振动1
机械振动(1)
ω
=
∆Φ 2π
T
即得x2的曲线
若
∆φ < o 时
说明振动2比振动1落后，将x1曲线右移 ∆φ T 距离为 ∆ t = 即得x2的曲线 2π
19
四 简谐振动表示法-解析法 由给定振动系统， 可求出ω ； 1 取平衡位置为原点;
2
建立坐标,分析任一位置时物体受力;
d2x 3 写出动力学方程： + ω2x = 0 dt 2
*两个振动同频率、同一时刻间的相位差：
∆Φ = (ϕ 20 − ϕ 10 ) 初相位的差！
17
同一时刻两个同频率 的简谐振动相位差
∆Φ = ϕ 20 − ϕ 10
位 移 x
x2 x1
x 1 = A1 cos( ω t + ϕ 10 )
x 2 = A2 cos( ω t + ϕ 20 )
位 移 x
x1 x2
……
26
由初始条件求初相
初态一
o
ϕ
x
v=0
x = A
⇒ ϕ = 0
初态二
X=o
⇒ ϕ =
π
2
O
X
初态三
V=0
x = −A
⇒ ϕ = π
v
初态四
x=0
π 3π ⇒ ϕ = 或 − 2 2
27
水平谐振子 例1： 由初始条件求初相 ϕ ; k 1 由平衡位置右拉0.1m放手; x o 2 由平衡位置左推0.1m放手; 3 在A/2处给一个向右的速度; − 2 A 4 在 处给一个向左的速度。 2 分别求出初相。 ϕ =0 1 X0=0.1, v0=0 A=0.1 0 x x
ω
由给定初始条件 可求出A、ϕ; 已知 A、ϕ 、ω
超声检测第一、二、三章
两列频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒 定的波相遇时，介质中某些地方的振动互相加强。而 另一些地方的振动互相减弱或完全抵消的现象。产生 干涉的波叫相干波，其波源叫相干源。
31
当两列波的波程差等于波长的整数倍时， 二者互相加强，合成幅度达最大值。
当两列波的波程差等于半波长的奇数倍时， 二者互相抵消，合成幅度达最小值。 二、驻波
换； 4）穿透能力强。
12
第二节 波的类型
一、根据质点的振动方向分类 1、纵波L（压缩波、疏密波） 质点振动方向与波的传播方向相互平行的波。
纵波传播时，质点受交变拉伸应力作用，质 点之间发生相应伸缩形变，质点疏密相间。
纵波可在固体、气体和液体中传播。 固体介质能承受拉伸或压缩应力,因此固体介 质可以传播纵波;液体和气体虽不能承受
波动与振动是相互关联的，振动是波动的根 源，波动是振动形式和振动能量的传播。这种 传播是通过质点的连续位移变化来实现的，质 点并不发生迁移。
8
2、波长、频率和波速 波长λ—同一波线上相位相同的相邻两质点 间的距离。或简单地说：介质任一质点完成一 次全振动波的传播距离。 频率f—波动过程中，任一给定点在1秒钟内 所通过的完整波的个数。与质点振动频率相等。 波速C—波在单位时间内所传播的距离。 λ、f、C之间的关系：
弹性模量和密度有关。
C B
2、声速与温度的关系 除水以外，液体中的声速随温度升高而降低； 水中声速随温度升高而升高。
28
三、声速测量 1、超声波探伤仪 a.比较法测量：（已知水中声速） 将探头置于待测试件上，使底波对准某一刻
度，试件中传播时间为： t=2d/C1
将探头置于水中，调节探头位置使水层底面 回波对准同一位置。则水中传播时间为：
机械振动第1节简谐运动讲义-人教版高中物理选修3-4讲义练习
第1节简谐运动1.平衡位置是振子原来静止的位置，振子在其附近所做的往复运动，是一种机械振动，简称振动。
2．如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(xt图像)是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动，它是一种最简单、最基本的振动，是一种周期性运动。
3．简谐运动的位移一时间图像表示质点离开平衡位置的位移随时间变化的关系，而非质点的运动轨迹。
由该图像可以确定质点在任意时刻偏离平衡位置的位移和运动情况。
一、弹簧振子1．弹簧振子如图所示，如果球与杆或斜面之间的摩擦可以忽略，且弹簧的质量与小球相比也可以忽略，则该装置为弹簧振子。
2．平衡位置振子原来静止时的位置。
3．机械振动振子在平衡位置附近所做的往复运动，简称振动。
二、弹簧振子的位移—时间图像1．振动位移从平衡位置指向振子某时刻所在位置的有向线段。
2．建立坐标系的方法以小球的平衡位置为坐标原点，沿振动方向建立坐标轴。
一般规定小球在平衡位置右边(或上边)时，位移为正，在平衡位置左边(或下边)时，位移为负。
3．图像绘制用频闪照相的方法来显示振子在不同时刻的位置。
三、简谐运动及其图像1．定义：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(xt图像)是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。
2．特点：简谐运动是最简单、最基本的振动，其振动过程关于平衡位置对称，是一种往复运动。
弹簧振子的运动就是简谐运动。
3．简谐运动的图像(1)形状：正弦曲线，凡是能写成x＝A sin(ωt＋φ)的曲线均为正弦曲线。
(2)物理意义：表示振动的质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律。
