09幂函数
幂函数知识点
幂函数知识点嘿，同学们！咱们今天来聊聊幂函数这个有趣的家伙。
先来说说啥是幂函数哈。
简单讲，幂函数就是形如 y ＝x^α （α 是常数）这样的函数。
比如说，y ＝ x²、y ＝ x³，这都是幂函数。
咱就拿 y ＝ x²这个例子来说说幂函数的一些特点。
想象一下，你在操场上扔一个皮球，皮球弹起的高度和你扔的力度之间就有点像幂函数的关系。
你用力越大，皮球弹得越高，而且这个高度的变化可不是简单的直线上升哦，而是像 y ＝ x²这样的曲线增长。
那幂函数的图像都有啥样的呢？有的像个抛物线，开口朝上，比如y ＝ x²；有的像个陡峭的山峰，比如 y ＝ x³。
而且幂函数的图像还和指数α 有关系呢。
当α 大于 0 时，图像都过点（0，0）和（1，1）。
要是α 是偶数，那图像就在第一、二象限，是个偶函数；要是α 是奇数，那图像就在第一、三象限，是个奇函数。
再来说说幂函数的性质。
就说定义域和值域吧。
如果α 是正整数，那定义域就是整个实数集；要是α 是分数，那就有点复杂啦，得具体情况具体分析。
比如说，y ＝√x ，这其实就是幂函数 y ＝ x^（1/2) ，它的定义域就是x ≥ 0 。
就像你去买糖果，老板说少于 0 颗糖不卖，因为没有负数颗的糖果嘛，所以 x 就得大于等于 0 。
还有单调性，当α 大于 0 时，幂函数在（0，＋∞）上单调递增；当α 小于 0 时，在（0，＋∞）上单调递减。
这就好比你爬山，α 大于 0 时，你越往上爬越轻松，路越来越好走；α 小于 0 时，越往上爬越累，路越来越难走。
在做题的时候，咱们经常会碰到比较幂函数大小的问题。
这时候，咱们得先看看指数的正负，再看看底数的大小。
比如说，要比较 2³和3²的大小，那咱们就得算算 2³＝ 8 ，3²＝ 9 ，很明显 9 大于 8 ，所以3²大于 2³。
高考数学知识点 幂函数知识点_知识点总结
高考数学知识点幂函数知识点_知识点总结幂函数是高中数学中重要的知识点之一，它在高考数学考试中经常出现。
掌握幂函数的知识点对于顺利解决各类与幂函数相关的数学题目至关重要。
本文将对幂函数的相关知识点进行总结和归纳，帮助同学们理清思路，加强对该知识点的掌握。
一、幂函数的定义幂函数是指函数y = x^n，其中x为自变量，n为常数。
在幂函数中，x的指数是常数，y与x之间存在特定的关系。
二、幂函数的图像特点1. 当n为正整数时，幂函数的图像是以原点为中心的相似变换。
当n为正奇数时，函数具有奇对称性，图像关于坐标原点对称；当n为正偶数时，函数具有偶对称性，图像关于y轴对称，并且右侧都是正数部分；当n为正数时，函数图像都通过第一象限。
2. 当n为负整数时，幂函数的图像将关于x轴对称，并且经过第一象限和第三象限的两点。
3. 当n为0时，幂函数的图像为直线y = 1，是一个常数函数。
三、幂函数的性质1. 定义域：所有实数。
2. 值域：当n为正奇数时，函数的值域为(-∞, +∞)；当n为正偶数时，函数的值域为[0, +∞)；当n为负奇数时，函数的值域为(-∞, 0)；当n为负偶数时，函数的值域为[0, +∞)。
3. 单调性：当n为正数时，幂函数在定义域上是递增函数；当n为负数时，幂函数在定义域上是递减函数。
4. 对称性：当n为正奇数时，幂函数的图像关于原点对称；当n为正偶数时，幂函数的图像关于y轴对称；当n为负整数时，幂函数的图像关于x轴对称。
5. 渐近线：当n为正数时，幂函数的图像与x轴无交点；当n为负整数时，幂函数的图像与y轴无交点。
四、幂函数的应用幂函数广泛应用于数学中的各种实际问题中，比如面积、体积、变量关系等。
在解决这些问题时，我们可以通过列方程、求导等方法将其转化为幂函数的求解过程。
例如，求解一个正方形的面积与边长之间的关系。
我们可以将正方形的面积设为y，边长设为x，那么根据正方形的性质可得 y = x^2，这就是一个幂函数的表达式，通过对该函数进行数学分析，我们可以得出边长与面积之间的关系，并解决相关的数学问题。
幂函数九个基本图像
幂函数九个基本图像幂函数的图像和性质图表幂函数的图像：幂函数的性质：一、正值性质当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：a、图像都经过点（1,1）（0,0）；b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0；二、负值性质当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：a、图像都通过点（1,1）；b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。
利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。
其余偶函数亦是如此）。
c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。
三、零值性质当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。
它的图像不是直线。
扩展资料一般地，y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。
例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0）等都是幂函数。
参考资料：百度百科—幂函数幂函数的图像和性质幂函数是基本初等函数之一。
一般地，y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。
例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0）等都是幂函数。
幂函数的一般形式是，其中，a可为任何常数，但中学阶段仅研究a为有理数的情形（a为无理数时，定义域为(0，+∞) ），这时可表示为，其中m,n，k∈N*，且m，n互质。
特别，当n=1时为整数指数幂。
正值性质当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：a、图像都经过点（1,1）（0,0）；b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0（函数值递增）；负值性质当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：a、图像都通过点（1,1）；b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。
幂函数的定义及性质
幂函数的定义及性质幂函数是数学中常见的一类函数形式，它的定义如下：定义：对于给定的实数a（a≠0）和非零实数b，幂函数f(x)=a⋅x^b。
其中，a称为幂函数的系数，b称为幂函数的指数，x称为幂函数的自变量，f(x)称为幂函数的因变量。
在幂函数的定义中，a是幂函数的系数，可以取任意非零实数。
系数a决定了函数的纵向伸缩变换，当a>0时，幂函数的图像在y轴上方，当a<0时，幂函数的图像在y轴下方。
指数b是幂函数的指数，决定了函数的横向伸缩变换以及函数的形状。
当b>1时，幂函数增长更为迅速；当0<b<1时，幂函数增长逐渐变缓；当b=1时，幂函数变为线性函数；当b<0时，幂函数变为倒数函数。
幂函数的性质如下：1. 定义域和值域：幂函数的定义域为所有使得指数函数值存在的实数。
当a>0且b>0时，幂函数的值域为(0,+∞)；当a<0且b为奇数时，幂函数的值域为(-∞,0)；当a<0且b为偶数时，幂函数的值域为[0,+∞)。
2. 对称性：a⋅(-x)^b = (-a)⋅x^b，即幂函数关于y轴对称。
3. 单调性：幂函数在定义域上单调递增或递减，取决于系数a和指数b的正负情况。
4. 奇偶性：当b为整数时，幂函数的奇偶性与系数a的奇偶性一致；当b为分数时，幂函数的奇偶性与a的正负性一致。
5. 渐近线：当b>0时，幂函数的图像有一条水平渐近线y=0；当b<0时，幂函数的图像有两条渐进线，分别是x轴和y轴。
6. 函数的图像：幂函数的图像形状随着系数a和指数b的取值而变化，可以是上凸、下凸、对称或非对称的。
以上是幂函数的定义及性质的介绍。
幂函数作为一类常见的函数形式，具有广泛的应用领域，在数学、物理、经济等学科中都有重要的作用。
通过对幂函数的研究和理解，我们可以更好地理解函数的变化规律和函数图像的特点，为解决实际问题提供数学工具和思路。
幂函数知识点总结自己
幂函数知识点总结自己一、幂函数的定义幂函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为实数且不等于1。
当a大于1时，幂函数是增函数；当a小于1且大于0时，幂函数是减函数；当a小于0时，幂函数的定义域依赖于指数x的奇偶性，当x为偶数时，a^x为正数，当x为奇数时，a^x为负数。
二、幂函数的性质1. 定义域和值域：幂函数的定义域为所有实数，值域为正实数或所有实数。
2. 奇偶性：当a为正数时，幂函数为偶函数；当a为负数时，幂函数为奇函数。
3. 单调性：当a大于1时，幂函数是增函数；当0小于a小于1时，幂函数是减函数。
