计算机图形学 分形图的生成
分形图形的形成
实验课题：（六）分形图的生成
1. 用Matlab 编程，画出Cantor 三分集的图形。
2. 画出按下列各图所示方法生成的分形的图形，并计算出其自相似维数。
你自己构造出一些生成元，并由此绘出相应的分形图形。
3. Weierstrass 函数的定义是：
∑∞=-=1)2()sin()(k k k s x x W λλ
，1>λ，21<<s
试对不同的s 值，画出函数的图象，并观察图象的不规则性与s 的关系，。
4. 画出Levy 曲线的图象。
试着改变IFS 迭代中仿射变换的系数和概率的值，看看能否生成一些新的分形图。
5. 自己编写程序，画出Mandelbrot 集的图形。
然后任意选取它的一个局部将其放大，观察放大后的图形与原图形之间的关系。
6. Julia 集和Mandelbrot 集可以推广到高阶情形，即考虑下列n 次复变函数迭代：
c Z Z n k k +=+1， ,2,1,0=k
对固定的c ，使得上述迭代有界的初值0Z 构成的集合称为n 阶Julia 集；对固定的初值0Z ，使得上述迭代有界的参数c 构成的集合称为n 阶Mandelbrot 集。
对不同的n ，画出相应的Julia 集和Mandelbrot 集。
进而构造一些不同的迭代函数，如余弦函数z z f cos )(=和牛顿函数233/)12()(z z z f +=，画出类似的Julia 集和Mandelbrot 集。
生成元 初始元 生成元
初始元。
曼德尔公式概念范文
曼德尔公式概念范文曼德尔公式是一种迭代函数，用于生成美丽而复杂的分形图像。
它是由法国数学家贝努瓦·曼德尔（Benoit Mandelbrot）在1979年引入的。
曼德尔公式及相关概念在数学、物理学、计算机图形学和艺术等领域中得到了广泛的应用和研究。
\[Z_{n+1}=Z_{n}^2+C\]其中，\(Z_{n}\)和\(C\)都是复数。
在复平面上，\(Z_{n}\)用来表示一个点的位置，而\(C\)是一个常数。
初始时，设定\(Z_{0}=0\)，从而可以迭代计算出一个序列来描述点的位置。
如果这个序列在有限次迭代之后始终保持有限的值，那么该点属于曼德集。
曼德尔集是复平面上一个非常有意思的集合，它由满足上述条件的所有\(C\)组成。
曼德尔集通常以黑色表示，而不属于曼德尔集的点则通过根据其逃逸速度绘制不同的颜色来展示。
逃逸速度是指当序列中的值超过一些阈值后，我们认为该点会无限地增长，而不会收敛于一个有限值。
曼德集的形状是非常复杂和迷人的。
它由各种各样的分形形态组成，这些形态在不同的尺度上都具有相似的结构。
曼德集的边缘是非常复杂和细致的，经常呈现出分形维度大于1的特点。
曼德集的绘制通常通过计算机进行。
迭代函数可以在复平面上的每个点上进行计算，并根据序列的行为来确定该点的颜色。
通过对整个复平面进行迭代计算，并对每个点进行颜色分配，我们可以生成一个美丽而精细的分形图像。
曼德尔集及其变种在数学和科学研究中发挥着重要的作用。
曼德尔公式展示了一种简单而又奇特的迭代过程，它显示了在简单规则的基础上如何生成出复杂的结构。
这对于研究动力系统、混沌理论、分形几何以及自相似性等方面的理论研究有深远的影响。
此外，曼德尔集还引起了艺术家和艺术爱好者的兴趣。
通过选择不同的变量和参数，探索曼德尔集的绘制过程，可以得到各种各样的艺术效果。
曼德尔集的绘制具有很大的创意空间，因此它在计算机图形学和数字艺术中被广泛应用。
总之，曼德尔公式是一个简单而又神奇的数学公式，它引领我们进入了一个复杂而又美丽的数学世界。
计算机本科毕业论文PPT - 三维分形图生成算法的研究及程序实现
2. 递归算法——生成三维图形
Visual C++环境下生成三维Sierpinski海绵及其变形的研究 1 离散的海绵 若在控制立方体生成的函数中将立方体边长统一减小， 则生成的小立方体会缩小，不能再连结起来，整个海 绵就呈离散状态。 2带锯齿的海绵 如果使生成立方体的某一个角向外延伸，不断循环后， 将会使某一侧面的许多角向外，呈锯齿状；如果凸出 较长，则呈尾巴状。 3彗星与流星 将离散的海绵与带锯齿的海绵结合， 可以生成拖着长长尾巴的彗星与流星图形。
ax 1 by 1 e x 1 ' ' ax 2 by 2 e x 2 ' ax by e 植物形态
相似变换与仿射变换 相似变换是指在各个方向上变换的比率必须相同的一种比例变换，仿 射变换是指在不同方向上变化的比率可以不同的一种比例变换。 二维仿射变换的数学表达式为：
x' ax by e x r1 cos1 r2 sin 2 x e : 或 r sin 2 y f 1 r2 cos y 1 y' cx dy f
迭代函数系统的基本思想为：在仿射变换的意义下，几何对象的局部 与整体具有自相似的结构。根据这种自相似性，从一个点或一个简单 的几何图形出发，按一定的规则迭代，一生二，二生三，三生万物， 直到生成一幅复杂的图像。最终得到的目标点集与初始点集无关，而 只取决于迭代的规则，即一组仿射变换的系数，这一图像生成系统称 为迭代函数系统。
3. IFS迭代算法——模拟三维植物形态
用拼贴法确定IFS码 利用IFS方法生成分形图的关键是找出图形所对应的IFS码。
计算机图形学_Koch雪花的分形算法实现
Koch雪花的分形算法实现1.内容介绍分形指具有多重自相似的对象，它可以是自然存在的，也可以是人造的，树木、山川、云朵、脑电图、材料断口等都是典型的分形。
分形是图形学中一门重要的理论，是最近20多年发展起来的新学科，其中Koch雪花则是分形曲线的典型代表。
本文通过对Koch雪花算法实现的详细论述与具体代码，进而分析分形的基本思想、实现方法以及实际应用等。
2.设计思想Koch雪花的实际结构为三条Koch曲线的拼接，这三条Koch曲线分别构成正三角形的三条边即可。
因此，在此详细论述Koch曲线的设计思想。
首先绘制一条线段，假设线段长度为L，则在线段L/3处至2L/3处以L/3为边长做一个正三角形，并去掉底边。
此时该图形变为四条线段，同理对每条线段继续上述步骤即可绘制出Koch曲线。
设计中的难点在于每条线段的端点坐标较难确定，根据已知的初始线段两个端点坐标，我们通过几何三角计算出每次迭代的端点坐标并进行递归即可。
如图1所示，每点的迭代算式为(x1,y1) (x3,y3)(x5,y5)(x4,y4)(x2,y2) α60°第 1 页共9 页图1 端点坐标推导计算32113211533321215333212111()()331c o s (60)31(c o s 60c o s s in 60s in )31[())]61c o s (60)31(s in 60c o s c o s 60s in )31)()]6x x x x y y y y x x L x L x x x y y y y L y L y x x y y αααααα=-+=-+=+︒+=+︒-︒=+---=+︒+=+︒+︒=+-+-在推导出每点的坐标计算后，即可通过编程实现Koch 雪花。
在程序中，首先通过初始化定义正三角形底边的两个端点坐标，然后通过计算得出顶点坐标。