1．自主思考——判一判(1)平衡位置即速度为零时的位置。
(×)(2)平衡位置为振子能保持静止的位置。
(√)(3)振子的位移－5 cm小于1 cm。
(×)(4)简谐运动的轨迹是一条正弦(或余弦)曲线。
(×)(5)简谐运动是一种匀变速直线运动。
振动1-2
利用旋转矢量法还可以很容易确定简谐振动的初位相。
旋转矢量法确定初位相。
x 0, v 0 x 0, v 0 x 0, v 0 x 0, v 0
t0
在第Ⅰ象限 在第Ⅱ象限 在第Ⅲ象限 在第Ⅳ象限
x0 v0 a0 x0 v0 a0
Ⅱ
y
ⅠA
x0 v0 a0
T 0
1 2 1 2 2 kA cos (t )dt kA 2 4
例.有一水平弹簧振子，k=24N/m，重物的质量m=6kg， 静止在平衡位置上，设以一水平恒力F=10N作用于物体 （不计摩擦），使之从平衡位置向左运动了0.05m，此 时撤去力F，当重物运动到左方最远位置时开始计时， F弹 求运动方程。 解： 选取坐标如图，
以水平的弹簧振子为例
x
x(t ) A cos(t ), k / m
简谐振动的动能：
o
A
简谐振动的势能：
1 1 2 Ek mv m[ A sin(t )]2 2 2 1 2 1 2 2 2 mA sin (t ) kA sin 2 ( 0t 0 ) 2 2
A
振幅 初相 位相 圆频率 谐振动周期
t+
T
初始角坐标
角坐标 角速度 园周运动周期
例.物体作谐振动，振幅为0.24m，周期为4s，开始时 x0=0.12m，且向负方向运动，写出物体的振动方程。
解 （1）设谐振动方程为
x A cos( t )
（2）由题 A 0.24 m
相的概念在比较两个同频率的简谐振动的步调时 特别有用： 两个同频率简谐振动的位相差：
(t 2 ) (t 1 ) 2 1
机械振动(1)
3. 研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动 为人类服务。
2
4. 振动的分类： 按振动系统的自由度分类
单自由度系统的振动 多自由度系统的振动 弹性体的振动
按振动产生的原因分类： 自由振动： 无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动，衰减振动 强迫振动： 无阻尼的强迫振动
有阻尼的强迫振动
自激振动
江汉大学机电建工学院
1
振动是日常生活和工程实际中常见的现象。 例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机 床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。 1. 所谓振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。 2. 振动的利弊： 利：振动给料机 振动筛 振动沉拔桩机等 弊：磨损，减少寿命，影响强度 引起噪声，影响劳动条件 消耗能量，降低精度等。
a
A mg
B
由对O 点的动量矩定理 3 J 0 ka2 ( 0 ) mg a ka2 2 J 0 ka2
1 2 m 3a ka2 3
k 0 3m
由静平衡时的力矩方程可得
3 ka2 0 mg a 0 2
M O R
1 1 1 1 x T mx 2 MR2 2m M x 2 2 2 2 4 R
选静平衡的位置为重力和弹力的势能零点. 1 2 2 V mgx k x 0 0 2 1 2 mgx kx k 0 x 2 1 静 平 衡 时 mg k 0 V kx2 , 2
x0 An cos 2 x0 A cos 2 n
x
2 0
2 n
2 x0
tg
x0 n x0
又
高中物理 振动
高中物理振动振动是高中物理中一个非常重要的概念，是许多自然现象和科学原理的基础。
振动在我们周围随处可见，比如钟摆的摆动、弹簧的震动、声音的传播等都与振动有关。
本文将从振动的定义、特点、分类以及在生活中的应用等方面进行详细的介绍。
一、振动的定义振动是指物体围绕平衡位置周期性地作往复运动，即物体由平衡位置向一个方向运动，再返回原来的平衡位置，如此反复。
在振动过程中，物体的能量在弹性介质中传播，经历一系列周期性的变化。
二、振动的特点1.周期性：振动是指物体围绕平衡位置做周期性的运动。
这一周期性运动可以很规律，也可以呈现出复杂的特征。
2.振幅：振幅是指振动物体偏离平衡位置的最大距离，它决定了振动的幅度大小。
3.频率：频率是指单位时间内振动的次数，通常用赫兹（Hz）作为单位，不同的振动系统有不同的频率。
4.波长：波长是指相邻两个振动周期之间的距离，它与频率和振动速度有关。
三、振动的分类根据振动的性质和特点，振动可以分为机械振动和电磁振动两种。
1.机械振动：机械振动是指由机械系统产生的振动，比如弹簧振子、声音波动等都属于机械振动。
2.电磁振动：电磁振动是指由电磁系统产生的振动，比如光波的传播、无线电波的发射等都属于电磁振动。
四、振动在生活中的应用振动在生活中有着广泛的应用，不仅在物理学领域有着重要意义，还在其他领域产生了深远的影响。
1.医学领域：超声波成像技术利用声波的振动原理，可以用于医学诊断和治疗。
2.工程领域：震动台可以模拟地震等自然灾害，用于建筑物的抗震设计和测试。
3.交通领域：振动感应器可以用于检测车辆的振动状态，保障交通安全和车辆性能。
