全国各地中考分类解析——解直角三角形

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中考数学专题复习：解直角三角形

中考数学专题复习：解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：在RE△ABC中,∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则∠A的正弦可表示为：sinA= ,∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ,它们弦称为∠A的锐角三角函数【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体,是两条线段的比,没有,这些比值只与有关,与直角三角形的无关2、取值范围<sinA< cosA< tanA> 】二、特殊角的三角函数值：【名师提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的,要在理解的基础上结合表格进行记忆2、当时,正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而sin A3、几个特殊关系：⑴sinA+cos2A= ,tanA=⑵若∠A+∠B=900,则sinA= cosA.tanB= 】三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素,求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：RT∠ABC中,∠C900 三边分别为a、b、c⑴三边关系：⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanAsinB cosB tanB【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形,再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角⑵坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度,用i表示,即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示,则i=hl=⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA表示OB表示OC表示（也可称西南方向）3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形,转化为解直角三角形的问题）⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形⑶解数学问题答案,从而得到实际问题的答案【名师提醒：在解直角三角形实际应用中,先构造符合题意的三角形,解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】【重点考点例析】考点一：锐角三角函数的概念例1 （•内江）如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255思路分析：利用网格构造直角三角形,根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O,根据网格的特点,CD⊥AB,在Rt△AOC中,CO=2211+=2；AC=2213+=10；则sinA=OCAC=25510=．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理,作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．对应训练1．（•贵港）在平面直角坐标系中,已知点A（2,1）和点B（3,0）,则sin∠AOB的值等于（）A．55B．52C．32D．121．A考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质；勾股定理．专题：计算题．分析：过A作AC⊥x轴于C,利用A点坐标为（2,1）可得到OC=2,AC=1,利用勾股定理可计算出OA,然后根据正弦的定义即可得到sin∠AOB的值．解答：解：如图过A作AC⊥x轴于C,∵A点坐标为（2,1）,∴OC=2,AC=1,∴OA=22OC AC+=5,∴sin∠AOB=1555ACOA==．故选A．点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中,一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了点的坐标与勾股定理．考点二：特殊角的三角函数值例2 （•孝感）计算：cos245°+tan30°•sin60°= ．思路分析：将cos45°=22,tan30°=33,sin60°=32代入即可得出答案．解：cos245°+tan30°•sin60°=12+33×32=12+12=1．故答案为：1．点评：此题考查了特殊角的三角函数值,属于基础题,熟练记忆一些特殊角的三角函数值是解答本题的关键．对应训练（•南昌）计算：sin30°+cos30°•tan60°．思路分析：分别把各特殊角的三角函数代入,再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．解：原式=13322+⨯=1322+=2．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．考点三：化斜三角形为直角三角形例3 （•安徽）如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB的长．6．思路分析：过C作CD⊥AB于D,求出∠BCD=∠B,推出BD=CD,根据含30度角的直角三角形求出CD,根据勾股定理求出AD,相加即可求出答案．解：过C作CD⊥AB于D,∴∠ADC=∠BDC=90°,∵∠B=45°,∴∠BCD=∠B=45°,∴CD=BD,∵∠A=30°,AC=23,∴CD=3,∴BD=CD=3,由勾股定理得：AD=22=3,AC CD∴AB=AD+BD=3+3,答：AB的长是3+3．点评：本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质和判定,含30度角的直角三角形性质等知识点的应用,关键是构造直角三角形,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目．对应训练3．（•重庆）如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形．若AB=2,求△ABC的周长．（结果保留根号）3．考点：解直角三角形；三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：根据等边三角形性质求出∠B=60°,求出∠C=30°,求出BC=4,根据勾股定理求出AC,相加即可求出答案．解答：解：∵△ABD是等边三角形,∴∠B=60°,∵∠BAC=90°,∴∠C=180°－90°－60°=30°,∴BC=2AB=4,在Rt△ABC中,由勾股定理得：AC=2222BC AB-=-=,4223∴△ABC的周长是AC+BC+AB=23+4+2=6+23．答：△ABC的周长是6+23．点评：本题考查了勾股定理,含30度角的直角三角形,等边三角形性质,三角形的内角和定理等知识点的应用,主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力,此题综合性比较强,是一道比较好的题目．考点四：解直角三角形的应用例4 （•张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示,其中∠B=∠D=90°,AB=BC=15千米,CD=32千米,请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数,2≈1.41436≈2.45）（2）求∠ACD的余弦值．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）连接AC ,根据AB =BC =15千米,∠B =90°得到∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米,再根据∠D =90°利用勾股定理求得AD 的长后即可求周长和面积；（2）直接利用余弦的定义求解即可．解：（1）连接AC∵AB =BC =15千米,∠B =90°∴∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米又∵∠D =90°∴AD =22 -AC CD =22(152)(32)123-=（千米）∴周长=AB +BC +CD +DA =30+32+123=30+4.242+20.784≈55（千米）面积=S △ABC +18 6 ≈157（平方千米）（2）cos ∠ACD =CD 321==AC 5152点评：本题考查了解直角三角形的应用,与时事相结合提高了同学们解题的兴趣,解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．对应训练6．（•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图,观测点设在A 处,离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒,∠BAC =75°．（1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米,参考数据：sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,3≈1.732,60千米/小时≈16.7米/秒）考点：解直角三角形的应用．专题：计算题．分析：（1）由于A到BC的距离为30米,可见∠C=90°,根据75°角的三角函数值求出BC的距离；（2）根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度,与60千米/小时进行比较即可．解答：解：（1）法一：在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=75°,AC=30,∴BC=AC•tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112（米）．法二：在BC上取一点D,连接AD,使∠DAB=∠B,则AD=BD,∵∠BAC=75°,∴∠DAB=∠B=15°,∠CDA=30°,在Rt△ACD中,∠ACD=90°,AC=30,∠CDA=30°,∴AD=60,CD=303,BC=60+303≈112（米）（2）∵此车速度=112÷8=14（米/秒）＜16.7 （米/秒）=60（千米/小时）∴此车没有超过限制速度．点评：本题考查了解直角三角形的应用,理解正切函数的意义是解题的关键．【聚焦山东中考】1．（•济南）如图,在8×4的矩形网格中,每格小正方形的边长都是1,若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上,则tan∠ACB的值为（）A．13B．12C．22D．31．A考点：锐角三角函数的定义．A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定3考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．分析：首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知cosA－12=0,sinB－22=0,然后根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数,再根据三角形内角和为180°算出∠C的度数即可．解答：解：∵|cosA－12|+（sinB－22）2=0,∴cosA－12=0,sinB－22=0,∴cosA=12,sinB=22,∴∠A=60°,∠B=45°,则∠C=180°－∠A－∠B=180°－60°－45°=75°,故答案为：75°．点评：此题主要考查了非负数的性质,特殊角的三角函数值,三角形内角和定理,关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值．5．（•潍坊）校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直,测得CD的长等于21米,在l上点D的同侧取点A、B,使∠CAD=30°,∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米,参考数据：3=1.73,2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时2秒,这辆校车是否超速？说明理由．5．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中,利用正切函数,即可求得AD与BD的长,继而求得AB的长；（2）由从A到B用时2秒,即可求得这辆校车的速度,比较与40千米/小时的大小,即可确定这辆校车是否超速．解答：解：（1）由題意得,在Rt△ADC中,AD=CD==21 3tan303=36.33,在Rt△BDC中,BD=CD==7 3tan303=12.11,则AB=AD－BD=36.33－12.11=24.22≈24.2（米）。

中考数学专题15 解直角三角形-三年(2019-2021)中考真题数学分项汇编(全国通用)(原卷版)

专题15.解直角三角形一、单选题1．（2021·浙江温州市·中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若1AB BC ==．AOB α∠=，则2OC 的值为（）A ．211sin α+B ．2sin 1α+C ．211cos α+D ．2cos 1α+2．（2021·浙江金华市·中考真题）如图是一架人字梯，已知2AB AC ==米，AC 与地面BC 的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC 为（）A ．4cos α米B ．4sin α米C ．4tan α米D ．4cos α米 3．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A 处，底端落在水平地面的点B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知3sin cos 5αβ==，则梯子顶端上升了（） A ．1米 B ．1.5米 C ．2米 D ．2.5米4．（2021·湖南株洲市·中考真题）某限高曲臂道路闸口如图所示，AB 垂直地面1l 于点A ，BE 与水平线2l 的夹角为()090αα︒≤≤︒，12////EF l l ，若 1.4AB =米，2BE =米，车辆的高度为h （单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度．①当90α=︒时，h 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；②当45α=︒时，h 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；③当60α=︒时，h 等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．则上述说法正确的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．（2021·湖南衡阳市·中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC 为6米，则自动扶梯AB 的长约为（sin370.6,cos370.8,tan370.75︒≈︒≈︒≈）（）．A ．7.5米B ．8米C ．9米D ．10米6．（2021·天津中考真题）tan30︒的值等于（）A B ．2 C ．1 D ．27．（2021·重庆中考真题）如图，在建筑物AB 左侧距楼底B 点水平距离150米的C 处有一山坡，斜坡CD 的坡度（或坡比）为1:2.4i =，坡顶D 到BC 的垂直距离50DE =米（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内），在点D 处测得建筑物顶A 点的仰角为50°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin500.77︒≈；cos500.64︒≈；tan50 1.19︒≈）A ．69.2米B ．73.1米C ．80.0米D ．85.7米8．（2021·云南中考真题）在ABC 中，90ABC ∠=︒，若s n 3100,5i A A C ==，则AB 的长是（） A ．5003 B ．5035 C ．60 D ．809．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，为了测量某建筑物BC 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B 在同一水平线上的A 点出发，沿斜坡AD 行走130米至坡顶D 处，再从D 处沿水平方向继续前行若干米后至点E 处，在E 点测得该建筑物顶端C 的仰角为60°，建筑物底端B 的俯角为45°，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，斜坡AD 的坡度1:2.4i =．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC 的高度约为（）1.732≈）A ．136.6米B ．86.7米C ．186.7米D ．86.6米10．（2021·重庆中考真题）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA 和N D ．甲在山脚点C 处测得通信基站顶端M 的仰角为60°，测得点C 距离通信基站MA 的水平距离CB 为30m ；乙在另一座山脚点F 处测得点F 距离通信基站ND 的水平距离FE 为50m ，测得山坡DF 的坡度i =1：1.25．若58ND DE =，点C ，B ，E ，F 在同一水平线上，则两个通信基站顶端M 与顶端N 的高度差为（）（参1.73≈≈）A ．9.0mB ．12.8mC ．13.1mD ．22.7m11．（2021·四川泸州市·中考真题）在锐角ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，有以下结论：2sinA sinB sinCa cb R ===（其中R 为ABC 的外接圆半径）成立．在ABC 中，若∠A =75°，∠B =45°，c =4，则ABC 的外接圆面积为（） A ．163π B ．643π C ．16π D ．64π12．（2020·柳州市柳林中学中考真题）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =4，AC =3，则cos B =BC AB=（）A ．35B ．45CD ．3413．（2020·山东济南市·中考真题）如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE 的央角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF//BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m14．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角ADE∠为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B 之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（）A．6tan551x︒=-B．1tan556x-︒=C．1sin556x-︒=D．1cos556x-︒=15．（2020·辽宁大连市·中考真题）如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60︒方向，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为（）A．100m B．C．D．m316．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）如图，A经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，0)，交y 轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点.则∠CDO的正弦值是（）A．35B．34-C．34D．4517．（2020·江苏镇江市·中考真题）如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP＝x，QD ＝y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E(9，2)，则cos B的值等于（）A ．25B ．12C ．35D ．71018．（2020·吉林长春市·中考真题）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点B ，塔身中心线AB 与垂直中心线AC 的夹角为A ∠，过点B 向垂直中心线AC 引垂线，垂足为点D ．通过测量可得AB 、BD 、AD 的长度，利用测量所得的数据计算A ∠的三角函数值，进而可求A ∠的大小．下列关系式正确的是（）A ．sin BD A AB = B ．cos AB A AD =C ．tan AD A BD = D ．sin AD A AB=19．（2020·山东威海市·中考真题）如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在直线3l ，4l ，2l ，1l 上．若直线1234//////l l l l 且间距相等，4AB =，3BC =，则tan α的值为（）A ．38B ．34CD ．1520．（2020·广东深圳市·中考真题）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P 、Q 两点分别测定对岸一棵树T 的位置，T 在P 的正北方向，且T 在Q 的北偏西70°方向，则河宽（PT 的长）可以表示为（）A ．200tan70°米B ．200tan 70︒米C ．200sin70°米D ． 200sin 70︒米 21．（2020·湖南娄底市·中考真题）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂1cos L L α=⋅，阻力臂2cos L l β=⋅，如果动力F 的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（）A ．越来越小B ．不变C ．越来越大D ．无法确定22．（2020·江苏扬州市·中考真题）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 、D ，则sin ADC ∠的值为（）A ．13BC ．23D ．3223．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点A 在x 轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D 在y 轴的正半轴上，矩形的边,,AB a BC b DAO x ==∠=．则点C 到x 轴的距离等于（）A ．cos sin a x b xB ．cos cos a x b xC ．sin cos a x b xD ．sin sin a x b x24．（2019·浙江中考真题）如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，已知,,AB m BAC a =∠=∠则下列结论错误．．的是（） A ．BDC α∠=∠ B ．tan BC m a =⋅ C ．2sin m AO α= D ．cos m BD a= 25．（2019·山东中考真题）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B 处仰角为30°，则甲楼高度为（）A ．11米B ．（36﹣C ．米D ．（36﹣）米26．（2019·四川绵阳市·中考真题）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则()2sin cos θθ-=( )A ．15BCD ．9527．（2019·重庆中考真题）如图，AB 是垂直于水平面的建筑物．为测量AB 的高度，小红从建筑物底端B 点出发，沿水平方向行走了52米到达点C ，然后沿斜坡CD 前进，到达坡顶D 点处，DC BC =．在点D 处放置测角仪，测角仪支架DE 高度为0.8米，在E 点处测得建筑物顶端A 点的仰角AEF ∠为27︒（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内）．斜坡CD 的坡度（或坡比）1:2.4i =，那么建筑物AB 的高度约为（）（参考数据sin 270.45︒≈，cos270.89︒≈，tan 270.51︒≈）A ．65.8米B ．71.8米C ．73.8米D ．119.8米三、填空题目28．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在44⨯的正方形网格图中，已知点A 、B 、C 、D 、O 均在格点上，其中A 、B 、D 又在O 上，点E 是线段CD 与O 的交点．则BAE ∠的正切值为________．29．（2021·浙江衢州市·中考真题）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE 与地面平行，支撑杆AD ，BC 可绕连接点O 转动，且OA OB =，椅面底部有一根可以绕点H 转动的连杆HD ，点H 是CD 的中点，F A ，EB 均与地面垂直，测得54cm FA =，45cm EB =，48cm AB =．（1）椅面CE 的长度为_________cm ．（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD 绕着支点H 带动支撑杆AD ，BC 转动合拢，椅面和连杆夹角CHD ∠的度数达到最小值30时，A ，B 两点间的距离为________cm （结果精确到0.1cm ）．（参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈）30．（2021·浙江绍兴市·中考真题）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD 上，时钟中心在矩形ABCD 对角线的交点O 上．若30cm AB =，则BC 长为_______cm （结果保留根号）．31．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图，海中有一个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60︒方向上；航行12n mile 到达C 点，这时测得小岛A 在北偏东30方向上．小岛A 到航线BC 的距离是__________n mile （3 1.73≈，结果用四舍五入法精确到0.1）．32．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知点(4,3)A ，点B 为直线2y =-上的一动点，点()0,C n ，23n -<<，AC BC ⊥于点C ，连接AB ．若直线AB 与x 正半轴所夹的锐角为α，那么当sin α的值最大时，n 的值为________．33．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C 处测得石碑顶A 点的仰角为30，她朝石碑前行5米到达点D 处，又测得石顶A 点的仰角为60︒，那么石碑的高度AB 的长=________米．（结果保留根号）34．（2021·浙江中考真题）如图，已知在Rt ABC 中，90,1,2ACB AC AB ∠=︒==，则sin B 的值是______．35．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，BEC △与FEC 关于直线EC 对称，点B 的对称点F 在边AD 上，G 为CD 中点，连结BG 分别与,CE CF 交于M ，N 两点，若BM BE =，1MG =，则BN 的长为________，sin AFE ∠的值为__________．36．（2021·四川乐山市·中考真题）在Rt ABC 中，90C ∠=︒．有一个锐角为60︒，4AB =．若点P 在直线AB 上（不与点A 、B 重合），且30PCB ∠=︒，则CP 的长为________．37．（2021·浙江杭州市·中考真题）sin30°的值为_____．38．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）如图所示，在四边形ABCD 中，90B ∠=︒，2AB =，8CD =．连接AC ，AC CD ⊥，若1sin 3ACB ∠=，则AD 长度是_________． 39．（2020·辽宁阜新市·中考真题）如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角20α=︒，两树间的坡面距离5m AB =，则这两棵树的水平距离约为_________m （结果精确到0.1m ，参考数据：sin200.342,cos200.940,tan200.364︒≈︒≈︒≈）．40．（2020·湖北荆州市·中考真题）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步，已知此步道外形近似于如图所示的Rt ABC ∆，其中90︒∠=C ，AB 与BC 间另有步道DE 相连，D 地在AB 的正中位置，E 地与C 地相距1km ，若3tan ,454ABC DEB ︒∠=∠=，小张某天沿A C E B D A →→→→→路线跑一圈，则他跑了_______km ．41．（2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）如图，海中有个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在点B 处测得小岛A 位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D 处，测得小岛A 在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD 为________海里．42．（2020·湖北孝感市·中考真题）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB 的长为______m ．（结果保留根号）三、解答题43．（2021·青海中考真题）如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度2AD =米，且两扇门的大小相同（即AB CD =），将左边的门11ABB A 绕门轴1AA 向里面旋转35︒，将右边的门11CDD C 绕门轴1DD 向外面旋转45︒，其示意图如图2，求此时B 与C 之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据sin350.6︒≈，cos350.8︒≈ 1.4≈）．44．（2021·四川成都市·中考真题）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A 处安置测倾器，测得点M 的仰角33MBC ∠=︒，在与点A 相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M 的仰角45MEC ∠=︒ （点A ，D 与N 在一条直线上），求电池板离地面的高度MN的长．（结果精确到1米；参考数据：sin330.54,cos330.84,tan330.65︒≈︒≈︒≈）45．（2021·山东聊城市·中考真题）时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A 处向正南方向走300米到达革命纪念碑B 处，再从B 处向正东方向走到党史纪念馆C 处，然后从C 处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D 处，最后从D 处回到A 处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）46．（2021·四川广元市·中考真题）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D 点处时，无人机测得操控者A 的俯角为75︒，测得小区楼房BC 顶端点C 处的俯角为45︒．已知操控者A 和小区楼房BC 之间的距离为45米，小区楼房BC 的高度为（1）求此时无人机的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB 的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A ，B ，C ，D都在同一平面内．参考数据：tan 752︒=，tan152︒=．计算结果保留根号）47．（2021·四川资阳市·中考真题）资阳市为实现5G网络全覆盖，2020－2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为1:2.4i=的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为45︒，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53︒（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：434sin53,cos53,tan53553︒≈︒≈︒≈）（1）求D处的竖直高度；（2）求基站塔AB的高．48．（2021·江苏宿迁市·中考真题）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，≈1.414≈=1.732)．49．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）一酒精消毒瓶如图1，AB 为喷嘴，BCD ∆为按压柄，CE 为伸缩连杆，BE 和EF 为导管，其示意图如图2，108DBE BEF ∠=∠=︒，6cm BD =，4cm BE =．当按压柄BCD ∆按压到底时，BD 转动到'BD ，此时'//BD EF （如图3）．（1）求点D 转动到点'D 的路径长；（2）求点D 到直线EF 的距离（结果精确到0.1cm ）．（参考数据：sin360.59︒≈，cos360.81︒≈，tan360.73︒≈，sin720.95︒≈，cos720.31︒≈，tan72 3.08︒≈）50．（2021·江苏连云港市·中考真题）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB 摆成如图1所示．已知 4.8m AB =，鱼竿尾端A 离岸边0.4m ，即0.4m AD =．海面与地面AD 平行且相距1.2m ，即 1.2m DH =．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC 与海面HC 的夹角37BCH ∠=︒，海面下方的鱼线CO 与海面HC 垂直，鱼竿AB 与地面AD 的夹角22BAD ∠=︒．求点O 到岸边DH 的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角53BAD ∠=︒，此时鱼线被拉直，鱼线 5.46m BO =，点O 恰好位于海面．求点O 到岸边DH 的距离．（参考数据：3sin 37cos535︒=︒≈，4cos37sin 535=︒︒≈，3tan 374︒≈，3sin 228︒≈，15cos2216︒≈，2tan 225︒≈）51．（2021·浙江绍兴市·中考真题）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l ，底座AB 固定，高AB 为50cm ，连杆BC 长度为70cm ，手臂CD 长度为60cm ．点B ，C 是转动点，且AB ，BC 与CD 始终在同一平面内，（1）转动连杆BC ，手臂CD ，使143ABC ∠=︒，//CD l ，如图2，求手臂端点D 离操作台l 的高度DE 的长（精确到1cm ，参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈）．（2）物品在操作台l 上，距离底座A 端110cm 的点M 处，转动连杆BC ，手臂CD ，手臂端点D 能否碰到点M ？请说明理由．52．（2021·四川达州市·中考真题）2021年，州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为30的河床斜坡边，斜坡BC 长为48米，在点D 处测得桥墩最高点A 的仰角为35︒，CD 平行于水平线BM ，CD 长为AB 的高（结果保留1位小数）．（sin350.57︒≈，cos350.82︒≈，tan350.70︒≈ 1.73≈）53．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB 的高度，他在点C 处测得大树顶端A 的仰角为45︒，再从C 点出发沿斜坡走D 点，在点D 处测得树顶端A 的仰角为30︒，若斜坡CF 的坡比为1:3i =（点E C H ，，在同一水平线上）．（1）求王刚同学从点C 到点D 的过程中上升的高度；（2）求大树AB 的高度（结果保留根号）．54．（2021·四川广安市·中考真题）如图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄AB 与地面DE 平行，踏板CD 长为1.5m ，CD 与地面DE 的夹角15CDE ∠=︒，支架AC 长为1m ，75ACD ∠=︒，求跑步机手柄AB 所在直线与地面DE 之间的距离．（结果精确到0.1m .参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈ 1.73≈）55．（2021·湖南邵阳市·中考真题）计算：()020212tan 60π--︒．56．（2021·四川眉山市·中考真题）“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从A 处测得该建筑物顶端C 的俯角为24°，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达B 处，测得顶端C 的俯角为45°，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据：2sin 245≈°，9cos 2410︒≈，9tan 2420︒≈）57．（2021·四川眉山市·中考真题）计算：(1143tan 602-⎛⎫-︒--+ ⎪⎝⎭58．（2021·安徽中考真题）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD 为矩形，点B 、C 分别在EF 、DF 上，90ABC ∠=︒，53BAD ∠=︒，10AB cm =，6BC cm =．求零件的截面面积．参考数据：sin530.80︒≈，cos530.60︒≈．59．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，A ，B 是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C 点处遇险发出求救信号，此时测得C 点位于观测点A 的北偏东45°方向上，同时位于观测点B 的北偏西60°方向上，且测得C 点与观测点A 的距离为海里．（1）求观测点B 与C 点之间的距离；（2）有一艘救援船位于观测点B 的正南方向且与观测点B 相距30海里的D 点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C 点需要的最少时间．60．（2021·四川遂宁市·中考真题）小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A 处看到B 、C 处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A 处测得B 在北偏西45°方向， C 在北偏东30°方向，他从A 处走了20米到达B 处，又在B 处测得 C 在北偏东60°方向．（1）求∠C 的度数；（2）求两颗银杏树B 、C 之间的距离（结果保留根号）．61．（2021·四川自贡市·中考真题）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B 处测得办公楼底部D 处的俯角是53°，从综合楼底部A 处测得办公楼顶部C 处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan370.75︒≈，tan53 1.33︒≈ 1.73≈）62．（2020·四川广安市·中考真题）如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，己知真空集热管AB 与支架CD 所在直线相交于水箱横断面⊙O 的圆心，支架CD 与水平线AE 垂直，AB=154cm ，∠A=30°，另一根辅助支架DE=78cm ，∠E=60°．（1）求CD 的长度．（结果保留根号）（2）求OD 的长度．（结≈1.414）63．（2020·山东日照市·中考真题）阅读理解：如图1，Rt △ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，∠C ＝90°，其外接圆半径为R ．根据锐角三角函数的定义：sin A ＝a c ，sin B ＝b c ，可得sin a A ＝sin b B ＝c ＝2R ，即：sin a A ＝sin bB ＝sin c C＝2R ，（规定sin90°＝1）．探究活动：如图2，在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，其外接圆半径为R ，那么：sin aAsin bB sin c C（用＞、＝或＜连接），并说明理由．事实上，以上结论适用于任意三角形．初步应用：在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，∠A ＝60°，∠B ＝45°，a ＝8，求b ．综合应用：如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD 的高度，在A 处用测角仪测得塔顶C 的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m 到达B 处，此时A ，B ，D 三点在一条直线上，在B 处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD 的高度（结果保留小数点后一位）．，sin15°64．（2020·辽宁铁岭市·中考真题）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大A B C M在同一平面内）（1）求大桥主架在桥桥主架的水平距离CM为60米，且AB垂直于桥面．（点,,,面以上的高度AM；（结果保留根号）（2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米）50．（2020·辽宁盘锦市·中考真题）如图，某数学活动小组要测量建筑物AB的高度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量，测量结果如下表．请根据需要，从上面表格中选择3个测量数据，并利用你选择的数据计算出建筑物AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：︒=︒≈︒≈）（选择一sin670.92,cos670.39,tan67 2.36︒≈︒=︒=．sin220.37,cos220.93,tan220.40种方法解答即可）65．（2020·云南昆明市·中考真题）（材料阅读）2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度．其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个规标，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加．因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为f＝20.43dR（其中d为两点间的水平距离，R为地球的半径，R取6400000m），即：山的海拔高度＝测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差．（问题解决）某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动．如图，点A，B的水平距离d＝800m，测量仪AC＝1.5m，觇标DE＝2m，点E，D，B在垂直于地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山项觇标顶端E的仰角为37°，测量点A处的海拔高度为1800m．（1）数据6400000用科学记数法表示为；（2）请你计算该山的海拔高度．（要计算球气差，结果精确到0.01m）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）66．（2020·山东烟台市·中考真题）今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用厘米，女性应采用厘米；（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC＝100厘米，点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．（参考数据表）67．（2020·海南中考真题）为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车.某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图，隧道AB 在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道450米的高度上水平飞行，到达点P 处测得点A 的俯角为30,继续飞行1500米到达点Q 处，测得点B 的俯角为45︒．（1）填空：A ∠=__________度，B ∠=_________度；（2）求隧道AB 的长度(结果精确到1米)．( 1.732≈≈)68．（2020·山西中考真题）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC 和DEF 是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC 和EF 均垂直于地面，扇形的圆心角28ABC DEF ∠=∠=︒，半径60BA ED cm ==，点A 与点D 在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm ．（1）求闸机通道的宽度，即BC 与EF 之间的距离（参考数据：sin 280.47︒≈，cos280.88︒≈，tan 280.53︒≈）；（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．69．（2020·江西中考真题）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长120mm AB =，支撑板长80mm CD =，底座长90mm DE =，托板AB 固定在支撑板顶端点C 处，且40mm CB =，托板AB 可绕点C 转动，支撑板CD 可绕点D 转动．（结果保留小数点后一位）（1）若80DCB ︒∠=，60CDE ︒∠=，求点A 到直线DE 的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB 绕点C 逆时针旋转10后，再将CD 绕点D 顺时针旋转，使点B 落在直线DE 上即可，求CD 旋转的角度．（参考数据：sin 400.643,cos 400.766︒︒≈≈，tan 400.839︒≈，sin 26.60.448≈，cos 26.60.894,tan 26.60.500︒︒≈≈ 1.732≈）70．（2020·湖南衡阳市·中考真题）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当是示屏的边缘线OB 与底板的边缘线OA 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B 、O 、C 在同一直线上，24cm OA OB ==，BC AC ⊥，30OAC ∠=︒．（1）求OC 的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB '与水平线的夹角仍保持120°，求点B '到AC 的距离．（结果保留根号）71．（2019·上海中考真题）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE 可以绕点A 逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE 落在AD E '的位置（如图2所示），已知90AD =厘米，30DE =厘米，40EC =厘米．（1）求点D 到BC 的距离；（2）求E 、E '两点的距离．72．（2019·江西中考真题）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B A O --表示固定支架，AO 垂直水平桌面OE 于点O ，点B 为旋转点，BC 可转动，当BC 绕点B 顺时针旋转时，投影探头CD 始终垂直于水平桌面OE ，经测量： 6.8cm AO =，8cm CD =，30cm AB =，35cm BC =．（结果精确到0.1）（1）如图2，70ABC ︒∠=，//BC OE ．①填空：BAO ∠=_________°；②求投影探头的端点D 到桌面OE 的距离．（2）如图3，将（1）中的BC 向下旋转，当投影探头的端点D 到桌面OE 的距离为6cm 时，求ABC ∠的大小．（参考数据：sin 700.94︒≈，cos200.94︒≈，sin36.80.60︒≈，cos53.20.60︒≈）。

