2022-2023学年河北省邯郸市大名一中高一(下)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年河北省邯郸市大名一中高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数z =√3i
3−i
i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．﹣i
B ．i
C ．1+i
D ．1﹣i
2．已知向量AC →
=(t ，3)，AB →
=(2，−1)，若AB →
⊥BC →
，则t ＝（ ） A ．3
B ．7
2
C ．4
D ．3
2
3．正方体的体积为8，则正方体的外接球的半径为（ ） A ．2
B ．√3
C ．3
D ．4
4．已知一个四边形的直观图是如图所示的正方形，则原四边形的面积为（ ）
A ．4
B ．4√2
C ．8
D ．8√2
5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝a 2+c 2+ac ，且sin A +sin C ＝1，则△ABC 的形状为（ ） A ．等边三角形
B ．等腰直角三角形
C ．最大角为锐角的等腰三角形
D ．最大角为钝角的等腰三角形
6．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为线段BC ，AD ，BE 的中点，则AF →
=（ ）
A ．1
8AB →
+
58
AC →
B ．5
8
AB →
−
18
AC →
C ．1
8
AB →
−
58
AC →
D ．5
8
AB →
+
18
AC →
7．已知圆台的上、下底面圆半径分别为10和5，侧面积为300π，AB 为圆台的一条母线（点B 在圆台的上底面圆周上），M 为AB 的中点，一只蚂蚁从点B 出发，绕圆台侧面一周爬行到点M ，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为（ ） A ．30
B ．40
C ．50
D ．60
8．在△ABC 中，D 为BC 上一点，且BD →
=3DC →
，∠ABC ＝∠CAD ，∠BAD =2π
3，则tan ∠ABC ＝（ ）
A ．
√39
13
B ．
√13
3
C ．
√33
D ．
√35
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．若a ，b 表示直线，α表示平面，则以下命题中假命题是（ ） A ．若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α B ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥b
C ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α
D ．若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b 或a 与b 异面
10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，根据下列条件判断三角形的情况，则正确的是（ ）
A ．b ＝19，A ＝45°，C ＝30°，有两解
B ．a =√3，b =2√2，A ＝45°，有两解
C ．a ＝3，b =2√2，A ＝45°，只有一解
D ．a ＝7，b ＝7，A ＝75°，只有一解
11．如图，点P 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个结论一定正确的有（ ）
A ．
B 1P ∥A 1D
B ．B 1P ∥面ADD 1A 1
C ．A
D 1∥面BDP
D ．三棱锥A ﹣D 1PC 的体积不变
12．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，若a =√3，A =π
3，则（ ） A ．R ＝1
B ．√3＜b ＜2
C ．CA →
⋅CB →
的取值范围为（0，3）
D ．△ABC 周长的最大值为3√3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知向量a →
=(1，m)，b →
=(m ，2−m)，若a →
∥b →
，则m ＝ ．
14．已知向量a →
=(2，3)，b →
=(−4，7)，则向量b →
在向量a →
的方向上的投影向量的坐标为 ． 15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD ＝35m ，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则AB 两点的距离为 m ．