4.通信领域：光纤通信系统利用光的电磁振动实现信号的传输，具有高速和稳定的优势。
综上所述，振动是一种周期性的运动形式，具有广泛的应用价值。
通过学习振动的原理和特点，不仅可以更好地理解自然界中的现象，还可以为科学技术的发展和生活的改善提供基础支持。
希望本文对读者有所帮助，让大家对振动有更深入的认识和理解。
振动的基本概念
振动的基本概念
振动是指物体在平衡位置附近所做的往复运动。
在机械振动中，物体的位移、速度和加速度等物理量随时间做周期性变化。
如果物体的位移随时间变化的规律遵从正弦函数或余弦函数，这样的振动称为简谐振动。
在简谐振动中，物体的位移与时间的关系可以表示为
x=A\sin(\omega t+\varphi)，其中x表示位移，A表示振幅，\omega 表示角频率，\varphi表示初相位。
振幅表示物体离开平衡位置的最大距离，角频率表示振动的快慢，初相位表示振动开始时物体的位置。
简谐振动的特点是周期性和对称性。
周期性是指物体的位移、速度和加速度等物理量随时间做周期性变化，对称性是指物体在平衡位置两侧的运动是对称的。
振动在自然界和工程中有着广泛的应用。
例如，地震是地球的振动，钟摆的摆动是简谐振动，电子在晶体中的振动可以产生激光等。
在工程中，振动也可以用来检测物体的缺陷、测量物体的质量和弹性常数等。
振动[1]
![振动[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/45e014c20508763231121266.png)
国标（壳振）振动评定通用准则简介一、振幅1.振幅是指物体动态运动或振动的幅度。
2.振幅是振动强度和能量水平的标志，是评价机器运转状态优劣的主要指标。
二、振动位移、振动速度、振动加速度。
1.振动位移的测量值为峰峰值，单位是微米[μm]；2.振动速度的测量值为有效值，单位是毫米/秒[mm/s]；3.振动加速度的测量值是单峰值，单位是米/秒平方[m/s2]。
三、振动强度1.在低频范围内，振动强度与位移成正比；2.在中频范围内，振动强度与速度成正比；3.在高频范围内，振动强度与加速度成正比。
4.也可以认为，振动位移反映了振动间隙的大小，振动速度反映了振动能量的大小，振动加速度反映了振动冲击力的大小。
四、国标（壳振）振动评定通用准则五、评价区域四个评价区域，即依据振幅值查振动所处的区域来评价机器的振动状态。
区域A：新交付使用的机器的振动通常属于该区域，俗称优良状态；区域B：通常认为振动值在该区域的机器可不受限制地长期运行，俗称合格状态；区域C：通常认为振动值在该区域的机器不适宜于长期持续运行。
一般来说，机器可在这种状态下运行有限时间，直到有采取补救措施的合适时机为止，俗称不合格状态、或注意状态；区域D：振动值在这一区域中通常被认为振动剧烈，足以引起机器损坏，俗称不允许状态、或危险状态。
六、机器分类Ⅰ类：发动机和机器的单独部件，它们完整地联结到正常运行状况的整机上（15kW以下的电机是这一类机器的典型例子），即15kW以下的小型机器；Ⅱ类：无专门基础的中型机器（具有15~75kW输出功率的电机），在专门基础上刚性安装的发动机或机器（300kW以下），即300kW以下的中型机器；Ⅲ类：具有旋转质量安装在刚性的重型基础上的大型原动机和其它大型机器，基础在振动测量方向上相对是刚性的，即刚性支承的大型机器；Ⅳ类：具有旋转质量安装在基础上的大型原动机和其它大型机器，其基础在振动测量方向上相对是柔性的（例如输出功率大于10MW的汽轮发电机组和燃气轮机），即柔性支承的大型机器。
新教科版四年级上册科学第一单元《振动》教案
新教科版四年级上册科学第一单元《振动》
教案
一、教学目标
1. 了解振动的基本概念和运动特征；
2. 能够观察、探究、讨论物体的振动现象，初步认识常见振动
现象；
3. 发展学生科学探究能力和综合运用知识、分析问题的能力。
二、教学重点
1. 掌握振动的基本概念和运动特征；
2. 了解常见振动现象和规律。
三、教学难点
1. 如何通过实验和观察研究出物体的振动规律。
四、教学内容
1. 什么是振动？
2. 物体的振动规律；
3. 常见振动现象实例讨论；
4. 振动在生活中的应用。
五、教学过程
1. 通过图画、视频等形式介绍振动的基本概念和运动特征，让
学生初步认识振动现象；
2. 结合实验让学生观察、探究、讨论物体振动规律；
3. 通过案例，让学生了解常见的振动现象，并总结规律。
例如，音叉的振动规律、钟摆的运动规律等；
4. 结合生活实际，让学生认识到振动在生活中的应用，例如各
类交通工具的运动、楼房的结构等。
六、教学总结
通过本次教学，学生初步了解了振动的基本概念和运动特征，
探究、认识到常见的振动现象及其规律，加深了学生对科学探究的
理解和学习兴趣，也初步培养了学生的科学综合运用能力和问题解决能力。
振动值标准(一)
振动值标准(一)振动值标准什么是振动值标准？振动值标准是指在特定条件下，规定振动的强度和频率范围的标准。
振动是一种物理现象，它是指物体围绕均衡位置产生周期性的运动。
在工程领域，振动的控制和评估至关重要，因为过大或过小的振动都可能对设备和结构造成损害。
振动值标准的重要性振动值标准的制定对于确保工程设备的安全运行非常重要。
通过制定合理的标准，可以对振动进行监测和控制，从而降低损坏和故障的风险。
这些标准还可以作为设计和制造的依据，保证产品的质量和可靠性。
