质图形计算器的最大功能就是过程形象、结果直观. 从学生学习的角度来看,这样的特点是可以提升学生的学习品质的.众所周知,高中数学的学习离不开良好的学习品质作为支撑,而学习品质的形成往往来自学生在数学学习过程中的思维加工过程. 也就是说,有什么样的思维加工过程,就有什么样的学习品质.利用图形计算器,学生在函数学习过程中,思维加工的对象更准确,思维空间也更大. 上面所举的例子中,学生不仅能够看到直观的函数图像,还能在这些函数图像生成之前、生成过程中、生成之后有充分的想象空间,而有了猜想的过程,学生就自然地会将自己的猜想结果与图形计算器生成的图像进行比较,然后进行自我评价. 不要小瞧这个自我评价过程,其是学生在学习过程中完善自身思维方式、提升思维品质与学习品质的重要环节. 只有学生有明显的自我评价意识并进行有效的自我评价,他们才能在不知不觉当中有完善自身学习品质的潜意识.总的来说,高中数学教学中运用图形计算器,一个重要的思路就是要将图形计算器这一软件的使用视作教学手段的使用,而教学手段又是要服务于教师的教,进而服务于学生的学的. 而服务于学生的学的最后指向,其实就是学生的思维品质以及学生的学习品质. 我们认为,只有指向学习品质的数学教学,才是有效的数学教学,只有指向学习品质的提升,也才是包括图形计算器在内的一切教学手段使用的最终目标.从这个角度讲,图形计算器在函数教学中的最大价值,就在于让学生在明晰思维对象与思维过程中,明白了函数学习应当面向哪些客观具体的图像,明白了不同图像之间存在的区别与联系,进而将不同函数知识更好地组织在一起形成一个大的知识组块,强化了记忆,增强了理解,促进了认知,提升了品质.。
图形计算器在高中数学教学中的应用
式, 而这 也会 收 到意 想不 到 的效 果 。虽 然 说新 课 改 已经推 行
了很 长 一 段 时 间 , 素 质教 育 也广 为所 知 , 但 是 在 实 际 的教 学 中, 很 多高 中数 学 教师依 然采 用 传统 的教 学 方式 。在 这 个过 程 中, 教师 占据 了主体 地位 。而 图形计 算器 的应 用 , 能够 改变 这一 现状 , 使 学生 能够 主动地 进行 学 习 。 二、 图形 计算 器在 高中数 学教 学 中的应 用 ( 一) 绘制 图形 高 中数 学 是 一 门 比较 抽 象 的 学科 ,有 很 多知 识 点 涉及 到 了图形 , 如 几何 、 函数 等 。有 些题 目会直 接 给 出 图形 , 但 是
摘要 : 图形计算器能够使高中数学教学变得 生动有趣 , 有利于学生理解。基于此 , 文章阐述 了在高中数 学教学应用图 形计算器的必要性 , 并从绘 图、 计算以及分析三个方面重点分析图形计算器在 高中数学教 学中的具体应用。 关键词 : 高中数学; 图形计算器; 绘图
中图分 类号 : G 6 3 3 . 6 文 献标 志码 : A 文章编 号 : 2 0 9 5 — 6 4 0 1 ( 2 0 1 6 ) 2 3 - 0 2 3 6 — 0 l 师 讲 述 的再 怎 么清 楚 , 学 生也 难 以理 解 , 而 利用 图形 计 算 器 描 绘 出 立体 几 何 图形 , 学 生就 能 直观 地 看 到 , 学 习难 度 也 会 降低 。 ( 二) 节 约计算 时 间
三、 结语
有 些题 目并 不 会给 出 图形 ,需 要 学 生根 据 题 目的 意思 来 绘
制 图形 , 而 图形 绘制 是否 准确 , 有 的时候 还 会 影 响 到解 题 思 路 。由此 可 见 , 准 确 绘制 图形 十 分 重要 。利 用 图形 计 算器 就 能够 帮 助 学生 有 效地 绘 制 出精 确 的图案 ,而 且 不 单单 能够 绘 制 出平 面 图形 , 还 能够 绘 制 出立 体 图 形 。在 高 中学 习 中 , 函 数可 谓 是一 大 重 点 ,高 中数 学 中的 函数 不 仅 包 括 一 次 函 数、 两 次 函数 这样 的简单 函数 , 还 有对 数 函数 、 幂 函数 等 。这 些 函数 单 纯依 靠 学 生 来绘 制 的话 , 需 要 花 费大 量 的 时 间 , 而 且 还无 法 保 证 绘制 出来 的 函数 是 否准 确 。如 果 使 用 图 形计
利用TI图形计算器辅助高中函数教学
利用TI图形计算器辅助高中函数教学TI 图形计算器具有数据处理功能、函数功能、图形功能、简单编程功能和数理实验功能,是教学、学习和做数学研究的强有力的辅助工具,为高中新课程改革注入了新的活力。
函数是高中数学中最为重要的内容之一,传统的函数教学方式方法抽象枯燥,学生难以理解。
而借助TI图形计算器进行函数教学,有着传统教学方式无法比拟的优势。
一、指数函数、对数函数、幂函数的教学教学中,指数、对数和幂函数的图像是它们性质的直观体现,应该教会学生画它们的图像,学会观察函数的图像,借助图像研究函数性质并解决相关的问题。
而TI图形计算器的函数功能、图形功能对于函数教学具有很好的辅助作用。
1.指数、对数函数的教学(以指数函数为例)例如:画出函数y=2x与的图像,观察图像有怎样的关系?你能够得到更一般的结论吗?(苏教版高中数学必修一50页)分析:传统教学中,教师一般是课前准备好函数图像。
这两个函数看似简单,但大多数学生在实际描点作图中会遇到很大的困难,图像做不好就不利于下面一般结论的思考。
而这个问题的核心不是作图,而是要发现指数函数的一个重要性质,就是要研究y=ax与(a>0且a≠1)图像之间的关系。
我们可以借助于图形计算器画出函数图像(如图1所示):图1学生能够准确清晰地观察到y=2x与图像关于y轴对称,很自然地会猜测y=ax与(a>0且a≠1)的图像是否也关于y轴对称。
按如下步骤操作作图探究:(1)添加一个图形页面;(2)插入游标,范围是0~1;(3)做出函数y=ax与的图像(如图2所示)。
图2通过研究图像学生得到了一般的结论:函数y=ax与(a>0且a≠1)的图像关于y轴对称。
(也可以进一步引导学生来证明这个性质)在这里可以继续借助这个图像来研究在指数函数中底数a对函数图像的影响。
