人教版高中数学必修2教案-直线与平面垂直的性质
高中数学新人教版必修2教案2.3.1直线与平面垂直的判定.doc
课后
反思
课堂教学设计
备课人
授课时间
课题
§2.3.1直线与平面垂直的判定
教
学
目
标
知识与技能
使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；
过程与方法
启发引导，充分发挥学生的主体作用
情感态度价值观
培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知
重点
直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
难点
直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
（二）研探新知
1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。并对画示表示进行说明。
L
P
α
2、老师提出问题，让学生思考：
（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？
（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？
高中数学2.3 直线与平面垂直的性质 教案1人教版必修2
《2.3.3直线与平面垂直的性质》教学设计教学内容人教版新教材高二数学第二册第二章第三节第3课教材分析直线与平面垂直问题是直线与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。
通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。
学情分析1.学生思维活跃，参与意识、自主探究能力较强，故采用启发、探究式教学。
2.学生的抽象概括能力和空间想象力有待提高，故采用多媒体辅助教学。
教学目标1.知识与技能（1）培养学生的几何直观能力和知识的应用能力，使他们在直观感知的基础上进一步学会证明.（2）掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。
（3）掌握等价转化思想在解决问题中的运用.2.情感态度与价值观（1）发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新的精神.（2）让学生亲从问题解决过程中认识事物发展、变化的规律.教学重、难点1.重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。
2.难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。
教学理念学生是学习和发展的主体，教师是教学活动的组织者和引导者.设计思路直线与平面垂直的性质定理是判定线线平行的有效方法，学生学习的重点是直线与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的性质定理的应用，强调直线与平面垂直的性质定理证明中反证法的学习，应让学生清楚，对于一些条件简单而结论复杂的问题或正面较难证明的问题，可考虑用反证法；教学中要引导学生认识到，定理的证明过程实质是应用转化思想的过程，将立体几何问题转化为平面几何问题来解决，线面垂直问题转化为线线垂直问题来解决，这种转化的数学思想方法在立体几何的证明和解题中体现的尤为明显。
教学过程（一）复习引入师：判断直线和平面垂直的方法有几种？生：定义、例题2结论、判定定理。
高中数学必修2《直线与平面垂直的判定》教案精选
课题：2.3.1直线与平面垂直的判定（第一课时）教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修2一、教学目标1、知识与技能：通过直观感知、操作确认，理解直线与平面垂直的定义，归纳直线与平面垂直的判定定理；并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题。
2、过程与方法：通过直线与平面垂直的定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用。
3、情态与价值：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
通过小组合作方式操作活动，培养学生的协作精神和实践意识。
二、教学重点与难点（1）教学重点：直线与平面垂直的定义及其判定定理。
（2）教学难点：直线与平面垂直判定定理的理解。
三、教学方法与教学手段（1）教学方法：探究式教学法。
（2）教学手段：多媒体课件以及实物（三角板、三角形纸片）等辅助教学。
四、教学过程1、复习提问—导入课题问题思考：直线与平面有什么样的位置关系？答案：1.直线在平面内——有无数个公共点；2.直线与平面相交——有且只有一个公共点；3.直线与平面平行——没有公共点。
今天我们就来学习直线与平面相交的最特殊的一种情形——直线与平面垂直。
2、直线与平面垂直定义的建构（1）走进生活—感知概念①（多媒体展示生活中线面垂直的实例图片）提出思考：请同学们观察图片,说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？l α（引导学生观察图片，寻找出其中线面垂直的位置关系。
（旗杆与地面、桥墩与地面）引导学生举出身边更多类似的例子。
如教室内直立的墙角线和地面的位置关系，桌子的四只脚与地面的位置关系等。
）②问题思考：如何定义一条直线与一个平面垂直?(2）观察归纳—形成概念思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？ 多媒体演示：旗杆与它在地面上影子的位置变化。
观察演示并思考：①如图，在阳光下观察直立于地面旗杆AB 及它在地面的影子BC ，旗杆所在的直线与影子所在直线位置关系是什么？②旗杆AB 与地面上任意一条不过旗杆底部B 的直线g 的位置关系又是什么？（师生活动：在多媒体演示时，先展示动画1使学生感受到旗杆AB 所在直线与过点B 的直线都垂直。
高中数学必修二(2.3.3直线与平面垂直的性质)示范教案新人教A版必修2
△POB、△ POC中， ∵PO=PO=P，O AO=BO=C，O∠ POA=∠POB=∠POC， ∴△ POA≌△ POB≌△ POC. ∴PA=PB=PC取. AB 的中点 D, 连接 OD、 PD，则 OD⊥AB，PD⊥AB. ∵PD∩OD=D∴, AB⊥平面 POD. ∵PO 平面 POD∴, PO⊥AB. 同理 , 可证 PO⊥BC. ∵AB α ， BC α ，AB∩BC=B,∴PO⊥ α ，即 l ⊥ α . 若 l 不经过点 O时，可经过点 O作 l ′∥ l. 用上述方法证明 ∴l ⊥ α. 知能训练 如图 10，已知正方体 ABCD—A1 B1C1D1 的棱长为 a, （1）求证： BD1⊥平面 B1AC; （2）求 B到平面 B1AC的距离 .
. 它的定义是以否定形式给
出的，其证明方法多用反证法 .
②如图 3，同垂直于一条直线的两条直线的位置关系可能是：相交、平行、异面
.
图3
③如图 4，长方体 ABCD—A′B′C′D′中，棱 AA′、 BB′、 CC′、 DD′所在直线都垂直于 所在的平面 ABCD，它们之间具有什么位置关系？
图4
图5
EA , EB
证明：
l
l EA l EB
又∵ａ α ,EA⊥ α , ∴a⊥EA. 又∵ a⊥AB,∴a⊥平面 EAB.
图7 l ⊥平面 EAB.
∴a∥l.
例 1 如图 8, 已知直线 a⊥b，b⊥ α ， a 求证： a∥ α .
思路 2 α.
图8 证明： 在直线 a 上取一点 A，过 A 作 b′∥ b，则 b′必与 α 相交，设交点为 B，过相交直线 a、b′作平面 β ，设 α ∩ β=a′， ∵b′∥ b，a⊥b, ∴a⊥b′. ∵b⊥ α ，b′∥ b, ∴b′⊥ α . 又∵ a′ α, ∴b′⊥ a′． 由 a，b′， a′都在平面 β 内，且 b′⊥ a，b′⊥ a′知 a∥a′. ∴a∥ α . 例 2 如图 9，已知 PA⊥矩形 ABCD所在平面， M、N 分别是 AB、 PC的中点 . （1）求证： MN⊥CD； （2）若∠ PDA=45°，求证 :MN⊥面 PCD.
新人教版高中数学必修第二册《空间直线、平面的垂直》教案
空间直线、平面的垂直【第一课时】【教学目标】1．会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，会在三角形中求简单的异面直线所成的角2．理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性3．掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题【教学重难点】1．异面直线所成的角2．直线与平面垂直的定义3．直线与平面垂直的判定定理【核心素养】1．直观想象、逻辑推理、数学运算2．直观想象【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．异面直线所成的角的定义是什么？2．异面直线所成的角的范围是什么？3．异面直线垂直的定理是什么？4．直线与平面垂直的定义是什么？5．直线与平面垂直的判定定理是什么？二、基础知识1．异面直线所成的角（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．（2）垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b．（3）范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°．[名师点拨]当两条直线a ，b 相互平行时，规定它们所成的角为0°．所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°．注意与异面直线所成的角的范围的区别．2．直线与平面垂直定义一般地，如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直记法l ⊥α有关概念直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足图示及画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直名师点拨（1）直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．（2）注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．3．直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直图形语言符号语言l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝P ⇒l ⊥α名师点拨判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．三、合作探究异面直线所成的角如图，在正方体ABCD EFGH 中，O 为侧面ADHE 的中心．求：（1）BE 与CG 所成的角；（2）FO 与BD 所成的角．【解】（1）如图，因为CG ∥BF ．所以∠EBF （或其补角）为异面直线BE 与CG 所成的角，又在△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与CG 所成的角为45°．（2）连接FH ，因为HD ∥EA ，EA ∥FB ，所以HD ∥FB ，又HD ＝FB ，所以四边形HFBD 为平行四边形．所以HF ∥BD ，所以∠HFO （或其补角）为异面直线FO 与BD 所成的角．连接HA ，AF ，易得FH ＝HA ＝AF ，所以△AFH 为等边三角形，又知O 为AH 的中点，所以∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角为30°．1．[变条件]在本例正方体中，若P 是平面EFGH 的中心，其他条件不变，求OP 和CD 所成的角．解：连接EG ，HF ，则P 为HF 的中点，连接AF ，AH ，OP ∥AF ，又CD ∥AB ，所以∠BAF （或其补角）为异面直线OP 与CD 所成的角，由于△ABF 是等腰直角三角形，所以∠BAF ＝45°，故OP 与CD 所成的角为45°．2．[变条件]在本例正方体中，若M ，N 分别是BF ，CG 的中点，且AG 和BN 所成的角为39．2°，求AM 和BN 所成的角．解：连接MG ，因为BCGF 是正方形，所以BF═∥ CG ，因为M ，N 分别是BF ，CG 的中点，所以BM ═∥ NG ，所以四边形BNGM 是平行四边形，所以BN ∥MG ，所以∠AGM （或其补角）是异面直线AG 和BN 所成的角，∠AMG （或其补角）是异面直线AM和BN所成的角，因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝39．2°，所以∠AMG＝101．6°，所以AM和BN所成的角为78．4°．[规律方法]求异面直线所成的角的步骤（1）找出（或作出）适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．（2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．（3）结论——设由（2）所求得的角的大小为θ．若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．[提醒]求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°．直线与平面垂直的定义（1）直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能（）A．平行．相交C．异面．垂直（2）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【解析】（1）因为直线l⊥平面α，所以l与α相交．又因为m⊂α，所以l与m相交或异面．由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m．故l与m不可能平行．（2）对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．