勾股定理5
初二数学勾股定理5[人教版]
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练习1
1.在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边 为 a ,b , c (1)已知a=6,b=8.则c= 10 . (2)已知c=25,b=15.则a= 20 . (3)已知c=19,a=13.则b= 8√3 . (结果保留根号) (4)已知a:b=3:4,c=15,则b= 12 .
注意:利用方程的思想求直角三角形有关线段的长
A D B C
B A
B
2
D
C
1
A
c
讨论
1. △ABC中,AB=AC=20cm, BC=32cm.求△ABC面积. B A
DHale Waihona Puke C2.等边△ABC的边长为a,则高AD= √3 2 2 √3 面积S= . a 4
A 通过适当添加辅助线构建
a
直角三角形使用勾股定理.
B D C
小结
1.勾股定理的内容及证明方法. 2.勾股定理作用:它能把三角形的形的特性(一角为90度)
勾股定理
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方
如果 Δ ABC 中,∠C=90 °,∠A, ∠B, ∠C的对边 分别为 a,b,c， A 2 2 2 那么 a + b = c
b C a
c
B
勾股定理的命名
1.约2000年前,我国古代算书《周髀算经》中就记载了公 元前1120年我国古人发现的“勾三股四弦五”.当时把 较短的直角边叫做勾,较长的边叫做股,斜边叫做弦.“ 勾三股四弦五”的意思是,在直角三角形中, 如果勾为3, 股为4,那么弦为5.这里3 2+4 2= 5 2.人们还发现, 勾为6, 股为8, 弦一定为10.勾为5,股为12, 弦一定为13等.同 样,有6 2+8 2=10 2,5 2+12 2= 13 2 ,…,即勾2 +股2 =弦2 .所 以,我国称它为勾股定理. 2.西方国家称勾股定理为毕达哥拉斯定理. 毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580～前500年)是古希 腊杰出的数学家,天文学家,哲学家.他不仅提出了定理, 而且努力探求证明方法.
勾股定理500种证明方法
勾股定理500种证明方法勾股定理是数学中的一条重要定理，它是说对于任意直角三角形，斜边的平方等于两个直角边的平方之和。
具体表达式如下：\[a^2+b^2=c^2\]这里，a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边。
欧几里得给出了最早的证明方法，他使用了几何构造和演绎的方法来证明这个定理。
1.欧氏证明方法：欧几里得通过将两个直角边的平方进行拼贴，得到一个正方形，并证明这个正方形的面积等于斜边的平方。
2.平行线切割法：通过平行线的切割，将直角三角形分割为几个图形，然后利用这些图形的面积关系证明勾股定理。
3.三角形面积法：通过计算直角三角形各个边上的高，然后将两个直角边的长度和其对应的高代入三角形面积公式，证明勾股定理。
4.变形推导法：将勾股定理移项变形，推导出其他几何定理，再反推回来证明勾股定理。
5.相似三角形法：利用两个直角三角形的相似性质，建立它们之间的边长比例，然后通过约分和乘法证明勾股定理。
6.余弦定理法：利用三角形的余弦定理，将三角形的边长和夹角之间的关系表达式代入勾股定理，然后进行化简证明。
7.对角线法：通过划分直角三角形的对角线，构造与角度相关的图形，然后运用几何性质证明勾股定理。
......（继续列举）这些只是勾股定理证明的几种常见方法，还有很多其他方法，涉及不同的数学分支和概念。
基于这三个基本量的几何关系，有许多方法可以推导出这个定理，每种证明方法都有其独特之处，展示了数学的丰富性和多样性。
通过探究不同的证明方法，我们可以增加对数学的理解和思维能力。
勾股定理是一个基本而重要的定理，它在数学和物理等领域中都有广泛的应用，所以了解多种证明方法可以帮助我们更好地理解和应用这个定理。
勾股定理五种证明方法
勾股定理五种证明方法
1. 代数证明：假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜
边为c。
根据勾股定理，我们有a^2 + b^2 = c^2。
将三条边的
长度代入该等式，进行计算验证即可证明。
2. 几何证明：通过绘制直角三角形，并利用几何原理证明。
例如，可以画一个正方形，然后在其两条相对边上各画一个相等的直角三角形，再使用平行四边形的性质可以得出a^2 + b^2
= c^2。
3. 相似三角形证明：假设两个直角三角形，已知其斜边比例为m:n，利用相似三角形的性质可以得出直角边的比例也是m:n，进而得到a^2 + b^2 = c^2。
4. 平行四边形法证明：利用平行四边形的性质，可通过画出一个具有相等对边的平行四边形来证明勾股定理。
通过平行四边形的性质可以得出a^2 + b^2 = c^2。
5. 微积分证明：利用微积分的知识可以证明勾股定理。
通过对直角三角形边长进行微分，并进行适当的运算，可以得到a^2 + b^2 = c^2。
这种证明方法比较复杂，需要较高的数学知识和
技巧。
《勾股定理》模型(五)——出水芙蓉模型
《勾股定理》模型（五）——出水芙蓉模型“印度荷花问题”湖静浪平六月天，荷花半尺出水面;忽来一阵狂风急，吹倒花儿水中偃。
湖面之上不复见，入秋渔翁始发现;残花离根二尺遥，试问水深尽若干?——印度数学家拜斯迦罗（公元 1114—1185 年）【模型】读诗求解“出水3尺一红莲，风吹花朵齐水面，水面移动有6尺，求水深几何请你算”。
