河北省衡水中学11-12学年高一数学下学期一调考试 文
河北省衡水中学高一下学期第一次调研考试数学(文)试题 含答案
衡水中学2012-2013学年高一下学期第一次调研考试数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共2页。
共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．，,则下列结论正确的是( ) A.B. C. D.2. 已知直线l 的倾斜角为60o ，且l 在y 轴上的截距为－1，则直线l 的方程为（ ）A ．31y x =-B ．31y x =+C ．31y x =-D ．31y x =+ 3. 若A （－2，3），B （3，－2），C （21，ｍ）三点共线 则ｍ的值为（ ） Ａ．21 Ｂ．21- Ｃ．－2 Ｄ．2 4. 已知直线l 过点(2,1),且在两坐标轴上的截距互为相反数,则直线l 的方程为（ ）A ．10x y --= B. 30x y +-=或20x y -=C. 10x y --=或20x y -= D ．30x y +-=或10x y --=5. 直线1l :ax +3y+1=0, 2l :2x +(a +1)y+1=0, 若1l ∥2l ,则a =（ ）A ．-3B ．2C ．-3或2D ．3或-26.已知b a , 满足12=+b a ，则直线03=++b y ax 必过定点( ) A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21 ，61 － B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛61 ，21C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛61- ，21D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21 － ，61 7.如图给出的是计算10014121+++Λ的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是( )(A)1,100+=>n n i (B)2,100+=>n n i (C)2,50+=>n n i (D)2,50+=≤n n i8.二进制数101 110（2）转化为八进制数为( )（A ）45（8）（B ）56（8） （C ）67（8） （D ）78（8）9. 函数x x x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） A ．（3，4） B ．（2，e ） C ．（1，2） D ．（0，1）10．方程()2111x y -=-- ）A ．一个圆B ．两个半圆C ．两个圆D ．半圆11. 若实数,x y 满足4,012222--=+--+x y y x y x 则24x y --的取值范围为（ ）． A. 30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C.]34,(--∞ D.)0,34[- 12．已知球O 的半径为8，圆M 和圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，若OM =ON =MN =6，则AB =（ ）A ．12B ．8C ．6D ．4二 填空题 （ 每小题5分，共20分。
河北省衡水中学11-12学年高一下学期二调考试(数学文)
2011—2012学年度第二学期第二次调研考试高一年级数学（文科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
一、 选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 下列两个变量之间的关系是相关关系的是 ( )A.正方体的棱长和体积B.单位圆中角的度数和所对弧长C.单产为常数时，土地面积和总产量D.日照时间与水稻的亩产量2.在下列各数中，最小的数是 （ ）A 、)9(85B 、)6(210C 、)4(1000D 、)2(111113.阅读右侧程序：如果输入x ＝2，则输出结果y 为 ( )A ．π－5B ．－π－5C ．3＋πD ．3－π4.与01303终边相同的角是 （ ）A ．0763B ．0493C ．0371-D ．047-5. 已知点A (1,2，－1)，点C 与点A 关于xOy 面对称，点B 与点A 关于x 轴对称，则|BC |的值为 ( ) A. 2 5 B. 4 C. 2 2 D. 276.图1是某地参加2011年高考的学生身高统计图，从左到右的各长方形表示的学生人数依次记为1021,A A A ，，（如2A 表示身高（单位：cm ）在[)150,155内的学生人数）．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～185cm （含160cm ，不含185cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 （ ） Ａ．9i < Ｂ．8i < Ｃ．7i < Ｄ．6i <第3题7.有四个游戏盘面积相等，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是 （ ）8.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆybx a =+中的ˆb 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ） A ．63．6万元 B ．65．5万元 C ．67．7万元 D ．72．0万元9. 执行如图所示的程序框图，若输出的n ＝6，则输入整数p 的最大值是（ ）A.32B.31C.15D.1610.已知圆的方程为08622=--+y x y x 设该圆中过点（3，5）的最长 弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是 （ ）A ．610B ．620C ．630D ．640第9题图S=S+2 n-111.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案．使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.关于上述样本的下列结论中，正确的是 ( )A ．②、③都不能为系统抽样B ．②、④都不能为分层抽样C ．①、④都可能为系统抽样D ．①、③都可能为分层抽样12. 对任意实数,a b ，定义运算“*”如下：x x f b a b b a a b a 221log )23(log )().(),(*-=⎩⎨⎧>≤=*则函数 x x x f b a b b a a b a 221log )23(log )().(),(*-=⎩⎨⎧>≤=*则函数的值域为 （ ） A ．[)+∞,0 B ．(]0,∞- C ．)0,32(log 2 D ．),32(log 2+∞ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、 填空题（每题5分，共20分。
河北衡水中学2011~2012学年度下学期一调考试
10.设D是正 及其内部的点构成的集合，点 是 的中心，若集合 ，则集合S表示的平面区域是 ( )
A． 三角形区域 B．四边形区域
A、 EMBED Equation.DSMT4 B、 EMBED Equation.DSMT4 C、 EMBED Equation.DSMT4 D、 EMBED Equation.DSMT4
9.已知双曲线 EMBED Equation.DSMT4 ，其右焦点为 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 其上一点，点 EMBED Equation.DSMT4 满足 EMBED Equation.3 =1， EMBED Equation.3 ，则 EMBED Equation.3 的最小值为（ ）
①获国家高中数学联赛一等奖（保送录取，联赛一等奖从省高中数学竞赛优胜者中考试选拔）；
②自主招生考试通过并且高考分数达到一本分数线（只有省高中数学竞赛优胜者才具备自主招生考试资格）；③高考分数达到该大学录取分数线（该大学录取分数线高于一本分数线）．
某高中一名高二数学尖子生准备报考该大学，他计划：若获国家高中数学联赛一等奖，则保送录取；若未被保送录取，则再按条件②、条件③的顺序依次参加考试．
第Ⅱ卷（ 90分）
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）
13. 为了测量一古塔的高度，某人在塔的正西方向的A地测得塔尖的仰角为45°，沿着A向北偏东30°前进100米到达B地（假设A和B在海拔相同的地面上），在B地测得塔尖的仰角为 INCLUDEPICTURE "/Web/Upload/2011-12/16/c9a202fa-096c-4ecc-9013-857720cfabf4/paper.files/image060.gif" \* MERGEFORMATINET ，则塔高为 米
河北省衡水中学11-12学年高一数学下学期一调考试 理
2011—2012学年度第二学期第一次调研考试高一年级数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的某某、某某号、考试科目涂写在答题卡上。
2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知}104|{+∈=N x x x A 的公倍数，与是，},20|{+∈==N m m x x B ，则 （ ） A ．B A ⊆且B A ≠B ．A B ⊆且B A ≠C ． B A =D ．B A ∈2.已知函数⎩⎨⎧>≤=)0(log )0(3)(2x x x x f x ，那么1[()]8f f 的值为( ) A ．27 B ．127C ．27-D ．127- 3.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 （ ） A.32 B.16+162C.48 D.16322+4.若直线y x b =-与曲线1)2(22=+-y x 有两个不同的公共点，则实数b 的取值X 围为 （ ） A.(22,1)- B.[22,22]-+ C.(,22)(22,)-∞-++∞D.(22,22)-+5.已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂足,若2,1AB AC BD ===，则CD =（ ）D.16.设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，b x x f x++=22)((b 为常数)，则)1(-f =（ ）A .3 B.1 C.－1 D.－37.设(0,0),(1,1),(4,2)A B C ，若线段AD 是△ABC 外接圆的直径，则点D 的坐标是（）． A ．(-8,6) B ．(8，-6) C ．(4，-6) D ．(4，-3) 8.如图，M 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，给出命题①过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都平行. 其中真命题是( )A ．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 9.定义新运算“&”与“*”：1&y x y x -=，(1)log x x y y -*=，则函数(&3)1()32xx f x +=*是（ ）A 、奇函数B 、偶函数C 、非奇非偶函数D 、既是奇函数又是偶函数 10.若点A （2，-3）是直线0111=++y b x a 和0122=++y b x a 的公共点，则相异两点),(11b a 和),(22b a 所确定的直线方程为 （ ） A.0132=--y x B.0123=+-y x C.0132=+-y x D. 0123=--y x 11.在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC=60O，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD=1，则三棱锥B-ACD 的体积为为（ ） A.122 B.121 C.62 D.42B 11M12.已知直线01243:=-+y x l ，若圆上恰好存在两个点P 、Q ，他们到直线l 的距离为1，则称该圆为“完美型”圆。
2022-2023学年河北省衡水中学高三下学期一调考试数学试题(PDF版)
2022—2023衡水中学下学期高三年级一调考试数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共4页，总分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合}12|{≤<-N ∈=x x A ，}1)2{lg({<+=x x B ，则=B AA ．}1,0,1{-B ．}1,0{C ．}1,1{-D ．}1{-2．已知复数z 满足|i ||1||5|+=-=-z z z ，则=||zA ．10B ．13C ．23D ．53．已知⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2，且2sin 2cos 3=-αα，则 A ．32)cos(=-απB ．42)tan(=-απ C ．352sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απD ．452cos =⎪⎭⎫⎝⎛-απ4．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有一高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第100项为 A ．4 923B ．4 933C ．4 941D ．4 9515．已知抛物线x y C 2:2=的焦点为F ，点M 在C 上，点N 在准线l 上，满足OF MN //(O为坐标原点），||||MN NF =，则MNF ∆的面积为 A ．3B ．435 C ．233D ．326．碳达峰，是指在某一个时点，二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；碳中和，是指企业、团体或个人测算在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值。
亿吨后开始下降，其二氧化碳的排放量S （单位：亿吨）与时间基（单位：年）满足函数关系式tab S =，已知经过5年，该地区二氧化碳的排放量为54a亿吨．若该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自身产生的二氧化碳排放量为4a亿吨，则该地区要实现“碳中和”至少需要经过(l g 2≈0.3)A ．28年B ．29年C ．30年D ．31年7．从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取两个数，这两个数一个比m 大，一个比m 小的概率为∈m (145*)N . 已知m 为上述数据中的x %分位数，则x 的取值可能为 A ．50B ．60C ．70D ．808．已知1x 是函数)2ln(1)(+-+=x x x f 的零点，2x 是函数442)(2++-=a ax x x g 的零点，且满足1||21≤-x x ，则实数a 的最小值是 A ．1-B ．2-C ．222-D ．21-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省衡水中学高一下学期二调考试数学(文)试题.pdf