【答案】（1）A（2）B[规律方法]对线面垂直定义的理解（1）直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．（2）由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b．直线与平面垂直的判定如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F．（1）求证：PC⊥平面AEF；（2）设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD．【证明】（1）因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC．又AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC．又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC．又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF．（2）由（1）知PC⊥平面AEF，又AG⊂平面AEF，所以PC⊥AG，同理CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD，所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD．1．[变条件]在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH．证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥PA ，因为PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，又FH ⊂平面PAC ，所以BD ⊥FH ．2．[变条件]若本例中PA ＝AD ，G 是PD 的中点，其他条件不变，求证：PC ⊥平面AFG ．证明：因为PA ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以DC ⊥PA ，又因为ABCD 是矩形，所以DC ⊥AD ，又PA ∩AD ＝A ，所以DC ⊥平面PAD ，又AG ⊂平面PAD ，所以AG ⊥DC ，因为PA ＝AD ，G 是PD 的中点，所以AG ⊥PD ，又DC ∩PD ＝D ，所以AG ⊥平面PCD ，所以PC ⊥AG ，又因为PC ⊥AF ，AG ∩AF ＝A ，所以PC ⊥平面AFG ．3．[变条件]本例中的条件“AE ⊥PB 于点E ，AF ⊥PC 于点F ”，改为“E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ＝AD ”，其他条件不变，求证：EF ⊥平面PCD ．证明：取PD 的中点G ，连接AG ，FG ．因为G ，F 分别是PD ，PC 的中点，所以GF ═∥ 12CD ，又AE ═∥ 12CD ，所以GF ═∥ AE ，所以四边形AEFG 是平行四边形，所以AG ∥EF ．因为PA ＝AD ，G 是PD 的中点，所以AG ⊥PD ，所以EF ⊥PD ，易知CD ⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AG ，所以EF ⊥CD ．因为PD ∩CD ＝D ，所以EF ⊥平面PCD ．（1）线线垂直和线面垂直的相互转化（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．[提醒]要证明两条直线垂直（无论它们是异面还是共面），通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．【课堂检测】1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是（）A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不一定垂直解析：选C．过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c．因为直线a⊥平面α，c⊂α，所以a⊥c．因为b∥c，所以a⊥b．当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直．2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是（）A．平面DD1C1C B．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB解析：选B．因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1．3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线（）A．相交且垂直B．不相交也不垂直C．相交不垂直D．不相交但垂直解析：选D．如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们共面α，从而四点A，B，C，D都在α内，这与ABCD为空间四边形矛盾，所以AC与BD不相交；取BD的中点O，连接OA与OC，因为AB＝AD＝DC＝BC，所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥平面AOC，故AC⊥BD．4．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b 平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a，b所成的角为________．解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a，b所成的角为∠BAC 的补角，所以直线a，b所成的角为60°．答案：60°【第二课时】【教学目标】1．了解直线和平面所成的角的含义，并知道其求法2．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用线面垂直的性质定理解决有关的垂直问题【教学重难点】1．直线与平面所成的角2．直线与平面垂直的性质【核心素养】1．直观想象、逻辑推理、数学运算2．直观想象、逻辑推理【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．直线与平面所成的角的定义是什么？2．直线与平面所成的角的范围是什么？3．直线与平面垂直的性质定理的内容是什么？4．如何求直线到平面的距离？5．如何求两个平行平面间的距离？二、基础知识1．直线与平面所成的角（1）定义：如图，一条直线PA和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是0°．（3）范围：直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°．名师点拨把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．2．直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言Error!⇒a∥b图形语言作用①线面垂直⇒线线平行②作平行线名师点拨（1）直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．（2）定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．3．线面距与面面距（1）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．（2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．三、合作探究直线与平面所成的角在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．【解】取AA1的中点M，连接EM，BM．因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD．又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1内的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝22＋22＋12＝3．于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝EMBE＝23，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为2 3．[规律方法]线面垂直的性质定理的应用如图，已知正方体A1C．（1）求证：A1C⊥B1D1；（2）M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN ⊥C1D，求证：MN∥A1C．【证明】（1）如图，连接A1C1．因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1D 1．因为四边形A 1B 1C 1D 1是正方形，所以A 1C 1⊥B 1D 1．又因为CC 1∩A 1C 1＝C 1，所以B 1D 1⊥平面A 1C 1C ．又因为A 1C ⊂平面A 1C 1C ，所以B 1D 1⊥A 1C ．（2）如图，连接B 1A ，AD 1．因为B 1C 1═∥ AD ，所以四边形ADC 1B 1为平行四边形，所以C 1D ∥AB 1，因为MN ⊥C 1D ，所以MN ⊥AB 1．又因为MN ⊥B 1D 1，AB 1∩B 1D 1＝B 1，所以MN ⊥平面AB 1D 1．由（1）知A 1C ⊥B 1D 1．同理可得A 1C ⊥AB 1．又因为AB 1∩B 1D 1＝B 1，所以A 1C ⊥平面AB 1D 1．所以A 1C ∥MN ． [规律方法]（1）若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．（2）直线与平面垂直的其他性质①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直；②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；③若l ⊥α于A ，AP ⊥l ，则AP ⊂α；④垂直于同一条直线的两个平面平行；⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．求点到平面的距离如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：PB ∥平面AEC ；（2）设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P ABD 的体积V ＝34，求A 到平面PBC 的距离．【解】（1）证明：如图，设BD 与AC 的交点为O ，连接EO ．因为四边形ABCD 为矩形，所以点O 为BD 的中点．又点E 为PD 的中点，所以EO ∥PB ．因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC ．（2）V ＝16AP ·AB ·AD ＝36AB ．由V ＝34，可得AB ＝32．作AH ⊥PB 于点H ．由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AH ，故AH ⊥平面PBC ，即AH 的长就是点A 到平面PBC 的距离．因为PB ＝AP 2＋AB 2＝132，所以AH ＝AP ·AB PB ＝31313，所以点A 到平面PBC 的距离为31313．[规律方法]从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等换法转换求解．【课堂检测】1．若斜线段AB 是它在平面α内射影长的2倍，则AB 与平面α所成角的大小为（）A ．60°B ．45°C ．30°D ．90°解析：选A ．斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO 即是斜线段与平面所成的角．又AB ＝2BO ，所以cos ∠ABO ＝OB AB ＝12，所以∠ABO ＝60°．2．已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，则下列结论中不正确的是（）A ．PB ⊥BC B ．PD ⊥CD C ．PD ⊥BDD ．PA ⊥BD解析：选C ．PA ⊥平面ABCD ⇒PA ⊥BD ，D 正确；Error!⇒BC ⊥平面PAB ⇒BC ⊥PB ．故A 正确；同理B 正确；C 不正确．3．如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，则过M 且与直线AB 和B 1C 1都垂直的直线有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数条解析：选A ．显然DD 1是满足条件的一条，如果还有一条l 满足条件，则l ⊥B 1C 1，l ⊥AB ．又AB ∥C 1D 1，则l ⊥C 1D 1．又B 1C 1∩C 1D 1＝C 1，所以l ⊥平面B 1C 1D 1．同理DD 1⊥平面B 1C 1D 1，则l ∥DD 1．又l 与DD 1都过M ，这是不可能的，因此只有DD 1一条满足条件．4．如图，已知AD ⊥AB ，AD ⊥AC ，AE ⊥BC 交BC 于点E ，D 是FG 的中点，AF ＝AG ，EF ＝EG ．求证：BC ∥FG ．证明：连接DE ．因为AD ⊥AB ，AD ⊥AC ，所以AD ⊥平面ABC ．又BC ⊂平面ABC ，所以AD⊥BC．又AE⊥BC，所以BC⊥平面ADE．因为AF＝AG，D为FG的中点，所以AD⊥FG．同理ED⊥FG．又AD∩ED＝D，所以FG⊥平面ADE．所以BC∥FG．【第三课时】【学习目标】1．理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小2．理解两平面垂直的定义，掌握两平面垂直的判定定理3．