【思路】利用勾股定理建立方程，求出水深为 4.5 尺.【解析】设水深AP ＝x 尺， PB ＝PC ＝（x ＋3）尺，根据勾股定理得：PA ²＋AC ²＝PC ²，x ²＋4²＝（x ＋3）².解得 x=4.5.答∶水深 4.5 尺.典例1☆☆☆☆☆ 古诗赞美荷花∶“竹色溪下绿，荷花镜里香.”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面 10 cm ，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面，仔细观察，发现荷花偏离原地 40 cm （如图），请问水深多少?模型讲解典例秒杀【解析】设水深为 h cm ，则荷花的高为（h ＋10）cm ，根据勾股定理，得（h ＋10）2＝40²＋h ²，解得 h ＝75.答∶水深为 75 cm.典例1☆☆☆☆☆有一朵荷花，花朵高出水面1 尺，一阵大风把它吹歪，使花朵刚好落在水面上，此时花朵离原位置的水平距离为3 尺，此水池的水深有多少尺?【解析】设水深x 尺，那么荷花径的长为（x+1）尺，由勾股定理得 x ²＋3²=（x ＋1）².解得 x=4.答∶水池的水深有 4尺.1.（★★☆☆☆）在平静的湖面上，有一枝荷花，高出水面1米，阵风吹过来，荷花被吹到一边，花朵齐及水面，已知荷花移动的水平距离为 2米，问水深多少米.1.我国古代算书《九章算术》中第九章第六题是∶今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何?你读懂题意了吗?请回答水深几尺，葭长几尺.根据题意，设水深 OB=x 尺，则葭长 OA ＇=（x+ 1）尺.列方程正确的是（ )小试牛刀 直击中考出水芙蓉类题和风吹树折类题一样，数学知识本身其实很简单，考查的就是勾股定理，正确设出未知数列方程就能求解，但是对很多同学来说，它的难点也是语言文字的转化。
勾股定理的证明方法5种
勾股定理的证明方法5种勾股定理是几何学中最为经典的定理之一，它揭示了直角三角形中直角边与斜边的关系。
勾股定理有多种不同的证明方法，下面我们将依次介绍其中五种不同的证明方法。
方法一：几何法证明这种证明方法是最为直观的，它通过几何形状的变换来证明勾股定理。
首先，我们先画出一个直角三角形ABC，然后作出辅助线AD ⊥BC，将三角形ABC分成两个小三角形ΔABD和ΔADC。
根据相似三角形的性质，我们可以得到BD/AB=AB/AC，即BD*AC=AB^2。
同理，我们可以得到CD*AB=AC^2。
将这两个式子相加起来，我们就可以得到BD*AC+CD*AB=AB^2+AC^2，根据平行四边形的性质，我们可以得到BC*AD=AB^2+AC^2，而BC*AD就是直角三角形ABC的斜边的平方AC^2。
因此，通过几何法证明，我们可以得到勾股定理成立。
方法二：代数法证明这种证明方法是使用代数运算来证明勾股定理。
我们可以用直角三角形的三条边的长度来表示三角形的面积。
假设直角三角形的三条边分别为a、b、c，其中c 为斜边，利用面积公式S=1/2*底*高，我们可以得到三角形面积的两种表达式：S=1/2* a*bS=1/2* c*h通过这两个表达式，我们可以得到c*h=a*b，即c^2=a^2+b^2。
方法三：相似三角形法证明这种证明方法利用相似三角形的性质来证明勾股定理。
我们可以在直角三角形ABC中找到一个与之全等的直角三角形DEF。
然后我们可以发现直角三角形ABC和DEF分别是直角三角形ACB和EDF的相似三角形。
由于相似三角形的对应边成比例，我们可以得到AB/DE=BC/EF=AC/DF。
利用这个性质，我们可以得到AB^2=DE^2+DF^2和AC^2=DE^2+EF^2。
将这两个式子相加起来，我们可以得到AB^2+AC^2=DE^2+DF^2+DE^2+EF^2，根据平行四边形的性质，我们可以得到AB^2+AC^2=2*DE^2+2*DF^2。
勾股定理常用个公式
勾股定理常用个公式勾股定理是数学中一个非常重要的定理，它是平面几何中的基础定理，常用来求解直角三角形的边长和角度。
根据勾股定理，我们可以推导出多个相关的公式来解决各种问题。
在本篇文章中，我将介绍11个常用的勾股定理公式，每个公式都会附带一个解析和一个示例。
1.三角形斜边的长度(已知两边长度)：c=√(a²+b²)，其中a和b分别是直角三角形的两条直角边的长度，c是斜边的长度。
示例：已知一个直角三角形的两条直角边的长度分别为3和4，求斜边的长度。
解析：根据公式，c=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5、因此，斜边的长度为52.直角三角形的直角边长度(已知斜边长度和另一直角边长度)：a=√(c²-b²)，其中b是已知直角边的长度，c是斜边的长度。
示例：已知一个直角三角形的斜边长度为5，另一直角边的长度为4，求第二个直角边的长度。
解析：根据公式，a=√(5²-4²)=√(25-16)=√9=3、因此，第二个直角边的长度为33.直角三角形的直角边长度(已知斜边长度和另一直角边长度)：b=√(c²-a²)，其中a是已知直角边的长度，c是斜边的长度。
示例：已知一个直角三角形的斜边长度为5，另一直角边的长度为3，求第二个直角边的长度。
解析：根据公式，b=√(5²-3²)=√(25-9)=√16=4、因此，第二个直角边的长度为44.直角三角形的面积(已知两个直角边的长度)：A=1/2*a*b，其中a和b为直角三角形的两个直角边的长度。
示例：已知一个直角三角形的两个直角边的长度分别为3和4，求其面积。
解析：根据公式，A=1/2*3*4=6、因此，直角三角形的面积为65.直角三角形的周长(已知两个直角边的长度)：P=a+b+c，其中a和b分别为直角三角形的两个直角边的长度，c为斜边的长度。