图3通过拖动游标改变a的大小,很直观清晰地观察到图像的变化(如图3所示)。
而这些用传统教学方法讲解起来很抽象,学生听起来枯燥而且难以理解。
图形计算器——高中数学有效教学的利器
195教育视窗2020年第8期高中数学课堂是重要的科学之一,其在教学上的重要性不言而喻,是高考必考的科目之一。
高中数学教学方式的创新和改革是教学中重要发展内容,在传统教学中,很多学生对高中数学存在力不从心感受,对数、图、形基本是一篇模糊,而图形计算则是数学教学利器,可以非常巧妙有效解决这一困难问题。
图形计算器应用于数学教学中是数学教学中的新形式,可以将数学中的一些函数绘制图像、方程组等进行准确计算,而且功能非常强大,所含括的范围比较广,在图形计算器上可以同时显示多行文本的功能。
另外图形计算器还具备符号代数、几何操作以及数据分析系统等,能将各个图形更直观绘制出来,是数学学习的重要工具。
本人认为图形计算器是高中数学教学的利器,主要是图形计算器具有小巧便捷的特点,利于数学课堂上的应用开展,助推数学进一步发展,为数学教学提供了更大工具性支持。
1 图形计算器的功能及特点1.1 图形计算器的功能数学课堂教学中图形计算器提供一种更直观的教学手段和研究环境,尤其是数学符号上,可以更直观、准确的借助图形计算的基本功能。
图形计算器可以快速进行数学的实践和应用,提高教学研究的效率。
图形计算器主要功能体现在其的数值预算、作图、统计、金融、程序、计算应用等多种功能。
在数学课堂上,还可以提供更直观的教学研究,引导学生能更深入理解数学的一些结论、定义或是法则,理解到数学知识的本质内容,并不断给学生创设更好自主学习的教学环境,通过自主学习合作探究,获取更多的知识和运用能力。
1.2 图形计算器的特点图形计算器在数学中的应用具有几个特点。
(1)便携性:图形计算器是针对数理研究学习的工具,其本身的就特点就需要够方便、体积不大,这样携带起来比较便捷。
数学教学可以作为课堂的必备教材工具之一,可以在课堂上随时体验它的价值和意义。
(2)网络性:可以通过端口连接,可以展示计算器之间的数据交互特点,利于数据的整合运用。
(3)专业性:图形计算器是针对数理应用的新型技术产物,可以通过收集、分析、分类进行各个学科研究,比如数学、物理、化学、生物等的研究,更显其专业的特性。
图形计算器在高中数学教学中的应用
图形计算器在高中数学教学中的应用高中数学课程标准倡导利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容,把信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具,并鼓励学生使用计算机、计算器进行探索和发现。
做到人手一部电脑是很难实现的,且不便携带,计算器就成了我们日常学习的重要帮手。
常见的计算器往往只能进行四则运算,或是可进行乘方、开方、指数、对数、三角函数、统计等方面运算。
然而,还有一种计算器,它功能强大,操作简便,形象直观,能更好地帮助学生理解数学,那就是图形计算器。
将图形计算器恰当地应用到日常教学中,可以提高教学质量和教学效率。
在我校校本课程——“数学实验”中,使用的是德州仪器公司生产的TI-Nspire CX-C CAS图形计算器。
下面以这款图形计算器为例谈谈在高中数学教学中,图形计算器的图像、代数运算和统计方面功能的应用。
一、绘制图形“器”如其名,图形计算器的特色之一就在于它能够画图。
无论是平面几何、解析几何还是立体几何,我们都能在图形计算器上画出需要的图形。
在直角坐标系里画出函数图像,是高一新生在学习函数时必须攻克的难关,方法是描点法(列表、描点、连线)。
但若碰到一个既陌生又复杂的函数,如f(x)=4x—2x+1—3,想要用纸笔画出其大致图像,那可得耗费一番工夫,而且其精确性也会大打折扣。
但运用图形计算器画这个函数的图像就简单很多。
我们只需新建一个图形页面,然后把函数解析式输进去,最后按回车键就可以了(如图1所示)。
当然,画出函数的图像只是其强大功能的一部分。
按“菜单”按钮,就会有许多功能各异的“菜肴”供我们选择。
如“4:窗口/缩放”可以根据需要放大或缩小图像;“6:图像分析”可以帮助我们得到一些特殊点的坐标等(如图2所示)。
图1图2除了能绘制函数的图像,图形计算器还能根据某些方程画出其对应的曲线。
在菜单中选择“3:图形输入/编辑”中的“等式”,选择你要画的图形类型,输入方程中的参数,最后按一下回车键,方程所对应的曲线就呈现在眼前(如图3、图4所示)。
TI图形计算器在高中数学教学中的应用6页
TI图形计算器在高中数学教学中的应用数学新知识的学习就是典型的建构学习的过程.布鲁纳也认为,只有学生亲自发现的知识才是真正属于他自己的东西.然而,数学一直以其严密的逻辑推理、灵活的技巧处理而著称,针对学生形象思维多于抽象思维的特点,在教学中应用具有数据处理功能、函数功能、图形功能、简单编程功能和数理实验功能的TI图形计算器,无疑是解剖抽象复杂性数学知识的有力手段.TI图形计算器不仅仅是“教”的辅助手段,更是“学”的有效工具.课堂中引入TI图形计算器,有助于发掘学生联系实际主动发现问题、提出问题、解决问题的能力,有效促进思维品质的发展,真正促进学生的学习,实现学习方式的转变.下面以人教版高中数学必修1幂函数教学为例,阐述这一新型教学工具在数学教学中的应用及价值.一、教材分析在人教版高中数学必修1第77页中,教材仅讨论了幂函数y=xa,a为1,2,3,-1,0.5时的情形,由于a∈R,显然由上述五种情形而得出幂函数的性质这种做法具有一定的局限性,学生难以掌握幂函数所蕴含的丰富性质,并且传统的幂函数教学基本上是采用一支笔一张嘴的教学模式,教学方式方法抽象枯燥,学生难以理解.而TI图形计算器作为教和学研究的有力辅助工具,具有图形、函数、数据处理、简单编程和数理实验等多种功能.因此,在幂函数教学中应用TI图形计算器可以让学生更加深刻地体会归纳转化、数形结合等思想方法,更加积极主动地探索数学知识.二、教学目标分析本节课程的主要目标是尝试应用TI图形计算器,利用归纳转化、数形结合的思想自主探索幂函数图像的性质,构建和完善幂函数的知识体系.