数值计算方法(南京大学)第9章解非线性方程组的数值方法
5-非线性方程组的数值解法及最优化方法
非线性方程组的数值解法
不动点迭代法：根据非线性方程求根的迭代法，将方程组改 写为如下等价方程组
xi i x1, x2,, xn , i 1,2,, n
构造迭代公式
xik 1 i x1k , x2k ,, xnk , i 1,2,, n
非线性方程组的数值解法
若对任意A Cmn 都有一个实数 A 与之对应，且满足：
（1）非负性：当 A O 时， A 0 ；当A O 时，A 0；
（2）齐次性：对任何 C ，A A ；
（3）三角不等式：对任意 A, B C nn ，都有A B A B ;
（4）相容性：对任意A, B C nn ，都有 AB A B ，
…
…
18
(0.2325670051,0.0564515197)
19
(0.2325670051,0.0564515197)
max
1 i 2
xik
xik
1
0.2250 0.0546679688 0.0138638640 0.0032704648 0.0008430541 0.0001985303 0.0000519694 0.0000122370 0.0000032485 0.0000007649
10-9
非线性方程组的数值解法
练习题：用牛顿迭代法求解方程组
取 X 0 1.6,1.2T
xx1122
x22 x22
4 1
结果：1.5811,1.2247
非线性方程组的数值解法
应用经过海底一次反射到达水听器阵的特征声线传播时间， 来反演海底参数。假设水中和沉积层声速都是恒定的，海底 沉积层上界面水平，下界面倾斜。特征声线由水中声源出发 折射进入沉积层，经过沉积层的下界面反射后，再折射进入 水中，由水中水听器阵接收。特征声线的传播时间为声线在 水中和沉积层中的传播时间之和。 三维坐标关系如图所示：
非线性方程数值解法详解课件
例如，对于求解非线性方程$f(x)=0$的 应用实例中需要注意选择合适的初始近
根，可以先选择一个初始近似解$x_0$， 似解和设置合适的精度要求，以确保算
然后按照弦截法的迭代过程逐步逼近方
法能够快速收敛到真实解。
程的真实解。
05 共轭梯度法
共轭梯度法的原理
它利用共轭方向的概念，通过迭代过程中不断更新搜 索方向，使得函数值逐渐减小，最终找到方程的解。
牛顿法的实现步骤
确定初始点x0，计算f(x0)和f'(x0)，如果f(x0)不等于0，则按照牛顿法的迭代公式 进行迭代，直到满足精度要求。
1. 选取初始点x0；2. 计算函数值f(x0)和导数值f'(x0)；3. 如果f(x0)不等于0，则 按照牛顿法的迭代公式x1=x0-f(x0)/f'(x0)进行迭代；4. 重复步骤2和3，直到满 足精度要求。
以求解非线性方程为例，通过选择合 适的迭代法和初值，可以有效地求解 非线性方程的近似解。
03 牛顿法
牛顿法的原理
01
基于函数f(x)的泰勒级数的前两项， 通过迭代的方式逼近方程f(x)=0 的解。
02
牛顿法的基本思想是通过泰勒级 数的近似，将非线性方程f(x)=0 转化为线性方程，然后利用线性 方程的解来逼近非线性方程的解。
当达到预设的迭代次数或满足一定的收敛 条件时，停止迭代，输出结果。
共轭梯度法的收敛性分析
共轭梯度法具有全局收敛性和局部收敛性，即只要初始点 选择得当，算法能够找到方程的解，且在局部范围内具有 快速收敛的特点。
收敛性分析主要涉及算法的迭代矩阵和函数的性质，如连 续性和可微性等。
共轭梯度法的应用实例
牛顿法的收敛性分析
在一定的条件下，牛顿法是收敛的， 且具有二阶收敛速度。
第九章 非线性方程的数值解
1 引例：贷款的利率 现实生活中，许多人会向银行贷款，比如为了买房 或者买车，然后，在若干年内分期还款。这必须按一 定的贷款利率付给银行利息。假如，某人向银行贷款 25万，30年内每月按1435元还款。那么，这例贷款的 年利率是多少？ 有人可能会这样计算 年利率=(30×12×0.1435-25)/30/25=3.55% 但这是错误的，因为你并不是等到30年后一次还款。
f ( k 1) (a) 0
(k ) f (a) 0 称为 a 为 k 重根，对于高次代数方程， 但
至于超越方程， 其根的个数与其次数相同(包括重数)， 其解可能是一个或几个甚至无穷多，也可能无解。 常见的求解问题有如下两重要求： 一种是要求定出在给定范围内的某个解，而解的 粗略位置事先从问题的物理背景或应用(作图等)其他