4. 渐近线：幂函数的渐近线为直线y=0。
5. 对称轴：当a为1时，幂函数的对称轴为y轴。
6. 图像：当a大于1时，幂函数的图像向上开口，当0小于a小于1时，幂函数的图像向下开口。
三、幂函数与指数函数的关系幂函数可以看作是指数函数的逆函数。
如果f(x) = a^x，那么反函数为g(x) = log_a(x)，其中log_a(x)表示以a为底的对数函数。
幂函数和对数函数是互为反函数的关系。
四、幂函数的应用1. 在数学建模中，幂函数可以描述物质的生长和衰减过程，例如人口增长模型、经济增长模型等。
2. 物理学中，幂函数可以描述一些物理量随时间的变化规律，例如放射性物质的衰变过程、天体运动等。
3. 经济学中，幂函数可以描述一些经济指标随时间的变化规律，例如产业增长模型、市场需求模型等。
五、幂数学中幂函数的扩展在数学中，幂函数还可以扩展为带有幂指数的多项式函数，例如f(x) = ax^n，其中n为正整数。
这类函数也被称为幂函数，它在数学中有着重要的应用。
总之，幂函数在数学中是一个非常重要的函数，它的性质和应用都十分广泛。
掌握幂函数的定义、性质和应用对于深入理解数学和解决实际问题都具有重要意义。
希望本文的介绍对广大数学爱好者有所帮助。
《幂函数》 讲义
《幂函数》讲义一、幂函数的定义形如y ＝x^α（α 为常数）的函数，叫做幂函数。
其中x 是自变量，α 是常数。
需要注意的是，幂函数的系数必须为 1 ，例如 y ＝ 2x^3 就不是幂函数，而 y ＝ x^3 就是幂函数。
二、幂函数的图像1、当α ＞ 0 时（1）当α 为整数时若α 为偶数，幂函数的图像在第一、二象限，关于 y 轴对称，在第一象限，函数单调递增；在第二象限，函数单调递减。
例如，y ＝ x^2 的图像是一个开口向上的抛物线，顶点在原点，对称轴为 y 轴。
若α 为奇数，幂函数的图像在第一、三象限，关于原点对称，在第一象限，函数单调递增；在第三象限，函数单调递减。
比如，y ＝x^3 的图像是一个经过原点，穿过第一、三象限的曲线。
（2）当α 为分数时若α 的分子为奇数，分母为偶数，幂函数的图像在第一象限，函数单调递增。
若α 的分子为偶数，分母为奇数，幂函数的图像在第一象限，函数单调递增，且图像在 x 轴上方。
2、当α ＜ 0 时幂函数的图像在第一、二象限，在第一象限，函数单调递减。
例如，y ＝ x^（－1) ，也就是 y ＝ 1/x ，其图像是双曲线，分布在第一、三象限。
三、幂函数的性质1、定义域当α 为整数时，定义域为 R；当α 为分数时，分母为偶数时，定义域为 0, ＋∞），分母为奇数时，定义域为 R。
2、值域与定义域和α 的取值有关。
3、奇偶性当α 为整数时，若α 为偶数，函数为偶函数；若α 为奇数，函数为奇函数。
当α 为分数时，需要根据具体情况判断奇偶性。
4、单调性当α ＞ 0 时，函数在第一象限单调递增；当α ＜ 0 时，函数在第一象限单调递减。
四、幂函数的应用1、在物理学中的应用例如在研究自由落体运动时，下落的距离与时间的关系可以用幂函数来表示。
2、在经济学中的应用如成本与产量的关系，可能符合幂函数的特征。
3、在数学建模中的应用通过建立幂函数模型来解决实际问题，如人口增长、资源消耗等。
幂函数图像及其性质
幂函数图像及其性质幂函数是一种常见的数学函数形式，它的数学表达式为f(x)=ax^b，其中a和b是实数，且a不等于零。
幂函数的图像展示了函数的特性和行为，这对我们进一步了解和应用幂函数有着重要意义。
一、幂函数的图像及其特征通过观察幂函数的图像，我们可以得到以下几个基本特征：1. 幂函数的图像总是通过点(0,0)。
当x等于零时，幂函数的结果总是零。
2. 当b为正数时，幂函数的图像从左上方向右下方斜率逐渐减小，渐近于x轴。
这是因为幂函数中的x不断增大时，幂函数的值以一个较小的速度增加。
3. 当b为负数时，幂函数的图像从右上方斜率逐渐减小，渐近于x 轴。
这是因为幂函数中的x不断减小时，幂函数的值以一个较小的速度增加。
4. 当b为偶数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限均为正，且有一个最小值点或者最大值点。
这是由于幂函数的平方等于0或者正数。
5. 当b为奇数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限均为正，且没有最小值点或者最大值点。
这是由于幂函数的绝对值在整个定义域内都为正。
二、幂函数图像的变化规律1. 当a大于0时，幂函数的图像在整个定义域内为正。
随着b的增大，幂函数的图像变得平缓，斜率逐渐减小；随着b的减小，幂函数的图像变得陡峭，斜率逐渐增大。
2. 当a小于0时，幂函数的图像在整个定义域内交替在x轴上方和下方。
随着b的增大或减小，幂函数的图像也会随之变化。
3. 当a等于1时，幂函数的图像变成了恒等函数的图像y=x。
即幂函数退化为y=x的特例。
三、幂函数的性质1. 定义域和值域：幂函数的定义域是实数集R，值域取决于a和b 的取值范围。
2. 奇偶性：当b为偶数时，幂函数是偶函数，关于y轴对称；当b 为奇数时，幂函数是奇函数，关于原点对称。
3. 单调性：当b大于0时，幂函数在整个定义域内是单调递增的；当b小于0时，幂函数在整个定义域内是单调递减的。
4. 渐近线和交叉点：当b大于0时，幂函数的图像会渐近于x轴；当b小于0时，幂函数的图像会与x轴交叉于一个点，并渐近于x 轴。
幂函数的概念与计算
幂函数的概念与计算幂函数是数学中常见且重要的一类函数，具有形如f(x) = ax^m的特点。
其中，a是实数，而m是自然数或正整数。
幂函数的特点是自变量x的指数是恒定不变的，而系数a可以是任意实数。
一、幂函数的定义和性质幂函数是由实数到实数的映射，在定义域内具有以下特点：1. 幂函数的定义域是实数集R，即幂函数对任意实数都有定义。
2. 幂函数的值域则取决于指数m的奇偶性。
当m为奇数时，值域为全体实数；当m为偶数时，值域为非负实数。
3. 当指数m为正整数时，幂函数是递增函数；当指数m为负整数时，幂函数是递减函数。
4. 当指数m为正偶数时，幂函数的图像呈现上升的开口向上的形状；当指数m为正奇数时，幂函数的图像呈现上升的开口向下的形状。
5. 幂函数在x轴上有一个零点x=0，其它的零点则取决于指数m的取值。
二、幂函数的计算方法在实际问题中，我们需要具体计算幂函数的值。
根据幂函数的特性，我们可以采用以下方法进行计算：1. 零点计算：对于幂函数f(x) = ax^m，我们可以令f(x) = 0，然后求解方程ax^m = 0，从而得到幂函数的零点。
2. 极值计算：当幂函数为单调函数时，可以通过求解f'(x) = 0来得到极值点。
3. 特殊值计算：根据幂函数的定义和性质，我们可以计算一些特殊值，例如当x=1时，f(x) = a；当x=-1时，f(x) = a(-1)^m。
三、幂函数的应用举例幂函数在实际问题中有广泛的应用，下面以几个具体的例子来说明：1. 功率函数：电路中的功率由电流和电压的乘积决定，而功率函数可以表示为P = U^2/R，其中U表示电压，R表示电阻。
这个功率函数就是一个幂函数，其中指数m为2。
2. 面积与体积计算：许多几何图形的面积和体积可以用幂函数来表示。
例如，正方形的面积函数可以表示为A = s^2，其中s表示正方形的边长；球体的体积函数可以表示为V = (4/3)πr^3，其中r表示球体的半径。
幂函数运算知识点总结
幂函数运算知识点总结一、幂函数的定义幂函数是指数函数的一种特殊形式，其定义为f(x) = ax^n，其中a和n分别为实数且n为正整数。
幂函数的定义域为实数集合，值域为非负实数集合。
当n为偶数时，幂函数的图像呈现“上凸”的形状；当n为奇数时，幂函数的图像呈现“上凹”的形状。
二、幂函数的图像特点1. 当n为奇数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限上凹，在第二象限和第四象限上凸。
2. 当n为偶数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限上凸，在第二象限和第四象限上凹。
3. 当n为1时，幂函数的图像为直线y=ax，且通过原点。
三、幂函数的性质1、对任意实数a，b，c（a≠0,1）；n，m为正整数，有a^0=1,a^m*a^n=a^(m+n),(a^m)^n=a^(mn),(a*b)^m=a^m*b^m,(a/b)^m=a^m/b^ma^m/a^n=a^(m-n)2、a≠0,1时，当0<a<1时，a^m叫做小于1的幂，a^(−m)=1/a^m；大于1的幂。
a^m>1, 当m>1时 a^m>1, 当m<1时 a^m <1.0^0=1,0^m=0 (m>0).四、幂函数的运算规律1. 幂函数与常数的乘积：y=kx^n(k为常数)，则y=kx^n是一条幂函数的图像，图像基本形状不变，只经过纵向压缩或纵向拉伸。
若k>1，则图像纵向压缩；若0<k<1，则图像纵向拉伸。
2. 幂函数的平移：若对f(x)=x^n加常数c，则其图像向上平移c个单位；若对f(x)=x^n减常数c，则其图像向下平移c个单位。