16．莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形ABC 的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知A ，B 两点间的距离为2，点P 为AB
̂上的一点，则PA →
⋅(PB →
+PC →
)的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）已知z 是复数，z ﹣3i 为实数，z−5i −2−i
为纯虚数（i 为虚数单位）．
（1）求复数z ； （2）求
z 1−i
的模．
18．（12分）已知向量a →
与b →
的夹角θ=3π
4，且|a →|=3，|b →|=2√2．
（1）求(a →
+b →
)⋅(a →
−2b →
)； （2）a →
与a →
+b →
的夹角的余弦值．
19．（12分）在一个如图所示的直角梯形ABCD 内挖去一个扇形，E 恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE 旋转一圈．
（1）请在图中画出所得几何体并说明所得的几何体的结构特征； （2）求所得几何体的表面积和体积．
20．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b （a cos B +b cos A ）＝2c （b cos C +c cos B ）． （1）求b
a 的值；
（2）已知c =√3，△ABC 的面积为
√3
2
，求a 的值． 21．（12分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是AB ，CC 1，AD 的中点． （1）证明：EG ∥平面D 1B 1C ；
（2）棱CD 上是否存在点T ，使AT ∥平面B 1EF ？若存在，求出
DT DC
的值；若不存在，请说明理由．
22．（12分）在△ABC 中，点M ，N 在边BC 上（M ，N 异于B ，C ，且N 在M ，C 之间）． （1）若∠BAC 的平分线交BC 于点M ，∠BAC =2
3π，AM =2√2，求AC +4AB 的最小值； （2）若∠BAC =π
2，AB =3，AC =3√3，∠MAN =π6，求△AMN 面积的最小值．
2022-2023学年河北省邯郸市大名一中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数z =√3i
3−i
i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．﹣i
B ．i
C ．1+i
D ．1﹣i
解：依题意，z =(1+√3i)(√3+i)(3−i)(3+i)
=4i
4=i ，所以z =−i ．
故选：A ．
2．已知向量AC →
=(t ，3)，AB →
=(2，−1)，若AB →
⊥BC →
，则t ＝（ ） A ．3
B ．7
2
C ．4
D ．3
2
解：∵向量AC →=(t ，3)，AB →
=(2，−1)，若AB →
⊥BC →
， 由BC →
=AC →
−AB →
=(t −2，4)，
∴AB →
⋅BC →=2(t −2)−4=2t −8=0，解得t ＝4， 故选：C ．
3．正方体的体积为8，则正方体的外接球的半径为（ ） A ．2
B ．√3
C ．3
D ．4
解：设正方体的棱长为a ，正方体的体积为a 3＝8，a ＝2，
正方体的外接球的半径为2R =√a 2+a 2+a 2=√3a ，所以R =√3． 故选：B ．
4．已知一个四边形的直观图是如图所示的正方形，则原四边形的面积为（ ）
A ．4
B ．4√2
C ．8
D ．8√2
解：由已知可得直观图的面积为2×2＝4；∴原来图形的面积S ＝4×2√2=8√2， 故选：D ．
5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝a 2+c 2+ac ，且sin A +sin C ＝1，则△ABC 的形状为（ ）
A ．等边三角形
B ．等腰直角三角形
C ．最大角为锐角的等腰三角形
D ．最大角为钝角的等腰三角形
解：∵b 2＝a 2+c 2+ac ， ∴可得a 2+c 2﹣b 2＝﹣ac ，
∴由余弦定理得cos B =a 2+c 2−b 2
2ac =−ac 2ac =−1
2
，
∵B ∈（0°，180°）， ∴B ＝120°，
由正弦定理可得：sin 2B ＝sin 2A +sin 2C +sin A sin C ． ∴变形得3
4=（sin A +sin C ）2﹣sin A sin C ，
又∵sin A +sin C ＝1，得sin A sin C =1
4
， ∴上述两式联立得sin A ＝sin C =1
2， ∵0°＜A ＜60°，0°＜C ＜60°， ∴A ＝C ＝30°，