振动值标准的种类下面列举几种常见的振动值标准：•ISO : 用于工业机械的一般振动标准。
•ISO 2372: 用于评估旋转机械的振动标准。
•DIN 4150: 用于建筑工程中的振动标准。
•MIL-STD-810: 用于军事设备的振动标准。
振动值标准的测量方法测量振动值的常见方法包括：1.使用加速度计：通过将加速度计安装在被测振动物体上，可以获取振动的加速度数值。
2.使用速度计：速度计可以测量振动物体的速度，从而得到振动值。
3.使用位移计：位移计直接测量物体的位移，可以用来计算振动值。
振动值标准的应用领域振动值标准广泛应用于各个领域，包括：•工业制造：用于评估和控制机械设备的振动，确保设备正常运行和延长寿命。
•建筑工程：用于评估建筑物的振动对周围环境和人体健康的影响，确保建筑物的安全性。
•汽车工程：用于评估汽车零部件的振动，确保汽车的舒适性和可靠性。
•航空航天：用于评估航空航天设备的振动，确保飞行安全和设备的可靠性。
总结通过制定合理的振动值标准，我们可以评估和控制振动的强度，确保设备和结构的安全运行。
振动值标准的制定涉及各个行业和领域，对于保障产品质量和人身安全至关重要。
在实际应用中，我们可以采用不同的测量方法来获取振动值，并根据标准进行评估和控制。
第十三章(振动一讲)
T
t( s)
( 2)相轨迹 ( 相图) x v图线. x A cos(0t )
v A0 sin(0 t ) 2 v 2 2 得: x 2 A
由
v x o
11
0
四、简谐振振动的矢量表示法 vm 0 A 如图:振幅矢量 A 以圆频 v0 率 0 绕平衡点 o 逆时针 A( t ) 方向转动 . 2 an A0 A( t 0) A在x轴上的投影点运动, 0t 0 表示一特定的简谐振动.
0 t 0 t t 0 初相位
8
注意：相位是相对的； 同相、反相； 超前、落后。
例如,二同频率不同振幅的谐振动:
x1 A1 cos(0t 1 ) x2 A2 cos(0t 2 )
t时刻的相位差:
相位
1 0t 1
2 0t 2
t时刻 :
x A cos(0t )
k 0 m
例题1.设一物体沿x轴做简谐振动，振幅为12cm， 周期为2.0s；在t=0时的位移为6.0cm，且这时物 体向x正向运动。试求： (1) 初相位、振动方程; (2) t =0.5s时物体的位置、速度和加速度； (3) 在 x=-6.0cm处，且向x负向运动时，物体的速 度和加速度，以及它从这个位置到达平衡位置所 用的时间。 [解] A 0.12m , 0 2 T 5或 据题意设物体的运动方程为 A 3 A 2 x 0.12 cos( t ) 0 x 则t 0时刻 : 0.06 0.12cos 3 A 14 而v 0.12 sin 0, 故 3 0
(3) 在x=-6.0cm处，且向x负向运动时，有 0.06 0.12cos( t 3)
1简谐振动
*问题讨论
（1） 在地面上拍皮球, 球的运动是否简谐振动？
（2） 竖直方向的弹簧振子的运动是否简谐振动？
*简谐振动定义
1.质点所受的外力与对平衡位置的位移成正 比且反向，或质点的势能与位移（角位移） 的平方成正比的运动，就是简谐振动。这 种振动系统称为谐振子。 2.以时间的正弦或余弦函数表示的运动可以 认为是简谐振动。 3.满足动力学方程 简谐振动
2
2
2 2 2 1 = 2 mAω sin (ω t + j )
1 =2
k A cos ( ω t + j )
2 2
E = E k +E p =
1 2
kA
2
E
Ek
Ep
E=
1 2
kA
2
o
x
t
o
t x = A cosω t
谐振子的动能、势能及总能量
Ek =
1 2
mv = E p =
2
1 2
kx 2
x＝？
振动和波
振动：任何一个物理量在某一数值附近作周期性的变化
一切物理量，包括非机械量的温度、电量、场强等量 在一定值附近反复变化的过程均是振动。如：机械振动 （图）、电磁振动、分子振动、原子振动……。 波动:是振动在空间的传播，声波（图） 、水波 、地震 波、电磁波（图）和光波都是波，波的传播伴随有状态 和能量的传递。不同的振动形式在空间的传播具有共同 的特征，如具有干涉、衍射等波动特有的性质。 振动和波动是自然界及人类生产实践中经常 发生的一种普遍运动形式，其基本规律是光学、电 学、声学、机械、造船、建筑、地震、无线电等工 程技术中的重要基础知识。
1 1 1 2 Ek E p KA Kx 2 2 2 2
振动实验报告1
振动实验报告1实验⼀振动系统固有频率的测试⼀、实验⽬的：1、学习振动系统固有频率的测试⽅法；2、学习共振动法测试振动固有频率的原理与⽅法；3、学习锤击法测试振动系统固有频率的原理与⽅法；⼆、实验原理1、简谐⼒激振1）幅值判别法在激振功率输出不变的情况下，由低到⾼调节激振器的激振频率，通过⽰波器，我们可以观察到在某⼀频率下，任⼀振动量（位移、速度、加速度）幅值迅速增加，这就是机械振动系统的某阶固有频率。
这种⽅法简单易⾏，但在阻尼较⼤的情况下，不同的测量⽅法得出的共振动频率稍有差别，不同类型的振动量对振幅变化敏感程度不⼀样，这样对于⼀种类型的传感器在某阶频率时不够敏感。
2）相位判别法相位判法是根据共振时特殊的相位值以及共振动前后相位变化规律所提出来的⼀种共振判别法。
在简谐⼒激振的情况下，⽤相位法来判定共振是⼀种较为敏感的⽅法，⽽且共振是的频率就是系统的⽆阻尼固有频率，可以排除阻尼因素的影响。