3. 幂函数的镜像：幂函数关于y轴对称时，原函数的图像将对称于y轴；幂函数关于x轴对称时，原函数图像将对称于x轴。
4. 幂函数的复合函数：将两个幂函数进行复合运算时，其结果仍为幂函数。
五、幂函数的求导幂函数的导数运算利用幂函数的性质和指数函数的导数运算法则，以及利用导数的乘法法则与链式法则。
2020年高考数学一轮复习专题09幂函数与二次函数(含解析)
专题09对数与对数函数最新考纲1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的对数函数的图象．3.体会对数函数是一类重要的函数模型．4.了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数.基础知识融会贯通 1．对数的概念一般地，如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )． (2)对数的性质 ①log a Na＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0，且a ≠1)．(3)对数的换底公式log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．知识拓展1．换底公式的两个重要结论(1)log a b＝1log b a；(2)logmnab＝nmlog a b.其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R. 2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．重点难点突破【题型一】对数的运算【典型例题】若函数f（x）＝1+x3，则f（lg2）+f（1g）＝（）A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4【解答】解：∵f（x）＝1+x3；∴．故选：A．【再练一题】已知奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），当x∈（0，1）时，f（x）＝4x，则f（log4184）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），当x∈（0，1）时，f（x）＝4x，∴f（log4184）＝﹣f（log4184﹣4）＝﹣（）．故选：A．思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．【题型二】对数函数的图象及应用【典型例题】设函数y＝f（x）的图象与y＝log2（x+a）的图象关于直线y＝﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣1）＝2，则a ＝（）A．3 B．1 C．2 D．4【解答】解：函数y＝f（x）的图象与y＝log2（x+a）的图象关于直线y＝﹣x对称，设f（x）上任意一点为（x，y），则（x，y）关于直线y＝﹣x对称的点为（﹣y，﹣x），把（﹣y，﹣x）代入y＝log2（x+a），得﹣x＝log2（﹣y+a），∴f（x）＝﹣2﹣x+a，∵f（﹣2）+f（﹣1）＝2，∴﹣22+a﹣2+a＝2，解得a＝4．故选：D．【再练一题】已知l1，l2分别是函数f（x）＝|lnx|图象上不同的两点P1，P2处的切线，l1，l2分别与y轴交于点A，B，且l1与l2垂直相交于点P，则△ABP的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x），当x＞1时，f′（x），∴l1的斜率k1，l2的斜率k2，∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，∴k1•k2•1，即x1x2＝1．直线l1：y（x﹣x1）﹣lnx1，l2：y（x﹣x2）+lnx2．取x＝0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|＝|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|＝|2﹣（lnx1+lnx2）|＝|2﹣lnx1x2|＝2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x，∴S△PAB|AB|•|x P|2，∵函数y＝x在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，∴x11+1＝2，则0，∴01．∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．故选：A．思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【题型三】对数函数的性质及应用命题点1 对数函数的单调性【典型例题】已知函数y＝log2（ax﹣1）在（﹣2，﹣1）上单调递减，则a的取值范围是．【解答】解：∵已知函数y＝log2（ax﹣1）在（﹣2，﹣1）上单调递减，∴a＜0，且﹣a﹣1＞0，求得a＜﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1）．【再练一题】对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），且当x≥1时，函数f（x）＝lnx，若a＝f（2﹣0.3），b＝f（log3π），c＝f（）则a，b，c大小关系是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），∴函数f（x）关于（1，0）点对称，将f（x）向左平移一个单位得到y＝f（x+1），此时函数f（x）关于原点对称，则函数y＝f（x+1）是奇函数；当x≥1时，f（x）＝lnx是单调增函数，∴f（x）在定义域R上是单调增函数；由0＜2﹣0.3＜1＜log3π，∴f（）＜f（2﹣0.3）＜f（log3π），∴b＞a＞c．故选：A．命题点2 和对数函数有关的复合函数【典型例题】若函数y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值范围是．【解答】解：令g（x）＝x2﹣ax+1（a＞0，且a≠1），①当a＞1时，y＝log a x在R+上单调递增，∴要使y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，必须g（x）min＞0，∴△＜0，解得﹣2＜a＜2∴1＜a＜2；②当0＜a＜1时，g（x）＝x2﹣ax+1没有最大值，从而不能使得函数y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，不符合题意．综上所述：1＜a＜2；故答案为：1＜a＜2．【再练一题】若函数有最小值，则实数a的取值范围是（）A．（1，）B．[，+∞）C．（0，1）D．（0，1）∪（1，）【解答】解：由题意，令t＝x2﹣ax（t）2，则函数f（t）＝log a t∵函数有最小值，∴a＞1要使函数有最小值，则t＝x2﹣ax有最小值，且为正数∴0∴综上，实数a的取值范围是（1，）故选：A．思维升华 (1)利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响．(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题．基础知识训练1．幂函数曲线y=x b,当b>1时的图像为()A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，根据幂函数的图象与性质，可得当b>1时,图像为选项A,当0<b<1时为选项B, 当b<0时为选项C,当b=1时为选项D，故选A.2．已知，则（）A． B．C． D．【答案】A【解析】故函数上是减函数则故选3．已知幂函数的图象过，若，则值为（）A．1 B． C．3 D．9【答案】B【解析】∵幂函数幂函数的图象过，解得．则故选：B．4．若幂函数在（0，+∞）上为增函数，则实数m=（）A． B． C． D．或4【答案】A【解析】幂函数在（0，+∞）上为增函数，，解得（舍去）故选A.5．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，则（）A．- B．1或2 C．1 D．2【答案】C【解析】分析：由为偶数，且，即可得结果.详解：幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，为偶数，且，解得，故选C.点睛：本题考查幂函数的定义、幂函数性质及其应用，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力.6．设函数，若，则A．B．C．D．【答案】A【解析】由于函数，在第一象限为单调递增函数．由于：，所以：故选：A．7．已知幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，），则函数f（x）为（）A．奇函数且在上单调递增B．