2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第二期) 专题28 解直角三角形(含解析)

解直角三角形一.选择题1. （2019•广东省广州市•3分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决．【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，∴tan∠BAC＝，解得，AC＝75，故选：A．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2. （2019•广西北部湾经济区•3分）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】C【解析】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF=x，∵tan65°=，∴OF=xtan65°，∴BD=3+x，∵tan35°=，∴OF=（3+x）tan35°，∴2.1x=0.7（3+x），∴x=1.5，∴OF=1.5×2.1=3.15，∴OE=3.15+1.5=4.65，故选：C．过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF=x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．二.填空题1. （2019•江苏宿迁•3分）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是＜BC ＜．【分析】当点C在射线AN上运动，△ABC的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的BC的值．【解答】解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°∴∠ABC1＝30°∴AC1＝AB＝1，由勾股定理得：BC1＝，在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60°∴∠AC2B＝30°∴AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2，当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2．故答案为：＜BC＜2．【点评】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用特殊直角三角形的边角关系或利用勾股定理求解．考察直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点．2. （2 019·江苏盐城·3分）如图，在△ABC 中，BC ＝26+，∠C ＝45°，AB ＝2AC ，则AC 的长为________.【答案】2【解析】过A 作AD ⊥BC 于D 点，设AC =x 2，则AB =x 2，因为∠C =45°，所以AD =AC =x ，则由勾股定理得BD =x AD AB 322=-，因为AB =26+，所以AB =263+=+x x ,则x =2.则AC =2.3. （2 019·江苏盐城·3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝2x －1的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，将直线AB 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x 轴于点C ，则直线BC 的函数表达式是__________.【答案】131-=x y 【解析】因为一次函数y ＝2x －1的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，则A （21，0），B （0,-1），则AB =25. 过A 作AD ⊥BC 于点D ，因为∠ABC =45°，所以由勾股定理得AD =410，设BC =x ，则AC =OC -OA =2112--x ，根据等面积可得：AC ×OB =BC ×AD ，即2112--x =410x ，解得x =10.则AC =3，即C （3，0），所以直线BC 的函数表达式是131-=x y .4. （2019•浙江湖州•4分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB 和CD 分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD ＝α．若AO ＝85cm ，BO ＝DO ＝65cm ．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A 离地面的高度h 约为 120 cm ．（参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6．）【分析】过O 作OE ⊥BD ，过A 作AF ⊥BD ，可得OE ∥AF ，利用等腰三角形的三线合一得到OE 为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形AFB 中，利用锐角三角函数定义求出h 即可．【解答】解：过O 作OE ⊥BD ，过A 作AF ⊥BD ，可得OE ∥AF ， ∵BO ＝DO ， ∴OE 平分∠BOD ，∴∠BOE ＝∠BOD ＝×74°＝37°， ∴∠F AB ＝∠BOE ＝37°，在Rt △ABF 中，AB ＝85+65＝150cm ， ∴h ＝AF ＝AB •cos ∠F AB ＝150×0.8＝120cm ，故答案为：120【点评】此题考查了解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解本题的关键．三.解答题1. （2019•江苏宿迁•10分）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．（1）求坐垫E到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE′的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）【分析】（1）作EM⊥CD于点M，由EM＝ECsin∠BCM＝75sin46°可得答案；（2）作E′H⊥CD于点H，先根据E′C＝求得E′C的长度，再根据EE′＝CE﹣CE′可得答案【解答】解：（1）如图1，过点E作EM⊥CD于点M，由题意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+15＝75cm，∴EM＝ECsin∠BCM＝75sin64°≈67.5（cm），则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5（cm）；（2）如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，由题意知E′H＝80×0.8＝64，则E′C＝＝≈71，1，∴EE′＝CE﹣CE′＝75﹣71.1＝3.9（cm）．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答．2. （2019•江西•8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B-A-O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm.（结果精确到0.1）（1）如图2，∠ABC=70°，BC∥OE。

初中数学中考类题剖析——解直角三角形

【考点解读】解直角三角形的应用--仰角俯角问题，方程的思想。
【思路分析】认真审题，准确提取信
息，设每层楼的高度为x米，由MC﹣CC′
考题呈现
2012年9.如图,轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30° 方【向201匀2】速9.航轮行船，从在B 处B以处每观小时测5灯0 海塔里A的位速于度沿南南偏偏东东37050 方°向方匀向速航上行，，在轮B船航处观行测半灯小塔时A 位到于达南偏C东处7，50 方在向C上处，轮观船测航灯行半塔小A时位到达于C北处偏，在东C6处0°观测方灯向塔上A ，位于则北C偏处东与60灯0 方塔向上A，的则距C 处离与是灯（塔 A 的）距离海是里(． )海里．
1.教学过程中帮助学生弄清理解概念——锐角三角比、仰角俯角、方位角、坡度坡比、坡角等。 2.通过含有30°、60°、45°特殊角的直角三角形的三边的关系，数形结合帮助学生熟记特殊角的三角比。 3.教育学生认真读题、审题，养成严谨细心的审题习惯，加强准确提取信息的方法指导和练习。 4.通过具体情境让学生感受将实际问题转化成数学问题，再将数学问题的答案回归到实际问题的模型思想。 5.严格要求，加强解题规范性的训练，书写认真，运算准确。
A． 25 3 B． 25 2 C．50
D．25
【错因剖析】(1)审题不认真，不能快速的
将文字语言转化成图形语言；(2)不能根据 25
方位角得出∠BCA=90°，∠ABC=45°；(3)
运算能力弱，导致算错结果。
【教学策略】(1)加强信息读取的方法指导：
①基本的阅读理解；②图文阅读；③文表阅
读。(2)重视运算能力的培养和提高。
程÷时间。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
考题呈现
2013年9.一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得A海岛与B的距离为20海里。渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近。同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为( )

中考专题6 解直角三角形的应用

第二部分中考专题突破
专题六解直角三角形的应用
专题概述典题剖析真题演练
专题六解直角三角形的应用
数学
专题概述
解直角三角形的应用是深圳中考的常见题目之一，以解直角三角形为基础，加上实际背景来解决生活中常见的一些问题，如仰角俯角问题、坡度坡角问题、方位角问题，这类题目最关键是找到辅助线构造出直角三角形，注意特殊角的应用．在一些题目中有时会出现等腰三角形，此时等腰三角形的应用可以大大减少题目的运算量．此类问题往往考查的不是解直角三角形而是学会构造直角三角形，在构造直角三角形时，尽量不要破坏已知角或特殊角，以便更好更快的解题．
(1)求 AB 的长． (2)若 AD＝6.5，求∠DCB 的余切值．
专题六解直角三角形的应用
数学
解：(1)如图，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E.又∵AB＝AC， ∴BE＝12BC.∵BC＝24，∴BE＝12.在 Rt△ABE 中，∠AEB＝90°， sin∠ABC＝AAEB＝153，设 AE＝5k，AB＝13k.∵AB2＝AE2＋BE2， ∴BE＝12k＝12.∴k＝1.
解得 x≈0.75.∴2x＝1.5，即保温板 AC 的长约是 1.5 m.
专题六解直角三角形的应用
数学
点评：对于直角三角形的应用——仰角俯角问题，解题的关键是理解题意，构建直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用．
专题六解直角三角形的应用
数学
(2016·深圳二模)如图，河坝横断面背水坡 AB 的坡角是 45°，背水坡 AB 长度为 20 2 m，现在为加固堤坝，将斜坡 AB 改成坡度为 1∶2 的斜坡 AD(AC⊥CB)．
2≈1.4)
专题六解直角三角形的应用
数学

