最好的勾股定理五种证明方法
证明勾股定理的六种方法
证明勾股定理的六种方法嘿，朋友们！今天咱就来聊聊证明勾股定理的六种超厉害的方法！咱先说说第一种，拼图法。
这就好像搭积木一样，把一些图形巧妙地拼在一起，然后哇塞，勾股定理就出现啦！你看，通过把几个直角三角形和正方形拼来拼去，就能发现它们之间的奇妙关系，这多有意思呀！第二种呢，是面积法。
就好像我们分蛋糕一样，把图形的面积算来算去，嘿，就找到勾股定理的秘密啦！通过比较不同部分的面积，那真理就藏不住咯！还有一种叫相似三角形法。
哎呀，这就像找朋友一样，找到那些相似的三角形，然后从它们的关系里一点点挖出勾股定理。
这可需要我们有一双善于发现的眼睛呢！接着说第四种，射影定理法。
这听起来是不是有点高深莫测呀？哈哈，其实也不难理解啦！就好像是光线照下来留下的影子，从影子里能看出很多奇妙的东西哦，勾股定理就是其中之一呢！再讲讲第五种，余弦定理法。
这就像是解开一道复杂的谜题，通过余弦定理这个工具，一点点推导，最后得出勾股定理。
是不是很神奇呀？最后一种，是梯形面积法。
把图形变成梯形，然后通过计算梯形的面积，哈哈，勾股定理就蹦出来啦！这六种方法，各有各的奇妙之处，各有各的乐趣。
就好像是打开知识大门的六把钥匙，每一把都能让我们看到不一样的精彩。
证明勾股定理，不只是为了得到一个结果，更是在享受探索的过程呀！我们在这个过程中可以感受到数学的魅力，感受到思维的跳动。
想想看，我们的老祖宗们是多么聪明呀，能发现这么神奇的定理，还能想出这么多种方法来证明它。
我们作为后人，是不是也应该好好去研究、去体会呢？数学的世界就是这么奇妙，勾股定理只是其中的一小部分。
还有很多很多的奥秘等着我们去发现呢！所以呀，大家可不要小瞧了数学，它里面的乐趣可多着呢！我们要带着好奇的心，去探索，去发现，去感受数学带给我们的惊喜和快乐！这六种证明勾股定理的方法，不就是最好的例子吗？难道不是吗？。
勾股定理500种证明方法
勾股定理500种证明方法勾股定理是数学中的一条重要定理，它是说对于任意直角三角形，斜边的平方等于两个直角边的平方之和。
具体表达式如下：\[a^2+b^2=c^2\]这里，a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边。
欧几里得给出了最早的证明方法，他使用了几何构造和演绎的方法来证明这个定理。
1.欧氏证明方法：欧几里得通过将两个直角边的平方进行拼贴，得到一个正方形，并证明这个正方形的面积等于斜边的平方。
2.平行线切割法：通过平行线的切割，将直角三角形分割为几个图形，然后利用这些图形的面积关系证明勾股定理。
3.三角形面积法：通过计算直角三角形各个边上的高，然后将两个直角边的长度和其对应的高代入三角形面积公式，证明勾股定理。
4.变形推导法：将勾股定理移项变形，推导出其他几何定理，再反推回来证明勾股定理。
5.相似三角形法：利用两个直角三角形的相似性质，建立它们之间的边长比例，然后通过约分和乘法证明勾股定理。
6.余弦定理法：利用三角形的余弦定理，将三角形的边长和夹角之间的关系表达式代入勾股定理，然后进行化简证明。
7.对角线法：通过划分直角三角形的对角线，构造与角度相关的图形，然后运用几何性质证明勾股定理。
......（继续列举）这些只是勾股定理证明的几种常见方法，还有很多其他方法，涉及不同的数学分支和概念。
基于这三个基本量的几何关系，有许多方法可以推导出这个定理，每种证明方法都有其独特之处，展示了数学的丰富性和多样性。
通过探究不同的证明方法，我们可以增加对数学的理解和思维能力。
勾股定理是一个基本而重要的定理，它在数学和物理等领域中都有广泛的应用，所以了解多种证明方法可以帮助我们更好地理解和应用这个定理。
勾股定理五种证明方法
勾股定理五种证明方法
1. 代数证明：假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜
边为c。
根据勾股定理，我们有a^2 + b^2 = c^2。
将三条边的
长度代入该等式，进行计算验证即可证明。
2. 几何证明：通过绘制直角三角形，并利用几何原理证明。
例如，可以画一个正方形，然后在其两条相对边上各画一个相等的直角三角形，再使用平行四边形的性质可以得出a^2 + b^2
= c^2。
3. 相似三角形证明：假设两个直角三角形，已知其斜边比例为m:n，利用相似三角形的性质可以得出直角边的比例也是m:n，进而得到a^2 + b^2 = c^2。
4. 平行四边形法证明：利用平行四边形的性质，可通过画出一个具有相等对边的平行四边形来证明勾股定理。
通过平行四边形的性质可以得出a^2 + b^2 = c^2。
5. 微积分证明：利用微积分的知识可以证明勾股定理。
通过对直角三角形边长进行微分，并进行适当的运算，可以得到a^2 + b^2 = c^2。
这种证明方法比较复杂，需要较高的数学知识和
技巧。
几种简单证明勾股定理的方法
几种简单证明勾股定理的方法勾股定理是一个著名的数学定理，它描述了直角三角形三条边的长度之间的关系。
下面是几种简单证明勾股定理的方法：方法一：特例验证法对于任意一个直角三角形，我们可以列出它的两条直角边的长度的平方和，以及斜边的长度的平方，验证它们是否相等。
例如，对于一个直角边分别为3和4的直角三角形，我们可以计算出它的斜边的长度为5，然后验证3²+4²=5²。
这种方法虽然简单，但是只适用于特例，不能推广到一般情况。
方法二：几何构造法将两个大小相同的直角三角形放在同一直线上，使得它们的斜边成为一条直线。
这时，我们可以证明两个三角形的面积之和等于底边长度之和的两倍。
由于两个三角形面积相等，因此可以得出底边长度之和等于斜边长度。
例如，对于两个直角边分别为a和b的直角三角形，它们的斜边长度分别为c，将它们放在同一直线上，使得它们的斜边成为一条直线。
可以证明两个三角形的面积之和等于底边长度之和的两倍，即ab/2+ab/2=c²/2。
因此，可以得出a²+b²=c²。
方法三：代数推导法通过代入特殊值的方式，可以得到勾股定理的公式。