偶函数且在上单调递减C．非奇非偶函数且在上单调递增D．非奇非偶函数且在上单调递减【答案】C【解析】∵幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，），∴2a=，解得a=，∴函数f（x）=，∴函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．故选：C．8．若幂函数在区间上单调递减，则实数m的值可能为A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】幂函数在区间上单调递减，，由选项可知，实数m的值可能为．故选：C．9．已知幂函数过点A．，且在上单调递减B．，且在单调递增C．且在上单调递减D．，且在上单调递增【答案】A【解析】幂函数过点，，解得，，在上单调递减．故选：A．10．已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，所以，解得，因为，所以，时，，图象关于轴对称，不满足题意；当时，，图象关于原点对称，满足题意，不等式化为，，因为函数上递减，所以，解这个不等式，得，即实数的取值范围是，故选B .11．已知函数是在上单调递增的幂函数，则( )A．0或4 B．0或2 C．0 D．2【答案】C【解析】∵f（x）是幂函数，∴（m﹣1）2＝1，得m＝0，或m＝2，∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴m2﹣4m+2＞0，则当m＝0时，2＞0成立，当m＝2时，4﹣8+2＝﹣2，不成立，故选C．12．已知幂函数的图像过点，则下列说法正确的是（）A．是奇函数，且在上单调递增B．是偶函数，且在上单调递减C．既不是奇函数也不是偶函数，且在上单调递增D．既不是奇函数也不是偶函数，且在上单调递减【答案】C【解析】∵幂函数y＝xα的图象过点（2，），∴2α，解得α，故f（x），故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故选：C．13．已知函数的图象恒过定点P，若幂函数的图象经过点P，则的值为______．【答案】【解析】令，则恒成立故函数恒过，即幂函数的图象经过点则，解得故本题正确结果：14．若幂函数的图象经过点（2，），则f（）=______．【答案】【解析】设幂函数f（x）＝xα，α∈R；其函数图象过点（2，），∴2α，解得α；∴f（x），∴．故答案为：．15．若为幂函数，且满足，则______．【答案】【解析】为幂函数，且满足，，则，解得，，．故答案为：．16．已知幂函数满足，则______．【答案】2【解析】幂函数满足，．故答案为：2．17．已知幂函数过点（2,4）(1)求解析式(2)不等式的解集为[1,2]，求不等式的解集. 【答案】（1）；（2）【解析】（1）设幂函数解析式为因为函数图像过点（2,4），所以所以所求解析式为(2) 不等式的解集为[1,2]，的解集为，是方程的两个根，，，因此；所以不等式可化为，即，解得,所以原不等式的解集为.18．已知幂函数上单调递增．求m值及解析式；若函数上的最大值为3，求实数a的值．【答案】（1）；（2）【解析】幂函数上单调递增故：解得：故：由于所以：函数函数为开口方向向下的抛物线，对称轴为由于在上的最大值为3，时，上单调递增，故：，解得．时，上单调递减，故：，解得：．时，上单调递增，在上单调递减，故：，解得：舍去，或舍去，综上所述：．19．已知幂函数上单调递增，又函数. （1）求实数的值，并说明函数的单调性；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）因为是幂函数，所以，解得，又因为上单调递增，所以，即，即，则，因为均在上单调递增，所以函数上单调递增.（2）因为，所以是奇函数，所以不等式可变为，由（1）知上单调递增，所以，解得.20．已知幂函数f（x）=x a的图象过点（2，4）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数h（x）=4f（x）-kx-8在[5，8]上是单调函数，求实数k的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）幂函数f（x）=x a的图象过点（2，4），∴f（2）=2α=4，∴a=2，∴f（x）=x2；（2）函数h（x）=4f（x）-kx-8，∴h（x）=4x2-kx-8，对称轴为x=；当h（x）在[5，8]上为增函数时，≤5，解得k≤40；当h（x）在[5，8]上为减函数时，≥8，k≥64；所以k的取值范围为（-∞，40]∪[64，+∞）．能力提升训练1．已知函数上为增函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】若函数f（x）=2x2﹣mx+3在[﹣2，+∞）上为增函数，则，解得：m∈（﹣∞，﹣8]，故选：A．2．若函数上的最大值是3，则实数（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【解析】.因为所以时，，即故选A.3．已知函数，则在[0，2］上的最小值为A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】图象的对称轴方程为，故上的最小值为.答案选B.4．已知命题p：，若命题p是假命题，则的取值范围为（）A． B． C． D．或a=0【答案】B【解析】∃x∈R，ax2+x+1≤0．若命题p是假命题，即“ax2+x+1＞0恒成立”是真命题①．当a＝0 时，①不成立，当a≠0 时，要使①成立，必须，解得＜a，故实数a的取值范围为：．故选B．5．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若a＝c，则函数f(x)的图象不可能是A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，根据韦达定理，有，观察图像可以发现，对于D选项，两个根都小于，那么它们的乘积大于，故D选项不可能成立.故选D.6．已知函数的值域为，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵函数的值域为，∴∴∴实数m的取值范围为故选：A7．若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是（）A． B． C． D．（1,2]【答案】A【解析】令.∵∴函数的图象是开口向下的抛物线.∵∴若，外函数为增函数，要使复合函数在区间上为减函数，则，解得.若，外函数为减函数，要使复合函数在区间上为减函数，则，解得.综上，的取值范围是.故选A.8．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是( )A． B．C． D．【答案】B【解析】法一：结合二次函数的图象可知，，所以函数单调递增，排除C，D；把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，排除A，选B.法二：结合二次函数的图象可知，，所以，在中，取，得，只有选项B符合，故选:B.9．若函数有最小值，则实数的取值范围是( )A．(0,1) B． C． D．【答案】C【解析】.当a>1且有最小值时，f(x)才有最小值.∴⇒1<a<.10．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(b x)与f(c x)的大小关系是A．f(b x)≤f(c x) B．f(b x)≥f(c x)C．f(b x)>f(c x) D．与x有关，不确定【答案】A【解析】∵f（1+x）＝f（1﹣x），∴f（x）图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2．又f（0）＝3，∴c＝3．∴f（x）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f（3x）≥f（2x）．若x＜0，则3x＜2x＜1，∴f（3x）＞f（2x）．∴f（3x）≥f（2x）．故选：A．11．已知都是常数，.若的零点为，则下列不等式正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，又为函数的零点，且，所以可在平面直角坐标系中作出函数的大致图像，如图所示，由图可知，故选.12．己知恒成立，则实数a的取值范围为A． B． C． D．【答案】B【解析】设对任意恒成立，即对任意都成立，当，则与讨论矛盾，当时，，则，解得，故选：B．13．函数的最小值为________．【答案】1【解析】由题意，可得，由于，所以当时，函数取最小值1.14．已知函数.若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】∵的对称轴为x=a，且，∴函数f（x）=在[0，]上是减函数，在[，2]上是增函数；∴函数f（x）=的最小值为f（a）=﹣，①当2≤a＜3时，函数f（x）=（x∈）在x=0时取得最大值，且最大值为2a﹣1，由于此时2≤a＜3，则3≤2a﹣1＜5；2a﹣1∴②0＜a＜2时，函数f（x）=（x∈）在x=4时取得最大值，且最大值为42﹣8a+2a﹣1=15﹣6a，由于此时0＜a＜2，则3＜15﹣6a＜15；，∴综上，∴；即t的取值范围是：．15．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．【答案】【解析】设二次函数顶点式为.设的两个根为，且，依题意，两边平方并化简得，即，解得.故.16．若对任意，函数总有零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】∵函数总有零点，∴对任意恒成立，∴记上单调递减，∴∴故答案为：17．已知f（x）为二次函数，且f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x，（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=f（2x）﹣m•2x+1，其中x∈[0，1]，m为常数且m∈R，求函数g（x）的最小值．【答案】（1）f（x）=x2﹣2x﹣1（2）【解析】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，且。