新人教版初中数学——解直角三角形-知识点归纳及中考典型题解析

新人教版初中数学——解直角三角形知识点归纳及中考典型题解析一、锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sin A=∠的对边=斜边A ac；余弦：cos A=∠的邻边=斜边A bc；正切：tan A=∠的对边=邻边A ab．根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.二、特殊角的三角函数值αsinαcosαtanα30°12323345°2222160°32123三、解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；（3）边与角关系：sin A=cos B=ac，cos A=sin B=bc，tan A=ab；（4）sin2A+cos2A=1．3．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.四、解直角三角形的应用1．仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．2．坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=hl．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．3．方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.5．解直角三角形实际应用的一般步骤（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．考向一求三角函数的值（1）分清直角三角形中的斜边与直角边.（2）正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k（有时也可设为1），在求三角函数值的过程中约去k．（3）正确应用勾股定理求第三边长．（4）应用锐角三角函数定义，求出三角函数值．典例1 2sin45 的值为A．22B3C2D．1【答案】C【解析】把sin45°=22代入原式得：原式=2×222．故选C．1．如图，在△ABC中，∠C=90°．若AB=3，BC=2，则sin A的值为A．23B．53C．255D．52考向二利用特殊角的三角函数值求值锐角三角函数值与三角形三边的长短无关，只与锐角的大小有关.典例2 已知∠A为锐角，且sin A=32，那么∠A等于A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】D【解析】∵sin A=32，∴∠A=60°．故选D．2．已知α是锐角，sinα=cos60°，则α等于A．30°B．45°C．60°D．不能确定考向三解直角三角形的应用解此类题的一般方法：（1）构造直角三角形；（2）理清直角三角形的边角关系；（3）利用特殊角的三角函数值解答问题.典例3 某山的山顶B 处有一个观光塔，已知该山的山坡面与水平面的夹角∠BDC 为30°，山高BC 为100米，点E 距山脚D 处150米，在点E 处测得观光塔顶端A 的仰角为60°，则观光塔AB 的高度是A ．50米B ．100米C ．125米D ．150米【答案】A【解析】如图，作EF ⊥AC 于F ，EG ⊥DC 于G ，在Rt △DEG 中，EG =12DE =75， ∴BF =BC -CF =BC -CE =100-75=25，EF =tan tan30BF BFBEF =∠︒=253， ∵∠AEF =60°， ∴∠A =30°，∴AF =253tan 33EF A ==75，∴AB =AF -BF =50（米），故观光塔AB 的高度为50米，故选A ．3．如图，某湖心岛上有一亭子A ，在亭子A 的正东方向上的湖边有一棵树B ，在这个湖心岛的湖边C 处测得亭子A 在北偏西45︒方向上，测得树B 在北偏东36︒方向上，又测得B 、C 之间的距离等于200米，求A 、B 之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：2 1.414≈，sin360.588︒≈，cos360.809︒≈，tan360.727︒≈，cot36 1.376︒≈）1．如图，在△ABC 中，若∠C =90°，则A ．sin A =a cB ．sin A =b c C ．cos A =abD ．cos A =ba212sin45cos602︒-︒的值为 A ．(1132B ．(1132-C ．14D ．343．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，53B ∠=︒，若BC m =，则AB 的长为 A ．cos53m︒B ．cos53m ⋅︒C ．sin53m ⋅︒D ．tan53m ⋅︒4．在Rt △ABC 中，∠C =90°，13AC AB =，则cos A 等于A ．223B ．13C ．22D ．245．菱形ABCD 的对角线AC =10cm ，BD =6cm ，那么tan2B 为 A ．53B ．54C ．534D ．3346．如图是边长为1的小正方形组成的网格图，其中点A ，B ，C 均为格点，则sin ∠BAC 为A ．22B ．55C ．105D ．10107．在Rt △ABC 中，∠C =90°，若AB =10，sin A =35，则斜边上的高等于 A ．5B ．4.8C ．4.6D ．48．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ABC 的值为A ．35B ．34C ．105D ．19．如图，某水库堤坝横截面迎水坡AB 的坡度是1:3，堤坝高为40m ，则迎水坡面的是A ．80mB 3m ．C 40m ．D 3m ．10．如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔为2海里的点A 处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B 处，海轮航行的距离AB 长是A．2海里B．2sin55︒海里C．2cos55︒海里D．2tan55︒海里11．钓鱼是一项特别锻炼心性的运动，如图，小南在江边垂钓，河堤AB的坡度为1∶2.4，AB长为3.9米，钓竿AC与水平线的夹角是60°，其长为4.5米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60°，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（参考数据：3≈1.732）A．1.732米B．1.754米C．1.766米D．1.823米12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tan A=125，则sin B=___________．13．在△ABC中，AB=25，AC=5，tan∠B=12，则BC的长度为__________．14．已知相邻的两根电线杆AB与CD高度相同，且相距50mBC=．小王为测量电线杆的高度，在两根电线杆之间某一处E架起测角仪，如图所示，分别测得两根电线杆顶端的仰角为45︒、23︒，已知测角仪EF高1.5m，则电线杆的高度约为________m．（精确到0.1m，参考数据：sin230.39︒≈，cos230.92︒≈，tan230.43︒≈）15．已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，对角线BD=8，tan∠CBD=12．（1）求边AB的长；（2）求cos∠BAE的值．16．如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台(矩形ABCD)靠墙摆放，高AD=80cm，宽AB=48cm，小强的身高为166cm，其中下半身FG=100cm，洗漱时下半身与地面成80°角(∠FGK=80°)，身体前倾成125°角(∠EFG=125°)，脚与洗漱台的距离GC=15cm(点D，C，G，K在同一直线上)．（1）此时小强的头部点E与地面DK的距离是多少？（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？(sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，2≈1.41，结果精确到0.1cm)1． 60sin 2的值等于 A ．1 B ．2 C ．3D ．22．已知∠α为锐角，且sin α=12，则∠α= A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°3．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为A ．43 B ．34C ．35D ．454．如图，有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30 m ，斜坡的倾斜角是∠BAC ，若 tan ∠BAC =25，则此斜坡的水平距离AC 为A ．75 mB ．50 mC ．30 mD ．12 m5．如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为183的地面上，若测角仪的高度为1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30，则教学楼的高度是30°CD ABA ．55.5mB ．54mC ．19.5mD ．18m6．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB 为1.5米，她先站在A 处看路灯顶端O 的仰角为35°，再往前走3米站在C 处，看路灯顶端O 的仰角为65°，则路灯顶端O 到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）A ．3.2米B ．3.9米C ．4.7米D ．5.4米7．如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边（OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内），已知AB =a ，AD =b ，∠BCO =x ，则点A 到OC 的距离等于A ．a sin x +b sin xB ．a cos x +b cos xC ．a sin x +b cos xD ．a cos x +b sin x8．在△ABC 中，∠C =90°，tan A =33，则cos B =__________． 9．在直角三角形ABC 中，若2AB =AC ，则cos C =__________．10．如图，海面上一艘船由西向东航行，在A 处测得正东方向上一座灯塔的最高点C 的仰角为31°，再向东继续航行30m 到达B 处，测得该灯塔的最高点C 的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．11．如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD=600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得仰角为45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，ED=500米，测得仰角为53°，求隧道BC长．（sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）．12．数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67，3≈1.73）13．为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）14．图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B–A–O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm．（结果精确到0.1）．（1）如图2，∠ABC=70°，BC∥OE．①填空：∠BAO=__________．②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC 的大小．（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）16．如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中OP为下水管道口直径，OB为可绕转轴O自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径OB=OP=100cm，OA为检修时阀门开启的位置，且OA=OB．（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围；（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB位置时，在点A处测得俯角∠CAB=67.5°，若此时点B恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留小数点后一位）（2=1.41，sin67.5°=0.92，cos67.5°=0.38，tan67.5°=2.41，sin22.5°=0.38，cos22.5°=0.92，tan22.5°=0.41）1．【答案】A【解析】在Rt △ABC 中，∵∠C =90°，AB =3，BC =2，∴sin A =BC AB =23，故选A ． 2．【答案】A【解析】∵sin α=cos60°=12，∴α=30°．故选A ． 3．【解析】如图，过点C 作CH AB ⊥，垂足为点H ，由题意，得45ACH ∠=︒，36BCH ∠=︒，200BC =，在Rt △BHC 中，sin BH BCH BC ∠=，∴sin36200BH︒=， ∵sin360.588︒≈，∴117.6BH ≈，又cos HC BCH BC ∠=，∴cos36200HC︒=， ∵cos360.809︒≈，∴161.8HC ≈，在Rt △AHC 中，tan AHACH HC∠=， ∵45ACH ∠=︒，∴AH HC =，∴161.8AH ≈，又AB AH BH =+，∴279.4AB ≈，∴279AB ≈（米）．答：A 、B 之间的距离为279米．1．【答案】A 【解析】A 、sin A =ac，此选项正确；考点冲关变式拓展B 、sin A =ac ，此选项错误； C 、cos A =bc ，此选项错误；D 、cos A =bc，此选项错误；故选A ． 2．【答案】D【解析】原式=2112222⨯-⨯=1–14=34，故选D ． 3．【答案】A 【解析】如图，∵cos53°=BC AB ， ∴AB =cos53m︒，故选A ． 4．【答案】B【解析】如图所示：∵13AC AB =，∴cos A =1133ABAC AB AB ==．故选B ．5．【答案】A【解析】如图，由题意得，AO ⊥BO ，AO =12AC =5cm ，BO =12BD =3cm ，则tan2B=tan ∠OBA 53AO BO ==.故选A.6．【答案】D【解析】如图所示：连接BD ，交AC 于点E ，由正方形的性质可得：BD ⊥AC ，故BD =2，AB =5，则sin ∠BAC =2102105EB AB ==．故选D ． 7．【答案】B【解析】如图所示，CD ⊥AB ，CD 即为斜边上的高，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10，sin A =35， ∴sin A =10BC BC AB ==35，即BC =6，根据勾股定理得：AC 22AB BC -=8，∵S △ABC =12AC •BC =12CD •AB ， ∴CD =6810AC BC AB ⋅⨯==4．8，故选B ． 8．【答案】B【解析】∠ABC 所在的直角三角形的对边是3，邻边是4，所以，tan ∠ABC =34．故选B ． 9．【答案】A【解析】∵堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，∴13BC AC =， ∵BC =40m ，∴AC =403m ，∴AB =22AC BC +=80m ，故选A ．10．【答案】C【解析】记灯塔P 的正北方向为射线PC 的方向.根据题意可知∠APC =55°，PC ∥AB ，AP =2海里. ∵PC ∥AB ，∠APC =55°，∴∠P AB =55°. ∵在Rt △ABP 中，AP =2海里，∠P AB =55°， ∴AB =AP ·cos ∠P AB =2cos55°（海里）. 故选C. 11．【答案】C【解析】如图，延长CA 交DB 延长线与点E ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，则∠CED =60°， ∵AB 的坡比为1∶2.4， ∴152.412AF BF ==，则设AF =5x ，BF =12x ， ∵AB =3.9米，∴在直角△ABF 中，由勾股定理知，3.92=25x 2+144x 2．解得x =310． ∴AF =5x =32，BF =12x =185，∴EF =333223tan 602sin 6033AF AFAE =====︒︒， ∵∠C =∠CED =60°， ∴△CDE 是等边三角形， ∵AC =4.5米，∴DE =CE =AC +AE 3 则BD =DE ﹣EF ﹣BF 33185≈1.766（米），答：浮漂D 与河堤下端B 之间的距离为1.766米．故选C ． 12．【答案】513【解析】在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =12，tan A =125，得125BC AC =，即12125AC =， ∴AC =5．由勾股定理，得AB 22AC BC +．所以sin B =513AC AB =，故答案为：513． 13．【答案】5【解析】如图，过点A 作AD ⊥BC 交于D ．∵1tan 2AD B BD ∠==，设AD =x ，则BD =2x ， ∵AB =25，∴在△ABD 中，由勾股定理得（25）2=x 2+（2x ）2，解得，x 1=2，x 2=﹣2（不符合，舍去）， ∴BD =4，同理，在△ACD 中，由勾股定理得，22541DC AC AD =-=-=，∴BC =DC +BD =4+1=5，故答案为：5． 14．【答案】16.5【解析】过点F 作AB 、CD 的垂线，垂足为点G 、H ，如图所示：设AG =x m ，则有DH =x m ， ∵tan45tan23AG AG BC +=︒︒，∴tan23°=50xx-，解得x ≈15.0， ∴AB =x +1.5=16.5．电线杆的高度约为16.5 m ．故答案是：16.5． 15．【解析】（1）连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BO =12BD =4，∵Rt △BOC 中，tan ∠CBD =OC OB =12，∴OC =2， ∴AB =BC =22BO CO +=2242+=25；（2）∵AE ⊥BC ，∴S 菱形ABCD =BC ·AE =12BD ·AC ， ∵AC =2OC =4，∴25AE =12×8×4，∴AE =855，∴BE =22AB AE -=()2285255⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=655， ∴cos ∠ABE =BE AB =65525=35．16．【解析】（1）如图，过点F 作FN ⊥DK 于N ，过点E 作EM ⊥FN 于M ．∵EF +FG =166，FG =100，∴EF =66， ∵∠FGK =80°，∴FN =100sin80°≈98，∵∠EFG =125°，∴∠EFM =180°–125°–10°=45°， ∴FM =66cos45°=332≈46.53，∴MN =FN +FM ≈144.5， ∴此时小强头部E 点与地面DK 相距约为144.5 cm ．（2）如图，过点E 作EP ⊥AB 于点P ，延长OB 交MN 于H ． ∵AB =48，O 为AB 中点，∴AO =BO =24，∵EM =66sin45°≈46.53， ∴PH ≈46.53，∵GN =100cos80°≈17，CG =15，∴OH =24+15+17=56，OP =OH –PH =56–46.53=9.47≈9.5， ∴他应向前9.5cm ．1．【答案】B【解析】锐角三角函数计算，︒60sin 2=2×23=3，故选A ． 2．【答案】A【解析】∵∠α为锐角，且sin α=12，∴∠α=30°．故选A ． 3．【答案】D【解析】如图，过C 作CD ⊥AB 于D ，则∠ADC =90°，∴AC =22AD CD +=2234+=5．∴sin ∠BAC =CD AC =45．故选D ．4．【答案】A【解析】∵∠BCA =90°，tan ∠BAC =25，BC =30m ，∴tan ∠BAC =25＝BC AC ＝30AC，解得AC =75，故选A ． 5．【答案】C【解析】过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，183DE BC ==Rt ADE △中，tan30AEDE=， 318318(m)AE ∴==，18 1.519.5(m)AB ∴=+=，故选C ． 30°CAE6．【答案】C【解析】如图，过点O 作OE ⊥AC 于点E ，延长BD 交OE 于点F ，直通中考设DF =x ，∵tan65°=OFDF ，∴OF =x tan65°，∴BF =3+x ， ∵tan35°=OFBF，∴OF =（3+x ）tan35°，∴2.1x =0.7（3+x ），∴x =1.5，∴OF =1.5×2.1=3.15，∴OE =3.15+1.5=4.65≈4.7，故选C ． 7．【答案】D【解析】如图，过点A 作AE ⊥OC 于点E ，作AF ⊥OB 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =90°， ∵∠ABC =∠AEC ，∠BCO =x ，∴∠EAB =x ，∴∠FBA =x ，∵AB =a ，AD =b ，∴FO =FB +BO =a •cos x +b •sin x ，故选D ．8．【答案】12【解析】∵tan A =33，∴∠A =30°，∵∠C =90°，∴∠B =60°，∴cos B =cos60°=12．故答案为：12． 9．【答案】32或255【解析】若∠B =90°，设AB =x ，则AC =2x ，所以BC =22(2)x x -=3x ，所以cos C =3322BC x AC x ==；若∠A =90°，设AB =x ，则AC =2x ，所以BC =22(2)5x x x +=，所以cos C =22555AC x BC x==；综上所述，cos C 的值为32或255．故答案为：32或255． 10．【解析】在Rt △CAD 中，tan ∠CAD =CDAD，则AD =tan 31CD ︒≈53CD ，在Rt △CBD 中，∠CBD =45°，∴BD =CD ， ∵AD =AB +BD ，∴53CD =CD +30，解得CD =45，答：这座灯塔的高度CD 约为45 m ．11．【解析】如图，在Rt △ABD 中，AB =AD =600，作EM ⊥AC 于M ，则AM =DE =500，∴BM =100，在Rt △CEM 中，tan53°=CM EM =600CM =43，∴CM =800， ∴BC =CM –BM =800–100=700（米）．答：隧道BC 长为700米．12．【解析】∵∠ACE =90°，∠CAE =34°，CE =55m ，∴tan ∠CAE =CE AC ，∴AC =tan 34CE ︒=550.67≈82.1（m ），∵AB =21m ，∴BC =AC –AB =61.1（m ），在Rt △BCD 中，tan60°=CDBC=3， ∴CD =3BC ≈1.73×61.1≈105.7（m ）， ∴DE =CD –EC =105.7–55≈51（m ）. 答：炎帝塑像DE 的高度约为51m ．13．【解析】如图，连接BD ，作DM ⊥AB 于点M ，∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴∠C=∠ABD，AC=BD，∵∠C=65°，AC=900，∴∠ABD=65°，BD=900，∴BM=BD•cos65°=900×0.423≈381，DM=BD•sin65°=900×0.906≈815，∵381÷3=127，120＜127＜150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．14．【解析】（1）①过点A作AG∥BC，如图1，则∠BAG=∠ABC=70°，∵BC∥OE，∴AG∥OE，∴∠GAO=∠AOE=90°，∴∠BAO=90°+70°=160°，故答案为：160；②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，则AF=AB•sin∠ABF=30sin70°≈28.2（cm），∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF+AO–CD=28.2+6.8–8=27（cm）；（2）过点DH⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，如图3，则∠MBA=70°，AF=28.2cm，DH=6cm，BC=35cm，CD=8cm，∴CM=AF+AO–DH–CD=28.2+6.8–6–8=21（cm），∴sin∠MBC=CMBC=2135=0.6，∴∠MBC=36.8°，∴∠ABC=∠ABM–∠MBC=33.2°．15．【解析】如图，连接CO并延长，与AB交于点D，∵CD⊥AB，∴AD=BD=12AB=3（米），在Rt△AOD中，∠OAB=41.3°，∴cos41.3°=ADOA，即OA=3cos41.3=30.75=4（米），tan41.3°=ODAD，即OD=AD•tan41.3°=3×0.88=2.64（米），则CD=CO+OD=4+2.64=6.64（米）．16．【解析】（1）阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围为：90°≤∠POB≤0°；（2）如图，∵∠CAB=67.5°，∴∠BAO=22.5°，∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABO=22.5°，∴∠BOP=45°，∵OB=100，∴OE=22OB=502，∴PE=OP–OE=100–502≈29.5cm，答：此时下水道内水的深度约为29.5cm．。

2020年中考数学考点梳理：相似三角形和解直角三角形

知识点：一、比例线段1、比：选用同一长度单位量得两条线段。

a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或nm b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。

a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dc b a = 4、比例外项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。

5、比例内项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。

6、第四比例项：在比例dcb a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。

7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为abb a =（或a:b=b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。

8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

9、比例的基本性质：如果a ：b ＝c ：d 那么ad ＝bc 逆命题也成立，即如果ad ＝bc ，那么a ：b ＝c ：d10、比例的基本性质推论：如果a ：b=b ：d 那么b 2=ad ，逆定理是如果b 2=ad 那么a ：b=b ：c 。

说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式。

比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。

11、合比性质：如果d c b a =，那么d dc b b a +=+ 12．等比性质：如果n m d c b a ===K ，（0≠+++m d b Λ），那么ban d b m c a =++++++ΛΛ说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k ，这种方法思路单一，方法简单不易出错。

13、黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。

2020中考数学专项解析：解直角三角形(三角函数应用)

【文库独家】解直角三角形（三角函数应用）1、（绵阳市）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60º，又从A 点测得D 点的俯角β为30º，若旗杆底点G 为BC 的中点，则矮建筑物的高CD 为（ A ）A ．20米B ．米C ．米D ．米［解析］GE//AB//CD ，BC=2GC ，GE=15米，AB=2GE=30米，AF=BC=AB•cot ∠ACB=30×cot60º=10 3 米，DF=AF •tan30º=10 3 ×33=10米，CD=AB-DF=30-10=20米。