常见勾股定理公式表
常见勾股定理公式表勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
接下来分享常见勾股定理公式，供参考。
常见的勾股定理公式(1)（3，4，5）,（6，8，10）……3n,4n,5n(n是正整数)(2)（5，12，13）,（7，24，25）,（9，40，41）……2n＋1,2n^2＋2n,2n^2＋2n＋1(n是正整数)(3)(8，15，17),(12，35，37)……2^2*(n＋1),[2(n＋1)]^2－1，[2(n＋1)]^2＋1(n是正整数)(4)m^2－n^2,2mn,m^2＋n^2(m、n均是正整数，m>n)三角形勾股定理公式1.基本公式在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。
如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么勾股定理的公式为a²+b²=c²。
2.完全公式a=m，b=(m²/k-k)/2，c=(m²/k+k)/2其中m≥3(1)当m确定为任意一个≥3的奇数时，k={1，m²的所有小于m的因子}(2)当m确定为任意一个≥4的偶数时，k={m²/2的所有小于m的偶数因子}勾股数的规律（1）当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n²+2n,c=2n²+2n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：n=1时(a,b,c)=(3,4,5)n=2时(a,b,c)=(5,12,13)n=3时(a,b,c)=(7,24,25)（2）当a为大于4的偶数2n时，b=n²-1,c=n²+1，也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：n=3时(a,b,c)=(6,8,10)n=4时(a,b,c)=(8,15,17)n=5时(a,b,c)=(10,24,26)。
勾股定理5
第一章：勾股定理一、中考要求：1．经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会数形结合的思想。
2．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用句股定理解决一些实际问题．3．掌握判断一个三角形是直角三角形的条件，并能运用它解决一些实际问题．4．通过实例了解勾股定理的历史和应用，休会勾股定理的文化价值．二、中考卷研究(一)中考对知识点的考查：部分省市课标中考涉及的知识点如下表:序所考知识点比率号1 勾股定理的证明5%～6%2 勾股定理的应用3%～6%3 勾股定理的逆定理3%(二)中考热点：图形的折叠，图形的拼接问题，一般都用勾股定理或其逆定理来解决，这是近几年来中考的热点题型．三、中考命题趋势及对策运用勾股定理或逆定理解决实际问题，在近几年中考试题中所占的比例较大，一般以简答题或综合题的形式出现，因此同学们在复习时，应抓住问题的实质，理解题意，将实际问题转化为数学问题来解决．勾股（逆）定理的综合应用【教学目标】1、能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.2、学会观察图形，勇于探索图形间的关系，学会将曲面展成平面问题来解决【探究新知学无止境】【学习过程】1、学习准备：1．连接两点之间的所有连线中, 最短，即两点之间, 最短。
2．圆柱的侧面展开图是一个，圆柱的高是它的，圆柱的底面圆周长是它的。
2、讲授新课：①、蚂蚁怎么走最近AB A B提出问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆行柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(π的值取3)．（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A 点到B 点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A 点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗?（3）蚂蚁从A 点出发，想吃到B 点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA ′将圆柱的侧面展开(如下图).我们不难发现，刚才几位同学的走法：(1)A →A ′→B ； (2)A →B ′→B ； (3)A →D →B ； (4)A —→B. 哪条路线是最短呢？你画对了吗？第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”. 3、动手探究：1．如图是沿圆柱的 线将圆柱侧面展开的，即剪开的这条线与底面半径是_______________2．课本中把圆柱侧面展开后得到的长方形中，长方形的长是 cm,宽是 cm ，其中B 点是长的 。
勾股定理五种证明方法
勾股定理五种证明方法1. 几何证明法勾股定理是数学中的基本定理之一，用于描述直角三角形的边长关系。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和。
几何证明法是最直观的证明方法之一。
我们可以通过绘制一个正方形来证明勾股定理。
假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c。