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知集合,集合,则=（ ） A. B. C. D. 2．若坐标原点在圆的内部，则实数m的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D） 3．函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 4．已知直线互相平行，则的值是（ ） A． B． C． D．，那么在程序UNTIL后面的条件应为 （ ） A． B． C． D． 6．A. 3B. 4C. 5D. 6 7．已知某几何体的三视图如图（注左视图上方是椭圆）所示，则该几何体的体积为（ ） A. B.3π C. D.6π 8.一个算法的程序框图如上图所示，若该程序输出的结果是 ，则判断框中应填入的条件是（ ） A．？ B． ？C． ？ D． ？ 9．方程有唯一解，则实数的取值范围是( ) A、 B、C、或D、或或如图，程序框图所进行的求和运算是A． C. D． 第11题图 第10题图 11．某流程如上图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ） A． B． C． D． 12．在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为( ) A．B．C．D． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．某公司有1000名员工，其中：高层管理人员占5％，中层管理人员占15％，一般员工占 80％，为了了解该公司的某种情况，现用分层抽样的方法抽取120名进行调查，则一般员工应抽取 人 14．将二进制数101101（2）化为八进制数，结果为 15．某校高学假期抽查100名同学时间绘频率分布直方图小时内的人数为_____． 16．用秦九韶算法计算当时, _（-1,1），（1,3）. (Ⅰ)求过两点的直线方程； (Ⅱ)求过两点且圆心在轴上的圆的方程. 18.已知：且， （1）求的取值范围； （2）求函数的最大值和最小值x值。
河北衡水中学11—12学度高一下学期三调考试(数学理)
河北衡水中学11—12学度高一下学期三调考试（数学理）高一年级数学〔理科〕试卷本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第一卷〔选择题 共60分〕本卷须知1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.答卷Ⅰ时，每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
一、 选择题〔每题5分，共60分。
以下每题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上〕 1、cos600°的值等于( )、 AB 、－21C、D 、－23A 、→→→→≥⋅ba b a B 、关于任意向量,,→→b a 有→→→→+≥+ba b aC 、假设→→=ba ，那么→→=ba 或→→-=ba D 、关于任意向量,,→→b a 有→→→→-≥+ba b a3、设250cos 1,13tan 113tan 2,6sin 236cos 212︒-=︒-︒=︒-︒=c b a ，那么a 、b 、c 的大小顺序是()A.c b a <<B.b c a <<C.c a b <<D.a c b << 4、记cos(80),tan 80k -︒=︒那么= () A、C、21k k --5、假设02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()42πβ-=cos()2βα+=〔〕AB、CD、6、设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，,0)()2(=-⋅-+→→→→→AC AB DA DC DB 那么△ABC的形状是〔〕A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形 7、函数)sin()(ϕω+=x A x f (2||,0,0,πϕω<>>∈A R x )的图象〔部分〕如下图，那么)(x f 的解析式是() A 、))(6sin(2)(R x x x f ∈+=ππB 、))(62sin(2)(R x x x f ∈+=ππC 、))(3sin(2)(R x x x f ∈+=ππD 、))(32sin(2)(R x x x f ∈+=ππ8、设向量),25sin ,25(cos ),55sin ,55(cos ︒︒=︒︒=→→b a 假设t 是实数，那么→-a 值为()A.22B 、2C 、1D 、219、设O 为△ABC 的外心，平面上的点P 使OP OA OB OC→→→→=++，那么点P 是△ABC 的〔〕A 、外心B 、垂心C 、内心D 、重心10、扇形OAB 的半径为2，圆心角060AOB ∠=，点D 是弧AB 的中点，点C 在线段OA 上，且OC =，那么CD OB →→⋅的值为() A 、B 、CD11、方程,02→→→→=++c x b x a 其中→→→cb a 、、是非零向量，且→→ba 、不共线，那么该方程()A 、至少有一个解B 、至多有一个解C 、至多有两个解D 、可能有许多个解12、如图，半径为2的⊙M 切直线AB 于O 点，射线OC 从OA 动身绕着O 点顺时针方向旋转到OB .旋转过程中， OC 交⊙M 于P ，记PMO ∠为x ,弓形PNO 的面积为 )(x f S =,那么)(x f 的图象是〔〕ABCD第二卷〔非选择题共90分〕二、填空题〔每题5分，共20分。
河北省衡水中学11-12学年高二下学期一调考试(数学文)
2011—2012学年度高二下学期一调考试高二年级(文科)数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. “p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 阅读下列程序，输出结果为2的是（ ）） 4.已知在矩形ABCD 中，AB=5，BC=7，在其中任取一点P ，使满足90APB ︒∠>，则P 点出现的概率为 （ ） A556π B 556 C 12D 不确定5.某程序框图如下中图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．76 .从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰 好是一件正品，一件次品的概率是（ ）A. 1B.21 C. 31 D. 32 7.直线1y x =-交抛物线()220y px p =>于M,N 两点,弦MN 中点 E 的横坐标为32,则p 的值为（ ） A.2 B.1 C.1D.1 A ．02=--y x B ．02=-+y x C ．054=-+y x D ．054=--y x 9.设)(),(x g x f 在],[b a 上可导，且)()(''x g x f >，则当b x a <<时有（ ） A.)()(x g x f > B.)()(x g x f <C.)()()()(a f x g a g x f +>+D.)()()()(b f x g b g x f +>+10.已知双曲线的两个焦点为)0,10(1-F ，)0,10(2F，M 是此双曲线上一点，若021=⋅MF MF 2=，则该双曲线的方程是（ ） A 1922=-y x B 1922=-y x C 17322=-y x D 13722=-y x 11.若0>a , 0>b , 且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值，则ab 的最大值等于（ ）A. 2B. 3C. 6D. 912.已知双曲线C ：12222=-by a x )0(>>b a 和圆O ：222b y x =+（其中原点O 为圆心），过双曲线上一点),(00y x P 引圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ．若双曲线C 上存在点P ，使得090=∠APB ，则双曲线离心率e 的取值范围为（ ）A.,26()2 B.),26(+∞ C.)2,1( D.)26,1( 二、填空题（每题5分，共20分。
河北省衡水中学11-12学年高一下学期期中考试(数学文必修4)
2011—2012学年度第二学期期中考试高一年级数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
（2）选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．tan2012°是（ ）A.正数B.负数C.零D.不存在2．已知等于（ ） A.D.3．已知，且其中，则关于的值，在以下四个答案中，可能正确的是 （ ） A. B.3 或C. D.或 4．函数1()()sin 2xf x x π=-在区间[0,2]上的零点个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5．如果(010,)6k k k Z πθ=≤≤∈,则θθsin tan ≥的概率为（ ） A.511 B.611 C.12 D.256．执行如图所示的程序框图后，输出的值为4， 则P 的取值范围是 （ ）3cos()||,tan 222ππϕϕϕ-=<且则22ππθ-<<sin cos ,a θθ+=()0,1a ∈tan θ3-1313-3-13-A. 715816P <≤ B.1516P >C. 715816P ≤<D. 3748P <≤7．将直线10x y +-=绕点（1，0）沿逆时针方向旋转15︒得到直线l ，则直线l 与圆22(3)4x y ++=的位置关系是 （ ）A.相交B.相切C.相离D.相交或相切8．方程a x =+)32sin(2π在],0[π上有两个不等的实数根21,x x ，则=+21x x （ ）A.πB.6π C.6π或67πD.与a 的取值有关 9下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是（ ）A ．)32sin(π-=x y B.)62sin(π-=x y C.)62sin(π+=x yD.)62sin(π+=x y 10．若，且，则下面结论正确的是 （ ） A. B. C. D.11．已知函数x x x x x f cos sin 21)cos (sin 21)(--+=，则f(x)的值域是 （ ）A.]1,1[-B.]1,22[-C.]22,1[-D.]22,1[-- 12．当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，下面四个函数中最大的是（ ） A. sin(cos )x B. sin(sin )x C. cos(sin )x D. cos(cos )x第Ⅱ卷（非选择题 共90分）（3）填空题（每题5分，共20分。
河北省衡水中学11-12学年高一下学期期末考试(数学文)
图1乙甲75187362479543685343212011—2012学年度第二学期期末考试高一年级数学（文科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知向量),2,1(),,2(==b t a 若1t t =时，a ∥b；2t t =时，b a ⊥，则 ( )A ．1,421-==t t B.1,421=-=t t C.1,421-=-=t t D.1,421==t t 2.下列函数中，在区间(0，2π)上为增函数且以π为周期的函数是 （ ） A ．2sinxy = B ．x y sin = C ．x y tan -= D ．x y 2cos -= 3.某路口，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为45秒，当你到这个路口时，看到黄灯的概率是（ ） A 、121 B 、83 C 、65 D 、.1614.图1是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 （ ） A 、62 B 、63 C 、64 D 、655.若,5sin 2cos -=+αα则αtan = ( )A ．21B ．2C ．21- D ．2-6.则ϕ的值为A.B.C. D.7.如果执行右面的程序框图，那么输出的=S（）A、22 B、46 C、94 D、1908.已知的取值范围为（）9.如图，在1,3ABC AN NC∆=中，P是BN上的一点，若211AP mAB AC=+，则实数m的值为（）A．911B．511C．311D．21110.锐角三角形ABC中，内角CBA,,的对边分别为cba,,，若2B A=，则ba的取值范围是（）A.B. C. D.11．如图，在四边形ABCD中，||||||4,0,AB BD DC AB BD BD DC→→→→→→→++=⋅=⋅=→→→→=⋅+⋅4||||||||DCBDBDAB，则→→→⋅+ACDCAB)(的值为（）12.△ABC满足23AB AC⋅=︒=∠30BAC，设M是△ABC内的一点(不在边界上)，定义),,()(zyxMf=，其中,,x y z分别表示△yxyx2222cossin1cossin2+=+则，第7题第9题MBC ,△MCA ,△MAB 的面积，若)21,,()(y x M f =，则xy 的最大值为 （ ）A.81 B.91 C.161 D.181第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，共20分。
河北省衡水中学2012届高三下学期一调考试(数学文)
河北衡水中学2011～2012学年度下学期一调考试高三数学文科试题本试卷分第I 卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分。
共24题。
本试卷共150分，考试时间120分钟.一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.集合{}Z x x x A ∈≤+=,21,{}11,3≤≤-==x x y y B ，则=B A ( ) A ．(]1,∞-B.[]1,1-C.φD.{}1,0,1-2.若z 是复数，且()13=+i z (i 为虚数单位)，则z 的值为 ( ) A ．i +-3B.i --3C.i +3D.i-33．已知甲、乙两名篮球运动员某十场比赛得分的茎叶图如右上图所示，则甲、乙两人在这十场比赛中得分的平均数与方差的大小关系为( )A ． 乙甲x x < 22x x S S <<乙甲，乙甲 B. 乙甲x x < 22x x S S <>乙甲，乙甲 C. 乙甲x x >22x x S S >>乙甲，乙甲 D. 乙甲x x > 22x x S S ><乙甲，乙甲4. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．1C ．23 D ．135．设x ，y 满足36020,3x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩若目标函数z=ax+y （a>0）的最大值为14，则a=（ ）A ．1B ．2C ．23D ．5396.等差数列{n a }前n 项和为n s ，满足4020s s =，则下列结论中正确的是（ ）A ．30s 是n s 中的最大值B 。