∴△ABC 是顶角为120°的等腰三角形． 故选：D ．
6．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为线段BC ，AD ，BE 的中点，则AF →
=（ ）
A ．1
8
AB →
+
58
AC →
B ．5
8
AB →
−
18
AC →
C ．1
8AB →
−
58
AC →
D ．5
8
AB →
+
18
AC →
解：∵AF →
=12(AB →
+AE →
)=1
2AB →
+1
2×1
2AD →
=1
2AB →
+14×1
2(AB →
+AC →
) =5
8AB →
+1
8AC →
， 故选：D ．
7．已知圆台的上、下底面圆半径分别为10和5，侧面积为300π，AB 为圆台的一条母线（点B 在圆台的上底面圆周上），M 为AB 的中点，一只蚂蚁从点B 出发，绕圆台侧面一周爬行到点M ，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为（ ） A ．30
B ．40
C ．50
D ．60
解：因为圆台上底面半径为5，下底面半径为10，母线长为l ，
所以S ＝πl （10+5）＝15πl ＝300π，解得l ＝20， 将圆台所在的圆锥展开如图所示，且设扇形的圆心为O ，
线段B 1M 就是蚂蚁经过的最短距离，
设OA ＝R ，圆心角是α，则由题意知10π＝αR ①，20π＝α（20+R ）②， 由①②解得，α=π2
，R ＝20，
∴OM ＝30，OB 1＝40，则B 1M =√OM 2+OB 12=√302+402=50． 故选：C ．
8．在△ABC 中，D 为BC 上一点，且BD →
=3DC →
，∠ABC ＝∠CAD ，∠BAD =2π
3，则tan ∠ABC ＝（ ） A ．
√39
13
B ．
√13
3
C ．
√33
D ．
√35
解：法一、如图所示，在△ACD 和△BCA 中，有∠ACB ＝∠DCA ，∠ABC ＝∠DAC ， 故△ACD ∽△BCA ，设CD ＝x ，则BC ＝4x ，CD AC =
CA BC
，所以AC ＝2x
设AD ＝y ，则根据相似比：
AD AB
=
DC AC
=
12
=AD AB
得AB ＝2y ，
又∠BAD =2π3，由余弦定理可得：cos 2π3=4y 2+y 2−9x 24y
2=−1
2， ∴
y 2x 2
=9
7
，
则cosB =4y 2+9x 2−y 212xy =5√714，sinB =√1−cos 2B =√2114
，
故tanB =√3
5；
法二：设B ＝α＝∠DAC ，则C =π
3−2α，
在△ACD 和△BCA 中，有BD ＝3DC ，由正弦定理有：{ BD sin 2π3
=AD
sinαCD sinα=AD sin(π
3−2α)
，
两式相除得：sin(π
3
−2α)=2√3sin2α，
由三角恒等变换公式得：3√3cos2α−sin2α=2√3，
由弦化切，构造齐次式得：3√3cos2α−sin2α
sin2α+cos2α
=2√3=
3√3−3√3tan2α−2tanα
tan2α+1
，
即5√3tan2α+2tanα−√3=0，解之得：tanα=√3
5或−√
3
3
，
在△ABD中∠BAD=2π
3
，则B∈(0，
π
3
)，
故tanα=tanB=√3
5
．
故选：D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题中假命题是（）
A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b∥α，则a∥b
C．若a∥b，b∥α，则a∥αD．若a∥α，b⊂α，则a∥b或a与b异面
解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
A1B1∥AB，AB⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，故A为假命题；
A1B1∥平面ABCD，B1C1∥平面ABCD，但A1B1与B1C1相交，故B为假命题；
AB∥CD，CD∥平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，故C为假命题；
因为a∥α，所以a与α无公共点，又b在α内，所以a与b无公共点，所以a∥b或a与b异面，D为真命题．
故选：ABC．
10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件判断三角形的情况，则正确的是（）
A．b＝19，A＝45°，C＝30°，有两解
B．a=√3，b=2√2，A＝45°，有两解
C．a＝3，b=2√2，A＝45°，只有一解
D．a＝7，b＝7，A＝75°，只有一解
解：对于A，∵A＝45°，C＝30°，则B＝105°，
∴由正弦定理a