对每一条边进行Koch 曲线递归绘制，最终就可以得到Koch 雪花。
fractal02二维空间上的分形图形生成法
gi Di
变量：ax,ay（线段端点坐标） ls bx,by（线段端点坐标） ta cx,xy （线段端点坐标） dx,dy（线段端点坐标） ex,ey （线段端点坐标） L （线段长度） alpha （基线与水平线正 方向夹角）
5
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参考书：《分形算法与程序设计》
2.2 Koch曲线的递归算法
gi Di
ls ta
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参考书：《分形算法与程序设计》
2.5 分支结构分形递归算法
算法：Ramus (x,y,alpha,L,n) 标题：分支结构递归算法 分支结构 参数： PI（π值） 变量：n （递归深度） L （线段长度） x,y （线段起点坐标） x1,y1 （线段终点坐标） alpha （主干生成角度） alpha_L（左支干生成角度） alpha_R（右支干生成角度）
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ls ta
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参考书：《分形算法与程序设计》
13
2.6 分形树递归算法
算法：tree (x,y,L,alpha) 标题：分形树递归算法 分形树 参数： PI（π值） A（主干生长方向） B（侧干与主干的夹角） C（主干偏转角度） s1（长度小量，控制递归深度） s2（主干与侧干之比） s3（上一级主干与下一级主干之比）
函数： plot(x1,y1) –(x2,y2) （画直线函数） sin( ) （正弦函数） cos( ) （余弦函数） sqrt( ) （开平方函数）
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ls ta
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参考书：《分形算法与程序设计》
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2.3 Sierpinski垫片的递归算法
BEGIN IF (n=1) THEN BEGIN x1=x-L/2 x01=x-L/4 y1=y+L*(sin(PI/6)/cos(PI/6))/2 y01=y+L*(sin(PI/6)/cos(PI/6))/4 x2=x+L/2 x02=x-L/4 y2=y+L*(sin(PI/6)/cos(PI/6))/2 y02=y+L*(sin(PI/6)/cos(PI/6))/4 x3=x x03=x y3=y-L*(sin(PI/6)/cos(PI/6)) y03=y- L*(sin(PI/6)/cos(PI/6))/2 plot(x1,y1)-(x1,y1) Sierpinski(x01,y01,L/2,n-1) plot(x2,y2)-(x2,y2) Sierpinski(x02,y02,L/2,n-1) plot(x3,y3)-(x3,y3) Sierpinski(x03,y03,L/2,n-1) END END ELSE 9 参考书：《分形算法与程序设计》 END BEGIN
随机分形算法
随机分形算法随机分形算法是一种用来生成真实、生动、多样化图像的计算机图形学技术。
它利用数学原理和随机性结合的方法，能够创建出形态各异、细节丰富的分形图形，给人一种独特的美感和惊喜。
随机分形算法的实现过程通常分为以下几个步骤：1. 定义初始状态：首先，我们需要设定一个初始状态，可以是一个简单的几何形状或者一些基础元素。
这些元素将作为我们生成分形图像的基础。
2. 分割与变换：接下来，我们将对初始状态进行分割和变换。
分割是将原始形状划分为多个小部分，而变换则可以是一系列旋转、缩放、平移等操作。
通过分割和变换，我们可以产生出更多的元素，并且可以改变它们的形态和位置。
3. 迭代生成：在这一步骤中，我们将对分割后的元素不断进行迭代处理。
每一次迭代都会根据一定的规则对元素进行再次分割和变换。
通过多次迭代，我们可以生成出更多且更复杂的元素，从而逐渐丰富图像的细节和形态。
4. 添加随机性：为了使分形图像更加丰富和多样化，我们需要引入一定的随机性。
这可以通过在每一次迭代中引入随机参数、随机变换矩阵或者以某种方式随机选择分割方式来实现。
随机性的引入使得每次生成的图像都具有一定的差异性，增加了图像的变化和惊喜。
通过上述步骤，随机分形算法可以生成出各种形态各异的分形图像。
这些图像可以呈现出自然界中的各种景观和纹理，如山脉、云彩、树枝等。
同时，它们还具有自相似性和层次感，观察者可以在不同的尺度上发现相似的形态和细节。
这种独特的美感和世界的奥秘感，使得分形图像在艺术、设计和科学领域中得到了广泛的应用。
对于艺术家和设计师而言，随机分形算法提供了一个创造性的工具，可以用来生成独特的艺术作品和图案。
通过调整算法的参数和随机性程度，艺术家可以探索出不同的图像风格和形态，并将其应用于绘画、雕塑、纺织等创作中。
在科学研究领域，随机分形算法也有着广泛的应用。
例如，在地理学中，它可以用来模拟山脉、河流等地形特征的生成过程，帮助科学家理解地球的形态演化。
计算机本科毕业论文全文 - 三维分形图生成算法的研究及程序实现
中文摘要本文主要研究三维分形图的生成技术。
首先探讨了原理简单的递归算法，该算法适于生成各种三维图形。
分析了二维与三维分形递归算法的主要步骤、部分实现代码并在此基础上生成了三维图和图的变形。
接着讨论了迭代函数系统（IFS）的原理及相关算法，分析了IFS码的获取方法以及各IFS码在图像生成中的地位和作用。
重点研究二维的IFS算法如何扩展到三维，介绍了生成三维植物分形图的算法思路和主要步骤。
最后还介绍了能逼真再现山和云等自然景物的随机中点位移算法和分形插值算法。
关键词：分形图形学，递归算法，IFS迭代函数系统，随机中点位移算法，分形插值算法。