2、（杭州）在Rt△ABC 中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（）A ．B ．C ．D ．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：在直角三角形ABC 中，由AB 与sinA 的值，求出BC 的长，根据勾股定理求出AC 的长，根据面积法求出CD 的长，即为斜边上的高．解答：解：根据题意画出图形，如图所示，在Rt△ABC 中，AB=4，sinA=，∴BC=ABsinA=2.4，根据勾股定理得：AC==3.2，∵S △ABC =AC•BC=AB•CD， ∴CD==．故选B点评：此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．3、（•绥化）如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点D ，AB=8，∠ABD=30°，∠CAD=45°，求BC 的长．∴AD=AD=4．+44、（•鄂州）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为10 cm．∴OP=5、（安顺）在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=8，则△ABC的面积为．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：根据tanA的值及BC的长度可求出AC的长度，然后利用三角形的面积公式进行计算即可．解答：解：∵tanA==，∴AC=6，∴△ABC的面积为×6×8=24．故答案为：24．点评：本题考查解直角三角形的知识，比较简单，关键是掌握在直角三角形中正切的表示形式，从而得出三角形的两条直角边，进而得出三角形的面积．6、（11-4解直角三角形的实际应用·东营中考）某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60︒，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30︒，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB 的高度为米.15. 9.解析：过B 作BE ⊥CD 于点E ，设旗杆AB 的高度为x ，在Rt ABC ∆中，tan AB ACB AC ∠=，所以tan tan 60AB x AC x ACB ====∠︒，在Rt BDE ∆中，BE AC x ==，60BOE ∠=︒，tan BE BDE DE ∠=，所以1tan 3BE DE x BDE===∠，因为CE=AB=x ，所以163DC CE DE x x =-=-=，所以x=9，故旗杆的高度为9米. 7、（•常德）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1．（1）求BC 的长；（2）求tan∠DAE 的值．BD=2sinB=，∴AB==3∴BD==2∴BC=BD+DC=2∴CE=BC=+，CD=﹣∴tan∠DAE==﹣8、（13年山东青岛、20）如图，马路的两边CF 、DE 互相平行，线段CD 为人行横道，马路两侧的A 、B 两点分别表示车站和超市。

中考数学专题解直角三角形含答案

4、在 ABC 中， C 1350 ,a 2,b 2 求：①c 的长 ②sinA 的值 ③求 AB 边上的高 h
5、如图 8，在 ABC 中，已知 C 900 , AC 6 3,BAC 的平分线 AD=12，求 ABC 其余各边的长，各角的度数和 ABC 的内切圆的半径的长。
6、如图 9，要测铁塔的高 AB，从与铁塔底部在同一水平直线上的 C、D 两处，用测角仪器测得铁塔顶 B 的仰角分别为 300 和 450 ，C、D 间距离为 14 米，测角仪器的
2
A、＞600
B、＜600
C、＞300
D、＜300
13、若 00＜＜1800，且 cos 3 ，则角的度数是：
2
A、300
B、600
C、1500
D、300 或 1500
14、在 ABC 中， A 900 ，AD⊥BC，若 AB＝2AC，则 BC 与 DC 之间的关系为：
A、BC=2DC
A、12, 3 3
B、12, 3
C、 4 3, 3 3
D、 4 3, 3
11、若 , 互为补角，那么以下四个关系式中，不一定成立的是：
A、 sin sin ＞0
B、cos -cos ＞0
C、 sin sin ＝0
D、cos ＋cos ＝0
12、是直角三角形的一个锐角， cos ＞ 1 则：
为：
A、16 和 9
B、9 和 16
C、16 和 12
D、12 和 16
三、解答题
1、已知 00＜＜1800，00＜θ ＜1800，且 cos 3 ,sin 1 ，
2
2
求 tg ctg 的值。
2、 RtABC 中， C ＝900，c=17，内切圆半径 r＝3，求两条直角边 a、b。

11.3解直角三角形(分类精讲)·数学中考分类精粹

ɦ１１．３㊀解直角三角形㊀运用直角三角形中边角关系㊁三边关系㊁三角关系解决一些实际问题．一㊁选择题１．(２０１２浙江杭州)如图,在R t әA B O 中,斜边A B ＝１．若O C ʊB A ,øA O C ＝３６ʎ,则(㊀㊀)．A．点B 到A O 的距离为s i n ５４ʎB ．点B 到A O 的距离为t a n ３６ʎC ．点A 到O C 的距离为s i n ３６ʎs i n ５４ʎD．点A 到O C 的距离为c o s ３６ʎs i n ５４ʎ(第１题)㊀㊀(第２题)２．(２０１２浙江嘉兴)如图,A ㊁B 两点在河的两岸,要测量这两点之间的距离,测量者在与A 同侧的河岸边选定一点C ,测出A C ＝a 米,øA ＝９０ʎ,øC ＝４０ʎ,则A B 等于(㊀㊀)．A．a s i n ４０ʎ米㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀B ．a c o s ４０ʎ米C ．a t a n ４０ʎ米D．a t a n ４０ʎ米３．(２０１２湖北宜昌)在测量旗杆的高度的数学课题学习中,某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为２７ʎ,此时旗杆在水平地面上的影子的长度为２４米,则旗杆的高度约为(㊀㊀)．A．２４米B ．２０米C ．１６米D．１２米(第３题)㊀㊀(第４题)４．(２０１２广东深圳)小明想测量一棵树的高度,他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上,如图,此时测得地面上的影长为８米,坡面上的影长为４米．已知斜坡的坡角为３０ʎ,同一时刻,一根长为１米㊁垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为２米,则树的高度为(㊀㊀)．A．(６＋３)米B ．１２米C ．(４－２３)米D．１０米５．(２０１２四川广安)如图,某水库堤坝横断面迎水坡A B 的坡比是１ʒ３,堤坝高B C ＝５０m ,则应水坡面A B 的长度是(㊀㊀)．A．１００mB ．１００３mC ．１５０mD．５０３m(第５题)㊀㊀(第６题)６．(２０１２湖北孝感)如图,在塔A B 前的平地上选择一点C ,测出看塔顶的仰角为３０ʎ,从点C 向塔底走１００米到达点D ,测出看塔顶的仰角为４５ʎ,则塔A B 的高为(㊀㊀)．A．５０３米B ．１００３米C ．１００３＋１米D．１００３－１米７．(２０１２贵州黔西南)兴义市进行城区规划,工程师需测某楼A B 的高度,工程师在点D 用高２m 的测角仪C D ,测得楼顶端A 的仰角为３０ʎ,然后向楼前进３０m 到达E ,又测得楼顶端A 的仰角为６０ʎ,楼A B 的高为(㊀㊀)．A．(１０３＋２)m B ．(２０３＋２)mC ．(５３＋２)mD．(１５３＋２)m(第７题)㊀㊀(第８题)８．(２０１２福建福州)如图,从热气球C 处测得地面A ㊁B 两点的俯角分别是３０ʎ㊁４５ʎ,如果此时热气球C 处的高度C D为１００米,点A ㊁D ㊁B 在同一直线上,则A ㊁B 两点的距离是(㊀㊀)．A．２００mB ．２００３mC ．２２０３m D．１００(３＋１)m二㊁填空题９．(２０１２广西柳州)已知:在әA B C 中,A C ＝a ,A B 与B C 所在直线成４５ʎ角,A C 与B C 所在直线形成的夹角的余弦值为２５５(即c o s C ＝２５５),则边A C 上的中线长是㊀㊀㊀㊀．１０．(２０１２湖北咸宁)如图,某公园入口处原有三级台阶,每级台阶高为１８c m ,深为３０c m ,为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A ,斜坡的起始点为C ,现设计斜坡B C 的坡度i ＝１ʒ５,则A C 的长度是㊀㊀㊀㊀c m ．第十一章㊀解直角三角形(第１０题)㊀(第１１题)１１．(２０１２福建南平)如图,在山坡A B上种树,已知øC＝９０ʎ,øA＝２８ʎ,A C＝６米,则相邻两树的坡面距离A Bʈ㊀㊀㊀㊀米．(精确到０．１米)１２．(２０１２湖南株洲)数学实践探究课中,老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部１０米的地方,用测角仪测得旗杆顶端的仰角为６０ʎ,则旗杆的高度是㊀㊀㊀㊀米．１３．(２０１２辽宁大连)如图,为了测量电线杆A B的高度,小明将测量仪放在与电线杆的水平距离为９m的D处．若测角仪C D的高度为１．５m,在C处测得电线杆顶端A的仰角为３６ʎ,则电线杆A B的高度约为㊀㊀㊀㊀m．(精确到０．１m)(参考数据:s i n３６ʎʈ０．５９,c o s３６ʎʈ０．８１,t a n３６ʎʈ０．７３)(第１３题)㊀㊀(第１４题)１４．(２０１２辽宁铁岭)如图,在东西方向的海岸线上有A㊁B两个港口,甲货船从A港沿北偏东６０ʎ的方向以４海里/小时的速度出发,同时乙货船从B港沿西北方向出发,２小时后相遇在点P处,问乙货船每小时航行㊀㊀㊀㊀海里．三㊁解答题１５．(２０１２四川巴中)一副直角三角板如图放置,点C在F D 的延长线上,A BʊC F,øF＝øA C B＝９０ʎ,øE＝３０ʎ,øA＝４５ʎ,A C＝１２２,试求C D 的长．(第１５题)１６．(２０１２湖南张家界)黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图(１)所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图(２)所示,其中øB＝øD＝９０ʎ,A B＝B C＝１５千米,C D＝３２千米,请据此解答如下问题:(１)求该岛的周长和面积;(结果保留整数,参考数据:２ʈ１．４１,３ʈ１．７３,６ʈ２．４５)(２)求øA C D的余弦值．(１)㊀(２)(第１６题)１７．(２０１２新疆)如图,跷跷板A B的一端B碰到地面时,A B 与地面的夹角为１５ʎ,且O A＝O B＝３m．(１)求此时另一端A离地面的距离;(精确到０．１m) (２)若跷动A B,使端点A碰到地面,请画出点A运动的路线(不写画法,保留画图痕迹),并求出点A运动路线的长．(参考数据:s i n１５ʎʈ０．２６,c o s１５ʎʈ０．９７,t a n１５ʎʈ０．２７)(第１７题)１８．(２０１２山东青岛)如图,某校教学楼A B的后面有一建筑物C D,当光线与地面的夹角是２２ʎ时,教学楼在建筑物的墙上留下高２米的影子C E;而当光线与地面夹角是４５ʎ时,教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有１３米的距离．(点B㊁F㊁C在一条直线上)(１)求教学楼A B的高度;(２)学校要在A㊁E之间挂一些彩旗,请你求出A㊁E之间的距离．(结果保留整数)(参考数据:s i n２２ʎʈ３８,c o s２２ʎʈ１５１６,t a n２２ʎʈ２５)(第１８题)１９．(２０１２湖北黄冈)新星小学门口有一直线马路,为方便学生过马路,交警在路口设有一定宽度的斑马线,斑马线的宽度为４米,为安全起见,规定车头距斑马线后端的水平距离不得低于２米,现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下,汽车里司机与斑马线前后两端的视角分别为øF A E＝１５ʎ和øF A D＝３０ʎ,司机距车头的水平距离为０．８米,试问该旅游车停车是否符合上述安全标准?(E㊁D㊁C㊁B四点在平行于斑马线的同一直线上)(参考数据:t a n１５ʎ＝２－３,s i n１５ʎ＝６－２４,c o s１５ʎ＝６＋２４,３ʈ１．７３２,２ʈ１．４１４)(第１９题)２０．(２０１２江苏苏州)如图,已知斜坡A B长６０米,坡角(即øB A C)为３０ʎ,B CʅA C,现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线C A的平台D E和一条新的斜坡B E．(请将下面２小题的结果都精确到０．１米,参考数据:３ʈ１．７３２)(１)若修建的斜坡B E的坡角(即øB E F)不大于４５ʎ,则平台D E的长最多为㊀㊀㊀㊀米;(２)一座建筑物G H距离坡角点A２７米远(即A G＝２７米),小明在点D测得建筑物顶部H的仰角(即øHDM)为３０ʎ．点B㊁C㊁A㊁G㊁H在同一个平面内,点C㊁A㊁G在同一条直线上,且H GʅC G,问建筑物G H高为多少米?(第２０题)２１．(２０１２四川内江)水利部门为加强防汛工作,决定对某水库大坝进行加固,大坝的横截面是梯形A B C D．如图所示,已知迎水坡面A B的长为１６米,øB＝６０ʎ,背水坡面C D的长为１６３米,加固后大坝的横截面积为梯形AＧB E D,C E的长为８米．(１)已知需加固的大坝长为１５０米,求需要填土石方多少立方米?(２)求加固后的大坝背水坡面D E的坡度．(第２１题)２２．(２０１２浙江台州)如图,为测量江两岸码头B㊁D之间的距离,从山坡上高度为５０米的A处测得码头B的仰角øE A B为１５ʎ,码头D的仰角øE A D为４５ʎ,点C在线段B D的延长线上,A CʅB C,垂足为C,求码头B㊁D的距离．(结果保留整数,s i n１５ʎʈ０．２６,c o s１５ʎʈ０．９７, t a n１５ʎʈ０．２７)(第２２题)２３．(２０１２天津)如图,甲楼A B的高度为１２３m,自甲楼楼顶A处,测得乙楼顶端C处的仰角为４５ʎ,测得乙楼底部D 处的俯角为３０ʎ,求乙楼C D的高度．(结果精确到０．１m,３取１．７３)(第２３题)第十一章㊀解直角三角形２４．(２０１２内蒙古呼和浩特)如图,线段A B ㊁D C 分别表示甲㊁乙两建筑物的高．某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑物的高,用自制测角仪在B 外测得D 点的仰角为α,在A 处测得D 点的仰角为β．已知甲㊁乙两建筑物之间的距离B C 为m ．请你通过计算用含α,β,m 的式子分别表示出甲㊁乙两建筑物的高度．(第２４题)２５．(２０１２四川资阳)小强在教学楼的点P 处观察对面的办公大楼．为了测量点P 到对面办公大楼上部A D 的距离,小强测得办公大楼顶部点A 的仰角为４５ʎ,测得办公大楼底部点B 的俯角为６０ʎ,已知办公大楼高４６米,C D＝１０米．求点P 到A D 的距离．(用含根号的式子表示)(第２５题)２６．(２０１２江苏盐城)如图所示,当小华站立在镜子E F 前A 处时,他看自己的脚在镜中的像的俯角为４５ʎ．若小华向后退０．５米到B 处,这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为３０ʎ．求小华的眼睛到地面的距离．(结果精确到０．１米,参考数据:３ʈ１．７３)(第２６题)２７．(２０１２江苏泰州)如图,一居民楼底部B 与山脚P 位于同一水平线上,小李在P 处测得居民楼顶A 的仰角为６０ʎ,然后他从P 处沿坡角为４５ʎ的山坡向上走到C 处,这时,P C ＝３０m ,点C 与点A 在同一水平线上,A ㊁B ㊁P ㊁C 在同一平面内．(１)求居民楼A B 的高度;(２)求C ㊁A 之间的距离．(精确到０．１m ,参考数据:２ʈ１．４１,３ʈ１．７３,６ʈ２．４５)(第２７题)２８．(２０１２广西南宁)如图,山坡上有一棵树A B ,树底部B 点到山脚C 点的距离B C 为６３米,山坡的坡角为３０ʎ．小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的高,点C 到测角仪E F 的水平距离C F ＝１米,从E 处测得树顶部A 的仰角为４５ʎ,树底部B 的仰角为２０ʎ,求树A B 的高度．(参考数值:s i n ２０ʎʈ０．３４,c o s ２０ʎʈ０．９４,t a n ２０ʎʈ０．３６)(第２８题)２９．(２０１２江苏扬州)如图,一艘巡逻艇航行至海面B 处时,得知正北方向上距B 处２０海里的C 处有一渔船发生故障,就立即指挥港口A 处的救援艇前往C 处营救．已知C 处位于A 处的北偏东４５ʎ的方向上,港口A 位于B 的北偏西３０ʎ的方向上．求A ㊁C 之间的距离．(结果精确到０．１海里,参考数据:２ʈ１．４１,３ʈ１．７３)(第２９题)３０．(２０１２浙江温州)某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l(如图)．救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况,发现其正北方向的B处有人发出求救信号．他立即沿A B方向径直前往救援,同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从C处入海,径直向B处游去．甲在乙入海１０秒后赶到海岸线上的D处,再向B处游去．若C D＝４０米,B在C的北偏东３５ʎ方向,甲㊁乙的游泳速度都是２米/秒．问谁先到达B处?请说明理由．(参考数据:s i n５５ʎʈ０．８２,c o s５５ʎʈ０．５７,t a n５５ʎʈ１．４３)(第３０题)３１．(２０１２辽宁丹东)南中国海是中国固有领海,我渔政船经常在此海域执勤巡察．一天我渔政船停在小岛A北偏西３７ʎ方向的B处,观察A岛周边海域．据测算,渔政船距A岛的距离A B长为１０海里．此时位于A岛正西方向C 处的我渔船遭到某国军舰的袭扰,船长发现在其北偏东５０ʎ的方向上有我方渔政船,便发出紧急求救信号．渔政船接警后,立即沿B C航线以每小时３０海里的速度前往救助,问渔政船大约需多少分钟能到达渔船所在的C 处?(参考数据:s i n３７ʎʈ０．６０,c o s３７ʎʈ０．８０,s i n５０ʎʈ０．７７,c o s５０ʎʈ０．６４,s i n５３ʎʈ０．８０,c o s５３ʎʈ０．６０,s i n４０ʎʈ０．６４,c o s４０ʎʈ０．７７)(第３１题)３２．(２０１２江苏连云港)已知B港口位于A观测点北偏东５３．２ʎ方向,且其到A观测点正北方向的距离B D的长为１６k m,一艘货轮从B港口以４０k m/h的速度沿如图所示的B C方向航行,１５m i n后达到C处,现测得C处位于A观测点北偏东７９．８ʎ方向,求此时货轮与A观测点之间的距离A C的长．(精确到０．１k m)(参考数据:s i n５３．２ʎʈ０．８０,c o s５３．２ʎʈ０．６０,s i n７９．８ʎʈ０．９８,c o s７９．８ʎʈ０．１８,t a n２６．６ʎʈ０．５０,２ʈ１．４１,５ʈ２．２４)(第３２题)３３．(２０１２辽宁本溪)如图,әA B C是学生小金家附近的一块三角形绿化区的示意图,为增强体质,他每天早晨都沿着绿化区周边小路A B㊁B C㊁C A跑步(小路的宽度不计)．观测得点B在点A的南偏东３０ʎ方向上,点C在点A的南偏东６０ʎ的方向上,点B在点C的北偏西７５ʎ方向上, A C间距离为４００米．问小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了多少米?(参考数据:２ʈ１．４１４,３ʈ１．７３２)(第３３题)ɦ１１．３㊀解直角三角形１．C㊀２．C㊀３．D㊀４．A㊀５．A㊀６．D㊀７．D㊀８．D ９．８５１０a或５１０a㊀１０．２１０㊀１１．６．８㊀１２．１０３１３．８．１㊀１４．２２１５．过点B作B MʅF D于点M,在әA C B中,øA C B＝９０ʎ,øA＝４５ʎ,A C＝１２２．ʑ㊀B C＝A C＝１２２．ȵ㊀A BʊC F,ʑ㊀B M＝B Cˑs i n４５ʎ＝１２２ˑ２２＝１２,C M＝B M＝１２．在әE F D中,øF＝９０ʎ,øE＝３０ʎ,ʑ㊀øE D F＝６０ʎ．ʑ㊀MD＝B Mːt a n６０ʎ＝４３．ʑ㊀C D＝C M－MD＝１２－４３．１６．(１)连接A C．ȵ㊀A B＝B C＝１５千米,øB＝９０ʎ,ʑ㊀øB A C＝øA C B＝４５ʎ,A C＝１５２千米．又㊀øD＝９０ʎ,C D＝３３千米,ʑ㊀A D＝A C２－C D２＝(１５２)２－(３２)２＝１２３(千米)．ʑ㊀周长＝A B＋B C＋C D＋D A＝３０＋３２＋１２３ʈ３０＋４．２３＋２０．７６ʈ５５(千米),面积＝SәA B C＋SәA C D＝１２ˑ１５ˑ１５＋１２ˑ１２３ˑ３２ʈ１５７(平方千米)．(２)c o søA C D ＝C D A C＝３２１５２＝１５．１７．(１)过点A作A DʅB C于点D．(第１７题)ȵ㊀O A＝O B＝３m,ʑ㊀A B＝３＋３＝６m．ʑ㊀A D＝A B s i n１５ʎʈ６ˑ０．２６ʈ１．６m．(２)如图所示,点A的运动路线是以点O为圆心,以O A 的长为半径的A D︵的长．连接O D．ȵ㊀O是A B的中点,ʑ㊀O D＝O A＝O B．ʑ㊀øA O D＝２øB＝３０ʎ．ʑ㊀点A运动路线长＝３０ˑπˑ３１８０＝π２．１８．(１)过点E作E MʅA B,垂足为M．(第１８题)设A B为x米．在R tәA B F中,øA F B＝４５ʎ,ʑ㊀B F＝A B＝x．ʑ㊀B C＝B F＋F C＝x＋１３．在R tәA E M中,øA E M＝２２ʎ,AM＝A B－B M＝A B－C E＝x－２,t a n２２ʎ＝AM M E,则x－２x＋１３ʈ２５,解得xʈ１２．故教学楼A B的高度约为１２米．(２)由(１)可得M E＝B C＝x＋１３＝１２＋１３＝２５．在R tәAM E中,c o s２２ʎ＝M E A E,ʑ㊀A E＝M Ec o s２２ʎʈ２５１５１６ʈ２７．故A㊁E之间的距离约为２７米．１９．ȵ㊀øF A E＝１５ʎ,øF A D＝３０ʎ,ʑ㊀øE A D＝１５ʎ．ȵ㊀A F ʊB E ,ʑ㊀øA E D ＝øF A E ＝１５ʎ,øA D B ＝øF A D ＝３０ʎ．设A B ＝x ．则在R t әA E B 中,E B ＝A B t a n １５ʎ＝x t a n １５ʎ．ȵ㊀E D ＝４,E D ＋B D ＝E B ,ʑ㊀B D ＝xt a n １５ʎ－４．在R t әA D B 中,B D ＝A B t a n ３０ʎ＝x ta n ３０ʎ．ʑ㊀x t a n １５ʎ－４＝x t a n ３０ʎ,即１２－３－１３３æèçöø÷x ＝４,解得x ＝２．ʑ㊀B D ＝２t a n ３０ʎ＝２３．ȵ㊀B D ＝C D ＋B C ＝C D ＋０．８,ʑ㊀C D ＝２３－０．８ʈ２ˑ１．７３２－０．８ʈ２．７＞２．故该旅游车停车符合规定的安全标准．２０．(１)ȵ㊀修建的斜坡B E 的坡角(即øB E F )不大于４５ʎ,ʑ㊀øB E F 最大为４５ʎ．当øB E F ＝４５ʎ时,E F 最短,此时E D 最长．ȵ㊀øD A C ＝øB D F ＝３０ʎ,A D ＝B D ＝３０,ʑ㊀B F ＝E F ＝１２B D ＝１５,D F ＝１５３．故D E ＝D F －E F ＝１５(３－１)ʈ１１．０(m )．(２)过点D 作D P ʅA C ,垂足为P ．在R t әD P A 中,D P ＝１２A D ＝１２ˑ３０＝１５,P A ＝A D c o s ３０ʎ＝３０ˑ３２＝１５３．在矩形D P G M 中,M G ＝D P ＝１５,DM ＝P G ＝１５３＋２７．在R t әDMH 中,HM ＝DM t a n ３０ʎ＝(１５３＋２７)ˑ３３＝１５＋９３．G H ＝HM ＋M G ＝１５＋９３＋１５ʈ４５．６(m )．故建筑物G H 高约为４５．６米．２１．(１)分别过点A ㊁D 作A F ʅB C ,D G ʅB C ,垂点分别为点F ㊁G ,如图所示．(第２１题)在R t әA B F 中,A B ＝１６,øB ＝６０ʎ,s i n B ＝A F A B,ʑ㊀A F ＝１６ˑ３２＝８３,D G ＝８３．ʑ㊀S әD C E ＝１２ˑC E ˑD G ＝１２ˑ８ˑ８３＝３２３．需要填方１５０ˑ３２３＝４８００３(立方米)．(２)在直角三角形D G C 中,D C ＝１６３．ʑ㊀G C ＝D C ２－D G２＝２４．ʑ㊀G E ＝G C ＋C E ＝３２．ʑ㊀坡度i ＝D G GE ＝８３３２＝３４．２２．ȵ㊀A E ʊB C ,ʑ㊀øA D C ＝øE A D ＝４５ʎ．又㊀A C ʅC D ,ʑ㊀C D ＝A C ＝５０．ȵ㊀A E ʊB C ,ʑ㊀øA B C ＝øE A B ＝１５ʎ．又㊀t a n øA B C ＝A CB C,ʑ㊀B C ＝A Ct a n １５ʎʈ１８５．２．ʑ㊀B D ＝１８５．２－５０ʈ１３５．故码头B ㊁D 的距离约为１３５米．２３．过点A 作A E ʅC D 于点E ,(第２３题)根据题意,øC A E ＝４５ʎ,øD A E ＝３０ʎ．ȵ㊀A B ʅB D ,C D ʅB D ,ʑ㊀四边形A B D E 为矩形．ʑ㊀D E ＝A B ＝１２３．在R t әA D E 中,t a n øD A E ＝D E A E ,ʑ㊀A E ＝D E t a n øD A E ＝１２３t a n ３０ʎ＝１２３３．在R t әA C E 中,øC A E ＝４５ʎ,ʑ㊀C E ＝A E ＝１２３３．ʑ㊀C D ＝C E ＋D E ＝１２３(３＋１)ʈ３３５．８．故乙楼C D 的高度约为３３５．８m ．２４．过点A 作AM ʅC D 于点M ,在R t әB C D 中,t a n α＝C D B C,ʑ㊀C D ＝B C t a n α＝m t a n α．在R t әAMD 中,t a n β＝DM AM ,ʑ㊀DM ＝AM t a n β＝m t a n β,ʑ㊀A B ＝C D －DM ＝m (t a n α－t a n β)．故甲建筑物的高度为m (t a n α－t a n β),乙建筑物的高度为m t a n α．(第２５题)２５．连接P A ㊁P B ,过点P 作P M ʅA D 于点M ;延长B C ,交P M 于点N ．则øA P M ＝４５ʎ,øB P M ＝６０ʎ,NM ＝１０．设P M ＝x 米,在R t әP MA 中,AM ＝P M ˑt a n øA P M ＝x t a n ４５ʎ＝x ．在R t әP N B 中,B N ＝P N ˑt a n øB P M ＝(x －１０)t a n ６０ʎ＝(x －１０)３．由AM ＋B N ＝４６,得x ＋(x －１０)３＝４６．解得x ＝４６＋１０３１＋３．ʑ㊀点P 到A D 的距离为４６＋１０３１＋３米．(结果分母有理化为(１８３－８)米也可)２６．ȵ㊀当小华站立在镜子E F 前A 处时,他看自己的脚在镜中的像的俯角为４５ʎ．ʑ㊀A C ＝A A １．ȵ㊀若小华向后退０．５米到B 处,这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为３０ʎ,ʑ㊀A B ＝A １B １＝０．５,øD B １B ＝３０ʎ．ʑ㊀t a n ３０ʎ＝B D B B １＝B D A B ＋A １B １＋AA １＝B D １＋B D ＝３３,解得B D ＝３＋１２ʈ１．４．故小华的眼睛到地面的距离为１．４米．２７．(１)过点C 作C E ʅB P 于点E ,(第２７题)在R t әC P E 中,ȵ㊀P C ＝３０,øC P E ＝４５ʎ,s i n ４５ʎ＝C E P C,ʑ㊀C E ＝P C s i n ４５ʎ＝３０ˑ２２＝１５２．ȵ㊀点C 与点A 在同一水平线上,ʑ㊀A B ＝C E ＝１５２ʈ２１．２．故居民楼A B 的高度约为２１．２m ．(２)在R t әA B P 中,ȵ㊀øA P B ＝６０ʎ,ʑ㊀t a n ６０ʎ＝A BB P．ʑ㊀B P ＝１５２３＝５６．ȵ㊀P E ＝C E ＝１５２,ʑ㊀A C ＝B E ＝１５２＋５６ʈ３３．４．故C ㊁A 之间的距离约为３３．４m ．２８．ȵ㊀底部B 点到山脚C 点的距离B C 为６３米,山坡的坡角为３０ʎ,ʑ㊀D C ＝B C c o s ３０ʎ＝６３３２＝９．ȵ㊀C F ＝１,ʑ㊀D F ＝９＋１＝１０．ʑ㊀G E ＝１０．ȵ㊀øA E G ＝４５ʎ．ʑ㊀A G ＝E G ＝１０,在R t әB G E 中,B G ＝G E t a n ２０ʎ＝１０ˑ０．３６＝３．６,ʑ㊀A B ＝A G －B G ＝１０－３．６＝６．４．故树高约为６．４米．２９．作A D ʅB C ,垂足为D ,(第２９题)由题意得,øA C D ＝４５ʎ,øA B D ＝３０ʎ,设C D ＝x ,在R t әA C D 中,可得A D ＝x ,在R t әA B D 中,可得B D ＝３x ,又㊀B C ＝２０,即x ＋３x ＝２０,解得x ＝１０(３－１)．ʑ㊀A C ＝２x ʈ１０．３(海里)．故A ㊁C 之间的距离为１０．３海里．３０．由题意得øB C D ＝５５ʎ,øB D C ＝９０ʎ．ȵ㊀t a n øB C D ＝B DCD ,ʑ㊀B D ＝C D t a n øB C D ＝４０ˑt a n ５５ʎʈ５７．２．ȵ㊀c o s øB C D ＝C D B C,ʑ㊀B C ＝C D c o s øB C D ＝４０c o s ５５ʎʈ７０．２．ʑ㊀t 甲＝５７．２２＋１０＝３８．６(秒),t 乙＝７０．２２＝３５．１(秒)．ʑ㊀t 甲＞t乙,故乙先到达B 处．３１．过点B 作B D ʅA C 于点D ．(第３１题)根据题意,得øA B D ＝øB A M ＝３７ʎ,øC B D ＝øB C N ＝５０ʎ,在R t әA B D 中,ȵ㊀c o s øA B D ＝B D A B ,ʑ㊀c o s ３７ʎ＝B D１０ʈ０．８０．ʑ㊀B D ʈ１０ˑ０．８＝８(海里)．在R t әC B D 中,ȵ㊀c o s øC B D ＝B D B C,ʑ㊀c o s ５０ʎ＝８B Cʈ０．６４．ʑ㊀B C ʈ８ː０．６４＝１２．５(海里),ʑ㊀１２．５ː３０＝５１２(小时)．ʑ㊀５１２ˑ６０＝２５(分钟)．故渔政船约２５分钟到达渔船所在的C 处．３２．B C ＝４０ˑ１５６０＝１０,在R t әA D B 中,s i n øD A B ＝D B A B,s i n ５３．２ʎʈ０．８,ʑ㊀A B ＝D Bs i n øD A B ʈ１６０．８＝２０,如图,过点B 作B H ʅA C ,交A C 的延长线于点H ,(第３２题)在R t әAH B 中,øB AH ＝øD A C －øD A B ＝７９．８ʎ－５３．２ʎ＝２６．６ʎ,t a n øB AH ＝B H AH,０．５＝B H AH ,AH ＝２B H ,B H ２＋AH ２＝A B ２,B H ２＋(２B H )２＝２０２,B H ＝４５,ʑ㊀AH ＝８５．在R t әB C H 中,B H ２＋C H ２＝B C ２,C H ＝２５,ʑ㊀A C ＝AH －C H ＝８５－２５＝６５ʈ１３．４．故此时货轮与A 观测点之间的距离A C 约为１３．４k m ．３３．作C D ʅA B 的延长线于点D ,(第３３题)根据题意得øB A C ＝３０ʎ,øB C A ＝１５ʎ,ʑ㊀øD B C ＝øD C B ＝４５ʎ．在R t әA D C 中,ȵ㊀A C ＝４００米,øB A C ＝３０ʎ,ʑ㊀C D ＝B D ＝２００(米)．ʑ㊀B C ＝２００２(米),A D ＝２００３(米)．ʑ㊀A B ＝A D －B D ＝(２００３－２００)(米)．ʑ㊀三角形A B C 的周长为４００＋２００２＋(２００３－２００)ʈ８２９米．故小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了８２９米．。