A．位移判别共振将激振动信号输⼊到采集仪的第⼀通道（即X 轴），位移传感器输出信号或通过ZJY-601A 型振动教学仪积分档输出量为位移的信号输⼊到第⼆通道（即Y 轴），此时两通道的信号分别为激振信号为：位移信号为：共振时，，X 轴信号和Y 轴信号的相位差为p / 2，根据利萨如图原理可知，屏幕上的图象将是⼀个正椭圆。
当w 略⼤于n w 或略⼩于n w 时，图象都将由正椭圆变为斜椭圆，其变化过程如下图所⽰。
因此图象图象由斜椭圆变为正椭圆的频率就是振动体的固有频率。
B．速度判别共振将激振信号输⼊到采集仪的第⼀通道（即X 轴），速度传感器输出信号或通过ZJY-601A 型振动教学仪积分档输出量为速度的信号输⼊到第⼆通道（即Y 轴），此时两通道的信号分别为：激振信号为：速度信号为：共振时，，X 轴信号和Y 轴信号的相位差为p / 2。
根据利萨如图原理可知，屏幕上的图象应是⼀条直线。
当w 略⼤于n w 或略⼩于n w 时，图象都将由直线变为斜椭圆，其变化过程如下图所⽰。
高二物理机械振动 1—3节人教实验版知识精讲
高二物理机械振动 1—3节人教实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：机械振动 1—3节知识要点：1、知道什么是简谐运动和简谐运动的图像2、掌握简谐运动的周期、振幅和频率与简谐运动的表达式3、理解简谐运动的回复力特点与一个全振动中位移、回复力、加速度、速度的变化情况。
重点、难点解析：一、简谐运动1、振动与弹簧振子〔1〕振动：①平衡位置：做往复运动的物体能够静止的位置，叫做平衡位置。
②振动：物体〔或物体的一局部〕在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动。
注意：振动物体可能做直线运动，也可能做曲线运动，所以其运动的轨迹可能是直线，也可能是曲线。
〔2〕弹簧振子：弹簧振子是指小球和弹簧所组成的系统，这是一种理想化模型。
如下列图装置，如果球与杆之间的摩擦可以忽略，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略，如此该装置为弹簧振子2、弹簧振子的位移——时间关系〔1〕弹簧振子的位移：①位移是从平衡位置指向振动质点某时刻所在位置的有向线段。
振动中的位移不是在直线运动中或曲线运动中所述的由初位置指向末位置的有向线段，振动中的位移不管振动质点的起始位置，一律从平衡位置开始指向振动质点所在位置。
②位移是矢量，规定小球在平衡位置的右边时，它对平衡位置的位移为正，在左边时为负。
〔2〕弹簧振子的x—t图象：①图象的建立：用横坐标表示振动物体运动的时间t，纵坐标表示振动物体运动过程中对于平衡位置的位移x，建立坐标系，如下列图。
②图象意义：反映了振动物体相对平衡位置的位移x随时间t变化的规律。
③振动位移：通常以平衡位置为位移起点。
所以振动位移的方向总是背离平衡位置的。
如下列图，在x—t图象中，某时刻质点位置在t轴上方，表示位移为正〔如图中t1、t2时刻〕，某时刻质点位置在t轴下方，表示位移为负〔如图t3、t4时刻〕。
3. 简谐运动如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象〔x—t图象〕是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。
第001章 自由振动
θ ω0
π ω0
2π
3π
ω0
ω0
图1.2
《振动力学》讲义 第1章 自由振动 振动的大小和起始状态由振幅A和初相角θ 两个常数确定， 即由初始条件确定，它们与系统本身无关。 振动的波动特性（简谐特性），由参数 ω 0 确定， 它只取决于系统本身的物理参数，同时它表征位移周期 性变化的快慢，再由于它的量纲为『角度/时间』，因此 参数 ω 0 称为系统的固有角频率，简称固有频率或自然频率。 系统的振动周期T和振动频率为
k2x2 (a +b) = k3x3a
《振动力学》讲义 第1章 自由振动
k3b k3a x3， x2 = x3 得： x1 = k1 ( a +b) k2 ( a +b)
1 2 1 2 1 2 V = k1x1 + k2x2 + k3x3 2 2 2 b2k3 a2k3 1 2 ]x3 = k3[1+ + 2 2 2 (a +b) k3 (a +b) k2
x = eλ t
λ 2 + ω02 = 0
特征值为 λ＝ ± iω 0， = − 1 为虚数单位 i
方程复数形式的特解为 e λ t = e i ω 0 t = cos ω 0 t + i sin ω 0 t 和 e − λ t = e − i ω 0 t = cos ω 0 t − i sin ω 0 t cos ω 0 t 和 sin ω 0 t
《振动力学》讲义
主讲人： 主讲人：何锃
华中科技大学土木工程与力学学院
力学系
参考教材： 参考教材： 等编著. 振动力学》 高等教育出版社， 刘延柱 等编著.《振动力学》.高等教育出版社，2002
振动原理资料
振动原理振动原理是力学中一个重要的概念，它涉及物体在受到外力作用时产生的周期性运动。
振动是许多物理现象的基础，包括声音传播、机械波的传播等，因此对振动原理的深入理解对于理解自然界中许多现象至关重要。