我们可以将这个三角形绘制在一个边长为a+b的正方形内。
将正方形分成四个小正方形，其中三个小正方形的边长分别为a，b和c。
通过计算小正方形的面积，我们可以得出结论：c^2 = a^2 + b^2。
2. 代数证明法代数证明法是另一种常用的证明勾股定理的方法。
这种方法使用代数运算和方程的性质来证明定理。
假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c。
我们可以通过使用平方的性质来证明勾股定理。
根据勾股定理，我们有：c^2 = a^2 + b^2。
我们可以将c^2展开为(a + b)2，即：c2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
通过对比等式两边的表达式，我们可以得出结论：2ab = 0。
由于直角三角形的边长必须为正数，因此我们可以得出结论：ab = 0。
这意味着a或b至少有一个为0。
如果a为0，那么直角三角形就变成了一个直角边长为b的直角三角形，此时勾股定理显然成立。
同样地，如果b为0，那么直角三角形就变成了一个直角边长为a的直角三角形，此时勾股定理也成立。
综上所述，勾股定理成立。
3. 数学归纳法证明数学归纳法是一种常用的证明数学命题的方法，它通常用于证明自然数的性质。
虽然勾股定理是针对直角三角形的，但我们可以通过数学归纳法证明勾股定理对于所有正整数的直角三角形都成立。
首先，我们证明当直角三角形的直角边长度为1时，勾股定理成立。
这是显而易见的，因为直角三角形的斜边长度必然大于1，所以直角边长度为1的直角三角形一定满足勾股定理。
然后，我们假设当直角三角形的直角边长度为k时，勾股定理成立。
即假设a^2 + b^2 = c^2，其中a和b分别为直角三角形的直角边，c为斜边。
勾股定理
勾股定理编辑[gōu gǔ dìng lǐ]勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a2+b2=c2的正整数组(a,b,c)。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2。
中文名勾股定理、勾股弦定理外文名Pythagorean theorem1基本定理编辑勾三股四弦五文字表述：在任何一个的直角三角形中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方（也可以理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等）。
数学表达：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
[1]推广定理：勾股定理的逆定理。
如果 (a,b,c) 是勾股数，它们的正整数倍数，也是勾股数，即∀n∈Z*，(na,nb,nc) 也是勾股数。
若a,b,c三者互质（它们的最大公约数是 1），它们就称为素勾股数。
2历史编辑毕达哥拉斯定理是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。
在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理，三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。
埃及称为埃及三角形。
早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且古巴比伦、古埃及、古中国、古印度等的发现都有真凭实据，有案可查。
相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的。
可以说真伪难辨。
这个现象的确不太公平，之所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上。
勾股定理5
勾股定理五（直角三角形的判定）
一、从角的角度分析：在△ABC 中，∠A 是此三角形最大的角，
（1）如∠A ＝∠B+∠C ，则此三角形为直角三角形；（2）如∠A 〈∠B+∠C ，此三角形为锐角三角形；
（3）∠A 〉∠B+∠C ，则此三角形为钝角三角形
二、从边的角度分析：在△ABC 中，c 是此三角形最长的边，a 、b 是另外两条边
（1）若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；
（2）若222b a c +>，则△ABC 是钝角角三角形；（3）若222b a c +<，则△ABC 是锐角角三角形； 练习：1、适合下列条件的三角形中，是直角三角形的有 ①5
1c 41b 31a ＝，＝，= ②∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5 ③a ∶b ∶c ＝1∶2∶3 ④a ＝3，b ＝4，c ＝5 ⑤2a ∶2b ∶2c ＝1∶3∶2 ⑥∠A ＝33°，∠B ＝57°
⑦a ＝b ，∠A ＝45° ⑧222c a b -= ⑨三角形三边长分别是：，221,2,1(1)n n n n -+> 2、指出图中哪些是直角三角形？
3、若a 、b 、c 为三角形的三边且满足
050c 10b 8c 6c b a 222=+---++，则此三角形 的面积为
4、在四边形ABCD 中，已知∠B ＝90°，
AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13，
求四边形ABCD 的面积。
5、如图，已知等腰三角形ABC 中，底边BC ＝10，D 为AB 上一点，且CD=8，BD=6,求△ABC 的周长.
