分形算法与程序设计

参考书：《分形算法与程序设计》 5
1.4 分形维数
分形维数是分形的很好的不变量，它一般是分数，用它可以 把握住分形体的基本特征。
图a是边长为1的正方形，当边长 变成原来的1∕2时，原正方形中包 含4个小正方形，如图b，而4=22； 图c是边长为1的正立方体，当边 长变成原来的1∕2时，原正立方体 中包含8个小正立方体，如图d，而 8=23。
变量：ax,ay（线段端点坐标） bx,by（线段端点坐标） cx,xy （线段端点坐标） dx,dy（线段端点坐标） ex,ey （线段端点坐标） L （线段长度） alpha （基线与水平线正 方向夹角）
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参考书：《分形算法与程序设计》
2.2 Koch曲线的递归算法
BEGIN IF((bx-ax)*(bx-ax)+(by-ay)*(by-ay))<c THEN BEGIN plot(ax,ay)-(bx,by) END ELSE BEGIN cx=ax+(bx-ax)/3 cy=ay+(by-ay)/3 ex=bx-(bx-ax)/3 ey=by-(by-ay)/3 L=sqrt((ex-cx)*(ex-cx)+(ey-cy)*(ey-cy)) alpha=ArcTan((ey-cy)/(ex-cx)) IF ( (ex-cx)<0) THEN
参考书：《分形算法与程序设计》
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2.4 Hilbert-Peano曲线的算法
BEGIN a(n) BEGIN IF n>0 THEN BEGIN d(n-1) x=x-len lineto (x,y) a(n-1) y=y+len lineto (x,y) a(n-1) x=x+len lineto (x,y) b(n-1) END END b(n) c(n) BEGIN BEGIN IF n>0 THEN IF n>0 THEN BEGIN BEGIN c(n-1) b(n-1) y=y-len x=x-len lineto (x,y) lineto (x,y) b(n-1) c(n-1) x=x+len y=y+len lineto (x,y) lineto (x,y) b(n-1) c(n-1) y=y+len x=x+len lineto (x,y) lineto (x,y) a(n-1) d(n-1) END END END 参考书：《分形算法与程序设计》 END d(n) BEGIN IF n>0 THEN BEGIN a(n-1) y=y-len lineto (x,y) d(n-1) x=x+len lineto (x,y) d(n-1) y=y+len lineto (x,y) c(n-1) END END 20 END
第
2章
分形图的递归算法
2.1 Cantor三分集的递归算法 2.2 Koch曲线的递归算法
2.4 Hilbert-Peano曲线的算法
2.5 分支结构分形递归算法
2.6 分形树递归算法
2.3 Sierpinski垫片的递归算法
参考书：《分形算法与程序设计》
10
递归算法
u 直接递归调用的例子如下：
2.4 Hilbert-Peano曲线的算法
算法：Peano(n) 标题： Hilbert-Peano曲线递归算法 变量：n （递归深度） len（线的长度） x,y（端点坐标） 函数：lineto(x,y) （画直线函数） 过程：a(n)（基本元素构型） b(n)（基本元素构型） c(n)（基本元素构型） d(n)（基本元素构型）
则有N＝kD , D=log(N)/log(k) 这样Koch曲线的分形维数D=log(4)log(3)=1.2618
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1.4 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ形维数
对于实际的自然景物，我们可以用计盒维数的方法测量分维。
参考书：《分形算法与程序设计》
7
1.5 分形是一种方法论
沃尔夫奖（Wolf Prize）在颁发给分形理论创始人曼德勃罗时的评 语所说的，“分形几何改变了我们对世界的看法”。
函数： plot(x1,y1) –(x2,y2) （画直线函数） sin( ) （正弦函数） cos( ) （余弦函数） sqrt( ) （开平方函数）
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2.3 Sierpinski垫片的递归算法
BEGIN IF (n=1) THEN BEGIN x1=x-L/2 x01=x-L/4 y1=y+L*(sin(PI/6)/cos(PI/6))/2 y01=y+L*(sin(PI/6)/cos(PI/6))/4 x2=x+L/2 x02=x-L/4 y2=y+L*(sin(PI/6)/cos(PI/6))/2 y02=y+L*(sin(PI/6)/cos(PI/6))/4 x3=x x03=x y3=y-L*(sin(PI/6)/cos(PI/6)) y03=y- L*(sin(PI/6)/cos(PI/6))/2 plot(x1,y1)-(x1,y1) Sierpinski(x01,y01,L/2,n-1) plot(x2,y2)-(x2,y2) Sierpinski(x02,y02,L/2,n-1) plot(x3,y3)-(x3,y3) Sierpinski(x03,y03,L/2,n-1) END END ELSE 18 参考书：《分形算法与程序设计》 END BEGIN
分形理论至少会在三个方面改变我们对世界的认识。首先，自然界
中许多不规则的形态其背后都有规则，都可以用分形的方法建立模型并 在计算机上构造出以假乱真的景象来，显然利用这套方法我们可以把世
界压缩到几个分形规则中，便于携带和传播。其次，许多以前被认为是
随机的现象，从分形理论的角度看并不是随机的，比如布朗运动、股票 价格的波动、传染病的流行传播等，这为我们控制这些貌似随机的现象 奠定了理论基础。最后，分形理论中的分数维概念，为我们认识世界中 的复杂形态提供了一个新的尺度。复杂性科学是现代科学的前沿，在这 门科学的研究过程中，发现了许多符合分形规则的复杂形态，而分数维 是测量这些形态复杂程度的一种度量。也就是说，我们找到了对复杂性
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2.2 Koch曲线的递归算法