中考复习分析——解直角三角形

中考复习分析——解直角三角形黄金洞民族中小学罗建华第一部分地位与作用一．复习定位解直角三角形这一部分知识是数学中的基本工具之一．解直角三角形不仅在实际问题中有着广泛的应用，而且更为重要的是，它在数学本身也有着极为广泛的应用，凡是有关图形中量的计算问题，以及坐标系里点的坐标的计算，大多数的情况都需借助于构造与解直角三角形．因此解直角三角形的知识是近年各地中考命题的热点之一.（一）试题类型与考法分析1.考察内容以基础知识与基本技能为主，应用意识进一步增强，联系实际，综合运用知识，技能的要求越来越明显，不仅有传统的计算距离、高度、角度的应用题，还要求学生根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.2.本章知识是中考常考的内容，尤其是特殊角的三角函数值的有关的计算时必考内容，试题以填空题、计算题为主.3. 应用解直角三角形的知识解决实际问题是中考的热点，试题以填空题和解答题为主.4.2013-2015年我州中考试题中“解直角三角形”部分的权重：10~12%左右.二、中考卷研究(一)中考对知识点的考查：2013-2015年我州中考涉及的知识点如下表:关于锐角三角函数的考纲要求1.基本要求：通过实例认识锐角的正弦、余弦、正切；知道30°、45°、60°角的三角函数值．2.略高要求：由某个角的一个三角函数值,会求其余两个三角函数值；会计算含有特殊角的三角函数式的值．3.较高要求：能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题．。

关于解直角三角形的考纲要求1.基本要求：知道解直角三角形的含义．2.略高要求：会解直角三角形；能根据问题的需要合理作出垂线,构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题．3.较高要求：会解有特殊条件的四边形中的计算问题；会设计简单的测量方案；能综合运用直角三角形的性质解决简单的实际问题．(三)中考热点：新课标对解直角三角形的要求略有减弱，从前几年各省、市的中考命题来看，运用解直角三角形的知识解决与生活、生产相关联的应用题是中考的热点．三、中考命题趋势及复习对策解直角三角形在实际生活中的应用题，是中考的重点内容，其次是特殊角的三角函数值，锐角三角函数包含三部分内容，一是解直角三角形及特殊锐角函数值的考查，以填空，选择题的形式出现；二是解决实际问题，以解答题的形式出现；三是渗透在中高档解答证明题中，一般占10分左右．在复习时，要正确了解三角函数概念把握其本质，才能正确理解解直角三角形中边角之间关系，才能利用这些关系解题，另外还要注意数形结合，解题时通过画图来找出函数关系，帮助解题．第二部分考点突破一、考点讲解：考点1．锐角三角函数的概念：锐角三角函数包括正弦函数，余弦函数，和正切函数，如图1－1－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b ，c ．∠A 的正弦=A asin A=c ∠的对边，即斜边； ∠A 的余弦=A bcos A=c ∠的邻边，即斜边, ∠A 的正切=A atan=A b ∠的对边，即∠的邻边注：三角函数值是一个比值．二、经典考题剖析：【考题1－1】在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=15，BC=9，则sinA 的值是( )A ．34B ．45C ．35D ． 43点拨：（基本）通过实例认识锐角的正弦、余弦、正切【考题1－2】在Rt △ABC 中，∠C=90°，则sinA=35 ，则cosA=____．点拨：（略高）由某个角的一个三角函数值,会求其余两个三角函数值【考题1－3】（2009温州）△ABC 中，∠C=90°，AB=8，cosA=43，则AC 的长是；点拨：（略高）由某个角的一个三角函数值,结合已知条件，会求其余的边或角。

初三中考一轮复习(15)解直角三角形题型分类含答案(全面非常好)

教学过程解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：在Rtz\ABCt\ /C=9d, /A、ZEk /C的对边分别为a、b、c,则/A的正弦可表示为：sinA= , /A的余弦可表示为cosA= /A的正切: tanA= ,它们统称为/ A的锐角三角函数二、特殊角的三角函数值：三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素，求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在图上标上仰角和俯角i视线水平线⑵坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度h和水平宽度l的比叫做坡度，用i表示, 即1= 坡面与水平面得夹角为用字母％表示，则i=tan %=上。

11 T⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA^Z K OB 表木OC 表木O味示（也可称东南方向）北_ A南例2 在Rtz\ABOt\ /C=90° , AB=2BC现给出下歹U结论：①sinA= § ;②cosB=■1 ;③tanA=殍；④tanB=#,其中正确的结论是（只需填上正确结论的序号）解：如图所示：故答案为：②③④.对应训练2.计算6tan45 -2cos60 °的结果是（）A. 4 3B. 4C. 5 3D. 52. D考点三：化斜三角形为直角三角形例3 在△ABC^, AB=AC=5 sin /ABC=0.8,贝U BC=故答案为：6.对应训练3.如图，四边形ABCD勺对角线AG BD相交于点Q且B阡分AC若BD=8 AC=6/BOC=120,则四边形ABCD勺面积为 .（结果保留根号）3.12 .3考点四：解直角三角形的应用4.如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AR现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD,小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米,/PAB=38.5 , / PBA=26.5.请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置.（以A, B为参照点，结果精确到0.1米）（参考数据:sin38.5 =0.62 , cos38.5 =0.78 , tan38.5 =0.80 , sin26.5 =0.45, cos26.5 =0.89 , tan26.5 =0.50）4.解：设PD=x^,・.PDL AB,・•・/ADPN BDP=90 ,在Rt^PAD中，tan / PAD=^ ,AD・•・ AD=-—= 5x, tan38.5o0.8 4在RtWBD中，tan/PBD-DB又.78=80.0 米,55x+2x=80.0 ,4解得：x=24.6,即P[> 24.6 米,・•. DB=2x=492答：小桥PD的长度约为24.6米，位于AB之间距B点约49.2米.【聚焦中考】1.6cos30 °的值是1,但22.河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1:收，则AB的长为( )A.12B.4石米C. 5痣米D. 673米B2. A3.一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处处，望见渔船D在南偏东60方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A, B之间的距离为（取4=1.7,结果精确到0.1海里）.5. 67.56.如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛A、B上的观测点进行观测，从A岛测得渔船在南偏东37方向C处，B岛在南偏东66°方向，从B岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距离是72海里, A岛上维修船的速度为每小时20海里，B岛上维修船的速度为每小时28.8海里，为及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？(参考数据：cos37 =0.8, sin37 =0.6, sin66 =0.9, cos66 =0.4)6.解：如图，作ADLBC的延长线于点D.北D C B在Rt^ADB中，AD=ABcos/BAD=72< cos66 =72X 0.4=28.8 （海里），BD=ABsin / BAD=72 sin66 =72X 0.9=64.8 （海里）.在Rt/XADC^, AC=—AD— ^88- 空=36（海里），cos DAC cos37o0.8CD=ACsin / CAD=36 sin37 =36X 0.6=21.6 （海里）.BC=BD-CD=64.8-21.6=43.2 （海里）.A岛上维修船需要时间t A=^ ^=1.8 （小时）.20 20B岛上维修船需要时间t B=坨432=1.5 （小时）.28.8 28.8- t A> t B,.•・调度中心应该派遣B岛上的维修船.10.校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载.某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CDW l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A B,使/ CAD=30 , / CBD=60 .（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：石=1.73, 72=1.41 ）;（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒, 这辆校车是否超速？说明理由.S DC10.解：（1）由题意得，在Rtz\ADC^, AD= CD”马=21 阴=36.33 （米），tan30o .33在Rt^BDC^ , BD=_CD V=Z1 =75/3 = 12.11 （米），tan60 3贝U AB=AD-BD=36.33-12.11=24.22= 24.2 （米）。