理解平面和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用面面垂直的性质定理解决有关的垂直问题【学习重难点】1．二面角2．平面与平面垂直的判定定理3．平面与平面垂直的性质定理【核心素养】1．直观想象、数学运算2．直观想象、数学运算【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．二面角的定义是什么？2．如何表示二面角？3．二面角的平面角的定义是什么？4．二面角的范围是什么？5．面面垂直是怎样定义的？6．面面垂直的判定定理的内容是什么？7．面面垂直的性质定理的内容是什么？二、基础知识1．二面角（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．（2）图形和记法图形：记作：二面角αABβ或二面角αlβ或二面角PABQ或二面角PlQ．2．二面角的平面角（1）定义：在二面角αlβ的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．（2）图形、符号及范围图形：符号：Error!⇒∠AOB是二面角的平面角．范围：0°≤∠AOB≤180°．（3）规定：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．名师点拨（1）二面角的大小与垂足O在l上的位置无关．一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的．（2）构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”．即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．这三个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直．3．平面与平面垂直（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平面α与β垂直，记作α⊥β．（2）判定定理文字语言图形语言符号语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直Error!⇒α⊥β名师点拨定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个平面的垂线．4．平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言Error!⇒a ⊥β图形语言作用①面面垂直⇒线面垂直②作面的垂线名师点拨对面面垂直的性质定理的理解（1）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．（2）已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．三、合作探究二面角的概念及其大小的计算（1）在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成锐二面角A 1BD A 的正切值为（）A ．32B ．22C ．2D ．3（2）一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为（）A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不确定【解析】（1）如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接A 1O ，O 为BD 的中点，因为A 1D ＝A 1B ，所以在△A 1BD 中，A 1O ⊥BD ．又因为在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，所以∠A 1OA 为二面角A 1BD A 的平面角．设AA 1＝1，则AO ＝22．所以tan ∠A 1OA ＝122＝2．（2）反例：如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是CD ，C 1D 1的中点，二面角D AA 1E 与二面角B 1AB C 的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补．【答案】（1）C （2）D（1）求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”．（2）作出二面角的平面角的方法方法一：（定义法）在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB 为二面角αa β的平面角．方法二：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠AFE为二面角ABC D 的平面角．方法三：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角．如图所示，∠AOB 为二面角αl β的平面角．[提醒]二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．平面与平面垂直的判定角度一利用定义证明平面与平面垂直如图，在四面体ABCD 中，BD ＝2a ，AB ＝AD ＝CB ＝CD＝AC ＝a ．求证：平面ABD ⊥平面BCD ．【证明】因为△ABD 与△BCD 是全等的等腰三角形，所以取BD 的中点E ，连接AE ，CE ，则AE ⊥BD ，BD⊥CE ．在△ABD 中，AB ＝a ，BE ＝12BD ＝22a ，所以AE ＝ AB 2－BE 2＝22a ．同理CE ＝22a ，在△AEC 中，AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a ．由于AC 2＝AE 2＋CE 2，所以AE ⊥CE ，∠AEC 是二面角A BD C 的平面角，又因为∠AEC ＝90°，所以二面角A BD C 为直二面角，所以平面ABD ⊥平面BCD ．角度二利用判定定理证明平面与平面垂直如图，在四棱锥P ABCD 中，若PA ⊥平面ABCD 且四边形ABCD 是菱形．求证：平面PAC ⊥平面PBD ．【证明】因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥PA ．因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC．又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC．又因为BD⊂平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD．[规律方法]证明平面与平面垂直的两种常用方法（1）利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：①找出两相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，这两个相交平面互相垂直．（2）利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是：面面垂直的性质定理的应用已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．【证明】如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC．因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥BC ，因为AD ∩PA ＝A ，所以BC ⊥平面PAC ，又AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥AC ． [反思归纳]利用面面垂直的性质定理应注意的问题若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，应注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．垂直关系的综合问题如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点，求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA ．【证明】（1）如图，取EC 的中点F ，连接DF ．因为EC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以EC ⊥BC ．同理可得BD ⊥AB ，易知DF ∥BC ，所以DF ⊥EC ．在Rt △EFD 和Rt △DBA 中，因为EF ＝12EC ，EC ＝2BD ，所以EF ＝BD ．又FD ＝BC ＝AB ，所以Rt △EFD ≌Rt △DBA ，故DE ＝DA ．（2）取CA 的中点N ，连接MN ，BN ，则MN ∥EC ，且MN ＝12EC ．因为EC ∥BD ，BD ＝12EC ，所以MN綊BD，所以N点在平面BDM内．因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN．又CA⊥BN，EC∩CA＝C，所以BN⊥平面ECA．因为BN在平面MNBD内，所以平面MNBD⊥平面ECA，即平面BDM⊥平面ECA．（3）由（2）易知DM∥BN，BN⊥平面ECA，所以DM⊥平面ECA．又DM⊂平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA．[规律方法]垂直关系的转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：【课堂检测】1．给出以下四个命题，其中真命题的个数是（）①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直．A．4B．3C．2 D．1解析：选B．①②④正确．①线面平行的性质定理；②线面垂直的判定定理；③这两条直线可能相交或平行或异面；④面面垂直的判定定理．2．在下列关于直线m，l和平面α，β的说法中，正确的是（）A．若l⊂β，且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β，且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β，且α⊥β，则l∥αD．若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α解析：选B．A项中l与α可以平行或斜交，A项错．B项中，l⊥β且α∥β，所以l⊥α正确．C项中，l可在α内，C项错．D项中，l可在α内，D项错．3．在三棱锥PABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝23，则二面角PABC的大小为Ｗ．解析：取AB的中点M，连接PM，MC，则PM⊥AB，CM⊥AB，所以∠PMC就是二面角PABC的平面角．在△PAB中，PM＝22－（3）2＝1，同理MC＝PC＝1，则△PMC是等边三角形，所以∠PMC＝60°．答案：60°4．已知平面α，β和直线m，l，则下列说法：①若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β；②若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β；③若α⊥β，l⊂α，则l⊥β；④若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β．其中正确的说法序号为Ｗ．解析：对于说法①缺少了条件：l⊂α；说法②缺少了条件：α⊥β；说法③缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；说法④具备了面面垂直的性质定理的所有条件．答案：④5．如图，四边形ABCD，BD＝23，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD．求证：AB⊥DE．证明：在△ABD中，因为AB＝2，AD＝4，BD＝23，所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD．又因为平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，所以AB⊥平面EBD．因为DE⊂平面EBD，所以AB⊥DE．。
最新人教版高中数学必修2第二章《直线与平面垂直的判定》教案2
