成都七中2014级高三数学测试题文

成都七中2014级高三数学测试题（文）
17. （本小题12分） 已知函数21
()cos()2sin 4
2
f x x x x π
ωωω=
⋅+
++
，直线
1y =()f x 的图象交点之间的最短距离为2
π． （1）求()f x 的解析式及其图象的对称中心；
（2）设ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若3
(
)282
A f π+=，
4,c a b =+=，求ABC ∆的面积.
18.（本小题12分）等边三角形ABC 的边长为3,点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,且满足
AD DB =1
2
CE EA =(如图1).将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置,使二面角1A DE B --为直二面角,连结1A B 、1AC (如图2).
（Ⅰ）求证:1A D ⊥平面BCED ;
（Ⅱ）若P 是线段BC 上的点,且三棱锥EP A D 1-的体积为
6
3
，求BP 的长.
19.（本小题12分）已知正项数列满足24(1)n n S a =+。

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n n n
a b -=
，数列{}n b 的前n 项和为T n 。

是否存在整数m ，使n
T m <对n N *
∈都成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，说明理由。

20.（本小题13分）已知函数()ln 1()f x x ax a R =++∈.
（Ⅰ）若1a =时，求曲线=()y f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；
（Ⅱ）设()21,x
g x =-若存在),,0(1+∞∈x 对于任意],1,0[2∈x 使),()(21x g x f ≥ 求a 的取值范围．
17. 解：（1）11()sin 2cos 21)1224
f x x x x π
ωωω=-+=-+ 由题可知，
2,,=1222T T p p p p w w
=\=\?
())14f x x π∴=
-+,对称中心.,)1,82(Z k k ∈+ππ
（2）2
2
sin ,21sin 22,23)82(
=
∴=∴=+A A A f π 又(0,)A π∈ 4
π
=∴A 或34
A π
=
4,c a b =+=
当4
A π
=
时：由余弦定理，222)16a b b b =-=+-⇒=
11sin 4422ABC S b c A ∆∴=
⋅⋅⋅=⋅⋅= 同理，当43π
=A 时：43
ABC S ∆= 故 ， 43
ABC S ∆=
或4ABC S ∆= 18. 解：（1）等边三角形ABC 的边长为3,且
AD DB =1
2
CE EA = 1,2AD AE ∴==,又060DAE ∠=
1DE DE AB DE A D ∴=⇒⊥⇒⊥
又二面角1A DE B --为直二面角， 平面1A DE ⋂平面BDE DE =
111,A D DE A D BD A D ∴⊥⊥⇒⊥平面BDEC
（2） 设x PB =, 由（1）知6
3
31111=
⋅⋅=
=∆--DEP DEP A EP A D S D A V V 2
3
=
∴∆DEP S ，又在ABC ∆中，ADE ECP DBP ABC DEP S S S S S ∆∆∆∆∆---=
2
3
)3(432343923-
---=x x ，解得：2=x 所以，2=PB
（2） 设在线段上存在点,使直线与平面
所成的角为
，且
过作
于
，由（1）知，平面
平面
平面平面，平面
连接
,
为直线
与平面
所成的角，，
在中，
在中，
在中，，解得
故，在线段上存在点
（
）,使直
19. 解：（1）
24(1)n n S a =+21114(1)1S a a ⇒=+⇒=
当2n ≥时，22211114(1)444(1)(1)n n n n n n n S a S S a a a ----=+⇒-==+-+
11()(2)0n n n n a a a a --⇒+--=，又{}n a 是正项数列，
所以，12n n a a --=，{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列
21n a n ∴=-
（2）23222n n n n
a n
b --=
= 23113322222n n
n
T ---=++++
231111523222222
n n n n n T +---=++++ 两式相减，得：23111111322()222222
n n n n
T +-=-+++-
21111(1)132********
n n n -+--=
--- 1
21122
n n ++=-
21
12n n
n T +∴=
- 121
422123232
n n n n n n +++=>++，{}n T ∴是递减数列，1
12n T T ∴≤=
由题意，只需11
122
m m -<⇔>-，又min ,0m Z m ∈∴=
故，存在整数m 符合题意，其最小值为0
20. 解：()ln 1()(0,)f x x ax a R x =++∈∴∈+∞ '11
()ax f x a x x
+=
+=
（Ⅰ）当1,a =(1)2f =，'
(1)112k f ==+=；
故=()y f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为：22(1)y x -=-，即20x y -=; （Ⅱ）①当）为增函数，在（∞+∴>≥0)(,0)(,0'
x f x f a 10,()0a f x ≥+∞当在（，）上单调递增，
1()(0)1f x f >=，2()21[0,1],x g x =-而在上单调递增则2()(1)1g x g ≤=,
因此，当0≥a 时，),()(21x g x f ≥成立，符合题意;
②当0a <，令,100)('a x x f -<<⇒>,1
0)('a
x x f ->⇒< 所以，当11
0,()0,,)a f x a a
<-+∞的单调增区间为（，-）减区间为（
max 11
()()ln()f x f a a
∴=-=-
由题意知，只需满足max max 11
()()(1)1ln()10f x g x g a a e
∴≥==⇒-≥⇒-≤<
综上：e
a 1
-≥。