123
456
7A D C B D C B A。
第一章勾股定理 (5)
1.1、探索勾股定理（一）教学目标1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2 、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及水平。
重点、难点重点：理解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。
难点：勾股定理的发现。
教学过程一、创设问题的情境，激发学生的学习热情：我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。
对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存有着两边相等和三边相等的特殊关系。
那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存有着特殊的关系，这就是我们这个节要研究的问题：勾股定理。
出示投影1（章前的图文 P1 ）我国是最早理解勾股定理的国家之一介绍商高（三千多年前周期数学家）。
出示投影2。
（书中P2 图1一2）并回答：1、观察图1一2，正方形A中有个小方格，即A的面积为个面积单位。
正方形B 中有个小方格．即B的面积为个面积单位。
正方形C 中有个小方格，即C的面积为个面积单位。
2、你是怎样得出上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发问。
3、图l一2 中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？在学生交流后形成共识老师板书。
A + B＝C ，接着提出图1一1中A、B、C的关系呢？二、做一做出示投影3（书中P3 图1一3，图1一4 )提问：1、图1一3中，A 、B、C之间有什么关系？2、图1 一4中，A 、B 、C 之间有什么关系？3、从图1一l 、1一2 、1一3 、l一4中你发现了什么？在学生讨论、交流形成共识后，老师总结：以直角三角形两直角边为边的正方形面积和，等于以斜边为边的正方形面积。
三、议一议1、图1一1、1一2、1一3、1一4中，你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在同学的交流基础上，老师板书：直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的整数
1、勾股数的定义勾股数是指满足勾股定理的三个数，即a²+ b²= c²。
其中a、b、c可以是正整数、零或负整数。
2、正整数勾股数当a、b、c都是正整数时，称之为正整数勾股数。
例如3、4、5就是一个正整数勾股数，因为3²+ 4²= 5²。
3、非正整数勾股数当a、b、c中至少有一个是非正整数时，称之为非正整数勾股数。
例如0、4、4就是一个非正整数勾股数，因为0²+ 4²= 4²。
4、负整数勾股数当a、b、c中至少有一个是负整数时，称之为负整数勾股数。
例如-3、4、5就是一个负整数勾股数，因为(-3)²+ 4²= 5²。
勾股数的分类包括正整数勾股数1、勾股数的分类根据a、b、c的正负情况，勾股数可以分为正整数勾股数、非正整数勾股数和负整数勾股数。
这三种分类覆盖了所有可能的情况。
2、整数解与非整数解除了正整数勾股数、非正整数勾股数和负整数勾股数，还存在非整数解，即满足勾股定理但不是整数的解。
例如，√2、√3和√5就是非整数解，因为(√2)²+ (√3)²= (√5)²。
3、勾股数的应用勾股数在几何学和物理学中有着广泛的应用。
在几何学中，勾股数被用于求解直角三角形的边长和角度。
在物理学中，勾股数被用于描述力学、电磁学等领域的问题。
4、勾股数的性质勾股数有一些重要的性质。
如果a、b、c是勾股数，那么它们互相之间是互质的；如果a、b是勾股数，那么它们至少有一个是偶数。
勾股定理总结
勾股定理总结勾股定理是数学中一个经典而重要的定理，它给出了关于直角三角形的边长之间的数学关系。
这一定理由古希腊数学家毕达哥拉斯提出，后来被命名为勾股定理。
定理的表述非常简洁明了：在一个直角三角形中，直角边的平方等于两条直角边分别平方之和，即a² + b² = c²。
其中a、b为直角边的长度，c为斜边(斜边也被称作弦)的长度。
勾股定理在几何学中有广泛的应用，它可以帮助我们计算各种形状的三角形的边长、角度以及面积。
它也是解决三角形相关问题的基础工具，应用于导航、建筑、天文学、物理学等领域。
然而，虽然勾股定理的表述非常简单，但它的证明却广受争议。
据传，毕达哥拉斯本人并没有公开证明这一定理，而是将其作为一个“秘密”。
直到后来，欧几里得在其著作《几何原本》中，给出了一种基于面积比较的证明方法。
另外，还有一些其他的证明方法，包括代数证明、几何证明等。