clear,e=1e-6;format long; x1=1 x0=x1+2*2;%使while成立 while(abs(x0-x1)>e) x0=x1,x1=x0-(x0^2-3*x0+exp(x0)-2)/(2*x0-3+exp(x0)) end
得 x1 = 1.44623868596643
数学模型与数学建模方法
f ( xk ) xk 1 xk f '( xk ) (6)
数学模型与数学建模方法
Slide 14
第九章 非线性方程的数值解
例6： 求如下方程的正根（要求精度e=10-6） x2-3x+ex=2 解 令 f(x)=x2-3x+ex-2，f(0)=-1<0， f(2)>0，f´(x)>0， 即 f(x) 单调上升， 根在[0, 2]内， 先用图解法找初值。 fplot('x^2-3*x+exp(x)-2',[0,2]);grid on;
非线性方程组数值解法课件
目 录
• 非线性方程组概述 • 迭代法求解非线性方程组 • 牛顿法求解非线性方程组 • 拟牛顿法求解非线性方程组 • 非线性方程组数值解法的应用
01
非线性方程组概述
非线性方程组的定义与分类
定义
非线性方程组是由多个非线性方 程组成的数学模型，描述了多个 变量之间的关系。
在工程问题中的应用
航空航天工程
土木工程
非线性方程组数值解法用于设计和优 化飞行器、卫星和火箭的结构和性能。
在建筑设计、桥梁和高层建筑的结构 分析中，非线性方程组数值解法用于 模拟结构的承载能力和稳定性。
机械工程
在机械设计中，非线性方程组数值解 法用于分析复杂机械系统的动力学特 性和稳定性。
在金融问题中的应用
拟牛顿法的收敛性分析主要基于Hessian 矩阵的条件数和近似矩阵的误差界。在适 当的条件下，拟牛顿法能够保证全局收敛 性和局部超线性收敛性。
拟牛顿法的实现
总结词
拟牛顿法的具体实现可以通过不同的算法实 现，如DFP算法和BFGS算法等。
详细描述
DFP算法（Davidon-Fletcher-Powell）和 BFGS算法（Broyden-Fletcher-GoldfarbShanno）是两种常见的拟牛顿算法。它们 的主要区别在于近似矩阵的更新方式。DFP 算法采用三对角化方法更新近似矩阵，而 BFGS算法采用迭代更新的方式。在实际应 用中，BFGS算法通常比DFP算法更受欢迎， 因为它在大多数情况下都能提供更好的收敛 效果。
05
非线性方程组数值解法的 应用
在物理问题中的应用
量子力学方程
非线性方程组数值解法在 量子力学中用于描述微观 粒子的行为和相互作用。
非线性方程数值解法基本原理
非线性方程数值解法非线性方程数值解法
nonlinear equation，numerical method of
当f（x）是超越函数或高次多项式时，f（x）＝0称为非线性方程，此类方程除少数情形外，只能求近似解。
求解非线性方程的主要方法是迭代法。
使用这一方法一般至少要知道根的一个近似值x0，然后将原方程f（x）＝0改变成与它同解但便于迭代的形式x＝j（x），利用迭代公式xk+1＝j（xk），k＝0，1，2，……就能求出一系列逐步精确的近似值。
例如常用的迭代法有：①牛顿迭代公式：
k＝0，1，2，……式中x0为初始近似值。
②割线迭代公式：
k＝0，1，2，……式中x0，x1为两个初始近似值。
此外还有二次插值法、切比雪夫迭代法及艾特肯加速法等。
评价一个迭代公式的优劣，除去收敛条件之外，主要是看它的效能指标，即达到规定的精确度所花费的代价。
因此如何构造收敛的迭代公式，分析公式的收敛速度和收敛条件，以及加快收敛的技术，这些都是迭代法研究的课题。
牛顿迭代具有较高的收敛速度和简单灵活等优点，而且可以推广到求解非线性方程组，拟牛顿法就是具有较高效能指标的求解非线性方程组的通行方法。
南大数值分析课件第九章常微分方程数值解
y ( x i 1 ) y ( x i ) h y ( x i )
h
2
2
y ( x i ) O ( h )
3
要求
R i y ( x i 1 ) y i 1 O ( h )
3
，则必须有： 这里有 3 个未知 数， 2 个方程。
1 2 1 ,
2 2
y i ( 1ຫໍສະໝຸດ 2 ) h y ( x i ) 2 ph
y ( x i ) O ( h )
3
§2 Runge-Kutta Method
Step 3: 将 yi+1 与 y( xi+1 ) 在 xi 点的泰勒展开作比较