《直线与平面垂直的判定》教案教学目标：1．理解直线与平面垂直的定义及直线与平面所成的角，掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用；2．通过直线与平面垂直定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，进一步培养学生的空间观念；3．通过体验数学研究的过程，发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等化归的数学思想．教学重点难点：1．重点：直线与平面垂直的定义，直线与平面垂直的判定定理的探究．2．难点：探究直线与平面垂直的判定定理．教法与学法：1．教法选择：“启发－探究”式教学方法．通过一系列的问题串及层层递进的的教学活动，引导学生进行主动的思考、探究．帮助学生实现从具体到抽象、从特殊到一般的过度，从而完成定义的建构和定理的发现．2．学法指导：观察——实验——思考——猜想——证明．教学过程：一、设置情境，激发学生探索的兴地启发学生由（2）给出下列常用命题：指出它是判断直线与直线垂直的常用方法，它将直线与直线垂直的问题转化为判定一条直线垂直于另一条直线所在的平面．的数”的不同．由（确，线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，“直线与直线垂直”和“直线与平面垂直”可以相互转化．5．(提问)在长方体ABCD－A1B1C1D1模型中，棱BB1与底面ABCD垂直，观察BB1与底面ABCD内直线AB、BC有怎样的位置关系？由此你认为保证BB1⊥底面ABCD的条件是什么？6．（提问）如何将一张长方形贺卡直立于桌面？通过实验操作，引导学生发现折痕AD与桌面垂直的条件：AD垂直桌面内两条相交直线．思考：根据上述两个实例，你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗？学生提出猜想:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．7．（提问）通常定义可以作为判定的依据，载体和生活中最熟悉的经验，感知判定直线与平面垂直时只需平面线，从中体验有限与无限之间的辩证关系，从而提出猜想，为进一步的探究做准备．作判断不方便，引发学生探索判（师生活动：师生共同分析折痕AD 是BC 边上的高时的实质：AD 是BC 边上的高时，翻折之后垂直关系不变，即AD ⊥CD ，AD ⊥BD ．这就是说，当AD 垂直于桌面内的两条两条相交直线CD 、BD 时，它就垂直于桌面．） 多媒体演示翻折过程，然后归纳出直线与平面垂直的判定定理．直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．（1）图形语言（2）用符号语言表示为：,,,m n m n p l l m l nααα⊂⊂=⎫⇒⊥⎬⊥⊥⎭（师生活动：在归纳直线与平面垂直的判定定理时，先让学生以小组为单位交流讨论，由小组选派代表叙述结论，不完善的地方教师引导、补充完整，归纳出线面垂直的判定定理．然后要求学生试用图形语言与符号语言来表示定理，指出定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．） 思考并判断下列命题的正误：1）若一条直线与一个三角形的两条边垂己的实践中感受数趣，增强学习数学的兴趣，在讨论交流中激发学生的积极性和创造性示模拟实验，让学生更加清楚看到“平面化”的过程，在已有数学知识的基础上确认定理．直，则这条直线垂直于三角形所在的平面．（）2）若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，则这条直线垂直于平行四边形所在的平面．（）3）若一条直线与一个梯形的两腰垂直，则这条直线垂直于梯形所在平面．（）4）如果将定理中的“两条”换成“一条”或将“相交直线”换为“平行直线”，定理仍然成立（）.(师生活动：教师给出反例的直观图，消除学生心中的疑惑，进一步明确线面垂直的判定定理中的“两条”、“相交”缺一不可！指出定理充分体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想．)直线与平面所成的角的探究【思考1】点在直线上的射影是什么？是如何形成的？【分析】点，过这个点作直线的垂线，垂足即这个点在直线上的射影．【思考2】线段在直线上的射影是什么？是如何形成的？【分析】当线段垂直于直线时，所成的射影为点；当线段不垂直于直线时，所得的射影为线段，过线段两端作直线的垂线，所得的线段即线段的射影．判定定理，形成知识理论，进一步培养学生的归纳能力和转化能力．直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角．直线与平面所成的角的定义l是平面α的一条斜线，点O是斜足，A是l上任意一点，AB是α的垂线，点B是垂足，所以直线OB（记作'l）是l在α内的射影，∠（记作θ）是l与α所成的角．AOB二、作法总结，变式演练例2求证：与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直．（师生活动：引导学生根据题意画图，将其转化为几何命题：△ABC 在平面α内，直线a 与平面α相交，且a ⊥AC ,a ⊥BC ，求证：a ⊥AB ．请两位同学板演，其余同学在练习本上完成，师生共同评析，明确运用线面垂直判定定理时的具体步骤，防止缺少条件，特别是“相交”的条件，同时指出：：这为证明“线线垂直”提供了一种方法．)例3如图（3），已知a ∥b ，a ⊥α，求证：b ⊥α．(师生活动：此题有一定难度，教师引导学生分析思路，可用判定定理证，也可利用定义证，提示辅助线的添法，学生练习本上完成，完善自己的解题步骤，让学生用文字语言叙述：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．指出：命题体现了平行关系与垂直关系的联系，其结果可以作为直线和平面垂直的又一个判定方法．)（1）（2）（3）力．何运用直线与平面垂直的判定定理与定义解决问题，明确运用定理的条件和具体步骤，培养学生严谨的逻辑推理对线面垂直认识由感性上升到理性；同时，展示了平行与垂直之间系，给出判断线面垂直的一种间接方法，为今后多角度研究问题提供思路．ABCDab\αmn三、思维拓展，课堂交流如图，PA ⊥圆O 所在平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上的一点，则图中有几个直角三角形？由此你认为三棱锥中最多有几个直角三角形？四棱锥呢？建一个开放性试题，这样，有助于培养学生的发散思维，提高学生学习数学的兴趣．四、归纳小结，课堂延展如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3，AB=5，BC=4,AA1=4,点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1;（2）求证：AC1∥平面CDB1；延展作业:1．与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?2．你觉得直线与平面垂直的定义与判定定理的共同点是什么? 学而准备的，做到分层次教学．教学设计说明1．教材地位分析：直线与平面垂直的定义既是直线与平面垂直的最基本的判定方法，又是直线与平面垂直最基本的性质．直线与平面垂直的判定定理是通过实验直观感悟得到的，它把原来定义中要求与任意一条垂直转化为只要与两条相交直线垂直就行了，体现了数学中无限到有限、线面垂直转化为线线垂直的思想．线面垂直是空间中垂直关系的核心，在教材中起着承上启下的作用．2．学生现实状况分析：在本节课之前学生已学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质，具备了学习本节课所需的知识．同时已经有了“通过观察、操作等数学活动抽象概括出数学结论”的体会，参与意识、自主探究能力有所提高，对空间概念的建立有了一定基础．但是，对于学生而言，他们的抽象概括能力、空间想象力还有待提高．3．发展学生的几何直观能力与一定的推理论证能力．同时，在教学中，始终注重训练学生准确地进行三种语言（文字语言、图形语言和符号语言）的转换，培养运用图形语言进行交流的能力.4．数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是以数学内容为载体的对数学内容的一种本质认识，因此是一种隐性的知识内容，要通过反复体验才能领悟和运用．数学方法是处理、解决问题的方式、途径、手段，是对变换数学形式的认识，同样要通过数学内容才能反映出来，并且要在解决问题的不断实践中才能理解和掌握．。
2.3.直线与平面垂直的性质-人教A版必修二教案
2.3 直线与平面垂直的性质-人教A版必修二教案背景直线与平面是空间中常见的几何学概念。
在立体几何学中，直线与平面之间的关系是非常重要的性质。
垂直是基础的几何学概念之一，直线与平面的垂直关系也是很重要的。
目标1.学习直线与平面相交的情况；2.理解直线与平面垂直的概念；3.学会利用向量法、坐标法和公式法判定直线与平面的垂直关系。
活动1.学生通过阅读教材，回答下列问题：•直线与平面重合一定垂直？•直线与平面垂直，必然相交吗？•直线与平面相交，是否就一定垂直？2.教师向学生介绍直线与平面垂直的定义及性质，引导学生理解该概念。
3.教师使用向量法、坐标法和公式法分别说明怎样判断直线与平面的垂直关系，并且通过实例引导学生解决相关问题。
例如，对于以下直线和平面：直线 l: (x, y, z) = (1, 1, 1) + t(1, -1, 1)平面 A: 2x + y - z = 3通过向量法，我们可以求出直线 l 的方向向量为 (1, -1, 1)，平面A 的法向量为(2, 1, -1)。
由于这两个向量的点积为 0，所以直线 l 与平面 A 垂直。
通过坐标法，我们可以将直线上的点代入平面的方程，计算得到一个数值，如果该值为 0，则直线与平面垂直；反之，则不垂直。
通过公式法，我们可以利用直线和平面的法向量计算它们之间的夹角，并判断垂直关系。
4.学生独立完成练习题，巩固所学知识。
总结通过本课程的学习，学生了解了直线与平面的基本概念和垂直关系，并掌握了判断直线与平面垂直关系的方法和技巧。
在实际应用中，这些知识和方法将发挥重要作用。
人教课标版高中数学必修二《直线和平面垂直的判定和性质(第1课时)》教案-新版
2.3 直线、平面垂直的判定和性质2.3.1直线和平面垂直的判定和性质（第1课时）一、教学目标（一）核心素养引导学生认识到，定理的证明过程实质是应用转化思想的过程：立体几何的问题最终要转化为平面几何的问题来解决，线、面垂直问题转化为线、线垂直问题来解决．转化思想是重要的数学思想方法，在立体几何的证明和解题中，是一种常用的思想方法．（二）学习目标（1）直线和平面垂直的定义及相关概念．（2）直线和平面垂直的判定定理．（3）线线平行的性质定理．（三）学习重点（1）掌握直线和平面垂直的定义．（2）掌握直线和平面垂直的判定定理．（3）掌握线线平行的性质定理．（四）学习难点（1）线、面垂直定义的理解和判定定理的证明．（2）如何要解决好定理证明过程中，辅助线添加的方法和原因，及为何可用经过某点的两条直线说明“任意”直线的问题．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第64页到第67页，填空：直线和平面垂直的定义：如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．判定定理：预习自测（1）下面说法正确的个数是（ ） ①直线l 与平面α内无数条直线都垂直，则l ⊥α．②若直线a ⊥平面α，直线b ∥α，则直线a 与b 垂直．③若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．A ．0B ．1C ．2D ．3答案：B（2）已知直线a 、b 和平面α，,a b αα⊥⊆ ，则a b ．答案：⊥（3）在三棱锥P －ABC 中，点P 在平面ABC 中的射影为点O ．①若P A ＝PB ＝PC ，则点O 是△ABC 的________心．②若P A ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥P A ，则点O 是△ABC 的________心．答案：外；垂．解析：①如图1，连接OA 、OB 、OC 、OP ，在Rt △POA 、Rt △POB 和Rt △POC 中，P A ＝PC ＝PB ，所以OA ＝OB ＝OC ，即O 为△ABC 的外心．②如图2，∵PC⊥P A，PB⊥PC，P A∩PB＝P，∴PC⊥平面P AB，AB⊂平面P AB，∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高．同理可求BD、AH为△ABC底边上的高，即O为△ABC的垂心．(二)课堂设计1．知识回顾（1）空间两条直线有哪几种位置关系？（三种：相交直线、平行直线、异面直线）（2）空间中经过一点和一条直线垂直的直线有几条？（从两条直线互相垂直的定义可知：经过一点有无数多条直线和已知直线垂直）（3）空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？（直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行．）2．问题探究探究一实例引领，认识直线和平面垂直的概念★●活动①归纳提炼概念（1）同学们，我们现在拿起我们的课本，把书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们以直线和平面垂直的形象．所以我们说：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．（2）指出：过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．平面的垂线和平面一定相交，交点叫做垂足．（类比初中：在平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直）（3）说明直线和平面垂直的画法及表示．要证明一条直线和一个平面垂直，若每次都要证明这条直线和平面上每一条直线都垂直，显然是很麻烦也不必要的．让我们先看看木工师傅是如何判断一根立柱是否和板面垂直的方法：用曲尺检查两次（只要两次，但曲尺靠板面的尺，两次不能在同一条直线上），如果立柱、板面都和曲尺的两条边完全吻合，便可断定立柱和板面垂直．从中你能得到判定直线和平面垂直的方法吗？（引导学生进行猜想推测）【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程．●活动② 逐步引导，证明定理引导学生写出已知条件和结论，并画出图形如下：已知：,,,,l m l n m n m n B αβ⊥⊥⊆⊆⋂=求证：l α⊥我们知道如何证明直线和平面垂直呢？需要根据直线和平面垂直的定义，即需证明该直线和平面内的任何一条直线都垂直即可．如图：设g 是平面α内的任意一条直线，现在只要证明l ⊥g 就可以了．对于平面α内不经过点B 的直线，可以过点B 作它的平行直线，所以，我们先证明，l 、g 都经过点B 的情况．（学生思考证明方法，教师在原有图形上适时添加辅助线，并对下列问题根据需要作提示）（1）l 、g 是相交直线，要证它们垂直，实际上已经转化为平面几何中的垂直证明问题，可以考虑等腰三角形的性质．在直线l 上点B 的两侧分别取点A 、A ′，使AB ＝A ′B ．（2）直线m 、n 和线段AA ′是什么关系？（m 、n 垂直平分AA ′）（3）从结论看，直线g 与线段AA ′应当有什么关系？（g 垂直平分AA ′）（4）怎样证明直线g垂直平分线段AA′？（只要g上一点E，有EA＝EA′）（5）过E作直线分别与m、n交于C、D，连结AC、A′C、AD、A′D，则有：AC ＝A′C、AD＝A′D，由此能证明EA＝EA′吗？（利用全等三角形性质）（学生叙述证明过程，教师板书主要步骤．）参看右图并作如下说明：（1）当直线g与m（或n）重合时，结论是显然的．（2）如果直线l、g有一条或两条不经过点B，那么可过点B引它们的平行直线，由过点B的这样两条直线所成的角，就是直线l与g所成的角，同理可证这两条直线垂直，因而l⊥g．