例如，当直角三角形的两条直角边分别为3和4时，可以得出斜边的长度为5，然后代入公式3²+4²=5²得到验证。
这种方法虽然简单，但是只适用于已知直角三角形两条直角边长度的特殊情况。
方法四：平方法通过平方法证明勾股定理的思路是：将直角三角形的一条直角边平移到斜边所在的直线上方，与斜边重合。
这时，可以将直角三角形的一条直角边看作是斜边减去一条直角边的长度所得的差，因此可以得出斜边的平方等于两条直角边的平方和。
例如，对于一个直角边分别为a和b的直角三角形，可以将其一条直角边平移到斜边所在的直线上方，与斜边重合。
这时，可以将直角三角形的一条直角边看作是斜边减去一条直角边的长度所得的差，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法5种
勾股定理的证明方法5种勾股定理是几何学中最为经典的定理之一，它揭示了直角三角形中直角边与斜边的关系。
勾股定理有多种不同的证明方法，下面我们将依次介绍其中五种不同的证明方法。
方法一：几何法证明这种证明方法是最为直观的，它通过几何形状的变换来证明勾股定理。
首先，我们先画出一个直角三角形ABC，然后作出辅助线AD ⊥BC，将三角形ABC分成两个小三角形ΔABD和ΔADC。
根据相似三角形的性质，我们可以得到BD/AB=AB/AC，即BD*AC=AB^2。
同理，我们可以得到CD*AB=AC^2。
将这两个式子相加起来，我们就可以得到BD*AC+CD*AB=AB^2+AC^2，根据平行四边形的性质，我们可以得到BC*AD=AB^2+AC^2，而BC*AD就是直角三角形ABC的斜边的平方AC^2。
因此，通过几何法证明，我们可以得到勾股定理成立。
方法二：代数法证明这种证明方法是使用代数运算来证明勾股定理。
我们可以用直角三角形的三条边的长度来表示三角形的面积。
假设直角三角形的三条边分别为a、b、c，其中c 为斜边，利用面积公式S=1/2*底*高，我们可以得到三角形面积的两种表达式：S=1/2* a*bS=1/2* c*h通过这两个表达式，我们可以得到c*h=a*b，即c^2=a^2+b^2。
方法三：相似三角形法证明这种证明方法利用相似三角形的性质来证明勾股定理。
我们可以在直角三角形ABC中找到一个与之全等的直角三角形DEF。
然后我们可以发现直角三角形ABC和DEF分别是直角三角形ACB和EDF的相似三角形。
由于相似三角形的对应边成比例，我们可以得到AB/DE=BC/EF=AC/DF。
利用这个性质，我们可以得到AB^2=DE^2+DF^2和AC^2=DE^2+EF^2。
将这两个式子相加起来，我们可以得到AB^2+AC^2=DE^2+DF^2+DE^2+EF^2，根据平行四边形的性质，我们可以得到AB^2+AC^2=2*DE^2+2*DF^2。
勾股定理500种证明方法
勾股定理500种证明方法勾股定理是数学中的一条重要定理，它描述了直角三角形边长之间的关系。
在这篇文章中，我将介绍勾股定理的500种证明方法。
1. 代数证明：我们可以使用代数方法来证明勾股定理。
假设三角形的三边长度分别为a、b和c，其中c为斜边。
根据勾股定理，我们有a^2 + b^2 = c^2。
我们可以展开这个等式，通过简化和重组方程，使其等于0，从而证明勾股定理。
2. 几何证明：我们可以利用几何图形来证明勾股定理。
画出一个直角三角形，以及其对应的三边。
通过构造辅助线、利用相似三角形或使用正弦、余弦和正切等几何关系，我们可以得出三边之间的相互关系，从而证明勾股定理。
3. 迭代证明：我们可以采用迭代的方法证明勾股定理。
通过不断地将直角三角形切分为更小的直角三角形，然后证明每个小三角形的成立，最终得到整个三角形的证明。
4. 三角函数证明：利用三角函数的定义和性质，我们可以通过将勾股定理转化为三角函数的等式来证明。
例如，假设角A为直角，则根据正弦函数的定义，可以得到a/c = sin(A)，再利用三角函数之间的关系，最终可以推导出a^2 + b^2 = c^2。
5. 数学归纳法证明：我们可以使用数学归纳法来证明勾股定理。
首先证明当直角三角形的两条直角边分别为0和1时，勾股定理成立。
然后，假设当直角三角形的两条直角边长度分别为k-1和k时，勾股定理也成立。
接着，通过数学归纳法，可以证明当直角三角形的两条直角边长度分别为k和k+1时，勾股定理依然成立。
以上仅是勾股定理的一些证明方法的简要介绍。
总结起来，勾股定理有无数种证明方法，这些方法运用了代数、几何、三角函数等数学工具，展示了数学的多样性和美妙之处。
通过不同的证明方法，我们可以更深入地理解勾股定理，并在解决实际问题中灵活运用。
勾股定理的多种证明方法比较
勾股定理的多种证明方法比较勾股定理是数学中一个非常重要的定理，它在几何学和三角学中都有广泛应用。
勾股定理的原始形式是指在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边平方的和。
本文将比较勾股定理的多种证明方法，探讨它们的优缺点。
一、几何证明方法几何证明方法是最经典的一种证明方式，它通过图形和几何推理来证明勾股定理的成立。
这种方法常用的证明手段有相似三角形证明、面积相等证明等。
1. 相似三角形证明相似三角形证明勾股定理的思路是利用直角三角形中两个角相等的性质，将问题转化为求解两个相似三角形的边长比例。
例如，可以假设直角三角形ABC的两条直角边分别为a和b，斜边为c，通过角度追踪可以推出三角形ABC和三角形ACD相似，进而得到a/c=b/c，最终推导得到a^2 + b^2 = c^2，即勾股定理成立。
2. 面积相等证明面积相等证明利用了三角形的面积公式S=1/2 * 底边 * 高。
通过将形状相同但比例不同的两个直角三角形进行比较，可以得到它们的面积之间的关系。
例如，可以构造两个直角三角形ABC和DEF，其中BC=EF，AC=FD，角B和角E相等。
由于直角三角形的面积公式为S=1/2 * 底边 * 高，通过比较两个三角形的面积公式可以得到S(ABC) = S(DEF)，进而推导出a^2 + b^2 = c^2。