sinA =
c
sinC
=
b
sinB
，
可得a=bsinA
sinB
，c=bsinC
sinB
，显然有唯一结果，即只有一解，A错误；
对于B，a=√3，b=2√2，A＝45°，
由正弦定理得sinB=bsinA
a
=
2√2sin45°
3
=
2
3
1，无解，B错误；
对于C，∵a＝3，b=2√2，A＝45°，∴a＞b，∴B＜A＝45°，
由正弦定理得sinB=bsinA
a
=
2√2sin45°
3
=
2
3
＜1，有唯一解，C正确；
对于D，∵a＝7，b＝7，A＝75°，∴a＝b，∴B＝A＝75°，
此时C＝30°，有唯一解，D正确．
故选：CD．
11．如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论一定正确的有（）
A．B1P∥A1D B．B1P∥面ADD1A1
C．AD1∥面BDP D．三棱锥A﹣D1PC的体积不变
解：对于A，因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面A1B1CD∩平面ADD1A1＝A1D，平面A1B1CD∩平面BCC1B1＝B1C，
所以A1D∥B1C，所以当P为BC1的中点时，才有B1P∥A1D，所以A错误；
对于B，因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1，B1P⊂平面BCC1B1，所以B1P∥面ADD1A1，所以B正确；
对于C，由选项A同理可得AD1∥BC1，因为AD1⊄平面BDP，BC1⊂平面BDP，所以AD1∥面BDP，所以C正确；
对于D，因为由选项C可知AD1∥BC1，因为AD1⊂平面AD1C，BC1⊄平面AD1C，
所以BC1∥平面AD1C，所以点P到平面AD1C为常数，
因为三角形AD1C的面积为常数，所以V P−AD
1C
为定值，
因为V A−D
1PC =V P−AD
1C
，所以三棱锥A﹣D1PC的体积不变，所以D正确．
故选：BCD．
12．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，若a =√3，A =π
3，则（ ） A ．R ＝1
B ．√3＜b ＜2
C ．CA →
⋅CB →
的取值范围为（0，3）
D ．△ABC 周长的最大值为3√3
解：A ．在△ABC 中，a =√3，A =π
3，∴根据正弦定理，
a
sinA
=
√3
√32
=2R ，∴R ＝1，A 正确；
B ．根据正弦定理，b ＝2sin B ，∵A =π3
，△ABC 是锐角三角形，∴C =2π3−B ＜π
2，∴π6＜B ＜π2
， ∴1
2＜sinB ＜1，∴1＜b ＜2，B 错误；
C ．CA →⋅CB →=√3|CA →
|cosC ，
∵△ABC 为锐角三角形，∴0＜|CA →
|cosC ＜√3， ∴CA →
⋅CB →
的取值范围为（0，3），C 正确； D ．b +c ＝2（sin B +sin C ）=2[sinB +sin(2π3−B)]=2(32sinB +√32cosB)=2√3sin(B +π
6
)， ∵π
6
＜B ＜π
2
，π
3
＜B +
π6
＜
2π3
，
∴B +π
6=π
2时，b +c 取最大值2√3，此时a +b +c =3√3， ∴△ABC 周长的最大值为3√3，D 正确． 故选：ACD ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知向量a →
=(1，m)，b →
=(m ，2−m)，若a →
∥b →
，则m ＝ 1或﹣2 ． 解：由a →
∥b →
，有1×（2﹣m ）＝m ×m ， 即m 2＝2﹣m ，解得m ＝1或﹣2． 故答案为：1或﹣2．
14．已知向量a →
=(2，3)，b →=(−4，7)，则向量b →
在向量a →
的方向上的投影向量的坐标为 （2，3） ．
解：向量 a →
=(2，3)，b →=(−4，7)，而向量b →
在向量 a →
的方向上的投影为|b →
|cos ＜a →
，b →
＞， ∵b →
=(−4，7)，∴|b →
|=√(−4)2+72=√65， cos ＜a →
，b →
＞=
a →⋅b
→
|a →
|⋅|b →
|
=
2×(−4)+3×7
√2+3√(−4)+7=√5
5，
∴向量 b →在向量 a →
的方向上的投影为：|b →
|cos ＜a →
，b →
＞=√65⋅√5
5
=√13；
故向量b →
在向量a →
的方向上的投影向量为|b →
|cos ＜a →
，b →
＞⋅a
→
|a →|=√13√2+3=(2，3)． 故答案为：（2，3）．
15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD ＝35m ，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则AB 两点的距离为 35√5 m ．