同时,促进学生养成科学探究问题的学习品质和思维方法,不断拓宽学生的数学视野.知识与技能方面:理解幂函数的概念,熟练掌握幂函数的性质和图像.过程与方法方面:应用TI图形计算器研究幂函数的性质和图像,深刻体会归纳转化等基本数学思想.情感态度与价值观方面:让学生在画图为主的数学实验中深刻感受数学的魅力,激发学生学习数学的兴趣,培养学生积极探索、独立思考的精神和态度.三、教学过程设计(一)提出问题,引入新课组织学生回忆已经学习过的函数,例如,一次函数y=kx+b(k≠0);二次函数y=ax2+bx+c(a≠0);指数函数y=ax(a>0且a≠1);对数函数y=logax(a>0);等等.如果将指数函数变化一下形式,则由y=ax变为y=xa,则我们得到的又是什么函数?要求学生掌握幂函数的形式,熟悉指数函数和幂函数之间的区别.设计意图:复习旧知识,引出新问题,建立幂函数、指数函数之间的联系,熟练掌握幂函数的形式,即指数不变底数变化则为幂函数,指数变化底数不变是指数函数,通过类比的形式将两个易混淆的概念区别开来.(二)利用工具,尝试探究在学生准确掌握幂函数概念的基础上,要求学生举例说明.然后提出疑问,我们为什么要学习幂函数,幂函数的图像是什么形状的,它具有哪些性质?带着这些疑问激发学生探究学习的兴趣,借助TI图形计算器绘制出幂函数图像(如图1、图2),并要求学生观察图形回答以下问题.① 幂函数的图像分布在哪几个象限中?② 幂函数的图像一定经过第一象限吗?③ 幂函数的图像一定经过第二象限吗?④ 幂函数的图像一定经过第三象限吗?设计意图:根据学生所列举的幂函数,借助TI图形计算器绘制出相应的幂函数图像,并通过问答的方式引导学生自己观察图像,为深入探究幂函数图像的本质奠定基础.(三)数学实验,合作学习根据自己的观察结果,请学生选择如下研究方向组成学习小组进行合作探究,并汇报小组的探究成果.一是研究幂函数第一象限内的公共点;二是研究幂函数第一象限内的单调性;三是研究a>0时图像在第一象限内的上凸与下凸.在具体探究过程中,教师应以普通成员的形式主动参与探究,对于探究过程中出现的问题及时帮助小组进行解决,并帮助学生得出以下结论:所有的幂函数图像都经过(1,1)这个点,并且当a>0时图像经过原点.当a0时,幂函数在第一象限内是增函数.01时,幂函数在第一象限内是下凸的.设计意图:通过这种小组开放探究的形式,让学生身临其境主动思考、自由表达,不断培养学生科学的思维品质和自主学习的能力.(四)展示成果,加深认知上述探究过程中,仅是针对某几个幂函数进行探究而得出结论,能否通过TI图形计算器的动态图模块作出的动态图直观、形象地展示图像在第一象限内的变化?通过TI图形计算器的动态图模块功能分别展示出a 为2,1,0.5,0,-0.5,-2时的图像.设计意图:在刚刚得到幂函数在第一象限内某个性质的基础上,通过TI图形计算器动态图模块,使抽象、复杂、静态的数学知识变为生动、形象、直观的数学规律,有利于学生从整体上对幂函数在第一象限内性质的掌握.(五)借助探巧,拓展知识在该学习过程中,很多学生都产生这样的疑问,幂函数的图像除了在第一象限内,还有可能出现在第二、三象限内,那么幂函数图像在第几象限与幂函数的指数有联系吗?两者之间存在着什么关系.要求学生带着新的问题在课下继续去探究,并将探究结果第一时间反馈给教师.设计意图:在学生掌握应用TI图形计算器的基本技能后,让学生带着新的问题去探究,有利于学生独立思考、自主学习习惯的培养.(六)强化思想,小结归纳在学习中,TI图形计算器在幂函数的学习中给了我们什么样的启示?幂函数的定义是怎么表述的?它和指数函数的最大区别是什么?……设计意图:通过一系列的问题让学生回顾幂函数研究的基本思路和方法,总结概括出幂函数在第一象限内的图像性质.同时,引导学生体会TI 图形计算器在学习探究中的作用.(七)设计题目,检验成果(题目略)设计意图:练习反馈是检验学习效果的重要手段,是课堂教学不可缺少的一个环节,通过题目的设置有效组织学生回顾幂函数的概念和性质,并运用TI图形计算器进行求证,有利于增强学生的成就感.综上所述,TI图形计算器在幂函数教学中的应用充分展示了新型教学工具在数学教学中的应用价值,不但有利于增强学生的认知水平,拓宽学生的思路,而且改变了传统的教学模式,实现了学生由“学会”向“会学”的转变.随着TI图形计算器在高中数学教学中的应用,定会为学生理解数学、强化知识之间的联系提供强有力的工具.希望以上资料对你有所帮助,附励志名言3条:1、理想的路总是为有信心的人预备着。
TI-Nspire图形计算器在高中数学教学中的应用——以苏教版必修一“指数函数、对数函数”为例
其他函数 的 教 学 导 入 做 准 备:同 学 们,苏 格 兰 数 学 家 纳皮尔最早 发 现了“对 数”,他 最 初 是 为 了 能 够 使 天 文、航海方面数值运算流程变得更加简化而发明的对 数,通过发明对数,能够降低运算的频 次.对 数的 发 明,恩 格 斯 曾 说,这 是 世 界 上 数 学 学 科 领 域 最 为 伟 大
一、教学目标
知识与技能: 一是让学生了解 指 数、对 数 函 数 模 型 的 背 景、意 义.能 借 助 图 形 计 算 器,探 索 并 理 解 这 两 类 函 数 的 含 义、性质、特征,并学会将函数与图形结合起来; 二是明确对数、指 数 函 数 对 比 教 学 的 重 点,即 要 求学生能够掌握其增减性及增长趋势. 过程与方法: 主要包括培养学生的建模抽象能力、提升其数形 结合解题能力,并引导学生懂得如何有效借助多媒体 工具来提升学习效率,培养其网络学习思维. 设计意图:本节 课 利 用 图 形 计 算 器,通 过 多 媒 体 工具带来的技术,主要引导学生学会如何使用图形计 算器感受两类函数的变化规律,并掌握两类函数的含
图1 图2 生:图1为对数函数、图2为指数函数. 师:那么通过 观 察 这 两 个 函 数 图 像,回 忆 并 思 考 下面几个问题. (1)对数函数和指数函数有什么相似点? (2)对数函数和指数函数是什么关系?