几何证明方法的优点是直观易懂，符合几何直觉，有助于对定理的理解。
然而，这种方法往往需要一定的几何推理能力和想象力，有时候比较繁琐，对初学者来说有一定的难度。
二、代数证明方法代数证明方法是通过代数运算和方程推导来证明勾股定理的成立。
这种方法通常通过代数方程的变换和等式的推导来得到证明结果。
1. 平方和公式证明平方和公式是一种常用的证明勾股定理的代数方法。
该方法利用了(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 这个公式，将直角三角形中的两条直角边分别记为a和b，斜边记为c。
代入公式并整理得到(a+b)^2 = c^2 + 2ab，进一步简化得到a^2 + b^2 = c^2，即勾股定理成立。
10种勾股定理的证明方法
10种勾股定理的证明方法1什么是勾股定理勾股定理，又称勾股论，是基督教神学家和物理学家第乌里希（Pythagoras）在公元前6世纪提出的一个名言：在给定一个直角三角形中，直角两边的平法相加，等于直角边的平方。
也就是说，在一个直角三角形中，腰边的平方等于两个斜边的平方和。
2勾股定理的表示形式勾股定理可以用一下式子表示：a²+b²=c²，其中a和b是直角三角形的两个斜边，c是这个直角三角形的直角腰边。
3关于勾股定理的10种证明方法1.构造法：构造带有两个相等斜边a和b的两个直角三角形，以证明a²+b²=c²。
2.投影定理：利用投影定理将这些斜边投影，使两个三角形等同，从而证明勾股定理。
3.物理四边形法：采用正方形，梯形和菱形将这三角形组合成一个完整的四边形，证明了勾股定理。
4.三角不等式：根据直角三角形的三角不等式来证明a²+b²>c²。
5.毕达哥拉斯定理：该定理指出，在给定一个直角三角形时，斜边的平方和等于两个斜边相乘再乘以直角边的任何一个数字。
6.幂法：将a²+b²和c²都改写成几次幂的形式，然后将两个完整的当作可以对等的数字比较，从而证明勾股定理。
7.等差数列法：分别建立一个等差数列和一个等比数列，将它们相加，可以得到勾股定理的完整证明。
8.泰勒公式：根据勾股定理，a²+b²=c²,用泰勒公式解析勾股定理，就能得出正确的结论。
9.三角函数法：将勾股定理表示为正弦、余弦和正切的函数关系，根据不同的三角函数的关系证明勾股定理。
10.几何图表法：将斜边a、b、c绘制成一个两个直角三角形的示意图，并且两个三角形的直角边的和是刚好相等的，可以读出完整的证明。
4结论勾股定理是一个经典的定理，已被证明是绝对正确的，而证明它的方法也分多种。
从上面这10种证明方法中，我们可以看出，勾股定理可以通过计算、构造、投影和其它几何变换理论来证明。
最好的勾股定理五种证明方法
勾股定理五种证明方法【证法1】做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即， 整理得.以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵RtΔHAE ≌RtΔEBF,∴∠AHE = ∠BEF.∵∠AEH + ∠AHE = 90º,∴∠AEH + ∠BEF = 90º.∴∠HEF = 180º―90º= 90º.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2.∵RtΔGDH ≌RtΔHAE,∴∠HGD = ∠EHA.∵∠HGD + ∠GHD = 90º,∴∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵∠GHE = 90º,∴∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ABCD是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于.∴.∴.做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC 的延长线交DF于点P.∵D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌RtΔEBD,∴∠EGF = ∠BED，∵∠EGF + ∠GEF = 90°，∴∠BED + ∠GEF = 90°，Array∴∠BEG =180º―90º= 90º.又∵AB = BE = EG = GA = c，∴ABEG是一个边长为c的正方形.∴∠ABC + ∠CBE = 90º.∵RtΔABC ≌RtΔEBD,∴∠ABC = ∠EBD.∴∠EBD + ∠CBE = 90º.即∠CBD= 90º.又∵∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a.∴BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则.以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于...设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个分，则正方形ABCD 的面积为.初二一班游彬ab21ab 21ab 21ab 212c 2b 2aA D BB ab a ba b b a c c ccb a ab abb a b a。
勾股定理16种经典证明方法