ABSTRACTThis thesis does research on three-dimensional fractal graphics.At first, it probes into Recursion Arithmetic, which has very simple principle but is able to create all kinds of three-dimensional graphics. It analyses the main steps of two-dimensional and three-dimensional fractal Recursion Arithmetic, part of the program and some ameliorations of the graphics.Then it discusses the principle and the related arithmetic for Iteration Function System (IFS). It analyses the ways that how to get IFS codes and their status and function in fractal graphics. It pays attention to the research on how to make two-dimensional IFS Arithmetic expand to three-dimensional IFS Arithmetic. It introduces the arithmetic and main steps of creating three-dimensional foliage fractal graphics.At last, it introduces Stochastic Midpoint Displacement Arithmetic and Detached Data Input Arithmetic, which can simulate scenery very naturally.Keywords: Fractal graphics, Recursion Arithmetic, Iteration Function System (IFS), Stochastic Midpoint Displacement Arithmetic, Detached Data Input Arithmetic.目录1. 绪论1.1引言 (1)1.2分形图形学简介 (1)1.3研究意义 (3)1.4研究背景 (4)1.5本文工作 (5)2. 递归算法——生成三维图形2.1自相似性 (6)2.2递归原理 (6)2.3二维中Sierpinski地毯的递归算法 (7)2.4三维中Sierpinski海绵的递归算法 (8)2.5 Visual C++环境下生成三维Sierpinski海绵及其变形的研究 (11)3. IFS迭代算法——模拟三维植物形态3.1相似变换与仿射变换 (12)3.2用拼贴法确定IFS码 (13)3.3 二维IFS迭代算法得到植物形态 (15)3.4三维IFS迭代算法逼真模拟植物形态 (17)3.5 二维IFS迭代与三维IFS迭代的比较 (20)4. 其它三维分形算法——逼真再现山和云4.1随机中点位移算法实现三维分形 (20)4.2分形插值算法实现三维分形 (23)5.结论5.1工作总结 (26)5.2有待改进之处 (26)附录 (28)参考文献 (34)三维分形图生成算法的研究及程序实现1. 绪论1．1 引言事实上，无论从美学的观点还是从科学的观点，许多人在第一次见到分形时都有新的感受。
分形图形学
其实对分形的理解并没有那么神奇。可以说，虽然曼德布劳特硬是制造了分形（fractal）这个名词，是个新鲜的事情，但是，分形所反映的内容本身，其苗头确实古已有之。如前所叙述的那样，分形的重要来源，是数学上的思考，属于科学研究的产物，常常是某种离散动力系统参数分布的图示。因为表现这种参数分布须借助计算机的计算和处理；而作为处理的结果，这类图示观看起来是那么的漂亮、琢磨下去又是那么的含蓄，于是它的影响远远超出了数学的领域。分形不仅引起科学家们的注意，而且在艺术界造成了轰动。社会学家从人文的角度，分析与演绎分形的哲理；艺术大师们，以审美的观点，推崇与渲染分形的艺术特征…。
参考文献：分形理论在计算机图形学中的应用
人们谈论分形，常常有两种含义。其一，它的实际背景是什么？其二，它的确切定义是什么？数学家研究分形，是力图以数学方法，模拟自然界存在的、及科学研究中出现的那些看似无规律的各种现象。在过去的几十年里，分形在物理学、材料科学、地质勘探、乃至股价的预测等方面都得到了广泛的应用或密切的注意，并且由于分形的引入，使得一些学科焕发了新的活力。数学上所说的分形，是抽象的。而人们认为是分形的那些自然界的具体对象，并不是数学家所说的分形，而是不同层次近似。
几乎在曼德布劳特获得Barnard奖章的同时，以德国布来梅大学的数学家和计算机专家H.Peotgen与P.Richter等为代表，在当时最先进的计算机图形工作站上制作了大量的分形图案；J. Hubbard等人还完成了一部名为《混沌》的计算机动画。接着，印刷着分形的画册、挂历、明信片、甚至T恤衫纷纷出笼。80年代中期开始，首先在西方发达国家，接着在中国，分形逐渐成为脍炙人口的词汇，甚至连十几岁的儿童也迷上了计算机上的分形游戏。我国北京的北方工业大学计算机图形学小组于1992年完成了一部计算机动画电影《相似》，这部电影集中介绍了分形图形的相似性，这也是我国采用计算机数字技术完成的第一部电影，获得当年电影电视部颁发的科技进步奖。
分形图制作简明教程06
分形图制作简明教程06/INCENDIA软件的使用方法天星1．软件下载地址：这是一款专门做3D图形的软件。
软件名:INCENDIA/work/show/9772，安装非常简单，既不破介也不注册。
安装完毕后启动软件：学做简单练习。
这时,在右边午台你可以看到一个多重三角形的图形。
这是上默认的几何图形。
你可以用这个图形来做一张3d图形。
方法是用右下角的三个按钮。
第一个preview(预览)第二个是draw(拖拽)第三个是render（渲染）图形的大小可以用当中的zoom横条来调节。
方位可用draw来拖。
调好后。
点一下render就开始渲染。
渲染的时间可能会很长。
一般作为练买。
你可以做个五分钟之后按stop停掉。
3．对刚才渲染的3D图形作彩色处理。
打开render的界面。
在中间有二个园形图案。
点击它可以定义图形和背景的彩色。
在彩色表中选中彩色。
点一下ok.彩色就会调整。
4．最后点左上角的saveBitmap即可以存出图片(bmp格式)存出来的图片格式是bmp。
而且尺寸较大。
你可以缩小转换为jpg格式。
体积会小很多。
好了最简单的3d作品做好了。
是不是很简单。
分形图制作简明教程07/INCENDIA软件的使用方法之二天星把incendia软件比喻为一个具有亿万图片的图库并不过份。
而且也并非确切。
其一用它做出的图片是无限数的。
其二用它做出的图片是没有重复的。
即便你选用相同的参数图形也不一致。
因为其中含有随机参数。
当然要取出这些无穷无尽的图片，确实需要一定的练习。
下面我们共同的演练一下。
1．打开软件。
午台上总是出现那张生硬的三角形图形。
不用着急。
这跟电脑的《开始》键相似。
一切从这里出发！2．再打开编辑器<editors>,在左上角勾选一下edit,午台显出虚线的图片。
再点一下菜单new.在左面板上就出现了48种效果图.我们先选用一个最简单的《园球效果》来试试（用鼠标点击它）这时《效果》就跳进右边的午台上。
基于规则的分形图形生成方法
基于规则的分形图形生成方法展开全文基于规则的分形图形生成方法摘要：本文先对分形理论的简要介绍，随后字符串替换算法，Lindermayer系统画图元部分规则描述及其实现三个方面详细地阐述了L系统的分形图形生成方法，还给出了生成图形算法的核心部分的vc实现。