生1:(1)当犪 >1时,这两个函数都是增函数; (2)对数函数和指数函数互为反函数.
所以,在高中数 学 建 模 教 学 中,需 要 掌 握 一 定 的 方式方法,而 多 媒 体 工 具 与 数 学 课 堂 教 学 的 融 合,能 够有 效 促 进 学 生 更 好 学 习 及 掌 握 建 模、函 数 等 知 识. 基于这些教学策略,本文以苏教版必修一第二章2.2 和2.3节为例,针对“利用TI-Nspire图形计算器比较 指数函数、对数函 数 的 增 长 ”这 一 教 学 设 计 来 探 究 多 媒体工具与教学的深度融合.
“恰当”使用图形计算器辅助高中数学教学的实践与思考
我 们还 可 以利 用 图形计 算 器输 入
如图l 所 示 的 函 数 . 可 以 绘 制 出栩 栩 如 生 的蝴 蝶 .
教学 研究 备课参 考
数学教 学通 讯( 中等教育 )
“ 恰当’ ’ 使用图形计算器辅助 高 中数学教学的实践 与思考
谈 杰
西安 交通 大学苏 州 附属 中学
2 1 5 0 2 8
:
图形计 算器是一种集数 值计 算、 函数图象显示、 编程 、 数据分析等功能 于一 身的掌上计算 器, 作 为一 种新型的数 学实验工具 , 它具备符号代数 系统、 几何操作 系统 、 数据分析 系统等 , 可以直观 地绘 制各
他 们 的 好 奇 心 和 求 知 欲. 比如 在 讲解 函
提供丰富的感性材料 . 使其借助具体 形 象进行思维 。 进而理解 和掌握抽象 的 识.使用 图形计算 器能 直观 、 形象 、 动态
地展 示 知 识 的 形 成 过程 .在 解 决 某 些 数 学 问题 时 . 有利于启迪学生的思维 , 让 学
) 恰 当使 用 图 形 计 算 器 。 突 破重 点难 点
数学知识具 有高度的抽象 性 , 要 使 学 生 理 解 抽 象 的概 念 . 这 就 需 要 为 他 们
趣, 使之转化为学习的激情. 良好的开端 是成功的一半 .在每一 章节 的导入 时 .可 以设法 寻找 相关 材 料, 运用 图形 计算器 展现 给学 生 , 激 发
种 图形 。 并进 行动态演示、 轨迹 跟踪.运用 图形计 算器辅助教 学 , 建构以学生 为主体的课 堂教 学模
图形计算器在高一函数教学中的应用
… 结 沦 . 卜 以 指 数 数 为 例 ,将 分 析 过 分 r > 1 f"
(六 ) 比推 :绘 制 多 个 :为反 l 数 的 象 ,引 导 学 牛
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或 者 所 JllIj… 的 象 一 些 细 微 的 差 圳 J 无 法 辨 析 …来 .即 使
(1)指 数 数 的 同 象 恒 过 点 ((),1):(2) ^ (0,1)前 后 交 往 课 J ,救 帅 fl 』J确 点 但 学 生 往往 心 存 疑 .实 际 上 最
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16
义, i革、
,知 识 啦 度 大 ,H 习题 类 , 多,斛 题 技 巧 灵 指数 数的 卜降速 度就越快 .