幂函数知识点
幂函数知识点1. 幂函数定义幂函数是形如 \(y = x^n\) 的函数，其中 \(n\) 是实数。
当 \(n\) 为正整数时，幂函数的图像是一系列经过原点的点，且随着 \(n\) 的增加，曲线逐渐趋于平坦。
2. 幂函数的图像特征- 当 \(n > 1\) 时，幂函数在 \(x > 0\) 区域内单调递增。
- 当 \(0 < n < 1\) 时，幂函数在 \(x > 0\) 区域内单调递减。
- 当 \(n\) 为负整数时，幂函数在 \(x > 0\) 区域内表现为周期函数，周期为 \(4\pi\)。
- 当 \(n = 0\) 时，函数退化为常数函数 \(y = 1\)。
3. 幂函数的性质- 奇次幂函数是奇函数，即 \(y(-x) = -y(x)\)。
- 偶次幂函数是偶函数，即 \(y(-x) = y(x)\)。
- 幂函数的导数是 \(y' = n \cdot x^{n-1}\)。
- 幂函数的积分是 \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)，其中 \(C\) 是积分常数。
4. 幂函数的应用- 在物理学中，幂函数常用于描述物体的速度与加速度的关系。
- 在经济学中，幂函数可以用来模拟市场需求与价格的关系。
- 在工程学中，幂函数用于描述材料的强度与应力的关系。
5. 特殊幂函数- 指数函数 \(y = a^x\) 是幂函数的一种特殊形式，其中 \(a\) 是正实数且 \(a \neq 1\)。
- 对数函数 \(y = \log_a x\) 也是幂函数的一种特殊形式，其中\(a\) 是正实数且 \(a \neq 1\)。
6. 幂函数的运算法则- 幂的乘法：\(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\)- 幂的除法：\(x^m / x^n = x^{m-n}\)- 幂的幂：\((x^m)^n = x^{m \cdot n}\)7. 幂函数的极限- 当 \(x \to 0\) 时，\(x^n\) 的极限取决于 \(n\) 的值。
幂函数(课件)
利用导数研究幂函数的极值 和拐点
01 03
详细描述
02
幂函数与其他初等函数的复 合函数性质
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幂函数在物理中的应用
力学
在力学中，幂函数可以描 述物体的运动规律，例如 加速度与时间的关系。
热力学
在热力学中，幂函数可以 描述气体分子的速度分布 规律。
电磁学
在电磁学中，幂函数可以 描述电流与电压的关系。
幂函数在其他领域的应用
经济学
计算机科学
在经济学中，幂函数可以用于描述商 品的需求量与价格的关系、消费者的 购买决策等。
02
幂函数的运算规则
幂的乘法规则
总结词
同底数幂相乘，指数相加
详细描述
幂函数是数学中一种重要的函数，其形式为 (a^x)（其中 (a) 是底数，(x) 是指 数）。当两个幂函数相乘时，如果它们的底数相同，则它们的指数相加。即， (a^x times a^y = a^{x+y})。
幂的除法规则
总结词
幂函数(优秀课件)
目 录
• 幂函数的基本概念 • 幂函数的运算规则 • 幂函数的应用 • 幂函数的扩展知识 • 幂函数的习题与解析
01
幂函数的基本概念
幂函数的定义
总结词
幂函数是一种数学函数，其一般形式 为$y=x^n$，其中$n$是一个实数。
详细描述
幂函数是函数的一种，其一般形式为$y=x^n$ ，其中$x$是自变量，$y$是因变量，$n$是一 个实数。当$n>0$时，幂函数在$(0, +infty)$ 区间内单调递增；当$n<0$时，幂函数在$(0, +infty)$区间内单调递减；当$n=0$时，幂函 数值为1。
幂函数图像与性质
幂函数的周期性
幂函数性质：周 期性是指函数在 一定周期内重复
出现的性质。
幂函数周期：幂 函数的周期与其 指数有关，当指 数为正整数时， 幂函数具有周期
性。
周期计算：幂函 数的周期可以通 过将指数除以自 变量来计算，得 到的结果即为函
数的周期。
周期性特点：幂 函数的周期性具 有一些特点，例 如当指数为偶数 时，函数图像关 于y轴对称；当 指数为奇数时， 函数图像关于原
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汇报人：XX
左到右下降
幂函数应用： 在数学、物理、 工程等领域有
广泛应用
幂函数定义域和值域
值域：y>0
定义域：x属于R
定义：幂函数f(x)=x^a， 其中a为实数
性质：幂函数图像在第一象 限，随着a的增大，函数图
像从右上至左下逐渐上升
02
幂函数图像
幂函数图像特点
幂函数图像在第 一象限内单调递 增
幂函数图像在第 二象限内单调递 减
幂函数图像在y 轴两侧对称
幂函数图像在x 轴上无交点
幂函数图像与x轴关系
当a>0时，幂函数图像与x轴有交 点
当a=0时，幂函数图像与x轴只有 一个交点
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当a<0时，幂函数图像与x轴无交 点
幂函数图像与x轴交点的个数和位 置与a的取值有关
幂函数图像与y轴关系
当x>0时，幂函数图像位于 第一象限
04
幂函数的应用
幂函数在数学领域的应用
幂函数在微积分中的应用 幂函数在求解方程中的应用 幂函数在概率论中的应用 幂函数在复数分析中的应用
幂函数在物理领域的应用
力学：描述物体的运动规律，如加速度与速度的关系。 光学：解释光的干涉和衍射现象，如杨氏双缝干涉实验。 电磁学：解释电磁波的传播规律，如无线电信号的传输。 量子力学：描述微观粒子的运动状态，如波函数的形式。
(完整版)幂函数公式汇总
(完整版)幂函数公式汇总1. 幂函数的定义幂函数是形如 f(x) = ax^n 的函数，其中 a 是实数常数，n 是整数。
幂函数包含了多种特定形式的函数，如常函数、线性函数等。
2. 幂函数的图像特征- 当 a > 0 且 n 是偶数时，幂函数的图像在整个定义域上都为正值，并且关于 y 轴对称。
- 当 a > 0 且 n 是奇数时，幂函数的图像在整个定义域上有正有负，并且关于原点对称。
- 当 a < 0 时，幂函数的图像在整个定义域上都为负值，并且关于 y 轴对称。
- 当 a = 0 时，幂函数的常函数图像与 x 轴重合。
3. 幂函数的性质- 幂函数的定义域是全体实数。
- 幂函数的值域取决于 a 和 n 的取值范围。
- 当 a > 0 且 n > 0 时，幂函数是递增函数；当 a > 0 且 n < 0 时，幂函数是递减函数。
- 幂函数在 x = 0 处取得最小值或最大值，取决于 a 和 n 的符号。
4. 幂函数的常见公式- 幂函数的线性公式：f(x) = ax- 幂函数的平方公式：f(x) = ax^2- 幂函数的立方公式：f(x) = ax^3- 幂函数的平方根公式：f(x) = a√x- 幂函数的绝对值公式：f(x) = |a|x^n5. 幂函数的应用领域- 幂函数广泛应用于物理学、经济学、工程学等领域，用于描述各种与指数关系相关的现象和规律。
- 幂函数在建模和优化问题中具有重要作用，如生产函数、成本函数等。
以上是对幂函数的定义、图像特征、性质、常见公式和应用领域的汇总。
幂函数是数学中重要的函数类型之一，深入理解幂函数的特点和应用将有助于我们解决各种实际问题。
此为大致800字的幂函数公式汇总文档，你可以根据需要适当添加内容或进行修改。
09幂函数
自学指南（9）——幂函数一、学习目标1.掌握幂函数的图象和性质，能够由图像和性质解决有关问题，提高作图和识图能力。
2.独立思考，合作学习，探究幂函数的图象和性质应用的规律和方法。
3.激情投入，勇于创新，养成善于分析和总结的良好习惯。