关键词：分形 Fractal Lindermayer系统1 分形理论简介分形的概念是美籍法国数学家Benoit Mandelbrot 率先提出的。
1967 年他在美国《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文, 1975 年他又发表了《分形:形、机遇和维数》,至此分形几何正式创立了。
1982 年曼德布罗特又发表了《大自然的分形几何学》一书,从而使分形几何学再次引起了学术界的高度重视,并使分形理论进入发展的高潮。
那么什么是分形呢?分形是指其组成部分与整体以某种方式相似的形,也就是说,分形一般具有自相似性,其中也包括一个对象的部分与整体具有自仿射变换关系的相似。
根据上面的定义,可以得出,分形具有下面5 个基本特征或性质: ①形态的不规则性; ②结构的精细性;③局部与整体的自相似性; ④维数的非整数性; ⑤生成的迭代性。
分形几何与大自然中的各种形态是具有非常紧密的联系的,如天空的云团、植物的叶脉、海岸线的形状等,可以看出分形的形态是极其不规则的,并且具有非常精细的结构,如著名的Koch曲线等,无论把其放大多少倍,都能看到其局部与整体的相似性及精致性。
2 lindermayer系统原理---分形的字符串替换算法20世纪50年代,著名语言学家乔姆斯基(N. Chomsky)提出了递归生成语法的方法:首先指定一个或几个初始字母和一组“生成规则”,将生成规则反复作用到初始字母和新生成的字母上,直至不能再应用规则为止,从而产生出整个语言,即对应的字母和符号。
因此可以用字符串表示生成元的构成,再把字符串反迭代来生成所希望得到的分形图。
其实字符替换算法本质上是上述递归算法的一种文法表示,这种算法可以用在生成元比较明确的分形图上在美国生物学家Lindermayer发明的一种LS文法描述方法graftal上逐渐发展起来的形式语言的一个重要分支，称之为L-system.LS文法是一类独特的迭代过程,它的核心思想就是重写.作为一种形式化的语言,LS文法用字母表和符号串来表达生成对象的初始形式,称为公理.然后根据一组产生式重写规则,将初始的每个字符依次替换为新的字符形式,反复进行,直到最后生成图形.3 Lindermayer系统画图元部分Lindermayer系统（简称L系统）是另外一种分形图形生成的方法，其主要原理在具体实现过程中也可以这样叙述：设定基本简单的绘图规则，然后让计算机根据这些规则进行反复迭代，就可以生成各种各样的图形来。
分形图生成算法与实例
图 9_1 n=6 时 Sierpinski 垫片生成图
图 9_2 n=10 时 Sierpinski 垫片生成图
2.4 分支结构分形递归算法 研究如下图的分支结构图的递归算法
图 10 分支结构分形图
细分此分支结构，建立模型如下，其中取 A 为起点，且记 A 点坐标为 ( x, y ) ， B 点坐标为 ( x1 , y1 ) ，线段 AB = L, BC = BD = alpha, 递归深度为 n. 2 L. 且设定 AB 与水平面的夹角为 3
%画出图形 %递归终止条件
%计算 L %计算 α
alpha=atan((ey-cy)/(ex-cx)); if((ex-cx)<0) { alpha=alpha+pi; } dy=cy+sin(alpha+pi/3)*L; dx=cx+cos(alpha+pi/3)*L; Koch(ax,ay,cx,cy); Koch(ex,ey,bx,by); Koch(cx,cy,dx,dy); Koch(dx,dy,ex,ey); } } 最后实现的结果如图 6 所示
line([x1,x1R],[y1,y1R],'Color','g','LineWidth',2);hold on; tree(x2,y2,L/s3,A-C); tree(x2L,y2L,L/s2,A+B); tree(x2R,y2R,L/s2,A-B); tree(x1L,y1L,L/s2,A+B); tree(x1R,y1R,L/s2,A-B); end 故设定 α = π α α , β = , γ = . 可以得出分形树的生成图如下 2 3 8 %递归调用
分形图形生成原理探究
分形图形生成原理探究随着计算机技术的不断发展，分形图形在数字艺术、自然科学和工程领域中得到广泛应用。
分形是一种具有自相似性质的数学对象，其生成原理深受人们的关注。
本文将探究分形图形的生成原理，介绍分形的基本概念，以及常用的分形生成算法。
一、分形的基本概念分形是一种具有自相似性质的几何图形。
即整体结构和局部细节之间存在某种相似关系，不论放大还是缩小，都可以看到相同的图形。
分形的自相似性质使得它们具有无限的细节和复杂度。
二、分形图形的生成原理1. 迭代运算迭代运算是生成分形图形的常用方法之一。
这种方法通过重复应用某种变换或映射规则，不断生成新的图形。
具体步骤如下：- 首先选定一个初始图形，例如一个简单的线段或几何形状。
- 然后根据一定的规则进行变换或映射操作，生成下一级的图形。
- 重复上述步骤，直到达到期望的分形效果。
迭代运算可以产生各种各样的分形图形，如科赫曲线、谢尔宾斯基三角形等。
2. 噪声函数噪声函数是通过随机性来生成分形图形的一种方法。
噪声函数可以产生随机性纹理或图案，并通过适当的参数调节，实现分形效果。
生成分形图形的基本步骤如下：- 首先定义一个噪声函数，它可以是简单的随机数生成器或更复杂的数学函数。
- 然后使用噪声函数来计算每个像素的数值或颜色，从而生成图像。
噪声函数可以用于生成山脉、云彩等具有分形特征的自然图像。
三、常用的分形生成算法1. 递归细分递归细分是一种通过使用分形规则进行逐级细分的方法。
它基于拆分和替代的原则，不断将图形细分为更小的部分，然后用更小的部分替代原有的部分。
递归细分可以生成多种复杂的分形图形，如分形树、雪花等。
2. 碎形图像编码碎形图像编码是一种基于碎形压缩理论的分形生成方法。
它通过找到一组变换规则和关联函数，将整个图像分割成小的区域，然后用适当的变换规则对每个区域进行编码。
这种方法可以生成高质量的分形图像，并用较小的存储空间保存。
3. 分形几何建模分形几何建模是一种通过将分形规则应用于三维空间中的几何体来生成分形图形的方法。
计算机图形学07分形几何
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整理课件
迭代函数系统模型
Sierpinski集
Sierpinski缕垫 Sierpinski地毯
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整理课件
迭代函数系统模型
Sierpinski集
Sierpinski海绵
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整理课件
Sierpinski集
40
整理课件
Sierpinski集
Sierpinski集的共同特征：
（1）都是经典几何无法描述的图形，它是一种“只有皮 没有肉”的几何集合。