30s 是n s 中的最小值C ．30s =0D 。
60s =0乙 甲8 6 4 3 1 5 8 6 3 2 4 58 3 49 45 01 3 1 6 7 97．已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出b 的值为16，则循环体的判断框内① 处应填的是 （ ）A. 3B. 2C. 4D. 16 8. 函数22cos ()14y x π=--是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 9.已知双曲线221916x y -=，其右焦点为F ，P 为其上一点，点M 满足MF =1，0=⋅MP MF ，则MP 的最小值为（ ）A 3B 3C 2D 210. 已知条件1|:|>x p ,条件2:-<x q ,则p ⌝是q ⌝的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 11．已知点(,)P x y 在直线23x y +=上移动，当24xy+取得最小值时，过点(,)P x y 引圆22111()()242x y -++=的切线，则此切线段的长度为( )A ．62B ．32C ．12D ．3212．已知函数()f x 的定义域为[]15-，，部分对应值如右表。
河北省衡水中学高一第二学期一调试题(数学理).doc
河北省衡水中学高一第二学期一调试题（数学理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间1第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题（每小题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填在答题卡上）1．已知)0,2(π-∈x ，53sin -=x ,则tan2x= ( )A ．247-B. 247C. 247-D. 7242.已知f(x)是偶函数,它在[0,+∞)上是增函数,若1(lg )(1)f f x >则x 的取值范围是( ) A.1(,1]10 B.1(0,)(1,)10+∞ C.1(,10)10 D.1(0,)(10,)10+∞3．已知两点A(4,1),B(7,-3),则与向量同向的单位向量是 （ ）A ．34,55⎛⎫±- ⎪⎝⎭ B 。
⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 D 。
⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 4. △ABC 中，3A π∠=, a = 4b =, 那么满足条件的ABC ∆ ( )A .有 一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定5.△ABC 中，若060,A=a =sin sin sin a b cA B C +-+-等于 （ ）A ．2 B.21C.3D.236. 定义运算a b *为：,(),(),a a b a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩ 如121*=，则函数()f x 22x x -=*的值域为（ ）。
A ．RB. （0，+∞）C. （0，1]D. [1，+∞）7．要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的（ ）A.横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 B.横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度8.在ABC ∆中，02B 60b =ac =，，，则ABC ∆一定是 （ ） A ． 锐角三角形 B 。
河北省衡水中学2021届高三数学下学期一调考试试题 文(含解析)
河北省衡水中学2021届高三数学下学期一调考试试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意，请将正确答案的序号填涂到答题卡上） 1.已知复数3a iz a i+=+-（其中a R ∈，i 为虚数单位），若复数z 的共轭复数的虚部为12-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【详解】分析：先化简复数z ，根据z 的共轭复数的虚部为12-求出复数z ，再根据复数的几何意义确定复数在复平面内对应的点的位置． 详解：由题意得()(3)131(3)3(3)(3)1010a i a i i a a iz a a i i i +++-+=+=+=+--+， ∴ 131(3)1010a a iz -+=-， 又复数z 的共轭复数的虚部为12-， ∴31102a +-=-，解得2a =． ∴5122z i =+，∴复数z 在复平面内对应的点位于第一象限． 故选A ．点睛：本题以复数的运算为基础，考查复数的基本概念和复数的几何意义，解题的关键是根据复数z 的共轭复数的虚部为12-求得实数2a =，由此得到复数z ，然后再根据复数对应的点的坐标确定其所在的象限．2.已知全集{}2,340,{|22}U R A x x x B x x ==--=-≤≤ ，则如图所示的阴影部分所表示的集合为（ ）A. 4{|}2x x -≤<B. {|2x x ≤或4}x ≥C. {|21}x x -≤≤-D.{|12}x x -≤≤【答案】D 【解析】{}2|340U C A x x x =--≤=[1,4]- ,所以阴影部分所表示的集合为()[1,4][2,2][1,2]U C A B ⋂=-⋂-=- ,选D.3.已知 a b c R ∈、、，则“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图象恒在x 轴上方”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】分别研究由“240b ac -<”推出“函数2()f x ax bx c =++的图象恒在x 轴上方”和由“函数2()f x ax bx c =++的图象恒在x 轴上方”推出“240b ac -<”，得到答案.【详解】当240b ac -<时，函数2()f x ax bx c =++图象与x 轴没有交点，当0a <时，()f x 图像恒在x 轴下方，所以是不充分条件； 当函数2()f x ax bx c =++的图象恒在x 轴上方，取0,0a b c ==>，满足要求，此时240b ac -=， 因此不一定能得到240b ac -<，所以是不必要条件；故选D 项.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，二次函数的图像问题，属于简单题. 4.明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n 被3除余2,被5除余3，被7除余4，求n 的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n 的结果为（ ）A. 53B. 54C. 158D. 263【答案】A 【解析】按程序框图知n 的初值为263，代入循环结构，第一次循环158n =，第二次循环53,53105n =<，推出循环，n 的输出值为53 ，故选A.5.斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有，图一图二是斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长方体）组成.若棱台两底面面积分别是2400cm ，2900cm ，高为9cm ，长方体形凹槽的体积为34300cm ，斗的密度是30.70/g cm .那么这个斗的质量是（ ）注：台体体积公式是()13V S S S S h ''=.A. 3990gB. 3010gC. 7000gD. 6300g【答案】C 【解析】 【分析】根据台体的体积公式求得台体体积,再加上长方体形凹槽的体积得这个斗的体积,然后乘以这个斗的密度可得这个斗的质量.【详解】根据棱台的体积公式可得棱台的体积为1(400400900900)957003⨯⨯=3cm , 所以这个斗的质量为5700430010000+=3cm , 所以这个斗的质量为100000.707000⨯=g . 故选:C.【点睛】本题考查了棱台的体积公式,属于基础题.6.在ABC ∆中，22223sin a b c ab C ++=，则ABC ∆的形状是 ( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，与已知条件相加，得到cos 3C π⎛⎫-⎪⎝⎭的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而得到C 的大小，判断出ABC ∆的形状，得到答案.【详解】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，222sin a b c C ++=两式相加，得到()22cos 2cos 3a b ab C C ab C π⎛⎫+=+=-⎪⎝⎭所以222cos 1322a b ab C ab ab π+⎛⎫-== ⎪⎝⎭≥，当且仅当a b =时，等号成立， 而[]cos 1,13C π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为()0,C π∈，所以2,333C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以03C π-=，即3C π=，又a b =，所以ABC ∆是等边三角形， 故选D 项.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于中档题.7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，P 为双曲线左支上一点，ABP ∆，则该双曲线的离心率为（ ）【答案】C 【解析】【详解】由题意知等腰ABP ∆中，||2AB AP a ==，设ABP APB θ∠=∠=，则12F AP θ∠=，其中θ必为锐角．∵ABP ∆，∴2sin aθ=，∴sin 5θ=，cos 5θ=∴243sin 22,cos 22155θθ===⨯-=． 设点P 的坐标为(,)x y ，则118(cos 2),sin 255a ax a AP y AP θθ=-+=-==， 故点P 的坐标为118(,)55a a-． 由点P 在双曲线上得2222118()()551a a a b -=，整理得2223b a =，∴3c e a ===．选C ． 点睛：本题将解三角形和双曲线的性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中,a c 之间的数量关系，其中通过解三角形得到点P 的坐标是解题的突破口．在得到点P 的坐标后根据点在椭圆上可得,a b 间的关系，最后根据离心率的定义可得所求．8.已知1a >，设函数()2xf x a x =+-的零点为m ，()log 2a g x x x =+-的零点为n ，则11m n+的取值范围是（ ） A. (2,)+∞B. 7,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C. (4,)+∞D.9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】把函数零点转化为两个函数交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数之间的关系求出m ,n 之间的关系，根据两者之和是定值，利用均值不等式即得解. 【详解】函数()2xf x a x =+-的零点为函数xy a =与2y x =-图像的交点A 的横坐标，函数()log 2a g x x x =+-的零点为函数log a y x =与2y x =-图像的交点B 的横坐标10,0a m n >∴>>由于指数函数与对数函数互为反函数， 其图像关于y x =对称， 直线2y x =-与y x =垂直故两直线的交点(1,1)即是A ，B 的中点，2,0,0m n m n ∴+=>>111111()()(2)(22222m n n m m n m n m n +∴+=+=++≥+= 当且仅当：1m n ==时等号成立 而m n ≠，故112m n+> 故选：A【点睛】本题考查了函数零点与均值不等式综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.9.已知函数()31sin f x x x x =+++，若()()2122f a f a-+≤，则实数a 的取值范围是( ) A. 3[1,]2- B. 3[,1]2-C. 1[1]2-， D. 1[,1]2-【答案】C 【解析】 【分析】构造函数()()1g x f x =-，证明()g x 是奇函数，单调递增，再将所求的不等式转化成关于函数()g x 相关形式，利用()g x 的性质，解出不等式，得到答案. 【详解】因为()31sin f x x x x =+++设()()31sin g x f x x x x =-=++，定义域x ∈R()()3sin g x x x x g x -=---=-，所以()g x 为奇函数， ()231cos 0g x x x '=++≥，所以()g x 单调递增， 不等式()()2122f a f a-+≤()()21121f a f a ⎡⎤--≤--⎣⎦()()212g g a a ≤-- ()()212g g a a ≤--2a 12a -≤-解得112x ≤≤- 故选C 项.【点睛】本题考查构造函数解不等式，函数的性质的应用，属于中档题.10.在ABC 中，AD AB ⊥，3,BC BD =||1AD =，则AC AD ⋅的值为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】由题意转化(3)AC AD AB BD AD ⋅=+⋅，利用数量积的分配律即得解. 【详解】AD AB ⊥，3,BC BD =||1AD =，()(3)AC AD AB BC AD AB BD AD ∴⋅=+⋅=+⋅ 2333AB AD BD AD AD =⋅+⋅==故选：C【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量数量积综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.11.在三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 两两垂直，112PA PB ==，Q 是棱BC 上一个动点，若直线AQ 与平面PBC 所成角的正切的最大值为5，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. 