历年各地中考数学- 解直角三角形试题与答案

第30章解直角三角形一、选择题1. （2011湖北武汉市，10，3分）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路PQ上A处距离O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为 A．12秒． B．16秒． C．20秒． D．24秒．【答案】B2. （2011湖南衡阳，9，3分）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（）A．10m B．103m C．15m D．53m【答案】A3. （2011山东东营，8，3分）河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：3（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（）A．53米B．10米C．15米D．103米【答案】A4. （2010湖北孝感，10，3分）如图，某航天飞船在地球表面P点的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q，若∠QAP=α，地球半径为R，则航天飞船距离地球表面的最近距离AP，以及P、Q两点间的地面距离分别是（）A.sin R α，180Rπα B. sin R R α-，()90180R απ- C. sin R R α-，()90180R απ+ D. cos RR α-，()90180R απ- 【答案】B5. （2011宁波市，9，3分）如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为a ，那么滑梯长l 为A ． h sin aB ． h tan aC ． hcos a D ． h ·sin a【答案】A6. （2011台湾台北，34）图(十六)表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A ，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A 点距桌面的高度为10公分。

如图(十七)，若此钟面显示3点45分时，A 点距桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A 点距桌面的高度为多少公分？A ．3322－B ．π＋16C ．18D ．19 【答案】D7. （2011山东潍坊，10，3分）身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是（）同学甲乙丙丁放出风筝线长140m100m95m90m线与地面夹角30°45°45°60°A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】D8. （2011四川绵阳10，3）周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处测得她看塔顶的仰角β为30°.她们又测出A、B两点的距离为30米。

解直角三角形应用

2005年全国各地中考分类解析——解直角三角形一、选择题:1．（泰山）一人乘雪橇沿坡比1∶3的斜坡笔直滑下，滑下的距离s （米）与时间t （秒）间的关系为s =10t ＋2t 2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为A ．72 mB ．363 mC ．36 mD ．183 m2、（大连）3．(湖北黄石)小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30º角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为( )A ．9米B ．28米C ．()37+米 D.()3214+米 4河南）如图，A tan 等于 ( ) A ．21 B ．2 C ．55 D ．5 5．（兰州）如果ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２３００＝１那么锐角α的度数是（）Ａ．１５０Ｂ．３００Ｃ．４５０Ｄ．６００6. (厦门) 如图1，在直角△ABC 中，∠C ＝90°,若AB ＝5，AC ＝4，则sin ∠B ＝A. 35B. 45C. 34D. 43 7．（黑龙江）在相同时刻的物高与影长成比例．小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在地面上的影长为40米，则古塔高为 ( )(A)60米 (B)40米 (C)30米 (D)25米二、填空题：1、（嘉兴）图7是引拉线固定电线杆的示意图。

已知：CD ⊥AB ，CD 33=m ，∠CAD=∠CBD=60°，则拉线AC 的长是___________m.2、（四川内江）如图河对岸有一古塔AB ，小敏在C 处测得塔顶A 的仰角为α，向塔前进S ｍ到达D ，在D 处测得A 的仰角为β，则塔高为米。

3．（沈阳）在△ABC 中，2AB =，2AC =，B ∠=30º，则 ∠BAC 的度数是 .4. （四川资阳）如图4，如果△APB 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A ＇P ＇B ，且BP =2，那么PP ＇的长为____________.(不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=624-，C A 21 图 1 C B Acos15°=624+)5．（惠安）同一时刻，一竿的高为米，影长为1米，某塔影长为20米，则塔的高为米．１４．（兰州）锐角Ａ满足２ｓｉｎ(Ａ－１５０)＝3则∠Ａ＝＿＿＿＿6、（梅州市）求值：sin 230°+cos 230°= 。