y i 1 y i ( 1 2 ) h y ( x i ) 2 ph y ( x i ) O ( h )
y i1 y i h 2
h yi [ f ( x i , yi ) f ( x i 1 , yi 1 )] 2
h f ( x i , y i ) ( i 0 , ... , n 1 )
f ( x i , y i ) f x i1 , y i
注：此法亦称为预测-校正法 /* predictor-corrector method */。 可以证明该算法具有 2 阶精度，同时可以看到它是个单 步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将 看到，它的稳定性高于显式欧拉法。
3
dx
Step 1: 将 K2 在 ( xi , yi ) 点作 Taylor 展开
K 2 f ( x i ph , y i phK f ( x i , y i ) phf
数值计算方法(南京大学)第9章解非线性方程组的数值方法
5
数值计算方法【第二版】电子教案
(1)描图法
南京大学林成森
7
数值计算方法【第二版】电子教案
南京大学林成森
对于m次代数方程 f (x) = xm+am-1xm-1+ …+a1x+a0=0其根的 模的上下界有如下结论： (1)若μ= max { |am-1| , ……, |a1| , |a0| }，则方程根的模小于μ+1 1 1 …… (2)若ν= max {1， |am-1| , , |a1| },则方程根的模大于 1 a0
例2.2
求方程 x3-3.2x2+1.9x+0.8=0的隔根区间。
解：设方程的根为α ， μ= max { |-3.2| , |1.9| , |0.8| }=3.2
1 ν = max {1， |-3.2| ，|1即有根区间为(-4.2,-0.2)和(0.2,4.2)
( x* x )(1 ' (ξ )) 0 而 | ' (ξ ) | 1 x* x
23
数值计算方法【第二版】电子教案
③ 当k 时， xk 收敛到 x* ？
南京大学林成森
| x * xk | | ( x*) ( xk 1 ) | | ' (ξk 1 ) | | x * xk 1 |
南京大学林成森
y=x
x0 y x1 x* y=x x y y=φ(x) p0 x0 x* y=φ(x)
非线性方程的数值解法
xk
x* ) p
根据已知条件得
(xk ) (x*)
1
p!
(
p
)
(
)(
xk
x*) p
由迭代公式 xk1 (xk ) 及 x* (x* ) 有
x k 1
x*
( p) ( )
p! (xk
x*) p
lim ek1 ( p) (x* ) 0
取一个初值 x0 , 代入式 x (x) 的右端, 得到
x1 (x0 )
再将 x1 代入式 x (x) 的右端, 得到 x2 (x1) , 依此类推, 得到一个数列 x3 (x2 ) …， 其一般表示
xk1 (xk ) (k 0,1,2,) (2.4)
2.3.1 迭代法的基本思想
为求解非线性方程f(x)=0的根，先将其写成便
于迭代的等价方程
x (x)
其中 (x) 为x的连续函数
(2.3)
例4 用迭代法求方程 x3 x 1 0
在x=1.5附近的一个根 解 将方程改写成如下两种等价形式
x 1 (x ) 3 x 1 x 2 (x ) x3 1
x6、x7重合，所以迭代公式（1）是收敛的，x*≈0.3758。 用迭代公式（2） xk1 10xk 2 , x0=1, 算得
x1=10-2=8, x2=108-2≈108, x3=10108-2≈ 10108，…… 迭代公式（2）发散。
}
2.3.3 迭代法收敛的条件 对方程f(x)=0可以构造不同的迭代公式, 但
证:由于 (x*) 1 ,存在充分小邻域△: x x* ,使成 立 (x* ) L 1 这里L为某个定数,根据微分中值定 理 (x) (x* ) ( )( x x* ) 由于 (x* ) x*,又当 x 时 ,故有 (x) x* L x x* x x* 由定理2.1知 xk1 (xk ) 对于任意的 x0 都收敛
非线性方程数值解法
非线性方程的数值解法
根的概念
给定方程f(x)=0，如果有α使得f(α)=0， 则称α为f(x)=0的根或f(x)的零点. 设有正整数m使得f(x)=(x-α)mg(x) 且g(α)0 ，则当m2时，称α为f(x)=0的 m重根；当m=1时，称为f(x)=0的单根. 本章只讨论实根的求法.