6π B. 7πC. 8πD. 9π【答案】A 【解析】 【分析】由已知得PA ⊥平面PBC ，因此当PQ BC ⊥时，直线AQ 与平面PBC 所成角最大，此时可求得PQ ，从而求得PC ，又以,,PA PB PC 为棱的长方体的对角线就是三棱锥P ABC -外接球直径，从而可求得其表面积．【详解】∵PA 与PB 、PC 垂直，∴PA ⊥平面PBC ，∴PQ 是AQ 在平面PBC 内的射影，AQP ∠就是直线PA 与平面PBC 所成的角， 由PA ⊥平面PBC 得PA PQ ⊥，tan PAAQP PQ∠=，要使tan AQP ∠最大，则PQ 最小， 显然当PQ BC ⊥时，PQ 最小，此时5tan AQP ∠=， 又1PA =，∴5PQ =，而2PB =，∴5BQ =， 由PB PC ⊥，得25PB BC BQ==，从而1PC =，如图，以,,PA PB PC 为棱作出长方体，此长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球，2222221216PA PB PC ++=++= ∴球表面积为22644(6S R πππ==⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查求球表面积，解题关键是要求出球的半径．由于,,PA PB PC 两两垂直，因此以它们为棱作出长方体，此长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球，长方体的对角线就是球的直径．由此可得解．12.已知关于x 的方程2[()]()10f x kf x -+=恰有四个不同的实数根，则当函数2()xf x x e =时，实数k 的取值范围是（ ） A. (,2)(2,)-∞-+∞B. 224,4e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭C. 28,2e ⎛⎫⎪⎝⎭D. 2242,4e e⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】利用导数判断()f x 的单调性和极值，得出方程()f x t =的根分布情况，从而得出方程()()2f x kf x 1=0-+恰有四个不同的实数根等价于关于t 的方程210t kt -+=在240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有一个解，在{}24,0e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有一个解，利用二次函数的性质列不等式可求出k 的范围.【详解】()()2'22x x x f x xe x e x x e =+=+，令()'0f x =，解得0x =或2x =-，∴当2x <-或0x >时，()'0f x >；当20x -<<时，()'0f x <，()f x ∴在(),2-∞-上单调递增，在()2,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，∴当2x =-时，函数()f x 取得极大值()242f e -=，当0x =时，函数()f x 取得极小值()00f =， 作出()f x 的大致函数图象如图所示， 令()f x t =，则当0t =或24t e>时，关于x 的方程()f x t =只有一个解； 当24t e=时，关于x 的方程()f x t =有两个解； 当240t e<<时，关于x 的方程()f x t =有三个解，()()()21g x f x kf x =-+恰有四个零点，∴关于t 的方程()210h t t kt =-+=在240,e⎛⎫⎪⎝⎭上有一个解， 在{}24,0e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有一个解，显然0t =不是方程210t kt -+=的解，∴关于t 的方程210t kt -+=在240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和24,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上各有一个解，242416410k h e ee ⎛⎫∴=-+< ⎪⎝⎭，解得2244e k e >+，即实数k 的取值范围是224e e 4⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭，，故选B. 【点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．） 13.()f x 是定义域为R 的偶函数，对x R ∀∈，都有()()4f x f x +=-，当02x ≤≤时，()221,01,log 1,12x x f x x x ⎧-≤<=⎨+≤≤⎩，则()9212f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭________.【解析】 【分析】先由已知等式和偶函数推出周期为4,再根据偶函数性质和周期可求得答案.【详解】因为()f x 是定义域为R 的偶函数,所以()()4f x f x +=-()f x = ,所以周期4T =,所以129911()()(4)()2112222f f f f -==+==-=,2(21)(451)(1)log 111f f f =⨯+==+=,所以()9212f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭11+=.故答案为.【点睛】本题考查了函数的奇偶性,周期性,利用周期将自变量转化为已知范围后,利用分段函数解析式求值是解题关键,本题属于中档题.14.若正实数a ，b 满足1a b +=，则下列说法正确的是（ ） A. ab 有最小值14C.11a b+有最小值4 D. 22a b +有最小值2【答案】C 【解析】 【分析】可结合基本不等式性质对四个选项一一证明；对A 应是积有最大值；对B 变形为2a b +=++C ，先通分，再结合基本不等式求值；对D ，可变形为222()2a b a b ab +=+-，再结合基本不等式求值 【详解】0a >，0b >，且1a b +=；1a b ∴=+≥14ab ∴≤；ab ∴有最大值14，∴选项A 错误；2112a b =++=+≤+=，，∴B 项错误1114a b a b ab ab ++==≥，11a b∴+有最小值4，∴C 正确；22211()2121242a b a b ab ab +=+-=-≥-⨯=，22a b∴+ 的最小值是12，，∴D 错误． 故选C【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟练掌握基本不等式及其相关变形式，以及等式成立的条件，是正确解题的关键，属于中档题15.在ABC ∆中，D 为AB 的中点，ACD ∠与CBD ∠互为余角，2AD =，3AC =，则sin A 的值为__________．【解析】 设ACD ∠=,BCD αβ∠=,则由ACD∠+90CBD ∠=︒可知,90,B A αβ=︒-+=()18090,90,B A αβ︒-+=︒∴=︒- D 为AB 的中点，11,?sin ?sin ,sin sin 22ACD BCD S S AC CD BC CD AC BC αβαβ∆∆∴=∴=∴=,即cos cos AC B BC A =,由正弦定理得sin cos sin cos ,sin 2sin 2,B B A A A B A B=∴=∴=或90A B +=︒,当A=B 时,AC=BC, ,sin 33CD CD AB A AC ∴⊥∴===,当90A B +=︒时,90,2C AD BD DC =︒∴===,在△ACD中,2223cos ,sin 2?4AC AD CD A A AC AD +-==∴==,综上可得, sin A 的值为3或7. 16.如图，曲线2(0)y x y =≥上的点1P 与x 轴的正半轴上的点i Q 及原点O 构成一系列正三角形，11OPQ △，122Q P Q △，1n n n Q P Q -，△设正三角形1n n n Q P Q -的边长为,*n a n N ∈（记0Q 为O ），(),0n n Q S .数列{}n a 的通项公式n a =______.【答案】23n【解析】 【分析】先得出直线1OP 的方程为3y x =，与曲线的方程联立得出1P 的坐标，可得出11a OP =， 并设(),0n n Q S ，根据题中条件找出数列{}n a 的递推关系式，结合递推关系式选择作差法求出数列{}n a 的通项公式，即利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式．【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则点n Q 的坐标为(),0n S ，易知直线1OP 的方程为3y x =， 与曲线的方程联立()230y x y x y ⎧=⎪⎨=≥⎪⎩，解得133x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩221132333a ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 当n *∈N 时，点(),0n n Q S 、()11,0n n Q S ++，所以，点1122n n n n n S S S S P ++⎛++ ⎝， 直线n n P Q 3111122322n n n n n n n n nS S S S S ++++++==-11322nn n S S a +++=，等式两边平方并整理得211322n n n a S S ++=+，可得21322n n n a S S -=+，以上两式相减得()2211332n n n n a a a a ++-=+，即()()()11132n n n n n n a a a a a a ++++-=+，易知0n a >，所以()132n n a a +-=，即123n n a a +-=， 所以，数列{}n a 是等差数列，且首项为23，公差也为23，因此，()2221333n na n =+-=.故答案为23n．【点睛】本题考查数列通项的求解，根据已知条件找出数列的递推关系是解题的关键，在求通项公式时需结合递推公式的结构选择合适的方法求解数列的通项公式，考查分析问题的能力，属于难题．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （一）必考题17.设}{n a 是等差数列，公差为d ，前n 项和为n S . （1）设140a =，638a =，求n S 的最大值.（2）设11a =，*2()na nb n N =∈，数列}{n b 的前n 项和为n T ，且对任意的*n N ∈，都有20n T ≤，求d 的取值范围.【答案】（1）2021（2）29-,log 10⎛⎤∞ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）运用等差数列的通项公式可得公差d ，再由等差数列的求和公式，结合配方法和二次函数的最值求法，可得最大值；（2）由题意可得数列{b n }为首项为2，公比为2d的等比数列，讨论d ＝0，d ＞0，d ＜0，判断数列{b n }的单调性和求和公式，及范围，结合不等式恒成立问题解法，解不等式可得所求范围． 【详解】（1）a 1＝40，a 6＝38，可得d 61255a a -==-， 可得S n ＝40n 12-n （n ﹣1）2155=-（n 2012-）2220120+，由n 为正整数，可得n ＝100或101时，S n 取得最大值2021；（2）设()*112na n ab n N ==∈，，数列{b n}的前n 项和为T n，可得a n＝1+（n﹣1）d，数列{b n}为首项为2，公比为2d的等比数列，若d＝0，可得b n＝2；d＞0，可得{b n}为递增数列，无最大值；当d＜0时，T n()21221212dnd d-=--＜，对任意的n∈N*，都有T n≤20，可得20212d≥-，且d＜0，解得d≤29log10．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．18.如图，三棱柱111ABC A B C-的所有棱长都是2，1AA⊥面ABC，D，E分别是AC，1CC 的中点.（1）求证：AE⊥平面1A BD；（2）求三棱锥1B ABE-的体积.【答案】（1）详见解析；（2）33.【解析】【分析】（1）推导出BD AC⊥，从而平面11AA C C⊥平面ABC，进而BD⊥平面11AAC C，BD AE⊥，再求出1A D AE⊥，由此能证明AE⊥平面1A BD．（2）本问方法较多，可用割补法，转换顶点法，构造法等，其中割补法较为方便，将1B ABEV-转化为111111ABC A B C B ACE B AEC AV V V-----，即可求解.【详解】解：（1）∵AB BC CA==，D是AC的中点，∴BD AC⊥，∵三棱柱111ABC A B C -中1AA ⊥平面ABC ， ∴平面11AA C C ⊥平面ABC ，且平面11AAC C 平面ABC AC =，∴BD ⊥平面11AAC C ， ∵AE ⊂平面11AAC C ， ∴BD AE ⊥又∵在正方形11AAC C 中，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点， ∴1A D AE ⊥， 又1A D BD D ⋂=， ∴AE ⊥平面1A BD .（2）解法一（割补法）：1111111B ABE ABC A B C B ACE B AEC A V V V V ----=--11113ABC ACC A S AA S BD ∆=⨯-⨯⨯正方形112323222323=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=.解法二（利用平行顶点轮换）：∵11//BB CC ， ∴11BB E BB C S S ∆∆=，∴1111B ABE A BB E A BB C B ABC V V V V ----===113ABC S BB ∆=⨯⨯1122323=⨯⨯=. 解法三（利用对称顶点轮换）： 连结1AB ，交1A B 于点O ， ∵O 为1A B 的中点，∴点B 到平面1AB E 的距离等于点1A 到平面1AB E 的距离. ∴1111111B ABE B AB E A AB E B AA E B AA E V V V V V -----====111122332AA E S BD ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯=. 解法四（构造法）：连结1AB ，交1A B 于点O ，则O 为1AB 的中点，再连结EO .由题意知在1AB E ∆中，1AE B E =1AB =，所以1EO AB ⊥，且EO =，又BO =BE =222BE BO EO =+，所以EO BO ⊥，又1AB BO O =，∴EO ⊥面1ABB ，∴11113B ABE E ABB ABB V V S EO --∆==⨯⨯1122323=⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．19.