振动基本概念振动的基本概念可以通过一个简单的例子来说明：当一个弹簧悬挂着一个重物，当将这个重物向下拉开一段距离然后释放，重物会因为受到的重力而产生来回运动，这种周期性的来回运动就称为振动。
在这个过程中，弹簧被拉伸和压缩，这种弹簧的变形是振动的结果。
振动的特征振动具有一些特征，包括振幅、频率和周期。
振幅是指振动物体从平衡位置到最大位移的距离，频率是指单位时间内振动的次数，周期是指完成一个完整振动运动所需的时间。
这些特征可以帮助我们描述和分析振动。
振动的分类根据振动的性质和特点，振动可以分为自由振动和受迫振动。
自由振动是指没有外力作用下的振动，比如弹簧振子在没有外力作用下的来回摆动；受迫振动则是指有外力作用下的振动，比如摆钟受到重力的影响进行来回摆动。
此外，振动还可以分为谐振动和非谐振动。
谐振动是指振动物体的加速度与位移成正比的振动，非谐振动则是指振动物体的加速度与位移不成正比的振动。
振动的应用振动原理在生活和工程领域有着广泛的应用。
例如，振动传感器可以用于检测机械设备的振动情况，振动吸收器可以用于减少汽车行驶时产生的震动，振动台可以用于测试产品的耐用性等。
振动原理也被应用于音响设备、振动筛选机等各个领域。
结语振动原理是一门深奥的物理学原理，它在自然界和工程领域都有着广泛的应用。
通过对振动原理的研究和理解，我们可以更好地掌握自然规律，提高生产效率，改善生活质量。
深入学习和探索振动原理将会给我们带来更多的启示和机遇。
第1章 振动的基础知识
第1章振动的基础知识1.1 振动概述人类生活在振动的世界里。
地面有汽车、火车、拖拉机;天空有飞机;海洋里有轮船，等等;就连茫茫宇宙中,也有电磁波在不停地发射和传播。
可以说,它们都在不停地振动着。
就人体本身来说,心脏的跳动、肺部的呼吸等在某种意义上来说,也都是一种振动。
所以说在自然界中振动现象比比皆是。
在某种情况下,振动往往占有突出的地位。
两千多年前,人们就利用振动把衣服上的尘埃抖掉,到1673年,惠更斯首次提出物理摆理论,才使振动的研究走向正规。
物体在一定位置附近来回重复的运动称为振动。
它是机械运动的一种很普遍的形式。
同时它还是波的基础,因为任何波都是振动的传播过程。
振动理论是声学、地震学、光学和无线电等科学的基础知识。
机械振动的特征及基本规律很多都适用于其它形式的振动。
简谐振动是最基本的振动，是介质中形成波的基本根源。
在第3章中将说明任何振动都可表示为简谐振动的合成。
在此,我们首先分析弹簧振子---单摆的振动来研究简谐振动的特性，然后在此基础上研究机械振动的合成。
在我们周围发生的各种机械运动中，机械振动现象是经常可以看到的。
例如，固定弹簧的上端，把挂在它下端的砝码向下一拉，再松开手，砝码就上下往复的运动，这是物理上最简单的振动现象，称为弹簧振子；又如钟摆的运动，一切发声的运动，都有类似的特点。
由观察知，这些物体的运动的共同特征是：物体沿着直线或弧线,在一定位置(平衡位置)附近做来回重复的运动，我们把这种运动叫机械振动,简称振动。
振动的特性可用下面几个物理量来描述。
x振动位移:振动位移是一个矢量,若以平衡位置为始点,它的大小等于振动物体在某一时刻的位置跟平衡位置间的距离,它的方向是从平衡位置指向物体所在的位置。
例图1-1，一物体M系于一弹簧的自由端，弹簧的另一端固定，物体M放在光滑的水平台面上，这样的系统成为弹簧振子。
当物体M处于O点时，弹簧呈松弛状态，物体不受力，这点称为平衡位置。
将物体自平衡位置O向右拉开少许至B点，然后释放之，物体就左右振动起来。
振动频率振动幅值计算公式
振动频率振动幅值计算公式振动是物体围绕其平衡位置周期性地来回运动。
振动的频率和振动幅值是描述振动特性的重要参数。
在工程和物理学中，经常需要计算振动频率和振动幅值，以便设计和分析振动系统。
本文将介绍振动频率和振动幅值的计算公式，并探讨它们在实际应用中的意义。
首先，我们来看振动频率的计算公式。
振动频率是指单位时间内振动的周期数，通常用赫兹（Hz）来表示。
对于简谐振动，振动频率可以通过以下公式来计算：f = 1/T。
其中，f代表振动频率，单位为赫兹；T代表振动周期，单位为秒。
振动周期是指物体完成一个完整振动所需的时间。
通过测量振动周期，我们就可以计算出振动频率。
值得注意的是，振动频率与振动周期呈倒数关系，即振动频率等于1除以振动周期。
接下来，我们来看振动幅值的计算公式。
振动幅值是指振动过程中物体偏离平衡位置的最大距离，通常用米（m）来表示。
对于简谐振动，振动幅值可以通过以下公式来计算：A = xmax xmin。
其中，A代表振动幅值；xmax代表振动过程中物体偏离平衡位置的最大距离；xmin代表振动过程中物体偏离平衡位置的最小距离。
通过测量振动过程中物体的最大和最小偏离距离，我们就可以计算出振动幅值。
振动频率和振动幅值是描述振动特性的重要参数，它们在工程和物理学中具有广泛的应用。
在机械振动领域，振动频率和振动幅值可以用来评估机械系统的稳定性和可靠性。
在建筑工程领域，振动频率和振动幅值可以用来评估建筑结构的抗震性能。
在声学领域，振动频率和振动幅值可以用来评估声音的音调和音量。
除了上述应用外，振动频率和振动幅值还在日常生活中发挥着重要作用。
例如，我们可以通过测量音叉的振动频率和振动幅值来判断它的音调和音量。
又如，我们可以通过测量手机的振动频率和振动幅值来评估它的震动效果。
总之，振动频率和振动幅值是描述振动特性的重要参数，它们在工程、物理学和日常生活中具有广泛的应用。