BEGIN alpha=alpha+PI END dy=cy+sin(alpha+PI/3)*L dx=cx+cos(alpha+PI/3)*L Koch(ax,ay,cx,cy,c) Koch(ex,ey,bx,by,c) Koch(cx,cy,dx,dy,c) Koch(dx,dy,ex,ey,c) END END
做定量分析的工具。
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1.6 分形与计算机图形学
分形理论的发展离不开计算机图形学的支持，如果一个分形构 造的表达，不用计算机的帮助是很难让人理解的。不仅如此，分形 算法与现有计算机图形学的其他算法相结合，还会产生出非常美丽 的图形，而且可以构造出复杂纹理和复杂形状，从而产生非常逼真 的物质形态和视觉效果。
分形作为一种方法，在图形学领域主要是利用迭代、递归等技
术来实现某一具体的分形构造。 分形几何学与计算机图形学相结合，将会产生一门新的学科— —分形图形学。它的主要任务是以分形几何学为数学基础，构造非规 则的几何图素，从而实现分形体的可视化，以及对自然景物的逼真 模拟。
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2.5 分支结构分形递归算法
算法：Ramus (x,y,alpha,L,n) 标题：分支结构递归算法 参数： PI（π值） 变量：n （递归深度） L （线段长度） x,y （线段起点坐标） x1,y1 （线段终点坐标） alpha （主干生成角度） alpha_L（左支干生成角度） alpha_R（右支干生成角度） 函数：plot(x1,y1)-(x2,y2) （画直线函数） sin( ) （正弦函数） cos( ) （余弦函数） 参考书：《分形算法与程序设计》
间接递归调用的例子如下：
void Recur_A(n)
BEGIN IF ((bx-ax)<c) THEN BEGIN plot(ax,ay)-(bx,by) END ELSE BEGIN plot(ax,ay)-(bx,by) 算法：Cantor(ax,ay,bx,by) cx=ax+(bx-ax)/3 标题：Cantor三分集的递归算法 cy=ay+d 参数：c（终止递归的小量） dx=bx-(bx-ax)/3 d（不同层次线之间的距离） dy=by+d 变量：ax,ay（曲线端点坐标） ay=ay+d bx,by（曲线端点坐标） by=by+d cx,xy （曲线端点坐标） cantor(ax,ay,cx,cy) dx,dy（曲线端点坐标） cantor(dx,dy,bx,by) 函数：plot(x1,y1) –(x2,y2) END 参考书：《分形算法与程序设计》 （画直线函数） END
第
1章
初识分形
1.1 Fractal 的含义 1.2 分形的几何特征
1.4 分形维数
1.5 分形是一种方法论
1.6 分形与计算机图形学
1.3 分形的度量
参考书：《分形算法与程序设计》
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1.1 Fractal 的含义
英文单词Fractal，在大陆被译为“分形”，在台湾被译为
“碎形”。它是由美籍法国数学家曼德勃罗（Benoit Mandelbrot） 创造出来的。其含义是不规则的、破碎的、分数的。曼德勃罗是
精细结构
任意小局部总是包含细致的结构。
参考书：《分形算法与程序设计》 3
1.3 分形的度量
（1）长度的测量 Length(n=0)=1
Length(n=1)=4/3
Length(n=2)=16/9 ………… Length=lim(Length(n))
n→∞
=lim(4/3) = ∞ n→∞
n
参考书：《分形算法与程序设计》
2.1 Cantor三分集的递归算法
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2.2 Koch曲线的递归算法
算法：Koch(ax,ay,bx,by,c)
标题：Koch曲线的递归算法
参数：c（终止递归的小量） PI（π值） 函数：plot(x1,y1) –(x2,y2) （画直线函数） sin( ) （正弦函数） cos( ) （余弦函数） ArcTan( ) （反正切函数） sqrt( ) （开平方函数）
想用此词来描述自然界中传统欧几里得几何学所不能描述的一大
类复杂无规的几何对象。
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1.2 分形的几何特征
自相似性
自相似，便是局部与整体的相似。
自仿射性
自仿射性是自相似性的一种拓展。如果，将自相 似性看成是局部到整体在各个方向上的等比例变 换的结果的话，那么，自仿射性就是局部到整体 在不同方向上的不等比例变换的结果。前者称为 自相似变换，后者称为自仿射变换。
参考书：《分形算法与程序设计》
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2.3 Sierpinski垫片的递归算法
算法：Sierpinski(x,y,L,n) 标题：Sierpinski垫片递归算法
参数：n （递归深度）
变量：x,y （三角形中心点坐标） x1,y1 （三角形顶点坐标） x2,y2 （三角形顶点坐标） x3,y3 （三角形顶点坐标） x01,y01 （小三角形中心点坐标） x02,y02 （小三角形中心点坐标） x03,y03 （小三角形中心点坐标） L （三角形的边长）
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1.3 分形的度量
（2）面积的测量 Area(n0)=(1╳√3/6)/2= √3/12 Area(n1)=√3/12 ╳(4/9) Area(n2)=√3/12 ╳(4/9)2 ………… Area(n)=lim(√3/12 ╳(4/9)n)=0
n→∞
如上所述，koch曲线在一维欧氏空间中的度量为∞，在二维 欧氏空间中的面积为0。如此看来，Koch曲线在传统欧氏空间中 不可度量。
void Recur(n)
{
…… Recur(m);
……
} 过程Recur的内部又调用了自身——Recur过程。
参考书：《分形算法与程序设计》
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递归算法
u { …… Recur_B(m); …… } void Recur_B(n) { …… Recur_A(m); …… }
参考书：《分形算法与程序设计》 12