已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数y （个）和温度x （C ）的7组观测数据，其散点图如所示：根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数y 和温度x 可用方程bx a y e +=来拟合，令ln z y =，结合样本数据可知z 与温度x 可用线性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：xyz ()721ii x x =-∑()721ii zz =-∑()()71iii x x zz =--∑27 74 3.53718211.9 46.418表中ln i i z y =，7117i i z z ==∑．（1）求z 和温度x 的回归方程（回归系数结果精确到0.001）；（2）求产卵数y 关于温度x 的回归方程；若该地区一段时间内的气温在26~36C C 之间（包括26C 与36C ），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.（参考数据：3.28227e ≈，3.79244e ≈，5.832341e ≈， 6.087440e ≈， 6.342568e ≈．） 附：对于一组数据()11,v ω，()22,v ω，…，(),n n v ω，其回归直线ˆˆˆvαβω=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniii nii v v ωωβωω==--=-∑∑．【答案】（1）ˆ0.255 3.348z x =-；（2）0.255 3.348x y e-=，[]27.341.【解析】 【分析】(1)根据公式计算出ˆb和ˆa ,可得ˆ0.255 3.348z x =-;(2)根据ln z y =可得ln 0.255 3.348y x =-,再根据函数0.255 3.348x y e -=为增函数可得答案.【详解】（1）因为z 与温度x 可以用线性回归方程来拟合，设ˆˆˆz abx =+． ()()()7172146.418ˆ0.255182iii i i x x zz bx x ==--===-∑∑， 所以ˆˆ 3.5370.25527 3.348a z bx=-=-⨯=-， 故z 关于x 的线性回归方程为ˆ0.255 3.348zx =-． （2）由（1）可得ln 0.255 3.348y x =-， 于是产卵数y 关于温度x 的回归方程为0.255 3.348x y e -=,当26x =时，0.25526 3.3483.28227y ee ⨯-==≈； 当36x =时，0.25536 3.3485.832341y e e ⨯-==≈；因为函数0.255 3.348x y e-=为增函数，所以，气温在26~36C C 之间时，一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是[]27.341内的正整数．【点睛】本题考查了求线性回归方程,考查了利用线性回归方程对变量进行分析,属于中档题.20.设椭圆22:182x y C +=，过点()21A ，的直线,AP AQ 分别交C 于相异的两点,P Q ，直线PQ 恒过点()4,0B ．（1）证明：直线,AP AQ 的斜率之和为1-；（2）设直线,AP AQ 分别与x 轴交于,M N 两点，点()3,0G ，求GM GN ⋅. 【答案】（1）证明见解析；（2）1 【解析】 【分析】（1）设直线PQ 为()4y k x =-,与椭圆方程联立可得()222214326480k xk x k +-+-=,利用韦达定理得到12,x x 关系,由斜率公式可得()()12121212124141112222k x k x y y k k x x x x ------+=+=+----()()()1212121226116424kx x k x x k x x x x -++++=-++,将21223214k x x k +=+,212264814k x x k-=+代入,进而即可得证；（2）设直线AP 为()112y k x -=-,令0y =,可求得112,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,同理212,0N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,进而求解即可【详解】（1）证明:设直线PQ 为()4y k x =-,联立()224182y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,得()222214326480k x k x k +-+-=,且>0∆,可得;214k <, 设()()1122,,,P x y Q x y ,由韦达定理可得21223214k x x k +=+,212264814k x x k-=+, 设直线AP 、AQ 的斜率分别为12,k k ,所以()()12121212124141112222k x k x y y k k x x x x ------+=+=+----()()()1212121226116424kx x k x x k x x x x -++++=-++()2222222222648322611641641414164832164241414k k k k k k k k k k k k k -⋅-+⋅++-+++===----⋅+++, 所以直线,AP AQ 的斜率之和为1- （2）设()()34,0,,0M x N x ,因为直线AP 为()112y k x -=-,令0y =,得3112x k =-,即112,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 同理4212x k =-,即212,0N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 因为()3,0G ,所以1212121111132321GM GN k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12121211k k k k k k +=++12121111k k k k -==++= 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查斜率公式的应用,考查椭圆中的定值问题21.已知函数()()()211e ,2xf x x ag x x ax =+-=+，其中a 为常数. （1）若2a =时，求函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若对任意[)0,x ∈+∞，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2x-y+1=0；（2）1a ≥. 【解析】【详解】试题分析：（1）求导得斜率，进而由点斜式得直线方程；（2）令()()()h x f x g x =-，由题得()min 0h x ≥在[)0,x ∈+∞恒成立，求导根据导数判断单调性求最值即可. 试题解析：（1）()()2,1xa f x x e ==+则，()()2xf x x e ∴=+'，()02f ∴'=，又因为切点（0,1）所以切线为2x-y+1=0(2) 令()()()h x f x g x =-，由题得()min 0h x ≥在[)0,x ∈+∞恒成立，()()2112x h x x a e x ax =+---，所以()()()1x h x x a e =+-'①若0a ≥，则[)0,x ∈+∞时()0h x '≥，所以函数()h x 在[)0,+∞上递增，所以()()min 01h x h a ==- 则10a -≥，得1a ≥②若0a <，则当[]0,x a ∈-时()0h x '≤，当[,+x a ∈-∞）时()0h x '≥，所以函数()h x 在[]0,a -上递减，在[,+a -∞）上递增，所以()()min h x h a =-，又因为()()010h a h a -=-＜＜，所以不合题意.综合得1a ≥.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题； （2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x > ，若()0f x <恒成立max ()0f x ⇔<；（3）若()()f xg x > 恒成立，可转化为min max()()f x g x > .（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 22.选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为()2cos 3x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换123x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩得到曲线C '，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C '的极坐标方程；（Ⅱ）若过点3(,)2A π（极坐标）且倾斜角为6π的直线l 与曲线C '交于,M N 两点，弦MN 的中点为P ，求||||||AP AM AN ⋅的值.【答案】（1）曲线C '的极坐标方程为:1C ρ'=（2）5AP AM AN=⋅ 【解析】【详解】试题分析：（I ）曲线C的参数方程为()2x cos y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，利用平方关系即可化为普通方程．利用变换公式代入即可得出曲线C'的直角坐标方程，利用互化公式可得极坐标方程．（II ）点A 的直角坐标是3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将l 的参数方程3266x tcos y tsinππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C'的直角坐标方程可得2450t -+=，利用根与系数的关系即可得出． 试题解析：（Ⅰ）222::143x cos x y C C y θθ=⎧⎪⇒+=⎨=⎪⎩，将122x x x x y y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪''⎪'=⎩'，代入C 的普通方程可得221x y ''+=， 即22:1C x y +='，所以曲线C '的极坐标方程为:1C ρ'=（Ⅱ）点A 的直角坐标是3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将l 的参数方程3266x tcos y tsin ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入221x y +=，可得2450t -+=， ∴t 1+t2=，t 1•t 254=，所以12122t t AP AM AN t t +==⋅23.设函数()2 1.f x k x x =--(1)当1k =时，求不等式()0f x >的解集；(2)当(0,)x ∈+∞时，()0f x b +>恒成立，求k b +的最小值． 【答案】（1）1(,1)3（2）最小值为3【解析】 【分析】（1）利用零点分段讨论法即可解出绝对值不等式得解集；（2）当(0,)x ∈+∞时，()0,f x b +>恒成立，即21k x b x +>-恒成立，数形结合求解. 【详解】解(1)当1k =时，不等式化为210,x x -->0210x x x ≤⎧⎨-+->⎩，或102210x x x ⎧<<⎪⎨⎪+->⎩，或12210x x x ⎧≥⎪⎨⎪--+>⎩ 综上，原不等式的解集为1{1}3xx << (2)(0,)x ∈+∞时，()0,21f x b k x b x +>+>- 作21y x =-与y k x b =+的图像，可知2,1,y k b =≥≥3,k b k b ∴+≥+的最小值为3(这时2,1k b ==)【点睛】零点分段法求解绝对值不等式，注意分段求解；求解集，注意书写形式；不等式恒成立转化成两个函数比较大小，数形结合可以事半功倍.。
河北省衡水中学2021届高三数学下学期一调考试试题 文(含解析)
河北省衡水中学2021届高三数学下学期一调考试试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意，请将正确答案的序号填涂到答题卡上） 1.已知复数3a iz a i+=+-（其中a R ∈，i 为虚数单位），若复数z 的共轭复数的虚部为12-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【详解】分析：先化简复数z ，根据z 的共轭复数的虚部为12-求出复数z ，再根据复数的几何意义确定复数在复平面内对应的点的位置． 详解：由题意得()(3)131(3)3(3)(3)1010a i a i i a a iz a a i i i +++-+=+=+=+--+， ∴ 131(3)1010a a iz -+=-， 又复数z 的共轭复数的虚部为12-， ∴31102a +-=-，解得2a =． ∴5122z i =+，∴复数z 在复平面内对应的点位于第一象限． 故选A ．点睛：本题以复数的运算为基础，考查复数的基本概念和复数的几何意义，解题的关键是根据复数z 的共轭复数的虚部为12-求得实数2a =，由此得到复数z ，然后再根据复数对应的点的坐标确定其所在的象限．2.已知全集{}2,340,{|22}U R A x x x B x x ==--=-≤≤ ，则如图所示的阴影部分所表示的集合为（ ）A. 4{|}2x x -≤<B. {|2x x ≤或4}x ≥C. {|21}x x -≤≤-D.{|12}x x -≤≤【答案】D 【解析】{}2|340U C A x x x =--≤=[1,4]- ,所以阴影部分所表示的集合为()[1,4][2,2][1,2]U C A B ⋂=-⋂-=- ,选D.3.已知 a b c R ∈、、，则“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图象恒在x 轴上方”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】分别研究由“240b ac -<”推出“函数2()f x ax bx c =++的图象恒在x 轴上方”和由“函数2()f x ax bx c =++的图象恒在x 轴上方”推出“240b ac -<”，得到答案.【详解】当240b ac -<时，函数2()f x ax bx c =++图象与x 轴没有交点，当0a <时，()f x 图像恒在x 轴下方，所以是不充分条件； 当函数2()f x ax bx c =++的图象恒在x 轴上方，取0,0a b c ==>，满足要求，此时240b ac -=， 因此不一定能得到240b ac -<，所以是不必要条件；故选D 项.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，二次函数的图像问题，属于简单题. 4.明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n 被3除余2,被5除余3，被7除余4，求n 的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n 的结果为（ ）A. 53B. 54C. 158D. 263【答案】A 【解析】按程序框图知n 的初值为263，代入循环结构，第一次循环158n =，第二次循环53,53105n =<，推出循环，n 的输出值为53 ，故选A.5.斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有，图一图二是斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长方体）组成.若棱台两底面面积分别是2400cm ，2900cm ，高为9cm ，长方体形凹槽的体积为34300cm ，斗的密度是30.70/g cm .那么这个斗的质量是（ ）注：台体体积公式是()13V S S S S h ''=.A. 3990gB. 3010gC. 7000gD. 6300g【答案】C 【解析】 【分析】根据台体的体积公式求得台体体积,再加上长方体形凹槽的体积得这个斗的体积,然后乘以这个斗的密度可得这个斗的质量.【详解】根据棱台的体积公式可得棱台的体积为1(400400900900)957003⨯⨯=3cm , 所以这个斗的质量为5700430010000+=3cm , 所以这个斗的质量为100000.707000⨯=g . 故选:C.【点睛】本题考查了棱台的体积公式,属于基础题.6.在ABC ∆中，22223sin a b c ab C ++=，则ABC ∆的形状是 ( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，与已知条件相加，得到cos 3C π⎛⎫-⎪⎝⎭的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而得到C 的大小，判断出ABC ∆的形状，得到答案.【详解】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，222sin a b c C ++=两式相加，得到()22cos 2cos 3a b ab C C ab C π⎛⎫+=+=-⎪⎝⎭所以222cos 1322a b ab C ab ab π+⎛⎫-== ⎪⎝⎭≥，当且仅当a b =时，等号成立， 而[]cos 1,13C π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为()0,C π∈，所以2,333C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以03C π-=，即3C π=，又a b =，所以ABC ∆是等边三角形， 故选D 项.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于中档题.7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，P 为双曲线左支上一点，ABP ∆，则该双曲线的离心率为（ ）【答案】C 【解析】【详解】由题意知等腰ABP ∆中，||2AB AP a ==，设ABP APB θ∠=∠=，则12F AP θ∠=，其中θ必为锐角．∵ABP ∆，∴2sin aθ=，∴sin 5θ=，cos 5θ=∴243sin 22,cos 22155θθ===⨯-=． 设点P 的坐标为(,)x y ，则118(cos 2),sin 255a ax a AP y AP θθ=-+=-==， 故点P 的坐标为118(,)55a a-． 由点P 在双曲线上得2222118()()551a a a b -=，整理得2223b a =，∴3c e a ===．选C ． 点睛：本题将解三角形和双曲线的性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中,a c 之间的数量关系，其中通过解三角形得到点P 的坐标是解题的突破口．在得到点P 的坐标后根据点在椭圆上可得,a b 间的关系，最后根据离心率的定义可得所求．8.已知1a >，设函数()2xf x a x =+-的零点为m ，()log 2a g x x x =+-的零点为n ，则11m n+的取值范围是（ ） A. (2,)+∞B. 7,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C. (4,)+∞D.9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】把函数零点转化为两个函数交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数之间的关系求出m ,n 之间的关系，根据两者之和是定值，利用均值不等式即得解. 【详解】函数()2xf x a x =+-的零点为函数xy a =与2y x =-图像的交点A 的横坐标，函数()log 2a g x x x =+-的零点为函数log a y x =与2y x =-图像的交点B 的横坐标10,0a m n >∴>>由于指数函数与对数函数互为反函数， 其图像关于y x =对称， 直线2y x =-与y x =垂直故两直线的交点(1,1)即是A ，B 的中点，2,0,0m n m n ∴+=>>111111()()(2)(22222m n n m m n m n m n +∴+=+=++≥+= 当且仅当：1m n ==时等号成立 而m n ≠，故112m n+> 故选：A【点睛】本题考查了函数零点与均值不等式综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.9.已知函数()31sin f x x x x =+++，若()()2122f a f a-+≤，则实数a 的取值范围是( ) A. 3[1,]2- B. 3[,1]2-C. 1[1]2-， D. 1[,1]2-【答案】C 【解析】 【分析】构造函数()()1g x f x =-，证明()g x 是奇函数，单调递增，再将所求的不等式转化成关于函数()g x 相关形式，利用()g x 的性质，解出不等式，得到答案. 【详解】因为()31sin f x x x x =+++设()()31sin g x f x x x x =-=++，定义域x ∈R()()3sin g x x x x g x -=---=-，所以()g x 为奇函数， ()231cos 0g x x x '=++≥，所以()g x 单调递增， 不等式()()2122f a f a-+≤()()21121f a f a ⎡⎤--≤--⎣⎦()()212g g a a ≤-- ()()212g g a a ≤--2a 12a -≤-解得112x ≤≤- 故选C 项.【点睛】本题考查构造函数解不等式，函数的性质的应用，属于中档题.10.在ABC 中，AD AB ⊥，3,BC BD =||1AD =，则AC AD ⋅的值为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】由题意转化(3)AC AD AB BD AD ⋅=+⋅，利用数量积的分配律即得解. 【详解】AD AB ⊥，3,BC BD =||1AD =，()(3)AC AD AB BC AD AB BD AD ∴⋅=+⋅=+⋅ 2333AB AD BD AD AD =⋅+⋅==故选：C【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量数量积综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.11.在三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 两两垂直，112PA PB ==，Q 是棱BC 上一个动点，若直线AQ 与平面PBC 所成角的正切的最大值为5，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. 6π B. 7πC. 8πD. 9π【答案】A 【解析】 【分析】由已知得PA ⊥平面PBC ，因此当PQ BC ⊥时，直线AQ 与平面PBC 所成角最大，此时可求得PQ ，从而求得PC ，又以,,PA PB PC 为棱的长方体的对角线就是三棱锥P ABC -外接球直径，从而可求得其表面积．【详解】∵PA 与PB 、PC 垂直，∴PA ⊥平面PBC ，∴PQ 是AQ 在平面PBC 内的射影，AQP ∠就是直线PA 与平面PBC 所成的角， 由PA ⊥平面PBC 得PA PQ ⊥，tan PAAQP PQ∠=，要使tan AQP ∠最大，则PQ 最小， 显然当PQ BC ⊥时，PQ 最小，此时5tan AQP ∠=， 又1PA =，∴5PQ =，而2PB =，∴5BQ =， 由PB PC ⊥，得25PB BC BQ==，从而1PC =，如图，以,,PA PB PC 为棱作出长方体，此长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球，2222221216PA PB PC ++=++= ∴球表面积为22644(6S R πππ==⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查求球表面积，解题关键是要求出球的半径．由于,,PA PB PC 两两垂直，因此以它们为棱作出长方体，此长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球，长方体的对角线就是球的直径．由此可得解．12.已知关于x 的方程2[()]()10f x kf x -+=恰有四个不同的实数根，则当函数2()xf x x e =时，实数k 的取值范围是（ ） A. (,2)(2,)-∞-+∞B. 224,4e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭C. 28,2e ⎛⎫⎪⎝⎭D. 2242,4e e⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】利用导数判断()f x 的单调性和极值，得出方程()f x t =的根分布情况，从而得出方程()()2f x kf x 1=0-+恰有四个不同的实数根等价于关于t 的方程210t kt -+=在240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有一个解，在{}24,0e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有一个解，利用二次函数的性质列不等式可求出k 的范围.【详解】()()2'22x x x f x xe x e x x e =+=+，令()'0f x =，解得0x =或2x =-，∴当2x <-或0x >时，()'0f x >；当20x -<<时，()'0f x <，()f x ∴在(),2-∞-上单调递增，在()2,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，∴当2x =-时，函数()f x 取得极大值()242f e -=， 当0x =时，函数()f x 取得极小值()00f =， 作出()f x 的大致函数图象如图所示， 令()f x t =，则当0t =或24t e>时，关于x 的方程()f x t =只有一个解； 当24t e=时，关于x 的方程()f x t =有两个解； 当240t e<<时，关于x 的方程()f x t =有三个解，()()()21g x f x kf x =-+恰有四个零点，∴关于t 的方程()210h t t kt =-+=在240,e ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个解，在{}24,0e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有一个解，显然0t =不是方程210t kt -+=的解，∴关于t 的方程210t kt -+=在240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和24,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上各有一个解， 242416410k h e ee ⎛⎫∴=-+< ⎪⎝⎭，解得2244e k e >+，即实数k 的取值范围是224e e 4⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭，，故选B. 【点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．） 13.()f x 是定义域为R 的偶函数，对x R ∀∈，都有()()4f x f x +=-，当02x ≤≤时，()221,01,log 1,12x x f x x x ⎧-≤<=⎨+≤≤⎩，则()9212f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭________.【解析】 【分析】先由已知等式和偶函数推出周期为4,再根据偶函数性质和周期可求得答案.【详解】因为()f x 是定义域为R 的偶函数,所以()()4f x f x +=-()f x = ,所以周期4T =,所以129911()()(4)()2112222f f f f -==+==-=,2(21)(451)(1)log 111f f f =⨯+==+=,所以()9212f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭11+=.故答案为.【点睛】本题考查了函数的奇偶性,周期性,利用周期将自变量转化为已知范围后,利用分段函数解析式求值是解题关键,本题属于中档题.14.若正实数a ，b 满足1a b +=，则下列说法正确的是（ ） A. ab 有最小值14C.11a b+有最小值4 D. 22a b +有最小值2【答案】C 【解析】 【分析】可结合基本不等式性质对四个选项一一证明；对A 应是积有最大值；对B 变形为2a b +=++C ，先通分，再结合基本不等式求值；对D ，可变形为222()2a b a b ab +=+-，再结合基本不等式求值 【详解】0a >，0b >，且1a b +=；1a b ∴=+≥14ab ∴≤；ab ∴有最大值14，∴选项A 错误；2112a b =++=+≤+=，，∴B 项错误1114a b a b ab ab ++==≥，11a b∴+有最小值4，∴C 正确；22211()2121242a b a b ab ab +=+-=-≥-⨯=，22a b∴+ 的最小值是12，，∴D 错误． 故选C【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟练掌握基本不等式及其相关变形式，以及等式成立的条件，是正确解题的关键，属于中档题15.在ABC ∆中，D 为AB 的中点，ACD ∠与CBD ∠互为余角，2AD =，3AC =，则sin A 的值为__________．【解析】 设ACD ∠=,BCD αβ∠=,则由ACD∠+90CBD ∠=︒可知,90,B A αβ=︒-+=()18090,90,B A αβ︒-+=︒∴=︒- D 为AB 的中点，11,?sin ?sin ,sin sin 22ACD BCD S S AC CD BC CD AC BC αβαβ∆∆∴=∴=∴=,即cos cos AC B BC A =,由正弦定理得sin cos sin cos ,sin 2sin 2,B B A A A B A B=∴=∴=或90A B +=︒,当A=B 时,AC=BC, ,sin 33CD CD AB A AC ∴⊥∴===,当90A B +=︒时,90,2C AD BD DC =︒∴===,在△ACD中,2223cos ,sin 2?4AC AD CD A A AC AD +-==∴==,综上可得, sin A 的值为3或7. 