例 研究求 a的Newton公式,证明：对一切 k 1,2,, xk a ， Newton公式产生的序列 {xk}是单调递减的，从而迭代过程收敛 .
其Newton公式为 证 因a>0，x0>0，故xk >0 (k=1,2,)
xk 1 1 a ( xk ) 2 xk 1 a 2 ( xk ) a a 2 xk
迭代法的局部收敛性
如果存在α的某个邻域: x-α，迭代过程 xk+1=(xk)对任意初值x0均收敛，则称迭代 过程xk+1=(xk)是局部收敛的.
定理3 设(x)在方程x=(x)的根α邻近有一阶连 续的导数. 若'(α) <1, 则迭代过程xk+1=(xk)具有局部收敛 性 若'(α) >1,则迭代过程xk+1=(xk)发散. 证 由于' (α) <1 ，存在充分小邻域: x-α,使 成立' (x)L<1．当x 时，由微分中值定理有 (x)–α=(x)–(α)=' ()x-α＜x-α 故(x)，由定理１知对任意初值x0 均收敛
级数
x0+(x1-x0) +(x2 –x1) ++(xk+1-xk)+收敛.即有
lim xk ，α[a, b] k 下面证α是原方程的根．由(x) 可导， 故(x)在[a, b]上连续，对等式xk+1=(xk)两边同时 取极限得α =(α)，即α是原方程的根．
非线性方程的数值解法
迭代法求解的问题
1、迭代的收敛性 2、迭代的收敛速度 以上问题与迭代形式 x=ϕ(x)有关 例：方程 x2 + x – 6 =0 ,初值x0=1 迭代形式： x =6-x2 结果发散 迭代形式： x =(6+3x-x2)/4
结果收敛
简单迭代法的几何解释
迭代法的收敛条件
设方程 f (x)=0的根为x=a, 即f (a)=0 迭代形式 x=ϕ(x)，则 a = ϕ (a)，xn+1 = ϕ (xn) xn+1-a = ϕ (xn)- ϕ (a)
f ′(x) 与 f ′ (x) 均存在,
x0, x∈[ a,b] ；
插 值 法 的 几 何 解 释
弦割法
Newton’s Method 一步要计算 f 和 f ’，相当于 个函数值， 个函数值， ，相当于2个函数值 比较费时。 比较费时。现用 f 的值近似 f ’，可少算一个函数值。 ，可少算一个函数值。
直接法：fslove函数 直接法：fslove函数
fsolve函数有多种调用格式可供选用，现 以最常见的格式为例说明。 b=fsolve (′F′,x0,options) 例：fsolve(‘sin(x)’,1.2) 其中F为函数名，x0为初值矩阵,options为 以向量表示的可选参数值
迭代法求解
第二节 初值估计
1. 物理法 根据数学方程 f(x)=0 的物理概念确定初值。 例：计算实际气体的压缩因子 Z = PV / R T 可将理想气体的压缩因子作为初值 优缺点：物理法估计初值简便而确切, 并 具有明确的物理概念。但在实际应用上有 一定的局限性, 并不能解决所有初值的估 计问题。
Z0 =1
ϕ′(x) ≤ q <1
数值分析教案_非线性方程的数值解法
数值分析教案_非线性方程的数值解法教学目标：1.了解非线性方程的概念及其数值解法的重要性；2.掌握二分法、牛顿法和割线法的原理和计算步骤；3.综合运用不同的数值解法，求解非线性方程的近似解。
教学内容：一、非线性方程的概念1.如何判断一个方程是线性方程还是非线性方程；2.非线性方程的形式及其在实际问题中的应用。
二、二分法1.基本原理：介绍二分法的基本原理和思想；2.计算步骤：具体说明通过二分法求解非线性方程的计算步骤；3.算法实现：利用计算机编程实现二分法的算法。
三、牛顿法1.基本原理：介绍牛顿法的基本原理和思想；2.计算步骤：具体说明通过牛顿法求解非线性方程的计算步骤；3.算法实现：利用计算机编程实现牛顿法的算法。
四、割线法1.基本原理：介绍割线法的基本原理和思想；2.计算步骤：具体说明通过割线法求解非线性方程的计算步骤；3.算法实现：利用计算机编程实现割线法的算法。