二、基础知识构建：【学法指导】1.先仔细阅读教材必修一，再思考知识梳理所提问题，重点对幂函数的图像和性质进行复习，构建知识体系，画出知识树；2.限时15分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法。
1. 什么是幂函数 ？思考：幂函数αx y =通常分成几类？2.在同一坐标系中画出函数y=x,y=x 2,y=x 3,xy 1=,21x y =的图象。
3. 借助2.所画的图像探究幂函数αx y =有哪些性质？4. 请同学们对本节所学知识归纳总结后，画出知识树：三、挑战极限：挑战一：（参考案例）1．下列函数中，是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数的是（ ） （Ａ）y=x （Ｂ）xy -=2 （Ｃ）xy 1-=（Ｄ）3x y -= 2. 如图所示，曲线是n x y =在第一象限内的图像。
已知n 分别取±1,21,2四个值，相应于曲线4321,,,c c c c 的n 依次为（ ）（A ）-1，21，1，2 (B)2，1，21，-1 (C) 21，-1，2，1 (D)2， 21，-1，1挑战二：（参考案例）1.画出函数()32x x f =的图像，并通过图象探究其性质2.作出函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0|,|,0,)(21x x x x x f 的图像并指出函数的单调区间挑战三：（参考案例） 已知幂函数)()(322Z m x x f m m∈=--为偶函数，且在区间),0(+∞上是减函数. （1）求函数)(x f 的解析式；（2）讨论函数)()()(x xf bx f ax -=ϕ的奇偶性.四、我的学习总结：（1）我对知识的总结 （2）我对数学思想及方法的总结超越梦想（9）---幂函数1．下列函数中是幂函数的是（ ） （A ）2)2(+=x y (B)xy 2=(C)21x y = (D)x y 3= 2.当),1(+∞∈x 时，下列函数中图像在直线x y =下方的增函数是（ ） （Ａ）21xy =（Ｂ）2x y = （Ｃ）3x y = （Ｄ）1-=x y3.下列结论中，正确的是（ ）（A ）幂函数的图像都过点（0，0），（1，1） (B) 幂函数的图像可以出现在第四象限 (C)当幂指数α取1，2，3，21时， 幂函数αx y =是增函数 (D) 幂函数21x y =既不是奇函数，也不是偶函数 4．下列命题中，不正确的是（ ）（A ）幂函数1-=x y 是奇函数 (B) 幂函数2x y =是偶函数(C) 幂函数y=x 既是奇函数又是偶函数 (D) 幂函数21x y =既不是奇函数也不是偶函数 5．函数313x y x y ==与的图像（ ）（A ）关于原点对称 (B) 关于x 轴对称 (C) 关于y 轴对称 (D) 关于直线y=x 对称 6．函数11+=x y 的图像是（ ）7.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，若,1)(0>x f 则0x 的取值范围是（ ）（Ａ）)1,1(- （Ｂ）（－１，＋∞） （Ｃ）（－∞，－２）),0(+∞⋃ （Ｄ）),1()1,(+∞⋃--∞ 8.设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α值为（ ） （Ａ）1，3 （Ｂ）1,1- （Ｃ）3,1- （Ｄ）3,1,1-9.(2010年高考北京卷)给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（ ）（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④10.(2010年高考安徽卷)设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是（ ）（A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 11.（2011年高考陕西卷） 函数13y x =的图像是 （ ）12．幂函数)(x f 的图像过点)21,4(那么)8(1-f 的值为13.作出函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0|,|,0,)(21x x x x x f 的图像并指出函数的单调区间.。
幂函数知识点
幂函数知识点幂函数是数学中的一种常见函数形式，它的数学表达式为f(x) = x^a，其中a是实数。
幂函数在数学和科学中有着广泛的应用，它可以描述许多自然界中的现象。
本文将带您逐步了解幂函数的定义、性质和应用。
一、幂函数的定义幂函数是指以自变量为底数的指数函数。
它的一般形式为f(x) = x^a，其中x为自变量，a为实数。
在这里，a被称为幂指数，控制着函数的形状。
二、幂函数的性质1.定义域和值域：幂函数的定义域为所有正实数和0，值域则取决于幂指数的奇偶性。
当a为正偶数时，函数图像在y轴的右侧无上界；当a为负偶数时，函数图像在y轴的左侧无上界。
当a为正奇数时，函数图像在整个坐标平面上，有上下界；当a为负奇数时，函数图像在整个坐标平面上，有左右界。
2.对称性：当幂指数为偶数时，幂函数关于y轴对称；当幂指数为奇数时，幂函数关于原点对称。
3.增减性：幂函数的增减性取决于幂指数的正负。
当a大于0时，函数在定义域上是严格递增的；当a小于0时，函数在定义域上是严格递减的。
4.特殊情况：当幂指数为0时，函数为常数函数f(x) = 1；当幂指数为1时，函数为恒等函数f(x) = x。
三、幂函数的应用幂函数在许多科学领域中有着重要的应用。
以下是一些常见的实际应用示例：1.物理学中的运动学：在运动学中，幂函数可以描述物体的位移、速度和加速度之间的关系。
例如，当幂指数为2时，函数表示匀加速运动中的位移和时间的关系。
2.经济学中的成本函数：在经济学中，幂函数可以用于描述成本与产量之间的关系。
例如，当幂指数为1时，函数表示线性成本函数，可以用来分析单位成本随产量变化的情况。
3.生物学中的生长模型：在生物学中，幂函数可以用来描述生物体的生长模型。
例如，当幂指数为正时，函数表示指数生长模型，可以用来研究细菌、植物等生物体的增长规律。
4.工程学中的功率函数：在工程学中，幂函数可以用来描述电力、声音和光的功率与强度之间的关系。
例如，当幂指数为2时，函数表示光强随距离的平方衰减规律。
幂函数的定义和性质
幂函数的定义和性质幂函数是数学中一类重要的函数，其定义形式为f(x)=ax^b，其中a 和b是实数，且a不等于零。
1. 幂函数的定义幂函数是由变量的幂指数决定的函数，其中底数为自变量x，指数为常数b。
常见的幂函数包括平方函数和立方函数。
幂函数的一般形式为f(x)=ax^b，其中a不为零。
2. 幂函数的性质2.1 定义域和值域幂函数的定义域是实数集R中所有使得底数非负的x值。
当指数b 为正数时，幂函数的值域是正实数集R+；当指数b为负数时，幂函数的值域是(0, +∞)。
2.2 奇偶性当指数b为偶数时，幂函数f(x)=ax^b是偶函数，即关于y轴对称；当指数b为奇数时，幂函数f(x)=ax^b是奇函数，即关于原点对称。
2.3 单调性当底数a为正数且指数b为正数时，幂函数f(x)=ax^b在定义域内是递增函数；当底数a为负数且指数b为正数时，幂函数f(x)=ax^b在定义域内是递减函数。
2.4 极限性质当指数b大于零时，随着自变量x趋近于正无穷大，幂函数f(x)=ax^b也趋近于正无穷大；当指数b小于零时，随着自变量x趋近于正无穷大，幂函数f(x)=ax^b趋近于零。
2.5 对称轴当指数b为整数且为偶数时，幂函数f(x)=ax^b的对称轴为y轴；当指数b为整数且为奇数时，幂函数f(x)=ax^b的对称轴为原点。
3. 幂函数的图像特征幂函数的图像特征与底数a和指数b的大小关系密切相关：3.1 当底数a大于1时，幂函数的图像在x轴的右侧递增，离x轴越远函数值越大。
3.2 当底数0 < a < 1时，幂函数的图像在x轴的右侧递减，离x轴越远函数值越小。
3.3 当底数a为负数且指数b为偶数时，幂函数的图像关于y轴对称。
此时，随着底数a变为负数，图像会上下翻转。
3.4 当底数a为负数且指数b为奇数时，幂函数的图像关于原点对称。
此时，随着底数a变为负数，图像会关于原点上下翻转。
4. 应用举例幂函数的应用十分广泛，其中包括经济学、物理学、统计学等多个领域，在不同领域中扮演着重要的角色。
09-第四节 函数的奇偶性与简单的幂函数-课时2 简单幂函数的图象和性质高中数学必修一北师大版
知识点2 幂函数的图象和性质 4年3考
3.下列命题正确的是( D )
A.幂函数的图象都经过 0,0 , 1,1 两点
B.当 = 0时，函数 = 的图象是一条直线
C.如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同
D.如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点 −1,1
【解析】 对于A,幂函数 = 的图象都经过点 1,1 ,当 ≤ 0时,不过点
D.若 > 1，则 > 1
1
,故A正确.