值得注意的是，勾股定理并不仅限于数学领域的应用，它还具有更深层次的意义。
其中一个代表性的例子是庞加莱定理与勾股定理的关系。
庞加莱定理指出，如果一个几何图形既是平坦的（即不弯曲、不损毁），又是封闭的（即没有孔洞），那么该图形的所有内角之和等于180度。
显然，对于一个直角三角形，其内角之和等于180度，因此勾股定理可以视作庞加莱定理的一个特例。
此外，勾股定理还与现代数学的研究有关。
在拓扑学中，人们研究的是空间的某些特征，比如连通性、维度等。
通过勾股定理，我们可以得知一个平面上的几何图形是连通的，而一个三维空间中的立体图形是完全连通的。
这一概念与现代拓扑学中的同胚概念有关，进一步揭示了不同维度空间之间的联系。
总结而言，勾股定理作为一条简洁但重要的数学定理，不仅在几何学中有着广泛的应用，还与其他数学领域的研究息息相关。
它不仅帮助我们解决实际问题，如测量和计算，还揭示了数学与其他学科之间的联系。
勾股定理以其直观性和普适性在数学教育中占据重要地位，对于培养学生的逻辑思维能力和数学思维方法具有极大的意义。
勾股定理
如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2，如：一条直角边是3，另一条直角边是4，斜边就是3×3+4×4=X×X，X=5。
那么这个三角形是直角三角形。
（称勾股定理的逆定理）勾股定理的来源：毕达哥拉斯树毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。
据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明[1]。
法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。
我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
常用勾股数3 4 5;5 12 13;8 15 17毕达哥拉斯有关勾股定理书籍《数学原理》人民教育出版社《探究勾股定理》同济大学出版社《优因培教数学》北京大学出版社《勾股书籍》新世纪出版社《九章算术一书》《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社《几何原本》（原著：欧几里得）人民日报出版社毕达哥拉斯树毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。
又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。
直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。
两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。
利用不等式a^2+b^2≥2ab可以证明下面的结论：三个正方形之间的三角形，其面积小于等于大正方形面积的四分之一，大于等于一个小正方形面积的二分之一。
[编辑本段]最早的勾股定理应用从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。
例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。
问下端（C）离墙根（B）多远？”他们解此题就是用了勾股定理，如图设AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米∴a=√[l-（l-h)]=√[5-(5-1)]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股三角形。
勾股定理5
练一练
1、已知：∠C＝90°，a：b＝ 3：4，c＝10，求a和b
2、已知：△ABC，AB＝AC ＝17，BC＝16，则高 AD＝＿，S△ABC＝＿＿＿
A
B
C D
学以致用
1、已知：a＝3， b＝4，求c
2、已知： c ＝10，a＝6，求b
3、已知： c ＝13，a＝5，
c
求阴影总分面积
a
例2.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚 好飞到一个男孩头顶上方4000米处，过 了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米。 飞机每时飞行多少千米？ C B
20秒后
4000米 5000米
A
好奇是人的本性! 想一想
探索勾股定理
我们有:
a=46
b=58
由勾股定理得：
c2=a2+b2 =462+582 =5480 而742=5476
58
46
c
在误差范围内
一个3m长的梯子AB,斜 靠在一竖直的墙AO上, 这时AO的距离为2.5m, 如果梯子的顶端A沿墙 下滑0.5m,那么梯子底 端B也外移0.5m吗?