五、综合应用1.比较三种方法的优缺点和适用范围；2.综合运用不同的数值解法，求解复杂非线性方程的近似解；3.解决实际问题：通过例题和练习，让学生能够将所学知识应用到实际问题的求解中。
教学方法：1.教师讲授：通过课堂讲解，介绍非线性方程的概念、三种数值解法的原理和步骤，并演示相关例题的解法；2.计算机实践：利用计算机编程实现二分法、牛顿法和割线法的算法，进行数值计算，加深学生对这些方法的理解和掌握；3.讨论与互动：通过小组讨论和学生提问，共同探讨解决非线性方程问题的思路和方法。
教学资源：1.教材：选择理论详细、实例丰富的数值分析教材；2.计算机：提供计算机实践环境，用于实现数值解法的算法；3.课件和PPT：用于展示教学内容和示例问题的解法；4.练习题和作业：用于巩固和检测学生对数值解法的理解和应用能力。
教学评估：1.课堂练习：通过课堂上的小组讨论和问题回答，检测学生对非线性方程和数值解法的理解程度；2.作业评估：布置相应的练习题和编程作业，检验学生独立解决非线性方程问题的能力。
非线性方程的数值解法课件
弦截法
弦截法是一种改进的迭代方法 ，通过将非线性方程转化为线 性方程来求解根。
弦截法的迭代公式为 $x_{n+1}=x_nfrac{f(x_n)}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$ ，其中$f(x)$为非线性方程。
弦截法的优点是无需计算函数 的导数，但收敛速度较慢，且 需要选择合适的迭代初值。
04
迭代法的优点是简单易 行，但收敛速度较慢， 且需要选择合适的迭代 初值。
牛顿法
牛顿法是一种基于泰勒级数的迭代方 法，通过线性化非线性方程来求解根 。
牛顿法的收敛速度较快，但需要计算 函数的导数，且在接近根时可能会产 生震荡。
牛顿法的迭代公式为$x_{n+1}=x_nfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，其中$f(x)$为 非线性方程。
步长与收敛性的关系
深入研究步长与算法收敛性的关系，以找到最佳的步长调整策略。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
这类方程在某些区间上具 有不同的非线性性质，例 如 $|x| = y$。
非线性方程的特性
不存在通用解法
与线性方程不同，非线性 方程没有统一的解法，需 要根据具体方程的特点选 择合适的解法。
解的复杂性
非线性方程的解通常比线 性方程复杂，可能存在多 个解或不存在解，也可能 存在混沌解。
对初值和参数敏感
线性方程
如果一个方程中未知数的最高次 幂为一次，并且没有未知数的幂 ，那么这个方程就是线性方程。
非线性方程的分类
01
02
03
代数非线性方程
这类方程中包含未知数的 幂，例如 $x^2 + y^3 = 1$。
超越非线性方程
数值计算方法解决非线性偏微分方程数值求解问题
数值计算方法解决非线性偏微分方程数值求解问题非线性偏微分方程是数学中一个重要的研究领域，它在物理学、工程学和生物学等众多领域中有广泛的应用。
非线性偏微分方程的解析解往往难以获得，因此数值求解非线性偏微分方程成为一种重要的方法。
在本文中，我们将探讨数值计算方法在解决非线性偏微分方程数值求解问题中的应用。
在数值计算方法中，有许多常用的技术可以用于求解非线性偏微分方程，其中最常用的方法之一是有限差分法。
有限差分法将区域离散化为一个个小的网格点，利用差分近似方法将偏微分方程转化为代数方程。
然后，我们可以使用迭代方法求解这个代数方程组以获得数值解。
有限差分法是一种简单而有效的方法，并且在许多实际问题中得到了广泛应用。
另一个常用的方法是有限元法，它将区域划分为小的有限元，然后利用有限元法的基函数进行插值和逼近。
通过将非线性偏微分方程转化为一组线性方程组来求解，我们可以得到数值解。
有限元法在处理复杂几何结构和非线性材料模型时具有一定的优势，因此在工程学中得到了广泛的应用。
除了有限差分法和有限元法之外，还有其他一些更高级的方法，如谱方法、边界元法和有限体积法等。