2
1
2
= ,则函数 的定义
1
2
域为[0, +∞),且 为非奇非偶函数,故B,C错误.因为 = > 0,所以函数
1
2
= 在区间[0, +∞)上单调递增,所以当 > 1时, > 1 = 1,故D
正确.
6.有四个幂函数：① = −1 ；② = −2 ；③ = 2 ；
情形,②是 = 2的情形,⑤是 =
1
− 的情形,所以①②⑤都是幂函数；③是
2
常函数,不是幂函数；④中 2 的系数是2,所以不是幂函数.故选C.
【归纳总结】幂函数 = （为常数）具有形式上的严格性，在幂函数
的表达式中，要注意以下四点：
（1） 的系数为1；（2） 的底数是自变量；（3）指数为常数；
−∞, 0 ∪ 0, +∞ ,且在 0, +∞ 上单调递减,满足条件；对于②, = −2
是 −∞, 0 ∪ 0, +∞ 上的偶函数,值域是 0, +∞ ,且在 0, +∞ 上单调递减,
满足条件；对于③, = 2 是上的偶函数,值域是[0, +∞),在 0, +∞ 上
25届(新教材QG版)数学精练案基础课09幂函数与二次函数
基础课09幕函数与二次函数课时评价提能基础巩固练1. [2024• 吉林模拟]"a>2"是＂函数f(x)= (a-1)x 2-2x在(1,+oo)上是2. 增函数”的(A ).A. 充分不必要条件C. 充要条件B. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件［解析］若a>2, 则f(x)的单调递增区间是[a �l '+oo), 且(1,+oo)豆[a �l '+oo)'所以函数f(x)在(1,+oo)上是增函数，故充分性成立；当a=2时，f(x)= x 2-2x在(1,+oo)上是增函数，故必要性不成立．故"a>2"是“函数f(x)= (a-1)x 2 -2x在(1,+oo )上是增函数”的充分不必要条件故选A.2. [2024• 济南模拟］若二次函数f(x)= ax 2+bx+ c (a < 0), 满足f(1)= f(3), 则下列不等式成立的是(B )A. f (l) < f(4) < f(2) C. f(4) < f (2) < f (1) B. f (4) < f(l) < f(2) D.f (2) < f(4) < f(l) ［解析］因为八1)= f(3), 所以二次函数f(x) = ax 2+ b x + c 图象的对称轴为直线x = 2.因为a<0, 所以f(4)< f(3) < f(2), 又f(l)= [(3), 所以f(4)< f(l) < f(2)故选B.3. [2024• 成都模拟］若幕函数f(x)= (矿-3m-3)·产在(0,+ oo )上单调递减，则下列说法正确的是(C )A.m=4B.f(x)是减函数C. f (x)是奇函数D. f(x)是偶函数［解析］因为函数f (x)= (m 2 -3m-3)产为幕函数，所以m 2-3m-3= 1, 解得m =4或m=-1.当m=4时，f (x)= x 4在(0,+ oo)上单调递增，不满足题意，排除A.当m=-1时，f (x)= X -1在(0,+ oo)上单调递减，满足题意函数(x)= X -l在(-oo,0)和(0,+ oo)上单调递减，但不是减函数，排除B .因为函数f (x)的定义域关于原点对称，且八-x)=�= -(x), 所以f (x)是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误．故选C.24. [2024· 新疆模拟］已知函数(x)= (1 X ,X 2:: 0, �,X< 0, g (x) = (-x), 则函数g (x)的图象大致是(B )�yA .y c ＼XXB .D . 01(X ByXD［解析］因为g (x)=(-x), 所以g (x)的图象与f (x)的图象关于y 轴对称．由f (x)的解析式作出f (x)的大致图象，如图所示，从而可得g (x)的图象大致为B选项．故选B.y\ X5. [2024• i、维坊联考］已知二次函数f(x)= ax2 + b x+ c(a >0)的图象与x轴交点的横坐标分别为-5和3,则该二次函数的单调递减区间为(A).A. (-oo,-1]B.[-1,+oo)C.(-oo,2]D. [2, + oo) ［解析］因为二次函数f(x)= ax2 + b x+ c(a >0)的图象与x轴交点的横坐标为-5和3,-s厂=-1, 又a>O, 所以该二次函数的单调递所以其对称轴方程为x=减区间为(-oo,-1].故选A.6. [2024• 东莞模拟］已知函数y= log/x-1) +4(a >0且a-=f=.1)的图象恒过定点P, 点P在幕函数Y= f(x)的图象上，则lg f (2) +l g f (5) =(B) .A.-2B.2C.-1D. 1［解析]·:已知a>O且a*1, 对于函数y= Iog/x-1) +4, 令x-1= 1, 解得x = 2, 此时y= 4, :.定点P(2,4).令点P在幕函数y= f(x) = x a的图象上，:. 2a = 4, :. a= 2, :. f(x) = x2, 则八2)= 4,f(S)= 25,故lg八2)+ l g f(S) = lg [f(2)f(S)] = lg 100 = 2故选B.7. [2024• 苏州模拟］设函数f(x)=卢:二五氧a<0)的定义域为D,若对千任意m,n ED, 所有的点P(m,f(n))构成一个正方形区域，则实数a的值为(D).A.-1B.-2C.-3D.-4［解析］由已知可得ax2-2ax�0.因为a<0, 所以x2-2x :s;0, 解得0:s;x:s; 2, 所以D= [0,2].因为y= x2-2x在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以y= x2-2x在x=l处取得最小值，最小值为-1,所以y=a忙-2x)在x=l处取得最大值，最大值为-a,所以函数f(x)=J;l三立立x=l处取得最大值，最大值为Fa.因为八0)= f(2) =o, 且所有的点P(m,f(n))构成一个正方形区域，所以{五三，所以a=-4故选D8. [2024• 绵阳模拟］若函数f(x)= ( 2x-m,x < 1,2 有最小值，则实数m的2x -4mx +3m,x�1取值范围是(B)A. (-oo,0)B.[2,+oo)C. (-oo,0) u [1, +oo)D. (0,1) u [2, +oo)［解析］因为f(x)= 2x -m,x < 1,2x2 -4mx +3m,x�1有最小值，所以当x<l时，f(x)= 2x-m, 显然f(x)在(-oo,1)上单调递增，且f(x)> -m, 即f(x)在(-oo,1)上没有最小值当x�l时，f(x)= 2x2 -4mx +3m, 易知f(x)在[1,+oo)上必有最小值因为f(x)在[1,+oo)上的图象是开口向上，对称轴为直线x=m的抛物线的一部分，所以当m�1时，f(x)mi n= f(l) = 2-m, 易知f(O)= 2°-m = 1-m < 2-m = f(l),故八1)不是八x)在R上的最小值，则f(x)在R上没有最小值，不满足题意；当m>l 时，f(x)min= f(m) = -2m 2+ 3m,2要使得f(m)是八x)在R上的最小值，则f(m)::;-m, 即-2m + 3m::; -m,解得m::;0或m2::2,所以m2:: 2.综上所述，m2:: 2故选B.