通过计算振动频率和振动幅值的公式，我们可以更好地理解和分析振动系统的性能，从而为工程设计和科学研究提供有力的支持。
第 1 章 振动
F = − kx
由牛顿第二定律
O
r F
x
m
r x
d2x F = ma = m 2 = − kx dt d2x k + x=0 2 dt m
二、简谐振动方程
k 则 令 ω = m 2 d x + ω 2 x = 0, 即 a = −ω 2 x dt 2
2
是简谐振动的动力学方程， 是简谐振动的动力学方程，其解为 动力学方程 x = Acos(ωt + ϕ) 或 x = Asin(ωt + ϕ) 为待定积分常量。 式中 A , ϕ 为待定积分常量。 习惯上用余弦形式 习惯上用余弦形式。
由此解得
A=
v 0 = −ωA sin ϕ
x0 +
2
ω2
v0
2
例 P. 13
v0 ) ϕ = arctan( − ωx0
四、简谐振动的速度、加速度 简谐振动的速度、 的速度 简谐振动的位移 简谐振动的位移 简谐振动 的速度
x = A cos(ωt + ϕ )
dx v= = −ωA sin(ωt + ϕ ) dt = v m cos(ωt + ϕ +
相。 x1
x2
三、旋转矢量图示法（相量图法） 旋转矢量图示法（相量图法 由初始条件确定振幅 A 和初相ϕ 初始条件确定振幅
dx x = A cos(ωt + ϕ ), v = = −ωA sin(ωt + ϕ ) dt x = x0 , v = v0 初始条件 t = 0,
x0 = A cos ϕ ,
即振动总机械能是恒量，并与振幅平方成正比。 即振动总机械能是恒量，并与振幅平方成正比。
振动力学第1章自由振动资料
振动力学 Mechanics of Vibrations
§0.4 振动力学在工程中的应用
刘延柱 陈文良 陈立群
机械、电机工程中：振动部件的强度和刚度，机械的故障诊断， 精密仪器和设备的减振和降噪等。
交通、飞行器工程中：结构振动和疲劳分析，舒适性、操纵性 和稳定性问题等。
土建、地质工程中：建筑、桥梁等结构物的模态分析，地震引 起的动态响应，矿床探查、爆破技术的研究等。
振动力学 Mechanics of Vibrations
刘延柱 陈文良 陈立群
高等教育出版社
长征火箭
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振动力学 Mechanics of Vibrations
刘延柱 陈文良 陈立群
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长征火箭发射
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振动力学 Mechanics of Vibrations
矮寨特大悬索桥钢桁梁
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振动力学 Mechanics of Vibrations
刘延柱 陈文良 陈立群
高等教育出版社
矮寨特大悬索桥主缆架
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振动力学 Mechanics of Vibrations
刘延柱 陈文良 陈立群
（b） 周期振动－响应是时间的周期函数。
（c） 准周期振动－若干个周期不可通约的简谐振动组合 而成的振动。 （d）混沌振动－响应为时间的始终有限的非周期函数。
（2） 随机振动－响应为时间的随机函数。
高等教育出版社
Higher Education Press
振动力学 Mechanics of Vibrations
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振动和波动
机械振动：物体或质点在一定位 置附近作往复运动。 广义振动：描述物体运动状态的 物理量在某一数值附近反复变化。 波动：振动状态在空间的传播。
机械振动的原因： 物体所受的回复力和物体所具有的惯性。
可以证明任何复杂的振动都可以认为是由 若干个简单而又基本振动的合成。这种简单而又 基本的振动形式称为简谐振动。
f
0.08 0.04
v0
O
0.04 0.08
xm
（1）
当t 1s时
x 0.08 cos 1.0 0.069m 3 2
f kx m x
2
3 0.01 0.069 1.70 10 N 2
l
m
O
解：
设t：，规定＞0，右方；
A
＜0，左方
重力对 A 点的力矩为
M mgl si n
当 很 时 ＜5 ， 小 si n
0
l
T
m
则摆锤受到的力矩为
M mgl
O
P
由转动定律
M J d
2
得
dt
d
2 2
2
mgl J
2
考虑到
故有
dt
J ml
设两个振动的表达式分别为
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
则它们的相位差为
t 2 t 1 2 1
讨论：
1当 2 1时， 0，同相（同步） 2当 2 1 时，反相 3当 2＞1时，超前1 2
解：运动方程为
d
2
dt
2
mgl J
O
l
C
令 即
2
mgl J
d
2
dt
2
0
2
P
得复摆的角频率和周期分别为
mgl J
T
2
2
J mgl