中考数学真题专项汇编解析—解直角三角形

中考数学真题专项汇编解析—解直角三角形一．选择题1．（2022·天津）tan 45︒的值等于（）A ．2B ．1C D 【答案】B【分析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解．【详解】作一个直角三角形，∠C =90°，∠A =45°，如图：∠∠B =90°-45°=45°，∠∠ABC 是等腰三角形，AC =BC ， ∠根据正切定义，tan 1BCA AC∠==， ∠∠A =45°，∠tan 451︒=，故选 B ．【点睛】本题考查了三角函数，熟练理解三角函数的定义是解题关键． 2．（2022·四川乐山）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BC =D 是AC 上一点，连接BD ．若1tan 2A ∠=，1tan 3ABD ∠=，则CD 的长为（）A．B ．3 C D ．2【答案】C【分析】先根据锐角三角函数值求出AC =5,AB =过点D作DE AB ⊥于点E ，依据三角函数值可得11,,23DE AE DE BE ==从而得32BE AE =，再由5AE BE +=得AE =2，DE =1，由勾股定理得AD CD ．【详解】解：在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BC ∠1tan 2BC A AC ∠==∠2AC BC ==由勾股定理得,5AB == 过点D 作DE AB ⊥于点E ，如图，∠1tan 2A ∠=，1tan 3ABD ∠=，∠11,,23DE DE AE BE == ∠11,,23DE AE DE BE == ∠1123AE BE = ∠32BE AE = ∠5,AE BE += ∠352AE AE += ∠2,AE = ∠1DE =, 在Rt ADE ∆中,222AD AE DE =+ ∠AD∠AD CD AC +== ∠CD AC AD =-=故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE 的长是解答本题的关键．3．（2022·浙江杭州）如图，已知∠ABC 内接于半径为1的∠O ，∠BAC =θ（θ是锐角），则∠ABC 的面积的最大值为（）A ．()cos 1cos θθ+B ．()cos 1sin θθ+C ．()sin 1sin θθ+D ．()sin 1cos θθ+ 【答案】D【分析】要使∠ABC 的面积S =12BC •h 的最大，则h 要最大，当高经过圆心时最大．【详解】解：当∠ABC 的高AD 经过圆的圆心时，此时∠ABC 的面积最大，如图所示，∠AD ∠BC ，∠BC =2BD ，∠BOD =∠BAC =θ，在Rt ∠BOD 中，sin θ=1BD BD OB =，cos θ=1OD ODOB =， ∠BD =sin θ，OD =cos θ，∠BC =2BD =2sin θ，AD =AO +OD =1+cos θ， ∠S △ABC =12AD •BC =12•2sin θ（1+cos θ）=sin θ（1+cos θ）．故选：D ．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的应用与三角形面积的求法．4．（2022·云南）如图，已知AB 是∠O 的直径，CD 是OO 的弦，AB ∠CD ．垂足为E ．若AB =26，CD =24，则∠OCE 的余弦值为（）A ．713B ．1213C ．712D ．1312【答案】B【分析】先根据垂径定理求出12CE CD =，再根据余弦的定义进行解答即可．【详解】解：∠AB 是∠O 的直径，AB ∠CD ． ∠112,902CE CD OEC ==∠=︒，OC =12AB =13， ∠12cos 13CE OCE OC ∠==．故选：B ．【点睛】此题考查的是垂径定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握垂径定理，锐角三角函数的定义是解答此题的关键．5．（2022·陕西）如图，AD 是ABC 的高，若26BD CD ==，tan 2C ∠=，则边AB 的长为（）B．C．D．A．【答案】D【分析】先解直角ABC求出AD，再在直角ABD△中应用勾股定理即可求出AB．【详解】解：∠26CD=，BD CD==，∠3∠直角ADC中，tan2∠=，∠tan326C=⋅∠=⨯=，AD CD C∠直角ABD△中，由勾股定理可得，AB D．【点睛】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题的关键．6．（2022·浙江金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知∠=，则房顶A离地面EF的高度为（）6mBC=，ABCαA ．(43sin )m α+B ．(43tan )m α+C ．34m sin α⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．34m tan a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】过点A 作AD ∠BC 于D ，根据轴对称图形得性质即可得BD =CD ，从而利用锐角三角函数正切值即可求得答案．【详解】解：过点A 作AD ∠BC 于D ，如图所示：∠它是一个轴对称图形，∠132BD DC BC ===m ，tan 3AD ADBD α∴==，即3tan AD α=， ∴房顶A 离地面EF 的高度为(43tan )m α+，故选B ．【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握利用正切值及一条直角边求另一条直角边是解题的关键．7．（2022·浙江丽水）如图，已知菱形ABCD 的边长为4，E 是BC 的中点，AF 平分EAD ∠交CD 于点F ，FG AD ∥交AE 于点G ，若1cos 4B =，则FG 的长是（）A．3B．83CD．52【答案】B【分析】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，由题干所给条件可知，AG=FG，EG=GP，利用∠AGP=∠B可得到cos∠AGP=14，即可得到FG的长；【详解】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，由题意可知，AB=BC=4，E是BC的中点，∠BE=2，又∠1cos4B=，∠BH=1，即H是BE的中点，∠AB=AE=4，又∠AF是∠DAE的角平分线，AD∠FG，∠∠F AG=∠AFG，即AG=FG，又∠PF∠AD，AP∠DF，∠PF=AD=4，设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x，∠PF∠BC，∠∠AGP=∠AEB=∠B，∠cos∠AGP=12PGAG=22xx-=14，解得x=83；故选B．【点睛】本题考查菱形的性质、角平分线的性质、平行线的性质和解直角三角形，熟练掌握角平分线的性质和解直角三角形的方法是解决本题的关键．8．（2022·四川广元）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（）A B C．2D5【答案】B【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∠AB，由勾股定理逆定理可以证明∠DCE为直角三角形，所以cos∠APC＝cos∠EDC即可得答案．【详解】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．则DE∠AB，∠∠APC＝∠EDC．在∠DCE中，有DE=，EC=DC==5∠222EC DC DE+=+==，52025∠DCE∠=︒，∆是直角三角形，且90DCE∠cos∠APC ＝cos∠EDC ＝DC DE = 故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．9．（2022·湖北随州）如图，已知点B ，D ，C 在同一直线的水平，在点C 处测得建筑物AB 的顶端A 的仰角为α，在点D 处测得建筑物AB 的顶端A 的仰角为β，CD a =，则建筑物AB 的高度为（）A ．tan tan a αβ- B ．tan tan a βα- C ．tan tan tan tan a αβαβ- D ．tan tan tan tan a αββα-【答案】D【分析】设AB =x ，利用正切值表示出BC 和BD 的长，CD =BC -BD ，从而列出等式，解得x 即可．【详解】设AB =x ，由题意知，∠ACB =α,∠ADB =β,∠tan x BD β=，tan xBC α=， ∠CD =BC -BD ，∠tan tan x x a αβ-=，∠tan tan tan tan a x αββα=-，即AB =tan tan tan tan a αββα-，故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．二．填空题10．（2022·山东泰安）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角30DPC ∠=︒，已知窗户的高度2m AF =，窗台的高度1m CF =，窗外水平遮阳篷的宽0.8m AD =，则CP 的长度为______（结果精确到0.1m ）．【答案】4.4m##4.4米【分析】根据题意可得AD ∠CP ，从而得到∠ADB =30°，利用锐角三角函数可得tan 0.46m AB AD ADB =⨯∠=≈，从而得到BC =AF +CF -AB =2.54m ，即可求解．【详解】解：根据题意得：AD ∠CP ， ∠∠DPC =30°，∠∠ADB =30°，∠0.8m AD =，∠tan 0.80.46m AB AD ADB =⨯∠=≈， ∠AF =2m ，CF =1m ，∠BC =AF +CF -AB =2.54m ， ∠ 2.544.4m tan tan 30BC CP BPC ︒==≈∠，即CP 的长度为4.4m ．故答案为：4.4m.【点睛】本题主要考查了解直角三角形、平行线的性质，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．11．（2022·天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A ，B ，C 及DPF ∠的一边上的点E ，F 均在格点上．（∠）线段EF 的长等于___________；（∠）若点M ，N 分别在射线,PD PF 上，满足90MBN ∠=︒且BM BN =．请用无刻．．度．的直尺，在如图所示的网格中，画出点M ，N ，并简要说明点M ，N 的位置是如何找到的（不要求证明）___________．【答案】见解析【分析】（∠）根据勾股定理，从图中找出EF 所在直角三角形的直角边的长进行计算；（∠）由图可找到点Q ，EQ BQ EF BF ====EFBQ 是正方形，因为90BM BN MBN =∠=︒，，所以BQM BFN ∆≅∆，点M 在EQ 上，BM 、BN 与圆的交点为直径端点，所以EQ 与PD 交点为M ，通过BM 与圆的交点G 和圆心O 连线与圆相交于H ，所以H 在BN 上，则延长BH 与PF 相交点即为N ．【详解】解：（∠）从图中可知：点E 、F 水平方向距离为3，竖直方向距离为1，所以EF ；（∠）连接AC ，与竖网格线相交于点O ，O 即为圆心；取格点Q （E 点向右1格，向上3格），连接EQ 与射线PD 相交于点M ；连接MB 与O 相交于点G ；连接GO 并延长，与O 相交于点H ；连接BH 并延长，与射线PF 相交于点N ，则点M ，N 即为所求，理由如下：连接,BQ BF由勾股定理算出BQ QE EF BF ====由题意得90MQB QEF BFE QBF ∠=∠=∠=∠=︒，∴四边形BQEF 为正方形，在Rt BQM 和Rt BFN 中，BQ BF =，1tan tan 3QBA FBC ∠=∠=，QBA FBC ∴∠=∠， AOG COH ∠=∠，AG CH ∴=，ABG HBC ∴∠=∠，MBQ NBF ∴∠=∠()Rt BQM Rt BFN ASA ∴≌BM BN ∴=，90QBM MBF MBF FBN ∠+∠=∠+∠=︒90MBN ∴∠=，从而确定了点,M N 的位置．【点睛】本题考查作图，锐角三角函数、圆周角定理，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握圆周角的定理．12．（2022·江苏扬州）在ABC ∆中，90C ∠=︒，a b c 、、分别为A B C ∠∠∠、、的对边，若2b ac =，则sin A 的值为__________．【详解】解：如图所示：在Rt ABC 中，由勾股定理可知：222+=a b c ，2ac b =，22a ac c ∴+=，0a >， 0b >，0c >，2222a ac c c c +∴=，即：21a a c c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求出ac =a c =，∴在Rt ABC 中：in s a c A == 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在Rt ABC 中，sin A A ∠=的对边斜边，cos A A ∠=的邻边斜边，tan A A A ∠=∠的对边的邻边． 13．（2022·湖南衡阳）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，10m AE =，30BDG ∠=︒，60BFG ∠=︒．已知测角仪DA 的高度为1.5m ，则大雁雕塑BC 的高度约为_________m ．（结果精确到0.1m ．参考数据：1.732）【答案】10.2【分析】先根据三角形外角求得30∠=∠=，再根据三角形的等角对等边DBF BDG得出BF=DF=AE=10m，再解直角三角形求得BG即可求解．【详解】解：∠30∠=︒，BFGBDG∠=︒且60∠30∠=∠-∠=︒，DBF BFG BDG∠∠=∠DBF BDG，即10mBF DF AE===．∠=⋅=≈，BG BF︒sin608.66m∠8.66 1.510.2mBC BG GC BG DA=+=+=+≈，故答案为：10.2m．【点睛】本题考查了三角形的外角性质、等腰三角形的判定、解直角三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的判定和解直角三角形的解题方法是解答的关键．14．（2022·浙江嘉兴）如图，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为_________．【分析】先求解33,,3AB AD 再利用线段的和差可得答案．【详解】解：由题意可得：1,15123,DE DC 30,90,A ABC 33,tan 603BC AB 同理：13,tan 6033DE AD 3233,33BD AB AD【点睛】本题考查的是锐角的正切的应用，二次根式的减法运算，掌握“利用锐角的正切求解三角形的边长”是解本题的关键．15．（2022·浙江绍兴）如图，10AB =，点C 在射线BQ 上的动点，连接AC ，作CD AC ⊥，CD AC =，动点E 在AB 延长线上，tan 3QBE ∠=，连接CE ，DE ，当CE DE =，CE DE ⊥时，BE 的长是______．【答案】5或35 4【分析】过点C作CN∠BE于N，过点D作DM∠CN延长线于M，连接EM，设BN=x，则CN =3x，由∠ACN∠∠CDM可得AN=CM=10+x，CN=DM=3x，由点C、M、D、E四点共圆可得∠NME是等腰直角三角形，于是NE=10-2x，由勾股定理求得AC可得CE，在Rt∠CNE中由勾股定理建立方程求得x，进而可得BE；【详解】解：如图，过点C作CN∠BE于N，过点D作DM∠CN延长线于M，连接EM，设BN=x，则CN=BN•tan∠CBN=3x，∠∠CAD，∠ECD都是等腰直角三角形，∠CA=CD，EC=ED，∠EDC=45°，∠CAN+∠ACN=90°，∠DCM+∠ACN=90°，则∠CAN=∠DCM，在∠ACN和∠CDM中：∠CAN=∠DCM，∠ANC=∠CMD=90°，AC=CD，∠∠ACN∠∠CDM（AAS），∠AN=CM=10+x，CN=DM=3x，∠∠CMD=∠CED=90°，∠点C、M、D、E四点共圆，∠∠CME=∠CDE=45°，∠∠ENM=90°，∠∠NME 是等腰直角三角形，∠NE =NM =CM -CN =10-2x ，Rt ∠ANC 中，ACRt ∠ECD 中，CD =AC ，CE =2CD ， Rt ∠CNE 中，CE 2=CN 2+NE 2，∠()()()()2222110331022x x x x ⎡⎤++=+-⎣⎦， 2425250x x -+=，()()4550x x --=，x =5或x =54，∠BE =BN +NE =x +10-2x =10-x ，∠BE =5或BE =354；故答案为：5或354；【点睛】本题考查了三角函数，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，一元二次方程等知识；此题综合性较强，正确作出辅助线是解题关键． 16．（2022·山东泰安）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度，他从古塔底部点处前行30m 到达斜坡CE 的底部点C 处，然后沿斜坡CE 前行20m 到达最佳测量点D 处，在点D 处测得塔顶A 的仰角为30，已知斜坡的斜面坡度i =A ，B ，C ，D ，在同一平面内，小明同学测得古塔AB 的高度是___________．+【答案】(20mm，求出x=10，【分析】过D作DF∠BC于F，DH∠AB于H，设DF=x m，CF则BH=DF=，CF=，DH=BF，再求出AH DH，即可求解．【详解】解：过D作DF∠BC于F，DH∠AB于H，∠DH=BF，BH=DF，∠斜坡的斜面坡度i=1∠:DF CF=m，设DF=x m，CF∠CD==，220x∠x=10，∠BH=DF=10m，CF=，∠DH=BF=（m），∠∠ADH =30°，∠AH10=+m ）， ∠AB =AH +BH =20103（m ），故答案为：(20m +．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．17．（2022·江苏连云港）如图，在66⨯正方形网格中，ABC 的顶点A 、B 、C 都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sin A =_________．【答案】45【分析】如图所示，过点C 作CE ∠AB 于E ，先求出CE ，AE 的长，从而利用勾股定理求出AC 的长，由此求解即可．【详解】解：如图所示，过点C 作CE ∠AB 于E ，由题意得43CE AE ==，，∠5AC ， ∠4sin =5CE A AC =，故答案为：45．【点睛】本题主要考查了求正弦值，勾股定理与网格问题正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．18．（2022·四川凉山）如图，CD 是平面镜，光线从A 点出发经CD 上点O 反射后照射到B 点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC ∠CD 于点C ，BD ∠CD 于点D ，且AC ＝3，BD ＝6，CD ＝12，则tanα的值为_______．【答案】43【分析】如图（见解析），先根据平行线的判定与性质可得,A B αβ∠=∠=，从而可得A B ∠=∠，再根据相似三角形的判定证出AOC BOD △△，根据相似三角形的性质可得OC 的长，然后根据正切的定义即可得．【详解】解：如图，由题意得：OP CD ⊥，AC CD ⊥，AC OP ∴，A α∴∠=，同理可得：B β∠=，αβ=，A B ∴∠=∠，在AOC △和BOD 中，90A B ACO BDO ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩， AOCBOD ∴， OC AC OD BD∴=， 3,6,12,AC BD CD OD CD OC ====-，1236OC OC ∴-=，解得4OC =，经检验，4OC =是所列分式方程的解，则4tan tan 3OC A AC α===，故答案为：43．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正切等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键．19．（2022·四川凉山）如图，在边长为1的正方形网格中，∠O 是∠ABC 的外接圆，点A ，B ，O 在格点上，则cos∠ACB 的值是________．【分析】取AB 中点D ，由图可知，AB =6，AD =BD =3，OD =2，由垂径定理得OD ∠AB ，则OB==cos∠DOB =13OD OB ==，再证∠ACB =∠DOB ，即可解．【详解】解：取AB 中点D ，如图，由图可知，AB =6，AD =BD =3，OD =2，∠OD ∠AB ，∠∠ODB =90°，∠OB==cos∠DOB =OD OB ==， ∠OA =OB ，∠∠BOD =12∠AOB ，∠∠ACB =12∠AOB ，∠∠ACB =∠DOB ，∠cos∠ACB = cos∠DOB【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，取AB 中点D ，得Rt ∠ODB 是解题的关键．20．（2022·山东滨州）在Rt ∠ABC 中，∠C =90°，AC =5，BC =12，则sin A =______. 【答案】1213【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB 的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．【详解】解：如图所示：∠∠C =90°，AC =5，BC =12，∠AB ，∠sin A =1213BC AB =．故答案为：1213．【点睛】在直角三角形中求正弦函数值是本题的考点，根据勾股定理求出AB 的长是解题的关键．21．（2022·湖北黄冈）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A 点处测得乙建筑物D 点的俯角α为45︒，C 点的俯角β为58︒，BC 为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD 为6m ，则甲建筑物的高度AB 为________m ．（sin580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan58 1.60︒≈，结果保留整数）．【答案】16【分析】过D 点作DE AB ⊥于点E ，则6BE CD ==，45ADE ∠=︒，58ACB ∠=︒，在Rt ADE △中，45ADE ∠=︒，设AE x =，则DE x =，BC x =，6AB AE BE x =+=+，在Rt ABC 中，6tan tan 58 1.60AB x ACB BC x+∠=︒==≈，解得10x ≈，进而可得出答案．【详解】解：如图，过D 点作DE AB ⊥于点E ，设AE x =，根据题意可得：AB BC ⊥，DC BC ⊥，∠90AED BED ABC DCB ∠=∠=∠=∠=︒，∠四边形BCDE 是矩形，∠从甲建筑物A 点处测得乙建筑物D 点的俯角α为45︒，C 点的俯角β为58︒，BC 为两座建筑物的水平距离，乙建筑物的高度CD 为6，∠6BE CD ==，45ADE ∠=︒，58ACB ∠=︒，在Rt ADE △中，45ADE ∠=︒，∠9045EAD ADE ∠=︒-∠=︒，∠EAD ADE ∠=∠，∠DE AE x ==，∠BC DE x ==，∠6AB AE BE x =+=+，在Rt ABC 中，tan ∠=AB ACB BC 即6tan 58 1.60x x+︒=≈， ∠6tan tan 58 1.60AB x ACB BC x +∠=︒==≈ 解得10x ≈，经检验10x ≈是原分式方程的解且符合题意，∠()616AB x m =+≈．故答案为：16．【点睛】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，涉及到锐角三角函数，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，分式方程等知识．熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．22．（2022·四川广元）如图，直尺AB 垂直竖立在水平面上，将一个含45°角的直角三角板CDE 的斜边DE 靠在直尺的一边AB 上，使点E 与点A 重合，DE ＝12cm ．当点D 沿DA 方向滑动时，点E 同时从点A 出发沿射线AF 方向滑动．当点D 滑动到点A 时，点C 运动的路径长为 _____cm ．【答案】(24-【分析】由题意易得CD CE DE ===，则当点D 沿DA 方向下滑时，得到D C E '''△，过点C '作C N AB '⊥于点N ，作C M AF '⊥于点M ，然后可得D C N E C M ''''≌，进而可知点D 沿DA 方向下滑时，点C ′在射线AC 上运动，最后问题可求解．【详解】解：由题意得：∠DEC =45°，DE ＝12cm ，∠2CD CE DE ===，如图，当点D 沿DA 方向下滑时，得到D C E '''△，过点C '作C N AB '⊥于点N ，作C M AF '⊥于点M ，∠∠DAM =90°，∠四边形NAMC ′是矩形，∠90NC M '∠=︒，∠90D C N NC E NC E E C M ''''''''∠+∠=∠+∠=︒，∠D C N E C M ''''∠=∠，∠,90D C E C D NC E MC ''''''''=∠=∠=︒，∠D C N E C M ''''≌，∠C N C M ''=，∠C N AB '⊥，C M AF '⊥，∠AC '平分∠NAM ，即点D 沿DA 方向下滑时，点C ′在射线AC 上运动，∠当C D AB ''⊥时，此时四边形C D AE '''是正方形，CC ′的值最大，最大值为(12cm AD AC -=-，∠当点D 滑动到点A 时，点C 运动的路径长为((21224cm ⨯-=-；故答案为(24-．【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及角平分线的判定定理，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及角平分线的判定定理是解题的关键．23．（2022·湖北宜昌）如图，C岛在A岛的北偏东50︒方向，C岛在B岛的北偏西35︒方向，则ACB∠的大小是_____．【答案】85︒【分析】过C作CF DA∥交AB于F，根据方位角的定义，结合平行线性质即可求解．【详解】解：C岛在A岛的北偏东50︒方向，50∴∠=︒，DACC岛在B岛的北偏西35︒方向，35∴∠=︒，CBE过C作CF DA∥交AB于F，如图所示：∴∥∥，DA CF EB50,35∴∠=∠=︒∠=∠=︒，FCA DAC FCB CBEACB FCA FCB∴∠=∠+∠=︒，85故答案为：85︒．【点睛】本题考查方位角的概念与平行线的性质求角度，理解方位角的定义，并熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．三．解答题24．（2022·江苏宿迁）如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼AB的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保冒根号）．20）m．【答案】（【分析】过点A作AE∠CD于点E，则四边形ABDE是矩形，DE＝AB＝20m，在Rt∠ADE中，求出AE的长，在Rt∠ACE中，∠AEC＝90°，求出CE的长，即可得到CD的长，得到信号塔的高度．【详解】解：过点A作AE∠CD于点E，由题意可知，∠B＝∠BDE＝∠AED＝90°，∠四边形ABDE是矩形，∠DE＝AB＝20m，在Rt ∠ADE 中，∠AED ＝90°，∠DAE ＝30°，DE ＝20m ，∠tan∠DAE ＝DE AE ，∠20tan tan 30DE AE DAE ===∠︒，在Rt ∠ACE 中，∠AEC ＝90°，∠CAE ＝45°，∠∠ACE 是等腰直角三角形， ∠CE AE =m ，∠CD ＝CE ＋DE ＝（20）m ， ∠信号塔的高度为（20）m ．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、特殊角的锐角三角函数等知识，借助仰角俯角构造直角三角形与矩形是解题的关键．25．（2022·天津）如图，某座山AB 的项部有一座通讯塔BC ，且点A ，B ，C 在同一条直线上，从地面P 处测得塔顶C 的仰角为42︒，测得塔底B 的仰角为35︒．已知通讯塔BC 的高度为32m ，求这座山AB 的高度（结果取整数）．参考数据：tan350.70tan 420.90︒≈︒≈，．【答案】这座山AB 的高度约为112m【分析】在Rt PAB 中，·tan AB PA APB =∠，在Rt PAC △中，·tan AC PA APC =∠，利用AC AB BC =+，即可列出等式求解．【详解】解：如图，根据题意，324235BC APC APB ︒∠︒=∠==，，．在Rt PAC △中，tan AC APC PA ∠=， ∠tan AC PA APC =∠．在Rt PAB 中，tan AB APB PA ∠=， ∠tan AB PA APB =∠． ∠AC AB BC =+， ∠tan tan AB BC AB APC APB+=∠∠． ∠()tan 32tan 35320.70112m tan tan tan 42tan 350.900.70BC APB AB APC APB ⋅∠⨯︒⨯==≈=∠-∠︒-︒-．答：这座山AB 的高度约为112m ．【点睛】本题考查三角函数测高，解题的关键在运用三角函数的定义表示出未知边，列出方程．26．（2022·浙江湖州）如图，已知在Rt ∠ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3．求AC 的长和sin A 的值．【答案】AC =4，sin A =35【分析】根据勾股定理求出AC ，根据正弦的定义计算，得到答案．【详解】解：∠∠C ＝Rt ∠，AB ＝5，BC ＝3，∠4AC =．3sin 5BC A AB ==．【点睛】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，掌握正弦的定义是解题的关键．27．（2022·新疆）周米，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度．小希站在自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为45︒，看这栋楼底部的俯角为37︒，已知两楼之间的水平距离为30m ，求这栋楼的高度．（参考数据：sin 370.60,cos370.80,tan 370.75︒≈︒≈︒≈）【答案】这栋楼的高度为：52.5米【分析】如图，过A 作AE ∠BC 于E ，在Rt ∠AEB 和Rt ∠AEC 中，根据正切的概念分别求出BE 、EC ，计算即可．【详解】解：过A 作AE BC ⊥于E ，∠90AEB AEC ∠=∠=︒由依题意得：45,37,30EAB CAE CD AE ∠=︒∠=︒==，Rt AEB 和Rt AEC 中， ∠tan BAE BE AE ∠=，tan CE CAE AE∠= ∠tan 4530130BE AE =⨯︒=⨯=，tan37300.7522.5CE AE =⨯︒≈⨯=∠3022.552.5BC BE CE =+=+=∠这栋楼的高度为：52.5米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟练运用锐角三角函数的定义是解题的关键．28．（2022·湖南邵阳）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60︒方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45︒方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．1.414 1.732≈）【答案】这艘轮船继续向正东方向航行是安全的，理由见解析【分析】如图，过C作CD∠AB于点D，根据方向角的定义及余角的性质求出∠BAC=30°，∠CBD=45°，解Rt∠ACD和Rt∠BCD，求出CD即可．【详解】解：过点C作CD∠AB，垂足为D．如图所示：根据题意可知∠BAC=90°−60°=30°，∠DBC=90°-45°=45°，AB=30×1=30（km），在Rt∠BCD中，∠CDB=90°，∠DBC=45°，tan∠DBC=CDBD ，即CDBD=1∠CD=BD设BD=CD=x km，在Rt∠ACD中，∠CDA=90°，∠DAC=30°，∠tan∠DAC =CD AD ，即30x x =+解得x，∠40.98km>40km∠这艘船继续向东航行安全．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用；解题的关键是熟练掌握锐角三角函数定义．29．（2022·湖南怀化）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A 位于C 村西南方向和B 村南偏东60°方向上，C 村在B 村的正东方向且两村相距2.4千米．有关部门计划在B 、C 两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．≈1.41）【答案】不穿过，理由见解析【分析】先作AD ∠BC ，再根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD =30°，设CD =x ，可表示AD 和BD ，然后根据特殊角三角函数值列出方程，求出AD ，与800米比较得出答案即可．【详解】不穿过，理由如下：过点A 作AD ∠BC ，交BC 于点D ，根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD =30°. 设CD =x ，则BD=2.4-x ，在Rt ∠ACD 中，∠ACD=45°，∠∠CAD=45°，∠AD=CD =x ．在Rt ∠ABD 中，tan 30AD BD ︒=，即2.4x x =-，解得x =0.88，可知AD=0.88千米=880米，因为880米＞800米，所以公路不穿过纪念园．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．30．（2022·四川成都）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角150AOB ∠=︒时，顶部边缘A 处离桌面的高度AC 的长为10cm ，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角108A OB '∠=︒时（点A '是A 的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A '处离桌面的高度A D '的长．（结果精确到1cm ；参考数据：sin720.95︒≈，cos720.31︒≈，tan72 3.08︒≈）【答案】约为19cm【分析】在Rt ∠ACO 中，根据正弦函数可求OA =20cm ，在Rt ∠A DO '中，根据正弦函数求得A D '的值．【详解】解：在Rt ∠ACO 中，∠AOC =180°-∠AOB =30°，AC =10cm ，∠OA =10201sin 302OC，在Rt ∠A DO '中，18072A OC A OB ，20OA OA '==cm ， ∠sin72200.9519A D OA cm ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．31．（2022·四川泸州）如图，海中有两小岛C ，D ，某渔船在海中的A 处测得小岛C 位于东北方向，小岛D 位于南偏东30°方向，且A ，D 相距10 nmile ．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B ，此时测得小岛C位于西北方向且与点B 相距nmile．求B，D 间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．【答案】B，D间的距离为14nmile．【分析】如图，过点D作DE∠AB于点E，根据题意可得，∠BAC=∠ABC=45°，nmile．再根据锐角三角函数即可求出B，∠BAD=60°，AD=10 nmile，BCD间的距离．【详解】解：如图，过点D作DE∠AB于点E，nmile．根据题意可得，∠BAC=∠ABC=45°，∠BAD=60°，AD=10 nmile，BC在Rt∠ABC中，AC=BC=16(nmile)，∠AB在Rt∠ADE中，AD=10 nmile，∠EAD=60°，∠DE=AD，AE=1AD=5 (nmile)，2∠BE=AB-AE=11(nmile)，∠BD=14(nmile)，答：B，D间的距离为14nmile．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．32．（2022·浙江台州）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2，梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m ；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）【答案】梯子顶部离地竖直高度BC 约为2.9m ．【分析】根据竖直的墙与梯子形成直角三角形，利用锐角三角函数即可求出AC 的长．【详解】解：在Rt ∠ABC 中，AB =3，∠ACB =90°，∠BAC =75°，∠BC =AB ∠sin75°≈3×0.97=2.91≈2.9(m)．答：梯子顶部离地竖直高度BC 约为2.9m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数．33．（2022·湖南湘潭）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中0.618DH AH≈）：伞柄AH 始终平分BAC ∠，20cm AB AC ==，当120BAC ∠=︒时，伞完全打开，此时90BDC ∠=︒．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，1.732）【答案】72cm【分析】过点B 作BE AH ⊥于点E ，解Rt ,Rt ABE BED ，分别求得,AE ED ，进而求得AD ，根据黄金比求得DH ，求得AH 的长，即可求解．【详解】如图，过点B 作BE AH ⊥于点EAB AC =，120BAC ∠=︒，AH 始终平分BAC ∠， 60BAE CAD ∴∠=∠=︒1cos 60102AE AB AB ∴=︒⨯==，BE ==,,AB AC BAD CAD AD AD =∠=∠= ADC ADB ∴≌90BDC ∠=︒45ADB ADC ∴∠=∠=︒BE ED ∴=1027.32AD AE ED ∴=+=+ 0.618DHAH ≈0.618DH DH AD∴≈+ 解得44.2DH ≈27.3244.271.5272AH AD DH ∴=+=+=≈答：最少需要准备72cm 长的伞柄【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中边角关系是解题的关键．34．（2022·湖南常德）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图是其示意图，已知：助滑坡道50AF =米，弧形跳台的跨度7FG =米，顶端E 到BD 的距离为40米，HG BC ∥，40AFH ∠=︒，25EFG ∠=︒，36ECB ∠=︒．求此大跳台最高点A 距地面BD 的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈，sin 250.42︒≈，cos250.91︒≈，tan 250.47︒≈，sin360.59︒≈，cos360.81︒≈，tan360.73︒≈）【答案】70【分析】过点E 作EN BC ⊥，交GF 于点M ，则四边形HBNM 是矩形，可得HB MN =，在Rt AHF △中，求得AH ，根据,tan tan tan EM EM EM FM MG EFG EGF ECB===∠∠∠，7FG =，求得FM ，进而求得MN ，根据AB AH HB AH MN =+=+即可求解．【详解】如图，过点E 作EN BC ⊥，交GF 于点M ，则四边形HBNM 是矩形， HB MN ∴=，50AF =，40AFH ∠=︒，在Rt AHF △中，sin 500.6432AH AF AFH =⋅∠≈⨯=米，HG BC ∥，EGF ECB ∴∠=∠25EFG ∠=︒，36ECB ∠=︒，7FG =,tan tan tan EM EM EM FM MG EFG EGF ECB===∠∠∠ 70.470.73EM EM ∴+=，解得2EM ≈，顶端E 到BD 的距离为40米，即40EN =米40238MN EN EM ∴=-=-=米．323870AB AH HB AH MN ∴=+=+=+=米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．35．（2022·湖北宜昌）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足5372α︒≤≤︒．如图，现有一架长4m 的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上．(1)当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A 与地面距离的最大值；(2)当梯子底端B 距离墙面1.64m 时，计算ABO ∠等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？（参考数据：sin530.80︒≈，cos530.60︒≈，tan53 1.33︒≈，sin720.95︒≈，cos720.31︒≈，tan72 3.08︒≈，sin660.91︒≈，cos660.41︒≈，tan66 2.25︒≈）【答案】(1)梯子顶端A 与地面的距离的最大值3.8米(2)66ABO ∠=︒，人能安全使用这架梯子【分析】（1）AB 的长度固定，当∠ABO 越大，OA 的高度越大，当72α=︒时，AO 取最大值，此时，根据∠ABO 的正弦三角函数计算出OA 长度即可；（2）根据AB=4，OB=1.64，利用∠ABO的余弦函数值，即可求出∠ABO的大小，从而得到答案．(1)∠5372α︒≤≤︒当72α=︒时，AO取最大值，在Rt AOB中，sinAO ABOAB∠=，∠sin4sin7240.95 3.8AO AB ABO=∠=︒≈⨯=，所以梯子顶端A与地面的距离的最大值3.8米．(2)在Rt AOB中，cosBO ABOAB∠=，cos 1.6440.41ABO∠=÷=，cos660.41︒≈，∠66ABO∠=︒，∠5372α︒≤≤︒，∠人能安全使用这架梯子．【点睛】本题考查三角函数的应用，属于中考常见考题，利用图形中的直角三角形，建立三角函数模型是解题的关键．36．（2022·湖南株洲）如图1所示，某登山运动爱好者由山坡∠的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处，再从点C处沿线段CB至山坡∠的山顶点B处．如图2所示，将直线l视为水平面，山坡∠的坡角30ACM∠=︒，其高度AM为0.6千米，山坡∠的坡度1:1i=，BN l⊥于N，且CN。