（3）要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，是无关紧要的．这样我们有了直线和平面垂直的判定定理．（板书）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．（4）强调定理中“两条”和“相交直线”这两个条件的重要性，可举下面两个反例，加深学生的理解．（Ⅰ）将一块木制的大三角板的一条直角边AC放在讲台上演示，这时另一条直角边BC就和讲台上的一条直线（三角板与桌面的交线AC）垂直，但它不一定和讲台桌面垂直．（Ⅱ）在讲台上放一根平行于大三角板直角边AC的木条EF，那么三角板的直角边BC也垂直于EF，但它不一定和讲台桌面垂直．【设计意图】通过定理的证明，加深对定理内涵与外延的理解，突破重点． 探究二 变例探究，灵活使用直线和平面垂直的判定定理．●活动① 互动交流，初步实践例1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．分析：首先写出已知条件和结论，并画图形．已知：b a //，α⊥a ．求证：α⊥b （如下图）【知识点】直线和平面垂直的判定定理【解题过程】证明：如图所示，在平面α内作两条相交直线m 、n ．∵α⊥a ，∴m a ⊥，n a ⊥．又∵a b //，从而有m b ⊥，n b ⊥．由作图知m 、n 为α内两条相交直线．∴α⊥b ．【思路点拨】本例可以作为直线和平面垂直的又一个判定定理．这样，判定一条直线与已知平面垂直，可以用这条直线垂直于平面内两条相交直线来证明，也可以用这条直线的平行直线垂直于平面来证明．课本书写的证明过程比较简洁，最好要求学生按照本教案示例书写．【答案】见解题过程．●活动② 巩固基础，检查反馈例2 判断题：正确的在括号内打“√”，不正确的打“×”．(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．（ ）(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．（ ）(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．（ ）(4)过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于α的平面内．（ ）(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．（ ）【知识点】直线和平面垂直的概念辨析【解题过程】(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种：①平行；②异面．因此应打“×”．(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．①若为平行，则该命题应打“×”；若为相交，则该命题应打“√”，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内无这数条线的位置关系，则该命题应打“×”．(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，所以该命题应打“√”．(4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A 垂直于直线a 的平面惟一，因此，过点A 且与直线a 垂直的直线都在过点A 且与直线a 垂直的平面内，所以该命题应打“√”．(5)三条共点直线两两垂直，设为a 、b 、c 且a 、b 、c 共点于O ，∵a ⊥b ，a ⊥c ，b c O =I ，且b 、c 确定一平面，设为α，则a ⊥α，同理可知b 垂直于由a 、c 确定的平面，c 垂直于由a 、b 确定的平面， ∴该命题应打“√”．【思路点拨】本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须做到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．【答案】（1）×（2）×（3）√（4）√（5）√例3 如图，在直三棱柱111C B A －ABC 中，2BC ＝2AC ＝AA 1，D 是棱1AA 的中点， D.B CD 1⊥（1）证明：11C B CD ⊥；（2）平面1CDB 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【知识点】直线和平面垂直的性质的应用．【数学思想】化归思想【解题过程】（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形，由于D 为AA 1的中点，故DC =DC 1，又AA 1=2A 1C 1，可得,DC 21221CC DC =+ 所以CD ⊥DC 1，而CD ⊥B 1D ，D ＝D C ∩D B 11，所以CD ⊥平面B 1C 1D ，因为⊂11C B 平面B 1C 1D ，所以CD ⊥B 1C 1．（2）由（1）知B 1C 1⊥CD ，且B 1C 1⊥C 1C ，则B 1C 1⊥平面ACC 1A 1， 设V 1是平面CDB 1上方部分的体积，V 2是平面CDB 1下方部分的体积， 则，梯形3113111112123313111111C B C B C B S V V C CDA C CDA B =⨯⨯=⨯⨯==-，总311121111C B CC BC AC V V C B A ABC =⨯⨯⨯==- ，总13111221-V C B V V V ===.1:121=V V 故【思路点拨】异面直线间垂直的证明可通过证明直线和平面垂直得证．【答案】（1）见解题过程；（2）1:1．活动③ 强化提升，灵活应用例4 如图所示，直角△ABC 所在平面外一点S ，且SA =SB =SC ．(1)求证：点S 与斜边AC 中点D 的连线SD ⊥面ABC ；(2)若直角边BA =BC ，求证：BD ⊥面SAC ．【知识点】等腰三角形三线合一【解题过程】证明：(1)在等腰△SAC 中，D 为AC 中点，∴SD ⊥AC ．取AB 中点E ，连DE 、SE ．∵ED ∥BC ，BC ⊥AB ，∴DE ⊥AB ．又SE ⊥AB ，∴AB ⊥面SED ，∴AB ⊥SD ．∴SD ⊥面ABC （AB 、AC 是面ABC 内两相交直线）．(2)∵BA =BC ，∴SD ⊥AC ．又∵SD ⊥面ABC ，∴SD ⊥BD ．∵SD AC D I ，∴BD ⊥面SAC ．【思路点拨】证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直．寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等．【答案】见解题过程．例5 平面α内有一半圆，直径AB ，过A 作SA ⊥平面α，在半圆上任取一点M ，连SM 、SB ，且N 、H 分别是A 在SM 、SB 上的射影．(1)求证：NH ⊥SB ．(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？(3)这个图形中有多少个直角三角形？(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？【知识点】线线垂直，线面垂直．【数学思想】化归思想【解题过程】(1)证明：连AM 、BM ．如上图所示，∵AB 为已知圆的直径，∴AM ⊥BM ．∵SA ⊥平面α，α⊂BM ，∴SA ⊥MB ．∵AM SA A =I ，∴BM ⊥平面SAM ．∵AN ⊂平面SAM ，∴BM ⊥AN ．∵AN ⊥SM 于N ，BM SM M =I ，∴AN ⊥平面SMB ．∵AH ⊥SB 于H ，且NH 是AH 在平面SMB 的射影，∴NH ⊥SB ．(2)由(1)知，SA ⊥平面AMB ，BM ⊥平面SAM ，AN ⊥平面SMB ． ∵SB ⊥AH 且SB ⊥HN ，∴SB ⊥平面ANH ，∴图中共有4个线面垂直关系．(3)∵SA ⊥平面AMB ，∴△SAB 、△SAM 均为直角三角形．∵BM ⊥平面SAM ，∴△BAM 、△BMS 均为直角三角形．∵AN ⊥平面SMB ，∴△ANS 、△ANM 、△ANH 均为直角三角形．∵SB ⊥平面ANH ，∴△SHA 、△BHA 、△SHN 、△BHN 均为直角三角形． 综上，图中共有11个直角三角形．(4)由SA ⊥平面AMB 知，SA ⊥AM ，SA ⊥AB ，SA ⊥BM ．由BM ⊥平面SAM 知，BM ⊥AM ，BM ⊥SM ，BM ⊥AN ．由AN ⊥平面SMB 知，AN ⊥SM ，AN ⊥SB ，AN ⊥NH ．由SB ⊥平面ANH 知，SB ⊥AH ，SB ⊥HN ．综上，图中共有11对互相垂直的直线．【思路点拨】为了保证(2)(3)(4)答案不出错，首先应找准(2)的答案，由“线⊥面”可得到“线⊥面内线”，当“线⊥面内线”且相交时，可得到直角三角形；当“线⊥面内线”且不相交时，可得到异面且垂直的一对直线．【答案】（1）见解题过程；（2）4；（3）11；（4）11．同类训练 如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：SB AE ⊥，SD AG ⊥．【知识点】线线垂直，线面垂直。
教案高一数学人教版必修二2.3.3直线与平面垂直的性质
双峰一中高一数学必修二教案科目：数学课题§ 2.3.3直线与平面垂直的性质课型新课教学目标（1）使学生掌握直线与平面垂直性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（3 ）了解直线与平面判定定理和性质定理间的相互关系（4）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；教学过程教学内容自主学习L宜线与平面垂宜的定义是什么？如何判定直线与平面垂直？N直线与平面垂直的判定定理，解决了直线与平血垂直的条件问题；反之.在直线与平血垂直的条件下，能得到哪些结论？质疑提问思考1：如图，长方体ABCD—中，棱AA“ BB PCC P DD］所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？G piB思考2:如果直线山b都垂直丁同一条直线人那么直线心b的位置关系如何？思考4:如果直线恥b都垂直于平面门，由观察可知a//b*从理论上如何证明这个结论？思考丟根据上述分析，得到一个什么结论？定理垂直于同一个半面的胸条宜线平行—思考上述定理通常叫做宜线与平面乖宜的性质定理’用符号语言可表为』该定理有什么功能作用？I思考2:设浊，b为直线，Q为平面，±a ,b//a ,则汽与b的位置关系如何？为什么？思考：3:—个平面的垂线有多少条？这些円线彼此口丄負"丄a => aHb问题探究思考1：设亦b为直线.□为平面，若孔丄卫」b//a f则b与。
的位置关系如何？为什么？思考3:设/为直线，a , B为平面，若7丄。
, a // B ,则/与B的位置关系如何？为什久？思考4：设/为直线，a、B为平面，若LJL J LLB 则平面a、B的位置关系如何？为什么？例1 如图，已矢口= 丄久于点A,（方丄0于点B, 67 c a.a丄力弘求证：a//1.例2女n图，已知a丄b，方丄a.a a a. 求证：all a.例3 如图，己知PA丄矩形ABCI)所在平面，N分别是人氏PC的中点求证：(1) 丄C7J;〔2)若XPDA = 45；求证：MN丄面FCD1＜列命题中，止确的墾7干A”过平面外一点.叮作无数条苴线和这个平面垂直B过-点冇且仅冇•个平面和•条定立线垂直C若厶力异面，过盘一定可作一个平面与〃垂直0若从方异面，过不在小"匕的点，- 定可以作一个平何和心〃都垂宜.五、小结评价K苴线与平面垂直的性质定理2.性质定理的应用四、课堂检测。
高中数学必修2《直线与平面垂直的判定》教案
课题：2.3.1直线与平面垂直的判定（第一课时）教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修2一、教学目标1、知识与技能：通过直观感知、操作确认，理解直线与平面垂直的定义，归纳直线与平面垂直的判定定理；并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题。
2、过程与方法：通过直线与平面垂直的定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用。
3、情态与价值：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
通过小组合作方式操作活动，培养学生的协作精神和实践意识。
二、教学重点与难点（1）教学重点：直线与平面垂直的定义及其判定定理。
（2）教学难点：直线与平面垂直判定定理的理解。
三、教学方法与教学手段（1）教学方法：探究式教学法。
（2）教学手段：多媒体课件以及实物（三角板、三角形纸片）等辅助教学。
四、教学过程1、复习提问—导入课题问题思考：直线与平面有什么样的位置关系？答案：1.直线在平面内——有无数个公共点；2.直线与平面相交——有且只有一个公共点；3.直线与平面平行——没有公共点。
今天我们就来学习直线与平面相交的最特殊的一种情形——直线与平面垂直。
2、直线与平面垂直定义的建构（1）走进生活—感知概念①（多媒体展示生活中线面垂直的实例图片）提出思考：请同学们观察图片,说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？lα（引导学生观察图片，寻找出其中线面垂直的位置关系。
（旗杆与地面、桥墩与地面）引导学生举出身边更多类似的例子。
如教室内直立的墙角线和地面的位置关系，桌子的四只脚与地面的位置关系等。
）②问题思考：如何定义一条直线与一个平面垂直?(2）观察归纳—形成概念思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？ 多媒体演示：旗杆与它在地面上影子的位置变化。
观察演示并思考：①如图，在阳光下观察直立于地面旗杆AB 及它在地面的影子BC ，旗杆所在的直线与影子所在直线位置关系是什么？②旗杆AB 与地面上任意一条不过旗杆底部B 的直线g 的位置关系又是什么？（师生活动：在多媒体演示时，先展示动画1使学生感受到旗杆AB 所在直线与过点B 的直线都垂直。
高中数学必修二 8 6 2 直线与平面垂直(第2课时)直线与平面垂直的性质 教学设计新
【新教材】8.6.2 直线与平面垂直教学设计（人教A版）第2课时直线与平面垂直的性质在直线与平面的位置关系中，垂直是一种非常重要的关系，本节内容既是直线与直线垂直关系延续和提高，也是后续研究平面与平面垂直的基础，既巩固了前面所学的内容，又为后面内容的学习做了知识上和方法上的准备，在教材中起着承前启后的作用。