A C
O
B
D
1、放学以后，小红和小颖从学校 分手，分别沿着东方向和南方向回 家，若小红和小颖行走的速度都是 40米/分，小红用15分钟到家，小颖 用20分钟到家，小红和小颖家的距 离为 （ C ） A、600米
C、1000米
B、800米
D、不能确定
2、直角三角形两直角边分别为5 厘米、12厘米，那么斜边上的高 是 （ D ） A、6厘米 B、 8厘米 C、 80/13厘米； D、 60/13厘 米；
图1-3
图1-4
好奇是人的本性! 议一议
√5的计算方法
√5的计算方法
1 什么是√5？
√5是数学中的一个数，表示5的平方根。
它是一个无理数，即不能表示为两个整数的比例。
2 用勾股定理求√5
使用勾股定理可以求得 √5。
根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方
和等于斜边的平方。
因此，当直角三角形的一条直角边为1时，另一条直角边为2，斜边的平方就等于 1²+2²=5。
因此，√5就是直角三角形的斜边长度。
3 用泰勒级数求√5
√5还可以通过泰勒级数求出来。
泰勒级数是指将一个函数展开成无限和的形式，其中每一项都是该函数的某种导数在给定点的值。
使用泰勒级数展开函数 f(x)=√x，我们可以得到以下级数：
√x ≈ ∑[n=0->∞] ( (-1)^n * (1/2)_n ) * (x-1)^n
其中，(1/2)_n表示二项式系数，即1/2的阶乘除以n阶乘。
该级数的收敛区间
为[0, 1]。
将x=5代入该级数中，我们可以得到：
√5 ≈ 2 - 1/4 + 1/32 - 1/256 + …
这样，我们就得到了√5的一个近似值。
#4结论
综上所述，√5是一个无理数，可以通过勾股定理和泰勒级数等多种方法来求
得其近似值。
虽然√5的计算看似简单，但是其背后蕴含着丰富的数学知识和思想，是数学中的重要概念之一。
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A
C
O
B
D
1、放学以后，小红和小颖从学校 分手，分别沿着东方向和南方向回 家，若小红和小颖行走的速度都是 40米/分，小红用15分钟到家，小颖 用20分钟到家，小红和小颖家的距 离为 （ C ） A、600米 C、1000米 B、800米 D、不能确定
2、直角三角形两直角边分别为5 厘米、12厘米，那么斜边上的高 是 （ D ） A、6厘米 B、 8厘米 C、 80/13厘米； D、 60/13厘 米；
图1-1
图1-2
好奇是人的本性! 观察图1-3，填表：
探索勾股定理
1.正方形A中 含有 个小 方格,即A的面 积是 单位 面积 2.B的面积是 单位面 积, C的面积是 单位面 积.
图1-3
图1-4
好奇是人的本性! 观察图1-4，填表：
探索勾股定理
1.正方形A中 含有 个小 方格,即A的面 积是 单位 面积 2.B的面积是 单位面 积, C的面积是 单位面 积.
• 勾股定理的别称
• 勾股定理的证明
• 勾股数组 • 勾股定理的作用
弦 勾 股
勾股定理：直角三角形两条直角 边a,b的平方和，等于斜边c的平 方
a b c
2 2
2
例1。等边三角形ABC的边长是 6cm
(1)求高AD的长 （精确到 0.1cm) (2) 求 SABC （精确到 0.1cm)
3、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一 共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘 G A 米）
B E
C
F
D
⒈ 勾股定理是几何中最重要的定理之 一，它揭示了直角三角形三边之间的 数量关系. ⒉勾股定理： 直角三角形两直角边a、b 平方和， 等于斜边 c 平方 2 2 2
a +b =c
⒊勾股定理的主要作用是 在直角三角形 中,已知任意两边求第三边的长
好奇是人的本性! 观察图1-1，回答问题：
探索勾股定理
1.正方形A中 含有 个小 方格,即A的面 积是 单位 面积 2.B的面积是 单位面 积, C的面积是 单位面 积.
图1-1
图1-2
好奇是人的本性! 观察图1-2，回答问题：
探索勾股定理
1.正方形A中 含有 个小 方格,即A的面 积是 单位 面积 2.B的面积是 单位面 积, C的面积是 单位面 积.
练一练
1、已知：∠C＝90°，a：b＝ 3：4，c＝10，求a和b
2、已知：△ABC，AB＝AC ＝17，BC＝16，则高 AD＝＿，S△ABC＝＿＿＿
A
B
C D
学以致用
1、已知：a＝3， b＝4，求c
2、已知： c ＝10，a＝6，求b
3、已知： c ＝1机在空中水平飞行，某一时刻刚 好飞到一个男孩头顶上方4000米处，过 了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米。 飞机每时飞行多少千米？ C B
图1-3
图1-4
好奇是人的本性! 议一议
探索勾股定理
结论:
1.你能用三角形的边长 表示正方形的面积吗? 2.你能发现直角三角形三 边长度之间存在什么关系 吗? 3.分别以5cm,12cm为直 角边作出一个直角三角形, 并测量斜边的长度,上面 的规律还成立吗?