例三 如图为两 同方向、同频率的谐振 动，它们的振幅相同。 当质点1在 x A 2 处 向左运动时，另一质点 2在 x A 2 处向右运 动。用旋转矢量法求两 质点的相位差。 解：设
x1 A cost 1 x2 A cost 2
A A 2 O A 2 A
v2
A1
A 2
v1
t 2O t 1
x
A2
对质点1：
cost 1 1 2
A A 2 O A 2 A
v2
A1
A 2
v1
1
2 3 4 3
x
2 4 t ， 舍去 2 3 3 3
例二 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸 长量为b。先用手将重物上托使弹簧保持自然长度然后放手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出其振动表达式。
解：取静平衡位置为坐 标原点，小球平衡时，有
mg kb 0
2
a A cost x
2 2
简谐振动的加速度与位移成正比而反向。 ——简谐振动的运动学特征（判据之一）
• x t, v t, a t 图
x，v，a
T
AA A
2
at
O
vt
xt
t
• 旋转振幅矢量法（参考圆法）
自Ox 轴原点作矢量A， 其模等于振幅。A绕O 点逆时针旋转，角速度 为（振动角频率）， 则A称为旋转振幅矢量。
d
2
dt
2
g l
0
令
即
2
g l
d
2
dt
2
0
2
单摆的角频率和周期分别为
T 2
g l
2
g l
振动方程的解为
max cost
角速度为
d dt
Ω
A sin t
由初始条件
t 0
0， Ω
自然长度
小球运动到x处时，有
F mg k x b kx
静平衡位置
b O
m
d x dt
2 2
故小球作简谐振动，且
m
kx
x
即
d x dt
2
2
k m
x0
简谐振动的角频率（固有角频率）为
k m g b
初始条件： x t 0 b
v
dx dt
t 0
v0 0
t
t
2
x
M O
3 2
A
x
2
2 1
N
O
t 3 4 T， 2 1
t
3 2
x
M
x
O
O
1 2
t
t T， 2 1
N
x
x
M 2 O
O
t 1 4 T， 2 1
N
t
2
（三）
t
2 1
简谐振动表达式中的常数 A、φ 的值取决于初始条件：
x t 0 A cos( t ) t 0 A cos x0
v dx dt
t 0
A sin( t )
t 0
A sin v0
将上述两式平方后相加和相除，即得
v0
v A sin t
v0 v
t 0
A sin ＜0
sin ＞0
即取
舍去 3 3
方法二：参考圆法：
由旋转矢量图：
3
3
x
可直观得
所以振动方程为
舍去 3 3
x 0.08 cos t m 3 2
代入公式得： A b,
简谐振动表达式为 x b cos(
g b
t )
• 简谐振动的实例
例一 质量为m的比重计，放在密度为 的液体中。 已知比重计圆管的直径为d。试证明，比重计推动后， 在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。 解：取平衡位置为坐标原点 平衡时： mg F 0 F
合成
简谐振动
分解
复杂振动
§4.1 简谐运动
简谐振动：物体运动时，离开平衡位 置的位移（或角位移）按余弦函数（或正 弦函数）的规律随时间变化 。
y t
• 弹簧振子
一根轻弹簧和一个物体构成的一个振动系统。
O
x
B
x
x
C
• 简谐振动的表达式
x A cos(t )
（一）振幅
A xmax
离开平衡位置的最大位移的绝对值。
x A 单位SI： m
（二）周期完成一个Fra bibliotek整振动所需的时间。 因为
x A cos( t ) A cos(t T ) )
所以
T 2
（三）频率和角频率
频率——单位时间内作完整振动的次数。
1 T
2
SI：
HZ
• 简谐振动的速度和加速度
v dx dt A sin( t ) vm cos(t
2
)
vm A — 速度振幅
a dv dt d x dt
2 2
A cost
2
am cost
am A — 加速度振幅
当 2＜1时，落后1 2
x，v，a
x A cos(t ) v vm cos(t )
T
2
at
AA
A
O
2 a am cost
v t
xt
t
1
M N
O
x
P Q
A
A cos 1
x
O A cos
1 t 2
t
超前与落后的相对性： 习惯上取绝对值较小的间隔。
简谐振动的动力学特征
• 简谐振动的动力学定义
x
O
B
x
x
C
由胡克定律：线性恢复力
F kx
k — 劲度系数，“-”号表示 F 与 x 方向相反。 由牛顿第二定律：
m d x dt
2 2
kx
或
2
d x dt
2
k m
x0
2
（2）
将x 0.04m代入方程：
0.04 0.08 cos t 3 2
2 2 2 1 得t arccos 3 3 2 3 2 3 0.667s
cos t 3 2 2
令 得
2
2
k m
d x dt
2
x 0
2
——简谐振动 动力学方程
微分方程的解为
x A cos(t )
简谐振动的角频率（固有角频率）为
k m
简谐振动的周期（固有周期）为
T 2
2
m k
弹簧振子的振动频率和周期仅与振子本身的性质 （k和m）有关，而与其它因素无关。
2
A
x0
2
v0 arctan x 0