课程目标1．理解直线和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对空间距离的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．数学学科素养1.逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的性质定理，线线垂直与线面垂直转化；2.数学运算：求空间点面、线面、面面距离.3.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.重点：直线和平面垂直的性质定理.难点：直线和平面垂直的性质定理的应用.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入问题1：长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？问题2：已知直线a⊥α 、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本153-155页，思考并完成以下问题1、垂直与同一条直线的两条直线有什么位置关系？2、与线面垂直有关的结论有哪些？3、怎样定义直线与平面的距离、平面与平面的距离？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、直线与平面平行的性质定理常用结论:(1)过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直.(2)已知a⊥α.若平面α外的直线b与直线a垂直，则b//α.(3)已知a⊥α.β//α，则a⊥β.2、距离(1)直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离.(2)平面与平面的距离：两个平面平行时，其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离.四、典例分析、举一反三题型一 直线与平面垂直的性质定理的应用例1 如图所示,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 是AB 上的一点,N 是A 1C 的中点, MN ⊥平面A 1DC.求证：（1）MN ∥AD 1; （2）M 是AB 的中点.【答案】证明见解析【解析】（1）因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体,所以AD 1⊥A 1D.又因为CD ⊥平面ADD 1A 1,AD 1⊂平面ADD 1A 1,所以CD ⊥AD 1. 因为A 1D∩CD=D,所以AD 1⊥平面A 1DC. 又因为MN ⊥平面A 1DC,所以MN ∥AD 1. (2)设AD 1∩A 1D=O,连接ON,在△A 1DC 中,A1O=OD,A1N=NC.所以ON12CD12AB,即ON∥AM.又因为MN∥OA,所以四边形AMNO为平行四边形,所以ON=AM.因为ON=12AB,所以AM=12AB,即M是AB的中点.解题技巧（证明两条直线平行的常见方法）(1)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行;(2)线面平行的性质定理:如果一条直线与一个平面平行,那么经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;(3)面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行;(4)线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.跟踪训练一1、如图，已知平面α∩平面β=l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，B为垂足，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.【答案】证明见解析【解析】因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a.又因为a⊥AB，AB∩EB=B，所以a⊥平面ABE.因为α∩β=l，所以l⊂α，l⊂β.因为EA⊥α，EB⊥β，所以EA⊥l，EB⊥l.又因为EA∩EB=E，所以l ⊥平面ABE.所以a ∥l .题型二 空间中的距离问题例2 如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.若AE=A 1E ，AB=3，求四棱锥E-BB 1C 1C 的体积.【答案】18.【解析】由长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，可知B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1，所以B 1C 1⊥BE ，因为BE ⊥EC 1，B 1C 1∩EC 1=C 1，所以BE ⊥平面EB 1C 1，所以∠BEB 1=90°，由题设可知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ，所以∠AEB=∠A 1EB 1=45°，所以AE=AB=3，AA 1=2AE=6，因为在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1∥平面BB 1C 1C ，E ∈AA 1，AB ⊥平面BB 1C 1C ，所以E 到平面BB 1C 1C 的距离即为点A 到平面BB 1C 1C 的距离，AB=3，所以四棱锥E-BB 1C 1C 的体积V=13 ×3×6×3=18.解题技巧 (空间中距离的转化)（1）利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离.（2）利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离.（3）通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高.跟踪训练二1、如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥菱形ABCD 所在的平面，∠ABC=60°，E 是BC 的中点，M 是PD 的中点.(1)求证：AE ⊥平面PAD.(2)若AB=AP=2，求三棱锥P-ACM 的体积.【答案】(1)证明见解析，(2) √33.【解析】解析 (1)连接AC ，因为底面ABCD 为菱形，∠ABC=60°，所以△ABC 为正三角形，因为E 是BC 的中点，所以AE ⊥BC ，因为AD ∥BC ，所以AE ⊥AD ，因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AE ，又因为PA∩AD=A ，所以AE ⊥平面PAD.(2)因为AB=AP=2，则AD=2，AE=√3，所以VP-ACM =V C-PAM = 13 S △PAM ·AE= 13×12×12×2×2×√3＝√33五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业 课本155页练习，162页习题8.6的13、14、15、16题.通过本节课性质定理的学习，使学生进一步了解线线垂直和线面垂直时刻相互转化的，即空间问题和平面问题可以相互转化.。
直线与平面垂直的性质
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五、过程设计 (三) 线面垂直性质定理的应用
２、已知m、n是两条相交直线，L1、L2 是与 m、n都垂直的两条直线，且直线L与L1、L2都 相交．求证 ：12
证 直 ： m 线 m 、 nno确定一个平l面 1 1
l2
2
又 l m ,l n , l
三、教法分析
遵循新课程标准的教学理念，采用以“学生为 主体，教师为主导”的启发引导式的教学方法， 并且采用多媒体课件等教学手段，增大教学的容 量和直观性，有效提高教学效率和教学质量。
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2.3.3 直线与平面垂直的性质
1、通过创设问题情境，联系生活实例，猜想定理， 体现数学知识来源于实践的道理。
如果两条直线与平面所成的角相等，则两直线平行吗？
a a b' b b
a a bb
1
2
o o 1
A1
1
o11o1
2 oo22 A2
2
结论：平行、相交、异面可编辑ppt
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五、过程设计 (二) 线面垂直性质定理的探究
问题④：设直线a,b分别在正方体ABCD-A1B1C1D1中两个不
同的平面内，欲使a∥b,a,b应满足什么条件？
D1 A1
D1
C1
AB1 1
a C1
B1 A1
D1
a
ab
D
C1 B1
D
CD
C
C
A
A
B
(1)
B
A
B
(2)
结论：令它们同时垂直于同一可编个辑平ppt面！
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五、过程设计 (三) 线面垂直性质定理的应用
高中数学必修2《直线与平面垂直的判定》教案
高中数学必修2《直线与平面垂直的判定》教案高中数学必修2《直线与平面垂直的判定》教案一、教学内容分析《直线与平面垂直的判定》共2课时，本课是第1课时，本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分，均为概念性知识.本节内容以“垂直”的判定为主线展开，“垂直”在定义和描述直线和平面位置关系中起着重要的作用，集中体现在：空间中垂直关系的相互转化。
其中核心内容为——直线与平面垂直的定义和判定定理。
本节具有承上启下的作用，在已有“直线与平面位置关系，直线与直线垂直定义与判定”的基础上，引出直线与平面垂直，为学习“平面与平面的位置关系，平面与平面的垂直” 做准备，其中直线与直线垂直，直线与平面垂直，平面与平面垂直，这三类垂直问题的研究主线是类似的，都是以定义——判定——性质为主线.判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，并体会“平面化”以及“降维”的转化思想，是本节课的重要任务.二、教学目标的确定1.课程目标(1)对空间几何体整体观察，认识空间图形;(2)以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系;(3)能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定;(4)了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。
2.单元教学目标本单元将在前一单元整体观察、认识几何体的基础上，以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系;通过对大量图形的观察、实验、操作和说理，能进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述集合对象的位置关系，初步体验公理化思想，养成逻辑思维能力，并用来解决一些简单的推理论证及应用问题.具体目标是：(1)点、线、面之间的位置关系①借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，了解公理1、公理2、公理3、公理4以及等角定理作为推理的依据。
人教版高中数学必修2-2.3教学教案1-直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质
2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质教学目标（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系. 教学重点、难点两个性质定理的证明.学法与用具（1）学法：直观感知、操作确认，猜想与证明（2）用具：长方体模型.教学设计（一）创设情景，揭示课题问题：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探.（二）研探新知1、操作确认观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？（显然互相平行）然后进一步迁移活动：已知直线a⊥α 、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？（一定）我们能否证明这一事实的正确性呢？2、推理证明引导学生分析性质定理成立的条件，介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法，然后师生互动共同完成该推理过程 ，最后归纳得出：垂直于同一个平面的两条直线平行.（三）应用巩固练习：1、两个平面互相垂直，下列命题正确的是（ ）A 、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B 、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C 、一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面D 、过一个平面内任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.（四）类比拓展，研探新知类比上面定理：若在两个平面互相垂直的条件下，又会得出怎样的结论呢？例如：如何在黑板面上画一条与地面垂直的直线？引导学生观察教室相邻两面墙的交线，容易发现该交线与地面垂直，这时，只要在黑板上画出一条与这交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直.然后师生互动，共同完成性质定理的确认与证明，并归纳性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.（五）巩固深化、发展思维1、思考1、设平面α⊥平面β，点P 在平面α内，过点P 作平面β的垂线a ，直线a 与平面α具有什么位置关系？ （答：直线a 必在平面α内）2、思考2、出示例4、如图，已知平面,,αβαβ⊥，直线a 满足,a a βα⊥⊄，试判断直线a 与平面α的位置关系.4、练习： 1、教材P73页练习1、2题2、下列命题中，正确的是（ ） A 、过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直B 、过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直。