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案 例 一 指 数 数 = n 的 底 数 “埘 数 变 化 速 度 的
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指 数 数 ,埘 数 数 ,幂 数 的 底 数 刈’ 数 变化 述 俊
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高中数学教学工具应用
高中数学教学工具应用随着科技的发展和教育教学的不断更新,数学教学工具的应用在高中阶段变得更加普遍。
这些工具可以极大地促进学生的学习效果和兴趣,提高他们对数学的理解和应用能力。
本文将探讨高中数学教学工具的应用,包括图形计算器、数学建模软件、线上学习平台等。
一、图形计算器图形计算器是一种提供数学计算和绘图功能的电子设备,它可以帮助学生可视化地理解数学概念和解决实际问题。
比如,在解二次方程时,图形计算器可以绘制抛物线图形,帮助学生直观地观察解的个数和形态。
此外,图形计算器还可以进行复杂的数据分析和统计工作,如统计图表的绘制和数据的线性拟合等。
这些功能使得数学教学更加生动有趣,并提供了更丰富的教学资源和案例。
二、数学建模软件数学建模软件是指通过计算机来构建数学模型,解决与现实世界相关的数学问题。
它可以模拟实际场景,让学生能够在虚拟环境中进行数学实验和探索。
举例来说,学生可以利用数学建模软件来研究物体的运动规律、解决最优化问题或者进行金融风险评估。
这种实践性的学习方式不仅可以增强学生的动手能力和创新思维,还可以提升数学抽象思维的能力。
三、线上学习平台线上学习平台可以为学生提供数学学习的视频教程、练习题和答疑服务等资源。
这些平台不仅可以方便学生随时随地进行学习,还可以根据学生的学习进度和特点提供个性化的学习计划和建议。
通过线上学习平台,学生可以进行自主学习和自我评估,这有助于培养他们的学习独立性和解决问题的能力。
同时,学生还可以通过在线讨论、合作学习等方式与老师和同学进行交流,加深对数学知识的理解和应用。
总结:高中数学教学工具的应用在普及的背后,带来了许多积极的影响。
图形计算器、数学建模软件和线上学习平台等工具的应用,不仅提高了学生的学习兴趣和动手能力,还增强了他们的数学思维和解决问题的能力。
然而,教师在使用这些工具时应注意合理安排使用时间,避免过度依赖工具而忽略了基本的数学概念和计算能力的培养。
只有在工具的正确引导下,才能真正发挥它们在高中数学教学中的作用,帮助学生建立坚实的数学基础。
浅谈图型计算器在高一数学函数概念教学中的应用 庞兴资料
浅谈图型计算器在高一数学函数概念教学中的应用广东省东莞市东莞中学数学科庞兴【摘要】本文分析在图形计算器的支持下,如何进行高一数学函数概念的教学模式,以及概括与突出概念的本质、突破概念理解的难点的几点体会.【关键词】图型计算器;概念教学高一数学难学,这是因为高一数学概念抽象,学生较难接受.理解并掌握数学概念是学好数学的第一关.随着图形计算器与数学学科的不断整合,它正逐步影响和改变着数学教学的方方面面,其中也包括了概念的教学. 在图形计算器环境下,学生的学习时空可以被有效拓宽.学生可以不再依赖于教师,新型的师生关系可以促进学生学习方式的转变.同时,数学概念本身也会受到新型的学法和教法的改造,这也必将形成技术和概念之间的有效整合.下面谈谈图形计算器支持条件下高一函数概念教学的一些体会.一、图形计算器支持条件下数学概念教学模式教无定法,但教须有法.教师利用图形计算器的数据处理功能、函数功能、图形功能、简单编程功能和进行一些数理实验的功能,针对高一函数概念,探索概念形成的一般规律和方法,并形成一定的教学模式.使得教学更加具有可操作性、稳定性和发展性.在传统的数学概念教学中,老师一般是通过举例、归纳或者开门见山式的进行概念的引入.在高效率的同时,学生相对存在接受障碍,以及因被动接受导致无法深入理解和灵活变通等不良后果.在课堂引入图形计算器后,对数学概念的教学,有了新的方式、方法.基于图形计算器支持条件下的学生学习方式一般可设计为:“操作——观察——探究——发现——猜想——验证”,以达到对数学知识、方法、思想的深刻理解.使学生在数学课程中运用现代信息技术,自己分析问题、解决问题、获取知识,从而达到数学知识、数学创新意识、创新能力同步增长的目的.案例1.函数的单调性问题1:以函数2为例,让学生在图像上任意取一点P,测出点P坐标,y x利用图形计算器的追踪功能让学生观察,点P 在函数图像上按横坐标x 增大的方式移动时,点P 的纵坐标y 的变化规律如何?学生交流讨论,总结规律后,给出增(减)函数的自然语言描述.问题2:利用图形计算器,在[0,)+∞上任意取1x ,2x 的值,当12x x <时,观察1y ,2y 的大小关系?在此过程中,可先引导学生有规律的取1x ,2x 的值,观察1y ,2y 的大小关系,再让学生发散思维任意取1x ,2x 的值进行观察.学生动手操作,讨论交流,教师在学生表述的过程中发掘亮点,纠正问题,适时评价,最后形成结论:在[0,)+∞上任选两个自变量的值,自变量大对应的函数值也大.二、在概念形成中使用图形计算器,概括概念本质属性从教育和发展心理学的观点来看,概念教学的核心就是“概括”,以若干典型具体事例为载体,引导学生展开分析各事例的属性、抽象概括其共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概念.在图形计算器的支持下,学生从表层到本质,把握概念深层结构的内涵;从具体到抽象,对抽象的概念要形象描述,要用更多典型、精彩的例子解读概念;从孤立到系统,对概念之间的关系和联系,有层次化、立体化的认识概念的形成与发展FF0C 自己经历知识产生的过程,通过观察、归纳、抽象、概括,逐步建构概念的雏形.案例2.1 函数奇偶性概念的教学人教A 版教材在研究偶函数和奇函数概念时,分别只给出了学生比较熟悉的两个具体函数,即2y x =,y x =和y x =,3y x =,我们感觉只从两个具体函数就归纳给出偶函数和奇函数的概念是有所欠缺的.借助图形计算器,我们可以给出更多的具体函数,让学生从多个具体函数所具有的共性中归纳总结得出概念.问题1. 画出2y x =,y x =, 21y x =,41y x =+,21011y x =+的图象,并观察它们的图象有什么共同特征?学生利用图形计算器的“图形函数”功能,能很快绘制出1个或多个函数的图象, 从直观上可以看出这组函数的图象均关于y 轴对称.