解：如图所示：
△BCD 中，CD ＝35m ，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝∠ACB +∠DCA ＝120°+15°＝135°， 所以∠CBD ＝30°，由正弦定理得
BD sin135°
=
35sin30°
，解得BD ＝35√2（m ），
△ACD 中，CD ＝35m ，∠DCA ＝15°， ∠ADC ＝∠ADB +∠BDC ＝135°+15°＝150°， 所以∠CAD ＝15°，所以AD ＝CD ＝35（m ），
△ABD 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2+BD 2﹣2AD •BD •cos ∠ADB ＝352+（35√2）2﹣2×35×35√2×cos135° ＝352×5，
所以AB ＝35√5（m ），即A 、B 两点间的距离为35√5m ．
故答案为：35√5．
16．莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形ABC 的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知A ，B 两点间的距离为2，点P 为AB
̂上的一点，则PA →
⋅(PB →
+PC →
)的最小值为 10−4√7 ．
解：设D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，如图所示，
则PA →
⋅(PB →
+PC →
)=2PA →
⋅PD →
=2(PE →
+EA →
)⋅(PE →
+ED →
)=2(PE →
+EA →
)⋅(PE →
−EA →
)=2(PE →2
−EA →
2)， 在正三角形ABC 中，AD =√AB 2−BD 2=√22−12=√3， 所以AE =DE =
√3
2
，
所以PA →
⋅(PB →
+PC →
)=2(PE →
2−EA →
2)=2PE →
2−3
2
， 因为CE =√CD 2+DE 2=√12+(3
2)2=√7
2， 所以|PE →
|min =2−|CE →
|=2−√72，
所以PA →
⋅(PB →
+PC →
)的最小值为：2PE →
2−32=2(2−√72)2−3
2=10−4√7． 故答案为：10−4√7．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）已知z 是复数，z ﹣3i 为实数，z−5i −2−i
为纯虚数（i 为虚数单位）．
（1）求复数z ； （2）求
z 1−i
的模．
解：（1）设复数z ＝a +bi （a ，b ∈R ），
因为z ﹣3i ＝a +（b ﹣3）i 为实数，所以b ＝3，则复数z ＝a +3i （a ∈R ）， 又因为
z−5i −2−i
=
a−2i −2−i
=
(a−2i)(−2+i)(−2−i)(−2+i)
=
2−2a+(a+4)i
5
=
2−2a 5
+
a+45
i 为纯虚数，
则{2−2a =0a +4≠0，得a ＝1， 所以复数z ＝1+3i ．
（2）由（1）可知复数z ＝1+3i ，则z 1−i
=
1+3i 1−i
=
(1+3i)(1+i)(1−i)(1+i)
=
−2+4i 2
=−1+2i ，
所以
z
1−i
的模为√(−1)2+(2)2=√5．
18．（12分）已知向量a →
与b →
的夹角θ=3π
4
，且|a →|=3，|b →|=2√2．
（1）求(a →
+b →
)⋅(a →
−2b →
)； （2）a →
与a →
+b →
的夹角的余弦值．
解：（1）θ=3π
4
，且|a →|=3，|b →|=2√2，
则a →
⋅b →
=|a →
|⋅|b →
|⋅cos 3π4=3×2√2×(−√2
2)=−6，
所以(a →
+b →
)⋅(a →
−2b →
)=a →2
−a →
⋅b →
−2b →
2=9−(−6)−2×8=−1； （2）由（1）知：a →
⋅b →
=−6，
所以|a →
+b →
|=√(a →+b →
)2=√a →2+2a →
⋅b →
+b →
2=√5，
所以a →
与a →
+b →
的夹角的余弦值为cos ＜a →
，a →
+b →
＞=
a →⋅(a →+
b →
)
|a →||a →+b →
|
=
a →2+a →⋅b
→
|a →||a →+b →
|
=
9−6
3×5
=√55． 19．（12分）在一个如图所示的直角梯形ABCD 内挖去一个扇形，E 恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE 旋转一圈．
（1）请在图中画出所得几何体并说明所得的几何体的结构特征； （2）求所得几何体的表面积和体积．