ab c ab b a 214214222⨯+=⨯++【证法1】〔课本的证明〕做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 整理得 222c b a =+.【证法2】〔邹元治证明〕以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如下图形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF,∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2.∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法3】〔赵爽证明〕 以a 、b 为直角边〔b>a 〕， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如下图形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+.【证法4】〔1876年美国总统Garfield 证明〕以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这两个直角三角形拼成如下图形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +.∴ ()222121221c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法5】〔梅文鼎证明〕 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ， ∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD . ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a . ∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则,21222ab S b a ⨯+=+ abS c 2122⨯+=,∴ 222c b a =+.【证法6】〔项明达证明〕做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b 〔b>a 〕 ，斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如下图的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上.过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P . 过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点 F 作FN ⊥PQ ，垂足为N .∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ，∴ ∠MPC = 90º，∵ BM ⊥PQ ，∴ ∠BMP = 90º，∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ，∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA . 同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】〔梅文鼎证明〕. 【证法7】〔欧几里得证明〕做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如下图形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点 L .∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，∵ ΔFAB 的面积等于221a，ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a .同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB ∴ 222b ac += ，即 222c b a =+【证法8】〔利用相似三角形性质证明〕如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .在ΔADC 和ΔACB 中，∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB . AD ∶AC = AC ∶AB ，即 AB AD AC •=2.同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 AB BD BC •=2.∴ ()222AB AB DB AD BC AC =•+=+，即 222c b a =+.【证法9】〔杨作玫证明〕做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b 〔b>a 〕，斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如下图的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC . K又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，AD = AB = c ，∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA .∴ DH = BC = a ，AH = AC = b . 由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a .∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +〔b ―a 〕. 用数字表示面积的编号〔如图〕，则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 = ab b 212-， 985S S S +=，∴824321S ab b S S --=+=812S S b -- . ② 把②代入①，得98812212S S S S b S S c ++--++==922S S b ++ = 22a b +. ∴ 222c b a =+.