确定粒子参数的基本表达式： par=mp+rand( )*varpar
par :粒子系统中的任一需要确定的参数 rand():均匀随机函数 mp:参数的均值 varpar：方差
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整理课件
粒子系统模型
模拟火焰：
火焰可以用在一个球域内的随机生成微粒来显示，其允 许它们向外快速移动。微粒路径可以用红色到黄色来着色， 可以模拟爆炸粒子的温度。
5
整理课件
分形的应用领域
物理学——如湍流的研究 气象学——如云系的形状 地貌学——如山川、地形、地貌的形态 图象处理——如图象压缩 美术——如分形艺术
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整理课件
典型的分形曲线集
1. Von Koch曲线 D = log 4 / log 3 = 1.2618
7
整理课件
典型的分形曲线集
2. Sierpinski三角形 D = log 3 / log 2 = 1.5849
跨越尺度极其深渊，具有无穷复杂的边界。它的内部 不是连通的，而是由众多的块片组成，它们或是大心 形线、圆周(一个心脏形的曲线)，或更小的和变形的 心形线和圆周所界住的区域，其数无穷。
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Python绘制分形图
Python绘制分形图Python 绘制分形图（曼德勃罗集、分形树叶、科赫曲线、分形龙、谢尔宾斯基三角等）附代码收藏 0收藏1. 曼德勃罗集#已BD_经测试通过！import numpy as npimport pylab as plimport timefrom matplotlib import cmdef iter_point(c):z = cfor i in range(1, 100): # 最多迭代100次# for i in xrange(1, 100): # 最多迭代100次if abs(z)>2: break# 半径大于2则认为逃逸z = z*z+creturn i # 返回迭代次数def draw_mandelbrot(cx, cy, d):"""绘制点(cx, cy)附近正负d的范围的Mandelbrot"""x0, x1, y0, y1 = cx-d, cx+d, cy-d, cy+dy, x = np.ogrid[y0:y1:200j, x0:x1:200j]c = x + y*1jstart = time.clock()mandelbrot = np.frompyfunc(iter_point,1,1)(c).astype(np.float)prin("time=",time.clock() - start)pl.imshow(mandelbrot, cmap=cm.jet, extent=[x0,x1,y0,y1])pl.gca().set_axis_off()x,y = 0.27322626, 0.595153338pl.subplot(231)draw_mandelbrot(-0.5,0,1.5)for i in range(2,7):pl.subplot(230+i)draw_mandelbrot(x, y, 0.2**(i-1))pl.subplots_adjust(0.02, 0, 0.98, 1, 0.02, 0)pl.show()2. 分形树叶#BD_测试通过！#-*- coding: utf-8 -*-import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plimport time# 蕨类植物叶子的迭代函数和其概率值eq1 = np.array([[0,0,0],[0,0.16,0]])p1 = 0.01eq2 = np.array([[0.2,-0.26,0],[0.23,0.22,1.6]])p2 = 0.07eq3 = np.array([[-0.15, 0.28, 0],[0.26,0.24,0.44]]) p3 = 0.07eq4 = np.array([[0.85, 0.04, 0],[-0.04, 0.85, 1.6]]) p4 = 0.85def ifs(p, eq, init, n):"""进行函数迭代p: 每个函数的选择概率列表eq: 迭代函数列表init: 迭代初始点n: 迭代次数返回值：每次迭代所得的X坐标数组， Y坐标数组，计算所用的函数下标"""# 迭代向量的初始化pos = np.ones(3, dtype=np.float)pos[:2] = init# 通过函数概率，计算函数的选择序列p = np.add.accumulate(p)rands = np.random.rand(n)select = np.ones(n, dtype=np.int)*(n-1)for i, x in enumerate(p[::-1]):select[rands<x] = len(p)-i-1# 结果的初始化result = np.zeros((n,2), dtype=np.float)c = np.zeros(n, dtype=np.float)for i in range(n):eqidx = select[i] # 所选的函数下标tmp = np.dot(eq[eqidx], pos) # 进行迭代pos[:2] = tmp # 更新迭代向量# 保存结果result[i] = tmpc[i] = eqidxreturn result[:,0], result[:, 1], cstart = time.clock()x, y, c = ifs([p1,p2,p3,p4],[eq1,eq2,eq3,eq4], [0,0], 100000)print (time.clock() - start)pl.figure(figsize=(6,6))pl.subplot(121)pl.scatter(x, y, s=1, c="g", marker="s", linewidths=0)pl.axis("equal")pl.axis("off")pl.subplot(122)pl.scatter(x, y, s=1,c = c, marker="s", linewidths=0)pl.axis("equal")pl.axis("off")pl.subplots_adjust(left=0,right=1,bottom=0,top=1,wspace=0,h space=0)pl.gcf().patch.set_facecolor("white")pl.show()3. 