16.如图，曲线2(0)y x y =≥上的点1P 与x 轴的正半轴上的点i Q 及原点O 构成一系列正三角形，11OPQ △，122Q P Q △，1n n n Q P Q -，△设正三角形1n n n Q P Q -的边长为,*n a n N ∈（记0Q 为O ），(),0n n Q S .数列{}n a 的通项公式n a =______.【答案】23n【解析】 【分析】先得出直线1OP 的方程为3y x =，与曲线的方程联立得出1P 的坐标，可得出11a OP =， 并设(),0n n Q S ，根据题中条件找出数列{}n a 的递推关系式，结合递推关系式选择作差法求出数列{}n a 的通项公式，即利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式．【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则点n Q 的坐标为(),0n S ，易知直线1OP 的方程为3y x =， 与曲线的方程联立()230y x y x y ⎧=⎪⎨=≥⎪⎩，解得133x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩221132333a ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 当n *∈N 时，点(),0n n Q S 、()11,0n n Q S ++，所以，点1122n n n n n S S S S P ++⎛++ ⎝， 直线n n P Q 3111122322n n n n n n n n nS S S S S ++++++==-11322nn n S S a +++=，等式两边平方并整理得211322n n n a S S ++=+，可得21322n n n a S S -=+，以上两式相减得()2211332n n n n a a a a ++-=+，即()()()11132n n n n n n a a a a a a ++++-=+，易知0n a >，所以()132n n a a +-=，即123n n a a +-=， 所以，数列{}n a 是等差数列，且首项为23，公差也为23，因此，()2221333n na n =+-=.故答案为23n．【点睛】本题考查数列通项的求解，根据已知条件找出数列的递推关系是解题的关键，在求通项公式时需结合递推公式的结构选择合适的方法求解数列的通项公式，考查分析问题的能力，属于难题．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （一）必考题17.设}{n a 是等差数列，公差为d ，前n 项和为n S . （1）设140a =，638a =，求n S 的最大值.（2）设11a =，*2()na nb n N =∈，数列}{n b 的前n 项和为n T ，且对任意的*n N ∈，都有20n T ≤，求d 的取值范围.【答案】（1）2021（2）29-,log 10⎛⎤∞ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）运用等差数列的通项公式可得公差d ，再由等差数列的求和公式，结合配方法和二次函数的最值求法，可得最大值；（2）由题意可得数列{b n }为首项为2，公比为2d的等比数列，讨论d ＝0，d ＞0，d ＜0，判断数列{b n }的单调性和求和公式，及范围，结合不等式恒成立问题解法，解不等式可得所求范围． 【详解】（1）a 1＝40，a 6＝38，可得d 61255a a -==-， 可得S n ＝40n 12-n （n ﹣1）2155=-（n 2012-）2220120+，由n 为正整数，可得n ＝100或101时，S n 取得最大值2021；（2）设()*112na n ab n N ==∈，，数列{b n}的前n 项和为T n，可得a n ＝1+（n ﹣1）d ，数列{b n }为首项为2，公比为2d的等比数列， 若d ＝0，可得b n ＝2；d ＞0，可得{b n }为递增数列，无最大值； 当d ＜0时，T n ()21221212dn dd-=--＜， 对任意的n ∈N *，都有T n ≤20，可得20212d≥-，且d ＜0， 解得d ≤29log 10． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．18.如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，1AA ⊥面ABC ，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点.（1）求证：AE ⊥平面1A BD ； （2）求三棱锥1B ABE -的体积.【答案】（1）详见解析；（2）33. 【解析】 【分析】（1）推导出BD AC ⊥，从而平面11AA C C ⊥平面ABC ，进而BD ⊥平面11AAC C ，BD AE ⊥，再求出1A D AE ⊥，由此能证明AE ⊥平面1A BD ．（2）本问方法较多，可用割补法，转换顶点法，构造法等，其中割补法较为方便，将1B ABE V -转化为111111ABC A B C B ACE B AEC A V V V -----，即可求解. 【详解】解：（1）∵AB BC CA ==，D 是AC 的中点， ∴BD AC ⊥，∵三棱柱111ABC A B C -中1AA ⊥平面ABC ， ∴平面11AA C C ⊥平面ABC ，且平面11AAC C 平面ABC AC =，∴BD ⊥平面11AAC C ， ∵AE ⊂平面11AAC C ， ∴BD AE ⊥又∵在正方形11AAC C 中，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点， ∴1A D AE ⊥， 又1A D BD D ⋂=， ∴AE ⊥平面1A BD .（2）解法一（割补法）：1111111B ABE ABC A B C B ACE B AEC A V V V V ----=--11113ABC ACC A S AA S BD ∆=⨯-⨯⨯正方形112323222323=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=.解法二（利用平行顶点轮换）：∵11//BB CC ， ∴11BB E BB C S S ∆∆=，∴1111B ABE A BB E A BB C B ABC V V V V ----===113ABC S BB ∆=⨯⨯1122323=⨯⨯=. 解法三（利用对称顶点轮换）： 连结1AB ，交1A B 于点O ， ∵O 为1A B 的中点，∴点B 到平面1AB E 的距离等于点1A 到平面1AB E 的距离. ∴1111111B ABE B AB E A AB E B AA E B AA E V V V V V -----====111122332AA E S BD ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯=. 解法四（构造法）：连结1AB ，交1A B 于点O ，则O 为1AB 的中点，再连结EO .由题意知在1AB E ∆中，1AE B E =1AB =，所以1EO AB ⊥，且EO =，又BO =BE =222BE BO EO =+，所以EO BO ⊥，又1AB BO O =，∴EO ⊥面1ABB ，∴11113B ABE E ABB ABB V V S EO --∆==⨯⨯1122323=⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．19.已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数y （个）和温度x （C ）的7组观测数据，其散点图如所示：根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数y 和温度x 可用方程bx a y e +=来拟合，令ln z y =，结合样本数据可知z 与温度x 可用线性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：xyz ()721ii x x =-∑()721ii zz =-∑()()71iii x x zz =--∑27 74 3.53718211.9 46.418表中ln i i z y =，7117i i z z ==∑．（1）求z 和温度x 的回归方程（回归系数结果精确到0.001）；（2）求产卵数y 关于温度x 的回归方程；若该地区一段时间内的气温在26~36C C 之间（包括26C 与36C ），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.（参考数据：3.28227e ≈，3.79244e ≈，5.832341e ≈， 6.087440e ≈， 6.342568e ≈．） 附：对于一组数据()11,v ω，()22,v ω，…，(),n n v ω，其回归直线ˆˆˆvαβω=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniii nii v v ωωβωω==--=-∑∑．【答案】（1）ˆ0.255 3.348z x =-；（2）0.255 3.348x y e-=，[]27.341.【解析】 【分析】(1)根据公式计算出ˆb和ˆa ,可得ˆ0.255 3.348z x =-;(2)根据ln z y =可得ln 0.255 3.348y x =-,再根据函数0.255 3.348x y e -=为增函数可得答案.【详解】（1）因为z 与温度x 可以用线性回归方程来拟合，设ˆˆˆz abx =+． ()()()7172146.418ˆ0.255182iii i i x x zz bx x ==--===-∑∑， 所以ˆˆ 3.5370.25527 3.348a z bx=-=-⨯=-， 故z 关于x 的线性回归方程为ˆ0.255 3.348zx =-． （2）由（1）可得ln 0.255 3.348y x =-， 于是产卵数y 关于温度x 的回归方程为0.255 3.348x y e -=,当26x =时，0.25526 3.3483.28227y ee ⨯-==≈； 当36x =时，0.25536 3.3485.832341y e e ⨯-==≈；因为函数0.255 3.348x y e-=为增函数，所以，气温在26~36C C 之间时，一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是[]27.341内的正整数．【点睛】本题考查了求线性回归方程,考查了利用线性回归方程对变量进行分析,属于中档题.20.设椭圆22:182x y C +=，过点()21A ，的直线,AP AQ 分别交C 于相异的两点,P Q ，直线PQ 恒过点()4,0B ．（1）证明：直线,AP AQ 的斜率之和为1-；（2）设直线,AP AQ 分别与x 轴交于,M N 两点，点()3,0G ，求GM GN ⋅. 【答案】（1）证明见解析；（2）1 【解析】 【分析】（1）设直线PQ 为()4y k x =-,与椭圆方程联立可得()222214326480k xk x k +-+-=,利用韦达定理得到12,x x 关系,由斜率公式可得()()12121212124141112222k x k x y y k k x x x x ------+=+=+----()()()1212121226116424kx x k x x k x x x x -++++=-++,将21223214k x x k +=+,212264814k x x k-=+代入,进而即可得证；（2）设直线AP 为()112y k x -=-,令0y =,可求得112,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,同理212,0N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,进而求解即可【详解】（1）证明:设直线PQ 为()4y k x =-,联立()224182y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,得()222214326480k x k x k +-+-=, 且>0∆,可得;214k <, 设()()1122,,,P x y Q x y , 由韦达定理可得21223214k x x k +=+,212264814k x x k-=+, 设直线AP 、AQ的斜率分别为12,k k , 所以()()12121212124141112222k x k x y y k k x x x x ------+=+=+----()()()1212121226116424kx x k x x k x x x x -++++=-++()2222222222648322611641641414164832164241414k k k k k k k k k k k k k -⋅-+⋅++-+++===----⋅+++, 所以直线,AP AQ 的斜率之和为1-（2）设()()34,0,,0M x N x ,因为直线AP 为()112y k x -=-,令0y =,得3112x k =-,即112,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 同理4212x k =-,即212,0N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 因为()3,0G , 所以1212121111132321GM GN k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12121211k k k k k k +=++12121111k k k k -==++= 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查斜率公式的应用,考查椭圆中的定值问题21.已知函数()()()211e ,2x f x x a g x x ax =+-=+，其中a 为常数. （1）若2a =时，求函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若对任意[)0,x ∈+∞，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2x-y+1=0；（2）1a ≥.【解析】【详解】试题分析：（1）求导得斜率，进而由点斜式得直线方程；（2）令()()()h x f x g x =-，由题得()min 0h x ≥在[)0,x ∈+∞恒成立，求导根据导数判断单调性求最值即可.试题解析： （1）()()2,1x a f x x e ==+则，()()2xf x x e ∴=+'，()02f ∴'=，又因为切点（0,1） 所以切线为2x-y+1=0(2) 令()()()h x f x g x =-，由题得()min 0h x ≥在[)0,x ∈+∞恒成立，()()2112x h x x a e x ax =+---，所以()()()1x h x x a e =+-' ①若0a ≥，则[)0,x ∈+∞时()0h x '≥，所以函数()h x 在[)0,+∞上递增，所以 ()()min 01h x h a ==- 则10a -≥，得1a ≥②若0a <，则当[]0,x a ∈-时()0h x '≤，当[,+x a ∈-∞）时()0h x '≥，所以函数()h x 在[]0,a -上递减，在[,+a -∞）上递增，所以()()min h x h a =-，又因为()()010h a h a -=-＜＜，所以不合题意.