解：（1）如图，根据题意知，将所得平面图形绕直线DE 旋转一圈后所得几何体是上部是圆锥，
下部是圆柱挖去一个半径等于圆柱体高的半球的组合体；
（2）该组合体的表面积为S 几何体=S 圆锥侧+S 圆柱侧+S 半球=12×2π×2×2√2+2π×2×2+1
2
×4π×22=(4√2+16)π，
组合的体积为V 几何体=V 圆锥+V 圆柱−V 半球=1
3×π×22×2+π×22×2−1
2×4
3×π×23=16
3π． 20．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b （a cos B +b cos A ）＝2c （b cos C +c cos B ）． （1）求b
a 的值；
（2）已知c =√3，△ABC 的面积为
√3
2
，求a 的值． 解：（1）∵b （a cos B +b cos A ）＝2c （b cos C +c cos B ）， ∴sin B （sin A cos B +sin B cos A ）＝2sin C （sin B cos C +sin C cos B ）， ∴sin B sin （A +B ）＝2sin C sin （B +C ）， ∴sin B sin C ＝2sin C sin A ， ∵sin C ≠0，∴sin B ＝2sin A ， ∴b ＝2a ，∴b
a =2．
（2）由余弦定理得3＝a 2+b 2﹣2ab cos C ＝5a 2﹣4a 2cos C ，∴4a 2cos C ＝5a 2﹣3， ∵△ABC 的面积为
√32，∴12
ab sin C =√3
2，∴4a 2sin C ＝2√3， ∵sin 2C +cos 2C ＝1，
∴16a 4＝（5a 2﹣3）2+12＝0， ∴3a 4﹣10a 2+7＝0， ∴a 2＝1或a 2=7
3，∵a ＞0， ∴a ＝1或a =√21
3．
21．（12分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是AB ，CC 1，AD 的中点． （1）证明：EG ∥平面D 1B 1C ；
（2）棱CD 上是否存在点T ，使AT ∥平面B 1EF ？若存在，求出
DT DC
的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）连接BD ，B 1D 1，CD 1，
∵E ，G 分别为AB ，AD 中点， ∴EG ∥BD ，
∵BB 1∥DD 1，BB 1＝DD 1， ∴四边形BDD 1B 1为平行四边形， ∴BD ∥B 1D 1，
∴EG ∥B 1D 1，又EG ⊄平面D 1B 1C ，B 1D 1⊂平面D 1B 1C ， ∴EG ∥平面D 1B 1C ．
（2）假设在棱CD 上存在点T ，使得AT ∥平面B 1EF ，延长BC ，B 1F 交于H ，连接EH 交DC 于K ，
∵CC 1∥BB 1，F 为CC 1中点， ∴C 为BH 中点， ∵CD ∥AB ， ∴KC ∥AB ，
∴KC =12EB =1
4DC ，
∵AT ∥平面B 1EF ，AT ⊂平面ABCD ，平面B 1EF ∩平面ABCD ＝EK ，
∴AT ∥EK ，又TK ∥AE ， ∴四边形ATKE 为平行四边形， ∴TK =AE =1
2DC ， ∴DT =KC =14DC ， ∴当
DT DC
=1
4
时，AT ∥平面B 1EF ．
22．（12分）在△ABC 中，点M ，N 在边BC 上（M ，N 异于B ，C ，且N 在M ，C 之间）． （1）若∠BAC 的平分线交BC 于点M ，∠BAC =2
3
π，AM =2√2，求AC +4AB 的最小值； （2）若∠BAC =π
2，AB =3，AC =3√3，∠MAN =π6，求△AMN 面积的最小值． 解：（1）由AM 为∠CAB 的角平分线，得∠MAB =∠MAC =π
3． 又S △ACB ＝S △AMC +S △AMB ，即1
2
bcsin 2
3
π=
12
AMbsin
π3
+
12
AMcsin π
3
．
所以1b
+
1c
=
√24
． 即AC +4AB =b +4c =2√2(b +4c)(1b
+1c
)=(5+4c b +b
c
)2√2≥18√2， 当且仅当
4c b
=b
c
时等号成立；
（2）由AC =3√3，AB =3，得C =π
6，B =π
3．设∠BAM ＝θ， 在△AMB 中，AM sinB
=AB sin∠AMB ，得AM =
3√32
sin(π3+θ)
．
在△ANC 中，
AN
sin
π
6
=
AC sin∠ANC
，得AN =
3√3
2cosθ
． 由S △AMN =1
2AM ⋅AN ⋅sin π
6=2716⋅1
sin(π3
+θ)cosθ=8[√32
+sin(π3
+2θ)]， 又θ∈(0，π
3)，得π3
+2θ∈(π3
，π)，sin(π
3
+2θ)∈(0，1]．
所以S △AMN 最小值为
27(2−√3)
4
．。