其它分形图(科赫曲线、分形龙、谢尔宾斯基三角等)from math import sin, cos, piimport matplotlib.pyplot as plfrom matplotlib import collectionsclass L_System(object):def __init__(self, rule):info = rule['S']for i in range(rule['iter']):ninfo = []for c in info:if c in rule:ninfo.append(rule[c])else:ninfo.append(c)info = "".join(ninfo)self.rule = rule = infodef get_lines(self):d = self.rule['direct']a = self.rule['angle']p = (0.0, 0.0)l = 1.0lines = []stack = []for c in :if c in"Ff":r = d * pi / 180t = p[0] + l*cos(r), p[1] + l*sin(r) lines.append(((p[0], p[1]), (t[0], t[1]))) p = telif c == "+":d += aelif c == "-":d -= aelif c == "[":stack.append((p,d))elif c == "]":p, d = stack[-1]del stack[-1]return linesrules = [{"F":"F+F--F+F", "S":"F","direct":180,"angle":60,"iter":5,"title":"Koch"},{"X":"X+YF+", "Y":"-FX-Y", "S":"FX", "direct":0,"angle":90,"iter":13,"title":"Dragon"},{"f":"F-f-F", "F":"f+F+f", "S":"f", "direct":0,"angle":60,"iter":7,"title":"Triangle"},{"X":"F-[[X]+X]+F[+FX]-X", "F":"FF", "S":"X", "direct":-45,"angle":25,"iter":6,"title":"Plant"},{"S":"X", "X":"-YF+XFX+", "Y":"+XF-YFY-FX+", "direct":0,"angle":90,"iter":6,"title":"Hilbert"},{"S":"L--F--L--F", "L":"+R-F-R+", "R":"-L+F+", "direct":0,"angle":45,"iter":10,"title":"Sierpinski"},]def draw(ax, rule, iter=None):if iter!=None:rule["iter"] = iterlines = L_System(rule).get_lines() linecollections = collections.LineCollection(lines) ax.add_collection(linecollections, autolim=True) ax.axis("equal")ax.set_axis_off()ax.set_xlim(ax.dataLim.xmin, ax.dataLim.xmax) ax.invert_yaxis()fig = pl.figure(figsize=(7,4.5))fig.patch.set_facecolor("papayawhip")for i in xrange(6):ax = fig.add_subplot(231+i)draw(ax, rules[i])fig.subplots_adjust(left=0,right=1,bottom=0,top=1,wspace=0,hspa ce=0)pl.show()。
计算机图形学 分形图的生成
实验六分形图的生成班级 08信计2班学号 084 姓名吴涛分数一、实验目的和要求：1、掌握希尔宾斯基三角形和Julia Set (茱莉亚集)的基本原理。
For personal use only in study and research; not for commercial use2、熟悉两个图形的生成算法。
3、掌握希尔宾斯基三角形和和Julia Set (茱莉亚集)的绘制.。
4、提高分形图形生成的理解应用能力。
For personal use only in study and research; not for commercial use二、实验内容：1、对于第一个图形在平面内随机的设置种子，并由此而设定三角形的三个顶点。
形成初始化模式后，绘制三万个点，使规则传递下去。
2、对于第二个图形则运用逃逸时间法后设定一个常数c的值。
3、对两图形分别进行分析对比其局部与整体的自相似性。
三、实验结果分析：1、该程序实现了递归算法和逃逸时间法的图形绘制2、比较每一小部分与整体的关系：图形的层次是无限的、分形往往可以从局部“看出”整体、虽然看上去十分复杂，但其背后的规则却是相当简单。
四、程序代码：1、Julia Set (茱莉亚集)的程序代码为：#include <graphics.h>#include <conio.h>// 定义复数及乘、加运算// 定义复数struct COMPLEX{double re;double im;};// 定义复数“乘”运算COMPLEX operator * (COMPLEX a, COMPLEX b) {COMPLEX c;c.re = a.re * b.re - a.im * b.im;c.im = a.im * b.re + a.re * b.im;return c;}// 定义复数“加”运算COMPLEX operator + (COMPLEX a, COMPLEX b){COMPLEX c;c.re = a.re + b.re;c.im = a.im + b.im;return c;}// 主函数void main(){// 初始化绘图窗口initgraph(640, 480);// 绘制Julia Set (茱莉亚集)COMPLEX z, c;c.re = -0.75, c.im = 0; // 设置迭代初值int x, y, k; // 定义循环变量for(x = 0; x < 640; x++){for(y = 0; y < 480; y++){z.re = -1.6 + 3.2 * (x / 640.0);z.im = -1.2 + 2.4 * (y / 480.0);for(k = 0; k < 180; k++){if ( z.re * z.re + z.im * z.im > 4.0 ) break;z = z * z + c;}putpixel(x, y, (k >= 180) ? 