【证法10】〔李锐证明〕设直角三角形两直角边的长分别为a 、b 〔b>a 〕，斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如下图形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号〔如图〕.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE .又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º， BT = BE = b ，∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . ∴ HT = AE = a .∴ GH = GT ―HT = b ―a .又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º， ∴ ∠GHF = ∠DBC .∵ DB = EB ―ED = b ―a ， ∠HGF = ∠BDC = 90º， ∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27SS =. 过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58SS =. 由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE .∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ，∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ， ∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=， 又∵27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c ，即 222c b a =+.【证法11】〔利用切割线定理证明〕在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得AD AE AC •=2=()()BD AB BE AB -+=()()a c a c -+= 22a c -， 即222a c b -=，∴ 222c b a =+.【证法12】〔利用多列米定理证明〕在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = bAD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BCAD DC AB •+•=•，∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ，∴ 222ACBC AB +=，即 222b a c +=，∴ 222c b a =+.【证法13】〔作直角三角形的内切圆证明〕在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F 〔如图〕，设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+= CD CE += r + r = 2r,即 r c b a 2=-+， ∴ c r b a +=+2.∴ ()()222c r b a +=+，即 ()222242c rc r ab b a ++=++，∵ ab S ABC 21=∆，∴ABC S ab ∆=42，C又∵AO C BO CAO B ABC S S S S ∆∆∆∆++= = brar cr 212121++ = ()r c b a ++21= ()r c c r ++221= rc r +2，∴()ABC S rc r ∆=+442， ∴ ()ab rc r242=+，∴ 22222c ab ab b a +=++， ∴ 222c b a =+.【证法14】〔利用反证法证明〕如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+•可知 AD AB AC •≠2，或者 BD AB BC •≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠A = ∠A ， ∴ 假设 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB .在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，∴ 假设BD ：BC ≠BC ：AB ，则∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+.【证法15】〔辛卜松证明〕设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+.【证法16】〔陈杰证明〕设直角三角形两直角边的长分别为a 、b 〔b>a 〕，斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形〔b>a 〕，把它们拼成如下图形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号〔如图〕.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ，D D C则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ，∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ，∠AED = 90º， AE = b ， ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC .∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a . ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中，∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵ 54322S S S S c +++=， 6212S S S b ++=，732S S a +=，76451S S S S S +===，∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++ =5432S S S S +++=2c∴ 222c b a =+.。
勾股定理的5种方式
勾股定理的五种证明方式1．画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。
这两个正方形全等，故面积相等。
左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。
从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。
左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。
右图剩下以c为边的正方形。
于是a2+b2=c2。
这就是我们几何教科书中所介绍的方法。
既直观又简单，任何人都看得懂。
2．直接在直角三角形三边上画正方形，如图。
容易看出，△ABA’ ≌△AA’’ C。
过C向A’’B’’引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。
△ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面积也是后者的一半。
由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。
同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。
于是，S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC，即a2+b2=c2。
3.将四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。
即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。
4.S梯形ABCD= (a+b)2 = (a2+2ab+b2)，①又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c2)。
②比较以上二式，便得a2+b2=c25.在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。
Rt△ABC中，∠ACB=90°。
作CD⊥BC，垂足为D。
则△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。
由△BCD∽△BAC可得BC2=BD • BA，①由△CAD∽△BAC可得AC2=AD • AB。
勾股定理五种证明方法
勾股定理五种证明方法1. 几何证明法勾股定理是数学中的基本定理之一，用于描述直角三角形的边长关系。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和。
几何证明法是最直观的证明方法之一。
我们可以通过绘制一个正方形来证明勾股定理。
假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c。
我们可以将这个三角形绘制在一个边长为a+b的正方形内。
将正方形分成四个小正方形，其中三个小正方形的边长分别为a，b和c。
通过计算小正方形的面积，我们可以得出结论：c^2 = a^2 + b^2。
2. 代数证明法代数证明法是另一种常用的证明勾股定理的方法。
这种方法使用代数运算和方程的性质来证明定理。
假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c。
我们可以通过使用平方的性质来证明勾股定理。
根据勾股定理，我们有：c^2 = a^2 + b^2。
我们可以将c^2展开为(a + b)2，即：c2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
通过对比等式两边的表达式，我们可以得出结论：2ab = 0。
由于直角三角形的边长必须为正数，因此我们可以得出结论：ab = 0。
这意味着a或b至少有一个为0。
如果a为0，那么直角三角形就变成了一个直角边长为b的直角三角形，此时勾股定理显然成立。
同样地，如果b为0，那么直角三角形就变成了一个直角边长为a的直角三角形，此时勾股定理也成立。
综上所述，勾股定理成立。
3. 数学归纳法证明数学归纳法是一种常用的证明数学命题的方法，它通常用于证明自然数的性质。
虽然勾股定理是针对直角三角形的，但我们可以通过数学归纳法证明勾股定理对于所有正整数的直角三角形都成立。
首先，我们证明当直角三角形的直角边长度为1时，勾股定理成立。
这是显而易见的，因为直角三角形的斜边长度必然大于1，所以直角边长度为1的直角三角形一定满足勾股定理。
然后，我们假设当直角三角形的直角边长度为k时，勾股定理成立。
即假设a^2 + b^2 = c^2，其中a和b分别为直角三角形的直角边，c为斜边。
勾股定理的10种证明
5.《周髀算经》中勾股定理的公式与证明