人教版高中数学必修二教学案-直线、平面垂直的性质
人教版高中数学必修二教学讲义年 级 ： 上 课 次 数 ：学 员 姓 名 ： 辅 导 科 目 ：数学 学 科 教 师 ：课 题直线、平面垂直的性质复习 课 型□ 预习课 □ 同步课 ■ 复习课 □ 习题课 授课日期及时段教 学 内 容直线、平面垂直的性质复习【要点梳理】知识点一、直线与平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：,l m l m αα⊥⊂⇒⊥图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：,//l m l m αα⊥⊥⇒图形语言：3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。
（2）若l α⊥于A ，AP l ⊥，则AP α⊂。
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面。
要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化。
知识点二、平面与平面垂直的性质1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥I图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到。
这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法。
2．平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。
要点三、垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．垂直间的关系可按下面的口诀记忆：线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清．平面之内两直线，两线交于一个点，面外还有一条线，垂直两线是条件．面面垂直要证好，原有图中去寻找，若是这样还不好，辅助线面是个宝．先作交线的垂线，面面转为线和面，再证一步线和线，面面垂直即可见．借助辅助线和面，加的时候不能乱，以某性质为基础，不能主观凭臆断，判断线和面垂直，线垂面中两交线．两线垂直同一面，相互平行共伸展，两面垂直同一线，一面平行另一面．要让面和面垂直，面过另面一垂线，面面垂直成直角，线面垂直记心间．【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．设a ，b 为异面直线，AB 是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）。
高中数学必修2《直线与平面垂直的判定》教案
课题：直线与平面垂直的判定教材：普通高中课程标准实验教科书数学必修21.教学目标根据本节地位和作用的重要性，结合高一年级学生的认知规律，我制定了以下的教学目标：☆知识目标:1.正确理解直线与平面垂直的定义。
2. 通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理。
☆技能目标：1.通过对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，2.运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。
3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“转化”这一数学思想。
☆情感态度和价值观目标：让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
2.教学重点、难点教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
教学难点：概括直线与平面垂直的定义和判定定理时如何将直线和平面的垂直转化为直线与直线的垂直。
3.教学方法与手段本节课采用“引导—探究式”教学方法,教学过程中突出“问”、“动”两方面。
“问”—精心设计了一些问题，让学生在问题的带动下，概括出直线与平面垂直的定义，将“与平面内所有直线垂直”逐步转化为“与平面内两条相交直线垂直”，体会转化、归纳、类比、猜想等数学思想方法在解决问题中的作用。
“动”—我设计了以学生活动为主体，培养学生能力为中心的探究活动。
首先课前安排学生收集有关“直线与平面垂直”的例子，其次在课堂上让学生操作折纸实验，让其在动的过程中对直观感知概念本质，并操作确认了判定定理。
课前准备：要求学生收集”直线和平面垂直”的例子及准备一块三角形纸片。
4.教学过程：①请同学们观察图片，说出高楼的侧教案说明这是一节数学教学的探讨课，教师对合理使用教材、改进教法、改变数学教学模式，促进学科素质教育做了一点尝试。
教师在本节课的处理上借助多媒体辅助教学，采用“引导—探究式”教学方法。
在整个教学过程中，遵循“直观感知—操作确认—归纳总结”的认知规律。
高中数学必修2教案-8.示范教案(2.3.1 直线与平面垂直的判定)
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定整体设计教学分析空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面的垂直问题是连接线线垂直和面面垂直的桥梁和纽带，可以说线面垂直是立体几何的核心.本节重点是直线与平面垂直的判定定理的应用.三维目标1.探究直线与平面垂直的判定定理，培养学生的空间想象能力.2.掌握直线与平面垂直的判定定理的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力.3.让学生明确直线与平面垂直在立体几何中的地位.重点难点教学重点:直线与平面垂直的判定.教学难点:灵活应用直线与平面垂直判定定理解决问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的印象.在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子.随着时间的变化，尽管影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直.也就是说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B′C′也是垂直的.思路2.(事例导入)如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？举例说明.如图1，直线AC1与直线BD、EF、GH等无数条直线垂直，但直线AC1与平面ABCD 不垂直.图1推进新课新知探究提出问题①探究直线与平面垂直的定义和画法.②探究直线与平面垂直的判定定理.③用三种语言描述直线与平面垂直的判定定理.④探究斜线在平面内的射影，讨论直线与平面所成的角.⑤探究点到平面的距离.活动:问题①引导学生结合事例观察探究. 问题②引导学生结合事例实验探究. 问题③引导学生进行语言转换. 问题④引导学生思考其合理性.问题⑤引导学生回忆点到直线的距离得出点到平面的距离. 讨论结果：①直线与平面垂直的定义和画法： 教师演示实例并指出书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线都垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们直线和平面垂直的形象.从而引入概念：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.平面的垂线和平面一定相交，交点叫做垂足.直线和平面垂直的画法及表示如下： 如图2，表示方法为：a ⊥α.图2 图3②如图3,请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起做一个实验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD,DC 与桌面接触）. (1)折痕AD 与桌面垂直吗？(2)如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面α垂直？容易发现，当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在的平面α垂直. 如图4.(1) (2)图4所以，当折痕AD 垂直平面内的一条直线时，折痕AD 与平面α不垂直，当折痕AD 垂直平面内的两条直线时，折痕AD 与平面α垂直. ③直线和平面垂直的判定定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.直线和平面垂直的判定定理用符号语言表示为：⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂P b a bl a l b a ααl ⊥α.直线和平面垂直的判定定理用图形语言表示为：如图5,图5 图6④斜线在平面内的射影.斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线就叫做这个平面的斜线. 斜足：斜线和平面的交点.斜线在平面内的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.直线与平面相交，直线与平面的相互位置类同于两条相交直线，也需要用角来表示，但过交点在平面内可以作很多条直线.与平面相交的直线l与平面内的线a、b…所成的角是不相等的.为了定义的确定性，我们必须找到一些角中有确定值的，又能准确描述其位置的一个角，这就是由斜线与其在平面内的射影所成的锐角作为直线和平面所成的角.平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.特别地：如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角.一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角为0°.如图6，l是平面α的一条斜线，点O是斜足，A是l上任意一点，AB是α的垂线，点B是垂足，所以直线OB（记作l′）是l在α内的射影，∠AOB（记作θ）是l与α所成的角.直线和平面所成的角是一个非常重要的概念，在实际中有着广泛的应用，如发射炮弹时，当炮筒和地面所成的角为多少度时，才能准确地命中目标，也即射程为多远？又如铅球运动员在投掷时，以多大的角度投掷，投出的距离最远？⑤点到平面的距离:经过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影，点在平面内的射影还是一个点.垂线段：上述的点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.点到平面的距离：垂线段的长叫做点到平面的距离.应用示例思路1例1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.解：已知a∥b，a⊥α.求证：b⊥α.图7证明：如图7,在平面α内作两条相交直线m、n，设m∩n=A.************变式训练如图8,已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC.图8证明：过P 作PO ⊥平面ABC 于O ，连接OA 、OB 、OC. ∵PO ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PO ⊥BC.又∵PA ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAO. 又∵OA ⊂平面PAO ，∴BC ⊥OA.同理,可证AB ⊥OC.∴O 是△ABC 的垂心. ∴OB ⊥AC.可证PO ⊥AC. ∴AC ⊥平面PBO.又PB ⊂平面PBO ，∴PB ⊥AC.点评：欲证线面垂直需要转化为证明线线垂直，欲证线线垂直往往转化为线面垂直.用符号语言证明问题显得清晰、简洁.例2 如图9,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角.图9活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 解：连接BC 1交B 1C 于点O ，连接A 1O. 设正方体的棱长为a ，因为A 1B 1⊥B 1C 1,A 1B 1⊥B 1B,所以A 1B 1⊥平面BCC 1B 1. 所以A 1B 1⊥BC 1.又因为BC 1⊥B 1C ，所以BC 1⊥平面A 1B 1CD.所以A 1O 为斜线A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影，∠BA 1O 为直线A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角.在Rt △A 1BO 中,A 1B=a 2,BO=a 22,所以BO=B A 121,∠BA 1O=30°. 因此,直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角为30°.变式训练如图10，四面体A —BCD 的棱长都相等，Q 是AD 的中点，求CQ 与平面DBC 所成的角的正弦值.图10解：过A 作AO ⊥面BCD ，连接OD 、OB 、OC ，则可证O 是△BCD 的中心, 作QP ⊥OD,∵QP ∥AO,∴QP ⊥面BCD.连接CP ，则∠QCP 即为所求的角. 设四面体的棱长为a ，∵在正△ACD 中，Q 是AD 的中点,∴CQ=a 23. ∵QP ∥AO ，Q 是AD 的中点, ∴QP=a a a a AO 663621)33(212122=⨯=-=，得 sin ∠QCP=32=CQ QP . 