综合提升练9. [2024• 江苏联考］（多选题）若函数f(x)= X 3,且X l < X z , 则(AC ).A. (x 1一心[f 伈）-f 伈）]>0C .f伈）-x 2<f 伈）-XlB. X 1-f 伈）>x z -f 伈）f(x 1) + f 伈）X l + XzD.2>t (2)［解析］由幕函数的性质知，f(x)= x 3在R 上单调递增．因为x 1< X z , 所以f 伈）<f 伈），即X l -X 2< 0, f 伈）-f 伈）< o,所以伈－寸[f 伈）-f 伈）] > 0,故A正确；令x 1= 0,x 2 = 1, 则0-f(O)= 1-f(l) = 0, 故B 错误；11令g(x)= f(x) + x = x 3+ x ,则由函数单调性的性质知，f(x)= X 3在R 上单调递增，y =x在R上单调递增，所以g (x)= f(x) + x = x 3+ x 在R 上单调递增，因为X l < X z ,所以g 伈）<g 伈），即f 伈）+x l<f 伈）+ X z ,则f伈）-X z <f 伈）-X l ,故C 正确；X 1 + Xz令x 1= -1,x 2 = 1,则2= 0,所以f(l) + f(-1)= f(O) = 0, 故D 错误故选AC.10. [2024• 衡阳模拟］（多选题）设二次函数f(x ) = a x 2 -4x + c的值域为[O, + oo), 19下列各值（或式子）中一定大千＋ 的是（c +l a +9 BD ) .9飞22A 1-532B C. -n 2+ 2n + 8,n E [-2,2]2m +2D .屈, m E R［解析］因为二次函数f(x ) = a x 2-4x+ c的值域为[O ,+ oo), 所以{a> 0, 所以{a >O 4 Ii= 16-4ac= 0 a c = 4, ＇解得c =—,a 1 9 1 9 a 9 a 2+ 18a + 36所以+ =4 + = + = c +l a +9 a +9 a+4 a +9 2 -+ 1 a + 13a + 36aa 2+ 13a + 36 + Sa SaS2=1+2=1+a + 13a + 36a + 13a + 3636'a+—+ 13a 因为a>O, a+了气2二=12, 36当且仅当a =—即a =6时取等号，a ' 所以1+5636a+了+13::; s ·296对于A ,云＜子316对于B —>-, 255'故A 错误；故B正确；对于C,令g (n )= -n 2+ 2n + 8,n E [-2,2], 则0�g (n )�9,故C错误；m2+ 2m2+ 1 + 1212 1 对于D,三＝三＝五勹＋产�2J ✓五二1=2,当且仅当m =O时，等号成立，，6-5＞ 2故D正确故选BO.(2-3a)x,x 2:: 1I I . [2024• 开封模拟］已知函数f(x)= ( _ix -a . (2)+日-8,x < 11 X 1 , 满足对任意的实数X l 'X 2,且x l* Xz , f伈）-f伈）都有>0成立，X -X123则实数a的取值范围为[l].4立［解析］因为对任意的实数X X , 且x f伈）-f伈）1' 2 1 -=F X z'都有X 1-X 2> Q 成立，所以对任意f伈）-f伈）的实数X l 'X 2,且x l* Xz'x -x < O 恒成立，1 2即函数f(x)= (2-3a)x,x�1, 1 X1 X 1-a .(z ) +日-8,x < 1是R上的减函数令t = (扩，则t>½, 要使f(x )=-a ·(扩＋贯－；在(-oo ,1)上单调递减，，，函曰1L , 递文＜－a 来女＜－ 调函单减3-4上为得)171牛俞>－1－纾00义＋＋ ， a，。
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..
幂函数
学习目标：
1、掌握幂函数的概念..
2、掌握幂函数的图象和性质。
学习重点：
幂函数的图象和性质。
学习难点：
幂函数的图象和性质。
（一） 知识链接：：
指数函数与对数函数的性质及图象。
（二）复习提纲：
1． 幂函数的概念：
2． 在同一坐标系内画出5个常用幂函数的图象：
由上述图象我们得出的结论： y x =
2y x =
3y x =
12
y x =
1y x -=
定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
3.性质：⑴所有的幂函数在()0,+∞都有定义，并且图像都过点_____________。
⑵如果0
α>()0α<，则幂函数的图像过原点，并且在区间[)0,+∞上为___函数。
⑶在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图像在y 轴右方无限接近于y 轴，当x 趋向于+∞时，图像在x 轴上方无限逼近x 轴。
⑷当α为奇数时，幂函数为________，当α为偶数时，幂函数为_____________。
（三）典例与变式：
类型一：定义的理解： 例1:在函数22
21,2,,1y y x y x x y x
=
==+=中，哪几个是幂函数？ 例2:已知幂函数y=f(x)的图象过点（2，2），试求出函数的解析式。
变式：已知幂函数的图象过（2，2），求f （4）的值等于 。
学法指导：求解幂函数时要熟记幂函数的定义及形式和它需要满足的条件
类型二：幂函数的应用 例3已知函数()()22
1
2m m f x m m x
+-=+∙，m 为何值时，()f x 是①正比例函数；②反比例函数；
③二次函数；④幂函数。
变式:当()0,x ∈+∞时，幂函数()
253
1m y m m x --=--为增函数，则实数m 的值为( )
A m=2
B m=-1
C m=2或 m=-1
D 15
2
m ±≠
..
（四）反馈训练：
1.下列函数是幂函数的是: ____________
12
2
(1)1,(2),y x y x -
=+=22
3
(3)2,(4)y x y x
-==13
,(5)1y x
-
=+
2、下列命题正确的是：( )
A 当0a =时，函数a
y x =的图像时一条直线。
B 幂函数的图像都经过（0，0）和（1，1）点。
C 若幂函数a
y x =是奇函数，则a
y x =是定义域上的增函数。
D 幂函数的图像不可能出现在第四象限。
3. 设11,1,,32α⎧
⎫∈-⎨⎬⎩
⎭，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )
A 1，3
B -1，1
C -1，3
D -1，1，3 4.如果幂函数(
)
22
2
33m m y m m x
--=-+的图像不过原点，则m 的取值范围为( )
A 12m -≤≤
B m=2或 m=-1
C m=1
D m=2或 m=1
5. 已知函数
2
()1,()43,x f x e g x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为 A ．[22,22]-+ B ．(22,22)-+ C ．[1,3] D ．(1,3)
6、若幂函数()y f x =的图像经过点19,3⎛⎫
⎪⎝⎭
，则()25f 的值是____________
7.已知幂函数2
23
()()m m f x x m Z --=∈为偶函数，
且在区间(0,)+∞上是减函数，求函数()f x 的解析式．
8．若函数()()
()30
2
24
42
1f x mx x m x mx -
=++++-+的定义域为R ，求实数m 的取值范围。
9. 已知幂函数2
23
()m
m y x m N --+=∈的图像关于y 轴对称，且在(0,)+∞上是减函数，求满足
3
3
(1)
(32)
m m a a -
-
+<-的a 的取值范围。