0 : HSLtoRGB((float)((k << 5) % 360), 1.0, 0.5));}}// 按任意键退出getch();closegraph();}输出的结果为：2、希尔宾斯基三角形为：#include <graphics.h>#include <conio.h>#include <time.h>void main(){srand((unsigned)time(NULL)); // 设置随机种子POINT P[3] = {{320, 50}, {120, 400}, {520, 400}}; // 设定三角形的三个顶点POINT p = {rand() % 640, rand() % 480}; // 随机产生当前点// 初始化图形模式initgraph(640, 480);// 绘制三万个点int n;for(int i = 0; i <= 30000; i++){n = rand() % 3;p.x = (p.x + P[n].x) / 2;p.y = (p.y + P[n].y) / 2;putpixel(p.x, p.y, GREEN);}// 按任意键退出getch();closegraph();}运行结果为：3、自相似图形程序：#include <stdio.h>#include <graphics.h>#include <stdlib.h>#include <conio.h>void star1(int x,int y,int r);void star2(int x, int y , int r);void main(){int graphdriver,graphmode,x,y,r;graphdriver=DETECT;initgraph(&graphdriver,&graphmode," ");setcolor(LIGHTMAGENTA);star1(160,160,80);getch();star2(480,320,80);getch();}void star1(int x,int y,int r) {if(r>0){star1(x-r,y+r,r/2);star1(x+r,y+r,r/2);star1(x-r,y-r,r/2);star1(x+r,y-r,r/2);bar(x-r,y+r,x+r,y-r);}}void star2(int x, int y , int r){if(r>0){star2(x-r,y+r,r/2); star2(x+r,y+r,r/2);star2(x-r,y-r,r/2);star2(x+r,y-r,r/2); rectangle(x-r,y+r,x+r,y-r); }}输出的结果为：仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
基于MFC的分形图形实现方法
* 经验交流 46基于ＭＦＣ的分形图形实现方法 李海涛黄江（广州气象卫星地面站）摘要: 本文阐述了使用MFC的可视化编程方法进行分形图形程序设计的通用方法和注意事项，并给出了一些具体例程加于说明。
关键词: 分形；图形学１ 概论 分形几何学起源于七十年代中，当时只有少数数学家意识到分形的复杂性和分形图形的美丽。
Mandelbrot创造分形(Fractal)一词的原意大致是碎片的意思，它主要用于描述各类不规则的几何形状，如树木、花草、山水、云烟等。
显然，这类几何形状是大量存在的，且它们比传统的欧氏几何形状更加自然。
其实人们早已不满足于欧氏几何形状的整齐划一，只是在探索自然几何形状的过程中缺乏必要的数学工具。
Mandelbrot的分形几何学为我们打开了一扇窗口，使人们可透过这个窗口来探索另一个绮丽的世界。
然而，在计算机图形技术尚未得到成熟发展之前，人们当时几乎无法准确地绘制一般的分形图形。
即便就在两三年之前（甚至今日），要绘制一幅色彩丰富的分形图形，尤其是在DOS环境之下，也决非易事。
这不但需有深入的数学功底，更需有高超的C--语言编程技巧，特别是当用到十六种以上的色彩时，还需要编制专用的显示卡驱动程序。
WINDOWS操作系统使我们摆脱了对显示卡之类的硬件进行编程的烦劳，令我们几乎可以随心所欲地充分利用各种现有的硬件资源。
使用Visual C++语言来进行WINDOWS程序设计的最大好处是它固有的强大的绘图功能非任何其他语言可以比拟，从而使我们不仅可以十分便利地充分利用WINDOWS 提供的各种好处，还可完成我们所能想象到的几乎各种艺术渲染，实不愧为WINDOWS 环境下分形图形设计的理想工具。
２ Ｗｉｎｄｏｗｓ图形设备界面及设备环境 Windows图形设备界面（GDI）是一个使Windows 应用程序能够输出处理结果的函数和协议的集合。
它既用于到屏幕的输出，又用于到打印机的输出。
它还规定了常被Windows应用程序所使用的图形文件的格式。
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实验六分形图的生成班级 08信计学号60姓名杨平萍分数一、实验目的和要求：1、掌握分形基本原理2、熟悉分形的计算机模拟算法3、上机操作迭代函数系统算法4、编译并执行谢宾斯基(Sierpinski)三角形二、实验内容：1、编程实现分形的迭代函数系统算法，并输出图形；2、编译曼德布洛特集和可放大的曼德布洛特集。
.三、编程并实现Mandelbrot Set (曼德布洛特集)的运行程序：#include <graphics.h>#include <conio.h>struct COMPLEX{double re;double im;};COMPLEX operator * (COMPLEX a, COMPLEX b){COMPLEX c;c.re = a.re * b.re - a.im * b.im;c.im = a.im * b.re + a.re * b.im;return c;}COMPLEX operator + (COMPLEX a, COMPLEX b){COMPLEX c;c.re = a.re + b.re;c.im = a.im + b.im;return c;}void main(){initgraph(640, 480);COMPLEX z, c;int x, y, k; // 定义循环变量for(x = 0; x < 640; x++){c.re = -2.1 + (1.1 - -2.1) * (x / 640.0);for(y = 0; y < 480; y++){c.im = -1.2 + (1.2 - -1.2) * (y / 480.0);z.re = z.im = 0;for(k = 0; k < 180; k++){if ( z.re * z.re + z.im * z.im > 4.0 ) break;z = z * z + c;}putpixel(x, y, (k >= 180) ? 