三、在概念理解中使用图形计算器,促进概念本质的理解我们一般从概念的内涵与外延来深刻理解一个概念.概念概念的内涵就是指反映在概念中的对象的本质属性;概念的外延就是指具有概念所反映的本质属性的对象. 概念的内涵是概念的质的方面,它说明概念反映的事物是什么样的;概念的外延式概念的量的方面,通常说的概念的适应范围就是指概念的外延,它说明概念反映的是那些事物.概念的内涵和外延是两个密切联系、互相依赖的因素.案例3.1 函数奇偶性概念问题2. 列出函数2y x =,y x =, 21y x =,41y x =+,21011y x =+相应的函数值对应表,观察它们有什么共同特征? 利用图形计算器的“表格函数”功能(图4),图形计算器可很快列出这5个具体函数的自变量及所对应的函数值(图5,图6).学生从表格中容易发现这组函数当自变量的取值互为相反数时,函数值相同,通过改变自变量的取值范围,可发现这一数量特征对于定义域中的任意值都成立,由此可归纳得出()()f x f x =-.此时教师可指出我们可以把符合这种特征的函数称为偶函数,进而在教师的引导下学生可尝试给出偶函数的定义,并通过学生和教师之间的交流互动完善定义.图4 图5 图6在得出偶函数的定义后,教师可提出:问题3.画出函数y x =,3y x =,1y x =,1y x x =+,3y x x =+的图象,并观察它们的图象有什么共同特征?相应的函数值对应表是如何体现这些特征的?学生通过类比偶函数的研究方法很快就能够归纳出奇函数的定义. 进而教师提出:问题4.自己任意写出一些函数,观察它们的图象特点以及自变量互为相反数时,函数值所具有的特征.学生这时可从课本上任意选择函数或者自编函数,从数和形两个角度进行分析,会发现有些函数的图形和数据特征符合奇函数或偶函数的定义,而有些函数不符合定义,从而很自然地提出问题,这些不符合奇函数或偶函数定义的函数叫什么函数呢?在教师的引导下,学生会顺理成章地得出这些函数既不是奇函数,也不是偶函数,从而进一步加深了对偶函数和奇函数概念的理解.有的学生还会发现函数()0f x=既关于y轴对称,也关于原点对称,类比已得到的概念,学生会很深刻地认识到()0f x=这个函数既是偶函数又是奇函数.在上述概念的形成过程中,学生通过观察和分析大量具体的函数,从数和形两个方面,逐渐归纳、总结得出偶函数和奇函数的概念,并通过更丰富的例子,进一步加深对概念的理解,同时认识到有些函数既不是偶函数也不是奇函数,并且存在既是偶函数也是奇函数的函数()0f x=.这一过程既建构了知识,渗透了数形结合的数学思想,同时又培养了学生的抽象概括能力.如果没有图形计算器,课上很难作出那么多具体的函数图象,学生对于偶函数和奇函数概念的理解就难以达到一定的深度.概念理解是数学能力提高的重要环节,而数学概念包括具体的定义、公式、图形以及各种符号等.数学解题是需要学生主动领悟、整体把握与强化刺激共同发生的心理和学习过程.因此,随着教育理念由行为主义到认知主义的发展,人们越来越认识到数学能力的提高有待于对概念理解的强化.新的国家数学课程标准也强调指出,要做到真正的理解和掌握基本数学知识与技能、数学思想和方法,还指出了要重视数学概念发展过程和本质的揭示,以及要关注学生理解数学概念的思想过程.案例3.2幂函数的概念传统的幂函数教学是有局限性的,受教材所限,或者是教学手段的不足,教师在组织幂函数的学习时,往往只研究5个具体的函数:1 (),1,2,3,,12f x xαα==-.关注这5个极具代表性的幂函数,是笔者多年来一贯坚持的,之前由于缺乏信息技术手段,只能是采取“灌输”的办法:引导学生观察其中的3()f x x=的图象,启发他们探究函数73()f x x=的图象以及性质,强制性的“输入”类比的思想,学生略有所悟,其实是怀疑的,但是由于心目中根深蒂固的“依赖教师的情绪”,最终“将信将疑”变成“无庸质疑”,尽管目的达到了,但是缺乏学生自己的“身临其境”.有了图形计算器,就可以引导学生绘制一定数量的幂函数(不局限于5个典型的),通过观察分析,他们很容易把幂函数分成若干类型,就能概括出每一种类型幂函数的图象特征以及性质.程度比较好的学生还可以进行适当的拓展,例如通过绘制、观察函数3()f x x =以及73()f x x =的图象(图1),拓展到形如()p qf x x =(,p q 为奇数且互质)的情形,个别优秀学生甚至能够归纳出所有可能的情况(依据,p q 的奇偶性分类).利用图形计算器进行这样的探究,能够使学生真正体会5个典型幂函数的代表性,加深了对有关概念的理解,同时也培养了学生观察、分类以及概括的数学能力.四、在概念易错处使用图形计算器,突破概念难点为了帮助学生跨越思维的障碍,教师往往会借助于计算机辅助教学.尽管教师借助课件的动态演示尽可能使抽象的数学知识更加直观化,但对学生来说任然出于被动的接受的过程.学生不知道课件是如何制作的,学生的心往往被一种新奇感占据.而图像计算器弥补了这一不足.图形计算器使学生真正体验了知识的形成过程,并在归纳总结中认识了数学的本质.案例4.1 单调性概念的理解学生学习函数的单调性,困难在于,难以把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来,难以用数学的符号语言描述函数单调性的特征.即由“随着x 的增大,y 也增大”(单调增)这一自然语言到“由(区间上)任意的21x x <有)()(21x f x f <”(单调增)数学符号语言的转换.其中最难理解的是为什么要用“任意”二字,在区间上“任意”取两个大小不等的1x 、2x 刻画.当然,应该注意到,企图在一节课中就实现学生对函数单调性的真正理解也是不现实的.在今后,学生通过判断函数的单调性,寻找函数的单调区间,运用函数的单调性解决具体问题,等一系列学习活动可以逐步理解这个概念.步骤1:请同学们利用卡西欧图形计算器画出下列函数的图像(1)x y = (2)2x y =(3)xy 1= (4)3x y =步骤2:观察四个函数图像,函数x y 1=图像似乎是下降.步骤3:要求学生利用卡西欧图形计算器函数表格功能作出y 随x 变化的表格,其中xy 1=的数据如右.问题:怎样用符号语言来表述:函数)(x f 在某个区间上函数值y 随自变量x 的增大而越大呢?师:对于某函数,若在区间),0(+∞上,当1=x 时,1=y ;当 2=x 时,3=y ,能否说在该区间上函数值y 随x 的增大而增大呢?生:不能,仅仅两个数字的大小关系不能说明该区间上y 随x 的增大而增大.