综合得1a ≥.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x > ，若()0f x <恒成立max ()0f x ⇔<；（3）若()()f xg x > 恒成立，可转化为min max ()()f x g x > .（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22.选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为()2cos 3x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换123x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩得到曲线C '，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C '的极坐标方程；（Ⅱ）若过点3(,)2A π（极坐标）且倾斜角为6π的直线l 与曲线C '交于,M N 两点，弦MN 的中点为P ，求||||||AP AM AN ⋅的值.【答案】（1）曲线C '的极坐标方程为:1C ρ'=（2）5AP AM AN =⋅ 【解析】 【详解】试题分析：（I ）曲线C的参数方程为()2x cos y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，利用平方关系即可化为普通方程．利用变换公式代入即可得出曲线C'的直角坐标方程，利用互化公式可得极坐标方程．（II ）点A 的直角坐标是3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将l 的参数方程3266x tcos y tsin ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C'的直角坐标方程可得2450t -+=，利用根与系数的关系即可得出．试题解析：（Ⅰ）222::143x cos x y C C y θθ=⎧⎪⇒+=⎨=⎪⎩，将122x x x x y y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪''⎪'=⎩'，代入C 的普通方程可得221x y ''+=，即22:1C x y +='，所以曲线C '的极坐标方程为:1C ρ'=（Ⅱ）点A 的直角坐标是3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将l 的参数方程3266x tcos y tsin ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数） 代入221x y +=，可得2450t -+=，∴t 1+t2=，t 1•t 254=，所以12122t t AP AM AN t t +==⋅23.设函数()2 1.f x k x x =-- (1)当1k =时，求不等式()0f x>的解集；(2)当(0,)x ∈+∞时，()0f x b +>恒成立，求k b +的最小值．【答案】（1）1(,1)3（2）最小值为3 【解析】【分析】（1）利用零点分段讨论法即可解出绝对值不等式得解集；（2）当(0,)x ∈+∞时，()0,f x b +>恒成立，即21k x b x +>-恒成立，数形结合求解.【详解】解(1)当1k =时，不等式化为210,x x -->0210x x x ≤⎧⎨-+->⎩，或102210x x x ⎧<<⎪⎨⎪+->⎩，或12210x x x ⎧≥⎪⎨⎪--+>⎩ 综上，原不等式的解集为1{1}3x x << (2)(0,)x ∈+∞时，()0,21f x b k x b x +>+>-作21y x =-与y k x b =+的图像，可知2,1,y k b =≥≥3,k b k b ∴+≥+的最小值为3(这时2,1k b ==)【点睛】零点分段法求解绝对值不等式，注意分段求解；求解集，注意书写形式；不等式恒成立转化成两个函数比较大小，数形结合可以事半功倍.。
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2011—2012学年度第二学期第一次调研考试高一年级文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知}104|{+∈=N x x x A 的公倍数，与是，},20|{+∈==N m m x x B ，则 （ ） A ．B A ⊆且B A ≠ B ．A B ⊆且B A ≠ C ． B A = D ．B A ∈2.下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）A.3152)(2+--=x x x x f ，5)(-=x x g B.11)(-+=x x x f ，)1)(1()(-+=x x x gC.2)52()(-=x x f ，52)(-=x x gD.()f x =()g x x =3.已知函数⎩⎨⎧>≤=)0(log )0(3)(2x x x x f x ，那么1[()]8f f 的值为( ) A ．27 B ．127 C ．27- D ．127- 4.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 （ ）A.32B.16+C.48D.16+5.若直线y x b =-与曲线1)2(22=+-y x 有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为 （ ）A.(2 B.[2 C.(,2(2)-∞+∞D.(26.已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂足,若2,1AB AC BD ===，则CD =( ）7.设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，b x x f x ++=22)((b 为常数)，则)1(-f =（ ）A .3 B.1 C.－1 D.－38.如图，M 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，给出命题①过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都平行.其中真命题是（ ） A ．②③④ B ．①③④ C ．①②④ D ．①②③9. 设(0,0),(1,1),(4,2)A B C ，若线段AD 是△ABC 外接圆的直径，则点D 的坐标是（ ）． A ．(-8,6) B ．(8，-6) C ．(4，-6) D ．(4，-3)10.若点A （2，-3）是直线0111=++y b x a 和0122=++y b x a 的公共点，则相异两点),(11b a 和),(22b a 所确定的直线方程为 （ ） A.0132=--y x B.0123=+-y x C. 0132=+-y x D. 0123=--y x 11.在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC=60O，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD=1，则三棱锥B-ACD 的体积为为（ ） A.122 B.121 C.62 D.4212.已知直线01243:=-+y x l ，若圆上恰好存在两个点P 、Q ，他们到直线l 的距离为1，则称该圆为“完美型”圆。
则下列圆中是“完美型”圆的是 （ ）11MA.122=+y xB.1622=+y xC.1)4()4(22=-+-y xD.16)4()4(22=-+-y x第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，共20分。
把答案填在答题纸的横线上）13.若直线012:1=-+my x l 与01)13(:2=---my x m l 平行，那么实数m 的值为______。
14. 如果实数,x y 满足等式22(2)3x y -+=，那么xy的最大值是________。
15.半径为4的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_________．16.已知定义域为R 的函数)(x f 为奇函数。
且满足)()2(x f x f -=+，当[]1,0∈x 时，12)(-=x x f ，则)24(log 21f =三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17.已知圆M 经过直线042:=++y x l 与圆0142:22=+-++y x y x C 的交点，且圆M 的圆心到直线0562=-+y x 的距离为M 的方程.18.设10,x y -+=求229304341062222+--+++-++=y x y x y x y x d 2292222+的最小值.19.在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平1A 1C 1D面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10．（1）求棱1A A 的长；（2）若11AC 的中点为1O ，求异面直线1BO 与11A D 所成角的余弦值.20.已知函数)(x f =)21)(log 2(log 42--x x ，2≤x ≤4 （1）求该函数的值域；（2）若x m x f 2log )(≥对于]4,2[∈x 恒成立，求m 的取值范围.21.如图，四棱锥ABCD S -中，AB BC ⊥，CD BC ⊥，侧面SAB 为等边三角形，1,2====SD CD BC AB ． （Ⅰ）证明：⊥SD 平面SAB ;（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成角的正弦值．22. （本小题12分）定义：若函数)(x f y =在某一区间D 上任取两个实数1x 、2x ，且21x x ≠，都有)2(2)()(2121x x f x f x f +>+，则称函数)(x f y =在区间D 上具有性质L 。
（1）写出一个在其定义域上具有性质L 的对数函数（不要求证明）。
（2）对于函数2()1f x x =-，判断其在区间),0(+∞上是否具有性质L ？并用所给定义证明你的结论。
（3）若函数21)(ax xx f -=在区间（0，1）上具有性质L ，求实数a 的取值范围。
高一年级文科数学试题答案三、 选择题: CDBBD CDCBC AD 四、填空题13. 0或6114.π 16. 21-三、解答题17. 解：设经过直线l 与圆C 的交点的圆系方程为x 2+y 2+2x －4y+1+λ(2x+y+4 )=0则x 2+y 2+2(λ+1)+ (λ－4)y+4λ+1=0∴圆M 的圆心为M （41,2λλ---） …………………………………3分…………………………………6分解得λ=－11或λ=13 …………………………………8分 所以所求圆的方程为x 2+y 2－20x －15y －43=0或x 2+y 2+28x+9y+53=0 ……………10分 18.解：229304341062222+--+++-++=y x y x y x y x d=可看作点(3,5)A -和(2,15)B 到直线10,x y -+=上的点的距离之和， …………………………………4分作(3,5)A -关于直线10,x y -+=对称的点'(4,2)A -，…………………………………8分则'min d A B ==…………………………………12分19.解：（1）设1A A h =，由题设111111111110ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=， 得1111103ABCD A B C S h S h ∆⨯-⨯⨯=，即1122221032h h ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，解得3h =． 故1A A 的长为3． …………………………………6分 （2）因为在长方体中11A D //BC ，所以1O BC ∠即为异面直线1BO 与11A D 所成的角（或其补角）．…………………………8分在△1O BC 中，计算可得11O B O C ==1O BC ∠的余弦值为。
……………12分 20.解：（1）y =（)2log 2-x （)21log 212-x =2122)(log x -23x 2log 1+…………2分令x t 2log =，则123212+-=t t y 81)23(212--=t 42≤≤x 21≤≤∴t …………………………4分当23=t 时，81min -=y ，当1=t 或2时，0max =y∴函数的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,81 …………………………6分（2）令x t 2log =，可得mt t t ≤+-123212对于21≤≤t 恒成立。
所以23121-+≥t t m 对于]2,1[∈t 恒成立 …………………………8分设23121)(-+=t t t g ，]2,1[∈t23)2(2123121)(-+=-+=t t t t t g0)2(,0)1(==g g 所以0)(max =t g ， …………………………10分所以0≥m …………………………12分 21.解：（I ）取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，DE=CB=2， 连结SE，则,SE AB SE ⊥又SD=1，故222ED SE SD =+，所以DSE ∠为直角。
…………3分 由,,AB DE AB SE DE SE E ⊥⊥= ， 得AB ⊥平面SDE ，所以AB SD ⊥。
SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直。
所以SD ⊥平面SAB 。
…………6分 （II ）由AB ⊥平面SDE 知， 平面ABCD ⊥平面SED 。
作,SF DE ⊥垂足为F ，则SF ⊥平面ABCD ，SD SE SF DE ⨯==作FG BC ⊥，垂足为G ，则FG=DC=1。
连结SG ，则SG BC ⊥， 又,BC FG SG FG G ⊥= ，故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG 。
作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC 。
73=⨯=SG FG SF FH ，即F 到平面SBC 的距离为721 …………………………10分 由于ED//BC ，所以ED//平面SBC ，E 到平面SBC 的距离d 也有721设AB 与平面SBC 所成的角为α， 则721sin ==EB d α。
…………………………………12分 22. 解：（1）12log y x =（或其它底在（0，1）上的对数函数）。