0 : HSLtoRGB((float)((k << 5) % 360), 1.0, 0.5));}}getch();closegraph();}程序截图可以无穷放大的Mandelbrot Set (曼德布洛特集)的运行程序：#include <graphics.h>#include <conio.h>#define ITERATIONS 1000#define MAXCOLOR 64struct COMPLEX{double re;double im;};COMPLEX operator * (COMPLEX a, COMPLEX b){COMPLEX c;c.re = a.re * b.re - a.im * b.im;c.im = a.im * b.re + a.re * b.im;return c;}COMPLEX operator + (COMPLEX a, COMPLEX b){COMPLEX c;c.re = a.re + b.re;c.im = a.im + b.im;return c;}int Color[MAXCOLOR];void InitColor(){int h1 = 240, h2 = 30;for(int i=0; i<MAXCOLOR/2; i++){Color[i] = HSLtoRGB((float)h1, 1.0f, i * 2.0f / MAXCOLOR);Color[MAXCOLOR-1-i] = HSLtoRGB((float)h2, 1.0f, i * 2.0f / MAXCOLOR);}}void Draw(double fromx, double fromy, double tox, double toy){COMPLEX z, c;int x, y, k;for(x = 0; x < 640; x++){c.re = fromx + (tox - fromx) * (x / 640.0);for(y = 0; y < 480; y++){c.im = fromy + (toy - fromy) * (y / 480.0);z.re = z.im = 0;for(k = 0; k < ITERATIONS; k++){if ( z.re * z.re + z.im * z.im > 4.0 ) break;z = z * z + c;}putpixel(x, y, (k >= ITERATIONS) ? 0 : Color[k % MAXCOLOR]);}}}void main(){initgraph(640, 480);InitColor();double fromx, fromy, tox, toy;fromx = -2.1; tox = 1.1;fromy = -1.2; toy = 1.2;Draw(fromx, fromy, tox, toy);MOUSEMSG m;bool isLDown = false;int selfx, selfy, seltx, selty;while(!kbhit()){m = GetMouseMsg();switch(m.uMsg){case WM_MBUTTONUP:fromx = -2.1; tox = 1.1;fromy = -1.2; toy = 1.2;Draw(fromx, fromy, tox, toy);break;case WM_MOUSEMOVE:if (isLDown){rectangle(selfx, selfy, seltx, selty);seltx = m.x;selty = m.y;rectangle(selfx, selfy, seltx, selty);}break;case WM_LBUTTONDOWN:setcolor(WHITE);setwritemode(R2_XORPEN);isLDown = true;selfx = seltx = m.x;selfy = selty = m.y;rectangle(selfx, selfy, seltx, selty);break;case WM_LBUTTONUP:rectangle(selfx, selfy, seltx, selty);setwritemode(R2_COPYPEN);isLDown = false;seltx = m.x;selty = m.y;if (selfx == seltx || selfy == selty) break;int tmp;if (selfx > seltx) {tmp = selfx; selfx = seltx; seltx = tmp;}if (selfy > selty) {tmp = selfy; selfy = selty; selty = tmp;}if ( (seltx - selfx) * 0.75 < (selty - selfy) ){selty += (3 - (selty - selfy) % 3);selfx -= (selty - selfy) / 3 * 4 / 2 - (seltx - selfx) / 2;seltx = selfx + (selty - selfy) / 3 * 4;}else{seltx += (4 - (seltx - selfx) % 4);selfy -= (seltx - selfx) * 3 / 4 / 2 - (selty - selfy ) / 2;selty = selfy + (seltx - selfx ) * 3 / 4;}double f, t;f = fromx + (tox - fromx) * selfx / 640;t = fromx + (tox - fromx) * seltx / 640;fromx = f;tox = t;f = fromy + (toy - fromy) * selfy / 480;t = fromy + (toy - fromy) * selty / 480;fromy = f;toy = t;Draw(fromx, fromy, tox, toy);break;}}getch();closegraph();}程序截图：四、实验结果分析分形的对称性即表现了传统几何的上下、左右及中心对称。
同时它的自相似性又揭示了一种新的对称性，即画面的局部与更大范围的局部的对称，或说局部与整体的对称。
它是大小比例的对称，即系统中的每一元素都反映和含有整个系统的性质和信息。
从数学上来讲，曼德布洛特集合是一个复数的集合。
曼德布洛特集合就是使以上序列不延伸至无限大的所有c点的集合。
事实上，一个点属于Mandelbrot集合当且仅当它对应的序列（由上面的二项式定义）中的任何元素的模都不大于2。
Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。
如果计算机的精度是不受限制的话，可以无限地放大她的边界。
当放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。
这正如前面提到的"蜿蜒曲折的一段海岸线"，无论怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。
如果把所有不同的Julia 集重合起来，我们将会得到一个四维图形，它的其中两个维度是不同的初始值z 构成的复平面，另外两个维度则是不同的常数c 构成的复平面。
这个四维空间就包含了所有不同的初始值在所有不同的常数 c 之下迭代的发散情况。
而Mandelbrot 集，则是这个四维图形在 c = 0 处的一个切片，并且是最具有概括力的一个切片。
因此，我们相当于有了Mandelbrot 集的一个四维扩展，从这个四维图形中，我们可以切出很多二维的或者三维的切片，得到更多惊人而漂亮的图形。