这些方法在某些特定的问题中可能具有更好的精度和收敛性。
根据问题的特点和限制条件，我们可以选择适当的数值计算方法来求解非线性偏微分方程问题。
然而，非线性偏微分方程数值求解问题往往是非常复杂的，由于非线性项的存在，容易导致数值解的不稳定性和发散性。
因此，在实际应用中，我们需要对数值方法进行适当的改进和优化。
一种常用的方法是时间步长的选择，合理的时间步长可以减小误差，并提高求解的效率。
此外，我们还可以利用局部离散化技术来提高数值解的精度，并使用自适应网格细化方法来减小误差。
除了以上提到的数值方法外，还有一些数值计算软件可以用于求解非线性偏微分方程问题，如MATLAB、Python的SciPy库等。
这些软件提供了丰富的数值计算工具和函数，可以帮助我们快速而准确地求解非线性偏微分方程。
非线性方程数值解法比较
非线性方程数值解法比较化学化工中的许多问题常常可以归结为求解函数方程f(x)=0。
如果f(x)是医院线性方程或一元二次方程，可以用代数方法求解。
但是如果是高次方程，求解析解变得非常困难甚至没有解析解，就只能用数值方法求近似解了。
解非线性方程的数值解法主要有：二分法，迭代法，牛顿法，割线法等。
下面将结合具体的例子来比较几种非线性方程的数值解法。
某多相催化反应通过实验测定的反应级数可以用方程x3-x-1=0来表达，用数值方法求解其反应级数。
1 二分法设方程f(x)=0已知有根区间为(x1,x2)，取x1与x2的中点x0，即x0=0.5(x1+x2)，检查f(x0)与f(x1)是否同号，如果不同号，则根x0就在(x1,x0)区间，如果同号则根在(x0,x2)区间。
这样就将根的区间缩小了一半，然后重复以上过程，直至解区间很小，得到数值解。
这种方法最大的缺点就是收敛速度慢。
其计算框图如图1.图1 二分法计算程序框图设定A=0，H=0.1，E=0.0001时，执行结果：No. X1 1.35002 1.32503 1.31254 1.31875 1.32186 1.32347 1.32428 1.32469 1.324810 1.324711 1.32472 迭代法迭代法是一种重要的逐次逼近方法，使用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精确，组后得到满足要求的结果。
将方程f(x)=0化为x=g(x)，以x0为第一个近似根，则有x1=g(x0)，再x1以为第二个近似根，则有x2=g(x1)，依次类推x k+1=g(x k)，如果x0，x1，…，x k，…这个数列有极限，这个极限就是方程的根。
这种方法最关键的问题在于要找出符合收敛条件的g(x)。
下面用迭代法解方程x3-x-1=0。
将原方程写为x=g(x)=(x+1)1/3其计算框图如图2.图2 迭代法计算程序框图设定X0=1.5，E=0.0001时，执行结果：No. X1 1.357212 1.330863 1.325884 1.324945 1.324766 1.324737 1.32472第六次迭代与第七次迭代结果之差已经小于0.00001，可见迭代法的收敛速度比二分法要快，但是依然有一些收敛速度较慢的迭代格式，这时候可以采用迭代-加速公式来加速收敛，在此不再详细介绍。
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对于m次代数方程 f (x) = xm+am-1xm-1+ …+a1x+a0=0其根的 模的上下界有如下结论： (1)若μ= max { |am-1| , ……, |a1| , |a0| }，则方程根的模小于μ+1 1 1 …… (2)若ν= max {1， |am-1| , , |a1| },则方程根的模大于 a0 1
12
( m ) f ( ) m m x 由假设 f ( x ) ( x p ) ( x p ) g ( x ) m ! (m) ( m ) f (x ) f ( p ) 这里 g ( p ) ， 0 g(x) m! m !