师:若=x 1,2,3,4,时,相应地 y =1,3,4,6,能否说在区间),0(+∞上,函数值y 随x 的增大而增大呢?若x 取无数个值呢?生:不能,应该取区间上所有值.师:能不能从前面的函数中举个例子说明呢?生:函数xy 1=就是一个例子. 师:那怎样代入所有这样的数呢?生:这好象是无法做到的事啊?怎么办呢?师:能否用字母21,x x 来代表上述数组呢?如果能,对21,x x 又有何要求呢? 所选的数又必须能表示区间内的所有实数 .案例4.2 指数函数x y a =为什么要规定0a >且1a ≠用图形计算器在同一坐标系内作图象.在此过程中,学生可清楚地看到底数a 如何影响并决定着函数x a y =的性质.由于函数的图象随着10<<a 和1>a 自然聚集,学生可以清楚地看到1=a 这条分界线,而函数的定义域、值域、单调性、特殊点)1,0(等更是一目了然.然后再通过a 的连续变化来演示函数图象的变化规律,从而让学生更直观、更清楚地“看到”函数x a y =的性质.这样呈现内容,对学生发现和认识“为什么以1=a 为分界点” “过点)1,0(为什么要作为性质之一”“为什么不讨论0=a 和0<a 的情形”(如图2,图3)等,都营造了很好的环境,使教学的开放性、探索式学习等成为可能.显然,如果没有信息技术,上述过程很难实现.图形计算器进入课堂,改变了传统教学中学生围着老师转的教学模式,学生从以往的听众变成了积极的参与者,真正成为课堂的主体.把原来的数学学习过程转变成为自己学习数学的过程,使学生体会到知识产生的过程,从而对数学有更深刻的认识,产生更深刻的求知欲,也进一步激发了学生学习数学的积极性.最终经过学生理性思考,深刻理解数学概念本质属性.参考文献:[1]王彪.《函数的单调性》教学设计[2] 王红革.《函数奇偶性》教学设计[3] 高翔. 《简单的幂函数》教学设计。
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图形计算器在高一函数教学中的几个应用李光辉天津外国语大学附属外国语学校(300230)lgh1985@王光明天津师范大学教师教育学院(300387)bd690310@摘要:函数是高中数学教学的重要内容。
应用图形计算器的函数功能和绘图功能,可以大大的简化问题,使学生在应用中加深对函数概念的理解,逐步体会数形结合的重要思想,激发学生学习数学的兴趣。
利用图形计算器建立数学模型的一般步骤:首先,运用图形计算器做出散点图;其次,猜测函数模型,求出函数解析式;最后,做出函数图像,对拟合程度进行分析比较,也可运用相应数值进行检验分析。
关键字:图形计算器;函数教学;函数模型;数学应用引言:现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。
高中数学课程注重信息技术与数学课程的有机整合,利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容,在保证笔算训练的前提下,尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台,加强数学教学与信息技术的结合,鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现,这样有利于学生认识数学的本质,激发学习数学的热情,提高数学素养。
使现代信息技术成为学生学习的有效手段和工具,成为获取信息资源和开展学习交流的广阔平台。
在认识并发挥现代信息技术对数学课程改革的积极作用的同时,高中数学课程随着图形计算器、计算机等辅助工具的进入逐步搭建了基于信息技术的数学活动平台,学生借助计算器和简单的数学应用软件在数值计算和图像、图形等问题的探索研究中经历了通过数字化数学活动观察数学现象、探究数学问题的过程,体验应用现代信息技术解决数学问题的可能性和优越性,认识它与传统数学方法不同的特点。
“图形计算器(Graphing Calculator,GC),是一种手持的数学工具,更具体的说是一种专门用于数学学习与教学(中学与大学)的手持技术。
”1图形计算器具有如:“便携,实时,准确,综合,直观”2等优点,它具有强大的数据处理功能、函数功能、图形功能、简单的编程功能和进行一些数理实验功能,可以用数字的、解析的和图形的等多种方式表示各种数学对象,具有很好的交互性。
利用这些功能学生可以充分动手实践进行数学活动。
因此,信息技术与数学课程的整合可以基于图形计算器作为手持技术搭建教师和学生理想的数学活动平台。
下面结合自身教学实践,谈一下图形计算器在高一数学函数教学中的一些应用。
函数是高中数学教学的重要内容,高中数学的绝大多数问题都与函数有紧密地联系。
但是,因为函数部分的概念抽象,综合程度高,解题方法灵活多样,故其难点较多,学生学习起来也很吃力。
应用图形计算器的函数功能和绘图功能,可以大大的简化问题,使学生在应用中加深对函数概念的理解,逐步体会数形结合的重要思想,激发学生学习数学的兴趣。
1 借助GC,研究初等函数的性质基本初等函数是高一数学的重要内容,也是教学中的重难点。
传统的教学主要是老师传授知识,学生学得慢,忘得快,而且学习兴趣不高。
借助图形计算器让学生自主探究这些基本初等函数的图像和性质,学生学习兴趣高,学得快,而且记得牢。
例如:在指数函数的教学中,指数函数的底数与函数图象的关系,既是教学的重点,又是难点。
多数情况下,老师会直接给出函数的图像,然后通过图像告诉学生指数函数的一些性质。
这样教学虽然教师讲起来会比较省力,但是学生接受起来会比较困难,更重要的一点是,学生忘得快。
俗话说:“纸上得来终觉浅,绝知此事1王长沛.图形计算器,不可替代的“数学工具”?[J].中小学信息技术教育,2007(3).2吴绍兵,于明.关于课堂教学图形计算器使用恰当性的研究[J].数学教育学报,2009(2).要躬行”,如果能将探索指数函数性质的任务交给学生,让学生利用图形计算器来探究指数函数的底数与函数图象的关系,教师做适当的引导。
这样处理,一方面减轻了教师的负担,另一方面也能取得较为理想的效果,可谓一举两得。
案例一:指数函数的图象和性质教学案例节选问题:你能类比前面讨论函数性质时的思路,提出研究指数函数性质的内容和方法吗? 教学方法:利用图形计算器,分组探究,合作学习。
研究方法:全班分成若干小组,小组成员借助图形计算器,画出函数的图象,结合图象研究指数函数的性质。
研究内容:指数函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性。