中考专题复习：《解直角三角形》

N
A
Q
如图所示，在坡角为 30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需 ( D ) A．4m B.6m C．(6+2 )m D.(2+2 )m
1．如图所示，某地下车库的入口处有斜坡AB，其坡度i=1∶1.5，且AB= 13 m.
0
2，山坡与地面成30
则他上升
30
的倾斜角，某人上坡走60米， 3 米，坡度是____________ 3
在Rt△ABC中，∠C=90°：
c sin A c cos A 。 ⑴已知∠A、 c, 则a=__________;b=_________
b cos A 。 b tan A ⑵已知∠A、 b, 则a=__________;c=_________
a a sin A 。 tan A ⑶已知∠A、 a，则b=__________;c=_________ 斜边
1
1 2
┌
3
BHale Waihona Puke A B53 3
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
（1）仰角和俯角
（2）坡度
tan α ＝
视线
h l
铅垂线
仰角水平线
俯角
北
α为坡角
视线
h α
A
（3）方位角
西
30°
l
B
O 45°
南
东
链接中考
C
D A B
C
D
C
E
A
链接中考3
一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上， AB∥CF，∠F=∠ACB=90°, ∠E=45°,∠A=60°, AC=10,试求CD的长．
c a
2

中考专题复习解直角三角形（含答案）

中考专题复习解直⾓三⾓形（含答案）中考数学专题解直⾓三⾓形第⼀节锐⾓三⾓函数1、勾股定理：直⾓三⾓形两直⾓边、的平⽅和等于斜边的平⽅。

2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直⾓，则∠A的锐⾓三⾓函数为(∠A可换成∠B)：定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐⾓)余弦(∠A为锐⾓)正切(∠A为锐⾓)(倒数)余切(∠A为锐⾓)3、任意锐⾓的正弦值等于它的余⾓的余弦值；任意锐⾓的余弦值等于它的余⾓的正弦值。

4、任意锐⾓的正切值等于它的余⾓的余切值；任意锐⾓的余切值等于它的余⾓的正切值。

5、30°、45°、60°特殊⾓的三⾓函数值(重要)三⾓函数30°45°60°116、正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增⼤⽽增⼤，cos随的增⼤⽽减⼩。

7、正切、余切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增⼤⽽增⼤，cot随的增⼤⽽减⼩。

第⼆节解⾓直⾓三⾓形1、解直⾓三⾓形的定义：已知边和⾓（两个，其中必有⼀条边）→求所有未知的边和⾓。

依据：①边的关系：；②⾓的关系：∠A+∠B=90°；③边⾓关系：（见前⾯三⾓函数的定义）。

2、应⽤举例：(1)仰⾓：视线在⽔平线上⽅的⾓；俯⾓：视线在⽔平线下⽅的⾓。

(2)坡⾯的铅直⾼度和⽔平宽度的⽐叫做坡度(坡⽐)。

⽤字母表⽰，即。

坡度⼀般写成的形式，如等。

把坡⾯与⽔平⾯的夹⾓记作(叫做坡⾓)，那么。

【重点考点例析】考点⼀：锐⾓三⾓函数的概念例1 如图所⽰，△ABC的顶点是正⽅形⽹格的格点，则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255对应训练1．在平⾯直⾓坐标系中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB的值等于（）A．55B．52C．32D．12考点⼆：特殊⾓的三⾓函数值例2 计算：cos245°+tan30°?sin60°=．对应训练（2012?南昌）计算：sin30°+cos30°?tan60°．考点三：化斜三⾓形为直⾓三⾓形例3 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．对应训练3．如图，在Rt △ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三⾓形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）考点四：解直⾓三⾓形的应⽤例4 黄岩岛是我国南海上的⼀个岛屿，其平⾯图如图甲所⽰，⼩明据此构造出该岛的⼀个数学模型如图⼄所⽰，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=15千⽶，CD=32千⽶，请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和⾯积；（结果保留整数，参考数据2≈1.414，3≈1.73 ，6≈2.45）（2）求∠ACD的余弦值．对应训练6．超速⾏驶是引发交通事故的主要原因之⼀．上周末，⼩明和三位同学尝试⽤⾃⼰所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳⼤道的距离（AC）为30⽶．这时，⼀辆⼩轿车由西向东匀速⾏驶，测得此车从B处⾏驶到C处所⽤的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳⼤道60千⽶/⼩时的限制速度？（计算时距离精确到1⽶，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千⽶/⼩时≈16.7⽶/秒）【聚焦中考】1．如图，在8×4的矩形⽹格中，每格⼩正⽅形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）A．13B．12C．22D．32．把△ABC三边的长度都扩⼤为原来的3倍，则锐⾓A的正弦函数值（）A．不变B．缩⼩为原来的13C．扩⼤为原来的3倍D．不能确定3．计算：tan45°+ 2cos45°= ．4．在△ABC中，若∠A、∠B满⾜|cosA- 12|+（sinB-22）2=0，则∠C= ．5.校车安全是近⼏年社会关注的重⼤问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动⼩组设计了如下检测公路上⾏驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取⼀点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21⽶，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1⽶，参考数据：3=1.73，2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千⽶/⼩时，若测得某辆校车从A到B⽤时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．6．如图，某校教学楼AB的后⾯有⼀建筑物CD，当光线与地⾯的夹⾓是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下⾼2⽶的影⼦CE；⽽当光线与地⾯夹⾓是45°时，教学楼顶A在地⾯上的影⼦F与墙⾓C有13⽶的距离（B、F、C在⼀条直线上）（1）求教学楼AB的⾼度；（2）学校要在A、E之间挂⼀些彩旗，请你求出A、E之间的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25）【备考真题过关】⼀、选择题1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB的值是（）A．23B．35C．34D．452．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tanB的值是（）A．45B．35C．34D．433．如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB= 23，则BC的长为（）A．4 B．25C．181313D．1213134．2cos60°的值等于（）A．1 B．2C．3D．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为（）A．12B．22C．32D．16．如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则C( ）A．点B到AO的距离为sin54°B．点B到AO的距离为tan36°C．点A到OC的距离为sin36°sin54°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°．7．在“测量旗杆的⾼度”的数学课题学习中，某学习⼩组测得太阳光线与⽔平⾯的夹⾓为27°，此时旗杆在⽔平地⾯上的影⼦的长度为24⽶，则旗杆的⾼度约为（）A．24⽶B．20⽶C．16⽶D．12⽶8．如图，某⽔库堤坝横断⾯迎⽔坡AB的坡⽐是1：3，堤坝⾼BC=50m，则应⽔坡⾯AB的长度是（）A．100m B．1003m C．150m D．503m1．如图，为测量某物体AB的⾼度，在D点测得A点的仰⾓为30°，朝物体AB⽅向前进20⽶，到达点C，再次测得点A的仰⾓为60°，则物体AB的⾼度为（）A．10⽶B．10⽶C．20⽶D．⽶2．⼩明想测量⼀棵树的⾼度，他发现树的影⼦恰好落在地⾯和⼀斜坡上，如图，此时测得地⾯上的影长为8⽶，坡⾯上的影长为4⽶．已知斜坡的坡⾓为30°，同⼀时刻，⼀根长为1⽶、垂直于地⾯放置的标杆在地⾯上的影长为2⽶，则树的⾼度为（）A．（6+）⽶B．12⽶C．（4﹣2）⽶D．10⽶3．如图，从热⽓球C处测得地⾯A、B两点的俯⾓分别是30°、45°，如果此时热⽓球C处的⾼度CD为100⽶，点A、D、B在同⼀直线上，则AB两点的距离是（）A．200⽶B．200⽶C．220⽶D．100（）⽶⼆、填空题9．在△ABC中∠C=90°，AB=5，BC=4，则tanA= ．10．tan60°= ．11．若∠a=60°，则∠a的余⾓为，cosa的值为．12．如图，为测量旗杆AB的⾼度，在与B距离为8⽶的C处测得旗杆顶端A的仰⾓为56°，那么旗杆的⾼度约是⽶（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）三、解答题13．如图，定义：在直⾓三⾓形ABC中，锐⾓α的邻边与对边的⽐叫做⾓α的余切，记作ctanα，即ctanα== ACBC，根据上述⾓的余切定义，解下列问题：（1）ctan30°= ；（2）如图，已知tanA=34，其中∠A为锐⾓，试求ctanA的值．14．⼀副直⾓三⾓板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=122，试求CD的长．15．为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某⾼速公路建设⼯程中需修隧道AB，如图，在⼭外⼀点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，3≈1.73，精确到个位）16.如图，某⾼速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地⾯1500m，⾼度C处的飞机，测量⼈员测PABQ24.5°49°41°北东南西得正前⽅A 、B 两点处的俯⾓分别为60°和45°，求隧道AB 的长.17.如图，⾃来⽔⼚A 和村庄B 在⼩河l 的两侧，现要在A ，B 间铺设⼀知输⽔管道．为了搞好⼯程预算，需测算出A ，B 间的距离．⼀⼩船在点P 处测得A 在正北⽅向，B 位于南偏东24.5°⽅向，前⾏1200m ，到达点Q 处，测得A 位于北偏东49°⽅向，B 位于南偏西41°⽅向．（1）线段BQ 与PQ 是否相等？请说明理由；（2）求A ，B 间的距离．（参考数据cos41°＝0.75）练习作业：1. 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据表中的数据求其它元素的值：a b c ∠A ∠B 12 30° 4 45° 260°5 35 4 28 CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．3.计算ooo5sin 302cos60tan 45-－ oo o o2cos 45tan 30sin 45tan 60-+?4．如图所⽰，已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=443，?求△ABC的⾯积（结果可保留根号）．例5.已知：如图所⽰，在△ABC中，AD是边BC上的⾼，E?为边AC?的中点，BC=14，AD=12，sinB=45，求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值．例6.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=10，AC=5，求sinB?sinC的值.。

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2005年全国各地中考分类解析——解直角三角形一、选择题:1．（泰山）一人乘雪橇沿坡比1∶3的斜坡笔直滑下，滑下的距离s （米）与时间t （秒）间的关系为s =10t ＋2t 2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为A ．72 mB ．363 mC ．36 mD ．183 m2、（大连）张华同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树的高为（） A. 3.2米 B.4.8米 C.5.2米 D.5.6米3．(湖北黄石)小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30º角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为( )A ．9米B ．28米C ．()37+米 D.()3214+米4河南）如图，A tan 等于 ( )A ．21B ．2C ．55D ．5 5．（兰州）如果ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２３００＝１那么锐角α的度数是（）Ａ．１５０Ｂ．３００Ｃ．４５０Ｄ．６００6. (厦门) 如图1，在直角△ABC 中，∠C ＝90°,若AB ＝5，AC ＝4，则sin ∠B ＝A. 35B. 45C. 34D. 437．（黑龙江）在相同时刻的物高与影长成比例．小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在地面上的影长为40米，则古塔高为 ( ) (A)60米 (B)40米 (C)30米 (D)25米二、填空题：1、（嘉兴）图7是引拉线固定电线杆的示意图。

已知：CD ⊥AB ，CD 33=m ，∠CAD=∠DBD=60°，则拉线AC 的长是___________m.DCBA2、（四川内江）如图河对岸有一古塔AB ，小敏在C 处测得塔顶A 的仰角为α，向塔前进S ｍ到达D ，在D 处测得A 的仰角为β，则塔高为米。

C A21 图 1CBA3．（沈阳）在△ABC 中，2AB =，2AC =，B ∠=30º，则 ∠BAC 的度数是 .4. （四川资阳）如图4，如果△APB 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A ＇P ＇B ，且BP =2，那么PP ＇的长为____________.(不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=624-，cos15°=624+) 5．（惠安）同一时刻，一竿的高为1.5米，影长为1米，某塔影长为20米，则塔的高为米．１４．（兰州）锐角Ａ满足２ｓｉｎ(Ａ－１５０)＝3则∠Ａ＝＿＿＿＿6、（梅州市）求值：sin 230°+cos 230°= 。

三、解答下列各题 1．（泰山）高为12.6米的教学楼ED 前有一棵大树AB （如图1）．（1）某一时刻测得大树AB 、教学楼ED 在阳光下的投影长分别是BC =2.4米，DF =7.2米，求大树AB 的高度．（3分）（2）用皮尺、高为h 米的测角仪，请你设计另．一种．．测量大树AB 高度的方案，要求： ①在图2上，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标记在图上（长度用字母m 、n …表示，角度用希腊字母α、β …表示）；（3分）②根据你所画的示意图和标注的数据，计算大树AB 高度（用字母表示）．（3分）图1 图2解：连结AC 、EF（1）∵太阳光线是平行线∴AC ∥EF ∴∠ACB=∠EFD ∵∠ABC=∠EDF=90°∴△ABC ∽△EDF ……………………………1分∴AB BC ED DF = ∴ 2.412.67.2AB =∴AB=4.2……………………2分答：大树AB 的高是4.2米．………………………………………3分（2）（方法一）…………………………6分如图MG=BN=mAG=m tan α ∴AB=（m tan α＋h ）米 ………………………9分A B AB ED C F 光线A BMNG α h m（方法二）…………………………6分∴ AG =cot cot m βα- ∴AB=cot cot mβα-＋h …………………9分或AB=tan tan tan tan m αβαβ-＋h（不加测角仪的高扣2分，其他测量方法，只要正确均可得分）2．（嘉兴）如图，河对岸有一铁塔AB 。

在C 处测得塔顶A 的仰角为30°，向塔前进16米到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°，求铁塔AB 的高。

解：在Rt △ABD 中，∵∠ADB=45°，∴BD=AB 。

……2分在Rt △ABC 中，∵∠ACB=30°，∴BC=3AB 。

……2分设AB=x （米），∵CD=16，∴BC=x+16.∴x+16=3x ……2分()83131x ⇒==+-。

即铁塔AB 的高为()831+米。

另解：在Rt △ABC 中，∵∠ACB=30°，∴BC=ABcot30° ……2分在 Rt △ABD 中，∵∠ADB=45°，∴BD=ABcot45° ……2分 ∵CD=BC-BD=16，∴ ABcot30°- ABcot45°=16 ……2分 ∴()0016831cot 30cot 4531AB ===+--ABGM NE Fhβα m A B D C （第21题）即铁塔AB 的高为 ()831+米 ……2分3. （锦州）如图，一条渔船某时刻在位置A 观测灯塔B 、C(灯塔B 距离A 处较近)，两个灯塔恰好在北偏东65°45′的方向上，渔船向正东方向航行l 小时45分钟之后到达D 点，观测到灯塔B 恰好在正北方向上，已知两个灯塔之间的距离是12海里，渔船的速度是16海里／时，又知在灯塔C 周围18.6海里内有暗礁，问这条渔船按原来的方向继续航行，有没有触礁的危险?65︒45'东北D ECBA评价要求：此题解法不惟一，只要合理，即可赋分. 解：1小时45分=小时.在Rt△ABD 中，(海里)，∠BAD=90°-65°45′=24°15′. ……2分 ∵cos24°15′=，∴(海里). (4)分AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里). 在Rt△ACE 中，sin24°15′=，∴CE=AC·sin24°15′=42.71×0.4107=17.54(海里).∵17.54＜18.6，∴这条船不改变方向会有触礁危险. ……8分4．（宁德）6月以来，我省普降大雨，时有山体滑坡灾害发生。

北峰小学教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示：AF ∥BC ，斜坡AB 长30米，坡角∠ABC ＝65º。

为了防止滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，当坡角不超过45º时，可以确保山体不滑坡。

（1）求坡顶与地面的距离AD 等于多少米？（精确到0.1米）（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚B 不动，坡顶A 沿AF 削进到E 点处，求AE 至少是多少米？（精确到0.1米）解：5．（沈阳）如图8所示，A 、B 为两个村庄，AB 、BC 、CD 为公路，BD 为田地，AD 为河宽，且CD 与AD 互相垂直.现在要从E 处开始铺设通往村庄A 、村庄B 的一条电缆，共有如下两种铺设方案：方案一：E D A B →→→；方案二：E C B A →→→.经测量得43AB =千米，10BC =千米，6CE =千米，∠BDC ＝45°，∠ABD ＝15°.已知：地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米.⑴求出河宽AD （结果保留根号）； ⑵求出公路CD 的长；⑶哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.6．(玉林)阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ．过A 作AD ⊥BC 于D(如图)，则sinB=c AD ，sinC=bAD ，即AD=csinB ，AD=bsinC ，于是csinB=bsinC ，即CcB b sin sin =．同理有A a C c sin sin =，B bA a sin sin =．所以CcB b A a sin sin sin ==………(*) 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．(1)在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论(*)和有关定理就可以求出其余三个未知元素c 、∠B 、∠C ，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：第一步：由条件a 、b 、∠A ∠B ；第二步：由条件 ∠A 、∠B ． ∠C ；第三步：由条件．c ．(2)一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以28．4海里／时的速度按北偏东45°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西70°的方向上(如图11)，求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0．1．参考数据：sin40°=0．6 4 3，sin65°=0．90 6，sin70°=0．940，sin7 5°=0．9 6 6)．解：(1)BbA a sin sin =, ∠A+∠B+∠C=180°，a 、∠A 、∠C 或b 、∠B 、∠C ，村庄村庄图8ECDBAA a C c sin sin =或CcB b sin sin =(2)依题意，可求得∠ABC=65°， ∠A=40°. (5分) BC=14．2．(6分) AB ≈21．3．答：货轮距灯塔A 的距离约为21．3海里．(9分)7．(湖北黄石)初三(5)班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图A 、D 是人工湖边的两座雕塑，AB 、BC 是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B 点在A 点北偏东60º方向，C 点在B 点北偏东45º方向，C 点在D 点正东方向，且测得AB=20米，BC=40米，求AD 的长。

(414.12732.13≈≈ ，，结果精确到0.01米)8. （江苏宿迁）某数学兴趣小组，利用树影测量树高．已测出树AB 的影长AC 为9米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．（1）求出树高AB ；（2）因水土流失，此时树AB 沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414， 3≈1.732）解：（1）在Rt △A BC 中，∠BAC ＝90°，∠C ＝30°∵tanC ＝ABAC………2分∴AB ＝AC·tanC ………3分＝9×3………4分 ≈5.2（米） ………5分（2）以点A 为圆心，以AB 为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，点D 为切点，DE ⊥AD 交AC 于E 点，（如图） ………7分在Rt △ADE 中，∠ADE ＝90°，∠E ＝30°， ∴AE ＝2AD ………9分30°太阳光线ACBEDB30°太阳光线AC＝2×5.2＝10.4（米） ………10分答：树高AB 约为5.2米，树影有最长值，最长值约为10.4米．……11分 9、（南通）如图,为了测量一条河的宽度,一测量员在河岸边的C 处测得对岸一棵树A 在正南方向,测量员向正东方向走180米到点B 处,测得这棵树在南偏西60°的方向,求河的宽度（结果保留根号）. 略解：河宽为603米.10、（河南课改）如图，某风景区的湖心岛有一凉亭A ，其正东方向有一棵大树B ，小明想测量A 、B 之间的距离，他从湖边的C 处测得A 在北偏西45°方向上，测得B 在北偏东32°方向上，且量得B 、C 之间的距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A 、B 之间的距离是多少？（结果精确到1米。