由定义 1 ， p 是 f( x ) 的 m 重零点 . 证毕
6
(2)逐步搜索法 运用零点定理可以得到如下逐步搜索法： 先确定方程f(x)=0的所有实根所在的区间为 [a,b],从x0=a 出发,以步长
h=(b-a)/n 其中n是正整数，在[a,b]内取定节点： xi=x0＋ih (i=0,1,2，……，n)
计算f(xi)的值,依据函数值异号及实根的个数确定 隔根区间,通过调整步长，总可找到所有隔根区 间。
性。
21
定理2（收敛定理） 考虑方程 x = φ(x), φ(x)C[a, b], 若
( I ) 当 x[a, b] 时， φ(x)[a, b]； ( II )对 x[a, b],有 | φ’(x) | L < 1 成立。
xk k 0
则任取 x0[a, b]，由 xk+1 = φ (xk) 得到的序列 收敛 于φ(x) 在[a, b]上的唯一不动点。并且有误差估计式：
p1 y=φ(x) x1 y=x x
p0 p1 x1 x0 x*
x x0 x*
p1
x
17
x1
对于迭代法需要讨论的基本问题是，迭代函数的构 造，迭代序列的收敛性和收敛速度以及误差估计。
问题：φ(x)的形式不唯一，如：
x x x 10 2 0 x 10 2
x n x 10 2 n 1
'
( x * x ) ( 1 ( ξ ) ) 0 ( ξ ) | 1 x * x 而 |
'
23
③ 当k 时， xk 收敛到 x* ？
' | x*x | |( x * ) ( x ) || ( ξ ) | |* x x | k k 1 k 1 k 1
14
二、简单迭代法
简单迭代法又称为不动点迭代法，基本思想是 首先构造不动点方程 x=φ(x)，即由方程 f(x)=0变换 为等价形式 x=φ(x), 式中φ(x)称为迭代函数。然后建 立迭代格式：xk+1 =φ(xk)称为不动点迭代格式。 当给定初值x0 后, 由迭代格式xk+1 =φ(xk)可求得数 列{xk}。如果{xk}收敛于α，且φ(x)在α连续，则α就是 不动点方程的根。因为：
lim x lim ( x ( lim x k 1 k) k)
k k k
知α=φ(α)，即{xk}收敛于方程的根 α 。
15
迭代法的几何意义
记y1=x , y2=φ(x) , 它们交点的横坐标α 即为方程的根
பைடு நூலகம்
y
y1 x
( x1, x1)
( x2 , x2 )
24
k L * x |x x ⑤ |x k| 1 0| ? 1 L
k | x x | L | x x |. . . . . . L | x x | k 1 k k k 1 1 0
x * x ' k 1 ⑥ l i m x * ? k x * x k
L * x |x x | x k| k k 1| 1 L
k L * x |x x |x k | 1 0| 1 L
( k = 1, 2, … )
且存在极限
x* x ' k 1 lim x* k x * x k
22
证明：① φ(x) 在[a, b]上存在不动点？ 令 f a () x b ( x ) ( x ) x
' x * x ( ξ ) ( x * x ) ' 1 k l i m k l i mk (* x ) k k x * x x * x k k
注：定理条件非必要条件，可将[a, b]缩小，定义局部收 敛性：若在 x* 的某 领域 B = { x | | x x* | } 有 φC1[a, b] 且 | φ’(x*) | < 1，则由x0B 开始的迭代 收敛。即调整初值可得到收敛的结果。
L |x * x | |x x |? k k k 1 1 L
| x x | | x * x | | x * x | | x * x | L | x * x | k 1 k k k 1 k k
1 L | x * x | | x x | | x x | k k 1 k k k 1 1 L 1 L
5
(1)描图法 画出y=f(x)的略图，从而看出曲线与x轴交点的 大致位置。也可将f(x)=0等价变形为g1(x)=g2(x)的 形式，y=g1(x)与y=g2(x)两曲线交点的横坐标所在 的子区间即为含根区间。
例如，求方程3x-1-cosx=0的隔根区间。
将方程等价变形为3x-1=cosx ，易见y=3x-1与 y=cosx的图像只有一个交点位于[0.5，1]内。
13
例 给定方程： x-sinx =0,问x*=0是几重零点. 解：设 f(x) = x-sinx,则 f(0)=0; f’(x) =1-cosx , f ’(0)=0; f’’(x)=sinx , f’’(0)=0;
f (3)(x)=cosx , f (3)(0)=1;
由定理1, x*=0是3重零点.