探索研究:教师设疑:1.请你利用图形计算器,作出下列函数的图象:(1)x y 2=,x y 3=,x y 5=,观察这三个函数图像与底数之间有什么关系? 小组探究:x y 2=,x y 3=,x y 5=的图像分别如下:总结归纳:当底数>1时,底数越大,图像在第一象限上升越快。
(2)x y )21(=,x y )31(=,x y )51(=,观察这三个函数图象与底数之间有什么关系?小组探究:x y )21(=,x y )31(=,x y )51(=的图像分别如下:总结归纳:当0<底数<1时,底数越小,图像在第二象限下降越快。
教师设疑:2.请在同一直角坐标系中作出下列函数的图像:(1)x y 2=和x y )21(=;从图象中你能发现二者的图象有什么关系?小组探究:问题回答:二者图像关于y 轴对称。
(2)x y 3=和x y )31(=;从图象中你能发现二者的图象有什么关系?小组探究:问题回答:二者图像关于y 轴对称。
(3)x y 5=和x y )51(=;从图象中你能发现二者的图象有什么关系?小组探究:问题回答:二者图像关于y 轴对称。
归纳总结:底数互为倒数的两个指数函数,其图像关于y 轴对称。
3.你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗?通过学生自己动手,在教师的引导下主动探究,归纳总结出指数函数的性质,一方面激发了学生学习数学的兴趣,活跃了课堂气氛,同时培养了学生自己研究问题的意识和能力,另外,还取得了较传统教学好的教学效果,可谓一举多得。
2 借助GC,研究未知函数图像和性质在学习函数的性质时,对于未知的函数,学生往往无从下手。
此时,如果我们能够借助图形计算器,让学生自己动手画出图像,总结性质,无疑将会有利于培养学生的自主探究意识和数学能力。
尤其是在研究复合函数时,学生往往不明白为什么需要判断“内、外”层函数的单调性,在处理这一问题时,教师往往也没用很好的办法,只能让学生先记住方法,通过死记硬背来做题。
如果借助图形计算器,让学生能够首先直观的得到复合函数的图像,再来研究和理解“同增异减”,就容易多了。
案例二:复合函数单调性的研究1.请你利用图形计算器,研究函数3222)(--=xxxf的单调性,以及3222)(--=xxxf的单调性与32)(2--=xxxu,uug2)(=单调性的关系?2.可以让学生分别作出函数32)(2--=xxxu,uug2)(=和3222)(--=xxxf的图像,然后通过观察和教师的引导,得出复合函数单调性的判断方法“同增异减”。
内层函数32)(2--=xxxu的图像:单调区间:单调减区间]1,(-∞;单调增区间),1[+∞。
外层函数uug2)(=的图像:单调区间:在整个定义域),(+∞-∞上为增函数。
复合函数3222)(--=xxxf的图像:单调区间:单调减区间]1,(-∞;单调增区间),1[+∞。
总结:在区间]1,(-∞上32)(2--=x x x u 单调递减,u u g 2)(=单调递增,二者单调性相异,所以复合函数3222)(--=x xx f 在]1,(-∞上单调递减;在区间),1[+∞上32)(2--=x x x u 单调递增,u u g 2)(=也单调递增,二者单调性相同,所以复合函数3222)(--=x xx f 在),1[+∞上单调递增。
接下来,我再以高中阶段一个重要的函数——“对勾函数”为例,简单介绍一下GC 在研究未知函数图像和性质中的应用。
案例三:研究函数0)ay x a x=+>(的图象及性质在函数的教学中,遇到函数1y x x=+的时候,老师会直接给出它的图像和关键点,并让学生牢记,以便运用。
学生可利用图形计算器作出它的图像,总结出它的性质,和以前老师讲解的进行验证比对。
①利用图形计算器作出函数1y x x=+的图象②画出函数图象后,利用坐标跟踪功能可度量出函数图象在第一象限和第三象限的最低点的横坐标是1和-1,③归纳性质:函数的单调递增区间是( -∞ ,-1)和( 1 ,+∞),单调递减区间是( -1 ,0) 和 ( 0 , 1) ,图象关于原点对称,是一个奇函数.④拓展延伸:由此,我们又画出了2y x x=+的图象,发现了图象在第一象限和第三象限的最低点的横坐标( -∞ ,和∞),单调递减区间是( 和,图象关于原点对称,是奇函数.小结:利用图形计算器研究未知函数的一般步骤:○1利用图形计算器的绘图功能,作出函数图像(可以先选择特殊的,如要研究0)ay x ax=+>(的性质,可以先做出1y xx=+的图像);○2根据函数图象,找到图像的最值点;○3利用最值点,将图像划分为几部分,分别判断函数在这几部分的单调性和奇偶性;○4将这些性质推广到一般形式。
学生可以通过更多的操作,感知和体会知识的发生过程及数学问题的本质,方便学生对规律的探究和结果的验证。
这样的学习不仅仅使学生获取知识更具有实践性、主动性,同时也有助于学生形成一种良好的学习习惯和学习观念,让学生认识到:数学的学习不能只是被动的接受,而是需要自己主动地建构。
3 借助GC,建立数学模型,解决实际问题在中学开展数学建模活动,可以激发学生的学习动机和兴趣;可以培养学生的直觉思维能力和发散思维能力。
培养学生运用数学建模解决实际问题的能力,关键是把实际问题抽象为数学问题。
因此必须首先通过观察分析、提炼出实际问题的数学模型,再把数学模型纳入某知识系统去处理。
学生借用图形计算器这一数学工具既培养了他们的数学思想,又提高了他们的信息素养。
在使用图形计算器的过程中,他们能够方便、快捷地建立函数模型,从而培养他们利用数学解决生活实际问题的能力,使他们得到成功的喜悦,进一步建立学好数学的信心。
例如,在高一数学必修一第三章《函数的应用》部分,我们就可以利用图形计算器来让学生了解数学建模的一般方法和步骤,提高学生的数学应用能力。
案例四:利用图形计算器,建立数学模型,解决实际问题在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据:首先,运用图形计算器做出散点图:其次,可以运用必修一中函数应用的相关知识,求解相应的函数表达式,但是基于图形计算器强大的操作功能,所以学生可以直接根据不同需要选择不同的函数类型进行猜想并拟合。
猜想可能的函数模型并求解相应的函数表达式:(1)一次函数:(回归直线)(2)二次函数:(3)指数函数:(4)对数函数:(5)幂函数:第三,运用图形计算器既可以通过图形观察函数图像与散点图的拟合程度,又可以直接找到相应的函数表达式,简化了我们求解函数表达式的过程。