如果直角三 角形两直角 边分别为a, b,斜边为c, 那么 a2+b2=c2
a
c
b
上海自动化仪表厂是上海自动化仪表有限公司是上海上自仪股份控股的子公司，是向国内发行A股，向国外发行B股的上市公司， 是国家大型一级企业，上海自动化仪表厂DCS公司 上海自动化仪表厂DCS公司 “中国500家最大工业企业”和“全国工业企业技术开发实力百强”之一，是上海高新技术企业，连续多年被上海市人民政府 和原机械工业部授予“优秀企业”称号
20秒后
4000米
5000米
A
好奇是人的本性! 想一想
探索勾股定理
我们有:
a=46
b=58
由勾股定理得： c2=a2+b2 =462+582 =5480 而742=5476
58
46
c
在误差范围内
一个3m长的梯子AB,斜 靠在一竖直的墙AO上, 这时AO的距离为2.5m, 如果梯子的顶端A沿墙 下滑0.5m,那么梯子底 端B也外移0.5m吗?
勾股小常识：勾股数 1、 a² +b² =c² ，满足(a,b,c)=1,a,b,c 为基本勾股数.如：3、4、5 ; 5、12、 13;7、24、25…… 2、如果a,b,c是一组勾股数，则ka、 kb、kc（k为正整数）也是一组勾股 数，如：6、8、10；9、12、15…… 3、一组勾股数中必有一个数是5倍 数
性有发作了。“不就是些不要的瓶瓶罐罐吗，有什么好惊叹的。”茉莉无奈的扭过头去，一副我不认识你的样子。“不，不， 不，小茉莉，你的思想太简单了。”慕容凌娢指着那些废旧器具说道，“也许现在看来，它们就是一群破铜烂铁，但只要回到 21世纪，它们就能变成不折不扣的金山银山。”“不许叫小茉莉！”茉莉不知为何突然紧张起来，她有些语无伦次的说道， “我……我明明比你大的。”“什么啊，原来茉莉你也是个傲娇……”慕容凌娢装作若无其事的摇了摇头，“所以说你带我来 这里干什么？”“百蝶说让你肉偿……”“来真的啊！怎么可以！”慕容凌娢大声叫道，引来了不少正在干活的女工的注意。 面对这么多人好奇的眼神，慕容凌娢第一次觉得有些不好意思。“这些群众的眼神还真是犀利啊……哈哈哈……”慕容凌娢心 虚的想要转移话题。“明明就是你太吵了。”茉莉已经恢复了往常那种阴冷的表情。“看什么看，赶快干活，还想不想吃晚饭 了！”一个严厉的女声响起。“哟，这不是茉莉姑娘吗？怎么，不呆在百蝶楼主身边，来这种脏乱的地方干什么。”这女子一 脸讨好的冲着茉莉笑道。这个女子应该就是这里管事的人了，慕容凌娢上下打量眼前这个人，穿着灰色的布衣，头发干练的盘 在头顶用一枝木簪固定住，虽然衣着朴素，但由内而外散发出一种凌厉的气势。一看就是那种不好惹的人，还是先套近乎好了。 慕容凌娢想到这儿便也是满脸堆笑。“您还，我叫白绫。”既然百蝶在人前都这样称呼自己，她也就只好接受了这个化名。 “初来乍到，还请……”“她惹百蝶生气了，所以被罚到这里打杂。”茉莉冷冷地打断了慕容凌娢的话，“你随便给她点活干 干就好了。”“是是是，茉莉姑娘方心，我一定会好好管教她的。”那女子连连点头，但看慕容凌娢的眼神已经完全不同了， 多了几分不屑和侥幸。这也太势利了吧，茉莉还没离开就已经暴露本性了，如果茉莉离开，那自己还不得被她给……慕容凌娢 打了一个冷颤，轻轻拽了拽茉莉的袖子，用可怜兮兮的眼神看着茉莉，想要向她求助。然而茉莉就像什么都没有看见一样，极 其冷淡地甩开了慕容凌娢的手。“那她就归你了，一视同仁就好了。百蝶那边还有事，我先回去了。”茉莉漠然的看了慕容凌 娢一眼，便转身离去了。留下了感觉整个世界都要崩塌了的慕容凌娢。“行了，新来的，我是醉影楼一楼的层主，你得叫我层 主……愣着干什么，赶快过来，你的任务可不少呢。”她那铁青着的脸吓得慕容凌娢赶紧跟了上去。(古风一言)那时，谁渡江 湖雨漂泊。而今，心愁难叙千里外。第023章 原来只是刷盘子“那她就归你了，一视同仁就好了。百蝶那边还有事，我先回去 了。”茉莉漠然的看了慕容凌娢一眼，便转身