点评：求直线与平面所成的角，是本节的又一重点，作线面角的关键是找出平面的垂线.思路2例 1 （2007山东高考,文20）如图11(1)，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知DC=DD 1=2AD=2AB ，AD ⊥DC ，AB ∥DC.(1)(1)求证：D 1C ⊥AC 1；（2）设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使D 1E ∥平面A 1BD ，并说明理由. （1）证明：在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中， 连接C 1D ，如图11(2).(2)∵DC=DD1，∴四边形DCC1D1是正方形.∴DC1⊥D1C.又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1=D,∴AD⊥平面DCC1D1，D1C⊂平面DCC1D1.∴AD⊥D1C.∵AD、DC1⊂平面ADC1，且AD∩DC1=D,∴D1C⊥平面ADC1.又AC1⊂平面ADC1，∴D1C⊥AC1.(2)解：连接AD1、AE，如图11(3).(3)图11设AD1∩A1D=M,BD∩AE=N,连接MN，∵平面AD1E∩平面A1BD=MN，要使D1E∥平面A1BD，需使MN∥D1E，又M是AD1的中点，∴N是AE的中点.又易知△ABN≌△EDN，∴AB=DE,即E是DC的中点.综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.变式训练如图12，在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心. 求证：A1O⊥平面GBD.图12证明：⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥AO A O A AO A BD BD AC BD A A 1111面平面 BD ⊥A 1O.又∵A 1O 2=A 1A 2+AO 2=a 2+(a 22)2=223a ,OG 2=OC 2+CG 2=(a 22)2+(2a )2=243a , A 1G 2=A 1C 12+C 1G 2=(2a)2+(2a )2=249a , ∴A 1O 2+OG 2=A 1G 2.∴A 1O ⊥OG.又BD∩OG=O,∴A 1O ⊥平面GBD.点评：判断线面垂直往往转化为线线垂直，勾股定理也是证明线线垂直的重要方法.例2 如图13，ABCD 为正方形，过A 作线段SA ⊥面ABCD ，又过A 作与SC 垂直的平面交SB 、SC 、SD 于E 、K 、H ，求证：E 、H 分别是点A 在直线SB 和SD 上的射影.图13证明：∵⎭⎬⎫⊂⊥ABCD BC ABCD SA 平面平面 ⇒SA ⊥BC,又∵AB ⊥BC,SA∩AB=A, ∴BC ⊥平面SAB.∴BC ⊥AE. ∵SC ⊥平面AHKE,∴SC ⊥AE. 又BC∩SC=C,∴AE ⊥平面SBC.∴AE ⊥SB,即E 为A 在SB 上的射影.同理可证,H 是点A 在SD 上的射影. 变式训练已知Rt △ABC 的斜边BC 在平面α内，两直角边AB 、AC 与α都斜交，点A 在平面α内的射影是点A′，求证：∠BA′C 是钝角.证明：如图14，过A 作AD ⊥BC 于D ，连接A′D ，图14∵AA′⊥α，BC ⊂α，∴AA′⊥BC. ∴BC ⊥A′D. ∵tan ∠BAD=AD BD ＜tan ∠BA′D=D A BD '，tan ∠CAD=AD CD ＜tan ∠CA′D=DA CD'， ∴∠BAD ＜∠BA′D ，∠CAD ＜∠CA′D.∴∠BAC ＜∠BA′C ，即∠BA′C 是钝角. 知能训练如图15，已知a 、b 是两条相互垂直的异面直线，线段AB 与两异面直线a 、b 垂直且相交，线段AB 的长为定值m ，定长为n （n ＞m ）的线段PQ 的两个端点分别在a 、b 上移动，M 、N 分别是AB 、PQ 的中点.图15求证：（1）AB ⊥MN ； （2）MN 的长是定值.证明：(1)取PB 中点H,连接HN,则HN ∥b. 又∵AB ⊥b,∴AB ⊥HN. 同理,AB ⊥MH.∴AB ⊥平面MNH.∴AB ⊥MN. (2)∵⎭⎬⎫⊥⊥a b AB b ⇒b ⊥平面PAB.∴b ⊥PB.在Rt △PBQ 中,BQ 2=PQ 2-PB 2=n 2-PB 2, ① 在Rt △PBA 中,PA 2=PB 2-AB 2=PB 2-m 2, ② ①②两式相加PA 2+BQ 2=n 2-m 2,∵a ⊥b,∴∠MHN=90°. ∴MN=22222221)2()2(m n BQ PA NHMH -=+=+(定值). 拓展提升1.如图16，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AC=3，AB=5，BC=4,AA 1=4,点D 是AB 的中点.图16（1）求证：AC ⊥BC 1;（2）求证：AC 1∥平面CDB 1；（1）证明：∵在△ABC 中,AC=3,AB=5,BC=4, ∴△ABC 为直角三角形.∴AC ⊥CB.又∵CC 1⊥面ABC,AC ⊂面ABC,∴AC ⊥CC 1.∴AC ⊥面BCC 1B 1.又BC 1⊂面BCC 1B 1,∴AC ⊥BC 1.（2）证明：连接B 1C 交BC 1于E ，则E 为BC 1的中点，连接DE,则在△ABC 1中,DE ∥AC 1. 又DE ⊂面CDB 1,则AC 1∥面B 1CD.课堂小结知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.作业课本习题2.2 B组3、4.设计感想线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，尤其是线面垂直问题是立体几何的核心，一个立体几何问题能否解决往往取决于能否作出平面的垂线；面面垂直的性质定理恰好能解决这个问题，因此它是高考考查的重点，本节不仅选用了大量经典好题，还选用了大量的2007高考模拟题以及2007年高考题，相信能够帮助大家解决立体几何中的重点难点问题.。
人教版高中数学必修2教案-直线与平面垂直的性质
§2、3.3直线与平面垂直的性质§2、3.4平面与平面垂直的性质一、教学目标1、知识与技能（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。
2、过程与方法（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；（2）性质定理的推理论证。
3、情态与价值通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。
二、教学重点、难点两个性质定理的证明。
三、学法与用具（1）学法：直观感知、操作确认，猜想与证明。
（2）用具：长方体模型。
四、教学设计（一）创设情景，揭示课题问题：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。
（自然进入课题内容）（二）研探新知1、操作确认观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。
如图2.3—4，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？（显然互相平行）然后进一步迁移活动：已知直线a⊥α、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？（一定）我们能否证明这一事实的正确性呢？A1D1a bC1B1图 2.3-4 图2.3-52、推理证明引导学生分析性质定理成立的条件，介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法， 然后师生互动共同完成该推理过程 ，最后归纳得出： 垂直于同一个平面的两条直线平行。
（三）应用巩固 例子：课本P.74例4做法：教师给出问题，学生思考探究、判断并说理由，教师最后评议。
（四）类比拓展，研探新知类比上面定理：若在两个平面互相垂直的条件下，又会得出怎样的结论呢？例如：如何在黑板面上画一条与地面垂直的直线？引导学生观察教室相邻两面墙的交线，容易发现该交线与地面垂直，这时，只要在黑板上画出一条与这交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直。
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§2、3.3直线与平面垂直的性质
§2、3.4平面与平面垂直的性质
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；
（2）能运用性质定理解决一些简单问题；
（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。
2、过程与方法
（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；
（2）性质定理的推理论证。
3、情态与价值
通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。
二、教学重点、难点
两个性质定理的证明。
三、学法与用具
（1）学法：直观感知、操作确认，猜想与证明。
（2）用具：长方体模型。
四、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
问题：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？
让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。
（自然进入课题内容）
（二）研探新知
1、操作确认
观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。
如图2.3—4，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？（显然互相平行）然后进一步迁移活动：已知直线a⊥α、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？（一定）我们能否证明这一事实的正确性呢？
A1D1
a b
C1
B1
图 2.3-4 图2.3-5
2、推理证明
引导学生分析性质定理成立的条件，介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法， 然后师生互动共同完成该推理过程 ，最后归纳得出： 垂直于同一个平面的两条直线平行。
（三）应用巩固 例子：课本P.74例4
做法：教师给出问题，学生思考探究、判断并说理由，教师最后评议。
（四）类比拓展，研探新知
类比上面定理：若在两个平面互相垂直的条件下，又会得出怎样的结论呢？例如：如何在黑板面上画一条与地面垂直的直线？
引导学生观察教室相邻两面墙的交线，容易发现该交线与地面垂直，这时，只要在黑板上画出一条与这交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直。
然后师生互动，共同完成性质定理的确认与证明，并归纳性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
（五）巩固深化、发展思维
思考1、设平面α⊥平面β，点P 在平面α内，过点P 作平面β的垂线a ，直线a 与平面α具有什么位置关系？
（答：直线a 必在平面α内）
思考2、已知平面α、β和直线a ，若α⊥β，a ⊥β，a α，则直线a 与平面α具有什么位置关系？
（六）归纳小结,课后巩固
小结：（1）请归纳一下本节学习了什么性质定理，其内容各是什么？
（2）类比两个性质定理，你发现它们之间有何联系？
作业：（1）求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直；
（2）求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
B A
C α
D
本章小结
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；
（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。
2、过程与方法
利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系。
3情态与价值
学生通过知识的整合、梳理，理会空间点、线面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题能力。
二、教学重点、难点
重点：各知识点间的网络关系；
难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。
三、教学设计
（一）知识回顾，整体认识
1、本章知识回顾
（1）空间点、线、面间的位置关系；
（2）直线、平面平行的判定及性质；
（3）直线、平面垂直的判定及性质。
2、本章知识结构框图
平面（公理1、公理2、公理3、公理4）
空间直线、平面的位置关系
直线与直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系（二）整合知识，发展思维
1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。
公理1——判定直线是否在平面内的依据；
公理2——提供确定平面最基本的依据；
公理3——判定两个平面交线位置的依据；
公理4——判定空间直线之间平行的依据。
2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题；
3、空间平行、垂直之间的转化与联系：
4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。
（三）应用举例，深化巩固
1、P.82 A 组第1题
本题主要是公理1、2知识的巩固与应用。
2、P.82 A 组第8题
本题主要是直线与平面垂直的判定与性质的知识巩固与应用。
（四）课后作业
1、阅读本章知识内容，从中体会知识的发展过程，理会问题解决的思想方法；
2、P.83 B 组第2题。
直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行
直线与直线垂直
直线与平面垂直 平面与平面垂直。