科学出版社21世纪高等院校教材电子教案系列
数值计算方法
【第二版】电子教案
南京大学数学系 林成森教授
授课教材
第八章 非线性方程组的数值方法
在科学研究的数学问题中更多的是非线性问题， 它们又常常归结为非线性方程或非线性方程组的 求解问题。
第一节 非线性方程求根的迭代法 第二节 非线性方程组的简单迭代法 第三节 非线性方程组的Newton型迭代法 第四节 无约束优化算法
h=0.8 -1.377160000000e+002 -81.95600000000002 -43.34800000000001 -18.81999999999999 -5.30000000000000 0.28400000000000 1.06000000000000 0.50000000000000 -0.31600000000000 1.68400000000000 9.57200000000000 26.42000000000000
10
定义1 若有x* 满足 (x*)=0 ， 则称x*为方程 的根或函数f(x)的零点，特别地，如果函数f(x)可分 解为 f(x) =(x x*)mg(x) 且 g(x* )0, 则称x*是f(x)的m重零点或f(x) =0的m重根。 当m=1时，称x*是f(x)的单根 或单零点。
11
定理1 设函数 f(x)∈Cm[a,b], 则点p∈(a,b)是f(x) 的m重零点，当且仅当 f(p) = f’(p) = f’’(p) =…=f(m-1)(p)=0, 但 f(m)(p) ≠0
x3
x4
19
若从任何可取的初值出发都能保证收敛，则称它 为大范围收敛。如若为了保证收敛性必须选取初值充 分接近于所要求的根，则称它为局部收敛。 通常局部收敛方法比大范围收敛方法收敛得快。 因此，一个合理的算法是先用一种大范围收敛方法求 得接近于根的近似值（如对分法），再以其作为新的 初值使用局部收敛法（如迭代法）。 这里讨论迭代法的收敛性时，均指的是局部收敛
() () b b0 fa () () a a 0 , fb
f (x) 有根
② 不动点唯一？
(x ) 反证：若不然，设还有 x ，则 ~之间 ' ~ x * ) ( x ) ( ξ ) ( x * x ) , 在 x * 和 x x* x (
3
第一节 非线性方程求根的迭代法
非线性方程的一般形式
f(x)=0 (1)
这里f(x)是单变量x 的函数，它可以是代数多项式 f(x)=a0+a1x+……+anxn (an≠0)
也可以是超越函数，即不能表示为上述形式的函数。 满足方程(1)的x值通常叫做方程的根或解，
也叫函数f(x)=0的零点。
4
一、非线性方程求根的基本问题包括：根的存在 性、根的隔离和根的精确化
例2.2 求方程 x3-3.2x2+1.9x+0.8=0的隔根区间。
解：设方程的根为α ， μ= max { |-3.2| , |1.9| , |0.8| }=3.2
1 ν = max {1， |-3.2| ，|1.9| } 0 .8
. 2 | | 4 . 2,即有根区间为(-4.2,-0.2)和(0.2,4.2) 故0
证明:(充分性)将f(x)在点p作m-1阶Taylor展开 ( m ) ( m 1 ) f ( ) f ( p ) m 1 m x f ( x ) f ( p ) f ' ( p )( x p ) ( x p ) ( x p ) ( m 1 )! m ! 位 x 与 于 p 之间 x
x lg( x 2 )
x lg( x 2 ) n 1 n