“故折矩①，以为勾广三，股修四，径隅五。”：开始做图——选择一个 勾三（圆周率三）、股四（四方） 的矩，矩的两条边终点的连线应为5（径隅五）。
“②既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。”：这就是关键的证明过程——以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有 边长三勾方、边长四股方、边长五弦方 三个正方形。
7.希腊人的方法
作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P.于是便不难得出
8.欧几里德（Euclid）射影定理证法
Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高
通过证明三角形相似则有射影定理如下：
由△CAD∽△BAC可得AC2=AD×AB。②
我们发现，把①、②两式相加可得
BC2+AC2=AB（AD+BD），
而AD+BD=AB，
因此有BC2+AC2=AB2，这就是a2+b2=c2。
4.课本方法：画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。
证明勾股定理的16种方法
勾股定理证明十六种方法方法一：赵爽弦图证法
方法二：毕达哥拉斯证法
方法三：书本证明方法
法四：利用三角形相似推导
方法五：切割线定理证明
方法六：托勒密定理证明
方法七：利用切线长定理
方法八：总统证法
方法九：八法变式
方法十和方法十一：
总结：上述方法是非常常见的方法，当然同学们可以总结出，用到最多的还是面积法，对于面积法无论证明方法如何变化，图形如何变化，方法都有一种熟悉感。
同时，还有很多其它与圆相关的定理应用，要理解它们，同学们要掌握更多的相关知识。
以下方法，只展示图片，同学们可以自行感悟。
方法十二：
方法十三：面积法
方法十四：拼接法１
方法十五：拼接法２
方法十六：射影定理。
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勾股定理五种证明方法
1证法】【abba
aacaabc c ab
bccbbb ca
b
个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为做8c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即
，整理得.
证法2证明）（】【
以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角1ab 2形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.
∵RtΔHAE ≌RtΔEBF, CGDab∴∠AHE = ∠BEF.
, o∠AHE = 90∵∠AEH + abc. o∠BEF = 90∴∠AEH + c.
= 90o HEF = 180o―90o∴∠H c的四边形EFGH是一个边长为F它的面积等于
c2. 正方形.b HAE, RtΔ≌∵RtΔGDH
.HGD = ∠EHA∴A, o∠GHD = 90∵∠HGD +
. GHD = 90∠o∴∠EHA +
,
GHE = 90o又∵∠.
o= 180o+ 90o∴∠DHA = 90.
是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于∴ABCD
.∴∴.
证法3证明）（】【做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.
∵D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌RtΔEBD,
∴∠EGF = ∠BED，
∵∠EGF + ∠GEF = 90°，F∴∠BED + ∠GEF = 90°，
∴∠BEG =180o―90o= 90o. ba又∵AB = BE = EG = GA = c，EcG的正方形. ABEG是一个边长为c P∴∠ABC + ∠CBE = 90o.
∵RtΔABC ≌RtΔEBD,b∴∠ABC = ∠EBD.c∴∠EBD + ∠CBE = 90o. a 即∠CBD= 90o.a又∵∠BDE = 90o，∠BCP = 90o，A BC = BD = a.
∴BDPC是一个边长为a的正方形.
同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S，则
.
证法4证明）【】（以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角1ab2形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，
使A、E、B三点C在一条直线上.
D∵RtΔEAD ≌RtΔCBE,
∴∠ADE = ∠BEC. cbc∵∠AED + ∠ADE = 90o, a∴∠AED + ∠BEC = 90o.
∴∠DEC = 180o―90o= 90o. abABE∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，
12c2.
它的面积等于又∵∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,
∴AD∥BC.
是一个直角梯形，它的面积等于.ABCD ∴
..
证明5证法】（【）ababADAD11abab2a a a22ab acbc
2c
c2bab b b cb11a abab22aaCCbBBb
的正a+bc. 作边长是设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD方形ABCD. 把正方形
划分成上方右图所示的几个分，ABCD；的面积为把正方形的面积为则正方形ABCD.
初二一班游彬。